45
SVEU ˇ CILI ˇ STE U ZAGREBU PMF-MATEMATI ˇ CKI ODJEL METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu Dio materijala koji se odnosi na vrste nastave, kao ˇ sto je heuristiˇ cka, problemska nastava, metoda predavanja i metoda rada s tekstom itd, objavljen je u ˇ casopisu Matematika i ˇ skola, te se ne nalazi u ovim materijalima. Moˇ ze se na´ ci na web stranicama Metodike 2. Priredila prof. dr. sc. Sanja Varoˇ sanec na osnovi svojih predavanja i predavanja profesora Zdravka Kurnika za potrebe studenata PMF-Matematiˇ ckog odjela Zagreb, 2004.

METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

  • Upload
    others

  • View
    88

  • Download
    9

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

SVEUCILISTE U ZAGREBUPMF-MATEMATICKI ODJEL

METODIKA NASTAVE

MATEMATIKE II - DIO, zainternu upotrebu

Dio materijala koji se odnosi na vrste nastave, kao sto je heuristicka, problemskanastava, metoda predavanja i metoda rada s tekstom itd, objavljen je u casopisuMatematika i skola, te se ne nalazi u ovim materijalima. Moze se naci na web

stranicama Metodike 2.

Priredila prof. dr. sc. Sanja Varosanec na osnovi svojih predavanja ipredavanja profesora Zdravka Kurnika za potrebe studenata

PMF-Matematickog odjela

Zagreb, 2004.

Page 2: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Sadrzaj

1. CILJEVI NASTAVE MATEMATIKE 2

1.1. Ciljevi nastave matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. NACELA, OBLICI I METODE NASTAVE MATEMATIKE 7

2.1. Nacela nastave matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Oblici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. DIFERENCIRANA NASTAVA 17

3.1. Homogene grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2. Grupni rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3. Individualizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4. METODA DIJALOGA 23

5. METODA PREDAVANJA 26

6. HEURISTICKA METODA 28

7. PROBLEMSKA METODA 33

8. PROGRAMIRANA NASTAVA 37

9. METODA RADA S TEKSTOM 41

Page 3: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

1. CILJEVINASTAVE MATEMATIKE

1.1. Ciljevi nastave matematike

Nastava 1 je svrhoviti, dvosmjerni, planski i racionalno organizirani radni pro-ces u kojemu se, pojednostavljeno receno, vrsi prenosenje sintetiziranog iskustvastarijih generacija na mlade, sa svrhom njihovog osposobljavanja za samostalno iuspjesno snalazenje u zivotnom okruzenju.

Cilj oznacava ocekivano, zamisljeno buduce stanje koje zelimo postici odredenimaktivnostima i sredstvima (sadrzajima). Ciljevima iskazujemo formulaciju ocekivanihpromjena koje e nastati kod ucenika (pojedinca) nakon sto ovlada sadrzajima kojisu obuhvaceni u odredenom ciklusu skolovanja.

U najnovijem Nastavnom planu i programu za osnovnu skolu za 2006./07.godinu (krace: po HNOS-u) cilj nastave matematike opisan je ovako:

Cilj nastave matematike je stjecanje temeljnih matematickih znanja potreb-nih za razumijevanje pojava i zakonitosti u prirodi i drustvu, stjecanje osnovnematematicke pismenosti i razvijanje sposobnosti i umijeca rjesavanja matematickihproblema.

U prethodnom Nastavnom planu i programu za osnovnu skolu (Prosvjetnivjesnik, 1999.) nalazili su se ovako opisani ciljevi:

Ciljevi nastave matematike u osnovnoj skoli su:

- usvajanje osnovnih matematickih znanja potrebnih za razumijevanje pojavai zakonitosti u prirodi i drustvu,

- stjecanje sire obrazovne osnove potrebne za lakse razumijevanje i usvajanjedrugih sadrzaja prirodnih i drustvenih znanosti,

- osposobljavanje za nastavak skolovanja i primjenu usvojenog znanja u svakod-

1ovo je pisano prije 2008. pa se razmatra HNOS i slicno. Nakon uvodenja NOKa cilj se okreceprema uceniku: sto ce ucenik moci uciniti nakon tog nastavnog sata . . .

Page 4: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

1 Ciljevi nastave matematike 3

nevnom zivotu, postupno svladavanje osnovnih elemenata matematickog jezika,razvijanje sposobnost izrazavanja opcih ideja matematickim jezikom, razvijanje po-jmovnog i apstraktnog misljenja te logickog zakljucivanja,

- usvajanje metoda matematickog misljenja koje se ocituje u preciznom for-muliranju pojmova i algoritamskom rjesavanju problema

- razvijanje smisla i potrebe za samostalni rad, odgovornost za rad, tocnost,urednost, sustavnost, preciznost i konciznost u pismenom i usmenom izrazavanju.

Nastavni programi za gimnazije (Glasnik Ministarstva kulture i prosvjete,1994.)

Ciljevi nastave matematike u gimnaziji su:

-stjecanje temeljnih matematickih znanja nuznih za nastavak daljnje izobrazbe,praenje suvremenoga drustveno-gospodarskog i znanstveno-tehnoloskog razvoja ibuduce djelatnosti,

-razvijanje logickoga misljenja i zakljucivanja, matematicke intuicije, maste istvaralastva,

-stjecanje navika i umijeca, kao sto su sistematicnost, ustrajnost, preciznost ipostupnost,

-usvajanje metoda matematickog misljenja koje se ocituje u preciznom for-muliranju pojmova i algoritamskom rjesavanju problema,

-stjecanje sposobnosti matematickoga oblikovanja i predocavanja problema naznakovima i jeziku matematike, naglaseno u grafickom smislu.

Odgojno-obrazovni proces podrazumijeva stjecanje znanja, razvijanje vjestinai stjecanje odgojnih navika, pa cemo reci par rijeci o tim kategorijama.

Znanje

Znanje je sustav ili logicki pregled cinjenica i generalizacija o objektivnojstvarnosti koje je covjek usvojio i trajno zadrzao u svojoj svijesti.

Cinjenice su konkretnosti, odnosno pojedinosti o objektivnoj stvarnosti kojecovjek upoznaje perceptivnim putem. Osim cinjenica, znanje obuhvaca i poznavanjegeneralizacija ili apstrakcija kao sto su pojmovi, pravila, nacela, metode, zakoni, ko-relacije, definicije, zakljucci, dokazi, aksiomi, hipoteze, anticipacije, teorije, misli,ideje, simboli, algoritmi, formule, jednadzbe. Apstrakcije ne mozemo vidjeti, opi-pati, okusiti; njih treba shvatiti posredstvom misljenja.

S obzirom na kvalitetu razlikujemo vise stupnjeva znanja:

a) Znanje prisjecanja karakteristicno je po tome da se ucenik samo sjeca nekih

Page 5: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

1 Ciljevi nastave matematike 4

sadrzaja, ali nista vise o tome ne zna.

b) Znanje prepoznavanja karakteristicno je po tome da ucenici mogu prepoz-nati neke sadrzaje, znaju na sto se oni odnose, ali ih ne mogu objasniti i obrazloziti.

c) Znanje reprodukcije karakteristicno je po tome da je ucenik u stanjuponoviti, reproducirati neki sadrzaj, ali ga ne zna upotrijebiti u nekoj drugojsituaciji.

d) Operativno znanje karakterizira to da ucenici sigurno vladaju nastavnimsadrzajima, umiju ih objasniti i obrazloziti i umiju primjenjivati u svom svako-dnevnom radu u skoli i izvan nje.

e) Kreativno ili stvaralacko znanje je najvisi stupanj kvalitete znanja i njegovakarakteristika je da covjek na temelju stecenog znanja stvara nova.

U skoli je potrebno da ucenici za vrijeme skolovanja postignu stupanj ope-rativnog znanja, a neki ce krenuti i stupanj vise, tj. znaci da ce dostici ´E stupanjkreativnog znanja.

Primjer 1.1. U petom razredu OS obraduje se pojam simetrale duzine. Ukoliko jeucenik u stanju samo reproducirati definiciju simetrale duzine: ”Simetrala duzine jepravac koji prolazi polovistem te duzine i okomit je na nju”, tada cemo reci da jesamo u stanju reproducirati definiciju tog pojma. Provjeru je li ucenik ovladao timpojmom dobit cemo ako uspjesno rijesi neki od zadataka vezanih uz taj pojam. Naprimjer: Konstruiraj simetralu zadane duzine AB. Ili ako rijesi neki od zadatakaiz zbirke. Na zupanijskom natjecanju 1997. u 5. razredu bio je zadan ovaj zadatak:Nacrtaj tri tocke A,B,C koje ne leze na istom pravcu. Konstruiraj tocku koja jejednako udaljena od svih triju tocaka A,B i C.

Moramo napomenuti da ucenik 5. razreda u tom trenutku jos ne zna nista opojmu kruznice opisane trokutu. Ucenik pri rjesavanju tog zadatka mora primjenitisvojstvo da je svaka tocka simetrale duzine jednako udaljena od rubova duzine, tj.tu je istaknut operativni nivo znanja. Ali, u trenutku kad ucenik zakljuci da jetrazena tocka srediste kruznice koja prolazi kroz sva tri vrha trokuta, tada je onna temelju stecenog znanja o simetrali stvorio novo znanje, konkretno o kruzniciopisanoj trokutu. I to je korak stvaranja.

Primjer 1.2. U svom skolovanju ucenik se susrece s pojmom aritmeticke (prosjekocjena) i geometrijske sredine dva broja (Euklidov poucak) i osnovnom nejednakoscuizmedu tih sredina: A(x, y) ≥ G(x, y) , gdje je A(x, y) = x+y

2i G(x, y) =

√xy.

Procjenu je li ucenik operativno ovladao tim pojmovima dobit cemo ako na primjer,uspjesno rijesi zadatke:

Zadatak. [14, str. 102]Dokazi da za svaka tri pozitivna realna broja a, b, cvrijedi

(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.

Page 6: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

1 Ciljevi nastave matematike 5

Rjesenje. Vrijedi a+b2

≥√

ab, b+c2

≥√

bc, a+c2

≥√

ac. Kad pomnozimo te trinejednakosti dobivamo upravo trazenu nejednakost.

ili

Zadatak. [14, str. 104] U skupu pravokutnika konstantnog opsega odredite onajcija je povrsina maksimalna.

Rjesenje. Dakle, vrijedi a + b = O2. Iz nejednakosti aritmeticke i geometrijske

sredine vrijedi O4≥

√P pri cemu se jednakost postize ako je a = b. Kako je lijeva

strana konstantna, to je maksimum desne strane upravo O/4 i postize se za a = b.

Kreativno znanje ocituje se u mogucnosti stvaranja novih rezultata: genera-lizacija u kojima se umjesto dva broja pojavljuje n brojeva, generalizacija na tezinskesredine, prosirenje pojma aritmeticke i geometrijske sredine na sredine reda r :

M(x, y) =

(p1x

r + p2yr

p1 + p2

)1/r

, r 6= 0,

te formiranja novih rezultata u vezi s tim sredinama.

Stjecanje znanja o objektivnoj stvarnosti koja se proucava u nastavi nazivamomaterijalni zadatak nastave.

Do potkraj 19. stoljeca vladalo je misljenje da je materijalni zadatak osnovnii jedini zadatak nastave; smatralo se da ce mlada generacija biti bolje pripremljenaza zivot usvoji li sto vecu kolicinu znanja. Ta je koncepcija dobila naziv didaktickimaterijalizam (stara skola). U skolama su se neprestano sirili nastavni sadrzaji, aucenje se svelo na memoriranje brojnih cinjenica i generalizacija. Jasno je da sutakva mehanicki memorirana znanja bila na stupnju reprodukcije, te da ucenicimanedostaje sposobnost primjene tih znanja.

Sposobnosti

Sposobnost je kvaliteta licnosti koja je tako formirana da osoba moze uspjesnoobavljati neku djelatnost. Razlikujemo perceptivne, prakticne i intelektualnesposobnosti, te sposobnosti izrazavanja. Sposobnosti nisu unaprijed dane rodenjem,nego se razvijaju ovisno o naslijedenoj anatomsko-fizioloskoj i psihickoj strukturicovjeka, vanjskoj sredini u kojoj covjek zivi i radi, te o samoj aktivnosti covjeka.

Razvijanje brojnih i raznovrsnih ljudskih sposobnosti cini funkcionalni zadataknastave. Taj zadatak posebno isticu predstavnici tzv. nove skole na prijelazu iz 19.u 20. stoljece i u prvim desetljecima 20. stoljeca. Naime, uocavajuci nedostatke di-daktickog materijalizma, predstavnici nove skole pojam obrazovanja svode na razvi-janje psihofizickih funkcija (didakticki funkcionalizam). Ali i u toj koncepciji otislo

Page 7: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

1 Ciljevi nastave matematike 6

se u krajnost, te se zapostavlja materijalna strana obrazovanja. U suvremenomobrazovanju smatramo da treba naglasavati znacenje materijalnog i funkcionalnogzadatka nastave, a ne isticati jedno i zapostavljati drugo.

Formulacije u pripremama za materijalni zadatak glase: upoznati, pokazati,ukazati, uociti, razumjeti, shvatiti, nauciti i sl., a formulacije s obzirom nafunkcionalni zadatak glase: razviti, osposobiti, usavrsiti, formirati, uvjezbati,navikavati, izgradivati, izrazavati, misliti, operirati i sl.

Konkretno, u nastavi matematike2, ucenicima se predaje odgovarajuci sustavmatematickih znanja, umijeca i navika, ovladava se matematickim metodama spoz-naje stvarnosti, minimumom matematickih cinjenica potrebnih za primjenu u zivotute se uci usmena i pismena matematicka rijec sa svim njezinim svojstvima kao stosu jednostavnost, jasnoca, preciznost, punoca i sl. Nadalje, razvija se umijece prim-jene dobivenih znanja, umijece koristenja matematickog pribora i pomagala, umijecesamostalnog stjecanja znanja pomocu strucne i znanstveno popularne literature, teosposobljava za rjesavanje problema koje postavlja tehnicki, ekonomski i socijalnizivot.

Odgoj

Nastava je proces kojim se usvajaju i odgojne vrijednosti - moralne, estetske,fizicke i radne. Time se bavi teorija odgoja. Na primjer, ucenik se odgaja u duhuodgovarajuceg pogleda na svijet, njeguje se stalni interes za ucenje matematike,razvija se matematicko misljenje, sklonost prema istrazivanjima, kreativan i kritickiduh, znanstveni pogled na svijet i ljubav prema istini.

Nastava matematike moze doprinijeti stvaranju potrebnih i korisnih navika,kao sto su: navika koncentracije, pozornosti i intenzivne misaone aktivnosti u re-lativno duzem trajanju, navika jasnog, preciznog i sazetog pismenog ili usmenogizlaganja, navika koristenja literature, navika sudjelovanja u timskom radu.

Jedan od najvaznijih odgojnih ciljeva je svakako i razvijanje pozitivnog stavaprema matematici.

Vazno je naglasiti da doprinos nastave matematike razvoju sposobnosti istvaranju navika i shvacanja manje ovisi o sadrzaju u nastavnom programu, a mnogovise o nastavnim metodama i izboru zadataka za vjezbe.

2Z. Kurnik, Matematicke sposobnosti, Matematika i skola 10(2001), 195-199.

Page 8: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

2. NACELA,OBLICI I METODENASTAVE MATEMATIKE

2.1. Nacela nastave matematike

Pri nastavi, kao i u svakom drugom radu moraju se postivati odredena nacelaili principi.

Nacela nastave matematike temeljne su ideje na kojima se i uz pomoc kojihse ureduju uvjeti ucenja u nastavi matematike. To su polazne osnove pri usposta-vljanju, stvaranju, procjenjivanju i vrednovanju cjelokupnog odgojno - obrazovnogprocesa u nastavi. Njima se izrazava koncepcija te nastave, pojavni oblici i konacniucinci. Nacela su rezultat proucavanja nastavne prakse, zakonitosti procesa ucenja,razine i kvalitete psihicke razvijenosti ucenika te prirode nastavnih matematickihsadrzaja.

U osnovi to su smjernice kojih bi se trebao pridrzavati svatko tko organizira iprovodi nastavu matematike. Konacna im je svrha matematicko obrazovanje ucinitimaksimalo efikasnim. Metodika nastave matematike u osnovnoj i srednjoj skoliuspostavlja razna nacela od kojih cemo navesti:

nacelo primjerenosti

nacelo znanstvenosti

nacelo interesa, svjesnosti i aktivnosti

nacelo sistematicnosti i postupnosti

nacelo zornosti i apstraktnosti

nacelo problemnosti

nacelo trajnosti znanja, vjestina i navika

nacelo individualizacije

Page 9: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Nacela, oblici i metode nastave matematike 8

nacelo ekonomicnosti i racionalizacije

nacelo historicnosti i suvremenosti.

Naravno, nacela nisu medusobno odvojena vec se uzajamno uvjetuju i istovre-meno ostvaruju.

Nacelo primjerenosti

Nacelo primjerenosti zasniva se na spoznaji da se dijete postupno razvija te danastavni rad treba uskladiti sa psihofizickim snagama ucenika. Nastava po sadrzajui nacinu ne smije biti ni prelagana, ni preteska, s proucavanjem pojedinih nastavnihsadrzaja ne treba zapoceti ni prerano ni prekasno, psiho-fizicke osobine ucenika nebi se smjele ni precjenjivati niti potcjenjivati.

Ucenje ne smije biti previse lako zato sto lakoca ucenja ne stvara kod ucenikanavike rada i savladavanja teskoca. S druge strane osim sto se nastava prilagodujeuceniku, nastavni rad treba ici i korak naprijed ispred trenutnog stanja, tj. trebauvesti faktor koji ce angazirati u potpunosti intelektualni potencijal ucenika.

Ponekad se susrecu studenti koji su u srednjoj skoli bili dobri ucenici, a navisim skolama dozivljavaju neuspjeh. Jedan od razloga je i to sto im je nastavau srednjoj skoli bila suvise laka, a u visoj nisu mogli svladati naviku da rade beznapora.

Nije manje stetan i otklon u drugu krajnost ako su zahtjevi koji se stavljajuucenicima neprimjereni. Tada oni traze povrsne veze ili mnemotehnicka pravilakojima ovladavaju tim gradivom samo prividno. Dobivena znanja su kratkotrajna,neprimjenjljiva, ucenik uci napamet nedovoljno shvaceno gradivo, trazi zaobilazneputeve (prepisivanje, salabahteri), gubi interes za predmet.

Zahtjevi koji se stavljaju pred cijeli razred moraju biti primjereni ( ne suviselaki ) vecini ucenika. Medutim uvijek ce se naci nekoliko ucenika za koje su zahtjeviteski, a takoder i takvi za koje su suvise laki. Prvima treba ukazivati individualnupomoc, a to se najcesce i cini bilo na redovnom satu, bilo na dopunskoj nastavi.Nastavnik cesto ne obraca paznju uceniku koji bez napora dobiva dobre ocjene,to znaci da potencijalne mogucnosti takvih ucenika ostaju neiskoristene, stoga njihtreba dodatno opteretiti usmjeravajuci ih u dublje proucavanje matematike (izbornanastava, grupe naprednih matematicara, dodatni zadaci i literatura).

Dobar nastavnik mora ovladati sposobnoscu drzanja na oku citavog razreda,kako slabe tako i odlicne ucenike i sve njih primjereno opteretiti.

Primjer 2.1. Nacelo primjerenosti ogleduje se i u izgledu nastavnih programa, kakogledanih u cjelini, tako promatranih i po metodickim jedinicama. Na primjer, u 5.razredu OS proucava se skup N i operacije na njemu na intuitivnom nivou, u 4.razredu srednje skole uvodi se aksiom matematicke indukcije, dok se tek na fakultetu

Page 10: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Nacela, oblici i metode nastave matematike 9

skup prirodnih brojeva definira pomocu Peanovih aksioma. Naime, u osnovnoj skoliucenik nije u stanju pojmiti skup prirodnih brojeva kao jednu apstraktnu strukturu,nego iskljucivo kao skup onih brojeva koje dobijemo prebrojavanjem stvari oko sebe.

Primjer 2.2. Evo jos jednog primjera primjene nacela primjerenosti. Jednadzbe seu nastavi pojavljuju na svakom nivou, ali ovisno o znanjima kojima ucenik raspolazemetode rjesavanja su razlicite. U nizim razredima jednadzbe imaju oblik 3+ = 12i rjesavaju se napamet. U 5. razredu se jednadzba 3 + x = 12 rjesava koristeci vezuzbrajanja i oduzimanja, tj. pribrojnik je jednak razlici sume i drugog pribrojnika. U7. razredu, na obje strane dodajemo −3 tj. koristimo zbrajanje suprotnih brojeva.Vise o razlicitim nacinima rjesavanja problemskih zadataka moze se naci u clanku[19].

Nacelo znanstvenosti

Nacelo znanstvenosti1 nastave matematike sastoji se u nuznom skladu nas-tavnih sadrzaja i nastavnih metoda s jedne i zahtjeva i zakonitosti matematike kaoznanosti s druge strane. To znaci da nastavnik matematike treba ucenike upozna-vati s onim cinjenicama i u njihovom misljenju formirati one pojmove koji su danasznanstveno potvrdeni. Nastava mora biti takva da omogucuje daljnja produblji-vanja i prosirivanja gradiva i prirodan nastavak matematickog obrazovanja na visojrazini.

Nastavnik upotrebljava onaj matematicki jezik i simbole koji su uobicajeni umatematici (tg, a ne tan kao oznaku za tangens; decimalnu tocku, a ne decimalnizarez; |AB|, a ne |AB|; oznake za pravi kut; razlomak se skracuje, a ne ponistava isl.). Takoder, dobar nastavnik koristi razlicite znanstvene metode kao sto su analizai sinteza, metoda analogije, metoda indukcije.

Dokazi teorema mogu biti vise ili manje strogi, ali nastavnik mora uvijekimati na umu da ce ucenici prije ili kasnije izici iz te skole i nastaviti skolovanjena visim nivoima. Veoma je lose ako se u skoli ucilo nesto cega se ucenici morajuodvikavati, nesto sto smeta daljnjem napredovanju. Ovdje se ne misli samo napogresne cinjenice vec i na metode. Naime, ako ce nastavnik poucavati samo naprimjerima, tj. uciti metodu rjesavanja nekoliko tipova zadataka, ne akcentirajucitocno sustinu problema, ili npr. primjenjivati teoreme bez obzira na uvjete njihoveprimjenjivosti, to ce biti stvaranje losih navika u matematickom razmisljanju i bitce narusen princip znanstvenosti.

Primjer 2.3. U 5. razredu uci se pravilo komutativnosti zbrajanja prirodnih bro-jeva, ali se ne dokazuje (iz jasnog razloga–u dokazu se koriste Peanovi aksiomi,

1Z. Kurnik, Nacelo znanstvenosti, Matematika i skola, 13(2002), 102-106

Page 11: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Nacela, oblici i metode nastave matematike 10

a dokazuje se metodom indukcije). Ipak treba napomenuti da se to pravilo trebadokazati i da ce to biti ucinjeno u kasnijem skolovanju, tako da je ucenik svjestannedovrsenosti posla.

Primjer 2.4. Ako u 2. razredu srednje skole logaritamsku jednadzbu rjesavamoovako:

log(x + 5) + log(x + 3) = log 15

log((x + 5)(x + 3)) = log 15

(x + 5)(x + 3) = 15

x1 = 0, x2 = −8

i oba broja se proglase rjesenjem jednadzbe, narusili smo nacelo znanstvenosti.Naime, upotrijebili smo pravilo log(xy) = log x + log y bez provjere pretpostavkiza brojeve x i y. To je pravilo, u stvari, teorem i prije koristenja tvrdnje teorematreba provjeriti jesu li zadovoljene pretpostavke teorema. Dakle, ta transformacijace vrijediti ako su argumenti pozitivni, tj. ako je x + 5 > 0 i x + 3 > 0. Obicnokazemo: postavimo i rijesimo uvjete. Samo ono rjesenje kvadratne jednadzbe kojezadovoljava i postavljene uvjete jeste rjesenje pocetne jednadzbe. U ovom slucajusamo je x = 0 rjesenje pocetne jednadzbe.

Primjer 2.5. Sjetimo se koliko smo puta napisali√

x2 = x bez naznake da je xpozitivan broj. Naime, ako je x realan tada vrijedi

√x2 = |x|.

Primjer 2.6. Evo jos nekih mjesta gdje se narusava nacelo znanstvenosti: koristenjekrivih naziva i neprecizno izrecenih teorema kao: crtez je funkcija umjesto crtezje graf funkcije, visine se sijeku u tocki, kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbrojukvadrata nad katetama, rjesavanje nepravog integrala mehanicki bez uvodenja limesa,koristenje teorema bez provjere pretpostavki.

Nacelo interesa, svjesnosti i aktivnosti

Nastava mora biti takva da budi interes prema predmetu. Ako nastavni radnije popracen pozitivnim emocionalnim uzbudenjima ucenika, njegov efekt bit ceslab; stecena znanja ostat ce mrtva, pasivna, formalna pa ce se prvom prilikomzaboraviti.

Te povoljne situacije u nastavi stvara nastavnik kao organizator nastavnogprocesa, premda takva situacija mnogo ovisi i o objektivnim uvjetima u kojima radiskola. Npr. nastavnik moze sadrzaje obradivati suhoparno, monotono, nizanjemcinjenica i generalizacija bez vlastitog subjektivnog pozitivnog emocionalnog tona,

Page 12: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Nacela, oblici i metode nastave matematike 11

sto ce kod ucenika imati za posljedicu neugodna emocionalna raspolozenja. Napro-tiv nastavnik moze sadrzaje obraditi kvalitetnije pa ih ucenici ugodno dozivljuju,nastavni ih rad zanese, zagrije, koncentrira, pasionira, odusevi.

Monotoni rad se neugodno emocionalno dozivljava pa se pojavom monotonijeu nastavi smanjuje ucinak. ” Od svih nastavnika najvise se treba bojati dosadnihnastavnika ” ( Rosner). Ta se situacija moze promijeniti ako nastavnik obogacujesvoj nacin rada, unosi smisljene promjene u nastavni proces, tj. jednolicni radpretvara u svestraniji, mrtvilo u zivahnost, staticnost u dinamicnost, dogmaticnostu dijalekticnost, pasivnost u aktivnost.

Aktivnost u nastavi je takoder vazan faktor u razvoju i formiranju licnostiucenika. Postujuci princip aktivnosti treba ucenicima dati da rade, jer znanje se nemoze dobiti, dati, prenijeti, pokloniti, ono se stjece vlastitom aktivnoscu. Kvalitetaznanja ovisi upravo o intenzitetu aktivnosti, pa je uspjeh u nastavi proporcionalanudjelu vlastite aktivnosti.

Nacelo sistematicnosti i postupnosti

Sistematicnost znaci obradivanje nastavnih sadrzaja u odredenom logickompregledu.

Sto je broj cinjenica i generalizacija veci to se intenzivnije namece potrebaza logickim sredivanjem tih sadrzaja. Usvajanje znanstvenih sustava kao rezultatasistematiziranja znanstvenih cinjenica i generalizacija je krajnji cilj do kojega trebaucenike postupno dovesti, to vise sto su ucenici u razvojnoj fazi pa ne mogu jos svo-jim mentalnim snagama usvajati znanstvene sustave u njihovom punom intenzitetu.

Ta postupnost u radu nastavnika izrazena je pravilima koja glase:

od lakseg k tezem,

od jednostavnog k slozenom,

od blizega k daljem,

od poznatog k nepoznatom,

od konkretnog k apstraktnom.

Nastavnikova je vjestina da pronade takvu postupnost u obradivanju gradivabez prevelikih skokova i preteskih prijelaza.

Primjer 2.7. Sjetimo se kako je organizirano ucenje rjesavanja jednadzbi: u 5.razredu imamo jednadzbe s jednom nepoznanicom koja se nalazi na jednom mjestu:3x + 12 = 15, zatim se uvode kompliciraniji oblici tog tipa jednadzbi uz upotrebuzagrada, ali nepoznanica se jos uvijek nalazi samo na jednom mjestu: 30+(3−x) =21,zatim se nepoznanica pojavljuje na vise mjesta, ali jos uvijek na jednoj strani jed-nadzbe: 3x+5x = 64. U 6. razredu nepoznanice se pojavljuju na razlicitim stranama

Page 13: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Nacela, oblici i metode nastave matematike 12

znaka jednakosti: 3x+15 = 7x−143, uvode se zagrade, a i koeficijenti jednadzbe nisuvise samo cijeli brojevi. U 7. razredu pojavljuju se i sustavi dviju jednadzbi s dvijenepoznanice. U 1. razredu jednadzbe se dodatno kompliciraju uvodenjem funkcijeapsolutne vrijednosti, a u visim razredima proucavaju se jos slozenije jednadzbe.

Primjer 2.8. Pogledajmo kako je u Zbirci zadataka za 4. razred srednje skole au-tora Dakic-Elezovic obradeno gradivo o binomnom poucku. Prvo se uvodi pojamfaktorijela, te uvjezbava racun s faktorijelama i to prvo s konkretnim brojevima, azatim s izrazima s opcim brojevima. Potom se uvodi pojam binomnog koeficijenta,te se kroz nekoliko pocetnih zadataka uvjezbava izracunavanje konkretnih binomnihkoeficijenata, a zatim se pojednostavnjuju algebarski izrazi u kojima se javljaju bi-nomni koeficijenti. Konacno se pojavljuju zadaci s primjenom binomnog poucka ito prvo oni najjednostavniji u kojima treba samo raspisati potenciju binoma pa dokompliciranijih u kojima se treba odrediti clan razvoja koji ne sadrzi x ili koji sadrzineku konkretnu potenciju varijable x.

Nacelo ekonomicnosti i racionalizacije

Smisao tog nacela je da se postigne najveci moguci ucinak sa sto manjimutroskom vremena, sredstava i snage. Treba imati na umu da svaki nastavni pos-tupak zahtijeva odredeni optimalni utrosak vremena; suvisno trosenje vremena pri-mjenom nekog postupka steti obradivanju ostalih nastavnih sadrzaja. Na pr. sistempredavanja je ekonomicniji od sistema samostalnog rada, ali se ne smije cijelo vri-jeme upotrebljavati jedna metoda rada, jer se tada njene negativne strane pokazujuu vecoj mjeri nego kada je kombinirana s ostalim metodama.

Nacelo historicnosti i suvremenosti2

Veci dio ucenika nema ni najosnovnije predodzbe o razvoju matematike. Onimisle da je matematika uvijek bila takva kakva je sada. Bilo bi korisno da saznajuda u Euklida nije bilo formula, da su u srednjem vijeku pravila rjesavanja kvadrat-nih jednadzbi bila kompliciranija nego danas (zbog pomanjkanja pojma negativnihbrojeva trebalo je razmatrati mnogo posebnih slucajeva), i izrazavala su se ne for-mulama nego latinskim stihovima, da je sin 90 svaki autor smatrao po svom, naprimjer, ako je radijus bio 10000 onda je i sin 90 bio 10000 i sl.

Saznavsi te cinjenice ucenici ce shvatiti da su se pogledi na jedan te isti pojammijenjali i da su ti pojmovi vremenom postajali jednostavniji.

Oni postaju sposobni cijeniti suvremene matematicke metode i pojmove ishvacaju da njihovo danasnje stanje nije konacno.

2Z. Kurnik, Historicizam, Matematika i skola 17(2002), 52-58.

Page 14: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Nacela, oblici i metode nastave matematike 13

Razvoj treba shvatiti ne samo kao nagomilavanje novih cinjenica nego i kaoevoluciju metoda. Nepostojanje dobrog historicizma u nastavi objasnjava se timeda i fakultetski obrazovani matematicari slabo poznaju povijest matematike.

Nastavnik koji u nastavu uvodi elemente historicizma moze ocekivati porastinteresa za predmet, ali treba paziti da uzrocnik interesa ostane sama matematika,a ne prelaziti u krajnosti i pricati samo o cudnim ponasanjima matematicara, aneg-dote o njima, nego uz spominjanje matematicara (na pr. kad je neki teorem vezanimenom uz osobu) spomenuti i vrijeme i podrucje djelovanja te osobe, njena najvecadostignuca i sl. Casopisi Matka i Poucak obiluju takvim podacima, a koristan izvorovakvih informacija je i internet.

Princip suvremenosti odnosi se na neprestano aktualiziranje i osuvremenjivanjenastavnih sadrzaja i unosenje novih znanstvenih spoznaja (oprez da se ne nagomilavanovo znanje), ali i osuvremenjivanje nastavnih pomagala (od logaritamskih tablicapreko sublera do racunala).

Nacelo problemnosti3

Ucenik obicno uci tako da se ne upusta dublje u gradivo, vec ostaje na povrsini,ne zamjecuje nikakve probleme i teskoce, potpuno je zadovoljan i misli da mu je svejasno. Zadatak je nastavnika da taj samouvjereni stav razbije i stavi pred njegaproblem (prema nacelu primjerenosti ne pretezak ne prelagan) i trazi rjesenje. Nijedan matematicar nema prava za neko podrucje matematike reci ”Ja ga potpunopoznajem”.

Nacelo zornosti i apstraktnosti

Zornost4 znaci cjelovito osjetilno dozivljavanje objekta radi usvajanja cinjenicai formiranje pravilnih predodzaba. Drzati se principa zornosti znaci omogucitiucenicima da u toku nastave osjetilnim organima neposredno zahvacaju stvarnostkoja se u nastavi proucava.

Radi ostvarivanja principa zornosti nastavnici primjenjuju zorne izvore znanja,pocevsi od neposrednog promatranja u izvornoj objektivnoj stvarnosti, preko pro-matranja nastavnih sredstava pa sve do zornog , odnosno slikovitog pripovijedanja,pri cemu se na posredan nacin formiraju adekvatne predodzbe.

U primjeni zornosti ne treba pretjerivati, jer niti je moguce odjedanput usvojitibrojne cinjenice, niti je potrebno da odjednom ucenici usvoje sve cinjenice. U tomegrijese nastavnici koji u razred donesu mnogo zornih sredstava i izmjenjuju ih film-

3Z. Kurnik, Nacelo problemnosti, Matematika i skola 14(2002), 148-152.4B. Dakic, Zornost u nastavi matematike

Page 15: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Nacela, oblici i metode nastave matematike 14

skom brzinom, od cega u svijesti ucenika ostane samo nekoliko povrsnih dojmova,a ne i stvarno upoznavanje i usvajanje cinjenica. Zato treba naglasiti da je zornostpotrebna u tolikoj mjeri da ucenici akumuliraju dovoljnu kvantitetu cinjenica natemelju kojih prelaze dalje na apstrakcije, odnosno generalizacije.

Stjecanja znanja ne iscrpljuje se samo usvajanjem cinjenica posredstvomzornosti nego i na temelju usvojenih cinjenica treba ucenika misaonom aktivnoscudovesti do generalizacija, a to znaci do formiranja pojmova, zakona, principa, pra-vila, aksioma, formula i sl.

Zato zornost u nastavi treba biti spoznajno i psiholoski orijentirana na kretanjeprema izvodenju generalizacija, tj. na temelju zornosti izdvoje se samo one cinjenicekoje su materijalna baza za formiranje odredene vrste generalizacije.

Ponekad nam se cini da, za razliku od drugih prirodnih predmeta, u matem-atici nemamo tolike raznovrsne mogucnosti za zorno prikazivanje i opisivanjematematickih pojmova. Ipak, dobar nastavnik ce koristeci kredu i plocu, grafos-kop i folije, racunalo i odgovarajuce programe, modele od papira i zice, postere iplakate i naravno svoju mastu biti u stanju svoje predavanje uciniti zornim, a samimtime i zanimljivijim. Pogotovo nam geometrija pruza velike mogucnosti za to. Nezaboravimo da cim u geometrijskom zadatku skiciramo sliku, u stvari, primjenju-jemo nacelo zornosti. Isto tako neki algebarki identiteti i tvrdnje mogu se prikazati,pokazati, ”dokazati” koristeci geometrijske slicice. (vidjeti clanak V. Bajrovic, Bil-ten 5, i knjigu [3](racunanje sume 1 + 2 + 3 + . . . + n)

Primjer 2.9. U 5. razredu pri obradi osne i centralne simetrije zadati ucenicimada kod kuce pronadu primjere osnosimetricnog oblika: procelja zgrada, ornamenti pocrkvama, ornamenti u cipki, motivi u reklamama, motivi u automobilskim znakovimaitd. Obavezno treba obraditi zadatak s biljarskim stolom i osnom simetrijom.

Primjer 2.10. Pri obradi mjernih jedinica duljine, povrsine i volumena dobro jezorno pokazati te jedinice: ravnalo, krojacki i zidarski metar, komad papira dimen-zija 1 dm × 1 dm, 1 m × 1 m, posudu dimenzija 1 dm × 1 dm × 1 dm, tj. posuduvolumena 1 litre i sl.

Primjer 2.11. U skoli su velike mogucnosti u radu s modelima koje nastavnik ilisam izraduje ili na nekom od satova zajedno s ucenicima. Na primjer, u 6. razredupri obradi teorema o sumi kutova u trokutu mozemo se posluziti sljedecim modelompri uvjeravanju ucenika u istinitost teorema. Ucenik neka izreze iz komada A3 papiratrokut i kutove neka oznaci slovima α, β i γ. Zatim neka taj trokut izreze na tri dijelarezovima koji ne prolaze kroz vrhove trokuta. Tako dobivene papirnate kutove nekaspoji tako da su im vrhovi zajednicki, a krakovi se diraju. Vanjske granice tih trijupapira zajedno cine jednu duzinu, tj. zbroj kutova je 180◦.

Primjer 2.12. Za trajno pamcenje definicije elipse korisno je provesti njenu vrt-larsku konstrukciju. Isto tako, kada govorimo o kruznici ne zaboravimo je i nacrtatisestarom, a ne ju samo skicirati rukom na ploci.

Page 16: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Nacela, oblici i metode nastave matematike 15

Primjer 2.13. Kad proucavamo tok kvadratne funkcije u 2. razredu u ovisnosti onjenoj diskriminanti i vodecem clanu, dobro je svaki slucaj popratiti skicom paraboleu odgovarajucem polozaju.

Nacelo individualizacije

Razredna zajednica je skup razlicitih individualiteta. Te su razlike: fizicke,psihicke i moralne.

Zbog tih individualnih razlika treba nastavu individualizirati, tj. psihofizickesposobnosti svakog pojedinca razviti do maksimuma. Individualizacija se provodirazlicitim nacinima diferencirane nastave. Pa cemo o tome vise reci u toj temi.

2.2. Oblici

Socijalni oblici nastave matematike su:

frontalni oblik nastave

diferencirana nastava

Nastavne strategije (oblici rada, nacini organizacije nastavnog procesa) su:

heuristicka nastava

problemska nastava

projektna nastava

istrazivacka nastava

programirana nastava

mentorska nastava

prakticna nastava.

2.3. Metode

Metode nastave matematike su nacini i sredstva prenosenja odredenog sustavamatematickih znanja, umijeca i realizacije ciljeva nastave matematike. Neke odmetoda su:

predavacka metoda (metoda usmenog izlaganja)

metoda dijaloga

Page 17: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Nacela, oblici i metode nastave matematike 16

heuristicka metoda

metoda rada s tekstom

problemska metoda

programirana metoda

demonstracija

eksperimentalna.

Za uspjesnu primjenu neke nastavne metode ili nekog oblika nastave u nas-tavnom procesu nastavnik mora u potpunosti poznavati njezine karakteristike. Topodrazumijeva:

1. razumijevanje b´Eti metode i umijece njezine primjene u razlicitim konkret-nim nastavnim situacijama

2. poznavanje formi iskazivanja te metode koje se najcesce pojavljuju u nas-tavnom procesu

3. poznavanje pozitivnih i negativnih strana tih metoda

4. saznanje koja je pitanja skolske matematike prikladno poducavati tommetodom

5. umijece osposobljavanja ucenika da rade tom metodom u procesu izucavanjaodredenog matematickog sadrzaja.

Page 18: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

3. DIFERENCIRANANASTAVA

Diferencirana je nastava jedan od socijalnih oblika nastave koji podrazumi-jeva samostalnu aktivnost ucenika. Diferencirana nastava vodi racuna o konkretnojsituaciji u razredu, uvazava razlike medu ucenicima i nastoji da se optimalno ispoljematematicke i druge sposobnosti ucenika. U njoj se uspostavlja jedinstvo nastavnedjelatnosti nastavnika i skolske djelatnosti ucenika.

Naime, nastavni proces treba pruzati vise od obicne informacije i u tu svrhupotrebno je aktivirati sve ucenike u razredu.

Oblici diferencirane nastave su: HOMOGENE GRUPE, GRUPNI RAD i IN-DIVIDUALIZACIJA.

U nasoj nastavi najcesce se primjenjuje oblik rada u homogenim grupama, dokje najracionalniji oblik kombinacija grupnog i individualnog rada.

3.1. Homogene grupe

Ovaj oblik rada naziva se jos i grupiranje po sposobnostima. Sam naziv kazekakav je to oblik. Nastavnik fiktivno dijeli citav razred na grupe prema predznanjui matematickim sposobnostima tako da razlike unutar grupe budu svedene na naj-manju mogucu mjeru. Obicno se radi o tri grupe: u prvoj grupi su slabiji ucenici,u drugoj dobri, a u trecoj vrlodobri i izvrsni ucenici.

U toku nastavnog procesa nastavnik postavlja pred ucenike svake od ovihgrupa zadatke primjerene upravo njihovom predznanju i sposobnostima. Buducida pri obradi nekog matematickog sadrzaja uvijek ima i laksih i tezih dijelova,moguce je na svakom satu primijeniti rad s homogenim grupama. Cilj nastavnikaje POMICANJE ucenika iz nize u visu grupu.

Prednosti: aktivnost svih ucenika, razvijanje interesa za matematiku, ucenjena satu, zadrzavanje paznje i koncentracije svih ucenika, mogucnost pracenja napre-dovanja ucenika, povecanje efikasnosti nastave, optimalna brzina ucenja.

Page 19: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

2 Diferencirana nastava 18

Nedostaci su to sto se ta fiktivna podjela otkriva i kod slabijih ucenika pojacavaosjecaj inferiornosti, nemogucnost komuniciranja s vecim brojem ucenika, tj. ti-jekom sata se komunicira s oko 20% ucenika.

Ovo je opis fiktivne podjele na grupe. Medutim ponekad se ta podjela radi istvarno. Naime, u nekim skolama s vecim brojem ucenika formiraju se razredi u kojese ukljucuju ucenici s natprosjecnim sposobnostima. Takvi razredi imaju pojacanprogram rada bilo samo iz nekih predmeta bilo iz svih. Kriteriji za ovakvo diferen-ciranje su obicno testovi inteligencije nadopunjeni s ranijim ocjenama iz specificnihpredmeta uz nastavnikovu procjenu uspjeha u sljedecem razdoblju i naravno, ovisei o zelji ucenika i roditelja o sudjelovanju u takvom razredu.

Za provedbu ovog oblika rada pretpostavlja se da nastavnik dobro poznaje sveucenike u pogledu nivoa znanja, interesa i sposobnosti.

Primjer 3.1. Rjesavanje kvadratne jednadzbe, II razred SS.

Cilj ove nastavne cjeline je izvodenje formule za rjesenja kvadratne jednadzbe.

Nastavnik definira kvadratnu jednadzbu i pojam rjesenja.

Prva grupa rjesava posebni slucaj kad je c = 0 i to prvo primjer, zatim jed-nadzbu s opcim brojevima.

x2 − 8x = 0

x(x− 8) = 0

x1 = 0 ili x2 = 8.

ax2 + bx = 0

x(ax + b) = 0

x1 = 0 ili x2 = − b

a.

Druga grupa rjesava slucaj kad je b = 0 uz diskusiju o pozitivnosti −c/a.

25x2 − 16 = 0

25x2 = 16

x2 =16

25

x1,2 = ±4

5.

ax2 + c = 0

ax2 = −c

x2 = − c

a

x1,2 = ±√− c

a, ako je − c

a≥ 0,

x1,2 = ±i

√c

a, ako je − c

a≤ 0,

Grupa izvrsnih ucenika dobiva zadatak da rijesi najopcenitiji oblik kvadratne

Page 20: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

2 Diferencirana nastava 19

jednadzbe nadopunom do potpunog kvadrata, pri cemu izvode i formulu za rjesenjakvadratne jednadzbe.

x2 + 6x + 5 = 0

x2 + 6x + 9 − 9 + 5 = 0

(x + 3)2 − 4 = 0

(x + 3)2 = 4

(x + 3)1,2 = ±2

x1 = 2 − 3 = −1,

x2 = −2 − 3 = −5.

ax2 + bx + c = 0

x2 +b

ax +

c

a= 0

x2 +b

ax + (

b

2a)2 − (

b

2a)2 +

c

a= 0

(x +

b

2a

)2

=b2

4a2+

c

a(x +

b

2a

)

1,2

= ±√

b2 − 4ac

4a2

x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac

2a

Zatim slijedi uvjezbavanje tih formula gdje sudjeluju sve tri grupe.

Primjer 3.2. Graf inverzne funkcije, II razred SS.

Cilj je ponoviti pojmove: funkcija, bijekcija, inverzna funkcija; provjere bi-jektivnosti; crtanje grafa; izvodenje formule inverzne funkcije, te izvesti vezu grafainverzne funkcije i pocetne funkcije.

Prva grupa: ponavljanje definicije funkcije, bijekcije, inverzne funkcije.

Druga i treca grupa: Na primjeru f : R → R, f(x) = 3x − 6 provjeriti bijek-tivnost. Kod injekcije nema problema, dok se eventualne logicke poteskoce ocekujukod provjere surjektivnosti, tj. da se za dani y0 mora naci odgovarajuci x0 i to cebiti formula za inverznu funkciju .

Druga grupa provjerava vrijede li formule f ◦f−1 i f−1◦f za konkretni primjer.Opet se mogu pojaviti poteskoce na mjestu gdje funkcija djeluje ne na x nego na izraz,tj.

f(f−1(x)) = f(x

3+ 2) = 3(

x

3+ 2) − 6 = x.

Prva grupa crta oba grafa i izvodi zakljucak: Graf inverzne funkcije funkcijef dobiva se iz grafa te funkcije simetrijom s obzirom na simetralu prvog i trecegkvadranta.

Formulu izvodi treca grupa:

f ◦ f−1 = id; f(f−1(x)) = x; 3f−1(x) − 6 = x; f−1(x) =x

3+ 2.

Page 21: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

2 Diferencirana nastava 20

Nakon toga slijede primjeri.

3.2. Grupni rad

Ovaj oblik nastave je vrlo star i postojao je jos prije uvodenja razredne nastave.Grupni rad1 pretpostavlja dijeljenje razreda na grupe koje mogu imati homogen ilinehomogen sastav ucenika. Brojcani sastav moze biti razlicit, a takoder i zadacikoji se daju grupama. Na izbor tog oblika nastave utjecu karakter rada, nastavnasredstva, a takoder i vrijeme koje nastavnik ima na raspologanju.

Principi organizacije:

1. Najkorisnije je sastavljati grupe od 4-6 ucenika.

2. Sastave grupa nije dobro cesto mijenjati.

3. U svakoj grupi bira se jedan ucenik kao voda grupe. Vode grupe se mijenjajuna sljedecem satu.

4. Grupe trebaju raditi priblizno istim tempom.

5. Za izvjesce o radu citave grupe nastavnik odreduje jednog clana grupe, cijiodgovor moze ocijeniti.

6. Nastavnik objedinjuje rad svih grupa i daje ocjenu izvrsenog rada.

7. Za grupni rad nuzno je razmotriti i odgovarajuci raspored klupa u razredu.

Grupni rad ucenika pri rjesavanju nekog nastavnog problema ne iskljucujeindividualni rad svakog od njih, jer grupni rad je u biti objedinjenje individualnihradova svih clanova grupe.

Vazno pitanje u primjeni grupnog rada ucenika je pitanje kontrole rada ucenikai povratna informacija. Kontrolu rada provodi nastavnik u toku citavog nastavnogsata. On postavlja grupi pitanja o temi koja se proucava. Kontrolna pitanja mogupostavljati i sami ucenici, npr. clanovi jedne grupe clanovima druge grupe. Efikasanoblik kontrole i ocjene grupnog rada jest i izvjesce ucenika o radu grupe i diskusija.

Kontrola individualnog rada clanova grupe ostvaruje se u samoj grupi.

Drugo vazno pitanje je ocjena rada ucenika u grupama. Ona predstavljastimulans za razvoj stvaralacke aktivnosti. Postoje nekoliko mogucnosti ocjenjivanjaaktivnosti: ocjena nastavnog sata, ocjena rjesenja nekog posebnog problema, ocjenasamostalnog rada citave grupe, ocjena kratkog testa o proucenoj temi.

Ovaj oblik nastave pogodan je u osnovnoj skoli, posebno pri rjesavanju za-dataka i problema. Postoji opasnost narusavanja nastavnog kolektiva. Ovakav radpodrazumijeva zamor u razredu (u granicama normale).

1Z. Kurnik, Grupni rad, Matematika i skola 22(2003), 52-57.

Page 22: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

2 Diferencirana nastava 21

Primjer 3.3. Sto sve moze biti presjek:

A) dvaju trokuta, B) trokuta i cetverokuta, C) dvaju jednakih kvadrata ?

Razred dijelimo na 3 ili 6 grupa. Po dvije grupe dobivaju isto pitanje. Nakon5 minuta rada voditelji cetiriju grupa na ploci zapisuju rjesenja, dok one grupekoje imaju ista pitanja, a nisu prozvane kontroliraju rjesenja. Cijeli razred zapisujeodgovore u biljeznice. Ukupno predvideno vrijeme za ovaj zadatak je 20 minuta.

Primjer 3.4. Rijesite sustav dviju linearnih jednadzbi s dvije nepoznanice

2x − 3y = 5 x + 2y = −2.

Razred dijelimo u 6 grupa. Grupe A i B rjesavaju metodom komparacije, grupC i D metodom supstitucije, a grupe E i F metodom suprotnih koeficijenata. Nakonrada u grupi na plocu se u vertikalne stupce upisuju sva tri nacina rjesavanja,usporeduje se efikasnost tih metoda i komentira se kada upotrijebiti koju metodu(219x − 47y = 50, 102x + 47y = −2297).

Primjer 3.5. Izracunajte vrijednost izraza

x =507.62 · 3

√10.0924

2.83068

logaritmiranjem.

Ovaj problem zadaje se svim grupama, a unutar grupa svaki clan ima svoj diozadatka, napr. jedan racuna log 507.62 itd.

Jedan opis primjene grupnog rada moze se naci u clanku D. Glasnovic,Mnogokuti-rad u parovima, Matematika i skola 13(2002), 121-122.

3.3. Individualizacija

Razmatrajuci nastavu2 kao proces upravljanja dolazimo do zakljucka da je zaostvarenje efikasnog procesa nastave nuzno uvazavati osobine ucenika, a posebno ove:misljenje, pamcenje, sluh, volja, vid, karakter. Kao rezultat razlicitosti javljaju sepotpuno razlicite individualne brzine usvajanja jednog te istog nastavnog materijala.Individualni pristup susrece se s ozbiljnim teskocama. Poucavajuci na primjer 30ucenika, nastavnik nije u stanju voditi racuna o individualnim brzinama usvajanja.On se neizbjezno orijentira na tzv. prosjecnog ucenika. To dovodi do negativnih

2Z. Kurnik, Individualizacija, Matematika i skola 25(2004), 196-201.

Page 23: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

2 Diferencirana nastava 22

posljedica. Slabiji ucenici ne mogu pratiti nastavu, a s druge strane bolji ucenici sepocinju dosadivati.

Idealni uvjet bi bio jedan nastavnik-jedan ucenik. Taj uvjet je ocito nere-alan, pa treba traziti puteve ostvarivanja individualizacije u postojecoj razrednojorganizaciji nastave.

Neke mogucnosti individualizacije nastave su:

programirana nastava

dopunska nastava (slabiji ucenici)

dodatna nastava ( bolji ucenici)

izborna nastava

fakultativna nastava ( bolji ucenici)

matematicke i informaticke grupe

grupni rad

problemska nastava

mentorska nastava.

Boljim ucenicima zadaju se i dodatni zadaci, slabijima dopunski, svi dobivajuzadatke za domaci uradak koji moze biti diferenciran, tj. zadaju se zadaci ra-zlicitih tezina i ucenik sam bira kojeg ce izraditi, daju se dodatni neobavezni zadaciza domaci rad ili cak ucenik sam sastavlja zadatke, izraduje modele, samostalnopriprema i izvodi dio nastavnog sata (seminar, predavanje) .

Page 24: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

4. METODA DIJALOGA

Oblik nastave koji smo nazvali diferencirana nastava (homogene grupe) cestose provodi metodom dijaloga ili razgovora. Ova metoda smatra se jednom od efikas-nijih nastavnih metoda. Dijalog se moze uspostaviti izmedu nastavnika i razreda iliizmedu nastavnika i pojedinog ucenika.

Ukoliko zeli neko gradivo obraditi metodom dijaloga, nastavnik se mora dobropripremiti proucivsi temeljito nastavnu temu i uocivsi njezine karakteristike, trebaimati jasnu predodzbu o cilju nastave koja se predvida realizirati metodom dijaloga,utvrditi opseg i sadrzaj nastavnog gradiva koji je vec poznat ucenicima i koji jepotreban za ostvarivanje postavljenog cilja, odrediti u strukturi sata mjesto upotrebedijaloga.

Pri izradi pismene pripreme nastavnik treba tocno formulirati i zapisati os-novna i dopunska pitanja koja namjerava postaviti ucenicima, a nastavnik pocetnikbi trebao zapisati i ocekivane odgovore. Uz ta pitanja treba stajati naznaka i kojegce se ucenika pitati koje pitanje (ili iz koje homogene grupe ocekujemo odgovor),kojeg ce se ucenika prozvati pred plocu, a kojeg ce se pitati na mjestu.

Pitanja moraju biti jasna i kratka i takva da pobuduju interes ucenika premasadrzaju, da su u skladu s opsegom gradiva koji ucenici poznaju, da privlace paznjusvakog ucenika i da sva zajedno otkrivaju temu koja se proucava. Obicno se nepostavljaju sugestivna pitanja, pitanja koja u sebi sadrze dio odgovora, ali nitipitanja ciji odgovor je ”da” ili ”ne”.

Po zavrsetku dijaloga nastavnik obavezno formulira zakljucak u kojem se isticeono glavno zbog cega je i voden razgovor.

Primjer 4.1. Obrada nastavne jedinice ”Teorem o simetrali unutarnjeg kuta trokuta”,I razred SS prema nastavnom programu koji je vrijedio do 1995/96. (2 sata)

Primjer 4.2. Obrada nastavne jedinice ”Srednjica trokuta”, I razred SS, sk. god1996/97, 97/98. (1 sat)

Pripremna faza. Nastavnik u uvodnom dijelu sata treba ponoviti gradivo kojece se koristiti u obradi ove jedinice koristeci razgovor s ucenicima najslabije grupe.

Page 25: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Metoda dijaloga 24

Primjeri pitanja: navedi teoreme sukladnosti trokuta, kako glasi teorem o kutovimauz presjecnicu, sto znas o kutovima s paralelnim kracima i sl. Odgovore ucenik mozepopratiti crtezom na ploci.

Nastavnik izrice teorem: Ako se polovistem jedne stranice trokuta nacrtapravac usporedan s drugom stranicom trokuta, onda je presjek pravca i trece stranicetrokuta poloviste te trece stranice trokuta. Duljina duzine sto je na toj uspored-nici odreduju presjeci s prvom i trecom stranicom polovica je duljine druge stranicetrokuta. (udzbenik Durovic - Durovic - Rukavina, Matematika 1 ).

Ucenik iz I ili II grupe radi skicuna ploci. Pitanja:U kojem odnosu su DF i AB?Sto je D ?U kojem odnosu su |AD| i |CD|?Zakljucak: Dakle, poznati podacisu |AD| = |CD| i DF ||AB.Napisi simbolima sto trebadokazati.Odgovor: |BF | = |CF |, |DF | =12|AB|.

Ucenik I. razreda SS jos ne razlikuje sto je pretpostavka, a sto tvrdnja teo-rema, te ako postavimo pitanje: Sto su pretpostavke teorema? vjerojatno nece bitiodgovora. Ako se to desi treba preformulirati pitanje.

Nastavnik zapocinje dokaz povlaceci paralelu tockom D sa stranicom BC ioznacavanjem tocke E.

N: Uocimo trokute AED i DFC. Koje stranice su im jednake? Imaju li istekutove? Ako imaju obrazlozi odgovor.

U: |AD| = |DC|, 6 FDC = 6 DAE, 6 CFD = 6 CBA = 6 DEA, jer su to kutovis paralelnim kracima odnosno kutovi uz transverzalu (presjecnicu)

N: U kakvom su odnosu ta dva trokuta?

U: Sukladni su.

N: Po kojem teoremu?

U: ...

N: Ako su sukladni koji su im jos elementi jednaki?

U: |AE| = |DF |, |DE| = |CF |.N: U kakvom su odnosu trokuti DEF i BFE?

U: Takoder su sukladni.

Page 26: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Metoda dijaloga 25

N: Obrazlozi odgovor.

Ucenik obrazlaze.

N: Koje su jos stranice medusobno sukladne?

U: |DF | = |BE|, |DE| = |BF |.N: Pronadite sada tri jednake stranice.

U: |DE| = |CF | = |BF |, |DF | = |AE| = |BE|.N: Pogledajmo prve tri sukladne duzine. Jesmo li dobili trazenu tvrdnju?

U: Jesmo, prvi dio.

N: Kako cemo dobiti drugi dio tvrdnje? Uocite druge tri sukladne stranice.

U: Kako je |AE| = 12|AB| vidim da je |DF | = |AE| = 1

2|AB|.

Cijeli ovaj razgovor popracen je oznacavanjem stranica i kutova na slici u boji,ili folijama u nizu (koje se poklapaju jedna na drugu, a svaka nosi jednu informaciju)

Zakljucak: Time smo pokazali da vrijede obje tvrdnje poucka.

N: Duzine koje spajaju polovista stranica trokuta zovu se srednjice trokuta.U ovom trokutu duzine DE, DF , EF su srednjice trokuta ABC.

Sljedeci korak na tom satu je izricanje obrata teorema. Svaka duzina kojoj sukrajnje tocke polovista stranica trokuta usporedna je s trecom stranicom trokuta, anjezina duljina jednaka je polovici duljine trece stranice trokuta.

Dokaz obrata ostavlja se ucenicima iz III grupe ili za samostalan rad ili zadomaci rad.

Do kraja sata izraduju se primjeri i zadaci.

Dakle, pri stvaranju pripreme za sat nastavnik se sluzi udzbenikom, zbirkom idodatnom literaturom da bi detaljno proucio matematicku pozadinu gradiva (naucioili se prisjetio tog teorema, dokaza itd.) Pri tom proucavanju, nastavnik uocava kojeje predznanje potrebno za obradu doticnog gradiva, koje pojmove i teoreme moraponoviti u uvodnom dijelu sata. Pri pisanju pripreme, tj. pri postavljanju pitanja,mora razmisliti o raznim odgovorima koja moze dobiti na svoja pitanja, mozda ceucenik uociti neki drugi nacin dokaza teorema i sl. Pozeljno je zapisati svaku takvuideju jer se moze desiti da je ekonomicnija nego ona koju je nastavnik zamislio. Zatonakon odrzanog sata nastavnik upotpunjava svoje pripreme upisujuci komentare,reakcije na pitanja, pa ce tijekom vremena izbaciti ona pitanja koja su se pokazalanejasnima, koja nisu dovela do ocekivanih reakcija ucenika i sl.

Page 27: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

5. METODA PREDAVANJA

Naziv metode govori o tome da sada aktivna uloga pripada nastavniku, a pa-sivna ucenicima - oni trebaju pazljivo slusati predavanje i zapisivati u teke ono stonastavnik pise po ploci.Kada bi to stvarno bilo tako, ova bi se nastavna metoda pokazala neefikasnom. Su-vremeni zahtjevi nastave, a posebno nastavne metode pretpostavljaju da je cak i utom slucaju potrebna aktivna djelatnost samih ucenika.Zato predavanje nastavnika treba buditi interes ucenika i aktivirati njihovo misljenje.Slusajuci predavanje i prateci zapis na ploci ucenici zajedno s nastavnikom prelaz-iti put trazenja, postavljanja i utvrdivanja matematickih cinjenica. Dakle, trebajupratiti i slijediti njegov proces misljenja pri izvodu razlicitih formula, dokazivanjuteorema. U tome se i sastoji glavna prednost ”zive rijeci” nastavnika u odnosu natekst ucenika. U skladu s tim nastavnik tokom predavanja postavlja niz popratnihpitanja tipa: ”Zasto? Na osnovu cega? Kako to uciniti? Postoji li drugi nacin?Odakle treba poceti?”Znajuci da na vecinu postavljenih pitanja, koja se odnose na novo gradivo, ucenicinisu u stanju odgovoriti, nastavnik gotovo uvijek sam na njih odgovara - dijalognastavnika sa samim sobom.Predavanje se uvijek moze pripremiti tako da njegov pedagoski efekt ne bude manjiod onog koji se dobiva primjenom metode dijaloga.Metoda predavanja primjenjuje se u svim razredima skole pocevsi od prvog. Vre-menski ova primjena obuhvaca dio nastavnog sata, rjede citav sat.

Matematicki sadrzaji koji su pogodni za obradu:

• povijesne cinjenice; zanimljivosti;

• tumacenja i objasnjena prije samostalnog rada ucenika;

• poopcavanja;

• otkrivanje povijesti problema ili ukazivanje na prakticnu vaznost;

• opis rada s tablicama, s racunalom;

• izvodi formula; dokazi teorema;

• slozeno ili vazno gradivo s aspekta cjelovitosti opazanja i usvajanja.

Page 28: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Metoda predavanja 27

Dobre strane metode: precizan plan izvodenja, postavljenje tezista naglavna pitanja, jasan i precizan zapis na ploci, racionalnost, jasnoca, pripremaucenika za nastavak skolovanja na fakultetima, promjenjivost svih logickih koraka.

Slabe strane metode: slaba efikasnost, ogranicenost, pasivnost ucenika, nemapovratne informacije, slabljenje koncentracije.

Page 29: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

6. HEURISTICKA METODA

Sto je heuristika? Heuristika1 je mlada znanstvena disciplina koja je izniklaiz znanosti kao sto su filozofija, kibernetika, psihologija i pedagogija. Strucnjacisvake od tih znanosti promatraju heuristiku sa svoga stanovista:Metode i nacini povezani s poboljsanjem efikasnosti sustava koji rjesava problem(kiberneticari).Dio psihologije koji proucava stvaralacko misljenje (psiholozi).Znanost o sredstvima i metodama rjesavanja zadaca (pedagozi).Pravila i pretpostavke koje omogucuju otkrivanje novog (filozofi).

Heuristicki procesi - Raznolikost covjekovog misljenja koja stvara novi sus-tav operacija ili otkriva ranije nepoznate zakone mjernosti objekata koji okruzujucovjeka ili se proucavaju u znanosti.

Heuristicka nastava - Iznikla je iz potrebe da se prevladaju radikalizam izastranjivanje nove skole (prijelaz iz 19. u 20. stoljece, prva desetljeca 20. stoljeca).Jedan od kopernikanskih obrata nastave nove skole bio je usmjeren prije svega naukidanje predavacke nastave stare skole i to uvodenjem samostalnog rada ucenika.Nazalost, samorad ucenika nije u potpunosti uspio. Za ucenike bio je to preve-lik obrat. Oni za to nisu bili dovoljno pripremljeni, manjkao je pedagoski procesnjihovog postepenog osamostavljivanja. Dakle, bilo je potrebno da se krene um-jerenijim i realnijim putem.

Pocetak heuristicke metode kao nastavne metode nalazimo u prvom desetljecu20. stoljeca. Ponegdje ona jos nema suvremeni naziv i manifestira se u obliku sav-jeta nastavnicima. Evo nekih od njih:

”Zadrzati prividnost igre. Uvazavati slobodu ucenika, podrzavajuci iluziju njegovogvlastitog otkrivanja istine. Izbjegavati u pocetnom obrazovanju ucenika opasnuprobu vjezbi pamcenja jer to potiskuje njegove urodene osobine. Poducavati oslanj-ajuci se na interes prema sadrzaju koji se proucava.”

(Francuska, 1908.)

1Naziv HEURISTIKA potjece od Arhimedovog uzvika - ”HEUREKA”

Page 30: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Heuristicka metoda 29

”Ne izlagati odredeni dio matematike u potpuno gotovom obliku (ako se tako pos-tupa dolazi se u raskorak s osnovnim principima nastave). Razvijati umni rad, a nezahtijevati ucenje napamet. Pridrzavati se principa primjerenih teskoca.”

(Rusija, 1908.)

”Razvijanje stvaralackih sposobnosti ucenika je glavni zadatak nastave.”

(Rusija, 1916.)

”Heuristicka metoda je takva metoda nastave u kojoj nastavnik ne saopcavaucenicima gotove cinjenice i istine, nego ih navodi na samostalno otkrivanje odgo-varajucih tvrdnji i pravila.”

(SSSR, 1954.)

”Heuristicka metoda nastave sastoji se u tome da nastavnik postavlja pred razredmatematicki problem, a onda pomocu odgovarajucih pogodnih pitanja vodi ucenikedo rjesenja.”

(SSSR, 1958.)

Uloga heuristickog procesa u znanosti i nastavi matematike iscrpno je osvijetljenau knjigama americkog matematicara Georga Polye. U knjizi ”Kako rijesiti zadacu”(1945.) Polya pokusava okarakterizirati heuristiku kao posebnu granu spoznavanja.Cilj heuristike: istraziti pravila i metode koje vode do pronalazaka i otkrica. Ponjegovom misljenju osnovna metoda pomocu koje je moguce izuciti strukturu stvar-alackog umnog procesa jest analiza osobnog iskustva u rjesavanju zadaca i proma-tranje nacina na koji drugi rjesavaju zadace.

G. Polya nudi sljedecu shemu rjesavanja zadaca:

1. Razumijevanje zadace.

2. Stvaranje plana rjesavanja.

3. Izvrsavanje plana.

4. Osvrt (analiza dobivenog rjesenja).

Page 31: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Heuristicka metoda 30

Pitanja kojima se nastavnik sluzi pri ovoj metodi su na primjer ova: Sto je nepoz-nato? Stoje je zadano? Kako glasi uvjet? Je li moguce zadovoljiti uvjet? Je li uvjetdovoljan za odredivanje nepoznanice? Mozes li rastaviti uvjet na dijelove?Jesi li zadatak vec prije vidio? Znas li neki srodan zadatak? Znas li koji teorem kojibi ti mogao pomoci? Mozes li ga upotrijebiti? Mozes li primijeniti njegov rezultat?Mozes li primijeniti metodu kojom je taj zadatak rijesen? Mozes li zadatak drugacijeizraziti? Mozes li smisliti neki srodan zadatak? Mozes li rijesiti dio zadataka? Jesili iskoristio sve zadano? Jesi li iskoristio citav uvjet?Mozes li jasno vidjeti da je provedeni korak ispravan? Mozes li dokazati da je ispra-van?Mozes li kontrolirati rezultat? Mozes li kontrolirati dokaz? Mozes li rezultat dobitidrugacije? Mozes li rezultat ili metodu primijeniti na neki drugi zadatak?

”Za sve matematicare karakteristicna je radoznalost uma. Matematicar ne volikada mu o necemu drugi govore, on hoce doci sam do svega.”

(W. Sawyer, 197?.)

Karakteristike heuristicke metode

1. Rad i aktivnost ucenika predstavlja bazu za stjecanje znanja i sposobnosti.Pri tome se naglasava vaznost nastavnikova proucavanja o sadrzaju i nacinu radakao svojevrsne pomoci ucenicima.

2. Obrazovno znacenje imaju samo oni sadrzaji koje ucenici potpuno razumiju.Ono sto ucenici ne razumiju brzo se zaboravlja i potpuni je obrazovni promasaj.Zato je bitna odrednica heuristicke nastave da nastavnici svojim poducavanjemtreba da misaono vode ucenike i da ih dovedu do razumijevanja i shvacanja sadrzaja(nova kvaliteta nastave u odnosu na predavacku metodu, pa i na dijalog). Kakodovesti ucenike do razumijevanja, shvacanja, poimanja, heureke?

3. Heuristicka nastava pretpostavlja neposredno komuniciranjen nastavnika iucenika, najcesce posredstvom heristickog razgovora dijaloga. Nastavnik svojim pi-tanjima upucuje ucenike da iz izvora uocavanju cinjenica na temelju kojih misaonimvodenjem nastavnika dolazi do shvacanja poopcenja (induktivni put). Slobodan raz-govor i diskusija omogucava i ucenicima da postavljaju pitanja svojim nastavnicimai to posebno u slucajevima kad im nedostaje neka spoznajana informacija. Tako seuspostavlja dvosmjerna komunikacija.

4. Iako heuristicka nastava jos ne dovodi ucenike do potpuno samostalnog radau otkrivanju novih istina, nego do te spoznaje ucenike vodi nastavnik na temeljusvog heuristckog modela, vaznije je ipak naglasiti da su ucenici misaono aktivni, jerje to preduvjet za shvacanje. Ucenici su u stanovitoj mjeri ipak subjekti. Heuristickanastava mora dovesti do shvacanja.

Page 32: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Heuristicka metoda 31

5. Slabe strane heuristicke metode: nemogucnost direktne komunikacije sasvim ucenicima, nepotpuna povratna informacija, nemogucnost misaonog vodenjasvih ucenika.

Primjer 6.1. Pitagorin teorem. Na ovaj je nacin obraden Pitagorin poucak uudzbeniku S. Varosanec, Matematika 8, Skolska knjiga, Zagreb, 2001.

1. Prvo u kvadratnoj mrezi ucrtamo niz kvadrata i prebrojavanjem osnovnihkvadratica izracunamo im povrsinu.

2. Zatim u kvadratnoj mrezi nacrtamo desetak primjera pravokutnih trokuta skvadratima opisanim nad njihovim stranicama. Koristeci znanje prvog korakapopunjava se tablica s povrsinama pa, pb, pc kvadrata nad stranicama.

3. Na temelju rezultata u tablici izvodi se zakljucak da je pa+pb = pc, tj. a2+b2 =c2.

4. Dokaz. Nastavnik navodi ucenike na konstrukciju dva kvadrata duzine stran-ica a + b.

5. Provede se rasprava o obratu ovog poucka.

6. Analogoni, poopcenja, Pitagorini brojevi (rad s naprednijim ucenicima).

Na prvi pogled heuristicka metoda cini se previse detaljizirana. Medutim, nastavnikdobro poznaje teorem, ali je on potpuno nov ucenicima. S druge strane, nije sve uupoznavanju Pitagorinog teorema, vazan je i oblik spoznaje.

Primjer 6.2. Tetivni cetverokuti.

1. Nastavnik postavlja ucenicima uvodnu zadacu.”Gdje treba iskopati bunar da bi on bio jednako udaljen od cetiriju zgrada A,B, C i D?”

2. U procesu ispitivanja ove problemske situacije dolazi se do zakljucka da je skuptocaka ravnine jednako udaljenih od dane tocke - kruznica. A, B, C, D su nakruznici kojoj je polozaj sredista nepoznat.

3. Iz dane problemske situacije nice problem o mogucnosti konstrukcije kruznicekroz cetiri dane tocke.

4. Pristupajuci rjesavanju problema ucenici uz pomoc nastavnika dolaze dosljedecih poznatih cinjenica:

a) jednom tockom A prolazi po volji mnogo kruznica

Page 33: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Heuristicka metoda 32

b) kroz dvije tocke A i B moze se postaviti beskonacno mnogo kruznica sasredistima na simetrali duzine

c) kroz tri tocke koje ne leze na jednom pravcu prolazi tocno jedna kruznica.

Rjesenje problema svodi se na pronalazenje uvjeta koji moraju zadovoljavaticetiri tocke da bi one pripale jednoj kruznici.(slika)Nastavnik: ”Koja cinjenica treba pri trazenju uvjeta?”Ispitajte odnos kutova 6 BAD i 6 BCD. ABCD treba biti tetivni cetverokut.Proucavanje:

6 BAD =1

2β ,

6 BCD =1

2α ,

6 BAD + 6 BCD =1

2β +

1

2α =

1

2(α + β) =

1

2· 360◦ = 180◦

Analogno se dobije6 CBA + 6 CDA = 180◦

5. Kao rezultat gornjeg razmatranja dobija se novo svojstvo tetivnog cetverokuta.Suma nasuprotnih kutova tetivnog cetverokuta jednaka je 180◦.Konstatacija: to je teorem, dokaz je proveden u 4.

6. Nastavnik se obraca razredu: ”Da li je istinita obratna tvrdnja? Formalizirajteobrat, dokazite ga ili pokazite da on ne vrijedi.”Obrat vrijedi! Nuzni i dovoljni uvjeti konciklicnosti.

7. Odredivanje sredista trazene kruznice u uvodnoj zadaci.

8. Posljedice (posebne vrste cetverokuta), primjena.

Page 34: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

7. PROBLEMSKA METODA

U danasnje vrijeme jedan od vaznih smjerova istrazivanja metoda nastavematematike jest istrazivanje sustine i primjene problemske nastave1. Ideja prob-lemske nastave u mnogo cemu nije nova, ali je ona u praksi pomalo zapostavljena.

Bitan uvjet za ispoljavanje problemske nastave je istrazivacki karakter radaucenika u nastavnom procesu. Danas je opcepriznato misljenje da nastavni satnije efikasan ako na njemu ucenici ne rade aktivno i samostalno, ako ne rjesavajuprobleme za koje osim znanja trebaju i dovitljivost, bistrinu i odreden stupanjkreativnosti.

Sustina problemske nastave sastoji se dobrim dijelom u postavljanju, stvaranjuproblemske situacije. S tog stanovista problemska nastava je karakterizirana po-stavljanjem takvih nastavnih problema u kojima je jedna ili vise komponenataproblemske situacije nepoznata ucenicima, a koju oni trebaju sami razrijesiti. Kom-ponente problemske situacije su: elementi, objekti, svojstva, odnosi, veze, faze i dr.

Kad je pred nastavnikom obrada nekog problema on treba najprije pobuditiinteres stvaranjem problemske situacije. To moze uciniti na sljedece nacine:

• Nastavnik jasno i precizno postavlja problem ucenicima.

• Nastavnik stvara situaciju u kojoj se od ucenika zahtijeva da sami shvate iformuliraju problem koji se u toj situaciji nalazi.

• Nastavnik stvara situaciju s vise ili manje jasno istaknutim problemom kojitijekom analize treba dovesti ucenika do novog problema koji je nastavnik predvidio.

• Nastavnik stvara situaciju s vise ili manje jasno istaknutim problemom kojitijekom analize treba dovesti ucenika do novog, dopunskog problema koji je nas-tavnik nije u potpunosti predvidio.

Prvi nacin je najjednostavniji, u ostalim ima vise nepoznanica, a posebno jevrijedan posljednji nacin jer je u toj situaciji bar jedna komponenta nepoznata isamom nastavniku, a rad ucenika je kreativan i stvaralacki.

Analizirajuci problemsku situaciju koju im je postavio nastavnik, ucenik treba

1Z.Kurnik, Nacelo problemnosti, Matematika i skola 14(2002), 148-152Z.Kurnik, Problemska nastava, Matematika i skola 15(2002), 196-202

Page 35: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Problemska metoda 34

otkriti ne samo nacin rjesavanja problema koji se u njoj nalazi, nego dati i odredenopoopcenje te situacije ili dati poredbu s nekom drugom situacijom, drugim rijecima,uociti u danom problemu novi problem koji bi bilo korisno razrijesiti.

Za razliku od tradicionalne nastave, problemska nastava ukljucuje u sebi nesamo postavljanje uvodnog pitanja, problema, stvaranje problemske situacije, negoi samostalni stvaralacki rad ucenika u postavljenoj problemskoj situaciji, otkrivanjenovih matematickih istina i obrazlozenje svih njegovih misaonih postavki.

U problemskoj nastavi poucavanje nastavnika jos se vise smanjuje. Ovanastava nosi i stanovitu tezinu za nastavnike: nastavnik mora ucenicima savje-tom pomagati u izboru i procjeni izvora, koncentrirati paznju ucenika na vaznecinjenice, upozoravati na pravilnu interpretaciju izvora itd., sve do zavrsnog di-jaloga o izvrsenom radu i rjesenju problema, koje se moze razlikovati od onog kojegje predvidio nastavnik. Sve to zahtijeva da nastavnik dobro poznaje podrucje koje jedano ucenicima na samostalno proucavanje. Zato problemska nastava pretpostavljaizvrsnog strucnog nastavnika.

Problemska nastava kao visi nastavni sustav znatno je teza i ucenicima.Ucenici osjecaju njenu tezinu u odnosu na samostalno rjesavanje problema, stonije jednostavno, ni lako. Zato je bitna pretpostavka za uspjesno izvodenje prob-lemske nastave, posebno onog dijela koji se odnosi na samostalni rad ucenika, da suucenici ovladali osnovnom tehnikom umnog rada. Naravno sve treba prilagoditi dobiucenika i stupnju skolovanja. Tehniku umnog rada ucenici postepeno svladavaju i nanizim sustavima nastave (misaono vodenje ucenika u heuristickoj nastavi, programi-ranim samostalnim radom u programiranoj nastavi), ali se u problemskoj nastavita tehnika jos vise siri i produzuje.

Shema organizacije problemske nastave:

1. Stvaranje nastavne problemske situacije.

2. Postavljanje problema koji nice iz dane problemske situacije i njegova jasnaformulacija.

3. Proucavanje razlicitih uvjeta koji karakteriziraju postavljeni problem i razma-tranje mogucnosti pojednostavnjenja.

4. Rjesavanje postavljenog problema (cjelina i detalji, bitno i nebitno, teskocerjesavanja, podzadace, smjerovi - putovi rjesavanja, izbor i primjena teoretskihcinjenica, plan rjesavanja na odabrani nacin, ispravnost svih koraka).

5. Razmatranje dobivenog rjesenja problema i iskazivanje novog znanja.

6. Proucavanje dobivenog rjesenja problema i trazenje drugih, ekonomicnijih ililjepsih nacina rjesavanja.

7. Proucavanje mogucih prosirenja i poopcenja postavljenog problema.

Page 36: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Problemska metoda 35

8. Zakljucci izvrsenog rada. Dijalog ucenika i nastavnika. Razmatranje mogu-cnosti primjene novog znanja.

Dani shematski plan organizacije problemske nastave je dinamican. On semoze ostvariti u potpunosti ili djelomicno, pojedine tocke plana mogu se objedinitiitd. Sve to ovisi o karakteru postavljenog nastavnog problema.

Prednosti problemske nastave: veca motiviranost ucenika, primjerena mogucnostsuradnje, istrazivacki pristup rjesavanju problema, razvoj kritickog misljenja, boljeshvacanje biti i zakonitosti, povecanje kolicine znanja, stecena znanja su trajnija,veca primjenjivost stecenih znanja.

Nedostatak problemske nastave ocituje se u tome sto je ona zahtjevan nas-tavni sustav koji zbog slozenosti zahtijeva vise vremena. Ne moze se primjenji-vati na svakom satu, vec je za tu svrhu potrebno naciniti uzi, primjereniji izbormatematickih sadrzaja, a za njihovu obradu vrsnu pripremu.

Primjer 7.1. Svojstva rjesenja kvadratne jednadzbe.

Predznanje potrebno za obradu ovog problema su formule za rjesenja kvadratnejednadzbe ax2 + bx + c = 0

x1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2a.

Ovom formulom dana su rjesenja kvadratne jednadzbe u ovisnosti o koeficijentimaa, b, c. Zanimljivo je ispitati veze izmedu tih rjesenja. Problemnost ove situacijemoguce je izraziti na tri nacina.

1. U prvom nacinu nastavnik precizno i jasno izrice problem: Dokazite da zarjesenja x1 i x2 kvadratne jednadzbe ax2 + bx + c = 0 vrijede formule

x1 + x2 = − b

a, x1x2 =

c

a.

Dakle, pri ovakvom pristupu poznate su pretpostavke, poznata je tvrdnja kojutreba dokazati i od ucenika se jedino to i ocekuje.

2. U drugom nacinu postavljanja problema, nastavnik stvara situaciju kojaod ucenika zahtijeva da sami razrijese problem koji se u toj situaciji nalazi i gdjejedna komponenta problemske situacije nije poznata.

Izrazite zbroj x1+x2 i umnozak x1x2, rjesenja x1, x2 kvadratne jednadzbe ax2+bx + c = 0 pomocu koeficijenata a, b i c.

Page 37: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Problemska metoda 36

Ovdje krajnji rezultat nije poznat, ali je naznacen smjer u kojem treba krenuti.

3. I konacno, u trecem pristupu, nastavnik od ucenika zahtijeva da samishvate, formuliraju i razrijese problem koji se u toj situaciji nalazi.

Koja veza postoji izmedu rjesenja x1, x2 kvadratne jednadzbe ax2 + bx + c = 0i njezinih koeficijenata a, b i c.

Ovdje nije poznat ni smjer istrazivanja ni krajnji rezultat. Ovdje se kao rezul-tat mogu pojaviti i druge formule koje povezuju rjesenja kvadratne jednadzbe kaosto je na primjer:

x21 + x2

2 =b2 − 4ac

a2.

U sva tri slucaja cilj je nastavnog sata upoznati i dokazati Vieteove formule.Jedino se u svakom od njih polazi s drugacije razine problemnosti.

Page 38: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

8. PROGRAMIRANANASTAVA

Poceci programirane nastave javljaju se 1926. godine u SSSR-u i SAD-u.Programirana nastava proizlazi iz zahtjeva suvremenog drustva u kojemu je faktorvrijeme bitna komponenta. Drustvo zahtijeva veliko znanje, a to znaci da trebarazviti takav nastavni proces koji ucenicima nudi veliku kolicinu informacija, ali usto je moguce kracem vremenu.

Bit programirane nastave je podjela nastavnog gradiva na manje dijelovetzv. clanke i kvante, koji su potrebni pri izucavanju odredenih pojmova i tvrdnji.Svaki se korak nadovezuje na prethodne informacije.

Ucenika treba sto aktivnije usmjeriti na kljucni problem unutar kvanta, te sepretpostavlja odredena samostalnost ucenika pri izvodenju ove nastave. Teziste sestavlja na umni i stvaralacki rad ucenika, na direktnu vezu ucenik–gradivo. Da bi semogao savladati naredni kvant potrebna je informacija o savladanom prethodnomgradivu (to se moze ispitati nekom drugom metodom – metoda dijaloga, pismeniuradak). Od ucenika se ocekuje neprekidni aktivni odziv koji omogucuje eksplicitnovjezbanje i provjeravanje svakog koraka.

Programirana nastava provodi se ovako:

0. Ponavljanje, provjera predznanja – metoda dijaloga

1. Svaki ucenik dobiva programirani materijal i upute koju temu trebasamostalno obraditi. Taj materijal moze biti dan u obliku listica, posebnihudzbenika ili na racunalu. Na listicima, odnosno stranicama knjige, napisan jetekst materije koju treba prouciti, a ispod nje pitanja na koja ucenika odgovara.

U ovom uvodnom dijelu rada nastavnik usmeno objasnjava sto ce se raditi usljedecem dijelu sata.

2. Rad prema programiranom materijalu ne treba trajati dulje od 20 – 30minuta. Pokazalo se da ucenici mogu odrzati koncentraciju u tom vremenskomperiodu.

Ucenik radi ”samostalno”, ali ipak pod stalnim nadzorom nastavnika koji cepo potrebi dati upute, razjasniti nejasni dio teksta i sl.

Page 39: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Programirana nastava 38

Individualni tempo uvjetuje da pojedini ucenici obrade razliciti opseg predvi-denog materijala. Nedovrseni dio moze se zadati za obradu kod kuce.

3. Sljedeci sat treba provjeriti stupanj usvojenosti gradiva, najcesce putemkratkog pismenog rada ili metodom dijaloga.

U programiranom ucenju duznost je nastavnika objasniti ucenicima kako trebaraditi po programiranoj metodi, navikavati ucenike na pravilan odnos prema radu,tj. samostalno proucavanje materije i da tek poslije toga kontroliraju svoje odgovore(a ne prvo pogledati rjesenja). Nastavnik mora nauciti svakog ucenika pravilnocitati listice, objasniti nerazumljive postupke u radu i sl. Sav ostali rad povjeravase inicijativi ucenika.

Ovom metodom ne moze se zamijeniti bogata pedagoska deskripcija, analizai diskusija problema koja se razvija na satu gdje se primjenjju neke druge metode.Dobar nastavnik ce svoj pedagosko – didakticki savjet dati cak i na pisanju zna-menaka, intonacijom govora, cijelim drzanjem i prilaskom radu, nacinom analize,donosenjem zakljucaka itd, dok se sve te mjere ne mogu provoditi u programiranojnastavi. S druge strane, programirana nastava lako otklanja jednu slabost tradi-cionalne nastave, a to je pomanjkanje povratne informacije o stupnju usvojenostiprijedenog gradiva.

U programiranoj nastavi povratna informacija se dobiva nakon svakog koraka.Provjera usvojenosti gradiva ne mora se odvijati samo pomocu pitanja i zadataka,vec se svaki kvant moze provjeriti kratkim testom znanja.

Programirana nastava je nastava tako koncipirana da se nastavno gradivo dajeu malim kolicinama koje su medusobno logicki povezane u zatvorene odgojne, obra-zovne i logicke cjeline u kojima je ucenik u punoj mjeri aktivan.

Osnovni je problem opseg i sadrzaj kvanta. Oni moraju biti odmjereni takoda postoji velika vjerojatnost pravilnog odgovora.

Skinner je smatrao da se nastavno gradivo mora podijeliti na elementarne di-jelove, sto vise usitniti jer se tako ucenik ne preopterecuje. Ali, pokazalo se da pre-veliko usitnjavanje ne daje najbolje rezultate, tj. javlja se dosada i nezanimljivost.Zato se danas govori o kvantovima optimalne velicine.

Prednosti

1. U prvom planu je aktivnost ucenika. On samostalno produbljuje, uvjezbava,primjenjuje i ucvrscuje novu informaciju. Odreduje vlastiti tempo rada, paznja munije prenapregnuta.

2. Steceno znanje se odmah provjerava, korigira i utvrduje. Javlja se osjecajuspjeha koji i sam dalje aktivira i potice na daljnji rad.

3. Ucenik moze na miru razmisliti o pitanjima, moze ih uskladiti i dobroprocijeniti.

Page 40: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Programirana nastava 39

4. Opseg novih informacija nije suvise velik, radni koraci su kratki i prilagodenimogucnostima ucenika. Moguce je u potpunosti diferencirati, individualizirati nas-tavu, tj. slabim ucenicima dati takav materijal koji omogucava usvajanje samonuznog gradiva, a najboljim ucenicima dati kompliciranije zadatke.

5. Direktna veza ucenika i gradiva, bez djelovanja nastavnika.

6. Razvija se samokontrola, jer postoji povratna infomacija.

Nedostaci

1. Krutost – ne mogu se obuhvatiti svi smjerovi razmisljanja pa se razvijajednostrano misljenje. Ovo se moze ublaziti razgranatim programiranjem.

2. Smanjena je odgojna komponenta nastave, jer individualizacija razbijakarakter razreda.

3. Dolazi do povrsnosti u radu, zbog popustanja koncentracije, pa se prelazina sljedeci kvant bez dobrog usvajanja prethodnog ili se nekriticki smatra da jeprethodni kvant dobro naucen, a ustvari nije.

4. Smanjena je uloga nastavnika.

5. Do povratne informacije nastavnik dolazi tek kasnije, a ne odmah kao umetodi dijaloga.

6. Ako je programirani materijal los, ucenik ga tesko uci i taj sat se moraponoviti.

Nastavnik–pocetnik ne treba odmah krenuti na programiranje citavih kom-pleksa gradiva, vec je dobro da prvo programira ponavljanje, vjezbe ili manje nas-tavne cjeline.

Programirana nastava trazi od nastavnika izuzetno dobru i dugotrajnupripremu. Kao i sve druge metode, ne smije postati dominantna, nego ju trebakombinirati. Moze se izvoditi i u grupama.

Kvant se sastoji od

1. informacije koju prenosimo uceniku (teorija, jedan do dva primjera);

2. zadataka vezanih uz informaciju;

3. prostora za unosenje rjesenja;

4. povratne informacije o rjesenju zadataka.

Page 41: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Programirana nastava 40

VRSTE PROGRAMIRANJA1

Razlikujemo dvije vrste programiranja nastavnih cjelina:

1. linearno

2. razgranato

1. Linearni model karakterizira napredovanje u jednom smjeru. Pogodan jeza usvajanje i memoriranje pojmova i tvrdnji. Kvanti slijede jedan za drugim ujednoznacno odredenom redoslijedu

2. Razgranati model pogodan je za usporedivanje razlicitih misljenja, za us-mjeravanje na razlicite putove napredovanja ovisno o znanju, sposobnostima iliafinitetu.

U razgranatom modelu cesto se koristi preskakanje clanaka. Naime, ako ucenikrijesi vazan zadatak brzo i dobro, iz cega se vidi da dobro razumije problem, trebamu omoguciti brze napredovanje u programu. Preskakanje clanaka djeluje motivaci-jski pa se cak sugerira i unosenje nepotrebnih grana koje ce gotovo svaki ucenikpreskociti.

U razgranatom modelu moze se uvesti i tzv. retrogradno programiranje. Akose iz odgovora vidi da ucenik nije shvatio bit, moze ga se vratiti nekoliko korakaunatrag.

Isto tako u razgranatom programiranju mogu se pojaviti i dodatne petlje zadodatno uvjezbavanje ili objasnjavanje.

1Muzic, Programirana nastava

Page 42: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

9. METODARADA S TEKSTOM

Heuristicka metoda, metoda dijaloga i metoda predavanja nisu jedine metodeprenosenja novih znanja ucenicima. Mnoga pitanja skolske matematike moguucenici samostalno prouciti pomocu udzbenika.

Treba imati u vidu da ucenici, radeci s udzbenikom, usvajaju odredenu kolicinuinformacija od koje ovaj ili onaj dio im moze biti nejasan. Ucenici moraju samirazjasniti nejasnoce na temelju tog istog teksta, za razliku od nastavnika koji uvijekmoze na osnovu pitanja dati tumacenje istog pitanja u drugom obliku ili odgovoritina nj.

Citanje s razumijevanjem i umijece reproduciranja matematickog teksta samoje prva stepenica u ovladavanju umijecem rada s nastavnom literaturom. Na visemstupnju razvitka toga umijeca ucenici moraju biti sposobni ne samo usvajati do-bivenu informaciju iz udzbenika, nego i znati stvaralacki osmisljavati procitano, tj.znati na temelju dobivene informacije doci do novih znanja, koja nisu neposrednoizrazena u udzbeniku vec su rezultat stvaralackog razmisljanja nad procitanim.

”Tude misli korisno je proucavati samo u onom slucaju ako se radaju vlastite.”

Znacenje samostalnog rada ucenika s nastavnom literaturom iz matematike jevrlo veliko i zato sto je taj rad jedno od osnovnih sredstava realizacije vaznog ciljanastave nauciti ucenike uciti.

Dobre strane metode: razvijanje navike koristenja literature, samosta-lan rad ucenika, njegovanje navike duze koncentracije, kriticnost, priprema zasamostalni rad u zivotu, samoobrazovanje, ustrajnost, ucenje kako se uci, njeguje sepismenost i sposobnost citanja s razumijevanjem.

Lose strane metode: nemogucnost samostalnog savladavanja nekih tezihmjesta, opasnost samoobmane, popustanje koncentracije, povrsnost, manjka ”ziva”rijec nastavnika, slaba kontrola naucenog, nema povratne informacijeniti nas-tavniku, a ni samom uceniku.

Rad s tekstom je metoda koju nastavnik uvjezbava, njeguje u razrednom odje-ljenju tijekom nekoliko godina rada. Pri prvim susretima s tom metodom nastavnik

Page 43: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Metoda rada s tekstom 42

ce potrositi vise vremena na objasnjenja ucenicima kako koristiti tekst. Kad sekasnije ucenici budu susretali s tom metodom vrijeme potrebno za objasnjavanjerada s tekstom bit ce sve krace. Isto tako i vrijeme posveceno obradi novog gradivaovom metodom varira: od svega par minuta posvecenih citanju jednog zadatka iliteorema, pa do nekoliko sati ucenja koje obicno prakticira student na visem stupnjuskolovanja.

Da bi se dobili efikasni rezultati samostalnog rada ucenika s matematickomliteraturom, nastavnik treba organizirati taj rad. Nastavnik ce ucenicima dati nekeod sljedecih savjeta.

1. Pri proucavanju dijela udzbenika kojeg je zadao nastavnik, korisno je imaticist list papira i olovku.

2. Procitati citav dio u cjelini i u njemu izdvojiti one dijelove koji imajusamostalno znacenje (definicije, teoremi, primjeri, zadaci).

3. Pri analizi svakog od tih dijelova, na primjer teorema, potrebno je pazljivoprocitati njegovu formulaciju, shvatiti smisao, koristeci u knjizi crtez, shemu. Akotakvog crteza nema u knjizi, korisno je napraviti ga sam.

4. Pri prvom citanju nastojati shvatiti samo osnovnu misao danog dijela tek-sta (glavna mjesta dokaza, teorema ili izvoda formule); nejasne detalje moze seprivremeno preskociti.

5. Proucivsi dano pitanje u cjelini, vazno je prijeci na izucavanje njegovihdetalja (uvjeti, zakljucak, ocjene mjesta tog teorema u vezi s tom temom).

6. Pri drugom citanju treba pokloniti paznju detaljima dokaza teorema iliizvoda formule, a takoder onim metematickim cinjenicama (aksiomi, definicije, teo-remi) na temelju kojih se izvode zakljucivanja. Ako je nesto zaboravljeno, trebapotraziti u prethodnim glavama udzbenika.

7. Pristupajuci citanju dokaza teorema (izvoda formule, rjesenja zadatka),treba ga korak po korak prouciti; pri tom je nuzno postupno reproducirati taj dokazna list papira.

8. Poslije toga kada je nuzni dio teksta udzbenika shvacen, nuzno je jedan –dva puta usmeno ili pismeno reproducirati procitano.

9. Sada je korisno obratiti posebnu paznju na ono glavno sto treba zapamtiti(definicije, teoremi), procitati te cinjenice nekoliko puta sve dok ih se ne uspijereproducirati ako ne doslovno, a onda bar tocno. Korisno je sastaviti kratki planproucenog i zapamtiti ga.

10. Pazljivo prouciti ilustrirane primjere..

11. Usvojivsi teoriju treba poceti rjesavati odgovarajuce zadatke (ali neobratno); nuzno je pamtiti da se pravilnost rjesavanja svakog zadatka odreduje do-brim znanjem teorije koja se odnosi na njega.

Page 44: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Metoda rada s tekstom 43

12. Po zavrsetku citavog rada korisno je razmisliti o tome kako bi se proveodokaz teorema (rjesenje zadatka, izvod formule) na drugi nacin, ako je to moguce.

13. Poopcavanje.

14. Ako u proucenom dijelu nije sve jasno, treba uociti ta mjesta i obratiti senastavniku za pomoc. Ne treba se stidjeti tog neshvacanja.

Ove savjete treba dati na konkretnom primjeru, a prema prilikama moze senjihov broj smanjiti.

Page 45: METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebuweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/skriptaMNM2.pdf · METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II - DIO, za internu upotrebu

Literatura

[1] V. Bajrovic, Neke vazne formule-modeli u prostoru, Bilten Seminara iz matem-atike za nastavnike mentore 5, HMD i Element, Zagreb, 1996.

[2] L. Bognar, M. Matijevic, Didaktika, Skolska knjiga, Zagreb, 2002.

[3] B. Dakic, Zornost u nastavi matematike, Skolske novine, Zagreb, 1993.

[4] D. Glasnovic, Mnogokuti-rad u parovima, Matematika i skola 13(2002), 121-122.

[5] T. Grgin, Skolska dokimologija, Skolska knjiga, Zagreb, 1986.

[6] Z. Kurnik, Matematicke sposobnosti, Matematika i skola 10(2001), 195-199.

[7] Z. Kurnik, Nacelo znanstvenosti, Matematika i skola 13(2002), 102-106.

[8] Z. Kurnik, Nacelo problemnosti, Matematika i skola 14(2002), 148-152.

[9] Z. Kurnik, Problemska nastava, Matematika i skola 15(2002), 196-202.

[10] Z. Kurnik, Historicizam, Matematika i skola 17(2002), 52-58.

[11] Z. Kurnik, Grupni rad, Matematika i skola 22(2003), 52-57.

[12] Z. Kurnik, Individualizacija, Matematika i skola 25(2004), 196-201.

[13] V. Muzic, Programirana nastava, Skolska knjiga, Zagreb, 1968.

[14] B. Pavkovic i dr. Male teme iz matematike, HMD, Zagreb, 1994.

[15] M. Pavlekovic, Metodika nastave matematike s informatikom I, Element, Za-greb, 1997.

[16] M. Pavlekovic, Metodika nastave matematike s informatikom II, Element, Za-greb, 1999.

[17] B. Pelle, Tako poucavamo matematiku, Skolske novine i HMD, Zagreb, 2004.

[18] V. Poljak, Didaktika, Skolska knjiga, Zagreb, 1982.

[19] S. Varosanec, Neke metode rjesavanja problemskih zadataka, Poucak br. 13,(2003), 32.-38.