Solusi Persamaan Diferensial parsial dengan Metode Beda
Hingga
Solusi Persamaan Diferensial parsial dengan Metode Beda
Hingga
Oleh :Kelompok IV1TerminologiPersamaan diferensial parsial
memegang peranan penting di dalam penggambaran keadaan fisis,
dimana besaran-besaran yang terlibat didalamnya berubah terhadap
ruang dan waktu. Sebagai contoh, jika kita meninjau topik-topik
fisika lanjut (advanced physics), seperti halnya mekanika klasik
lanjut yang membicarakan tentang gelombang elektromagnetik,
hidrodinamik dan mekanika kuantum (gelombang Schroedinger), maka
kita akan menemukan penggunaan persamaan diferensial parsial yang
digunakan untuk menggambarkan fenomena fisis yang berkaitan dengan
masalah-masalah tersebut. Masalah-masalah tersebut dalam
kenyataannya sulit untuk dipecahkan dengan cara analitik biasa,
sehingga metode numerik perlu diterapkan untuk menyelesaikannya.
Penggunaan persamaan diferensial tidak terbatas pada masalah fisika
saja, tetapi lebih luas lagi dalam bidang sains dan teknologi.Apa
itu Persamaan Diferensial Parsial??Suatu persamaan yang meliputi
turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu
atau lebih variabel bebas disebut persamaan diferensial , Pada
Persamaan Diferensial Parsial, variabel bebas dapat berupa waktu
dan satu atau lebih koordinat ruang.
Apa Beda Persamaan diferensial Parsial dan Persamaan Diferensial
Biasa??
Jika turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variable
bebas maka disebut persamaan diferensial biasa (PDB) dan bila
tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut persamaan
diferensial parsial (PDP)
Berdasarkan nilai koefisien-koefisiennya, bentuk umum ini dapat
dibedakan atas beberapa bentuk khusus, yang kemudian dikenal
sebagai bentuk PDP parabolik, hiperbolik, dan eliptik.Klasifikasi
Persamaan Diferensial ParsialKlasifikasi Persamaan Diferensial
Parsials
Solusi Persamaan Diferensial parsial dengan Metode Beda
HinggaPada Penyelesaian persamaan Laplace, dan berbagai PDE di
bidang Teknik, hampir tidak pernah dilakukan secara analitis,
kecuali untuk kasus-kasus yang sederhana. Penyelesaian hampir
selalu dilakukan dengan cara numeris. Teknik penyelesaian PDE
secara numeris
Metoda beda hingga (finite difference approximation, FDA)Metoda
elemen hingga (finite element method, FEM) Metoda volume hingga
(finite volume method, FVM Solusi Persamaan Diferensial parsial
dengan Metode Beda HinggaSolusi dengan menggunakan metode beda
hingga termasuk kedalam kategori Persamaan diferensial Parsial
Eliptik, pemecahan masalah dengan Metode Beda Hingga atau sering
juga disebut Metode Finite Difference akan dijelaskan sebagai
berikut
Persamaan umum
Jika kita substitusikan persamaan tadi ke dalam persamaan
laplacec
Solusi Persamaan Diferensial parsial dengan Metode Beda
HinggaUntuk dapat menyelesaikan permasalahan dengan metode beda
hingga, maka kondisi batas harus di tentukan , sehingga dapat
diperoleh solusi unik. Untuk kasus sederhana yang akan dibahas
(Perambatan Panas Pada Titik Titik Dalam Pelat ) maka temperatur
pada tepi tepi pelat harus ditentukan suatu nilai tetap. Maka pada
saat kondisi seperti itu sering juga di sebut Kondisi Batas
DirichletSolusi Persamaan Diferensial parsial dengan Metode Beda
HinggaUntuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal dibawah ini
Pada kasus disamping, pelat dipanaskan, dan temperaturnya dijaga
konstan pada bagian bagian tepi. Perambatan panas pada titik titik
dalam dapat diselesaikan dengan penggabungan metode beda hingga,
dan metode iterasi Gaus-SiedelSolusi Persamaan Diferensial parsial
dengan Metode Beda HinggaMetode beda hingga untuk mencari nilai
pada masing-masing titik menggunakan persamaan :
dan hasilnya sebagai berikut:
Solusi Persamaan Diferensial parsial dengan Metode Beda HinggaDi
titik (1,1)T1,1 + T0,1 + T1,2 + T1,0 -4T1,1 = 0 T2,1 + 75 + T1,2 +
0 -4T1,1 = 0-4T1,1 + T1,2 + T2,1 =-75
Di titik (2,1)T3,1 + T1,1 + T2,2 + T2,0 -4T1,1 = 0 T3,1 +T1,1 +
T2,2 + 0 -4T2,1 = 0T1,1 - 4T2,2 + T3,1 + T2,2 = 0
Di titik (3,1)T4,1 + T2,1 + T3,2 + T3,0 -4T3,1 = 050+T2,1 + T3,2
+ 0 -4T3,1 = 0T2,1 - 4T3,1 + T3,2 = 50
Di titik (1,2)T2,2 + T0,2 + T1,3 + T1,1 4T1,2 = 0T2,2 + 75 +
T1,3 + T1,1 4T1,2 = 0 T1,1 4T1,2 + T1,3 + T2,2 = - 75Di titik
(2,2)T3,2 + T 1,2 + T 2,3 + T 2,1 -4T 2,2 = 0Di titik (3,2)T 4,2 +
T 2,2+ T 3,3 + T 3,1 4T 3,2 = 050 + T 2,2+ T 3,3 + T 3,1 4T 3,2 =
0T 2,2 + T 3,1 4T 3,2+ T 3,3 = - 50Di titik (1,3)T2,3 + T0,3 + T1,4
+ T1,2 4T1,3 = 0T2,3 + 75 + 100 + T1,2 4T1,3 = 0T1,2 4T1,3 +T2,3
=-175Di titik (2,3)T3,3 + T1,3 + T2,4 + T2,2 -4T2,3 = 0T3,3 +T1,3 +
100 + T2,2 -4T2,3 = 0T1,3 +T2,2 +4T2,3 + T3,3 = 100
Di titik (3,3)T 4,3 + T 2,3 + T 3,4 + T 3,2 4T 3,3= 050 + T 2,3
+ 100 + T 3,2 4T 3,3 = 0T 2,3 + T 3,2 4T 3,3=
-150T1,1T2,1T3,1T1,2T2,2T3,2T1,3T2,3T3,3HasilT1,1-410100000=-75T2,11-41010000=0T3,101-4001000=-50T1,2100-410100=-75T2,20101-41010=0T3,200101-4001=-50T1,3000100-410=-175T2,30000101-41=-100T3,300000101-4=-150Solusi
Persamaan Diferensial parsial dengan Metode Beda Hingga
Solusi Persamaan Diferensial parsial dengan Metode Beda
HinggaSehingga didapat nilai yang konvergen (saling berdekatan)
maka nilai dapat kita tentukan nilai di masing masing titik
tersebut (pelat besi)
Penyelesaian kasus tersebut di lanjutkan dengan metoda iterasi
Gauss-Siedel (Bahasan kelompok 2)Maka diambil nilai yang telah
konvergen dari iterasi Gauss-Siedel sehingga seperti gambar
dibawah
Solusi Persamaan Diferensial parsial dengan Metode Beda
HinggaTerima Kasih
