METODO SIMPLEX - Trabajo Analisis

PROGRAMACIN LINEALEJEMPLO N 01

Una empresa minera que procesa mineral mediante el mtodo de flotacin, desea establecer la cantidad de cada concentrado que debe obtener durante el mes con el objeto de maximizar sus utilidades netas econmicas.Las consideraciones que se establecen para este fin son los siguientes: No puede asignarse ms de 720 horas mensuales de tiempo de operacin de la planta de procesamiento. Todos los costos variables de produccin, deben cubrirse con el efectivo disponible para el mes de operacin, que es de $16,560, siendo el costo fijo de $ 3,000. Satisfacer los compromisos del comprador de la demanda mnima de los concentrados: 30 TM de concentrado de Pb, 55 TM de concentrado de Zn y 32 TM de concentrado de Cu. Los ingresos econmicos brutos generados por la comercializacin de los concentrados son de: $60/TM para el concentrado de Pb, $64/TM para el de Zn y $50/TM para el de Cu. El costo de produccin variable del concentrado de Pb es de $48/TM, del Zn es de $ 43/TM y del Cu es de $28/TM. Los Tiempos promedio para producir los tres concentrados son de: 3.5 horas/TM, 2.5 horas/TM y 2.0 horas/TM, respectivamente.Establecimiento de las variables de decisin: x1 = Tonelaje de concentrado de Pb que debe producirse durante el mes. x2 = Tonelaje de concentrado de Zn que debe producirse durante el mes. x3 = Tonelaje de concentrado de Cu que debe producirse durante el mes.Determinacin de la Funcin Objetivo:

De acuerdo al planteamiento del problema, lo que se desea es tener la mayor rentabilidad del proceso, que mostrado de un modo matemtico sera:Z = c1x1 + c2x2 + c3x3.Donde: Z = Medida objetiva del comportamiento (Funcin Objetivo) Ci = Variables del sistema sujetas a control (variables controlables o de decisin). xi =Variables del sistema que no estn sujetas a control (variables incontrolables o ambientales).Funcin Objetivo:Max Z = c1x1 + c2x2 + c3x3.Donde: Ci = Utilidad neta que se genera por la produccin de los concentrados y es igual a la utilidad bruta menos los costos de produccin variables del proceso. xi = Produccin de los diferentes tipos de concentrados obtenidos durante el proceso.Por tanto:c1 = 60 48 = 12c2 = 64 43 = 21c3 = 50 28 = 22Funcin Objetivo:

Max Z = 12x1 + 21x2 + 22x3.Restricciones de Produccin:

3.5x1, sera el nmero total de horas mensuales que se requiere para procesar el concentrado de Pb. 2.5x2, sera el nmero total de horas mensuales que se requiere para procesar el concentrado de Zn. 2.0x3, sera el nmero total de horas mensuales que se requiere para procesar el concentrado de Cu.3.5x1 + 2.5x2 + 2.0x3 720Restricciones Econmicas: Costo total = Costo Variables + Costo Fijo Costo Variable = Costo Total Costo fijo Costo Variable = 16,560 3000 = 13,56048x1 + 43x2 + 28x3 13,560

Compromisos de Demanda: x1 30 x2 55 x3 32Funcin Objetivo: Max Z = 12x1 + 21x2 + 22x3.Sujeto a:

3.5x1 + 2.5x2 + 2.0x3 720

48x1 + 43x2 + 28x3 13,560

x1

30

x2

55

x3 32

No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de demanda para todas las variables.RESOLUCION POR EL METODO SIMPLEX1.1 MODELIZANDO EL PROBLEMA:

Max Z = 12x1 + 21x2 + 22x3.Sujeto a:

3.5x1 + 2.5x2 + 2.0x3 720

48x1 + 43x2 + 28x3 13,560

x1

30

x2

55

x3 32

1.2 ESTANDARIZACION DEL MODELO:

Max Z = 12x1 + 21x2 + 22x3.Sujeto a:

3.5x1 + 2.5x2 + 2.0x3 + S4 = 720

48x1 + 43x2 + 28x3 +S5 = 13,560

x1 +S6+A1

= 30

x2 +S7+A2= 55

x3 +S8 +A3 = 32

1.3 CONTRUCCION DEL TABLERO INICIAL:

Aplicacin operaciones matriciales (OME)

De donde: X1 = 30, X2=55 y X3 =238.75Max Z = 12X1 + 21X2 + 22X3Max Z = 12(30) + 21(55) + 22(238.75) Max Z = US$ 6767.50 EJEMPLO N 02:

Una empresa minera tiene cuatro unidades productivas que explotan minerales de plomo, cobre, zinc y plata.Los costos operativos en cada unas de estas minas son las siguientes: Mina 1: US$ 800.00/TM Mina 3: US$ 600.00/TM

Mina 2: US$ 400.00/TM Mina 4: US$ 500.00/TMLas consideraciones que se establecen para este fin son los siguientes: En la Mina 1 la ley promedio establecida en lbs./TM, es de 10 para el plomo, 3 para el cobre, 8 para el zinc y 2 para la plata y la ley mnima proporcional promedio de estos cuatro elementos es de 5 lbs./TM. En la Mina 2 la ley promedio establecida en lbs./TM, es de 90 para el plomo, 150 para el cobre, 75 para el zinc y 175 para la plata y la ley mnima proporcional promedio de estos cuatro elementos es de 100 lbs./TM. En la Mina 3 la ley proporcional establecida en lbs./TM, es de 45 para el plomo, 25 para el cobre, 20 para el zinc y 37 para la plata y la ley mnima proporcional promedio de estos cuatro elementos es de 30 lbs./TM. En la Mina 4 la ley proporcional establecida en lbs./TM, es de 30 para el plomo, 25 para el cobre, 18 para el zinc y 12 para la plata y la ley mnima proporcional promedio de estos cuatro elementos es de 20 lbs./TM.

Determinar el porcentaje que debe provenir de cada una de las cuatro minas de modo que se minimicen los costos operativos de la empresa.Establecimiento de las variables de decisin: X1 = Porcentaje proveniente de la Mina 1. X2 = Porcentaje proveniente de la Mina 2. X3 = Porcentaje proveniente de la Mina 3. X4 = Porcentaje proveniente de la Mina 4.Determinacin de la Funcin Objetivo:

De acuerdo al planteamiento del problema, lo que se desea es tener la mayor rentabilidad del proceso, que mostrado de un modo matemtico sera:Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4Donde: Z = Medida objetiva del comportamiento (Funcin Objetivo) ci = Variables del sistema sujetas a control (variables controlables o de decisin). xi = Variables del sistema que no estn sujetas a control (variables incontrolables o ambientales).Funcin Objetivo:

Min Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 Donde: ci = Costo unitario que se genera por la produccin del mineral en cada una de las unidades operativas de la empresa en discusin xi = Porcentaje de produccin que debe obtenerse de cada una de las minas.Por tanto:

c1 = 800.00

c3 = 600.00

c2 = 400.00

c4 = 500.00Funcin Objetivo:

Min Z = 800x1 + 400x2 + 600x3 + 500x4 Sujeto a:

10x1 + 3x2 + 8x3 + 2x4 ( 5

90x1 + 150x2 + 75x3 + 175x4 ( 100

45x1 + 25x2 + 20x3 + 37x4 ( 30

30x1 + 25x2 + 18x3 + 12x4 ( 20

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

x1, x2, x3, x4 ( 0RESOLUCION POR EL MTODO SIMPLEX1.1 MODELIZANDO EL PROBLEMA Min Z = 800x1 + 400x2 + 600x3 + 500x4 Sujeto a:

10x1 + 3x2 + 8x3 + 2x4 ( 5

90x1 + 150x2 + 75x3 + 175x4 ( 100

45x1 + 25x2 + 20x3 + 37x4 ( 30

30x1 + 25x2 + 18x3 + 12x4 ( 20

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

x1, x2, x3, x4 ( 0

1.2 ESTANDARIZACION DEL MODELO:

Min Z = 800x1 + 400x2 + 600x3 + 500x4 Sujeto a:

10x1 + 3x2 + 8x3 + 2x4 -S1+A1 =5

90x1 + 150x2 + 75x3 + 175x4 -S2+A2 = 100

45x1 + 25x2 + 20x3 + 37x4 -S3+A3 = 30

30x1 + 25x2 + 18x3 + 12x4 -S4+A4 = 20

x1 + x2 + x3 + x4 +A5 = 1

x1, x2, x3, x4 ( 0

1.2 CONSTRUCCION DEL TABLERO INICIAL:

Al haber alcanzado la solucin de Z* = 0, se continua en la siguiente fase, copiando el tablero final (Tabla VI), pero ya no se trabajan con las columnas de las variables artificiales (A1, A2, A3, A4, A5) y seguimos desarrollando con el mtodo simplex como a continuacin se muestra.

De donde:X1=0.2593, X2=0.7037, X3=0.0370 y X4=0Min Z = 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4Min Z = 800(0.2593) + 400(0.7037) + 600(0.037) + 500(0) Min Z = US$ 511.11

EJEMPLO N 03

En una planta de procesamiento metalrgico inicial de minerales metlicos, se producen dos tipos de concentrados: de plomo y de zinc. Su precio de venta es de US$ 80.00/TM y US$ 60.00/TM, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 2 y 3 trabajadores para procesar cada producto, y de 5,000.00 y 2,000.00 dlares en materiales e insumos por cada 1,000 TM producidas semanalmente.

La empresa ha establecido disponer semanalmente de un mximo de 30 trabajadores y 10,000.00 dlares para materiales e insumos. Se pide realizar la formulacin de la programacin lineal de este proceso, de modo que se maximicen los beneficios econmicos que se generan. Establecimiento de las variables de decisin:

x1 = Tonelaje de concentrado de plomo. x2 = Tonelaje de concentrado de zinc.Funcin Objetivo:

Max Z = c1x1 + c2x2 Donde: ci = Precio de venta de los concentrados procesados. xi = Produccin de cada uno de los concentrados.Por tanto:

c1 = 80.00 x 1000 = 80,000.00

c2 = 60.00 x 1000 = 60,000.00Funcin Objetivo:

Max Z = 80,000x1 + 60,000x2

Restricciones de Produccin:

Personal:

2x1 + 3x2 30 Econmicas:

5,000x1 + 2,000x2 10,000

Funcin Objetivo:

Max Z = 80,000x1 + 60,000x2 Sujeto a:

2x1 + 3x2 30

5,000x1 + 2,000x2 10,000

x1, x2 ( 0RESOLUCION POR EL METODO GRAFICO 3.1 Definicin matemtica del problema:

Max Z = 80000X1 + 60000X2Sujeto a:

2X1 + 3X2 30..R.E. (1)5000X1 + 2000X2 10000.R.E.(2)X1, X2 0

3.2 Representacin grafica de restricciones estructurales:

3.3 Trazo de funcin objetivo:Z = 800000X1 + 60000X20 = 80000X1 + 60000X2

3.4 Solucin propiamente:

3.5 Solucin aparente:

X1 = 0 X2 = 5

Max Z = 80000X1 + 60000X2Max Z =80000(0) + 60000(5)

Max Z =US$300000

3.6 Solucin real:Para el problema tenemos:

X1 =0

5000X1 + 2000X2 10000.R.E.(2)

X2 =5

Max Z = 80000X1 + 60000X2Max Z = 80000(0) + 60000(5)

Max Z = US$300000

RESOLUCION POR EL METODO SIMPLEX:

2.1 Modelacin del problema:Max Z = 80000X1 + 60000X2Sujeto a:

2X1 + 3X2 30..R.E. (1)5000X1 + 2000X2 10000.R.E.(2)X1, X2 0

3.2 Estandarizacin del modelo en cuestin:Max Z = 80000X1 + 60000X2Sujeto a:

2X1 + 3X2 + X3 = 30..R.E. (1)5000X1 + 2000X2 + X4 = 10000.R.E.(2)X1, X2 0TABLERO I

3.4 aplicacin de las operaciones matriciales:Generar la matriz aumentada:

TABLERO II

TABLERO III

De esta manera encontramos la solucin bsica factible:Zj = US$300000

Entonces: Max Z = US$300000EJEMPLO N 04

Una compaa que explota yacimientos carbonferos, tiene dos minas: la mina A produce diariamente 1 tonelada de carbn antractico de alta calidad, 2 toneladas de carbn bituminoso de calidad media y 4 toneladas cisco carbn de baja calidad; la mina B produce 2 toneladas de cada una de las tres clases. La compaa necesita 70 toneladas de carbn de alta calidad, 130 de calidad media y 150 de baja calidad. Los gastos diarios de la mina A ascienden a 150 dlares y los de la mina B a 200 dlares. Realizar la formulacin de la programacin lineal que permita determinar el tiempo en das que deben operar dichos yacimientos para optimizar el costo del proceso de explotacin.Matematizacin del problema:

Variables instrumentales: x = Nmero de das trabajados en la mina A y = Nmero de das trabajados en la mina BFuncin Objetivo:

Min Z = 150x + 200ySujeto a:

x + 2y 70

2x + 2y 130

4x + 2y 150

x, y ( 0RESOLUCIN POR EL METODO GRAFICO:

Donde: X = 60 y Y = 5Reemplazando en la funcin objetivo; tenemos:

Min Z = 150(60) + 200(5)

Min Z = 10000RESOLUCION POR EL METODO SIMPLEX:Funcin Objetivo:

Min Z = 150x + 200y + 0S1 + MA1 +OS2 + MA2 + OS3 + MA3Sujeto a:

x + 2y S1 + A1 + 0S2 + 0A2 + 0S3 + 0A3 = 702x + 2y + 0S1 + 0A1 - S2 + A2 + 0S3 + 0A3 = 130

4x + 2y + 0S1 + 0A1 + 0S2 + 0A2 S3 + A3 = 150

x, y ( 0TABLA 1

TABLA 2

TABLA 3

TABLA 4

EJEMPLO N 05

Una empresa minera que opera por mtodos subterrneos debe explotar tres (03) tajeos en forma continuada para obtener la mxima rentabilidad en esta unidad productiva.

Las consideraciones tcnico econmicas que se establecen son las siguientes: En el Cuadro N 01 se visualizan las leyes de los elementos metlicos en los diferentes tajeos, as como los precios actuales de los elementos metlicos que componen el mineral: El tiempo de las operaciones mineras para obtener una TM de cada tajeo frente a las leyes mnimas predispuestas, estn en la proporcin de 3:4:2, respectivamente; debiendo trabajarse en dos guardias de 12 horas cada una. La explotacin econmica de la mina en discusin es de 300 TMD. Los costos de produccin representan el 60 % de los ingresos brutos generados, predisponindose que la cobertura de la operacin en cada tajeo es de US $ 25.00/TM. CUADRO N 01

TAJEOLEYES DEL MINERAL

Pb (%)Ag (onzt/tc)Zn (%)

112108

21565

3452

PRECIOUS$1.16/lb.US$34.25/oztUS$1.13/lb.

Valorizacin del mineral por tajeo:

TAJEOVALOR BRUTO DEL MINERAL DE MINA(US$/TM)TOTAL

PbAgZn

1171.85211.42111.61494.88

2214.82126.8569.75411.42

357.28105.7169.75232.75

Valor neto del mineral de mina:

TAJEOCONSIDERACIONES ECONOMICAS DEL MINERAL (US$/TM)

VALOR BUTOCOSTO DE PRODUCCION VALOR NETO

1494.88296.93197.95

2411.42246.85164.57

3232.75139.6593.10

Establecimiento de las variables de decisin:x1 = TMD del tajeo N 01.x2 = TMD del Tajeo N 02.x3 = TMD del Tajeo N 03.Funcin Objetivo:

Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 Donde:ci = Precio neto del mineral de mina.xi = Produccin del tajeo.Por tanto:

c1 = 197.95

c3 = 93.10


Z = 197.95x1 + 164.57x2 + 93.10x3 Restricciones de Produccin:De Procesamiento:

x1 + x2 + x3 300 Tiempo:

3x1 + 4x2 +2x3 24 Econmicas:

296.93x1 + 246.85x2 + 139.65x3 25.00x300

296.93x1 + 246.85x2 + 139.65x3 7,500.00 Funcin Objetivo:

Max Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 Sujeto a:

x1 + x2 + x3 300

3x1 + 4x2 + 2x3 24

296.93x1 + 246.85x2 + 139.65x3 7500

x1, x2, x3 ( 0RESOLUCIN POR EL MTODO SIMPLEX:Funcin objetivo: Max Z = 197.95X1 +164.57X2 +93.10X3

Sujeto a:

X1 + X2 + X3 300

3X1 + 4X2 +2X3 24

196.93X1 + 246.85X2 +139.65X3 7500

X1 , X2 ,X3 0

Tabla simplex N1:

Tabla simplex N2:

Clculos realizados:

300 - (1x8) =292 7500 - (296.93x8) =5124.56

1 - (1x1) =0

296.93 - (296.93x1) =0

1 - (1x4/3) =-1/3

246.85 - (296.93x4/3) =147.873

1 - (1x2/3)= 1/3

139.65 (296.93x2/3) =-58.303

1 - (1x0) =1

0 - (296.93x0) =0

0 - (1x1/3)=-1/3

0 - (296.93x1/3) = -98.98

0 - (1x0) =0 1 (296.93x0) = 1

Entonces reemplazando los valores en la funcin objetivo original se tiene:

Funcin objetivo: Max Z = 197.95X1 +164.57X2 +93.10X3

Z = 197.95(8.00) + 164.57(0) +93.10(0)

Z= 1 583.600

Esto significa que se va a obtener la mxima rentabilidad de

1 583.600 dlares .

Y para eso se debe de extraer 8 TMD en el tajeo 1

EJEMPLO N 06

La Empresa Minera Ayanes S. A. Dispone de $210,000.00 para invertir en la bolsa de minerales. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Se decide invertir un mximo de $130,000.00 en las del tipo A y como mnimo $60,000.00 en las del tipo B. Adems se dispone que la inversin en las del tipo A sea menor que el doble de la inversin en B. Cul tiene que ser la distribucin de la inversin para obtener el mximo inters anual?DEFINICION MATEMATICA DEL PROBLEMA:Funcin Objetivo: Max Z = 0.10X1 + 0.08X2 Sujeto a:

X1 + X2 210,000

X1 130,000

X2 ( 60,000

X1 2 X2 REPRESENTACION GRAFICA DE LAS RESTRICCIONES:

X1 + X2 210,000 SI :X1 = 0; X2 = 210000 SI :X2 = 0; X1 = 210000 X1 = 130,000

X2 = 60,000TRAZANDO LA PENDIENTE:

0.10X1 + 0.08X2 = 0 0.08X2 = 0.10X1

X2 / X1 = -5/4

m = tg = - 5/4

= arctg(- 5/4)

= 51 0 (Angulo negativo en sentido horario)Suplemento: 180 0 -510 = 129 0( Angulo positivo en sentido anti horario)

SOLUCION PROPIAMENTE DICHA:

SOLUCION PROPIAMENTE DICHA: De acuerdo ala grafica

X1 =130000

X2 =78000

Significa que la cantidad que se invierte en acciones del tipo A es exactamente 130000$ y en acciones de tipo B es aproximadamente 78000$ para generar una mximo inters anual total a:

Max Z = 0.10*1300001 + 0.08*78000

= 19240$

SOLUCION REAL:

X1 + X2 =210,000

X1 = 130,000

X1 =130000

X2 =80000

Significa que la cantidad que se invierte en acciones del tipo A es exactamente 130000$ y en acciones de tipo B es aproximadamente 80000$ para generar una mximo inters anual total a:

Max Z = 0.10*1300001 + 0.08*80000 = 19400$ COMPROBACION:

Reemplazando valores en cada restriccin:

X1 + X2 210,000

130,000+80,000 210,000 (cumple la condicin H=0, es decir la inversin planificada de la empresa en la bolsa de minerales es igual a lo real) X1 130,000

130,000 130,000 (cumple la condicin H=0, es decir la inversin maxima de las acciones de tipo A planificada de la empresa en la bolsa de minerales es igual a lo real) X2 ( 60,000

80,000 ( 60,000 (cumple la condicin H=20,000; es decir la inversin de las acciones de tipo B es de 20,000$ mas al mnimo proyectado que es 60,000$) X1 2 X2

130,000 160,000 (cumple la condicin H=30,000; es decir la inversin de las tipo A es menor que el doble de las de tipo B, lo proyectado es igual a lo real)S0LUCION POR EL MTODO SIMPLEX:

Max z = 0.1X1 + 0.08X2 + 0X3 + 0X4+ 0X5 + 0X6 + Mq1 X1 + X2 + x3 = 210,000.00 X1130,000.00 X2 - 60,000.00 X1 2x6 + x6 0TABLA1C0.100.080000-M

CbXbbiX1X2X5X3X4X6Q1

0X32100001101000210000

0X41300001000100130000

0X601-200010

MQ16000001-10001

Zj0M-M000M

Zj-Cj-0.10M-0.08-M0002M

TABLA2Cj0.100.080000-M


0X3800000101-10080000

0.1X11300001000100

0X6-1300000-200-11065000

MQ16000001-1000160000

Zj0.1M-M00.10M

Zj-Cj0M-0.08-M00.102M

Cj0.100.080000-M


0X3200000011-10020000

0.1X11300001000100

0X6 -1000000-20-1125000

0.08X26000001-10001-60000

Zj0.10.08-0.0800.100.08

Zj-Cj00-0.0800.100.08+M

Cj0.100.080000-M


0X3150000001-1.50.51

0.1X11300001000100

0X5 500000100.5-0.5-1

0.08X26500001000.5-0.50

Zj0.10.08000.14-0.040

Zj-Cj00000.14-0.040M

Cj0.100.080000-M


0X6300000002-311

0.1X11300001000100

0X5 2000000111 0-0.5

0.08X28000001011 00.5

Zj0.10.0800.080.18 00.04

Zj-Cj0000.080.18 00.04+M

Cj0.100.080000-M


0X3150000001-1.50.51

0.1X11300001000100

0X5 500000100.5-0.5-1

0.08X26500001000.5-0.50

Zj182000.10.08000.14-0.040

Zj-Cj00000.14-0.04M

1) Segn los clculos obtenemos las variables de decisin.

X1 = 130000

X2 = 65000

X3 = 15000

Zj = 18200

Ejercicio N07

Una empresa minera explota un yacimiento polimetlico utilizando el mtodo de cielo abierto, es necesaria la explotacin de tres bancos al mismo tiempo, para obtener la mxima rentabilidad de esta unidad productiva.

Las consideraciones tcnico econmicas que se establecen son las siguientes:

1. Las leyes del mineral y los precios actuales de los metales comprendidos en el mineral, se establecen del modo siguientes: El elemento plomo tiene 8% en el banco 1, 12% en el banco 2 y 6% en el banco 3. El precio actual del plomo es de $0.98/lb.

El elemento zinc tiene 6% en el banco 1, 4% en el banco 2 y 3% en el banco 3. El precio actual del zinc es de $0.95/lb.

El elemento plata tiene 9 onzt/tc en el banco 1, 5 onzt/tc en el banco 2 y 2 onzt/tc en el banco 3. El precio actual de la plata es de $35.00/onzt.2. El tiempo de las operaciones mineras para obtener una TM de cada banco frente a las leyes mnimas predispuestas, estn en la proporcin de 4:2:3, respectivamente; debiendo trabajarse en dos guardias de 12 horas cada una. 3. La explotacin econmica de la mina en discusin es de 5,000 TMD.4. Los costos de produccin representan el 65 % de los ingresos brutos generados, predisponindose que la cobertura de la operacin en cada tajeo es de US $ 35.00/TM.

CUADRO N 01

BANCOLEYES DEL MINERAL

Pb (%)Ag (onzt/tc)Zn (%)

1896

21254

3623

PRECIOUS$0.98/lb.US$33.00/oztUS$0.95/lb.

CUADRO N 02VALORIZACION DEL MINERAL POR TAJEO

BANCOVALOR BRUTO DEL MINERAL DE MINA(US$/TM)TOTAL

PbAgZn

196.79183.3370.37350.50

2145.19101.8546.91293.95

372.5940.7435.19148.52

CUADRO N 03

VALOR NETO DEL MINERAL DE MINA

BANCOCONSIDERACIONES ECONOMICAS DEL MINERAL (US$/TM)

VALOR BUTOCOSTO DE PRODUCCIONVALOR NETO

1350.50227.82122.67

2293.95191.07102.88

3148.5296.5451.98

Establecimiento de las variables de decisin:

X1 = TMD del Banco N 01.

X2 = TMD del Banco N 02.

X3 = TMD del Banco N 03.Funcin Objetivo:

Max Z = 122.67X1 + 102.88X2 + 51.98X3Sujeto a:

X1 + X2 + X3 5,000

4X1 + 2X2 + 3X3 24

227.82X1 + 191.07X2 + 51.98X3 175,000.00

X1, X2, X3( 0

MAXZ = 122.67X1 + 102.88X2 + 51.98X3

X1 + X2 + X3 + X4 = 5000

4X1 + 2X2 + 3X3 +X5 = 24

227.82X1 + 191.07X2 + 51.98X3+X6 = 175000

TABLA1

CJ122.67102.8851.98000

CbXbBiX1X2X3X4X5X6

0X450001111005000

0X5244230106

0X6175000227.821191.0751.98001768.15

Zj0000000

Zj - Cj-122.67-102.88-51.98000

TABLA2

CJ122.67102.8851.98000

CbXbBiX1X2X3X4X5X6

0X4499400.50.251-0.2509988

122.67X1610.50.7500.25012

0X6173633.08077.16-118.89056.9612250.30

Zj0122.6761.3492030.670

Zj - Cj0-41.5440.02030.670

TABLA3

CJ122.67102.8851.98000

CbXbBiX1X2X3X4X5X6

0X44988-10-0.08331-0.50

102.88X212210.666700.50

0X6172707.16-54.320-170.33018.381

Zj1234.56205.76102.8868.59051.440

Zj - Cj83.09 016.61051.440

Segn los clculos obtenemos las variables de decisin.

Numero de toneladas mtricas de mineral que se debe de extraer del banco

X1 = 0

Numero de toneladas mtricas de minerales que se debe extraer del banco

X2 = 12 Numero de toneladas mtricas de minerales que se debe extraer del banco De lo ya establecido y comprobado remplazamos nuestros valores a la funcin objetiva de maximizacin.

MAX = 122.67X1 + 102.88X2 + 51.98X3

MAX = 122.67*0 + 102.88*12 + 51.98*0EJEMPLO N 08En una planta de procesamiento por el mtodo de flotacin de minerales polimetlicos, se producen dos tipos de concentrados: de plomo y de cobre, las consideraciones que se establecen son los siguientes: 1. La ley de cabeza con que ingresa el elemento plomo es de 9%, mientras que el elemento secundario en el concentrado de plomo es la plata que tiene una ley de cabeza de 6 onzt/TM. El precio actual del plomo es de $0.98/lb y de la plata es de $33.00/onzt. 2. La ley de cabeza del cobre es de 1.5 %. El precio de este elemento es de $3.80/lb.3. Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 4 trabajadores para procesar cada producto, y de US$ 5,000.00 y US$ 2,000.00 en materiales e insumos por cada 1,000 TM producidas semanalmente. 4. La planta de procesamiento del mineral ha determinado la presencia semanal de un mximo de 60 trabajadores y $10,000.00 para materiales e insumos. 5. Los costos de operacin en ambos casos representan el 60% de los ingresos brutos generados. Realizar la formulacin de la programacin lineal de este proceso, de modo que se maximice la rentabilidad del mismo. Establecimiento de las variables de decisin: X1 = Tonelaje de concentrado de plomo. X2 = Tonelaje de concentrado de zinc.Funcin Objetivo:

Max Z = c1X1 + c2X2 Donde:ci = Utilidad neta de los concentrados procesados.Xi = Produccin de cada uno de los concentrados.Por tanto:

c1 = 87.91

c2 = 28.15Establecimiento de las variables de decisin: X1 = Tonelaje de concentrado de plomo. X2 = Tonelaje de concentrado de zinc.Funcin Objetivo:


c1 = 87.91

c2 = 28.15

Establecimiento de las variables de decisin: X1 = Tonelaje de concentrado de plomo. X2 = Tonelaje de concentrado de zinc.Funcin Objetivo:


c1 = 87.91


Max Z = 87.91x1 + 28.15x2Restricciones de Produccin: Personal: 0.003x1 + 0.004x2 60 Econmicas:

5.00x1 + 2.00x2 10,000.00Funcin Objetivo: Max Z = 87.91X1 + 28.15X2 Sujeto a:

0.002X1 + 0.003X2 30

5.00X1 + 2.00X2 10,000

x1, x2 ( 0 Solucin por el Mtodo GrficoPara R1

x1020000

x2150000

Para R2

x102000

x250000

Haciendo la grfica

La regin acotada ser

Analizando los Puntos

Punto 1 (0,0)

Z1 =0 Punto 2 (0,5000)

Z2 =140750

Punto 3 (2000,0)

Z3 =175820

Punto 4 (1000,2500)

Z3 =158285

Al ser el Punto 3 el punto ms alejado de la regin tenemos que

Max Z = 175820

Mtodo Simplex:

Max Z = 87.91x1 + 28.15x2 + 0 x3+ 0 x4 Sujeto a :

0.003x1 + 0.004x2+ 0 x3 60 .(R1) 5.00x1 + 2.00x2 + 0 x4 10,000.00 .(R2)

EcBZx1 x2 x3 x4LD

0Z1-87.91 -28.15 0 00

1

2x3x40

00.003 0.004

5 2 1 0

0 160

10000

0Z10 7.0140 35.164175820

1

2x3x10

00 7/2500

1 2/50 -3/5000

0 1/554

2000

Mx Z = 17582R12

R2

130000

210000

x1

60000

...

210000

x2

O

4. TRAZADO DE LA FUNCION OBJETIVO

Regin factible

P

RESTRICCION 1

RESTRICCION 2

RESTRICCION 3

RESTRICCION 4

40

1. VALORIZACION DEL MINERAL DE PLOMO

MINERAL DE

LEY DE CABEZA

PRECIO

VALOR

COSTO DE

VALOR NETO

BRUTO ($/TM)

OPER.($/TM)

($/TM)

PLOMO

9

%

$

0.98

/lb

108.89

65.33

43.56

PLATA

6

onzt/TM

$

33.00

/onzt

110.88

66.53

44.35

TOTAL

219.77

131.86

87.91

2. VALORIZACION DEL MINERAL DE COBRE

MINERAL DE

LEY DE CABEZA

PRECIO

VALOR

COSTO DE

VALOR NETO

BRUTO ($/TM)

OPER.($/TM)

($/TM)

COBRE

1.5

%

$

3.80

/lb

70.37

42.22

28.15

Valor de Conversin:

1TM =

2,204.60

lbs.

40

26

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METODO SIMPLEX - Trabajo Analisis