Metode Numerice in Calculul Variatilor

7/25/2019 Metode Numerice in Calculul Variatilor

1/78

Cercetari Operationale

Metode numerice in calculul variatiilor

Student: Burtea Andrei-CristianLogistica Transporturilor


2/78

Metode numerice in calculul variatiilor

Analiza numeric are o istorie lung i bogat: Arhimede, e!ton sau"auss, spre e#emplu, a$%nd contribu&ii semni'icati$e (n acest domeniu) *nsmetodele numerice moderne, aa cum le 'olosim astzi, sunt caracterizate de

sinergia dintre calculatoarele electronice programabile, analiza matematic, precumi oportunitatea i necesitatea de a rezol$a probleme comple#e din di$erse domeniicum ar 'i ingineria, medicina, economia sau tiin&ele sociale) +ei a e#istat(ntotdeauna o str%ns interac&iune (ntre matematic, pe de o parte i tiin&e itehnologie, pe de alt parte, aceast interac&iune s-a intensi'icat (n ultimele decenii)Creterea utilizrii metodelor numerice a 'ost cauzat nu numai de creterea

per'orman&ei calculatoarelor, ci i de (mbunt&irea algoritmilor

Teorema variaional fundamental

ieHun spa&iu ilbert real,D Hun subspa&iu dens iA : DHun operator liniar)

Definiie. Operatorul

A se numete strict pozitiv dac

Au,u >., oricare ar

fi u H. Operatorul

A

se numete simetric

dac

Au,v =u,Av ,

pentru

orice u, v D.


3/78

*n cele ce urmeaz $om presupune c operatorul

A este simetrici strict

poziti$) ie

f H) unc&ionala ptratic

F /u0=Au,u 1f ,u

, u D,


4/78

se numete

funcionala energetic a operatorului

A) Are loc

Teorema .

Pentru ca

u D

s realizeze minimul funcionalei energetice este

necesar i suficient ca acesta s satisfac

Au! f .


5/78

Dac un astfel de element e"ist, el este unic.

Demonstraie. #ecesitatea) 2resupunem c

u.

D

realizeaz

minimul

'unc&ionalei /3.0) ie $

un element arbitrar din

D

i

t un numr real arbitrar)

Atunci


6/78

F /u.4t$0F /u.0

)

5ezult c 'unc&ia real

/t0 =F/u.+t$0 (i atinge minimul pentrut6.,

deci dac este deri$abil (n

., atunci

=. )

Cum

A este simetric, un

/.0


7/78

calcul direct conduce la

t 3[/t0/.0]=1

Au.f ,$

+t A$,$

, / 0 $ D)

Trec%nd la limit cu

t ., ob&inem


8/78

Au.f ,$ =. , / 0$ D

i cum D

este dens (n

H,

rezult Au.! f


9/78

%uficiena )

S presupunem acum c

u.

satis'ace ecua&ia )+ac

u D,uu.,

atunci

u ! u.4v,vH) Atunci, cum

A este simetric, prin calcul

ob&inem


10/78

F/u0 6F/u.0 4 1Au.f ,v + Av,v )

u.

+ar

satis'ace ecua&ia /330, deci

F/u0 6F/u.0 4 Av,v )


11/78

Operatorul

A

'iind strict poziti$

i vH,

rezult c

Av,v >.

i (n

consecin&

F/u0 7F/u.0) Aceasta (nseamnc(n punctul u.

'unc&ionala /3.0 (i

atinge minimul)

F (i

2entru unicitate, s presupunem c e#ist (nc un element u3 (n care

atinge minimul) Con'orm celor de

mai sus


12/78

F/u30 7F/u.0) *n acelai mod ca mai

sus, se poate

arta

c

F/u.0 7

F/u30)

+in

contradic&ia

ob&inut rezult c

'unc&ionala /3.0 (i poate atinge minimul (ntr-un singur punct i teorema estedemonstrat) 8

Observa ie &eorema sta'ilete ec$ivalena (ntre pro'lema rezolvrii ecuaieiAu ! fi aceea a aflrii minimului funcionalei energetice dac una din aceste pro'leme esterezolva'il, atunci i cealalt este rezolva'il i soluia uneia dintre ele este i solu iaceleilalte. &eorema nu sta'ilete dac aceste pro'leme au soluie. )ai mult, esteposi'il s nu avem soluie pentru pro'lema formulat.


13/78


14/78


15/78

1.Metoda Ritz

Creatorul

metodei directe clasice este considerat matematicianul el$e&ian

9) 5itz /3;-3n .


16/78

+vident u- d, pentru

orice

u >n)

Aadar, dac funciile i/"0 ,i =

3, n

,

formeaz o 'az a

su'spaiului >n, atunci vom cuta soluia apro"imativ su' forma


17/78

ntroducere (n metoda elementului finit

n

u/"0=cii/"0,

i=3

numerele reale

c3,c1, ... ,cn, urm/nd a fi determinate. 0nlocuindu dat de (n

funcionala ,

rezult u- ! c3, c1, ...,

cn-i deci pro'lema minimizrii

funcionalei

este (nlocuit cu pro'lema

determinrii e"tremelor funciei

: RnR. De remarcat c cele dou pro'leme nu sunt ec$ivalente, deoarece s*a

trecut de la funcionala la funcia , prin intermediul funciilor 3, 1, ..., n,

iar alegerea acestora este la dispoziia noastr1 eficiena acestei metode, care semai numete i metoda 5a?leigh-5itz, depinde (n mare msur de alegerea

funciilor 3, 1, ... , n. 2alorile parametrilor c3, c1, ... ,cnse determin, dup cum

se cunoate, din sistemul de ecuaii

3

=. , i=


18/78

,

3, n

ci

adic

n

F c

ci


19/78

4=3

44 =. , i=3, n .

0n seciunile urmtoare, vom arta pe e"emple concrete, cum se aleg

funciile 3, ... , n.

0n continuare, vom prezenta metoda 5a6leig$*5itz ca metod de cea mai 'unapro"imare 7(n energie8. Fie +un su'spaiu dens al unui spaiu Hil'ert , iarA :+ un operator liniar, simetrici pozitiv definit. Presupunem c

pentru un

' dat, ecuaia Au 6 '

admite o soluie unic u. +. Fiind dat un

su'spaiu

n*dimensional >n +,

vrem

s apro"imm soluia

prin un >n,

9 n=%p( {3,))),n}). Deci cutmun6 c334 ))) 4 cnn

astfel ca

u.un


20/78

s

fie mic. 0n ipotezele formulate asupra operatorului A,

vom defini un produs

scalar, numit 7produs energie8 (n

+,

astfel


21/78

u,vA=Au,v

,

iar

uA= Au,u .

2om nota cu A completatul lui

+ (n raport cu norma

A. %paiul


22/78

Ase numetespa&iul energetic al operatoruluiA. onform &eoremei ;, e"isti

este unic un element un>n, element de cea mai 'un apro"imaie, adic

u.un


23/78

A=min

u.v

A.


24/78


25/78

v 9n

Definiia)

=ectorul

unic un

cu

proprietatea /1@0 se

numete apro#imanta

5a?leigh-5itz a solu&iei

u. dup subspa&iul 'init dimensional

>n)

Dac

9 n=%p( {3,))),n}),


26/78

atunci apro"imanta 5a6leig$*5itz a soluiei

u.a ecuaiei

Au 6 ' este datde

un6 c334 ))) 4 cnn)

Fie funcia


27/78

gc , c

, ... ,c

n

-!

u

n

u

1 .


28/78

3

1


29/78

.

A


30/78

Determinm

c3, ..., cn-

punctul de minim al funciei g.

Deoarece

g/c3,))),cn0=A/un

u.0,unu.

n

n


31/78

Ai,4 1ci

f ,i+

= cic4

i=34=3


32/78

din condiiile

+

Au.,u. ,


33/78

g


34/78

=. ,

i =

,

3, n


35/78

ci


36/78

rezult c

c3, ... ,cn

sunt soluii ale sistemului liniar

n

i,4

c4= f ,i

,


37/78

i =3,n,

A


38/78

4=3


39/78


40/78

sistem care s*ar putea o'ine direct din ;


41/78

varia'ilele independente,

de

e"emplu #3,

iar funciile i sunt funcii de

varia'ilele rmase,

#1, ... ,#m,

adic

n

u/"3,))),"m0=i/"30i/"1,))),"m0. i=3

Aceast metod se leag de numele matematicianului rus >. 2. 9antorovici i stla 'aza metodei elementului finit de rezolvare a pro'lemelor nestaionaredependente de timp-.

Exemplul

)

Fie

? =(" ,6)D


42/78

E

. % aplicm metoda lui

1

1

9antorovici la rezolvarea apro"imativ a ecuaiei

1u

+


43/78

1u

=1,

"1

61


44/78

care satisface condiiile la limit


45/78

ntroducere (n metoda elementului finit

=. ,

"

,


46/78

u ",


47/78

1

1


48/78


49/78

= .,

6

)


50/78

u

1

,6


51/78

1

>n, su'spaiul funciilor de un singur


52/78

%e alege ca su'spaiu apro"imant

argument

?, care conform ;@- satisfac


53/78


54/78

i

=. , i=3, n .

1

=

i


55/78

1

%oluia apro"imativ se caut de forma

n


56/78

u/",60=i/"0i/60,

i=3


57/78

unde funciile

i

, i=

, se determin astfel ca u s minimizeze funcionala

3, n

corespunztoare pro'lemei date. 0n acest caz

u

1

F /u0=


58/78

"

+

?

in/nd seama de ;B-, avem

u

1

+@

d" d6 .


59/78

6

1

F /u0=/3,1,))),n0d" =C /3,1,))),n0,

1

unde

n n

1

33,1,...,n- = i4

i=34=3

D

1


60/78

n

1

+ i

@id6)

i=3

1

d i

d 4

d6 +

d i

d 6

d 6

d "

d 4

D

1

i4 d6 E+

d "

D

1


61/78

Deoarece funciile i , i =3,n , sunt cunoscute, integralele (n ;E- se pot

calcula e"act. %e

pune deci pro'lema determinrii e"tremalelor funcionalei

C /3,1,))),n0.

onform unui rezultat clasic de calcul variaional, coeficienii

i , i=3, n sunt dai de sistemul +uler*>agrange

3

d


62/78

3

=. , i=3, n .

i

d"


63/78

i


64/78

0n consecin

funciile necunoscute i , i =

,

care apar (n soluia

3, n

apro"imativ ;B-, se o'in din sistemul de ecuaii difereniale

n

4di4)='i


65/78

(4ci4

,

i =3,n

,


66/78

4=3

unde


67/78

d4


68/78

ci4=

1

d

i

1

1

,


69/78

d6 ,

di4=

i4d6 , 'i=

1id6

d6

d6


70/78


71/78

1

1

1

cu condiiile


72/78


73/78


74/78

=. , i=3, n.


75/78

i

= i

1

1


76/78

0n general, metoda semidiscret se poate aplica cu condiia ca pro'lemaunidimensional s poat fi rezolvat nemi4locit i e"act.

. Metoda celor mai mici !trateeste o metodmatematicde a ob ine o

solu ie a unui sistem de ecua ii supradeterminat, adic care are mai

multe ecua ii dec%t necunoscute)ele mai mici ptrate(nseamn c solu ia ob inut

minimizeaz suma ptratelor abaterilor 'a de $alorile ecua iilor)

Cea mai important aplica ie este determinarea coe'icien ilor unei 'unc ii

matematice care apro#imeaz c%t mai bine un set de date) Aceast cea mai bun

apro#ima ie minimizeaz ptratele abaterilor dintre $alorile date i cele calculate cu

aFutorul 'unc iei respecti$e)

G#ist dou $ariante a metodei celor mai mici ptrate:

)etoda liniar a celor mai mici ptrate, care rezol$ probleme bazate pe

sisteme de ecua ii liniare) Hn e#emplu de ast'el de aplica ie este regresia

liniar,mult 'olosit (nstatistic i (n prelucrarea datelor e#perimentale)

5ezol$area sistemului de ecua ii rezultat se 'ace de obicei prin metode directe)

)etoda neliniar a celor mai mici ptrate, care rezol$ probleme bazate pe

sisteme de ecua ii neliniare) 5ezol$area sistemului de ecua ii rezultat se 'ace de

obicei prin metode iterati$e, la 'iecare itera ie 'olosindu-se (ns o liniarizare)

Ietoda a 'ost elaborat pentru prima dat de Carl riedrich "auss(n Furul

anului 3;


77/78

ormularea problemei

Obiecti$ul const (n aFustarea coe'icien ilor 'unc iei model/'unc ia de apro#imare0

ast'el ca s se potri$easc cel mai bine cu setul de date) Hn set de date const dee#emplu dinnpuncte /perechi de $alori0 , i6 3, ))),n, unde este $ariabila

independent, iar este $ariabila dependent, a crei $alori au 'ost ob inute

e#perimental) unc ia model are 'orma , care are mparametri/coe'icien i0,

plasa i (n $ectorul ) Scopul este de a gsi $alorile parametrilor ast'el (nc%t $alorile

calculate cu aFutorul 'unc iei model s se potri$easc cel mai bine cu $alorile

e#perimentale) Solu ia optim con'orm metodei celor mai mici ptrate este atunci c%nd

suma a ptratelor reziduurilor

este minim)5eziduuleste abaterea /di'eren a0 (ntre $aloarea $ariabilei dependente

i $aloarea dat de 'unc ia model:

Hn e#emplu de 'unc ie model este o linie dreapt) Consider%nd ordonata la

origine i panta , 'unc ia model este )

Hn punct poate 'i (n 'unc ie de mai multe $ariabile independente i

dependente) +e e#emplu, dac 'unc ia model este un plan care apro#imeaz o

serie de (nl imi / z0 msurate, acest plan este (n 'unc ie de dou $ariabile, s

zicem" i 6) Analog se pot da e#emple cu mai multe $ariabile dependente)

Rezolvarea problemei prin metoda celor mai mici ptrat[

Hn minim al unei 'unc ii /aici al sumei ptratelor abaterilor0 este acolo

unde deri$ata'unc iei se anuleaz) +eoarece 'unc ia model con ine mparametri, se $or

putea scrie mecua ii di'eren iale:

i deoarece ecua iile di'eren iale de$in:

Cele mecua ii cu mparametri /necunoscute0 'ormeaz un sistem de ecua ii determinat,

care, prin rezol$are, 'urnizeaz $alorile parametrilor)

iecare tip de prolem necesit propria sa 'unc ie model i propriile deri$ate ale acestei

'unc ii)
https://ro.wikipedia.org/wiki/Derivat%C4%83https://ro.wikipedia.org/wiki/Derivat%C4%83


78/78

@ Ietoda di'eren&elor 'initeeste una dintre cele mai $echi metodenumerice, dar este cunoscut ca a$%nd un randament limitat) *n cadrul acesteimetode, punctul de plecare este modelul, descris di'eren&ial, al 'enomenului

analizat, trans'ormat (n unul numeric prin utilizarea apro#imrii locale a$ariabilelor de c%mp) Ast'el, sistemul de ecua&ii di'eren&iale $alabil pentru orice

punct al domeniului de analizat se trans'orm (ntr-un sistem de ecua&ii algebriceliniar, $alabil numai pentru anumite puncte ale domeniului) 2unctele se ob&in cuaFutorul a dou sau trei 'amilii de drepte paralele cu a#ele sistemului de re'erin&)Aceast metod este limitat la calculul structurilor i 'enomenelor simple)

Bibliogra'ie:

3Jon 2a$aloiu-Interpolarea si aplicatiile ei

2.Metode numerice-Simina Maris

Documents

Metode Numerice in Calculul Variatilor