Metoda lui Cramer pe inelul claselor de resturi

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Specificul metodei lui Cramer pe inelul claselor de resturi

Citation preview

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Universitatea de Stat ,,Alecu Russo" din BaltiCatedra de matematica si informatica

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.

    A efectuat: Sp^nu AnaStudenta la sectia de zi, gr. MI41Z

    Specialitatea ,,Matematica si Informatica"Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- a

    20 mai 2015

    A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.

    Conceptul de inel a aparut ^n a doua jumatate a secolului al XIX- lea ^nlucrarile lui Dedekind, Weber, ^nsa forma denitiva a acestor notiuni estedatorata lui Hilbert.Unul dintre cele mai studiate inele ^n algebra contemporana este inelulclaselor de resturi. Interesul deosebit asupra studiului acestui inelreprezinta multiplele sale aplicaii ^n viata cotidiana. Precum: aplicatii ^nteoria divizibilitatii, operatii algebrice, reprezentarea numerelor ^ncalculator, implementarea operatiilor cu ele, teoria codurilor detectoare deerori, criptograe, securitatea datelor, etc.

    A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.

    Din punct de vedere al matematicii, acest inel reprezinta interes prinaplicatii ^n teoria divizibilitatii. Astfel, prin intermediul relatiei dedivizibilitate ^n raport cu numarul m, multimea numerelor ^ntregi sedescompune ^n m multimi disjuncte, numite clase de resturi. Fiecaremultime se caracterizeaza prin aceea ca, ecare element al acestei multimiind ^mpartit la m da acelasi rest. Notam aceste multimi k , undek = (0;m 1). Totalitatea acestor multimi se numeste multimea claselorde resturi, notat prin Zm.

    A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.

    Denitia

    Tripletul ordonat (Zm;;) se numeste inel daca:1) Operatia de adunare este comutativa 8x ; y 2M : x + y = y + x2) Operatia de adunare este asociativa8x ; y ; z 2M : (x + y) + z = x + (y + z)3) Operatia de adunare admie element neutru 8 2M, astfel ^nc^t8x 2M: + x = x + = x4) Fiecare element este simetrizabil ^n raport cu elementul , adica9(x) 2M; astfel ^nc^t x + (x) = (x) + x = 5) Operatia de adunare este distributiva ^n raport cu ^nmultirea, adica8x ; y ; z 2M, are loc relatia

    x (y + z) = (x y) + (x z)

    (x + y) z = (x z) + (y z)A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.

    Pe inelul claselor de resturi sunt denite doua operatii algebrice, adunareasi ^nmultirea claselor de resturi. I^n rezolvarea exercitiilor este necesar detinut cont de acest fapt si de substituit operatia de scadere prin adunareaelementului opus, iar ^mpartirea prin ^nmultire la elementul invers.Elementul a^ 2 Zm se numeste element inversabil, daca exista elementulnotat cu a^1 2 Zm, astfel ^nc^t a^ a^1 = 1^. Multimea elementelorinversabile ale inelului Zm se noteaza prin U(Zm).

    A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.

    Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare

    Denitia

    Se numeste sistem de k ecuatii liniare cu n necunoscute, un ansamblu de kecuatii de forma a^11x1 + a^12x2 + ::: + a^1nxn = b^, adica:8>>>:

    a^11x1 + a^12x2 + + a^1nxn = b^1a^21x1 + a^22x2 + + a^2nxn = b^2 a^k1x1 + a^k2x2 + + a^knxn = b^k

    Sistemul de ecuatii liniare ^n care numarul de ecuatii este egal cu numarulde necunoscute, adic k = n, se numeste patratic.

    A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.

    Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare

    Denitia

    Sistemul ordonat de n clase de resturi (C1;C2; : : : ;Cn), se numeste solutiea sistemului daca, ^nlocuind necunoscutele xi , respectiv cu Ci , i = 1; n,ecare ecuatie a sistemului se transforma ^ntr- o propozitie adevarata.

    A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.

    Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare

    Denitia

    Sistemul ordonat de n clase de resturi (C1;C2; : : : ;Cn), se numeste solutiea sistemului daca, ^nlocuind necunoscutele xi , respectiv cu Ci , i = 1; n,ecare ecuatie a sistemului se transforma ^ntr- o propozitie adevarata.

    A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.

    Un sistem de ecuatii liniare poate scris si ^n forma matriciala,

    A X = B;

    unde

    A =

    0BB@a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n: : : : : : : : : : : :ak1 ak2 : : : akn

    1CCA ;X [email protected]

    1CCCA ;B [email protected]

    1CCCAiar A este matricea patraticu a a sistemului, B matricea coloana atermenilor liberi, X matricea coloana a necunoscutelor.

    A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.

    Sistemul de ecuatii liniare ce admite solutii se numette sistem compatibil,iar cel ce nu admite solutii se numeste incompatibil. Sistemul de ecuatii ceadmite o singura solutie se numeste sistem compatibil determinat, iarsistemul de ecuatii ce admite o innitate de solutii de o anumita forma senumeste sistem compatibil nedeterminat.

    A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.Una dintre metodele de rezolvare a sistemelor patratice de ecuatii liniareeste metoda lui Cramer. Pentru a rezolva sistemul de ecuatii prin aceastametoda, se utilizeaza urmatorul algoritm:

    1 Se calculeaza determinantul principal al sistemului de ecuatii liniare, unde = detA;

    2 Se calculeaza determinantii secundari ai sistemului, i ce se obtin dindeterminantul principal prin substituirea coloanei i prin coloanatermenilor liberi

    i =

    a11 a12 : : : a1;i1 b1 a1;i+1 : : : a1na21 a22 : : : a2;i1 b2 a2;i+1 : : : a2n: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :an1 an2 : : : an;i1 b2 an;i+1 : : : ann

    ;

    3 Se determina solutia sistemului conform relatiilor xi =i , care se

    numesc relatiile lui Cramer.A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.

    I^n dependenta de valoarea determinantului principal si a determinantilorsecundari, sunt posibile urmatoarele situatii:

    1 6= 0 atunci sistemul este compatibil determinat, iar solutiasistemului se determina conform relatiilor indicate.

    2 = 0 si cel putin un determinant secundar este nenul, atuncisistemul este incompatibil.

    3 = 0 si toti determinantii secundari sunt nuli, atunci sistemul are oinnitate de solutii, dar nu pot determinate cu ajutorul metodei luiCramer.

    A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.

    Fie dat un sistem patratic de ecuatii liniare denit pe inelul claselor deresturi Zm. Pentru a rezolva acest sistem de ecuatii prin algoritmul descrismai sus, este necesar de tinut cont de specicul operatiilor si alelementelor acestui inel. Astfel, la calculul determinantului principal si alcelor secundari, operatia de scadere este substituita prin operatia deadunare a claselor de resturi prin elementul opus. Adica, ecare element de

    forma a^ substituie cu elementul \(n a). Fiecare element ce este mai maredec^t n, se determina clasa de rest carei apartine acest element si sesubstituie cu elementul respectiv.

    A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.

    Deoarece, tipul sistemului de ecuatii variaza ^n dependenta de valoareadeterminantului principal si a determinantilor secundari, ^n acest caz suntposibile urmatoarele situatii:

    1 Daca 2 U(Zm), atunci sistemul de ecuatii este compatibildeterminat si admite solu tie unica ce se determina conform relatiilorlui Cramer, care ^n acest caz primesc forma xi = i .

    2 Daca 62 U(Zm) si exista cel putin un determinant secundar ce esteinversabil, atunci sistemul este incompatibil.

    3 Daca 62 U(Zm) si toti i 62 U(Zm), atunci sistemul admite unnumar nit de solutii ce se determina prin metoda probelor.

    A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.Exemplul 1. Sa se rezolve ^n Z11, sistemul de ecuatii liniare:8>:

    2^x + 3^y + 5^z = 7^

    x + 5^y + 2^z = 8^

    3^x + y + 4^z = 2^

    Solutie. Determinam multimea elementelor inversabile ^n Z11,U(Z11) = f1^; 2^; 3^; : : : ; 1^0g,Calculam determinantul pentru a vedea ^n care dintre cele 3 grupe se^ncadreaza.

    =

    2^ 3^ 5^

    1^ 5^ 2^

    3^ 1^ 4^

    = 7^ + 5^ + 7^ + 1^0 + 7^ + 2^ = 5^,Deci,sistemul de ecuatii admite solutie unica. Determinam elementulsimetrizabil al lui 5^

    1 = 5^1 = 9^.A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.

    Calculam determinantii x ;y ;z , prin ^nlocuirea coloanelor 1, 2 sirespectiv 3 cu coloana terminilor liberi pentru determinarea variabilelorx ; y si z .

    x =

    7^ 3^ 5^

    8^ 5^ 2^

    2^ 1^ 4^

    = 8^ + 1^ + 7^ + 5^ + 8^ + 3^ = 1^0y =

    2^ 7^ 5^

    1^ 8^ 2^

    3^ 2^ 4^

    = 9^ + 1^0 + 9^ + 1^ + 5^ + 3^ = 4^z =

    2^ 3^ 7^

    1^ 5^ 8^

    3^ 1^ 2^

    = 9^ + 6^ + 7^ + 5^ + 5^ + 6^ = 5^Determinm solutia sistemului de ecuatii conform relatiilor lui Cramer.x = 2^; y = 3^; z = 1^Raspuns. S = f2^; 3^; 1^g:A efectuat: Sp^nu Ana Studenta la sectia de zi, gr. MI41Z Specialitatea ,,Matematica si Informatica" Colocviu Stiintic Studentesc ,,INTERUNIVERSITARIA" Editia a XI- aUtilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare pe inelul Zm .

  • ..

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    Utilizarea metodei lui Cramer la rezolvarea sistemelor deecuatii liniare pe inelul Zm.Exemplul 2. Sa se rezolve ^n Z6, sistemul de ecuaii liniare8