Metodos Energeticos, Matriz de Flexibilidad y Rigidez 8-11-2014

8/10/2019 Metodos Energeticos, Matriz de Flexibilidad y Rigidez 8-11-2014

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Introduccin al Anlisis Estructural

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CAPITULO 1

INTRODUCCIN AL ANLISIS ESTRUCTURAL

1.1 Clasificacin de las Estructuras.Una estructura, en general esta formada por elementos interconectados, los cuales

independientemente de su forma, se consideran en una, dos o tres dimensiones. Enrealidad un elemento tiene siempre tres dimensiones: longitud, anchura y espesor; sinembargo, si la anchura y el espesor son pequeos en comparacin con la longitud, como

en el caso de vigas y columnas, tales elementos pueden considerarse como

unidimensionales. En el caso de placas y cscaras, el espesor es normalmente ms

pequeo que la longitud y la anchura del elemento; de ah que las placas y cascaras se

consideran bidimensionales. Como para las relaciones entre longitud, anchura y espesor

no hay una delimitacin clara, de acuerdo con la cual los elementos puedan clasificarse

como unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales, esto queda enteramente a

juicio del ingeniero y a la exactitud esperada de los resultados. Por ejemplo, la viga

continua, mostrada en la figura 1.1-1, se considera unidimensional en cambio la de la

figura 1.1-2 es bidimensional. Mientras las reacciones en A y C en la figura 1.1-1 son

cero, la fuerzaPen la figura 1.1-2 adoptando un mtodo de clculo adecuado se propaga

a travs de la altura del elemento de tal manera que las reacciones en A y C son

diferentes de cero. Las magnitudes de estas reacciones no dependen nicamente de la

relacin longitud-altura, sino tambin de las propiedades materiales y geomtricas de la

viga.

Las estructuras pueden dividirse en las tres categoras siguientes considerando sus

elementos como de una, dos o tres dimensiones.

Estructuras de esqueletoEstructuras laminares

Slidos

En este texto se trata el anlisis de aquellas estructuras que caen dentro de la

primera categora donde los elementos se consideran como unidimensionales.

La clasificacin anterior de las estructuras es el resultado de la idealizacin de lasestructuras reales con ciertas aproximaciones e hiptesis. Por ejemplo, un edificio se

idealiza normalmente en tal forma que su entramado, es decir, el conjunto de las vigas y

columnas de los pisos se considera como de tipo estructura de esqueleto y las placas sondel tipo laminar, aunque el sistema completo es realmente una combinacin de todos los

tres tipos antes mencionados.


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Estructuras Hiperestticas

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Figura 1.1-1 Viga continua unidimensional Figura 1.1-2. Viga continua bidimensional

An cuando es posible analizar una estructura completa como un sistema

integrado (cimientos, pisos y entramados) las dificultades que se encontrarn no

justifican el esfuerzo. Considerando otras incertidumbres tales como propiedades de los

materiales, cargas y tcnicas de construccin, hay algunas justificaciones para hacer la

modelizacin de la estructura separando las diferentes partes en diferentes grupos

(descomposicin) y analizarlas luego independientemente.

El tipo de estructuras de esqueleto a su vez puede dividirse en los siguientes

grupos.

Cerchas

Sistemas planos

Reticulados entramados

Marcos rgidos tridimensionales

En las cerchas, los elementos se unen entre si por articulaciones sin rozamiento y

las cargas se aplican en los nudos. En consecuencia, los elementos estn sometidosnicamente a fuerzas axiales (tensin o compresin). En la practica por supuesto, los

elementos estn unidos entre si por pernos, tornillos, o soldaduras, en lugar de estarunidos por un pasador sin rozamiento y estn sujetos a cierta flexin y fuerza cortante.

Sin embargo, como las rigideces a la flexin son muy pequeas, los errores introducidos

por tal idealizacin son tambin pequeos. Si se desearan conocer, por ejemplo, los

esfuerzos de flexin, normalmente considerados como esfuerzos secundarios en las

cerchas, las uniones pueden considerarse como uniones rgidas y el anlisis puede

desarrollarse de acuerdo con esto.

En los sistemas planos, los elementos estn unidos entre si por nudos rgidos lo

mismo que por articulaciones sin rozamiento y las cargas se pueden aplicar tanto en los

nudos como en los elementos. La rigidez a la flexin de estos elementos normalmente esgrande comparada con la de las cerchas. Los elementos no estn sujetos a torsin, pues laestructura y las cargas estn en el mismo plano.

Los reticulados entramadosson los sistemas planos que estn sujetos a cargas

en diferentes planos. En otras palabras la estructura y las cargas no estn en el mismo

plano y como consecuencia de esto los elementos pueden estar sujetos tanto a torsin


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como a flexin. Corresponden a esta categora los cobertizos, los sistemas de tableros de

puentes, los sistemas de pisos en edificios, etc.

Los marcos rgidos tridimensionalesson el tipo ms general de estructuras de esqueleto.Las cargas pueden estar aplicadas en cualquier punto y en cualquier direccin y los

elementos pueden estar unidos entre si en cualquier forma.

1.2 Grado de indeterminacin y Grado de libertadLas estructuras, en cuanto concierne a su comportamiento esttico, pueden

clasificarse como estables e inestables. Las estructuras estables son aquellas capaces de

soportar un sistema general de cargas cuyos valores tienen un lmite de manera que no

ocurra la falla por deformacin excesiva. Las estructuras inestables por el contrario, no

pueden sostener cargas a menos que estas sean de una naturaleza especial.

Las estructuras estables pueden ser estticamente determinadas o estticamente

indeterminadas tambin denominadas estructuras hiperestticas, dependiendo de si las

ecuaciones de equilibrio son por si solas suficientes para determinar tanto las reaccionescomo las fuerzas internas. Si son suficientes, la estructura se clasifica simplemente como

determinada; de lo contrario como indeterminada, la cual puede ser tambin

externamente e internamente indeterminada. Si el nmero de las componentes de lasreacciones es mayor que el nmero de ecuaciones independientes de equilibrio, se dice

que la estructura es externamente indeterminada. Sin embargo, si algunas fuerzas internasdel sistema no pueden determinarse por esttica a pesar de que todas las reacciones sean

conocidas, entonces la estructura se clasifica como internamente indeterminada. Encualquiera de los casos, su anlisis depende de las propiedades fsicas y geomtricas, es

decir, momentos de inercia, rea y modulo de elasticidad de sus elementos.

La indeterminacin implica restricciones o elementos adicionales a los mnimosrequeridos para la estabilidad esttica del sistema. A estas cantidades en exceso

(reacciones o fuerzas internas en los elementos) se las denomina como redundantes, y su

nmero representa el grado de indeterminacin de la estructura. Consideremos por

ejemplo, Las estructuras mostradas en las figuras 1.2-1, 1.2-2, 1.2-3, 1.2-4 y 1.2-5.

La estructura mostrada en la figura 1.2-1 es obviamente inestable debido a la falta

de sujecin para prevenir el movimiento, mientras que en la figura 1.2-2 aunque exista un

nmero adecuado de restricciones en los soportes su arreglo o distribucin puede ser de

tal forma que no pueda resistir el movimiento provocado por una carga arbitrariamente

aplicada.

Figura 1.2-1 Figura 1.2-2Estructura inestable debido a la Estructura inestable debido a la

carencia de soporte disposicin de los apoyos


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Figura 1.2-3 Figura 1.2-4 Figura 1.2-5

Estructura estable Estructura externamente indeterminada Estructura internamente indeterminadaEn lo que a esttica se refiere (independientemente de la resistencia), la estructura

mostrada en la figura 1.2-3 es suficientemente estable para soportar cualquier sistema de

cargas. La de la figura 1.2-4 es externamente indeterminada de primer grado, mientras la

de la figura 1.2-5 es internamente indeterminada de segundo grado. Fuera de la economay la seguridad hay muchas razones para disear una estructura indeterminada en lugar de

una determinada. Sin embargo, este asunto esta fuera del tema.El grado de libertad, por otra parte, se define como el nmero total de

desplazamientos desconocidos en los nudos de la estructura. Como mximo un nudopude tener seis desplazamientos desconocidos, tres rotacionales y tres lineales en los

marcos rgidos tridimensionales; dos rotacionales y uno lineal en los reticulados entramados; dos lineales y uno rotacional en los sistemas rgidos planos; dos y tres

lineales en cerchas bi y tridimensionales. El grado de libertad puede determinarse,

entonces, contando nicamente los desplazamientos desconocidos en los nudos.

En la mayora de los casos, el grado de libertad y el grado de indeterminacin

estn relacionados entre si cuando disminuye el uno aumenta el otro y viceversa. Sin

embargo, si se cambia el grado de indeterminacin del sistema aadiendo o suprimiendo

algunos elementos no necesariamente se altera su grado de libertad. Por ejemplo, la

armadura de la figura 1.2-5 tiene dos barras adicionales comparada con la determinada en

la figura 1.2-3, no obstante el grado de libertad de ambos sistemas es 13.En resumen, el grado de indeterminacin de una estructura es el nmero de

componentes de las reacciones y fuerzas internas desconocidas que sobrepasan al nmerode ecuaciones de condicin para el equilibrio esttico. El grado de libertad es el nmero

total de componentes de las deflexiones desconocidas de los nudos libres. Aunque estasdos cantidades se usan algunas veces para seleccionar el mtodo matricial ms adecuado

para el anlisis de una estructura dada, ninguno de los mtodos matriciales hace discusin

entre las estructuras determinadas e indeterminadas. Estos dos conceptos estn

involucrados en los mtodos de tal modo que ni el Mtodo de Flexibilidad ni el de

Rigidez alteran su curso o se modifican porque la estructura sea o no determinada. El

grado de indeterminacin o el grado de libertad determinan, respectivamente, el orden enque deben ser invertidas las matrices de flexibilidad y de rigidez. Considerando que la

mayor parte del tiempo de anlisis se gasta en la inversin (o solucin) de estas matrices,

el grado de libertad o de indeterminacin puede usarse como un factor para la seleccin

del Mtodo de Anlisis; fuera de lo cual no sirven para otro propsito.

Luego de que se ha hecho la seleccin (la cual se hace frecuentemente por

muchas razones diferentes a las que acabamos de discutir), ambos mtodos siguen su


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desarrollo, aunque una estructura determinada se comporte de manera diferente bajo

circunstancias idnticas a una indeterminada. Por ejemplo, las variaciones de temperatura

producen fuerzas internas en el sistema indeterminado pero no en el determinado.

En los mtodos no matriciales, el concepto de indeterminacin desempea un

papel muy importante.

1.3 Mtodos de Anlisis.Entre los mtodos de anlisis utilizados podemos mencionar los mtodos

energticos, mtodos aplicados a estructuras con pequeo grado de hiperestaticidad y losdenominados Mtodos Matriciales, bsicamente existen dos tipos diferentes de Mtodos

Matriciales para analizar estructuras, llamados, Mtodo de Rigidez (desplazamientos) y

Mtodo de Flexibilidad (fuerzas); Tambin conocidos como los Mtodos de Equilibrio y

Compatibilidad, respectivamente. Existe tambin un tercer mtodo que no es tan comn

como los dos anteriores aunque tiene algunas ventajas cuando se aplica a ciertos tipos de

estructuras. Este es llamado elMtodo Combinado de Anlisis.

Antes de entrar a la descripcin de cada mtodo, el significado de la palabra

anlisisnecesita una aclaracin adicional. Si bien ahora se debe tener una idea acerca desu significado una definicin explicita de ella puede ser provechosa debido a que

analistas diferentes la entienden de diferentes maneras. Algunos pueden interpretarla

como la determinacin de fuerzas internas; y otros como la determinacin de las

deformaciones en varias partes de la estructura. Sin embargo, como hay una relacin

simple y nica entre la forma deformada de la estructura y las fuerzas internas, el obtener

la una, implica que las otras pueden determinarse con menos esfuerzo. Por consiguiente

si el analista define su fin inmediato como la obtencin de la forma deformada de la

estructura, entonces sigue un procedimiento que difiere de aquel que le da prioridad a lasfuerzas internas. Para algunas estructuras es mas fcil primero determinar los

desplazamientos y despus las fuerzas internas y viceversa. Es posible establecer losdiferentes Mtodos de Anlisis teniendo presente estos fines inmediatos.

Figura 1.3-1 Diagrama de cuerpo libre de un elemento ij(exagerado)

Consideremos la estructura de esqueleto mostrada en la figura 1.3-1 y

supongamos que uno de sus elementos, digamos el elemento i-j, se saca del sistema en su

forma deformada. Supongamos adems que se han calculado o se dan los


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desplazamientos de iy de j(o el relativo de uno con respecto al otro). Entonces puede

determinarse a partir de las relaciones fuerza-desplazamiento, las fuerzas internas de los

puntos i y j o en cualquier punto entre ellos, as como de la curva elstica (forma

deformada) de este elemento. Por ejemplo,

jijiiii KKP +=

da las fuerzas internas desarrolladas en el extremo ide este elemento en funcin de lasdeflexiones de los puntos iyj. Las matrices iiK y ijK , las cuales llamaremos las matrices

de rigidez directa y de rigidez cruzadadel elemento i-j, estando estas en funcin deE,A,I,Ldel elemento. Una vez conocidas las deflexiones el clculo de las fuerzas internas esbastante fcil. Entonces puede pensarse que lo que ms interesa en el anlisis estructural

es la determinacin de los desplazamientos de los extremos de cada elemento, sea decada nudo del sistema. Tal consideracin conduce al anlisis por el Mtodo Matricial de

Rigidez. Por el contrario, si el analista decide obtener primero las fuerzas internas,

entonces sigue el Mtodo de Flexibilidad.

Ambos mtodos satisfacen las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y lascondiciones de compatibilidad de los desplazamientos pero no en el mismo orden. En el

Mtodo de Rigidez primero se satisface el equilibrio de fuerzas y en el Mtodo de

Flexibilidad lo hacen las compatibilidades de los desplazamientos. La seleccin de un

mtodo o del otro depende de la estructura as como de la preferencia del analista. Para

ciertas estructuras es fcil decidir que mtodo de anlisis deber seguirse, mientras que

para otras puede aun ser preferible usar un mtodo en ciertas partes de la estructura y el

otro en las otras. Este concepto sienta las bases para el mtodo combinado de anlisis.

Cada mtodo involucra la solucin de ecuaciones simultneas en las cuales los

desplazamientos de los nudos son las incgnitas en el mtodo de rigidez, las fuerzas en

los elementos en el Mtodo de Flexibilidad y parcialmente desplazamientos en los nudosy fuerzas en los elementos en el mtodo combinado. El Mtodo de Flexibilidad esta

asociado con el grado de indeterminacin de la estructura y requiere resolver tantasecuaciones simultaneas como nmero de redundantes. El Mtodo de Rigidez, no tiene en

cuenta si la estructura es determinada o indeterminada; lo que importa en este caso es elgrado total de libertad del sistema. Contrariamente a lo que sucede en el Mtodo de

Flexibilidad o en cualquier otro mtodo clsico, el Mtodo de Rigidez es favorable en

una estructura indeterminada a medida que se hace menor el grado de libertad.

1.4 Principios fundamentalesLa clasificacin de las estructuras hecha en la seccin anterior se bas en su

geometra y en la misma seccin se mencion que los mtodos seran aplicables

solamente a las estructuras de tipo esqueleto. Para decidir sobre el mtodo de anlisis,

son importantes su comportamiento bajo cargas dadas y las propiedades del material de

que estn hechas. Los mtodos presentados, se aplican a aquellas estructuras para las

cuales los siguientes principios son vlidos o se suponen vlidos.


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1.4.1 Teora de las pequeas deflexionesSe supone que la geometra de una estructura no cambia apreciablemente bajo la

aplicacin de las cargas. Muchas estructuras cumplen este requisito; sin embargo en arcos

esbeltos, puentes colgantes, en torres altas, etc., el cambio de la geometra tiene un papel

importante. La teora de las pequeas deflexiones esta ilustrada en la figura 1.4.1-1. En

cualquiera de las condiciones de carga, la deflexin

producida se supone que es lamisma. Esto es, una hiptesis aceptable siempre que sea pequea y la presencia de P2

no altere la flexin en la columna. Por ejemplo, el momento en el apoyo en la figura 1.4-1 se supone que es P1L en vez de P1L+P2. En otras palabras, se supone que P2 es

despreciable comparado conP1L.

Figura 1.4.1-1 Columna sometida a cargas P1y P2

Existen otros mtodos tales como la teora de las grandes deflexiones o teora de

segundo orden que tiene en cuenta el cambio en la geometra para el anlisis de las

estructuras, dichas teoras no sern tratadas.

1.4.2 LinealidadEste principio supone que la relacin carga-deflexin es lineal. Dicho de otra

manera, si todas las cargas externas de la estructura son multiplicadas por un factor C, la

deflexin de cualquier punto de la estructura ser C veces la deflexin previa. Este

principio esta controlado por la teora de las pequeas deflexiones as como por las

propiedades fsicas de los materiales de los cuales la estructura esta hecha.

Primero que todo los materiales son elsticoso inelsticos; segundo, ellos pueden

ser lineales o no linealesen cuanto se refiere a la relacin esfuerzo-deformacin. Aun

para un material linealmente elstico, la relacin esfuerzo-deformacin es valida

normalmente hasta cierto punto. Por ejemplo, en acero estructural tal relacin sigue unacurva similar a la mostrada en la figura 1.4.2-1 donde y y y representan,respectivamente, el esfuerzo de fluencia y la deformacin de fluencia del material. Por

tanto este principio supone que bajo una condicin de carga dada en ningn punto los

esfuerzos o deformaciones debern exceder los delpunto de fluencia del material.


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Figura 1.4.2-1 Curva esfuerzo-deformacin

1.4.3 SuperposicinEste principio establece que la secuencia en la aplicacin de las cargas no altera

los resultados finales siempre que no se violen los dos principios previos, es decir, el de

las pequeas deflexiones y el de linealidad. La figura 1.4.3-1 ilustra este principio. Elprincipio de superposicin es bastante empleado en el mtodo de flexibilidad para

confirmar el hecho de que el comportamiento de la estructura real puede expresarse como

el comportamiento de estructuras primarias bajo dos efectos separados, el primero debido

a la carga real y el segundo a las redundantes. La figura 1.4.3-2 demuestra este fenmeno

para el anlisis de la estructura de la figura 1.4.3-1 suponiendo que la reaccin vertical en

D ha sido seleccionada como redundante DO y DD representan en esta figura las

deflexiones del punto D debidas a las cargas reales y a la redundante, respectivamente.

Como la redundante no se conoce, DDno puede evaluarse en esta etapa. Sin embargo, de

acuerdo al principio de linealidad

DDDDD x =

en donde DDrepresenta la deflexin del punto D debida a la carga unitaria aplicada en la

direccin de xD. Puesto que la deflexin vertical real de D en la estructura original es

igual a cero,

0=+ DDDDO x

Finalmente,

DD

DO

Dx

=


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Figura 1.4.3-1 Principio de superposicin.

Figura 1.4.3-2 Principio de superposicin con la aplicacin de una redundante.

Otra explicacin importante del principio de superposicin es el uso de fuerzas

equivalentes en el nudo calculadas a partir de las fuerzas de empotramiento cuando laestructura esta sujeta a cargas aplicadas sobre los elementos.

1.4.4 EquilibrioNormalmente existen dos clases de equilibrio, equilibrio esttico y equilibrio

dinmico. Cuando las cargas estn aplicadas sobre una estructura en forma cuasilineal

(partiendo desde cero y alcanzado su valor final gradualmente), la estructura se

deformara bajo estas cargas y quedara en reposo en su forma final. Desde este instante la

estructura no sufre cambios en su posicin ni en su forma deformada. Por el contrario, si

las cargas se aplican sbitamente, la estructura alcanzara diferentes deformaciones en

diferentes instantes.


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Figura 1.4.4-1 Equilibro esttico de un cuerpo elstico.

Si cualquier partcula o porcin de la estructura esta en equilibrio en cualquier

instante bajo la accin de cargas externas, fuerzas gravitacionales, fuerzas elsticas y

fuerzas inerciales que actan sobre ella, entonces se dice que existe el llamado equilibrio

dinmico de la estructura el cual no es tratado.

La condicin de equilibrio esttico establece que la suma de todas las fuerzas

externas que actan sobre la estructura (incluyendo las reacciones) trasladadas a un punto

comn, sern iguales a cero.

Supongamos que en un espacio fsico bidimensional el cuerpo elstico mostrado

en la figura 1.4.4-1 esta en equilibrio esttico bajo las cargas dadas (P1,P2, ,Pn) dondePirepresenta las fuerzas generalizadas (incluyendo los momentos) aplicadas en el puntoi. El equilibrio esttico establece que

0''' 21 =+++ nPPP (1.4.4-1)

donde iP' representa iPtrasladada a un sistema de coordenadas comunes localizado en

un punto arbitrario tal como el punto 0 en la figura 1.4.4-1.Adems de todo el equilibrio de la estructura, cualquier parte aislada de ella debe

estar tambin en equilibrio. Supongamos que el nudo ien la figura 1.4.4-1 se asla de la

estructura como muestra la figura 1.4.4-2.

Representaremos por ijP (j=2, n en la figura 1.4.4-2) las fuerzas internas

desarrolladas en el extremo idel elemento ijdebidas a las cargas aplicadas.

01

=+ =

m

j

iij PP (1.4.4-2)


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Figura 1.4.4-2 Fuerzas internas del nudo i.

Establece el equilibrio del nudo i, donde mes el nmero de elementos que concurren al

nudo i. Si esta ecuacin se satisface en cada nudo de la estructura, las condiciones de

equilibrio para todo el sistema en conjunto tambin se cumplirn (ecuacin 1.4.4-1). En

los mtodos presentados en este texto, se usaran frecuentemente las ecuaciones deequilibrio de los nudos

1.4.5 Compatibilidad

Figura 1.4.5-1 Estructura unida rgidamente Figura 1.4.5-2 Estructura unida por una articulacin

Este principio supone que la deformacin y consecuentemente el desplazamiento,

de cualquier punto particular de la estructura es continuo y tiene un solo valor.

Normalmente esta condicin se emplea, al igual que las condiciones de equilibrio, para

satisfacer que los desplazamientos son nicos en los extremos de los elementos que

concurren a un nudo.

Supongamos que unos pocos elementos estn rgidamente unidos entre si en elnudo icomo se muestra en la figura 1.4.5-1 se desplaza una cantidad i. La condicin de

compatibilidad requiere que

iibiaij === (1.4.5-1)donde ij representa el desplazamiento del extremo i del elemento i-j. La ecuacin

(1.4.5-1) es vlida siempre y cuando los elementos estn unidos entre si rgidamente y no

se produzca fluencia o falla en el nudo.

Si los elementos estn unidos entre si por uniones semirgidas o por articulaciones

sin rozamiento, entonces algunas de las componentes de la condicin de compatibilidaddadas en la ecuacin (1.4.5-1) no se cumplirn.


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Por ejemplo, si suponemos que la unin en el nudo iesta construida de tal manera que el

elemento i-besta unido a los otros por una articulacin sin rozamiento mientras que los

elementos i-j e i-a permanecen rgidamente unidos, la compatibilidad rotacional del

elemento i-bno se cumple; esto es,

ibiaiji ==

sin embargo la ecuacin (1.4.5-1) se mantiene an para todas las otras componentes delos desplazamientos.

1.4.6 Condiciones de contorno

Figura 1.4.6-1 Condiciones de contorno de una estructura.

Sin introducir ciertas condiciones en los contornos, los problemas estructurales,

como muchos otros problemas fsicos, no se consideran enteramente definidos. Estascondiciones se especifican o en funcin de fuerzas (fuerzas en los nudos o en los

elementos) o en funcin de desplazamientos. Por ejemplo, para la estructura mostrada enla figura 1.4.6-1 las condiciones de contorno en funcin de los desplazamientos son:

04111 ==== YYX (1.4.6-1)

mientras que las condiciones de contorno de las fuerzas son:

102 =XP

53 =YP (1.4.6-2)

03322 ==== MPMP XY

No obstante el uso de las condiciones de contorno se explica con mayor detalle

posteriormente, se advierte recordar independientemente del mtodo, los resultadosdeben satisfacer estas condiciones. Por ejemplo, los resultados del anlisis indicarn que

la rotacin del nudo 1 de la estructura mostrada en la figura 1.4.6-1 es nula. A los puntos

tales como los 1 y 4 en esta figura, que tienen el desplazamiento especificado por las

condiciones de contorno, se les denomina apoyos de la estructura, y los desplazamientos

en los apoyos prescritos, no necesariamente son iguales a cero como indica la


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ecuacin (1.4.6-1). Estos pueden especificarse como constantes o como funciones en los

problemas que involucran asentamientos en los apoyos o en las uniones semirgidas.

(a) (b) (c)Figura 1.4.6-2 Distintas condiciones de contorno

Adems de estos hay casos donde las condiciones de contorno pueden ser aun

dependientes de otras condiciones. Por ejemplo, en la figura 1.4.6-2(a), para el punto iseespera un asentamiento vertical de magnitud cy la condicin de contorno se especifica

como ciY = . En la figura 1.4.6-2(b), donde el punto iesta apoyado sobre un resorte

que tiene una constante de resorte k, lineal o no lineal, la condicin de contorno viene aser ( )kfiY= . En la figura 1.4.6-2(c), sin embargo, la condicin de contorno en io no

esta especificada o es igual ac, bajo las cargas dadas si ideflecta hacia abajo la cantidadc. Por consiguiente el anlisis del sistema, en ese caso, puede requerir dos etapas.Primero, suponer que no hay prescritas condiciones de contorno en iy ver si la deflexin

vertical de ies mayor o menor que c. Si es menor, la hiptesis es correcta; esto es, no hayapoyo en i, y el anlisis queda terminado. En el otro caso, la estructura deber volverse a

analizar tomando un asentamiento ciY = anlogamente al de la figura 1.4.6.-2(a).

1.4.7 Unicidad de las solucionesEste principio asegura que no son posibles soluciones alternativas a los problemasde anlisis estructural. Para un conjunto dado de cargas externas, tanto la forma

deformada de la estructura y las fuerzas internas as como las reacciones tienen un valor

nico. Este enunciado se conoce como el teorema de unicidad de Kirchhoff, y puede

comprobarse fcilmente con la hiptesis del contrario. Supongamos que un conjunto de

cargas externas puede dar origen a dos modos diferentes de desplazamiento como indica

la figura 1.4.7-1.

Si la figura 1.4.7-1(a) se resta de la figura 1.4.7-1(b), el resultado ser otra forma

deformada de la estructura sin ninguna carga externa sobre ella. Verdaderamente esto no

es posible, lo cual prueba el teorema de unicidad. Este principio tambin es validocuando las deformaciones son causadas por asentamientos de los apoyos, por cambio de

temperatura o por cualquier otra causa.Muy frecuentemente el analista verifica sus resultados por simple comprobacin

del equilibrio completo de toda la estructura (ecuacin (1.4.4-1)). Esta parece ser laverificacin ms simple, pero no puede garantizar que los resultados sean realmente

correctos. Por ejemplo, si del anlisis de la estructura resultan dos respuestas diferentes,


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tales como (a) y (b) de la figura 1.4.7-2, las ecuaciones de equilibrio no pueden

determinar por si solas si es (a) o es (b) la verdadera solucin del problema.

(a) (b)Figura 1.4.7-1 Estructura con dos modos diferentes de desplazamiento.

Un examen de las dos figuras muestra que las ecuaciones de equilibrio de fuerzas

se satisfacen completamente en ambos casos. Sin embargo, los clculos de deflexiones

indican que los desplazamientos relativos de los dos apoyos en la figura 1.4.7-2(a) no son

iguales a cero como deberan serlo de acuerdo con las condiciones de contorno. En la

figura 1.4.7-2(b), sin embargo, esta condicin se satisface tambin. La figura 1.4.7-2(b)es por consecuencia la nicasolucin al problema. Luego, repetimos aqu una vez mas

que la respuesta correcta a cualquier problema estructural es aquella que satisface las

tres condiciones denominadas, equilibrio, compatibilidad y de contorno.

(a) (b)Figura 1.4.7-2 Ejemplo del principio de la unicidad de las soluciones.


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Mtodos Energticos

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CAPITULO 2

MTODOS ENERGTICOSa. Energa de Deformacin

Para los fines de las aplicaciones en la ingeniera, se considera que los cuerpos o

sistemas mecnicos estn formados por materia que consiste en partculas denominadas

puntos materiales y cuyo conjunto constituye la configuracin del sistema. Se dice que el

sistema experimenta una deformacin cuando cambia su configuracin, o sea cuando se

desplazan sus puntos materiales cambiando las distancias relativas entre los puntos.

Si se supone un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo, este se deforma hasta que el

sistema de fuerzas internas equilibra el sistema de fuerzas externas. Las fuerzas externas

realizan un trabajo que se transforma y acumula en el cuerpo. Este trabajo o energa de

deformacin es utilizado por el cuerpo para recuperar su forma cuando cesa la accin delsistema de fuerzas externas. Si el cuerpo recupera exactamente su forma inicial se dice

que es un cuerpo perfectamente elstico, e indica que el trabajo de las fuerzas externasdurante la deformacin del cuerpo se transformo totalmente en energa de deformacin,

desprecindose la perdidas pequeas por cambio de temperatura. En cualquier caso, secumple siempre la ley de la Termodinmica: el trabajo efectuado por las fuerzas externas

ms el calor que absorbe el sistema del exterior es igual al incremento de energa cintica

ms el incremento de energa interna. Por otra parte, el incremento de energa cintica es

igual a la suma de los trabajos de las fuerzas externas y de las fuerzas internas.

En los sistemas elsticos se desprecian las perdidas por calor y la energa interna del

sistema (energa potencial de las fuerzas internas) es la energa o trabajo de deformacin

de dicho sistema.

Las estructuras por lo general se hacen de madera, concreto y acero. Cada una de

ellas tiene diferentes propiedades materiales que deben ser consideradas para el anlisis y

el diseo. Debe conocerse el modulo de elasticidad E de cada material para cualquierclculo de desplazamiento.

Rangolineal

E

1

AceroConcretoMadera

linealRango

E

1

Rangolineal

1

E

Figura 2.1-1 Leyes de esfuerzo-deformacin.

En la figura 2.1-1, se muestran curvas tpicas esfuerzo-deformacin para los tres

materiales antes mencionados. El modulo de elasticidadEse define como la pendiente de

la curva esfuerzo-deformacin. Para deformaciones localizadas a la izquierda de las

lneas punteadas que se muestran en cada grfica, la curva es aproximadamente una lnea


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recta. La pendiente es constante y por ello tambin E lo es. Dentro de esta regin, elcomportamiento se lo denomina lineal.

Considrese la barra elstica de seccin transversal A y longitud L, sujeta a una

carga axialP, aplicada gradualmente, como se muestra en la figura 2.1-2.

L

0

P

( , )P1 1

P Figura 2.1-2 Barra sujeta a una carga axial P. Figura 2.1-3. Relacin P- lineal.

Se supone que se cumple la ley experimental de elasticidad lineal de Hooke,

como se indica en la figura 2.1-3. Donde la fuerza por unidad de rea que soporta unmaterial se suele denominar esfuerzo en el material, y se expresa matemticamente de la

forma:

A

P=

donde es el esfuerzo o fuerza por unidad de rea, Pes la carga aplicada y Aes

el rea de la seccin transversal.

El valor de la deformacin unitaria es el cociente del alargamiento (deformacin

total) y la longitudLen la que se ha producido. Por tanto.

L=

Consideremos de nuevo los diagramas de esfuerzo-deformacin representados en

la figura 2.1-1, y observemos las partes rectilneas. La pendiente de la recta es la relacin

entre el esfuerzo y la deformacin; representada por modulo de elasticidadE.

Pendiente de la lnea esfuerzo-deformacin =

=E

Que suele escribirse de la forma E= Esto no expresa otra cosa que la conocida ley de Hooke. En principio, Hooke solo

enuncio la ley de que el esfuerzo es proporcional a la deformacin. Fue Thomas Young,

quien introdujo la expresin matemtica con una constante de proporcionalidad que sellamo modulo de Young. Finalmente, este nombre se sustituyo por el modulo de

elasticidad o modulo elstico

Otra forma de expresin de la ley de Hooke, muy conveniente a veces, es la que

se obtiene al sustituir por su equivalenteP/Ay por /Lde modo que: E=


17/129

Mtodos Energticos

17

LE

A

P =

O lo que da igual

AE

PL= (2.1-1)

donde: : Deformacin en la barraE: Modulo de elasticidad de Young

La carga P se aplica gradualmente y la deformacin aumenta gradualmente segn

la ecuacin 2.1-1. El trabajo desarrollado en contra de las fuerzas internas del sistema es

= dPW (2.1-2)De (2.1-1)

L

EAP= (2.1-3)

Sustituyendo (2.1-3) en (2.1-2)

== 22

L

EAd

L

EAW (2.1-4)

Por lo tanto

PW2

1= (2.1-5)

C

P

W

W

C

P

Figura 2.1-4. Energa de deformacin Figura 2.1-5. Energa de deformacin

Caso Lineal Caso No Lineal

El trabajo realizado por una fuerza se define como el producto de la fuerza por la

distancia que esta recorre en su propia direccin. Cuando un cuerpo elstico esta

sometido a un conjunto de fuerzas externas, ciertos esfuerzos internos se desarrollan en el

cuerpo, y durante la deformacin de esta, estos esfuerzos realizan algn trabajo. Este

trabajo se designa normalmente como energa de deformacin del cuerpo, siendo W= U.El trabajo energa de deformacin U corresponde al rea sombreada del

triangulo mostrado en la figura 2.1-4, es decir, est representado por el rea bajo la recta.

La ecuacin (2.1-5) se conoce como la Ley de Clapeyron, que nos dice que la

energa de deformacin, cuando la carga se aplica paulatinamente vale la mitad de la

energa que se desarrolla cuando la misma carga se aplica instantneamente.


18/129


18

En el caso de elasticidad no lineal (figura 2.1-5), la energa de deformacin es elrea bajo la curva, como se puede deducir de la ecuacin (2.1-2).

2.2 Energa Complementaria de DeformacinSe denomina energa complementaria de deformacin y se representa con C al

rea arriba de la curva Carga-Deformacin y limitada superiormente por la rectahorizontal que corresponde a la cargaP, cuyo valor se calcula con la integral

= dPC (2.2-1)y tiene importancia al considerar los Teoremas de Castigliano.

Cuando la aplicacin de la carga es instantnea, el trabajo o energa de

deformacin esP, es decir, el rea del rectngulo que corresponde a la suma C+ W.

2.3 Energa Especfica de DeformacinConsiderando el ejemplo de una barra con carga axial mostrado en la figura 2.1-2,

se tiene que el esfuerzo normal es:

A

P= (2.3-1)

y la deformacin unitaria

L

= (2.3-2)

Despejando valores de las ecuaciones (2.3-1) y (2.3-2), y sustituyendo en la ecuacin

(2.1-5)

LAU

2

1= (2.3-3)

donde A L representa un volumen que se puede considerar unitario, obtenindose la

llamada energa especifica de deformacin Uu, es decir la energa de deformacin

almacenada en la unidad de volumen

2

1=

uU (2.3-4)

Esta energa especfica de deformacin indicada en la ecuacin (2.3-4) es la debida al

esfuerzo normal.

Para el caso del esfuerzo cortante considrese una unidad de volumen como se

muestra en la figura 2.3-1 y un corte paralelo al plano xycomo se muestra en la figura

2.3-2.


19/129

Mtodos Energticos

19

y

zx

xP

P

y

P

P

y

xz

Figura 2.3-1. Unidad de Volumen Figura 2.3-2. Elemento sujeto

a fuerza cortanteSe tiene

zx

P

= (2.3-5)

y

y= (2.3-6)

Despejando P y de las ecuaciones (2.3-5) y (2.3-6), y reemplazando en la ecuacin

(2.1-5)

zyxU = 2

1 (2.3-7)

es decir

2

1=uU (2.3-8)

y

z

xz

x

y

z

yxyz

zy

zx

x

xy

Figura 2.3-3 Elemento sujeto al caso general de esfuerzos.

En el caso general de esfuerzos normales y tangenciales que se indica en la

figura 2.3-3, la energa especfica de deformacin por aplicacin gradual de la carga es:

)(2

1zyzyzxzxyxyxzzyyxxu

U +++++= (2.3-9)

donde x, yy zson las deformaciones unitarias en direccin de los ejes respectivos y xy,

xz y yz son las deformaciones angulares en direccin de los planos coordenados

indicados con los subndices.


20/129


20

Obsrvese que por la condicin de equilibrio:

yzzyxzzxyxyx === ,, (2.3-10)

La ecuacin (2.3-9) se obtuvo considerando independientemente los efectos de

los esfuerzos normal y cortante, y sumndolos posteriormente, basndose en el principiode la superposicin de causas y efectos.

Este principio es de uso frecuente en el anlisis estructural y es aplicable amateriales linealmente elsticos, permitindose el anlisis de efectos separadamente,

siendo la suma de ellos el efecto del sistema total. En lo que sigue, se supone que se

cumple siempre el requisito de elasticidad lineal y entonces se aplica el principio de

superposicin.

La energa de deformacin total se obtiene integrando la ecuacin (2.3-9) en todo

el volumen del cuerpo

=V

udVUU (2.3-11)

2.4 Energa de Deformacin en BarrasConsidrese una barra prismtica en el espacio tridimensional, que cumple la Ley

de Hooke y que se encuentra sujeta a los elementos mecnicos: fuerza normal, fuerzas

cortantes, momentos flexionantes y momento torsionante.

Se supone que se cumple el estado de esfuerzos de Saint Venant, o sea:

0=== yxyx

(2.4-1)

Cada uno de los elementos mecnicos se considera por separado y se aplica el principio

de superposicin de causas y efectos, mencionado anteriormente.

1

Efecto de Fuerza NormalSi acta la fuerza normalN, slo se produce el esfuerzo normal

A

Nz= (2.4-2)

Se tiene que

E

zz

= (2.4-3)

y por lo tanto

EU z

zzu 22

1 2 == (2.4-4)

Reemplazando la ecuacin (2.4-2) en la ecuacin (2.4-4) e integrando:

dAAE

NdsU

L

A

N = 0 22

2 (2.4-5)

dondeN,E yAson constantes de una seccin transversal y

AdAA

= (2.4-6)


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Mtodos Energticos

21

Finalmente,

= L

N ds

AE

NU

0

2

2 (2.4-7)

es el trabajo o energa de deformacin por fuerza normal.

2

Efecto del Momento FlexionanteSi acta el momento flexionanteMx, las tensiones normales en un punto cualquiera de la

seccin transversal de la viga en la flexin se determinan por la formula:

yI

M

x

x

z= (2.4-8)

dondeIxes el momento de Inercia de la seccin con respecto al eje x, e yes la distancia

del punto donde se calcula el esfuerzo al eje neutro (eje sin compresin ni tensin).Se cumple la ecuacin (2.4-4) y teniendo en cuenta la ecuacin (2.4-8)

dAyIE

MdsU

L

A x

x

Mx

2

0 2

2

2 = (2.4-9)

dondeMx,E eIxson constantes en una seccin entonces:

x

A

IdAy = 2 (2.4-10)

Por lo tanto

dsIE

MU

L

x

x

Mx = 02

2 (2.4-11)

es el trabajo o energa de deformacin por momento flexionante.

3 Efecto de la Fuerza Cortante

Se considera la fuerza cortante Ty , donde la magnitud de la tensin tangencial sedetermina por la formula de D. Zhuravski:

yx

y

bI

QT= (2.4-12)

donde:

Q= momento esttico del rea limitada entre la fibra en estudio y la fibra ms

alejada de la seccin.

by= ancho de la fibra en estudio

Se tiene

G= (2.4-13)

donde Ges el mdulo de elasticidad transversal y vara entre los valores 0,4Ey 0,5E.

Teniendo en cuenta la ecuacin (2.3-8)

GU

u 22

1 2 == (2.4-14)


22/129


22

Sustituyendo la ecuacin (2.4-12) en la ecuacin (2.4-14) e integrando:

dAbIG

QTdsU

L

A yx

y

Ty = 0 2222

2 (2.4-15)

Recordando que2AI

x= (2.4-16)

dondees el radio de giro de la seccin, entonces se tiene

dAbI

Q

AG

TdsU

yx

L

A

y

Ty 22

2

0

2

2 = (2.4-17)

donde Ty, GyAson constantes en una seccin, entonces:

dAbI

Qk

A yx

= 222

(2.4-18)

k. solo depende de la forma de la seccin (que puede cambiar a lo largo de la barra) y se

denomina coeficiente de forma. En general, la forma de la seccin se conserva aun para

secciones variables a lo largo de la pieza.

Por lo tanto,

dsAG

TkU

L y

Ty = 02

2 (2.4-19)

es el trabajo o energa de deformacin por fuerza cortante.

El coeficiente de forma kvale 1.2 para secciones rectangulares y triangulares, 10/9para secciones circulares yAseccin/Aalmapara perfiles laminados.

4 Efecto de Momento Torsionante

Se ha determinado que una barra sujeta a momento torsionante Mz produce esfuerzos

tangenciales, que para secciones circulares o anulares estn dados por

rJ

Mz= (2.4-20)

donde:

J= momento polar de inerciar= distancia del centro de la seccin al punto en estudio

Se cumple la ecuacin (2.4-14) y se tiene

dArJG

MdsU

L

A

z

Mz = 02

2

2

2 (2.4-21)

dondeMz, G yJson constantes en una seccin, entonces =A

JdAr2 (2.4-22)

Por lo tanto,

= L

z

M ds

JG

MU

z 0

2

2 (2.4-23)


23/129

Mtodos Energticos

23

En la mayora de los casos las secciones no son circulares o anulares y se utiliza elmomento polar de inercia modificado,Jm.

Finalmente,

= L

m

z

M ds

JG

MU

z 0

2

2 (2.4-24)

Para secciones rectangulares3

3

1tbJm= (2.4-25)

donde brepresenta el lado de mayor dimensin y tel de dimensin menor. La frmula se

puede aplicar tambin a secciones cuadradas, en cuyo caso b= t.

zM

M x

M y

NTx

yTy

xz

Figura 2.4-1. Barra curva sujeta a los seis elementos mecnicos.Las frmulas encontradas se aplican a barras de eje recto y de eje curvo. En el

caso general de una barra sujeta a los seis elementos mecnicos (figura 2.4-1), se obtiene

que:

dsGJ

Mds

EI

Mds

EI

Mds

GA

Tkds

GA

Tkds

EA

NU

L

m

zL

y

yL

x

xL y

y

Lx

x

L

+++++= 02

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

222222

(2.4-26)Para una barra en el espacio de tres dimensiones se supone que el eje longitudinal

de la barra pasa por el centroide de las secciones transversales y que las direcciones

principales son tangentes: normal y binormal, coincidiendo las dos ltimas con los ejes

centroidales y principales de la seccin transversal.

Existe una limitacin en cuanto a la curvatura de la pieza ya que en barras de eje

recto la distribucin del esfuerzo normal es lineal, transformndose dicha distribucin en

una curva cuando la barra no es de eje recto. El error es importante cuando la ecuacin

(2.4-26) se aplica a una barra de eje curvo en la cual el radio de curvatura en un punto es

del mismo orden que la dimensin mayor de la seccin transversal en ese punto. Sinembargo, cuando el radio de curvatura en un punto es igual a tres veces la dimensin

mayor de la seccin, el error es de un 2%* y por consiguiente la ecuacin (2.4-26) sepuede aplicar a barras de eje curvo en donde el radio de curvatura en un punto del eje no

es menor que cinco veces la dimensin mxima en ese punto.

*Ver el libro Stregth of Materialsde S. Timoshenko


24/129


24

Es conveniente observar que para el clculo de la energa de deformacin, losefectos de varias cargas aplicadas sucesivamente no son en general simplemente aditivos.

Por ejemplo, si se aplica la fuerza normalN1y despus la fuerza normalN2, la energa de

deformacin no es:

ds

AE

Nds

AE

N LL + 0

22

0

21

22

,

que correspondera a las reas W1y W2, respectivamente, de la figura 2.4-2, sino que vale

dsAE

NNU

L

+

=0

221

2

)( (2.4-27)

que corresponde al rea total bajo la recta.

1W

2W1N

N

N1

2N

Figura. 2.4-2. Aplicacin gradual sucesiva de las fuerzas normales N1y N2.

2.5 Teorema de BettiEnunciado: El trabajo de las fuerzas de un sistema debido a los desplazamientos

que en sus puntos de aplicacin le produce otro sistema de carga es igual al trabajo delas fuerzas del segundo sistema debido a la aplicacin del primer sistema de fuerzas.

Considrese un cuerpo elstico en equilibrio al que se aplican dos sistemas de

cargaAyB, como se indica en las figuras 2.5-1 y 2.5-2, respectivamente

Cada uno de los sistemas de carga se encuentra en equilibrio independientemente,

al igual que su aplicacin simultnea, y se calcula la energa de deformacin debido a la

aplicacin sucesiva de dichos sistemas de carga, aplicados gradualmente.

Si se aplica primero el sistemaAy despus el sistemaB, se tiene

ijijjii PFPU ++=

2

1

2

1 (2.5-1)

donde los ndices repetidos indican suma,* correspondiendo los desplazamientos ia lasfuerzasPiy los ja las fuerzasFj, respectivamente, indicando ijlos desplazamientos de

los puntos de aplicacin de las fuerzasPidebido a la aplicacin del sistemaFj.

*La notacin simplificada de la ecuacin (2.5-1) corresponde al clculo de

=

=

=

++= n

i

m

j

n

i ijiP

jjF

iiPU

1 1 12

1

2

1


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Mtodos Energticos

25

FuerzasPi F

Fuerzasj

(i= 1, 2, , n) (j= 1, 2, , m)

Figura. 2.5-1. SistemaA, aplicando Figura. 2.5-2. SistemaB, aplicando

gradualmente las gradualmente lasfuerzasPi fuerzasFj

El ltimo trmino de la ecuacin (2.5-1) representa el trabajo del primer sistema

de fuerzas debido a los desplazamientos que le causa la aplicacin del segundo sistema

de cargas. Con el trmino de fuerzas se indican fuerzas concentradas y momentos y el

trmino desplazamientos se aplica a desplazamientos lineales y angulares.

De manera semejante, si se aplica primero el sistemaBy despus el sistemaA, se

obtiene:

jijiijj FPFU ++=

21

21 (2.5-2)

Las ecuaciones (2.5-1) y (2.5-2) son iguales ya que representan la misma energade deformacin, debido a que no dependen del orden de aplicacin de los sistemas de

carga.Igualando las ecuaciones (2.5-1) y (2.5-2) se obtiene:

jijiji FP = (2.5-3)

que es el Teorema de Betti

2.6 Teorema de MaxwellSe conoce tambin con el nombre de Teorema de los trabajos recprocos y esun caso particular del Teorema del Betti.

Considrese un cuerpo elstico en el acta una fuerza Pen un punto 1y despus

una fuerzaPen un punto 2, como se muestra en las figuras. 2.6-1y 2.6-2.C

P

A

2

D

B

1

B

D

21

C

A

P

Figura 2.6-1. Aplicacin de la carga Figura 2.6-2. Aplicacin de la carga

Pen el punto 1. Pen el punto 2


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26

Por el Teorema de Betti

2112 = PP (2.6-1)

2112 = (2.6-2)

donde 12es el desplazamiento en 1cuando Pse aplica en 2y 21es el desplazamiento

en 2cuandoPse aplica en 1.

Enunciado: El desplazamiento de un punto 1 en la direccin AB cuando en el

punto 2 acta una fuerza P en la direccin CD es igual al desplazamiento del punto 2 en

la direccin CD cuando en el punto 1 acta una fuerza P en la direccin AB.

Como ejemplos de aplicacin de este Teorema, considrense las estructuras presentadasen la figura 2.6-3.

Estructura I

1

32

4

P

2 3

b) Estructura II

13 23

P

c) Estructura III

M31

Figura 2.6-3. Estructuras para la aplicacin del Teorema de Maxwell.

De las estructuras I y II

3223 = PP (2.6-3)

3223 = (2.6-4)

Estos resultados permiten, en un trabajo experimental con una carga mvil,

verificar la exactitud de las mediciones o la posibilidad de efectuar la mitad de dichas

mediciones.De las estructuras II y III

1331 MP = (2.6-5)

SiPyMson iguales o unitarios

1331 = (2.6-6)

lo que permite medir desplazamientos lineales producidos por un par de fuerzas o giros

producidos por una fuerza, siendo dichas deformaciones iguales numricamente, salvo la


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Mtodos Energticos

27

existencia de un factor de escala debido a la diferencia entre las unidades de fuerza y lasde momento.

2.7 Teoremas de CastiglianoEn el ao 1870, el ingeniero ferroviario italiano Alberto Castigliano public en

dos partes su trabajo sobre la variacin de la energa de deformacin de los sistemaselsticos. Las partes I y II de su trabajo se conocen frecuentemente como primer y

segundo teorema de Castigliano respectivamente.

Primer Teorema de Castigliano:

Enunciado: Si se aplica un conjunto de cargas sobre una estructura linealmente

elstica y la energa de deformacin U se expresa como una funcin de los

desplazamientos en los puntos de aplicacin de las cargas y acta en sus direcciones, la

derivada parcial de U con respecto a uno de estos desplazamientos ies igual a la carga

(esfuerzo) correspondiente Pi.

i

i

PU =

(2.7-1)

La ecuacin (2.7-1) se conoce como el primer Teorema de Castigliano cuando seaplica a fuerzas concentradas y desplazamientos lineales.

Segundo Teorema de Castigliano

Enunciado: La derivada parcial de la energa de deformacin con respecto a una

fuerza que acta en un cuerpo es igual al desplazamiento del punto de aplicacin de la

fuerza en la direccin de dicha fuerza.

Considrese un cuerpo elstico sujeto a la accin de un sistema de fuerzas, como

se muestra en la figura 2.5-1. El trabajo o energa de deformacin esta en funcin de las

fuerzas es decir,

)( iPUUW == (2.7-2)

Si esta funcin se supone diferenciable

ii

i

PPP

UU +

= (2.7-3)

donde tiende a cero cuando Pitiende a cero y recprocamente.

Supngase que se aplica primero el sistema Pi, y despus el sistema Pi,

obtenindose:

iiiiiiPP PPPU

ii ++= 2

1

2

1, (2.7-4)

donde

iiiP PU 2

1= (2.7-5)


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28

o sea que

iiiiPPP PPUUU

iii +== 2

1, (2.7-6)

Igualando las ecuaciones (2.7-3) y (2.7-6)

iiiiii

i

PPPP

P

U +=+

2

1 (2.7-7)

Dividiendo ambos miembros entre Piy tomando lmites cuando Pi tiende a cero, seobtiene finalmente que

i

iP

U=

(2.7-8)

Similarmente la derivada parcial de la energa de deformacin con respecto a un

momento que acta en un cuerpo es igual a la rotacin del punto de aplicacin del

momento en la direccin de dicho momento lo que se expresa con:

i

iM

U=

(2.7-9)

Las ecuaciones (2.7-8) y (2.7-9) corresponden al caso particular representado por

el diagrama de la energa de deformacin caso lineal figura 2.1-4, es decir, cuando la

energa de deformacin es una expresin cuadrtica en los desplazamientos como se

presentan en la ecuacin (2.1-4). Si la ecuacin (2.1-5) se expresa solo en funcin deP,

sustituyendo en ella la ecuacin (2.1-1), y se deriva con respecto a P se obtiene la

ecuacin (2.7-8).

El Teorema de Castiglianogeneralizadose refiere a la energa complementaria de

deformacin y se deriva con respecto aPen la ecuacin (2.2-1), obteniendo la ecuacin *

i

iP

C=

(2.7-10)

La ecuacin (2.7-10) se conoce tambin como el verdadero teorema deCastigliano. La derivacin presentada de los Teoremas de Castigliano se ha efectuado

entonces para el caso particular en que la energa de deformacin complementaria esigual a la energa de deformacin C = U, debido a que se trata estructuras linealmente

elsticas, que es la hiptesis usual en la mayora de los casos. Para condiciones distintas

se deber hacer uso de la ecuacin (2.7-10).

* La derivacin de la integral (2.2-1) se efecta aplicando el Teorema Fundamental del Clculo Diferencial eIntegral, que establece que la derivada de una integral con respecto a la variable de integracin es igual al

integrando, para funciones continuas (consltese cualquier libro sobre Clculo Diferencial e Integral).


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Mtodos Energticos

29

2.8 Principio del Trabajo VirtualEl trabajo realizado por las fuerzas externas durante la deformacin del cuerpo

ocasionado por estas fuerzas se denomina trabajo externo o simplemente trabajo. Ahora

el concepto de trabajo se extender al fenmeno en el cual el trabajo es realizado por un

sistema de cargas durante su desplazamiento debido a causas diferentes a las cargas en si

mismas. Por ejemplo, si se toma un cuerpo rgido en equilibrio bajo el sistema de fuerzasP como se muestra en la figura 2.8-1, y se supone que el cuerpo se mueve como un

cuerpo rgido a causa de algunos otros efectos independientes del sistema P, y que toma

una nueva posicin como se indica con las lneas a trazos, el trabajo realizado por lasfuerzas P durante este pequeo movimiento se llama trabajo virtual y a los

desplazamientos vilos llamaremos desplazamientos virtuales.

11

n

n

i

2

2

iP

P

P

PFigura 2.8-1 Cuerpo rgido en equilibrio bajo el sistema de fuerzas P.

En consecuencia, el trabajo virtual es

=

=n

i

iid vPW1

(2.8-1)

Puesto que el cuerpo ha experimentado un movimiento de cuerpo rgido, viser el mismo

en todas partes, o sea 0vvi = ; por consiguiente

=

=n

i

id PvW

10 (2.8-2)

Sin embargo, como se estableci previamente, el cuerpo estaba en equilibrio bajo el

sistema de cargasP, luego

01

==

n

i

iP (2.8-3)

que hace

0=d

W (2.8-4)

La ecuacin (2.8-4) establece que si un sistema de fuerzas que acta sobre uncuerpo rgido esta en equilibrio, cuando al cuerpo se le de un pequeo desplazamiento

virtual, el trabajo total realizado por esas fuerzas es igual a cero. Inversamente, si eltrabajo realizado por un sistema de fuerzas que acta sobre un cuerpo rgido es cero,

entonces dicho cuerpo esta en equilibrio.

Este enunciado que normalmente se conoce como el principio de trabajo virtual

de Bernoulli, puede aplicarse tambin a un cuerpo deformable. Por ejemplo, supongamos


30/129


30

que el cuerpo elstico mostrado en la figura 2.8-2 esta sometido a un conjunto de fuerzasPy permanece en equilibrio en su forma deformada. Un elemento diferencial sacado del

cuerpo estar tambin en equilibrio bajo la accin de los esfuerzos desarrollados en su

contorno interior por el sistema de fuerzasP.

n+1

n

n-1

1i

2

i

i

P

PP

PP

P

Figura 2.8-2. Cuerpo elstico sometido a un conjunto de fuerzas P.

Supongamos ahora que por alguna razn, por ejemplo otro conjunto de cargas, la

temperatura, etc., el cuerpo se deforma mientras el sistema de cargasPesta presente.Verdaderamente, durante su deformacin cualquier elemento diferencial como el

que se muestra achurado en la figura 2.8-2 se desplazara y los esfuerzos virtuales sobre

sus contornos realizaran algn trabajo. Designemos este trabajo por dWs. Parte de este

trabajo se debe al movimiento como cuerpo rgido del elemento y la otra parte se debe al

cambio de forma del elemento. Ya que al cambio de forma del elemento lo hemos

llamado deformacin del elemento, el trabajo realizado por los esfuerzos Pdurante tal

deformacin se llamara dWd. En consecuencia, la parte remanente del trabajo, dWs dWd, se realiza por los esfuerzos P durante el movimiento del elemento como cuerpo

rgido, sin embargo como los esfuerzos sobre los contornos del elemento estn en

equilibrio, el trabajo realizado por ellos durante el movimiento de cuerpo rgido es igual acero.De donde

0= ds WdWd (2.8-5)

o, para el cuerpo completo

0= ds WW (2.8-6)

donde Wsrepresenta la suma de los trabajos virtuales realizados por los esfuerzosPsobre

los contornos de cada elemento del cuerpo. Sin embargo, cada elemento tiene superficiesde contorno comunes con el elemento adyacente en las cuales los esfuerzos son iguales y

opuestos uno a otro. Verdaderamente, el trabajo realizado por los esfuerzos iguales yopuestos durante el mismo desplazamiento es igual a cero. Como resultado de esto, el

trabajo realizado por los esfuerzosPen todas las superficies de contorno interiores suma

cero. Por tanto, Ws ser nicamente el trabajo realizado por las fuerzas externas P

aplicadas sobre los contornos externos.


31/129

Mtodos Energticos

31

En consecuencia, la ecuacin (2.8-6) establece que si un sistema de fuerzas P

acta sobre un cuerpo deformable est en equilibrio cuando en el cuerpo se presentan

pequeas deformaciones ocasionadas por otros efectos, el trabajo virtual externo

realizado por las fuerzas P es igual al trabajo virtual interno realizado por los esfuerzos

P.

Este enunciado es vlido independientemente de la causa o el tipo de deformacinvirtual teniendo en cuenta que durante las deformaciones virtuales la geometra de las

estructuras no se altera apreciablemente y que las fuerzasPpermanecen en equilibrio.

2.9 Energa PotencialLa energa potencial es la capacidad que tiene un cuerpo o un sistema mecnico

de realizar un trabajo debido a su posicin o configuracin.

La energa potencial V del sistema es la suma de la energa potencial de las

fuerzas externas y de la energa potencial de las fuerzas internas. Para sistemas elsticos,la energa potencial de las fuerzas internas es igual a la energa o trabajo de deformacin

del sistema, por consiguiente V = U.

2.10 Energa Potencial EstacionariaEl principio de trabajo virtual es equivalente a la condicin V = U = 0, en

donde U es la diferencial de primer orden de la energa potencial y se refiere a los

desplazamientos virtuales xi.

Si el sistema tiene ncoordenadas generalizadasxi,

i

n

i i

xx

UU

=

=1

i.= 1, 2,, n (2.10-1)

La condicin de que Usea nula para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales

xise cumple si:

0=

ix

U i = 1, 2,, n (2.10-2)

lo que se conoce como el principio de energa potencial estacionaria, que se puede aplicar

en el anlisis de las estructuras.


32/129


32

h/2

h/2

b

y

y

x

Ejemplos de Aplicacina. Calcular el coeficiente de forma de una seccin rectangular. Considrese la

seccin rectangular siguiente:

Se tiene

bbhbh

Iyx

=== ,12

,12

22

3

+

=

+

= yh

yhbyh

yyh

bQ2222

2

2

= 2

2

42 yhbQ

Sustituyendo estos valores en la ecuacin (2.4-18)

dAbI

Qk

A yx

= 222

en la regin[ ]2/,2/,2/,2/ hhbbRx =

dyb

hbh

yhb

dxk

b

b

h

h

=

2/

2/

2/

2/2

32

2

22

1212

42

+=

2/

2/

4224

5 216

36 hh

dyyyhh

hk

2/

2/

5324

5 53216

36 h

h

yyhy

h

hk

+=

60

72

80

1

24

1

16

136 =

+=k

2,1=k


33/129

Mtodos Energticos

33

b.

Calcular el desplazamiento en el centro de la viga considerando losefectos del momento flexionante y de fuerza cortante. Qu porcentajedel desplazamiento por momento es el desplazamiento por cortante?

EI= constante,G= 0.5Eh/L= 0.1seccin rectangular

LxL

L

xPx

P

M

LxxP

M

+=

=

2;22

20;2

2

1

LxL

P

T

LxP

T

=

=

2;2

20;2

2

1

Por simetra de geometra y de cargas slo se necesita considerar la mitad de la viga,duplicando los resultados. Se tiene,

dxAG

Tkdx

IE

MU

L L yx +=2/

0

2/

0

22

22

22

dxP

AG

kdxx

P

IEU

L L

+

=2/

0

2/

0

22

22

2

22

2

2483

1

4

1 232 LP

AG

kLP

IEU +=

AG

LP

IE

LPU

8

2.1

96

232

+=

Aplicando el Teorema de Castigliano

AG

LP

IE

LP

P

U

4

2.1

48

3

+=

=

Se tiene

024.04.25.0

12/)12(2.148

4

2.12

2

3

3 =

===L

h

LhbE

bhE

LP

IE

AG

LP

x

y

M

T

Es decir

xM%2.4=

yT

En los casos usuales, el efecto de la fuerza cortante es muy pequeo en comparacin con elefecto del momento flexionante, y por lo tanto en lo que sigue slo se considera el efecto demomento flexionante.


34/129


34

Mtodo energtico de clculo para sistemas hiperestticos2.11. Determinacin de los desplazamientos elsticos generalizados

La expresin que determina la energa potencial de la deformacin elstica U

acumulada por el cuerpo o el sistema durante la accin esttica de las fuerzas, puede ser

representada por una funcin homognea, de segundo orden, de las fuerzas generalizadas

Pi o de los desplazamientos generalizados i, si entre los ltimos existe dependencialineal.

Las fuerzas generalizadas Pi estn constituidas por cualquier tipo de accin

(fuerzas, momentos, grupo de fuerzas, grupo de momentos, etc.) que convienen destacar

para la obtencin de la energa potencial.

Los desplazamientos generalizados i son magnitudes que determinan los

desplazamientos en los que las fuerzas generalizadas realizan trabajo (por ejemplo, a la

fuerza concentrada le corresponde un desplazamiento lineal, al momento un

desplazamiento angular, etc.).El desplazamiento generalizado elstico que ocurre en el cuerpo o en el sistema,

bajo la accin de las fuerzas generalizadas, se puede obtener por la formula deCastigliano,

0=

=FP

F

F

P

U

siendoPFla fuerza ficticia generalizada correspondiente al desplazamiento generalizadoque se busca. Esta fuerza se aplica al cuerpo o sistema en el lugar donde se halla el

desplazamiento; UF, la energa potencial de la deformacin elstica del cuerpo o sistemadado por una funcin homognea de segundo orden de todas las fuerzas generalizadas

que actan Piy de la fuerza ficticia generalizada PF. Si en el lugar donde se busca el

desplazamiento generalizado existe una fuerza generalizada dada P, correspondiente aldesplazamiento generalizado que se halla, entonces desaparece la necesidad de aplicarPF

y entonces:

P

U

=

Si 00

=FPF

F

P

U 0

P

U, la direccin del desplazamiento generalizado

coincidir con la direccin de la fuerzaPFP.

Si 00

=FPF

F

P

U

0

P

U

, la direccin del desplazamiento generalizado ser

opuesta a la direccin de la fuerzaPFP.

El desplazamiento lineal obtenido por la formula de Castigliano constituye la

proyeccin del desplazamiento lineal del punto de aplicacin de la fuerza

correspondiente, sobre la direccin de la lnea de accin de esta fuerza.


35/129

Mtodos Energticos

35

2.12. Mtodo de la fuerza ficticia generalizada unitaria mtodo de la cargaunitaria

En el caso ms general de solicitacin sobre un sistema elstico de barras,

constituido por los elementos rectos cuyo eje centroidal coincide con el eje x, los

desplazamientos generalizados conviene calcularlos por la formula de Maxwell-Mohr,

x

z

ytM

M y

M z

NTy

zT

dxAG

tTkdx

AG

tTkdx

JG

mMdx

IE

mMdx

IE

mMdx

AE

nNzz

z

yy

y

m

tt

y

yy

z

zz +++++=

siendo:N, Mz, My, Mt, Ty, Tz, respectivamente, los esfuerzos en una seccin transversal

arbitraria de cada tramo del sistema, originados por todas las fuerzas

generalizadas que actan sobre el sistema;n, mz, my, mt, ty, tzlos mismos esfuerzos pero originados solamente por la fuerza

ficticia generalizada unitaria aplicada al sistema y correspondiente aldesplazamiento generalizado que se busca;

E y G los mdulos de elasticidad longitudinal y tangencial del material delcorrespondiente tramo del elemento;

Ael rea de la seccin transversal donde se determinan los esfuerzos;

IzeIylos momentos centrales principales de inercia del reaA;Jmel momento de inercia a la torsin del reaA o momento de inercia polar

kyy kzlos coeficientes que dependen de la forma de la seccin y que caracterizan

la desuniformidad de las tensiones tangenciales en la flexin;

dxel elemento geomtrico del tramo.

La integracin se lleva a cabo sobre la longitud de cada tramo y la suma, sobre

todos los tramos.

En el caso de sistemas planos constituidos por barras articuladas, con fuerzas

aplicadas en los nudos,

lAE

nN

= siendo llas longitudes de los tramos.

En el caso de sistemas cuyos tramos sufren exclusivamente torsin,

dxJG

mM

m

tt=


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36

En el caso de sistemas planos constituidos por vigas y columnas que formanprticos en los que la influencia deNy Tsobre la deformacin es pequea,

dxIE

mM=

En el caso de sistemas de elementos de curvatura pequea,

dsIE

mM=

siendo dsel elemento del eje geomtrico del tramo curvilneo.

Si el clculo se realiza con mayor exactitud,

dsIE

mMds

AE

nN +=

2.13. Principio del trabajo mnimo para el clculo de sistemas hiperestticos

El clculo de los sistemas elsticos hiperestticos se puede realizar basndose enel principio del trabajo mnimo. Segn este principio los valores de las incgnitas

superfluas denominadas redundantesconstituidas por fuerzas generalizadas son tales que

realizan el trabajo mnimo posible.

La resolucin de los problemas se realiza segn el esquema siguiente:

El sistema hiperesttico se libra de las ligaduras superfluas hasta convertirse en

isosttico y cinemticamente invariable, obteniendo el as llamadosistema base.

Para que el sistema base sea equivalente al dado, el primero se solicita por todas

las fuerzas Pi, que actan sobre el sistema dado, ms todas las fuerzas generalizadas xi

superfluas desconocidas que constituyen las incgnitas.

Se determinan despus la energa potencial de la deformacin elstica del sistemabase en funcin de segundo orden dePiyxi

Puesto que los desplazamientos generalizados correspondientes a las fuerzas

generalizadas superfluas desconocidas son iguales a cero, se plantean las ecuaciones

siguientes:

( ),3,2,10 ==

ix

U

i

(2.13-1)

De estas ecuaciones se determinan todas las fuerzas generalizadas superfluasdesconocidasxi.

Las ecuaciones (2.13-1) constituyen las condiciones del mnimo de la energapotencial de la deformacin elstica del sistema en funcin de las fuerzas generalizadas

superfluas desconocidas.En el caso de sistemas constituidos por barras las ecuaciones del principio del

trabajo mnimo pueden ser expresadas por la formula de Maxwell-Mohr.


37/129

Mtodos Energticos

37

Si el sistema consta de elementos rectilneos sometidos a traccin, compresin,flexin recta y torsin, entonces cada ecuacin del tipo (2.13-1) se puede escribir en la

forma siguiente:

0=+++ dxJGmM

dxAG

tTkdx

IE

mMdx

AE

nN

m

tt (2.13-2)

siendo N, M, T y Mt los esfuerzos correspondientes en una seccin cualquiera de cadatramo del sistema base equivalente, originados por todas las fuerzas dadasPiy las fuerzas

generalizadas superfluas desconocidasxi;n, m, t y mt los mismos esfuerzos en el sistema base pero originados

exclusivamente por una de las fuerzas generalizadas superfluas desconocidasxi=1.Por consiguiente, para resolver un problema hiperesttico de grado de

hiperestaticidad n se debe analizar n+1 estados: el estado bsico equivalentecorrespondiente a la accin de las fuerzas Piy xi; y nauxiliares cada uno de los cuales

corresponde a la accin de cada una de las fuerzasxi=1.

En el caso de sistemas planos constituidos por barras articuladas con fuerzas

aplicadas en los nudos, las ecuaciones (2.13-2) se simplificaran considerablemente,

0= dxAE

nN

En el caso de sistemas planos constituidos por vigas y columnas que dan lugar a

los prticos, en los que el valor de los esfuerzos axialesNy de las fuerzas cortantes Tes

pequeo, se puede emplear la ecuacin simplificada,

0= dxIEmM

En los sistemas cuyos elementos estn sometidos a torsin exclusivamente,

0= dxJGmM

m

tt

En las barras hiperestticas planas de curvatura pequea,

0= dsIEmM

Si se desea realizar un clculo ms preciso, las ecuaciones se deben plantearteniendo en cuenta tambin los esfuerzos axiales,

0=+ dsIEmM

dsAE

nN

La eliminacin de las ligaduras superfluas en el sistema estticamente

indeterminado debe realizarse de manera tal que el sistema base resulte lo ms simple y

cmodo posible para el clculo.


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38

Figura 2.13-1 Figura 2.13-2Prtico geomtricamente simtrico Prtico geomtricamente simtrico

con cargas simtricas. con cargas antisimtricas.

Los sistema geomtricamente simtricos solicitados por cargas simtricas figura2.13-1(a) o antisimtricas figura 2.13-2(a) conviene librarlos de las ligaduras superfluas,

cortndolos por el plano de simetra. Esto conduce a la disminucin del nmero defuerzas generalizadas superfluas desconocidas y solo permite analizar una de las partes

seccionadas del sistema figura 2.13-1(b) y figura 2.13-2(b).

Figura 2.13-3 Esfuerzos producidos al seccionar un elemento por simetra.

En la seccin que coincide con el plano de simetra, en el caso de carga simtrica,

desaparecen los esfuerzos antisimtricos Ty Mty, en el caso de carga antisimtrica, los

esfuerzos simtricosNyMfigura 2.13-3.


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40

Si el sistema hiperesttico se somete solamente a una variacin de la temperatura,entonces los trminos independientes de las ecuaciones cannicas sern it,

desplazamientos generalizados correspondientes a la fuerza generalizada superflua

unitaria i en el sistema base originados por la variacin de la temperatura. Si sobre el

sistema actan simultneamente una carga y una variacin de la temperatura, entonces

los trminos independientes de las ecuaciones cannicas sern la suma de ip +it.Durante el montaje, para tener en cuenta los errores cometidos en la fabricacin

de los elementos del sistema, se introducen en los trminos independientes de las

ecuaciones cannicas las magnitudes ique expresan los desplazamientos generalizados

correspondiente a la fuerza generalizada superflua ien el sistema base, originados por los

errores de fabricacin.

Se escoge el signo positivo o negativo de estos desplazamientos it y isegn

coincidan o no las direcciones de los desplazamientos con la direccin admitida paraxi.

En el caso de sistema de un grado de hiperestaticidad la ecuacin cannica delmtodo de las fuerzas ser:

01111 =+ px

resultando para la fuerza generalizada superflua desconocida:

11

11

p

x = (2.14-2)

Si se calculan los sistemas formados por vigas y columnas que dan lugar a los

prticos de un grado de hiperestaticidad o sistemas de elementos curvilneos de poca

curvatura, en los cuales la influencia de los esfuerzos axiales y de la fuerza cortante es

pequea, entonces:

dsIE

mMip

= ; ds

IE

M

=

2

11

y

dsIE

M

dsIE

mM

x

=

21 (2.14-3)

siendo dsun elemento de la longitud del eje geomtrico del tramo.

2.15 Clculo de anillos planos de paredes delgadas

Se entiende por anillo plano de paredes delgadas cualquier sistema elstico planode barras cerrado, cuyas longitudes de los tramos son mucho mayores que las

dimensiones de las secciones transversales. Este sistema es de triple hiperestaticidad. Son

incgnitas superfluas el momento flector,x1, el esfuerzo axialx2y la fuerza cortantex3, es

decir, los esfuerzos interiores que surgen en la seccin transversal que se traza paraobtener el sistema base, figura 2.15-1. Entonces, los sistemas cerrados son de

hiperestaticidad interna.


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Mtodos Energticos

41

Figura 2.15-1 Esfuerzos interiores de la seccin transversal de anillos de paredes delgadasLa hiperestaticidad de los anillos se puede vencer ya sea por el principio del

trabajo mnimo o (lo que es ms cmodo) mediante ecuaciones cannicas del mtodo de

las fuerzas. Puesto que los anillos son de paredes delgadas, al plantear las ecuaciones

para vencer la hiperestaticidad es suficiente considerar solamente la deformacin

originada por el momento flector.

Figura 2.15-2 Figura 2.15-3Si el anillo y la carga son simtricos respecto a uno de los ejes figura 2.15-2(a),

entonces en las secciones transversales que coinciden con el eje de simetra, las fuerzas

cortantes sern iguales a cero. Por lo tanto, sern incgnitas superfluas solamente el


42/129


42

momento flector (x1 x1) y el esfuerzo axial (x2 o x2). Entonces, se puede analizar,solamente la mitad simtrica del anillo en lugar de analizarlo todo figura 2.15-2 (b) (c)

Si el anillo y la carga son simtricos respecto a dos ejes figura 2.15-3(a), entonces

en las secciones situadas en los ejes de simetra las fuerzas cortantes sern iguales a cero

y las fuerzas axiales se podrn obtener de las ecuaciones de la esttica como la suma de

las proyecciones de las fuerzas y esfuerzos aplicados a la mitad de anillo, sobre el eje desimetra correspondiente. En este caso solamente el momento flector (x1 o x1) ser

incgnita superflua. Entonces es suficiente analizar en lugar de todo el anillo solamente

la cuarta parte ubicada entre los ejes de simetra figura 2.15-3 (b) (c).

Si el anillo tiene ms de dos ejes de simetra, entonces se podr analizar

solamente la parte del anillo ubicada entre las secciones que se encuentran entre los ejes

contiguos de simetra.

En estas secciones las fuerzas cortantes sern nulas, los esfuerzos axiales se

obtendrn de las ecuaciones de la esttica y solo el momento flector ser incgnitasuperflua.


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Mtodos Energticos

43

a.

Dado q, a,E,Ien un anillo de paredes delgadas solicitado simtricamente

respecto al eje y. Determinar , la variacin de la longitud del dimetro

vertical del anillo por accin de la carga q.

SOLUCION:

ceng = g: grado de hiperestaticidad035 =g n: nmero de reacciones

2=g redundantes e: ecuaciones de equilibrio de la estticac: ecuaciones especiales de la esttica

Carga distribuida:

dsqR= dads=

Descomponiendo:

===

0 0

qadaqdsqVq

==

000dsH

q

===

0

2

0

2 2 qadsenaqsenadsqMqA


44/129


44

Esttica

22 00 xHxHH AA ==+=

qaVqaVV AA === 00

( ) qaxxaMaxMxMMA

q

AAA

21221 22020 +==+=

( ) ( ) ( ) +===

0 0

22 sen1cossen-sensensen qadaqaadsqMq

0( ) cos21 aaxxMM

q =

( ) ( )

cos1cossen 212 aaxxqaM +=

11

=

x

M cos

2

aax

M+=

==

= l

ii

l

dxx

MM

x

Uds

IE

MU

011

0

2

02

==

= l

i

i

l

dxx

MM

x

Uds

IE

MU

022

0

2

02

( ) ( )( )( ) ++==

0 21

2

1

coscos1cossen2

10 daaaaaxxqaEIx

U

064 212 =++ xaxqa (1)

( ) ( )( )( ) +==

0 21

2

2

1cos1cossen2

10 daaaxxqa

EIx

U

021 =+ xax (2)Resolviendo (1) y (2)

qax 21 2

1= qax

2

12=

Deformacin

0

senam =


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Mtodos Energticos

45

= l

ii dsmM

EI 01

=

0dsmMEI

( ) ( ) ( )

++=

0

22 sencos2

1

2

11cossen daaaaqaqaqaIE

EI

aq 422

4

=

Resolviendo por el mtodo de las fuerzasAnalizamos la mitad del anillo; en la seccin que se encuentra el eje y, la fuerza

cortante x3 es igual a cero; el momento flector x1 y la fuerza axial x2 se interpretan comofuerzas generalizadas superfluas desconocidas o redundantes.

Las ecuaciones cannicas del mtodo de las fuerzas son:

=++=++

00

2222121

1212111

p

p

xxxx

Calculamos el momento flector en una seccin transversal arbitraria determinada por elngulo, debido a la carga dada q.


46/129


47/129

Mtodos Energticos

47

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:

qaxqax2

1;

2

12

21 ==

El momento flector en la seccin :( ) ( ) cos1cossen 21

2 aaxxqaM +=

( ) ( ) cos21

211cossen 22 aaqaqaqaM ++=

Para determinar la variacin de la longitud dimetro vertical del anillo, aplicamos una fuerzaverticalP=1 dirigida hacia abajo.

El momento flector originado por esta fuerza en la seccin es: senam =

=

0dsmMEI

( ) ( ) ( )

++=

0

22 sencos2

1

2

11cossen daaaaqaqaqaIE

EI

aq 422

4

=


48/129


48

Ejemplos de Aplicacin.

1-1. Calcular el desplazamiento lineal en el punto medio de la viga y el giro en el apoyo A;dondeEIes constante.

20;22

2

1 Lxxq

xqL

M +=

20;22

2

2 Lxxq

xqL

M =

xm2

11 = 2/0; Lx

Teniendo en cuenta la simetra de geometra y cargas en las dos vigas anteriores

= l

ii dsmM

EI 01

= 20 112L

dxmMEI

+= 20

2

222

12

L

dxxxq

xqL

EI

EI

qLqLqL

EI 384

5

25696

2 444=

=


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Mtodos Energticos

49

Para calcular el giro en el apoyo A:

L

xm += 11 20; Lx

L

xm =2 20; Lx

= l

ii dsmMEI 0

1

+=2

0 22

2

0 11

LL

A dxmMdxmMEI

+

+

+= 2

0

2

2

0

2

22

11

22

1

LL

A dx

L

xxqx

qL

EIdx

L

xxqx

qL

EI

EI

qLA 24

3

=

2.5. Encontrar el giro en el apoyo A de la siguiente viga; dondeEIes constante.

xP

M21

= 2/0; Lx

xP

M

22= 20; Lx


50/129


50

L

xm += 11 20; Lx

L

xm =2 20; Lx

= l

ii dsmM

EI 0

1

+= 20 2220 111LL

dxmMdxmMEI

+

+= 20

2

01 2

11

2

1

L L

dxL

xx

P

EIdx

L

xx

P

EI

EI

PL

16

2

1=


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Mtodos Energticos

51

2.6. Calcular el desplazamiento del punto medio de la viga; dondeEIconstante

Se puede utilizar los resultados obtenidos en el ejemplo 2.4 y sumarle a la viga simplementeapoyada

La estructura

MM =1 Lx0;

Con la condicin de que MProduzca el giro A calculado en el ejemplo 2.4. Se utiliza laestructura

11 +=L

xM Lx0;


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52

Y se tiene

( ) ==

+=

L

EI

LM

E

Documents

Metodos Energeticos, Matriz de Flexibilidad y Rigidez 8-11-2014