Metodos Bayesianos para Procesamiento de Imagenes

Jos Luis Marroqun

Escuela de Probabilidad y Estadstica 2007

Centro de Investigacin en MatemticasGuanajuato, Mxico

EN GENERAL, LOS PROBLEMAS DE VISIN COMPUTACIONAL Y PROCESAMIENTO DE

IMGENES ESTN MAL PLANTEADOS EN UN SENTIDO MATEMTICO

LAS OBSERVACIONES NO DETERMINAN DE MANERA NICA LA SOLUCIN

f ? TransformacinNo-invertible

Ruido

ObservacionesCampo incgnita

Problemas Mal Planteados

f ? TransformacinNo-invertible

Ruido

Reconstruccin

f ? TransformacinNo-invertible

Ruido

Campo incgnita

f ? TransformacinNo-invertible

Ruido

f ? TransformacinNo-invertible

Ruido

Campo incgnita Reconstruccin

f ? TransformacinNo-invertible

Ruido

Reconstruccin

f ? TransformacinNo-invertible

Ruido

f ? TransformacinNo-invertible

Ruido

Campo incgnita

Restauracin (Eliminacin de Ruido)

Segmentacin

Materia gris

Materia blanca Fondo

Recuperacin de profundidad a partir de pares estereoscpicos

Reconstruccin del campo de movimiento

Transformacinno-invertible

Ruido Imagenobservada

f(x,y)

Campo original

I(x,y)

Problema de reconstruccin

Algoritmo de reconstruccin

Campo reconstrudo

Transformacinno-invertible

Ruido Imagenobservada

f(x,y)

Campo original

I(x,y)

Problema de reconstruccin

Conocimiento a priori

Algoritmo de reconstruccin

Campo reconstrudo

Transformacinno-invertible

Ruido Imagenobservada

f(x,y)

Campo original

I(x,y)

Problema de reconstruccin

Modelo General f Modelo de Observaciones Observaciones

Algoritmo de reconstruccinf estimada

mscompatible

con (1),(2),(3)

(1) (2) (3)

Proporciones dadas

Suave

Constante a trozos

Suave a trozos

Modelosgenerales deImgenes

Estimacin Bayesiana: Mtodo formal para incluir conocimiento a priori en el

algoritmo de reconstruccin.

Basado en las ideas del Reverendo Thomas Bayes (1701-1761)

.P(g|f) = Pn(g-f)

P(f)

P(f|g) = P(g|f) P(f) / Z

Estimacin Bayesiana: g = f + nEstimar f dado g

g

Ejemplo: g = 60 P(g | f=20) = P(n=40)

f

Ingredientes para la EstimacinBayesiana:

Modelo de las observaciones (verosimilitud) Modelo del campo que se desea estimar

(distribucin a priori) Encontrar la distribucin a posteriori (regla de

Bayes) Especificar la funcin de costo. Encontrar el estimador ptimo (MAP, MPM,)

Ejemplo: restauracin de imgenes suaves:

Modelo de observaciones:

n(x) : variables aleatorias normales, independientes, con media 0

)()()( xnxfxg +=

[ ]22 2/exp1))(( wZ

wxnP ==

Verosimilitud: P(g | f)

[ ]22 2/))()((exp1))()()(())(|)((

xfxgZ

xfxgxnPxfxgP

=

==

)()()( xnxfxg +=

Puesto que n(x) es independiente de n(y)

= x xfxgPfgP ))(|)(()|(

= x

xfxgZ

fgP 22 ))()((21exp

'1)|(

Modelo de observaciones:

Porque n(x) es normal

Definicin: F es un CAM (MRF) en una retcula L con respecto a un sistema de vecindades N si y slo si

MODELOS DE IMGENES: CAMPOS ALEATORIOS MARKOVIANOS

Teorema de Hammersley-Clifford : F es un CAM en una retcula L con respecto a un sistema de vecindades

Donde la suma se toma sobre todas las pandillas (cliques) del sistema de vecindades.

Si y slo si

MODELOS DE IMGENES: CAMPOS ALEATORIOS MARKOVIANOS

Retcula de pixeles

Sistema de vecindades Cliques

Funciones de potencial

r

sr s

Distribucin Gibbsiana a priori:

Asigna una probabilidad a cada posible imagen:

Pr( ) = 0.014

Imgenes Sistemas de partculas

V0 (fr , gr)

V1 (fr , fs)

r

s

q

fq

gq

r

s

[f(r)-f(s)]2

f(q)

q

Modelo de resortes (membrana):

Modelo a priori para f que especifique suavidad:

=

>< yx

yfxfZ

fP,

2))()((exp''

1)(

Ruido Gaussiano de observacin y modelo de membrana a priori

Verosimilitud:

A priori:

Distribucin a posteriori:

)()|()|( fPfgPgfP =

A posteriori:

Parmetro que controla la suavidad

U(f)

Estimador Bayesiano Optimo

Definir una funcin de costo apropiada:

Definir:

Calcular el estimador ptimo:

(media)(mediana)(moda)

Minimizar:

Es equivalente a resolver el sistema lineal de ecuaciones:

Para todos los pixeles r

Lo cual puede hacerse muy eficientemente

Estimador Optimo (MAP):

f debe parecerse a g f debe ser suave

Iteracin de Gauss-Seidel:

Donde es la vecindad del sitio r

1 10 50 300

Observaciones

=

Reconstrucciones con el modelo de resortes

Registro de Imgenes

Espcimen

Imagen Std.

Imagen deformada

Campo de deformaciones

Algoritmode

Registro

Modelo de observaciones:

)())(()( 21 rnrfrgrg ++=

Imagen originalImagen distorsionada ruido

Campo de distorsiones Tyx rfrfrf ))(),(()( =

Registro de imgenes

Verosimilitud:

A priori:

A posteriori:

Pirmide Multi-escala

Permite usar una aproximacin lineal para ))((2 rfrg +

)()()())(( 222 rgrfrgrfrg ++

( ) >< srp sprpZ

pP,

2|)()(|exp1)(

(modelo de membranas desacopladas)

[ ]

[ ]2|),,()(|exp)(,|)(Pr),(

krrI

krfrIrlk

=

==

=

===M

k

pkrfPpkrfrIPprIP1

),|)((),,)(|)((),|)((

)(),()(),(1

rprlrprl TM

kkk ==

=

Distribucin condicional:

Distribucin a posteriori:

[ ]),;(exp1),|( IpUZ

IpP =

[ ] >

Original MPM-MAP Experto

Clculo de disparidades estereoscpicas

Problema de la correspondencia

Cual es el punto correspondiente ?

Espacio de estados:

Verosimilitud:

Estereoscopa: alta definicin preservando bordes

Disparidad verdadera

Disparidades enteras Segmentacin paramtrica

Nodos pixeles

Nodosterminales

))(),(()()(,

0 sfrfVfVfEsrr

>