TRANSITO DE AVENIDAS A TRAVES DE EMBALSES Y CAUCES NATURALES

TRANSITO DE AVENIDAS DE EMBALSES

Un embalse o sistema de embalses integran un sistema de recursos hidrulicos destinado a aprovechar los recursos hdricos para abastecer las necesidades en materia de agua. Al dimensionar hidrolgicamente un embalse simple, se pueden presentar dos casos: el directo y el inverso. El caso directo determina la capacidad til para satisfacer una determinada demanda basndose en un nivel de confiabilidad deseado. Para poder llevar a cabo el caso directo se recomienda seguir los pasos siguientes: 1. Ubicar todas las estaciones hidromtricas y climatolgicas posibles, para obtener toda la informacin til y disponible de aportaciones [escurrimientos y lluvias mensuales] y de evaporacin mensual. 2. Partiendo del fin del embalse determinar las demandas. 3. Determinar las limitantes o restricciones fsicas e hidrolgicas en el sitio del proyecto. Las restricciones fsicas corresponden a una capacidad limitada en el sitio para el almacenamiento, o bien en la zona de riego. Las restricciones hidrolgicas estn integradas por concesiones y otros derechos de agua que se deben respetar. 4. De acuerdo con el propsito del embalse establecer un dficit partiendo de las demandas. 5. Realizar diversas simulaciones de operacin para diferentes capacidades tiles con lo cual se obtiene la curva capacidades beneficios factibles, para determinar la capacidad necesaria con la que se satisface la demanda del proyecto. En el caso inverso se fija una capacidad til del embalse y se cuantifica la demanda a satisfacer bajo una determinada confiabilidad. Este caso se presenta cuando la obra o embalse ya estn construida [operacin], ya que cambian algunas variables a diferencia del caso directo, por ejemplo, el rgimen de escurrimientos debido a la construccin de un nuevo embalse aguas arriba o las demandas pueden verse afectadas por cambios en los cultivos, etc. TRANSITO DE AVENIDAS EN CAUCES

La simulacin de la variacin de un hidrograma al recorrer un cauce se conoce como trnsito de avenidas en cauces. Es necesario contar con mtodos que permitan conocer la variacin de un hidrograma al recorrer un tramo de cauce, para poder determinar el efecto de presas reguladoras en tramos aguas abajo, para disear bordos de proteccin contra inundaciones, etc. El ro mismo es tambin una especie de almacenamiento alargado y de que la solucin se da por medio de la ecuacin de continuidad y alguna relacin entre almacenamiento y gasto de salida. Sin embargo, aqu aparecen algunas dificultades adicionales como:

a) Con frecuencia no se tienen planos topogrficos precisos del tramo y la relacin descargas-volmenes no se conoce. b) Casi siempre se tienen entradas a lo largo del tramo, adicionales a las de la seccin aguas arriba, que no son conocidas. c) El nivel de la superficie libre del agua no es horizontal, como sucede en el caso de vasos, lo que implica que un mismo tirante en el extremo final del tramo se puede formar para diferentes gastos de salida

Los mtodos existentes para el trnsito de avenidas en cauces se pueden dividir en dos tipos: hidrulicos e hidrolgicos. Conservacin de masa:

(1) Conservacin de cantidad de movimiento:

. (2) Donde: y= tirante v= velocidad q= gasto lateral B= ancho de la superficie libre 0 = Pendiente del fondo = pendiente de friccin; si se calcula con la ecuacin de Manning:

0 =22

4/3

= radio hidrulico n= coeficiente de rugosidad x= coordenada espacial t= tiempo Los mtodos hidrolgicos utilizan simplificaciones de las ecuaciones (1) y (2) para llegar a soluciones ms simples, pero menos aproximadas que las que se logran con los mtodos hidrulicos. MTODO MUSKINGUM

El mtodo Muskingum es una base tcnica de enrutamiento hidrolgica en la ecuacin de

continuidad.

1 + 22

1 + 2

2=

2 1

(1)

Donde I es la descarga de entrada al alcance, O la salida; S el volumen de agua almacenada, y t el

incremento de tiempo .Los subndices 1 and 2 denotan los valores de los trminos respectivos al

principio y al final del intervalo de tiempo considerado. El almacenamiento dentro del alcance se

modela por

= 0 + ( + (1 )) . . (2)

Donde 0 representa los almacenamientos iniciales, K el almacenamiento -tiempo constante para

el alcance, X una constante de proporcionalidad adimensional, y n un exponente utilizada para

considerar los efectos de no linealidad. En los modelos lineales Muskingum, el exponente n es

tomada como unidad, y

= 0 + ( + (1 )) . . (3)

Es conveniente establecer 0 igual a cero para el modelo lineal. Quedando As:

= [ + (1 )] . . (4)

Donde:

S =Alcance de almacenamiento, ft3

K =Constante de almacenamiento, s

X = factor de ponderacin, adimensional

I =descarga de entrada, ft3 /s

O =descarga de salida, ft3 /s

Cuando X es igual a cero en la ecuacin 2, la ecuacin se reduce a una simple relacin de

almacenamiento y la salida de descarga: S es KO (depsito de enrutamiento supuesto). Los valores

en las ecuaciones estn en unidades de pies y segundos. Tambin se pueden definir en cualquier

unidad de longitud y tiempo, siempre y cuando todos los valores en la ecuacin son consistentes

La sustitucin de la ecuacin (4) en la ecuacin (1) da la ecuacin de enrutamiento bien conocido:

2 = 11 + 22 + 31 . . (5)

Donde:

1 =[(

) + 2]

0 . (6)

2 =[(

) 2]

0 . (7)

3 =[2(1 )

]

0 . (8)

0 =

+ 2(1 ) . (9)

0, 1,2 3 Son coeficientes adimensionales con la suma de C1, C2, y C3 igual a 1.0

Si los datos sobre la entrada y salida son escasos, entonces el valor de K se toma como el tiempo

de viaje en el alcance, y X se supone que tiene un valor medio de 0,2 (Viessman y Lewis, 2003). Si

ambos los hidrogramas de entrada y salida estn disponibles, entonces los parmetros de

encaminamiento Muskingum pueden ser determinados por una de las varias tcnicas de

estimacin reportados en la literatura (HEC-HMS, 2001). En el tradicional trial y - enfoque grfico

error desarrollado por Mc Carthy (1938) para el modelo de Muskingum lenar, el as - llamado

trmino de descarga ponderada [XI + (1-x) Q] se representa frente al almacenamiento acumulada

para diferentes valores de X asumidos. Tal trama se conoce como la "curva de almacenamiento

descarga-". El valor particular que genera el lazo ms estrecho es aceptado como la mejor

estimacin de X. El bucle es entonces aproximado por una lnea recta y, como la ecuacin (3)

establece el valor de K se calcula como la inversa de la pendiente de la lnea.

Una aproximacin para K es el tiempo de viaje a travs de la distancia o la longitud del alcance

dividido por la velocidad de flujo promedio. Se necesitan perfiles de superficie, ya sea agua o una

solucin de la ecuacin de Manning para el alcance para estimar la velocidad de flujo promedio.

La aproximacin de K es sensible al valor de la descarga a la que se selecciona la velocidad. La

aproximacin de K tambin es sensible a si se utiliza la longitud del canal, la longitud de llanura de

inundacin, o algn tipo de longitud alcance ponderado. El valor de X es de entre 0,0 y 0,5. Un

valor de 0,0 da la atenuacin mxima del procedimiento, y 0,5 proporciona la atenuacin mnima.

El valor de X es difcil de estimar sin informacin galga corriente. Linsley, Kohler, y Paulhus (1982) y

otros textos hidrologa describen un procedimiento para determinar K y X de hidrogramas de flujo.

Mtodo Muskingum-Cunge

Cunge (1969) desarrollaron ecuaciones para estimar K y X de las propiedades hidrulicas del

alcance. Estos se basan en la vinculacin del modelo de difusin de conveccin y la ecuacin de

enrutamiento Muskingum. Una derivacin condensada se describe.

Las unidimensionales ecuaciones St. Venant para enrutamiento hidrulico describen el

movimiento de una onda de crecida. La ecuacin 8 es la ecuacin de continuidad que describe la

conservacin de la masa. Ecuacin 9 describe la conservacin del momento.

+

()

= 0 (8)

+

+

= 0 . (9)

Donde:

= el operador derivada parcial

V = la velocidad de descarga o flujo, ft/s

d =profundidad de flujo, ft

t = tiempo, s

x = distancia, ft

g = aceleracin de la gravedad, ft/s2

So = pendiente de canal en la direccin longitudinal, ft/ft

=pendiente de friccin, ft/ft

Los primeros dos trminos de la ecuacin 9 representan la aceleracin del agua. Los estudios de

las magnitudes de los diversos trminos han demostrado cuando es importante incluirlos en un

anlisis de enrutamiento de hidrogramas en redes de corrientes. Cuando la pendiente de la canal y

pendiente de friccin son muy estrecha con una pequea diferencia en los valores, los primeros

dos trminos en el lado izquierdo de la ecuacin son o muy pequeo o anularse entre s debido a

los signos positivos y negativos. En estos casos, descuidando estos dos primeros trminos no

afecta significativamente la exactitud de la enrutamiento.

Cuando hay una diferencia grande entre el canal y la friccin pendientes, tales como en los

gradientes de canal muy planos, los trminos en el lado izquierdo de la ecuacin son significativos.

Los trminos de aceleracin representan el cambio de la velocidad con el tiempo y el cambio de la

velocidad con la distancia. Estos trminos son ms significativa con el rpido aumento de los

hidrogramas tpicos de una presa ruptura o una inundacin repentina.

Tcnicas de enrutamiento hidrolgico tradicionales suelen ignorar los tres trminos en el lado

izquierdo de la ecuacin 9. Cuando se descuidan los dos primeros trminos en el lado izquierdo, la

ecuacin 9 se convierte en lo que se llama una analoga de difusin. El mtodo de enrutamiento

de Muskingum-Cunge se deriva de esta ecuacin simplificada adems de la ecuacin de

conservacin de la masa, la ecuacin 8. Dado que el mtodo de enrutamiento Muskingum-Cunge

incluye un trmino ms en la ecuacin de momento, es de esperar para proporcionar resultados

ms precisos de enrutamiento y ser aplicable en un rango ms amplio de condiciones. En la

comparacin de los resultados con la solucin de las ecuaciones de St. Venant, esto ha

demostrado ser el caso.

La derivacin matemtica presentada por Ponce (1981) se condensa aqu. Se repite para el fondo

en el desarrollo del procedimiento de enrutamiento Muskingum-Cunge. El modelo se basa en el

establecimiento de la difusividad del modelo numrico igual a la difusividad del modelo terico.

El modelo terico se basa en la ecuacin de continuidad y la ecuacin de conservacin de impulso

(eq. 9) con los dos primeros trminos eliminado.

1

(

) +

= 0 . . (10)

+ 0 = 0 . (11)

Donde : T =ancchura superior, ft

La difusividad () del modelo terico es:

=

20 (12)

Where : = difusividad terico, ft2 / s. El modelo numrico se formula para la solucin en una

cuadrcula paso distancia y el tiempo de enrutamiento (fig. 1).

(2 1) + (1 )(2 1)

+

(1 1) + (2 2)

2= 0 . (13)

Donde :

C= onda de crecida celeridad,ft/s

x = Distancia de enrutamiento, ft

La difusividad del modelo numrico es:

= () (1

2 ) =

20 (14)

De los cuales:

=1

2[1

((0)()x)] . (15)

Figura 1: Distancia de enrutamiento Muskingum-Cunge y rejilla solucin paso de tiempo

El paso distancia de enrutamiento, x, se estima a partir caractersticas hidrulicas del alcance. Un

alcance est representado por una nica seccin transversal en WinTR-20. Esto pone de relieve la

importancia de utilizar una seccin transversal representativa del alcance. Si el alcance es tal que

una sola seccin transversal no puede representarlo, el alcance se puede dividir en tramos ms

cortos en una sola seccin transversal es ms representativo de cada escaln de distancia de

enrutamiento.

La ecuacin para un paso de distancia de encaminamiento es:

= 0.5 ( +

0) . . (16)

Si x es mayor que la longitud del alcance de enrutamiento, L, el alcance no se divide en pasos. Si

x es entre 1/2 L y L, el alcance se divide en dos pasos. Si x es entre 1/3 y 1/2 L L, hay tres pasos

de distancia de enrutamiento. Si x es entre 1/4 y 1/3 L L, hay cuatro pasos de distancia de

enrutamiento. Si x es entre 1/5 y 1/4 L L, hay cinco pasos de distancia de enrutamiento.

El nmero de pasos de distancia de enrutamiento en un tramo de enrutamiento se determina

dentro WinTR-20 y WinTR-55. La informacin detallada de enrutamiento pasos de distancia y los

coeficientes de enrutamiento se puede solicitar en la salida WinTR-20.

La constante de almacenamiento para el mtodo Muskingum-Cunge es:

=

. (17)

Con los valores de X y K determinados con base en la seccin transversal y alcanzan propiedades

hidrulicas, los coeficientes de enrutamiento en las ecuaciones 4 a 7 se calculan. La ecuacin de

enrutamiento (ecuacin 7) se resuelve para el alcance de cada vez y enrutamiento escaln de

distancia. El flujo de salida en el paso de tiempo 2 (O2) se resuelve utilizando los vertidos

conocidos I1, I2, y O1 (fig. 1).

Definicin y significado de m

La descarga versus relacin del rea de fin de secciones transversales simples (rectangular,

triangular o trapezoidal) se pueden encajar por una funcin de curva de potencia de la forma:

= . . (18)

Donde :

x = coeficiente,

m = exponente

El exponente m tiene un significado fsico que puede aadir a la comprensin del mtodo de

enrutamiento de Muskingum-Cunge. Segn la teora hidrulica, la velocidad a la que una onda de

avenida se desplaza aguas abajo se llama la celeridad y es igual a la pendiente de la descarga

frente a la curva de la zona final a una descarga dada. En forma de ecuacin:

=

. . (19)

where: d = operador de la derivada

Combinando las ecuaciones 18 y 19 y la diferenciacin con respecto al rea final A resulta:

=

= (1) =

()

=

(20)

= . (21)

Por consiguiente, el exponente m es un factor de relacin de velocidad media y la velocidad de la

onda o celeridad. La velocidad de la onda es importante para el mtodo de enrutamiento

Muskingum-Cunge en el clculo de los coeficientes de enrutamiento Muskingum-Cunge para el

alcance.

El valor de m se utiliza en el encaminamiento tiene un efecto importante en el clculo del tiempo

de viaje del hidrograma a travs de un alcance. El exponente m est inversamente relacionada con

el tiempo de viaje. Por lo tanto la seleccin de m puede afectar el momento de picos en cualquier

alcance y puede afectar la manera en que los hidrogramas tributarios suman al pico del

hidrograma en la corriente principal.

El programa WinTR-20 ha establecido internamente lmites en el valor de m utilizado en rutas de

alcance. Si el m es demasiado grande o demasiado pequeo hay una debilidad en ambos los

modelos matemticos y numricos. Un valor de menos de 1,0 m es realista porque la velocidad de

la onda o celeridad es menor que la velocidad de flujo promedio. Por lo tanto, el valor de m

utilizado en cualquier enrutamiento dado no se le permite ser inferior a 1,0.

La siguiente derivacin muestra cmo m puede calcularse a partir de la ecuacin de Manning.

La ecuacin de Manning para familiarizarse descarga puede ser reorganizado para:

=1.49

1/2

2/35/3 . (22)

Donde : n = coeficiente de rugosidad de Manning

P= permetro mojado,ft

Para secciones transversales donde el radio hidrulico (A / p) se puede aproximar por la

profundidad como de una amplia canal con un ancho de la parte superior, T, la ecuacin 22 toma

la forma:

= . (23)

Donde:

=

[1.49

12]

23

=3

5

La descripcin relativa celeridad y la ecuacin de Manning tratados simples formas de seccin

transversal, pero tambin es aplicable a la mayora de las secciones transversales del canal natural.

Este concepto no se aplica directamente a secciones transversales con dos canales y partes de

llanuras de inundacin. Descarga final de rea de parcelas para estos tipos de secciones

transversales generalmente exhiben cambios de pendiente y que tratan de adaptarse a una curva

de potencia a los datos puede dar lugar a diferencias significativas entre la trama original y la curva

ajustada

Si la pendiente de la curva de descarga de extremo rea trazada en papel log-log es mayor que

uno, la velocidad promedio en la seccin transversal est aumentando con el aumento de la

descarga. Si la pendiente es menor que uno, la velocidad promedio est disminuyendo con el

aumento de la descarga. La tercera posibilidad es que la pendiente es igual a uno y la velocidad es

constante, independientemente de la descarga.

En una seccin transversal llanura de inundacin, de Manning n es generalmente variables

lateralmente como n de Manning en el canal es diferente de la de la zona de inundacin. La

palabra "segmento" se refiere a una porcin de una seccin transversal con un valor asignado de

de Manning n. Para cualquier segmento nico de una seccin transversal de segmentos mltiples,

la velocidad promedio debera aumentar con el aumento de la descarga. Sin embargo, cuando la

adicin de la descarga y de la zona final para todos los segmentos para obtener la descarga total y

el rea total al final una seccin transversal, no puede haber elevaciones donde la velocidad

promedio en realidad disminuye a medida que aumenta el flujo. El caso ms comn de esto es en

los vertidos que superan la capacidad del canal con profundidad en la zona de inundacin para el

que la velocidad en el canal es mucho mayor que la velocidad en la zona de inundacin.

La pendiente de la curva de descarga de extremo zona donde la velocidad promedio disminuye

(que puede conducir a una celeridad mucho menos de uno) no representa la verdadera celeridad

o propagacin de la onda de velocidad. Por esta razn, se ha desarrollado un procedimiento para

calcular m en una seccin transversal.

Clculo de m a partir de datos de tabla de clasificaciones

Se requiere una tabla de especificaciones para representar el flujo en un tramo para completar

una ruta de Muskingum-Cunge en WinTR-20. Los datos requeridos incluyen la elevacin, descarga,

zona final, el ancho superior, y la pendiente de friccin para un mnimo de tres descargas (dos

veces mayor que cero). Todos los parmetros excepto pendiente de friccin deben aumentar de

un valor a la siguiente en la tabla. Si algn valor de la elevacin, el flujo, la zona del extremo, o

anchura superior es la misma o disminuyendo, habr un mensaje de error cuando se utiliza WinTR-

20.

Un valor de m se calcula en cada descarga de la tabla de clasificacin. Este procedimiento ser

reflejar los cambios en la pendiente de la aprobacin de la gestin frente a la curva de la zona final

se produce tpicamente por encima de la descarga de cauce lleno y en grandes descargas de

llanuras de inundacin.

Las ecuaciones utilizadas para calcular m son:

M=S(2,3) (24)

And () < (3) . . (25)

Donde: S (2, 3) = log-log pendiente de la curva de descarga de extremo rea entre puntos 2 and 3

Q (I) = descarga en nmero de flujo I, ft3 /s

.(26)

Donde la suma va desde I = 4 para el nmero de puntos de elevacin en la tabla de clasificacin y

m(I) = m en el numero de flujo I

S (I-1, I) =log-log pendiente de la curva de descarga -end rea log-log entre los puntos I-1 y I

Para:

.(27)

Cuando se calcula de esta manera m puede ser considerado una pendiente ponderada.

Cuando se desea m en un punto no tabulados, m se interpola de forma log-log.

Si la pendiente log-log entre cada dos puntos consecutivos en una tabla de calificacin es la

misma, m ser el mismo para todas las descargas. En otras palabras, una curva de potencia se

ajusta los datos con precisin. Cuando la pendiente diario de registro de las curvas de descarga de

extremo rea cambia, m va a cambiar. El valor de m impacta directamente en los valores del

almacenamiento constante K y el X factor de ponderacin utilizada en el procedimiento de

enrutamiento Muskingum-Cunge.

Un ejemplo de clculo de m para una curva de gastos es en la tabla 1.

Basado en las propiedades de la seccin transversal, la capacidad del canal es de 500 pies cbicos

por segundo. En las descargas superiores a 500 metros cbicos por segundo, la velocidad media se

reduce debido a la baja velocidad de llanura de inundacin. En las descargas anteriores 870

metros cbicos por segundo, el promedio de la velocidad aumenta de nuevo con flujo ms

profundo en la llanura de inundacin. La pendiente (log-log) entre cada par de puntos

consecutivos se calcula:

Para todas las descargas iguales o inferiores a 500 ft3 / s, m es de 1.5.

En una descarga de 870 pies3 / s,

En una descarga de 1.500 metros cbicos por segundo

En una descarga nontabulated, tales como 1000 pies cbicos por segundo, el valor de m es

interpolado entre los valores de m en las descargas tabulados superiores e inferiores sobre una

base log-log.

Tabla 1: Clculo de m para una curva de gastos

Pasos en el enrutamiento por el mtodo MuskingumCunge

Los pasos a seguir en la aplicacin del mtodo MuskingumCunge en WinTR-20 se describen a

continuacin. El propsito es permitir la comprensin del procedimiento, sus supuestos y

limitaciones, y la comprobacin de los resultados del programa de WinTR-20.

Paso 1: Encuentra el tiempo de subida del pico del hidrograma de entrada para ver si t del

hidrograma de entrada debe ser reducido. Esto se define en WinTR-20 como la diferencia entre

dos veces especificado, T1 y T2. T1 es el tiempo del punto hidrograma inmediatamente antes de la

una en la que la descarga es superior al 5 por ciento de la descarga pico del hidrograma de

entrada. T2 es el tiempo para el caudal mximo.

En el caso de hidrogramas multipeak, T2 es el tiempo del primer pico en el hidrograma que supera

el 50 por ciento de la descarga pico ms alto del hidrograma. Si hay menos de 10 intervalos de

tiempo entre T1 y T2, el hidrograma se interpola en un nuevo intervalo de tiempo de tal manera

que hay 10 intervalos entre los tiempos T1 y T2. Este intervalo de tiempo se utiliza en todo el

encaminamiento alcance.

Al final de la ruta de alcance, el hidrograma se interpola volver al intervalo de tiempo original. La

razn de este refinamiento del intervalo de tiempo es que cuando la subida del hidrograma se

produce en slo unos pocos pasos de tiempo, los resultados de la inestabilidad de exposiciones de

enrutamiento Muskingum-Cunge, lo cual es inaceptable.

Paso 2: Determinar el rea del extremo, ancho superior, m, y la pendiente de friccin en la

descarga de referencia. La descarga de referencia se define como el caudal pico del hidrograma de

entrada. El MuskingumCunge como se formula en WinTR-20 es un enrutamiento coeficiente

constante. Esto significa que para un paso de distancia de enrutamiento, los coeficientes

permanecen fijos. Si hay ms de un paso de enrutamiento distancia, la descarga de referencia es el

pico del hidrograma flujo de entrada en el extremo aguas arriba de cada escaln de distancia de

enrutamiento.

Paso 3: Calcular la celeridad de referencia, que es igual a m multiplicado por la descarga de

referencia dividido por el extremo de la zona de referencia.

=

. (28)

Donde :

= Celeridad de la onda de referencia (que corresponde al pico del hidrograma de entrada), ft / s

= Descarga pico del hidrograma de entrada, la descarga de referencia, pies3 / s

= , ft2

m= exponent

Paso 4: Calcular x (el enrutamiento distancia longitud del paso). Si x es mayor que la longitud

alcance, slo hay una distancia de paso de enrutamiento. Si el valor de X es menor que la

longitud alcance, el alcance se encamina en dos o ms pasos. Esto se determina dividiendo la

longitud alcance por la longitud del paso distancia de enrutamiento y esta relacin redondeo al

siguiente nmero entero superior. Por ejemplo, si la longitud de alcance es 8100 pies y x es 3000

pies, la relacin de longitud a x es de 2.7. Ronda de 2,7 hasta 3. Habra 3 enrutamiento pasos de

distancia de 2.700 metros cada uno. En realidad, x podra estar en cualquier lugar entre 2700 y

4049 pies, y an quedara 3 pasos de distancia de enrutamiento (la relacin de alcance longitud

para x raramente cae exactamente sobre un nmero entero como 3.0; pero cuando lo hace, es

decir el nmero de pasos de distancia de enrutamiento).

Paso 5: El final de la zona de referencia, m, ancho de la parte superior de referencia, y la pendiente

de friccin referencia se basan en el ejercicio de referencia (el caudal mximo en el extremo

superior del paso de distancia de enrutamiento). La celeridad de referencia, la constante K de

almacenamiento, el factor de ponderacin X, y los coeficientes de enrutamiento C0, C1, C2 y C3 se

calculan utilizando ecuaciones 4 a travs de 7, 15 y 17.

Paso 6: Calcular el nmero de Courant y el nmero de Reynolds cuadrcula. El nmero de Courant

CG es la relacin de la onda celeridad fsico a la celeridad rejilla Dx / Dt (Ponce 1989). Estos valores

se calculan para determinar si la ruta est dentro de los lmites de precisin del mtodo de

Muskingum-Cunge (vase el apndice 17-B para ms detalles).

Estos coeficientes son adimensional y se definen como:

= (3600)

. . (29)

Donde:

= Nmero de Courant, la relacin de la celeridad de la onda fsica a la celeridad rejilla x/t,

adimensionales

Desde K se define en la ecuacin 17

=

Una ecuacin simple para el nmero de Courant es:

= 3600

(30)

La rejilla nmero de Reynold Dg es el criterio matemtico que distingue laminar de flujo

turbulento.

=

(31)

Donde :

= Nmero de cuadrcula de Reynold, un criterio matemtico que distingue laminar de flujo

turbulento, sin dimensiones

=referencia a la anchura superior de la seccin transversal en la descarga pico del hidrograma de

entrada, pies

= referencia friccin pendiente en el caudal pico del hidrograma de entrada, ft / ft

Dado que X se define en la ecuacin 15 como:

=1

2[1

[(0)()]]

Una ecuacin simple para el nmero de cuadrcula Reynolds ( ) es:

= 1 2 (32)

() = 2.3 (33)

Donde: e= base de los logaritmos naturales, o aproximadamente 2.71828

Si Dg es inferior a Dg (crtico), las condiciones de enrutamiento estn dentro de los lmites de

precisin. Si Dg es mayor que Dg (crtico), las condiciones de enrutamiento estn fuera de los

lmites de precisin.

Paso 7: Las ecuaciones de enrutamiento se resuelven siguiente para cada paso de distancia de

enrutamiento mediante el siguiente procedimiento. El flujo de salida O2 se determina resolviendo

la ecuacin de enrutamiento (eq. 17-7) para cada paso de tiempo a partir de valores conocidos de

I1, I2 y O1. Repita los pasos 2 a 6 (pero no paso 3) para cada paso de distancia de enrutamiento si

hay ms de uno pasos de distancia de enrutamiento. Paso 3 no se repite porque el escaln de

distancia de enrutamiento y el nmero de pasos de distancia de enrutamiento ya han sido

determinadas.

Cuando se hayan completado todos los pasos de distancia de enrutamiento, se completa el

enrutamiento alcance. Cuando se ejecuta WinTR-20, el usuario puede obtener resultados

intermedios para el alcance de encaminamiento tales como los valores de los coeficientes de

enrutamiento y hidrogramas en cada paso distancia de enrutamiento.

Problema 01: La entrada y salida del hidrograma para un alcance de un ro se dan a

continuacin. Determinar el valor de los coeficientes de Muskingum K y X para el alcance.

Tiempo (hr) 0 24 48 72 96 120 144 168 192 216

G.Entrada (m3) 35 125 575 740 456 245 144 95 67 50

G. Salida (m3) 39 52 287 624 638 394 235 142 93 60

Solucin:

A partir de las lecturas diarias de los hidrogramas de entrada y salida, se toma una ruta

periodo t = 24 h = 1 da.

El almacenamiento de media se determina a partir de la Ec. (1)

(1 + 2)

2

(1 + 2)

2 = 2 1 . (1)

Luego el almacenamiento S acumulada se tabula. Para valores de prueba de x = 0,2, 0,25 y

0,3, los valores de [xI + (1 - x) O] se calculan en el Tabla 01.

Tabla 01: Determinacin de los coeficientes de Muskingum K y x para un tramo del ro.

Almacenamiento bucles para el alcance, es decir, las curvas de S vs. [XI + (1 - X) O] para

cada valor de prueba de X se representan grficamente como se muestra en la Figura, por

inspeccin, el valor medio de X = 0,25 se aproxima a una lnea recta y por lo tanto se elige

este valor de X. K se determina mediante la medicin de la pendiente de la lnea recta

mediana que se encontr que 0,7 das. Por lo tanto, para dado el alcance del ro, los

valores de los coeficientes son Muskingum

Tiempo G.Entrada G. Salida I-O Media Almacenamiento X=0.2 X=0.25 X=0.3

(hr) I O (m3) almacenanmiento acumulado 0.2I 0.8O Total 0.25I 0.75O Total 0.3I 0.7O Total

(m3) (m3) (m3-dia) (m3-dia) (m3) (m3) (m3)

0 35 39 -4 -2 -2 7 31.2 38.2 8.75 29.25 38 10.5 27.3 37.8

24 125 52 73 34.5 32.5 25 41.6 66.6 31.25 39 70.25 37.5 36.4 73.9

48 575 287 288 180.5 213.0 115 229.6 344.6 143.8 215.25 359 172.5 200.9 373.4

72 740 624 116 202.0 415.0 148 499.2 647.2 185 468 653 222 436.8 658.8

96 456 638 -182 -33.0 382.0 91.2 510.4 601.6 114 478.5 592.5 136.8 446.6 583.4

120 245 394 -149 -165.5 216.5 49 315.2 364.2 61.25 295.5 356.75 73.5 275.8 349.3

144 144 235 -91 -120.0 96.5 28.8 188 216.8 36 176.25 212.25 43.2 164.5 207.7

168 95 142 -47 -69.0 27.5 19 113.6 132.6 23.75 106.5 130.25 28.5 99.4 127.9

192 67 93 -26 -36.5 -9.0 13.4 74.4 87.8 16.75 69.75 86.5 20.1 65.1 85.2

216 50 60 -10 -18.0 -27.0 10 48 58 12.5 45 57.5 15 42 57

Figura 2: Almacenamiento bucles para el tramo del ro

X = 0.25, K = 0.7 das

Problema 02: Se dan las lecturas del hidrograma de entrada para un tramo de ro abajo para

que la Coeficientes de Muskingum de K = 36 hr y x = 0.15 se aplican. Ruta de la inundacin a

travs del alcance y determinar el hidrograma de salida. Tambin determinar la reduccin en el

pico y el tiempo del pico de flujo de salida.

Caudal de salida al principio de la inundacin se puede tomar como el mismo como entrada.

Solucin:

Datos : X=0.15, K= 36 hr=1.5 das,

Perodo de enrutamiento (de las lecturas hidrograma de entrada) = 12 horas =1/2 da.

Aplicamos la ecuacin (3)

2 = 11 + 22 + 31 . . (3)

Calcular C0, C1 y C2 de la siguiente manera:

0 =

+ 2(1 ) =

1/2

1.5+ 2(1 0.15) = 2.03

1 =[(

) + 2]

0=

[(1/21.5 ) + 2 0.15]

2.03= 0.31

2 =[(

) 2]

0=

[(1/21.5 ) 2 0.15]

2.03= 0.02

3 =[2(1 )

]

0=

[2(1 0.15) 1/21.5 ]

2.03= 0.67

Tiempo G.Entrada

(hr) I

(m3)

0 42

12 45

24 88

36 272

48 342

60 288

72 240

84 198

96 162

108 133

120 110

132 90

144 79

156 68

163 61

180 56

192 54

204 51

216 48

228 45

240 42

Verificar: 1 + 2 + 3 = 1

0.31 + 0.02 + 0.67 = 1

2 = 0.311 + 0.022 + 0.671

En la Tabla 2, I1, I2 son conocidos a partir del hidrograma de entrada, y O1 se toma como I1

en el comienzo de la inundacin ya que el flujo es casi constante.

Tabla 02:

Se supone igual a =42 m

3

2 = 0.02 45 + 0.31 42 + 0.67 42 = 42.06 3

Este valor de O2 se convierte en O1 para el prximo perodo de enrutamiento y el proceso

se repite hasta que la inundacin est completamente encaminado a travs del alcance.

El hidrograma de salida resultante se representar grficamente.

Tiempo G.Entrada G. Salida

(hr) I O

(m3) (m3) (m3) (m3) (m3)

0 42 42

12 45 0.9 13.0 28.1 42.1

24 88 1.76 14.0 28.2 44

36 272 5.44 27.3 29.4 62.1

48 342 6.84 84.3 41.6 132.8

60 288 5.76 106.0 89.0 200.7

72 240 4.8 89.3 134.5 228.6

84 198 3.96 74.4 153.1 231.5

96 162 3.24 61.4 155.1 219.7

108 133 2.66 50.2 147.2 200.1

120 110 2.2 41.2 134.1 177.5

132 90 1.8 34.1 118.9 154.8

144 79 1.58 27.9 103.7 133.2

156 68 1.36 24.5 89.3 115.1

163 61 1.22 21.1 77.1 99.4

180 56 1.12 18.9 66.6 86.6

192 54 1.08 17.4 58.0 76.5

204 51 1.02 16.7 51.2 69.0

216 48 0.96 15.8 46.2 63.0

228 45 0.9 14.9 42.2 58.0

240 42 0.84 14.0 38.9 53.6

0.022 0.671 0.311

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 50 100 150 200 250 300

G.Entrada I (m3)

G. Salida O (m3)