15
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar četrtega letnika Metoda končnih elementov Reševanje inženirskega problema Avtor: Uroš Žunkovič Mentor: izred. prof. dr. Emil Žagar Povzetek Predstavljena je metoda končnih elementov s stališča njene uporabnosti in priljubljenosti v modeliranju industrijskih procesov, prikazani so razlogi za njeno priljubljenost in njen pomen za industrijo. Preko preprostih zgledov se opišejo matematični temelji, na katerih je osnovana, seminar pa ponudi tudi iztočnice za zapletenejše teme, povezane z njeno uporabo. Glavni koraki metode so aplicirani na reševanje poenostavljenega inženirskega problema s programom FreeFEM++. Maj, 2013

Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

  • Upload
    others

  • View
    19

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

Univerza v LjubljaniFakulteta za matematiko in fiziko

Seminar četrtega letnika

Metoda končnih elementovReševanje inženirskega problema

Avtor:Uroš Žunkovič

Mentor:izred. prof. dr. Emil Žagar

Povzetek

Predstavljena je metoda končnih elementov s stališča njene uporabnosti in priljubljenostiv modeliranju industrijskih procesov, prikazani so razlogi za njeno priljubljenost in njenpomen za industrijo. Preko preprostih zgledov se opišejo matematični temelji, na katerih jeosnovana, seminar pa ponudi tudi iztočnice za zapletenejše teme, povezane z njeno uporabo.Glavni koraki metode so aplicirani na reševanje poenostavljenega inženirskega problema sprogramom FreeFEM++.

Maj, 2013

Page 2: Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

1 UvodMnogo fizikalnih pojavov se opiše s parcialnimi diferencialnimi enačbami (zanje se v nadaljevanjubesedila uporablja okrajšava PDE). Kot primer navedimo Maxwellove enačbe, ki se temelj analizeelektromagnetnih polj. PDE morajo biti ustrezno opremljene tudi z začetnimi in/ali robnimipogoji. V splošnem je analitično reševanje teh enačb za realne primere praktično nemogoče (naprimer zaradi kompleksnih geometrij ali nerešljivosti sistema sklopljenih enačb), zato se jih rešujenumerično.

Obstaja množica metod za numerično reševanje PDE, med najpomembnejše spadajo naslednje([1, 2]):

• diferenčna metoda,

• metoda končnih volumnov,

• spektralna metoda,

• metoda končnih elementov.

Pričujoče besedilo je posvečeno predstavitvi slednje.Prvi korak pri numeričnem reševanju parcialnih diferencialnih enačb je iskanje primerne dis-

kretne formulacije. Pri uporabi diferenčnih metod, na primer, se domena problema diskretizira,odvode se v originalni enačbi zamenja s končnimi diferencami, s čimer se konstruira sistem linear-nih enačb, ki ga je potrebno rešiti. Uporaba diferenčne metode je lahko za kompleksne geometrijeprecej nerodna. Metoda končnih volumnov temelji na lokalni ohranitvi numeričnega fluksa vzdolžpovršine vsake od diskretizacijskih celic oz. kontrolnih volumnov. Pri spektralni metodi je rešitevPDE aproksimirana z vsoto nekih baznih funkcij; pogosto se na primer uporabi razvoj v Fouri-erovo vrsto in se išče ustrezne člene v razvoju. Ta metoda je metodi končnih elementov dokajsorodna, le da so bazne funkcije neničelne vzdolž celotne domene problema, pri metodi končnihelementov pa temu ni tako.

Kompleksna geometrija problema je v numeričnih simulacijah industrijskih procesov zelo po-gosta, zato se tam najpogosteje uporablja metoda končnih elementov (v nadaljevanju okrajšanokot FEM, angl. Finite Element Method), ki nima težav pri reševanju problemov kompleksnihgeometrij in seminar se osredotoča na predstavitev metode s stališča njene priljubljenosti primodeliranju industrijskih procesov.

Več o vzrokih njene privlačnosti v preteklih desetletjih in v sedanjosti je v razdelkih 1.1 in 1.2.Seveda se matematični formulaciji metode ne gre izogniti, to opiše razdelek 2. V literaturi se

najde najrazličnejše načine za opis metode, tudi povsem matematični pristop, ki ilustrira njenouporabo le za reševanje točno določenih problemov. V tem seminarju formuliramo FEM kot splo-šno uporabno metodo, po drugi strani pa so določeni postopki samo nakazani in ne dokončnoizpeljani. Cilj ni izpeljava končnih enačb, ki bi jih bilo možno direktno implementirati v računal-niški program, ampak opis osnovnih korakov metode na ilustrativnih primerih.

Ker v seminarju poudarjamo pomen metode končnih elementov v industriji, se v razdelku3 tudi reši preprost inženirski problem, ki predstavi praktično uporabo predstavljene teorije.Problem se rešuje s pomočjo prosto dostopne programske opreme za reševanje PDE z metodokončnih elementov FreeFEM++.1

1.1 Kratek pregled razvoja metodeMetoda končnih elementov je bila razvita za potrebe aeronavtične industrije v 50. letih prejšnjegastoletja, čeprav se prve teoretične zametke najde že kakšno desetletje prej. Kljub temu, da seformulacije pionirjev te metode razlikujejo, imajo vse eno skupno lastnost: domena problema je

1http://www.freefem.org/ff++/index.htm.

1

Page 3: Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

diskretizirana v množico poddomen, ki jih imenujemo elementi, od tod izvira tudi poimenovanjemetode. Pionirska podjetja v razvoju metode so bila Boeing in Bell v Združenih državah Ameriketer Rolls Royce v Veliki Britaniji [3], pozneje pa so jo začela uporabljati številna druga podjetja.Sprva so s to metodo izvajali trdnostne analize različnih struktur.

Na metodo je akademska sfera sprva gledala zelo skeptično in nekatere prestižne revije so celozavračale objavo člankov na to temo. To je bilo verjetno tudi posledica neobstoja matematičneteorije, ki bi dokazala eksistenco in pravilnost rešitve, izračunane s FEM. Šele v poznih 60. letihje bilo za linearne probleme dokazano, da rešitev z metodo končnih elementov (ob določenihpredpostavkah) konvergira k pravi rešitvi PDE, oz., da se ob večanju števila elementov rešitevizboljšuje in limitira k eksaktni rešitvi.

Za linearne probleme metoda končnih elementov prevede reševanje PDE na sistem linearnihenačb. Ker so običajno sistemi zelo veliki (dimenzije matrik, s katerimi se računa, so vsaj reda veli-kosti 103, pogosto do 106, včasih tudi do 109), so za reševanje nepogrešljivi računalniki, zato razvojFEM sovpada tudi z razvojem računalnikov. Dandanes lahko povprečen uporabnik na osebnemračunalniku rešuje probleme, ki so jih v 90. letih reševali tedaj najzmogljivejši računalniki.

Prvi množično uporabljani programi za uporabo FEM so nastali v 60. letih. Ameriška ve-soljska agencija NASA je leta 1965 financirala razvoj programske opreme za reševanje različnihproblemov z metodo FEM, program so poimenovali NASTRAN. Agencija ga je uporabljala zaanalize letalskih struktur, vibracij in časovno odvisnih odzivov na dinamične obremenitve. Po-zneje je eden glavnih avtorjev programske opreme ustanovil podjetje, ki je do 90. let prejšnjegastoletja postalo vredno kakih sto milijonov dolarjev. Konec 60. let prejšnjega stoletja se je začelrazvoj programa ANSYS, ki je danes eden najbolj poznanih in uporabljanih v industriji. Vrednostpodjetja, ki ga razvija, je reda velikosti milijarde ameriških dolarjev [3, 4].

Kljub visokim cenam razvoja FEM programske opreme omenjeni zgledi pričajo, da so za mnogapodjetja nepogrešljivo sredstvo za optimizacijo procesov ali produktov in drastično skrajšanjerazvojnih ciklov.

1.2 Aplikacije FEMFEM se med drugim uporablja za napoved obnašanja mehanskih, termalnih in elektromagnetnihsistemov. V nadaljevanju je naštetih nekaj aplikacij FEM [3]:

• napetostna in toplotna analiza raznih komponent, kot so elektronski čipi, električne naprave,ventili, avtomobilski motorji;

• seizmična analiza jezov, elektrarn, visokih zgradb;

• analiza trkov avtomobilov, vlakov, letal;

• elektromagnetna analiza anten, tranzistorjev;

• analiza kirurških posegov.

Seznam je daleč od popolnega in služi zgolj kot ilustracija široke uporabnosti metode.

2 Matematična formulacijaGlavni koraki pri uporabi FEM so:

• izbor tipov elementov in diskretizacija domene v končne elemente oz. kreiranje mreže;

• izbira metode reševanja;

• izbira baznih funkcij;

2

Page 4: Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

• izbira metode za reševanje matričnega sistema (linearnega ali nealinearnega) in reševanjesistema;

• prikaz in interpretacija rezultatov.

Od izbire metode reševanja je odvisno, kako se originalna PDE prepiše v matrični sistem. Dosistema enačb se lahko pride z:

• metodo direktnega ravnovesja;

• energijsko (variacijsko) metodo;

• metodo uteženih residualov.

Prva je pomembna z zgodovinskega stališča, saj se je z njo prvič apliciralo FEM na reševanjeproblemov elastomehanike, a ni praktična za reševanje problemov z drugih področij. Druga jeprimerna, kadar je poznan izraz za celotno energijo sistema ali prosto energijo, če so vključeni tuditermodinamski efekti, oz. kadar se lahko rešitev PDE išče kot minimum ustreznega funkcionala, kipredstavlja celotno energijo sistema. Formulacija energijske metode je opisana v razdelku 2.1. Prinekaterih problemih energijska funkcija ali izpeljava ustreznega funkcionala nista tako očitni, zatose uporabi metoda uteženih residualov. Med slednje spadata tudi kolokacijska metoda in metodanajmanjših kvadratov [5], a vsa pozornost v tem besedilu bo namenjena Galerkinovi metodi, kije opisana v 2.2.

Metoda končnih elementov je numerična metoda, s katero se dobi numerično aproksimacijorešitve parcialne diferencialne enačbe. Mnogo prednosti, ki jih ima FEM pred drugimi metodamireševanja, prinaša izbira baznih funkcij, s katerimi aproksimiramo rešitev. Podrobnosti so vrazdelku 2.3.

Narava rešitve PDE je odvisna od oblike enačbe. Da ne bi zapleteni računi zakrili idej, kijih želimo predstaviti, je nadaljnja razprava omejena na PDE drugega reda za dve neodvisnispremenljivki.

Splošna oblika PDE drugega reda z neodvisnima spremenljivkama x in y (odvisnosti funkcijin operatorjev od teh spremenljivk zaradi preglednosti niso zapisane) je

Lφ = f, (1)

kjer je φ iskana rešitev PDE in L operator oblike

Lφ = a∂2φ

∂x2 + b∂2φ

∂x∂y+ c

∂2φ

∂y2 + F (x, y, φ, ∂φ∂x,∂φ

∂y). (2)

in so a, b in c splošne funkcije spremenljivk x in y. Lahko so odvisne tudi od φ, a tedaj je problemnelinearen.

V 2.1 in 2.2 so obravnavani preprosti linearni zgledi, komentar o aplikaciji FEM na zapletenejšeenačbe je v 2.4.

2.1 Formulacija z energijsko metodoReševanje mnogih PDE je ekvivalentno problemu minimizacije ustreznega funkcionala, kar jepredstavljeno v tem razdelku. Dokaz, da sta problema ekvivalentna, je v 2.1.2, kako do funkcionalaza preprost primer priti in kaj funkcional predstavlja, pa v 2.1.1.

Pri modeliranju fizikalnih problemov je pomembno, da je rešitev modela enolična. Če jeproblem opisan z enačbo (1) in je operator L linearen in pozitivno definiten, potem rešitev jeenolična (dokaz v [5]). Operator L ima takšne lastnosti pri eliptičnih tipih PDE (zanje veljab2 < 4ac), zato je nadaljnja razprava omejena na tak tip enačb.

3

Page 5: Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

Formulacija bo predstavljena na primeru Poissonove enačbe, ki opisuje ravnovesno oblikoobremenjene membrane (za opis predpostavljenega modela elastičnosti in ostalih podrobnosti,glej [6]):

∇2z(x, y) = −p(x, y)γ

, (x, y) ∈ Ω, (3)

kjer je z(x, y) odmik membrane v točki (x, y), p(x, y) je tlačna razlika v točki (x, y) in γ površinskanapetost, ki naj bo konstantna. Naj bo Ω domena, nad katero je opna napeta, in ∂Ω njen rob.Predpostavimo še homogen Dirichletov robni pogoj (φ|∂Ω = 0).

Energijski funkcional za ta problem se zapiše kot

I[z] =∫

Ω

(|∇z|2 − 2p

γz)dxdy. (4)

Pomembno je poudariti, da ob poljubnih nehomogenih robnih pogojih zapisani funkcional nipravilen, ampak ga je potrebno dopolniti, kar je narejeno v 2.1.1.

Ko je ustrezen funkcional poznan, se ga lahko minimizira z Rayleigh-Ritzevo metodo. Pri temminimizacijskem algoritmu se eksaktno rešitev z aproksimira z zaporedjem primernih funkcij

z →n∑i=1

aizi, (5)

kjer so ai koeficienti v razvoju, zi pa množica linearno neodvisnih baznih funkcij.Aproksimacijo za eksaktno rešitev se vstavi v funkcional, naslednji korak Rayleigh-Ritzevega

algoritma pa je minimizacija danega funkcionala. To se doseže s primerno izbiro koeficientov vrazvoju:

∂I

∂ai(a1, . . . , an) = 0, i = 1, . . . , n. (6)

Na tak način se konstruira sistem linearnih enačb.V primeru opne postopek izgleda takole:

I(a1, . . . , an) =∫

Ω

( n∑i=1

ai∂zi∂x

)2

+(

n∑i=1

ai∂zi∂y

)2

− 2γ

n∑i=1

aizip

dxdy, (7)

∂I

∂ai= 2

n∑j=1

aj

∫Ω

(∂zj∂x

∂zi∂x

+ ∂zj∂y

∂zj∂y

)dxdy − 2

∫Ωzip

γdxdy, (8)

oz. zapisano v matrični obliki kotKa = f, (9)

pri čemer velja Kij =∫Ω(∂zi

∂x

∂zj

∂x+ ∂zi

∂y

∂zj

∂y)dxdy in fi =

∫Ω zi

pγdxdy.

Glede aproksimacijskih funkcij doslej ni bilo omenjenega še nič. Glavne prednosti FEM soprav v izbiri aproksimacijskih funkcij, toda več o tem je v 2.3.

2.1.1 Izpeljava in pomen energijskega funkcionala

Kako se funkcional (4) izpelje?Z δz(x, y) naj bo označen majhen odmik opne iz ravnovesne lege. Izpeljava funkcionala izhaja

iz izraza za delo tlačnih sil (integral produkta apliciranega tlaka in odmika po površini opne) naobremenjeno opno: ∫

Ω−pδzdxdy =

∫Ωγ∇2zδzdxdy. (10)

Desna stran zapisane enačbe sledi iz (3).

4

Page 6: Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

Z uporabo Greenovih identitet se gornja enačba prepiše v

δ∫

Ωpzdxdy = −γ

∫∂Ωδz∂z

∂ndr + δ

∫Ω

γ

2 |∇z|2dxdy. (11)

Tu je n smer normale glede na zunanji rob ∂Ω. Upošteva se še, da je robni pogoj ali homogenDirichletov (φ|∂Ω = 0) ali homogen Neumannov (∂φ

∂n|∂Ω = 0); tedaj je prvi člen na desni strani

enačbe (11) enak nič in ostane le

δ∫

Ω

(|∇z|2 − 2p

γz)dxdy = 0. (12)

Rešitev originalne enačbe 3 ob homogenih robnih pogojih se potemtakem dobi iz pogoja δI = 0,pri čemer je I funkcional, ki smo ga želeli izpeljati.

Vidi se, da je izračunani funkcional sorazmeren celotni energiji sistema; prva komponenta jesorazmerna potencialni energiji (na enoto površine), ki je shranjena v opni, druga pa potencialnienergiji zaradi zunanjega tlaka. Izjavi, da je potencialna energija sistema v ravnovesju stacionarnain da v ravnovesju velja δI = 0, sta ekvivalentni.

Posplošitev dobljenega funkcionala na enačbo eliptičnega tipa oblike (1) na domeni Ω s homo-genimi Diricheltovimi in/ali Neumannovimi robnimi pogoji je:

I[φ] =∫

ΩφLφdxdy − 2

∫Ωφfdxdy. (13)

Pri konkretnih problemih se z uporabo Greenovih vektorskih identitet funkcionali preoblikujejotako, da pod integralom ne nastopajo členi z drugimi odvodi, ampak le taki s prvimi, kar se izkažeugodno za numerično reševanje.

V primeru nehomogenih Diricheltovih (φ = g(r)), Neumannovih (∂φ/∂n = j(r)) ali mešanih(∂φ/∂n + σ(r)φ = h(r)) robnih pogojev, je oblika energijskega funkcionala obremenjene opnedrugačna (r je ločna dolžina vzdolž roba domene ∂Ω). Oblika takšnega funkcionala je

I[φ] =∫

Ω

(|∇φ|2 − 2φf

)dxdy +

∫∂Ω

(σφ2 − 2φh

)dr. (14)

Zapisani funkcional se izračuna s transformacijo problema z nehomogenimi robnimi pogoji naproblem s homogenimi robnimi pogoji (podrobnosti izpeljave so v [5]).

Že pri izpeljavi relativno preprostega energijskega funkcionala za obremenjeno opno je po-trebne nekaj fizikalne intuicije, pri zapletenejših problemih pa pogosto ni očitno, kaj bi energijskifunkcional naj bil (ali pa sploh ne obstaja), zato se je potrebno poslužiti Galerkinove metode.

2.1.2 Ekvivalenca rešitve PDE in minimizacije ustreznega funkcionala

Predpostavimo, da ima funkcional I[φ] stacionarno vrednost pri funkciji φ0. Naj se napravivariacija okoli funkcije φ0

φ = φ0 + αψ, (15)kjer je ψ je poljubna funkcija in α spremenljivi parameter. Če je slednji ničeln, je I[φ] stacionaren:

dIdα |α=0 = 0. (16)

V enačbo splošnega funkcionala (13) se vstavi nastavek (15), dobljen funkcional se odvaja po α,upošteva se enačba (16) ter dejstvo, da je operator L sebi adjungiran in da veljajo homogeni robnipogoji. Končni rezultat je ∫

Ωψ(Lφ0 − f

)dxdy = 0. (17)

Ker je ψ poljubna, je integral ničeln, če velja Lφ0 = f , oz., če je φ0 enolična rešitev problema (1).

5

Page 7: Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

2.2 Formulacija z Galerkinovo metodoEnergijska oz. variacijska metoda je uporabna le tedaj, kadar je za problem na voljo ustrezenfunkcional. Alternativno formulacijo FEM predstavljajo metode uteženih residualov.

Numerična aproksimacija rešitve v splošnem ne bo zadostila enačbi (1), toda vsaki aproksi-maciji se lahko pripiše residual

r(φ) = Lφ− f. (18)Znova se rešitev aproksimira kot

φ→n∑i=1

aiψi, (19)

kjer se koeficienti ai izberejo tako, da na nek način minimizirajo residual.Med metodami uteženih residualov je najbolj uporabljana Galerkinova, kjer se integral resi-

duala, pomnoženega z baznimi funkcijami, postavi na nič:∫Ωr(φ)ψidxdy = 0, i = 1, . . . , n. (20)

Začetna PDE (imenuje se tudi krepka forma problema) se pri Galerkinovi metodi množi z vsakood baznih funkcij ψi in integrira po domeni Ω. Kot pri energijski metodi, se problem preoblikujez Greenovimi identitetami na obliko, ki je primernejša za numerični izračun (končna oblika zapisaproblema se imenuje tudi šibka forma problema).

Transformacija iz krepke v šibko formo in zapis v obliki matričnega sistema je v nadaljevanjunapravljena za Poissonovo enačbo:

−∆φ(x, y) = f(x, y), (x, y) ∈ Ω, (21)

kjer je ∆ = ∂2ψ∂x2 + ∂2ψ

∂y2 . Veljajo sledeči robni pogoji:

φ = g1(x, y) na ∂Ω1, (22)∂φ

∂n= 0 na ∂Ω2, (23)

∂φ

∂n+ σ(x, y)φ = g2(x, y) na ∂Ω3. (24)

Tu so ∂Ω1, ∂Ω2 in ∂Ω3 deli roba domene, kjer je določen pogoj predpisan. Množenje originalnePDE s ψ, integracija po domeni in uporaba Greenove identitete privede do∫

Ω(−∆φψ)dxdy =

∫Ωfψdxdy, (25)∫

Ω(∇φ · ∇ψ)dxdy −

∫∂Ωψ∂φ

∂ndr =

∫Ωfψdxdy. (26)

Drugi člen na levi strani enačaja v (26) je integral po robu domene ∂Ω. Ker je rob sestavljen iztreh delov, se lahko ta člen zapiše kot vsota treh integralov, vsak po drugem delu roba domene,torej ∫

∂Ω

∂φ

∂nψdr =

∫∂Ω1

∂φ

∂nψdr +

∫∂Ω2

∂φ

∂nψdr +

∫∂Ω3

∂φ

∂nψdr, (27)

=∫∂Ω2

(g2 − σφ)ψdr. (28)

V (28) so upoštevani robni pogoji in ničelnost ψi na robu ∂Ω1.V enačbi (26) ostane le∫

Ω

(∂φ

∂x

∂ψ

∂x+ ∂φ

∂y

∂ψ

∂y

)dxdy −

∫Ωfψdxdy =

∫∂Ω2

g2ψdr −∫∂Ω2

σφψdr. (29)

6

Page 8: Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

Enačba se diskretizira s sledečima zamenjavama:

φ(x, y)→n∑j=0

ajψj(x, y), (30)

ψ(x, y)→ ψi(x, y), i = 1, . . . , n. (31)

Zapisano vodi do sistema linearnih enačb. Zaradi preglednosti predpišimo še g2 = 0 in σ = 0:

∫Ω

n∑j=0

aj∂ψj∂x

∂ψi∂x

+ n∑j=0

aj∂ψj∂y

∂ψi∂y

dxdy =∫

Ωfψidxdy, (32)

n∑j=0

(∫Ω

(∂ψj∂x

∂ψi∂x

+ ∂ψj∂y

∂ψi∂y

)dxdy

)aj =

∫Ωfψidxdy. (33)

Vpeljimo oznake Kij =∫Ω(∂ψj

∂x∂ψi

∂x+ ∂ψj

∂y∂ψi

∂y)dxdy, in fi =

∫Ω fψidxdy. Rezultat je sistem v matrični

obliki:Ka = f. (34)

Zapisan sistem je enak sistemu (9).Kot je že bilo omenjeno, je glavna prednost metode FEM izbira aproksimacijskih (imenujejo se

tudi oblikovne ali bazne) funkcij ψi. V praksi se uporabljajo takšne oblikovne funkcije, ki dobljenmatrični sistem zelo poenostavijo.

Pri PDE eliptičnega tipa je matrika K simetrična (ker je operator L sebi adjungiran), karomogoča uporabo hitrejših numeričnih metod za reševanje matričnih sistemov.

FEM ne bi bila tako priljubljena metoda, če ne bi bilo z njo možno reševati najrazličnejšihproblemov. Doslej je bila diskusija večinoma omejena na linearne PDE eliptičnega tipa, za katereje operator L pozitivno definiten. Če to ni res, potem je rešitev, ki se jo dobi preko minimizacijeenergijskega funkcionala, le stacionarna vrednost, ne nujno tudi ekstrem.

2.3 Diskretizacija domene in izbira baznih funkcijPred numeričnim računanjem je potrebno domeno rešitve diskretizirati oz. razdeliti na končneelemente. Za diskretizacijo domene (angl. mesh generation) stojijo številni algoritmi (npr.FreeFEM++ uporablja Delaunay-Voronoi algoritem za triangulacijo), z razvojem katerih se ukvar-jajo celotne razvojne ekipe, saj je postopek uporaben za prikaz na računalniških zaslonih. Tobesedilo se s formulacijo diskretizacije domene ne ukvarja.

Pri dvodimenzionalni domeni so dvodimenzionalni tudi končni elementi, enako velja za tri-dimenzionalno domeno. Najpogosteje uporabljani elementi so trikotniki (v dveh dimenzijah) insplošni tetraedri (v treh dimenzijah). V dveh dimenzijah se lahko uporabljajo tudi splošni štiri-kotniki, ampak je opis kompleksne geometrije lažji s trikotniki. V industriji je mnogo tehničnihnačrtov napravljenih v CAD (angl. Computer-aided design) programih, zato je zelo priročnaspecializirana programska oprema, ki zmore diskretizirati takšen model.

Gostejša je diskretizacijska mreža (manjši so elementi), natančnejša je izračunana rešitev (do-kaz se najde npr. v [5] ali [7]), seveda pa je izračun v tem primeru zahtevnejši.

Nekaj primerov diskretizacije zanimivih modelov prikazuje slika 1.Med večje prednosti FEM pred ostalimi metodami sodita možnost formulacije problema na

poljubno zapletenih geometrijah in možnost zgoščevanja mreže (večanje števila elementov) naobmočjih, kjer je potrebno natančneje poznati potek rešitve, oz. redčenje mreže (večanje velikostielementov) tam, kjer se ne potrebuje zelo natančna rešitev.

Ves čar FEM sledi iz izbire oblikovnih funkcij. Rešitev se aproksimira z odsekoma polinomskimifunkcijami pogosto nizkih stopenj. V splošnem elementu e se išče taka aproksimacija φe, da je

7

Page 9: Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

(a) (b)

(c)

Slika 1: Primeri diskretizacij propelerja, kladiva in cestnega motorja s tetraedri. Ploskve sorazlično obarvane zaradi preglednosti. Za več podrobnosti glej [8].

njena vrednost končna v točkah, ki temu elementu pripadajo, in ničelna, če točka leži izvenelementa. Celotna rešitev je potem le vsota teh delnih aproksimacij

φ =∑e

φe. (35)

Vsota je po vseh elementih mreže.Zaradi preglednosti predpostavimo, da je mreža enodimenzionalna in da se naj v vsakem

elementu rešitev linearno aproksimira. Splošen polinom, ki opiše tako aproksimacijo v elementue, je φe(x) = ae0 +ae1x. Koeficienta ae0 in ae1 (imenujmo ju generalizirani koordinati) bosta veljala leza element e. Namesto da sta neznanki za element e generalizirani koordinati, bi bilo bolje zapisatiφe(x) v odvisnosti od vrednosti aproksimacije na robu oz. v vozlih elementa e. Enodimenzionalnielement ima dva vozla, aproksimacija se zapiše kot:

φe = Ne(x)δe, (36)

kjer je δe vektor rešitve v obeh vozliščnih točkah elementa e, označimo ju z A in B, velja δe =(φA, φB)T . Ne je vrstični vektor z interpolacijskimi polinomi N e

i (x) s sledečo lastnostjo:

N ei (xj) = δij, i, j = 1, 2. (37)

Indeksa i in j lahko v vsakem elementu zavzameta le dve vrednosti, kolikor je število vozlovelementa. Če se išče linearna aproksimacija rešitve, imata N e

1 in N e2 v lokalnem koordinatnem

sistemu (z izhodiščem na polovici med vozloma A in B in sprememljivko ξ) takšno obliko:

N e1 (ξ) = 1

2(1− ξ), N e2 (ξ) = 1

2(1 + ξ). (38)

8

Page 10: Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

(a) (b)

Slika 2: (a) Linearna Lagrangeva interpolacijska polinoma v enodimenzionalni mreži, predsta-vljena v globalnem (zgoraj) in lokalnem (spodaj) koordinatnem sistemu. Za več informacij glej [9].(b) Primer dvodimenzionalne triangulirane domene in numerične rešitve nad njo. Uporabljene solinearne oblikovne funkcije, torej ravnine v treh dimenzijah. Odsekoma zvezna narava rešitve jelepo vidna. Za več informacij glej [10].

To sta Lagrangeva interpolacijska polinoma, ki sta v globalnem in lokalnem koordinatnem sistemupredstavljena na sl. 2.

Komponente vseh vektorjev δe bodo v končni fazi predstavljale neznanke v matričnem sistemuoz. numerične rešitve originalne PDE, vendar pa se lahko izračunano rešitev v vozlih uporabi zaizračun vrednosti aproksimacije kjerkoli na domeni:

φ(x) =∑e

Ne(x)δe. (39)

V primeru dvodimenzionalne domene so linearne oblikovne funkcije kar ravnine (primer nasl. 2), če je domena tridimenzionalna, so oblikovne funkcije štiridimenzionalne.

Seveda ni nujno, da so interpolacijski polinomi linearni, pogosto se uporabljajo polinomi višjihstopenj, vendar je to povezano tudi z dodatnimi komplikacijami, s katerimi se tu ne ukvarjamo.Z uporabo interpolacijskih polinomov višjih stopenj pridobimo natančnost rezultata, vendar jeračunski čas večji.

Od narave problema je odvisno, ali je za dosego višje natančnosti ugodneje uporabiti polinomevišjih stopenj ali gostejšo mrežo. Izkušnje seveda pridejo pri tem zelo prav, a v praksi se običajnouporabi gostejša mreža, ker so z implementacijo polinomov višjih stopenj v programsko opremopovezane dodatne komplikacije.

Prednosti izbire opisanih aproksimacijskih funkcij postanejo očitne, ko se vstavi izraza (35) in(36) v energijski funkcional (13). Izkaže se, da se slednji lahko zapiše kot

I =∑e

Ie, (40)

kjer je Ie enak splošnemu funkcionalu I, le da kot spremenljivka v njem nastopa φe, integracijskemeje pa so določene z elementom e. Brez pisanja enačb omenimo, da je končni rezultat matričnisistem po vzoru tistih, ki so že bili opisani, le da je zaradi preprostih oblikovnih funkcij člene Kij

možno eksplicitno integrirati. Integrale v komponentah fi je potrebno računati numerično.Posledica izbire opisanih oblikovnih funkcij je tudi v tem, da v interakciji sodelujejo le najbližji

sosedi, kar pomeni, da je večina členov matrike K ničelnih, torej se lahko za reševanje matričnegasistema uporabijo posebne metode za reševanje sistemov z redkimi matrikami. S tem se celotenizračun bistveno skrajša.

9

Page 11: Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

2.4 Časovno odvisni in nelinearni problemiPri uporabi FEM za reševanje časovno odvisnih problemov se časovna spremenljivka lahko obrav-nava na dva načina:

• kot dodatna dimenzija, pri čemer bodo oblikovne funkcije imele poleg prostorskih še časovneodvisnosti, φe = Ne(x, y, t)δe,

• vozliščne spremenljivke so funkcije časa, v FEM analizi se uporabijo samo prostorske spre-menljivke, φe = Ne(x, y)δe(t), korakanje v času se naredi na primer z metodo končnihdiferenc, FEM analiza pa se izvede nad prostorskimi koordinatami v vsakem od željenihčasovnih korakov.

V prvem primeru matrikaK ne bo več simetrična, ker tudi parabolični operator ni sebi-adjungiran.Drugi način se običajno izkaže za bolj praktičnega, ker je problem, ki ga rešuje FEM, za enodimenzijo manjši od problema, ki se ga rešuje po prvem načinu.

Kot primer časovno odvisnega problema si oglejmo enačbo toplotnega prevajanja, ki je para-boličnega tipa

∇2T = 1κ

∂T

∂t, (41)

kjer je T temperatura, κ toplotna prevodnost (temperaturno neodvisna, v nasprotnem primerubi bila enačba nelinearna). Enačba mora biti opremljena še z začetnim in robnimi pogoji. S T noznačimo temperaturno polje po celotnem prostorskem delu domene. Časovni odvod v enačbi(41) lahko na primer nadomestimo z eksplicitno končno diferenco

∂T

∂t→ T n+1 − T n

∆t , (42)

kjer je ∆t diskreten časovni interval. Ko se zapisana aproksimacija vstavi v krepko formo PDE,se slednjo z uporabo Galerkinove metode transformira v šibko, kar v praksi pomeni reševanjeeliptičnega problema na vsakem časovnem koraku. Podrobnosti in končne enačbe so med drugimv [11].

Če je problem, ki ga želimo rešiti, nelinearen, se z Galerkinovo metodo napravijo enaki korakikot za linearen sistem, le da končni matrični sistem ni več linearen, ampak nelinearen,

K(a)a = f(a). (43)

Tega je potrebno rešiti z neko numerično metodo za reševanje nelinearnih sistemov.Na kratko še omenimo, da je v primeru reševanja vektorske PDE z Galerkinovo metodo po-

trebno enačbo množiti z vektorskimi oblikovnimi funkcijami, sicer je postopek identičen tistemu,ki je bil opisan za skalarne PDE.

3 Aplikacija FEM za reševanje inženirskega problemaPoenostavljen inženirski problem, na katerem bomo ilustrirali uporabo FEM, je navadno verti-kalno kontinuirno litje kovinskih drogov okroglega preseka.

V realnem industrijskem procesu teče litina v območje, omejeno z obročem, ki daje droguobliko, in ga zapolni. Iz celotnega sistema se odvaja toplota zaradi vodnega hlajenja z vsehstrani, zato pride do strjevanja litine v trdnino. Strjevanje se najprej začne pri zunanjem robudroga na meji med litino in obročem, medtem ko je lahko sredica droga na isti višini še vednotekoča. Bat na dnu droga s konstantno hitrostjo vleče celoten material navzdol in z vrha jekonstanten dotok litine.

10

Page 12: Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

Ena od pomembnih stvari pri načrtovanju procesa litja je poznavanje poteka ploskve strjevanja;to je ploskev, kjer pride do faznega prehoda litine v trdnino (več o pomenu poznavanja ploskvestrjevanja, optimizaciji procesa preko simulacij in načrtovanju procesa samega je v [12]).

V industriji se procese litja večinoma modelira z metodo končnih elementov, kompletni modelipa so zelo obširni in zapleteni, ker model sklaplja različne fizikalne pojave (prenos temperature,hitrostno polje, fazni prehod, napetostno polje itn.), vse fizikalne lastnosti materiala so tempera-turno odvisne in vse količine so časovno odvisne.

V našem poenostavljenem primeru bomo izračunali le hitrostno polje litine in distribucijotemperature z namenom oceniti globino litine v sredici droga ter oblike izoterm. Ker modeliramokontinuirno litje, predpostavimo, da je kljub premikanju litine navzdol doseženo stacionarno sta-nje, zato zanemarimo časovno odvisnost v uporabljenih enačbah. Predpostavimo tudi simetrijoproblema glede na koordinato φ v cilindričnem koordinatnem sistemu, zato spremljamo rešitevle v ravnini spremenljivk r in z. Nadalje predpostavimo homogene (temperaturno neodvisne)lastnosti snovi. V programu uporabljeni snovni koeficienti so povprečene vrednosti ene izmedpogosto uporabljanih komercialnih aluminijevih zlitin.

Enačba za opis stacionarnega temperaturnega polja je [13]

∇ · (κ∇T )− ρcp (v · ∇T ) = 0, (44)

kjer je T temperatura, ~v hitrost, κ toplotna prevodnost, ρ gostota in cp specifična toplota mate-riala. Prvi člen predstavlja prenos toplote s prevajanjem, drugi člen predstavlja prenos toplotes konvekcijo, ni pa nobenega notranjega vira toplote. Na stranskem robu sistema (glej sl. 3(b)za obliko in diskretizacijo domene pri izračunu temepraturnega polja) predpostavimo odvajanjetoplote s konvekcijo, kar opišemo z robnim pogojem ∂T/∂n = h(T − Text), kjer je h koeficienttoplotnega prenosa s konvekcijo in Text predpostavljena temperatura hladilne vode. Na zgornjemin spodnjem robu domene predpostavimo konstantne temperature.

Hitrostno polje v, ki nastopa že v enačbi (44), je rešitev Navier-Stokesove enačbe [11]

−∆v +∇p = 0, (45)

kjer je p tlačno polje in kjer smo za talino upoštevali številne poenostavitve, na podlagi katerihje uporaba tako poenostavljene enačbe sploh upravičena.

Reševanje problema poteka tako, da najprej iz enačbe (45) izračunamo hitrostno polje, kiga nato upoštevamo pri izračunu distribucije temperature v enačbi (44). Rešitev ene enačbe jepotrebna za izračun rešitve druge enačbe, zato pravimo, da sta fizikalna pojava, ki ju enačbi opi-sujeta, sklopljena (v angleški literaturi se probleme s sklopljenimi polji imenuje tudi multiphysicsproblems).

Šibka forma enačbe (44) v cilindričnem koordinatnem sistemu in ob upoštevanju vseh poeno-stavitev je∫

Ωκr

(∂T

∂r

∂ψ

∂r+ ∂T

∂z

∂ψ

∂z

)dΩ +

∫∂Ωκrhψ(T − Text)ds+

∫Ωrρcpψ

(vr∂T

∂r+ vz

∂T

∂z

)dΩ = 0, (46)

šibka forma enačbe (45) pa∫

Ω

(∂vr∂r

∂ψr∂r

+ ∂vr∂z

∂ψr∂z

+ ∂vz∂r

∂ψz∂r

+ ∂vz∂z

∂ψz∂z

+ ∂p

∂rψr + ∂p

∂zψz + ψp

(∂vr∂r

+ ∂vz∂z

))dΩ = 0. (47)

Rezultati analize so predstavljeni na slikah 4, 5 in 6.Izračunane izoterme se z rezultati temeljitejših analiz (glej [14]) precej dobro ujemajo. Z

neujemanjem izračunanih in eksaktnih vrednosti se ne obremenjujemo zaradi vseh napravljenihpoenostavitev.

11

Page 13: Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

0 0.05 0.1

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

r [m]

z [m

]

(a)

0 0.05 0.1

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

r [m]

z [m

](b)

Slika 3: Diskretizirana domena pri (a) izračunu vektorskega hitrostnega polja in pri (b) izračunutemperaturnega polja. Pri slednjem je na območju, kjer nas rešitev bolj zanima, mreža zgoščena.

r [m]

z [m

]

Hitrostno polje [mm/s]

0 0.05 0.1

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

(a)

r [m]

z [m

]

Hitrostno polje [mm/s]

0 0.05 0.10.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

(b)

Slika 4: Magnitude in smeri vektorjev hitrosti v območju taline. Slika (b) je natančnejši izsekzgornjega dela območja litine na sliki (a).

Zagotovo si lahko štejemo za velik uspeh, da smo ob vseh poenostavitvah zadeli red velikostiglobine litine v sredici droga; iz sl. 6 slednjo ocenimo na okoli 5 centimetrov, medtem ko re-snejša analiza pri podobni geometriji problema in podobnem materialu napoveduje vrednost 8centimetrov.

Izračunani rezultati v praksi seveda ne bi imeli velike napovedne moči, vseeno pa tehnologu,

12

Page 14: Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

r [m]

z [m

]

Temperaturno polje [°C]

0 0.05 0.1

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

100

200

300

400

500

600

(a)

r [m]

z [m

]

Temperaturno polje [°C]

0 0.05 0.10.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

100

200

300

400

500

600

(b)

Slika 5: Izračun temperaturne distribucije v območju taline. Slika (b) je natančnejši izsek zgor-njega dela območja litine na sliki (a).

−0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3

100

200

300

400

500

600

700

z [m]

T [°

C]

Slika 6: Potek temperature vzdolž simetrijske osi problema (pri r = 0). Črtkana črta pred-stavlja hipotetično temperaturo, pri kateri bi prišlo do faznega prehoda v materialu s snovnimilastnostmi, ki smo jih predpostavili. Iz presečišča obeh krivulj se vidi, da je globina, pri kateribi v predpostavljeni geometriji temperatura padla do temperature faznega prehoda, približno 5centimetrov.

ki se ukvarja z načrtovanjem in optimizacijo procesa, nudi prvo informacijo o fiziki problema.

4 ZaključekPrisotnost metode končnih elementov je industriji v zadnjih desetletjih zelo koristila in v dobinaraščajočih zmogljivosti računalnikov njen pomen le še narašča. V seminarju predstavimo me-

13

Page 15: Metoda končnih elementovmafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2012_2013/ZunkovicUros_Seminar_F… · Univerza vLjubljani Fakulteta zamatematikoinfiziko Seminar četrtega letnika Metoda

todo s stališča njenega pomena in priročnosti za uporabo v industriji; predstavimo matematičneosnove metode, nato le-te uporabimo za rešitev preprostega inženirskega problema. Kljub re-lativni preprostosti slednjega bi bilo računanje analitične rešitve (v primeru, da sploh obstaja)časovno veliko potratnejše. Ta efekt se pri kompleksnejših geometrijah in težavnejših problemihstopnjuje. Razvoj in uporaba modelov, temelječih na FEM, je multidisciplinarno področje; vklju-čuje matematike, fizike, specializirane inženirje in računalniške programerje. Pričakovati je, da bopomen FEM z razvojem računalnikov in zavesti vodilnih v podjetjih o pomenu procesa, podpr-tega z računalniškimi simulacijami, v prihodnosti še naraščal, kljub precejšnjim stroškom razvojaspecializirane programske opreme.

Literatura[1] J. Kozak. Numerična analiza (DMFA založništvo, 2008).

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_partial_differential_equations (15.2.2013).

[3] J. Fish, T. Belytschko. A First Course in Finite Elements (Wiley, 2007).

[4] http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_element_software_packages (15.2.2013).

[5] A. J. Davies. The Finite Element Method: A First Approach (Oxford University Press, 1986).

[6] I. Kuščer, A. Kodre. Matematika v fiziki in tehniki (DMFA založništvo, 2006).

[7] R. E. White. An Introduction to the Finite Element Method with Applications to NonlinearProblems (Wiley, 1985).

[8] http://geuz.org/gmsh/ (17.2.2013).

[9] T. Skrzypczak, E. Wegrzyn-Skrzypczak. Int. J. Heat and Mass Transfer 55, 4276-4284 (2012).

[10] http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method (18.2.2013).

[11] F. Hecht. FreeFEM++ documentation (2005).

[12] H. Fredriksson, U. Åkerlind. Materials Processing during Casting (Wiley, 2006).

[13] R. W. Lewis, P. Nithiarasu, K. N. Seetharamu. Fundamentals of the Finite Element Methodfor Heat and Fluid Flow (Wiley, 2004).

[14] H. Zhang, J. Cui. Trans. Nonferrous Met. Soc. China 21, 2134-2139 (2011).

[15] K. W. Morton, D. F. Mayers. Numerical Solution of Partial Differential Equations (Cam-bridge University Press, 2005).

[16] U. M. Ascher. Numerical Methods for Evolutionary Differential Equations (SIAM, 2008).

[17] http://www.research.ibm.com/trl/projects/meshing/meshingE.htm (17.2.2013).

[18] http://www.argusone.com/MeshGeneration.html (17.2.2013).

14