METODIKA POUČEVANJA OSNOV ELEKTROTEHNIKE · PDF filePeter Kitak, Tine Zorič METODIKA POUČEVANJA OSNOV ELEKTROTEHNIKE Minimalni nabor osnovnih zakonitosti E-publikacija Maribor,

Peter Kitak, Tine Zorič

METODIKA POUČEVANJA OSNOV

ELEKTROTEHNIKE Minimalni nabor osnovnih zakonitosti

E-publikacija

Maribor, 2013

I

Naslov publikacije: METODIKA POUČEVANJA OSNOV ELEKTROTEHNIKE

Minimalni nabor osnovnih zakonitosti

Vrsta publikacije: E-publikacija

Avtor: doc. dr. Peter Kitak

prof. dr. Tine Zorič

Strokovna recenzija: red. prof. dr. Igor Tičar, univ. dipl. inž. el., UM FERI

viš. pred. mag. Andrej Orgulan, univ. dipl. inž. el., UM FERI

Cveto Štandeker, univ. dipl. inž. el., pedagoški svetovalec

Jezikovna recenzija: Janja Kitak, prof. slov. jezika

Založništvo: Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Univerze v Mariboru

Dostopno: www.

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor

Copyright 2013, Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko Univerze v Mariboru, Laboratorij za osnove in teorijo v elektrotehniki

II

Kazalo vsebine

1 UVOD .................................................................................................................................................... 1

2 METODIČNA PRAVILA ............................................................................................................................ 4

3 ELEKTROSTATIČNA POLJA .................................................................................................................... 10

3.1 TEMELJNI NABOR OSNOVNIH ZAKONITOSTI ELEKTROSTATIČNIH POLJ ........................................................................... 11 3.1.1 Coulombov zakon ............................................................................................................................... 11 3.1.2 Električna poljska jakost in gostota električnega pretoka .................................................................. 13 3.1.3 Električna napetost in električni potencial .......................................................................................... 14

3.2 VPLIV SNOVNE LASTNOSTI DIELEKTRIKA NA ELEKTROSTATIČNO POLJE .......................................................................... 16 3.2.1 Polarizacija dielektrika in relativna dielektričnost .............................................................................. 16 3.2.2 Konstitucijski zakon elektrostatičnega polja v integralni obliki .......................................................... 18

3.3 KIRCHHOFFOVI ZAKONI ELEKTROSTATIČNIH POLJ ..................................................................................................... 19 3.3.1 Kirchhoffov zakon zaključene poti (zanke) .......................................................................................... 19 3.3.2 Kirchhoffov zakon zaključene ploskve (vozlišča) ................................................................................. 20

3.4 NAMESTITVE DIELEKTRIKOV IN KONDENZATORSKA VEZJA .......................................................................................... 20 3.4.1 Konfiguracije dielektrikov ................................................................................................................... 20 3.4.2 Kondenzatorska vezja ......................................................................................................................... 22

3.5 ENERGIJA ELEKTROSTATIČNEGA POLJA IN PROSTORSKA GOSTOTA ENERGIJE .................................................................. 24 3.6 NAJOŽJI NABOR OSNOVNIH ZAKONITOSTI ELEKTROSTATIČNEGA POLJA ......................................................................... 25

4 TOKOVNO POLJE ................................................................................................................................. 26

4.1 UPORABA ANALOGIJE Z ELEKTRIČNIM POLJEM ........................................................................................................ 27 4. 2 RAZLIKE MED ELEKTROSTATIČNIM IN TOKOVNIM POLJEM ......................................................................................... 28 4. 3 MEHANIZEM ELEKTRIČNEGA TOKA V KOVINAH ...................................................................................................... 29 4.4 OHMOV ZAKON V INTEGRALNI OBLIKI ................................................................................................................... 33 4.5 JOULOV ZAKON V DIFERENCIALNI OBLIKI ............................................................................................................... 34 4.6 JOULOV ZAKON V INTEGRALNI OBLIKI ................................................................................................................... 35 4.7 NAMESTITEV PREVODNIH SNOVI IN UPOROVNA VEZJA ............................................................................................. 36 4.8 STRUKTURNA POVEZANOST OSNOVNIH ZAKONITOSTI TOKOVNEGA POLJA .................................................................... 38 4.9 MINIMALNI NABOR OSNOVNIH ZAKONITOSTI TOKOVNEGA POLJA ............................................................................... 39

5 MAGNETNA POLJA ENOSMERNEGA TOKA ........................................................................................... 40

5.1 OSNOVNE ZAKONITOSTI MAGNETNEGA POLJA IZ ZORNEGA KOTA VZROK − POSLEDICA .................................................... 42 5.1.1 Magnetna napetost in magnetna poljska jakost ................................................................................ 42

5.2 GOSTOTA MAGNETNEGA PRETOKA ...................................................................................................................... 45 5.3 MAGNETNI PRETOK IN MAGNETNI SKLEP............................................................................................................... 47 5.4 SILE NA GIBLJIVE ELEKTRINE V MAGNETNEM POLJU ................................................................................................. 48 5.5 MAGNETNI POJAVI V MAGNETNIH SNOVEH ........................................................................................................... 50

5.5.1 Razlaga feromagnetizma .................................................................................................................... 50 5.5.2 Magnetilna krivulja ............................................................................................................................. 51 5.5.3 Konfiguracije magnetnih materialov .................................................................................................. 54 5.5.4 Magnetni krogi ................................................................................................................................... 56

6 INDUCIRANA ELEKTRIČNA POLJA ......................................................................................................... 58

6.1 OSNOVNE ZAKONITOSTI ČASOVNO/KRAJEVNO SPREMENLJIVIH MAGNETNIH POLJ .......................................................... 59 6.1.1 Elektromagnetna indukcija ................................................................................................................. 59

6.2 MAGNETNI SKLEP ............................................................................................................................................ 64 6.3 LASTNE IN MEDSEBOJNE INDUKTIVNOSTI .............................................................................................................. 66 6.4 FUNKCIJSKA POVEZAVA TOKA IN NAPETOSTI NA PASIVNIH ELEMENTIH ......................................................................... 67

III

6.5 ENERGIJSKE RAZMERE V MAGNETNEM POLJU ......................................................................................................... 68 6.5.1 Energija magnetnega polja ................................................................................................................ 69 6.5.2 Prostorska gostota energije magnetnega polja ................................................................................. 70 6.5.3 Sila na mejno ploskev gostotnice ........................................................................................................ 72

6.6 STRUKTURNA POVEZANOST VELIČIN MAGNETNEGA POLJA ........................................................................................ 73

7 MAXWELLOVI ZAKONI ..................................................................................................................... 76

7.1 FIZIKALNO OZADJE MAXWELLOVIH ENAČB ............................................................................................................ 77 7.1.1 Stavki o vektorskih poljih, ki so osnova Maxwellovih enačb ............................................................... 77

7.2 UPORABA GAUSSOVEGA IN STOKESOVEGA STAVKA V DEFINIRANJU MAXWELLOVIH ZAKONOV ......................................... 79

8 ZAKLJUČEK........................................................................................................................................... 85

LITERATURA ................................................................................................................................................... 86

IV

Vrhunska umetnost učitelja je vzbuditi v učencih uživanje v ustvarjalnem izražanju in znanju.

Einstein Albert

1

1 UVOD

Nikoli ničesar ne postane stvarno, dokler tega ne znamo potrditi s poskusom – še pregovor ni pregovor, dokler ga ne potrdi življenje.

Keats John

METODIKA POUČEVANJA OSNOV ELEKTROTEHNIKE -Minimalni nabor osnovnih zakonitosti

2

Živimo v obdobju eksplozivnega razvoja znanosti, saj se v obdobju enega desetletja celotno človeško znanje praktično podvoji. Če je še Newton lahko obvladal celotno področje matematike in fizike, so dandanes za obvladovanje vsakega nekoliko širšega področja znanosti potrebni timi oziroma skupine strokovnjakov.

Tehnika predstavlja del tega celokupnega človeškega znanja, njena prvenstvena naloga je zadostiti naraščajočim potrebam človeštva. Vzporedno z naraščanjem pomena tehnike raste tudi pomen tehniškega izobraževanja, saj ta omogoča prenos spoznanj in dosežkov na bodoče rodove in zagotavlja bodoči razvoj tehnike. Zato je ob vsem tem burnem razvoju tehnike zaskrbljujoče spoznanje, da zelo malo podobnega zasledimo na področju teorije tehniškega izobraževanja.

Čeprav pedagogika podaja splošna pravila in zahteve, ki veljajo za prav vsako področje izobraževanja, za pripravo in izvedbo tehniškega izobraževanja to ne zadostuje. Samo podajanje zahtev in pravil je premalo, če pri tem ne povemo, kako naj jih na nekem strokovnem področju uresničimo. Če so že v Sloveniji specialne didaktike izdelane za vsa področja splošnega izobraževanja, potem je nerazumljivo in škodljivo, zakaj je tako malo razumevanja za razvijanje specialnih didaktik tehniškega izobraževanja.

Splošno prepričanje, da že sama sinteza dobrega učiteljevega poznavanja stroke in upoštevanje splošnih pedagoških načel omogoča uspešno izobraževanje, je zmotno in zavajajoče. Tehniško izobraževanje mora biti racionalno, iz njega mora biti jasno razvidna rdeča nit, ki logično izpeljuje in povezuje osnovne zakonitosti stroke. Slušateljem mora dati znanje in napotke, kako to znanje v svojem strokovnem delu realizirati in katera orodja zato potrebujejo. Tehniško znanje, ki ga ne znamo potrditi z eksperimentom ali izračunom, je za tehnika jalovo in nekoristno znanje. Takšno tehniško uporabno znanje pa je pri neobstoječih specialnih didaktikah temeljnih tehniških predmetov zelo težko, če že ne nemogoče, posredovati.

Neobstoječe didaktike temeljnih tehniških predmetov pa so le ena od ovir pri izvedbi dolgoročno uspešnega tehniškega izobraževanja. Pri tako eksplozivnem razvoju tehniških znanosti se tudi razpoložljivo število učnih ur za izvedbo temljnih tehniških predmetov nenehno oži. Zato bo potrebno opredeliti naslednje:

a) Opredeliti spodnje meje števila ur, izpod katerih temeljito poznavanje temeljev stroke prehaja v napotke in recepte za reševanje določenih tehniških problemov.

b) Izdelati je potrebno metodike poučevanja temeljnih tehniških predmetov. Iz njih mora biti razvidna logična rdeča nit, ki povezuje razlago in izpeljavo osnovnih zakonitosti stroke. Med osnovne zakonitosti stroke spadajo le tiste, ki veljajo za prav vse smeri stroke.

c) Aplikacije osnovnih zakonitosti, ki so specifične le za posamezne smeri stroke, je potrebno vključiti v učne programe smeri strok.

Iz pravkar povedanega so razvidni razlogi, ki so naju privedli do tega, da bova v vrsti poglavij podala zasnutek metodike v specialni didaktiki elektrotehnike. Izraz zasnutek uporabljava zato, ker sva prepričana, da je mogoče vse povedano še dopolniti, izboljšati in izostriti. Zato predstavlja ta zasnutek na eni strani vabilo zainteresiranim elektrotehniškim strokovnim delavcem, da se vključijo v dokončno oblikovanje specialnih didaktik temeljnih tehniških predmetov, na drugi strani pa izziv slovenskim pedagogom, da se tudi oni zavzamejo za izdelavo specialnih didaktik nepedagoških področij, ali da njihove izdelave vsaj ne ovirajo.

V nadaljevanju bova skušala prikazati, kako si v vrsti e-gradiv predstavljava zasnutek metodike poučevanja Osnov elektrotehnike v obsegu, ki je skupen za vse smeri elektrotehniške stroke kot tudi širše.

Uvod

3

E-gradiva bova razdelila na tri spletne strani:

a) Metodika 1

V e-gradivu Metodika 1 bova obdelala minimalni obseg temeljnih zakonitosti, ki so skupna prav vsem smerem elektrotehnike. Iz njih naj bo razvidna strukturna povezanost osnovnih veličin in v polni meri izkoriščena oblikovna in/ali vsebinska analogija med posameznimi temeljnimi poglavji. To e-gradivo bo vsebovalo:

1. Uvod navaja razloge, zaradi katerih sva se odločila za objavljanje teh e-gradiv.

2. Metodična pravila bodo zajemala pravila in postopke pri razlagi in izpeljavi osnovnih zakonitosti. Ta v principu veljajo za vsa področja tehnike.

3. Elektrostatična polja bodo zajemala razlago in izpeljavo zakonitosti fizikalnih pojavov, ki jih v snoveh, ki so praktično brez gibljivih nosilcev elektrin, povzročajo mirujoče elektrine ali enosmerne napetosti.

4. Tokovna polja bodo zajemala razlago in izpeljavo zakonitosti fizikalnih pojavov, ki jih v snoveh z obilico gibljivih nosilcev elektrin povzročajo napetosti, oziroma od njih povzročena električna polja.

5. Stacionarna magnetna polja bodo zajemala razlago in izpeljavo zakonitosti magnetnih pojavov, ki jih v okoliškem prostoru (magnetnih in nemagnetnih snoveh) povzročajo enakomerno gibljive elektrine, oziroma enosmerni toki.

6. Inducirana električna polja bodo zajemala razlago in izpeljavo zakonitosti fizikalnih pojavov, ki jih povzročajo (časovno ali/in krajevno) spremenljiva magnetna polja.

7. Maxwellovi zakoni zaokrožujejo nabor osnovnih zakonitosti elektromagnetnih pojavov v elektrotehniki. Brez njih nabor osnovnih zakonitosti ni popoln. Bolj kot uporaba Maxwellovih zakonov je za razumevanje elektrotehnike pomembna njihov pomen in fizikalna razlaga.

8. Literatura. V njej bova navedla temeljna dela inženirske pedagogike in nekaj literature iz področja Osnov elektrotehnike, na katera naslanjava najina gradiva.

b) V e-gradivu Metodika 2 bo prikazana aplikacija temeljnih zakonitosti Osnov elektrotehnike v posameznih smereh elektrotehnike. Ker sva oba po stroki elektroenergetika, bo najin prispevek omejen le nanjo. Vabiva pa strokovnjake ostalih smeri, da v sklopu teh e-gradiv razdelajo aplikacijo osnovnih zakonitosti elektrotehnike za posamezne smeri. Zato ta spletna stran ostaja odprta za prispevke vseh, ki bi želeli doprinesti k metodiki poučevanja Osnov elektrotehnike.

c) V e-gradivu Metodika 3 bova nanizala nekaj specialnih metod, ki so zanimive le za nekatera specialna področja elektrotehnike ali pa na nek način širše osvetljujejo specialna fizikalna dogajanja. Tudi ta spletna stran ostaja odprta za prispevke vseh, ki bi želeli doprinesti k metodiki poučevanja Osnov elektrotehnike.

Da bi spodbudila sodelovanje širše strokovne javnosti, bova poskrbela, da bodo tako najini prispevki, kot tudi vseh ostalih, objavljeni tako v slovenskem jeziku, kot tudi v nemškem in angleškem jeziku. Zato bova za vse prispevke poskrbela tudi za prevod v ostala dva jezika.

4

2 METODIČNA PRAVILA

Znanje, ki omogoča, da fizikalne pojave bodisi izmerimo in izračunamo, predstavlja trdno in trajno znanje. Če tega ne zmoremo, to pomeni, da je naše znanje šibko, megleno in kratkotrajno.

Huygens Christiaan

Metodična pravila

5

Namen izobraževanja je v splošnem dvojen:

a) Posredovanje ročnih in praktičnih spretnosti. Te so vsebina industrijskih in poklicnih šol. Posredovanje teoretičnih vsebin je omejeno na obseg, ki zagotavlja uspešnost v primarni nalogi.

b) Posredovanje temeljitih teoretičnih znanj iz določenega tehniškega področja. Ročne in praktične spretnosti so sicer koristen dodatek, niso pa primarnega pomena za obvladanje določene tehniške stroke. To je vsebina visokošolskega izobraževanja.

Srednje tehniške šole in višje strokovne šole zajemajo v določeni meri obe smeri izobraževanja.

Metodična pravila, ki jih želiva obdelati v naslednjih odstavkih, se nanašajo le na visokošolski nivo posredovanja tehniških znanj, metodiko posredovanja ročnih in praktičnih spretnosti si morajo zainteresirani bralci poiskati v tovrstni literaturi.

Tehnika predstavlja uporabo fizike v tehniških problemih. Tako elektrotehnika razlaga skupek fizikalnih pojavov, ki jih v različnih snoveh in različnih konfiguracijah prostora povzročajo elektrine. Te lahko mirujejo, se gibajo enakomerno ali pospešeno in v različnih snoveh in konfiguracijah povzročajo specifične električne pojave.

Za temeljito poznavanje zakonitosti določenega tehniškega področja ni dovolj, da osnovne zakonitosti stroke poznamo. Poznati moramo tudi poti, kako do teh zakonitosti pridemo, kakšna je njihova strukturna povezanost in v katerih pogojih jih lahko uporabimo za reševanje tehniških problemov. Pri tem ima izreden pomen pravilno definiranje osnovnih zakonitosti stroke.

Naravni zakon je matematično formulirana zakonitost nekega naravnega pojava. Če ta velja za vse sorodne pojave, je to osnovni zakon, če pa le za enega od sorodnih pojavov, je to specialni ali izpeljani zakon.

Osnova in izhodišče za izpeljavo osnovnega zakona je navadno eksperiment ali poskus. Ker pa eksperiment vedno izvedemo za nek poseben primer, je s pomočjo eksperimenta določena zakonitost vselej specialni zakon. Da eksperiment ovrednotimo in s pomočjo njega pridemo do osnovnega zakona, je potrebno uporabiti ustrezno metodo.

Če želimo v razlago nekega določenega področja vpeljati nova spoznanja in zakonitosti, to lahko uresničimo na tri načine:

naravni zakon

(matematično formulirana zakonitost nekega naravnega

pojava)

osnovni zakon

(velja za vse sorodne pojave)

specialni ali izpeljani zakon

(velja le za enega od sorodnih pojavov)

METODIKA POUČEVANJA OSNOV ELEKTROTEHNIKE - Minimalni nabor osnovnih zakonitosti

6

a) da s pomočjo eksperimenta izpeljemo zakonitost

b) da z uporabo znanih zakonitosti pridemo do novih spoznanj (something new out of something known)

c) da znanim zakonitostim dodamo nove, ki izhajajo iz eksperimenta.

Iz zgoraj navedenega je razvidno, da v razlagi lahko izhajamo le iz že ugotovljenih spoznanj, nova spoznanja lahko uvedemo le s pomočjo eksperimenta. Če eksperimenta zaradi pomanjkanja opreme ne moremo opraviti, ga lahko tudi opišemo. Da eksperiment ovrednotimo in z njegovo pomočjo pridemo do zakonitosti, moramo uporabiti ustrezne metode.

Po svojem izvoru (iz grščine) pomeni metoda »pot do« ali »pot k«. V našem primeru to pomeni pot do spoznanja, do zakonitosti. Zato bomo metodo označili kot od snovi oziroma področja odvisno pot, ki vodi do spoznanja. Čeprav obstaja vrsta specialnih metod, pa vendar vsako od njih obravnavamo kot vsoto elementov, kjer ima vsak od elementov svoje značilnosti. Ti osnovni elementi so: a) analiza, b) sinteza, c) indukcija, d) dedukcija in e) analogija.

Analiza predstavlja razčlenitev fizikalnega pojava z namenom ugotovitve njegovih bistvenih značilnosti in elementov. Bistvene značilnosti in elementi so tisti, ki bistveno opredeljujejo potek naravnega pojava.

Sinteza je nasproten pojav od analize. Če smo pri analizi za naravni pojav iskali bistvene značilnosti in elemente, v sintezi iz znanih bistvenih značilnosti in elementov določamo pojmovno enoto naravnega pojava – specialni zakon.

Indukcija predstavlja posplošitev specialnega zakona, ki velja za enega od podobnih pojavov, na osnovni zakon, ki velja za vse podobne pojave.

nova zakonitost

eksperiment

znana zakonitost

znana zakonitost

+ nova zakonitost

znana zakonitost

eksperiment nova zakonitost +

Metodična pravila

7

Dedukcija predstavlja iz osnovnega zakona, ki velja za vse podobne naravne pojave, izpeljavo specialnega zakona, ki velja le za obravnavani naravni pojav.

Analogija predstavlja razlago nekega naravnega pojava ali osnovnega zakona na podlagi analogije z nekim drugim naravnim pojavom ali osnovnim zakonom. Pri tem gre lahko le za oblikovno, lahko pa tudi za vsebinsko analogijo.

Običajno so učne metode neka kombinacija zgoraj naštetih elementov. Če torej govorimo o induktivni ali deduktivni metodi, smatramo, da gre za učno metodo, v kateri sta indukcija ali dedukcija prevladujoči.

Katero učno metodo bomo uporabili, je odvisno od matematične podkovanosti slušateljev oz. od zahtevnostnega nivoja posredovanja učne snovi.

Neko fizikalno ali tehnično področje temeljito poznamo, kadar smo v stanju jasno prepoznati medsebojno strukturno povezanost vseh fizikalnih veličin, ki v tem pojavu nastopajo. To se nanaša tako na definicije kot zakonitosti.

Vsak fizikalni zakon (osnovni ali izpeljani) je vselej matematični predpis, ki izraža neko fizikalno veličino z ostalimi. Pri tem je smiselno vse fizikalne veličine deliti v dve skupini:

Naziv izhaja iz medsebojne povezanosti obeh ustreznih veličin. Tako je na primer gostota električnega toka J definirana kot tok na enoto ploskve:

2

d A

d m

iJ

A

in obratno električni tok i kot integral gostote električnega toka J skozi pravokotno stoječo ploskev A:

dA

i J A

diferencialne veličine

Veljajo le v posamezni točki obravnavanega prostora.

Primer: točka v prostoru med dvema

ploščama kondenzatorja.

fizikalne veličine

integralne veličine

Veljajo za ves obravnavani prostor.

Primer: prostor med dvema ploščama kondenzatorja.


8

Torej je tok i integralna in gostota električnega toka J pripadajoča diferencialna veličina.

Tako so diferencialne veličine vselej definirane kot integralne veličine na enoto dolžine, enoto ploskve ali enoto prostornine. Ponekod namesto izrazov integralne oz. diferencialne uporabljajo tudi izraz makroskopske oz. mikroskopske veličine.

Pretežna večina osnovnih zakonov (tudi v elektrotehniki) ima dve obliki: integralno in diferencialno:

Obe obliki sta vedno enako oblikovani, v njih pa nastopajo pripadajoče integralne oziroma diferencialne veličine.

V osnovnih zakonih, ki nimajo dveh oblik, lahko nastopajo tako integralne kot diferencialne veličine. Tipična primera takega zakona sta Coulombov in Lorentzov zakon.

Elektrotehnika ima štiri okvirna področja:

a) Elektrostatična polja obravnavajo pojave, ki jih povzročajo mirujoče elektrine v dielektrikih, to je snoveh praktično brez gibljivih nosilcev elektrin.

b) Tokovna polja obravnavajo električne toke, to je pojave, ki jih v prevodnikih, to je snoveh z gibljivimi nosilci elektrin, povzročajo električne poljske jakosti.

c) Magnetna polja enosmernega toka obravnavajo magnetne pojave, ki jih v magnetnih in nemagnetnih snoveh povzročajo enosmerni električni toki.

d) Inducirana električna polja zajemajo pojave, ki jih v snoveh povzročajo časovno ali/in krajevno spremenljiva magnetna polja.

V vsako od štirih osnovnih poglavij spadajo tudi pripadajoči Maxwellovi zakoni. Z njimi je ne le zaokrožen celovit nabor osnovnih zakonitosti elektrotehnike, temveč je mnogim integralnim zakonitostim dodan njihov diferencialni ekvivalent.

Vsa ostala poglavja elektrotehnike zajemajo uporabo osnovnih zakonitosti iz prvih štirih področij v specialnih pogojih posameznih elektrotehniških smeri.

V razlagi in izpeljavi osnovnih zakonitosti elektrotehnike moramo v vsakem temeljnem poglavju začeti z določitvijo tiste električne veličine in pripadajočega osnovnega zakona, ki omogoča z uporabo že znanih zakonitosti in eventuelno dodatnega eksperimenta določitev vseh ostalih električnih veličin tega področja. Če pri tem uporabimo eksperiment, potem s pomočjo analize in sinteze določimo pripadajoči specialni zakon. S pomočjo indukcije nato poiščemo osnovni zakon, ki splošno velja za vse podobne pojave z nekega področja. Ko poznamo osnovni zakon, s pomočjo dedukcije izpeljemo specialne

Ohmov zakon

integralna oblika

I U G

diferencialna oblika

J E

Veljajo le v posamezni točki obravnavanega

prostora.

Primer: točka v prostoru med dvema ploščama

kondenzatorja.

Metodična pravila

9

zakone za ostale podobne pojave. Pri smiselnem dojemanju fizikalnih zakonitosti lahko služi tudi analogija, še zlasti takrat, kadar ni le oblikovna, temveč tudi vsebinska.

Če je le mogoče, izpeljemo osnovni zakon iz najbolj enostavnega specifičnega primera. Obravnava le-tega je navadno najbolj enostavna, pot določitve in zaključke si najlaže zapomnimo. Tako pridobljeno znanje je tisto, ki si ga moramo potem zapomniti za vse življenje.

Osnovne zakonitosti izpeljemo večinoma za neke idealne razmere. Tako izpeljane zakonitosti sicer veljajo splošno, jih pa za določitev izhodiščnih veličin v neidealnih razmerah ne moremo vselej uporabiti. Zato mora tehnik za vsak specialni primer vedeti, ali ga lahko razreši po postopkih, ki veljajo za idealizirane razmere, ali pa je potrebno za razrešitev neidealnega primera uporabiti poseben postopek in če je to potrebno, katerega.

Metodike in didaktike tehniških področij obravnava Inženirska pedagogika. Inženirska pedagogika je mlada veda, saj je stara komaj dobrega pol stoletja. Ker se bova v svojem prispevku omejila predvsem na uporabo inženirske pedagogike v elektrotehniki, bova v prilogi navedla temeljna dela inženirske pedagogike in literaturo, iz katere je bolj podrobno razvidno, kako je mogoče v tej razpravi obravnavane postopke uresničiti. V tej literaturi so zajeti tudi psihološki, socialni in okoljski vidiki, ki jih midva ne bova obravnavala.

Snov, ki jo bova podala v naslednjih poglavjih, seveda nima namena, da bi predstavljala učbenik iz Osnov elektrotehnike. Je le napotek za odvijanje poučevanja. Podaja pa način in vrstni red podajanja učne snovi tako, da je jasno razvidna rdeča nit izpeljav in medsebojnih povezanosti osnovnih zakonitosti elektrotehnike.

10

3 ELEKTROSTATIČNA POLJA

Gostotnico si predstavljam kot napeto elastiko, po dolžini se skuša skrčiti, po širini pa razširiti.

Faraday Michael

Vsebina

3.1 TEMELJNI NABOR OSNOVNIH ZAKONITOSTI ELEKTROSTATIČNIH POLJ

3.1.1 Coulombov zakon

3.1.2 Električna poljska jakost in gostota električnega pretoka

3.1.3 Električna napetost in električni potencial

3.2 VPLIV SNOVNE LASTNOSTI DIELEKTRIKA NA ELEKTROSTATIČNO POLJE

3.2.1 Polarizacija dielektrika in relativna dielektričnost

3.2.2 Konstitucijski zakon elektrostatičnega polja v integralni obliki

3.3 KIRCHHOFFOVI ZAKONI ELEKTROSTATIČNIH POLJ

3.3.1 Kirchhoffov zakon zaključene poti (zanke)

3.3.2 Kirchhoffov zakon zaključene ploskve (vozlišča)

3.4 NAMESTITVE DIELEKTRIKOV IN KONDENZATORSKA VEZJA

3.4.1 Konfiguracije dielektrikov

3.4.2 Kondenzatorska vezja

3.5 ENERGIJA ELEKTROSTATIČNEGA POLJA IN PROSTORSKA GOSTOTA ENERGIJE

3.6 NAJOŽJI NABOR OSNOVNIH ZAKONITOSTI ELEKTROSTATIČNEGA POLJA

Elektrostatična polja

11

3.1 Temeljni nabor osnovnih zakonitosti elektrostatičnih polj

3.1.1 Coulombov zakon

Če izhajamo iz zahteve, da lahko do novih zakonitosti pridemo le iz že znanih zakonitosti ali eksperimenta, potem je smiselno, da izpeljavo zakonitosti elektrotehnike začnemo s pojavi, ki jih povzročajo mirujoče elektrine. Prostor, ki ga v električno napeto stanje spravijo mirujoče elektrine, imenujemo elektrostatično polje.

Na začetku ugotavljanja in razlage zakonitosti elektrotehnike najprej navedimo tista dejstva, ki so tudi laikom znana:

1) Obstajata dve vrsti elektrin: pozitivne in negativne. Naziv izhaja iz dejstva, da se elektrine seštevajo kot realna števila.

2) Vsaka elektrina je vselej celoštevilčni mnogokratnik elementarne elektrine e0.

3) Nosilec negativne elementarne elektrine je elektron in nosilec pozitivne elementarne elektrine proton.

4) Ker je v materiji (atomu) enaka količina pozitivne in negativne elektrine, smatramo kot elektrino le presežek ene od obeh elektrin. Za nasprotnoimensko elektrino pogosto predpostavljamo, da se nahaja v neskončnosti.

5) Nasprotnoimenske elektrine se privlačijo in istoimenske se odbijajo.

Za razumevanje električnih (in magnetnih) lastnosti snovi moramo poznati model atoma. Za razlago osnovnih zakonitosti elektrotehnike zadostuje Bohrov model atoma. Iz njega logično izhaja prva (črno-bela) razdelitev snovi na dielektrike (izolatorje) in prevodnike. Med dielektrike štejemo tiste snovi, ki praktično nimajo gibljivih nosilcev elektrin. Nasprotno imajo prevodniki obilico prostih nosilcev elektrin.

Sploh prvo zakonitost elektrotehnike je 1795 s poskusom ugotovil Coulomb in se po njem imenuje Coulombov zakon. Po merilni skici na sliki 3.1 je s poskusom za dve nasprotnoimenski elektrini +Q1 in –Q2 ugotovil z analizo.

Slika 3.1 Coulombov poskus analize privlačne sile med dvema nasprotnoimenskima elektrinama

+Q1 -Q2

F F


12

F ≈ Q1 - Sila je sorazmerna elektrini Q1

F ≈ Q2 - Sila je sorazmerna elektrini Q2

F ≈ 1/r2 - Sila je obratno sorazmerna kvadratu razdalje r2

F ≈ k - Sila je sorazmerna faktorju

1

4k - prostorski kot

F

1

- Sila je obratno sorazmerna snovni lastnosti dielektrika

Za osamljeno krogelno elektrino v zraku (ali praznem prostoru) je vrednost 0/k enaka

9

0 0

19 10

4

k [Vs/Am]

saj se elektrostatično polje krogelne ali točkaste elektrine radialno širi v prostorski kot 4 .

Z zgornjo analizo je Coulomb ugotovil, da je sila med dvema krogelnima (točkastima) elektrinama premo sorazmerna velikosti elektrin ter obratno sorazmerna kvadratu razdalje med elektrinama, prostorskemu kotu 4 in snovni konstanti (dielektričnosti)

zraka 0 .

S sintezo značilnosti poskusa je potem prišel do zakonitosti

1 22

04

Q QF

r [N] (3.1)

Namesto kvocienta lahko uporabljamo dielektričnost 120 8,854 10 As/Vm in

prostorski kot 4 .

Ker ta oblika Coulombovega zakona velja le za dve točkasti (krogelni) elektrini, je v tej obliki seveda specialni zakon. Da dobimo splošno veljavno obliko, ga zapišemo v obliki

12 1 22

04

QF Q E Q

r

ali povsem splošno

F E Q [N] (3.2)

Ker je elektrina Q skalar, sila F pa vektor, je tudi veličina E vektor. Zato en. 3.2 zapišemo v obliki

F E Q [N] (3.3)

Veličino E imenujemo električna poljska jakost. Po iznosu in smeri je definirana kot sila, ki bi v dani točki elektrostatičnega polja delovala na pozitivno enoto elektrine +1As.

Za negativno elektrino Q imata inF E medsebojno nasprotni smeri.


13

Če pravkar povedano prenesemo na izraz 3.1, je

1

11 2

0

14

EQ

Er

(3.4)

električna poljska jakost, ki jo na mestu točkaste elektrine Q2 (torej na razdalji r) v

dielektriku ustvarja točkasta elektrina Q1. Tu je 11E enotni vektor v smeri električne

poljske jakosti. Torej je tudi zakonitost 3.4 specialna zakonitost, saj velja le za točkasto (krogelno) elektrino, medtem ko en. 3.3 velja splošno. Preden nadaljujemo z dedukcijo in indukcijo je potrebno razjasniti nekaj pojmov, ki so potrebni za razumevanje razlage.

3.1.2 Električna poljska jakost in gostota električnega pretoka

Na kovinski elektrodi je vsa elektrina zaradi odbojnih sil med istoimenskimi elektrinami vedno razporejena na površini elektrode. Površinska gostota elektrine je največja tam, kjer je površina elektrode najbolj ukrivljena. Poleg tega na površinsko gostoto elektrine dodatno vplivajo vse v bližini razporejene elektrine in nenaelektrena kovinska telesa.

Kot osamljeno elektrino smemo definirati elektrino, od katere so vse ostale elektrine in kovinska telesa toliko oddaljene, da praktično nič ne vplivajo na razporeditev elektrine na površini elektrode. Zato za osamljeno elektrino na elektrodi z enakomerno ukrivljenostjo površine velja, da je ta enakomerno porazdeljena.

Q

A [As/m2] (3.5)

Sicer bi morali za posamezne točke na površini naelektrene elektrode površinsko gostoto elektrine računati z:

limA

Q

A

(3.6)

Nadalje moramo definirati silnice in gostotnice.

Silnica izvira na pozitivni elektrini in ponikne na pripadajoči negativni elektrini. Tangenta na silnico v dani točki elektrostatičnega polja kaže v smeri električne poljske jakosti, večja gostota silnic pa pomeni močnejšo električno poljsko jakost.

Gostotnico si predstavljamo kot cevko, ki povsod v prostoru oklepa enak električni pretok el Q , na začetku gostotnice (ob elektrodah) pa obe pripadajoči nasprotno

imenski elektrini Q . Zato za gostoto električnega pretoka D za osamljeno elektrino na

enakomerno ukrivljeni elektrodi velja

elDA

[As/m2] (3.7)

Odtod je razvidno, da za osamljeno krogelno elektrino v zraku velja

24

QD

r [As/m2] in (3.8)

0

DE [V/m] (3.9)


14

kjer sta (razen v anizotropnih dielektrikih) D in E kolinearna vektorja.

Poleg krogelne površine poznamo še dve enakomerno ukrivljeni površini:

a) površina valja in

b) površina ravne ploskve.

Zato v primeru osamljene elektrine en. 3.7 in en. 3.9 veljata tudi zanju.

Medtem, ko si osamljeno krogelno in valjno elektrino lahko predstavljamo, za osamljeno neskončno ravnino to ni slučaj. Pač pa imamo pogosto opravka z dvema vzporednima nasprotno imenskima ravninskima elektrinama.

Tako je elektrostatično polje osamljenega valja ravninsko radialno polje z gostoto električnega pretoka

2 2

Q q l qD

A r l r [As/m] (3.10)

in električno poljsko jakostjo

2

D qE

r [V/m] (3.11)

Elektrostatično polje dveh raznoimensko naelektrenih ravnin pa je podano kar z en. 3.7 in en. 3.9, ki pa kot diferencialni zakonitosti veljata splošno v poljubnem elektrostatičnem polju. Enačbo 3.11 v njenem prvem delu pogosto imenujejo tudi osnovni zakon elektrostatičnega polja v diferencialni obliki, saj povezuje dve osnovni diferencialni veličini elektrostatičnih polj s snovno veličino prostora.

Elektrostatično polje poljubne prostorske porazdelitve elektrin je popolnoma določeno, če smo v stanju v vsaki točki polja izračunati električno poljsko jakost.

S simulacijami elektrostatičnih polj je vse pravkar povedano mogoče nazorno predstaviti.

3.1.3 Električna napetost in električni potencial

Ker smo za električno poljsko jakost ugotovili, da je to osnovna diferencialna veličina elektrostatičnega polja, je povsem logično, da za primere treh osamljenih elektrin (krogla, valj, ravnina) poiščemo tudi njej pripadajočo integralno veličino. Pri tem želimo pokazati, da za njeno določitev v celoti zadostuje poznavanje električne poljske jakosti, če je snovno-geometrijska konfiguracija elektrostatičnega polja znana.

Do premikanja elektrine v elektrostatičnem polju lahko pride na dva načina:

a) gibljivo elektrino (pozitivno) premikamo mi proti elektrostatičnemu polju in pri tem opravimo delo, kar se odraža v povečani delazmožnosti (potencialu) elektrostatičnega polja.

b) gibljivo elektrino (pozitivno) lahko premika polje v smeri električne poljske jakosti in pri tem polje opravlja delo na račun svoje delazmožnosti.

Za negativno elektrino sta smeri gibanja ravno nasprotni.


15

Slika 3.2 Premikanje pozitivne elektrine v elektrostatičnem polju

V elektrostatičnem polju na sliki 3.2 imamo v točki 1 električno poljsko jakost E , na

elektrino +Q deluje v smeri polja sila F E Q . Pri premikanju v smeri poti dl opravi

električno polje delo

d d d d cos dW F l Q E l Q E l Q U [J] (3.12)

kjer je diferencial napetosti dU definiran kot diferencial dela, ki ga v tem primeru opravi elektrostatično polje pri premiku pozitivne enote elektrine +1As na poti dl. Napetost med točkama 1 in 2 je za podano sliko

2

12

1

cos dU E l [V] (3.13)

Pri premiku elektrine po ploskvi, ki stoji povsod pravokotno na smer električnega polja (ekvipotencialna ploskev – njen vektor kaže v smeri polja), je kot 090 in pri premiku elektrine ne opravimo nobenega dela.

Odtod za tri osnovne geometrijske primere osamljenih elektrin velja:

2

1

12 20 0 1 2

d 1 1( )

4 4

r

r

Q r QU

r r r

[V] (3.14)

2

1

212

0 0 1

dln

2 2

r

r

rq r qU

r r

[V] in (3.15)

12

0

QU E d

A [V] (3.16)

Elektrostatično polje je prav tako v celoti opredeljeno, če znamo določiti električno napetost med dvema poljubnima točkama polja.

Pri fizikalnem razumevanju elektrostatičnega polja zelo nazorno sliko nudi analogija z zemeljskim gravitacijskim poljem. Potencialna energija vode mgh je poleg od mase vode odvisna le še od višinske razlike zgornje in spodnje gladine vode:

1 2h h h [m]

kjer so za izhodišče merjenja višin izbrali gladino morja

0oh [m]

+Q

dl

F

E

1

2


16

Podobno si lahko v elektrostatičnem polju izberemo izhodišče električnega potenciala V z

0 0V [V]

in napetost med dvema točkama izrazimo kot razliko električnih potencialov pripadajočih točk.

0

1

1 20 0 1 0

d 1 1( )

4 4

r

r

Q r QV

r r r

[V] (3.17)

0

1

01

0 0 1

dln

2 2

r

r

rq r qV

r r

[V] in (3.18)

1 0 1 0 1

0

( ) ( )Q

V x x E x xA

[V] (3.19)

Napetost med dvema točkama je potem povsod podana kot razlika potencialov v pripadajočih točkah:

12 1 2U V V [V] (3.20)

Edina razlika je v tem, da je v primeru zemeljskega gravitacijskega polja izhodišče potenciala fiksirano. V primeru elektrostatičnega polja pa lahko izhodišče potencialov večinoma poljubno izberemo. Le, če v fizikalni sliki nastopa zemlja, ima ta obvezno izhodišče potenciala V0=0.

S tem smo storili prvi osnovni korak: Od povzročitelja elektrostatičnega polja smo za tri elementarne oblike elektrin izpeljali zakonitosti za gostoto električnega pretoka D, električno poljsko jakost E ter električni potencial V oziroma električno napetost U.

Q D E U (3.21)

Za znano snovno-geometrijsko oblikovanost prostora je mogoča tudi obratna pot: od električne napetosti U do elektrine Q.

3.2 Vpliv snovne lastnosti dielektrika na elektrostatično polje

3.2.1 Polarizacija dielektrika in relativna dielektričnost

Če postavimo v elektrostatično polje snovni dielektrik, delujejo na elektrine v snovni strukturi dielektrika električne sile: na protone v smeri električne poljske jakosti in na elektrone v nasprotni smeri. Zaradi teh sil je dielektrik v elektrostatičnem polju v električno napetem stanju, v njem je nakopičena potencialna energija, ki jo bomo imenovali energija električnega polja. Pojav električno napetega dielektrika v elektrostatičnem polju imenujemo polarizacijo dielektrika.


17

Kvantitativno pojav ovrednotimo z naslednjim poskusom. Vzamemo dve kovinski elektrodi s ploskvijo A v medsebojni razdalji d. Enkrat naj bo dielektrik med elektrodama zrak, drugič pa nek drugi snovni dielektrik.

Slika 3.3 Kvantitativno ovrednotenje polarizacije dielektrika

a) dielektrik je zrak (prazni prostor)

b) dielektrik je nek drug snovni dielektrik

1. poskus

Elektrodi nabijemo za primer a z napetostjo U in vir nato odklopimo. Če elektrodi nato spraznimo prek balističnega galvanometra, izmerimo električni naboj Q0. Nato namestimo med elektrodi snovni dielektrik (slika 3.3b), ju nabijemo z isto napetostjo U in vir odklopimo (Ua=Ub). Ko elektrodi spraznimo prek balističnega galvanometra, izmerimo nakopičeno elektrino Q. Razmerje elektrin je

0: :1rQ Q , 1r (3.22)

2. poskus

Elektrodi nabijemo z napetostjo U. Nato vir odklopimo in med elektrodi namestimo snovni dielektrik (b). Napetost med elektrodama je padla na vrednost U´

´: 1: rU U , 1r (3.23)

Veličino r snovnega dielektrika imenujejo relativna dielektričnost, ta pove kolikokrat

je dielektričnost snovnega dielektrika večja od dielektričnosti praznega prostora.

Konstitucijska enačba elektrostatičnega polja v diferencialni obliki (imenuje se tudi pomožna Maxwellova enačba) ima za snovni dielektrik obliko

0 r

D

E (3.24)

Za ogromno večino snovnih dielektrikov ima relativna dielektričnost konstantno vrednost, zato govorimo o dielektrični konstanti.

d

U+ -

+Q0 -Q0

A

0

a)

d

U+ -

+Q0

A

b)

-Q0


18

3.2.2 Konstitucijski zakon elektrostatičnega polja v integralni obliki

Kapacitivnost

Naredimo še naslednji korak. Za osnovni zakon po en. 3.11 smo rekli, da je osnovni zakon elektrostatičnega polja v diferencialni obliki. Kakšen je potem pripadajoči zakon elektrostatičnega polja v integralni obliki? Do rezultata lahko pridemo na dva načina: a) s poskusom ali b) s sklepanjem.

Če za konstantno snovno-geometrijsko oblikovanost prostora med dvema kovinskima elektrodama z balističnim galvanometrom izmerimo elektrino Q, ki se je pri priključeni napetosti U nabrala na obeh elektrodah, ugotovimo naslednje: − pri napetosti U1=U se je na elektrodah nakopičila elektrina Q1=Q, − pri napetosti U2=2U se je na elektrodah nakopičila elektrina Q2=2Q, − pri napetosti U3=3U se je na elektrodah nakopičila elektrina Q3=3Q itd.

Pri konstantni snovno-geometrijski oblikovanosti prostora, se razmerje Q:U ne spremeni. Odvisno je le od geometrijske oblike in razporeditve elektrod ter snovne lastnosti dielektrika med njima. To razmerje predstavlja snovno-geometrijsko lastnost dane razporeditve elektrod, imenujemo ga kapacitivnost C.

AsF

V

QC

U (Farad) (3.25)

Napravo, katere najbolj izrazita lastnost je kapacitivnost, imenujemo kondenzator.

Do istega rezultata lahko pridemo tudi s sklepanjem. Če poznamo pare pripadajočih integralnih in diferencialnih veličin

Q D

U E

C

(3.26)

in vemo, da je osnovni zakon v integralni obliki povsem enako oblikovan kot osnovni zakon v diferencialni obliki, le da so vse diferencialne veličine nadomeščene s pripadajočimi integralnimi, potem je očitno, da mora veljati

D Q

CE U

Ponekod uporabljajo tudi recipročno vrednost kapacitivnosti in jo imenujejo potencialni koeficient F

1 VDaraf

As

UF

C Q (3.27)

Tako je iz zakonitosti 3.14, 3.15 in 3.16 mogoče direktno zapisati kapacitivnosti sferičnega, valjnega in ploščatega kondenzatorja.


19

3.3 Kirchhoffovi zakoni elektrostatičnih polj

Podobno kot poznamo integralne in diferencialne veličine, ima tudi pretežna večina osnovnih zakonitosti svojo integralno in diferencialno obliko. Pri tem je integralna oblika zakonitosti lahko podana: a) kot linijski integral diferencialne veličine po poti, b) kot ploskovni integral diferencialne veličine po ploskvi ali c) kot prostorski integral diferencialne veličine po prostornini.

Tako smo imeli:

2

12

1

V

d [V]

d [As] in

d [As]

A

U E l

Q D A

Q V

(3.28)

Te zakonitosti so še posebej zanimive, če gre za zaključene poti, zaključene ploskve ali zaključene prostornine.

Ker energije elektrostatičnega polja še nismo obravnavali, bomo zaenkrat le omenili naslednjo obliko

d [J]e e

V

W w V (3.29)

3.3.1 Kirchhoffov zakon zaključene poti (zanke)

Ker je v primeru zaključene poti začetna točka istočasno tudi končna, mora za zaključeno pot v elektrostatičnem polju veljati

d 0s

l

E l (3.30)

To velja tako za zaključeno pot v elektrostatičnem polju kot za zaključeno pot v kondenzatorskem vezju. Za zaključeno pot v elektrostatičnem polju z uporabo Stokesovega stavka dobimo

rot 0sE (3.31)

Za zaključeno pot v kondenzatorskem vezju pa

g CU U (3.32)

Prvi izraz pove, da elektrostatično polje ni vrtinčno, drugi pa, da je v zaključeni zanki v kondenzatorskem vezju vsota gonilnih napetosti enaka vsoti padcev napetosti na kondenzatorjih.


20

3.3.2 Kirchhoffov zakon zaključene ploskve (vozlišča)

Če v elektrostatičnem polju poiščemo integral gostote električnega pretoka po zaključeni ploskvi A, sta možni dve rešitvi

dA

D A Q (3.33)

kjer je Q algebrska vsota elektrin v zaključeni ploskvi. Ker velja tudi

dQ V

z uporabo Gaussovega stavka zapišemo diferencialni ekvivalent

div E

(3.34)

kar pomeni, da ima elektrostatično polje skalarni izvor. Izvira na pozitivni in ponira na negativni elektrini.

Druga možna rešitev je

d 0A

D A (3.35)

kar pomeni, da znotraj zaključene ploskve elektrine ni ali pa je njena algebrska vsota enaka nič. Z uporabo Gaussovega stavka dobimo

div 0D (3.36)

kar pomeni, da v zaključeno ploskev vstopa toliko gostotnic, kolikor jih iz nje izstopa; v zaključeni prostornini ni skalarnega izvora elektrostatičnega polja.

3.4 Namestitve dielektrikov in kondenzatorska vezja

V tem poglavju želiva pokazati, da je v obeh Kirchhoffovih zakonih zajeto vse, kar potrebujemo za razlago in ovrednotenje pojavov pri: a) različnih prostorskih konfiguracijah dielektrikov in b) razreševanju kondenzatorskih vezij.

3.4.1 Konfiguracije dielektrikov

V elektrostatičnih poljih lahko nastopajo snovno-geometrijske konfiguracije dielektrikov z različnimi dielektričnostmi. Tako je na sliki 3.4 prikazan prehod elektrostatičnega polja, kjer je meja dveh gostotnic tudi meja dveh dielektrikov (tangencialni prehod polja). Če tu za zaključeno pot abcda uporabimo zakon zanke, dobimo:


21

1 2d 0ab cd

abcda

E l E l E l (3.37)

saj je na obeh prečnih delih zaključene poti skalarni produkt enak nič. Odtod je zaradi

ab=cd

1 2E E (3.38)

Pri tangencialnem prehodu elektrostatičnega polja električne poljske jakosti prestopajo zvezno.

Enačbo 3.38 lahko zapišemo tudi v obliki:

1 2 1 1

1 2 2 2

D D D

D, 2 1 (3.39)

Slika 3.4 Tangencialni prehod elektrostatičnega polja na meji dveh dielektrikov

Gostote električnega pretoka pri tangencialnem prehodu elektrostatičnega polja prehajajo v premem sorazmerju dielektričnih konstant.

Druga možnost je, da meja dveh dielektrikov deli gostotnico na dva zaporedna odseka (normalni prehod polja), kot to kaže slika 3.5.

Slika 3.5 Normalni prehod polja na meji dveh dielektrikov

Ker znotraj zaključene ploskve ni elektrin, ima zakon zaključene ploskve obliko:

1 1 2 2d d d 0A

D A D A D A (3.40)

Ker sta diferencialni ploskvi enako veliki, velja:

1 2D D (3.41)

1E

2E2

1

ab

cd

d 1A

2

1

1D2Dd 2A


22

Pri normalnem prehodu elektrostatičnega polja gostote električnega pretoka prehajajo zvezno.

Iz

1 21 1 2 2

2 1

EE E

E (3.42)

pa izhaja, da pri normalnem prehodu elektrostatičnega polja na meji dveh dielektrikov električne poljske jakosti prehajajo v obratnem sorazmerju dielektričnosti.

Če pri poševnem prehodu elektrostatičnega polja vstopno in izstopno veličino razdelimo na tangencialno in normalno komponento in zanju upoštevamo zakonitosti prehoda, dobimo lomni zakon za poševni prehod elektrostatičnega polja:

1 1

2 2

tan

tan (3.43)

3.4.2 Kondenzatorska vezja

Pod pojmom razrešitev kondenzatorskega vezja razumemo določitev elektrin in napetosti na vseh kondenzatorjih vezja.

Izhodišči za določitev postopkov razrešitve kondenzatorskih vezij sta že navedeni zakonitosti zaključene poti in zaključene ploskve (vozlišča).

Slika 3.6 Zaključena zanka v kondenzatorskem vezju

Če na vzporedno vezana kondenzatorja s kapacitivnostma C1 in C2 priključimo zunanji vir napetosti U ter poiščemo spremembo električnega potenciala po zaključeni zanki iz

1 2 0U U

dobimo

1 2U U U (3.44)

Napetosti na vzporedno vezanih kondenzatorjih sta enaki!

Elektrina, ki priteče na dva vzporedno vezana kondenzatorja, je enaka

C1

+ -

C2

+ -

+ -

U1

U2


23

1 2 1 2( )Q Q Q U C C U C

Dva vzporedno vezana kondenzatorja smemo nadomestiti s kondenzatorjem z nadomestno kapacitivnostjo

1 2C C C (3.45)

Iz en. 3.44 tudi izhaja

1 2 1 1

1 2 2 2

Q Q Q C

C C Q C (3.46)

Na dveh vzporedno vezanih kondenzatorjih sta elektrini v premem sorazmerju s kapacitivnostjo.

Slika 3.7 Zaključena ploskev v kondenzatorskem vezju

Če na dveh zaporedno vezanih kondenzatorjih po sliki 3.7 uporabimo zakonitost zaključene ploskve, dobimo iz dejstva, da v zaključeno ploskev priteče enaka elektrina, kot iz nje odteče

1 2Q Q Q (3.47)

ter je vsota napetosti na zaporedno vezanih kondenzatorjih enaka priključeni napetosti

1 21 2

1 2

Q QQU U U

C C C (3.48)

Odtod izhaja pravilo za določitev nadomestne kapacitivnosti dveh vzporedno vezanih kondenzatorjev

1 2

1 1 1

C C C (3.49)

Iz 3.47 izhaja

1 21 1 2 2

2 1

U CU C U C

U C (3.50)

Čeprav so metode razreševanja kondenzatorskih vezij zanimive za prav vse smeri elektrotehnike, je iz povedanega razvidno, da je v obeh zakonih: zakonu zaključene poti (zanke) in zaključene ploskve (vozlišča) že zajeto vse, kar je za njihovo razumevanje potrebno.

C1

+ -

C2

+ - + -

U1 U2


24

3.5 Energija elektrostatičnega polja in prostorska gostota energije

Pojavi v elektrostatičnem polju so reverzibilni. Vloženo delo pri premiku elektrine je mogoče kopičiti v energiji elektrostatičnega polja in energijo elektrostatičnega polja zopet spremeniti nazaj v delo ali druge oblike energije.

V uvodu v poglavje o elektrostatičnem polju smo tega definirali kot električno napet prostor, v katerem je, zaradi vpliva mirujočih elektrin, dielektrik v elastično napetem stanju. Zato je v elastično napetem dielektriku nakopičena potencialna energija, ki jo imenujemo energija elektrostatičnega polja.

Slika 3.8 Delovna karakteristika linearnega kondenzatorja

Kondenzator je energijska posoda elektrostatičnega polja. Za skoraj vse dielektrike (izjema so le feroelektriki) je kondenzator linearen element, njegova delovna karakteristika je podana na sliki 3.8.

Ko pri napetosti u med ploščama kondenzatorja dovedemo nanju diferencial elektrine dQ, se napetost med ploščama poveča za diferencial napetosti du. Pri tem se je povečala energija električnega polja za

d d deW u Q C u u (3.51)

Ko smo na kondenzator dovedli tolikšno elektrino Q, da napetost med ploščama drži ravnotežje priključeni napetosti U, je v kondenzatorju nakopičena energija elektrostatičnega polja

2 2

0

d2 2 2

U

e

C U Q U QW C u u

C

[J] (3.52)

Količina energije elektrostatičnega polja, ki je nakopičena v enoti prostornine dielektrika, je definirana kot prostorska gostota energije elektrostatičnega polja. Ker je energija elektrostatičnega polja integralna veličina, je prostorska gostota energija pripadajoča diferencialna veličina. Če vsako integralno veličino v izrazu 3.52 nadomestimo s pripadajočo diferencialno veličino, lahko izraz zanjo direktno zapišemo:

We

dWe

Q

U

dQ

du


25

2 2

2 2 2e e

E D E Dw f [J/m3=N/m2] (3.53)

Iz pravkar zapisanega je razvidno, da je dimenzija prostorske gostote energije elektrostatičnega polja enaka sili na enoto ploskve gostotnice. Ko je Faraday uvedel idejo silnic in gostotnic, ga je nekdo od poslušalcev ironično vprašal, kaj si pod gostotnico (ki je sploh ne vidimo) predstavlja. Faraday mu je odgovoril, da si gostotnico predstavlja kot napeto elastiko, ki se skuša po dolžini skrajšati, po širini pa razširiti! Če je gostotnica istočasno meja dveh dielektrikov, skuša rezultantna specifična sila premakniti mejno ploskev smeri dielektrika z manjšo dielektričnostjo. Dandanes ta ideja omogoča določanje sil na mejne ploskve dielektrikov z različnimi dielektričnimi konstantami.

3.6 Najožji nabor osnovnih zakonitosti elektrostatičnega polja

Kot najožji nabor si predstavljamo tisti minimalni nabor osnovnih zakonitosti, ki brez dodatnega eksperimenta/poskusa omogočajo izpeljavo vseh preostalih osnovnih in specialnih zakonitosti določenega tehniškega področja. Njihovo medsebojno povezavo si najlepše predstavimo v grafični obliki.

Slika 3.9 Grafična povezava izpeljav in povezav osnovnih zakonitosti elektrostatičnih polj

Dodatno k tej grafični predstavitvi spada v minimalni nabor še Coulombov zakon in obe zakonitosti zaključene poti in zaključene ploskve v elektrostatičnem polju.

Q

CU

D

E

2e

D Ew

2e

Q UW

Q D E U

26

4 TOKOVNO POLJE

Vsaka resnica gre skozi tri razvojne faze. V prvi se iz nje norčujemo, v drugi ji ogorčeno nasprotujemo, v tretji pa se nam zdi samoumevna.

Schopenhauer Alfred

Vsebina

4.1 UPORABA ANALOGIJE Z ELEKTRIČNIM POLJEM

4. 2 RAZLIKE MED ELEKTROSTATIČNIM IN TOKOVNIM POLJEM

4. 3 MEHANIZEM ELEKTRIČNEGA TOKA V KOVINAH

4.4 OHMOV ZAKON V INTEGRALNI OBLIKI

4.5 JOULE-OV ZAKON V DIFERENCIALNI OBLIKI

4.6 JOULE-OV ZAKON V INTEGRALNI OBLIKI

4.7 NAMESTITEV PREVODNIH SNOVI IN UPOROVNA VEZJA

4.8 STRUKTURNA POVEZANOST OSNOVNIH ZAKONITOSTI TOKOVNEGA POLJA

4.9 MINIMALNI NABOR OSNOVNIH ZAKONITOSTI TOKOVNEGA POLJA

Tokovna polja

27

4.1 Uporaba analogije z električnim poljem

Drugo okvirno poglavje elektrotehnike zajema fizikalne pojave v prostoru, ki ga zaznamuje snovna lastnost medija – svojska prevodnost.

Obenem bi želela že tu predstaviti, da je strukturna povezanost osnovnih zakonitosti v vseh prvih treh okvirnih poglavjih skoraj enaka, zato lahko spoznanja iz elektrostatičnih polj, z upoštevanjem specifičnosti vsakega od treh, uporabimo tudi pri naslednjih dveh.

Kot tokovno polje definiramo prostor, ki izpolnjuje dva pogoja: a) v prostoru imamo gibljive nosilce elektrin, b) v prostoru imamo električno polje, kar ima za posledico gibanje elektrin.

Za izpeljavo temeljnih zakonitosti tokovnega polja lahko izhajamo iz prvega ali drugega pogoja.

Električni tok je definiran kot časovna sprememba elektrine po času

( )( ) lim [A]

t

Q ti t

t (4.1)

oziroma za enosmerni tok

[A]Q

It

(4.2)

Gostota električnega toka je definirana kot diferencial toka di skozi pravokotno ležečo ploskev dA

2

A( ) lim

mA

ij t

A (4.3)

oziroma za enosmerni tok

2

A

m

IJ

A (4.4)

Gostota električnega toka je z električno poljsko jakostjo, ki ga povzroča, povezana s snovno lastnostjo tokovnega polja, to je s svojsko prevodnostjo prevodnika

As

Vm

J

E (4.5)

To je diferencialna oblika Ohmovega zakona tokovnih polj.

Na dolžini l prevodnika imamo spremembo električnega potenciala (padec električne napetosti)

d [V]l

U E l (4.6)

oziroma za homogeno električno polje (konstantni presek A prevodnika) na dolžini l

U E l

To medsebojno povezanost elementarnih električnih veličin tokovnega polja grafično predstavimo na sliki 4.1.


28

Slika 4.1 Strukturna povezava temeljnih veličin tokovnega polja

Lahko pa bi izpeljavo izvedli tudi v nasprotni smeri. Iz priključene napetosti U na vodniku dolžine l bi določili električno poljsko jakost v vodniku

V

m

UE

l (4.7)

Za znano vrednost svojske prevodnosti bi določili gostoto električnega toka

2

A

mJ E (4.8)

In odtod tok v vodniku

dA

I J A (4.9)

[A]I J A (4.10)

Zanimivo je spoznanje, da so v razlagi zakonitosti tokovnih polj uporabljali oba pristopa. Prvi je novejši. Ta uporablja svojsko prevodnost in ohmsko prevodnost G. Po

izpeljavi še preostalih osnovnih zakonitosti bomo ugotovili, da sta strukturni povezanosti osnovnih zakonitosti elektrostatičnega in tokovnega polja enaki, tudi dimenzijsko, le da je enota As nadomeščena z A.

Na začetku razvoja elektrotehnike in tudi na nižjih nivojih pa so uporabljali drugi pristop, namesto svojske in ohmske prevodnosti njuni recipročni vrednosti − svojsko upornost in ohmsko upornost R, oziroma pristop k tokovnemu polju iz zornega kota

napetosti. Kasneje bomo ugotovili, da bi bil ta pristop s stališča strukturiranosti osnovnih veličin magnetnega polja ugodnejši.

4. 2 Razlike med elektrostatičnim in tokovnim poljem

Ko s pridom uporabljamo analogijo med elektrostatičnim in tokovnim poljem, se moramo ob tem zavedati tudi bistvenih razlik med obema. Medtem ko v elektrostatiki svojsko lastnost dielektrika – dielektričnost obravnavamo kot konstantno snovno veličino, saj tistih nekaj feroelektrikov (segnetoelektrikov) ne igra nobene pomembne vloge, za svojsko prevodnost kot snovno lastnost prevodnikov to več ne velja.

I J E U

Tokovna polja

29

Čeprav splošno kot prevodnik definiramo vsako snov z gibljivimi nosilci elektrin, glede na mehanizem električnega toka v prevodni snovi, te delimo na: a) kovine, v katerih so gibljivi nosilci elektrin prosti elektroni ; b) elektrolite, v katerih so gibljivi nosilci elektrin pozitivni in negativni ioni; c) ionizirani plini, v katerih imamo proste elektrone ter pozitivne in negativne ione; d) vakuum, v katerem smo z emisijo (termo-, foto- itd.) ustvarili proste elektrone in e) polprevodnike, kjer smo z dodajanjem pet- ali trivalentnih snovi ogljiku, siliciju in germaniju ustvarili gibljive elektrine: valenčne elektrone in vrzeli.

Za vsako vrsto prevodnih snovi moramo poznati mehanizem električnega toka in specialne zakonitosti, ki veljajo za gibanje elektrin v vsaki od prevodnih snovi, čeprav osnovna zakonitost velja za vse prevodne snovi.

Tako so kovine najbolj pomembni prevodniki električnega toka v elektroenergetiki; elektroliti v elektrokemiji in galvaniki; ionizirani plini, vakuum in električni oblok v stikalih in katodnih odvodnikih; polprevodniki v elektroniki in digitalni tehniki. Zato temeljito poznavanje mehanizma električnega toka v vsaki vrsti prevodnih materialov predstavlja zelo specifično znanje. Zato bomo nekoliko bolj podrobno tu obravnavali le kovinske prevodnike, ker bodo nekatera tu dobljena spoznanja v splošnem veljala za vse vrste prevodnih snovi. Podrobna obravnava prevodnosti snovi pa je specifičnost posameznih smeri elektrotehnike.

Električno polje v prevodni snovi seveda ni elektrostatično polje, saj ga ne ustvarijo mirujoče elektrine, temveč viri električne napetosti. Ti so predvsem generatorji (enosmerni in izmenični) ter galvanski členi. Če na prevodnik priključimo vir električne napetosti, dobimo v prevodni snovi električno poljsko jakost in zaradi nje gibanje gibljivih nosilcev elektrin, tj. električni tok.

Tudi za tokovno polje zopet lahko trdimo, da je v celoti opredeljeno, če v vsaki točki tokovnega polja poznamo električno poljsko jakost ter poleg tega še snovno-geometrijsko oblikovanost tokovnega polja, to je geometrijsko obliko prevodnika ter snovno lastnost prevodne snovi.

4. 3 Mehanizem električnega toka v kovinah

V kovinah so gibljivi nosilci elektrin prosti elektroni. Tako smemo za baker oceniti, da je pri sobni temperaturi praktično vsak njegov atom brez elektrona na zadnji pol zasedeni tirnici. Ta elektron se kot prosti elektron premika v kristalni strukturi bakra, saj je termična energija snovi večja od potencialne energije tega najbolj šibko vezanega elektrona.

Za elektron poznamo njegovo maso in elektrino:

31 1809,11 10 [kg] in 0,16 10 [As]em e


30

V 1 cm3 Cu imamo pri sobni temperaturi približno 228,4 10n atomov bakra in torej

prav toliko prostih elektronov. V 1 m3 Cu je gibljiva elektrina:

28 18 100 3

As8,4 10 0,16 10 1,344 10

mn e

Na prosti elektron z elektrino 0e deluje zaradi električne poljske jakosti E sila:

0 eF e E m a [N] (4.11)

ki podeli masi elektrona pospešek:

02

m

se

ea E

m (4.12)

Pospešek deluje zaradi negativnega predznaka elektrine v nasprotni smeri električne poljske jakosti.

V kovinskem prevodniku opravljajo prosti elektroni dvoje vrst gibanj: a) gibanje zaradi termične energije in b) gibanje zaradi vsiljenega električnega polja.

Hitrosti, ki jih imajo prosti elektroni na račun toplotne energije, so zelo velike. V bakru so pri sobni temperaturi povprečne termične hitrosti prostih elektronov cca 100 km/stv . Posamični prosti elektroni zaradi različno velikih termičnih hitrosti

opravljajo kaotično gibanje, ki pa v povprečju ne daje nobenega premika elektrin, pač pa ti ob trkih s kristalno strukturo oddajajo ali prejemajo kinetično energijo in s tem posredujejo širjenje toplote po kovini.

Električno polje dodatno povzroči še translacijsko gibanje prostih elektronov. Ker električno polje pospešuje elektron le med dvema trkoma, je "potovalna" hitrost prostega elektrona odvisna od povprečne termične hitrosti tv , pospeška prostega

elektrona a in povprečnega časa prostega leta elektrona med dvema zaporednima trkoma.

Povprečna v času prepotovana razdalja s je:

ts v (4.13)

kjer je:

− tv - povprečna termična hitrost prostega elektrona in

− - povprečni čas prostega leta elektrona med dvema zaporednima trkoma.

V času med dvema trkoma deluje na prosti elektron pospešek po en. 4.12. Ob trku ima tako elektron maksimalno potovalno hitrost:

0maxp

e

e Ev a

m

(4.14)

Povprečna potovalna hitrost je polovična:

0

2p

e

e Ev

m

(4.15)

Tokovna polja

31

Slika 4.2 Prostorninski element v tokovnem polju

Izberimo v električnem polju vodnika prostorski element v obliki valja s prostornino:

d dV A l

ki ima os valja v smeri polja. Če je v vodniku n gibljivih nosilcev elektrine na enoto prostornine, je v prostornini dV gibljiva elektrina:

0 0d d dQ n e V n e A l

Če naj v časovnem intervalu dt vsa ta elektrina zapusti valj, mora veljati:

d

dp

lv

t

Tok i, ki vstopa v ploskev A, je:

0 0

d d

d dp

Q li n e A n e A v

t t (4.16)

Gostota električnega toka v vodniku je:

20

02

p

e

n eiJ n e v E E

A m

(4.17)

To pa je že Ohmov zakon v diferencialni obliki. V njem izraz

20

2 e

n e

m (4.18)

podaja svojsko prevodnost za kovinske prevodnike. Vsebinsko pa izraz velja za vse prevodne snovi. Svojska prevodnost je odvisna od tega, kako se v odvisnosti od električne poljske jakosti in temperature spreminja produkt n .

V čistih kovinah je število prostih elektronov praktično konstantno, medtem ko čas prostega leta s porastom temperature pada. Vendar smo iz zgodovinskega razvoja elektrotehnike podedovali svojsko upornost. Velikost svojske upornosti je v kovinskih prevodnikih (kovinah in zlitinah) za ozka temperaturna območja

0

1(1 ) (4.19)

in za širša temperaturna območja

2 3

0(1 ) (4.20)

dl

i

A

E

pv

n


32

Tako ugotovimo za ogljik, da ima pri sobni temperaturi negativni temperaturni koeficient vse do 729 0C, ko začne z nadaljnjim porastom temperature svojska upornost zopet naraščati. Če temu ne bi bilo tako, potem žarnica na ogljeno nitko sploh ne bi bila mogoča.

Ker smemo kot električni tok obravnavati vsako gibanje elektrin je potrebno tu omeniti še dve gostoti električnega toka.

Pri časovno spremenljivem elektrostatičnem polju, se električni tok v dovodu kondenzatorja zaključi skozi dielektrik kot poljski tok. Iz

( ) ( )Q t D t A

izhaja za gostoto poljskega toka

2

d ( ) d ( )( )

d d

d ( ) A

d m

p

p

Q t D ti t A J A

t t

D tJ

t

V plinih lahko zaradi konvekcije prihaja do gibanja ionov, kar na nek način zopet predstavlja električni tok. Če označimo v diferencialu prostora zbrano elektrino z

d d dQ V A l

je električni tok zaradi premikanja te elektrine

d d

( )d d

konv

Q li t A v A J A

t t ,

kjer izraz

2

A

mkonvJ v

predstavlja konvekcijsko gostoto električnega toka.

Praktični vpliv obeh omenjenih gostot je v tokovnih in magnetnih poljih tako neznaten, da ju večinoma ni potrebno upoštevati.

Teoretično pa bi morali upoštevati vse tri gostote električnega toka.

Tokovna polja

33

4.4 Ohmov zakon v integralni obliki

Da izpeljemo Ohmov zakon v integralni obliki imamo na razpolago tri pristope: a) uporabo že znanih zakonitosti na najbolj enostavnem primeru; b) uporabo dejstva, da vsaki diferencialni obliki zakona pripada enako oblikovan integralni zakon; c) uporabo pravila, da je strukturna povezanost osnovnih zakonitosti v vseh treh snovno-geometrijskih konfiguracijah v principu enaka.

Za ravni vodnik s konstantnim presekom veljata za električno poljsko jakost in gostoto električnega toka enačbi

inU I

E Jl A

Če ti dve vstavimo v Ohmov zakon v diferencialni obliki, dobimo:

IJ I lA

UE U A

l

(4.21)

Tega lahko preoblikujemo v integralno obliko Ohmovega zakona

SI A

GU l

(4.22)

Levi del izraza velja splošno, desni pa le za raven vodnik s konstantnim presekom.

Do istega rezultata pridemo z uporabo pravila b:

J I

GE U

(4.23)

ali z uporabo analogije med elektrostatičnim in tokovnim poljem

Q I

C GU U

(4.24)

Ta analogija med elektrostatičnim in tokovnim poljem je eden od razlogov, zakaj raje uporabljamo ohmsko prevodnost G namesto ustrezne ohmske upornosti

1

ΩU

RG I

(4.25)

Ker se s spremembo temperature dolžina l in presek vodnika A praktično ne spremenita, velja za temperaturno odvisnost ohmske upornosti kovinskih vodnikov

0

1(1 )R R

G (4.26)

za ožje temperaturno območje in

2 3

0(1 )R R (4.27)

za širše temperaturno območje.


34

Pred uveljavitvijo numeričnih metod reševanja vektorskih polj je bil postopek elektrolitskega korita eden od klasičnih primerov uporabe tokovnih polj za izračun kapacitivnosti enako oblikovanih elektrostatičnih polj.

To analogijo med elektrostatičnim in tokovnim poljem imamo v mislih, ko govorimo o dualnosti elektrostatičnega in tokovnega polja.

4.5 Joulov zakon v diferencialni obliki

Zaradi pospeševanja v električnem polju bo prosti elektron v povprečnem času prostega leta pridobil dodatno kinetično energijo:

2 222

2 2

meel

e

m v ew E

m (4.28)

kjer je:

m

e

ev E

m

maksimalna vrednost hitrosti, ki jo je pridobil prosti elektron v povprečnem času

prostega leta. V časovnem intervalu se vsak elektron povprečno enkrat zaleti, količina kinetične energije, ki jo v enoti prostornine ti predajo prevodni snovi, je:

222

3

J

2 mel

e

new nw E

m (4.29)

in prostorska gostota izgub moči:

22 2

3

W

2 me

w nep E E

m (4.30)

Če upoštevamo še Ohmov zakon v diferencialni obliki:

E

J E

dobimo vseh pet oblik izraza za prostorsko gostoto izgub moči:

2 22 2

3

W

m

E Jp JE E J (4.31)

Dobljena enačba je po svoji strukturi nekakšen analog izraza, ki smo ga izpeljali v elektrostatičnih poljih za prostorsko gostoto energije we. Tu gre le za gostoto moči, tam pa je šlo za prostorsko gostoto energije. Pomembnejša razlika je v tem, da je tam proces

Tokovna polja

35

potekal v obe smeri (reverzibilen ali obrnljiv proces), tu pa le v eni smeri (nepovraten proces).

4.6 Joulov zakon v integralni obliki

Do integralne oblike Joulovega zakona lahko najpreprosteje pridemo, če upoštevamo enako strukturno obliko diferencialne in integralne oblike zakona. Iz

2

3

[A/m ] [A]

[V/m] [V]

[Ωm] [Ω]

[S/m] [S]

[W/m ] [W]

J I

E U

R

G

p P

lahko iz en. 4.31 takoj zapišemo vseh pet oblik integralnega Joulovega zakona:

2 2

2 2 WU I

P U I G U R IR G

(4.32)

Če izhajamo iz diferencialne oblike Joulovega zakona, lahko integralno obliko izpeljemo tudi z uporabo en. 4.28. Ker splošna oblika osnovnega zakona vedno velja za vse primere, jo najraje izpeljemo iz najpreprostejšega, tj. iz homogenega tokovnega polja. Tako iz:

P p V

ob upoštevanju:

inp J E V A l

dobimo:

WP p V J E A l U I

Oba načina določitve zakonitosti sta preprosta.


36

4.7 Namestitev prevodnih snovi in uporovna vezja

Namestitev prevodnih snovi

Če upoštevamo analogne veličine elektrostatičnega in tokovnega polja

Q I

D J

C G

e

e

w p

W P

ter pravilo zaključene poti in zaključene ploskve v tokovnem polju,

Slika 4.3 Zakon zaključene ploskve v tokovnem polju

dobimo za normalni prehod tokovnega polja zakonitosti:

1 2

1 2

2 1

aliE

J JE

(4.33)

Slika 4.4 Zakon zaključene poti v tokovnem polju

in za tangencialni prehod tokovnega polja zakonitost:

1 1

1 2

2 2

aliJ

E EJ

(4.34)

d 1A

2

1

1J2Jd 2A

1E

2E 2

1

ab

cd

Tokovna polja

37

V primeru poševnega prehoda tokovnega polja velja lomni zakon tokovnega polja

1 1

2 2

tan

tan (4.35)

Uporovna vezja

Še bolj kot kondenzatorska so v elektrotehniki pogosta in pomembna uporovna vezja.

Za vzporedno vezavo uporov velja:

Slika 4.5 Zaključena zanka v uporovnem vezju

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 2

2 2 1

( )

1 1 1ali

R

U U U

I I I U G U G U G G U G

G G GR R

I G R

I G R

(4.36)

In za zaporedno vezavo uporov velja

Slika 4.6 Zaključena ploskev v uporovnem vezju

G1

+ -

U1

+ -

I1

G2 U2

+ -

I2

I

R1

+ -U1

R2

+ -U2

I


38

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 2

2 2 1

( )

1 1 1ali

G

I I I

U U U I R R I R

R R RG G

U R G

U R G

(4.37)

Iz tega je razvidno, kako je pri uporabi analogije med elektrostatičnim in tokovnim poljem ugodneje uporabljati ohmsko prevodnost.

Moči pa seštevamo algebrsko ne glede na vezavo elementov.

Vse zakonitosti prostorske razporeditve dielektrikov kot uporovnih elementov v tokovnem vezju so v celoti vsebovane v obeh osnovnih zakonitostih zaključene poti in zaključene ploskve, ki ju v njuni integralni obliki imenujemo Kirchhoffova zakona vozlišča in zanke.

4.8 Strukturna povezanost osnovnih zakonitosti tokovnega polja

Strukturna povezanost osnovnih veličin tokovnega polja ima zaradi analogije z elektrostatičnim poljem tudi povsem enako obliko. Iz strukturne povezanosti je razvidno, zakaj je ugodneje uporabljati prevodnosti namesto ustreznih upornosti. Notranji krog povezuje diferencialne veličine, zunanji pa integralne.

Slika 4.7 Strukturna povezanost osnovnih veličin tokovnega polja

I

GU

J

E

p J E

P I U

I J E U

Tokovna polja

39

4.9 Minimalni nabor osnovnih zakonitosti tokovnega polja

Coulombov zakon velja seveda tudi v tokovnih poljih, le da so tu elektrine gibljive. Prav tako veljata tudi zakona zaključene poti in zaključene ploskve.

Zakon zaključene poti se v tokovnem polju v ničemer ne razlikuje od tega, ki smo ga spoznali v elektrostatičnem polju. Za zaključeno pot v tokovnem vezju velja:

gi Rj j ji j j

U U I R (4.38)

Zakonitost, znana kot Kirchhoffov zakon zanke.

Zakon zaključene ploskve (vozlišča) pa lahko zapišemo v integralni obliki na dva načina. Prvi zapis izhaja iz spoznanja, da se v vozlišču vezja elektrina ne more kopičiti, toliko elektrine kot jo v zaključeno ploskev vstopa, mora iz nje tudi odtekati.

1

0n

jj

I (4.39)

kjer toke, ki izstopajo štejemo pozitivno, tiste, ki vstopajo, pa negativno.

Maxwell je to zakonitost izrazil nekoliko drugače. Če naj bi elektrina iz zaključene ploskve odtekala, bi morala elektrina znotraj zaključene ploskve upadati.

d d

d dd d

A V

QJ A V

t t (4.40)

Z uporabo Gaussovega zakona dobimo pripadajoči diferencialni zakon

d

divd

Jt

(4.41)

ki ga je Maxwell imenoval zakon kontinuitete.

Študente je smiselno že tu opozoriti, da ni elektrostatična poljska jakost sE razen pri

prehodnih pojavih tista, ki v prevodnih snoveh povzroča gibanje elektrin. V časovno spremenljivih magnetnih poljih bomo spoznali tudi dinamično ali inducirano električno

poljsko jakost iE .

40

5 MAGNETNA POLJA

ENOSMERNEGA TOKA

Učenca lahko naučimo lekcijo za en dan, če pa nam uspe vzbuditi njegovo radovednost, bo trajal njegov učni proces vse življenje.

Bedford Clay P.

Vsebina

5.1. OSNOVNE ZAKONITOSTI MAGNETNEGA POLJA IZ ZORNEGA KOTA VZROK -

POSLEDICA

5.1.1 Magnetna napetost in magnetna poljska jakost

5.2 GOSTOTA MAGNETNEGA PRETOKA

5.3 MAGNETNI PRETOK IN MAGNETNI SKLEP

5.4 SILE NA GIBLJIVE ELEKTRINE V MAGNETNEM POLJU

5.5 MAGNETNI POJAVI V MAGNETNIH SNOVEH

5.5.1 Razlaga feromagnetizma

5.5.2 Magnetilna krivulja

5.5.3 Konfiguracije magnetnih materialov

5.5.4 Magnetni krogi

Magnetna polja enosmernega toka

41

Vsaka razlaga fizikalnega pojava je najbolj logična, če izhajamo iz vzroka in nato raziščemo njegove posledice. Pri takem pristopu je jasna medsebojna povezanost osnovnih veličin določenega fizikalnega področja.

V tokovnem polju imamo na eni strani analogijo z elektrostatičnim poljem, na drugi strani pa potencialno razliko, ki v vodniku ustvari električno polje in kot posledico tok v vodniku. V razlagi magnetnega polja pa je iz zornega kota vzroka in posledice v primerjavi s tokovnim poljem smiselna druga analogija – torej od napetosti proti toku.

V zgodovini elektrotehnike najdemo tri pristope razlage magnetnih polj: a) Izhajati iz dejstva, da so vsi magnetni pojavi posledica relativnega gibanja elektrin. b) Izhajati iz sile na tokovodnik v magnetnem polju. c) Kalantarov – Neumann sta izhajala iz magnetnega pretoka.

Midva smatrava, da je iz metodičnega in pedagoškega vidika prvi pristop najbolj ugoden, kar bova poskušala tudi utemeljiti.

Prednosti tega pristopa so: a) Omogoča definiranje veličin in zakonitosti magnetnega polja od povzročitelja – električnega toka do posledice – magnetnega pretoka. b) Kot sta elektrostatično in tokovno polje dve dualni polji, sta tudi tokovno in magnetno polje dve dualni polji, ki imata povsem enako strukturno povezanost osnovnih zakonitosti. c) Kot je napetost v tokovnem polju povzročitelj vseh pojavov, je za magnetno polje to električni tok. Zato bi električni tok upravičeno smeli imenovali tudi »magnetna napetost«. Iz te povezanosti izhaja, da je magnetna poljska jakost tisti del magnetne napetosti, ki se »porabi« za magnetenje prostora po dolžinski enoti magnetne silnice. Enako, kot je bila električna poljska jakost tisti del priključene napetosti, ki se v tokovnem polju porabi na dolžinski enoti električne silnice. d) Dimenzijska struktura veličin elektrostatičnega in tokovnega polja je v strukturi osnovnih zakonitosti povsem enaka, le da sta mesti enot A in V zamenjani.

Vsi ti trije pristopi omogočajo le v drugačnem vrstnem redu izpeljati vse zakonitosti magnetnih polj. Iz zornega kota logičnih izpeljav se nama zdi prvi pristop najbolj ustrezen. Takoj na začetku jasno opredeli prvi postulat magnetnih polj: vsi magnetni pojavi so posledica relativnega gibanja elektrin!

Vendar je potrebno bralcem jasno predstaviti, da bomo v tem okvirnem poglavju obravnavali le magnetne pojave, ki jih povzročajo enosmerni toki. Kajti časovno spremenljivi toki imajo za posledico časovna spremenljiva magnetna polja, ta pa povratno vplivajo nazaj na tokovna polja, ki jih povzročajo.


42

5.1 Osnovne zakonitosti magnetnega polja iz zornega kota vzrok − posledica

5.1.1 Magnetna napetost in magnetna poljska jakost

Magnetna napetost in magnetna poljska jakost imata v magnetnem polju enak pomen kot električna napetost in električna poljska jakost v tokovnem polju. Tako magnetna poljska jakost v magnetnem polju podaja tisti del magnetne napetosti, ki magneti prostor na dolžinski enoti magnetne silnice.

Istočasno pa je potrebno jasno opredeliti tudi razlike. Ti sta predvsem dve:

a) Električna silnica je omejena črta, ki povezuje točko višjega in točko nižjega potenciala v tokovnem polju. Magnetna silnica je vedno vase zaključena črta, ki obkroža tok, ki ustvarja magnetno polje po desnem svedru.

b) Tok v N ovojih magneti prostor N-krat močneje od toka v enem samem vodniku. Zato zapišemo izraz za magnetno napetost kot

− ,I za tok v enem samem vodniku, (5.1)

− ii

I za algebraično vsoto tokov in (5.2)

− I N za tuljavo z N ovoji (5.3)

V razlagi zakonitosti magnetnega polja igrata pomembno vlogo magnetni polji, ki ju povzroča tok v ravnem vodniku in tok v ravni gosto naviti tuljavi z N ovoji. Obliko obeh magnetnih polj lepo ponazorimo s silnicami, kot to prikazuje slika 5.1.

a) b)

Slika 5.1 Ponazoritev magnetnega polja s silnicami

a) Magnetno polje ravnega vodnika

b) Magnetno polje redko navite tuljave

Magnetno polje ravnega vodnika je ravninsko krožno polje. Magnetno polje gosto navite tuljave je v notranjosti tuljave praktično homogeno magnetno polje.

I

B

I


43

Na vrvico obešen trajni magnet se v magnetnem polju postavi v lego magnetnega polja. Napravo, opremljeno z magnetno iglo, vzmetjo in skalo, ki jo prikazuje slika 5.2, imenujemo magnetometer, z njo analiziramo magnetno polje v okolici ravnega vodnika. Najprej magnetometer postavimo v ravnino pravokotno na vodnik tako, da vzmet magnetometra ni napeta (severni pol magnetne igle kaže v točko skale 0 – slika 5.2a).

Sedaj pa začnimo vrteti podstavek vstran od ugotovljene smeri polja. Ker magnetno polje vleče iglo nazaj, moramo podstavek zavrteti za kot dalj, da bo igla pravokotna na smer polja in sila na vzmet največja. Ta kot je potem premo sorazmeren jakosti magnetenja v dani točki, torej magnetni poljski jakosti H.

a) b)

Slika 5.2 Magnetometer

a) Vzmet v nenapetem stanju

b) Vzmet v najbolj napetem stanju

Z magnetometrom z analizo ugotovimo naslednje:

- Smer magnetnega polja kaže severni pol magnetne igle tedaj, ko je vzmet nenapeta in kaže magnetna igla v smer skale z oznako 0.

- Smer magnetnega polja je za raven vodnik povsod pravokotna na polmer r, ki povezuje os vodnika z dano točko v prostoru.

- Smer polja je opredeljena s pravilom desnega svedra. Če kaže konica svedra v smeri toka, kaže vrtenje desnega svedra smer polja.

- Dodatni kot zasuka podstavka, ko zasukamo magnetno iglo v lego pravokotno na smer polja, je enak na enakih razdaljah r od osi vodnika, zato je tam jakost magnetenja − magnetna poljska jakost H − po iznosu povsod enaka. Magnetno polje ravnega okroglega vodnika je krožno simetrično.

- Za točke na dvojni razdalji pade magnetna poljska jakost na polovično vrednost (kot zasuka je /2 ). Velikost magnetne poljske jakosti je obratno sorazmerna

razdalji r. - Magnetna poljska jakost H je premo sorazmerna toku skozi vodnik. Pri dvojni

vrednosti toka dobimo dvojni zasuk 2 . Če pa smer toka obrnemo, se obrne smer polja, kar pa pove tudi že tretja alineja.

IN

S

0

HI

0

NS

H

r r


44

Z analizo eksperimenta smo ugotovili

A

m

IH k

r (5.4)

Ker je magnetno polje krožno simetrično in se širi v prostor ravninsko radialno, velja

1

2k in

A

2 m

IH

r (5.5)

Dejstvo, da je magnetna napetost enaka integralu magnetne poljske jakosti po zaključeni poti

dl

H l (5.6)

se imenuje Amperov zakon magnetnih polj. Ker vemo, da je na konstantni razdalji r za ravni vodnik magnetna poljska jakost po vrednosti enaka, lahko za zunanjost ravnega vodnika po Amperovem zakonu dobimo:

2

d 2o

H r H r

(5.7)

In odtod (ob upoštevanju 5.1) 5.5.

Slika 5.3 Magnetno polje v notranjosti okroglega vodnika

V notranjosti vodnika magnetna silnica na razdalji x od osi oklepa le del električnega toka

2 2: :I I x R (5.8)

I'

I

x

R


45

Magnetna poljska jakost na razdalji x je

2

A

2 2 mx

I I xH

x R (5.9)

V dolgi, gosto naviti tuljavi, je magnetno polje v notranjosti tuljave praktično homogeno in zato velja

A

m

I NI N H l H

l (5.10)

Določitev magnetne poljske jakosti za ravni okrogli vodnik in ravno tuljavo spada v obvezni nabor zakonitosti stacionarnih magnetnih polj. Določanje magnetnih poljskih jakosti za vse ostale oblike gibljivih elektrin pa že spada v širši okvir spoznavanja magnetnih polj.

5.2 Gostota magnetnega pretoka

Ena od osnovnih razlik v analogiji med elektrostatičnim in magnetnim poljem je naslednja:

a) V elektrostatičnem polju je električna poljska jakost E stvarna in gostota električnega pretoka D v bistvu pomožna električna veličina. Sile na elektrine določa električna poljska jakost.

b) V magnetnem polju pa je magnetna poljska jakost H v bistvu pomožna magnetna veličina in gostota magnetnega pretoka B stvarna magnetna veličina. Sile na gibljive elektrine opredeljuje gostota magnetnega pretoka.

Lahko bi tudi rekli, da sta tok I in magnetna poljska jakost H povzročitelja in gostota magnetnega pretoka B posledica magnetenja snovi. Vendar je za vsebinsko dojemanje magnetnih pojavov bistveno spoznanje, da je gostota magnetnega pretoka vedno sestavljena iz dveh komponent

0B B J [Vs/m2=T] (Tesla) (5.11)

Komponenta

0 0B H (5.12)

je del gostote magnetnega pretoka, ki bi jo magnetna poljska jakost H povzročila v praznem (brezzračnem) prostoru. Tu je

70

Vs4 10

Am


46

magnetna snovna lastnost praznega prostora, ki se imenuje permeabilnost.

Drugo komponento

0 0J B H (5.13)

imenujemo vektor magnetne polarizacije in predstavlja doprinos k skupni gostoti magnetnega pretoka zaradi gibljivih elektrin v atomski strukturi.

Faktor imenujemo magnetna susceptibilnost, pove pa kolik je mnogokratnik prispevka gibljivih elektrin v atomski strukturi v primerjavi s prispevkom, ki ga tok I oziroma gibljive elektrine v prevodni snovi povzročajo v praznem prostoru. Zato skupno gostoto magnetnega pretoka zapišemo v obliki

0 0(1 ) rB H H H (5.14)

kjer sta in r absolutna oziroma relativna permeabilnost. Predznak pomeni, da se

vektor magnetne polarizacije lahko tudi odšteva.

Iz tehniškega zornega kota delimo glede magnetnih lastnosti vse snovi v dve veliki skupini:

a) v nemagnetne snovi, kjer ima vektor magnetne polarizacije tako male vrednosti, da ga računsko sploh ne moremo upoštevati in

b) v magnetne snovi, kjer se vektor magnetne polarizacije vedno prišteva, relativna permeabilnost pa dosega vrednosti vse do velikosti 106.

Za določitev gostote magnetnega pretoka v nemagnetni snovi zadostuje, da znamo izračunati magnetno poljsko jakost. V magnetnih snoveh pa moramo dodatno poznati še funkcijsko odvisnost B=f(H) – magnetilno krivuljo.

Iz analogije med elektrostatičnimi in magnetnimi polji izhajata še dve zanimivi spoznanji.

Iz

E [V/m] in H [A/m]

9

0

10

36 [As/Vm] in 7

0 4 10 [Vs/Am]

prvič vidimo, da sta v dimenzijah mesti pripadajočih veličin elektrostatičnega in magnetnega polja A in V le zamenjani. Drugo prav tako pomembno spoznanje pa je medsebojna povezanost snovnih veličin elektrostatičnega in magnetnega polja. Iz

16

9 7

0 0

1 36 1 km9 10 300 000

10 4 10 s

izhaja, da se v brezzračnem prostoru električno in magnetno polje širita s svetlobno hitrostjo.


47

5.3 Magnetni pretok in magnetni sklep

Vektorju gostote magnetnega pretoka B pripadajoča integralna veličina je magnetni pretok . Ta je najbolj splošno podan z izrazom

dA

B A [Vs] (5.15)

ki dobi v primeru homogenega magnetnega polja in nanj pravokotne ploskve A obliko

B A B A [Vs] (5.16)

V primeru časovno spremenljivih magnetnih polj igra pomembno vlogo tudi vsota magnetnih pretokov skozi posamezne ovoje tuljave. V splošnem se skozi posamezne ovoje tuljave sklenejo različni magnetni pretoki

i ik , 1ik

kjer je celoten magnetni pretok v prostoru. Magnetni sklep tuljave je podan kot vsota magnetnih pretokov skozi posamezne ovoje tuljave, torej za tuljavo z N ovoji z

1

i N

ii

k k N [Vs] (5.17)

Sklepni faktor tuljave k je podan kot srednja vrednost sklepnih faktorjev ovojev tuljave

1

i N

ii

k

kN

(5.18)

Izpeljava zaporedja osnovnih veličin magnetnega polja, od vzroka gibljive elektrine I (toka) do posledice magnetnega pretoka , oziroma v primeru tuljave do magnetnega sklepa je povsem analogna s potekom izpeljave v elektrostatičnem polju, edina razlika je število ovojev tuljave N.

( ) ( )I H B

Obe veličini v oklepajih nastopata v primeru tuljave. V praktičnih primerih reševanja magnetnih polj je za podano snovno-geometrijsko oblikovanost magnetnega polja možen postopek reševanja v obe smeri. Čeprav je bila medsebojna povezanost veličin izpeljana za enosmerne toke oziroma enakomerno gibane elektrine, velja tudi za poljubne trenutne vrednosti tokov oziroma neenakomerno gibljive elektrine. Celotne strukturne povezanosti osnovnih veličin magnetnega polja pa tu še ne moremo predstaviti iz dveh razlogov:

a) V elektrostatičnih poljih smo snovne lastnosti dielektričnosti smatrali kot konstantne.

Tistih nekaj feroelektrikov, kjer je ( )f E tam ni igralo nobene pomembne vloge. V

magnetnih poljih pa moramo dobro poznati vzroke in posledice feromagnetizma.

b) Časovno spremenljiva magnetna polja imajo povratni vpliv tako na tokovna polja, ki jih povzročajo, kot tudi na samo obliko magnetnih polj.


48

Zato je smiselno celovito strukturno povezanost osnovnih veličin magnetnih polj predstaviti šele potem, ko znamo opisati tudi pojave, ki jih povzročajo spremenljiva magnetna polja (krajevno in časovno spremenljiva).

5.4 Sile na gibljive elektrine v magnetnem polju

Amper je opredelil gostoto magnetnega pretoka B z naslednjim eksperimentom: s pomočjo tokovne tehtnice, predstavljene na sliki 5.4 je meril silo na raven vodnik v homogenem magnetnem polju.

Slika 5.4 Amperov poskus s tokovno tehtnico

( )F I l B [N] (5.19)

Ker smo mi gostoto magnetnega pretoka B definirali na drugačen način, lahko formulo, ki izhaja iz Amperovega poskusa, uporabimo za določitev sile na tokovodnik ali gibljivo elektrino v magnetnem polju. Če preoblikujemo izraz

Q

I l v t Q vt

ki sicer v tej obliki velja za enosmerne toke, velja pa tudi za trenutne vrednosti i in Q(t), preide enačba 5.19 v obliko

( )F Q v B [N] (5.20)

Smer sile lahko določimo: a) po pravilu vektorskega produkta (slika 5.5a), b) po pravilu leve roke (slika 5.5b) ali c) po Faradayevem pravilu, da se silnice hočejo skrajšati, medsebojno pa razmakniti

(slika 5.5c).

B

S

F

F

N

I

B


49

Enačbi 5.19 in 5.20 veljata tako za enosmerne kot trenutne vrednosti. Če vodnik s tokom I1 leži v magnetnem polju drugega vzporednega vodnika s tokom I2, je sila, s katero se vodnika privlačita ali odbijata na dolžini l:

0 1 21 2

2

I I lF I l B

a [N] (5.21)

Z enačbo 5.20 lahko izračunamo trajektorijo elektrona, ki prileti v magnetno polje tako, da pride do prečkanja silnic. Vendar to že spada v aplikacijo osnovnih zakonitosti magnetnega polja

a) b)

c)

Slika 5.5 Določitev smeri sile

a) po pravilu vektorskega produkta,

b) po pravilu leve roke,

c) po Faradyevem pravilu.

F

B

l

B

I

F

I

N

S

N

S

N

S

I I I

FF


50

Slika 5.6 Sila med dvema vzporednima tokovodnikoma

5.5 Magnetni pojavi v magnetnih snoveh

5.5.1 Razlaga feromagnetizma

V uvodu v magnetna polja smo postavili trditev, da so vsi magnetni pojavi posledica gibanja elektrin relativno na opazovalca. Tudi trajni magneti so posledica gibanja elektrin v atomski strukturi snovi.

V atomski strukturi imamo tri vrste gibanja elektrin: a) kaotično gibanje protonov v atomskem jedru, b) kroženje elektronov v elektronskih tirnicah in c) vrtenje elektronov okoli svoje osi – spin elektronov.

Za kaotično gibanje protonov v atomskem jedru ne poznamo zaenkrat nobenega merljivega zunanjega učinka.

Elektron, ki kroži okoli jedra po elektronski tirnici, se pod vplivom zunanjega (vzbujalnega) magnetnega polja obnaša kot vrtavka. Pri tem elektron na tirnici zunanje magnetno polje obkroži tako, da njegovo magnetno polje nasprotuje vzroku, zaradi katerega je nastalo (Lenzovo pravilo). To imenujemo diamagnetizem. Vektor magnetne polarizacije ima negativni predznak, je pa njegova susceptibilnost tako mala, da smemo za vse tehniške aplikacije vzeti 1 ( 0)r .

Elektron pri kroženju po elektronski tirnici rotira okoli svoje osi in tako predstavlja majhen magnetek – spinski magnetek, ki se poskuša postaviti v smer zunanjega magnetnega polja in ga ojačiti. To imenujemo paramagnetizem. Vektor magnetne

12F

12B

1l

aI1

21F

21B2l

I2

i

j

k

z

y

x


51

polarizacije ima sicer pozitivni predznak, je pa njegova susceptibilnost zopet tako mala, da smemo za vse tehniške aplikacije zopet vzeti 1 ( 0)r . Če so vse elektronske

tirnice polno zasedene, elektrona rotirata v nasprotnih smereh in zato v tem primeru do paramagnetizma sploh ne more priti.

Ker sta v nekaterih snoveh lahko prisotna oba efekta, je lastnost snovi odvisna od tega, kateri prevladuje. Iz tehniškega zornega kota pa smemo tako diamagnetne kot paramagnetne snovi zajeti s skupnim nazivom nemagnetne snovi.

Ker drugih gibljivih elektrin, razen omenjenih, v atomski strukturi ni, je potrebno jasno odgovoriti na vprašanje, kaj je potem vzrok feromagnetičnosti?

Naravne feromagnetne snovi imajo polikristalno strukturo, so sestavljene s samimi monokristali različnih leg. Vsak monokristal ima parno število Weißovih območij. Vsako Weißovo območje ima isto število atomov, vsi spinski magnetki Weißovega območja imajo lego ene od magnetnih osi monokristala in tako predstavljajo elementaren magnetek. Ker ima par elementarnih magnetov, ki pripada eni magnetni osi, nasprotne smeri, je monokristal, če tujega magnetnega polja ni, navzven magnetno nevtralen.

Najbolj znana feromagnetna snov je železo (Fe). Železo ima tri pare magnetnih osi, njihove magnetne osi so med sabo pravokotne, kot stranice kvadrata. Na meji dveh Weißovih območij prehajajo spinski magneti zvezno iz smeri ene magnetne osi v smer sosednje magnetne osi. Cona prehoda se imenuje Blochova pregrada, za prehod 90o ima

širino 925 10 m , za prehod 1800 pa širino 935 10 m .

5.5.2 Magnetilna krivulja

Feromagnetna snov brez magnetne preteklosti je navzven magnetno nevtralna. Da bi razumeli fizikalno ozadje feromagnetizma, moramo razumeti fizikalne pojave, ki se odvijajo pri postopnem magnetenju magnetnih snovi.

Če monokristal brez magnetne preteklosti magnetimo, se v njem po vrsti odvijajo naslednji pojavi: a) Elastični pomik Blochovih pregrad. b) Prevračanje Weißovih območij. c) Elastični zasuk Weißovih območij.

Ko zunanja magnetna poljska jakost začne naraščati, pride najprej do pomika Blochovih pregrad. Weißovo območje z magnetno osjo najbližje smeri zunanjega polja se ojača na račun ostalih pet. Če zunanje magnetenje izgine, se Weißova območja elastično povrnejo v prvotno lego, pomik Blochovih pregrad je reverzibilen pojav.

Weißovo območje ima v svoji ravnotežni legi minimalno energijo. Ko se ob močnejšem magnetenju v trenutku prevrne v lego prvega, je to zopet ravnotežna lega vendar z višjo energijo, zato Weißovo območje ostane v novi legi. Čeprav je pri tem prišlo do skokovitega porasta gostote magnetnega pretoka, tega zaradi ogromnega števila Weißovih območij ne opazimo. Prevračanje Weißovih območij je nepovratljiv pojav. Ko se je vseh ostalih pet območij prevrnilo v novo ravnotežno lego, je proces prevračanja


52

Weißovih območij končan. Temu ustreza točka nasičenja magnetilne krivulje, njej

ustreza največja vrednost vektorja magnetne polarizacije maxJ .

Ker se nova lega Weißovih območij nujno ne ujema s smerjo zunanjega magnetnega polja, bi prišlo pri nadaljnji magnetizaciji do elastičnega zasuka Weißovih območij v smeri zunanjega polja, ki pa praktično ničesar ne prispeva in zato nima smisla.

Slika 5.7 Magnetilna krivulja in histerezna zanka

Ko se v točki nasičenosti začne zunanja magnetna poljska jakost zopet zniževati, dobi magnetilna krivulja zaradi vztrajnosti Weißovih območij obliko histerezne zanke. Ta ima tri značilne točke: a) Točka nasičenja, ko nadaljnji porast magnetne poljske jakosti nima smisla. b) Točka remanentne gostote magnetnega pretoka Br, ko je zunanja magnetna poljska jakost upadla na ničelno vrednost. c) Točka koercitivne sile Hk podaja velikost zunanje magnetne poljske jakosti v nasprotni smeri, potrebne za kompenzacijo remanentne gostote magnetnega pretoka.

Ploskev histerezne zanke ima dimenzijo J/m3 in predstavlja delo, porabljeno za prevračanje Weißovih območij na enoto prostornine pri enem ciklu histerezne zanke.

3

Jd

mB H

Glede na obliko histerezne zanke delimo vse magnetne snovi v dve skupini:

c

0

a

b

elastični zasuk W. območij

prevračanje W. območij

premik Blochovih pregrad

Bm

Br

Hk1-Hm1

Bm

Hm1

B

H


53

a) Mehki magnetni materiali imajo zelo malo površino histerezne zanke, uporabljamo jih v časovno spremenljivih magnetnih poljih. b) Trdi magnetni materiali imajo veliko površino histerezne zanke, uporabljamo jih za trajne magnete.

Slika 5.8 Odvisnost feromagnetnih snovi od razmerja a/r

Curiejeva temperatura

Elektromagnetna sila Fe, ki je potrebna za formiranje Weißovih območij, je funkcija razmerja srednje razdalje a dveh sosednjih atomov proti polmeru r krožnice s spinskim magnetom. Tej sili nasprotuje termična sila Ft. Pri določeni temperaturi, ki se imenuje za vsako magnetno snov pripadajoča Curiejeva temperatura, termična sila prevlada, nad to temperaturo se feromagnetna snov obnaša kot paramagnetik. Če pa temperatura zopet pade pod Curiejevo, se zopet spontano formirajo Weißova območja.

Na sliki 5.8 je prikazana odvisnost elektromagnetnih sil treh naravnih feromagnetnih snovi: železa (Fe), kobalt (Co) in niklja (ni) od temperature. V Preglednici 5.1 pa so podane vrednosti Curiejevih temperatur za vse štiri naravne feromagnetne snovi.

Preglednica 5.1 Curiejeve temperature za štiri naravne magnetne snovi

Element Curie-jeva temperatura [0C] Jnas [T] Eisen (Fe) Kobalt (Co) Nickel (Ni) Gadolinij (Gd)

770 1131 358 17

2,2 1,8 0,64 2,5

Iz preglednice je razvidno, da se gadolinij že pri sobnih temperaturah obnaša kot paramagnetik.

Ker imajo Weißova območja različne ravnotežne lege, so zelo občutljiva za tehnološke postopke, ki vsebujejo udarce, poškodovanje kristalne strukture ali velika nihanja tempetatur.

Feromagnetna snov

Fe

Fe

Co

Ni

a/r


54

5.5.3 Konfiguracije magnetnih materialov

Prehodi magnetnega polja

Če upoštevamo analogne veličine tokovnega in magnetnega polja

m

I

J B

U

R R

ter pravilo zaključene poti in zaključene ploskve v magnetnem polju,

Slika 5.9 Zakon zaključene ploskve v magnetnem polju

dobimo za normalni prehod magnetnega polja zakonitosti:

1 2

1 2

2 1

aliH

B BH

(5.22)

Slika 5.10 Zakon zaključene poti v tokovnem polju

in za tangencialni prehod tokovnega polja zakonitost:

1 1

1 2

2 2

aliB

H HB

(5.23)

V primeru poševnega prehoda tokovnega polja velja lomni zakon tokovnega polja

d 1A

2

1

1B2Bd 2A

1H

2H2

1

ab

cd


55

1 1

2 2

tan

tan (5.24)

V magnetnih poljih gre večinoma za prehod magnetnega polja iz magnetne snovi v nemagnetno. Zaradi

1r

izstopa magnetno polje iz magnetne snovi praktično pod pravim kotom.

Ohmov zakon magnetnih krogov

Magnetni krog je snovno-geometrijska razporeditev magnetnih elementov, ki povezuje magnetne napetosti in magnetne pretoke skozi posamezne elemente magnetnega kroga.

Razmerje magnetne napetosti na elementu in magnetnega pretoka skozi element je definirano kot magnetna upornost

1m

m

lR

A G (5.25)

Medtem, ko je magnetna upornost nemagnetnega elementa konstantna, je magnetna upornost magnetnega elementa magnetnega kroga funkcija magnetilne krivulje.

Slika 5.11 Zaključena zanka v magnetnem krogu

Integralna zakonitost zaključene poti v magnetnem krogu je

1 2

1 2

(5.26)

Za zaporedno vezavo magnetnih elementov velja

1 2

1 2

(5.27)

Rm1

+ -

+ -

+ -

1

Rm2 2

1

2


56

Slika 5.12 Zaključena ploskev v magnetnem krogu

Iz tega je razvidno, kako je pri uporabi analogije med tokovnim in magnetnim poljem ugodneje uporabljati ohmsko upornost.

Magnetne kroge z magnetnimi elementi rešujemo kot uporovna vezna z nelinearnimi upori.

5.5.4 Magnetni krogi

V tokovnem polju smo pod pojmom električni tokokrog razumeli zaključeno pot, po kateri se zaključi električni tok. V analogiji s tem vsako zaključeno pot, po kateri se zaključi magnetno polje, imenujemo magnetni krog. Električni in magnetni krog sta si v marsičem močno podobna, v nekaj pogledih pa tudi zelo različna. Zato se je podobnosti in različnosti le-teh potrebno dobro zavedati, če želimo izkušnje iz električnih krogov prenašati v magnetne kroge.

Analogijo med tokovnim poljem in magnetnim poljem smo koristno uporabili že na samem začetku obravnave magnetnih polj, ko smo ugotovili, da je napetost iz tokovnih polj analogna toku v magnetnih poljih. Električni tok (oz. amperni ovoji) v magnetnih poljih predstavlja magnetno napetost.

Vendar je v povedanem zajet le delec analogije, ta sega še dosti dalje. Tako velja: a) Skozi zaporedno vezane ohmske upore teče enak tok, padci napetosti pa so v

premem sorazmerju ohmskih upornosti. Skozi zaporedno nameščene dele magnetne poti gre enak magnetni pretok, v snovi z večjo permeabilnostjo pa se na enoto poti porabi manjša magnetna napetost.

b) Na vzporedno vezanih ohmskih uporih imamo enak padec napetosti, električni tok pa se deli na vzporedno vezane ohmske upore v razmerju njihovih prevodnosti. Na vzporednih magnetnih poteh je enaka magnetna napetost, v snovi z večjo permeabilnostjo pa dobimo višjo gostoto magnetnega pretoka.

Istočasno pa se moramo dobro zavedati tudi vseh razlik, ki obstajajo med tokovnimi in magnetnimi polji. Najpomembnejša razlika je zajeta v dejstvu, da ne poznamo magnetnih izolatorjev. Poznamo le dobre in slabe magnetne prevodnike.

Krivulja magnetenja

Magnetni krogi navadno vsebujejo linearne in nelinearne elemente. Na linearnem (nemagnetnem) delu magnetnega kroga sta magnetna napetost in magnetni pretok

+ - + -

Rm1 Rm2

1 2


57

linearno povezana in je povsem vseeno, kateri od obeh je podan. Pri nelinearnem elementu pa je pomembno, kako je povezan z linearnim.

Če sta linearni in nelinearni element vezana zaporedno, je magnetni pretok skozi oba elementa enak, priključena magnetna napetost pa vsota magnetnih napetosti zaporedno vezanih elementov. Za podano magnetilno krivuljo magnetnega elementa je izračun povsem preprost.

Kadar pa imamo podano magnetno napetost in iščemo magnetni pretok, zaradi nelinearnosti magnetnega kroga ne vemo, kako se podana magnetna napetost razdeli na zračno režo in magnetni del jedra. Ne ostane nam nič drugega, kot da izračunamo in narišemo za podano železno jedro krivuljo magnetenja.

Magnetilna krivulja B = f(H) je za magnetno snov podajala odvisnost med obema diferencialnima veličinama magnetnega polja in je snovna karakteristika magnetnega materiala torej diferencialna veličina. Krivulja magnetenja ( )f je pripadajoča

snovno-geometrijska karakteristika magnetnega kroga, torej pripadajoča integralna veličina. Konstruiramo jo tako, da za podano snovno-geometrijsko obliko magnetnega kroga izračunamo za izbrane vrednosti pripadajočo magnetno napetost (amperne ovoje) in s tako dobljenimi pari pripadajočih veličin potem konstruiramo krivuljo magnetenja. Vsaka sprememba geometrije ali snovi kroga ima za posledico drugačno krivuljo magnetenja.

Krivuljo magnetenja za magnetni krog z zračno režo (zaporedno vezavo linearnega in nelinearnega elementa) konstruiramo povsem enako kot to v tokovnih krogih naredimo za zaporedno vezje linearnega in nelinearnega upora. Za podano geometrijsko konfiguracijo in magnetilno karakteristiko magnetnega elementa izračunamo za zaporedje vrednosti magnetnih pretokov pripadajoče padce magnetnih napetosti in jih vnesemo v diagram po sliki 5.13.

Slika 5.13 Krivulja magnetenja za enostavni magnetni krog z zračno režo

Iz diagrama je lepo razvidno, da pod kolenom magnetilne krivulje prevladuje padec magnetne napetosti na zračni reži. Če magnetno napetost za magnetenje zračne reže prenesemo na desno stran, dobimo skupno krivuljo magnetenja za magnetni krog z zračno režo.

zrFe

6 INDUCIRANA ELEKTRIČNA POLJA

Inducirano napetost lahko realiziramo le v enkratno izbrani, prevodni materialni zanki, če se magnetni pretok skozi njo s časom spreminja.

Faraday Michael

Vsebina

6.1 OSNOVNE ZAKONITOSTI ČASOVNO/KRAJEVNO SPREMENLJIVIH MAGNETNIH POLJ

6.1.1 Elektromagnetna indukcija

6.2 MAGNETNI SKLEP

6.3 LASTNE IN MEDSEBOJNE INDUKTIVNOSTI

6.4 FUNKCIJSKA POVEZAVA TOKA IN NAPETOSTI NA PASIVNIH ELEMENTIH

6.5 ENERGIJSKE RAZMERE V MAGNETNEM POLJU

6.5.1 Energija magnetnega polja

6.5.2 Prostorska gostota energije magnetnega polja

6.5.3 Sila na mejno ploskev gostotnice

6.6 STRUKTURNA POVEZANOST VELIČIN MAGNETNEGA POLJA

Inducirana električna polja

59

Čeprav vse zakonitosti časovno nespremenljivih magnetnih polj veljajo tudi za trenutne vrednosti tokov, moramo imeti vseskozi pred očmi dejstvo, da časovno spremenljiva magnetna polja vplivajo povratno nazaj na tokovna polja, ki jih povzročajo.

Tega povratnega vpliva smo se že pa dotaknili pri razlagi sile na tokovodnik oziroma gibljivo elektrino v magnetnem polju. Iz sile na gibljivo elektrino

( )F Q v B ,

se iz podobnosti s silo na elektrino v elektrostatičnem polju

sF Q E

ponuja zaključek, da elektrina Q prečkanje magnetnega polja občuti, kot da se nahaja v električnem polju z električno poljsko jakostjo

V

miE v B (6.1)

Ker je ta električna poljska jakost posledica gibanja elektrine v magnetnem polju, jo imenujemo dinamična ali inducirana električna poljska jakost. Torej je električna poljska jakost v neki točki prostora v najbolj splošnem primeru lahko vsota obeh komponent

V

ms i sE E E E v B (6.2)

Delovanje večine električnih strojev in naprav je vezano na spremenljiva električna in magnetna polja. Pa tudi stacionarna električna in magnetna polja je potrebno najprej zgraditi, zato je potrebno poznati zakonitosti spremenljivih električnih in magnetnih polj.

6.1 Osnovne zakonitosti časovno/krajevno spremenljivih magnetnih polj

6.1.1 Elektromagnetna indukcija

Napetost med dvema točkama induciranega električnega polja imenujemo inducirana napetost Ui . Ker je bilo v zgodovinskem razvoju elektrotehnike ravno na področju induciranih električnih polj največ spodrsljajev, je smiselno že v uvodu v inducirana električna polja navesti njihovo bistveno značilnost, ki jo je v svoji izjavi zelo precizno navedel Faraday:

»Inducirano napetost lahko realiziramo v enkratno izbrani prevodni zanki, če se magnetni pretok skozi zanko s časom spreminja!«


60

Kot bo to razvidno iz naslednjih dveh eksperimentov, pa se magnetni pretok skozi enkratno izbrano prevodno zanko (ali tuljavo) lahko spreminja iz dveh razlogov: a) Prevodna zanka miruje, s časom se spreminja magnetni pretok skozi njo. Govorimo o časovni spremembi magnetnega pretoka. b) Magnetno polje se s časom ne spreminja, premika se zanka ali del zanke. Govorimo o krajevni spremembi magnetnega pretoka.

Časovna sprememba magnetnega polja je razvidna iz poskusa po sliki 6.1.

Slika 6.1 Elektromagnetna indukcija zaradi časovne spremembe magnetnega pretoka

S pomikom drsnika na delilniku napetosti spreminjamo magnetni pretok prve tuljave. S tem se spreminja tudi sklenjeni magnetni pretok druge tuljave.

Krajevna sprememba magnetnega pretoka je razvidna iz slike 6.2.

Slika 6.2 Elektromagnetna indukcija zaradi krajevnega premika med tuljavo in magnetnim poljem

smer pomika drsnika tuljava 2 tuljava 1

+

-

smer gibanja

N

S

+

-

N

S


61

V tuljavi se inducira električna napetost zaradi relativnega premika med tuljavo in magnetnim poljem (v tem primeru trajnega magneta).

V najbolj splošnem primeru pa lahko dobimo elektromagnetno indukcijo zaradi tako časovne kot krajevne spremembe magnetnega pretoka skozi zanko (tuljavo).

Pri določanju inducirane napetosti je potrebno poznati njeno trenutno vrednost in polariteto. Eden od načinov določanja polaritete (predznaka) je Lenzovo pravilo: »Inducirana napetost ima vedno tak predznak, da nasprotuje vzroku, zaradi katerega je nastala!« To je v bistvu samo elektromagnetni ekvivalent pravila o akciji in reakciji.

Prečkalna napetost

Določitev inducirane električne poljske jakosti, ki jo dobimo v prevodnem vodniku, ko ta prečka magnetno polje, je najenostavnejši pristop k razumevanju induciranih električnih polj. Prek nje je tudi najbolj enostaven pristop k induciranemu električnemu polju, ki ga dobimo zaradi časovne spremembe magnetnega polja.

Ko snov premikamo skozi magnetno polje tako, da prečkamo magnetno polje, delujejo na vse elektrine v snovi magnetne sile. Če snov nima gibljivih elektrin (dielektrik) se snov le polarizira. Ker pa so inducirane električne poljske jakosti v primerjavi z elektrostatičnimi zelo šibke, smemo polarizacijo povsem zanemariti.

V snovi z gibljivimi nosilci elektrin pa inducirane električne poljske jakosti ne smemo zanemariti, saj v zaključeni prevodni zanki požene električni tok.

Iz izraza za inducirano električno poljsko jakost pri prečkanju magnetnega polja

iE v B

je iz vektorskega produkta razvidno, da je iznos inducirane električne poljske jakosti odvisen od vrednosti vektorskega produkta

siniE v B (6.3)

njeno smer pa dobimo, če vektor v po desnem svedru po najkrajši poti zavrtimo v lego

vektorja B .

Slika 6.3 Skica za določitev velikosti in smeri inducirane električne poljske jakosti.

iE

v

iE

B


62

Največjo vrednost inducirane električne poljske jakosti dobimo, kadar sta smer gostote magnetnega pretoka in smer gibanja med sabo pravokotni ( 090 ).

Na dolžinskem diferencialu dl vzdolž vodnika je diferencial inducirane napetosti podan s skalarnim produktom

d d cos di iU E l v B l (6.4)

Največji prirastek inducirane napetosti dobimo, ko sta vektorja E in dl kolinearna. Zato

sta praktično v vseh tehniških aplikacijah prečkalne napetosti kota 090 in 00 in

inducirana napetost v palici dožine l

VipU v B l (6.5)

Poleg pravila vektorskega produkta za določitev smeri prečkalne inducirane električne poljske jakosti lahko uporabimo tudi pravilo desne roke:

Slika 6.4 Pravilo vektorskega produkta in pravilo desne roke za določitev smeri prečkalne inducirane električne poljske jakosti.

Posplošena oblika zakona o inducirani napetosti

Prečkalna napetost zajema le tisti del inducirane napetosti, ki jo dobimo zaradi prečkanja magnetnega polja oziroma krajevne spremembe magnetnega polja. Zato moramo določiti obliko zakona o inducirani napetosti, ki bo zajemala tako krajevno kot časovno spremembo magnetnega polja.

V ta namen si oglejmo določitev inducirane napetosti v prevodni zanki, v kateri se del zanke premika po skici na sliki 6.5.

v

BiE

Bv

Ei

Če položimo iztegnjeno desno dlan v magnetno polje tako, da gostota magnetnega pretoka vstopa v dlan, iztegnjeni palec kaže smer gibanja, potem iztegnjeni prsti kažejo smer inducirane električne poljske jakosti, oziroma smer delovanja inducirane napetosti.


63

Slika 6.5 Skica za izpeljavo izraza za prečkalno napetost v prevodni zanki z gibljivim delom

Gibljivi del prevodne zanke z dolžino l se premika s hitrostjo v v nakazani smeri. Inducirana prečkalna električna poljska jakost ima podano smer, ki jo lahko določimo po pravilu vektorskega produkta, pravilu desne roke ali Lenzovem zakonu.

Magnetni pretok skozi zanko se bo povečal za iznos

d d d d d diB A B A B l x B l v t U t (6.6)

Odtod dobimo za iznos prečkalne napetosti izraz

d

diU

t V (6.7)

Ker štejemo inducirano napetost pozitivno, če od nje povzročeni tok obkroži magnetni pretok po desnem svedru, moramo vzeti:

d

diU

t (6.8)

Če pa bi premikali palico v nasprotni smeri, bi imeli negativni prirastek magnetnega pretoka skozi zanko, od inducirane napetosti povzročeni tok pa bi obkrožil magnetni pretok po desnem svedru. Dobili bi

d

diU

t (6.9)

kar pa je isto. Izraz za inducirano napetost v (enem) ovoju zanke ima splošno obliko

d

diU

t (6.10)

Ker pa je

B A

v

BiE

dx

dA

l


64

zgornji izraz preide v

d d d d

d d d di

B A B AU A B A B

t t t t (6.11)

Prvi izraz predstavlja inducirano napetost zaradi časovne spremembe in drugi inducirano napetost zaradi krajevne spremembe magnetnega polja.

Negativni preznak zajema vsebino Lenzovega zakona, od inducirane napetosti v zaključeni prevodni zanki povzročeni tok ima vedno tako smer, da ustvari magnetno polje, ki nasprotuje spremembi prvotnega magnetnega polja – akcija in reakcija.

6.2 Magnetni sklep

Magnetni sklep smo sicer že definirali kot vsoto magnetnih pretokov skozi ovoje tuljave. Ker pred tem nismo omenili induciranih napetosti, nismo mogli razložiti, zakaj je tako pomemben.

Slika 6.6 Sklepanje magnetnega pretoka skozi ovoje tuljave

Skupna inducirana napetost v tuljavi je enaka vsoti induciranih napetosti v posameznih ovojih. Iz slike 6.6 je lepo razvidno, da so magnetni pretoki skozi posamezne ovoje različni, zato so tudi inducirane napetosti v ovojih različne.

Magnetni sklep tuljave predstavlja nadomestitev tuljave z N ovoji z enim samim, v katerem časovna sprememba magnetnega sklepa inducira napetost, ki je enaka vsoti induciranih napetosti v ovojih.

Magnetni pretok ovoja je podan kot

Vsi ik (6.12)

N

S

N


65

kjer sklepni faktor ki 1 ovoja i pove, kolik del celotnega pretoka Φ se sklene skozi i-ti ovoj. Povprečni sklepni faktor tuljave je

1

N

iik

kN

(6.13)

In magnetni sklep tuljave

Vsk N (6.14)

Celotna inducirana napetost v tuljavi je

d

Vd

iUt

(6.15)

Pri inducirani napetosti razlikujemo med napetostjo lastne indukcije, kjer je inducirana napetost v isti tuljavi kot tok, ki jo povzroča in napetostjo medsebojne indukcije, kjer je tok, ki ustvarja magnetno polje v eni tuljavi in se le del njegovega magnetnega pretoka sklene skozi ovoje druge tuljave in v njej inducira napetost medsebojne indukcije.

Slika 6.7 Magnetni sklep sklenjenega magnetnega pretoka

Da določimo inducirano napetost medsebojne indukcije, moramo poznati magnetni sklep sklenjenega magnetnega pretoka v drugi tuljavi. Kolik del magnetnega pretoka se v povprečju sklene skozi vse ovoje druge tuljave, določa sklepni faktor prve tuljave napram drugi

1212

1

1k (6.16)

Magnetni sklep sklenjenega magnetnega pretoka skozi drugo tuljavo je

12 12 1 2 Vsk N (6.17)

Medtem ko inducirana napetost lastne indukcije vedno nasprotuje vzroku zaradi katerega je nastala, pa to pri inducirani napetosti medsebojne indukcije ni razvidno, saj je poleg od smeri tokov v obeh tuljavah odvisna tudi od smeri navojev obeh tuljav.

1N1

12

N2

I1


66

Slika 6.8 Zgled protismiselno induktivno povezanih tuljav

Zato en konec obeh tuljav označimo. Če tok v obeh tuljavah priteka v označen ali neoznačen konec, se sklenjeni magnetni pretok prišteva lastnemu magnetnemu pretoku. Obe inducirani napetosti imata enak predznak, induktivno povezanost obeh tuljav imenujemo istosmiselno. V nasprotnem slučaju se lastni in sklenjeni magnetni pretok odštevata, obe inducirani napetosti imata v smeri obhoda tuljave nasproten predznak. Pravimo, da sta tuljavi induktivno protismiselno povezani.

6.3 Lastne in medsebojne induktivnosti

Čeprav bi induktivnosti kot snovno-geometrijske lastnosti lahko navedli že pri magnetnem sklepu, pride njihov pomen do izraza šele po obravnavi induciranih napetosti.

Snovni lastnosti magnetnih polj – permeabilnosti kot diferencialni veličini pripada kot njena integralna dvojčica snovno-geometrijska lastnost induktivnost. Ta je definirana kot

LI

Vs/A=H (Henry) (6.18)

kot kvocient med posledico in povzročiteljem magnetnih polj. Za razliko med kapacitivnostjo C in prevodnostjo G, ki sta vedno vezani na isti element, poznamo v magnetnih poljih:

a) lastne induktivnosti kot snovno-geometrijske lastnosti, kjer sta vzrok in posledica v isti tuljavi in

b) medsebojne induktivnosti, kjer je povzročitelj v eni in posledica v drugi tuljavi oz. zanki.

Na splošno označimo lastno induktivnost s črko iL , kjer je i številka tuljave. Medsebojno

induktivnost označimo splošno z ijL , kjer je i številka tuljave povzročitelja in j številka

1N1

12

N2

I1

I2


67

tuljave posledice. Le v primeru, ko imamo opravka samo z dvema induktivno povezanima tuljavama, uporabljamo za medsebojno induktivnost oznako M

12 2112 21

1 2

M L Li i

(6.19)

Bistvena razlika med analogijo magnetnega in elektrostatičnega polja je v tem, da tu razlikujemo magnetna in nemagnetna jedra, oziroma linearne in nelinearne snovi.

Za tuljavo z nemagnetnim jedrom smemo za inducirano napetost lastne indukcije zapisati

d

( ) Vd

i

iu t L

t (6.20)

za tuljavo z magnetnin jedrom zaradi L=L(i) pa z

d d( ) d( ) V

d d di

L iu t L i i L i

t i t (6.21)

6.4 Funkcijska povezava toka in napetosti na pasivnih elementih

Kondenzator

Iz integralne zakonitosti kondenzatorja

( ) ( )cQ t C u t

sta trenutni vrednosti toka in napetosti na kondenzatorju povezani z

d ( )

( )dc

C

u ti t C

t in

0

1( ) ( ) d (0)

t

C C Cu t i t t uC

(6.22)

Ohmski upor

Na ohmskem uporu sta napetost in tok povezana z Ohmovim zakonom:

( ) ( )R Ri t G u t in ( ) ( )R Ru t i t R (6.23)

Tuljava

Pri uporabi integralne zakonitosti idealne tuljave

( ) ( )t L i t

se moramo zavedati , da inducirano napetost lahko predstavimo kot lastno (gonilno) napetost ali kot porabljeno napetost ali padec napetosti:


68

V prvem primeru se zavedamo, da se priključena napetost porabi za premagovanje inducirane napetosti in je po vrednosti enaka padcu napetosti na tuljavi. To lahko zapišemo bodisi kot

d ( )

( ) ( ) ( ) 0dL

L i L

i tu t u t u t L

t (6.24)

kjer smo inducirano napetost obravnavali kot lastno napetost, ali kot

d ( )

( )dL

L

i tu t L

t (6.25)

kjer jo obravnavamo kot padec napetosti.

Tok skozi tuljavo je povezan s padcem napetosti na tuljavi z

0

1( ) ( ) d (0)

t

L L Li t u t t iL

(6.26)

Zaporedna vezava idealnih elementov R, L in C

V zaporedni vezavi je tok i(t) skozi elemente enak, priključena napetost u(t) pa je enaka vsoti padcev napetosti:

0

d ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d (0)

d

t

R L C C

i tu t u t u t u t i t R L i t t u

t C (6.27)

Vzporedna vezava idealnih elementov R, L in C

Na vzporedni vezavi idealnih elementov je napetost u(t) enaka, tok i(t) v dovodu pa je enak vsoti tokov skozi elemente.

0

1 d ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d (0)

d

t

R L C L

u ti t i r I t i t u t G u t t i C

L t (6.28)

Dobljene enačbe so osnova obravnave tako enosmernih kot izmeničnih in ostalih časovno odvisnih električnih vezij.

6.5 Energijske razmere v magnetnem polju

Pri izpeljavi zakonitosti energije magnetnega polja lahko izhajamo iz analogije z elektrostatičnim poljem, razlika med obema je v tem, da imamo magnetna polja lahko v nemagnetnih in magnetnih snoveh.

Magnetizem ustvari tok oziroma gibljiva elektrina. Zato tudi nehote pričakujemo, da bo energiji magnetnega polja v mehaniki analogna kinetična energija, torej je magnetna


69

energija v bistvu kinetična energija, ki je povezana z gibanjem elektrin. Za ohranitev kinetične energije smo morali telesu pokrivati izgube zaradi trenja. Za ohranitev magnetne energije moramo sistemu pokrivati joulske izgube na ohmskih upornostih sistema. Kot v elektrostatičnem polju, kjer so s spremembo električne energije povezane sile električnega izvora, so s spremembo magnetne energije povezane sile magnetnega izvora.

Na področju energije magnetnega polja moramo obdelati in izpeljati naslednje zakonitosti: a) Magnetna energija v nemagnetnih in magnetnih snoveh. b) Prostorska gostota energije v nemagnetnih in magnetnih snoveh. c) Sile na mejnih ploskvah snovi z različno permeabilnostjo.

V to poglavje bi po vsebini spadala še konverzija energij v magnetnem polju, vendar to že spada v aplikacijo osnovnih zakonitosti.

6.5.1 Energija magnetnega polja

Snovno-geometrijska karakteristika magnetnega polja je funkcijska odvisnost med povzročiteljem (tokom ali gibljivo elektrino) in posledico (magnetnim pretokom oziroma pri tuljavi magnetnim sklepom). Obe snovno-geometrijski karakteristiki sta za nemagnetne in magnetne snovi prikazani na sliki 6.9a in 6.9b,

Slika 6.9 Snovno-geometrijska karakteristika

a) nemagnetne snovi

b) magnetne snovi

Ker vodnikov oziroma tuljav brez ohmske upornosti ni, se za razliko z elektrostatičnim poljem, v magnetnem polju za njegovo vzdrževanje porablja energija. Gonilni napetosti na vodniku ali tuljavi držita ravnotežje ohmski in induktivni padec napetosti

d

dR Lu u u i R

t (6.29)

Wm

dWm

Ikdi

d

k

I

Wm

dWm

iki

d

k

i

( )f i


70

Če to enačbo na obeh straneh pomnožimo z di t , dobimo enačbo energijskega ravnotežja:

2d d du i t i R t i (6.30)

Izraz na levi strani enačbe podaja v časovnem intervalu dt sistemu dovedeno energijo. Prvi izraz na desni strani podaja tisti del dovedene energije, ki se porabi na ohmski upornosti, zato drugi izraz na desni strani enačbe podaja diferencial energije, ki gre v povečano energijsko vsebino magnetnega polja:

d dmW i (6.31)

Za nemagnetne snovi zaradi linearne odvisnosti

d dL i

izraz za celotno magnetno energijo preide v

2 2

2

0

d J2 2 2

i

m

L i iW L i i

L (6.32)

Celotna magnetna energija je podana s ploskvijo, ki jo objemata snovno-geometrijska karakteristika in ordinata.

V magnetni snovi nakopičena energija je

0

dmW i (6.33)

Ker snovno-geometrijska karakteristika magnetne snovi nima oblike znanih matematičnih krivulj, lahko celotno energijo določimo le s pomočjo planimetriranja ali z numerično integracijo.

Ker je snovno-geometrijska karakteristika nemagnetnih snovi zelo položna, je v magnetnem krogu z zračno režo praktično celotna magnetna energija nakopičena v zračni reži.

6.5.2 Prostorska gostota energije magnetnega polja

Za določitev izrazov za prostorsko gostoto energije magnetnega polja lahko uporabimo tri pristope: a) Z uporabo povezav med integralnimi in diferencialnimi veličinami. b) Z uporabo snovnih karakteristik nemagnetnih in magnetnih snovi. c) Iz izraza za celotno energijo magnetnega polja.

V magnetnem polju imamo naslednje pare integralnih in diferencialnih veličin

,B i H

Odtod dobimo za nemagnetne in magnetne snovi:


71

0

dH

mw H B (6.34)

ki jo zaradi linearnosti nemagnetne karakteristike lahko preoblikujemo tudi v

2 2

00 3

00 0

Jd d

2 2 2 m

H H

m

H H B Bw H B H H

(6.35)

Iz snovnih karakteristik nemagnetnih in magnetnih snovi izhaja, da je prostorska gostota energije magnetnega polja podana s ploskvijo med snovno karakteristiko in ordinato,

Slika 6.10 Snovne krakteristike

a) nemagnetnih snovi in

b) magnetnih snovi

Dejansko je magnetilna karakteristika nemagnetnih snovi tako položna, da je pregledno ne moremo predstaviti.

Prostorsko gostoto magnetne energije izpeljemo iz celotne energije za homogeno magnetno polje in potem rezultat posplošimo. Za nemagnetno snov je

22 2 2

mm

iW N B A i i N B H B

wV A l A l l

za nemagnetno snov pa

0

0

d

dB

mm

i N B AW

w H BV A l

wm

dwm

H Hk

wm

dwm

HkHi H

( )B f H

H

B

Bk

dB

B

Bk

dB


72

6.5.3 Sila na mejno ploskev gostotnice

Faradayeva trditev, da se gostotnice obnašajo kot napete elastike, ki se skušajo po dolžini skrajšati po širini pa razmakniti, velja tudi za magnetna polja. Če sta na obeh straneh gostotnice isti magnetni snovi, se specifični sili na mejno ploskev kompenzirata in je rezultantna specifična sila enaka nič. Če pa sta snovi različni, rezultantna specifična sila vedno skuša premakniti mejno ploskev v smeri magnetne snovi z manjšo permeabilnostjo.

Za specifične sile v magnetnem polju velja

2 2

2 2 2

B H H Bf w [N/m2=J/m3] (6.36)

V tehniški praksi prehodov magnetnega polja na meji dveh magnetnih snovi sta pomembna le dva prehoda:

a) Zaporedna namestitev magnetnih snovi ali normalni prehod magnetnega polja.

b) Vzporedna namestitev magnetnih snovi ali tangencialni prehod magnetnega polja.

Slika 6.11 Normalni prehod magnetnega polja

Pri normalnem prehodu magnetnega polja gostoti magnetnega pretoka prehajata zvezno. Rezultantna specifična sila na enoto mejne ploskve je za sliko 6.11:

2

1 2 30 1 2

1 1 N( )

2 mr r

Bf f f (6.37)

Slika 6.12 Tangencialni prehod magnetnega polja

1 2

r r2 1

B1 B2

f1 f2

f

1

2

r r2 1

H2

H1

f1

f2 f


73

Pri tangencialnem prehodu magnetnega polja magnetni poljski jakosti prehajata zvezno. Rezultantna specifična sila na mejno ploskev je

20

2 1 2 1 3

N( )

2 mr r

Hf f f (6.38)

6.6 Strukturna povezanost veličin magnetnega polja

Čeprav smo strukturno povezanost osnovnih veličin magnetnega polja od vzroka – gibljive elektrine, do posledice – magnetnega sklepa že prikazali v poglavju o stacionarnem magnetnetnem polju, tam še nismo obdelali ne inducirane napetosti ne energije magnetnega polja.

Sedaj povezanost teh veličin z osnovnimi veličinami magnetnega polja poznamo in smo v stanju prikazati strukturo povezanosti vseh veličin. Ker pa v magnetnih poljih poznamo dvoje vrst snovi − nemagnetne in magnetne, moramo strukturno povezanost prikazati za vsako vrsto snovi posebej.

V nemagnetnih snoveh imamo naslednjo strukturno povezanost veličin in zakonov:

Slika 6.13 Strukturna povezanost magnetnih veličin v nemagnetnih snoveh

Dodatna osnovna zakonitost magnetnih polj je sila na gibljivo elektrino

( )F I l B [N] oz. ( )F Q v B [N]

in dodatna zakonitost induciranih električnih polj

Li

0

B

H

m

2

B Hw

m

2

iW

i H B


74

d

Vd

iUt

Integrala zaključene poti v magnetnem in induciranem električnem polju smo navedli le v njuni integralni obliki:

d

d ( ) dd

k

l A

DH l J A

t in (6.39)

d d

d ( d )d d

i i

l A

E l U B At t

(6.40)

Slika 6.14 Strukturna povezanost magnetnih veličin v magnetnih snoveh

Njuna diferencialna ekvivalenta sta Maxwellova zakona, ki ju dobimo z uporabo Stokesovega stavka

d rot dl A

v l v A

sta

d

rotd

k

DH J

t in (6.41)

d

rotd

i

BE

t (6.42)

Tudi integrala zaključene ploskve v magnetnem in induciranem električnem polju smo navedli le v integralni obliki:

L i

0B H

m dw H B

W i m d

i H B


75

d 0A

B A in (6.43)

d 0i

A

E A (6.44)

Njuna diferencialna ekvivalenta sta Maxwellova zakona, ki ju dobimo z uporabo Gaussovega stavka

d div dA V

v A v V

sta

div 0B in (6.45)

div 0iE (6.46)

Vsebinsko prva dva Maxwellova zakona povesta, da sta magnetno in inducirano električno polje vrtinčni vektorski polji, njuna vektorska izvora sta časovni spremembi tokovnega oziroma magnetnega polja.

Druga dva Maxwellova zakona magnetnih in induciranih električnih polj povesta, da ti dve polji nimata skalarnega izvora.

Ker lahko skupno električno polje, ki je lahko sestavljeno iz elektrostatičnega in induciranega električnega polja predstavimo kot

s iE E E (6.47)

za skupno električno poljsko jakost velja:

div div div 0s iE E E in (6.48)

d d

rot rot rot 0d d

s i

B BE E E

t t (6.49)

Električno polje ima lahko tako skalarni kot vektorski izvor, magnetno polje pa le vektorskega.

Ker na elektrino v električnem polju lahko v splošnem deluje vsota obeh električnih poljskih jakosti, je Lorentzova sila

( ) NsF Q E Q E v B

7 MAXWELLOVI ZAKONI

Matematika je tehniku čudoviti orodje in orožje; le obvladati jo mora ter vedeti, kje in kako jo lahko uporabi.

Zorič Tine

Vsebina

7.1 FIZIKALNO OZADJE MAXWELLOVIH ENAČB

7.1.1 Stavki o vektorskih poljih, ki so osnova Maxwellovih enačb

7.2 UPORABA GAUSSOVEGA IN STOKESOVEGA STAVKA V DEFINIRANJU

MAXWELLOVIH ZAKONOV

Maxwellovi zakoni

77

7.1 Fizikalno ozadje Maxwellovih enačb

Dobro poznavanje nekega področja fizike ali tehnike predpostavlja tako izpeljavo kot uporabo osnovnih zakonitosti tega področja. Izpeljavo zakonitosti moramo znati razložiti na osnovi že znanih zakonitosti in/ali fizikalnih poskusov. Kako to naredimo za osnovne zakonitosti elektrotehnike, sva predstavila v predhodnih poglavjih.

Prostor, v katerem se odvija fizikalni pojav, je predstavljen kot skalarno ali vektorsko polje. Skalarno polje je definirano kot prostor, v katerem je v vsaki točki prostora fizikalni pojav opisan s skalarno veličino. Vektorsko polje je definirano kot prostor, v katerem je v vsaki točki prostora fizikalni pojav opisan z vektorsko veličino. Šele s poznavanjem zakonitosti skalarnih in vektorskih polj lahko pridemo do celovitega nabora osnovnih zakonitosti nekega fizikalnega ali tehniškega področja. Tudi Maxwell je prišel do zakonov, imenovanih po njem, na osnovi zakonitosti skalarnih in vektorskih polj, ki so jih pred njim razdelali Gauss, Stokes in Greene.

Maxwell je z uporabo zakonitosti skalarnih in vektorskih polj vsem do tedaj podanim integralnim zakonitostim elektrotehnike definiral še njihov diferencialni ekvivalent. Ker nas zanima v prvi vrsti fizikalni pomen Maxwellovih enačb, bomo te podali le v Kartezijevem koordinatnem sistemu, čeprav te veljajo v poljubnem pravokotnem sistemu koordinat. Tako bomo skalarno veličino v točki T(x, y, z) predstavili splošno kot u(x, y, z) in vektorsko veličino kot v (x, y, z).

7.1.1 Stavki o vektorskih poljih, ki so osnova Maxwellovih enačb

Maxwellove enačbe so zasnovane na treh stavkih:

a) Gaussovem stavku,

b) Stokesovem stavku in

c) Stavku o gradientu skalarnega polja.

Gaussov stavek1

Naj bo V zaključeno omejeno področje v prostoru, ki ga omejuje kosovno zvezna ploskev A. V vsaki točki prostora naj obstaja vektorska funkcija ( , , )v x y z . Gaussov stavek je

podan v obliki

div d dV A

v V v A (7.1)

Matematično Gaussov stavek omogoča pretvorbo prostorskega integrala v ploskovni in obratno. Fizikalno pa Gaussov stavek pomeni naslednje: če ima v točki T(x, y, z) skalarna veličina divv od nič različno vrednost, to pomeni, da tam obstaja skalarni izvor

vektorskega polja v .

Iz Gaussovega stavka je razvidna definicija

1 Vektorska funkcija ( , , )v x y z je v prostoru zvezna funkcija, z zveznimi prvimi odvodi.


78

1

div lim dV

A

v v AV

(7.2)

skalarnega izvora vektorskega polja.

Za Kartezijev koordinatni sistem je dana v obliki

31 21 2 3div ( ) (

vv vv v i j k v i v j v k

x y z x y z (7.3)

Fizikalni pomen Gaussovega stavka pa bo razviden iz njegove uporabe v električnih in magnetnih poljih.

Stokesov stavek

Naj bo ( , , )A x y z zvezna ploskev v prostoru, ki jo omejuje kosovno zvezna krivulja

( , , )l x y z . Vektorska funkcija ( , , )v x y z prebada to ploskev. Stokesov stavek je podan v

obliki

rot d dA l

v A v l (7.4)

Matematično Stokesov stavek omogoča pretvorbo ploskovnega integrala v linijski integral in obratno. Fizikalno pa Stokesov stavek pomeni naslednje: Če ima v točki

T(x,y,z) vektorska veličina rotv od nič različno vrednost, to pomeni, da tam obstaja

vektorski izvor vektorskega polja v .

Iz Stokesovega stavka je razvidna definicija

1

rot lim dA

A

v v lA

(7.5)

Za Kartezijev koordinatni sistem je rot v dan v obliki

3 32 1 2 1

1 2 3

rot ( ) ( ) ( )

i j k

v vv v v vv v i j k

x y z y z z x x y

v v v

(7.6)

Fizikalni pomen Stokesovega stavka pa bo razviden iz njegove uporabe v električnih in magnetnih poljih.

Stavek o gradientu

Skalarna funkcija ( , , )V x y z v elektrotehniki predstavlja električni potencial. Zato

ploskve ( , , )V x y z konst imenujemo ploskve enakega potenciala ali ekvipotencialne

ploskve. Smer največjega porasta skalarne funkcije je definirana kot gradient skalarne funkcije

Maxwellovi zakoni

79

max

dgrad

d

V V V VV V i j k

l x y z (7.7)

Gradient stoji pravokotno na ekvipotencialno ploskev. Gradient opredeli nekemu skalarnemu polju pripadajoče vektorsko polje.

Gradient sicer ni vključen v Maxwellove enačbe, navedli smo ga zato, ker zaokrožuje celovito predstavitev električnih in magnetnih polj.

7.2 Uporaba Gaussovega in Stokesovega stavka v definiranju Maxwellovih

zakonov

Elektrostatično polje

Elektrostatično polje je prostor praktično brez gibljivih nosilcev elektrin, ki ga v električno napeto stanje spravijo skalarne veličine – elektrine. Tu bova tam opisane izpeljave prav na kratko povzela in dopolnila le še z Maxwellovimi enačbami.

Za osamljeno krogelno, valjno in ravninsko elektrino velja: za gostoto električnega pretoka

Q

DA

(7.8)

in pripadajočo električno poljsko jakost

D

E (7.9)

Dobljena enačba je konstitucijska enačba elektrostatičnega polja v diferencialni obliki, v sklopu Maxwellovih enačb pa se imenuje tudi pomožna Maxwellova enačba.

Delo pri prenosu enote pozitivne elektrine iz izbranega izhodišča T0 v točko T1 je definirano kot električni potencial v tej točki, delo pri prenosu enote pozitivne elektrine iz točke T1 v točko T2 pa kot razlika električnih potencialov ali električna napetost med tema dvema točkama:

1 2

1 12 1 2

0 1

d , in dV E l U E l V V (7.10)

Konstitucijska enačba elektrostatičnega polja v integralni obliki je

Q

UC

(7.11)

Pojavi v elektrostatičnem polju so reverzibilni. Električna energija, nakopičena v enoti prostornine (prostorska gostota električne energije), je podana z


80

2

el el

D Ew f (7.12)

in je istočasna sila na mejno ploskev gostotnice.

Celotna, v elektrostatičnem polju nakopičena energija, pa je podana z

2

el

Q UW (7.13)

S tem sva podala in izpeljala izraze za vse veličine elektrostatičnega polja. Preostala sta le še elektrostatična ekvivalenta Kirchhoffovih zakonov tokovnih polj, ki pa sta istočasno tudi integralni verziji obeh Maxwellovih zakonov elektrostatičnega polja.

Če v elektrostatičnem polju izberemo zaključeno ploskev s površino ( , , )A x y z in

poiščemo ploskovni integral gostote električnega pretoka D skozi to ploskev, sta možna dva rezultata:

0d Q

A

D A (7.14)

Prvi rezultat velja, če zaključena ploskev oklepa elektrino Q ali enako veliko vsoto elektrin, drugi pa, če je oklepana elektrina ali vsota elektrin enaka nič. Ker prvi izraz lahko zapišemo tudi v obliki:

d dA V

Q D A V (7.15)

iz primerjave z Gaussovim stavkom izhaja, ko limitiramo ΔV→0:

divD oz.

divE (7.16)

za prvi primer, ko je v točki prostora skalarni vir elektrostatičnega polja in

div 0D (7.17)

za drugi primer, ko ga ni.

Enačbo 7.16 imenujemo tudi 4. Maxwellova enačba ali Gaussov stavek elektrostatičnega polja. V bistvu pa je to le diferencialni ekvivalent Kirchhoffove enačbe zaključene ploskve v elektrostatičnem polju.

Če v elektrostatičnem polju poiščemo linijski integral električne poljske jakosti sE po

zaključeni poti l , sta začetna in končna točka zaključene poti na istem električnem potencialu in zato velja

d 0s

l

E l (7.18)

Če na ta izraz uporabimo Stokesev stavek, izhaja, da mora biti

rot 0sE (7.19)

Maxwellovi zakoni

81

Elektrostatično polje je nevrtinčno, izvira iz pozitivne elektrine in se končuje na pripadajoči negativni elektrini. Kot bomo kasneje videli, je to le sestavni del 2. Maxwellove enačbe. V svojem bistvu pa je to le diferencialni ekvivalent Kirchhoffove enačbe zaključene poti v elektrostatičnem polju.

Tokovno polje

Tokovno polje je posledica električnega polja v prevodni snovi. Metodika izpeljav zakonitosti tokovnega polja je v celoti podana v poglavju 4. Zato bova vrstni red izpeljav le navedla in ga na koncu dopolnila z ustreznim Maxwellovim zakonom tokovnega polja.

Gostota električnega toka je definirana z

d

d

iJ

A (7.20)

kjer je di diferencial električnega toka skozi diferencial ploskve dA, ki stoji pravokotno

na smer toka. Vektor gostote električnega toka J je kolinearen z vektorjem električne

poljske jakosti E , ki ga povzroča in premo sorazmeren s snovno lastnostjo prevodne snovi – svojsko prevodnostjo .

J E (7.21)

ki je konstitucijska diferencialna enačba tokovnega polja. Njej pripada integralna oblika

I U G (7.22)

Tu je

dl

U E l (7.23)

gonilna napetost in G pripadajoča ohmska prevodnost prevodnika.

Moč, ki se v enoti prostornine pretvarja v joulsko toploto, je dana z

p E J (7.24)

in moč v celotni prostornini

P U I (7.25)

Nabor osnovnih zakonitosti dopolnjujeta oba Kirchhoffova zakona tokovnih polj, zakon zaključene zanke

gi j ji j

U i R (7.26)

in zakon zaključene ploskve

0jj

i (7.27)


82

za tokovna vezja, znan tudi kot Kirchhoffov zakon vozlišča. Zadnja enačba ima tudi svoj

Maxwellov ekvivalent: Iz zaključene ploskve A lahko električni tok odteka le, če se elektrina znotraj zaključene ploskve s časom zmanjšuje.

d ( ) d

A V

QJ A V

t t (7.28)

Tej integralni enačbi, ki se imenuje tudi enačba kontinuitete ali enačba o ohranitvi elektrine, pripada diferencialni ekvivalent

div Jt

(7.29)

Magnetno polje

Vse osnovne enačbe magnetnega polja je mogoče izpeljati iz

a) električnega toka kot povzročitelja magnetnih pojavov,

b) sile na tokovodnik ali

c) magnetnega pretoka.

V poglavju D sva pri izpeljavi zakonitosti magnetizma izhajali iz električnega toka. Električni tok v enem ali več vodnikih sva definirala kot magnetno napetost , ki magneti prostor v svoji okolici:

, jj

i i N ali i (7.30)

Amperov zakon pravi, da je integral magnetne poljske jakosti po zaključeni poti enak vsoti tokov, ki jih zaključena pot oklepa, tj. magnetni napetosti, ki magneti prostor.

dl

H l (7.31)

Kako ob znani magnetni napetosti in geometrijski oblikovanosti prostora določimo pripadajočo magnetno poljsko jakost, sva podrobneje opisala v poglavju 5.1 in v poglavju 5.2. Ob znani magnetni poljski jakosti in snovni lastnosti prostora je gostota magnetnega pretoka

B H (7.32)

To je konstitucijska enačba magnetnega polja v diferencialni obliki ali pomožna

Maxwellova enačba magnetnega polja. Pripadajoči magnetni pretok skozi ploskev A je

dA

B A (7.33)

Magnetni pretok skozi N ovojev tuljave je definiran kot magnetni sklep

kN (7.34)

Konstitucijska enačba magnetnega polja v integralni obliki je

Maxwellovi zakoni

83

L i (7.35)

kjer je L lastna induktivnost – snovno-geometrijska lastnost magnetnega polja.

Prostorska gostota energije magnetnega polja je podana z

2

m

B Hw (7.36)

za nemagnetne snovi in z

dm

B

w H B (7.37)

za magnetne snovi. Prostorska gostota magnetne energije je zopet enaka specifični sili na mejno ploskev magnetne gostotnice.

Enako velja za celotno magnetno energijo

2

m

iW oz.

dmW i (7.38)

za magnetne oz. nemagnetne snovi.

Amperov zakon pa lahko zapišemo tudi v integralni obliki I. Maxwellove enačbe

d ( ) d

l S

DH l J A

t (7.39)

Iz primerjave s Stokesovim stavkom izhaja pripadajoča diferencialna oblika

rotD

H Jt

(7.40)

Vrtinec magnetnega polja povzroča vsota vseh oblik gostote električnega toka.

Če poiščemo integral gostote magnetnega pretoka B skozi zaključeno ploskev A , dobimo 3. Maxwellovo enačbo v integralni obliki

d 0A

B A (7.41)

Iz primerjave z Gaussovim stavkom izhaja njena diferencialna oblika

div 0B (7.42)

Obe Maxwellovi enačbi fizikalno posredujeta spoznanje, da magnetno polje povzročajo gibljive elektrine in da je magnetno polje vrtinčno.


84

Inducirano električno polje

Časovno in/ali krajevno spremenljivo magnetno polje ima za posledico inducirano električno polje in s tem v enkratno izbrani zaključeni prevodno zanki2 inducirano napetost

d di i

l A

BU E l A

t (7.43)

To je 2. Maxwellova enačba ali Faradayev zakon indukcije v integralni obliki.

Po Gaussovem stavku iz nje izhaja njena diferencialna oblika

rot i

BE

t (7.44)

Skupna električna poljska jakost v neki točki v prostoru ima torej lahko statično in dinamično komponento

s iE E E (7.45)

od katerih ima prva skalarni

div div div 0sE E E

(7.46)

in druga vektorski izvor

rot rot rot 0s i

B BE E E

t dt

(7.47)

Dodatno spada v nabor osnovnih zakonitosti elektrotehnike še Lorentzova sila

( ) NsF Q E v B

V tem poglavju navedene zakonitosti elektrotehnike predstavljajo minimalni nabor zakonitosti elektrotehnike, če katera od teh manjka, je naše poznavanje elektrotehnike pomanjkljivo. Iz tega zornega kota izhaja, da tudi Maxwellovi zakoni spadajo v ta minimalni nabor.

2 Pogoj realizacije inducirane napetosti, ki ga je navedel že Faraday

8 ZAKLJUČEK

Dobri učitelji so dragi, ampak slabi še neprimerno bolj, če upoštevamo, koliko škode lahko naredijo!

Talbert Bob

Podana snov ni učbenik za Osnove elektrotehnike. Je le napotek učiteljem in poskus opredelitve minimalnega obsega osnovnih zakonitosti elektrotehnike, ki bi jim moral obvladati vsak elektrotehnik z višje ali visokošolsko izobrazbo. To pa nikakor ne pomeni, da predavanja ne smejo preseči tega okvira. Nekaj tega sva storila celo midva, ko sva izpeljala vrsto specialnih zakonov, čeprav je bil pri tem najin osnovni namen prikazati uporabo učnih metod pri rezultatih pridobljenih s poskusi.

Nadaljnji korak bodo predstavljala gradiva, ki bo poskušala prikazati aplikacijo osnovnih zakonov elektrotehnika v posameznih smereh elektrotehnike. Ker je najino delovno področje predvsem energetika, vabiva učitelje-pedagoge ostalih smeri elektrotehnike k obdelavi njihovih področij.

Tehnika predstavlja uporabo fizike v stvarnih, zelo pogosto neidealnih razmerah. Tam dostikrat tudi specialne zakonitosti ne omogočajo uspešno obvladanje razmer. Uporabiti moramo specialne metode, ki omogočajo pridobiti rešitve za ozka specialna področja smeri. Nekaj od teh bova poskušala za področje energetike prikazala tudi midva.

Veda, ki se poglobljeno ukvarja s problemi podajanja učnih snovi na področju tehnike, je inženirska pedagogika. Ta, poleg napotkov za uspešno posredovanje učne snovi na področju tehnike, posreduje tudi ostala za uspešni pouk potrebna sociološka, psihološka in ekološka znanja. Laboratorijska didaktika ter računalniške metode modeliranja in simulacije fizikalnih procesov postajajo neizogibna vsebina učnega dogajanja.

LITERATURA

A. INŽENIRSKA PEDAGOGIKA

A.1 K. GEIGER

Methodik der Lehre der Wechselstromtechnik

VEB Verlag Technik Berlin, 1956

A.2 A. HAUG, H. G. BRUCHMUELLER

Labordidaktik für Hochschulen

Leuchtturm Verlag – LTV, Alsbach, 2001

A.4 A. MELEZINEK

Ingenieurpädagogik – Praxis der Vermittlung technischen Wissens

Springer Verlag, Wien New York, 1999

B. OSNOVE ELEKTROTEHNIKE

B.1 G. BOSSE

Grundlagen der Elektrotechnik I

(Bibliographisches Institut Mannheim/Zürich 1969

B.2 G. BOSSE

Grundlagen der Elektrotechnik II

Bibliographisches Institut Mannheim/Zürich 1969

B.3 G. BOSSE

Grundlagen der Elektrotechnik III

Bibliographisches Institut Mannheim/Zürich 1969

B.4 A. FÜHRER, K. HEIDEMANN, W. NERRETER

Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 1:Stationäre Vorgänge

Carl Hanser Verlag München Wien 1989

B.5 A. FÜHRER, K. HEIDEMANN, W. NERRETER

Literatura

87

Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 2:Zeitabhängige Vorgänge

Carl Hanser Verlag München Wien 1989

B.6. I. TIČAR, T. ZORIČ

Osnove elektrotehnike 1. zvezek: Električna in tokovna polja

FERI UM, Maribor 2000

B.7. P. Kitak, T. ZORIČ

Osnove elektrotehnike 2. zvezek: Magnetna in inducirana električna polja

FERI UM, Maribor 2011.

B.8 I.TIČAR, T. ZORIČ

Osnove elektrotehnike 3. zvezek: Izmenični tokokrogi in prehodni pojavi

FERI UM, Maribor 2001

B.9 T. ZORIČ

Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike

Samozaložba, Maribor 2008

Documents

METODIKA POUČEVANJA OSNOV ELEKTROTEHNIKE · PDF filePeter Kitak, Tine Zorič METODIKA POUČEVANJA OSNOV ELEKTROTEHNIKE Minimalni nabor osnovnih zakonitosti E-publikacija Maribor,