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Vorlesung SS 2012
Methoden der Biosignalverarbeitung
Filterdesign
Dipl. Math. Michael WandProf. Dr. Tanja Schultz
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Unser Vorlesungsplan
• Thema dieser Vorlesung: Theorie der digitalen Filterung, Design vonFiltern
• Filter verstärken oder unterdrücken gewisse Frequenzen des Signals.• Anwendungsbereiche: z.B. Artefaktbereinigung (50 Hz-Brummen),
Merkmalsextraktion (EEG, Sprache)
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Übersicht der Vorlesung
• Beispiel: Artefakte• Grundlagen der Frequenzanalyse (Fourier-Transformation,
z-Transformation)• Nyquist-Theorem (hierzu machen wir einen anschaulichen Beweis)• Definition und Herleitung der digitalen Filterung• Methoden des Filterdesigns
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Literatur
Die Vorlesung basiert im wesentlichen auf:Kammeyer/Kroschel: Digitale Signalverarbeitung.7. Auflage, Vieweg + Teubner, 2009Ein Klassiker bei den Elektrotechnikern.Mit Nummern gekennzeichnete Abbildungen in dieser Vorlesung sindaus diesem Buch, wenn nichts anderes erwähnt ist.
Nahin: Dr. Euler’s Fabulous Formula: Cures Many MathematicalIlls.Princeton University Press, 2006Sehr schöne Einführung in die Fourier-Transformation, auch fürNichtmathematiker!
Einige Hinweise und entsprechend gekennzeichnete Grafiken sind demSkript zur Vorlesung Sprachliche Mensch-Maschine-Kommunikation(SMMK) von Prof. Ivica Rogina entnommen.
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Inhalt der Vorlesung
• Artefakte
• Fourier-Transformation, z-Transformation
• Filterung
• Entwurfsmuster und Typen rekursiver Filter
• Entwurfsmuster und Typen nichtrekursiver Filter
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Artefakte
• Die Erfassung von Biosignalen ist häufig von Störungen(= Artefakten) überlagert
• Ursachen sind Messtechnik, Methode, Proband, auch Speichertechnik(z.B. in der Bildverarbeitung: JPEG-Format, verlustbehafteteKompression)
• Je nach Entstehungsort unterscheidet man biologische und technischeArtefakte:
• Biologische Artefakte: durch Probanden selbst generiert• Technische Artefakte: durch Geräte erzeugt oder von außen
eingekoppelt
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Beispiele für ArtefakteBiologische Artefakte:
• Augenbewegungen
• Muskelverspannungen
• EKG
• Pulswellen
• Schwitzen
• Bewegungen
Technische Artefakte:• Fehler in der Ableit-und Registriertechnik
• Kontaktstellen mit Elektroden (Buchse-Stecker, Stecker-Kabel, Kabel-Elektrode,Elektrode-Haut)
• Kabeldefekte
• Kabelbewegung
• fehlende Erdung
• elektrostatische, magnetische oder hochfrequente elektromagnetische Wechselfelder
• hochohmige Leitungswege
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Artefakte – Beispiel EEG
Einige Beispiele für Artefakteinstreuungen im EEG-Signal.Einige der Artefakte haben einen völlig anderen Frequenzbereichals das eigentliche EEG-Signal (Schwitzen, Muskelartefakte).
Die Herausrechnungsolcher Artefaktekann mithilfeeiner (digitalenoder analogen)Filterung erfolgen.
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Artefakte – Beispiel Power Line Noise
Ein typisches Artefakt bei der Erfassung von elektrischen Biosignalen:Einstreuung elektrischer Felder aus der Umgebung (power line noise).
Im Signal (Beispiel: EEG) erkennt man eine Oszillation mit 50 bzw. 60 Hz(je nach Region), die das Signal sehr stark überlagert.
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Artefakte – Beispiel Power Line Noise
Am besten erkennt man dasArtefakt im Frequenzspektrum:deutlicher Ausschlag bei 50Hertz und seinen harmonischenOberschwingungen.So eine Schwingung kann mandurch eine Filterung sehr gutentfernen.Damit verlieren wir aber auch dieInformation, die möglicherweise imSignal im Frequenzbereich von 50 Hertz vorliegt!
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Merkmalsextraktion mit Filtern
Filterung spielt auch bei der Merkmalsextraktion eine Rolle, z.B.• Beim EEG-Signal kann man einen gewissen Frequenzbereich
betrachten und dann seine Eigenschaften bestimmen (z.B.Alpha-Aktivität etc.)
• In der Sprachverarbeitung basieren alleStandardvorverarbeitungsmethoden auf Frequenztransformationen.Damit wird u.a. die Funktionalität des menschlichen Ohrsnachgebildet.
• Weitere Anwendungen: Atemaktivität, Puls/Herzfrequenz, etc.
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Inhalt der Vorlesung
• Artefakte
• Fourier-Transformation, z-Transformation
• Filterung
• Entwurfsmuster und Typen rekursiver Filter
• Entwurfsmuster und Typen nichtrekursiver Filter
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Kontinuierliche Fourier-Transformation
Für eine kontinuierliche Funktion der Zeit x(t) definieren wir die(kontinuierliche) Fourier-Transformation F durch:
X (e jω) = F(x(t)) =
∫ ∞−∞
x(t)e−jωtdt.
mit j =√−1.
f (t) = e jωt = cos(ωt) + j sin(ωt) istdie komplexe Schwingung : für φ ∈ [0, 2π]bewegt sich der Punkt re iφ auf demKreis mit Radius r .Daher ist X (e jω) interpretierbar alsein Wert, der angibt, welchen Anteildie Frequenz ω am Eingabesignal hat.
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Umkehrung der Fourier-Transformation
Die Umkehrung der Fourier-Transformation ist gegeben durch
x(t) = F−1(X (e jω)) =12π
∫ ∞−∞
X (e jω)e jωtdω.
Wir schreiben ein Fourier-Transformationspaar auch so:
x(t) c sX (e jω)
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Eigenschaften der Fourier-Transformation
Die wichtigsten Eigenschaften der Fourier-Transformation:• Linearität: Es ist F((x + y)(t)) = F(x(t)) + F(y(t)) undF(ax(t)) = aF(x(t)).
• Umkehrbarkeit: Auf geeigneten Definitionsbereichen hat dieFourier-Transformation ein Inverses (siehe letzte Folie) → bei derFourier-Transformation geht keinerlei “Information” verloren.
• Komplexheit: Die Fourier-Transformierte einer Funktion ist (i.a.)komplex: Der Betrag |X (e jω)| ist die Amplitude, das Argument](X (e jω)) ist die Phase.
Die Fourier-Transformierte einer Funktion bzw. eines Signals heißt auchdas (Frequenz-)Spektrum des Signals.
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Beispiel zur Fourier-Transformation
Ein (informelles) Beispiel für dieFourier-Transformation.
• Oben und in der Mittelinks sind zwei reine Schwingungen.
• Diese entsprechen imFourier-Bereich je zwei Peaks bei denzugehörigen Frequenzen ω und −ω.
• Die “Peaks” sind eigentlich(Dirac-)impulse (kommt nachher).
• Summiert man die Frequenzen auf,müssen auch dieFourier-Transformierten aufsummiertwerden: Dies ist die Linearität derFourier-Transformation.
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Beispiel zur Fourier-Transformation
Links ein echtes Audiosignal (links), rechts sein Frequenzspektrum. DasAudiosignal ist mit 8 kHz abgetastet → das Spektrum erscheint mit einerGrenzfrequenz von 4 kHz.
Quelle: Wikipedia, “Frequency spectrum”
(Die vertikale Achse im Frequenzspektrum ist logarithmisch eingeteilt.)
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Die diskrete Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformation kann man auch auf diskrete Signaleübertragen.Die diskrete Fourier-Transformation (DTFT) einer Folge x [k]:
X (e jω) = F(x [k]) =∞∑
k=−∞x [k]e−jωk
Die DTFT ist periodisch mit Periode 2π! Also betrachten wir bei derRücktransformation auch nur ein Intervall dieser Länge:
x [k] =12π
∫ π
−πX (e jω)e jωkdω.
Achtung: Die DTFT transformiert ein diskretes Signal in einekontinuierliche Funktion!
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Die diskrete Fourier-Transformation
Die wichtigsten Eigenschaften der DTFT:• Die Linearität der kontinuierlichen Transformation bleibt erhalten.• Auch die DTFT ist komplex.• Die DTFT ist periodisch mit Periode ω = 2π. (Folgt direkt aus der
Gleichung.)• Wenn x [k] durch Abtastung eines kontinuierlichen Signals s(t)
entstanden ist, dann approximiert die DTFT von x [k] dieFourier-Transformation von s(t).
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Der Dirac-Impuls
Wir haben die kontinuierliche und diskrete Fourier-Transformationdefiniert und einige grundlegende Eigenschaften kennengelernt.Bisher noch übersprucngen: die Definition eines Dirac-Impulses!Betrachten wir die komplexe Schwingung
f (t) = e jω0t = cos(ω0t) + j sin(ω0t)
mit fest gewähltem ω0. Wie lautet Ihre Fourier-Transformierte?
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Der Dirac-Impuls
Wir machen den Ansatz
F (ω) = F(f (t)) =
∫ ∞−∞
f (t)e−jωtdt
=
∫ ∞−∞
e jω0te−jωtdt =
∫ ∞−∞
e j(ω0−ω)tdt.
I unlösbares Problem:• Für ω = ω0 ist das Integral unendlich• Für alle andere Werte von ω konvergieren Realteil und Imaginarteil
des Integranden nicht.
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Der Dirac-Impuls
Lösung: Einführung des Dirac-Impulses: δ(ω) solleine Funktion auf ω ∈ R sein mit der Eigenschaft
• δ(ω) = 0 ∀ω 6= 0•∫∞−∞ δ(ω)dω = 1.
Also: Der Dirac-Impuls ist fast überall Null, im Nullpunkt aber unendlichhoch, und zwar so unendlich, dass die Gesamtfläche unter ihm gleich 1 ist.Ebenso ist natürlich
∫∞−∞ α · δ(ω)dω = α, α ∈ R usw.
Der Pfeil an der Spitze deutet an, dass der Dirac-Impuls keine normaleFunktion ist.
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Umgang mit Dirac-Impulsen
Der Dirac-Impuls ist also ein unendlich schmales, unendlich hohesRechteck mit der Fläche 1. Man kann diese Definition strengmathematisch begründen (Laurent Schwartz, Distributionentheorie).Übrigens werden wir Dirac-Impulse sowohl im Zeit- als auch imFrequenzbereich betrachten.Aus der Charakterisierung des Dirac-Impulses folgt die maßtheoretischeSampling-Eigenschaft ∫ ∞
−∞f (x)δ(x) = f (0)
für alle (vernünftigen) Funktionen f .Diese Eigenschaft wird in der Regel alles sein, was wir benötigen.
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Der Dirac-Impuls
Die Fourier-Transformation der komplexenSchwingung ist nun möglich:Es gilt für f (t) = e jω0t
F (ω) = F(f (t)) = 2πδ(ω − ω0).
(Zum Beweis betrachte die Rücktransformation.)
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Faltung im Zeitbereich
Die Faltung zweier Funktionen x(t) und h(t) (im Zeitbereich) istfolgendermaßen definiert:
y = x ∗ h mit y(t) =
∫ ∞−∞
x(τ)h(t − τ)dτ.
bzw. im diskreten Fall
y = x ∗ h mit y [n] =∞∑
k=−∞x [k]h[n − k].
Die Faltung ist eine kommutative Operation!
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Faltung im Zeitbereich
Wir können alle drei Funktionen aus der Gleichung
y = x ∗ h mit y(t) =
∫ ∞−∞
x(τ)h(t − τ)dτ. (※)
in den Frequenzbereich transformieren (geht im diskreten Fall genauso):
y(t) c sY (ω), x(t) c sX (e jω), h(t) c sH(ω)
Dann nimmt die Gleichung ※ die folgende Form an:
Y (e jω) = X (e jω) · H(e jω)
Aus der Faltung wird also im Frequenzbereich eine Multiplikation!(Warum?)Was bewirkt die Faltung mit einem Dirac-Impuls?
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Zusammenhang zwischen kont. und diskr. Spektrum
Die Approximationseigenschaft der diskreten Fourier-Transformationliefert uns auch eine Erklärung des Nyquist-Theorems (Abtasttheorem).
• Sei sK (t) ein kontinuierliches Signal, das mit der AbtastfrequenzfA = 1/T abgetastet wurde. Das resultierende diskrete Signal nennenwir s[n].
• Die Fourier-Transformierte von s soll XK sein, die DTFT von s[n]heiße X . (“K” = kontinuierlich)
• Von X wissen wir, dass es periodisch ist mit Periode 2π.• Andererseits lässt sich zeigen, dass XK innerhalb einer Periode durch
X approximiert wird.
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Zusammenhang zwischen kont. und diskr. Spektrum
• Die direkte Herleitung des Zusammenhangs zwischenkontinuierlichem und diskretem Spektrum ist etwas umständlich (fürDetails siehe Kammeyer/Kroschel, Abschnitt 2.4.1).
• Wir betrachten stattdessen eine anschauliche Herleitung, die auf derFourier-Transformierten von Impulsfolgen beruht und insbesondereauch geeignet ist, das Nyquist-Theorem anschaulich zu “beweisen”.
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Fouriertransformierte eines Impulses
Frage: Was ist eigentlich die Fourier-Transformierte eines einzelnenDirac-Impulses?
Quelle: Rogina, Vorlesung “SMMK”
Ist der Dirac-Impuls an der Stelle t = 0,so folgt
F(δ)(ω) =
∫ ∞−∞
δ(t)e−jωtdt = e−jω·0 = 1
für alle ω (siehe Bild).Was ergibt sich, wenn der Impuls nicht an der Stelle t = 0 ist?
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Herleitung des Nyquist-Theorems
Neue Frage: Was ist eigentlich die Fourier-Transformierte einerImpulsfolge?Mit ähnlichen Argumenten wieoben zeigt sich:
• Die (kontinuierliche)Fourier-Transformierteeiner Impulsfolge ist selberwieder eine Impulsfolge.
• Die Frequenzändert sich aber: Je höher dieFrequenz der ursprünglichenImpulsfolge, desto niedriger die Frequenz der Transformierten, undumgekehrt! Die Frequenzen verhalten sich antiproportionalzueinander.
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Herleitung des Nyquist-Theorems
Warum ist das interessant?
• DAbtasten eines kontinuierlichen Signals ⇔ Multiplikation desSignals mit einer Impulsfolge im Zeitbereich!
• Im Frequenzbereich: Faltung mit einer Impulsfolge, deren Periodeumgekehrt proportional zur Periode der Folge im Zeitbereich ist.
Was passiert, wenn man eine Funktion mit einem Impuls faltet? Und mitmehreren?
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Faltung einer Funktion mit einer Impulsfolge
Die Faltung einer Funktion mit einem Impuls lässt die Funktionunverändert.Die Faltung einer Funktion mit einer Impulsfolge erzeugt identischeKopien der Funktion, wenn die Impulse weit genug auseinander liegen.
Quelle: abgeändert von Rogina, Vorlesungsskript “SMMK”
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Herleitung des Nyquist-Theorems
Quelle: Rogina, Vorlesungsskript “SMMK”
Damit können wir dasNyquist-Theorem anschaulicherklären.Die Multiplikation im Zeitbereichwird im Frequenzbereich zu einerFaltung mit einer Impulsfolge.Darum wiederholt sich das diskreteSpektrum.
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Herleitung des Nyquist-Theorems
Quelle: Rogina, Vorlesungsskript “SMMK”
Wenn die Abtastpunkte imZeitbereich nah genug beisammensind, sind die periodischenWiederholungen des Spektrumsweit auseinander I allesin Ordnung (vorletzte Zeile).Was erkennt man in der letztenZeile?
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Aliasing
• Wenn die Abtastpunkte im Zeitbereich nah genug beisammen sind,ist alles in Ordnung.
• Wenn sie das nicht sind, tritt Aliasing ein: Die Spektra nach demAbtasten überlagern sich, und das ursprüngliche kontinuierlicheSpektrum wird zerstört.
Quelle: Rogina, Vorlesungsskript “SMMK”
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Aliasing
Auf der Grafik sieht man korrektes Abtasten (oben) und Aliasing (unten).
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Das Nyquist-Theorem
Wie häufig muss man abtasten?
Nyquist-TheoremWenn ein bandbegrenztes Signal mit der maximalen Frequenz ωmaxmit einer Abtastrate fA > 2 · ωmax abgetastet wird, kann das origi-nale Spektrum aus der diskreten Abtastung vollständig rekonstruiertwerden.
• Wenn die Nyquist-Bedingung erfüllt ist, kann somit auch dasoriginale Signal rekonstruiert werden.
• Das heißt, durch ein Sampling mit einer Abtastrate fA > 2 · ωmaxwerden alle Informationen, die im kontinuierlichen Signal enthaltensind, durch die diskrete Folge der Abtastpunkte repräsentiert.
Die wichtige Vorbedingung, dass das Signal überhaupt bandbegrenzt seinmuss, darf aber nicht vergessen werden!
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Zusammenhang zwischen kont. und diskr. Spektrum
Wenn die Bedingung des Nyquist-Theorems erfüllt ist, gilt (nachKammeyer/Kroschel, Abschnitt 2.4.1):
Das Spektrum eines diskreten Signals ist die Überlagerung gegen-einander versetzter und normierter Spektren des zugehörigen konti-nuierlichen Signals.
Das dreiecksförmige kontinuierlicheSpektrum wiederholt sich imdiskreten Fall unendlich oft.Die Höhe der Dreiecke ist jetzt1/T .Die Nyquist-Frequenz ±ωmax = ±fA/2 des kontinuierlichen Signals wirdim diskreten Fall auf die Frequenz ±π/T abgebildet.
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Anti Aliasing
Was muss man tun, um Aliasing zu vermeiden?• Signal vor dem Abtasten filtern.• Der Filter soll möglichst nur tiefe Frequenzen passieren lassen I
low-pass filter.
Wikipedia, “Low pass filter”
Ein einfacher Low-Pass-Analogfilter:Der Kondensator verhält sich wie einfrequenzabhängiger Widerstand, je höhereFrequenzen ankommen, desto geringer istder Spannungsabfall vout am Kondensator.
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Faltung im Zeitbereich
Ähnlich wie im kontinuierlichen Fall ist die Faltung zweier Folgen x [k] undh[k] definiert:
y = x ∗ h mit y [k] =∞∑
i=−∞x [i ] · h[k − i ]. (※)
Wir können alle drei Folgen in den Frequenzbereich transformieren:
y(t) c sY (e jω), y(t) c sY (e jω), h(k) c sH(e jω)
Dann nimmt die Gleichung ※ die folgende Form an:
Y (e jω) = X (e jω) · H(e jω)
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z-Transformation
Die z-Transformation ist eine Generalisierung der diskreten (!)Fourier-Transformation. Wir können sie insbesondere dazu verwenden, dieWirkungsweise von Filtern genau zu beschreiben.Die DTFT transformiert ein Signal x [k] zu
X (e jω) = F(x [k]) =∞∑
k=−∞x [k]e−jωk
Die z-Transformation von x [k] lautet
X (z) = Z(x [k]) =∞∑
k=−∞x [k]z−k .
Dabei ist z eine komplexe Zahl undzn = rne jφn = rn(cos(φn) + j sin(φn)).
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Zusammenhang zwischen DTFT und z-Transformation
Bei der z-Transformation betrachten wir die ganze komplexe Zahlenebene,bei der DTFT nur den Einheitskreis. Die DTFT ist einfach diez-Transformation aus den Einheitskreis eingeschränkt!Hier ist ein Beispiel dafür:
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Zusammenfassung
Wir haben in diesem Abschnitt folgendes durchgenommen:• Was sind Artefakte? Einige Beispiele.• Kontinuierliche und diskrete Fourier-Transformation, Zusammenhang.
Frequenzdarstellung eines Signals.• z-Transformation als Generalisierung der Fourier-Transformation.
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Inhalt der Vorlesung
• Artefakte
• Fourier-Transformation, z-Transformation
• Filterung
• Entwurfsmuster und Typen rekursiver Filter
• Entwurfsmuster und Typen nichtrekursiver Filter
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Filterung
• Ein Filter transformiert ein Eingabesignal in ein Ausgabesignal.• Filter treten in der Natur an vielen Stellen auf!
• Akustisches Filter (z.B. Auspuff eines Autos, Konzertsaal,menschlicher Vokaltrakt)
• Analoges (elektrisches) Filter (Kombination von Widerständen,Kondensatoren und Spulen)
• Digitales Filter (eine Koeffizientenfolge)• Filtereigenschaften von Objekten (z.B. wirkt bei der Messung von
elektrischen Biosignalen die Haut als Tiefpassfilter).
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Warum filtern wir?
1. Filter wirken auf die Frequenzen eines Eingabesignals I WichtigeSignalverarbeitungsschritte (Modulation, Rauschunterdrückung, ...)können durch Filter modelliert weren
2. In der Natur auftretende Filter können durch digitale Filternachgebildet und beschrieben werden.
3. Die menschlichen Sinne arbeiten oft frequenzabhängig.Augen: elektromagnetische Wellen verschiedener Frequenz →unterschiedliche FarbenOhren: Schall wird in seine Frequenzen zerlegt
4. Filterung ist eine sehr “fundamentale” Operation!
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Eigenschaften eines linearen zeitinvarianten Filters
Sei H ein Filter, das ein Eingabesignal x [n] in ein Ausgabesignal y [n]transformiert.
Annahmen über die Eigenschaften dieser “Filterung”:
• Linearität: y [·] soll linear von x [·] abhängen.
• Zeitinvarianz: Die Eigenschaften von H ändern sich nicht mit der Zeit.
Außerdem soll vorerst gelten:
• Kausalität: Die Ausgabe des Filters hängt nur von der Vergangenheit ab.
• Ein endliches Eingabesignal erzeugt ein endliches Ausgabesignal.
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Eigenschaften eines linearen zeitinvarianten Filters
Wir haben ein lineares zeitinvariantes Filter (LTI-Filter) definiert.
Wir regen den Filter nun mit einem Dirac-Impuls an, der im diskreten Falleine ganz gewöhnliche Folge ist:
δ[n] =
1 wenn n = 00 sonst
Dies liefert uns ein (endliches) Ausgabesignal h[n], die Impulsantwort desFilters.Was passiert, wenn wir ein komplexeres Signal als Eingabe des Filtersverwenden?
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Eigenschaften eines linearen zeitinvarianten Filters
Eingabe x [n]: ein beliebiges Signal.x [n] ist eigentlich eine gewichtete Summe von verschobenen Impulsen:
x [n] =∑ν
x [ν] · δ[n − ν].
H ist linear und zeitinvariant I die Ausgabe y ist schon durch dieImpulsantwort h festgelegt! Es gilt
y [n] =∞∑
ν=−∞x [ν] · h[n − ν]
(wobei die Summe endlich ist, falls h endlich ist wie vorausgesetzt). Diesist eine diskrete Faltung:
y = x ∗ h.
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Filterung im Frequenzbereich
Wenn wir die Gleichung y = x ∗ h in den Frequenzbereich transformieren,wird aus der Faltung eine Multiplikation:
y = x ∗ h c s Y (e jω) = X (e jω) · H(e jω)
oder im z-Bereich
y = x ∗ h c s Y (z) = X (z) · H(z).
Daher sind LTI-Filter Multiplikationen im Frequenzbereich!Die Linearitätseigenschaft der Filterung bleibt auch im Frequenzbereicherhalten.
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Filterung: Schwingungen als Eigenfunktionen
Jeder reine Schwingungsanteil e jωt wird mit einem Faktor (nämlichH(e jω)) multipliziert I reine Schwingungen sind Eigenfunktionen derFilteroperation!Wenn H(e jω) komplex ist, verschiebt sich diePhase der Schwingung e jωt :
e jωt H7→ |H(e jω)| · e jωt+]H(ejω)
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Filterung: Definitionen
• H(·) heißt Übertragungsfunktion• H(e jω) heißt Frequenzgang - das ist die Einschränkung der
Übertragungsfunktion auf reine Schwingungen als Eingabe.
Für eine komplexe Zahl c = (r , i) ist der Betrag ihre Länge |c | =√r2 + i2
und ihr Argument der Winkel zur reellen Zahlengeraden ]c = arctan i/r .Der Betrag einer Schwingung heißt Amplitude, ihr Argument: Phase.Dementsprechend definieren wir
• den Amplitudengang |H(e jω)|• den Phasengang ]H(e jω).
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Mathematische Beschreibung der LTI-Filter
Wir betrachten nur lineare, zeitinvariante (LTI – linear time-invariant)Filter. Diese kann man so einteilen:Finite impulse response (FIR)-Filter oder nichtrekursive Filter: Wenn dasEingabesignal endlich ist, ist das Ausgabesignal ebenfalls endlich. Beispiel:
y [n] = x [n] + 3x [n − 1] + 0.8x [n − 2]− 0.4x [n − 3]
Infinite impulse response (IIR)-Filter oder rekursive Filter: Hier trittRekursion auf: Die Ausgabe des Filters wirkt auf die Eingabe zurück I einendliches Eingabesignal kann ein nicht endendes Ausgabesignal erzeugen.Beispiel:
y [n] = x [n]− 0.5x [n − 1] + 0.2y [n − 1]
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Faltung und Differenzengleichung
Die Filter auf der vorigen Folie sahen anders aus, als wir sie bisher hatten?Nein, wir haben sie bloß anders geschrieben! Der erste Beispielfilter isttatsächlich eine einfache Faltung:
y [n] = x [n]+3x [n−1]+0.8x [n−2]−0.4x [n−3]⇔ y = (1, 3, 0.8,−0.4)︸ ︷︷ ︸h
∗x
mit einer Koeffizientenfolge h = (1, 3, 0.8,−0.4).
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Faltung und Differenzengleichung
Entsprechend können rekursive Filter durch eine Differenzengleichungcharakterisiert werden:
y [n] = −a1y [n − 1]− a2y [n − 2]− . . .− amy [n −m]
+ b0x [n] + b1x [n − 1] + . . .+ blx [n − l ]
oder anders geschrieben
y [n] + a1y [n − 1] + a2y [n − 2] + . . .+ amy [n −m]
= b0x [n] + b1x [n − 1] + . . .+ blx [n − l ]
oder noch anders geschrieben
a ∗ y = b ∗ x .
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Mathematische Beschreibung rekursiver Filter
Transformation in den z-Bereich:
y [n] + a1y [n − 1] + a2y [n − 2] + . . .+ amy [n −m]
= b0x [n] + b1x [n − 1] + . . .+ blx [n − l ]
Es folgt für die linke Seite
y [n]+a1y [n−1]+a2y [n−2]+. . .+amy [n−m] = (a∗y)[n] c sA(z)·Y (z)
und für die rechte Seite
b0x [n]+b1x [n−1]+ . . .+blx [n− l ] = (b∗x)[n] c s B(z) ·X (z)
Weil die beiden Seiten gleich sein müssen, haben wir also A · Y = B · Xoder
Y =BA· X = H · X mit H = B/A.
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Übertragunsfunktionen im z-Bereich
Ein rekursives Filter hat also genau wie ein nichtrekursives Filter eineÜbertragungsfunktion H, so dass im z-Bereich Y = H · X gilt.Ein Beispiel für einen nichtrekursiven Filter:
y [n] = x [n]− 0.2x [n − 1] + 3x [n − 2]
Die Koeffizientenfolge ist also h = (1,−0.2, 3). Transformation in denz-Bereich ergibt
H = 1− 0.2z−1 + 3z−2,
eine ganzrationale Funktion in z−1.
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Übertragunsfunktionen im z-Bereich
Betrachten wir nun z.B. das rekursive Filter
y [n] = y [n − 1] + 0.5y [n − 2] + x [n] + x [n − 1]
⇔ y [n]− y [n − 1]− 0.5y [n − 2] = x [n] + x [n − 1].
Die Koeffizientenfolgen sind a = (1,−1,−0.5) und b = (1, 1).Transformation in den z-Bereich ergibt
A = 1− z−1 − 0.5z−2 und B = 1 + z−1
sowie
H =BA
=1 + z−1
1− z−1 − 0.5z−2
also eine gebrochen rationale Funktion.Welche Konsequenzen hat das?
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Pole und Nullstellen
Nullstellen von Zähler bzw. Nenner der Übertragungsfunktion sindNullstellen bzw. Pole des Systems. Im Beispiel ist (nach Erweiterung mitz2)
H =BA
=1 + z−1
1− z−1 − 0.5z−2 =z2 + z
z2 − z − 0.5. (>)
Die Nullstellen ergeben sich aus dem Zähler zu z01 = 0 und z02 = −1.Aus dem Nenner ergeben sich die Polstellen zu z∞1,2 = 0.5(1± j).Dann ist
H =BA
=z(z + 1)
(z − 0.5(1 + j))(z − 0.5(1− j)).
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Das Pol-Nullstellen-Diagramm
Das Pol-Nullstellen-Diagramm der Funktion
H =BA
=z(z + 1)
(z − 0.5(1 + j))(z − 0.5(1− j)):
Die Pole sind durch Kreuze markiert, die Nullstellen durch kleine Nullen(Eselsbrücke).
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Das Pol-Nullstellen-Diagramm
Aus dem Diagramm bestimmen wir |H(e jω)|:
|H| =
∣∣∣∣BA∣∣∣∣ =
|z | · |(z + 1)||(z − 0.5(1 + j))| · |(z − 0.5(1− j))|
,
I der Amplitudengang |H(e jω)| entspricht dem Produkt der Entfernungenvon |H(e jω)| zu den Nullstellen, dividiert durch das Produkt derEntfernungen von |H(e jω)| zu den Polstellen.
62 / 103Metho
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Beispiel: Moving Average Filter
Der Moving Average Filter:• ein einfaches Filter mit Tiefpasscharakteristik• benachbarte Samples werden (gewichtet) aufaddiert
Originalsignal und gefilterte Ver-sion
Impulsantwort des Moving Ave-rage Filters
63 / 103Metho
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Beispiel: Moving Average Filter
Dies ist das Pol-Nullstellendiagramm des Moving Average Filters.Die Nullstellen des Filters liegenauf dem Einheitskreis äquidistantverteilt, nur z = (1, 0) fehlt.z-Transformierte der Impulsantwort:Aus h = 1
9(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) folgt
H(z) = 1 + z−1 + z−2 + . . .+ z−8
=z8 + z7 + . . .+ 1
z8 .
Im Ursprung ergibt sich ein achtfacher Pol I typisch für FIR-Filter.Wer kann sagen, warum die Nullstellen so verteilt sind?
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Beispiel: Moving Average Filter
Aus (z8H(z)
)= z8 + z7 + . . .+ 1 =
z9 − 1z − 1
folgt: die Nullstellen von H entsprechen genau den Einheitswurzeln, außereben z = (1, 0) – dies ist also die Beschreibung des Moving AverageFilters.
Die Grafik zeigt nun nochden Amplitudengang desFilters, der anhand desPol-Nullstellendiagramms gutnachvollziehbar ist. Der Filterhat offensichtlich keine besondersguten Tiefpasseigenschaften, wir
werden im nächsten Abschnitt bessere Entwürfe kennenlernen.
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Filtertypen
Filter können in der Technik eine Reihe von Aufgaben haben, und esexistieren sehr viele unterschiedliche Typen von Filtern.In der Biosignalverarbeitung: Filter sollen gewisse Frequenzen (möglichstexakt) sperren bzw. unverändert durchlassen. Damit ergeben sich die vierGrundtypen
1. Tiefpassfilter: lassen tiefe Frequenzen passieren und unterdrücken hohe
2. Hochpassfilter: lassen hohe Frequenzen passieren und unterdrücken tiefe
3. Bandpassfilter: lässt Frequenzen aus einem gewissen Intervall passieren
4. Bandsperrfilter: unterdrückt ein gewisses Frequenzintervall (Beispiel:50-Hertz-“Kerbfilter” zur Unterdrückung von Störungen durchWechselstrom)
Aber: Der “ideale” Amplitudengang ist nicht praktisch realisierbar, wirmüssen ihn also approximieren.
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Zusammenfassung
Was haben wir über die Filterung erfahren?• Wir haben die Definition von Filtern kennengelernt.• Wir haben erfahren, wie man einen Filter im Zeit- bzw.
Frequenzbereich beschreiben kann (für alle, die die Vorlesung“Biosignale und Benutzerschnittstellen” gehört haben, war das schonbekannt).
• Wir haben gelernt, wie man aus dem Pol-Nullstellendiagramm einesFilters seinen Amplitudengang ablesen kann.
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Inhalt der Vorlesung
• Artefakte
• Fourier-Transformation, z-Transformation
• Filterung
• Entwurfsmuster und Typen rekursiver Filter
• Entwurfsmuster und Typen nichtrekursiver Filter
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Überblick
Wir betrachten nun, wie man typischerweise rekursive Filter für einegegebene Aufgabe entwerfen kann.Diese Entwürfe sind alle von Entwurfsmethoden für analoge Filterabgeleitet (darum sind sie für uns auch nicht sooo interessant).Zur Durchführung des Entwurfs gibt es viel Spezialliteratur, aber auchfertige Toolboxen (z.B. MATLAB). Wir besprechen hier nur dieGrundideen.
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Entwurf rekursiver Filter
Wir beschränken uns auf den Entwurf eines Tiefpasses. Für die anderenTypen gibt es dann Transformationsmethoden.
angepasst von Kammeyer/Kroschel, Bild4.2.5
Vorgegeben ist ein Toleranzschema(siehe Bild). Je enger die Toleranzgrenzensind, desto höher wird die Filterordnung(die Anzahl der Filterkoeffizienten).
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Entwurf rekursiver Filter
Die wichtigsten Entwurfsmuster im kontinuierlichen Bereich: DerButterworth-Entwurf, der Tschebyscheff-Entwurf (der auf einerApproximation durch Tschebyscheff-Polynome beruht), und dieCauer-Filter.Auf Basis des gewählten Musters und des Toleranzschemas kann man nundie genauen Filterkoeffizienten ausrechnen.
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Butterworth-Entwurf
Amplitudengang und Pol-Nullstellendiagramm für einenButterworth-Filter. Die Filterordnung ist 15, und bei z = (−1, 0) liegt eine15-fache Nullstelle.Der Toleranzbereich wird voll ausgenutzt. Der Amplitudengang hat einensehr flachen Verlauf, dies wird durch eine hohe Filterordnung erreicht.
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Tschebyscheff-Entwurf
Amplitudengang und das Pol-Nullstellendiagramm für einenTschebyscheff-Filter (ersten Typs). Die Filterordnung ist 6, und beiz = (−1, 0) liegt eine 6-fache Nullstelle.Der Toleranzbereich wird voll ausgenutzt; charakteristisch sind die“Ripples” im Durchlassbereich. Alternativer Entwurf: “Ripples” stattdessenim Sperrbereich liegen.
73 / 103Metho
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Cauer-Entwurf
Letzter Standardentwurf für rekursive Filter: den Cauer-Filter. DieFilterordnung ist minimal (bei dem gleichen Toleranzschema wie vorherbrauchen wir nur noch vier Null-/Polstellen!), allerdings ist diePhasenverzerrung stärker als bei den vorherigen Filtern.
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Vergleich der Filterentwürfe
Welchem Filterentwurf würde man bei den rekursiven Filtern den Vorzuggeben?Das hängt von der konkreten Anwendung ab!
• Der Cauer-Filter hat die kleinste Filterordnung, dafür aber eine rechtstarke Phasenverzerrung.
• Der Butterworth-Filter hat den flachsten Verlauf desAmplitudengangs (man sieht auch, dass er das Toleranzschemaeigentlich übererfüllt), aber auch die höchste Filterordnung.
Das Problem der Phasenverzerrung tritt bei allen rekursiven Filtern undallen Analogfiltern auf. Digitale Filter können hingegen völlig ohnePhasenverzerrung entworfen werden.
75 / 103Metho
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Bemerkungen
• Wir haben jetzt betrachtet, wie man einen Tiefpassfilter mitgewünschten Charakteristiken entwirft.
• Die Transformationsalgorithmen, um Hochpass-, Bandpass- oderBandsperrfilter zu erhalten, nehmen wir nicht im Detail durch.
• Diese Filterentwürfe entstammen eigentlich der Analogfiltertechnik.• Was wir bei der digitalen Realisierung noch gar nicht betrachtet
haben, sind Quantisierungseinflüsse: Wenn wir einen Filter mitdigitalen Koeffizienten repräsentieren, müssen diese Koeffizientennotwendigerweise quantisiert werden.
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Bemerkungen
Bei der Quantisierung muss man zunächstbeachten, dass nicht alle mathematischidealen Werte (z.B. Positionen vonPolstellen) realisierbar sind.Das Bild links zeigt die möglicheLage von Filterpolstellen bei einemeinfachen Beispielsystem nach der Quantisierung. Man ist hier von einergleichmäßigen Verteilung weit entfernt!Deutlich besser geht es mit einer komplizierteren Filterstruktur (rechts).Bei der Produkt- und Summenberechnung können Rundungsfehlerauftreten, die nichtlinearen Charakter haben und z.B. zu sogenanntenQuantisierungsgrenzzyklen führen können.
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Beispiel: Linear Prediction
• In diesem Beispiel betrachten wir einen Filterentwurf, der unteranderem in der Sprachverarbeitung verwendet wird.
• Hierbei geht es darum, einen Nur-Pole-Filter zu entwerfen bzw. seinePolstellen zu bestimmen.
• Dies macht dann Sinn, wenn für den gegebenen Anwendungszwecknur die Polstellen interessant sind.
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Beispiel: Linear Prediction
Schauen wir uns zunächst ein klassisches Modell der Sprachentstehung an:
Im Rachenraum entsteht das Schallsignal E :• entweder als Wellenform mit einer durch Länge und Spannung der
Stimmbänder bestimmen Grundfrequenz (bei stimmhaften Lauten)• oder als weißes Rauschen (bei stimmlosen Lauten).
In Mund- und Nasenhöhle wird dieses Signal dann mit einem Filter Hgefiltert, so dass das Sprachsignal X entsteht. Mathematisch haben wiralso im Frequenzbereich die wichtige Formel X (z) = E (z) · H(z).
79 / 103Metho
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Beispiel: Linear Prediction
Wir interessieren uns in der Spracherkennung eigentlich für das Filter H.Das Anregungssignal E ist weniger wichtig (abgesehen mal von derUnterscheidung von stimmhaften und stimmlosen Lauten).Dieses Filter H wollen wir also bestimmen, d.h. wir müssen seinenFrequenzgang abschätzen. Wir approximieren diesen Frequenzgangdadurch, dass wir einen nur-Pole-Filter annehmen:
H(z) =1
A(z)=
11−
∑pk=1 akz−k .
mit einer vorher gewählten konstanten Filterordnung p und derNormierung a0 = 1.
80 / 103Metho
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Beispiel: Linear Prediction
Rücktransformation der Gleichung E (z) · 1/A = X in den Zeitbereichergibt
e[n] = (x ∗ a)[n]
und mit der Normierung a0 = 1
x [n] =
p∑k=1
akx [n − k] + e[n].
A ist also ein Filter, der das aktuelle Ausgabesignal aus den p vergangenenAusgaben vorhersagt.Diese Vorhersage ist natürlich nicht fehlerfrei, e[n] kann als der Fehlerdieser Vorhersage aufgefasst werden.Für ein Fenster (typischerweise etwa 16 ms = 256 Samples) desSprachsignals können wir die optimalen Filterkoeffizienten z.B. durchMinimierung des quadratischen Fehlers bestimmen.
81 / 103Metho
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Beispiel: Linear Prediction
Diese Filterkoeffizienten können wir nun anstelle der Fourier-Koeffizientenals Feature für einen Spracherkenner verwenden I Linear PredictiveCoding.Im LPC-Spektrum sind diePolstellen (Formanten) desSprachsignals gut sichtbar,aber das LPC-Spektrumist viel glatter als dasFourier-Spektrum.
82 / 103Metho
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Zusammenfassung und Bemerkungen
Wir haben in diesem Abschnitt folgendes gelernt:• Rekursive Filter (= IIR-Filter) zeichnen sich durch das Vorhandensein
von Polstellen in der z-Ebene aus.• Sie entstammen ursprünglich der Analogtechnik. Digital sind sie zwar
auch realisierbar, allerdings erhält man Quantisierungseffekte.• Bei den verschiedenen Entwürfen ist eine Abwägung zwischen
Filterordnung, Toleranz und Phasenverzerrung zu treffen.• Ein weiteres Beispiel: Der Linear Prediction Filter.
83 / 103Metho
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Inhalt der Vorlesung
• Artefakte
• Fourier-Transformation, z-Transformation
• Filterung
• Entwurfsmuster und Typen rekursiver Filter
• Entwurfsmuster und Typen nichtrekursiver Filter
84 / 103Metho
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FIR-Filter
In diesem Abschnitt: Entwürfe für nichtrekursive Filter, also für Filter mitendlicher Impulsantwort (FIR-Filter).
• Filter mit endlicher Impulsantwort sind rein mathematisch einSpezialfall der allgemeinen rekursiven Filter (dieÜbertragungsfunktion hat Nenner 1).
• Die rekursiven Filter stammen eigentlich aus der Analogtechnik.• Nichtrekursive Filter wiederum sind mit Analogtechnik prinzipiell
nicht zu realisieren. Sie sind also gerade in der digitalenSignalverarbeitung interessant.
85 / 103Metho
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Vorteile der FIR-Filter
Die Hauptvorteile der FIR-Filter sind die folgenden:• Lineare Phase: Es ist möglich, Filter zu konstruieren, die keine
Phasenverzerrung aufweisen. Das ist bei rekursiven Filtern prinzipiellnicht exakt möglich.
• Die Filter sind grundsätzlich stabil, das bedeutet, dass einebeschränkte Eingabe auch eine beschränkte Ausgabe liefert. DieseEigenschaft bleibt auch bei Quantisierung erhalten!
• Adaptive Systeme, wie z.B. der Wiener-Filter, lassen sich mitFIR-Filtern viel einfacher realisieren als mit rekursiven Filtern.
Ein Nachteil existiert aber auch: Um ähnliche Toleranzeigenschaften(Flankensteilheit, Sperrdämpfung) zu haben wie bei einem rekursivenFilter, sind deutlich höhere Filterordnungen erforderlich.
86 / 103Metho
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Grundlegender Entwurf eines FIR-Filters
Entwerfen wir einen Tiefpassfilter! Forderung: keine Phasenverzerrung, einSignal, das vollständig im Durchlassbereich liegt, soll völlig unverändertbleiben.Dies bedeutet, das Signal wird lediglich in der Zeit verschoben (z.B. umt0).
Input: e jωt → Output: e jω(t−t0) = e jωte−jωt0 .
Für die Übertragungsfunktion folgt im Durchlassbereich
H(ω) = e−jωt0 .
87 / 103Metho
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FIR-Tiefpass: Die optimale Lösung
Naheliegender Ansatz: im Frequenzbereich geben wir uns einen idealenFilter vor. Ein Tiefpass mit Grenzfrequenz Ωg hat dieÜbertragungsfunktion
HTP =
1 wenn |Ω| ≤ Ωg
0 wenn Ωg < |Ω| ≤ π
Day = h ∗ x c sY = H · X ,
erhalten wir die zu obigem Filter gehörende Impulsantwort, wenn wir dieFunktion HTP einfach in den Zeitbereich zurücktransformieren!
88 / 103Metho
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FIR-Tiefpass: Die optimale Lösung
Die inverse zeitdiskrete Fourier-Transformation von HTP liefert dieImpulsantwort h mit
hTP [k] =12π
∫ π
−πHTP(e jΩ)e jΩkdΩ
=12π
∫ Ωg
−Ωg
e jΩkdΩ =Ωg
π
sin(Ωgk)
Ωgk.
Die Impulsantwort ist also unendlich lang. Wie kann sie durch eineendliche Folge approximiert werden?
89 / 103Metho
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FIR-Tiefpass: Endliche Approximation
Die einfachste Methode, eine unendlich lange Impulsantwort endlich zuapproximeren, besteht sicher darin, sie irgendwo abzuschneiden.Dies entspricht einer Fensterung mit einem Rechteckfenster – und wirwissen ja schon, dass dies Probleme aufwirft.Fordern wir eine Filterordnung m, so erhalten wir die Impulsantwort
hTP [k] =
Ωgπ
sin(Ωgk)Ωgk für k = −m/2, . . . ,m/2
0 sonst.
Will man, dass der Filter kausal wird, so muss man noch eine Verzögerungeinfügen (also die Impulsantwort h verschieben:hkausal[k] = hTP [k −m/2]).
90 / 103Metho
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FIR-Tiefpass: Endliche Approximation
Das Bild zeigt Impulsantwort und Frequenzgang eines solchen Filters.
Man sieht die Auswirkungen der Approximation:• Die Filterflanke ist nur noch endlich steil, und es ergeben sich
Oszillationen im Durchlass- wie im Sperrbereich.• Erhöht man die Filterordnung, so wie rechts von m = 24 auf
m = 192, so ändert sich die Höhe der Oszillationen nicht(Gibbs’sches Phänomen).
91 / 103Metho
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FIR-Tiefpass: Zusammenfassung des Ansatzes
Wir haben gesehen, wie man einen ganz vernünftigen FIR-Tiefpassfilterbekommen kann, indem man
• den Wunschfrequenzgang im z-Bereich, d.h. im Frequenzbereich,vorgibt
• diese Übertragungsfunktion mit der IDTFT zurücktransformiert• die resultierende, unendlich lange Impulsantwort nach endlich vielen
Samples abschneidet• und sie eventuell noch verzögert.
Dies entspricht einer Fensterung der idealen Impulsantwort mit einemRechteckfenster.Ist das wohl optimal?
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FIR-Tiefpass: Approximation durch Fensterbewertung
• Es gibt alternative Ansätze, mit der unendlich langen idealenImpulsantwort umzugehen.
• Man kann sie nämlich auch mit anderen Fenstern “bewerten” als mitdem Rechteckfenster.
• Die Fensterbewertung entspricht einer Multiplikation im Zeitbereich,also einer Faltung im Frequenzbereich.
• Wir wollen zunächst einmal schauen, was diese Faltung am Beispielder Rechteckfensters bewirkt.
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Wirkungsweise der Faltung
Wir erinnern uns an die Defition der Faltung, und zwar im kontinuierlichenFall (weil wir jetzt eine Faltung im Frequenzbereich betrachten, derkontinuierlich ist):
g = f ∗ h mit g(t) =
∫ ∞−∞
f (τ)h(t − τ)dτ
Wenn wir f als Zielfunktion betrachten und h als Störung, ist es dieFrage, welche Eigenschaften h haben sollte, damit die Störung möglichstgering ausfällt.
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Wirkungsweise der Faltung
Quelle: Rogina, Vorlesung “SMMK”,angepasst
Die neutrale Funktion bezüglich derFaltung ist die Dirac-Delta-Funktionδ(t), also der Einheitsimpuls, dennδ ist definiert durch∫ ∞
−∞f (t) · δ(t) = f (0) für beliebiges f
und daher(f ∗ δ)(t) =
∫ ∞−∞
f (τ)δ(t − τ)dτ = f (t).
Wir wissen, dass die Fourier-Transformation des Dirac-Impulses die“Einsfunktion” e(x) = 1∀x ist. Die Faltung mit δ entspricht nach derFourier-Transformation also einer Multiplikation mit 1.
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Wirkungsweise der Faltung
Wie sieht nun die Spektraldarstellung desRechteckfensters aus? Links zwei Spektrenfür verschiedene Fensterlängen; man sieht,dass das Spektrum eines längeres Fenstersnäher am δ-Impuls liegt, aber dassdie Überschwinger nicht kleiner werden.Diese Funktion ist nun im Frequenzbereich
mit der idealen Impulsantwort des FIR-Tiefpassfilters zu falten. Damit istklar, woher die lästigen Überschwinger und das Gibbs’sche Phänomenkommen.
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FIR-Tiefpass: Approximation durch Fensterbewertung
Welche Fensterfunktionen kommen noch in frage? Eine Möglichkeit ist dasHann-Fenster mit Fensterlänge m + 1:
fHn[k] =
12
(1− cos 2π
m k)
für 0 ≤ k ≤ m0 sonst
Das Spektrum des Hann-Fensters(gestrichelt) ist die Überlagerungvon drei gegeneinander versetztenRechteckfensterspektren (durchgezogen):Der erste und größte Überschwingerwird gerade kompensiert.
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Vergleich von Fensterfunktionen
Eine Variante vom Hann-Fenster ist das Hamming-Fenster
fHm[k] =
(0.54− 0.46 cos 2π
m k)
für 0 ≤ k ≤ m0 sonst
Weitere Beispiele finden sich im Buch von Kammeyer/Kroschel.Links sieht man, wie sichdie Wahl der Fensterfunktionauf den Frequenzgang einesFIR-Tiefpassfilters auswirkt:Für das Rechteckfenster istdie Sperrdämpfung deutlicham schlechtesten.
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Der Parks-McClellan-Entwurf
Der letzte Filterentwurf, den wir behandeln, ist derParks-McClellan-Entwurf.Dies ist heutzutage der Standardentwurf für FIR-Filter mit linearer Phaseund beliebigen Frequenzeigenschaften. Grundidee ist hier, dievorgegebenen Toleranzbereiche vollständig auszunutzen.Für rekursive Filter hatten wirdas durch Tschebyscheff-Polynomegemacht, eine ähnliche Ideeführt auch hier zum Ziel.Das Toleranzschema und seineUmsetzung sind im Bild zu sehen.
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Der Parks-McClellan-Entwurf
Diese Lösung muss numerisch approximiert werden IParks-McClellan-Entwurf.Zwei typische Filter, die nach diesem Modell ermittelt wurden, sieht manin der Grafik unten. Die Sperrdämpfung ist ziemlich hoch, die Ripplesganz charakteristisch.
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Beispiel: Parks-McClellan-Entwurf
Merkregel:
Wer selbst mal einen digitalen Filter braucht, sollte normalerweiseeinen Parks-McClellan-Filter verwenden!
Diese Filter lassen sich z.B. in Matlab mit dem firpm-Befehl erzeugen.Wir machen ein Beispiel: Zu entwerfen ist ein Tiefpassfilter der Ordnung64, der Frequenzen von 0 bis 0.4π durchlässt und Frequenzen ab 0.5πsperrt.Die passende Matlab-Befehlssequenz istfrequencies = [0 .4 .5 1] % Normalisierte Frequenzenresponse = [1 1 0 0] % Von 0 bis 0.4: durchlassen,
% von 0.5 bis 1: sperrenh = firpm(64,frequencies,response)Wie sieht so ein Filter dann praktisch aus?
101 / 103Metho
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Beispiel: Parks-McClellan-Entwurf
Schauen wir uns zunächst die Impulsantwort und dasPol-Nullstellendiagramm des Filters an:
Impulsantwort Pol-NullstellendiagrammDie Impulsantwort geht an den Rändern schnell gegen Null (imUnterschied zur Rechteckfensterung von vorhin!). ImPol-Nullstellendiagramm erkennt man die besondere Lage des Nullstellen,die für den linearen Phasenverlauf sorgt; es gibt eine 64fache Polstelle imUrsprung.
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Beispiel: Parks-McClellan-Entwurf
Zum Schluss schauen wir uns noch an, was wir für eine Frequenzantwortund Phasenantwort bekommen haben.
Amplitudenantwort PhasengangMan sieht bei der Amplitudenantwort den typischen Verlauf derParks-McClellan-Filters. Der Phasengang ist stückweise linear, hat aberwegen der Nullstellen auf dem Einheitskreis Sprungstellen.
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Zusammenfassung und Bemerkungen
Wir haben in diesem Abschnitt folgendes gelernt:• Nichtrekursive Filter (= FIR-Filter) lassen sich nur digital realisieren.• Vorteile gegenüber rekursiven Filtern: Keine Phasenverzerrung, keine
Stabilitätsprobleme bei der Quantisierung.• Standardentwurf: Der iterative Parks-McClellan-Entwurf.
![FilterDesign and HFSS HO[1]](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/54508235af795929148b4966/filterdesign-and-hfss-ho1.jpg)
