METRICKIPROSTORIBorisGuljasPREDAVANJAOsijek,1.3.2008.iiPosljednji ispravak: petak, 4. travanj 2008.UvodCilj kolegijaMetricki prostorijeupoznati studente sastrukturamame-trickihitopoloskihprostorainjihovihpreslikavanja. Posebnoceseobraditikompaktnost, povezanost i dati glavni rezultati iz teorije potpunih metrickihprostora.Osimboljegrazumijevanjapojmovaitemaobradenihuprethodnimko-legijimas tematikomiz matematicke analize i vektorskihprostora, cilj jeomoguciti usvajanje novihznanjakojaotvarajumogucnost razumijevanjaslozenijihsadrzajaizkolegijanazavrsnoj godini diplomskogstudija, apo-sebnonaposlijediplomskimstudijimamatematike.Redoslijedizlaganjaisadrzajkolegijajekoncipiranpremapredavanjimaprof. dr. sc. KresimiraHorvatica,redovitogprofesoraMatematickogodjelaPrirodoslovno-matematickogfakultetauZagrebu.Sadrzajpredmetapodijeljenjenapetcjelina. Uprvomdijeludenirajusemetrikai metricki prostori. proucavajusepojmovi kaostosuotvoreniskupovi umetrickomprostorui njihovaekvivalencijasobziromnarazlicitemetrike. takoderseproucavapojampotprostorametrickogprostorakaoimetrikanakartezijevomproduktumetrickihprostora.Drugi dio je posvecenosnovnimpojmovima otopoloskimprostorima.Proucavaju se svojstva topologije, baze i podbaze topologije, nutrina i zatva-rac skupa. Takoder se deniraju topologije potprostora, kartezijevog produk-ta i kvocijentna topologija. Na kraju tog dijela daje se klasikacija topoloskihprostorasobziromnarazliciteaksiomeseparacije.Konvergenciji nizova, aposebnokonvergenciji nizovafunkcija, posvecenje treci dio. Tu se promatra odnos topoloskog i nizovnog zatvorenja. Takoderse za metricke prostore denira pojam Cauchyjevog niza i potpunog prostora.NakrajusedokazujeBanachovteoremoksnojtocki.Neprekidnostfunkcijeseproucavaucetvrtomdijelu, gdjesetaj pojamproucavaodopcetopoloskevarijantedoposebnihslucajevametrickihinor-miranihprostora. Posebnoseproucavajuhomeomorzmi, tj. funkcijekojecuvajutopoloskestrukture. Umetrickimprostorimadenirasei proucavajednolikaneprekidnostfunkcije. Takoderseproucavaipojamtopoloskepo-iiiivvezanostiskupa.Posljednji,petidioje posvecenkompaktnimskupovimaod opcenitogto-poloskogslucajadokarakterizacijeumetrickimprostorimaiuRn. Danisurezultati oproduktukonacnomnogokompaktnihskupova, aopci slucaj jeiskazanbezdokaza. Nakrajusudani neki vazni rezultati ofunkcijamanakompaktnimskupovima.BorisGuljasSadrzaj1 METRICKIPROSTORI 11.1 Denicijeiosnovnasvojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Omedeniipotpunoomedeniprostori . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Topologizacijametrickogprostora . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Ekvivalencijatopoloskihstruktura. . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Direktniproduktprostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Potprostormetrickogprostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 TOPOLOSKIPROSTORI 172.1 Denicijatopoloskogprostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Bazatopologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Nutrinaizatvorenjeskupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Separabilnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Produktikvocijentprostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 Aksiomiseparacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 KONVERGENCIJA 333.1 Denicijaiosnovnasvojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Zatvorenjeikonvergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Podnizoviikonvergencija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Nizovifunkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Cauchyjevniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Potpuniprostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.7 Banachovteoremoksnojtocki . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 NEPREKIDNAPRESLIKAVANJA 434.1 Denicijaneprekidnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Osnovnasvojstva. Kategorijalnost. . . . . . . . . . . . . . . . 454.3 Karakterizacijaneprekidnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4 Homeomorzam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48vvi SADRZAJ4.5 Uniformnaneprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.6 Povezanostprostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 KOMPAKTNOST 535.1 Denicijakompaktnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Osnovnasvojstvakompaktnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3 KarakterizacijakompaktnihskupovauRn. . . . . . . . . . . 565.4 Kompaktnostmetrickihprostora . . . . . . . . . . . . . . . . 575.5 Produktkompaktnihprostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6 Neprekidnefunkcijenakompaktu . . . . . . . . . . . . . . . . 63Bibliograja 64Indeks 66Poglavlje1METRICKIPROSTORI1.1 Denicijeiosnovnasvojstva1.1.1. Denicija. NekajeX ,= neprazanskupi d:XX Rpresli-kavanjesaKartezijevogproduktaXXuskuprealnihbrojevaRzakojevrijedi:1) d(a, b) 0, a, b X(pozitivnadenitnost),2) d(a, b) = 0 a = b(strogost),3) d(a, b) = d(b, a), a, b X(simetricnost),4) d(a, b) d(a, c) +d(c, b) a, b, c X(nejednakosttrokuta).Kazemodaje dfunkcijaudaljenosti ili razdaljinskafunkcija, odnosnometrika na skupu X. Tada uredeni par (X, d) nazivamo metricki prostor,auvjete1) 4)aksiomimetrike.Neka je (X, d) metricki prostor i Y X. Ako je d = d[Y Yonda je (Y, d)takodermetrickiprostorkojinazivamopotprostorpolaznogprostora.1.1.2.Napomena. Ako2)zamijenimoslabijimuvjetom2) (a = b) d(a, b) = 0,ondakazemodaje dpseudometrikanaX,a (X, d) nazivamopseudome-trickiprostor.1.1.3.Propozicija.U svakom metrickom prostoru vrijedi i ova nejednakostmnogokuta:d(a1, an) d(a1, a2) +d(a2, a3) + +d(an1, an), ( a1, , an1, an).(1.1)12 POGLAVLJE1. METRICKIPROSTORIDokaz: Indukcijomiprimjenomaksioma4).1.1.4.Propozicija. Umetrickomprostoru(X, d), a, b, a, b Xvrijedi:[d(a, b) d(a, b)[ d(a, a) +d(b, b). (1.2)Dokaz: Primjenom propozicije 1.1.3. na a, a, b, b dobivamo d(a, b) d(a, a)+d(a, b) +d(b, b),odnosnozbogsimetrije,d(a, b) d(a, b) d(a, a) +d(b, b). (1.3)Akopropoziciju1.1.3.primijenimonaa, a, b, bdobivamod(a, b) d(a, b) d(a, a) +d(b, b). (1.4)Iznejednadzbi(1.3)i(1.4)slijedi(1.2)1.1.5. Denicija. NekajeA R, A ,= . Kazemodajem RdonjamedaskupaAakoje a A, m a. SkupAjeogranicenodozdoakoimabarjednudonjumedu. Najvecadonjameda(inmum)skupaAjeelementinf Asasvojstvima:1) inf AjedonjamedazaA,tj. a A, inf A a,2) m inf AzasvakudonjumedumodA1.1.6.Napomena. Uvjet2)mogucejeizrazitiinaslijedecenacine:2) Zasvakim > inf Apostojia A,a < m2) > 0, a A,a < inf A +.Svaki neprazanodozdoomedenskuprealnihbrojevaimajednoznacnoodredeninmumuskupuR.Akojeinf A Atadapisemoinf A=min A,ikazemodajeminimumili najmanji elementskupaA. No, mozebiti inf A ,A, (tj. inf AnemorapripadatiskupuA).Analogno se denira gornja meda i najmanja gornja meda (supremum)skupaBi oznacavassup B. Svaki neprazanodozgoomedenskuprealnihbrojevaimajedinstvensupremumuskupuR.1.1.7.Primjer.A = [0, +) min A = 0,B= 1, 1) inf B= 1, sup B= 1,C= [1, 1] min C= 1, max C= 1.1.1. DEFINICIJEIOSNOVNASVOJSTVA 3Nekaje (X, d) metrickiprostor, A Xi x0 Xbilokojanjegovatocka,ondajeudaljenosttockex0odskupaAbroj:d(x0, A) = infd(x0, a); a A. (1.5)Kako je udaljenost d(x0, a) 0, to je skup u (1.5) odozdo omeden i neprazan,panjegovinmumpostoji,tj. d(x0, A)jedobrodeniranrealanbroj 0.Primijetimo, akojed(x0, A) =0tonuznonepovlaci x0 A. Naimed(0, 0, 1)) = 0ali0 , 0, 1).1.1.8.Propozicija. ZasvakiA X,A ,= ,ix, y Xvrijedi:[d(x, A) d(y, A)[ d(x, y). (1.6)Dokaz: Akojea A,ondazbogdenicijeinmumavrijedi:d(x, A) d(x, a) d(x, y) +d(y, a), dakled(x, A) d(x, y) d(y, a), ( a A) d(x, A) d(x, y) infd(y, a); a A = d(y, A) d(x, A) d(y, A) d(x, y).Zamijenimoliulogetocakaxiy,dobivamod(y, A) d(x, A) d(x, y).Izprethodnihnejednakostislijedi(1.6).Konacno, zadvapodskupaA, B Xumetrickomprostoru(X, d)de-niramonjihovuudaljenostsa:d(A, B) = infd(a, b); a A, b B. (1.7)Primijetimo da funkcija d : T(X) T(X) R, gdje je T(X) partitivni skupodX,zadovoljavasamoprviitreciodaksiomametrike.1.1.9. Denicija. Nekasu(X, d))i(X, d)metrickiprostoriif: X Xfunkcijakojazadovoljavauvjete:1) fcuvaudaljenosti,tj. d(f(x), f(y)) = d(x, y),( x, y X).2) fjebijekcija.TadakazemodajefizometrijasaprostoraXnaprostorX.4 POGLAVLJE1. METRICKIPROSTORIAkovrijediuvjet1) ondaje preslikavanjefinjektivno. Toje tzv. izome-tricnosmjestanje.Kazemodaje metricki prostor (X, d) metricki ekvivalentanili izome-trican sa metrickim prostorom (Y, d) i pisemo X = Y , ako postoji bar jednaizometrijasaXnaY .1.1.10. Propozicija. Relacija =jerelacijaekvivalencijenaklasisvihme-trickihprostora.Dokaz: Tvrdnjaslijedi izcinjenicedajeidentitetaizometrija, kompozici-jaizometrijajeizometrijai inverzodizometrijejeizometrija(vidi zadatak1.1.11.).1.1.11. Zadatak.Neka je fizometrija, tada je f1takoder izometrija. Uvje-ri sedajeuzkomponiranjekaobinarnuoperacijuskup 1(X)= f:X X; fizometrija nekomutativnagrupa.1.2 Primjeri1.2.1. Primjer. NaskupuRdeniramod1(, ) = [ [ i d2(, ) =arctg[ [, , R. Dokazimodasud1id2metrikenaR.1) [ [ 0iarctg[ [ 0.2) [ [ = 0 arctg[ [ = 0 = .3) [ [ = [ [iarctg[ [ = arctg[ [.Dabismodokazali 4) moramopokazati daje arctgrastucafunkcijai dajesubaditivna, tj. arctg(x + y) arctg(x) + arctg(y)zax, y 0. Zbog(arctg)(x) =11+x2> 0,x R,jearctgstrogorastucafunkcijanaR.Nekajeza cvrstoy 0deniranafunkcijaf(x) = arctg(x +y) arctg(x) arctg(y), zasvex 0.Zbogf(x)=11 + (x +y)2 1(1 +x2)= 2xy +y2(1 + (x +y))2(1 +x2) 0jefpadajuca. Sada x 0 f(x) = arctg(x+y) arctg(x) arctg(y) f(0) =0. Znamo daza [[ vrijedi nejednakosttrokuta, pa zbog rastafunkcijearctgisubaditivnostivrijedi4)arctg[ [ arctg([ [ +[ [) arctg[ [ + arctg[ [.1.2. PRIMJERI 51.2.2.Primjer. NaRn= (1, . . . , n); 1, . . . , n Rdeniramod(x, y) = d((i), (i)) =_n

i=1(ii)2_12.Tojestandardna(euklidska)metrikanaRn. SnabdjeventommetrikomRnnazivamo ndimenzionalni euklidski prostor. Svaki podskup od Rnje takodermetrickiprostor.Vaznukategorijumetrickihprostoracine normirani prostori. NekajeV(realni)linearniprostor,a || : V Rpreslikavanjesovimsvojstvima:1) a V , |a| 0,(pozitivnadenitnost),2) |a| = 0 a = 0,(strogost),3) |a| = [[|a|, R, a V ,(pozitivnahomogenost),4) |a +b| |a| +|b|, a, b V ,(nejednakosttrokuta).Topreslikavanjenazivamo normanaprostoru V , auredenipar (V, ||)jenormiraniprostor.Svaki normirani prostorV postajenaprirodannacinmetricki prostor,preko metrike d(a, b) =|a b|inducirane normomnaV. Odmahse izsvojstava norme vidi, da su za d ispunjena prva tri aksioma metrike, a cetvrtiselakovericira:d(a, b) = |a b| = |(a c) +(c b)| |a c| +|c b| = d(a, c) +d(c, b).Takoje(V, d)metrickiprostor.1.2.3.Primjer. NalinearnomprostoruRnjesvakimodsljedecihizrazazaa = (1, . . . , n) Rndeniranajednanorma:1) |a|1=

ni=1[i[2) |a|p=_n

i=1[i[p_1p,p > 1,3) |a|= max[i[; i = 1, . . . , n.Tako dolazimo do normiranih prostora (Rn, | |1), (Rn, | |p), (Rn, | |)kojiprekonormominduciranemetrikepostajumetrickiprostori.Metrickiprostor dobiveniznormiranogprostora(Rn, ||2)sepodudarasa onim, koji smo direktno denirali u primjeru 1.2.2., euklidskim prostorom.Primijetimo, dazasvaki a Rnvrijedi |a| |a|n nn|a|, aodatleslijedi limn|a|n= |a|.6 POGLAVLJE1. METRICKIPROSTORIK1(0, 1) K2(0, 1) K(0, 1)Slika1.1: JedinicnekugleuR2zaraznemetrike1.2.4.Primjer.Vazan primjer metrickog prostora dobivenog iz normiranogprostora cini prostor omedenih funkcija na danom skupu. Neka je Tbilo kojiskup. Funkcija f: T R je omedena, ako je skup f(T) omeden podskup odR. Nekaje B(T) = f: T R; fjeomedena skupsvih omedenihfunkcijadeniranihnaT. Ondaje B(T) linearni prostor, potprostor prostora RTsvih realnih funkcija deniranih na T. Na B(T) deniramo normu formulom|f|=sup[f(t)[ : t T. Lakoseprovjeri daseradi odobrodeniranojnormi. Tanormaondainducirametrikud(f, g)= |f g|=sup[f(t) g(t)[; t Titakodobivamometricki prostorB(T)svihomedenihfunkcijanaT. Uspecijalnomslucaju, kadajeT =NdobivamoB(N), tj. prostorsvihomedenihnizova,akadajeT= 1, . . . , ndobivamo,dajeB(T) =Rnsmetrikomd(a, b)=max[i i[; i=1, . . . , n, tj. prostorkoji jevecspomenutuprethodnomprimjeru.1.2.5.Primjer. Kao stoznamo,unitarniprostorjelinearniprostorXnadpoljem K = R ili K = C snabdjeven skalarnim produktom tj. preslikavanjem([ ) : X X Rsaovimsvojstvima:(1) pozitivnadenitnost: (x[x) 0, x X,(2) strogost: (x[x) = 0 a = 0,(3) antisimetrija: (x[y) = (y[x), x, y X,(4) homogenost: (x[y) = (x[y), K, x, y X,(5) aditivnost: (x +y[z) = (x[z) + (y[z), x, y, z X.U svakom takvom prostoru vrijedi nejednakost Cauchy-Schwarz-Buniakowsky[(x[y)[ |x||y|, x, y X. (1.8)1.2. PRIMJERI 7Svaki unitarni prostor je normiran prostor s normom induciranom skalar-nimproduktom |x| =_(x[x).Lakoseprovjeri, daseradiodobrodeniranojnormi. Prvatriaksiomasuispunjenaocigledno,azanejednakosttrokutaimamo:|x+y|2= (x+y[x+y) = |x|2+2Re(x[y) +|y|2 |x|2+2[(x[y)[ +|y|2 |x|2+ 2|x||y| +|y|2= (|x| +|y|)2,dakle, |x +y| |x| +|y|.Zanormuuunitarnomprostoruvrijeditzv. jednakostparalelograma|x +y|2+|x y|2= 2|x|2+ 2|y|2.Obratno, kadaunekomnormiranomprostoruzanormuvrijedi jednakostparalelograma, natomprostorusemozedenirati skalarni produkttakav,da se inducirana norma podudara s normom na tom prostoru. Dakle, normi-raniprostorjeunitaranakoi samoakozanjegovunormuvrijedi jednakostparalelograma.Pokazujesedaprostori (Rn, ||p) s normamadeniranimuprimjeru1.2.3. za1 p , p ,=2, nisuunitarni prostori, tj. nemajuskalarniproduktkojibiinduciraonormu,a(Rn, ||2)jeunitaranprostor.Imamoinkluzijuklasa: | ^ /.1.2.6. Primjer. NekajeX ,= bilokoji skup. Natomskupudeniramoudaljenostsad(x, y) =_1, x ,= y,0, x = y.Lako se vidi, da se radi o dobro deniranoj metrici, koju nazivamo diskretnametrika,askupXstakvommetrikomdiskretanprostor.1.2.7. Primjer. Nekaje (X, d) bilokoji metricki prostor. NaskupuXmozemodeniratinovumetrikudpomocuformuled(x, y) =d(x, y)1 +d(x, y), x, y X,kojajeomedena, tj. d(x, y)0postoje tocke a A, b Btakve da je d(a, b) d(A, B) 0slijedid(a, b) diamA+d(A, B) + diamB.Takoder, x, x A i y, y B vrijedi maxd(x, x), d(y, y) diamA+diamB diamA+d(A, B) +diamB, sto daje d(x, y) diamA+d(A, B) +diamB,zasvakix, y A B,tj. vrijedi2).1.3.4.Korolar. Unijakonacno mnogoomedenihskupovaisamajeomedenskup.1.3.5. Denicija. Nekaje o= S;S S, familijapodskupovaodS. Akoje_S= Sondakazemodaje opokrivacskupaS. Pokrivacojekonacanakojeskupkonacan,aprebrojivakojeskupprebrojiv.1.3.6. Primjer. Pokrivaci odRsuS= ; r, r R, r>r, S=< q, q>; q, q Q, q> q, S= < n, n +2 >; n N,s timdasuSiSprebrojivipokrivaci.1.3.7. Denicija.Metricki prostor (X, d) je potpuno omeden ako za svaki > 0 postoji konacan pokrivac o za skup X ciji su elementi dijametra manjegod,tj. o= S1, S2, . . . , Sn,diamSi< ,i = 1, . . . , n.1.3.8. Korolar.Svaki potpuno omeden metricki prostor je i omeden prostor.Obratnevrijediopcenito stopokazujeovajjednostavanprimjer.1.3.9.Primjer. Neka je X= N s diskretnom metrikom d iz primjera 1.2.6..(X, d) je omeden metricki prostor, medutim taj prostor nije potpuno omeden.Nepostojikonacnipokrivac, cijibielementibilidijametramanjegod1.Obratvrijedizapodskupoveeuklidskogprostora.1.3.10. Teorem. Svaki omedenpodskupeuklidskogprostoraRnjepotpunoomeden.Dokaz: AkojeA Rnomeden, ondajediam(A 0)= R+. NekajeI= [, ] segmentuR iK= II. .njen-dimenzionalnakockauRnsasredistemuishodistuistranicomduljine2.Neka je a = (a1, . . . , an) Abilo koja tocka. Onda je [ai[ _a21 + +a2n=d(0, a) diam(A 0) = .Usmisluranijeprimjedbedovoljnojepokazati dajekockaKpotpunoomedenskup. Uzmimo >0i kNtakodaje k >nPodijelimoI=[, ] na 2k jednakihsegmenata Ij=[k(i 1),ki], i =(k 1), . . . , 1, 0, 1, . . . , k 1, tako dolazimo do kocaka Ki1,...,in= Ii1, Iin.Takvih kocaka ima (2k)ni one cine konacni pokrivac za K. Svaka mala kockaimastranicuduljinekinjezinjedijametardiamKi1,...,in=kn < .10 POGLAVLJE1. METRICKIPROSTORI1.4 Topologizacijametrickogprostora1.4.1. Denicija. Nekaje(X, d)metricki prostor, x0 Xnjegovatocka,arR, r >0, realanbroj. PodotvorenomkuglomuprostoruXsasredistemux0i radijusomr podrazumjevamoskupU(x0, r) =x X; d(x, x0) < r.NekajeU X. KazemodajeUotvorenskupuprostoruXakosemozeprikazatikaounijaotvorenihkugalaiztogprostora.1.4.2. Teorem. SkupU Xumetrickomprostoru(X, d)jeotvorenakoisamoakozasvakutockux0 UpostojikuglaU(x0, r) U.Dokaz: Primijetimo da se oko svake tocke x dane kugle U(x0, r) moze opisatimalakuglakojajesadrzanautojvecoj kugli. Dovoljnojeuzeti zaradijusmanje kugle = r d(x, x0), pa je U(x, ) U(x0, r). Naime, za y U(x, )jed(y, x0) d(y, x) +d(x, x0) < +d(x, x0) = r.Neka je U otvoren skup i x0 U. Prema deniciji otvorenog skupa postojikuglaU(y0, r0) Ukojasadrzix0. Sada,premaprethodnom,postojikuglaU(x0, ) U(y0, r0) U.NekajeUXotvorenskuptakavdazasvaki x Upostoji kuglaU(x, rx) U. Tadavrijedi U=_xUU(x, rx), tj. Ujeunijakugala, pajeotvorenskuppodeniciji.1.4.3. Teorem. Umetrickomprostorukolekcija T svihotvorenihskupovaimasvojstva:1) , X T ,2) unijabilokojefamilijeiz T jeiz T ,3) presjekkonacnefamilijeelemenataiz T jeelementiz T .Dokaz: 1) i 2) slijede neposrednoizdenicije otvorenihskupova. Svoj-stvo3)jedovoljnodokazati zadvaelementaiz T . NekasuU1, U2 T iU=U1 U2. Dabi dokazali dajeUotvoren, premateoremu1.4.2. do-voljnoje vidjeti dazasvaki x Upostoji kuglaU(x, r) U. KakojeU1otvorentopostojiU(x, r1) U1ianalogno,zaU2postojiU(x, r2) U2.Sada za r = minr1, r2 vrijedi U(x, r) U(x, r1)U(x, r2) U1U2= U.Familija T svihotvorenihskupovametrickogprostora(X, d)zoveseto-poloskastrukturailitopologijaprostora(X, d).1.5. EKVIVALENCIJATOPOLOSKIHSTRUKTURA 111.5 Ekvivalencijatopoloskihstruktura1.5.1.Denicija. Neka su d1i d2dvije metrike na istom skupu X. Kazemodasumetriketopoloski ekvivalentnei pisemod1 d2akosetopoloskastruktura T1nametrickomprostoru(X, d1)podudarasatopoloskomstruk-turom T2nametrickomprostoru(X, d2),ipisemo T1= T2.Drugimrijecima, metrikesutopoloski ekvivalentneakoinducirajuistutopoloskustrukturu,tj. istukolekcijuotvorenihskupova.Promatramosadadvijemetriked1id2naskupuX,inekajezai = 1, 2saUi(x0, r)oznacenakuglaokotockex0umetricidi,tj. Ui Ti.1.5.2. Teorem. Metriked1i d2naskupuXsutopoloski ekvivalentneakoi samoakozasvaki x0 Xi zasvakukugluU1(x0, r1)umetricid1postojikuglaU2(x0, r2)umetrici d2takvadajeU2(x0, r2) U1(x0, r1), i obratno,akozasvakukugluU2(x0, r2)umetrici d2postoji kuglaU1(x0, r1)umetricid1takvadajeU1(x0, r1) U2(x0, r2).Dokaz: Zadokaznuznosti nekasud1i d2topoloski ekvivalentne i nekajeU1(x0, r1)bilokojakuglaumetrici d1. Ondajetakuglaotvorenskuputopologiji T1paje to(popretpostavci) otvorenskupi utopologiji T2.No,premateoremu1.4.2.okarakterizaciji otvorenihskupova, postojikuglaU2(x0, r2) okotockex0, takvadajeU2(x0, r2) U1(x0, r1). Analognosevididavrijediiobratno.Za dokaz dovoljnosti pretpostavimo da za svaku kuglu u metrici d1 postojikuglau metricid2s istim sredistem,kojaje u njojsadrzanai obratno. Nekaje V T1bilokojiotvorenskuputopoloskojstrukturina(X, d1). Trebavi-djeti da je takav V T2. Prema teoremu 1.4.2. postoji kugla U1(x0, r1) V .Iz pretpostavke zakljucujemo, da postoji manja kugla U2(x0, r2) u metrici d2,saistimsredistem,takodajex0 U2(x0, r2) U1(x0, r1). Kakojetoistinaza svaki x0 V , skupV je otvoren u topologiji T2, tj. V T2, pa je T1 T2.Slicnosevididaje T2 T1,dakle T1= T2,tj. d1 d2.Naprimjer, metriked1, d2i dsutopoloski ekvivalentnenaRn, stojeocitoizgeometrijskihrazloga.1.5.3.Denicija. Kazemodaje metrikanaprostoru (X, d) omedena,akojeprostorXutojmetriciomeden,tj. akojediamX< .1.5.4. Propozicija. ZasvakumetrikudnaskupuXpostojitopoloskiekvi-valentnametrikad,kojajeomedena.12 POGLAVLJE1. METRICKIPROSTORIDokaz: NekajedbilokojametrikanaX. Ondajeddanasad(x, y) =d(x, y)1 +d(x, y), x, y X,takodermetrikanaX,kojajeomedena,jerjed(x, y) < 1. Trebavidjetidajed d.Neka je U(x0, r) bilo koja kugla u metrici d. Za x U(x0, r) je d(x0, x) 0takvi dajed1(x, y) 1d2(x, y)id2(x, y) 2d1(x, y)zasvakix, y X. Ponekadseuovomslucajugovoriiouniformnojekvivalenciji.Naprimjer,metriked1,d2idsuekvivalentnenaRniuovomsmislu.1.5.6.Propozicija. Ekvivalentnemetrikesu uvijekitopoloski ekvivalentne.Dokaz: Nekajed1 d2i promatramokugluU1(x0, r1). Denirajmor2=r11>0i tvrdimodajeU2(x0, r2) U1(x0, r1). Zaista, zax U2(x0, r2)imamod2(x0, x).T3: U T3ako i samo ako je U= ili je Utakav da je RUkonacan skup.Provjeritedasu T1, T2i T3topoloskestrukture. Mozesepokazatidaje(R, T3)nemetrizabilantopoloskiprostor.Nekaje(X, T )topoloski prostor, aYXpodskup. Y mozemosnab-djeti nekomtopologijomtakodapostanetopoloski prostor. Mi zelimoYsnabdjetitakvomtopologijom kojaje induciranatopologijom naX,takodamozemogovoriti opotprostoru, kaouslucajumetrickihprostora. Utomsmisludeniramotopoloskustrukturu 1= V; q, naY stavljajuciV 1akoisamoakopostojiU T takavdajeV= U Y .2.1.5.Propozicija. 1jedobrodeniranatopoloskastrukturanaY .Dokaz: Provjerimoaksiometopologije:(1) = Y, Y= X Y 1jersu , X T .(2)_V=_(U Y ) =__U_ Y .(3)n

i=1Vi =n

i=1(Ui Y ) =_n

i=1U_ Y .Par(Y, 1) nazivamopotprostortopoloskogprostora (X, T ),atopo-logiju 1relativnatopologijanaYinduciranatopologijom T naX.AkojeYXpotprostormetrickogprostora(X, d), pomocuteorema1.7.1. zakljucujemodad[Y Yinducirarelativnutopologiju, tj. Y jepot-prostortopoloskogprostoraX.Naprimjer, svaki podskup Y Rntopoloskog prostora Rn(sa topoloskomstrukturominduciranombilokojomodtopoloski ekvivalentnihmetrikad1,d2,d)jepotprostorodRn.VaznijipotprostoriodRn:(1) n celijaBn= x Rn; |x|2 1,(2) nsferaSn= x Rn; |x|2= 1.Uztopoloskeprostorepromatramopreslikavanjakoja cuvajunjihovuto-poloskustrukturu.20 POGLAVLJE2. TOPOLOSKIPROSTORI2.1.6. Denicija. Nekasu(X, T )i(Y, 1)topoloskiprostori,af: X Ypreslikavanjesasvojstvima:(1) fjebijekcija,(2) U T jef(U) 1,(3) V 1jef1(V ) TTada kazemo da je fhomeomorzam prostora Xi Y . Homeomorzampreslikavaotvorene skupove izXnaotvorene skupove uY i obratno, tj.prevoditopoloskustrukturunatopoloskustrukturu.2.1.7. Propozicija.Kompozicija homeomorzama je homeomorzam. Inverzhomeomorzmajehomeomorzam.Dokaz: Dokazjetrivijalanjersesvatri svojstvahomeomorzmacuvajukodkompozicijefunkcija.Kazemodajetopoloski prostor(X, T )homeomorfansa(Y, 1)i pisemoX = Y ,akopostojihomeomorzamf: X Y .2.1.8.Propozicija. Relacija =jerelacijaekvivalencije.Dokaz: Tvrdnjaslijedineposrednoizpropozicije2.1.7.Pomocuterelacijeklasiciramotopoloskeprostoreuklasemedusobnohomeomorfnihprostora.Svojstvoprostora, kojejeistozasveprostoreizisteklase(svehome-omorfneprostore),zovesetopoloskosvojstvoilitopoloskainvarijanta.Topoloskeinvarijantesuvaznekoddokazivanjadadvaprostoranisuhome-omorfna.2.2 Bazatopologije2.2.1. Denicija. Bazatopologijejesvakapodfamilijatopologijekojage-neriratopoloskustrukturu. Preciznije, nekaje(X, T )topoloski prostor, aB T podskuptopoloskestrukturesasvojstvomdasesvaki U T mozedobitikaounijanekihelemenataiz B,tj. U=

U,U T ,ondakazemodaje Bbazatopologije T .Naprimjer, u metrickom prostoru je baza skup svih kugala u tom prostoru.2.2.2.Propozicija. Bazatopoloskogprostora(X, T )imasvojstva:2.2. BAZATOPOLOGIJE 21(1) BjepokrivaczaX.(2) AkosuU, V Bi x0 U V , ondapostoji S B, takodajex0 S U V tj. U V jeunijaelemenataiz B,odnosnoU V T .Dokaz: KakojeXotvorenuX, podeniciji baze, Xsemozedobiti kaounijaelemenataiz B,tj. BjepokrivaczaX.Nadalje, zaU, V BjeU V T , pasemozedobiti kaounijaele-menataizbaze. Dakle, akojex0 U V topostoji S Btakavdajex0 S U V .Tadvasvojstvakarakterizirajubazu.2.2.3. Propozicija. NekajeXdani skup, a BfamilijapodskupovaodXsasvojstvima(1)i(2)izpropozicije2.2.2.Ondapostojijednaisamojednatopologija Tna Xsa svojstvom da je B baza te topologije. Elementi topologijeT supodskupoviizX,kojisemogudobitikaounijeelemenataiz B.Dokaz: Nekaje T kolekcijasvihunijaelemenataiz B. Provjerimodaje TjednatopologijanaX.Prazanskupjepodeniciji otvoren, aX T jezbogsvojstva(1). Daje T zatvorenanaoperacijuunije slijedi iz svojstvaasocijativnosti unije.Zatvorenost T nakonacnepresjeke, adovoljnojepokazati zatvorenost napresjekepodvaelementa,slijediodmahizsvojstva(2)za B.Izdenicijebazejejasnodaje Bbazaza T idaje tojedinatopologija sbazom B.Topologija na Xse obicno zadaje prekobaze, tj. zadaje se jedna familijasasvojstvima(1)i (2). Takosmopostupili i uslucajumetrickihprostora.Tamojejednaprirodnabazaskupsvihotvorenihkugala.Istotopoloskiprostordopustarazneiraznobrojnebaze. Trivijalnabazaneketopologije je samata topologija. No, od interesasu baze sa sto manjimkardinalnimbrojem.2.2.4.Denicija. Tezinatopoloskogprostora Xje najmanji kardinalnibroj takavdapostoji baza BtopologijeodXsasvojstvomdaje=card (B). Tadapisemo = (X). Akoje(X) 0,gdjeje 0kardinalnibrojprirodnihbrojeva,kazemodaXimaprebrojivubazutopologijeilidazadovoljavaIIaksiomprebrojivosti.2.2.5. Primjer. AkojeRsnabdjevenprirodnomtopologijom, jednubazucinesviintervali,tj. B1= a, b); a, b R, a < b,pajecard(B1) = c = 20.22 POGLAVLJE2. TOPOLOSKIPROSTORIDrugaekonomicnijabazazaistutopologijuje B2= p, q); p, q Q, p 0.Neka je (X, T ) topoloski prostor. Podbazatopologije T je familijaT T kojaimasvojstvodaskupsvihkonacnihpresjekaelemenataiz Tpredstavljabazuza T . Drugimrijecima,svakiseotvoreniskupmozedobitikaounijakonacnihpresjekaelemenataizpodbaze.2.2.6. Propozicija. Nekaje TfamilijapodskupovaodX, kojajepokrivaczaskupX. Ondaje TpodbazaneketopologijenaX.Dokaz: Nekaje Bfamilijasvihkonacnihpresjekaskupovaiz T. Tvrdimodaje Bbazaneketopologije. Trebavidjeti da Bimasvojstva(1)i (2)izpropozicije2.2.2.Ondajepremapropoziciji2.2.3. tobazakojajednoznacnogeneriratopologiju naX.Ocitojedaje BpokrivaczaX,jerjevec Tpokrivaci T B. Nadalje,zaU, V BjeU=U1 Uki V =V1 Vr, gdjesuUi, Vj T,i, j. Tada je UV= U1UkV1Vr B po deniciji familije B.2.3 NutrinaizatvorenjeskupaNekajeA XpodskuptopoloskogprostoraX. Deniramoint A,nutrinu(interior)skupaA,kaonajveciotvoreniskupkojijesadrzanuA.Unija otvorenih skupovakoji su podskupovi od A je otvoren skup,i to jenajveciotvoreni skupu Xkoji je sadrzan u A, tj. sadrzi svaki otvoreni pod-skupodA. Dakle,int AjeunijasvihotvorenihskupovakojisupodskupoviodA.2.3.1.Teorem. NutrinapodskupovaizprostoraXimaovasvojstva:(1) int A A,(2) int (int A) = int A,2.3. NUTRINAIZATVORENJESKUPA 23(3) int (A B) = int A int B,(4) (A B) (int A int B),(5) int X= X,(6) A Xjeotvoren A = int A.Dokaz: Tvrdnje(1), (2), (4), (5)i (6)suevidentne, padokazujemosamo(3). Zbog (4) imamo (AB A) (int (AB) int A) i (AB B) (int (A B) int B)pajeint (A B) (int A int B).Obratno, zbog(1) je(int A int B) (A B). No, int A int BjeotvorenskupsadrzanuA B, akakojeint (A B) najveci takavskup,imamo(int A int B) int (A B). Odatleslijedijednakost(4)..2.3.2.Denicija. Nekajex Xbilokojatocka. OkolinatockexjesvakiskupO Xsasvojstvom,dajexunjegovojnutrini,tj. x int O.Svakatockax Ximaokolinu. Naprimjer, citavXjejednaokolinatocke. Izdenicijeslijedi dajeokolinatockeili otvorenskupkoji jusadrziilinadskuptakvogskupa.Nekajesa(x)oznacenskupsvihokolinatockex.2.3.3.Teorem. Familija(x)imaovasvojstva:(1) O (x) x O,(2) O (x)iO O O (x),(3) O1, O2 (x) O1 O2 (x), tj. presjekokolinatockexjeopetokolinatockex.Dokaz: Tvrdnje (1) i (2) su ocigledne. Dokazujemo samo tvrdnju (3). Nekasu O1, O2okoline od x. To znaci da je x int O1int O2 = int (O1O2), pajeO1 O2okolinaodxpodeniciji.Tvrdnja(3)izteoremalakosegeneraliziranakonacnomnogookolina,alinevrijedizabeskonacnomnogonjih.2.3.4. Primjer.Neka je R topoloski prostor s topologijom generiranom otvo-renimintervalima. Zasvakox Ri svakon NjeOn= x 1n, x +1n)otvorenaokolinatockex. Medutim, za

nNOn= xjeint x = izatoxnijeokolinaodx.24 POGLAVLJE2. TOPOLOSKIPROSTORI2.3.5.Denicija. Bazaokolinatockex Xje(x),podskupskupasvihokolina(x), sasvojstvomdazasvakuokolinuO (x) postoji okolinaB (x)takvadajeB O.Naprimjer,sveokolineodxkojesuotvoreniskupovi,tzv. otvoreneoko-line, cinejednubazuokolinaza(x).Od interesasu bazesnajmanje okolina. Naprimjer,u metrickomprosto-rujednubazuokolinazaxcinesvekugleokox, 1(x)= U(x, r); r>0.Takoder, je i 2(x) = U(x,1n); n N baza okolina od x s prebrojivoeleme-nata.2.3.6. Denicija. Najmanji kardinalni broj ktakavdazax Xpostojibazaokolina(x), card (x)=k, nazivasetezinaprostoraXutocki xili lokalnatezinaprostorauxili karakterprostoraXutocki x. Pisemok = (x).Naprimjer, lokalna tezina u nekoj tocki x R je 0, jer postoji prebrojivabazaokolina,amanjenema.Iz prethodne primjedbe je jasno da svaki metricki prostor ima prebrojivubazuokolina,dakle,zasvakoxjelokalnatezina(x) = 0.AkojezaprostorXlokalnatezinausvakoj njegovoj tocki najvise 0,kazemodajetaj prostor prebrojivogkarakteraili dazadovoljavaprviaksiomprebrojivosti.Naprimjer, svi metricki prostori zadovoljavajuI aksiomprebrojivosti.Naravno, IIaksiomprebrojivosti impliciraIaksiomprebrojivosti, ali obratopcenitonevrijedi.2.3.7. Propozicija.Skup U Xje otvoren ako i samo ako je okolina svakesvojetocke.Dokaz: AkojeUotvoren,tadazasvakix Uvrijedix int U= U,pajeUokolinaodx.Obratno, ako je za svaki x Uskup Uokolina te tocke, onda je x int U,pajeU int U, stozajednosaint U Udajeint U=U, atoznaci, dajeUotvoren.Dualnipojamotvorenogskupajepojamzatvorenogskupa.2.3.8.Denicija. Kazemo, daje skupF Xzatvoren u prostoru X, akojenjegovkomplementXFotvorenuX.Neka je sa T(X) oznacena familija svih zatvorenih skupova u topoloskomprostoru(X, T ).2.3. NUTRINAIZATVORENJESKUPA 252.3.9.Teorem. Familija T(X)imaovasvojstva:(1) PrazanskupicijeliprostorXsuzatvoreniskupovi, , X T(x).(2) Presjekbilokojefamilijezatvorenihskupovajezatvorenskup,tj. ,F T(X),

F T(X).(3) Unijakonacnomnogozatvorenihskupovajezatvorenskup, tj. Fi T(X), i = 1, ..., k F1 . . . Fk T(X).Dokaz: SvetvrdnjeslijedeizaksiomatopoloskestruktureideMorganovihformula. Vrijedi , X T X= X, = XX T(X) paimamo(1).Neka su ,UT i F=XUT(X). Sada

F=

(XU) = X_U T(X) povlaci(2).Zadokaztvrdnje(3)imamoF1 Fk=(XU1) (XUk)=X(U1 Uk),gdjesuU1, . . . , Uk T .2.3.10. Napomena. Alternativno, topologijase naskupuXmoze aksi-omatskideniratitakodaseodabere bilokojafamilija Tpodskupovaod Xkojazadovoljavazahtjeve(1)(3)izteorema2.3.9.Teskupoveondanazi-vamozatvorenim, anjihovekomplementeotvorenimskupovimauX. Takozadaniotvoreniskupovicinetopoloskustrukturuusmisluranijedenicije.2.3.11. Napomena. Primijetimo, dapodskupA Xmozebitiistodobnoi otvoren i zatvoren. Naprimjer, i Xsu takvi skupovi, a moze biti i drugih.Udruguruku cestonajviseimaskupovakojinisuniotvoreninizatvoreni.2.3.12. Napomena. Presjek beskonacno mnogo otvorenih skupova ne morabiti otvoren skup, a niti unija beskonacno mnogo zatvorenih skupova ne morabitizatvorenskup.UtopoloskomprostoruRsastandardnomtopologijomsu x Rsku-povi , x), x, ) ociglednootvoreni, paje xzatvorenskup. Vrije-di

nNx 1n, x+1n) =x. Isto tako a, bR, a 0. NekajeUx=U(x,r2)i vrijedi x0 ,Ux, pajeUx U. Kakotovrijedi zasvaki x U, tojeUotvoren.Opcenitoubilokojemtopoloskomprostorutockanemorabitizatvorenskup. Naprimjer, utopoloskomprostoru(X, T ), gdjejeX= a, bi T =, X,skupovi ai bnisunitizatvoreninitiotvoreni.2.3.18.Denicija. ProstoriukojimajesvakatockazatvorenskupzovuseT1prostori.2.3.19.Korolar. MetrickiprostorisuT1prostori.Obrat ukorolaru2.3.19. nijeopcenitotocan. Dajemokriterij danekatockaleziuzatvaracudanogskupa.2.3.20. Teorem. NekajeA X. Tockax0 C Aakoi samoakosvakaokolinaOodx0sijeceA,tj. O (x0) O A ,= .Dokaz: Nekajex0 C AiObilokojaokolinaodx0. NekajeUotvorenaokolinasadrzanauO, U O. PokazimodajeU A ,= . Pretpostavimo,dajeU A= . OndajeA XUi XUjezatvorenskup. ZatojeC A C (XU) = XU, tj. C AU= sto je kontradikcija, jer smo uzelix0 C A,avrijedix0 U,jerjeUokolinaodx0.Obratno, nekavrijedi O (x0) O A ,= . Specijalno, prethodnaimplikacija vrijedi za svaku otvorenu okolinu od x0. Ako bi vrijedilo x0 , C Aimali bi bilox0 XC A. No, XC Ajeotvorenaokolinaodx0pamorabitiXC A A ,= . TadaA C ApovlaciXC A XAodakleslijediXA A ,= , stojekontradikcija.Naosnoviteorema2.3.20.imamoovudeniciju.2.3.21. Denicija. Kazemo, daje x0Xtockagomilanjaili gomilisteskupaA X, akosvakaokolinaodx0sijeceAx0. Naprotiv, x0 AjeizoliranatockaskupaA,akonijetockagomilanja,tj. akopostojiokolinaUodx0takva,dajeU A = x0.Skup svihgomilista skupa A oznacavamo sa Ai zovemoderivat (ili deri-vacija)skupaA.Izprethodnogteoremaodmahslijedi:28 POGLAVLJE2. TOPOLOSKIPROSTORI2.3.22.Korolar. ZasvakiA XjeC A = A A.2.3.23. Teorem. NekajeXprostorklaseT1i nekajex0tockagomilanjaskupaA. SvakaokolinaOtockex0sijeceAubeskonacnomnogotocaka.Dokaz: Pretpostavimoobratno, nekajeUotvorenaokolinaodx0, takoda je U A=x1, . . . , xk, xi,=x0. Kako je prostor XT1prostor,toje konacanskup x1, . . . , xkzatvoren, paje premapropoziciji 2.3.16.V= Ux1, . . . , xkotvorenskup. Dakle,V jeotvorenaokolinaodx0,kojanesijeceAx0,suprotnopretpostavcidajex0tockagomilanjaodA.Specijalno, tvrdnjateorema2.3.23. vrijedi zasvemetrickeprostore, jersuoniT1prostori.Konacno, zaskupA XdeniramonjegovugranicuFr AkaoskupFr A = C A C (XA).2.3.24.Teorem. Zagranicuimamo(1) C A = A Fr A,zasvakiA X,(2) Fr U= C UU,zasvakiotvoreniU X,(3) Fr F= Fint F,zasvakizatvoreniF X.Dokaz: Slijedidirektnoizdenicijegranice.2.4 Separabilnost2.4.1. Denicija. NekajeXtopoloskiprostoriD X. KazemodajeDgustuX,akojeC D = X.2.4.2. Propozicija. D Xjegust uXakoi samoakojeU D ,= zasvakineprazanotvoreniskupU X.Dokaz: Tojeneposrednaposljedicateorema2.3.20.Naprimjer, skupQ RracionalnihbrojevajegustuR, jerusvakomotvorenomintervaluimaracionalnihbrojeva.2.4.3. Denicija. Kazemo, dajeprostorXseparabilanakosadrzi pre-brojivgust podskup, tj. akopostoji D Xtakav, dajecardD 0iC D = X.2.5. PRODUKTIKVOCIJENTPROSTORA 29NaprimjerRjeseparabilanjerjeQ RprebrojivigustuR,atakoderjeiRnseparabilan.2.4.4. Teorem. MetrickiprostorXjeseparabilanakoisamoakoimapre-brojivubazu.Dokaz: NekajeXseparabilan, aD Xprebrojivgustdio, C D=X.PromatrajmofamilijuB = U(y, 1n);y D, n NkugalaizX. Ocitoje Bprebrojiv, tj. cardB= 0. Tvrdimo, daje BbazazaX.Nekajex Xi Uotvorenskupkoji sadrzi x. Trebavidjeti dapostojiV B, takavdajex VU. JerjeUotvorentopostoji r>0takavdajeU(x, r) U. Odaberimon N, takavdajenr>2. KakojeDgustuX, premapropoziciji2.4.2.postojitockay D,takvadajey U(x,1n),tj. vrijedi d(x, y) 0 postoji n N tako da za svaki n ni za svaki t Tvrijedi[fn(t) f(t)[ < . Dakle, za n nje d(fn, f) = sup[fn(t) f(t)[; t T , stoznacida(fn)nkonvergirapremafusmislumetriked.Obratno, neka(fn)nkonvergirapremafu smislumetriked. To znacidazasvaki >0postoji n Ntakodazasvaki n nvrijedi d(fn, f)=sup[fn(t) f(t)[; t T < ,tj. t T, [fn(t) f(t)[ < , stoznacidanizfunkcija(fn)nkonvergirauniformnopremaf.KazemodajemetrikadnaB(T)metrikauniformnekonvergencije.3.5 Cauchyjevniz3.5.1. Denicija. Nekaje(xn)nnizumetrickomprostoru(X, d). Kazemoda je taj niz Cauchyjev ili fundamentalan,ako za svaki > 0 postojin Ntakavdazasvakin nizasvakip Nvrijedid(xn+p, xn) < . Koristiseislijedecavarijanta( > 0)(n N)(m, n N)((m, n n) (d(xm, xn) < )).38 POGLAVLJE3. KONVERGENCIJA3.5.2.Teorem. Svaki konvergentan niz u metrickom prostoru je Cauchyjev.Dokaz: Nekaje (xn)nkonvergentanniz i limnxn= x0. Tadazasvaki > 0postoji n Ntakavdazasvaki n nvrijedi d(xn, x0) 0)(t R)(([t t0[ < ) ([f(t) f(t0)[ < )).Uveziproduktnetopologijeimamoslijedecirezultat.4.1.4. Propozicija. Nekaje X Y direktni produkt prostoraXi Y , ap: XYX, p(x, y)=x, i q: XYX, q(x, y)=yprojekcijenafaktore. Projekcijepiqsuneprekidnapreslikavanja.Dokaz: Nekaje(x, y) X Ybilokojatocka,aUelementbazeuXkojisadrzip(x, y) = x X. OndajeocitodajeU Y X Y upravookolinatocke (x, y) za koju vrijedi p(U Y ) = U, pa je p neprekidna funkcija. Dokazzaqjeanalogan.4.1.5.Propozicija. NekajeXnormiraniprostornadpoljemK(K = RiliK = C).(a) Zbrajanjevektoras:XX X, s(x, y)=x + y, jeneprekidnonaX X.(b) Mnozenjevektoraskalaromm:KX X,m(, x)=x, jenepre-kidnonaKX.Dokaz: Na XXuzmimonormu |(x, y)| = max|x|, |y|, a naKXuzmimonormu |(, x)|= max[[, |x|(svetrisuekvivalentne).(a)Uzmimobilokoji par(x0, y0) XXi bilokoji >0. Za=2imamo(|(x, y) (x0, y0)|< ) (|x x0| < |y y0| < ) 4.2. OSNOVNASVOJSTVA. KATEGORIJALNOST 45|s(x, y) s(x0, y0)| = |(x +y) (x0 +y0)| |x x0| +|y y0| < 2= ,tj. zbrajanjejeneprekidno.(b)Uzmimobilokoji par (0, y0) KXi bilokoji >0. Nekaje=1+|0|+x0

,paimamo(|(, x) (0, x0)|< ) (| 0| < |x x0| < ) |m(, x) m(0, x0)| = |x 0x0)| [0[|x x0| +[ 0[|x0| +[ 0[|x x0| < ([0[ +|x0|) +2< ,tj. mnozenjevektorasaskalaromjeneprekidno.Linearni topoloski prostorjeskup, koji jesnabdjevenstrukturomline-arnogprostorai topoloskomstrukturomi totakodasutedvijestrukturekonzistentne,tj. zbrajanje vektora i mnozenje vektora skalarom su neprekid-napreslikavanja.Iz prethodnepropozicije slijedida je normirani prostor primjerlinearnogtopoloskogprostora.Algebrajelinearni prostorXnadpoljemK, ukojemjejosdeniranomnozenjevektoraX X Xzakojevrijedi:(1) kvaziasocijativnost: (x)y= (xy) = x(y), K, x, y X.(2) distributivnost: (x +y)z = xz +yzix(y +z) = xy +xz, x, y, z X.Uzdodatneuvjetegovorimooasocijativnojalgebri,algebrisjedinicomikomutativnojalgebri.Normirana algebra ja asocijativna algebra denirana na normiranom pros-toru,stimedanormapostujeuvjet |xy| |x||y|zasvakix, y X.Banachova algebra je normirana algebra denirana na Banachovom pros-toru.4.1.6.Zadatak. Dokazi da je mnozenje vektora u normiranoj algebri nepre-kidnopreslikavanje.4.2 Osnovnasvojstva. Kategorijalnost4.2.1. Teorem. Kompozicijaneprekidnihpreslikavanjajeneprekidnopres-likavanje. Identitetajeneprekidnopreslikavanje.46 POGLAVLJE4. NEPREKIDNAPRESLIKAVANJADokaz: Nekajex Xbilokojatocka, nekajef : X Y funkcijane-prekidnauxi g:YZneprekidnauf(x) Y , tenekajeWokolinaodgf(x). Kako je g neprekidno u f(x), postoji okolina V Yod f(x) tako dajeg(V ) W. Noifjeneprekidno,pazaokolinuV odf(x)postojiokolinaU Xod x, takva da je f(U) V . Dakle, g f(U) = g[f(U)] g(V ) Wpa je neprekidnost za kompoziciju dokazana. Neprekidnost identitete je ocita.4.2.2. Napomena.Topoloski prostori kao objekti i neprekidna preslikavanjakaomorzmi cine jednukategoriju, koja se naziva topoloskakategorijaioznacavasaT.Neprekidnapreslikavanjacuvajukonvergenciju.4.2.3. Teorem.Neka je f: X Yneprekidno preslikavanje. Ako niz (xn)nuXkonvergirapremax0 Xondaniz(f(xn))nkonvergirapremaf(x0),tj.izlimnxn= x0slijedilimnf(xn) = f(x0).Dokaz: NekajeV bilokojaokolinaodf(x0). Podeniciji neprekidnostipostoji okolinaUodx0takodajef(U) V . Kakojex0granicnatockaod(xn)n, topostoji n0, takavdaje xnUzasvaki n n0. Ondajef(xn) f(U) V zasvakin n0itvrdnjajedokazana.Obratteoremanevrijediopcenito,alijeistinitumetrickimprostorima.4.2.4.Teorem. Nekajef: X Y preslikavanjeizmedumetrickihprosto-ra. Akozasvakiniz(xn)nizX, kojikonvergirapremanekojtockix0 X,nizslika(f(xn))nkonvergirapremaf(x0) Y , ondajepreslikavanjef ne-prekidno.Dokaz: Pretpostavimo da tvrdnja teorema nije istinita, tj. da f cuvakonvergencijunizovakoji konvergirajukx0, ali f nijeneprekidno. Tobiznacilo, dapostoji >0, takavdazasvaki >0postoji x Xtakavdajed(x, x0)0.Odatleslijedi dajelimnxn=x0i f(xn)nnekonvergirakf(x0). Popret-postavci bi onda moralo biti limf(xn) = f(x0), pa smo dobili kontradikciju.4.2.5. Korolar. Preslikavanjef : XY izmedumetrickihprostorajeneprekidnoakoisamoakocuvakonvergencijunizova,tj. akoisamoakoizlimixi= x0slijedilimif(xi) = f(x0).4.3. KARAKTERIZACIJANEPREKIDNOSTI 47Korolar4.2.5.jetzv. Heinovadenicijaneprekidnosti umetrickimpros-torima.4.2.6.Korolar. NekajeXmetricki,Y Hausdorovprostorif, g: X YneprekidnapreslikavanjakojasepodudarajunagustomdijeluD X. Tadajef= g.4.3 KarakterizacijaneprekidnostiNavedimonekolikokriterija, pomocukojihsemozeprovjeriti neprekidnostpreslikavanja.4.3.1. Teorem. f: X Y jeneprekidnopreslikavanje,akoisamoakozasvakiotvoreniskupV Y uY ,f1(V ) XotvorenuX.Dokaz: NekajefneprekidnopreslikavanjeiV Y otvorenskup. Nekajex f1(V ) bilo koja tocka. Onda je Vokolina tocke f(x), pa radi neprekid-nosti postoji okolina Uod x takva, da je f(U) V , tj. x U f1(V ). Pre-matomejexiz nutrineod f1(V ),tj. x int f1(V ). Odatle zakljucujemodajef1(V ) int f1(V ), daklef1(V )=int f1(V )stodokazuje, dajef1(V ) otvorenskup. Obratno,nekajex0 XbilokojatockaiVotvorenaokolinaodx0. OndajepopretpostavciU= f1(V )otvorenaokolinaodx0ivrijedif(U) = V ,pajefneprekidnaux0podeniciji.4.3.2. Teorem. f:X Y jeneprekidnopreslikavanjeakoi samoakojezasvakizatvoreniskupF Y ,f1(F)zatvoreniskupuX.Dokaz: Analognodokazuprethodnogteorema.4.3.3. Teorem. f:X Y jeneprekidnopreslikavanjeakoi samoakojezasvakipodskupA X,f(C A) C f(A).Dokaz: Neka je fneprekidnopreslikavanje i A Xbilo koji skup. Kako jeC f(A) Y zatvorenskupizteorema4.3.2.slijedidajef1(C f(A)) XzatvorenuX. Pri tome vrijedi Af1(f(A))f1(C f(A)). Dak-le, f1(C f(A))jezatvorenskupkoji sadrzi A. Kakojepodeniciji C Anajmanji zatvorenskupkoji sadrzi A, tovrijedi C A f1(C f(A)) ilif(C A) C (f(A)), stoseitvrdilo.Obratsedokazujeanalogno.4.3.4.Korolar. Nekajef: R RneprekidnopreslikavanjeiA R. Akopostojiinf A,tadapostojiiinf f(A)tevrijedif(inf A) = inf f(A). Analognatvrdnjavrijedizasupremum.48 POGLAVLJE4. NEPREKIDNAPRESLIKAVANJA4.4 HomeomorzamIzdenicije2.1.6. znamodajehomeomorzambijekcijaf : X Y kojacuvatopoloskestrukture,tj. takvadaje(1) f(U)otvorenuY ,zasvakiotvoreniU X,(2) f1(V )otvorenuX,zasvakiotvoreniV Y .Sadacemohomeomorzamkarakteriziratipomocuneprekidnihpreslika-vanja.4.4.1. Teorem. Preslikavanjef : X Y jehomeomorzamakoi samoakojeneprekidnoi postoji neprekidnopreslikavanjeg:YX, takodajeg f= 1[Xif g= 1[Y.Dokaz: Akojefhomeomorzam, ondajefbijekcija, papostoji g=f1takav da je f1 f= 1[Xi f f1= 1[Y. Nadalje, kako je za svaki otvoreniVY , f1(V )otvorenuX, tojef neprekidnopoteoremu4.3.1. Ostajevidjeti, dajei f1: YXneprekidno. NekajeU Xotvoren. Ondajepodeniciji homeomorzmaf(U)otvorenuY . No, (f1)1(U)=f(U)otvorenuY ,pajef1neprekidnopoteoremu4.3.1.Prematomeimamoovuekvivalentnukarakterizacijuhomeomorzma.4.4.2. Korolar. Preslikavanjef : X Y jehomeomorzam, akoi samoako(1) fjebijekcija,(2) fif1suneprekidnapreslikavanja.Kakosmorekli, prostori Xi Y suhomeomorfni, X =Y , akopostojihomeomorzamf : XY . Tojejednarelacijaekvivalencije kojavrsiklasikacijutopoloskihprostora.4.4.3. Primjer. NekajeX=[0, 1)poluotvoreni interval,Y=S1kruznicaif: X Y namatanje,ondajefbijekcijaifjeneprekidna,alif1nijeneprekidna,paX ,= Y .4.5. UNIFORMNANEPREKIDNOST 494.5 UniformnaneprekidnostPojamjevezanuzmetrickeprostore.4.5.1.Denicija. Nekajef: X Y preslikavanjeizmedumetrickihpros-tora. Kazemodajef uniformnoili jednolikoneprekidnonaprostoruX, akozasvaki >0postoji>0takodazax, y Xid(x, y0je=(, x)dokjekoduniformneneprekidnosti =()tj. neovisi opromatranoj tocki.Realnafunkcijaf(x)=1xjeprimjerfunkcije, kojajeneprekidnanaR0,alinijeuniformnoneprekidna.UnormiranomprostoruXsunormai zbrajanjeuniformnoneprekidnefunkcije nacitavomprostoruX X, amnozenje skalaromje uniformnoneprekidnonaomedenimskupovimauX X. (Dokazite!)4.5.2. Teorem. Nekajef : X Y uniformnoneprekidnopreslikavanjemetrickih prostora. Ako je (xn)n Cauchyjev niz u X, onda je (f(xn))n takoderCauchyjevnizuY .Dokaz: Kakojefuniformnoneprekidno,zadani > 0postoji> 0,takodad(x, y) < povlacid(f(x), f(y)) < . Jerje(xn)nCauchyjevniz,zadani>0postoji n0 N, takavdam, n n0povlaci d(xm, xn)0takavdazasvex, y Aizrelacijed(x, y) maxr1, . . . , rk.5.4. KOMPAKTNOSTMETRICKIHPROSTORA 575.3.2. Korolar. Kompaktanpodskupmetrickogprostorajeomedenizatvo-ren.Dokaz: Kako je svaki metrickiprostor Hausdorov, tvrdnja slijediiz teore-ma5.2.3.ipropozicije5.3.1.Obratnevrijedi opcenito, negosamozapodskupoveodRn. Dokazimonajprijeovulemu.5.3.3. Lema. NekajeXmetricki prostorsasvojstvomdasvaki niz(xn)niz Ximabaremjednutockugomilanja. Tadasesvaki prebrojivi otvorenipokrivacodXmozereduciratinakonacanpotpokrivac.Dokaz: Nekaje |= Un; n NprebrojivpokrivaczaX. TvrdimodajeX=

ki=1Uiza neki k N. U suprotnom bi za svaki kmogli odabrati tockuxk X

ki=1Ui. Popretpostavci niz(xn)nimatockugomilanjax0 X.Kakoje |pokrivaczaX, postoji n N, takavdajex0 Un. SkupUnjeokolinatockex0, papostoji k N, takavdajek>ni xk Un, stojeukontradikcijisaizboromtockexk.5.3.4.Teorem. (BorelLebesgue)SkupK Rnjekompaktan,akoisamoakojeomedenizatvoren.Dokaz: Kako je Rnmetricki prostor, kompaktanpodskupKRnjeomedenizatvorenpokorolaru5.3.2.Obratno, nekajeKRnomedeni zatvoren.Zelimodokazati dajekompaktan. Nekaje |= U; otvoreni pokrivaczaK. KakojeRnseparabilan, to je i Kseparabilan, pa mozemo u |upisati prebrojivi pokrivac1(kojisesastojiodclanovabaze). Nadalje,kakojeKomedensvaki jeniz(xn)nizKomedenuRn, papoBolzanoWeierstrasseovomteoremu3.3.5.imabarjednutockugomilanjax0 Rn. NoKjei zatvoren, pajex0 K(viditeorem3.3.3.iteorem3.2.1.). Polemi5.3.3.tadazakljucujemo, dase1mozereducirati nakonacni potpokrivac 1. Kakoje 1ocitopronjenje|,tvrdnjajedokazana.5.4 Kompaktnostmetrickihprostora5.4.1. Teorem(Cantor). Metrickiprostor(X, d)jepotpunakoisamoakosvaki silazni nizF1 F2 nepraznihzatvorenihpodskupovaodXcijidijametritezeknuliimaneprazanpresjek,tj.

i=1Fi ,= .58 POGLAVLJE5. KOMPAKTNOSTDokaz: NekajeF1 F2 niznepraznihzatvorenihpodskupovanekogpotpunog metrickog prostora (X, d) i pretpostavimo da je limidiam(Fi) = 0.UsvakomskupuFiodaberimotockuxi. Buduci dasvetockesindeksomvecimodprirodnogbrojailezeuskupuFi,pretpostavkapovlacidaje(xi)iCauchyjevnizuprostoruX. Zatoonkonvergirapremanekojtockix X.Za svaki i N, jer je skup Fizatvoren i x je limes niza (xj)ji, zakljucujemodajetockaxuskupuFi. Dakle, presjek i=1Fi= xjeneprazanskupbuducidasadrzitockux.Obratno,nekaje(X, d)metricki prostorkojizadovoljavauvjetiziskazateoremainekaje(xi)iCauchyjevnizuX. ZasvakiprirodanbrojinekajeFi zatvarac u Xskupa xi, xi+1, . . .. Jasno je da je F1 F2 silazni niznepraznihzatvorenihpodskupovakojimadijametritezeknuli. Popretpos-tavcijepresjek i=1Fi ,= . Nekajextockaiztogpresjeka. Tvrdimodaniz(xi)ikonvergirapremax. Nekaje >0povolji. Sadaodaberimoprirodanbroj i tako da vrijedi diam(Fi) < . Kako su za svaki j i tocke x i xjobjeuskupuFi, vidimodajed(x, xj) 0takavdazaniti jedankonacanpodskupKodXfamilija U(x, ); x KnepokrivacitavprostorX. Dakle, zasvaki konacannizx1, . . . , xntocakaprostoraXmozemonaci tockuxn+1takvudajed(xi, xn+1) zasvaki i n. Sa-daindukcijommozemoizgraditiniz(xn)ntocakauprostoruXtakvihdaje5.4. KOMPAKTNOSTMETRICKIHPROSTORA 59d(xi, xj) zasvaki parrazlicitihprirodnihbrojevai i j. PromatrajmosadaskupF= x1, x2, . . . , . ZasvakutockuxprostoraXizvanskupaFpostoji njena okolinakoja ne sijece Fjer bi u protivnom postojale u Fdvijerazlicitetockenaudaljenosti manjoj od. Dakle, skupFjezatvorenuXpajezatokompaktan. Ali,tojenemogucejerjeFociglednohomeomorfandiskretnommetrickomprostorusaprebrojivobeskonacnomnogotockakojinijekompaktan.5.4.4.Teorem. Nekaje(X, d)metrickiprostor.1) AkojeXkompaktanmetrickiprostorondajeseparabilan.2) AkojeXpotpunoomedenmetrickiprostorondajeseparabilan.Dokaz: 1) Zasvaki prirodanbroj i pokrivac Ui= U(x,1i); x XodXotvorenimkuglamaradijusa1iimakonacanpotpokrivac. Dakle, postojikonacanpodskupKiodXtakavdafamilija U(x,1i); x KiprekrivaX.OndajeS=

i=1KiprebrojivpodskupodX. TvrdimodajeongustuX.Nekasux Xi >0povolji. Dovoljnojepokazati dapostoji s Stakav daje d(x, s) < . Odaberimo prirodan broj i takav da je1i< . Zatimodaberimos Kitakavdaxlezi uskupuU(s,1i). Sadajejasnodavrijedid(x, s) < .2)Zasvaki prirodanbrojipostoji konacanpodskupKiodXtakavdafamilija U(x,1i); x KiprekrivaX. Slijedizakljucakkaou1).5.4.5. Teorem. Metrickiprostorjekompaktanakoi samoakojepotpunipotpunoomeden.Dokaz: Nuznostslijediizteorema5.4.3.iCantorovogteorema5.4.1.jerizteoremu5.1.9. slijedi dasvakapadajucafamilijazatvorenihnepraznihsku-povaimaneprazanpresjek.Obratno, nekaje(X, d) metricki prostor koji je istovremenopotpunipotpunoomeden.Zasvakiprirodan broji odaberimokonacanskupFi= xi1, xi2, . . . , xik(i)takavdafamilija Ud(x,12i); x Fiprekrivaprostor X. Dakle, zasvakiprirodanbrojivrijediX=_xFiUd(x,12i)idiam(Ud(x,12i)) 1izasvakix Fi. (5.1)Za dokaz kompaktnostiprostora X, prvo cemo pokazati da svakiniz (an)nuXimakonvergentanpodniz.60 POGLAVLJE5. KOMPAKTNOSTAkojeslikanizaB= an; n Nkonacanskup, tvrdnjajeocitajerpostoji baremjedankonstantanpodniz. UslucajukadajeBbeskonacanskup, prvi oduvjeta(5.1)povlaci dapostoji x1 F1takavdajepresjekB Ud(x1,12) = B1beskonacan. Dakle,imamoB B1,diam(B1) 1iB1jebeskonacan.NaslicannacinnademobeskonacanskupB2koji jepresjekskupaB1snekimodskupovaUd(x2,14)zax2 F2takodavrijedi B B1 B2idiam(B2) 12. Nastavljajuci tako, indukcijom, mozemo denirati niz besko-nacnihskupovatakvihdavrijediB B1 B2 , idiam(Bi) 1izasvakii N. (5.2)Iz Cantorovog teorema 5.4.1. slijedi da u presjeku zatvaraca skupova Bipos-tojinajmanjejednatockaa X. Zbog(5.2), ociglednojedasvakaokolinatocke a sadrzi neki od skupova Bi, tj. sadrzi beskonacno mnogo tocaka skupaB, stoimazaposljedicudajeatockagomilanjaniza(an)n.Nadalje, poteoremu5.4.4. prostorXjeseparabilan. Poteoremu5.1.3.svakiotvorenipokrivacsadrziprebrojivpotpokrivac. Dakle,dovoljnojepo-kazatidasvakiprebrojivipokrivacposjedujekonacanpotpokrivac.Usuprotnomslucajubi postojaoprebrojivpokrivac Un; n NodXciji niti jedan konacan podskup nije pokrivac. Denirajmo niz (an)nsa svoj-stvomdazasvaki n Nimamoan ,_1knUk. Premaranijedokazanom,niz(an)nimatockugomilanjaa X. Zato stoje Un; n NpokrivacodX,morapostojatin0 Ntakavdajea Un0. Pokonstrukciji niza, zasven > n0vrijedi an , Un0, sto je kontradikcijas cinjenicom da je a tocka gomi-lanjaniza. Dakle,svaki prebrojivipokrivacposjedujekonacanpotpokrivac.5.4.6.Teorem. ZametrickiprostorXslijedecetvrdnjesuekvivalentne.(1) Xjekompaktan.(2) svakibeskonacanpodskupuXimabarjednutockugomilanja.(3) svakinizuXimabarjednutockugomilanja.(4) svakinizuXimakonvergentanpodniz.(5) svakipadajuciniz(Fn)nnepraznihzatvorenihpodskupovauXimane-prazanpresjek.5.4. KOMPAKTNOSTMETRICKIHPROSTORA 61Dokaz: ((1) (2)). Neka je A beskonacan podskup kompaktnog metrickogprostoraX. KadaskupAnebiimaotocakagomilanja, svakatockax XimalabiokolinuUxkojajedisjunktnasaskupomAilisijeceskupAjedinoutocki x. Familija Ux; x Xjeotvoreni pokrivacodX. JerjeprostorXkompaktan, postoji njegov konacan potpokrivac Ux1, . . . , Uxk. Iz nacinakako smo odabrali skupove Uxslijedilo bi da je skup A konacan sto se protivinasojpretpostavci.UovomdokazunismokoristilipretpostavkudajeXmetrickiprostor.((2) (3)). Nekaje: N XnizumetrickomprostoruX. Akojeskup(N)vrijednosti nizakonacan, ociglednopostoji konalanpodskupFodN i tocka x Xtakva da je (i) = x za svaki i F. Ovdje konalnostznacidaFimasvojstvodazasvaki j Npostojii Ftakavdajei>j.Sadajejasnodajextockagomilanjaniza. Sdrugestrane, akoje(N)beskonacanskup, ondapopretpostavci postoji nekatockaxuXtakvadasvaka okolina od x u Xsijece skup (N) u bar jednoj tocki razlicitoj od tockex. Tvrdimodajextockagomilanjaniza. Idoista,nekasuokolinaUokotockexinekiprirodanbrojizadani. OdaberimookolinuV tockexunutarokolineUtakodaj0, x, x X, d(x, x)0bilokoji. Zasvaki t Xpostojin(t) Ntakavdavrijedi n N,(n n(t)) (g(t) fn(t)