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Métrologiedimensionnelle

Aide-mémoireMichel Dursapt


Aide-mémoire

Pierre Bourdet, Fabien SchneiderSpécification géométriquedes produits2007, 312 p.

Michel Dursapt

Aide-mémoire


Illustration de couverture : © Guénhaël Le Quilliec - Fotolia.com

© Dunod, Paris, 2009ISBN 978-2-10-053686-3

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V

PRÉFACE

Comme beaucoup de disciplines, la métrologie dimensionnelle à subitdes pics d’évolutions dus, soit à des demandes de plus en plus pressantesdes secteurs qui l’utilisaient, soit à des avancées technologiques qui luiouvraient des perspectives interdites jusqu’alors. Pour illustrer ce proposévoquons la venue de la production en très grandes séries qui, accompagnéede la standardisation des pièces mécaniques, a obligé les métrologues àspécifier les pièces, à faire évoluer les matériels de mesure ainsi que lesstratégies de contrôle. Parmi ces matériels, les machines à mesurer tri-dimensionnelles ont amené les métrologues à redéfinir l’approche concep-tuelle de la métrologie. De nombreuses recherches ont abouti à destraitements informatiques de données s’appuyant sur des outils mathé-matiques qui, a priori, ne semblaient pas devoir intervenir dans ce typed’application. Loin d’être stérile, comme c’est parfois le cas, la conceptua-lisation de la métrologie dimensionnelle a conduit à clarifier de nombreuxproblèmes, notamment du point de vue tridimensionnel, à en apporter unebonne compréhension et à proposer des solutions. Pour s’en convaincre, iln’est qu’à évoquer l’évolution de la normalisation ces dernières années.L’ouvrage proposé traite, de façon concrète, un grand nombre desaspects qui viennent d’être évoqués. L’auteur, Michel DURSAPT, ensei-gne cette discipline depuis de nombreuses années à l’ENI de Saint-Étienne. Il en possède une profonde connaissance des aspects théori-ques. Sa connaissance des matériels et de leur utilisation, qu’il pratiqueau quotidien au Laboratoire de métrologie de son établissement, n’estpas moins grande. Ceci, associé à une forte implication dans le mondeindustriel, en fait un auteur idéal.

VI

En bon pédagogue l’auteur commence par préciser le vocabulaire associéaux notions qui sont à la base du contrôle, mais qui souvent sont confusesdans les esprits. Ceux qui débutent dans cette discipline n’y trouverontque des avantages. La structuration du livre invite le lecteur à une approcheprogressive qui s’appuie sur une logique issue de la pratique. Ainsi, parexemple, l’auteur en évoquant la nécessité des spécifications en arrive-t-ilnaturellement à la normalisation de ces dernières, ensuite il pose lanécessité de leur contrôle le plus objectif possible, de façon à éviter leslitiges entre fabricants et clients. Il applique ceci au contrôle des piècesmécaniques et aux machines outils. Concernant les pièces mécaniques,les aspects macro- et microgéométriques des surfaces sont développés.L’auteur s’appuie sur une démarche rigoureuse, mettant bien en évidenceles outils mathématiques indispensables aux approches actuelles ducontrôle dimensionnel. Toutefois, il sait n’en dire que ce qui est nécessaire,rendant ces outils très abordables pour quiconque, ce qui rassurera leslecteurs peu enclins aux mathématiques. Ces derniers, ainsi que les autres,trouveront agréable le propos de Michel DURSAPT qui mêle de façonharmonieuse théorie, technologie et pratique, ces trois éléments se complé-tant pour aboutir à un exposé clair et convaincant. Les nombreux exem-ples qui illustrent les différents chapitres, rendant concrets les conceptsintroduits, ne sont pas les derniers à fortement contribuer à cet objectif.Tous ceux qui pratiquent le Génie mécanique, les personnels de l’industrie,les enseignants, les étudiants, trouveront dans cet ouvrage un outil dequalité pour aborder le contrôle dimensionnel, que l’auteur en soit remercié.

J.-P. CORDEBOISProfesseur honoraire

du Conservatoire national des arts et métiers

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VII

TABLE DES MATIÈRES

Préface V

Remerciements XI

Avant-propos 1

1 • Généralités sur la métrologie dimensionnelle 3

1.1 Pourquoi la métrologie dimensionnelle en génie mécanique ? 3

1.2 Quelques notions de base concernant la caractérisation géométrique des produits 4

1.3 Mesure et contrôle 13

1.4 Bibliographie 15

2 • Mesure des longueurs 17

2.1 Le mètre étalon 17

2.2 Notion d’incertitude de mesure 27

2.3 Bibliographie 39

3 • Estimation des incertitudes 41

3.1 Rappels et notations 41

3.2 Estimation d’une incertitude de mesure simple 46

3.3 Estimation des incertitudes composées 51

3.4 Cas où les variables ne sont pas indépendantes 58

VIII

3.5 Exemple de détermination d’incertitude 623.6 Remarque importante 683.7 Bibliographie 69

4 • Méthodes d’association 71

4.1 Rappels 714.2 Métrologie de la droite 714.3 Application à des surfaces simples 774.4 Association d’une surface théorique quelconque

à un nuage de points 804.5 Bibliographie 95

5 • Spécifications géométriques 97

5.1 Caractéristiques d’une surface 975.2 Tolérances dimensionnelles 995.3 Tolérances de forme 1035.4 Tolérances de position 1065.5 Une spécification de position implique toujours

une spécification de forme 1145.6 Bibliographie 115

6 • Mesure tridimensionnelle 117

6.1 Principe de la mesure tridimensionnelle 1176.2 Référentiel 1186.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel 1236.4 Exemple de gamme de contrôle en mesure tridimensionnelle 1376.5 Bibliographie 143

7 • Mesure et caractérisation des états de surface 145

7.1 Généralités sur les défauts géométriques des surfaces 1457.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle 1497.3 Observation et traitement du signal obtenu 1557.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface 159

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7.5 Caractérisation tridimensionnelle des états de surface 1767.6 Indications d’états de surface sur les dessins 1827.7 Bibliographie 183

8 • La métrologie des machines-outils 185

8.1 Pourquoi la métrologie des machines-outils 1858.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière 1898.3 Mesure des défauts angulaires des axes 2058.4 Le ballbar 2108.5 Les essais en charge 2148.6 Bibliographie 217

Annexe 219

Index alphabétique 221

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XI

REMERCIEMENTS

Je ne saurais commencer cet ouvrage sans adresser mes remerciementsles plus vifs et les plus sincères à Alain LOMBARD sans la disponibilité etle talent duquel je ne me serais jamais sorti du maquis que représententpour moi les différentes structures de l’imagerie informatique, ainsi qu’àBernard GUEYTE pour l’aide efficace qu’il m’a apporté dans la réalisationdes différentes photographies dont la présence m’a semblé intéressantepour une meilleure présentation et une meilleure compréhension.

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AVANT-PROPOS

Le génie mécanique, terme issu du verbe s’ingénier c'est-à-dire mettre enœuvre tous les moyens disponibles pour arriver à un but, est donc unediscipline transversale qui à chaque étape de la vie d’un produit indus-triel (conception, fabrication, contrôle, utilisation) nécessite demaîtriser rigoureusement les caractéristiques des objets. Parmi cescaractéristiques, la géométrie (les formes et les dimensions) est d’uneimportance capitale puisque c’est l’un des deux seuls domaines, aveccelui des matériaux, dans lesquels les mécaniciens vont pouvoir agir afind’optimiser la fonctionnalité des produits. La métrologie dimensionnelleest l’outil qui va permettre la connaissance de cette géométrie, c’est pour-quoi elle doit être maîtrisée par tous les acteurs (opérateurs, techniciens,ingénieurs) du génie mécanique.L’ouvrage proposé a été bâti à partir des cours de métrologie dimension-nelle dispensés aux étudiants de génie mécanique de l’École nationaled’ingénieurs de Saint-Étienne dans le but de les amener à comprendreque les moyens techniques mis en œuvre avec succès par les métrolo-gues des différentes entreprises de la mécanique ont toujours commepoint de départ, même si les habitudes et l’habileté professionnelle desopérateurs font que cela est très souvent inconscient, une modélisationgéométrique d’éléments réels et que de la pertinence de cette modélisationdépendra la précision avec laquelle cette géométrie sera connue.L’objectif visé est de relier aussi simplement et aussi clairement quepossible les pratiques de la mesure dimensionnelle avec les théories qui ensont à l’origine et qui les régissent, chacun pouvant aborder l’ouvrage

Avant-propos

2

par la notion qui lui est la plus familière. D’où les différentes partiesproposées et la succession de celles-ci : Pourquoi la métrologie dimen-sionnelle ? La mesure des longueurs et l’incertitude sur cette mesure,l’écriture et la lecture des spécifications, les méthodes d’association, lamétrologie tridimensionnelle, la caractérisation des états de surface et lamétrologie des machines-outils.L’intérêt que pourrait présenter un tel ouvrage m’est apparu en consta-tant que les impératifs de la formation actuelle ne permettent plus auxétudiants, techniciens, techniciens supérieurs, ingénieurs et même à ceuxde la formation continue, d’aborder leurs études avec une culture techno-logique suffisante pour comprendre le fonctionnement des moyens demesure et de contrôle performants qu’ils sont appelés à mettre en œuvre.Naturellement, c’est avec plaisir que je verrais mes collègues enseignantsintéressés utiliser cet ouvrage comme support à leurs cours si cela peut lesaider dans leur travail. En espérant qu’au moins une partie de l’objectifenvisagé sera atteinte, c’est avec beaucoup d’intérêt que je recevrai toutesles remarques et les suggestions que cet ouvrage fera apparaître.

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1 • GÉNÉRALITÉS SUR LAMÉTROLOGIE DIMENSIONNELLE

1.1 Pourquoi la métrologie dimensionnelle en génie mécanique ?

Le génie industriel a pour objet la mise en œuvre de tous les moyenspermettant l’obtention de produits dans un domaine industriel donné.Le génie mécanique a donc pour but la conception, la production et lecontrôle de produits et de biens d’équipement dans le domaine de lamécanique au sens le plus large du terme (automobile, machines-outils,aéronautique, électroménager, instrumentation médicale, etc.)La métrologie étant la discipline qui consiste à mesurer des grandeursphysiques (toutes les grandeurs physiques sont mesurables), on rappelleque mesurer une grandeur c’est comparer cette grandeur avec une autrearbitrairement choisie comme étalon. La métrologie dimensionnelle estdonc la discipline qui traite du domaine de la mesure des longueurs.Tout produit mécanique quel qu’il soit est constitué par l’assemblaged’un certain nombre d’objets élémentaires (vis, bille, carter, pignon…) quel’on appelle couramment pièces. Chacune de ces pièces est conçue defaçon à remplir un certain nombre de fonctions et ceci dans des domainesextrêmement variés.– La mécanique : transmission d’efforts, résistance aux contraintes…– La physique : conductivité thermique ou électrique, masse, couleur…

1 • Généralités sur lamétrologie dimensionnelle

4

1.2 Quelques notions de base concernantla caractérisation géométrique des produits

– La chimie : comportement vis-à-vis de l’environnement…– La production : contraintes de fabrication…– L’économie : coût, disponibilité des matières premières…– L’esthétique : aspect…– L’usage : facilité d’utilisation…

Afin d’obtenir un objet capable de remplir au mieux ces différentes fonc-tions, le concepteur va pouvoir agir dans deux domaines principaux :– Les matériaux : en quoi sera réalisé l’objet (métal, polymère, céramique,

matériau composite…) ?– La géométrie : quelles seront les formes et les dimensions à donner à

cet objet ?

Naturellement, les deux paramètres ne sont pas forcément indépen-dants. Par exemple si l’on doit concevoir un câble devant supporter unecertaine charge, la section de ce câble dépendra directement du maté-riau choisi pour sa réalisation (chanvre, acier, nylon). Par contre salongueur dépendra uniquement du déplacement que l’on doit fairesubir à la charge.L’étude des matériaux fait partie intégrante de la formation des ingé-nieurs et des techniciens et elle ne sera pas abordée dans cet ouvrage.Par contre, nous imaginons sans difficulté le besoin pour l’ingénieur enmécanique d’être capable de définir, de caractériser, de réaliser et demesurer la géométrie des produits fabriqués. La métrologie dimension-nelle va lui permettre de connaître et de mettre en œuvre les moyensd’assurer cette caractérisation et cette vérification.

1.2 Quelques notions de base concernant la caractérisation géométrique des produits

Un objet quelconque est donc un volume de matière limité par une ouplusieurs surfaces. Cet objet ne nous est accessible, visuellement outactilement, que par l’intermédiaire de la ou des surfaces qui le limite.


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De même, ce sont les surfaces d’une pièce mécanique, et elles seules,qui sont le siège des transmissions de forces et de mouvements, ainsique des transferts de flux électrique ou thermique, ce sont d’elles dontdépendent en grande partie les qualités optiques ou biomécaniquesd’un objet. Enfin, c’est en générant des surfaces de géométries parti-culières, par formage ou par enlèvement de matière, que le fabriquantva donner naissance à l’objet désiré. On comprend donc bien la néces-sité absolue pour le mécanicien de maîtriser parfaitement cet élémentgéométrique essentiel qu’est une surface.

1.2.1 Définition d’une surface

Une surface réelle, qui peut être définie comme étant la séparation entredeux milieux, la matière constituant l’objet considéré et son environne-ment, généralement de l’air, est en réalité une zone extrêmementcomplexe dans laquelle se déroulent un grand nombre de phénomènesphysico-chimiques [1.1] qu’il est donc très difficile de détecter avecprécision (voir figure 1.1). Prenons par exemple la surface constituéepar le plateau d’une table en bois. Pour des raisons fonctionnelles, cettesurface, donc la séparation entre le bois de la table et l’air ambiant,devrait être un plan. Dans la réalité, tous les points appartenant à cettesurface réelle ne se situeront pas dans un plan, à grande échelle (défor-mations du plateau) ou à petite échelle, rappelons que le bois est unmatériau composite formé de fibres de cellulose noyées dans unematrice de lignine et d’hémicellulose d’où la présence inévitable d’irré-gularités aux jonctions entre ces différents constituants. De plus, le boisdu plateau ne sera pas directement en contact avec l’air ambiant mais ilsera revêtu, volontairement ou involontairement, de polluants, d’enduitsde protection, de produits d’entretien, etc. On notera également que l’étatde la surface va évoluer dans le temps (déformations, rayures, coupures,piqûres, poussières, salissures, taches, nettoyage, entretien…). Ainsi onimagine bien à travers cet exemple simple la complexité que va présenterl’étude des surfaces réelles et notamment en ce qui nous intéresse deleur géométrie.


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Dans ce qui va suivre, nous choisirons une définition purement géomé-trique pour caractériser une surface, celle-ci sera le lieu d’un point sedéplaçant de façon continue dans l’espace. La trajectoire de ce pointpermettant de caractériser la forme de la surface. Par exemple, si ledéplacement d’un point P dans un référentiel orthonormé est tel queses coordonnées obéissent toujours à la fonction xP

2 + yP2 + zP

2 = R2, lasurface décrite par ce point sera une sphère parfaite de rayon R centréesur l’origine. On notera qu’une surface géométrique n’a pas d’existenceréelle et qu’on peut simplement savoir si un point de l’espace se situesur la surface théorique ou bien s’il se trouve d’un coté ou de l’autre et àquelle distance de celle-ci. Dans l’exemple considéré, un point M decoordonnées xM, yM, zM se situera du côté de la concavité de la sphère sixM

2 + yM2 + zM

2 < R2 ou du côté de sa convexité si xM2 + yM

2 + zM2

> R2.

1.2.2 Surface théorique

Pour des raisons fonctionnelles, le concepteur va déterminer la formeque devrait théoriquement présenter une surface pour que son compor-tement en service donne pleinement satisfaction à l’utilisateur. Cetteforme théorique peut être simple (plane, sphérique, cylindrique, coni-que) plus ou moins complexe (torique, hélicoïdale, de révolution, surfaceréglée…) ou totalement quelconque (élément de carrosserie, pale d’hélice,

Figure 1.1 – Coupe imagée d’une surface métallique (échelle non respectée).

3 nm 10 nm 10 µm

ContaminantsOxydes, nitrures Couche écrouie

Structure polycristalline


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aube de turbine, objet d’art…). On a précédemment défini cette formeidéale comme le lieu géométrique sur lequel doit se trouver l’infinité despoints qui constituent cette surface. Selon ce que l’on connaît de cetteforme théorique, on pourra considérer deux cas généraux permettant dela définir.Les surfaces pour lesquelles il sera possible de trouver une fonctioncontinue représentant le lieu théorique des points de la surface. Dans ce casc’est l’expression de cette fonction qui caractérisera la géométrie idéale de lasurface considérée. Par exemple si les coordonnées d’un point Mthappartenant à une surface S satisfont à une équation de la forme :a ◊xMth + b ◊yMth + c ◊zMth – d = 0 dans un référentiel orthonormé(O, 1x, 1y, 1z ) que l’on appellera référentiel de définition, le lieu de ce pointMth lors de la variation de x, y et z est un plan.Les surfaces à propos desquelles on connaîtra seulement la positiond’un certain nombre de points particuliers. Dans ce cas, il s’agira de ceque l’on appelle des surfaces numérisées, c’est-à-dire que leur définitionse présentera sous la forme du fichier d’un nombre fini n de points donton exprimera les coordonnées dans le référentiel de définition. Trèssouvent, on ajoutera une information supplémentaire, l’orientationthéorique de l’élément de surface entourant chacun des points définis.Cette orientation est généralement caractérisée par les cosinus direc-teurs de la normale extérieure à cet élément de surface (voir figure 1.2).

Figure 1.2 – Numérisation d’un point Mthi d’une surface.

ui

ni = vi

wi

x

z

xiy

yi

ziMthi

O


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Par exemple la définition numérique de la surface S dans (O, 1x, 1y, 1z ) seraexprimée par :

(O, 1x, 1y, 1z )

Le principal inconvénient que présente ce type de définition est quel’on ne connaît pas la position que devraient occuper des points appar-tenant à la surface et qui seraient situés entre les n points caractéristi-ques. On sait bien sûr qu’il existe des outils de lissage courammentemployés en CAO [1.2] qui permettant d’obtenir une continuité dela surface. Le problème est que, suivant l’outil de lissage choisi, lessurfaces théoriques seront légèrement différentes les unes des autrespour des mêmes points caractéristiques.Quoi qu’il en soit on voit que, d’une façon plus ou moins rigoureuse, ilsera toujours possible d’indiquer quelle devrait être la géométrie théoriqued’une surface donnée.

m 1.2.3 Surface réelle

Le fabricant va s’efforcer de réaliser les surfaces théoriques demandées enutilisant des moyens appropriés ; ces moyens dépendront notamment, dela nature et des dimensions de la surface à obtenir, des matériaux quisupportent celle-ci, des équipements industriels disponibles, du savoir-faire local ou des conditions économiques du moment. Malgré tout lesoin apporté par le fabricant, une surface réelle sera toujours une surfacede forme quelconque qui se rapprochera plus ou moins de la surfacethéorique souhaitée. À ce stade il est très important d’introduire la notion

1 x1 y1 z1 u1 v1 w1

2 x2 y2 z2 u2 v2 w2

· · · · · · ·· · · · · · ·i xi yi zi ui vi wi

· · · · · · ·· · · · · · ·n xn yn zn un vn wn


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d’échelle, c’est-à-dire que même si une surface réelle nous apparaît commeétant géométriquement parfaite, il existera toujours une échelle d’obser-vation qui nous permettrait d’y déceler des irrégularités.Imaginons par exemple la surface limitant un monocristal de fer àtempérature ambiante. Cette surface représente ce que l’on peut théori-quement réaliser de mieux sur ce métal même si sa réalisation pratiqueest extrêmement difficile. Si cette surface était scrupuleusement nettoyée,c’est-à-dire rigoureusement débarrassée de toute impureté ou polluant, ellesemblerait à échelle humaine être un plan parfait. Un examen à échellenanométrique la ferait pourtant apparaître comme une juxtapositionrégulière de sphères (ces sphères modélisant les couches externes decirculation des électrons autour du noyau de l’atome de fer) positionnéesaux sommets des mailles de cristallisation [1.3], figure 1.3.

Les mécaniciens ont l’habitude de ranger arbitrairement les irrégularitésdes surfaces réelles selon six ordres. Les quatre premiers sont purementgéométriques, ce sont eux que la métrologie dimensionnelle nouspermettra de quantifier. Les deux derniers ordres sont de type physico-chimique (arrangements de grains, déformations cristallographiques…)et seront donc caractérisés par l’étude des matériaux [1.4].

1.2.4 Surface extraite

Si l’on veut caractériser une surface réelle, il faut naturellement dans unpremier temps récupérer une information relative à cette surface, c’est

Figure 1.3 – Aspect théorique de la surface d’un monocristal de fer.

0,287 nm r = 0,126 nm


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cette information que l’on appelle l’élément extrait. Dans la réalitél’information obtenue sera toujours partielle, ce qui veut dire que selonla nature et le volume de cette information on pourra avoir des connais-sances différentes d’un même élément réel. C’est la raison pour laquelle ilfaudra choisir avec soin les moyens les mieux adaptés à ce que l’on veutsavoir d’un élément géométrique réel. En pratique, une surface extraitese traduira par un certain nombre n de points Mr appartenant à lasurface réelle et dont on connaîtra les coordonnées dans un référentielappelé référentiel de mesure. Bien entendu, pour un même élémentgéométrique, plus n sera grand plus l’information dont on disposerasera complète. La figure 1.4 représente un élément extrait d’une surfacethéoriquement plane mesurée dans le référentiel (O, 1x, 1y, 1z ). Cet élémentextrait est un nuage de n points Mri appartenant à la surface réelle et donton a mesuré les coordonnées dans le référentiel de mesure.

1.2.5 Surface associée

Après récupération de l’information il va être nécessaire de la traiter. Àcet effet nous allons introduire un nouveau type d’élément géométrique :l’élément associé. On appelle élément associé à un élément réel (ou plusexactement à l’élément extrait qui est la seule information dont on

Figure 1.4 – Élément extrait d’une surface théoriquement plane.

O x

y

z

Mri

Mr i = (xi, yi,zi)


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dispose relativement à cet élément réel) un élément théorique, de lanature souhaitée, et qui est placé de telle façon qu’il rende compte lemieux possible de cet élément réel. Cette définition peut apparaîtrecomme insatisfaisante mais nous nous en contenterons pour l’instant.Par la suite, nous verrons quelques méthodes pratiques permettant deréaliser cette association. La figure 1.5 montre un plan associé à l’élémentextrait précédemment mesuré. Ce plan va traverser le nuage de points defaçon à en modéliser la position le plus fidèlement possible. On pourraitalors connaître, si le besoin s’en faisait sentir, son équation dans le réfé-rentiel de mesure.

1.2.6 Écarts et défauts

Il devient alors possible de calculer la distance entre chacun des n pointsMri constituant l’élément extrait et l’élément qui leur est associé, dansnotre cas le plan P [1.6]. On appelle ces distances des écarts (figure 1.6).On relèvera donc le même nombre d’écarts que de points constituantl’élément extrait. Après avoir arbitrairement choisi un sens positif(conventionnellement on prend le sens positif sortant de la matière), onnotera un certain nombre d’écarts positifs et un certain nombre d’écartsnégatifs (figure 1.7).

Figure 1.5 – plan associé à un élément extrait.

O x

y

zPlan P associé au nuage de points Mri


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On appellera défaut de forme de l’élément considéré (ici un défaut deplanéité) la grandeur égale à la somme de l’écart positif maximum et de lavaleur absolue de l’écart négatif maximum. On voit qu’il est ainsi possiblede chiffrer le défaut de forme d’une surface réelle par une valeur numériqueanalogue à une longueur. La métrologie dimensionnelle peut donc nouspermettre de caractériser la forme géométrique des surfaces et bien sûr,plus le défaut de forme sera petit plus la surface réelle s’approchera de lasurface théorique.

Figure 1.6 – Calcul de l’écart entre un point Mri et un plan P.

Figure 1.7 – Chaque point Mri possède un écart par rapport à l’élément associé.

Mri = (x i , yi, z i)

Équation du plan P

e = (OMri . ni) – d

a.x + b.y +c.z + d = 0

ni, vecteur unitaire normal au plan P de composantes : a, b, c

O x

y

z

d

Mr i

n

Hi

P

e

Plan P

O x

y

z

Écart positifpoint Mri au-dessus de P

Écart négatif

point Mri au dessous de P


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1.3 Mesure et contrôle©

Dun

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est

un

délit

.

1.2.7 Surface spécifiée

Le concepteur, sachant que l’élément réel fabriqué sera différent del’élément théorique souhaité, va déterminer expérimentalement ou parle calcul les valeurs maximales que pourront prendre les défauts de celui-ciafin que la surface réelle puisse tout de même remplir la fonction désirée.Ce sont ces valeurs maximales admissibles que l’on appelle les tolérancesde forme [1.7] qui seront spécifiées sur les dessins de définition.

1.3 Mesure et contrôleMême si les termes mesure et contrôle sont souvent associés dans lemilieu industriel, il devient maintenant important de bien préciser ladifférence entre les deux mots. Dans le cas de la mesure, on veut connaîtreavec une précision plus ou moins grande les valeurs numériques caracté-risant un élément géométrique, son diamètre, sa longueur ou son épaisseur,son défaut de forme ou son défaut de position (voir figure 1.9). Dansle cas du contrôle de cet élément on ne cherche absolument pas àconnaître les valeurs numériques caractérisant cet élément, on désiresimplement savoir si celles-ci sont situées à l’intérieur des zones de tolé-rances prescrites par le concepteur. Pour cette opération on pourra secontenter d’utiliser des calibres à dimensions fixes (jauges, tamponslisses doubles, calibres à mâchoires, etc.) d’une utilisation simple et rapide,figure 1.10.

Figure 1.8 – Exemple de l’indication d’une spécification de forme.

0,08


14

1.3 Mesure et contrôle

Bien entendu, il peut être nécessaire de réaliser des mesures en dehorsde toute notion de contrôle : on veut connaître avec plus ou moins deprécision les valeurs de certaines caractéristiques. Il peut également êtrenécessaire de contrôler des dimensions sans avoir besoin de connaîtreleurs grandeurs exactes, on veut simplement savoir si les « cotes sontbonnes ». Mais il peut également arriver que l’on pratique des mesures

Figure 1.9 – Mesure du diamètre d’un cylindre à l’aide d’un micromètre.

Figure 1.10 – Contrôle du diamètre du cylindre à l’aide d’un calibre à mâchoires.


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1.4 Bibliographie©

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afin de s’assurer que les grandeurs mesurées sont comprises à l’intérieurdes limites fixées par les spécifications demandées, c’est ce que l’onappelle le contrôle par mesures.

1.4 Bibliographie[1.1] Frottement usure et lubrification, J.-M. GEORGES, Eyrolles, CNRS

Éditions, 2000, p. 133 à 152.[1.2] Fabrication par usinage, J.-P. CORDEBOIS et coll., Industrie et techno-

logie, Dunod, 2003, p. 147 à 166.[1.3] Métallurgie. Tome 1 : alliages métalliques, C. Chaussin, G. HILLY,

Dunod, 1978.[1.4] ISO 4287, Spécification géométrique des produits (GPS). État de

surface : Méthode du profil. Termes, définitions et paramètres d’étatde surface, AFNOR, 2002.

[1.5] ISO 14660-1, Spécifications géométriques des produits (GPS).Éléments géométriques. Partie 1 : termes généraux et définitions,AFNOR 1999.

[1.6] Mathématiques, géométrie cours et exercices, A. WARUSFEL,P. ATTALI, M. COLLET, C. GAUTIER, S. NICOLAS, Vuibert, 2002.

[1.7] NF E 04-552, Tolérancement géométrique, Généralités, définitions,symboles, indications sur les dessins, AFNOR, 2002.

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2 • MESURE DES LONGUEURS

2.1 Le mètre étalon2.1.1 Bref historique

Comme nous l’avons rappelé dans le chapitre précédent, mesurer c’estcomparer une grandeur physique avec une autre grandeur arbitrairementchoisie comme étalon. Dans le système métrique, unanimement adoptédans le monde à l’exception de trois pays, les États-Unis, le Liberia etl’Union du Myanmar (ex-Birmanie), l’unité de longueur utilisée est lemètre. L’expérience douloureuse qu’a représentée pour les Américainsen 1999 la perte de la sonde Mars Climate Orbiter suite à une incompré-hension entre deux équipes d’ingénieurs, l’une ayant employé les unitésanglaises l’autre les unités du système métrique, illustre de façon spectacu-laire la nécessité de disposer d’un système d’étalons commun à tous lesacteurs de la vie industrielle et commerciale. La longueur du mètre à étéadoptée officiellement pour la première fois en 1795 par la Conventioncomme étant égale à la dix-millionième partie du quart du méridien terres-tre. Cette définition comporte deux qualités fondamentales pour un étalon,son invariance dans le temps et son invariance dans l’espace.Avant cette date chaque pays, chaque province, chaque ville, voire chaquecorporation, disposait de ses propres unités de mesure de longueur, perche,coudée, pied, toise… mais aussi de volume ou de masse [2.1] si bienque lors des transactions commerciales une des deux parties au moinsavait la très nette impression d’avoir été flouée. On peut d’ailleurs rappelerque la création d’un système unique des poids et mesures était l’une des

2 • Mesure des longueurs

18

2.1 Le mètre étalon

principales revendications des fameux cahiers de doléances prélude à larévolution de 1789. Faute d’une base indiscutable, toutes les tentativesd’unification précédentes furent vouées à l’échec. C’est alors qu’en 1790,la Convention s’adressa à l’Académie royale des sciences de Paris afind’établir le nouvel étalon de longueur sur une base rigoureusement scien-tifique, parfaitement reproductible et acceptable par tous. La longueurd’un pendule battant la seconde, la longueur de l’équateur ou celle d’unméridien terrestre furent les propositions le plus souvent évoquées. Lechoix d’une fraction de méridien fut la solution choisie pour des raisonsessentiellement scientifiques et pratiques. En effet la solution du penduleaurait nécessité de mesurer très rigoureusement la seconde et n’aurait pusatisfaire à la condition d’universalité dans l’espace (la fréquence d’oscilla-tion d’un pendule dépend essentiellement de sa longueur et de l’attractionterrestre, or on sait que celle-ci varie en fonction de la latitude) quant àla mesure de l’équateur elle était très difficilement réalisable à l’époque. Cesont là les deux principales raisons qui expliquent le choix du méridien.

Contrairement aux idées reçues, à l’époque on savait depuis très long-temps que la terre était sphérique et on avait une bonne estimation deson périmètre. La première mesure connue fut réalisée en 250 avant Jésus-Christ par Érastostène à Alexandrie. Depuis le milieu du XVIIIe siècle, onconnaissait le léger aplatissement du globe et des mesures plus précisesavaient déjà été effectuées (Cassini, La Caille). La mesure officielle futréalisée par deux éminents astronomes, Delambre et Méchain de 1792à 1798 le long du méridien de Paris entre Dunkerque et Barcelone (lafameuse méridienne verte). La méthode employée fut la triangulation,méthode très couramment utilisée en topographie, qui est basée sur leprincipe géométrique bien connu selon lequel, dans un triangle quel-conque si l’on connaît un côté et les trois angles au sommet on peutdéterminer la longueur des deux autres cotés, figure 2.1.

Après la construction d’une chaîne de triangles dont les sommetsétaient des points géodésiques remarquables (dôme du Panthéon, tourde Montléry…) et la mesure des angles aux sommets de ces triangles, ilsuffit alors de mesurer le côté d’un seul des triangles (la base) pourpouvoir calculer les côtés de tous les autres triangles. Dans la réalité, deux


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2.1 Le mètre étalon©

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bases furent mesurées afin de permettre de corréler les résultats obtenus.Des calculs de géométrie sphérique permirent ensuite de relier leslongueurs des côtés des triangles avec la longueur de l’arc du méridienmesuré [2.2] [2.3].

En 1795, la Convention fit donc adopter la définition de la longueur dumètre étalon à partir de la mesure d’un méridien terrestre.

En 1889, la conférence des poids et mesures de Paris le définit commeétant la distance entre deux traits gravés sur le prototype en platineiridié déposé au pavillon de Breteuil à Sèvres. La loi du 11 juillet 1903précisa que le mètre était la distance moyenne entre les deux traits tracéssur l’étalon mesurée à une température de 0 oC.

En 1960, le mètre fut défini comme étant égal à 1 650 763,73 fois lalongueur d’onde dans le vide de la radiation correspondant à la transitionentre les niveaux 2p10 et 5d5 de l’atome de krypton 86.

Enfin, depuis 1983, la définition officielle est la suivante : le mètre est lalongueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une duréede 1/299792458 seconde. Cette dernière définition possède l’avantage derelier la longueur de l’étalon à une constante fondamentale de la physique,la vitesse de la lumière dans le vide. Elle nécessite cependant de savoirdéfinir avec une très grande précision la durée de la seconde ce qui estactuellement réalisable par l’intermédiaire des horloges atomiques.

À noter que les définitions légales successives de la longueur du mètren’ont jamais altéré la valeur de celle-ci ; elles n’ont eu pour but que derendre l’accessibilité à cette grandeur de référence plus sûre et plus précise.

Figure 2.1 – Relations trigonométriques dans le triangle quelconque.

A

CB a

bcC

cB

bA

asinsinsin

==


20


2.1.2 Les étalons de longueur

m L’étalon primaire

À partir du mètre théorique, dix millionième partie du quart du méridienterrestre, il fallut bien établir un mètre pratique de façon à ce que les utili-sateurs puissent s’y référer. En 1799, le mètre étalon prit la forme d’unerègle de platine (métal considéré à l’époque comme indestructible) desection rectangulaire (25,3 mm par 4 mm) dont les extrémités étaientdistantes l’une de l’autre d’un mètre à 0,001 pour cent près. Ce premierétalon de longueur fut conservé aux Archives nationales et c’est à partir decet étalon primaire que, pour généraliser l’emploi du système métrique,furent fabriqués les étalons de marbre que l’on scella en de nombreuxendroits sur les murs de la ville de Paris et des villes de province (il resteun exemplaire de l’un d’entre eux rue de Vaugirard à Paris).

Avec le développement des moyens de comparaison, la qualité du mètreétalon des archives se révéla insuffisante : on ne pouvait guère en espérerune précision meilleure que le centième de millimètre. Une commissioninternationale fut donc réunie en 1869 pour remédier à cet inconvé-nient. C’est suite aux travaux de cette commission que naquit en 1889 lefameux prototype en platine iridié déposé au pavillon des poids et mesuresde Breteuil à Sèvres et qui fut en vigueur jusqu’en 1960. Ce prototypepossédait une section en X, profil de Tresca, qui présentait l’avantage deconserver une rigidité optimale (figure 2.2). La distance comprise entredeux traits gravés sur deux petites aires soigneusement polies situées surla fibre neutre près de chacune des extrémités, mesurée à une températurede 0˚C, représentait la longueur exacte du mètre étalon.

Figure 2.2 – Profil du mètre étalon du pavillon de Breteuil.

Fibre neutre


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La définition de 1889 présentait l’inconvénient de se rapporter à unobjet unique susceptible d’être perdu ou endommagé, il apparut alorsnécessaire de recourir à une longueur reproductible de façon rigoureuseà n’importe quel endroit (retour à la philosophie du départ qui avaitconduit à rechercher une référence universelle et permanente).

Le développement des connaissances en physique amena certainssavants à émettre l’idée que la longueur d’onde λ d’une radiation lumi-neuse pouvait fournir un étalon de longueur d’une précision remarqua-ble. C’est ainsi qu’on arriva à la définition de 1960 qui matérialisait lalongueur du mètre étalon par l’intermédiaire de la mesure de la longueurd’une onde électromagnétique.

La détermination de la vitesse de la lumière dans le vide c, considéréecomme une constante universelle de la physique et l’apparition deslasers, excellentes sources de radiations monochromatiques, amenèrentles scientifiques à établir en 1983 la matérialisation de la longueur dumètre étalon à partir de cette vitesse de la lumière dans le vide. Un desavantages principaux de cette définition est qu’elle permet de matérialiser lalongueur de l’étalon de longueur à partir de toute source lumineusedont on peut connaître et stabiliser la fréquence d’émission f, (on

rappelle que ) [2.4].

Le BNM (Bureau national de la métrologie) est l’organisme chargé enFrance de la conservation des étalons primaires et donc de celle du mètreétalon. Il utilise généralement pour reproduire celui-ci la radiation émisepar un laser convenablement asservi en fréquence.

m Multiples et sous-multiples du mètre

Par opposition aux nombreux systèmes préexistants, le système métriqueprésente l’avantage supplémentaire d’être un système décimal, c’est-à-dire qu’il est toujours possible d’employer comme unités de mesure delongueur les multiples ou les sous-multiples du mètre d’une façon parfaite-ment légale tout en restant dans le système métrique, tableau 2.1 [2.5][2.6].

λ cf--=


22


m Les étalons de travail

L’opérateur chargé d’effectuer une mesure dimensionnelle dans unatelier de production ou dans un laboratoire de métrologie va utiliserpour réaliser cette mesure des étalons de longueur dit étalons de travail.On distingue généralement les étalons de travail à traits (réglets, piedsà coulisse, micromètres, règles optiques…) et les étalons de travail àbouts (cales étalons, piges, bagues, broches…), figure 2.3. Ces étalons lorsde leur acquisition doivent être accompagnés d’un certificat délivré par leBNM, ou par un organisme habilité, qui définit leurs caractéristiquesexactes par rapport à l’étalon primaire.

Tableau 2.1 – Principaux multiples et sous-multiples du mètre.

10n Nom Symbole Nombre En m

1015 Pétamètre Pm Billiard 1 000 000 000 000 000

1012 Téramètre Tm Billion 1 000 000 000 000

109 Gigamètre Gm Milliard 1 000 000 000

106 Mégamètre Mm Million 1 000 000

103 Kilomètre km Mille 1 000

102 Hectomètre hm Cent 100

101 Décamètre dm Dix 10

100 Mètre m Un 1

10–1 Décimètre dm Dixième 0,1

10–2 Centimètre cm Centième 0,01

10–3 millimètre mm Millième 0,001

10–6 micromètre µm Millionième 0,000 001

10–9 nanomètre nm Milliardième 0,000 000 001

10–12 picomètre pm Billionième 0,000 000 000 001

10–15 femtomètre fm Billiardième 0,000 000 000 000 001


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Par exemple une cale-étalon (étalon à bouts fréquemment utilisé par lesmécaniciens) se présente sous la forme d’un prisme de bonne qualitégéométrique réalisé dans un matériau dur résistant à l’usure (aciertraité, carbure, quartz, céramique…) dont les deux faces fonctionnellessont considérées comme étant parfaitement planes et parallèles entreelles. Ce qui signifie que tous les points appartenant à la face supérieuredevraient être à égale distance de la face inférieure. Cette distance corres-pond à la valeur marquée sur la cale, 20 mm dans l’exemple représentépar la figure 2.4.

Naturellement, la cale réelle n’est pas parfaite, c’est-à-dire que les facesinférieures et supérieures ne seront ni rigoureusement planes ni parfai-tement parallèles, entre elles, et donc que les dimensions de la caleseront différentes selon l’endroit où elles seront mesurées. La normalisationactuellement en vigueur [2.7] range les cales étalons dans quatre classesd’étalonnage suivant les défauts mesurés sur celles-ci, la figure 2.5 et le

Figure 2.3 – Étalons à bouts (à gauche) et étalons à traits (à droite).

Figure 2.4 – Cale étalon de 20 mm.

20


24


tableau correspondant 2.2 illustrent ce classement pour une cale-étalonde 20 mm.

Normalement, tous les instruments et tous les étalons destinés à lamesure dimensionnelle sont pareillement classés par la normalisation, sibien que lorsque l’on fait l’acquisition de l’un d’entre eux, on sait exac-tement quelles sont ses caractéristiques et quelles performances on doiten attendre.

m La chaîne d’étalonnage

Pour être recevable et pour pouvoir valablement être comparée à lamême mesure effectuée sur un site différent, toute mesure doit donc seréférer à l’étalon primaire du BNM. Les certificats établis par des orga-nismes agréés ou habilités qui sont obligatoirement joints aux étalons etaux matériels de mesure attestent de la conformité de ceux-ci aumoment de leur acquisition. Cependant, une utilisation plus ou moins

Tableau 2.2 – Exemple de classe d’étalonnage pour une cale-étalon de 20 mm.

Longueur nominale

en mm

Classe K Classe 0 Classe 1 Classe 2

te µm tv µm te µm tv µm te µm tv µm te µm tv µm

20 0,3 0,05 0,14 0,1 0,3 0,16 0,6 0,3

Figure 2.5 – Géométrie réelle d’une cale-étalon de 20 mm.

lc est la longueur mesurée au milieu de la cale

20 lc

te

te tv


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intensive dans des conditions plus ou moins bonnes peut provoquerune dégradation des caractéristiques géométriques des étalons de travailet donc de leurs dimensions, d’où une nécessaire requalification de ceux-ci au cours de leur existence. C’est le rôle de la chaîne d’étalonnage quipermettra de relier n’importe quel étalon de travail à l’étalon universelpar l’intermédiaire des services de métrologie habilités et des centresagréés par le BNM (figure 2.6).

2.1.3 Gestion des appareils de mesure et de contrôle

Il est donc absolument indispensable pour toutes les entreprises indus-trielles de connaître à chaque instant l’état des appareils et des étalonsutilisés dans leurs opérations de mesure ou de contrôle afin de pouvoirdéterminer si leurs caractéristiques se sont dégradées dans le temps etcomment leurs performances ont évolué. C’est pourquoi elles devrontimpérativement mettre en place un système de gestion de ceux-ci.

Figure 2.6 – Chaîne d’étalonnage.

ENTREPRISES INDUSTRIELLES OU LABORATOIRES

LABORATOIRE PRIMAIRE du BNM

CENTRE D’ÉTALONNAGE AGRÉE

SERVICES DE MÉTROLOGIE

HABILITÉS

Conservation et amélioration des étalons

Diffusion de la métrologie

Mesure et contrôle

Étalon primaire

Étalons de transfert

Étalons de travail


26


Quelles que soient les procédures en usage dans l’entreprise ce systèmecomporte toujours les deux étapes suivantes :

m Identification

À l’arrivée d’un nouvel équipement de mesure ou de contrôle dans l’entre-prise on procédera aux opérations suivantes :– Vérification de la conformité à la commande.– Existence et validité du certificat d’étalonnage.– Identification de l’équipement (marquage indélébile suivant les règles

en vigueur dans l’entreprise).– Introduction de l’appareillage dans l’inventaire des moyens métro-

logiques.– Établissement de la « fiche de vie de l’instrument ».

Établissement d’une fiche de vieLes fiches de vie, qu’elles soient papier ou informatisées, permettent deréaliser la traçabilité des équipements utilisés dans l’entreprise lors desopérations de mesure et de contrôle, elles doivent obligatoirementcomporter les éléments suivants :– Nom de l’entreprise.– Nom et caractéristiques de l’instrument.– Marque et type.– Identification de l’instrument.– Classe de l’instrument.– Identification du certificat d’étalonnage.– Date de mise en service.– Affectation de l’instrument.– Référence aux procédures d’entretien.– Périodicité des opérations d’entretien.– Références aux procédures d’étalonnage et de vérification.– Périodicité des opérations d’étalonnage ou de vérification.– Dates des interventions effectuées.


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2.2 Notion d’incertitude de mesure©

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– Résultats des interventions effectuées.– Dates des prochaines interventions à effectuer.

m Périodicité des vérifications ou des étalonnages

Selon le type d’appareil concerné, la normalisation en vigueur préconise unintervalle de temps entre deux étalonnages ou deux vérifications. Cetintervalle est donné en mois ou mieux en heures d’utilisation. Nousproposons plutôt de déterminer cet intervalle pour chaque appareil enfonction des conditions réelles d’utilisation de celui-ci, en considérant lesparamètres suivants :– La précision du travail qui lui est demandé, en appliquant une pondéra-

tion allant par exemple, de 1 pour la mesure la plus grossière à 5 pourla mesure la plus rigoureuse.

– La fréquence de son utilisation, avec une pondération s’étendant de 1pour une utilisation occasionnelle à 5 pour une utilisation trèsfréquente.

– Les conditions dans lesquelles il est employé, en pondérant de 1 si lesconditions sont idéales à 5 pour des conditions d’utilisation parti-culièrement contraignantes.

En faisant la somme des valeurs affectées à chacun de ces trois paramè-tres, il est alors possible d’attribuer à chaque moyen de mesure ou decontrôle un poids P, poids qui pourrait varier dans les conditions de notreexemple entre 3 et 15. La valeur de ce poids permet de fixer la périodi-cité des étalonnages ou des vérifications, ce qui donne par exemple :– lorsque P < 7 : étalonnage tous les ans.– lorsque 7 ≤ P < 12 : étalonnage tout six mois.– lorsque P ≥ 12 : étalonnage tous les trois mois.

2.2 Notion d’incertitude de mesure2.2.1 Erreur de mesure et incertitudeSi l’on considère la mesure d’une grandeur réelle R, le résultat brut decette mesure M (la valeur fournie par l’appareillage utilisé) sera toujoursentachée d’une erreur e. Pour se convaincre de la validité de cette affirma-


28

2.2 Notion d’incertitude de mesure

tion, il suffirait de demander à n personnes de mesurer de façon totale-ment indépendante une grandeur réelle R donnée, on constaterait alorsque l’on obtiendrait n résultats Mi différents, ce qui signifie qu’aux moinsn – 1 personnes ont commis une erreur en effectuant leur mesure. Lesraisons de ces erreurs proviennent essentiellement de l’imperfection desprocessus mis en œuvre pour réaliser les mesures (figure 2.7).

Nous aurons donc pour chaque mesure R = Mi – ei. La valeur del’erreur étant par définition inconnue, ceci entraîne que la valeur de lagrandeur réelle R est rigoureusement inaccessible. Par contre l’analysedes causes de l’erreur de mesure et des résultats des différentes mesuresréalisées peuvent nous permettre d’estimer une valeur d’étendue 2U,l’incertitude de la mesure (on appelle conventionnellement U l’incer-titude élargie) telle que nous ayons : (M – U) ≤ R ≤ (M + U) (voirfigure 2.8).Nous voyons donc que pour être exploitable, le résultat d’une mesuredoit impérativement comprendre les trois composantes suivantes :– Une valeur numérique chiffrant le résultat de la mesure.– L’indication de l’unité dans laquelle est exprimé ce résultat.– L’étendue U de l’incertitude élargie sur le résultat exprimé.

Il est donc fondamental de savoir d’où provient l’incertitude et commentévaluer son étendue, naturellement l’incertitude sera exprimée dans lamême unité que la grandeur observée.

Figure 2.7 – Représentation des erreurs de mesure.

Résultat de la mesure 1, M1



Grandeur réelle à mesurer R (inconnue)

erreur e1

erreur e2

erreur e3


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2.2.2 Origine de l’incertitude de mesure

Il ne faut surtout pas confondre les termes incertitude et erreur. Cepen-dant, c’est parce qu’une mesure est toujours entachée d’une erreur quel’on doit faire intervenir la notion d’incertitude afin de prendre encompte les effets de cette erreur sur le résultat. L’étendue de l’incertitudede mesure est donc directement fonction des causes qui sont à l’originedes erreurs de mesure. Elle dépend donc d’un très grand nombre deparamètres, parmi ceux-ci nous retiendrons essentiellement :

– L’environnement dans lequel la mesure a été réalisée (températureambiante, température des objets mesurés, degré hygrométrique del’air, pression atmosphérique, vibrations mécaniques, champs électro-magnétiques…). On pourra diminuer l’étendue de l’incertitude dueaux conditions de mesure par filtrage (régulation de la température,isolement électromagnétique, filtration des vibrations…) ou (et) enréalisant les corrections nécessaires à partir de la mesure des perturba-tions qui affectent la mesure et des lois physiques qui régissent leseffets dus à ces perturbations.

– Le soin apporté par l’opérateur, souvent négligé volontairement ouinvolontairement ; il est pourtant évident que le facteur humain estparticulièrement important lorsque l'on veut réaliser une mesureavec un bon niveau de confiance. On diminuera l’étendue de l’incer-

Figure 2.8 – Illustration de la nécessité d’utiliser l’incertitude de mesure.

Grandeur réelle à mesurer R (inconnue)

U

UU

U UMesure 1 M1

Mesure 2 M2

Mesure 3 M3

U


30


titude due à l’opérateur par une bonne formation de celui-ci et par lerespect des procédures de travail.

– Les performances de l’appareillage utilisé : naturellement l’incertitudesur une mesure dépendra directement des moyens matériels mis enœuvre pour la réaliser, par exemple elle ne sera pas la même si l’onmesure le diamètre d’un objet cylindrique avec un réglet, un pied àcoulisse ou un micromètre.

2.2.3 Part de l’incertitude résultant de l’appareillage utilisé

La partie de l’incertitude résultant des performances de l’appareillageutilisé afin d’effectuer une opération de mesure dépend elle aussi denombreux paramètres propres à la conception et à l’état de cet appa-reillage. Parmi ceux-ci, nous retiendrons essentiellement les trois suivantsqui sont probablement les plus influents même si l’on pourrait en releverun grand nombre d’autres.

m Résolution d’un appareil de mesure

Un appareil de mesure quel qu’il soit comporte toujours au moins uncapteur, c’est-à-dire un moyen permettant de comparer la grandeurmesurée avec la grandeur choisie comme étalon, et un afficheur quipermet à l’utilisateur de connaître le résultat de cette comparaison,l’affichage pouvant se présenter sous une forme numérique ou sous uneforme analogique. On appelle résolution d’un appareil de mesure laplus petite variation de la grandeur mesurée que l’afficheur et capablede faire apparaître. On conçoit facilement qu’il serait tout à fait impos-sible d’exprimer le résultat d’une mesure avec une incertitude inférieureà cette résolution. Bien sûr, dans le cas d’un affichage analogique,l’acuité visuelle de l’opérateur peut influencer le résultat de façon signi-ficative, mais pour des opérateurs aguerris ceci peut être considérécomme parfaitement négligeable. Prenons l’exemple d’un mesureur delongueur du type de celui qui est schématisé par la figure 2.9 : l’affi-cheur indique que la longueur à mesurer est comprise entre 16 mm et17 mm, dans ce cas on peut dire que le résultat de la mesure serait :


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longueur = 16,5 mm avec une incertitude élargie U égale à 0,5 mm ; unopérateur plus expérimenté proposerait plutôt comme résultat unelongueur de 16,75 mm avec une incertitude élargie U égale à 0,25 mm,naturellement on voit que les deux expressions ne sont absolument pascontradictoires.

Le système du vernier utilisé depuis longtemps sur de nombreux appa-reils de mesure (pieds à coulisse, rapporteurs, tambours gradués…) permetde réduire sensiblement la valeur de l’étendue de l’incertitude élargiesur le résultat d’une mesure exprimée par l’intermédiaire d’un afficheuranalogique. Le principe de fonctionnement d’un vernier consiste àdécouper l’intervalle compris entre deux traits de l’étalon en un certainnombre de parties égales, ce principe est rappelé sur les figures 2.10et 2.11.

Figure 2.9 – Schéma d’un mesureur de longueur.

Figure 2.10 – Structure d’un vernier au 1/10 mm.

Étalon à traits

0 10 20

Capteur Afficheur

Longueur à mesurer l

0 10 20

0 1

Vernier au 1/10 mm Pas de graduation = 0,9 mm

Règle étalon graduée en mm


32


Très souvent, on interpose un système de traitement de l’informationentre le capteur et l’afficheur. Le traitement que l’on va faire subirà l’information sera tout d’abord un filtrage, afin d’en éliminer lescomposantes parasites, mais surtout une amplification du signal reçuafin d’augmenter la résolution de l’appareil de mesure (figure 2.12).L’amplification d’une mesure permet donc d’améliorer parfois consi-dérablement la résolution d’un appareil. Pendant longtemps, des tech-nologies mécaniques (voir figure 2.13) ou pneumatiques ont été utiliséesavec succès, aujourd’hui les technologies électroniques sont de loin lesplus fréquemment employées à cet usage (voir figure 2.14).

Figure 2.11 – Principe de la mesure à l’aide d’un vernier au 1/10 mm.

Figure 2.12 – Structure générale de la plupart des appareils de mesure.

0

10 20 30

M

A B

C

0 10

7,163,623)9,0(7716 =−=→⋅−+=→++= MMCBAM

Capteur Filtrage Amplification

Affichage

Prise de l’information

Traitement de l’information


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m Justesse d’un appareil de mesure

Un appareil de mesure quel qu’il soit doit toujours être étalonné avantson utilisation. Concrètement, étalonner un appareil consiste à placer unegrandeur étalon, c’est-à-dire une grandeur considérée comme rigoureu-sement exacte, connue sous son capteur et à lui faire afficher la valeurde cette grandeur. Un appareil de mesure correctement utilisé est doncparfaitement juste à son point d’étalonnage. Cependant les mesuressont réalisées sur un certain intervalle que l’on appelle plage d’utilisationou course de l’appareil. Le problème consiste donc à savoir si l’équipe-ment de mesure reste juste dans la totalité de sa plage d’utilisation. On

Figure 2.13 – Appareil de mesure à amplification mécanique.

Figure 2.14 – Appareil de mesure à amplification électronique

Capteur

Afficheur

Capteur

Afficheur

Circuit électrique

Composantélectriquevariable


34


définira l’erreur de justesse instantanée eji comme étant égale à la valeuraffichée Mi moins la valeur vraie Ri de la grandeur mesurée

eji = Mi – Ri

Une façon simple et efficace permettant de mettre en évidence leserreurs de justesse d’un appareillage de mesure tout au long de sa courseconsiste à tracer sa courbe de justesse. La figure 2.15 représente la courbede justesse d’un comparateur, elle indique en ordonnées les valeurs luessur l’afficheur de l’appareil en fonction des valeurs réelles mesurées parcelui-ci. Les valeurs réelles portées en abscisses ont été obtenues à partir degrandeurs étalons (par exemple des cales étalons s’il s’agit d’un compa-rateur de longueur) considérées comme étant de dimensions parfaites. Onfera l’hypothèse que la variation de la justesse est linéaire entre deux pointsd’étalonnage successifs.

Figure 2.15 – Courbe de justesse d’un comparateur.

– 60

– 40

– 20

20

40

60

valeurs réelles

vale

urs

lues

Uj

0

– 60 – 40 – 20 0 20 40 60


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un

délit

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Cette courbe de justesse peut être utilisée pour corriger les résultatsd’une mesure, pour choisir la partie de la plage d’utilisation danslaquelle l’erreur de justesse est la plus faible, ou pour déterminer l’incer-titude globale Uj due à la non-justesse de l’appareil sur la totalité de lacourse étudiée.

m Fidélité d’un appareil de mesure

On dit qu’un appareil de mesure est parfaitement fidèle si lorsque l’onmesure n fois la même grandeur il donne n fois exactement le mêmerésultat. Si l’on veut mettre en évidence la non-fidélité d’un système demesure on va mesurer n fois la même grandeur avec l’appareil étudié etexaminer les résultats de ces n mesures.

Soit : xi le résultat d’une mesure, on écrira :

la moyenne arithmétique des n valeurs obtenues peut être considéréecomme un très bon estimateur de la valeur vraie de la grandeur mesurée(surtout si le nombre de mesures n est grand) on posera alors :

efi (erreur instantanée de fidélité pour une mesure i) = xi –

On obtiendra ainsi n erreurs instantanées de fidélité xi que l’on pourratraiter afin de déterminer une valeur vraisemblable de Uf, incertitudepropre de l’appareil due à sa non-fidélité. Il sera par exemple possibled’estimer cette incertitude par une des façons suivantes :

Uf = max

Uf = 3 σ = avec σ = écart type de la distribution des efi.

x 1n--- xi

1

n

∑=

x

x

Uf 1n--- efi

1

n

∑=

efi


36


Ces résultats sont bien entendu différents les uns des autres, maischacun résulte d’hypothèses particulières, certes discutables comme toutesles hypothèses, mais tout aussi acceptables les unes que les autres.

m Incertitude globale d’un appareil de mesure

À partir des remarques précédentes, nous voyons qu’il est possible de mettreen évidence de façon expérimentale les composantes principales del’incertitude d’un appareil de mesure. L’incertitude globale sur toutes lesmesures effectuées avec cet appareil sera une fonction de ces incertitudespartielles

Uglobale = f(Uenvironnement, Uopérateur, Urésolution, Ujustesse, Ufidélité)

La principale difficulté que présente cette écriture est la méconnaissancede la fonction qui relie les différentes composantes entre elles. Dans lechapitre 3 nous verrons de façon plus détaillée des moyens pratiquespermettant d’estimer efficacement la valeur des incertitudes et de lescombiner entre elles, ce qui pourra nous permettre de résoudre ceproblème de façon satisfaisante.À noter que la normalisation en vigueur, les organismes certificateurs,ainsi que certains donneurs d’ordre concernés, proposent des méthodesexpérimentales basées sur des outils statistiques et qui permettent d’estimerl’incertitude globale d’un instrument de mesure avec une très bonnecrédibilité.

2.2.4 Capabilité des appareils de mesure et de contrôle

m Capabilité d’un appareil de mesure

Un problème qui se pose fréquemment au responsable d’un labora-toire de métrologie ou d’un service de contrôle est de savoir sil’appareillage de mesure dont on envisage l’utilisation est apte à réaliserune mesure ou un contrôle donnés. Comme pour les équipements deproduction, il est possible de déterminer ce que l’on appelle la capabi-lité d’un appareil de mesure : cette capabilité s’obtient en comparantl’incertitude globale du système de mesure avec l’étendue de la tolérancesur la grandeur que l’on veut mesurer. Par exemple on voit clairement


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sur la figure 2.16 que l’appareillage de mesure en question sera capablede contrôler la grandeur considérée seulement si IT > 2 U. À partir decette constatation il possible de calculer, pour un appareillage de mesuredonné et pour une mesure particulière, ce que l’on appelle le coefficientde capabilité de l’appareil. Ce coefficient que l’on note Capp détermine

son aptitude à réaliser cette mesure, on l’obtient en posant : Capp = ,

naturellement l’appareillage sera estimé capable si Capp > 1. Longtempson a prétendu que cette valeur devait être égale à 10 (l’appareil de mesuredoit être dix fois plus précis que la tolérance sur la grandeur à mesurer,disait-on alors). Les normes actuelles traitant du contrôle industriel préco-nisent de choisir une valeur de 4 comme coefficient de capabilité. Quoiqu’il en soit, la seule chose importante est de connaître la valeur de cecoefficient afin de pouvoir déterminer les valeurs limites d’acceptationde la grandeur mesurée à partir des grandeurs limites admissibles.

Figure 2.16 – Capabilité d’un appareil de mesure dont l’incertitude élargie est U.

IT2U-------

IT Intervalle de tolérance

Limite d’acceptation mini

Limite d’acceptation maxi

Valeur mini admissible

Valeur maxiadmissible

U U


38


m Capabilité d’un appareil de contrôle

Ce qui vient d’être exposé à propos des appareils de mesure peut natu-rellement être appliqué au matériel utilisé lors des opérations decontrôle (calibres, tampons, jauges…). On conçoit aisément que si l’onconsidère, par exemple, le côté « n’entre pas » d’un calibre à mâchoiresdestiné à contrôler un arbre dont l’intervalle de tolérance est égal à IT,la tolérance IT¢ sur la dimension du calibre doit être nettement infé-rieure à IT (figure 2.17). La normalisation en vigueur préconise quepour un diamètre à contrôler de 60h7 (ce qui signifie une valeur de l’ITégale à 30 µm), l’intervalle de tolérance IT¢ sur la dimension « n’entrepas » du calibre soit de 4 µm, ce qui donne un coefficient de capabilité

égal à : = 7,5. Bien entendu on tiendra le même raisonnement lors-

que l’on considérera le côté « entre » du calibre.

Figure 2.17 – Capabilité d’un instrument de contrôle.

304------

I T

Valeur mini du diamètre à contrôler

Valeur maxi du diamètre à contrôler

DimensionCoté n’entre

pasdu calibre


39

2.3 Bibliographie©

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2.3 Bibliographie[2.1] Introduction à la métrologie historique, B. GARNIER, J.-C. HOCQUET,

D. WORONOFF, Economica, 1989.[2.2] Le mètre du monde, D. GUEDJ, Le seuil, 2000.[2.3] Mesurer le monde, K. ALDER, Flammarion, 2005.[2.4] Optique instrumentale, P. BOUCHAREINE, Les éditions de la physique,

1997, p. 237 à 306.[2.5] Étalons et unités de mesure, BNM, 1996.[2.6] Étalons et grandeurs, B. DUPONT, J.-P. TROTIGNON, Nathan, 1994.[2.7] ISO 3650 :1998. Spécification géométrique des produits (GPS),

Étalons de longueur, Cales étalons, AFNOR, 2002.[2.8] Métrologie dans l’entreprise, outil de la qualité, 2e édition, Mouvement

francais pour la qualité – AFNOR, 2003.[2.9] Vérification des produits et calibres lisses, M. VIAUD, J. LASNIER,

CETIM, 1992.

© D

unod

– L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

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st u

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lit.

41

3 • ESTIMATION DES INCERTITUDES

3.1 Rappels et notations3.1.1 Généralités sur les incertitudes

Nous avons vu précédemment que la connaissance exacte d’une gran-deur réelle R était totalement impossible, et que pour s’en convaincre ilsuffisait de réaliser plusieurs fois la mesure de cette grandeur dans lesmêmes conditions. Nous nous rendions compte alors que nous obte-nions autant de résultats différents que nous avions réalisé de mesures.Pourquoi ces différences ? Parmi tous les résultats obtenus y en a-t-il unqui est le bon ? Si oui, lequel ? Si non, comment déterminer une valeurla plus proche possible de la réalité ? C’est à cet ensemble de questionsque nous allons essayer de répondre dans la suite de ce chapitre.Un premier élément de réponse à toutes ces questions se trouve dans cequi précède : nous avons suggéré que nous travaillions toujours dans lesmêmes conditions, or en réalité les conditions ne sont jamais rigoureu-sement les mêmes. C’est ce que nous avons évoqué dans le chapitre 2lorsque nous avons prétendu que l’étendue de l’erreur de mesure dépen-dait notamment de l’environnement dans lequel était réalisée la mesureainsi que de l’opérateur qui effectuait celle-ci. Dans la même partie, nousavons également montré que les performances du matériel employé pourréaliser la mesure affectaient considérablement les résultats obtenus. Il fautaussi faire remarquer que la grandeur que l’on doit mesurer n’est pastoujours définie sans aucune ambiguïté ce qui va naturellement aussi serépercuter sur le résultat.

3 • Estimationdes incertitudes

42

3.1 Rappels et notations

À partir de ces remarques, nous avions fait ressortir que pour être rece-vable le résultat d’une mesure M devait absolument être accompagnéd’une grandeur que l’on appelle l’incertitude de mesure, incertitude quel’on note conventionnellement U, de telle façon que l’on ait :

M – U < R < M + U .

La difficulté que nous avions soulevée et que nous nous proposons detraiter dans ce chapitre, consiste à déterminer aussi vraisemblablementque possible la valeur de U. Pour la suite de ce travail nous adopteronsles définitions et les notations suivantes :– R = valeur vraie de la grandeur à mesurer (inaccessible).– M = résultat brut issu de la mesure.– e = erreur de mesure avec e = R – M, R étant inconnue, e est toujours

inconnue.– U = étendue de l’incertitude que l’on appelle conventionnellement

incertitude élargie.– u = incertitude type, notation qui présente une analogie certaine avec

l’écart type d’une distribution. On admettra que, dans les calculs,l’incertitude type se manipule comme un écart type.

– k = facteur d’élargissement tel que l’on ait U = k◊u.

– incertitude fractionnaire ou incertitude relative.

Comme nous l’avons déjà remarqué, c’est parce qu’on commet toujoursune erreur de mesure, aussi minime soit-elle, qu’il y a nécessité d’intro-duire la notion d’incertitude, mais l’erreur commise étant par définitioninconnue il n’est pas possible de calculer la valeur de l’incertitude àpartir de l’examen d’hypothétiques grandeurs d’erreurs. La définitionque nous retiendrons pour l’incertitude est celle proposée par la norma-lisation [3.1] : paramètre caractérisant la dispersion des valeurs pouvantraisonnablement être attribuées à une grandeur soumise à un mesurage(mesurande). C’est donc l’examen des résultats de différentes mesuresréalisées qui nous permettra de donner une valeur vraisemblable à l’étenduede l’incertitude de mesure.

UM--------


43

3.1 Rappels et notations©

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Le deuxième point délicat que soulèvent les définitions précédentesconcerne la valeur de k, celle-ci doit être choisie de telle façon que l’onait une certaine probabilité p pour que la valeur réelle de l’incertitudesoit inférieure ou égale à U. Afin de réaliser efficacement ce choix, ilserait nécessaire de connaître avec précision la loi de répartition des résul-tats des différentes mesures effectuées, ce qui est en réalité très rarement lecas ; dans la pratique les valeurs 1, 2 ou 3 préconisées par la normalisationsont très souvent choisies comme coefficient k. On rappelle ci-dessousquelques lois de distribution auxquelles on peut raisonnablement assi-miler de nombreuses distributions réelles de résultats de mesure ainsique les niveaux de probabilité qui leur sont associés. L’opportunité del’emploi de ces lois ainsi que leurs propriétés peuvent donc permettred’éventuellement proposer des valeurs réalistes pour k.

3.1.2 Quelques lois de distribution intéressantes

m Loi de distribution rectangulaire

L’emploi de cette loi suppose que la variable x ait la même probabilitéde prendre n’importe quelle valeur dans l’intervalle ]–U, + U[.

Les calculs donnent comme valeur de l’écart type d’une distribution

rectangulaire équiprobable dans un intervalle de largeur I, s = ; ce

Figure 3.1 – Courbe de distribution d’une loi rectangulaire.

+U– U

f (x)

xx

I

2 3----------


44

3.1 Rappels et notations

qui appliqué à notre problème d’incertitude donnerait : u = soit u

= et donc U ª 1,73 u.

Dans notre cas l’interprétation que l’on peut faire de ce qui précède estla suivante : dans un intervalle ] – u, + u[ c’est-à-dire pour k = 1, il yaurait une probabilité p = 0,577 de trouver le résultat de la mesure xi, dansun intervalle ] – 2u, + 2u[ c’est-à-dire pour k = 2 cette probabilitéserait bien entendu de 1.

m Loi de distribution triangulaire

Les calculs donnent comme valeur de l’écart type d’une distribution

triangulaire symétrique dans un intervalle de largeur I, s = ; ce

qui, appliqué à notre problème d’incertitude donnerait u = soit

u = et donc U ª 2,45 u.

Figure 3.2 – Courbe de distribution d’une loi triangulaire.

2U

2 3----------

U

3-------

x x

x x

I

2 6----------

2U

2 6----------

U

6-------

+U– U

f(x)

x


45

3.1 Rappels et notations©

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.

L’interprétation que l’on peut faire de ce qui précède est la suivante :dans un intervalle ] – u, + u[ c’est-à-dire pour k = 1, il y aurait uneprobabilité p = 0,65 de trouver le résultat de la mesure xi ; et dans unintervalle ] – 2u, + 2u[ c’est-à-dire pour k = 2 cette probabilitéserait de 0,965 ; naturellement dans un intervalle. ] – 3u, + 3u[c’est-à-dire pour k = 3 la probabilité serait de 1.

m Loi de distribution normale

L’emploi de cette loi suppose que la variable x se distribue suivant uneloi de Gauss, Laplace, appelée aussi loi normale ou loi du hasard. Cetteloi de distribution se retrouvant dans de nombreux cas de la vie réelle,et donc de la vie scientifique et industrielle ; il est essentiel d’en connaî-tre au moins les caractéristiques principales, celles-ci sont rappelées enannexe.

Dans ce cas nous savons que dans un intervalle ] –u, + u[, c’est-à-dire pour k = 1, il y aura une probabilité p = 0,683 de trouver le résultatde la mesure xi ; dans un intervalle ] – 2u, + 2u[ , c’est-à-dire pour k= 2 cette probabilité sera de 0,954 ; et dans un intervalle ] – 3u,

+ 3u[ , c’est-à-dire pour k = 3 on trouvera xi avec une probabilité de0,9973 c’est-à-dire pratiquement de 1.

Figure 3.3 – Courbe de distribution d’une loi normale.

x x

x xx x

f (x)

x+U– U x

x x

x xx

x


46

3.2 Estimation d’une incertitude de mesure simple


3.2.1 Composantes de l’erreur de mesure

En traitant de la mesure des longueurs et en faisant apparaître la néces-sité d’introduire la notion d’incertitude, nous avons mis en cause laprésence de l’erreur de mesure pour justifier l’existence de cette incerti-tude. Il est donc important de connaître la structure des erreurs de mesuresi l’on veut déterminer la valeur de l’incertitude. Quelle que soit la gran-deur d’une erreur de mesure et le nombre des paramètres qui en serontà l’origine, celle-ci comprendra toujours deux parties distinctes, voirfigure 3.4.

m Une partie systématique

Cette forme d’erreur se répétera toujours de la même façon et dans lemême sens. Elle peut être constante, quand elle est due par exemple audéfaut de dimension d’un étalon, ou évolutive, si elle provient par exemplede la dilatation thermique de la pièce mesurée. Elle peut être minimisée

Figure 3.4 – Composantes d’une erreur de mesure.

Zone d’erreur

temps

mesures

instant t1 instant t2

Valeur vraie de la mesure

Composantesystématique évolutive

Composante systématique constante

Composante aléatoire


47

3.2 Estimation d’une incertitude de mesure simple©

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lorsque l’on connaît avec précision ses origines en réalisant les correctionsappropriées sur les résultats de la mesure.

m Une partie aléatoire

C’est-à-dire que cette forme d’erreur se reproduira d’une façon etdans un sens totalement imprévisibles, elle provient de la multiplicitédes paramètres indépendants qui interviennent lors de la réalisation dela mesure. De par sa nature aléatoire, elle est souvent régie par des loisde probabilité, notamment la loi normale, dont on peut estimer lesparamètres en utilisant des méthodes statistiques afin de déterminerapproximativement son étendue.

3.2.2 Méthodes d’évaluation d’une incertitude simple

L’incertitude étant le moyen de prendre en compte les erreurs inévi-tables que l’on commet lors de la mesure, erreurs que l’on ne connaîtpas (en effet si l’on connaissait ces erreurs il suffirait alors d’effectuer lescorrections nécessaires pour obtenir la valeur vraie). En aucun cas on nepourra calculer une valeur exacte de l’étendue de l’incertitude. On nepourra qu’estimer une valeur plus ou moins proche de la réalité. Deuxtypes de méthodes sont couramment utilisés afin d’estimer la grandeurd’une incertitude.

m Les méthodes de type A

Les valeurs seront estimées à partir d’outils statistiques, c’est-à-dire enconsidérant les résultats de plusieurs mesures xi (échantillon) en faisant deshypothèses sur les lois de distribution de ces mesures, et en réalisant lescalculs correspondants. En général, les résultats issus de cette méthodeseront exprimés par une moyenne m(xi) et un écart type σ(xi). Naturelle-ment, dans les calculs d’incertitudes par une méthode de type A onadmettra que u(xi) est égale à σ(xi).

Application : Voici un exemple de la détermination par une méthode detype A de l’incertitude accompagnant toutes les mesures de longueureffectuées avec un pied à coulisse. Afin de tenir compte de la justesse du


48


pied à coulisse sur toute sa plage d’utilisation on réalisera les mesures den cales étalons (dans notre exemple 9) couvrant la totalité de sa course.Et pour tenir compte de sa fidélité on répétera chaque mesure m fois(dans notre exemple 8). Pour que la méthode soit valide toutes lesmesures doivent être effectuées de façon totalement indépendante lesunes des autres, le résultat de chaque mesure est noté xij, tableau 3.1.

Les grandeurs sont obtenues en faisant : . Elles repré-

sentent un bon estimateur de la longueur vraie de chacune des cales Ci

Tableau 3.1 – Résultats des mesures permettant l’estimation de l’incertitude.

Cale iMesure j 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11

2 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11

3 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11

4 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11

5 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11

6 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11

7 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11

8 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11 X11

Wi W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9

Ci C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

Ri R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9

Xi X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9

Xi Xi

xijj=1j=m∑m

------------------=


49

3.2 Estimation d’une incertitude de mesure simple©

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réellement mesurée par le pied à coulisse. Cet estimateur sera d’autant plusproche de la réalité que m sera grand. L’analyse de ces valeurs permettrade prendre en compte l’erreur de justesse de l’appareil de mesure.Les valeurs Wi sont obtenues en calculant pour chaque colonnel’étendue Wi = xijmax – xijmin. Elles indiquent l’étendue des m mesu-res de la même grandeur Ci, elles permettront de prendre en compte lafidélité de l’outil de mesure. L’écart type de l’erreur de fidélité se calculera

à partir de en faisant : , b est déterminé à

partir de la théorie concernant les petits échantillons, il dépend de lataille de l’échantillon c’est-à-dire du nombre n, pour n = 9 on prendrab = 2,97 [3.2].Pour estimer le décalage J dû à la non-justesse du pied à coulisse, oncalculera la moyenne des différences entre la mesure considérée comme

bonne de chacune des cales mesurées et la longueur réelle de cette

cale Ci en faisant : . Attention de bien faire

et non l’inverse afin de savoir si le moyen de mesure à tendance àaugmenter la grandeur mesurée ou à la diminuer.

Ensuite, on calculera les valeurs qui nous permettrontd’estimer une valeur vraisemblable de l’écart type de l’erreur de justesse

en faisant comme précédemment : puis en calculant

avec toujours pour b une valeur qui dépend de la taille de

l’échantillon n.Il sera alors possible de calculer l’écart type de l’erreur globale, c’est-à-dire de l’erreur tenant compte à la fois de la justesse et de la fidélité del’appareil, σG en utilisant un résultat issu de la théorie de l’analyse de la

Wi

Wii=1i=n∑n

-------------------= σFWi

b-------=

Xi

JXi Ci–( )

i=1i=n∑

n----------------------------------= Xi Ci–

Ri Xi Ci–( )=

RRii=1

i=n∑n

--------------------=

σJRb---=


50


variance en posant , on admettra alors commeproposé précédemment que uG = σG, connaissant la valeur et le signede J il sera possible de corriger toutes les mesures réalisées avec le pied àcoulisse en écrivant :Grandeur mesurée = Résultat de la mesure – J, cette grandeur étantexprimée avec une incertitude élargie U = k◊uG.

m Les méthodes de type B

Elles concernent tous les moyens autres que statistiques qui permettrontl’estimation des caractéristiques de l’incertitude (expérience des opérateurs,examens de résultats précédents, documentations constructeurs…).Naturellement, la détermination de l’incertitude par des méthodesstatistiques, c’est-à-dire les méthodes de type A, est la seule qui donne desrésultats proches de la réalité, mais c’est une méthode qui demande ungrand nombre de mesures et un traitement parfois délicat de ces mesu-res. C’est la raison pour laquelle il sera nécessaire d’employer les métho-des de type B chaque fois qu’il ne sera pas souhaitable, pour des raisonséconomiques ou techniques, d’utiliser une méthode statistique. Commeprécédemment, les valeurs d’incertitude déterminées à partir d’uneméthode type B seront exprimées par une valeur u(xi) qui est la notationd’une incertitude type.

Application : Estimation de l’incertitude type correspondant à la réso-lution d’un appareil de mesure à affichage numérique.Un comparateur à amplification électronique et à affichage numériqueindique comme résultat brut d’une mesure de longueur : 20,024 mm.En l’absence de toute information complémentaire sur le fonctionne-ment de cet appareil, on ne peut qu’affirmer que la grandeur affichéepar le comparateur est comprise entre 20,023 mm et 20,025 mm, soitune étendue de la zone d’incertitude de 2 µm, ce qui donne U, incerti-tude élargie, égale à 1 µm. Dans ce cas, il est raisonnable d’assimiler laloi de distribution de l’incertitude de mesure à une loi rectangulaire,c’est-à-dire que toutes les valeurs à l’intérieur de U on la même proba-bilité de distribution, ce qui nous permettra d’estimer une valeur pour

σG σF2 σJ

2+=


51

3.3 Estimation des incertitudes composées©

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l’incertitude type u, en posant : , ce qui donnera :

, soit u = 0,577 µm.

3.3 Estimation des incertitudes composéesSouvent la grandeur que l’on veut mesurer n’est accessible que par l’inter-médiaire de la mesure d’un certain nombre d’autres grandeurs qui lacomposent : par exemple la surface d’un rectangle ne peut être connuequ’à partir des mesures de sa longueur et de sa largeur. Le problèmeconsiste dans ce cas à déterminer l’incertitude sur la grandeur résultanteà partir des incertitudes connues des grandeurs composantes.M (grandeur dont on veut connaître l’incertitude) est une fonction deplusieurs autres grandeurs X, Y, Z… qui, elles, sont mesurables directe-ment et dont on a pu déterminer les incertitudes UX, UY, UZ… soit pardes méthodes de type A soit par des méthodes de type B telles que nousles avons évoquées précédemment.

M = f(X, Y, Z…)

3.3.1 Méthode du maximum et du minimum

C’est une méthode qui présente les avantages d’être très simple et deconvenir dans tous les cas, même lorsque les étendues des incertitudessont très grandes. Elle consiste à se placer dans les cas limites, c’est-à-dire que l’on calcule les valeurs maximales et minimales que prendrait lagrandeur résultante M si toutes les mesures des variables composantesse trouvaient simultanément aux valeurs maxi et mini de façon à maxi-maliser ou à minimiser M.Exemple : Détermination de l’incertitude sur le volume d’un cylindre àpartir des mesures directes de son diamètre et de sa hauteur.D, diamètre = 50mm, avec UD = 0,02 mm soit, Dmaxi = 50,02 mm etDmini = 49,98 mm.

u U

3-------=

u 1

3------- 0,577≈=


52

3.3 Estimation des incertitudes composées

h, hauteur = 60 mm, avec Uh = 0,05 mm soit, hmaxi = 60,05 mm ethmini = 59,95 mm.

Volume maxi possible Vmaxi = Æ Vmaxi

= 118 002 mm3

Volume mini possible Vmini = Æ Vmini = 117 617mm3

Ce qui permet de déterminer l’incertitude sur V : 2UV = Vmaxi – Vmini,d’où 2UV = 385 mm3 ce qui donnera, UV = 192,5 mm3.Cette méthode que l’on pourra toujours employer sans crainte a pourprincipal inconvénient de maximaliser l’étendue de l’incertitude sur lamesure résultante M. En effet, elle fait l’hypothèse que toutes les varia-bles sont simultanément aux valeurs maximales et minimales les plusperturbantes, ce qui est d’autant plus improbable que le nombre desvariables est grand.

3.3.2 Méthodes adaptées à des fonctions particulières simples

Ces méthodes donnent les mêmes résultats que la méthode précédente,mais elles évitent d’avoir à calculer les valeurs maximales et minimalesde la grandeur résultante : elles dépendent de la nature de la fonctionqui lie M avec les mesures composantes. Nous allons considérer les troisfonctions le plus souvent rencontrées.

m Fonction somme

Si la fonction est une somme ou une différence, M = X + Y + Z, ou M= X – Y – Z, on écrira : UM = UX + UY + UZ ce résultat est facilementvérifiable à partir de la méthode précédente.

m Fonction produit

Si la fonction est un produit ou un quotient, M = X◊Y◊Z, ou M = X◊Y/Z,on écrira :

π Dmax i2 hmax i⋅ ⋅

4-------------------------------------

π Dmin i2 hmin i⋅ ⋅

4-------------------------------------


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Exemple : Nous allons vérifier cette proposition en recherchant l’incer-titude US sur la surface d’un rectangle, dont nous avons mesuré lalongueur L et la largeur l, avec L = 20mm (UL = 0,1mm) et l = 15 mm(Ul = 0,08mm) :

Sth = L·l Æ Sth = 20 ◊15 = 300 mm2

= = 0,005, = = 0,00533 Æ = 0,01033

Æ US = 3,1 mm2

Vérification par la méthode du maximum et du minimum :S maxi possible,

Smaxi = 20,1 ◊15,08 = 303,108 Æ Smaxi = 303,108 mm2.

S mini possible, Smini = 19,9 ◊14,92 = 296,908 Æ Smini = 296,908mm2.Soit : 2US = 6,2 mm2 Æ US = 3,1 mm2.

m Fonction puissance

Si la fonction est une puissance, M = Xn par exemple, on peut écrire :

= n .

Exemple : Si nous appliquons cette relation en recherchant l’incertitudeUS de la surface S d’un cercle dont nous avons mesuré le diamètre D,D = 40 mm (UD = 0,15 mm).

Sth = Æ Sth = Sth = 1 256,64 mm2

= = 0,003 75 Æ = 2 ◊0,003 75 = 0,007 5

Æ US = 9,425 mm2

UM

M--------

UX

X-------

UY

Y------

UZ

Z-------+ +=

UL

L------ 0,1

20-------

Ul

l----- 0,08

15----------

US

S------

UM

M--------

UX

X-------

π D2⋅4

-------------- π 402⋅4

----------------

UD

D------- 0,15

20----------

US

S------


54


Vérification par la méthode du maximum et du minimum :

S maxi possible, Smaxi = = 1 266,08

Æ Smaxi = 1 266,08 mm2.

S mini possible, Smini = = 1 247,23

Æ Smini = 1 247,23 mm2.

Soit 2 US = 18,85 Æ US = 9,425 mm2.

3.3.3 Méthode de la différentielle totale

Il est toujours possible de combiner les différentes propositions précé-dentes dans le cas où le résultat de la mesure le nécessiterait. Si nousconsidérions, par exemple, la détermination de l’incertitude de mesuresur le volume du cylindre que nous avons déjà calculée au paragraphe3.3.1 en souhaitant employer la méthode relative aux fonctions particu-lières, cela donnerait :

= = = 0,00163

Æ UV = 0,001 63 ◊ V = 192,5 Æ UV = 192,5mm3

Une méthode élégante et efficace, surtout dans le cas où les incertitudessont faibles, consiste à faire appel au calcul différentiel, cette méthodequ’il faut absolument connaître nous sera très utile pour la suite de cechapitre.

m Rappel

Soit une fonction y = f(x), un accroissement dx de la variable x provo-quera un accroissement dy de y tel que : dy = f(x + dx) – f(x).On sait que le principe de la différentielle consiste à linéariser lafonction y = f(x) sur un petit intervalle, c’est-à-dire d’approximer la valeurde dy en écrivant dy = y¢◊dx (voir figure 3.5). C’est cette approximation,

40,152 π⋅4

-----------------------

39,852 π⋅4

-----------------------

UV

V------- 2

UD

D-------⋅ Uh

h------+ 2 0,02

50----------⋅ 0,05

60----------+


55


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.

très utilisée en physique, que l’on va employer dans ce mode de calculde l’incertitude.

m Principe

Dans le cas où M = f(X, Y, Z…) avec UX, UY, UZ… connues, oncommencera par différencier M par rapport à chacune des variables quila définissent.

On prendra ensuite les valeurs absolues des différentielles calculées eton remplacera les dX, dY, dZ… par les incertitudes correspondantesUX, UY, UZ…

Exemple : Application à la détermination de l’incertitude sur le volumed’un cylindre :

Si D = 50 mm avec UD = 0,02 mm et h = 60 mm avec Uh = 0,05 mm :

Figure 3.5 – Rappel sur la différentielle.

y

x

dy

dx

x

y’.dx

dM ∂M∂X--------⎝ ⎠

⎛ ⎞ dX ∂M∂Y--------⎝ ⎠

⎛ ⎞ dY ∂M∂Z--------⎝ ⎠

⎛ ⎞ dZ …+ + +=

UM ∂M∂X-------- UX

∂M∂Y-------- UY

∂M∂Z-------- UZ …+ + +=

V π4--- D2 h⋅ ⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞=


56


Nous aurons : et

D’où : = 94,3 + 98,2 = 192,5

Soit UV = 192,5mm3.

La figure 3.6 illustre l’application de ce calcul dans le cas de la détermi-nation de l’incertitude sur le volume d’un cylindre, naturellement une telleillustration pourrait être utilisée dans n’importe quel cas.

3.3.4 Optimisation de l’incertitude composée

Toutes les méthodes que nous avons exposées précédemment peuventêtre utilisées sans risque, on a vu que leurs résultats sont équivalents etelles fournissent des valeurs tout à fait acceptables. Elles présententcependant toutes l’inconvénient que nous avons déjà évoqué et quiconsiste à considérer le cas très improbable où toutes les incertitudessont simultanément aux conditions limites les plus perturbantes, ce quicomme nous l’avons vu, conduit à surestimer la valeur de l’incertituderésultante. Pour éliminer en partie cet inconvénient, nous allons faireappel à des outils issus du calcul des probabilités, et notamment à lathéorie de l’analyse de la variance qui nous permettrait d’écrire dans le

Figure 3.6 – Visualisation de la détermination de l’incertitude.

∂M∂D-------- π D h⋅ ⋅

2--------------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ dD= ∂M∂h-------- π D2⋅

4--------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ dh=

UVπ D h⋅ ⋅

2-------------------- UD

π D2⋅4

-------------- Uh+=

D UD/2

h

Uh

21D

V

UhDπ

π

U ⋅⋅⋅=

hV UD

U ⋅⋅=4

2

2

UV = UV1 + UV2


57


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.

cas où une variable X serait fonction de plusieurs variables aléatoires X1,X2, X3… : d’écarts types respectifs σx1, σx2, σx3…

Dans l’application de cette méthode, nous voyons tout l’intérêt qu’il y ade considérer l’incertitude type u qui, comme nous l’avons déjà remar-qué, se comportera de la même façon qu’un écart type (rappelons queU = ku).Dans ce cas, la relation exprimée dans le paragraphe 3.3.3, pourraits’écrire sous la forme suivante :

Exemple : Application à la détermination de l’incertitude sur le volumedu cylindre précédent, nous choisirons de prendre k = 2 :uD = 0,02/2 = 0,01 mm et uh = 0,05/2 = 0,025 mm

et

= 2 220,66 + 2 409,57 = 4 630 Æ uV = 68

Ce qui donne UV = k ◊ uV = 2 ◊ 68 = 136 Æ UV = 136 mm3.

Ce type de calcul est celui qui donne l’estimation de UM la plus prochede la réalité et c’est celui que l’on devrait privilégier. Cependant, quel quesoit le cas auquel on l’applique, il présente l’inconvénient de ne pasprendre en compte d’éventuelles interactions lorsque les mesures neseraient pas indépendantes les unes des autres.

σX2 σX1

2 σX2

2 σX3

2 …+ + +=

uM2 ∂M

∂X-------- uX⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 ∂M∂Y-------- uY⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 ∂M∂Z-------- uZ⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2

…+ + +=

∂M∂D-------- π D h⋅ ⋅

2--------------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ dD= ∂M∂h-------- π D2⋅

4--------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ dh=

uV2 π D h⋅ ⋅

2-------------------- uD⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 π D2⋅4

-------------- uh⋅⎝ ⎠⎛ ⎞

2

+=

uV2 π 50 60⋅ ⋅

2------------------------ 0,01⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 π 502⋅4

---------------- 0,025⋅⎝ ⎠⎛ ⎞

2

+=


58

3.4 Cas où les variables ne sont pas indépendantes


S’il est facile d’imaginer que lorsque l’on mesure le diamètre puis lahauteur d’un cylindre les deux mesures sont totalement indépendantesl’une de l’autre, il peut exister des situations dans lesquelles il est fortpossible qu’il y ait une influence relative quelconque entre les résultatsde certaines mesures. Ce peut être le cas par exemple lorsque l’onmesure le courant et la tension dans un circuit électrique, ou lorsquel’on mesure la température et la pression dans une enceinte.Les corrélations entre plusieurs mesures peuvent présenter un grandnombre de formes, nous nous intéresserons exclusivement à la corréla-tion linéaire qui suppose que l’on ait entre deux variables X et Y une rela-tion du type Y = aX + b. Cette corrélation peut être mise en évidence àpartir de l’examen de la covariance entre X et Y.

3.4.1 Covariance et corrélation linéaire

Soit deux variables aléatoires X et Y, on sait que [3.3] :

(moyenne de la réalisation des n mesures xi de X) = et σx (écart

type de la distribution des n xi) = et que : (moyenne de la

réalisation des n mesures yi de Y) , et σy (écart type de la distribution

des n yi) = .

x

xi

1

n

∑n

-----------

xi x–( )2

1

n

∑n

-------------------------- y

yi

1

n

∑n

-----------

yi y–( )2

1

n

∑n

--------------------------


59

3.4 Cas où les variables ne sont pas indépendantes©

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.

On appelle covariance entre X et Y, que l’on note σxy, un nombre réeltel que :

On appelle coefficient de corrélation linéaire entre X et Y le nombre rtel que :

Si r = – 1 ou si r = 1, il existe une relation linéaire affine entre X et Yc’est-à-dire qu’il faudra tenir compte de l’influence réciproque desdeux variables lors du calcul d’incertitude. Si r = 0, X et Y sontlinéairement indépendantes (ce qui ne veut pas dire qu’il n’y a pas derelation d’un autre type entre elles).

En réalité des valeurs de r proches de 1 ou de – 1 indiquent une forteprobabilité de corrélation linéaire alors que des valeurs de r proches de0 laissent supposer qu’il y a peu ou pas de corrélation linéaire entre lesvariables X et Y.

Exemple : On réalise 8 mesures sur deux grandeurs X et Y et onvoudrait savoir s’il existe une forte corrélation linéaire entre X et Y,tableau 3.2.

, , ,

,

Ce qui donnerait : .

σxy

xi x–( ) yi y–( )⋅1

n

∑n

----------------------------------------------=

rσXY

σX σY⋅----------------=

X 5288

--------- 66= = Y 8328

--------- 104= = σX668------ 2,87= =

σY1128

--------- 3,74= = σXY848------ –10,5= =

r 10,52,87 3,74⋅-------------------------– 10,5

10,73-------------– 0,98–= = =


60


Il existe donc probablement une forte corrélation linéaire négative entre lesvariables X et Y dont il faudrait tenir compte dans le cas où ces variablesentrent en ligne de compte dans un calcul d’incertitudes.

3.4.2 Calcul des incertitudes sur des variables corrélées

Soit une grandeur M fonction de la mesure de deux variables aléatoiresX et Y, éventuellement non indépendantes, dont les incertitudes typesuX et uY ont put être estimées. L’incertitude type uM sur la grandeur Mse déterminera alors de la façon suivante :

On voit que s’il existe une corrélation linéaire entre X et Y, celle-ci seraprise en compte dans le dernier terme de l’équation. Naturellement,on voit que si la covariance est nulle (pas de corrélation), ce dernier termesera nul et l’on reviendra à ce qui était écrit en 3.3.4.

Tableau 3.2 – Résultats des mesures sur les variables X et Y.

N˚ mesure Xi Yi Xi – Yi – (Xi – ) ◊ (Yi – )

1 70 100 4 –4 –16

2 62 110 –4 6 –24

3 66 104 0 0 0

4 64 106 –2 2 –4

5 68 102 2 –2 –4

6 63 108 –3 4 –12

7 70 98 4 –6 –24

8 65 104 –1 0 0

sommes 528 832 –84

X Y X Y

uM2 ∂M

∂X-------- uX⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 ∂M∂Y-------- uY⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2

2∂M∂X-------- ∂M

∂Y-------- uXY⋅ ⋅+ +=


61

3.4 Cas où les variables ne sont pas indépendantes©

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.

m Cas de plus de deux variables

Si une grandeur M est fonction de la mesure de plusieurs variables aléa-toires X, Y, Z dont les incertitudes type uX, uY, uZ… ont pu être déter-minées, l’incertitude type uM sur la grandeur M se calculera de la façonsuivante :On commencera par rechercher les corrélations éventuelles deux à deuxentre toutes les variables :

Puis on écrira :

m Application

Soit une mesure M, fonction des deux variables corrélées X et Y dont lesrésultats des mesures sont inscrits dans le tableau 3.2, telle que M = X◊Y(fonction produit). Quelle est l’incertitude type uM sur la mesure M ?On calculera cette incertitude tout d’abord en ne tenant pas compte de lacorrélation entre X et Y, puis en tenant compte de cette corrélation.

Calcul sans prendre en compte la corrélation :

uXY1n--- Xi X–( ) Yi Y–( )⋅

1

n

∑=

uXZ1n--- Xi X–( ) Zi Z–( )⋅

1

n

∑=

uZY1n--- Zi Z–( ) Yi Y–( )⋅

1

n

∑=

uM2 ∂M

∂X-------- uX⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 ∂M∂Y-------- uY⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 ∂M∂Z-------- uZ⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2

2∂M∂X-------- ∂M

∂Y-------- uXY⋅ ⋅+ + +=

2∂M∂X-------- ∂M

∂Z-------- uXZ⋅ ⋅ 2∂M

∂Z-------- ∂M

∂Y-------- uZY⋅ ⋅+ +

uM2 ∂M

∂X-------- uX⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 ∂M∂Y-------- uY⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2

+=


62

3.5 Exemple de détermination d’incertitude

M = X ◊ Y Æ = Y et = X

soit : = (Y ◊ uX)2 + (X ◊ uY)2 = (104 ◊ 2,87)2 + (66 ◊ 3,74)2 = 149 813

Æ uM = 387

Calcul en tenant compte de la corrélation entre X et Y :

soit : = (Y ◊ uX)2 + (X ◊ uY)2 + 2(X ◊ Y ◊ uXY)

= 149 813 – 144 144 = 5 669 Æ uM = 75.

Cet exemple montre que la prise en compte de l’interaction éventuelleentre les résultats de plusieurs mesures permettant la déterminationd’une grandeur peut faire apparaître que l’incertitude réelle probablesur cette grandeur est en réalité plus faible que ce qui apparaîtrait si l’onnégligeait cette interaction (cas notamment de la corrélation négative).


On désire mesurer l’angle α dont la valeur théorique est de 60˚ sur lapièce représentée par le dessin de la figure 3.8. Afin de réaliser cette mesureon utilise la méthode des piges, méthode bien connue des mécaniciens (onrappelle qu’une pige est un cylindre considéré comme géométriquementparfait, c’est-à-dire que ses défauts sont négligeables par rapport auxgrandeurs que l’on veut mesurer, et que son diamètre est connu et doncrigoureusement constant). Le principe de la mesure est illustré par le dessinde la figure 3.8.

∂M∂X-------- ∂M

∂Y--------

uM2

uM2 ∂M

∂X-------- uX⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 ∂M∂Y-------- uY⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2

2∂M∂X-------- ∂M

∂Y-------- uXY⋅ ⋅+ +=

uM2

uM2


63

3.5 Exemple de détermination d’incertitude©

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. D’après la figure 3.8 nous voyons que l’on peut écrire : tg(α/2) = CH/OHavec : CH = R – r et OH = B + r-A-R d’où α = 2Arc tg(R – r/B – A – R+ r).

Nous admettrons les résultats de mesures suivants :

D (diamètre de la pige de grand diamètre) = 20 mm avec une incerti-tude UD = 4 µm, soit R = 10 mm avec une incertitude UR = 2 µm.

d (diamètre de la pige de petit diamètre) = 6 mm avec une incertitudeUd = 4 µm, soit r = 3 mm avec une incertitude Ur = 2 µm.

A = 59,545mm avec une incertitude UA = 6 µm.

B = 78,660 mm avec une incertitude UB = 6 µm.

Figure 3.7 – Mesure d’un angle entre deux faces.

Figure 3.8 – Mesure d’un angle sur piges.

60°A

15

A0,159,98 0

+0,4

23,9 0+0,2

R

A

B

O H

C

H

C


64


Soit la valeur mesurée de tg(α/2) = 7/12,115 = 0,577796.

Ce qui donnerait α/2 = 30,019 155˚ soit a = 60,038 31˚.

3.5.1 Détermination de l’incertitude par la méthode du maxi-mini

Ce qui donne : 2Utgα/2 = 0,0021865 soit Utgα/2 = 0,001 093 25.

3.5.2 Détermination de l’incertitude par la méthode des fonctions particulières

UCH = UR + Ur = 0,002 + 0,002 = 0,004 mm.

UOH = UB + Ur + UA + UR = 0,006 + 0,002 + 0,006 + 0,002= 0,016 mm.

On peut écrire : 0,001 892 105.

Ce qui donnera : Utgα/2 = 0,001 892 105 ◊tgα/2 soit 0,001 093 25, cequi est bien semblable à la valeur trouvée précédemment.

3.5.3 Détermination de l’incertitude par la méthode la différentielle

de la forme on

aura donc :

tgα2---M RM rm–

Bm rm AM– RM–+----------------------------------------------------- 7,004

12,099---------------- 0,578 890 8= = =

tgα2---M Rm rM–

BM rM Am– Rm–+----------------------------------------------------- 7,004

12,099---------------- 0,576 704 3= = =

Utgα

tgα-----------

UCH

CH------------

UOH

OH------------+= =

tgα2--- R r–

B r A– R–+-------------------------------= y U

V---- y′→ U′V UV′–

V2---------------------------= =


65


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.

Soit :

Et donc :

Application numérique : = 0,001 093 5 ce qui est toujours

conforme à ce qui avait été établi précédemment. Nous obtiendronsalors comme valeurs :

= 0,577 796 avec une incertitude de 0,001 093 5.

et donc comprise entre 0,576 702 5 et 0,578 889 5.

d’où compris entre : 29,972 16˚ et 30,066 01˚

Ce qui donnera a compris entre : 59,944 31˚ et 60,132 02˚

∂tgα2---

∂B------------ R r–( ) 1( )⋅–

B r A– B–+( )2--------------------------------------dB r R–

B r A– B–+( )2--------------------------------------dB= =

∂tgα2---

∂A------------ R r–( ) 1( )⋅–

B r A– B–+( )2--------------------------------------dA R r–

B r A– B–+( )2--------------------------------------dA= =

∂tgα2---

∂R------------ B r A– R–+( ) r R–( )–

B r A– B–+( )2-----------------------------------------------------------dR B A–

B r A– B–+( )2--------------------------------------dR= =

∂tgα2---

∂R------------ B– r– A R+ +( ) R r–( )–

B r A– B–+( )2----------------------------------------------------------------dr A B–

B r A– B–+( )2--------------------------------------dr= =

dtgα2--- r R–

V2-----------⎝ ⎠

⎛ ⎞ dB R r–

V2-----------⎝ ⎠

⎛ ⎞ dA A B–

V2-------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ dr B A–

V2-------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ dR+ + +=

Utgα

2---

r R–

V2----------- UB

R r–

V2----------- UA

A B–

V2------------- Ur

B A–

V2------------- UR+ + +=

Utgα

2---

tgα2---

tgα2---

α2---


66


3.5.4 Optimisation de l’incertitude

Il est absolument certain que lorsque l’on mesure le diamètre dechacune des piges ou les longueurs A et B, les mesures sont totalementindépendantes les unes des autres et qu’il ne peut donc exister aucuneinteraction entre les différents résultats obtenus, nous utiliserons doncla relation suivante :

Application numérique : Nous choisirons une valeur de k (coefficientd’élargissement) égale à 2. Ce qui donnera : uA = 3 µm, uB = 3 µm, uR

= 1 µm et ur = 1 µm, on obtient alors : = 0,000 27, en prenant

toujours k = 2 cela donnera : = 0,000 54.

Nous aurons alors :

= 0,577 796 avec une incertitude de 0,000 54.

et donc comprise entre 0,577 256 et 0,578 336.

d’où compris entre : 29,995 95˚ et 30,042 34˚.

Ce qui donnerait a compris entre : 59,991 9˚ et 60,084 68˚.

3.5.5 Capabilité du procédé de mesure

L’analyse de la cotation de la pièce représentée sur la figure 3.9 confor-mément à la normalisation en vigueur [3.7] nous permet de calculer lesvaleurs maximale et minimale que peut prendre l’angle a sans affecter lefonctionnement de la pièce (tolérances angulaires).

Utgα

2---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 r R–

V2----------- uB⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 R r–

V2----------- uA⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 A B–

V2------------- ur⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2 B A–

V2------------- uR⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2+ + +=

utgα

2---

Utgα

2---

tgα2---

tgα2---

α2---


67


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Les angles aigus des triangles grisés représentent les tolérances angu-laires respectivement maximale et minimale admissibles sur l’anglethéorique de 60˚ que nous souhaitons mesurer. Ces angles étant petits, on peut considérer que leur sinus et leur tangentesont égaux, soit :– sin tolérance angulaire maxi = tg tolérance angulaire maxi

= 0,1◊cos 30˚/24 = 0,003 608 44,– tg tolérance angulaire mini = sin tolérance angulaire mini

= 0,1◊cos 30˚/24 = 0,003 608 44,soit une tolérance angulaire de : ± 0,206 74˚ ce qui donne un intervallede tolérance angulaire de 0,413 5˚.Nous pouvons ainsi calculer le coefficient de capabilité du processus demesure :

Sans optimisation de l’incertitude Cp = 0,413 5/0,18 = 2,29Avec optimisation de l’incertitude, Cp = 0,413 5/0,092 78 = 4,45

Valeurs qui sont supérieures à 1 et qui indiquent donc que le procédéde mesure convient pour cette application quelle que soit la méthode dedétermination des incertitudes que nous avons utilisée.

Compte tenu de la tolérance angulaire que nous venons de calculer,pour être acceptable, l’angle théorique de 60˚ devrait être compris entre59,5865˚ et 60,4135˚. Nous pouvons donc conclure également que,quelles que soient les hypothèses retenues pour effectuer nos calculs

Figure 3.9 – Calcul des tolérances angulaires.

α maxi α

240,1

mini mini


68

3.6 Remarque importante

d’incertitudes, les résultats des mesures montrent que l’angle réel mesurésur la pièce est acceptable.

3.6 Remarque importanteIl arrive souvent que l’on soit amené à devoir représenter des résultats demesures sur un graphique. Il est habituel dans ce cas de noter le résultatde chacune des mesures par un point ou par une croix, un exemple de cetype de représentation est illustré par la figure 3.10.

D’après ce qui précède, nous nous rendons compte que cette façon defaire n’est pas satisfaisante puisqu’elle ne prend pas en compte l’inévita-ble incertitude qui doit accompagner chaque résultat de mesure. Unereprésentation beaucoup plus en accord avec la réalité, et que l’ondevrait donc privilégier, consiste à remplacer les points par des barresverticales dont la hauteur correspond à l’incertitude qui affecte chaquerésultat de mesure (figure 3.11).Dans les chapitres suivants il va nous arriver à de nombreuses reprisesd’être amenés à devoir représenter graphiquement des résultats demesures. Afin de faciliter la compréhension des problèmes exposés nousferons souvent le mauvais choix d’utiliser une croix ou un point pourindiquer le résultat d’une mesure. Cette représentation simplifiée etincomplète ne peut être acceptable que si nous admettons qu’il s’agitd’un estimateur de la valeur la plus probable de la mesure et qu’à celle-ci

Figure 3.10 – Représentation graphique de résultats de mesures.

Résultat de la mesure

Numéro de la mesure


69

3.7 Bibliographie©

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.

doit être, dans la réalité, associée un intervalle correspondant à l’incerti-tude existante, même si cette incertitude est considérée comme négli-geable pour la compréhension du problème traité.

3.7 Bibliographie

[3.1] ISO 14253-2, Spécification géométrique des produits (GPS), Vérifi-cation par la mesure des pièces et des équipements de mesure, Partie2 : guide pour l’estimation de l’incertitude dans les mesures GPS,dans l’étalonnage des équipements de mesure et dans la vérification desproduits, AFNOR, 1999.

[3.2] Le contrôle statistique de la qualité, J. HUSSON, PYC Édition-Desforges, 1979, page 124.

[3.3] Probabilités, Statistique, F. DRESS, Dunod, 1998, p. 37 à 46.[3.4] Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure, X 07-020,

AFNOR, 1996.[3.5] Estimer l’incertitude, C. PERRUCHET, M. PRIEL, AFNOR, 2000.[3.6] Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques, J.

TAYLOR, Masson Sciences, Dunod, 2000[3.7] NF E 04-552, Dessins techniques, Tolérancement géométrique, Géné-

ralités, définitions, symboles, indications sur les dessins, AFNOR,2002.

Figure 3.11 – Représentation graphique de l’incertitude de mesures.

Résultat de la mesure

Etendue de l’incertitude

Numéro de la mesure Numéro de la mesure Numéro de la mesure

© D

unod

– L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

ée e

st u

n dé

lit.

71

4 • MÉTHODES D’ASSOCIATION

4.1 RappelsDans le premier chapitre, nous avons montré la nécessité de mettre enplace ce que nous avons appelé les éléments associés que nous avonsdéfinis comme étant des éléments théoriques donnant la meilleure imagepossible de l’élément réel. Il est important de rappeler que très souventla connaissance que l’on a de l’élément réel n’est que partielle (élémentextrait) et donc que l’élément associé sera en réalité une image de l’élémentextrait plutôt que de l’élément réel.La difficulté pour le métrologue sera de réaliser l’association de manièreà ce que celle-ci constitue un modèle représentant la réalité de la façonla plus vraisemblable possible, cette association sera soit physique soitvirtuelle, selon la technique et les moyens de mesure et de calcul utilisés.

4.2 Métrologie de la droitePour évoquer différentes méthodes d’association possibles très souventutilisées par les métrologues, nous proposons de traiter tout d’abord lamesure d’un défaut de rectitude, problème qui présente l’avantage d’êtreun problème plan simple dont les résultats sont facilement représentableset vérifiables. Dans la réalité, on peut trouver des lignes théoriquementdroites, soit en les extrayant d’une surface prétendument plane oud’une surface réglée, soit en considérant les génératrices de cônes ou decylindres (qui sont des surfaces réglées particulières). Dans l’exemple

4 • Méthodes d’association

72

4.2 Métrologie de la droite

choisi, nous chercherons à caractériser la rectitude d’une règle (en métro-logie une règle est une surface théoriquement plane dont la largeur estsuffisamment petite devant la longueur pour que l’on puisse assimilerle plan à une droite), voir figure 4.1.

4.2.1 Élément extrait

Nous avons vu dans le chapitre 1 que l’élément extrait se présente suivantun nuage de points appartenant à l’élément réel mesuré, points dont onrelèvera les coordonnées dans un référentiel appelé référentiel de mesure.Ce référentiel sera matérialisé par l’équipement utilisé pour réaliser lamesure, naturellement la qualité de la mesure dépendra en grande partie dela qualité du référentiel de mesure. Les éléments réels étant des élémentsen trois dimensions, les référentiels de mesure seront des référentielsvolumiques, le plus souvent on utilisera des référentiels orthonormés maison pourra aussi choisir des référentiels cylindriques voire sphériques.Comme il est possible de passer sans grandes difficultés d’un type derepère à un autre [4.1], nous considérerons seulement le cas du référentielde mesure orthonormé, mais quel que soit le repère employé la marcheà suivre sera identique.

Dans le cas de notre exemple, la règle est posée sur un marbre (enmétrologie le marbre est une surface plane réalisée avec soin par usinage

Figure 4.1 – Mesure du défaut de rectitude d’une règle.

x

y

Règle


73

4.2 Métrologie de la droite©

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isée

est

un

délit

.

puis polissage sur un bloc de fonte ou de granit et dont le défaut deplanéité peut être considéré comme parfaitement négligeable) dans unedirection approximativement parallèle à celui-ci. Puis l’on mesure àl’aide d’un comparateur la variation d’altitude par rapport à la surfacedu marbre de n points Mi appartenant à la règle mesurée (figure 4.1).

Pour faciliter la visualisation du résultat obtenu on fera un changement

d’origine en considérant le premier point mesuré M1 à 0, soit .

Le profil de la règle sera alors connu par l’intermédiaire d’un nuageconstitué de n points Mi. Dans notre cas, l’épaisseur de la règle étantnégligée, nous nous trouvons ramenés à un problème plan. Le référentielde mesure sera matérialisé par une droite parallèle au marbre (axe Ox) etpar le déplacement de la touche du comparateur, lequel devra être installéde façon à ce que ce déplacement soit rigoureusement perpendiculaireau marbre (axe Oy), figure 4.2.

Chaque point Mi a pour abscisse x = (i – 1).p (p est le pas de la mesure,il dépend de la finesse avec laquelle on veut représenter le profil réel), etpour ordonnée y (y est la variation d’altitude lue par le comparateur).L’image du profil est généralement anamorphosée du fait du choix d’unitésdifférentes sur chacun des axes, ceci permettant de visualiser de façon plusnette la forme réelle de la règle mesurée.

Figure 4.2 – Nuage de points représentant l’élément extrait dans le référentiel de mesure

(les incertitudes de mesure sont négligées).

M1 y = 0x = 0( )

O

y

x

MiM


74


4.2.2 Association par la méthode de l’enveloppe

On appelle élément enveloppe d’un élément géométrique réel l’élémentthéorique, géométriquement parfait, situé du coté libre de matière, et étantle plus près possible de l’élément réel sans jamais le couper (figure 4.3).

La droite D1 est la droite associée selon le critère de l’enveloppe aux npoints Mi représentant le profil extrait de la règle, il est alors possiblede mesurer l’écart ei entre chaque point Mi et la droite associée D1.Comme nous l’avons défini dans le chapitre 1, le défaut de rectitudemesuré sera alors égal à : l’écart positif maxi moins la valeur absolue del’écart négatif maxi, dans le cas de l’enveloppe l’écart positif maxi étantpar définition toujours nul, le défaut de rectitude est égal à : |0 – ei |maxi, soit drec = |ei maxi |. On peut remarquer que, dans le cas d’éléments réels convexes par exem-ple, il peut exister plusieurs modèles associés possibles. Dans ce cas lanormalisation [4.2] nous propose de choisir la position de l’élémentenveloppe qui minimisera le défaut de forme.

4.2.3 Association à partir de points particuliers

En géométrie, les éléments théoriques peuvent être totalement définis parun nombre optimal de points, par exemple deux points pour une droite,trois points non alignés pour un cercle ou pour un plan, etc. C’est cettepropriété qui est utilisée dans ce mode d’association. Dans la pratique,

Figure 4.3 – Association par une droite enveloppe.

i

O

y

x

D1i

M

e

M

e


75

4.2 Métrologie de la droite©

Dun

od –

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

on choisira des points éloignés le plus possible les uns des autres afind’obtenir une stabilité maximale. Ce qui donnerait pour notre exemple lechoix de la droite D2 passant par les points extrêmes de l’élément extraitcomme étant une droite associée à cet élément (figure 4.4).

Il est ensuite facile de mesurer l’écart entre chacun des n points consti-tuant l’élément extrait et la droite D2 pour pouvoir déterminer le défautde rectitude drec de la règle concernée.

4.2.4 Association selon le critère de Gauss

On peut imaginer que l’on va mettre en place un élément théorique detelle façon que la somme des carrés des écarts de tous les points consti-tuant l’élément extrait avec cet élément associé soit minimale, ce quirevient en fait à minimiser l’écart type de la distribution de ces écarts.Cet élément que l’on appelle également élément des moindres carrésdonne une excellente image de l’élément réel (figure 4.5).

Figure 4.4 – Association par une droite passant par les points extrêmes.

Figure 4.5 – Association par la droite des moindres carrés.

O

y

x

Mi

D2

drectM

O

y

x

Mi

D3

drectM


76


On trouve les méthodes permettant de calculer les paramètres del’équation de la droite des moindres carrés associée à n points Mi dansde nombreux ouvrages traitant de statistique [4.3]. Les programmescorrespondants sont également présents dans la plupart des calculatricesde poche.

Soit, équation de la droite D3 : y = a ◊ x + b, avec

Il ne reste plus alors qu’à calculer les écarts de chacun des points avec ladroite D3 pour pouvoir déterminer le défaut de rectitude drec de larègle.

4.2.5 Association selon le critère de Tchebytchev

Le critère du minimax, ou critère de Tchebytchev, utilise une méthode decalcul par itération dont l’application en métrologie permet de minimiserla distance entre deux éléments géométriques théoriques contenantl’ensemble des points constituant l’élément extrait. Dans le cadre denotre exemple, il s’agira de trouver la position de deux droites parallèlesentre lesquels se situera la totalité des n points mesurés, de façon à ce quela distance entre les deux droites soit la plus petite possible, figure 4.6.

L’association selon le critère de Tchebytchev est particulièrement inté-ressante car c’est celle qui se rapproche le plus des exigences de la norme.En effet, minimiser l’espace entre les deux éléments géométriques idéauxparallèles revient bien à optimiser la valeur du défaut de forme mesuré.Cependant l’utilisation de cette méthode nécessite de disposer de logi-ciels spécialisés afin d’effectuer les calculs nécessaires, c’est la raison pourlaquelle elle est relativement peu employée.

axi∑ yi n–∑ xi yi⋅∑⋅ ⋅

xi∑( )2n xi

2∑⋅–------------------------------------------------------------=

bxi∑ xi yi⋅∑ yi∑– xi

2∑⋅⋅

xi∑( )2n xi

2∑–------------------------------------------------------------------=


77

4.3 Application à des surfaces simples©

Dun

od –

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

4.2.6 Remarque

On voit que la détermination d’un défaut de forme à partir d’un élémentextrait donné dépend en grande partie du mode d’association utilisé.Il reviendra donc au métrologue de choisir la technique la mieuxadaptée en considérant la fonction de l’élément, sa cotation, ainsi queles moyens de mesure et de calcul dont il dispose. La normalisationprécise à ce sujet qu’il faut choisir la méthode qui permet de minimiserla valeur du défaut mesuré. Il est cependant très important de bienremarquer que la valeur d’un défaut déterminée à partir d’une méthoded’association quelconque sera toujours supérieure à la valeur du défautréel. Il n’y a donc aucun risque lorsque l’on réalise une mesure dans lebut d’effectuer un contrôle d’être amené à accepter une pièce défectueuse,tout au plus pourrait-on être amené à devoir refuser une pièce correcte.

4.3 Application à des surfaces simples

4.3.1 Association par la méthode de l’enveloppe

Chaque fois que l’on pose une surface réelle sur une surface de mêmenature théorique dont le défaut est négligeable devant celui de la surfaceréelle, la surface considérée comme parfaite devient l’enveloppe de lasurface réelle. Ceci est très souvent mis en pratique par les métrologues,notamment lors de la métrologie sur marbre : les surfaces enveloppes

Figure 4.6 – Association selon le critère de Tchebytchev.

O

y

xdrec

Espace de Tchebytchev, plus petit espace contenant les n points mesurés

MiM


78

4.3 Application à des surfaces simples

peuvent être alors matérialisées par des marbres, des mandrins expansibles,des piges ou des pinces. Naturellement, l’élément enveloppe peut égale-ment être virtuel, il est alors obtenu par des calculs géométriques àpartir des n points Mi. La figure 4.7 montre l’application du principede l’enveloppe à une surface prétendument plane, les figures 4.8 et 4.9représentent l’application du principe de l’enveloppe à des éléments réelsthéoriquement cylindriques, dans ces cas le cylindre associé est le cylindrecirconscrit ou le cylindre inscrit à la surface réelle.

Figure 4.7 – Association d’un plan enveloppe à une surface réelle.

Figure 4.8 – Association d’un cylindre enveloppe à un arbre réel.

Surface réelle Sr

Le plan du marbre est le plan associé à la surface réelle Sr par la méthode de l’enveloppe

Axe du cylindre associé

Cylindre circonscrit associé à l’arbre réel

par la méthode de l’enveloppe

Arbre réel


79

4.3 Application à des surfaces simples©

Dun

od –

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

4.3.2 Association par la méthode des points particuliers

La mesure de la section droite d’un alésage à l’aide d’un micromètre d’inté-rieur revient à mesurer le diamètre du cercle associé passant par les pointsde contact des trois touches de l’alésomètre avec l’alésage, figure 4.10.

Figure 4.9 – Association d’un cylindre enveloppe à un alésage réel.

Figure 4.10 – Association à un alésage réel d’un cercle passant par trois points.

Cylindre inscrit associé à l’alésage réel par la méthode de l’enveloppe

Alésage réel

Axe du cylindre associé

Section de l’alésage réel

Touches de l’alésomètre

Cercle associé passant parles trois points de contact.


80

4.4 Association d’une surface théoriquequelconque à un nuage de points

Une méthode couramment employée pour la mesure d’un défaut deplanéité consiste à positionner la surface à mesurer sur un marbre parl’intermédiaire de trois appuis réglables (vérins VA, VB et VC). En jouantsur le réglage des vérins, on amène les trois points opposés aux contacts,A, B et C à égale distance du marbre (voir figure 4.11). Le plan ABCétant alors parallèle au marbre, l’exploration complète de la surface àmesurer par le comparateur permettra d’en mesurer le défaut de planéité(déviation totale lue par le comparateur) en choisissant le plan ABCcomme plan associé à la surface réelle.

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

4.4.1 Méthode employée

m Surface théorique

Comme nous l’avons proposé dans le chapitre 1, nous caractériserons laforme d’une surface théorique par l’intermédiaire d’un certain nombren de points Mthi lui appartenant et dont on donnera les coordonnées(xi, yi, zi) dans un repère de cotation orthonormé R(O, 1x, 1y, 1z) lié ausolide qui supporte cette surface. Nous définirons également pour chacun

Figure 4.11 – Association d’un plan par trois points.

VB

VC

SR

A B

C

VA

A


81


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a ph

otoc

opie

non

aut

oris

ée e

st u

n dé

lit.

des n points les cosinus directeurs (ui, vi, wi) de la normale extérieure àl’élément de surface dsi entourant ce point. La surface théorique quelcon-que se présentera donc sous la forme de ce que nous avons appelé unesurface numérisée, naturellement plus le nombre de points sera élevéplus, la définition de la surface théorique sera fine.

M Surface mesurée

La mesure sera réalisée par l’intermédiaire d’un moyen disponible adapté(mesure sur marbre, mesureur de circularité, machine à mesurer tridi-mensionnelle…) et elle consistera à rechercher l’écart ai existant entrechacun des points Mthi et le point appartenant à la surface réelle Mri

lui correspondant. Cette mesure se fera suivant la normale à l’élémentde surface dsi entourant le point théorique considéré 1ni (figure 4.12) ;

nous obtiendrons alors : . Bien entendu cette mesuresera effectuée dans le repère de mesure, repère qui dépend des moyenstechniques utilisés, mais comme la position de la surface réelle, doncd’un référentiel qui lui serait attaché, par rapport au référentiel demesure peut être connue, il sera tout à fait possible de passer d’un

Figure 4.12 – Mesure d’un point Mri appartenant à une surface réelle.

a Mthi,Mri ni⋅=

y

x

z

O

Mth i

ni

Mr i

dsi


82


repère à l’autre en utilisant les méthodes de calcul habituelles que nousavons évoquées précédemment, ce qui fait que dans la suite de ce chapi-tre nous ne distinguerons pas le repère de mesure du repère de cotation.

M Surface associée

Afin de mettre en place une surface associée au nuage de points repré-sentant la surface réelle nous allons déplacer une surface idéale initiale-ment confondue avec la surface théorique de façon à l’amener à être leplus près possible de ces points. Le critère d’association que nous nousproposons de retenir est le critère des moindres carrés, cependant ilserait tout à fait possible d’en choisir un autre si nous le désirions.Nous caractériserons le déplacement à effectuer par le déplacementd’un repère lié à la surface associée R¢ (O¢, x¢, y¢, z¢) (figure 4.13).

La surface réelle étant par définition très proche de la surface théoriquenous pourrons employer dans nos calculs la méthode dite des petitsdéplacements [4.4], nous exprimerons donc le mouvement de R¢ parrapport à R sous la forme habituelle d’un torseur de petits déplace-ments :

Figure 4.13 – Association d’une surface idéale au nuage de points Mri.

y’

x’

O’

z’

y

x

z

O

Mr i

Mth i

ni

Mth’ i

ei


83


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opie

non

aut

oris

ée e

st u

n dé

lit.

Nous rappelons que l’intérêt que présente cet outil dans l’étude dedéplacement de solides est que dans le cas où les déplacements en rota-tion sont faibles (quelques degrés), le champ des vecteurs déplacementsde tous les points du solide considéré peut se mettre sous la forme d’untorseur (torseur des petits déplacements). Il est ainsi possible lorsquel’on connaît l’expression des composantes de ce torseur en un pointquelconque, de déterminer très facilement le déplacement de n’importequel autre point du solide sans passer par des calculs fastidieux.

position du point Mthi après optimisation, la méthode des petits

déplacements nous permet d’écrire : Mthi,Mth¢i = O,O¢ + (Mthi,OŸW).

Soit ei l’écart entre un point Mri et la surface associée :

ei = ai – Mthi,Mth¢i ◊ ni

Donc : ei = ai – [O,O¢ ◊ ni + (Mthi,OŸW)ni]

avec :

ei = ai – [(dx ◊ ui + dy ◊ vi + dz ◊ wi)+(dαy ◊ zi – dαz ◊ yi) ◊ ui + (dαz ◊ xi – dαx ◊ zi) ◊ vi + (dαx ◊ yi – dαy ◊ xi) ◊wi]

ei = ai – [(dx + dαy ◊ zi – dαz ◊ yi) ◊ ui –(dy + dαz ◊ xi – dαx ◊ zi) ◊ vi –(dz + dαx ◊ yi – dαy ◊ xi) ◊ wi]

D R′ R⁄( ){ }OW R′ R⁄( )

U O R⁄( )⎩ ⎭⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎧ ⎫

O

=

Mth′i

ni = ui

vi

wi

, O,O¢ = dxdydz

, W = dαxdαydαz

, Mthi,O = –xi

–yi

–zi

dαy ◊ zi – dαz ◊ yi

dαz ◊ xi – dαx ◊ zi

dαx ◊ yi – dαy ◊ xi

Mthi,OŸW =


84


Nous arrivons ainsi à une forme générale :

L’association sera considérée comme optimisée selon le critère de Gausslorsque la somme des carrés de tous les écarts ei sera minimum, pourréaliser le calcul nous allons utiliser une fonction F telle que :

F sera donc une fonction de 6 variables, dx, dy, dz, dαx, dαy, dαz, ellepassera par un minimum lorsque les dérivées partielles par rapport àchacune de ces variables s’annuleront, il nous faudra donc calculersuccessivement :

Ceci nous donnera un système de 6 équations à 6 inconnues dont larésolution nous fournira la valeur à affecter aux composantes du torseurdes petits déplacements (les variables du système) afin que le balançagesoit optimisé. En reportant ces valeurs dans l’expression (1) il sera ainsipossible de calculer les différents écarts ei et d’en déterminer le défautde forme de la surface mesurée.

4.4.2 Applications

m Détermination du défaut de rectitude d’une règle

Nous nous proposons maintenant d’appliquer ce qui précède à lamesure de la rectitude d’une règle, le problème a déjà été traité en 4.2, celanous permettra de valider les résultats obtenus. La règle est posée sur unmarbre, elle est calée à ses deux extrémités de façon à être approximati-vement parallèle à la surface du marbre. La mesure des écarts se fait àl’aide d’un comparateur dans une direction perpendiculaire au marbre,

ei = ai – (dx + dαy ◊zi – dαz ◊yi) ◊ui – (dy + dαz ◊xi – dαx ◊zi) ◊vi

– (dz + dαx ◊yi – dαy ◊xi) ◊wi(1)

F ei2

i 1=

i n=

∑=

∂F∂dαx------------- 0 ∂F

∂dαy------------- 0 ∂F

∂dαz------------- 0 ∂F

∂dx--------- 0 ∂F

∂dy--------- 0 ∂F

∂dz--------- 0=,=,=,=,=,=


85


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lit.

le profil de la règle sera donc connu par l’intermédiaire des 5 points Mrilui appartenant (figure 4.14).

Le balançage se fera en déplaçant une droite initialement confondueavec l’axe Oy dans le plan y, O, z de façon à l’amener à être associée auxn points de l’élément extrait.

Les valeurs de ui et vi étant égale à 0, celle de wi étant égale à 1, dx, dayet daz étant nulles (1n perpendiculaire au marbre et le problème est unproblème plan) de (1) nous tirons alors : ei = ai – dz – dax ◊ yi.

yi mm 0 50 100 150 200

ai µm 0 +2 +7 +5 +8

Figure 4.14 – Mesure du défaut de rectitude d’une règle.

y i mm 0 50 100 150 200

a iµm 0 +2 +7 +5 +8

y

z

Règle

Mri

ni

ni = ui = 0vi = 0wi = 0

dax00

nous aurons : et {D(R¢/R)}O =0dydz O


86


Si le critère d’association est celui des moindres carrés nous écrirons :

.

Pour que F passe par un minimum il faudrait que :

et que :

(2)

(3)

1 2 3 4 5 S

yi 0 50 100 150 200 500

ai 0 +0,002 +0,007 +0,005 +0,008 0,022

ai ◊yi 0 0,1 0,7 0,75 1,6 3,15

yi2 0 2 500 10 000 22 500 40 000 75 000

F ei2

i 1=

i n=

∑ F→ ai dz– dαx yi⋅–( )2

i 1=

i n=

∑= =

∂F∂dz--------- 0=

∂F∂dαx------------ 0=

∂F∂dz---------

∂ei2

∂dz---------

i 1=

i n=

∑ 2 ai dz– dαx yi⋅–( ) 1–( )i 1=

i n=

∑= =

∂F∂dαx------------

∂ei2

∂dαx------------

i 1=

i n=

∑ 2 ai dz– dαx yi⋅–( ) yi–( )i 1=

i n=

∑= =

∂F∂dz--------- 0 dz dαx yi ai

i 1=

i n=

∑–⋅i 1=

i n=

∑+i 1=

i n=

∑→ 0= =

∂F∂dαx------------ 0 dz yi⋅ dαx yi

2 ai yi⋅i 1=

i n=

∑–⋅i 1=

i n=

∑+i 1=

i n=

∑→ 0= =


87


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lit.

soit en reportant les valeurs numériques dans (2) et (3) :5 dz + 500 dαx – 0,022 = 0500 dz + 75 000 dαx – 3,15 = 0

Ce qui permet alors de calculer les différents écarts ei en utilisant :

ei = ai – dz – dαx ◊yi

Ce qui donnera un défaut de rectitude de : 2,6 ± 1,3 = 3,9 µm

m Détermination du défaut de circularité d’une section droite d’un cylindre de révolution

Le cylindre est monté entre pointes sur un diviseur angulaire, la mesuredes écarts se fait tous les 40 degrés dans la direction 1ni à l’aide d’uncomparateur à touche plate (figure 4.16).

d’où : dαx = 0,000 038 rd et dz = 0,6 µm

yi 0 50 100 150 200

ai µm 0 2 7 5 8

dz µm 0, 6 0,6 0,6 0,6 0,6

dαx ◊yi µm 0 1,9 3,8 5,7 7,6

ei mm –0,6 –0,5 2,6 –1,3 –0,2

Figure 4.15 – Représentation du défaut de rectitude de la règle.

O

z

y100 15 2050

Défaut de rectitude

dz Droite associée


88


Résultats des mesures :

Le balançage se fera en déplaçant un cercle initialement centré en Odans le plan x,O,y, ce cercle devenant le cercle associé selon le critère deGauss.

Dans ce cas l’équation générale (1) s’écrira alors : ei = ai – dx ◊cosθi– dy ◊sinθi

nous aurons donc : .

Le balançage sera optimisé lorsque : et .

Figure 4.16 – Mesure de la circularité d’une section droite d’un cylindre.

θi 0 40 80 120 160 200 240 280 320

ai µm 0 +12 –25 –2 –11 –14 –14 +10 +15

x

yO

θ iMr i

ni

ni = ui = cos qivi = sin qiwi = 0

000

nous aurons : et {D(R¢/R)}O =dxdy0 O

F ai dx θicos dy θisin⋅–⋅–( )2

i 1=

i n=

∑=

∂F∂dx--------- 0= ∂F

∂dy--------- 0=

∂F∂dx--------- 2 a dx θicos dy θisin⋅–⋅–( ) θisin( )=

∂F∂dy--------- 2 a dx θicos dy θisin⋅–⋅–( ) θicos–( )=


89


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lit.

(4)

(5)

soit en reportant les valeurs numériques dans (4) et (5):4,5dx – 49,57 = 0– 4,5dy – 24,98 = 0

θi cosθi sinθi cosθi ◊sinθi cos2θi sin2θi ai ◊cosθi ai ◊sinθi

0 1 0 0 1 0 0 0

40 0,766 0,6428 0,49237 0,58675 0,4132 9,192 7,7136

80 0,1736 0,9848 0,17096 0,03013 0,96983 –4,34 –24,62

120 –0,5 0,866 –0,433 0,25 0,745 1 –1,732

160 –0,9397 0,3420 –0,32137 0,8830 0,117 10,3367 –3,762

200 –0,9397 –0,3420 0,32137 0,8830 0,117 13,1558 4,788

240 –0,5 –0,866 0,433 0,25 0,745 7 12,124

280 0,1736 –0,9848 –0,17096 0,03013 0,96983 1,736 –9,848

320 0,766 –0,6428 –0,49237 0,58675 0,4132 11,49 –9,642

S 0 0 0 4,5 4,5 49,57 –24,98

d’où : dx = 11,01 µm et dy = – 5,55 µm

dx θicos θisin⋅ ⋅ dy sin2θi⋅i 1=

i n=

∑ ai θisin⋅i 1=

i n=

∑+–i 1=

i n=

∑– 0=

dx cos2θi⋅ dy sinθi θicos⋅ ⋅i 1=

i n=

∑ ai θicos⋅i 1=

i n=

∑–+i 1=

i n=

∑ 0=


90


Ce qui permet de calculer les différents ei en utilisant : ei = ai – dx ◊cosθi – dy ◊sin θi

Ce qui donnera un défaut de circularité de : 8,30 ± 21,45 = 29,75 µm

m Détermination du défaut de planéité d’une surface

La surface à mesurer est posée sur un marbre et l’on mesure dans unedirection 1ni perpendiculaire au marbre l’altitude ai de 15 points réguliè-rement répartis sur la surface (figure 4.18). Les résultats des mesuressont présentés dans le tableau 4.1.

θi 0 40 80 120 160 200 240 280 320

ai 0 12 –25 –2 –11 –14 –14 10 15

dx◊cosθ 11,1 8,43 1,91 –5,50 –10,34 –10,34 –5,50 1,91 8,43

dy ◊sinθi 0 –3,56 –5,46 –4,80 –1,90 1,90 4,80 5,46 3,56

ei –11,11 7,13 –21,45 8,30 1,24 –5,56 –13,30 2,63 3,01

Figure 4.17 – Représentation du défaut de circularité de la section mesurée.

dy

dxy

x

O80°

120°

160° 200°

40°

240°

280°

320°


91


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lit.

M Association par un plan passant par trois points

Pour les raisons de stabilité déjà évoquées nous choisissons de prendre leplan passant par les points 1, 5 et 15 comme plan associé. Cette associa-tion sera virtuelle c’est-à-dire que nous allons la réaliser en simulantdeux rotations, une première autour de l’axe Oy puis une secondeautour de l’axe Ox, de façon à amener les points 5 et 15 à l’altitude dupoint 1, c’est-à-dire zéro.

Première rotation autour de OyOn va imaginer que l’on fait tourner la surface autour de Oy jusqu’à ceque le point 5 se retrouve à l’altitude 0, on remarque que dans ce cas larotation sera positive d’un angle dont la tangente sera 30/200 000(l’angle étant petit on peut considérer que day = 3/20 000 rd). Il estfacile de voir que les points 5, 10 et 15 descendront de 30 µm, que les

Tableau 4.1 – Résultats des mesures.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

xi

mm0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200

yi

mm0 0 0 0 0 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100

ai

mm0 10 10 40 30 10 –10 0 20 30 0 –20 –30 –10 –20

Figure 4.18 – Mesure du défaut de planéité d’une surface.

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

x

z

O

yni


92


points 3, 8 et 13 descendront eux de 15 µm et ainsi de suite, alors qu’onpeut raisonnablement estimer que les points 1,6 et 11 sont suffisammentproches de l’axe de rotation pour que leur déplacement soit négligeable.Les résultats de la simulation de la première rotation apparaissent dansle tableau 4.2.

Seconde rotation autour de OxDe la même façon on va simuler une rotation autour de l’axe Ox afind’amener le point 15 à l’altitude 0. Ici la rotation sera positive d’unangle dont la tangente sera égale à 50/100 000. Un raisonnement dumême type que celui qui a été tenu lors de la rotation autour de Oydonnera les résultats du tableau 4.3.

Tableau 4.2 – Coordonnées des points après une première rotation autour de Oy.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

xi

mm0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200

yi

mm0 0 0 0 0 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100

ai

mm0 2 –5 17 0 10 –18 –15 –3 0 0 –28 –45 –33 –50

Tableau 4.3 – Coordonnées des points après une seconde rotation autour de Ox.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

xi

mm0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200

yi

mm0 0 0 0 0 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100

ai

mm0 2 –5 17 0 33 5 8 20 23 50 22 5 17 0


93


© D

unod

– L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

ée e

st u

n dé

lit.

Dans ce cas on calculerait un défaut de planéité égal à : 50 ± 5 = 55soit : 55 µm.

M Association par un plan des moindres carrés

Dans le cas traité ui = 0, vi = 0 et wi = 1 l’équation générale (1) devient :

ei = ai – dz – dax ◊ yi + day ◊ xi

Soit :

D’où les trois équations suivantes :

F ai dαx yi dαx xi⋅+⋅–( )2

1

n

∑=

∂F∂dz--------- 2 ai dz– dαx yi dαy xi⋅+⋅–( ) 1–( )

1

n

∑= =

2 a– i dz dαx yi dαy xi⋅+⋅+ +( )1

n

∑

∂F∂dαx------------ 2 ai dz– dαx yi dαy xi⋅+⋅–( ) yi–( )

1

n

∑= =

2 a– i yi⋅ dz yi⋅ dαx yi2 dαy xi yi⋅ ⋅–⋅+ +( )

1

n

∑

∂F∂dαy------------ 2 ai dz– dαx yi dαy xi⋅+⋅–( ) xi( )

1

n

∑= =

2 ai xi dz xi dαx yi xi dαy xi2⋅+⋅ ⋅–⋅–⋅( )

1

n

∑

ai

1

n

∑ dz1

n

∑ dαx yi⋅1

n

∑ dαy xi⋅1

n

∑–+ +– 0=


94


Tabl

eau

4.4

– Ta

blea

u de

cal

cul.

12

34

56

78

910

1112

1314

15S

x i0

5010

015

020

00

5010

015

020

00

5010

015

020

015

00

y i0

00

00

5050

5050

5010

010

010

010

010

075

0

a i0

0,01

0,01

0,04

0,03

0,01

–0,0

10

0,02

0,03

0–0

,02

–0,0

3–0

,01

–0,0

20,

06

x i2

02

500

10 0

0022

500

40 0

000

2500

10 0

0022

500

40 0

000

2 50

010

000

22 5

0040

000

225

000

y i2

00

00

02

500

2 50

02

500

2 50

02

500

1000

010

000

10 0

0010

000

10 0

0062

500

x i◊y

i0

00

00

02

500

5 00

07

500

1 00

00

5 00

01

000

15 0

0020

000

75 0

00

a i◊x

i0

0,5

16

60

–0,5

03

60

–1–3

–1,5

–412

,5

a i◊y

i0

00

00

0,5

–0,5

01

1,5

0–2

–3–1

–2–5

,5

Tabl

eau

4.5

– Ré

sult

ats

du c

alcu

l des

éca

rts.

12

34

56

78

910

1112

1314

15

a i0

0,01

0,01

0,04

0,03

0,01

–0,0

10

0,02

0,03

0–0

,02

–0,0

3–0

,01

–0,0

2

e i–0

,012

–0,0

06–0

,010

0,01

50,

001

0,01

5–0

,010

–0,0

040,

012

0,01

80,

021

–0,0

03–0

,017

–0,0

01–0

,015


95

4.5 Bibliographie©

Dun

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ocop

ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

Les valeurs contenues dans le tableau 4.4 vont permettre de numériserces trois équations.

Les équations précédentes deviennent :

– 0,06 + 15 dz + 750 dax – 1 500 day = 0

5,5 + 750 dz + 62 500 dax – 75 000 day = 0

12,5 – 1 500 dx – 75 000 dax + 225 000 day = 0

La résolution de ce système permet d’obtenir :

dz = 0,012, day = – 0,0000866 et dax = – 0,00034

À partir de l’équation de départ ei = ai – dz – dax ◊ yi + day ◊ xi, il estpossible en lui injectant les valeurs que l’on vient de calculer de trouverles écarts après optimisation, voir le tableau 4.5.

D’où un défaut de planéité égal à : 0,021 ± 0,017 = 0,038 soit : 38 µm.

4.5 Bibliographie

[4.1] Cours de physique, mathématiques pour la physique, Y. NOIROT,J.-P. PARISOT, N. BROUILLET, Dunod, 1997, p. 83 à 106.

[4.2] NF E 10-105, Méthodes de mesurage dimensionnel, 6e partie :Établissent des références spécifiées, AFNOR 1990.

[4.3] Cours de physique, mathématiques pour la physique, Y. NOIROT,J.-P. PARISOT, N. BROUILLET, Dunod, 1997, p. 151 à 158.

[4.4] Liaisons, mécanismes et assemblages, P. AGATI, F. LEROUGE,M. ROSSETO, Dunod, 1994, p. 19 à 24.

ai yi⋅1

n

∑ dz yi⋅1

n

∑ dαx yi2⋅

1

n

∑ dαy xi yi⋅ ⋅1

n

∑–+ +– 0=

ai xi⋅1

n

∑ dz xi⋅1

n

∑ dαx yi xi⋅ ⋅1

n

∑ dαy xi2⋅

1

n

∑–+ + 0=

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lit.

97

5 • SPÉCIFICATIONS GÉOMÉTRIQUES

5.1 Caractéristiques d’une surface

5.1.1 Rappels et généralités

Comme nous l’avons montré précédemment dans le chapitre 1, tout objettechnique élémentaire (communément appelé pièce chez les mécaniciens)est un solide de matière limité par une ou plusieurs surfaces (exemplel’arbre porte-fraise représenté sur la photographie de la figure 5.1). Nousavons vu également que de la forme, des dimensions et des positions

Figure 5.1 – Tout objet technique est un volume limité par des surfaces.

Plan

Cône

Cylindre

5 • Spécificationsgéométriques

98

5.1 Caractéristiques d’une surface

respectives de ces surfaces (figure 5.2) va dépendre directement lafonctionnalité de l’objet. Il est donc essentiel pour tous les acteurs dugénie mécanique de pouvoir définir les caractéristiques de chacune dessurfaces qui définissent la géométrie d’une pièce quelconque aussirigoureusement que possible.

La spécification géométrique des produits est donc un domaine impor-tant du génie mécanique qui concerne aussi bien les concepteurs (écri-ture) que les fabricants et les contrôleurs (lecture). L’expérience montreque de nombreux problèmes liés à la qualité des productions industriellesont leur origine dans la confusion que peuvent faire les différents inter-venants de la chaîne de réalisation d’un produit quant à la significationou à l’interprétation des informations données. C’est pour tenter deremédier à cet état de fait que les responsables de la normalisation ont misen place le système GPS (spécification géométrique des produits) [5.1]. Cesystème est basé sur une matrice double entrée qui permet de retrouverde façon univoque les normes concernées lors des différentes étapes dela vie d’un produit industriel. Seule la lecture attentive des nombreusesnormes existantes permettra aux différents utilisateurs de les écrire et de

Figure 5.2 – Les surfaces doivent avoir des dimensions théoriques définies et occuper des positions particulières

les unes par rapport aux autres.

Cylindre de diamètre 22 mm

Coaxial avec le cône

Plan perpendiculaire à l’axe du cône

Cône de conicité 7/24


99

5.2 Tolérances dimensionnelles©

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est

un

délit

.

les déchiffrer sans ambiguïté. Cette consultation est d’autant plusnécessaire que les normes sont amenées à évoluer constamment. Danscet ouvrage nous n’expliquerons donc pas le pourquoi et le comment dela normalisation, nous nous contenterons de préciser certains pointsqui nous paraissent importants pour la lire et pour la comprendre dansle but d’essayer d’éviter les erreurs que nous avons le plus souvent crurelever chez de nombreux utilisateurs.

5.1.2 Principe de l’indépendance

Pour chaque surface il sera tout d’abord indispensable d’indiquer la naturethéorique de celle-ci, c’est-à-dire la forme aussi bien à l’échelle macro-scopique qu’à l’échelle microscopique, qu’elle doit présenter afin deremplir correctement la, ou les, fonctions qui lui sont dévolues (guidage,étanchéité, aspect, résistance à une pression mécanique…) ainsi que sesdimensions idéales. Il faudra ensuite définir la flexibilité acceptable surces informations, c’est-à-dire les tolérances que l’on pourra admettresans perturber de façon inacceptable la fonction dévolue à cette surface.Enfin il sera nécessaire d’indiquer la position que devra occuper cettesurface par rapport aux autres surfaces de la pièce. La normalisationactuelle [5.2] nous impose, sauf notation contradictoire (enveloppe, maxi-mum de matière) sur lesquelles nous reviendrons par la suite, d’appliquerle principe de l’indépendance qui, comme son nom l’indique, précise quetoutes les spécifications doivent être considérées indépendamment lesunes des autres.

5.2 Tolérances dimensionnelles

5.2.1 Rappels

Tout d’abord, il est essentiel de rappeler qu’une dimension est toujoursune dimension locale, c’est-à-dire qu’elle correspond à la distanceséparant deux points diamétralement opposés dans le cas de surfacesthéoriquement de révolution ou deux points en vis-à-vis dans le casd’éléments prismatiques. Autrement dit, le respect d’une condition


100


dimensionnelle dans le cas de l’indépendance ne préjuge absolument pasde la forme de l’élément considéré.Une spécification dimensionnelle comprend toujours, une longueurexprimée en unité de longueur, la valeur nominale, une informationquant à la flexibilité admissible sur cette longueur, l’intervalle de tolé-rance, et la position de cet intervalle de tolérance par rapport à la valeurnominale, l’écart. L’ensemble des valeurs que peut prendre une dimensions’appelle la cote, la normalisation nous autorise un grand nombre defaçons d’écrire ces informations, voir un exemple figure 5.3.

Par exemple si dans la représentation de la figure 5.3 la valeur nominaleest 40 mm, l’écart supérieur +15 µm, l’écart inférieur –10 µm, l’inter-valle de tolérance (IT) sera donc égal à 25 µm, la normalisation nousautorisera toutes les écritures ci-dessous, même si certaines d’entre ellessont plus souvent utilisées et plus pratiques que les autres :

5.2.2 Système ISO de tolérancement

Depuis de nombreuses années, la normalisation a imaginé un système detolérancement standard ; ce système initialement destiné à faciliterl’interchangeabilité entre les différents constituants d’un assemblage estutilisable dans tous les cas d’écriture de tolérances dimensionnelles [5.3].On rappelle qu’un ajustement est un assemblage de deux pièces méca-niques, un contenant ou alésage et un contenu ou arbre. Le système de

Figure 5.3 – représentation d’une cotation dimensionnelle

Valeur nominale de la cote

Valeur minimale de la cote

Valeur maximale de la cote

écart supérieur écart inférieur

IT

40 0,010–+0,015 40,015 0,025–

0 39,990+0,025 40,0025–0,0125

+0,0125, , ,


101

5.2 Tolérances dimensionnelles©

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est

un

délit

.

dimensionnement ISO conçu également dans le but de limiter lesoutillages de fabrication (fraises, forets, alésoirs…) ou de contrôle (tampons,bagues…) comporte trois composantes. La première est un nombreexprimant la valeur nominale de la cote, ce nombre est de préférence àchoisir parmi une série de nombres normalisés (séries Renard). Ladeuxième est une lettre, majuscule pour un alésage minuscule pour unarbre, cette lettre correspond à la position de l’intervalle de tolérancepar rapport à la dimension nominale. La troisième composante de lacote est un nombre qui indique l’étendue de cet intervalle de tolérance.Par exemple en utilisant ce système d’écriture un arbre cylindrique dontla cotation serait celle de la figure 5.3 serait indiqué : ∆ 40 j 7.L’écriture 50H7 signifierait qu’il s’agit d’un alésage dont la dimensionconsidérée doit présenter une valeur nominale de 50 mm, un écartsupérieur de 0,025 mm et un écart inférieur de 0 mm.Alors que 32g6 signifierait qu’on parle d’un arbre dont la dimensionconsidérée doit présenter une valeur nominale de 32 mm, un écartsupérieur de – 0,009 mm et un écart inférieur de – 0,025 mm.

5.2.3 Signification de l’indépendance

La spécification de diamètre représentée sur la figure 5.4 précise que lesrésultats de toutes les mesures réalisées entre deux points diamétrale-ment opposés appartenant à la surface cylindrique doivent être comprisentre 19,9 mm et 20,2 mm, ceci n’impliquant aucune contrainte sur laforme réelle de la surface.

Ce qui fait que la surface réelle peut, par exemple, présenter la forme quel’on voit sur la figure 5.5 et être tout à fait conforme à la spécification

Figure 5.4 – Cotation du diamètre d’un cylindre.

2,01,020+

−∅


102


dimensionnelle imposée, toutes les mesures entre deux points diamétra-lement opposés étant contenues dans l’espace spécifié. On constate donc àtravers ce cas simple qu’il est très difficile de définir la valeur du diamètred’un cylindre réel à partir d’une spécification purement dimensionnelle.S’agit-il, par exemple, de la valeur moyenne d’un grand nombre de mesureseffectuées entre des points diamétralement opposés ? ce qui n’aurait pasbeaucoup de sens si l’on considère la remarque précédente, il faudraitplutôt dire que le diamètre de l’élément réel est compris entre la plus grandevaleur mesurée et la plus petite sans autre précision. Pour contraindre lasurface réelle à se rapprocher d’un cylindre théorique il serait nécessairede lui ajouter une spécification de forme.

5.2.4 État de surface

Indépendamment des défauts de forme sur lesquels nous allons revenir,les procédés de réalisation d’une surface réelle vont produire unecertaine rugosité sur cette surface. Bien entendu cette rugosité corres-pond également à une différence entre la surface théorique et la surfaceréelle, c’est donc un défaut de forme, mais ce défaut se détecte à une échelled’observation beaucoup plus fine c’est pourquoi il est rangé arbitrairement

Figure 5.5 – Ce que la cotation de la figure 5.4 peut permettre.


103

5.3 Tolérances de forme©

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.

dans ce que l’on appelle les défauts d’état de surface. Ce problème seraévoqué en détail dans le chapitre 7 qui traite de la mesure et de la carac-térisation des états de surface et qui fera apparaître notamment lafaçon d’exprimer les tolérances de rugosité conformément à la normali-sation en vigueur, nous ne nous étendrons donc pas davantage sur cettequestion maintenant.

5.3 Tolérances de forme

5.3.1 Principe de notation

Les spécifications de formes se rapportent à des éléments géométriquesqui peuvent être linéaires ou surfaciques. Elles indiquent un espace àl’intérieur duquel doit se trouver la totalité de l’élément réel concerné,cet espace peut être un espace plan (en deux dimensions) ou un espacevolumique (en trois dimensions).

L’information doit indiquer la largeur de cet espace et la forme de seslimites. La norme ISO 1101 [5.4] indique le code d’écriture utilisé pourpréciser cette spécification.

m Exemple 1

Si nous voulons contraindre le cylindre de la figure 5.4 à se rapprocherd’un cylindre théorique, nous pouvons tolérancer la rectitude de sesgénératrices ou de son axe selon la fonction qu’il doit remplir, voirfigures 5.6a et 5.6b.

Le schéma de la figure 5.6a signifie que chaque génératrice de la surfaceréelle doit être contenue entre deux droites rigoureusement parallèlesentre elles, distantes de 0,1mm l’une de l’autre et situées dans un planpassant par l’axe.

Le schéma de la figure 5.6b signifie que les centres des cercles associésà toutes les sections droites de la surface réelle doivent être contenus àl’intérieur d’un cylindre théorique de diamètre 0,1 mm.


104

5.3 Tolérances de forme

m Exemple 2

La tolérance de circularité représentée sur la figure 5.7 signifie que tousles points appartenant à une section droite du cylindre réel concerné,donc quelconque, doivent se trouver dans l’espace compris entre deuxcercles théoriques concentriques distants l’un de l’autre de 0,1 mm.

Figure 5.6 – a : Tolérances de rectitude ;b : Tolérances de rectitude.

Figure 5.7 – Représentation d’une tolérance de circularité.

0,1

0,1

2,01,020+

−

2,01,020

a

b

+−

∅

∅

∅

0,1

0,1


105

5.3 Tolérances de forme©

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est

un

délit

.

m Exemple 3

L’écriture de la tolérance de forme d’une surface théoriquement planeest représentée sur la figure 5.8. Elle signifie que tous les points appartenantà la surface réelle doivent se trouver entre deux plans parallèles distants de0,08 mm l’un de l’autre.

5.3.2 Exigence de l’enveloppe

Ce principe se substitue au principe de l’indépendance lorsqu’il est néces-saire d’instituer une interdépendance entre la dimension et la géométrie del’élément considéré. C’est naturellement le concepteur qui déciderapour des raisons fonctionnelles (souvent des conditions liées à l’assem-blage) d’imposer ce type de cotation, on peut rappeler que le principede l’enveloppe s’apparente au principe de Taylor qui a été utilisé préfé-rentiellement pendant de nombreuses années. Cette exigence est indi-quée, soit par une information concernant la norme utilisée dans lecartouche du dessin, soit par un symbole portant la lettre E inscrit à lasuite de la cote concernée (voir figure 5.9).

Figure 5.8 – Écriture d’une tolérance de planéité.

0,08

0,08


106

5.4 Tolérances de position

m Exemple pour un cylindre

La surface réelle dont le diamètre ne doit jamais être inférieur à la valeurminimale admissible (ici 39,961 mm) doit être entièrement située àl’intérieur d’un cylindre parfait ayant le diamètre maximal admissible (ici40 mm). On voit que dans l’exemple choisi l’exigence de l’enveloppeimplique qu’en aucun cas le défaut de rectitude d’une génératrice oule défaut de circularité d’une section droite ne puisse excéder une valeurde 0,039 mm. À noter que lorsque la surface réelle est à son diamètremaximum, ceci implique que son défaut de cylindricité admissiblesoit nul.


Mis à part quelques rares produits (une bille de roulement par exem-ple), une pièce mécanique est toujours limitée par plusieurs surfacesélémentaires dont on a indiqué la forme théorique et les dimensions.Pour que la géométrie soit complètement définie, il sera nécessaire depréciser aussi les positions relatives que devraient théoriquement occuper

Figure 5.9 – Cotation d’un cylindre selon l’exigence de l’enveloppe.

∅ 40h8 E

∅ 40


107

5.4 Tolérances de position©

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est

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.

ces surfaces. Naturellement, une surface ne peut être positionnée que parrapport à une ou plusieurs surfaces déjà définies et appartenant au mêmesolide réel (surface(s) de référence).

5.4.1 Éléments de référence

Une surface ne peut donc être positionnée que par rapport à une ouplusieurs autres surfaces appartenant au même solide, ces surfaces consti-tuent le système de référence et elles doivent être très clairement préci-sées. La normalisation propose d’indiquer les surfaces choisies pourconstruire les systèmes de référence de la façon suivante (figure 5.10).

Les systèmes de référence seront construits à partir des surfaces réellespar l’intermédiaire d’éléments théoriques associés à ces surfaces réelles.Les méthodes d’association seront choisies bien sûr en fonction de lacotation, mais aussi en fonction des moyens techniques dont on dispo-sera pour réaliser la fabrication ou la mesure. Les méthodes d’associa-tion par l’enveloppe ou par les moindres carrés sont le plus souventemployées. Les références choisies peuvent être simples, communes ouordonnées.

Figure 5.10 – Éléments de référence.

A

Le plan associé à la surface quelconque A est utilisé comme élément de référence.

L’axe du cylindre associé à la surface quelconque A est utilisé comme élément de référence.

A


108


5.4.2 Références communes

L’élément spécifié est positionné par rapport à une référence formée à partirde deux ou plusieurs éléments réels. L’ordre dans lequel on considérera ceséléments réels n’a aucune importance.

Le cylindre associé à la surface réelle référencée doit être coaxial avecune tolérance de 0,2 mm à la droite passant par les centres de deuxcercles A et B associés aux surfaces réelles repérées. Ce qui signifie quel’axe du cylindre associé à la surface référencée réelle doit être entière-ment situé à l’intérieur d’un cylindre théorique, coaxial à la droite A-Bet de diamètre 0,2 mm. Dans ce cas, le système de référence est cons-truit à partir d’un ensemble d’éléments réels sans tenir compte del’ordre d’écriture des éléments de référence dans la cotation (ceux-ci sontinscrits dans la même case et ils sont séparés par un tiret). On verra par lasuite que ce type de spécification des éléments de référence peut prêter àconfusion et qu’il vaut souvent mieux lui préférer le système de référencesordonnées.

5.4.3 Références ordonnées

m Intérêt d’utiliser un système de références ordonnées

Pour faire apparaître l’intérêt qu’il y a d’utiliser de préférence un systèmede références ordonnées, nous allons considérer un problème simple à

Figure 5.11 – Écriture d’une coaxialité par rapport à une référence commune.

BA

A-B0,2∅


109


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.

savoir le positionnement d’un trou poinçonné dans une plaque mince.L’épaisseur de la plaque étant négligeable, nous traiterons le problèmecomme un problème plan à deux dimensions plus facile à visualiser,nous verrons par la suite que cette problématique peut être étendue àn’importe quel cas réel tridimensionnel.

La cotation de la figure 5.12 est relativement habituelle, elle consiste àutiliser des spécifications dimensionnelles pour localiser le poinçonnage.Rappelons qu’il s’agit des dimensions locales et que ceci ne correspondpeut-être pas tout à fait à ce que souhaitait exprimer le concepteur. Lazone de tolérance à l’intérieur de laquelle doit se situer le centre du cercleassocié au poinçonnage est un carré de 0,2 mm de côté centré sur laposition nominale.

La cotation de la figure 5.13 utilise une tolérance de localisation à partird’un système de références communes. On voit bien sur la partie droitede la figure que du fait que les références réelles A et B ne sont nigéométriquement parfaites ni rigoureusement perpendiculaires entreelles, il existe une infinité de possibilités pour leur associer un référentielorthonormé permettant de localiser le centre du poinçonnage. Une foisce centre théorique trouvé (on rappelle que selon la normalisation, unedimension encadrée portée sur un dessin signifie qu’il s’agit d’unevaleur théorique c’est-à-dire sans tolérance) la zone de tolérance à l’inté-rieur de laquelle doit se situer le centre du cercle associé au poinçonnageest un cercle de 0,2 mm de diamètre centré sur la position nominale.

Figure 5.12 – Cotation dimensionnelle de la position du poinçonnage.

30

201,01,020+

−

1,01,030+

−


110


L’utilisation d’un système de références ordonnées permet de levertoutes les ambiguïtés que présente le système des références communesexposé précédemment. Dans cette écriture, les éléments de référencesont inscrits dans des cases séparées et dans l’ordre de leur prise encompte (voir figures 5.14 et 5.15). Cet ordre imposé par le concepteurpour des raisons fonctionnelles doit être respecté lors de toutes lesétapes de la production c’est-à-dire pendant la fabrication et pour lecontrôle. Dans le cas de la figure 5.14 l’ordre est A-B, c’est-à-dire quel’on devra commencer par associer un axe du référentiel cartésien de

Figure 5.13 – Localisation de la position du poinçonnage, références communes.

Figure 5.14 – Localisation du poinçonnage, références ordonnées A-B.

30

20

30

20

0,2 A-B

A

B

∅

30

20

A B

A

B

30

20

0,2 ∅


111


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od –

La

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ocop

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on a

utor

isée

est

un

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.

positionnement à l’élément A puis le second à l’élément B. La zone detolérance à l’intérieur de laquelle doit se situer le centre du cercle associéau poinçonnage est un cercle de 0, 2 mm de diamètre centré sur la posi-tion nominale. Par contre, dans le cas de la cotation de la figure 5.15l’ordre exigé est B-A, c’est-à-dire que l’on devra commencer par associerun axe du référentiel de positionnement à l’élément B puis le second àl’élément A.

m Utilisation d’un système de références ordonnées en trois dimensions

Le système de référence sera construit en considérant dans l’ordre lessurfaces associées aux surfaces réelles A, B,C (figure 5.16).

1. Le plan associé à la surface réelle A déterminera le plan Ox, Oz, l’axeOy sera donc normal au plan Ox, Oz.

2. Un plan normal au plan Ox, Oz associé à la surface réelle B détermi-nera le plan Ox, Oy ; son intersection avec le plan Ox, Oz permettrad’obtenir l’axe Ox. Le référentiel étant un référentiel orthonormé,l’axe Oz sera perpendiculaire aux deux autres axes Ox et Oy.

3. Un plan normal aux plans Ox, Oz et Ox, Oy associé à la surfaceréelle C déterminera le plan Oy, Oz ; son intersection avec l’axe Oxdonnera l’origine du référentiel O.

Figure 5.15 – Localisation du poinçonnage, références ordonnées B-A.

30

20

30

20A

B

0,2 B A∅


112


Comme rappelé précédemment, les dimensions encadrées sont des valeursthéoriques, elles ne sont donc pas tolérancées, elles permettent de définir laposition que devrait théoriquement occuper l’axe de l’alésage par rapportau système de référence construit. C’est la spécification de localisation,cylindre de diamètre 0,2 mm, qui déterminera l’espace de tolérance àl’intérieur duquel devra se situer la totalité de l’axe du cylindre associéà l’alésage.

5.4.4 Écriture des spécifications de position

Comme en ce qui concerne les spécifications de forme, les spécificationsde position détermineront un espace à l’intérieur duquel devront se trouvertous les points appartenant à l’élément référencé. L’élément référencépouvant être réel (surface) ou virtuel (axe d’un cylindre associé à un alésage,plan de symétrie…). L’espace de tolérance sera mis en place à partir de laposition théorique souhaitée par rapport au système de référence spécifié.Il est bon de rappeler que sauf indication contraire (par exemple dansle cas des tolérances projetées) on devra toujours considérer que c’est latotalité de l’élément spécifié qui doit se trouver à l’intérieur de l’espacede tolérance.

Figure 5.16 – Localisation d’un alésage

30

40A

B

C

∅ 0,2 A CB


113


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est

un

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.

m Exemple, tolérance d’inclinaison (figure 5.18)

Dans le cas représenté sur la figure 5.18 tous les points appartenant à lasurface inclinée doivent se trouver entre deux plans théoriques parallèles,

Figure 5.17 – Signification géométrique de la localisation d’un alésage.

Figure 5.18 – Écriture et signification d’une inclinaison.

La zone de tolérance dans laquelle doit se trouver l’axe de l’alésage référencé est un cylindre de diamètre 0,2 mm perpendiculaire au plan Ox,Ozet dont l’axe passe par le point de coordonnées x = 30 mm, y = 0 et z = 40 mm.

Ox

y

z40

30

∅ 0,2

60°

0,3

60°

A

0,3 A


114

5.5 Une spécification de position implique toujoursune spécification de forme

distants l’un de l’autre de 0,3 mm, et formant un angle de 60˚ avec le planassocié à la surface A.

5.5 Une spécification de position implique toujours une spécification de forme

Les exemples traités ci-dessus montrent qu’une spécification de positionou d’orientation d’un élément réel implique toujours un défaut de formemaximal admissible pour cet élément. La valeur de ce défaut de formene peut excéder la valeur de la tolérance de position spécifiée. Naturelle-ment si des contraintes fonctionnelles exigent que le défaut de formemaximal admissible soit inférieur à la tolérance de forme, il sera nécessairede le mentionner.

5.5.5 Exemple, tolérance de perpendicularité.

Lorsque la spécification d’orientation est respectée le défaut de planéitéde la surface spécifiée ne peut excéder 0,3 mm (figure 5.19), si pour desraisons fonctionnelles il doit être plus faible (par exemple 0,1 mm) ilfaudra rajouter une information supplémentaire (figure 5.20).

Figure 5.19 – Écriture et signification d’une perpendicularité.

0,3

0,3 A

A


115

5.6 Bibliographie©

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5.6 Bibliographie

[5.1] FD CR ISO/TR 14638, AFNOR, 1996.

[5.2] Dessins techniques ; principe de tolérancement de base, ISO 8015 (NF E 04-561), AFNOR, 1991.

[5.3] Système ISO de tolérance et d’ajustement, ISO 286, AFNOR, 1993.

[5.4] Dessins techniques, Tolérancement géométrique, Généralités, défi-nitions, symboles ; Indications sur les dessins, ISO 1101 (NF E 04-552),AFNOR, 1983.

[5.5] ISO/TR 17450-1, Spécification géométrique des produits (GPS),Concepts généraux, Partie 1 : Modèle pour la spécification et la vérifi-cation géométrique, AFNOR, 2000.

[5.6] Cotation tridimensionnelle des systèmes mécaniques, A. CLÉMENT,A. RIVIÈRE, M. TEMERMAN, PYC Éditions, 1994.

Figure 5.20 – Écriture et signification d’une tolérance de planéité associée à une tolérance de perpendicularité.

A

0,3 A

0,1

0,3

Tous les points de la surface référencéesont situés entre deux plans parallèlesdistants de 0,1 mm, l’ensemble devant rester entre les deux plans perpendi-culaires à A, distants de 0,3 mm.


116

5.6 Bibliographie

[5.7] Tolérancement et métrologie dimensionnelle, P. BOURDET, L. MATHIEU,CETIM, 1998.

[5.8] Comprendre et maîtriser la localisation, M. GEORGE, AFNOR Tech-nique, 1991.

© D

unod

– L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

ée e

st u

n dé

lit.

117

6 • MESURE TRIDIMENSIONNELLE

6.1 Principe de la mesure tridimensionnelle

Les appareils de métrologie dimensionnelle classiques ou évolués(pied à coulisse, comparateurs, micromètres, interféromètres linéai-res…) permettent de mesurer des longueurs avec des incertitudes quel’on peut estimer assez rigoureusement. Cependant, les surfaces réellessont toujours des éléments volumiques, d’où la nécessité de combinerles résultats de différentes mesures linéaires afin de déterminer leurscaractéristiques géométriques exactes. Ces combinaisons sont parfoisdélicates et vont naturellement constituer de nouvelles sources d’erreurset donc augmenter les valeurs des incertitudes de mesure. Le développe-ment des systèmes de calcul a permis la mise au point des machines àmesurer tridimensionnelles actuelles qui réalisent automatiquement lesmesures ainsi que les traitements nécessaires, et qui sont donc d’une trèsgrande utilité pour la mesure et le contrôle de la géométrie des produitsindustriels.Le principe de la mesure tridimensionnelle consiste à manipuler desmodèles géométriques théoriques associés à des éléments extraits dessurfaces réelles qui limitent les produits à mesurer (figure 6.1). Troiséléments sont nécessaires pour réaliser efficacement ce travail : un réfé-rentiel volumique, un système de saisie de points appartenant aux surfacesréelles, et enfin un outil permettant d’effectuer les calculs nécessaires(associations et combinaison d’éléments géométriques entre eux).

6 • Mesuretridimensionnelle

118

6.2 Référentiel

L’élément associé va permettre dans un premier temps de déterminer ledéfaut de forme de l’élément réel après calcul des différents écarts. Puisil sera ensuite utilisé comme modèle de cet élément réel afin de pouvoiréventuellement déterminer sa position par rapport à d’autres élémentsappartenant au produit à mesurer, construire des systèmes de référence, oueffectuer toutes les opérations nécessaires pour valider ou la géométriedu produit à partir de l’analyse de sa cotation.

6.2 Référentiel

6.2.1 Matérialisation du référentiel de mesure

Le référentiel de mesure est matérialisé par la structure de la machine àmesurer tridimensionnelle. Il s’agira donc nécessairement d’un référentielvolumique. Généralement, on choisit d’utiliser un système de coordonnées

Figure 6.1 – Principe de la mesure tridimensionnelle.

x

y

z

O

Élément associé aux n points M i

Mi

i

i

i

z

y

x

Points appartenant à l’élément réel

Élément réel

Référentiel de mesure

⎧⎪⎨⎪⎩


119

6.2 Référentiel©

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cartésiennes, mais on peut également construire un système de coor-données cylindriques ou polaires ce qui ne présente aucune difficulté etne nécessite pas de connaissances supplémentaires puisqu’il est possible,comme nous l’avons rappelé au chapitre 4 de passer d’un système de réfé-rence à un autre par les méthodes de calcul traditionnelles. La figure 6.2représente schématiquement la structure d’une machine à mesurer àportique, qui est le type de machine le plus répandu actuellement. Lesdéplacements rectilignes des éléments mobiles matérialisent les directionsdes axes de mesure.

– Le déplacement du portique par rapport au bâti matérialise la directionOy.

– Le déplacement du chariot sur le portique matérialise la directionOx.

– Le déplacement vertical du bras par rapport au chariot matérialise ladirection Oz.

Figure 6.2 – La structure d’une machine à mesurer tridimensionnelle réalise un référentiel spatial.

y

x

z

P

y

x

z

O


120

6.2 Référentiel

Un système de mesure plus ou moins évolué des déplacements le longde chacun des axes permet de déterminer la variation de la position dechaque élément mobile en grandeur et en sens. Il suffira alors de choisirarbitrairement un point zéro qui donnera l’origine du système de réfé-rence pour connaître à chaque instant les coordonnées d’un point P(point piloté) dans le référentiel de mesure O, 1x, 1y, 1z.

6.2.2 Qualité du référentiel de mesure

Les calculs géométriques devant être effectués dans un référentiel idéal,la matérialisation de celui-ci doit être aussi parfaite que possible. Ceci vanécessiter une rectitude rigoureuse des directions de déplacement desdifférents mobiles, ainsi qu’une excellente orthogonalité entre elles. Surune machine analogue à la machine à portique de la figure 6.2 on notevingt et un paramètres dépendants de la conception et de la constructionde cette machine qui vont influencer la qualité des mesures réaliséesavec celle-ci.

m Quinze paramètres liés à la rectitude des liaisons

Sur chacun des axes on dénombre cinq paramètres qui vont permettrede caractériser la non-rectitude de la liaison glissière qui matérialise cetaxe, par exemple pour l’axe Ox (figure 6.3) :– Deux petites translations Ty et Tz perpendiculaires à Ox.– Une petite rotation Rx autour de Ox (roulis de la liaison).– Une petite rotation Ry autour de Oy (lacet de la liaison).– Une petite rotation Rz autour de Oz (tangage de la liaison).

C’est naturellement la qualité de la réalisation des liaisons glissières lorsde la fabrication de la machine qui permettra de minimiser les valeursde ces paramètres, soit pour les trois axes de la machine 3 ¥ 5 = 15 para-mètres. La solution la plus souvent retenue pour la construction desmachines de mesure est celles d’éléments mobiles équipés de patinsaérostatiques se déplaçant sur des glissières prismatiques de géométrierigoureuse, réalisées en granit, en alliage d’aluminium, en céramique ouparfois en matériaux composites (structures en polymères renforcées de


121

6.2 Référentiel©

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fibres de carbone). Le choix de ces matériaux s’explique par la nécessitéd’obtenir des structures très rigides et peu sensibles aux perturbationsextérieures comme des sollicitations mécaniques ou des variations detempérature. L’emploi d’éléments de guidage pneumatiques permet deréaliser des liaisons sans contacts et de limiter au maximum les effortsnécessaires aux déplacements, ainsi que les frottements et l’usure.

m Trois paramètres liés à l’orthogonalité des axes

Les perpendicularités respectives de Ox avec Oy, de Ox avec Oz et de Ozavec Oy correspondront à trois nouveaux paramètres qui vont naturelle-ment aussi conditionner la qualité du référentiel de mesure (le référentieldoit être orthonormé). Dans la pratique c’est lors de la construction dela machine et au moment de son installation sur le site de travail que lesdéfauts d’orthogonalité seront minimisés (voir figure 6.4).

Figure 6.3 – Paramètres caractérisant les défauts d’une liaison glissière d’axe Ox.

Figure 6.4 – Les défauts d’orthogonalités entre les trois axes du référentiel doivent être minimisés.

x

y

z

O

Ry

Rz

TyRx

Tz

Ox

y

z


122

6.2 Référentiel

m Trois paramètres liés à la mesure de la position le long de chaque axe

Nous avons vu qu’il était nécessaire de pouvoir mesurer avec précisionles déplacements sur chacun des axes de façon à connaître aussi rigou-reusement que possible la position du point piloté. Si sur les machines àmesurer des premières générations on utilisait des systèmes vis-écrou ettambours gradués, actuellement on emploie le plus souvent des systèmesde mesure par règle optique ou par interférométrie laser sur des machinesde grande précision. Quelle que soit la technologie employée, la mesure desdéplacements se fera toujours avec une certaine incertitude. L’existencede cette incertitude sur chaque axe nous amènera à prendre en comptetrois paramètres supplémentaires. Nous retrouvons donc bien les 15 + 3+ 3 = 21 paramètres mentionnés plus haut, paramètres qui condi-tionnent l’incertitude des mesures effectuées sur une machine à mesurertridimensionnelle.

m Incertitude totale sur les mesures réalisées par une machine à mesurer tridimensionnelle

La normalisation traitant des machines à mesurer tridimensionnelles [6.1]propose aux fabricants de machines d’exprimer l’incertitude élargie U surtoutes les mesures réalisées dans le volume de travail de la machine de lafaçon suivante :

U = A + L/Kavec :U incertitude élargie en microns.A est une constante exprimée elle aussi en µm fournie par le constructeur

de la machine (souvent comprise entre 1,5 et 2,5).K est une constante sans dimensions données elle aussi par le constructeur

de la machine (généralement comprise entre 250 à 500).L est la longueur mesurée en mm.

La normalisation définit également des procédures permettant de carac-tériser les incertitudes affectant les mesures effectuées sur une machinedonnée. Ces procédures consistent à mesurer des étalons appropriés(souvent des cales étagées) placés dans des positions particulières ; toutesles mesures réalisées sur ces étalons devront présenter des erreurs inférieures


123

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel©

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à l’incertitude déclarée de la machine U. Naturellement des vérificationspériodiques doivent être prévues comme pour tous les appareils de mesureet de contrôle [6.2].

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

La surface réelle, qui est donc une surface quelconque, sera toujourssaisie par l’intermédiaire d’un nombre fini de points (élément extrait).Ce nombre de points peut varier de quelques-uns (le nombre mini-mum imposé par la géométrie, par exemple trois points non alignéspour définir un plan) à un très grand nombre ce qui peut parfois donnerl’impression qu’elle est connue dans sa totalité. À noter qu’un tropfaible nombre de points saisi, s’il peut suffire à caractériser l’orientationde la surface observée, ne permettra pas une bonne connaissance de sagéométrie réelle.

La mesure peut se faire de façon tactile, par l’intermédiaire d’unpalpeur à contact, ou sans contact, généralement au moyen d’uncapteur optique. L’exploration peut être discontinue (mesure en pointà point) ou continue (procédés de scanning).

6.3.1 Système de palpage tactile point à point

Dans la méthode de palpage tactile point à point, une touche générale-ment sphérique vient successivement en contact avec des points Mriappartenant à la surface à explorer. Le double intérêt d’utiliser unetouche sphérique est, d’une part que le contact sphère surface est uncontact ponctuel, d’autre part qu’une sphère permet l’accès à une surfacesuivant une infinité de directions. Après chaque contact, la lecture desdéplacements sur les différents axes de la machine permettra de connaî-tre le vecteur 7OPi définissant la position Pi du point piloté P dans leréférentiel de mesure. Nous appellerons Ci un point de la touche demesure tel qu’au moment du contact, si il n’y a pas de glissement, Ci etMri soient confondus.


124


Les coordonnées du point piloté Pi, c’est-à-dire les composantes duvecteur 7OPi, sont donc lues par la machine au moment exact ducontact. Or ce qui intéresse l’opérateur ce sont les coordonnées dupoint Ci qui correspondent à celles du point Mi qui appartient à lasurface réelle, nous pouvons alors écrire : 7OCi = 7OPi + 7PiCi (figure 6.5).Il est donc nécessaire de fournir à la machine les composantes du vecteur6PCi afin de permettre à celle-ci d’effectuer le calcul. Si nous appelons Ti

le centre de la bille de palpage au moment du contact, nous pourronsécrire : 7PiCi = 7PiTi + 8TiCi.

m Détermination du vecteur 6TC

M Norme de 6TC

La norme du vecteur 7TC est naturellement égale au rayon de la bille depalpage. Bien entendu il sera indispensable que tous les rayons de celle-ci soient identiques c’est-à-dire qu’elle présente un défaut de sphériciténégligeable. En raison des différents éléments intermédiaires que l’ondoit placer pour des raisons pratiques entre le point piloté et la touchede palpage (tête de mesure, support, corps du palpeur, rallonges…).

Il est plus efficace de déterminer la valeur de la norme de 6TC réellement

Figure 6.5 – Saisie tactile d’un point Mri appartenant à une surface réelle.

x

y

z

O

Pi

TiCi

Mri

Surfaceréelle ¥


125


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prise en compte en mesurant un volume étalon, généralement une sphèrede diamètre connu (figure 6.6) ou plus rarement un cube étalon consi-déré comme parfait. Rappelons que le but de l’opération est de connaî-tre le diamètre de la bille de palpage d pris en compte par la machine,on fait tout d’abord l’hypothèse que ce diamètre est égal à une valeurd’avec d¢ = d + ε, ε étant l’erreur que l’on commet en approximant dpar d’. On mesure ensuite une sphère étalon parfaite de diamètre Dconnu en n points, à chaque point de contact bille sphère Ci correspondune position du centre de la bille de palpage Ti. La machine détermineensuite par calcul une sphère associée aux n points Ti, sphère dont lediamètre sera égal à M, il lui suffira alors de soustraire à ce diamètre Mla grandeur d¢ pour obtenir la valeur d’un diamètre D¢ qui correspondau résultat de la mesure de la sphère étalon avec une touche sphériquede diamètre d’. Nous aurons alors : D¢ = M – d Æ D¢ = M –(d + e). Oren réalité D¢ devrait être égal à D = M – d (D, diamètre connu de lasphère étalon) d’où D – D¢ = e, ce qui permet de déterminer la valeurexacte de d que devra utiliser la machine dans ses calculs en faisant :d = d¢ – e.

Figure 6.6 – Détermination pratique du rayon de la bille de palpage.

Sphère de diamètre M associée

aux n points Ti

Touche de palpage de diamètre d

Sphère étalon de diamètre D

C i

Ti


126


M Direction et sens de 6TC

La direction et le sens de 6TC seront déterminés après association.Prenons comme exemple le cas de la mesure d’une ligne prétendumentdroite. Après la saisie de n points Ci appartenant à la ligne à mesurer, lamachine va associer une droite aux n points Ti correspondants aux posi-tions successives du centre de la bille de palpage ; elle déplacera ensuitecette droite vers l’élément réel (sens du déplacement) d’une distanceégale au rayon de la bille dans une direction normale à l’élément associé.Cette direction sera assimilée à la direction du vecteur 6TC (figure 6.7),la droite déplacée étant assimilée à la droite associée aux n points decontact Ci.

m Détermination du vecteur 6PT

M Cas où l’on utilise un seul palpeur

Dans le cas où l’utilisation d’un seul palpeur est suffisante, c’est-à-diredans le cas où le vecteur 6PT sera constant, il n’est pas nécessaire de tenircompte de ce vecteur. En effet quelle que soit la valeur de 6PT on cons-tate que toutes les positions prises par les points Ti subiront une transla-tion rectiligne égale à 6TP. L’exemple représenté par la figure 6.8 montrequ’une translation 6TP effectuée sur les points de mesure Ti des sommetsd’un triangle quelconque ne modifie absolument pas la forme et lesdimensions de celui-ci, et donc que le fait d’ignorer le vecteur 6PT neperturbera absolument pas les résultats des mesures.

Figure 6.7 – Détermination de la direction du vecteur 6TC.

Ci

Ti

Droite associée aux n points Ci

appartenant à la ligne réelle

Droite associée aux n centre de bille Ti

Ligne réelle à mesurer

Direction deTC


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M Cas où il est nécessaire d’utiliser plusieurs palpeurs

Par contre il peut arriver que, notamment pour des raisons d’accessibi-lité aux différentes surfaces mesurées, il soit nécessaire d’utiliserplusieurs palpeurs pour réaliser la mesure d’un produit industriel. Parplusieurs palpeurs il faut entendre non seulement le cas où le change-ment du palpeur sera effectif (manuellement ou automatiquement)mais aussi lorsque l’on devra utiliser des palpeurs à touches multiples(touches étoiles – photo 6.9a), ou employer des systèmes permettantdes mises en positions différentes pour un même palpeur (têtes orienta-bles – photo 6.9b). C’est-à-dire toutes les situations dans lesquelles levecteur 6TP ne restera pas constant pendant toutes les opérations de

Figure 6.8 – Lorsque 6TP est constant l’élément mesuré subit une translation rectiligne.

Figure 6.9 – Utilisation de palpeurs à touches multiples.

P1P2

P3T1

T2

T3

a ba b


128


mesure. Naturellement, dans tous ces cas il ne sera plus possible d’igno-rer les caractéristiques du vecteur 6TP (figure 6.10).

C’est lors de la qualification de chaque palpeur ou de chaque touche depalpeur que seront déterminées, en même temps que les diamètres réel-lement pris en compte, les caractéristiques d’un vecteur appelé 9On,O1

permettant de corriger toutes les mesures effectuées avec le palpeur Tn

afin de les translater dans la zone de calcul du palpeur T1, considéréalors comme étant le palpeur de référence (figures 6.11 et 6.12) et depouvoir manipuler entre eux les résultats obtenus en utilisant les diffé-rentes touches.

m Détection du point de contact

Que les machines à mesurer point à point soient des machines à dépla-cements manuels ou automatisés, il est impératif de détecter avec lemaximum de rigueur l’instant précis où la touche du palpeur entre encontact avec la surface à explorer. À cet instant, le système de lecture desdéplacements relèvera les coordonnées du point piloté P afin de pouvoircalculer les coordonnées du point C (donc de Mr) dans le référentiel demesure. Le signal reçu provoquera également l’arrêt des déplacementsmotorisés afin d’éviter la détérioration des organes de palpage. Dans lapratique on utilise deux types de palpeurs permettant de décelerl’instant exact du contact.

Figure 6.10 – Qualification de deux touches différentes. Palpeur 1

Palpeur 2

T2

T1

Point piloté P

21 PTPT ≠


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Figure 6.11 – Principe de qualification de deux touches T1 et T2.

Figure 6.12 – Correction d’une mesure effectuée avec la touche 2.

O1

O2

Lieu du point 1iT lors

de la qualification du palpeur 1

Lieu du point 2jT lors

de la qualification du palpeur 2

Lieu du point iP lors de la

qualification du palpeur 1

Lieu du point jP lors de la

qualification du palpeur 2

Sphère étalon fixe dans le référentiel de mesure

Vecteur de correction 12,OO

Les points 1 et 2 sont mesurés avec lepalpeur 1. P se trouve alors respectivement en P et en P , le point 3 est mesuré avec le palpeur 2, au moment de la mesure P se trouve en P , en appliquant à P une correction O ,O ce point se retrouvera en P corrigé ce qui permettra alors de reconstituer l’objet mesuré sans modificationdes formes et des dimensions de celui-ci.

11

12

23

23

23

12

12T

11T

23T

11P

12P

23P

corrigéP 23


130


M Palpeurs dynamiques

On appelle palpeur dynamique un palpeur qui se déplace à vitesse cons-tante en direction de la surface à mesurer et qui déclenche à la volée unsignal au moment précis où la touche entre en contact avec l’élémentexploré (figure 6.13). Lorsque la machine reçoit ce signal, elle enregistreles coordonnées du point piloté P et stoppe le déplacement du palpeurafin d’éviter sa dégradation.

Concrètement, la solution la plus souvent mise en œuvre consiste àréaliser une liaison isostatique entre le capteur et le corps (généralementune liaison de BOYS, c’est-à-dire un tripode en appui sur six billes)dans laquelle un contact électrique de faible puissance est associé àchacun des six contacts mécaniques. Lorsque la touche vient au contactde la surface à mesurer, le capteur étant considéré comme rigoureuse-ment indéformable, il se produit la rupture du contact sur au moins unpoint d’appui de la liaison isostatique ce qui entraîne alors l’apparition dusignal électrique désiré. Les avantages de la mesure à la volée sont : le faible

Figure 6.13 – Principe de fonctionnement d’un palpeur dynamique.

Déplacement

Pièce Touche sphérique

Contacts mécaniqueset électriques

Corps

Capteur


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encombrement du palpeur, la relativement grande vitesse d’acquisitionpossible (de l’ordre de 0,5 m/mn), le coût modéré de l’équipement et larobustesse de celui-ci. Par contre l’incertitude élargie due à la répétabi-lité du palpeur est de l’ordre de 4 µm. Des capteurs à technologie piézo-électrique à quartz présentent les mêmes avantages que le type de capteurdécrit précédemment moins la robustesse mais avec une incertitudeélargie inférieure à 2 µm.

M Palpeurs statiques

Toutes les têtes de mesure statique sont basées sur le même principe, àsavoir un parallélogramme flexible qui réalise pour de faibles déplace-ments une liaison sans jeux ni frottements, voir figure 6.14. Un doublesystème de mesure permet de réguler l’effort de contact et de mesurer ledéplacement induit par celui-ci. Il suffit alors d’empiler trois équipementsidentiques perpendiculaires entre eux pour obtenir la mesure des déviationsdu palpeur suivant les trois axes de mesure. Selon le type de tête utilisédeux systèmes peuvent être envisagés :

– Les têtes à point zéro : le capteur oscille jusqu’à atteindre une positiond’équilibre au point zéro ; à ce moment la machine stoppe les déplace-ments et relève les coordonnées exactes du point P.

Figure 6.14 – Principe de fonctionnement d’un palpeur statique.

0

Déplacement

Touche sphérique Pièce

Mesure du déplacement Contrôle de l’effort


132


– Les têtes mesurantes : tant que les mouvements du palpeur restentdans les limites fixées (environ 2,5 mm) le calculateur ajoute lesdéplacements lus sur chaque axe de la tête à ceux lus sur chacun des axesde la machine afin de déterminer les coordonnées exactes du point P.

L’intérêt que présente l’utilisation des têtes statiques est, d’une part uneincertitude de mesure inférieure à celle que l’on observe sur les têtesdynamiques (U = 1 µm, voire moins) et d’autre part de pouvoir éven-tuellement réaliser des mesures en continu. Par contre, leur coût estélevé, elles sont relativement fragiles et dans le cas des têtes à point zérole temps de réponse est allongé (recherche du point d’équilibre).

6.3.2 Système de palpage en continu par scanning

Le procédé de scanning ou mesure en continu n’est possible, comme nousl’avons vu, qu’avec une tête de mesure statique. Il consiste à parcourirdes lignes sur la surface à mesurer et à relever à intervalles, réguliers ounon (pas de digitalisation) les coordonnées du point de contact courant.C’est un moyen qui permet d’explorer des surfaces de formes complexes(aubes de turbines, pales d’hélice, éléments de carrosserie…) et d’enmesurer leur forme et leurs défauts avec une bonne résolution surtoutlorsque le pas de mesure est faible. À noter que si l’exploration estlinéairement continue, elle est forcément discontinue d’une ligne àl’autre (pas de mesure) et chaque ligne étant elle-même digitalisée, l’élémentextrait obtenu se présente donc bien toujours sous la forme d’un nuagede n points (voir figure 6.15).

Figure 6.15 – Acquisition d’une surface extraite par scanning.

Pas de mesure Pas de digitalisation

Direction de scanning


133


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un

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.

6.3.3 Saisie par palpeurs sans contact

Les capteurs optiques bien que moins universels que les capteurs àcontact et donnant dans le cas de la mesure tridimensionnelle des résul-tats généralement affectés d’une incertitude plus importante, permet-tent toutefois d’obtenir une bonne connaissance de la macrogéométriedes surfaces. Ils sont indispensables pour mesurer des surfaces tropsouples qui seraient susceptibles d’être déformées par un contact méca-nique et présentent également l’avantage d’accepter des vitesses de balayagetrès importantes. Par contre, leur réponse varie en fonction des qualitésoptiques de la surface explorée. Les surfaces diffusantes donnent lesmeilleurs résultats, l’optimum étant une surface mate et blanche, alorsqu’une surface très réfléchissante sera difficilement mesurable. Le dépôtd’une fine couche régulière d’un dépôt approprié peut grandementaméliorer les résultats. On distingue principalement deux types decapteurs optiques.

m Mesure de points par triangulation

Un capteur optique par triangulation est formé d’un émetteur (généra-lement une diode laser) qui éclaire la surface à explorer par un rayon delumière cohérente, et d’un récepteur linéaire (une barrette CCD) quimesure la hauteur de la tache lumineuse (voir figures 6.16 et 6.17).

Figure 6.16 – Tête de mesure optique par triangulation.


134


L’angle j et la hauteur h sont des constantes du capteur. La mesure de ladéviation a permet de connaître la distance mesurée d à partir despropriétés du triangle rectangle. Naturellement un étalonnage préalablesur une sphère étalon est nécessaire afin de paramétrer le système et deretrouver les coordonnées de Mi dans le référentiel machine. Sur ce type detête, l’étendue de mesure est de l’ordre de 50 mm et la résolution de quel-ques dizaines de microns en fonction des qualités optiques de la surfaceobservée. La commande numérique de la machine permet d’explorer dessurfaces de formes complexes et de grandes dimensions sans sortir del’étendue de mesure. Ce modèle de capteur permet la mesure aussi bienen point à point qu’en scanning.

m Mesure par digitalisation d’un profil optique

Ce procédé consiste à couper la surface à explorer par un plan optiquematérialisé par un balayage laser, puis à relever les profils obtenus parcaméra CCD (figure 6.18) et enfin à digitaliser ces profils. Généralement,les systèmes industriels comportent deux caméras qui combinent leursrésultats afin de visualiser des parties qui pourraient être cachées à l’uned’entre elle (concavité, contre-dépouille…). Naturellement, un étalonnagepréalable sur une sphère est indispensable avant toute nouvelle utilisation.

Figure 6.17 – Principe de mesure de la tête de mesure optique par triangulation.

Référenceangulaire ϕ

h

Emetteur

Objectif

RécepteurDéviation angulaire α lue par le récepteur

Distance mesurée d

Pièce

Etendue de mesureTête demesure

Mi


135


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est

un

délit

.

On sait qu’une caméra CCD est une sorte de grille qui permet de repé-rer un point présent ou absent (pixel) sur une maille de la grille. Larésolution du système sera donc directement fonction du nombre etde la taille des pixels de la caméra CCD utilisée (figure 6.19). Elle sera

Figure 6.18 – Principe de mesure par digitalisation d’un profil optique.

Figure 6.19 – Principe de la digitalisation par une caméra CCD.

CaméraCCD A

CaméraCCD B

Profils obtenus

Plan laser Profondeurde champ

Largeurd’exploration

Déplacement

Profil visualisé par une caméra CCD

Profil digitalisé par une caméra CCD


136


également fonction, comme nous l’avons déjà signalé, des qualités opti-ques de la surface mesurée sur les systèmes actuellement employés enmesure industrielle. L’incertitude relevée est de quelques dizaines demicrons.

6.3.4 Détermination de la normale au point mesuré

Lorsque l’on veut contrôler une surface (la forme théorique de cettesurface étant connue), il est possible de donner à la machine les valeursdes cosinus directeurs de la normale à l’élément de surface entourant lepoint mesuré afin que le contact se fasse aussi rigoureusement que possi-ble et avec un minimum de glissement. Il en va différemment lorsquel’on veut mesurer une surface totalement inconnue, dans ce cas on peutenvisager deux hypothèses.

m Surface digitalisée avec un pas de petite longueur

Lorsque le pas de digitalisation de la surface est faible, de l’ordre du milli-mètre, il est facile à la machine de déterminer un élément plan appro-chant l’élément de surface entourant chaque point mesuré à partir detrois points voisins (figure 6.20) puis de calculer la direction de lanormale à ce plan.

m Surface saisie en point à point

Lorsque la surface à été saisie en point à point, que l’acquisition ait ététactile ou optique, un sous-programme présent sur la plupart des logiciels

Figure 6.20 – Approximation de la normale locale pour une surface digitalisée.

in

Mi


137

6.4 Exemple de gamme de contrôleen mesure tridimensionnelle

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de calcul permet de déterminer avec une assez bonne approximationune direction pour la normale recherchée. La machine détermine untriangle équilatéral centré sur le point mesuré Mi en effectuant lepalpage de trois points équidistants autour de ce point (figure 6.21).La normale au plan défini par ce triangle est assimilée à la normale àl’élément de surface réel.

6.4 Exemple de gamme de contrôle en mesure tridimensionnelle

6.4.1 Structure d’une gamme de mesure

Une gamme de mesure sur machine à mesurer tridimensionnelle com-portera toujours trois parties distinctes. Ces parties ne se succédent pasforcément les unes aux autres mais peuvent être imbriquées entre elles.

m 1re partie : saisie des éléments géométriques réels

Il sera tout d’abord nécessaire de faire connaître à la machine tous leséléments constituant l’objet observé dont elle aura besoin pour définir lescaractéristiques géométriques à mesurer. Généralement, ces élémentsréels sont des surfaces dont on connaît la forme théorique. Cette infor-mation se présentera toujours sous la forme d’un élément extrait, c’est-à-dire des coordonnées d’un certain nombre n de points appartenant àla surface réelle dans le référentiel de mesure. La position et le nombre

Figure 6.21 – Détermination de la normale à l’élément de surface entourant un point mesuré.

in

Mi


138


de ces points est choisie par le métrologue en fonction de la finesse aveclaquelle il veut connaître l’élément ainsi que du temps et des moyensqu’il souhaite consacrer à la mesure. Le calculateur de la machine réali-sera ensuite l’association de l’élément théorique souhaité au nuage depoints obtenu. Le critère d’association retenu dépendra, soit de la cota-tion lorsqu’il s’agira d’un contrôle, soit de la fonction que doitremplir la surface mesurée si l’on ne possède pas d’autres informationsparticulières la concernant.L’élément réel est donc connu de la machine par l’intermédiaire de sonélément associé qui sera le modèle géométrique que va utiliser le calcula-teur dans la suite des opérations. L’association permettra à la machine decalculer le défaut de forme de l’élément réel, le calculateur conservant enmémoire l’équation de l’élément associé dans le référentiel de mesure envue d’utiliser cette information pour des traitements ultérieurs.

m 2e partie : construction d’éléments géométriques virtuels

À partir des éléments géométriques déjà connus par la machine, il serasouvent nécessaire de construire d’autres éléments géométriques afin depermettre la caractérisation d’un objet réel. Ce pourra être par exemple ladroite intersection de deux plans, le point intersection d’un axe avec unplan, ou la projection de ce point intersection sur un autre plan. Natu-rellement, ce sont les spécifications que l’on veut mesurer ou contrôlerqui détermineront le nombre et la nature des différents élémentsgéométriques à construire.

m 3e partie : les questions posées à la machine

Il ne restera plus alors qu’à demander à la machine de calculer les gran-deurs que l’on veut connaître et qui permettront de définir la géométriede l’objet mesuré. Ce seront par exemple des calculs d’angles entredifférents éléments géométriques (droites ou plan) réels ou construits,ou bien des distances entre d’autres éléments géométriques (plans,centres de cercles, axes de cylindres ou de cônes…). Là encore, ce serontles informations que l’on veut connaître qui fourniront les questions àposer.


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6.4.2 Exemple de mesure sur MMT

Pour illustrer ce qui vient d’être exposé précédemment, nous proposonsd’étudier brièvement la gamme de mesure, sur une machine à mesurertridimensionnelle, des spécifications géométriques indiquées surl’exemple représenté par la figure 6.22. Il s’agit de mesurer un alésage dediamètre spécifié 28 H8 dont la localisation est donnée à partir d’unsystème de références ordonnées A, B, C.

m Saisie des éléments réels

L’examen de la cotation nous indique que quatre éléments réels doiventêtre impérativement connus par la machine, trois éléments prétendu-ment plans, les faces A, B, et C, ainsi que l’alésage de diamètre28 mm. L’ordre dans lequel ces éléments doivent être saisis est sansimportance : l’opérateur choisira selon les critères qu’il jugera les mieuxappropriés, en décidant peut-être d’optimiser les déplacements de lamachine.On commencera par exemple par saisir un certain nombre de points appar-tenant à la surface A. L’élément géométrique devant être associé à ces

Figure 6.22 – Spécifications géométriques à contrôler.

A

B

40

C

30 28 H8 E∅ 0,2 A B C

∅


140


points étant un plan, la géométrie nous impose de connaître un mini-mum de trois points, suivant la connaissance de la géométrie réelle del’élément que veut avoir l’opérateur. Suivant l’utilisation qu’il souhaite enfaire par la suite, ce nombre de points sera plus ou moins important, lebon sens suggère de les choisir régulièrement répartis sur la surface réelle.Une fois cette opération réalisée on demandera à la machine d’associerun plan au nuage de points obtenu. Le critère d’association semblant leplus approprié à la cotation proposée nous paraît être l’enveloppe, maisune association selon les moindres carrés ne modifierait probablementpas les résultats ultérieurs de façon notable. La machine connaîtraalors la surface A par l’intermédiaire du plan 1 qui lui est associé.La même démarche sera utilisée en ce qui concerne les surfaces B et Cqui seront connues par les plans qui leur seront respectivement asso-ciés 2 et 3. À noter que l’association peut, si besoin est, permettre dedéterminer le défaut de planéité de chacune des surfaces réelles mesurées.Un certain nombre de points seront ensuite saisis dans l’alésage dediamètre 28 mm. Cinq points sont indispensables du point de vuegéométrique, mais là encore un nombre de points important régulière-ment répartis dans l’alésage nous en fournira une meilleure image. Uncylindre théorique sera ensuite associé au nuage de points mesurés(cylindre 1). Le critère de l’enveloppe (cylindre inscrit) devra êtreprivilégié en raison de l’exigence du principe de l’enveloppe utilisé pourl’indication du diamètre (lettre E). Le cylindre associé possède un axe derévolution qui semble tout à fait convenir pour modéliser l’axe del’alésage. On peut également considérer que le diamètre du cylindreassocié peut être assimilé au diamètre de l’alésage surtout si le défaut decylindricité de l’alésage est faible. Toutefois on notera bien qu’il s’agitd’une valeur moyenne du diamètre et que cela n’est pas conforme auxexigences imposées par la normalisation.Un examen un peu plus complet de la cotation fait ressortir que lescaractéristiques de l’alésage, notamment sa position, doivent être mesu-rées sur sa longueur totale et qu’il serait donc nécessaire d’indiquer à lamachine la position de la surface opposée à A de façon à pouvoir limiterle cylindre associé en longueur. Il faudrait donc saisir également cettesurface qui serait alors modélisée par son plan associé, le plan 4.


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m Création d’éléments géométriques

La cotation de la position de l’alésage de diamètre 28 mm est donnéepar rapport à un système de références ordonnées formé par les surfaces A,B et C. Dans ce cas, il serait opportun de construire un référentiel carté-sien local à partir des trois plans associés à ces surfaces en respectantbien l’ordre imposé par la cotation.La direction de l’axe Oz serait prise normale au plan 1 (plan appui).On construirait ensuite la droite intersection du plan 2 avec le plan 1,ce qui fournirait alors la direction de l’axe Ox (orientation).La direction de l’axe Oy est alors automatiquement déterminée (pourun référentiel orthonormé Oy perpendiculaire à Ox et à Oz).L’origine du référentiel serait alors fournie par l’intersection de l’axe Ozavec le plan 1, l’intersection de l’axe Ox avec le plan 3 (butée) et l’inter-section de l’axe Oy avec le plan 2.Le sens des axes sera généralement choisi de façon à ce que le trièdreformé par Ox, Oy, Oz soit un trièdre direct.On pourra ensuite construire dans ce référentiel le point de coordonnées(30, 40, 0) point 1, qui correspond à la position théorique de l’intersectionde l’axe de l’alésage avec la surface A. Rappelons qu’une cote encadréepar un rectangle est une valeur théorique exacte et qu’elle ne comportedonc pas de tolérance.On établira alors la position réelle de l’axe de l’alésage en construisant :L’intersection de l’axe du cylindre 1 avec le plan 1 Æ Point 2.L’intersection de l’axe du cylindre 1 avec le plan 4 Æ Point 3.

m Questions

M Position de l’alésage

Pour que la position de l’alésage soit conforme aux exigences imposéespar la cotation, son axe doit se situer à l’intérieur d’un cylindre dediamètre 0,2 mm, perpendiculaire à A et dont l’axe passe par le point 1(voir spécification des éléments géométriques). Cette condition serarespectée si la distance entre le point 1 et le point 2 est inférieure ouégale à 0,1 mm, et si la distance entre le point 1 et la projection du


142


point 3 dans le plan 1 (point 4) est également inférieure ou égale à0,1 mm (figure 6.23) dans ce cas aucun des points de l’axe du cylindre 1ne sera à une distance supérieure à 0,1 mm de sa position théorique, lacondition de localisation sera alors respectée.

M Diamètre de l’alésage

La spécification du diamètre de l’alésage signifie que toutes les mesuresentre deux points diamétralement opposés doivent être comprises entre28 mm et 28,033 mm (28H8). L’exigence de l’enveloppe impose enplus que dans tous les cas, un cylindre parfait de diamètre 28 mmcorrespondant au maximum de matière puisse pénétrer dans l’alésage, cequi conditionne donc son défaut de cylindricité. Ceci nous permet decompléter ce qui a été avancé précédemment :

Le diamètre du cylindre associé (cylindre inscrit) doit impérativementêtre égal ou supérieur à 28 mm.

Figure 6.23 – Représentation géométrique de la mesure.

x

y

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O

Pt3

Plan 4

Axe du cylindre 1

Pt4

Pt1

Pt2


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6.5 Bibliographie©

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Le diamètre du cylindre associé plus deux fois le défaut de cylindricitémesuré ne doit pas dépasser 28,033 mm. Cette dernière vérification peutêtre négligée lorsque le défaut de forme mesuré est faible devant la tolérancedimensionnelle.

6.5 Bibliographie[6.1] Métrologie par coordonnées, Partie 2 : Évaluation des performances

des machines à mesurer tridimensionnelles, ISO 10 360-2, AFNOR,1995.

[6.2] Vérification périodique d’une machine à mesurer tridimension-nelle, J.-P. SENELAER, Club de la métrologie 1991.

[6.3] Mesure sans contact, état de l’art, X. CARNIEL, J.-L. CHARRON,A. TROUVE, W. YOUSSEF, Éditions du CETIM. 1999.

[6.4] Fabrication mécanique, partie 6 : La machine à mesurer tridimen-sionnelle, M. DURSAPT, Jeriko, Cours multimédia. 1995.

[6.5] Informatique et métrologie, M. GONDRAN, Éducalivre.1990.[6.6] Techniques de mesure sur machines à mesurer tridimensionnelles,

Groupe de travail métrologie du Grand Sud, Mouvement françaispour la qualité. 1998.

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145

7 • MESURE ET CARACTÉRISATIONDES ÉTATS DE SURFACE

7.1 Généralités sur les défauts géométriques des surfaces

7.1.1 Rappels et définitions

Nous avons vu précédemment qu’une surface théorique était définiepar le concepteur pour des raisons fonctionnelles et qu’elle correspondait àun modèle géométrique simple (plan, cylindre, sphère…), ou complexe.Nous avons rappelé également que la surface réelle obtenue en fabrica-tion, quel que soit le procédé utilisé, est toujours une surface de formequelconque qui va donc présenter un certain nombre d’irrégularités quifont que cette surface réelle s’écarte plus ou moins de sa forme théorique.L’observation attentive d’une surface réelle montre que ces irrégularitéspeuvent présenter des amplitudes et des pas très divers. La normalisationen vigueur classe arbitrairement les défauts géométriques des surfaces dansquatre ordres en fonction de leur importance :– Défauts du premier ordre : défauts de forme.– Défauts du deuxième ordre : défauts d’ondulation.– Défauts du troisième et du quatrième ordre : défauts de rugosité.

Les défauts de forme proviennent généralement, soit des anomalies géomé-triques des machines et des outillages utilisés lors de la réalisation de lasurface, soit des déformations de la pièce supportant la surface observée

7 • Mesure et caractérisationdes états de surface

146

7.1 Généralités sur les défautsgéométriques des surfaces

elle-même ; déformations qui peuvent être permanentes ou évolutives etqui sont causées notamment par des contraintes d’origine mécanique outhermique. La mesure et la caractérisation de ce type de défauts ne serontpas étudiées dans ce chapitre puisque nous les avons évoqués précédem-ment et que nous sommes donc capables de les évaluer de façon plus oumoins satisfaisante.Les défauts d’ondulation sont eux le plus souvent générés par les phéno-mènes vibratoires qu’occasionnent toujours les procédés mis en œuvre lorsde l’obtention de la surface. Ils peuvent également avoir pour originedes causes particulières liées à certains procédés de fabrication (avance partour dans certains cas de fraisage par exemple). Ce sont des irrégularitéspériodiques que l’on qualifiera de basse fréquence.Les défauts de rugosité du troisième ordre sont eux directement issus dumode de réalisation de la surface (géométrie de la partie active del’outil, vitesse d’avance, grosseur de grain d’abrasif…) ce sont des défautspseudo-périodiques mais de fréquence plus élevée et d’amplitude géné-ralement plus faible que ceux que l’on a classée parmi les ondulations.Les défauts de rugosité du quatrième ordre sont des petites irrégularités(piqûres, arrachements…) apparaissant en relief ou en creux sur unesurface de façon totalement anarchique. Leurs causes sont accidentelleset peuvent se produire lors de la réalisation, des manipulations ou dufonctionnement des surfaces (chocs, rayures…).À noter que les irrégularités classées en ondulations et en rugosité sontbien entendu elles aussi des défauts de forme, mais qu’elles sont obser-vées à une échelle beaucoup plus petite que les irrégularités classées dansle premier ordre. Ce sont ces ondulations et ces rugosités que l’on appelleen mécanique les défauts d’état de surface.

m 7.1.2 Profil d’une surface

On appelle profil d’une surface l’intersection de cette surface avec unplan défini qui lui est généralement perpendiculaire ou qui est perpen-diculaire au plan tangent à la surface à l’endroit considéré (figure 7.1).Suivant la forme théorique de la surface analysée on connaît la forme quedevrait théoriquement présenter le profil (droite, cercle, ellipse…).L’analyse de l’un de ses profils peut nous aider à caractériser la géométrie


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locale d’une surface, de même que le réassemblage de plusieurs de sesprofils peut nous permettre de reconstituer une surface.

m Profil brut

On appelle profil brut le profil tel qu’il apparaît dans la réalité. Il estconstitué de la somme de sa composante de forme, de sa composanted’ondulation, et de sa composante de rugosité (voir figure 7.2).

m Composante de forme

Des techniques sur lesquelles nous reviendrons par la suite permettentde faire un tri entre les différentes composantes d’un profil. La figure 7.3représente la composante de forme du profil précédent, c’est-à-dire celle

Figure 7.1 – Profil d’une surface.

Figure 7.2 – Image d’un profil brut issu d’une surface théoriquement plane.

Support

Profil

Surface

Plan de coupe

300 µm

200 µm

100 µm

00 2,5 5 7,5 10 mm


148


qui fait apparaître la différence entre la forme réelle du profil et sa formethéorique qui dans l’exemple choisi devrait être une droite. On observeun bombé d’environ quatre cents microns de hauteur.

m Composante d’ondulation

La figure 7.4 représente la composante d’ondulation du profil. Elle faitapparaître une succession de petites irrégularités d’une vingtaine demicrons de hauteur et d’un pas d’environ 1,10 mm réparties à peu prèsrégulièrement le long de la forme du profil.

m Composante de rugosité

La figure 7.5 représente la composante de la rugosité du profil. Cetterugosité est constituée d’un grand nombre d’irrégularités de hauteursvariant de quelques microns à quelques dizaines de microns et dont les passont compris entre quelques dizaines et quelques centaines de microns.

Figure 7.3 – Composante de forme du profil observé.

Figure 7.4 – Composante de l’ondulation du profil observé.

300 µm

200 µm

100 µm

00 2,5 5 7,5 10 mm

300 µm

200 µm

100 µm

00 2,5 5 7,5 10 mm

pas


149

7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle©

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7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelleIl existe des appareils appelés profilomètres qui permettent de récu-pérer, sous la forme d’un signal électrique, un profil appartenant àune surface quelconque. L’analyse du signal obtenu permettra par lasuite de quantifier ce profil.

7.2.1 Saisie du profil d’une surface

m Filtrage mécanique

La saisie du profil consiste à déplacer un palpeur le long de ce profilet d’en mesurer les déplacements verticaux en fonction de sa positionhorizontale. Elle se fait soit par un procédé tactile soit par un procédéoptique. Quelle que soit la nature du palpeur employé il se produiratoujours un effet de filtrage de l’information lors de l’acquisition decelle-ci, c’est-à-dire qu’une partie de l’information ne sera pas prise encompte par le capteur. Nous voyons sur la figure 7.6 un schéma représen-tant la saisie tactile d’un profil dont les irrégularités de rugosité périodi-ques ont une profondeur r de 15 microns et un pas p de 200 microns.Sur la partie gauche de la figure, nous observons que l’emploi d’unpalpeur sphérique de rayon R nous donnerait une valeur de profondeurd’irrégularité mesurée u pour une profondeur réelle r, c’est-à-dire que lepalpeur sphérique filtrerait l’information d’une valeur (r – u). Nousvoyons que l’effet du filtrage sera d’autant plus important que R sera grandet que le pas des irrégularités sera petit, par exemple si R = 1 500 µm (le

Figure 7.5 – Composante de la rugosité du profil observé.

40 µm30 µm

10 µm20 µm

00 2,5 5 7,5 10 mm


150

7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle

diamètre de la touche équipant habituellement la plupart des comparateursest de 3 mm) nous aurons pour un pas p de 200 microns :

soit u = 3 µm environ, d’où un filtrage de près de quatre-vingts pourcent de l’information. Par contre nous observons dans la partie droitede la figure que l’utilisation d’un palpeur conique, quel que soit sonangle au sommet, n’aurait quasiment pas provoqué de filtrage mécani-que de la mesure. À noter que dans la réalité le palpeur n’est jamais uncône parfait, c’est-à-dire qu’il présentera toujours un léger rayon à sonsommet et que ce rayon provoquera bien évidemment un filtrage méca-nique, mais à une échelle beaucoup plus petite que celle représentée surla figure. On admet en première approximation que les irrégularitésdont le pas est inférieur au rayon de bec du palpeur ne sont pas prises encompte par celui-ci. Les palpeurs employés en profilométrie sont généra-lement des cônes à pointe de diamant dont le rayon de bec est comprisentre 1 µm et 10 µm.Dans le cas de l’utilisation de méthodes optiques, l’altitude des pointsdu profil est mesurée à partir de celle de la tache de focalisation d’unfaisceau lumineux sur la surface explorée. Le faisceau va en réalité foca-liser sur une altitude moyenne des aspérités de rugosité locales. On admetque les irrégularités dont le pas est inférieur au rayon de la tache de foca-lisation seront filtrées mécaniquement lors de l’acquisition.

Figure 7.6 – Saisie tactile d’un profil de rugosité.

Palpeur sphérique De rayon R

Palpeur conique u r

p

R2 p2---⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2

r u–( )2+=


151


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m Référence de mesure

L’exploration du profil se fait en déplaçant le palpeur dans la direction géné-rale du profil, selon le type des appareils utilisés les écarts verticaux sontmesurés, soit par rapport à une référence externe idéale, soit à partir del’enveloppe du profil mesuré.

M Mesure par rapport à une référence externe

Le mieux est de réaliser la saisie des altitudes des points du profil à partird’une référence linéaire parfaite (axe x). Cela permettra de connaître latotalité des défauts du profil. Cette configuration, dont une application estreprésentée par la figure 7.7, est celle que l’on trouve sur tous les appareilsperformants actuellement disponibles sur le marché. Elle a été renduepossible par la conception et la fabrication de palpeurs possédant à la fois

Figure 7.7 – Saisie d’un profil à partir d’une référence externe.

Profil

BrasStylet

xPlan idéal matérialisant une référence linéaire parfaite

Mouvement d’avance


152


une excellente résolution (quelques nanomètres) ainsi qu’une grandeamplitude de mesure (plusieurs millimètres).

M Mesure par rapport à l’enveloppe du profil

Compte tenu des faibles hauteurs des aspérités à mesurer, les capteursemployés pour la saisie des profils d’états de surface doivent avoir unetrès bonne résolution. Les défauts de forme des surfaces sur lesquelles sontmesurés ces profils peuvent être d’amplitudes bien supérieures. Pendantlongtemps les fabricants concernés avaient beaucoup de difficultés pourproposer des palpeurs possédant à la fois une bonne résolution et unegrande amplitude de mesure, c’est la raison qui nécessita la mise aupoint des capteurs à patin : la solution retenue consiste à faire glisser unpatin solidaire du bras articulé supportant le palpeur le long du profil afinde mesurer les écarts verticaux à partir de ce patin (figure 7.8). Ce système

Figure 7.8 – Saisie d’un profil à partir d’une référence interne.

Profil

Bras

x

Patin Stylet

Mouvement d’avance


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permet de filtrer mécaniquement les défauts de forme et d’éviter ainsi lasaturation du capteur, celui-ci ne prenant plus alors en compte que lesécarts de faible amplitude et de pas réduits correspondants à l’ondula-tion et à la rugosité.

7.2.2 Amplification du signal

Les écarts dus aux irrégularités d’un profil sont généralement trèsfaibles (quelques microns, parfois moins). Le rôle du capteur sera de lestransformer en signaux électriques afin de pouvoir les amplifier puis depouvoir les traiter et d’être ainsi en mesure de calculer des paramètrespermettant de caractériser ce profil. On retrouve les technologies d’ampli-fication habituellement utilisées pour les mesures de longueurs dans lescapteurs de mesure d’état de surface.

m Capteur inductif

Les écarts verticaux du palpeur sont transformés en signaux électriquesen utilisant le phénomène de variation d’induction électromagnétiqueprovoqué par le déplacement d’un noyau de ferrite à l’intérieur d’unebobine. C’est le système le plus employé en raison de sa très bonne réso-lution et des grandes amplitudes de mesure possibles (figure 7.9).

m Capteur optoélectronique

Les déplacements verticaux du palpeur sont transformés en signauxélectriques par l’intermédiaire d’une cellule photoélectrique dont

Figure 7.9 – Schéma de principe d’un capteur à amplification inductive.

Bobine

ProfilDéplacement


154


l’orientation par rapport à l’axe d’un faisceau lumineux varie avecl’altitude du palpeur (figure 7.10). Cette variation d’inclinaison provoquela variation de la quantité de lumière reçue par la cellule et donc celle del’intensité du courant produit.

m Capteur piézo-électrique

Les contraintes induites dans un monocristal de quartz par les dépla-cements verticaux du palpeur provoquent un signal électrique dû auphénomène piézo-électrique (figure 7.11). L’intensité du courant produitdépend de l’intensité des contraintes donc de l’amplitude des déformationsdu monocristal.

Figure 7.10 – Schéma de principe d’un capteur à amplification optoélectronique.

Figure 7.11 – Schéma de principe d’un capteur à amplification piézo-électrique.

Rayon lumineux

Cellule photoélectrique

Profil

Déplacement

Profil

Déplacement

Elément piézo-électrique


155

7.3 Observation et traitement du signal obtenu©

Dun

od –

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

7.3 Observation et traitement du signal obtenu

7.3.1 Forme et composition du signal

Le signal électrique obtenu correspond donc à une image du profilexploré. Il se présente sous la forme d’une fonction exprimant l’altitudez des différents points du profil réel en fonction de leur position x lelong du profil théorique (voir figure 7.12). Sur les premiers profilomètresapparus en Angleterre vers 1940 le signal se présentait sous une formeanalogique ; depuis 1980 la plupart des appareils fournissent les profilssous une forme numérique.

Comme nous l’avons précisé précédemment, ce signal, directement issude la mesure que l’on appelle profil brut, contient généralement toutesles composantes du profil. On voit sur la figure 7.12 qu’il est facile dedistinguer ces différentes composantes entre elles en considérant leurlongueur d’onde. Les petites longueurs d’onde lr correspondent à larugosité, les longueurs d’onde moyennes lo à l’ondulation et les grandeslongueurs d’onde lf caractérisent le défaut de forme du profil. Naturel-lement les termes petites, moyennes ou grandes longueurs d’onde nesignifient rien dans l’absolu, les valeurs numériques seront choisies en

Figure 7.12 – Composantes du signal issu d’un profilomètre.

z

x

Rugosité

Ondulation

Forme

λr

λo

λ f


156


fonction des dimensions des surfaces mesurées et des informations propo-sées par la normalisation en vigueur [7.1]. On peut néanmoins prendrecomme ordre de grandeur en première approximation : lr < 0,5 mm,0,5 mm < lo < 2,5 mm et lf > 2,5 mm.

7.3.2 Anamorphose du signal

En profilométrie, il est souvent intéressant d’observer l’allure généraledes graphiques traduisant la forme des profils mesurés pour se faire uneidée des caractéristiques de la surface dont ils sont issus. La profondeurdes irrégularités de rugosité étant très faible (souvent de l’ordre dumicron, voire moins), il est nécessaire d’amplifier considérablement lesignal correspondant afin de disposer d’une image exploitable. Cepen-dant, si nous conservons la même amplification pour l’échelle horizon-tale que celle choisie pour l’échelle verticale, nous allons nous retrouverdevant des graphiques d’une longueur considérable et qui seront visuelle-ment totalement inexploitables. C’est la raison pour laquelle des échellesdifférentes sont utilisées sur chacun des axes, ce qui fait que nous seronsamenés à examiner des graphiques fortement anamorphosés ; ainsi letracé du profil ci-dessous dont les aspérités nous paraissent être trèsescarpées présente en réalité des irrégularités relativement peu accidentéesaux pentes très douces (figure 7.13). Ceci n’affecte bien entendu pas les

Figure 7.13 – Visualisation de l’anamorphose d’un profil de rugosité.

Profil anamorphosé issu de l’appareil enregistreur

Forme réelle de l’aspérité

10 µm

7,5 µm

5 µm

2,5 µm

0 µm0 1 2 3 4 5 mm


157

7.3 Observation et traitement du signal obtenu©

Dun

od –

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

résultats des calculs effectués, mais pourrait nous amener à faire desinterprétations totalement erronées quant à la réalité du profil considéré(géométrie des outils de coupe, forme des abrasifs, comportement desaspérités, etc.).

7.3.3 Filtrage du profil

Si nous désirons séparer les différents ordres des défauts présents sur unprofil, il sera nécessaire de filtrer celui-ci. Nous avons vu que l’utilisationd’un palpeur à patin pouvait déjà permettre de réaliser un filtrage méca-nique des défauts de forme, mais la plupart du temps les profils serontacquis sans aucun filtrage mécanique (mesure sans patin) et le traitementse fera sur le signal obtenu (signal brut). La première opération consis-tera à redresser le profil. Ce redressement aura pour but de ramener ladirection générale du profil dans une direction parallèle à l’axe Ox.Les électroniciens et les automaticiens sont très souvent confrontés auxproblèmes posés par le filtrage d’un signal électrique. Ils ont donc misau point un grand nombre de méthodes pour aborder efficacement cegenre de problèmes, ce sont des méthodes du même type qui serontemployées en profilométrie.

m Méthodes de filtrage utilisées en profilométrie

On sait qu’un signal périodique peut toujours être décomposé en unesomme de signaux sinusoïdaux de différentes fréquences (séries deFourrier). De nombreuses solutions basées sur cette propriété permet-tent de trier les différentes harmoniques d’un signal. Sans entrer dans ledétail nous dirons qu’un filtre, quel qu’il soit, est caractérisé par :– Sa technologie : quel est le procédé pratique utilisé pour réaliser le

filtrage ? Ce procédé peut être : mécanique, électronique, numérique,graphique…

– Sa nature : le filtrage peut être, passe-bas, seuls les défauts de grandelongueur d’onde seront conservés ; passe-haut, seuls seront conservésles défauts de petite longueur d’onde ; passe-bande, on conservera lesdéfauts dont la longueur d’onde est comprise entre deux limites(bande passante).


158


– Sa longueur de coupure λc, ou cut-off : c’est la longueur, arbitraire-ment choisie, qui sera prise pour frontière entre les basses fréquences etles hautes fréquences. Le cut-off s’exprimera en millimètres. Le termelongueur de base utilisé en profilométrie est identique au terme longueurde coupure. La normalisation propose des valeurs préférentielles pour lechoix de cette longueur de base (0,08 mm, 0,25 mm, 0,8 mm, 2,5 mmou 8 mm). En l’absence de spécifications particulières c’est la valeur de0,8 mm qui sera utilisée. La norme ISO 4288 nous impose de choisir unelongueur d’évaluation du profil égale à cinq fois la longueur de coupure.

La normalisation en vigueur reconnaît deux techniques de filtrage àutiliser prioritairement : le filtrage RC ISO lorsque l’on utilise des appareilsanalogiques, et le filtrage gaussien lorsque l’on travaille avec des profilsnumérisés ce qui est pratiquement toujours le cas avec les appareils actuels.

m Utilisation d’un filtre passe-haut

L’élimination de la composante de basse fréquence (forme et ondulation)par un filtrage passe-haut de longueur de coupure 0,8 mm (figure 7.14)

Figure 7.14 – Visualisation de l’utilisation d’un filtre passe-haut.

300 µm

200 µm

100 µm

00 2,5 5 7,5 10 mm

40 µm30 µm

10 µm20 µm

00 2,5 5 7,5 10 mm

Profil redressé, acquis sans aucun filtrage ni mécanique ni électrique

Après application d’un filtre passe-haut de longueur de coupure 0,8 mm


159

7.4 Critères principaux de chiffragedes défauts d’état de surface

© D

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otoc

opie

non

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lit.

permet d’amplifier l’échelle verticale et de mettre en évidence seulement lesirrégularités relatives à la haute fréquence (rugosité).

m Utilisation d’un filtre passe-bas

L’élimination de la composante de haute fréquence (rugosité) par unfiltrage passe-bas de longueur de coupure 0,8 mm (figure 7.15) permetde mettre en évidence la composante d’ondulation du profil.

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

Du fait du grand nombre de fonctions que peut être amenée à remplirune surface, les critères permettant de caractériser son état de surfacesont extrêmement nombreux et variés. Dans cette première partie nous

Figure 7.15 – Visualisation de l’utilisation d’un filtre passe-bas.

3 µm

2 µm

1 µm

0

0 1 2 3 4 5 mm

10 µm

7,5 µm

2,5 µm

5 µm

0

0 mm

Profil redressé, acquis sans aucun filtrage ni mécanique ni électrique

Après application d’un filtre passe-haut de longueur de coupure 0,8 mm

1 2 3 4


160


n’évoquerons que ceux qui sont les plus utilisés industriellement et quisont naturellement conformes à la normalisation actuellement en usage[7.2]. Dans ce premier temps, nous distinguerons séparément les unsdes autres : les paramètres de profil, les paramètres d’ondulation et lesparamètres de rugosité.

7.4.1 Paramètres de profil

Naturellement les critères de profil se déterminent à partir d’un profilobtenu sans aucun filtrage (figure 7.16). Ce profil aura toutefois étéredressé afin d’éliminer les écarts dus à un éventuel mauvais positionne-ment de la surface lors du mesurage. Si nécessaire la composante dusignal correspondant à la forme théorique du profil sera éliminée parune association appropriée (droite ou cercle des moindres carrés parexemple). Dans le système métrique, les paramètres de profil s’exprimenten microns. Nous nous limiterons à définir les deux principaux critèressuivants (voir figure 7.15) :

– Le profil total Pt qui est égal à la différence d’altitude entre le point leplus haut et le point le plus bas pour la longueur totale du profilmesuré.

– Le profil maximum Pz qui est égal à la différence d’altitude maximaleentre le point le plus haut et le point le plus bas à l’intérieur d’unelongueur de base (ici la longueur de base choisie est de 0,8 mm).

Figure 7.16 – Visualisation des paramètres de profil Pt et Pz.

Pt

05

10(µ

m)

0 5 10 15 (mm)

Pz


161


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lit.

7.4.2 Paramètres d’ondulation

Ces critères se déterminent à partir du profil précédent auquel on auraappliqué un filtrage passe-bas de façon à ne laisser subsister que lacomposante relative à l’ondulation(figure 7.17). Là encore nous nouslimiterons aux critères les plus employés :

– L’ondulation totale Wt qui est égale à la différence d’altitude entre lepoint le plus haut et le point le plus bas de la totalité du profild’ondulation.

– L’ondulation maximum Wz qui est égale à la différence d’altitudeentre le point le plus haut et le point le plus bas d’une alternanced’ondulation. À noter que dans l’exemple représenté sur la figure 7.17,nous sommes dans un cas particulier où Wt est égale à Wz (le point leplus haut et le point le plus bas de la totalité du profil d’ondulationsont sur la même alternance).

– Le pas moyen d’ondulation WSm qui est égal à la moyenne arithmé-tique des n pas instantanés d’ondulation WSmi mesurés sur la lignemoyenne :

Figure 7.17 – Visualisation des paramètres d’ondulation Wt, Wz et WSm.

WSm 1n--- WSmi

i 1=

i n=

∑=

0

02

4(µ

m)

5 6 7 8 9 10 11 12 (mm)

Wt=Wz

WSmi


162


7.4.3 Paramètres de rugosité

Les paramètres de caractérisation de la rugosité sont naturellementcalculés à partir d’un profil filtré en passe haut. La normalisation ISOpropose de mesurer un profil de rugosité sur une longueur d’évaluationégale à cinq fois la longueur de base. Dans l’exemple considéré, nousavons fort logiquement choisi une longueur de coupure (longueur de base)de 0,8 mm, c’est la raison pour laquelle le calcul des paramètres derugosité se fera sur les cinq premières longueurs de base du profil précédent.On note deux types de critères de rugosité normalisés principaux, lescritères géométriques et les critères statistiques.

m Critères de rugosité géométriques

– La rugosité totale Rt qui est égale à la différence d’altitude entre lepoint le plus haut et le point le plus bas du profil de rugosité.

– La rugosité maximum Rz est égale à la différence d’altitude maximaleentre le pic le plus haut et le creux le plus bas à l’intérieur d’unelongueur de base. À noter que dans le cas du profil représenté sur lafigure 7.18, nous sommes là encore dans un cas particulier où Rt = Rz(le point le plus haut et le point le plus bas du profil de rugosité sontà l’intérieur de la même longueur de base).

– La rugosité Rp est égale à la différence d’altitude maximale entre le picle plus haut et la ligne moyenne du profil à l’intérieur d’une longueurde base.

Figure 7.18 – Visualisation des paramètres de rugosité Rt, Rz, Rp et Rv.

02

46

(µm

)

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 (mm)

Rp

Rv

Rt = Rz Longueur de base


163


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lit.

– La rugosité Rv est égale à la différence d’altitude maximale entre lecreux le plus bas et la ligne moyenne du profil à l’intérieur d’unelongueur de base.

m Critères de rugosité statistiques

Nous distinguerons également des critères statistiques et parmi ceux-ci :– La rugosité Ra qui est égale à la moyenne de la somme des valeurs

absolues des altitudes, par rapport à la ligne moyenne, des différentspoints constituant le profil de rugosité à l’intérieur d’une longueur debase, soit :

– La rugosité Rq qui est égale à la racine carrée de la moyenne arithmé-tique de la somme des carrés des altitudes, par rapport à la lignemoyenne, des différents points constituant le profil de rugosité à l’inté-rieur d’une longueur de base. On notera que Rq correspond à l’écarttype de la distribution des altitudes des points du profil.

– Le pas moyen de rugosité RSm qui est égal à la moyenne des pasinstantanés de rugosité mesurés sur la ligne moyenne à l’intérieurd’une longueur de base :

m Pourcentage de profil portant

Des profils peuvent posséder des critères Pt, Pz, Wt, Wz, WSm, Rt,Rz, Ra, Rq, et RSm, identiques tout en étant totalement différents

Ra 1n--- yi Rv–

i 1=

i n=

∑=

Rq

yi Rv–( )2

i 1=

i n=

∑n

-----------------------------------=

RSm 1n--- RSmi

i 1=

i n=

∑=


164


d’un point de vue fonctionnel. C’est la raison pour laquelle des paramè-tres dits paramètres de forme sont parfois nécessaires pour les évaluer.Dans un premier temps comme paramètre de forme nous considéreronsseulement la courbe de portance connue sous le nom de courbe d’Abbottet Firestone. Cette courbe consiste à représenter graphiquementl’évolution du pourcentage de la longueur de profil coupé Pmr(c) parrapport à la longueur totale du profil exploré en fonction de la profon-deur de coupe c, cette profondeur de coupe variant naturellement de 0à Pt (figure 7.20). L’examen de la courbe d’Abbott permet de se faireune bonne idée de la répartition des altitudes des différents pointsdu profil.

Figure 7.19 – Visualisation des paramètres statistiques de rugosité Ra, Rq, et RSm.

Figure 7.20 – Visualisation du paramètre Pmr(c) lié à la courbe d’Abbott.

02

46

(µm

)

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 (mm)

RSmi

RqRa

05

10(µ

m)

(µm

)

0 5 10 15 (mm)

515

0 20 40 60 80 (%)

c

Pmr (c)

10


165


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Théoriquement cette courbe peut être obtenue à partir d’un profil filtréou non. Dans la pratique, ce sont surtout les courbes de portance obte-nues à partir d’un profil total ou d’un profil de rugosité qui sont intéres-santes. La normalisation [7.2] propose d’appeler Pδc (ou Rδc, ou Wδc)la distance entre deux profondeurs de coupe c1 et c2 (Pδc = c2-c1) etPmr(Pδc) le pourcentage de profil portant entre les altitudes c1 et c2.

7.4.4 Paramètres de forme

m Généralités

Étant maintenant admis que les paramètres traditionnels caractérisantun profil de rugosité ne sont pas suffisants pour permettre la connais-sance complète de celui-ci, il y a donc nécessité de considérer d’autrescritères. Nous avons vu que la courbe de portance était l’un de ces critè-res, mais d’autres paramètres de forme sont eux aussi fréquemmentutilisés. Nous allons essayer de définir les principaux d’entre eux ainsique la manière de les évaluer aussi précisément que possible. Un profilde rugosité digitalisé peut être représenté par un nombre n de points Mi luiappartenant et dont les coordonnées xi, zi sont exprimées dans le repèrede mesure. Le nombre de points n est fonction du pas de numérisation

et de la longueur du profil exploré avec : .

Figure 7.21 – Profil numérisé

n Lpas--------=

02

46

(µm

)

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 (mm)x

z

Mi = (x i ,z i)


166


Il est alors possible de calculer l’ordonnée de l’altitude moyenne des

n points en posant : . Un changement d'origine approprié

fait que cette ligne moyenne sera prise comme axe des abscisses danstoute la partie qui va suivre. La totalité des points du profil est doncrépartie de part et d'autre de la ligne moyenne dans un intervalle Rts'étendant de –Rv à Rp (figure 7.22).

On peut alors calculer et tracer la courbe W = f(z) représentant la distri-bution de l'ordonnée des n points du profil de rugosité dansl’intervalle [-Rv, Rp], Wc est la probabilité d'avoir c < z < (c + dz)quand dz Æ 0 (voir figure 7.23).L'examen de la forme de cette courbe de distribution peut présenter ungrand intérêt en ce qui concerne la connaissance des caractéristiquesmorphologiques de la surface dont est extrait le profil observé, en effet :Une courbe de distribution dont l’allure est celle représentée dans lapartie gauche de la figure 7.24 correspondra à un profil comportantplutôt des plateaux hauts avec quelques points bas. Une représentationschématisée de ce type de profil apparaît dans la partie droite de lafigure.

Figure 7.22 – Profil numérisé exprimé à partir de la ligne moyenne.

z

z

zii 1=

i n=

∑n

-----------=

(mm)0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

0

5

– 4

Rp

Rv


167


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lit.

Une courbe de distribution dont l’allure est celle représentée dansla partie gauche de la figure 7.25 correspond au contraire à un profilcomportant une majorité des plateaux bas et quelques points hauts(type de profil dont une image schématisée est représentée dans la partiedroite de la figure).

Figure 7.23 – Courbe de distribution des altitudes des points d’un profil.

Figure 7.24 – Profil présentant plutôt des points hauts.

Figure 7.25 – Profil présentant plutôt des points bas.

dz

W

–Rv

Wc

Rp zc

z

xW

–Rv

Rp

–Rv

Rpz

xW


168


m Le skewness

La dissymétrie de la courbe représentant la fonction distribution peutêtre mise en évidence par le coefficient d'asymétrie ou coefficient deFischer que l’on nomme skewness en profilométrie. Celui-ci se calcule àpartir des moments centrés de la distribution. On rappelle que si l’onnote µq le moment centré d'ordre q d’une distribution de n points depoids z on aura :

On notera que le moment centré d'ordre 2 correspond à la variance d’unedistribution et que pour une distribution symétrique, tous les momentscentrés d’ordre impair seront nuls. Dans la distribution de n points d’alti-tude z appartenant à un profil, le skewness sk se calcule à partir desmoments centrés d’ordre 3 de la façon suivante :

C'est le signe de sk qui caractérisera l'éventuelle dissymétrie de la distri-bution. On aura sk du même signe que m-t, avec m = abscisse de lamoyenne et t = abscisse du maximum de probabilité. Dans notre cas :

– sk = 0, la courbe est symétrique par rapport à la moyenne.

– sk > 0, le maximum de probabilité se trouve à gauche de la moyenne.

– sk < 0, le maximum de probabilité se trouve à droite de la moyenne.

Ce qui montre (figure 7.26) qu’un skewness négatif est l’indicationd’une prédominance de points hauts sur le profil comme cela apparaît surles courbes représentées sur la figure 7.24, alors qu’un skewness positifindique au contraire la prédominance de points bas sur le profil commeon peut s’en rendre compte sur les courbes de la figure 7.25.

µq

ziq

i 1=

i n=

∑n

------------=

skµ3

µ2

32---

-----µ3

Rq3---------

zi3

i 1=

i n=

∑n Rq3⋅-----------------= = =


169


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lit.

m Le kurtosis

La finesse de la courbe représentant la distribution peut être mise enévidence et chiffrée par le coefficient de finesse ou coefficient de Pearsonappelé kurtosis. En profilométrie, ce coefficient se calcule à partir desmoments centrés d’ordre 4 de la façon suivante :

Nous rappelons qu’il caractérise la finesse de la distribution du profil, c’est-à-dire le regroupement des points du profil de façon plus ou moinsdispersée autour de la valeur moyenne et que pour une distributiongaussienne il est égal à 3.

Les spécifications sk et ku sont respectivement précédées des lettres P,W ou R selon qu’ils correspondent au skewness ou au kurtosis calculésur un profil non filtré, sur un profil d’ondulation ou sur un profil derugosité.

Figure 7.26 – Signification du skewness ou coefficient d’assymétrie.

m = t

W

z

sk = 0

m

W

zt

sk > 0

m

W

zt

sk < 0

kuµ4

µ2

42---

-----µ4

Rq4---------

zi4

i 1=

i n=

∑n Rq4⋅-----------------= = =


170


m Relation avec la courbe de portance

La fonction F(z) obtenue par l’intégration entre 0 et Rt de la fonctionW = f(z) représentant la distribution des altitudes des points constituant

un profil de rugosité, donnera la probabilité de trouver

un point dont l’altitude est comprise entre 0 et z = c. La représentationgraphique de cette fonction, ou courbe de répartition, correspond à lacourbe de portance. On peut dire de façon plus pratique que la courbede portance donne le pourcentage des n points (ou de la longueur deprofil puisque le profil est défini par ces n points) compris entre l’altitudemaximale et l’altitude z considérée. Il est facile de relier la forme généralede cette courbe avec le skewness (figure 7.29).

Figure 7.27 – Signification du kurtosis ou coefficient de finesse

Figure 7.28 – Courbe de distribution et courbe de portance d’un profil.

W

zku = 3 ku > 3

W

z ku < 3

W

z

F z( ) f z( ) zd0

Rt

∫=

Courbe de distributionRt

0

z

WA

Courbe de portance Rt

0

z

P(0 < z < c)

c


171


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7.4.5 Méthode des motifs

m Origine et principe

L’inconvénient principal que présentent les différentes techniques defiltrage que nous avons utilisées jusqu’ici provient de ce que dans toutesces méthodes le filtrage s’effectue sur la ligne moyenne. Or on peut trèsbien imaginer un profil ne présentant pas d’ondulation sur sa lignemoyenne tout en étant fortement ondulé sur les sommets comme celuireprésenté sur la figure 7.30, ou à l’inverse, un profil fortement ondulésur la ligne moyenne et pratiquement rectiligne sur la ligne des sommetscomme celui représenté sur la figure 7.31. Les contacts entre deuxsurfaces se réalisant toujours, tout au moins dans un premier temps, surles points hauts des aspérités, on conçoit que les méthodes traditionnel-les de filtrage puissent se révéler insatisfaisantes lors de certaines analy-ses destinées à prévoir le comportement des surfaces observées. Partantde cette constatation, les principaux constructeurs automobile réunis ausein du CNOMO ont mis au point, dans les années 1970, la méthodedes motifs qui a été depuis normalisée sous la référence ISO 12085.

Figure 7.29 – Corrélation entre allure des courbes de portance et skewness

Figure 7.30 – Profil rectiligne sur la ligne moyenne et ondulé sur les sommets.

Rsk = 0 Rsk < 0Rsk > 0


172


L’objectif de cette méthode est de définir un mode de séparation desécarts géométriques de rugosité et d’ondulation qui n’altère ni ne modifiele profil réel analysé et qui offre une réjection maximale des composantesdes ordres indésirés sur la zone étudiée. La méthode est empirique, elle estbasée sur la reconnaissance des formes et permet d’identifier les motifs duprofil en ne conservant que ceux qui seront jugés comme étant caractéris-tiques de celui-ci. Un motif élémentaire est la portion de profil compriseentre deux pics consécutifs (voir figure 7.32).

Un motif est caractérisé par les hauteurs des deux pics Hj et Hj +1 quil’encadrent ainsi que par sa largeur Ai (on appellera T la plus petite desdeux hauteurs H). Un premier tri permet d’éliminer les pics de faiblealtitude et de corriger l’altitude des pics importants isolés.

Figure 7.31 – Profil ondulé sur la ligne moyenne et rectiligne sur les sommets.

Figure 7.32 – Constitution d’un motif de rugosité élémentaire.

H j + 1

H j

A i


173


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m Combinaison des motifs

Cette opération à pour but de ne prendre en considération que les motifsréellement influents, elle consiste à les regrouper si quatre conditions sontrespectées.

M Condition 1, enveloppe

Deux motifs voisins ne peuvent être combinés si le pic qui leur estdevenu commun est plus élevé que les deux autres (figure 7.33) :

M Condition 2, largeur

Aucune combinaison n’est possible si la largeur du nouveau motif estsupérieure à A (A est la limite arbitrairement choisie comme valeurmaximum du pas de rugosité, on choisit généralement A = 500 µm,(figure 7.34).

Figure 7.33 – Condition d’enveloppe.

Figure 7.34 – Condition de largeur.

Combinaison possibleCombinaison impossible

500 µµm

Combinaison possible Combinaison impossible

500 µm


174


M Condition 3, agrandissement

Aucune combinaison n’est possible si l’on diminue la plus petite hauteur Tde l’un des deux motifs initiaux (figure 7.35).

M Condition 4, profondeur relative

Aucune combinaison n’est possible si les profondeurs de deux vallées adja-centes à l’intérieur du nouveau motif constitué sont supérieures à 60 %de la valeur T de ce nouveau motif (figure 7.36).

Lorsque plus aucune combinaison n’est possible, les motifs obtenus partous les regroupements autorisés sont déclarés motifs caractéristiques derugosité (figure 7.37). La ligne réunissant tous les sommets de ces motifs,appelée ligne enveloppe supérieure, constitue l’ondulation du profil(figure 7.38).

Figure 7.35 – Condition d’agrandissement.

Figure 7.36 – Condition de profondeur relative.

Combinaison possible Combinaison impossible

Combinaison impossible Combinaison possible


175


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lit.

M Calcul des paramètres de caractérisation du profil

On calculera :

, pas moyen de rugosité.

et , rugosité moyenne.

On peut alors appliquer l’algorithme précédent sur la ligne envelopperéunissant les sommets des motifs caractéristiques de rugosité afin de définirles motifs élémentaires d’ondulation. On regroupera ensuite ces motifsélémentaires d’ondulation en utilisant le même algorithme que précédem-ment. La seule différence se situe naturellement pour la condition de largeurdans laquelle R sera remplacée par W, avec généralement W = 2 500 µm,de façon à obtenir les motifs caractéristiques d’ondulation (figure 7.38).

Figure 7.37 – Motifs caractéristiques de rugosité.

Figure 7.38 – Motifs caractéristiques d’ondulation.

10 µm

7,5 µm

5 µm

2,5 µm

0 500 1 000 1 500 2 000 2 500 µm

10 µm

7,5 µm

5 µm

2,5 µm

0 500 1 000 1 500 2 000 2 500 µm

AR 1n--- ARi

i 1=

i n=

∑=

R 1m---- Hj

j 1=

j m=

∑=


176

7.5 Caractérisation tridimensionnelledes états de surface

De même on calculera alors :

, pas moyen d’ondulation

et : , ondulation moyenne.

7.5 Caractérisation tridimensionnelle des états de surface

7.5.1 Hétérogénéité et anisotropie des surfaces

Nous avons vu que la normalisation actuellement en vigueur définit ungrand nombre de paramètres permettant de caractériser un état de surface.Nous avons évoqué dans la partie précédente les plus utilisés dans lemonde industriel et nous savons comment les mesurer. Le principalinconvénient que présentent ces critères est qu’ils sont tous déterminésà partir de l’examen d’un profil extrait de la surface observée. Or unesurface réelle peut présenter des profils très différents les uns des autresselon l’endroit où ils ont été mesurés ou suivant la direction dans laquelleils ont été mesurés. La figure 7.39 représente l’aspect réel d’une surfacethéoriquement plane obtenue par fraisage de face. En réalité cette surfaceest constituée d’une succession de stries circulaires (plus exactement épicy-cloïdales) dont la géométrie et les dimensions dépendent des conditionsd’usinage (diamètre de l’outil, géométrie de sa partie active, avance pardent…). Nous dirons que cette surface est anisotrope, c’est-à-dire qu’elleprésente des profils différents en fonction de la direction dans laquelleils seront mesurés. D’autres surfaces peuvent être hétérogènes, c’est-à-dire que la forme d’un profil dépendra de l’endroit où celui-ci auraété saisi.Il est donc assez hasardeux de prétendre caractériser un état de surface àpartir de l’examen d’un seul profil appartenant à cette surface. Dans le casd’une surface anisotrope, lorsque la direction de mesure n’est pas spécifiée,

AW 1n--- AWi

i 1=

i n=

∑=

W 1m---- HWj

j 1=

j m=

∑=


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la normalisation demande de choisir la direction de palpage de façon àce qu’elle corresponde aux valeurs maximales des paramètres caractéri-sant l’étalement vertical du profil. Dans le cas d’une surface hétérogèneseule la mesure d’un certain nombre de profils et un traitement statistiquedes résultats obtenus peuvent donner une information satisfaisante.

7.5.2 Caractérisation tridimensionnelle des états de surface

m Mesure tridimensionnelle des états de surface

M Saisie tactile

La plupart des appareils de mesure tactile d’état de surface actuelspermettent la caractérisation tridimensionnelle de ceux-ci (figure 7.40).La surface réelle est alors connue par l’intermédiaire d’un nuage depoints dont les altitudes z dépendent de leur position dans le plan deréférence de la mesure z = f(x, y). Il est alors facile d’imaginer que l’on

Figure 7.39 – Morphologie d’une surface fraisée théoriquement plane.


178


pourra réaliser sur ce nuage de points toutes les opérations que l’onexécute habituellement sur les points des profils afin de déterminer desparamètres du même type. Les comités de normalisation travaillentactuellement sur la définition des critères de caractérisation tridimen-sionnels des états de surface. Aujourd’hui la préconisation de l’ISO estde faire précéder les critères correspondants aux critères de profil calculés àpartir de mesures tridimensionnelles de la lettre S afin d’indiquer qu’ilssont relatifs à des surfaces et non à des lignes.

M Saisie optique

Des systèmes optiques peuvent également être employés pour la mesuredes états de surface. Quelle que soit la technologie utilisée, il s’agittoujours de mesurer l’altitude zi de n points Mi appartenant à la surfaceexplorée, les coordonnées xi et yi correspondantes étant fournies soit à partird’un système de mesure des déplacements en x et en y, soit par l’intermé-diaire d’une caméra CCD. Les deux technologies optiques les pluscouramment employées sont :

Focalisation d’un faisceau laserUn système mesure le déplacement vertical de l’objectif de focalisationd’un faisceau laser sur le point Mi de la surface dont on veut mesurer

Figure 7.40 – Appareil tactile de mesure tridimensionnelle d’état de surface.

z

y

z


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l’altitude zi. Les variations de déplacement de l’objectif correspondrontaux variations d’altitude des différents points appartenant à la surface.Le choix d’un laser, donc d’une lumière monochromatique, permet ladéfinition de la tache de focalisation d’une façon très rigoureuse.

Microscopie confocaleLa microscopie confocale à champ étendu permet d’enregistrer l’alti-tude zi d’un point Mi appartenant à une surface sans devoir procéder à larecherche dynamique de la focalisation, c’est-à-dire sans aucun mouve-ment mécanique. Le principe consiste à créer à partir d’une lumièreblanche une série d’images monochromatiques le long de l’axe optiquedu faisceau lumineux. Un filtre spatial sélectionne la longueur d’onde del’image correspondant au point Mi mesuré afin de déterminer l’altitudede celui-ci après décodage.

m Traitement des mesures

M Surface brute redressée

La mesure fournie une image reconstituée de la surface explorée à partirdes n points Mi (xi, yi, zi) saisis. Une image extraite d’une mesure effectuéesur une surface théoriquement plane obtenue par fraisage est représentéesur la figure 7.41. Cette image à été redressée par la méthode des moindrescarrés afin d’éliminer son défaut d’orientation par rapport au référentielde mesure. À partir des n points mesurés et des définitions exposées auparagraphe 7.4 il est possible de calculer les paramètres SPt = 17,75 µm,SPz = 16,70 µm, SPsk = 0,15, et Spku = 2,22. À noter que dans l’exemplechoisi le nombre n de points Mi mesurés est de 640 000.

M Surface brute filtrée en passe-bas

Des techniques de filtrage basées sur la décomposition en séries deFourrier de la fonction z = f(x,y) et de son interaction avec l’effet du filtreutilisé g(x, y) [7.8] permettent d’obtenir le signal filtré en basse fréquencecorrespondant à l’ondulation de la surface (figure 7.42). La normalisationpréconise l’emploi d’un filtre gaussien qui permet de séparer les différentes


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Figure 7.41 – Surface brute redressée.

Figure 7.42 – Surface filtrée en passe-bas, longueur de coupure 0,8 mm en x et en y.


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composantes d’un signal sans distorsion ni déphasage. Dans notre exemple,les longueurs de coupures choisies étaient de 0,8 mm en x et de 0,8 mmen y. Il est alors possible de calculer sur la surface filtrée les paramètresSWt = 5,60 µm et SWz = 5,60 µm.

M Surface brute filtrée en passe-haut

Par soustraction du signal filtré en passe bas au signal non filtré, onobtient la composante filtrée en haute fréquence qui correspond à larugosité de la surface, figure 7.43. À partir de ce nouveau signal il est possi-ble de calculer les paramètres habituels, SRt = 12,60 µm, SRz = 12 µm,Sra = 1,26 µm, SRq = 1,62 µm, SRsk = 0,473 et Srku = 3,38.

Figure 7.43 – Surface filtrée passe-haut, longueur de coupure 0,8 mm en x et en y.


182

7.6 Indications d’états de surface sur les dessins

7.6 Indications d’états de surface sur les dessins

La fonctionnalité des surfaces va leur imposer de présenter certainescaractéristiques quant à leur état de surface et va donc nécessiter despécifier les critères correspondants sur les dessins de définition.La normalisation technique en vigueur indique les symboles permettantde porter ces informations.

Figure 7.44 – Symbole de base, mode de réalisation non précisé.

Figure 7.45 – Enlèvement de matière exigé pour l’obtention de la surface.

Figure 7.46 – Enlèvement de matière interdit pour l’obtention de la surface.

Figure 7.47 – Écriture de spécifications complémentaires.

a – valeur d’état de surface précédée du symbole correspondant.b – autres valeurs d’état de surface précédées du symbole correspondant. c – procédé de fabrication, si nécessaire. d – stries de surface et orientation possible. e – surépaisseur d’usinage.

ca

bde


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7.7 Bibliographie©

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Toutes les informations indispensables à la réalisation et à la mesure del’état de surface demandé doivent figurer autour du symbole de base, enprécisant bien le symbole normalisé du ou des critère(s) choisi(s) ainsique sa (leurs) valeur(s) numérique(s), figure 7.48. Naturellement, on nedoit porter sur un dessin de définition que les indications absolumentindispensables pour un bon fonctionnement de la surface spécifiée.Pour plus d’informations on se rapportera à la norme ISO 1302.

7.7 Bibliographie[7.1] Spécification géométrique des produits (GPS), État de surface :

méthode du profil ; règles et procédures pour l’évaluation de l’état desurface, ISO 4288, AFNOR 1996.

[7.2] Spécification géométrique des produits (GPS), État de surface :méthode du profil ; termes définitions et paramètres d’état de surface,ISO 4287, AFNOR 1998.

[7.3] Spécification géométrique des produits (GPS), Indication des états desurface dans la documentation technique des produits, ISO 1302,AFNOR 2002.

[7.4] Physique et ingénierie des surfaces, A. CORNET, J.-P. DEVILLE, EDPSciences, 1998.

[7.5] Rough surfaces, R. THOMAS, Imperial College Press, 1999.

[7.6] Spécification géométrique des produits (GPS), État de surface :méthode du profil ; surfaces ayant des propriétés différentes suivant lesniveaux, ISO 13565, AFNOR.1996.

Figure 7.48 – Exemple de spécification d’état de surface.

FraiséRa 0,8 Rz 3,2

La surface doit être obtenue par fraisage La rugosité Ra ne doit pas excéder 0,8 μmLa rugosité Rz ne doit pas excéder 3,2 μmLes stries d’usinage doivent être perpendiculaires au plan du dessin


184

7.7 Bibliographie

[7.7] Spécification géométrique des produits (GPS), État de surface :méthode du profil ; paramètres liés aux motifs, ISO 12085, AFNOR1996.

[7.8] Filtrage tridimensionnel des surfaces rugueuses, H. ZAHOUANI,Bulletin de la société des sciences et des lettres de Lodz, vol. XX,Recherches sur les déformations, p.131-163, 1995.

[7.9] The development of methods for the characterisation of roughness inthree dimensions, Commission of the European communitiesISBN 0 7044 1313 2, septembre 1993.

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8 • LA MÉTROLOGIEDES MACHINES-OUTILS

8.1 Pourquoi la métrologie des machines-outils

8.1.1 Généralités et rappels

Une machine-outil a pour fonction de générer des surfaces en combi-nant des déplacements relatifs entre un outil et un bloc de matière surlequel doit être réalisée la surface désirée (pièce). La plupart des machines-outils possèdent une broche, c’est-à-dire qu’elles sont constituées d’uneliaison pivot qui permet de mettre en rotation, soit un outil de coupe(fraise, foret, alésoir, meule…) soit la pièce à usiner elle-même (tournage,rectification cylindrique, taillage…) ainsi que d’un certain nombre d’autresliaisons (généralement pivots ou glissières) que l’on appelle les axes, etqui permettent l’obtention de géométries particulières en réalisant desdéplacements relatifs contrôlés entre la pièce et la broche. Les commandesdes déplacements, qu’elles soient manuelles mécaniques ou numériques,en direction, sens, vitesse et grandeur, permettent d’obtenir les formesles plus diverses tant à l’échelle macrogéométrique (forme) qu’à l’échellemicrogéométrique (état de surface).

Si les liaisons entre les différents solides constituant les organes mobilesdes machines-outils étaient parfaites il n’y aurait aucun problème puisqueles surfaces réelles obtenues seraient rigoureusement conformes aux

8 • La métrologiedes machines-outils

186


surfaces théoriques programmées. Par exemple on sait que l’on peutobtenir par chariotage une surface cylindrique en combinant la rotationd’un solide autour d’un axe avec la translation rectiligne de la partieactive d’un outil de coupe parallèlement à cet axe (figure 8.1). En réalitéla surface théoriquement et réellement obtenue ne sera pas une surfacecylindrique mais une rainure hélicoïdale dont le pas sera égal à l’avancepar tour et dont le profil dépendra de la géométrie de la partie active del’outil utilisé. L’opérateur fixera ces paramètres de façon à ce que leurseffets soient négligeables aussi bien à l’échelle macrogéométrique qu’àl’échelle microgéométrique : ils permettent l’obtention d’un état de surfacecompatible avec les spécifications exigées.

La broche supportant la solide pièce (S1) est mise en rotation parrapport au bâti (S0) par l’intermédiaire d’une liaison pivot d’axe z0. Lesolide (S2) supportant l’outil, dont on assimilera la partie active au pointB, est mobile en translation par rapport au bâti (S0) par l’intermédiaired’une liaison glissière d’axe z¢0 parallèle à z0. On sait qu’à chaque liaisonparfaite on peut associer deux torseurs : un torseur statique représentantles efforts transmissibles par la liaison ainsi qu’un torseur cinématiquereprésentant les déplacements (degrés de liberté) permis par la liaison [8.1].Or dans la réalité les liaisons ne sont jamais parfaites en raison notammentdes jeux indispensables à leur fonctionnement ou bien des imperfections

Figure 8.1 – Génération d’une surface théoriquement cylindrique.

x0

z0

y0

z’0

O’0

y’0

x’0 (G)

(D)

B

(S1)

(S2) A

O0


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8.1 Pourquoi la métrologie des machines-outils©

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géométriques inévitables affectant les solides qui les constituent. Dansl’exemple représenté par la figure 8.1, les imperfections de la rotation dela broche entraîneront un défaut de circularité de la directrice (D) de lasurface générée, et les imperfections de la translation du traînard entraî-neront un défaut de rectitude de la génératrice (G) de cette même surface.D’où la nécessité de connaître les valeurs des défauts des liaisons quiconstituent les machines-outils afin de pouvoir déterminer les possibilitésde celles-ci.

8.1.2 Modélisation des défauts des liaisons

Considérons une liaison glissière d’axe Ox permettant le déplacementd’un solide (S) par rapport à un bâti (0) (figure 8.2). Le torseur statique

associé à cette liaison est de la forme : . Le torseur

cinématique est de la forme : .

Figure 8.2 – Modèlisation d’une liaison glissière d’axe Ox.

τ 0 S→( )R

0,LY,N

Z,M⎩ ⎭⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎧ ⎫

A

=

C S 0→( )R

0,u

0,0

0,0⎩ ⎭⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎧ ⎫

A

=

O0 x0

z0

y0

A1

B1B’2

B2

2

A’

(S2)

(S’2) (S1)2

A


188


Lorsque le solide passe de la position (S1) à la position (S¢2), ce déplace-ment se produit suivant une translation rectiligne de direction X0, et lepoint A qui se situait en A1 avant le déplacement devrait théoriquementse retrouver en A¢2 après ce déplacement. Les propriétés d’une transla-tion rectiligne sont telles que les vecteurs déplacements de tous lespoints du solide en mouvement sont égaux ce qui signifie que : 9A1,A¢2 =9B1,B¢2 et donc que le déplacement du point B (partie active de l’outil decoupe) qui matérialise la génératrice de la surface chariotée sera bienrectiligne et générera alors un cylindre théoriquement parfait.

Or pour toutes les raisons ayant trait à l’imperfection des liaisons méca-niques déjà évoquées, on sait que le déplacement du solide (S) ne sera pasrigoureusement rectiligne, que la nouvelle position de (S) ne sera pas(S¢2) mais (S2), que le point A ne se trouvera donc pas comme espéré enA¢2 mais à une position réelle A2 légèrement différente de celle atten-due. C’est-à-dire que le point A en plus de son déplacement rectilignenormal aura subi un petit déplacement parasite 6A¢2,A2 que l’on pourraéventuellement mesurer. Mais bien sûr, ce qui intéresse l’usineur ce n’estpas le déplacement du point A mais celui du point B. Or le déplacementréel du traînard n’étant plus une translation linéaire, les vecteurs dépla-cements des différents points du solide qui le constitue ne sont pluségaux. Il est alors beaucoup plus délicat de connaître le déplacementréel de B et donc la forme de la génératrice obtenue. Pour tenter derésoudre facilement ce problème il est commode de modéliser les dépla-cements dus aux imperfections de la liaison par un torseur des petitsdéplacements analogue à celui que nous avons déjà utilisé dans le chapi-tre 4, c’est-à-dire que nous associerons à chaque liaison un torseursupplémentaire [8.2] linéarisant les petits déplacements causés par lesdéfauts de la liaison considérée. Dans le cas de notre exemple, pourune liaison glissière d’axe Ox, ce torseur sera de la forme :

. L’intérêt que présente cette modélisation estD S 0→( )R

dαx,0dαy,dydαz,dz⎩ ⎭

⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎧ ⎫

A

=


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8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière©

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que si l’on connaît les composantes de ce torseur en un point quelconquedu solide (S), par exemple au point A, on pourra facilement calculer ledéplacement de n’importe quel autre point du solide, par exemple lepoint B. On appelle 9U(A/0) le vecteur petit déplacement du point A/0,

9U(B/0) le vecteur petit déplacement du point B/0 et 9W(S/0) le vecteur

petite rotation du solide S/0, cela permet alors d’écrire : 9U(B/0) = 9U(A/0) =

6BAŸ9W(S/0). La métrologie des machines-outils a pour but de permettrede mesurer les composantes des torseurs des petits déplacements quicaractérisent l’imperfection des différentes liaisons qui les constituent.Il faut cependant bien comprendre que ces composantes ne sont pas desconstantes pour une liaison donnée, mais qu’elles sont continuellementvariables en fonction de la position du mobile considéré au cours de sondéplacement normal. La seule solution possible est de constituer pourchaque liaison un fichier exprimant la valeur de ces composantes pourun certain nombre de positions de ce mobile. Plus le nombre de posi-tions retenues sera grand mieux le déplacement sera connu. Dans ce quiva suivre nous étudierons la mesure des défauts en un point A d’uneliaison glissière d’axe Ox, une analyse analogue pouvant être réalisée pourn’importe quelle autre type de liaison.

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

8.2.1 Mesure du déplacement réel d’une glissière

Le déplacement théorique du mobile peut être obtenu par un système vis-écrou, un entraînement pignon-crémaillère, un vérin pneumatique ouhydraulique, un moteur linéaire, voire par tout autre moyen. La valeur dece déplacement est contrôlée à l’aide d’une commande pas à pas, detambours gradués, de règles optiques ou d’autres procédés, et naturelle-ment le système peut travailler en boucle ouverte ou en boucle fermée.Quoi qu’il en soit il est essentiel de savoir si le déplacement réel corres-pond au déplacement théorique souhaité et donc de pouvoir mesurer cedéplacement réel avec une précision satisfaisante.


190


S’il est toujours possible d’employer les étalons de longueur classiques àbouts ou à traits et de déterminer les écarts entre les positions réellesobtenues et les positions théoriques programmées en utilisant descomparateurs de longueurs à technologie mécanique ou électrique, uneméthode particulièrement efficace et actuellement très souvent mise enœuvre dans le contrôle des machines-outils consiste à mesurer ces écartspar interférométrie laser.

m Interféromètre de Michelson

L’interféromètre de Michelson permet de mesurer avec une excellenteprécision la valeur du déplacement rectiligne d’un système optique. L’étalonde longueur employé est la longueur d’onde de la radiation d’une lumièremonochromatique. Généralement on utilise la longueur d’onde du faisceauémis par un laser hélium-néon qui vaut 0,632 µm et qui correspond àune émission dans le rouge. Si le laser est correctement stabilisé enfréquence et si le milieu dans lequel le faisceau se propage (l’air ambiant) estparfaitement maîtrisé en température, pression et hygrométrie, cettelongueur est rigoureusement constante et peut donc matérialiser unétalon de longueur de très bonne qualité.

Le faisceau émis par la source laser E (figure 8.3) arrive sur un premierélément optique fixe, le séparateur, qui dévie la moitié du faisceau f1vers un premier réflecteur 1 solidaire du séparateur, la moitié restantedu faisceau f2 est envoyée sur un deuxième réflecteur 2 solidaire lui del’élément mobile dont on veut mesurer le déplacement. Les deux fais-ceaux réfléchis respectivement par 1 et par 2 se recombinent dans leséparateur et sont récupérés par le récepteur R. En raison de la natureondulatoire de la lumière le récepteur R va observer un faisceau qui estla somme de deux rayons : l’un de longueur constante f1 (faisceau deréférence) et l’autre dont la longueur varie avec le déplacement duréflecteur 2 (donc du mobile considéré) f2. Ce qui fait qu’il va recevoirune quantité de lumière variant alternativement entre un maximum(f1 et f2 sont en phase) et 0 (f1 et f2 sont en opposition de phase) corres-pondant à des franges d’interférence espacées de l/2, soit dans notre casde 0,316 µm. Un convertisseur analogique digital découpe ensuite le


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signal correspondant jusqu’à une résolution pouvant théoriquementaller jusqu’à 1/10 000 µm.

Ce système de mesure extrêmement précis peut donc être employé pourla mesure des défauts de déplacement des organes d’une machine-outil,mais il peut également être utilisé pour mesurer les déplacements surcertaines machines à mesurer de grande précision ou pour procéder à lavérification des étalons de travail dans les laboratoires de métrologie.

8.2.2 Mesure des écarts angulaires

Les déplacements angulaires autour de chacun des axes de la liaisoncorrespondent aux composantes de la résultante (vecteur petite rotation9W(S/0)) du torseur des petits déplacements associé à cette liaison. Onsait que la résultante d’un torseur est constante en tout point du solideauquel il est associé ce qui fait qu’on peut mesurer indifféremment sescomposantes en n’importe quel point de ce solide. Dans une glissièred’axe Ox, on appelle traditionnellement les composantes de la résultante :la rotation autour de Ox le roulis, la rotation autour de Oy le lacet et larotation autour de Oz le tangage. Plusieurs méthodes pratiques peuventêtre valablement envisagées afin de réaliser ces mesures.

Figure 8.3 – Schéma de principe d’un interféromètre de Michelson.

f1+f2

Source récepteur

R

E Séparateur fixe

Réflecteur 2 (mobile)

Réflecteur 1 (fixe)

f1f1

f2

f1+f2 f2


192


m Mesure différentielle

La référence linéaire est matérialisée, soit par la génératrice d’un cylin-dre étalon dont l’axe est parallèle à l’axe de la broche lorsqu’il s’agit dequalifier par exemple un tour ou une rectifieuse cylindrique, soit parune règle étalon bridée sur la table de la machine si l’on doit caractériserles déplacements d’une fraiseuse, d’une aléseuse ou d’un centre d’usinage.Deux comparateurs 1 et 2 espacés d’une longueur d sont fixés sur lemobile (S) dont on veut contrôler le déplacement (figure 8.4). Lors dela translation de (S) le long de l’axe Ox, les petites rotations de (S)autour de Oy entraîneront des déviations de sens opposés dz1 et dz2

mesurées par les comparateurs 1 et 2, telles que l’on pourra écrire :

, avec tgday > 0 si dz1 < dz2 et tgday < 0 si

dz1 > dz2. Les angles étant petits on admettra que l’on peut poser sansrisque : tgday = day, day étant exprimé en radians.

Figure 8.4 – Mesure du lacet d’une glissière par une méthode différentielle.

tgdαydz1 dz2+

d----------------------------=

d

A

1 2

z

xy

S

Cylindre étalon


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m Mesure au niveau

Lorsque l’axe de rotation est dans une direction proche de l’horizontale,il est commode de mesurer les petites rotations autour de cet axe enutilisant un niveau à bulle (analogue au niveau de maçon) ou un clino-mètre. Le niveau à bulle permet la mesure précise de petits angles parrapport à une référence horizontale (figure 8.5). La caractéristiqueimportante qui conditionne la résolution d’un niveau est le rayon R dela fiole. Sur la figure 8.5 on peut remarquer que Oa = O¢a¢ = O¢a¢1 = Ret que l’on peut écrire : arc a¢1a¢ = aR, avec a naturellement expriméen radians.

Si R = 40 m (40 000 mm) et a = 1/200˚ (soit 8,7266.10–5 rd) on aura :arc a¢1a¢ = 3,49 mm facilement mesurable sur la fiole (graduations) cequi donne une idée de l’excellente résolution du système de mesureangulaire ainsi réalisé.

Figure 8.5 – Principe de la mesure d’un angle au niveau.

a

O’

R

O

α

a’1

α horizontale

a’


194


Pour mesurer les défauts de roulis ou de tangage de notre liaison (les défautsde lacet ne sont pas mesurables par ce procédé en raison de la non-hori-zontalité de l’axe Oy), il suffit de poser sur l’élément mobile (S) unniveau perpendiculairement à l’axe autour duquel se produit le défaut àmesurer puis de relever les variations angulaires successives en fonctionde la position de (S) le long de l’axe Ox.

m Mesure angulaire par interférométrie

Un équipement approprié permet de réaliser la mesure de faibles varia-tions angulaires autour d’axes perpendiculaires à l’axe du faisceau (roulisou tangage dans le cas de notre exemple) à l’aide d’un interféromètrelaser. Cet équipement comprend (figure 8.6) : un premier élément opti-que fixe 1 qui divise le faisceau initial issu de l’émetteur E en deux fais-ceaux parallèles f1 et f2, et un second élément optique 2 lié à l’élémentmobile constitué de deux réflecteurs, semblables à ceux déjà utilisés pourla mesure des déplacements, assemblés de façon à ce que la distanceentre leurs axes optiques soit égale à d. Les rayons réfléchis f1 et f2 sontregroupés sur le premier élément optique afin d’être analysés par lerécepteur R. Là encore le récepteur va recevoir un signal égal à f1 + f2. Sidans son déplacement rectiligne l’élément optique 2 conserve sa positionangulaire initiale le déphasage entre les rayons f1 et f2 restera constant et lerécepteur R ne distinguera pas de variation du signal récupéré. Parcontre, si au cours du déplacement rectiligne il se produit un pivote-ment autour d’un axe vertical (lacet du mouvement), le récepteur Rdétectera la variation de la longueur li des faisceaux f1 et f2 et pourraen déduire les valeurs successives prises par l’angle a en faisant :

.

Naturellement si l’on souhaitait mesurer la composante de 9W(S/0) autourd’un autre axe perpendiculaire au premier, il suffirait de faire pivoterl’ensemble des systèmes optiques 1 et 2 de 90˚ et de recommencerl’opération. À noter que cet appareillage ne permet pas de mesurer lacomposante de rotation autour de l’axe de déplacement de la liaison(roulis).

tgαl1 l2–

d-------------=


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un

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.

8.2.3 Mesure des écarts linéaires

Les écarts linéaires du déplacement de la glissière correspondent auxcomposantes du moment du torseur des petits déplacements associé àcette glissière. On sait que le moment d’un torseur est fonction dupoint où ce torseur est exprimé. Nous avons choisi le point A dans notreexemple : ce moment correspond alors au petit déplacement de A/0 quenous avons noté : 9U(A/0). Si nous décidons de caractériser les défauts denotre glissière par un torseur des petits déplacements exprimé au point A,il faudra donc bien prendre garde de corriger les résultats des mesuresobtenus en fonction du point où celles-ci auront été réalisées. Pratiquementdeux méthodes peuvent être couramment employées pour effectuerces mesures.

m Mesure des écarts linéaires au comparateur

La référence linéaire est, comme pour les mesures angulaires, matérialisée

Figure 8.6 – Principe des mesures angulaires à l’aide d’un interféromètre.

l1

d

l2 α

Élément optique 1 Élément optique 2

E

R

f1

f2

mobile fixe


196


par un cylindre ou une règle étalon. On positionnera cette référencedans une direction parallèle au déplacement de la glissière, l’axe Oxdans notre exemple (figure 8.7). Si ce n’est pas rigoureusement le cas, ilfaudra effectuer les corrections nécessaires de façon à ne conserver queles informations relatives aux écarts de linéarité. Cette correction seraévoquée dans l’exemple qui sera traité par la suite. On fixe un compara-teur sur l’élément mobile de la liaison et on relève les écarts dy au pointde contact entre la touche du comparateur et la référence linéaire (ici lepoint B) suivant l’axe considéré (ici l’axe Oy) en fonction de la positiondu mobile le long de l’axe Ox.

La déviation du comparateur va nous indiquer les valeurs successivesprises par la composante dyB. Comme nous souhaitons exprimer cettecomposante au point A il faudra faire la correction suivante : 9U(A/0) =9U(B/0) + 6ABŸ9W(S/0)

6ABŸ9W(S/0)

Figure 8.7 – Mesure des écarts de rectitude au comparateur.

y

xz

A

BCylindre étalon D

YAB ◊ daz – ZAB ◊ day

ZAB ◊ dax – XAB ◊ daz

XAB ◊ day – YAB ◊ dax

=


197


Dun

od –

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

Ce qui donnera pour la valeur recherchée : dyA = dyB + ZAB ◊ dax – XAB

◊ daz.Pour mesurer la composante suivant Oz, on positionnera le comparateurde façon à ce que la mesure soit effectuée dans une direction verticaleen utilisant un support adapté. Le contact se fera alors sur la génératricesupérieure du cylindre étalon par exemple au point D, et l’on obtiendraainsi la composante dzD il suffira alors d’écrire : dzA = dzD + XAD ◊ day– YAD ◊ dax.

m Mesure des écarts linéaires par interférométrie

L’équipement nécessaire pour mesurer les écarts linéaires à l’aide d’uninterféromètre est un peu plus complexe que ceux utilisés dans les casprécédemment évoqués (figure 8.8). Il comprend :– Un premier élément optique appelé interféromètre de Woolaston

solidaire de l’élément mobile dont on veut caractériser le déplacement.Cet élément optique divise le faisceau issu de l’émetteur E en deux

Figure 8.8 – Équipement pour mesure des écarts linéaires par interférométrie.

f1 + f2 a f1 + f2 a

f1 + f2 rf1 + f2 r

Réflecteur de rectitude

(fixe)

Interféromètrede Woolaston

(mobile)

f1 + f2 a et r f2 a + f2 r

f1a + f1r

E

R

E R A

x

z

y

x

A

ϕ


198


demi-faisceaux f1 et f2 formant entre eux un angle j dont la bissectriceest l’axe optique du faisceau initial.

– Un deuxième élément optique fixe par rapport au bâti de la machine :cet élément en forme de toit à quatre pentes est un double réflecteurqui renvoie les faisceaux f1 et f2 se recombiner sur le premier élémentoptique. Le récepteur R reçoit donc un faisceau constitué par lasomme de f1 et de f2 réfléchis par l’élément optique 2. On remarqueraque la largeur de ce réflecteur limite la course du mobile dont on analysele déplacement.

Si pendant son déplacement normal parallèle à l’axe du rayon de réfé-rence l’interféromètre de Woolaston subit un petit déplacement dyAhorizontal perpendiculaire à cet axe (figure 8.9), on verra apparaître unraccourcissement du demi-faisceau f ¢1 ainsi qu’un allongement de l’autredemi-faisceau f ¢2. La variation de longueur relative entre f ¢1 et f ¢2 seradétectée par le récepteur R qui sera capable après étalonnage d’endéduire la valeur de dyA. Naturellement lorsque l’on souhaitera faire lamesure des écarts linéaires dans la direction Oz il suffira de faire pivoterl’ensemble de l’équipement optique de 90˚ pour pouvoir effectuer lesmesures.

8.2.4 Présentation et exploitation des résultats

m Présentation des résultatsComme nous l’avons précisé au paragraphe 8.1.2, les composantes dutorseur des petits déplacements caractérisant les défauts d’une liaison ne

Figure 8.9 – Principe de la mesure des écarts linéaires par interférométrie.

f’2 + f’2 a f’1 < f’2

f’1a + f’1 r

δdyA


199


Dun

od –

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

sont pas des constantes pour cette liaison mais sont des fonctions quidépendent de la position du mobile concerné par cette liaison. Dansl’exemple que nous avons analysé, les composantes seront donc des fonc-tions de x. Dans la pratique, il est commode de les exprimer sous la formed’un fichier ou de les représenter comme indiqué sur la figure 8.10.

m Exploitation des résultats

Si nous reprenons le problème du chariotage d’un cylindre sur un tourparallèle évoqué en début de chapitre, la métrologie du déplacement dutraînard va nous permettre de connaître les composantes du torseur despetits déplacements associé à sa liaison glissière exprimées au point A(voir paragraphes précédents). Pour usiner le cylindre, un outil à chariotersera monté sur la tourelle tel que le bec de l’outil, sa partie active se trouveau point B. Les calculs vont nous permettre, à partir de la connaissancedu vecteur 6BA et du torseur associé, de déterminer les positions successi-ves de B en fonction du déplacement du traînard le long de Oz. On peutainsi identifier un petit parallélépipède entourant la position théoriqueque devrait occuper le point B, et dont les côtés sont égaux aux valeurs

Figure 8.10 – Représentation graphique des résultats des mesures de dyA et day

x mm

dyA µm

dαy rd

x mm


200


maximales que peuvent prendre dxB, dyB et dzB, ce qui correspond àl’espace que va réellement occuper la partie active de l’outil du fait desdéfauts de la liaison glissière de la machine. Naturellement ces variationsautour de la position théoriques ne vont pas avoir des conséquences iden-tiques sur la qualité géométrique de la surface obtenue. La valeur de dzB

sera sans influence sur la cylindricité de la surface usinée, la valeur de dyB

aura très peu d’effet puisqu’elle n’entraînera qu’une très faible variation dela hauteur de pointe de l’outil. Par contre la valeur de dxB va directementcorrespondre à la valeur du défaut de rectitude de la génératrice de lasurface obtenue.

8.2.3 Exemple d’application

L’exemple choisi consiste à réaliser la métrologie de la liaison glissièreassurant le déplacement du chariot transversal d’un tour, puis d’endéduire la qualité de l’usinage obtenu en dressant la face d’un disque(figure 8.12). Par des processus de mesure semblables à ceux étudiésprécédemment, il sera possible de déterminer les valeurs des composan-tes du torseur des petits déplacements associé à la liaison glissièreétudiée. Ces composantes seront exprimées au point T dans le référen-tiel (O0,4x0,4y0,4z0) lié au bâti de la machine dont l’axe Oz est rigoureuse-ment parallèle à l’axe de la broche. Les valeurs correspondantes,fonctions de la position du chariot le long de l’axe Ox, sont retranscritesdans le tableau 8.1.

Figure 8.11 – Exemple d’exploitation des résultats de la métrologie de la glissière d’un traînard sur la génération d’un cylindre.

dyB

dxBdzB

A

x

zy

B


201


Dun

od –

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

La partie active de l’outil de dressage se trouvant au point A il est néces-saire de déterminer les positions successives de A afin de connaître laforme réelle de la surface théoriquement plane générée par l’opérationde dressage. On a vu que pour cela on posait : 9U(A/0) = 9U(T/0) +6ATŸ9W(S/0), avec : 9U(T/0) = (0 4x0 + dyT ◊ 4y0 + dzT ◊ 4z0), 9W(S/0) = (dax ◊ 4x0 +day ◊ 4y0 + daz ◊ 4z0) et 6AT = (–120 ◊ 4x0 + 0 ◊ 4y0 – 80 ◊ 4z0).

Et donc : 6ATŸ9W(S/0) = (80 day ◊ 4x0 + (–80 dax + 120 daz) ◊ 4y0 – 120 day◊ 4z0).

Lors du dressage de la face du disque nous voyons que la variation de laposition du point A le long de l’axe 4x0 sera sans effet sur la qualité de lagéométrie de la surface réalisée, que la variation de A le long de l’axe 4y0

aura un effet négligeable (légère modification de la hauteur de pointe)mais que par contre la variation de la position de A suivant l’axe 4z0 vadirectement influencer la forme de la surface usinée. C’est la raisonpour laquelle nous calculerons seulement cette composante là, le calculdonne :

dzA ◊ 4z0 = (dzT – 120 ◊ day) ◊ 4z0

Bien entendu on passe de xT à xA en faisant xA = xT – 6AT 4x0 Æ xA = xT+120.

Figure 8.12 – Métrologie du chariot transversal d’un tour.

AO0

y0

z0

x0

T


202


Tabl

eaux

8.1

– C

ompo

sant

es d

u to

rseu

r de

s pe

tits

dép

lace

men

ts e

n fo

ncti

on d

e x.

Les

écar

ts li

néai

res

dyT

et d

z T s

ont

expr

imés

en

mic

rons

x T–3

30–3

20–3

10–3

00–2

90–2

80–2

70–2

60–2

50–2

40–2

30–2

20–2

10–2

00–1

90–1

80

dyT

0–2

–13

–10

21

–22

30

–4–2

11

x T–3

30–3

20–3

10–3

00–2

90–2

80–2

70–2

60–2

50–2

40–2

30–2

20–2

10–2

00–1

90–1

80

dzT

06

1319

2731

3540

4652

6675

8088

9510

1

Les

écar

ts a

ngul

aire

s da

x, d

ay e

t da

z so

nt e

xpri

més

en

radi

ans

10–5

x T–3

30–3

20–3

10–3

00–2

90–2

80–2

70–2

60–2

50–2

40–2

30–2

20–2

10–2

00–1

90–1

80

dax

05

3–2

3–4

50

–21

3–1

–44

50

x T–3

30–3

20–3

10–3

00–2

90–2

80–2

70–2

60–2

50–2

40–2

30–2

20–2

10–2

00–1

90–1

80

day

04

15

–15

2–2

43

0–4

13

–3–2

x T–3

30–3

20–3

10–3

00–2

90–2

80–2

70–2

60–2

50–2

40–2

30–2

20–2

10–2

00–1

90–1

80

daz

0–1

52

–21

3–3

–45

20

5–1

1–4


203


Dun

od –

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

Tabl

eau

8.2

– Ré

sult

ats

des

calc

uls.

x T–3

30–3

20–3

10–3

00–2

90–2

80–2

70–2

60–2

50–2

40–2

30–2

20–2

10–2

00–1

90–1

80

dzT

06

1319

2731

3540

4652

6675

8088

9510

1

120◊

day

04,

81,

26

–1,2

62,

4–2

,44,

83,

60

–4,8

1,2

3,6

–3,6

–2,4

x A–1

50–1

40–1

30–1

20–1

10–1

00–9

0–8

0–7

0–6

0–5

0–4

0–3

0–2

0–1

00

dzA

01,

211

,813

28,2

2532

,642

,441

,248

,466

79,8

78,8

84,4

98,6

103,

4


204


Le tableau 8.2 donne les résultats des calculs permettant de déterminerles valeurs successives prises par dzA en fonction de xA. Une représenta-tion graphique de ces résultats est visible sur la figure 8.13. L’examen de cegraphique fait apparaître :– Le défaut angulaire j entre la direction réelle du déplacement du

chariot transversal et l’axe Ox qui est la direction théorique que devraitprésenter ce déplacement pour être rigoureusement perpendiculaire àl’axe de la broche.

– Le défaut de rectitude du déplacement c’est-à-dire la valeur de dzAmaxi, en ce qui concerne la mesure de ce défaut l’angle j étant natu-rellement petit, il est indifférent d’exprimer la mesure normalement à ladirection du déplacement ou parallèlement à l’axe Oz.

Cette représentation graphique nous donne une bonne idée de l’aspectque présentera la surface réellement générée par le dressage. Il s’agirad’un cône dont la conicité sera fonction du défaut d’orthogonalité entrele déplacement de la partie active de l’outil (point A) et l’axe de labroche de la machine Oz, et dont le défaut de rectitude des génératricesdépendra directement du défaut de rectitude du déplacement de A lelong de l’axe de la glissière (figure 8.14).Lors de la mesure précédente, nous avons admis que les mesures desécarts dzT étaient effectuées à partir d’une référence rectiligne (règleétalon) rigoureusement perpendiculaire à l’axe de la broche Oz. Dans la

Figure 8.13 – Représentation graphique des résultats.

dzA

x0O0–150 –100 –50

Défaut de rectitude du déplacement du pointA

Direction réelle du déplacement

ϕ


205

8.3 Mesure des défauts angulaires des axes©

Dun

od –

La

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ocop

ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

pratique, on n’est pas toujours certain que cette condition soit respec-tée ; il faudra donc toujours vérifier si cette condition est satisfaite, sice n’est pas le cas il faudra alors mesurer le défaut de position del’élément de référence, puis réaliser les corrections nécessaires.

8.3 Mesure des défauts angulaires des axes

La mesure des défauts angulaires entre les différents axes d’unemachine-outil est donc d’une importance capitale dans la connaissancede leur géométrie. Dans ce qui suit, nous nous contenterons d’évoquerla mesure des défauts de parallélisme et d’orthogonalité qui sont les casles plus fréquents. Les mesures d’angles quelconques s’effectueront àpartir des mêmes principes en employant des étalons appropriés.

8.3.1 Principe de la mesure

Le principe employé pour réaliser les mesures des défauts angulairesconsiste à rechercher la direction de l’axe étudié par rapport à la droitede référence (génératrice de cylindre étalon, règle étalon, rayonlaser…) j, puis de rechercher l’écart angulaire q entre cette droite deréférence et l’axe théorique afin de pouvoir déterminer l’écart angu-laire entre l’axe étudié et la direction théorique qu’il devrait occuper(figure 8.15).

Figure 8.14 – Forme de la surface réellement obtenue.

xo

Oo

zo


206


8.3.2 Mesure de parallélisme

Lorsque nous voulions caractériser le défaut de parallélisme entre l’axede la broche d’un tour et l’axe de la liaison glissière permettant le dépla-cement du traînard (paragraphe 8.1.2), le choix d’une référence linéairematérialisée par la génératrice d’un cylindre étalon (c’est-à-dire considérécomme géométriquement parfait) positionné par rapport à l’axe de labroche fait que, dans ce cas, l’angle q peut être considéré comme négli-geable. Faire attention cependant à ce que dans ce problème, le défautangulaire entre l’axe z¢0 (axe de la liaison) et l’axe z0 (axe de référence)possède deux composantes : l’une autour de x0, l’autre autour de y0 ;c’est-à-dire qu’il faudra faire une mesure dans le plan horizontal z0, O0,x0 puis une autre mesure dans le plan vertical y0, O0, z0.

8.3.4 Mesure de perpendicularité

m Perpendicularité d’axes sur un tour

Reprenons le cas exposé dans le paragraphe 8.2.3 à savoir la mesure dudéfaut d’orthogonalité entre l’axe de la broche d’un tour et le déplace-ment de son chariot transversal. Nous avions alors fait l’hypothèse que lesmesures étaient réalisées à partir d’une référence (règle étalon) parfaite-ment parallèle à l’axe Ox0, c’est-à-dire rigoureusement perpendiculaireà l’axe de la broche Oz0 (dans ce cas naturellement q vaudrait 0). Dansla réalité il est fort probable que ce ne sera pas le cas, mais que la règle

Figure 8.15 – Principe de la mesure du défaut angulaire d’un axe de machine-outil.

dyA µm

x0

Référence linéaire

θ

ϕ

Axe théorique


207


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od –

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utor

isée

est

un

délit

.

étalon sera montée de telle façon qu’elle fasse un angle q (inconnu)avec Ox0. Une méthode très simple peut nous permettre de résoudrefacilement le problème ; il suffit alors de réaliser deux mesures :

– Une première mesure de la rectitude du déplacement suivant l’axe dela glissière x1 (figure 8.16) permet de déterminer, en plus du défautde rectitude, un angle j1 compris entre l’axe x1 et la référence linéairesolidaire de la broche.

– Une seconde mesure de rectitude du déplacement de la glissière x1identique à la précédente mais réalisée après avoir fait effectuer à labroche une rotation de 180˚ autour de l’axe Oz. Cette rotation dela broche a pour effet d’amener la règle étalon qui lui est liée dans laposition représentée sur la figure 8.17. Aux incertitudes de mesureprès, les écarts de rectitude calculés sont identiques à ceux constatés lorsde la première mesure. La mesure permet de déterminer en outre unangle j2 entre l’axe x1 et la référence linéaire.

À partir de day = j1 + q obtenu à partir de la première mesure et de day =j2 – q obtenu à partir de la deuxième mesure, on peut écrire : 2 day =(j1 + q) + (j2 – q) ce qui donnerait : 2 day = j1 + j2 et qui permet dedéterminer day sans avoir à connaître la valeur de l’angle q en faisanttout simplement day = (j1 + j2)/2.

Figure 8.16 – Première mesure de rectitude de l’axe Ox1.

dαy = ϕ1 + θθ

O0

x0

z0

x1


Axe de la liaison


208


m Mesure de perpendicularité par interférométrie

Ce type de mesure nécessite l’utilisation d’un nouvel élément, une équerreoptique qui permet d’obtenir une déviation de 90˚ du faisceau. La préci-sion obtenue sur l’angle de déviation dépend de la qualité de réalisationde l’équerre, elle est de l’ordre de 0,5 seconde d’arc pour les matérielshabituellement utilisés.

Si l’on souhaite déterminer la mesure de l’équerrage entre deux axes z et xon réalise tout d’abord la mesure de rectitude de l’axe x par la méthode déjàexposée au paragraphe 8.2.3. Cette mesure nous permet de connaître, enplus du défaut de rectitude du déplacement le long de l’axe x, un anglejx entre la direction réelle de l’axe mesuré et l’étalon de rectitude, dansce cas le faisceau de référence de l’interféromètre. On réalise ensuite lemontage représenté schématiquement par la figure 8.18. Ce montageconsiste d’abord à ne surtout pas déplacer l’émetteur récepteur qui permetde matérialiser l’axe de référence, puis à placer au bon endroit l’équerreoptique qui déviera cet axe optique de 90˚ et permettra ensuite de réaliserla mesure du déplacement de l’axe z. Cette seconde mesure donne natu-rellement le défaut de rectitude de la liaison portée par cet axe ainsi quela valeur d’un angle jz, compris entre le rayon de référence et la directionréelle du déplacement. Il sera alors facile de déterminer le défaut d’ortho-gonalité entre x et z à partir de jx et jz, (voir figure 8.19).

Figure 8.17 – Seconde mesure de rectitude de l’axe Ox1.


O0

x0

z0

x1

θ

ϕ

dαy = 2 – θAxe de la liaison

ϕ

2


209


Dun

od –

La

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isée

est

un

délit

.

Figure 8.18 – Équipement pour une mesure d’orthogonalité par interférométrie.

Figure 8.19 – Mesure d’orthogonalité entre deux axes z et x par interférométrie.

z

E R

A

x

Équerre optique Fixe

Émetteur récepteur Fixe

Réflecteur Mobile

Woolaston Fixe

ϕ

ϕx

ϕz

Équerreoptique

Émetteurrécepteur

Réflecteur mobile Direction de l’axe x

Direction de l’axe z

Axe optique de référence

Angle (x,y) = 90°+ ϕx°+ ϕx°


210

8.4 Le ballbar

8.4 Le ballbar

Le ballbar est un système imaginé, mis au point et commercialisé par lasociété Renishaw, société spécialisée dans les équipements de métrologieindustrielle. Cet outil est destiné à caractériser les machines-outils àcommande numérique et particulièrement les centres d’usinage. La qualitédes usinages réalisés sur les machines-outils à commande numériquedépend principalement de deux familles de paramètres : des paramètresrelatifs au système de commande et de contrôle des déplacements sur lesdifférents axes, et des paramètres liés à la géométrie de la structure de lamachine elle-même. L’analyse des résultats des mesures effectuées par leprocessus du ballbar permet la détection et la mesure des défauts d’usinageliés à ces deux familles de paramètres. Dans ce qui suit, nous nous conten-terons d’étudier la détection de quelques défauts géométriques mis enévidence par ce système. Une étude approfondie de la documentationrelative au ballbar ainsi que des tests sur machine permettront de sefamiliariser avec la méthode et d’en apprécier toutes les possibilités.

8.4.1 Structure et principe du ballbar

Le ballbar est constitué de deux cupules coniques. La première est montée,généralement par l’intermédiaire d’une pince, dans la broche de lamachine, la seconde est fixée sur la table de la machine-outil à l’aided’un support magnétique. Les deux cupules sont reliées entre elles parune biellette extensible possédant une sphère à chacune de ses extrémitéset dont on peut mesurer l’allongement de façon très précise grâce à uncapteur de type inductif. Les liaisons cupules sphères sont des liaisonsrotules parfaites sans jeu obtenues par un maintien magnétique du contact(figure 8.20). Un système informatique recueille les informations fourniespar le capteur d’élongation de la biellette et procède à l’analyse et audépouillement de ces données.Pour qualifier un centre d’usinage, l’opérateur va programmer la réali-sation d’un cercle successivement dans les plans xOy, xOz et yOz. Si lamachine était parfaite, le rayon des cercles réellement parcourus seraitconstant et le capteur ne détecterait pas de variation de longueur de la


211

8.4 Le ballbar©

Dun

od –

La

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ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

biellette. L’analyse de la variation du rayon de la figure obtenue peutpermettre la mise en évidence et l’évaluation d’un certain nombred’imperfections de la machine ou de son système de commande.

8.4.2 Défaut d’orthogonalité d’axes

m Mise en évidence d’un défaut d’orthogonalité

Imaginons que les axes x et y possèdent un défaut d’orthogonalité j,l’examen de la courbe obtenue après programmation d’une interpola-tion circulaire de centre O autour de l’axe Oz dans le plan xOy va nouspermettre de mettre en évidence ce défaut d’équerrage (figure 8.21).Soit P un point du cercle de rayon R programmé, ses coordonnéesthéoriques sont : X = R◊cosq et Y = R ◊sinq, l’angle j étant petit onpeut écrire que le décalage entre le point P programmé et le point P¢obtenu est égal à PP¢ = Y ◊ j, soit PP¢ = R ◊ sinq ◊ j.La variation DR entre le rayon programmé R et le rayon obtenu estégale à PP¢ ◊ cosq, d’où DR = j ◊ R◊sinq◊cosq. Or on sait que :sinq ◊ cosq = (sin2q)/2, on aura donc : DR = j ◊ R ◊ (sin2q)/2.

Figure 8.20 – Schéma d’un ballbar monté sur un centre d’usinage.

z

xO

Table de la machine

Broche de la machine

Capteur de mesure d’élongation de la biellette

Contacts magnétiques


212

8.4 Le ballbar

Recherchons la valeur de q pour laquelle DR sera maximale (le rayon seraalors le plus grand possible). Ce sera lorsque dDR/dq = 0 donc pour2 ◊ j ◊ R ◊(cos2q)/2 = 0, c’est-à-dire lorsque cos2q = P/2 ou 3P/2, soitlorsque q = P/4 ou lorsque q = 3P/4.Conclusion : Un défaut d’orthogonalité entre les axes x et y se traduirapar le tracé d’une ellipse inclinée à 45˚ ou à 135˚ et ceci quelle que soitla valeur du défaut angulaire. Cependant la mesure des dimensions del’ellipse obtenue peut nous permettre de calculer la valeur de ce défautd’orthogonalité j.

m Détermination du défaut d’orthogonalité

Comparons la différence de longueur entre les rayons de l’ellipse et lerayon R du cercle programmé en fonction de la valeur de l’angle j quichiffre le défaut d’orthogonalité entre les axes x et y de la machine(figure 8.22).DGR (variation de longueur du grand axe de l’ellipse) = PP¢ ◊ sinP/4 =Y ◊ j ◊ sinP/4, or Y = R ◊ sinP/4Soit : DGR = j ◊ R.(sinP/4)2 et donc : DGR = j ◊ R/2

Figure 8.21 – Détection d’un défaut d’orthogonalité par le tracé du ballbar.

P P’

xO

y

ϕ

y’

R

θ


213

8.4 Le ballbar©

Dun

od –

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

On pourrait de la même façon montrer que l’on a : DPR = j ◊ R/2

Et l’on peut donc écrire DPR + DGR = j ◊ R et donc : j = (GR-PR)/R.

8.4.3 Autres possibilités du ballbar

On imagine que tous les autres défauts relatifs aux imperfections dela géométrie (rectitude des axes par exemple) de la machine ou à l’effi-cacité des organes de commande (erreurs d’asservissement, justesse desdéplacements ou jeux d’inversion) vont affecter la forme de la courbeobtenue, certains défauts pouvant compenser les écarts dus à d’autresdéfauts. Il est donc nécessaire de dépouiller les résultats des mesureseffectuées avec le ballbar et de les analyser avec soin si l’on veut connaîtreprécisément les capacités d’une machine. Des logiciels particulièrementperformants sont fournis avec l’appareil et permettent de trier les différentesinformations contenues dans la courbe afin d’informer l’utilisateur surles paramètres concernés.

Figure 8.22 – Détermination du défaut d’orthogonalité par le tracé du ballbar.

ϕP

P’

xO

y y’

∆ PR

∆ GR


214

8.5 Les essais en charge

Une mesure au ballbar étant une opération très rapide lorsque l’appareil aété pris en main, une application intéressante consiste à l’utiliser pour lasurveillance des machines-outil. Une machine étant parfaitementconnue sur le plan de sa géométrie par les méthodes de mesure habituel-les proposées par la normalisation et dont le principe a été exposé précé-demment, un contrôle périodique avec le ballbar (par exemple chaquedébut de semaine lors de la remise en route de la fabrication) permet,en comparant les résultats des mesures successives, d’observer la dériveéventuelle des performances et de programmer si nécessaire une métrologiecomplète de la machine par les moyens traditionnels.


8.5.1 Présentation

Tous les procédés de métrologie des machines-outils qui viennent d’êtreévoqués ont malgré leurs performances indéniables l’inconvénient d’êtreutilisés sur des machines à vide. Or il est probable que les charges stati-ques et surtout dynamiques induites par les opérations d’usinage vontprovoquer des déformations élastiques des différents éléments constitu-tifs des machines et par conséquent modifier sensiblement la géométriede celles-ci. Il serait donc opportun de pouvoir réaliser les mesures lors-que les machines fonctionnent, et éventuellement d’intervenir en tempsréel dans les informations fournies au directeur de commande afind’apporter les corrections nécessaires mais cela, bien que théoriquementfaisable, présente de grosses difficultés sur le plan pratique.

Une solution facile à mettre en œuvre et particulièrement efficace consisteà réaliser l’usinage d’une pièce type, puis à faire la métrologie de cettepièce type afin d’en déduire les principaux défauts géométriques de lamachine. Par exemple dans le paragraphe 8.2.3, nous avons remarquéque l’observation de la surface dressée, théoriquement un plan mais enréalité un cône, nous donnait de précieuses informations concernantl’axe de déplacement du chariot transversal d’un tour parallèle.


215

8.5 Les essais en charge©

Dun

od –

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

8.5.2 Géométrie de l’axe de déplacement du traînard

Reprenons le problème présenté en début de chapitre à savoir l’examen del’axe de déplacement du traînard d’un tour parallèle afin de s’assurer de labonne cylindricité d’une pièce chariotée. Pour cette analyse on proposed’usiner une pièce type semblable à celle représentée sur la figure 8.23.Cette pièce comporte trois portées cylindriques de faible largeur afin deminimiser la variation de rayon due au recul de l’arête coupante de l’outilprovoqué par l’usure en dépouille de celui-ci.

Les portées A, B et C ont théoriquement le même diamètre et sont obte-nues à partir d’un réglage unique de la machine, comme si l’on devaitusiner un cylindre continu. Après le chariotage, on mesure avec soin lediamètre de chaque portée. Pour une meilleure qualité de l’information,on réalisera plusieurs mesures sur chacune des portées et l’on prendracomme valeur supposée vraie la moyenne arithmétique des différentsrésultats. On imaginera quatre types de résultats possibles (naturellementchaque type correspondrait aux résultats obtenus avec une machinevirtuelle dont le numéro varie d’un à quatre). Les résultats supposés sontportés dans le tableau 8.3.

Figure 8.23 – Pièce type permettant la qualification d’une machine de tournage.

Tableau 8.3 – Résultats des mesures observées sur quatre machines différentes.

A B C

Machine 1 60, 005 60, 002 60,004

Machine 2 60,001 60,0072 60,156

Machine 3 60,003 59,793 60,005

Machine 4 60, 004 60,021 60,232

∅ A ∅ B ∅ C


216


m Analyse des résultats

L’analyse des résultats du tableau 8.3 montre que la forme générale dessolides de révolution obtenus avec chacune des machines correspondaux schémas représentés sur la figure 8.24.

Une rapide analyse géométrique nous montre que la forme des diffé-rents solides obtenus dépend directement de la position angulaire entreles axes Oz (axe de la broche) et O¢z¢ (axe de la glissière du traînard),figure 8.25.

L’obtention d’un cylindre (machine 1) correspond à deux axes parfaite-ment parallèles, les trois autres cas résultent d’un défaut de parallélismeentre les deux axes.

L’obtention d’un cône (machine 2) correspond à un défaut angulaire jydans le plan z, O, x.

L’obtention d’un hyperboloïde (machine 3) correspond à un défautangulaire jx dans le plan y, O,z.

L’obtention d’un hyperboloïde conique (machine 4) correspond à lafois à un défaut angulaire jy dans le plan z, O,x et à un défaut angulairejx dans le plan y, O,z.

Figure 8.24 – Solide obtenu sur chacune des machines testées.

Machine 1 : cylindre

Machine 2 : cône

Machine 3 : hyperboloïde

Machine 4 : hyperboloïde conique


217

8.6 Bibliographie©

Dun

od –

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

8.6 Bibliographie[8.1] Liaisons, mécanismes et assemblages, P. AGATI, F. LEROUGE,

M. ROSSETTO, Dunod, 2001, p. 19 à 24.[8.2] Systèmes mécaniques, M. AUBLIN, R. BONCOMPAIN, M. BOULA-

TON, D. CARON, E. JEAY, B. LACAGNE, J. RÉA, Dunod 1992,p. 33 à 48.

[8.3] E 60-08, Machines-outils, Code d’essai des machines-outils àcommande numériques-Dispositions générales pour le contrôle deserreurs, AFNOR, 1988.

[8.4] E 60-101, Machines-outils, Conditions de réception des tours parallè-les d’usage général, contrôle de la réception, AFNOR, 1997.

[8.5] E 60 116, Machines-outils, Conditions de réception des machines àaléser et à fraiser à broche horizontale, Contrôle de la précision,AFNOR, 1988.

[8.6] Fabrication par usinage, J.-P. CORDEBOIS, Dunod, 2003, p. 311 à329.

Figure 8.25 – Origines probables des différents défauts constatés.

O

z’

y

z

x

y

x zϕxz’

x

y zϕy

z’

© D

unod

– L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

ée e

st u

n dé

lit.

219

ANNEXE

m Valeurs de la table de la loi normale réduite

Le tableau donne la probabilité pour qu’une variable x soit compriseentre –• et µ (on rappelle que dans le cas de la loi réduite σ vaut 1 doncµ ◊σ = µ) cette probabilité correspond à l’aire grisée de la courbe, lasymétrie de la fonction par rapport à la moyenne (donc 0 dans le cas dela loi réduite) fait que l’on se contentera de faire varier µ dans sesvaleurs positives.

m 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0 0,5 0,504 0,508 0,512 0,516 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5696 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,67 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,695 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,719 0,7224

0,6 0,7257 0,7290 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

Annexe

220

1 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,877 0,879 0,8810 0,883

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,898 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,937 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,975 0,9756 0,9761 0,9767

2 0,9772 0,9779 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,989

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4 0.9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,997 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,998 0,9981

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3 0,9987

3,5 0,9998

4 0,9999

m 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

221

© D

unod

– L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

ée e

st u

n dé

lit.

INDEX ALPHABÉTIQUE

A

acceptation 37alésage 100, 112amplification 32arbre 100

B

ballbar 210

C

cale-étalon 23caméra CCD 135capabilité 36capteur

à contact 133optique 123, 133

circularité 104clinomètre 193coefficient de corrélation linéaire 59contrôle 13cosinus directeurs 7cote 100covariance 58critère

de Gauss 75de Tchebytchev 76

cut-off 158cylindricité 106

D

défaut 12d’état de surface 146d’ondulation 145de forme 145de rugosité 145

diamètre 101

E

écart 11, 100type 43

échantillon 47échelle

macroscopique 99microscopique 99

élémentassocié 10des moindres carrés 75

enveloppe 74, 105erreur 27étalon

de travail 22primaire 20

F

facteur d’élargissement 42fiche de vie 26

222

fidélité 35

filtrage 149

gaussien 158

RC ISO 158

forme 102

I

incertitude 27, 28, 41

composée 56

élargie 42

fractionnaire 42

type 42

inclinaison 113

indépendance 99

interféromètre 190

intervalle de tolérance 100

J

justesse 34

L

lacet 120, 191

laser 190

liaison de BOYS 130

lissage 8

localisation 109

loide distribution triangulaire 44

normale 45

longueurde base 158

de coupure 158

M

machine à mesurer tridimensionnelle 117

marbre 72mesure en continu 132méthode

d’incertitudede type A 47de type B 50

des motifs 171mètre étalon 17

N

niveau 193

P

palpeurdynamique 130statique 131

passe-bande 157passe-bas 157passe-haut 157petits déplacements 82piges 62planéité 105portance 164profil 146

brut 147

R

rectitude 103, 204référence 107

commune 108ordonnée 108

référentiel de mesure 118

223

© D

unod

– L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

ée e

st u

n dé

lit.

règle 72résolution 30roulis 120, 191

S

scanning 123, 132skewness 168spécification géométrique des

produits 98statistiques 47surface

réelle 5, 9réglée 6

système métrique 21

T

tactile 123

tangage 120, 191

tolérance de forme 13

traçabilité 26

V

valeur nominale 100

vernier 31

Michel Dursapt

est maître de conférences à l’École Nationale d’ingénieurs de saint-etienne où il est chargé des cours de métrologie dimensionnelle. il a été longtemps enseignant au centre régional du conservatoire National des arts et Métiers de saint-Étienne. il est également membre du cNrs au sein du laboratoire de tribologie et dynamique des systèmes (ltDs), école centrale de lyon.

aiDe-MÉMoire De l’iNgÉNieur

cet aide-mémoire regroupe les connaissances de base relatives à la caractérisation géométrique des produits industriels du domaine de la mécanique. après un rappel sur les notions nécessaires à la com-préhension des spécifications géométriques et aux processus de mesure, il aborde successivement :

la • caractérisation des éléments déterminant la géométrie (formes et dimensions) d’un produit,l’• évaluation des incertitudes sur les résultats des mesures,les principales • méthodes d’association,le code de lecture des • spécifications géométriques des produits,la • mesure tridimensionnelle,la caractérisation et la • mesure des états de surface,la • métrologie des machines-outils.

cet ouvrage est un outil de travail indispensable pour les acteurs de la production mécanique, opérateurs, techniciens ou ingénieurs. il s’adresse également aux enseignants et formateurs dans le domaine du génie mécanique.

métrologie Dimensionnelle

Michel Dursapt

www.dunod.comISBN 978-2-10-053686-3

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