Metoda symboliczna (liczb zespolonych)

  • View
    226

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of Metoda symboliczna (liczb zespolonych)

  • Metoda symboliczna...

    2013 K.M.Gawrylczyk

    1/7

    Metoda symboliczna (liczb zespolonych)

    Postacie liczb zespolonych

    ( )j 2 2

    * * j

    j , , , acrtg

    cos , sin , j ,

    bz a b z z e z a b

    a

    a z b z z a b z z e

    = + = = + =

    = = = =

    Wzr Eulera

    j cos j sine = +

    Niektre dziaania na liczbach zespolonych

    ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    1 2

    1 2

    1 2 1 2 1 2

    j1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

    *11 1 2j 1 2 1 2 1 2 2 1

    2*2 2 22 2

    j

    e j

    je

    z z a a b b

    z z z z a a b b a b a b

    zz z z a a b b a b a b

    z z zz z

    +

    + = + + +

    = = + +

    + = = =

  • Metoda symboliczna...

    2013 K.M.Gawrylczyk

    2/7

    Pierwiastkowanie liczby zespolonej

    o360j

    1 ek

    nn nz z z+

    = =

    Pierwiastek kwadratowy:

    oj 180

    21,2 e , 0,1

    kz z z k

    + = = =

    Pierwiastek szecienny z 1

    oj 120

    33 31,2,3 e , 0,1,2

    kz z z k

    + = = =

  • Metoda symboliczna...

    2013 K.M.Gawrylczyk

    3/7

    Zastosowanie metody symbolicznej w teorii obwodw

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

    j

    j

    sin e cos j sin (wzr Eulera)

    Przeksztacenie odwrotne: sin Imag e

    t

    t

    t t t

    t

    +

    +

    + = + + +

    + =

    Przeksztacenie rwna do postaci symbolicznej

    na przykadzie obwodu RLC

    Chcemy wyznaczy napicie u(t) zasilajce obwd RLC, czyli jego Um oraz . Dany jest prd i(t) oraz wartoci elementw R,L,C:

    ( )

    m

    R L C

    m m m m

    ( ) sin

    ( ) ( ) ( ) ( )

    1sin sin sin sin

    2 2

    i t I t

    u t u t u t u t

    R I t L I t I t U tC

    =+ + =

    + + + = +

    Zamieniamy funkcje sinus na funkcje eksponencjalne:

    ( )j j jj 2 2m m m m

    j jj j j j j2 2m m m m

    j j j2 2

    j

    1e e e e

    1e e e e e e e

    e j, e j, upraszczamy e oraz dzielimy przez 2 :

    1j j e

    1j

    t ttt

    t t t t

    t

    R I L I I UC

    R I L I I UC

    R I L I I UC

    I R LC

    Z

    + +

    + + =

    + + =

    = =

    + =

    +

    je ,U U I Z U= = =

  • Metoda symboliczna...

    2013 K.M.Gawrylczyk

    4/7

    Prawa Kirchhoffa w postaci symbolicznej Pierwsze prawo Kirchhoffa dla prdw zmiennych:

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    j j

    j

    0, sin e , 2 Imag e

    2 Imag e 0,

    2 Re sin Im cos 0,

    Re 0, Im 0, 0 j0.

    n

    n

    tn n m n n n n n

    N

    tn

    N

    n n

    N

    n n n

    N N N

    i i I t I I i I

    I

    I t I t

    I I I

    = = + = =

    =

    + =

    = = = +

    Podobne wyprowadzenie mona przeprowadzi dla drugiego prawa Kirchhoffa otrzymujc:

    0.mM

    U = Tak wic prawa Kirchhoffa obowizuj dla zapisu symbolicznego.

    Poczenie rwnolege elementw

    C L

    1 1j j

    j j

    1 1 1 1j j , , .

    R L C

    U UI I I I C U C U Y U

    R L R L

    Y C G B G B C B BR L R L

    = + + = + + = + + =

    = = + = = =

  • Metoda symboliczna...

    2013 K.M.Gawrylczyk

    5/7

    Wyraenie admitancji zespolonej przy pomocy impedancji zespolonej

    1

    YZ

    =

    Na przykad, dla gazi szeregowej mamy impedancj

    jZ R X= +

    Wtedy admitancja obwodu wynosi:

    2 2 2 2

    1 1 jj j

    j j j

    R X R XY G B

    R X R X R X R X R X

    = = = = + + + + +

    Czyli, konduktancja gazi szeregowej wynosi:

    2 2 2 2, a jej susceptancja:

    R XG B

    R X R X

    = =+ +

    przy czym zachodzi: C LB B B= .

    Moce przy zapisie symbolicznym Rozpatrzmy ga szeregow RL. Poniewa ma ona charakter indukcyjny, kt jest dodatni i ley w pierwszej wiartce (patrz wykresy na nastpnej stronie). Moce mona wyrazi jako:

    2

    2

    2

    cos , gdzie jest wartoci skuteczn prdu,

    sin , a jest wartoci skuteczn napicia.

    P U I R I I I

    Q U I X I U U

    S U I Z I

    = = =

    = = =

    = =

    Wprowadzamy moc pozorn zespolon (definicja):

    jS P Q= +

    Dla gazi szeregowej RL jest wtedy: 2 2 2 * *jS R I X I Z I Z I I U I= + = = =

    Wzr ten mona uoglni na inne obwody.

  • Metoda symboliczna...

    2013 K.M.Gawrylczyk

    6/7

    Wykresy trjktowe (wskazowe) dla gazi RL przy zapisie symbolicznym.

  • Metoda symboliczna...

    2013 K.M.Gawrylczyk

    7/7

    Kondensator rzeczywisty

    Ukad zastpczy kondensatora rzeczywistego i jego wykres wektorowy

    Kondensator rzeczywisty charakteryzuje pewien prd Icz (czynny) pyncy w dielektryku (izolatorze). Ma on oczywicie charakter rezystancyjny i jest w fazie z napiciem. Kt pokazany na rysunku nazywany jest ktem stratnoci i odgrywa wan rol w ukadach izolacyjnych, wiadczc o ich jakoci. Jeeli przyjmiemy paski model budowy kondensatora, mona poda wzr przybliony:

    = , , std:

    konduktywno el. izolatora,1tg

    przenikalno dielektr. izolatora.

    l SR C

    S l

    R C

    =

    = =

    Ze wzoru tego wynika fakt, e tg ronie dla maych czstotliwoci, czyli jego pomiar bdzie najdokadniejszy przy zastosowaniu bardzo niskiej czstotliwoci.

    Cewka rzeczywista

    Ukad zastpczy cewki rzeczywistej i jego wykres wektorowy

    Dobro cewki: LL

    QR

    =