ABSTRAK

Pada penelitian ini telah dipelajari pengaruh penyetabil pada perilaku solusi permasalahan inversi medan terhambur dengan metode Newton Kantorovoich (NK). Medan terhambur terjadi karena gelombang mikro yang ditransmisi ke obyek mengalami difraksi. Persamaan integral medan terhambur ini berbentuk non linier dan berkondisi ill -possed. Dengan menggunakan metode Newton Kantrovoich akan diselesaikan persamaan integral non linier yang tidak dapat diinversi secara langsung. Untuk menyetabilkan kondisi pada metode NK, persamaan integral medan diberi penyetabil . Pada peneliti an ini akan diinvestigasi penggunaan metode penentu nilai penyetabil . Metode yang diamati adalah metode empirik. Metode ini diaplikasikan pada data dengan kontras homogen dan bikontras, dan juga data dengan noise, dimana data-data tersebut diambil dari perhitungan komputer. Kemudian untuk menilai kualitas dari metode yang dipil ih dapat diketahui dengan melihat kualitas citra yang dihasilkan. Dari peneliti an didapatkan bahwa penyetabil dengan metode empirik lebih cepat mencapai kestabilan, begitu juga dengan kualitas citra yang dihasilkan, metode empirik lebih bagus dalam menghasilkan kualitas citra dibandingkan dengan penyetabil dengan bilangan konstan. Untuk pengaruh noise pada hasil rekonstruksi citra, didapatkan bahwa besar kecilnya data noise tidak berpengaruh terhadap kualitas citra. Kata kunci : parameter penyetabil , tomografi gelombang mikro, inversi medan terhambur

Latar Belakang Masalah

Sebelum teknologi tomografi gelombang mikro dikembangkan, dalam

dunia kedokteran digunakan sinar α untuk menggambar organ-organ bagian

dalam. Sumber (Source) yang digunakan pada proses ini sangat berbahaya bagi

tubuh, karena bahan yang digunakan mengandung unsur radioaktif dan dapat

menimbulkan efek radiasi pada tubuh. Selain itu, dari sudut pandang ekonomi

bahan yang digunakan sangat mahal harganya, sehingga tidak semua rumah sakit

dapat memanfaatkan teknologi ini. Dengan semakin majunya teknologi,

belakangan ini telah ditemukan suatu cara pencitraan bagian dalam organ tubuh

yang aman tanpa menimbulkan efek radiasi, yaitu dengan ditemukannya sistem

tomografi dengan menggunakan gelombang mikro sebagai sumber. Pengertian

tomografi menurut Sternheim (1991 : 641) “Tomography is a procedure that

produces an image of a slice of an object” . Maksudnya, tomografi adalah suatu

proses yang dapat menghasilkan citra suatu obyek. Kemudian dengan

memanfaatkan gelombang mikro dikenal adanya Microwave Tomography System

(MTS) dimana dengan menggunakan sistem ini maka rekonstruksi distribusi

bahan-bahan dielektrik pada suatu obyek dapat dilakukan dengan aman. Dengan

MTS distribusi bahan dielektrik (dielectric properties) dalam tubuh tersebut dapat

direkonstruksi sehingga akan dihasilkan suatu citra. Adapun bahan dielektrik yang

ada pada tubuh tersebut dipengaruhi oleh kondisi psikologis obyek, seperti :

1. Konsentrasi Ion.

2. Konsentrasi Zat Cair, dan

3. Suhu

Ketiga unsur tersebut mempunyai tingkatan yang berbeda-beda pada setiap organ

dalam setiap keadaan, dalam arti pada salah satu organ pada bagian tertentu

memiliki konsentrasi ion, konsentrasi zat cair dan suhu yang berbeda-beda.

Kondisi ini dimanfaatkan oleh MTS dalam menampilkan suatu citra.

Telah disebutkan di atas bahwa MTS menggunakan gelombang mikro

sebagai sumber. Adapun pengertian dari gelombang secara umum menurut

Sutrisno; “Gelombang adalah suatu gangguan yang menjalar dalam suatu

medium” (Sutrisno, 1979 : 5).

Gelombang mikro merupakan gelombang dengan panjang gelombang

antara 0,1 mm hingga 1 cm (Beiser, 1997:258). Gelombang mikro yang muncul

dari sumber tersebut akan menjalar ke medium dan mengenai obyek. Gelombang

yang menjalar melalui suatu sel yang seukuran atau seorde akan memberikan

gejala penyebaran arah yang biasa disebut dengan difraksi. Ini merupakan ciri

khas dari gelombang elektromagnetik yang tidak dimiliki oleh partikel, karena

suatu partikel yang bergerak bebas jika melewati suatu celah tidak akan

mengalami perubahan arah.

Pada peneliti an ini obyek akan dibagi menjadi beberapa sel, semakin

banyak pembagian sel akan semakin halus citra yang dihasilkan, sebaliknya

semakin sedikit pembagian sel maka citra yang dihasilkan akan kasar. Penentuan

banyak sedikitnya sel dibatasi oleh panjang gelombang mikro. Dalam arti lebar

maksimal sel sebanding dengan panjang gelombang (λ), sehingga efek difraksi

seperti tersebut di atas tidak terlalu besar.

MTS memiliki kelebihan-kelebihan yang tidak didapatkan apabila proses

pencitraan menggunakan sinar α, kelebihan dari sistem ini antara lain :

1. tidak radioaktif (aman)

2. sensiti f terhadap kondisi tubuh.

3. bahan yang digunakan murah (terjangkau).

Dengan mempertimbangkan kelebihan-kelebihan yang ada pada MTS

seperti yang telah disebutkan di atas, menjadikan masalah ini banyak

mendapatkan perhatian para ahli , sehingga tidak sedikit para ahli yang meneliti

permasalahan inversi medan terhambur pada pencitraan dengan menggunakan

gelombang mikro.

Permasalahan

Dengan metode NK permasalahan inversi hamburan dapat diselesaikan,

akan tetapi solusi yang ditawarkan masih belum bisa diaplikasikan pada dunia

medis dan industri, hal ini disebabkan solusinya tidak stabil atau berubah-ubah.

Dengan digunakannya penyetabil maka solusi yang dihasilkan akan stabil , akan

tetapi masalah yang timbul kemudian yaitu apabila nilai penyetabil yang diberikan

terlalu besar dibandingkan data yang ada, maka solusinya stabil tetapi solusi

menjadi jauh atau menutupi data asli , dan jika penyetabil yang diberikan terlalu

kecil , maka solusi yang dihasilkan menjadi tidak stabil .

Kemudian yang menjadi permasalahan adalah bagaimana cara menentukan

nilai penyetabil yang tepat yang digunakan untuk menyelesaikan kondisi il l

possed tersebut ?

Untuk menentukan nilai penyetabil yang tepat, digunakan metode empirik,

kemudian bagaimana efektivitas dan efesiensi metode tersebut ketika diberi data

dengan dan tanpa noise dari obyek yang mempunyai distribusi kontras homogen

dan bikontras. Hal ini merupakan permasalahan utama dalam skripsi ini.

Tujuan

Dari permasalahan di atas maka peneliti an ini mempunyai tujuan sebagai

berikut :

1. Mempelajari cara menentukan nilai penyetabil yang tepat guna menyelesaikan

permasalahan inversi medan terhambur pada citra gelombang mikro.

2. Investigasi cara menentukan parameter penyetabil guna menyelesaikan

persamaan inversi medan terhambur pada metode NK.

3. Mempelajari pengaruh noise dan kontras pada citra gelombang mikro dengan

menggunakan nilai penyetabil yang dipil ih.

Manfaat

Peneliti an ini akan sangat berguna sebagai tambahan wawasan untuk

kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi. Lebih khusus lagi dapat memberikan

solusi permasalahan inversi medan terhambur pada citra gelombang mikro,

dengan menentukan nilai penyetabil yang tepat, sehingga diharapkan citra

gelombang mikro dapat diaplikasikan pada dunia medis dan industri.

Tinjauan Pustaka

Pencitraan obyek dengan menggunakan metode tomografi gelombang

mikro pada dasarnya adalah merekonstruksi distribusi bahan dielektrik dari suatu

obyek. Rekonstruksi ini dilakukan dengan cara menginverskan data terhambur di

sekitar obyek.

Data terhambur merupakan data yang diperoleh dari efek terjadinya

difraksi. Difraksi pada permasalahan ini timbul karena gelombang mikro yang

dipancarkan dari sumber gelombang menumbuk obyek, dimana panjang

gelombang dari gelombang mikro tersebut seorde dengan lebar sel obyek. Karena

pengaruh dari difraksi, maka integral medan terhambur menjadi non linier,

sehingga mengakibatkan kondisi ill possed. Kondisi ini merupakan pokok

permasalahan inversi medan terhambur.

Untuk mempermudah pembahasan, pada penelitian ini mengambil sebuah

obyek yang terdiri dari benda (D) yang dikelilingi medium eksterior (D0) seperti

tampak pada Gambar 2.1 di bawah ini.

Gambar 2.1. Obyek penelitian

Persamaan Gelombang

Seperti yang telah disebutkan di atas bahwa gelombang mikro menumbuk

obyek yang tampak pada Gambar 2.1, sehingga gelombang mikro terdifraksi,

kemudian medan elektromagnetik di sekelil ing obyek yang timbul akibat

pengaruh dari tumbukan tadi dapat dicari solusinya dengan menggunakan

persamaan Maxwell . Secara umum persamaan gelombang yang menumbuk

sebuah obyek pada charge free medium (daerah tanpa muatan listrik) menurut

Balanis (Balanis, 1989:104) dapat dituliskan sebagai berikut :

( ) s22 Jjk ϖµ=Ε+∇ (2.1)

dan telah diketahi bahwa pada daerah tanpa muatan listrik 0._

=∇ D (Balanis,

1989:104).

Dimana :

∇2 : Tetapan Laplace

k = k0n : Bilangan gelombang di dalam medium

0

21

000�2�

c)�( �k === ϖϖ : Bilangan gelombang pada ruang hampa.

λ0 : Panjang gelombang pada ruang hampa.

n = ( µrεr )1/2 = √εr untuk µr = 1 : indek refraksi medium.

SJ_

: Rapat arus sumber.

D

D0

D

Kemudian persamaan gelombang untuk medan magnet dapat dituliskan sebagai

berikut :

sJxHk −∇=+∇ )( 22 , (2.2)

Pada sumber free region (ruang bebas) dimana 0=sJ , persamaan

gelombang menjadi :

0)(_

22 =+∇ Ek (2.3)

0)(_

22 =+∇ Hk . (2.4)

Permasalahan pada Medan di Sekitar Obyek

Dengan berpijak pada persamaan-persamaan gelombang dua dimensi

tersebut di atas, maka solusi persamaan Maxwell pada medan disekitar obyek

untuk medium dielektrik bisa dijabarkan dengan menggunakan Jt seperti yang

telah dituliskan oleh Balanis ( Balanis, 1989:104 ) sebagai berikut :

H�j�

x 0ϖ−=∇ (2.5)

0�jHx ϖ=∇ (2.6)

( )E1��jJ r0eq −= ϖ . (2.7)

Jt = Rapat arus total

Kemudian total medan listrik pada titi k r (Ez(r)) adalah jumlah total medan

incident (medan datang) (EI) dengan medan terhambur (Ezs)

)()()(___

rErErE zSzlz += (2.8)

dan Ezs dapat dicari dengan

∫−=D

eqzS dDrJrrGjrE ')()',()(____

0

_

ϖµ (2.9)

dimana

dD’ = dr’dθ’

)(4

1)',( '0

)2(0

__

rrkHjrrG ρ−= = fungsi Green

'' rrrr −=ρ

Guna mempermudah penyelesaian permasalahan medan di sekitar obyek

di atas maka persamaan (2.7) dan (2.9) disubstitusikan ke persamaan (2.8),

sehingga akhirnya diperoleh :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dD''r�

r'

r'r,Gkr

r

sr

D

20ZIZ ∫+= (2.10)

dimana

( ) ( ) 1−= ∗ rr εξ merupakan kontras dielektrik.

Pada persamaan (2.10) terdapat variabel kontras pada titi k r yang

dinotasikan ξ(r). Adapun definisi kontras adalah selisih relatif dielektrik benda

dengan medium eksterior :

0

0

ξξξξ −

= b .

Indek medan listrik total pada titi k r (z) pada persamaan (2.10) tersebut di

atas dihilangkan guna mempermudah penulisan lebih lanjut. Selanjutnya

persamaan (2.10) tersebut sukar diselesaikan karena non linier (Francois, 1997),

sehingga menyebabkan medan listrik terhambur (Ezs) belum dapat dicari

solusinya, dan secara otomatis bahan dielektrik obyek belum dapat direkonstruksi.

Richmond (Richmond, 1965) memberikan solusi diskrit untuk

menyelesaikan permasalahan medan di sekitar obyek, yaitu dengan cara mencacah

obyek (D) dalam N sel, sehingga medan lisrik dan konstanta dielektrik dapat

dianggap konstan pada setiap selnya. En dinotasikan sebagai medan listrik dan ξn

sebagai konstanta dielektrik dari sel n, sehingga persamaan (2.10) yang ada pada

posisi tengah dari sel n adalah sebagai berikut :

∑=

−=N

nnnnnInn ECEE

1''''ξ (2.11a)

Dimana jika n≠n’

)()(2 '0

)2(0'01

'0' nnn

nnn kHakj

akjC ρπ

= (2.11b)

dan jika n=n’

−=

ππ j

akHakj

C nnnn

2)(

2 '0)2(

1'0' (2.11c)

sama dengan persamaan (2.11.a) hubungan antara total medan di titi k observasi

(m) dan total medan didalam obyek pada tiap-tiap sel (N) dapat di tulis seperti di

bawah ini :

∑=

−=N

nnnmnm ECEE

1''''Im ξ (2.12)

dimana

)()(2 '0

)2(0'01

'0' mnn

nmn kHakj

akjC ρπ= (2.13)

sehingga total medan terhambur pada antena ke-m, dapat ditulis sebagai berikut :

∑=

−=N

nnnmnSm ECE

1''''ξ m=1,2…M. (2.14)

Dari persamaan-persamaan di atas jika nilai kontras (ξ) diketahui, maka

medan terhambur dapat ditentukan (Es). Akan tetapi dalam prakteknya nilai

kontras tidak diberikan, medan terhambur (Es) dapat diukur. Oleh karena itu perlu

metode inversi, namun karena persamaan (2.14) tersebut berada pada kondisi ill

possed maka inversi akan mengalami : 1) tidak ada solusi ; 2) solusi ganda ; dan

3) solusi yang dihasilkan sensiti f. Untuk menyelesaikan permasalahan ini

digunakan metode Newton Kantrovoich yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan permasalahan inversi tersebut.

Metode Newton Kantorovoich

Untuk menyelesaikan permasalahan di atas diperlukan sebuah operator D.

Dengan meninjau hubungan antara Es dengan ξ maka dapat dituliskan sebagai

berikut :

Es = D .ξ (2.15)

D merupakan operator integral medan, dengan operator ini pendekatan yang

dilakukan oleh Richmond (Richmond, 1965) dapat dikuantisasi secara diskrit,

dimana kontras (ξ) adalah variabel yang tidak diketahui. Dari sini maka komputer

mutlak diperlukan untuk menyelesaikannya. Solusi permasalahan inversi

bertujuan mendapatkan ξ dari Es, sayangnya permasalahan tersebut tidak dapat

diinversi. Artinya tidak bisa mendapatkan ξ dengan cara menginverskan D secara

langsung. Untuk mendapatkan fungsi ξ, digunakan metode Newton Kantrovoich,

yang merupakan generalisasi dari metode newton. Dalam metode tersebut Es yang

didapatkan dari hasil pengukuran dan ξ0 yang merupakan nilai dugaan awal

digunakan untuk mencari ∆ξ, sehingga akan didapatkan persamaan berikut :

ξ0 + ∆ξ = ξ1 (2.16)

selanjutnya persamaan di atas Es dan ξ1 digunakan untuk menentukan ξ2 dengan

harapan ξξξξξξ −>−>− 210 , untuk lebih jelasnya dapat dil ihat pada

Gambar 2.2 di bawah ini.

Gambar 2.2 Skema Metode Newton Kantorovoich

)( 1210 ξξυ −=− DSS EE (2.17)

11 ξυDSE =

Dυ adalah diferensial dari D di titi k ξ, atau bisa juga disebut sebagai fungsi

“ tangen” D pada ξ. Dari sini dapat disimpulkan bahwa ada kaitan antara turunan

dari D dengan ξ. Kemudian akan dilakukan proses yang sama untuk mendapatkan

nilai ξ2, ξ3, …. ξn dengan harapan ξn sama dengan ξ yang sebenarnya.

Implementasi metode Newton Kantrovoich untuk menyelesaikan

permasalahan inversi telah dijabarkan oleh Franchois (Franchois, 1997).

Franchois menggunakan obyek berbentuk silinder yang dikelil ingi oleh medium

eskterior homogen. Obyek tersebut digambarkan pada sumbu x, y, dan z yang

dinotasikan dengan S. Medium eksterior yang digunakan disini adalah air.

ξ ξ0 ξ1 ξ ξ2

ES1

E S0

ES

Franchois mengasumsikan ketergantungan waktu e-iωt; permitivitas komplek ε

(r) obyek ( S ) pada titi k r(x,y) dinotasikan sebagai berikut :

ε (r) = ε’ (r) + iε’’ (r) (2.18)

dimana ε’ adalah permitivitas dielektrik, dan ε’’ sebanding dengan konduktivitas

(σ). Kemudian kontras yang telah diketahui relatif terhadap permitivitas komplek

dari medium eksterior (εext) diformulasikan sebagai berikut :

Srjikar

ext

ext ∈−ε

εε )(

ξ (r) = (2.19)

Srjika ∉0

Total medan yang juga memenuhi persamaan gelombang skalar dituliskan

sebagai berikut :

∫∫+=D

IS drrrGrErkrErE ')'.()'()'()()( 20ε (2.20)

Implementasi metode NK untuk menyelesaikan permasalahan inversi

seperti yang telah di uraiakan oleh Franchois di atas berbeda dengan yang

dilakukan oleh Belkebir ( Belkebir, 1997 ). Belkebir menggunakan operator non

linier D yang ditulis dalam persamaan dibawah ini :

nnmnSm EDE ξ= , m = 1… M, n = 1 … N (2.21)

Metode Newton Kantrovoich dapat digunakan untuk menyelesaikan

persamaan (2.21) di atas. Metode ini juga dapat mencari solusi permasalahan

inversi dengan melakukan proses iterasi. Pada setiap proses iterasi perkiraan nilai

fungsi obyek diformulakan sebagai berikut :

ξξξ ∆+= −1nn (2.22)

dimana ξ∆ adalah data tebaan, yang diperoleh dari hasil solusi permasalahan

inversi.

∑ ∑=

=

=

=

−=∆Nn

n

Nn

nSS

n EED1 1

')(ξ (2.23)

Dimana D adalah versi linier dari operator non linier yang menghubungkan medan

terhambur dengan fungsi obyek Nnn E.ξ . Sayangnya permasalahan dalam mencari

solusi pada persamaan (2.23) berkondisi il l possed, sehingga diperlukan

penyetabil untuk menyetabilkannya. Belkebir (Belkebir, 1997) menggunakan

Penyetabil Thikonov untuk menyelesaikan permasalahan ini.

( )'_#_

SS EEDIDD −=∆

+ ξα

dimana α adalah parameter penyetabil , I adalah matrik identitas, dan tanda #

adalah konjugat transpose.

2.2 Parameter Penyetabil

Telah disebutkan pada Bab I bahwa fungsi penyetabil adalah

menyetabilkan integral medan yang ada pada permasalahan inversi hamburan,

seperti yang dikatakan oleh Joachimovicz (Joachimovicz, 1991)

Strong value of parameter α stabil izes the inversion procedure. But it may cover up some information and decrease the spatial resolution. On the other hand, a low value of the regularization factor may effect the stabili ty and the converge of the iteration process. Therefore, one must look for somewhat delicate compromise. (Joachimovicz, 1991:).

Pada penelitian ini digunakan metode empirik untuk mencari nilai

penyetabil . Metode empirik mengontrol pada tahap inversi data non linier yang

menyebabkan kondisi ill possed agar tidak terjadi tingkat eror yang tinggi.

Metode Empirik

Nilai α dicari dengan menggunakan formula dibawah ini : ( Franchois,

1997 )

[ ] ( )2

2#

.meaS

meaSS

E

EE

N

DDtrace −=

ξβα (2.24)

dimana

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )∑=

=N

nnn

llDDDD

1

#

∑=

=N

nnn xxx

1

2

β adalah parameter empirik, dan tanda # adalah tanda konjugat komplek.

Nilai α proporsional dengan eror ∆ ES. Nilai matrik [ ] [ ][ ]DD# berfungsi

untuk menjembatani perbedaaan antara spektrum nilai eigen. Parameter β dapat

difungsikan sebagai penyetabil dari metode empirik, sesuai dengan proses

konvergen di bawah ini :

[ ] [ ] [ ]2221,0 old

SoldS

CS errEerrEerrE −<−⇔β

=newβ [ ] [ ] [ ] [ ]2222.1,01,0.5,0 old

SoldS

cS

oldS errEerrEerrEerrE ≤−≤−⇔β (2.25)

[ ] [ ] [ ]222.1,0.2 old

SoldS

cS errEerrEerrE >−⇔β

dimana

meaS

kS

meaS

SE

EEerrE

−= dan ( )∑

=

=N

nnn xxx

1

Parameter empirik pada penyetabil ini hasilnya adalah satu. Parameter

empirik ini akan bernilai setengah β new = 0,5β apabila proses konvergensinya

lambat atau ketika kenaikan erornya cepat. Parameter empirik β new ini akan

bernilai ganda apabila prosesnya divergen.

Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam peneliti an ini adalah metode simulasi.

Obyek yang akan diteli ti ditentukan sendiri dan data diperoleh dari perhitungan

komputer.

Obyek yang Diteliti

Obyek yang akan diteliti atau dicitrakan berbentuk kotak dua dimensi

seperti tampak pada Gambar 3.1

Gambar 3.1. Obyek yang direkonstruksi

Seperti tampak pada Gambar 3.1 bahwa dalam obyek terdapat benda dan

medium eksterior. Kemudian benda akan diberi kontras yang berbeda untuk

menguji kualitas citra yang dihasilkan dengan x ≠ y, dimana x = 3 (konstan) dan y

= 1 s/d 5.

Sebagai perbandingan pada peneli tian ini akan dicantumkan hasil

peneliti an para ahli dengan karakterisasi obyek yang berbeda-beda. Pertama dari

Joachomowicz, dia mencacah obyek yang akan direkonstruksi menjadi 21x 21 sel

dengan frekuensi kerja 100 MHz, diameter obyek 1 λ, kemudian dalam

aplikasinya pada dunia medis Joachimovicz juga memakai obyek dengan

karakterisasi : lebar 3,5 λ, obyek dicacah menjadi 11 x 11 sel, dengan panjang

obyek 8,5 cm dan lebar 6,5 cm (Joachimovicz, 1991). Peneliti selanjutnya yaitu

Belkebir yang menggunakan obyek dengan karakterisasi obyek dicacah menjadi

Benda (D)

Obyek

Medium eksterior (D0)

D X Y D X Y

17 x 17 sel, frekuensi kerja 7, 10 dan 13 GHz, diameter obyek 1 λ.

(Joachimowicz, 1991 : 1745).

Dengan mengacu pada obyek yang telah ditelit i oleh para ahli tersebut

maka pada penelitian ini agar lebih bervariasi obyek dicacah menjadi 12x12 sel

dengan panjang 8,5 cm, lebar 6,5 cm seperti tampak pada Gambar 3.2 di bawah

ini.

Gambar 3.2 Pencacahan obyek

Frekuensi Kerja

Seperti yang telah di tuliskan di atas bahwa Joachimowicz menggunakan

100 MHz sebagai frekuensi kerja, dan diameter sel 1 λ (Joachimovicz, 1991),

dalam peneliti an ini digunakan frekuensi dan diameter obyek yang sama yaitu 100

MHz dan 1λ secara berturut-turut.

Konfigurasi Antena

Pada peneliti an ini guna merekonstruksi obyek diperlukan antena sebagai

media untuk mengambil data proyeksi benda dalam bentuk integral medan

terhambur. Untuk merekonstruksi obyek tersebut digunakan 32 antena yang

diletakkan mengelil ingi obyek seperti tampak pada Gambar 3.3 di bawah ini.

8,5 cm

6,5 cm Y X

Gambar 3.3. Konfigurasi antena

Metode Simulasi Data

Data diambil dari nilai yang dihasilkan pada setiap proyeksi. Maksud dari

kata setiap proyeksi tersebut yaitu nilai yang dihasilkan pada saat satu antena

bertindak sebagai pemancar dan antena-antena yang lain bertindak sebagai

penerima seperti tampak pada Gambar 3.3. Untuk mendapatkan data keseluruhan

maka antena yang berfungsi sebagai pemancar akan digili r dari antena yang satu

ke antena yang lain, secara otomatis antena yang berfungsi sebagai penerima juga

akan bergili r sampai ke Rn.

Gambar 3.4. Nilai per proyeksi

T1

R1

Rn

R2

D X Y

Kemudian untuk mengetahui nilai-nilai yang dihasilkan pada tiap-tiap

proyeksi diperkenalkan variabel-variabel sebagai berikut :

- Antena-antena yang berfungsi sebagai penerima dinotasikan oleh R1 s/d Rn

yang akan menghasilkan vektor N.

- Antena-antena yang berfungsi sebagai pemancar dinotasikan oleh T1 s/d TM

yang menghasilkan matrik M

Sehingga total data yang didapatkan akan mempunyai bentuk matrik M X N.

Metode Menentukan Penyetabil

Untuk menentukan nilai penyetabil yang tepat akan digunakan metode

empirik. Secara umum formula yang digunakan adalah sebagai berikut :

( ) ( )[ ] ( )2

2

meaS

meaSS

ll

E

EE

N

DD −=

ξβα

dimana

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )∑=

=N

nnn

llDDDD

1

#

∑=

=N

nnn xxx

1

2

β adalah parameter empirik

Metode Merekonstruksi Citra

Data-data yang telah didapatkan akan dicari solusinya dengan

menggunakan metode Newton Kantrovoich, dengan menggunakan penyetabil .

Metode Pengujian Citra

Untuk menguji kualitas citra yang dihasilkan maka salah satunya

adalah dengan cara memberikan kontras. Oleh karena itu diperkenalkan

formula untuk relative mean square error (kuadrat rata-rata eror) sebagai

berikut

( ) ( )12

1

2

1

2/

∆= ∑∑

==

N

i

N

iks isiSerr

i = sel-sel

s = nilai kontras

kS∆ = selang antara data hasil rekonstruksi dan data terukur pada

langkah ke k.

Kemudian selain dengan kontras, pengujian kualitas citra juga dapat

dilakukan dengan memberikan noise. Efek dari noise pada citra dapat diketahui

dengan menambahkan sinyal pada bilangan real dan imaginer dari data integral

medan.

Signal to noise ratio S / N didefinisikan sebagai berikut :

S / N = 20 log (medan terhambur maksimal / kuadrat rata-rata noise)

(Joachimovicz, 1991).

Efek yang ditimbulkan oleh noise dan kontras pada citra akan ditampilkan dalam

bentuk grafik dengan menggunakan Bahasa Pemrograman Matlab.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Implementasi Penelitian

Obyek yang Disimulasi

Obyek yang akan direkonstruksi seperti tampak pada gambar di bawah ini

Gambar 4.1 Obyek yang akan direkonstruksi

Obyek yang akan direkonstruksi berbentuk kotak dua dimensi yang

dicacah menjadi 12 x 12 sel dan dikelilingi oleh 32 antena yang mengelil inginya.

Sebelum memulai proses rekonstruksi citra maka terlebih dahulu harus diketahui

koordinat dari masing-masing sel, posisi antena, dan jarak antar sel dengan

masing-masing antena yang mengeli lingi obyek. Selanjutnya dengan data-data

yang telah diperoleh tersebut obyek akan diuji dengan memberikan kontras

heterogen dan noise. Obyek dibagi menjadi dua bagian sama besar yang

disimbolkan dengan x dan y. x bernilai konstan dan y berubah-ubah.

Koordinat Sel

Posisi tengah pada tiap-tiap sel hasil cacahan obyek dapat ditentukan

dengan cara membagi lebar sel yang panjangnya 8,5 cm menjadi 12 sel, begitu

juga dengan lebar sel yang berukuran 6,5 cm dicacah menjadi 12 sel. Pencacahan

8,5 cm

6,5 cm D Y X

ini dilakukan dengan bantuan Matlab seperti tertulis pada listing program di

bawah ini :

function[X,Y]=koor(l,p,n); % program ini digunakan untuk menentukan koordinat titik tengah

% dari masing-masing sel dimana :

% l=lebar, p=panjang, n=jumlah cacahan kx=l/n; %pembagian lebar sel (6,5 m) menjadi 12. ky=p/n; % pembagian panjang sel (8,5) menjadi 12. i=-(n-1):2:(n-1); x=kx* i; y=ky* i; [X,Y]=meshgrid(x,y); X=X(:);Y=Y(:);

Dengan memasukkan

Lebar (l) = 8,5 : 2 = 4,25

Panjang (p) = 6,5 : 2 = 3,25

Jumlah cacahan (n) = 12

Dari nilai yang telah dimasukkan pada listing program di atasmaka akan

dapat diketahui koordinat titik tengah pada masing-masing sel. Telah dicantumkan

pada peneliti an ini obyek dicacah menjadi 12 x 12 sehingga dari l isting program

di atasakan dihasilkan data yang berukuran 144 x 1.

Koordinat Antena

Untuk menentukan posisi antena, dalam penelitian ini digunakan function

posant seperti yang tertulis pada listing program di bawah ini :

function[XA,YA]=posant(m,r); % program ini digunakan untuk menentukan koordinat % / posisi antena yang mengeli lingi obyek. theta=2*pi/m; sudut=(0:1:(m-1))* theta; %menentukan besarnya sudut dari posisi antena XA=r*sin(sudut); %posisi antena pada sumbu x YA=r*cos(sudut); %posisi antena pada sumbu y XA=XA(:);YA=YA(:);

Dari li sting program di atasakan dapat diketahui posisi antena yang

mengelil ingi obyek, dengan ukuran 32 x 1.

Jarak Antar Sel dan Jarak Sel dengan Antena

Sebelum memulai proses pencitraan terlebih dahulu harus diketahui jarak

antara sel dengan sel dan jarak antara tiap-tiap sel dengan tiap-tiap antena.

Dimana data-data tersebut akan digunakan untuk mencari medan terhambur

seperti tampak pada persamaan 2.11a.

Berikut listing program yang digunakan untuk menentukan jarak antar sel

dan jarak antar sel dengan masing-masing antena.

function[ rn1,rm]=jarak(l,p,n,m,r); % program ini digunakan untuk mencari jarak antar sel dan % jarak sel dengan antena [X,Y]=feval('koor',l,p,n); % untuk mengambil data yang ada

pada % function koor [XA,YA] =feval('posant',m,r); % untuk mengambil data yang ada

pada % function posant

X0=meshgrid(X); Y0=meshgrid(Y); X1=X0'; Y1=Y0'; XX=X0-X1; YY=Y0-Y1; rn=sqrt(XX.̂ 2+YY.̂ 2); %jarak antar sel. rn1=rn+eye(144); [Xnm0,XAnm]=meshgrid(X,XA); [Ynm0,YAnm]=meshgrid(Y,YA); Xnm=Xnm0-XAnm; Ynm=Ynm0-YAnm; rm=sqrt(Xnm.^2+Ynm.^2); %jarak sel dengan antena

Kemudian untuk mencari nilai cnn, cnn0 dan cmn seperti yang dirumuskan pada

Bab II sebagai berikut :

n<>n’

)()(2 '0

)2(0'01

'0' nnn

nnn kHakj

akjC ρπ=

ji ka n=n’

−=

ππ j

akHakj

C nnnn

2)(

2 '0)2(

1'0'

kemudian untuk jarak sel dengan antena dirumuskan sebagai berikut

)()(2 '0

)2(0'01

'0' mnn

nmn kHakj

akjC ρπ=

dengan bantuan Matlab rumus tersebut dapat dituliskan sebagai berikut

cnn=j*pi*k0*an/2* j1=besselj(1, k0*an)* besselH(0,2, k0*rn1); cmn=(j*pi* k0*an)/2*besselj (1, k0*an)* besselH(0,2, k0*rm); cnn0=j*pi/2*[k0*an*besselH(1,2, k0*an)-2* j/pi] ;

Listing program di atasakan menghasilkan data untuk jarak antar sel yang

berukuran 144 x 144, kemudian untuk jarak sel dengan tiap antena yang

berukuran 32x144.

Cara Merekonstruksi Citra Tomografi

Untuk merekonstruksi citra terlebih dahulu akan ditentukan medan internal

total Ek dengan rumus sebagai berikut :

Ek=inv(eye(144,144)+psi*cnnN)*Ei; % [ ][ ][ ] [ ]i

1knn'

k E�

C1E−

+=

Kemudian data tersebut digunakan untuk memperkirakan medan hamburan :

Esu=-cmn*psi*Ek; % [ ][ ] [ ]kkmn

ks ECE

1

'

−−= ξ

Selanjutnya memperhitungkan kesalahan antara medan penghamburan dan medan

pengukuran. Karena pada iterasi pertama medan penghamburan (Esh) = 0, maka

Sel = Esu % selisih = Esu

Kemudian selisih (sel) tersebut akan digunakan untuk menentukan selisih kontras

(∆ξ) sebagai berikut :

delpsi=inv(conj(D')*D+0.0000000000001*eye(144,144))*conj(D')*Esu;

% [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]sEDIDD ∆+=∆− #1# αξ

(∆ξ) akan dicitrakan dengan bantuan Matlab. Dalam bahasa Matlab hasil

rekonstruksi dapat digambarkan dengan perintah :

pcolor (reshape(real(psi0)12,12)

% mencitrakan obyek dengan cara dil ihat dari permukaan

(∆ξ) yang didapatkan akan dimasukkan kembali pada proses pertama, yaitu pada

saat menentukan Ek, yang disebut dengan iterasi ke-2. proses ini akan berlangsung

secara berulang-ulang.

Pada proses penentuan ∆ξ terdapat variabel α (penyetabil ). Pada peneliti an

ini akan diuji metode penentu penyetabil , yaitu metode empirik dibandingkan

dengan bilangan konstan dengan nilai 0,0000000000001.

Rekonstruksi Citra dengan Kontras Heterogen

Obyek dengan Nilai Kontras x = 3 dan y = 1

Obyek yang akan direkonstruksi tampak seperti gambar di bawah ini :

(a) (b)

Gambar 4.2 : (a) Obyek dengan Kontras x = 3, y = 1 pada bagian real , (b) pada bagian imaginer

Dengan bantuan Matlab maka hasil rekonstruksi obyek dengan menggunakan

Penyetabil bilangan konstan dan Metode Empirik dengan kontras x = 3 dan y = 1

adalah sebagai berikut :

Bilangan Konstan Metode Empirik

Iterasi Pertama

Iterasi ke-2

Iterasi ke-4

Gambar 4.3. Hasil rekonstruksi obyek dengan kontras x = 3 dan y = 1 pada bagian real

Bilangan Konstan Metode Empirik

Iterasi Pertama

Iterasi ke-2

Iterasi ke-4

Gambar 4.4 Hasil rekonstruksi obyek dengan kontras x = 3 dan y = 1 pada bagian imaginer

Dari hasil rekonstruksi obyek tersebut di atasakan didapatkan Grafik Eror

pada Gambar 4.5 (a), (b) (c) dan (d) di bawah ini :

(a) (b)

(c) (d)

Gambar 4.5 : (a) Grafik eror citra dengan penyetabil bilangan konstan, dan (b) menggunakan metode empirik, (c) grafik eror data dengan penyetabil bilangan konstan dan (d) menggunakan metode empirik pada x = 3 dan y = 1

Dari Gambar 4.3, pada iterasi pertama antara penyetabil konstan dan

metode empirik tidak terdapat perbedaan yang signifikan. Untuk iterasi ke-2 mulai

kelihatan perbedaan, yaitu citra pada penyetabil dengan metode empirik sel-selnya

mulai menunjukkan perubahan mendekati obyek asli . Begitu juga pada iterasi ke-

4, sel-sel citra hasil rekonstruksi pada metode empirik semakin banyak yang

berubah mendekati citra obyek yang direkonstruksi, sedangkan penyetabil dengan

bilangan konstan juga berubah akan tetapi tidak sebanyak pada penyetabil dengan

metode empirik dan citra yang dihasilkan masih tampak pudar. Hal ini disebabkan

iterasi

Ero

r re

latif

iterasi E

ror

rela

tif

iterasi

Ero

r re

latif

iterasi

Ero

r re

latif

karena penyetabil dengan metode empirik akan berubah bernilai setengah dari

harga awal ji ka proses konvergensinya lambat. Jadi pada proses iterasi ke-2 s/d

ke-4 akan mengalami perubahan yang lebih banyak dibandingkan dengan

menggunakan penyetabil bilangan konstan.

Pada Gambar 4.4, hasil rekonstruksi obyek untuk bagian imaginer dengan

menggunakan penyetabil metode empirik, langsung terdapat perbedaan yang

mencolok pada proses iterasi ke-2. Yaitu sel-sel pada citra hasil rekonstruksi

sebagian besar sama dengan obyek asli . Sedangkan untuk penyetabil bilangan

konstan sampai i terasi ke-4 sebagian besar sel citra hasil rekonstruksi masih

banyak yang tidak sesuai dengan obyek asli . Hal ini juga disebabkan karena

prilaku penyetabil metode empirik terus melakukan perbaikan guna mempercepat

hasil yang konvergen.

Dari grafik eror citra dengan menggunakan penyetabil bilangan konstan

yang tampak pada Gambar 4.5 (a) dan (b), pada proses iterasi pertama eror citra

yang didapatkan bernilai 0,323. Nilai ini perlahan-lahan turun dan mulai stabil

pada proses iterasi ke-9 dengan nilai 0,291. Sedangkan eror citra dengan

menggunakan penyetabil metode empirik, pada iterasi pertama menunjukkan

angka 0,323 dan nilai ini langsung turun drastis pada proses iterasi ke-3 dengan

nilai 0,29. Nilai ini juga langsung turun pada proses iterasi ke-5 dengan nilai

0,285. Kemudian iterasi selanjutnya cenderung lebih stabil pada angka 0,281.

Untuk eror data baik penyetabil konstan maupun dengan metode empirik

yang tampak pada Gambar 4.5 (c) dan (d), tidak terdapat perbedaan yang

signifikan. Pada iterasi pertama penyetabil konstan bernilai 1, sama dengan

penyetabil metode empirik. Nilai ini langsung turun pada iterasi ke-2 dengan nilai

mendekati nol. Perbedaan kedua penyetabil ini terletak pada kecepatan mencapai

kestabilan. Penyetabil empirik mencapai kestabilan pada proses iterasi ke-4,

sedangkan penyetabil konstan pada iterasi ke-6.

4.2.1 Obyek dengan Nilai Kontras x = 3 dan y = 3

Untuk variasi kontras berikut yaitu dengan x = 3 dan y = 3, ini berarti

obyek yang akan direkonstruksi mempunyai kontras homogen. Untuk lebih

jelasnya obyek tersebut tampak pada Gambar 4.10 berikut :

(a) (b)

Gambar 4.10 : (a) Obyek dengan nilai kontras x = 3 dan y = 3 pada bagian real, (b) pada bagian imaginer

Hasil rekonstruksi obyek pada Gambar 4.10 tersebut adalah sebagai

berikut :

Bilangan Konstan Metode Empirik

Iterasi Pertama

Iterasi ke-2

Iterasi ke-4

Gambar 4.11 Hasil rekonstruksi obyek dengan kontras x = 3 dan y = 3 pada bagian real

Bilangan Konstan Metode Empirik

Iterasi Pertama

Iterasi ke-2

Iterasi ke-4

Gambar 4.12 Hasil rekonstruksi obyek dengan kontras x = 3 dan y = 3 pada bagian imaginer

Dari hasil rekonstruksi tersebut diatas, akan lebih sempurna hasilnya jika

mengetahui tingkat eror citra dan eror data yang ada pada grafik eror di bawah ini:

(a) (b)

(c) (d)

Gambar 4.13 : (a). Grafik eror citra dengan penyetabil bilangan konstan, dan (b) menggunakan metode empirik, (c) grafik eror data dengan penyetabil bilangan konstan dan (d) menggunakan metode empirik pada x = 3 dan y = 3

Hasil rekonstruksi obyek dengan kontras homogen pada Gambar 4.11

(pada bagian real), pada iterasi pertama kedua penyetabil menghasilkan citra yang

sama. Pada iterasi ke-2 penyetabil dengan mennggunakan metode empirik

sebagian besar sel citra hasil rekonstruksi sudah mulai memudar. Pada iterasi ke-4

sel-sel tersebut semakin memudar lagi. Ini berarti semakin mendekati obyek asli .

Sedangkan dengan penyetabil konstan pada iterasi pertama, ke-2 dan ke-4 hanya

iterasi

Ero

r re

latif

iterasi

Ero

r re

latif

iterasi

Ero

r re

latif

iterasi

Ero

r re

latif

beberapa sel saja yang memudar. Hal ini disebabkan karena penyetabil dengan

metode empirik selalu memperbaiki kualitas citra dengan merubah nilai

penyetabil tersebut sesuai dengan hasil rekonstruksi. Hal inilah yang

menyebabkan mengapa pada iterasi pertama citra yang dihasilkan antara

penyetabil konstan dan metode empirik sama, sedangkan pada iterasi kedua dan

keempat perubahan sel-sel hasil rekonstruksi yang terjadi pada penyetabil metode

empirik lebih banyak yang memudar dibandingkan dengan penyetabil bilangan

konstan. Penyetabil bilangan konstan sel-sel hasil rekonstruksi yang dihasilkan

berubah sedikit demi sedikit.

Begitu juga dengan hasil rekonstruksi pada bagian imaginer yang tampak

pada Gambar 4.12, pada iterasi pertama kedua penyetabil menghasilkan citra yang

sama. Akan tetapi pada iterasi ke-2 sudah kelihatan perbedaan antara kedua

penyetabil . Penyetabil konstan, citra yang dihasilkan pada iterasi ke-2 tidak begitu

banyak perbedaan dengan iterasi pertama, hanya beberapa sel saja yang berubah

mendekati obyek asli. Sedangkan penyetabil dengan metode empirik, pada iterasi

ke-2 sebagian besar sel langsung berubah mendekati obyek asli , dan perubahan ini

lebih banyak lagi pada iterasi ke-4. Penyetabil konstan, pada iterasi ke-4 juga

tidak mengalami banyak perubahan jika dibandingkan dengan iterasi ke-2. Hal ini

disebabkan karena pada penyetabil konstan, nilai penyetabilnya tidak berubah

walaupun citra yang dihasilkan semakin mendekati konvergen, sehingga

mengakibatkan perubahan pada setiap iterasinya tidak begitu banyak. Sedangkan

penyetabil dengan metode empirik, nilai penyetabilnya akan berubah setengah

dari nilai awal ketika prosesnya mulai mendekati konvergen, pada iterasi ke-2

prosesnya sudah mulai mendekati konvergen, sehingga nilai penyetabilnya juga

sudah berubah. Dengan perubahan ini mengakibatkan penyetabil dengan metode

empirik akan lebih cepat melakukan perbaikan kualitas citra ji ka dibandingkan

dengan penyetabil konstan. Hal inilah yang menyebabkan pada iterasi ke-4 jumlah

sel-sel yang berubah mendekati obyek asli pada penyetabil metode empirik jauh

lebih banyak jika dibandingkan dengan penyetabil bilangan konstan.

Kemudian dari Gambar 4.13 (a) dan (b) dapat diketahui eror citra hasil

rekonstruksi dengan penyetabil konstan dan penyetabil dengan menggunakan

metode empirik. Pada iterasi pertama kedua penyetabil menunjukkan eror citra

sebesar 0,026. Pada iterasi ke-2 penyetabil konstan berada pada nilai antara 0,019

s/d 0,02, sedangkan penyetabil metode empirik berada antara 0,018 s/d 0,02. Pada

iterasi ke-4 penyetabil konstan bernilai 0,0198, sedangkan penyetabil empirik

bernilai mendekati angka 0,016. Untuk grafik eror data pada Gambar 4.13 (c) dan (d), kedua penyetabil

tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan. Pada iterasi pertama kedua

penyetabil bernilai 1, dan iterasi ke-2 keduanya sudah hampir mendekati angka 0.

Rekonstruksi Citra dengan Noise.

Telah disebutkan pada Bab III, bahwa untuk pengujian kualitas citra selain

dengan variasi kontras, citra yang dihasilkan juga diberi noise. Besarnya nilai

noise yang diberikan didapatkan dengan cara Noise to Signal Ratio (SNR).

Dalam peneli tian ini pengujian kualitas citra dengan noise dilakukan pada

obyek dengan kontras heterogen dengan nilai x = 3 dan y = 1, yang diberi noise

dengan nilai 30, 40, dan 50. Obyek yang akan direkonstruksi sama dengan pada

Gambar 4.2. Hasil rekonstruksi dengan data noise tampak pada Gambar 4.22 dan

Gambar 4.23 di bawah ini :

Iterasi Pertama

Iterasi ke-2

Iterasi ke-4

(b)

Gambar 4.23 Hasil rekonstruksi citra dengan data noise 30 dB, 40 dB dan 50 dB

pada bagian imaginer

Dari hasil rekonstruksi diatas, selanjutnya akan ditampilkan grafik eror citra dan

eror data pada Gambar di bawah ini :

GRAFIK EROR

c

(a) (b)

Gambar 4.24 : (a) Grafik eror citra dan (b) grafik eror data yang diuji dengan data noise 30 dB (a) (b)

Gambar 4.25 : (a) Grafik eror citra dan (b) grafik eror data yang diuji dengan data noise 40 dB

(a) (b)

Gambar 4.26 : (a) Grafik eror citra dan (b) grafik eror data yang diuji dengan data noise 50 dB

iterasi

Ero

r re

latif

iterasi

Ero

r re

latif

iterasi

Ero

r re

latif

iterasi

Ero

r re

latif

iterasi

Ero

r re

latif

iterasi

Ero

r re

latif

Dari hasil rekonstruksi citra dengan data noise pada Gambar 4.22 dan

Gambar 4.23, dapat diketahui bahwa kualitas citra pada iterasi pertama sampai

dengan iterasi ke-4 dengan variasi data noise 30, 40 dan 50 dB tetap bagus, citra

yang dihasilkan tetap stabil . Hal ini berarti bahwa rekonstruksi citra dengan

menggunakan metode Newton Kantorovich tidak terpengaruh dengan besar

kecilnya data noise. Hal ini disebabkan karena nilai penyetabil yang digunakan

pada proses rekonstruksi tersebut sudah tepat sehingga walaupun diuji dengan

variasi data noise, ternyata citra yang dihasilkan sampai pada iterasi ke-4 kualitas

citra masih bagus.

Kemudian untuk mengetahui keakuratan penelit ian, dapat diketahui dari

grafik eror citra pada Gambar 4.24 (a) dan eror data (b) diatas. Dari grafik eror

relatif pada Gambar 4.24 (a) terlihat bahwa pada proses iterasi pertama

menunjukkan angka 0,323 nilai ini terus menurun sampai didapatkan angka yang

stabil pada iterasi ke-8 dengan nilai 0,291. Data tersebut tidak berubah untuk

rekonstruksi dengan data noise 30, 40 dan 50 dB. Sedangkan eror data pada

peneliti an ini pada iterasi pertama bernilai 1, kemudian pada iterasi ke-2 tingkat

eror datanya sudah menunjukkan angka mendekati 0.

Dari pembahasan di atasyang berkenaan dengan pengujian kualitas citra

dengan variasi data noise, dapat dirangkum pada tabel 4.2 berikut :

Tabel 4.2 Kualitas Citra Diuji dengan Variasi Data Noise

No Penguji

Kualitas Citra Variasi Noise

Kualitas Citra Hasil Rekonstruksi

1 Variasi Data Noise

30 dB

Tidak terpengaruh dengan besar kecilnya data noise.

2 Variasi Data Noise

40 dB Tidak terpengaruh dengan besar kecilnya data noise.

3 Variasi Data Noise

50 dB Tidak terpengaruh dengan besar kecilnya data noise.

KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan

Kesimpulan dari peneli tian ini yang berkenaan dengan parameter

penyetabil dalam metode Newton Kantorovich pada aplikasi permasalahan inversi

medan terhambur, dimana kualitas citra yang dihasilkan diuji dengan variasi

kontras dan noise adalah sebagai berikut.

1. Rekonstruksi obyek dengan variasi kontras, penyetabil dengan metode

empirik lebih cepat mencapai kestabilan dari penyetabil bilangan konstan.

2. Besar kecilnya nilai noise tidak berpengaruh terhadap kaulitas citra yang

dihasilkan.

3. Penyetabil dengan metode empirik lebih bagus dalam menghasilkan kualitas

citra dibandingkan dengan penyetabil bilangan konstan.

CITRA GELOMBANG MIKRO : PARAMETER PENYETABIL DALAM

METODE NEWTON KANTOROVICH PADA APLIKASI

PERMASALAHAN INVERSI MEDAN TERHAMBUR

MAKALAH

Disusun Oleh

ARIANTO WIDIATMOKO NIM. 971810201020

JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN

ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS JEMBER

2003

DAFTAR PUSTAKA Balanis Constantine A, 1998. “Advance Enginering Electromagnetics” , New

York, Wiley.

Beiser A, 1995. “Konsep Fisika Modern” , Jakarta, Erlangga. Franchois Ann, February 1997. Microwave Imaging-Complex Permittivity

Reconstruction with a Levenberg-Marquardt Method, “ IEEE Trans. Antennas Propagat” . Vol. 45. No. 2.

Freedman, 1996. “University Physics” , Addison-Wesley Publishing Company Inc,

USA. Joachimowicz, December 1991. Inverse Scattering: An Iterative Numerical

Method For Elekctromagnetic Imaging, IEEE Trans. Antennas Propagat. Vol. 39. No.12.

Belkebir Kamal, April 1997. Microwave Imaging-Location and Shape

Reconstruction from Multi frequency Scattering Data, IEEE Trans. Antennas Propagat. Vol. 45. No. 4.

Kenneth S, 1992. “Fisika Modern” , UI Press, Richmond J.H, 1965. Scattering by a Dielectric Cylinder of Arbitrary Cross

Section Shape, IEEE Trans Antennas Propagat. Vol AP 13. pp. 334-341. Roger A, March 1981. A Newton Kantorovich Algorithm Applied to an

Electromagnetic Inverse problem, IEEE Trans. Antennas Propagat. Vol. AP-29. No. 2.

Sternhem and Kane, 1991. “General Physics” , Hamilton Printing Company, USA. Sutrisno, 1984. “Fisika Dasar” , ITB Bandung, Bandung. Tjia M.O, 1994. ”Gelombang” , Solo, Dabara Publishers.