METODOS PARA CALCULAR LAS RAICES DE UNA ECUACIONEJEMPLOS

ALGORISMO DE BISECCIONEste mtodo es el ms antiguo en el clculo de la determinacin de las races de una ecuacin, basado directamente en el teorema de BOLZANO.Su objetivo es calcular de forma aproximada las races de la ecuacin f(x) = 0, partir de un intervalo [x0,x1]tal que f(x0)f(x1) < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raz real. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeo como exija la precisin que hayamos decidido emplear.

ECUACION : x4+3x3-2

Xa=0 Xb = 1

xf(x)

-2-10

-1-4

0-2

12

240

Xr = Xr =

F(Xr)= 0,54+0,5x3-2 =-1,56F(Xa)* F(Xr) = (-2) (-1,56) = 3,12

ITERACION 2Xr =

F(Xr)= 0,754+0,75x3-2 =-0,41F(Xa)* F(Xr) = (-1,56)(-0,41) = 0,63

ITERACION 3Xa=0,75 Xb = 1

Xr =

F(Xr)= 0,874+0,873-2 =0,54F(Xa)* F(Xr) = (-0,41)(0,54) = -0,22 La respuesta correspondiente es cuando la iteracion corresponde a minimizar el porcentaje , se observa que Este va descendiendo.

METODO DE REGLA FALSATambin conocido como falsa posicin es un mtodo iterativo que a diferencia del mtodo de la biseccin, este se basa en una visualizacin grafica que consiste en unir f(a0) y f(b0) con una lnea recta, la interseccin de esta recta con el eje de coordenadas x representa una mejor aproximacin de la raz que por el mtodo de la biseccin, aunque no siempre es as.Encontrar un punto r donde f se hace cero, suponemos que r

y-

0-

X2-x0-f(xo)=

EJECICIO HECHO EN EXCEL

MTODO DE PUNTO FIJO

Este mtodo sirve para encontrar las races de una ecuacin y consiste en los siguientes pasos: 1. Nos deben dar la funcin a la cual le debemos encontrar la raz, es decir, debemos conocer f(x)=0. 2. Nos deben de dar un valor inicial x0=03. De la funcin f(x) debemos de despejar x de manera que encontremos una nueva funcin de x llamada ahora g(x). 4. Se deriva la funcin g(x). En el caso de que el valor absoluto de la derivada de g(x) sea menor a uno, se asegura que el despeje realizado funcione. 5. Luego se evala g(x) utilizando primero x0.El resultado de esta evaluacin se convierte en el nuevo valor de x y as se contina hasta encontrar la raz deseada desde luego, satisfaciendo un error deseado.Sea la funcin f(x) = X2-2x-3=0

(x-3)(x+1)=0 tiene dos ceros cuando (x-3)= 0 (x+1)=0 X=3 y X=-1

X=

X=

Si se comienza conx0= 4 y se itera con la iteracin de punto fijo (1), los valores sucesivos dexson: Se obtiene una convergencia x=3Otro reordenamiento def(x) = 0 es :X2-2x-3=0Factorizando x(x-2) -3 =0X=

Cambia la convergencia a x=-1Lo que se concluye es que a mayor nmero de iteraciones menor es la aproximacin.

Steven C. Chapra, Mtodos Numricos para Ingenieros, 6 ed., Mc Graw Hill.