MENGAMBIL KEPUTUSAN DENGAN TEOREMA BAYES …library.usu.ac.id/download/fmipa/matematika-rosman3.pdf · Teorema Bayes adalah teori yang digunakan dalam menyelesaikan peluang- ... Untuk

2001 digitized by USU digital libary 1

MENGAMBIL KEPUTUSAN DENGAN TEOREMA BAYES

Dra. Sinuk Malem Pinem Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

PENDAHULUAN 1.1. LATAR BELAKANG

Hampir setiap saat manusia membuat atau mengambil keputusan dan melaksanakannya, yang tentu keputusan itu dilandasi asumsi bahwa segala tindakan merupakan pencerminan hasil proses pengambilan keputusan secara sadar atau tidak. Tidak jarang pula dalam mengambil keputusan sering digunakan konsep peluang untuk pengambilan keputusan dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh suatu pembatalan rencana rekreasi karena diperkirakan akan turun hujan, merupakan salah satu penggunaan konsep peluang. Jadi sebenarnya implementasi konsep peluang (kemungkinan) tersebut telah sering dilakukan sejak orang mulai berfikir dan menimbang sesuatu hal yang akan terjadi.

Dalam wadah organisasi pengambilan keputusan merupakan fungsi utama seorang manajer atau administrator. Kegiatan pengambilan keputusan meliputi pengidentifikasian masalah, pencarian alternatif penyelesaian masalah, evaluasi dari alternatif-alternatif tersebut dan pemilihan alternatif keputusan yang terbaik. Kemampuan seorang pengambil keputusan dalam mengambil keputusan dapat ditingkatkan apabila ia mengetahui dan menguasai teori dan teknik pembuatan keputusan serta kemampuan mengumpulkan informasi yang bisa mendukung dalam penyelesaian masalah tersebut.

Pengambilan keputusan diperlukan pada semua tahap kegiatan administrasi dan manajemen. Misalnya, dalam tahap perencanaan diperlukan banyak kegiatan pengambilan keputusan sepanjang proses perencanaan tersebut. Keputusan-keputusan yang diambil dalam proses perencanaan ditujukan kepada pemilihan alternatif program dan prioritasnya.

Dalam pengambilan keputusan mencakup kegiatan identifikasi masalah, perumusan dan pemilihan alternatif keputusan berdasarkan perhitungan konsekwensi dan berbagai dampak yang mungkin timbul. Begitu juga dalam tahap implementasi atau operasional suatu organisasi, para pengambil keputusan harus membuat keputusan rutin dalam rangka mengendalikan usaha sesuai dengan rencana dan kondisi yang ada.

Dalam tulisan ini akan disajikan implementasi konsep peluang (Teorema Bayes) dalam menentukan keputusan. Pengambilan keputusan berdasarkan Teorema Bayes adalah pengambilan keputusan dengan memilih dari beberapa alternatif yang mungkin dihadapi dengan mempertimbangkan keadaan dan prasarana serta informasi yang tersedia yang mana informasi mempunyai nilai tersendiri yang tentu akan sangat mempengaruhi analisa dalam pengambilan keputusan tersebut.

Banyak para pengambil keputusan yang menggunakan peluang untuk mengambil keputusan, dihadapkan pada dua kondisi, yaitu :

1. Dua atau lebih peristiwa yang dihasilkan dari suatu percobaan tidak dapat terjadi bersamaan.


2. Dua atau lebih peristiwa yang dihasilkan dari suatu percobaan dapat terjadi bersamaan.

Sebagai contoh, dalam studi kasus pemilihan presiden, partai politik peserta

pemilu yang mengumpulkan suara terbanyak tidak bisa dengan sendirinya jadi presiden, karena mereka masih harus berhadapan dengan berbagai kemungkinan, antara lain terjadinya koalisi antara partai politik lainnya. Juga dalam pemilihan ketua DPR. Menyikapi hal tersebut langkah apa yang harus dilakukan oleh partai politik lain untuk menghadapi segala kemungkinan yang terjadi. Hal tersebut tidak lepas dari teori peluang (probabilitas).

Bergerak dari hal tersebut, penulis mencoba membuat alternatif tindakan yang harus ditempuh untuk melihat peluang akhir dengan menggunakan Teorema Bayes.

1.2. Perumusan Masalah

Pengembangan suatu model pengambilan keputusan yang bersifat umum, perlu membuat identifikasi masalah dan mengambil kategori dari berbagai unsur yang merupakan bagian dari masalah beserta pemecahannya. Unsur pertama adalah mengetahui lebih dulu apa tujuan dari pengambilan keputusan itu. Biasanya yang paling umum adalah tujuan yang bersifat ekonomis, setelah itu barulah mengadakan identifikasi alternatif-alternatif yang akan dipilihnya untuk mencapai tujuan itu. Untuk itu kiranya perlu membuat daftar macam-macam tindakan yang memungkinkan untuk mengadakan pilihan keberhasilan setiap alternatif keputusan dikaitkan dengan tujuan yang dikehendaki.

Teorema Bayes adalah teori yang digunakan dalam menyelesaikan peluang-peluang yang berbentuk partisi. Teorema Bayes digunakan pada suatu kejadian dimana pada suatu percobaan yang menghasilkan 2 kemungkinan peristiwa yang terjadi, yaitu peristiwa A dan peristiwa B dengan syarat kedua peristiwa tersebut dependen satu sama lain, maka terjadinya peristiwa A akan berpengaruh terhadap peluang terjadinya peristiwa B.

Dengan berpedoman pengembangan keputusan tersebut dicoba dikembangkan pengambilan keputusan berdasarkan Teorema Bayes apakah itu masalah persediaan, masalah produksi ataupun dalam memilih rekan usaha dalam usaha mewujudkan tujuan organisasi dengan pertimbangan untung rugi dari tindakan yang diambil untuk mencapai hasil yang maksimal.

Inti dari pengambilan keputusan berdasarkan Teorema Bayes ini adalah untuk penelitian yang cermat tentang tindakan apa yang kiranya tersedia, baru dilanjutkan dengan memperkirakan resiko yang akan muncul untuk tiap tindakan dari tiap keadaan yang bakal terjadi di masa depan.

Persoalan yang sesungguhnya yang dihadapi ialah mengambil keputusan terbaik dengan memilih alternatif tindakan yang terbaik dari sejumlah alternatif tindakan yang tersedia guna menghasilkan perolehan yang maksimum. Tidak soal keadaan masa depan (state of nature) apapun yang akan terjadi, karena hal tersebut berada di luar jangkauan pengambil keputusan. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Teori Keputusan


Pengambilan keputusan merupakan proses pembatasan dan perumusan masalah, membuat beberapa alternatif pemecahan beserta konsekuensi masing-masing alternatif. Kemudian memilih salah satu alternatif pemecahan terbaik untuk selanjutnya melaksanakan keputusan tersebut. 2.1.1. Hakikat Pengambilan Keputusan Pengambilan keputusan merupakan pemilihan diantara beberapa alternatif pemecahan masalah. Pada hakikatnya keputusan diambil jika pimpinan menghadapi masalah atau untuk mencegah timbulnya masalah dalam organisasi. Kesimpulan yang diperoleh mengenai pengambilan keputusan adalah tujuan pengambilan keputusan itu bersifat tunggal dalam arti bahwa sekali diputuskan tidak akan ada kaitannya dengan masalah lain. Kemungkinan kedua adalah tujuan pengambilan keputusan dapat bersifat ganda dalam arti bahwa satu keputusan yang diambil sekaligus memecahkan dua masalah atau lebih yang sifatnya kontradiktif ataupun non-kontradiktif. 2.1.2. Faktor-faktor Pengambilan Keputusan Pengambilan keputusan dipengaruhi oleh beberapa faktor antara lain:

1. Faktor keadaan intern organisasi 2. Faktor tersedianya informasi yang diperlukan 3. Faktor keadaan ekstern organisasi 4. Faktor kepribadian dan kecakapan pengambil keputusan

2.1.3. Lingkungan Keputusan Dalam setiap pengambilan keputusan para pengambil keputusan akan selalu berhadapan dengan lingkungan, dimana salah satu karakteristiknya yang paling menyulitkan dalam proses pengambilan keputusan adalah ketidakpastian (Uncertainty), ini adalah salah satu sifat dimana tidak akan dapat diketahui dengan pasti apa yang akan terjadi di masa yang datang. Selain sifat ketidakpastian ini lingkungan juga bersifat kompleks, dimana begitu banyak faktor yang berinteraksi dalam berbagai cara sehingga sering tidak diketahui lagi bagaimana interaksi tersebut berlangsung. 2.1.4. Model Keputusan Ada beberapa elemen dan konsep yang biasanya digunakan pada semua model keputusan, hampir semua model apakah itu kompleks dan sederhana, dapat diformulasikan dengan menggunakan suatu struktur standard dan dipecahkan dengan penggunaan prosedur umum. Dalam tulisan ini digunakan model probabilistik dalam kondisi ketidakpastian yakni memakai Teorema Bayes. 2.2. Konsep dan Aturan Peluang 2.2.1. Ruang Sampel dan Peristiwa Dalam teori peluang, suatu hasil dari percobaan disebut titik sampel atau kejadian ataupun peristiwa. Dengan kata lain peristiwa adalah satu atau lebih kemungkinan hasil dari tindakan. Misalnya dalam pelemparan koin yang mempunyai 2 sisi, yaitu sisi depan (D) dan sisi belakang (B). Dari pelemparan koin tersebut


munculnya sisi depan adalah peristiwa dan munculnya sisi belakang adalah merupakan peristiwa yang lain.

Sedangkan yang disebut dengan ruang sampel (Sample space) adalah hasil yang dibentuk oleh kumpulan peristiwa (hasil percobaan) yang mewakili semua kemungkinan hasil dari percobaan tersebut. Untuk menyatakan ruang sampel digunakan simbol S. Ruang sampel dalam percobaan pelemparan koin tersebut di atas adalah : S = {Depan, Belakang} 2.2.2. Symbol, Defenisi dan Aturan Peluang Dalam teori peluang digunakan simbol untuk menyederhanakan pengungkapan ide atau maksud, pada sebagian atau setiap penulisan peluang peristiwa A yang akan terjadi dinyatakan sebagai berikut : P(A) : yang artinya peluang peristiwa A akan terjadi Nilai peluang terkecil adalah 0 (hal ini menyatakan suatu kejadian tidak mungkin terjadi) dan nilai peluang tertinggi adalah 1 (hal ini menyatakan suatu kejadian pasti terjadi). Secara sistematis batasan nilai nilai peluang dapat dinyatakan:

0≤ P(A)≤1 Hal ini dapat dicari dari diagram Venn di bawah ini :

n(S) = n(A) ∪ n(Ac) ; P(S) =1 P(S) = P(A) ∪ P(Ac) ; P(A) ∩ P(Ac) = 0

P(S) =)()(

)()(

SnAn

SnAn c

∪ ; )()(

)()(

SnAn

SnAn c

∩ = 0

1 =)()(

)()(

SnAn

SnAn c

∪

Dalam suatu observasi atau percobaan, kemungkinan kejadian ada dua yaitu

terjadi atau tidak terjadi. Dengan demikian jumlah peluang terjadi dan tidak terjadi adalah selalu sama dengan 1. Peluang tunggal (single probability) adalah pada suatu percobaan hanya ada satu peristiwa yang akan terjadi. Apabila suatu percobaan hanya terdapat satu peristiwa yang akan terjadi, maka peluangnya disebut peluang marjinal atau unconditional probability.


Untuk mempermudah pengertian terhadap defenisi tersebut digunakan kasus pelemparan mata dadu dimana n=6, untuk sekali lemparan peluang salah satu mata dadu yang akan muncul :

P(x) = 61

Pada kasus ini salah satu mata dadu memiliki kemungkinan muncul adalah 1 dari 6, oleh karena itu dipastikan bahwa peristiwa yang mungkin akan terjadi adalah saling meniadakan karena hanya salah satu mata dadu yang akan muncul. 2.2.3. Peluang Secara Teoritis Dalam beberapa kasus dapat dihitung secara tepat cara yang berlainan dari mana suatu kejadian tertentu dapat terjadi atau tidak dengan menganggap cara yang mungkin terjadi adalah kemungkinan sama (Equally likely). Peluang yang diperoleh dengan anggapan yang demikian disebut juga peluang teoritis atau probabilistik matematik.

Misalnya bahwa suatu peristiwa (A) dapat terjadi dengan n(A) cara dari n(S) kemungkinan cara yang sama, maka peluang kejadian A (sukses) adalah :

P(A) = )()(

SnAn

Peluang dari kejadian A yang tidak sukses (gagal) adalah :

P(Ac) = 1- )()(

SnAn

= 1- P(A)

Atau P(Ac) = 1- P(A) Jumlah dari peluang untuk mendapatkan sukses dan peluang untuk gagal adalah selalu sama dengan 1 atau dengan bahasa statistiknya ditulis :

P(Sukses) + P(Gagal) = P(A) + P(Ac) = 1 2.2.4. Penyajian dengan Diagram Venn Konsep peluang yang telah diuraikan sebelumnya dapat dogambarkan dengan menggunakan suatu diagram yang disebut dengan diagram venn (Venn diagram). Di dalam diagram ini semua ruang sampel (sample space) ditampilkan dengan segi empat dan peristiwa yang mungkin akan terjadi ditampilkan pada bagian persegi tersebut. Apabila dua peristiwa merupakan peristiwa yang saling meniadakan/saling lepas (mutually exclusive) setiap bagian ditampilkan berdiri sendiri. (Gambar II.1.a). Sedangkan dua peristiwa yang tidak saling meniadakan (non-mutually exclusive) bagian yang terdapat akan saling berpotongan (overlap).


(Gambar II.1.b)

(a) Gambar II.1 (b)

Gambar II.1.(a) = Ruang sampel peristiwa yang saling meniadakan (mutually

exclusive) Gambar II.1.(b) = Ruang sampel peristiwa yang tidak saling meniadakan (non-

mutually exclusive) 2.2.5. Aturan Penjumlahan (saling meniadakan) Apabila A dan B adalah dua peristiwa yang saling meniadakan peluang terjadinya peristiwa A atau peristiwa B dapat dinyatakan dengan tanda peluang sebagai berikut : P(A atau B) atau P(A∪B)

Menurut aturan penjumlahan, apabila peristiwa A dan B merupakan peristiwa

yang satu sama lain saling meniadakan maka peluang terjadinya peristiwa A atau B adalah peluang peristiwa A ditambah peristiwa B akan terjadi. Atau secara aturan peluang dapat ditulis sebagai berikut :

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Namun karena peristiwa A dan peristiwa B adalah merupakan peristiwa yang saling meniadakan satu sama lain, maka peluang peristiwa A terjadi bersamaan dengan peristiwa B adalah nol. Maka peluang terjadinya peristiwa A atau B adalah :

P(A∪B) = P(A) + P(B) Sebagai contoh dalam pelemparan dadu di atas, peluang setiap satu mata dadu

akan muncul adalah 1/6. Berapa peluang mata 1 dan mata 5 akan muncul?

P(1) = 61

; P(5) = 61

Peluang bahwa yang akan muncul 1 ∪ 5 adalah :

P(1 ∪ 5) = 61

61

+ = 31

62

=


Peluang seluruh peristiwa yang akan terjadi adalah satu (1) yakni :

P 166

61

61

61

61

61

61

)654321( ==+++++=∪∪∪∪∪

2.2.6. Peristiwa Tidak Saling Meniadakan Dua atau lebih peristiwa dikatakan tidak saling meniadakan apabila dua atau lebih peristiwa tersebut dapat terjadi pada waktu yang bersamaan. Maka peluang terjadinya peristiwa A atau peristiwa B adalah peluang terjadinya peristiwa A ditambah peluang terjadinya peristiwa B dikurang peluang terjadinya peristiwa A dan B secara bersamaan. Atau secara aturan peluang ditulis sebagai berikut : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A dan B) Dimana : P(A ∪ B) = peluang peristiwa A atau B terjadi P(A ∩ B) = peluang peristiwa A dan B terjadi bersamaan

Pada gambar II.1.b. di atas lingkaran A menunjukkan banyaknya kemungkinan peristiwa A akan terjadi dan lingkaran B menunjukkan banyaknya kemungkinan peristiwa B akan terjadi. Sedangkan perpotongan antara lingkaran A dan lingkaran B adalah banyaknya kemungkinan terjadinya peristiwa A dan B terjadi pada waktu yang bersamaan. Untuk lebih mempermudah pemahaman akan diuraikan dengan contoh kasus berikut : Dalam sebuah pooling pendapat yang dilakukan terhadap 250 mahasiswa mengenai pergantian pengurus himpunan, diperoleh data yang menunjukkan adanya mahasiswa yang setuju dan ada yang menolak. Dari hasil pooling tersebut dibuat dalam tabel II.1. berikut : Tabel 2.1. Tabel Data Hasil Pooling Pendapat Yang Dilakukan Terhadap 250 Mahasiswa

Kriteria Setuju (S)

Menolak (M)

Total

Pria (P) 105 30 135 Wanita (W) 85 30 115 Total 190 60 250

Apabila seorang Mahasiswa dipilih secara acak, tentukan peluang bahwa ia adalah :

1. Mahasiswa Pria (P) yang Setuju (S) 2. Mahasiswa Pria (P) yang Menolak (M) 3. Mahasiswa Wanita (W) yang Setuju (S) 4. Mahasiswa Wanita (W) yang Menolak (M)


Solusi:

12,025030

)(

34,025085

)(

12,025030)(

42,0250105

)(

24,025060

)(

76,0250190

)(

46,0250115

)(

54,0250135

)(

==∩

==∩

==∩

==∩

==

==

==

==

MWP

SWP

MPP

SPP

MP

SP

WP

PP

1. Peluang Mahasiswa Pria yang Setuju P(P ∪ S) = P(P) + P(S) – P(P ∩ S) = 0,54 + 0,76 – 0,42

= 0,88 2. Peluang Mahasiswa Pria yang Menolak

P(P ∪ M) = P(P) + P(M) – P(P ∩ M) = 0,54 + 0,24 – 0,12

= 0,66 3. Peluang Mahasiswa Wanita yang Setuju

P(W ∪ S) = P(W) + P(S) – P(W ∩ S) = 0,46 + 0,76 – 0,34

= 0,88 4. Peluang Mahasiswa Wanita yang Menolak

P(W ∪ M) = P(W) + P(M) – P(W ∩ M) = 0,46 + 0,24 – 0,12 = 0,56

Teorema Jika suatu kejadian akan menghasilkan 3 peristiwa yang tidak saling meniadakan yaitu peristiwa A,B dan C maka peluang terjadinya peristiwa A atau B atau C adalah :

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) - P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A dan B ∩ C)

2.3. Peristiwa Independen Secara Statistik Ketika dilakukan dua kali percobaan, peristiwa yang terjadi pada percobaan pertama dapat berpengaruh atau tidak dapat berpengaruh sama sekali terhadap hasil


peristiwa berikutnya. Apabila suatu peristiwa dapat mempengaruhi peristiwa yang lain maka dua peristiwa tersebut dikatakan dependen, dan sebaliknya apabila suatu peristiwa tidak dapat mempengaruhi peristiwa yang lain maka dua peristiwa tersebut dikatakan independen (tidak bergantung). Pada peristiwa yang secara statistik tidak bergantung (independen) terjadinya suatu peristiwa tidak mempunyai pengaruh atas peluang terjadinya peristiwa yang lain. Ada tiga bentuk peluang suatu peristiwa pada kondisi independen secara statistik, yaitu :

1. peluang marjinal (marginal probability) 2. peluang gabungan (joint probability) 3. peluang bersyarat (conditional probability)

2.3.1. Peluang Marjinal (Marginal Probability) Peluang marjinal seperti telah diuraikan di atas adalah peluang sederhana dari terjadinya sutu peristiwa, atau dengan kata lain seberapa besar kemungkinan peluang baku suatu peristiwa akan terjadi dan untuk lebih memudahkan pemahaman dilihat kasus pelemparan koin yang mempunyai 2 sisi yaitu sisi depan (D) dan sisi belakang (B) yang peluang masing-masing sisi akan muncul yaitu P(D) = 1/2 dan P(B) = 1/2, peluang ini akan berlaku dalam setiap percobaan pelemparan koin tersebut. Setiap pelemparan berdiri sendiri dan tidak ada hubungannya dengan hasil pada pelemparan berikutnya. Oleh karena itu hasil dari setiap pelemparan koin adalah suatu peristiwa yang independen secara statistik terhadap pelemparan berikutnya. 2.3.2. Peluang Gabungan (Joint Probability) Peluang gabungan dari 2 atau lebih peristiwa yang independen terjadi bersamaan adalah perkalian dari peluang marjinalnya. Suatu percobaan yang akan menghasilkan dua peristiwa, yaitu peristiwa A dan peristiwa B yang saling independen satu sama lain, maka peluang peristiwa A dan peristiwa B akan terjadi bersamaan adalah hasil kali antara peluang marjinal peristiwa A akan terjadi, dengan peluang peristiwa B akan terjadi. Yang secara matematisnya dapat ditulis sebagai berikut : P(A ∩ B) = P(A) . P(B) Dimana : P(A ∩ B) : peluang peristiwa A dan peristiwa B terjadi bersamaan

P(A) : peluang marjinal peristiwa A P(B) : peluang marjinal peristiwa B

Pada contoh kasus pelemparan koin yang mempunyai dua sisi yaitu sisi depan

(D) dan sisi belakang (B), peluang akan muncul sisi depan pada pelemparan pertama (H1) dan pada pelemparan yang kedua (H2), atau secara matematis ditulis :

P(H1 ∩ H2) = P(H1) . P(H2) Karena P(H1) = ½ dan P(H2) = ½ Maka P(H1 ∩ H2) = ½ x ½ = ¼


2.3.3. Peluang Bersyarat (Conditional Probability) Secara simbolik peluang bersyarat dinyatakan dengan P(B|A) yang artinya peristiwa B akan terjadi dengan syarat peristiwa A terjadi lebih dahulu. Peluang bersyarat adalah peluang peristiwa kedua akan terjadi apabila peristiwa pertama terjadi. Untuk peristiwa yang independen peluang terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A terjadi lebih dahulu adalah sama dengan peluang akan terjadinya peristiwa B, atau secara matematis dituliskan :

P(B | A) = )().()(;)(

)(BPAPBAP

AP

BAP=∩

∩

= )()(

)().(BP

APBPAP

=

Karena pada peristiwa yang independen antara peristiwa yang satu tidak akan mempengaruhi peristiwa yang lain, atau dengan kata lain peluang suatu peristiwa akan terjadi tidak akan dipengaruhi oleh peluang peristiwa yang terjadi sebelumnya atau peristiwa yang terjadi sesudahnya, maka peluang terjadinya peristiwa B dengan syarat A terjadi lebih dahulu adalah sama dengan peluang akan terjadinya peristiwa B itu sendiri, atau secara statistik dituliskan :

P(B | A) = P(B) Untuk menentukan peluang terjadinya peristiwa A dan B juga dapat menggunakan formula P(B ∩ A) ≈ P(A ∩ B) = P(AB) x P(B), karena (B∩A)≈(A∩B). Apabila peristiwa A dan B adalah independen satu sama lain, maka peluang terjadi peristiwa B dan A adalah : P(B ∩ A) = P(B) + P(A) Karena pada peristiwa yang independen, P(B A) = P(B)

Tabel II.1 di bawah ini merupakan ringkasan dari ketiga macam peluang dan formula matematikanya pada kondisi independen secara statistik Tabel 2.2. Ringkasan Rumus Peluang Peristiwa yang Independen

Bentuk peluang Simbol Rumus Marjinal P(A) P(A)

Gabungan P(AB) P(A) x P(B) Bersyarat P(B A) P(B)

2.4. Peristiwa Dependen Secara Statistik Suatu peristiwa dikatakan dependen apabila terjadinya peristiwa tersebut mempengaruhi atau dipengaruhi oleh terjadinya peristiwa yang lain. Menurut bahasa formal, suatu peristiwa dikatakan dependen secara statistik apabila peluang terjadinya peristiwa tersebut akan mempengaruhi/dipengaruhi peluang terjadinya peristiwa lain.

Dalam peristiwa dependen peluang peristiwa yang akan terjadi secara statistik adalah :


1. Peluang Bersyarat (Conditional Probability) 2. Peluang Gabungan (Joint Probability) 3. Peluang Marjinal (Marginal Probability)

2.4.1. Peluang Bersyarat (Conditional Probability) Pada suatu percobaan akan menghasilkan 2 atau lebih kemungkinan peristiwa yang akan terjadi, dan dalam tulisan ini coba diuraikan dengan 2 kemungkinan peristiwa yang akan terjadi, yaitu peristiwa A dan B. Dimana kedua peristiwa tersebut dependen satu sama lain. Peluang akan terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A telah terjadi terlebih dahulu adalah :

P(B A) = )(

)(AP

BAP ∩ ; P(A) ≠ 0

Yang menyatakan bahwa :

P(B A) = peluang peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A terjadi lebih

dahulu P(B ∩ A) = peluang peristiwa B dan peristiwa A terjadi bersamaan P(A) = peluang terjadinya peristiwa A

2.4.2. Peluang Marjinal (Marginal Probability) Peluang Marjinal suatu peristiwa dapat diperoleh dengan menggunakan formulasi yang diperoleh dari formulasi gabungan.

Dalam suatu percobaan yang akan menghasilkan 2 peristiwa yang tidak saling meniadakan (non mutually exclusive) yaitu peristiwa A dan peristiwa B maka peluang peristiwa A dan B terjadi bersamaaan adalah :

P(A ∩ B) = P(BA) x P(A) Dari formula peluang gabungan di atas dapat ditentukan peluang marjinal A yaitu :

P(A) = )()(

ABPBAP

⊥∩

Peluang marjinal A adalah hasil bagi antara peluang terjadinya peristiwa A dan

peristiwa B terjadi bersamaan dengan peluang B dengan syarat peristiwa A terjadi lebih dahulu. Suatu percobaan yang akan menghasilkan 3 peristiwa yang independen yaitu peristiwa A, peristiwa B, peristiwa C, sedangkan peristiwa D dependen terhadap semua peristiwa di atas, maka peluang terjadinya peristiwa D adalah :

P(D) = P(DA) x P(A) + P(DB) x P(B) + P(DC) x P(C) 2.4.3. Peluang Gabungan (Joint Probability) Formulasi yang digunakan untuk menentukan peluang terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A lebih dahulu terjadi adalah :


P(B A) = )(

)(AP

BAP ∩ ; P(A) ≠ 0

Formulasi peluang gabungan pada peristiwa yang dependen secara statistik

dapat diperoleh dengan mengalikan silang formulasi peluang bersyarat, sehingga menjadi :

P(B ∩ A) = P(BA) x P(A) Yang menyatakan bahwa :

P(B A) = peluang peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A terjadi lebih dahulu

P(B ∩ A) = peluang peristiwa B dan peristiwa A terjadi bersamaan P(A) = peluang terjadinya peristiwa A

Tabel 2.3 di bawah ini merupakan ringkasan dari ketiga macam peluang dan formula matematikanya pada kondisi dependen secara statistik.

Tabel 2.3. Ringkasan Rumus Peluang Peristiwa yang Independen

Bentuk peluang Simbol Rumus

Marjinal P(A) P(A)

Gabungan P(AB) P(B A)x P(B)

Bersyarat P(B A)

)()(

APABP ∩

TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN

3.1. Tujuan Penelitian Kegiatan-kegiatan yang dilakukan dalam organisasi dimaksudkan untuk mencapai tujuan organisasinya. Yang diinginkan semua kegiatan itu dapat berjalan lancar dan tujuan dapat dicapai dengan tepat dan efisien. Namun seringkali terjadi hambatan-hambatan dalam melaksanakan kegiatan tersebut, hal ini merupakan masalah yang harus dipecahkan oleh pimpinan organisasi. Pengambilan keputusan dimaksudkan untuk memecahkan masalah tersebut. Kesimpulan yang diperoleh mengenai pengambilan keputusan adalah tujuan pengambilan keputusan itu bersifat tunggal, dalam arti bahwa sekali diputuskan tidak akan ada kaitannya dengan masalah lain. Kemungkinan kedua adalah tujuan pengambilan keputusan dapat bersifat ganda dalam arti bahwa satu keputusan yang diambil sekaligus memecahkan dua masalah atau lebih yang sifatnya kontradiktif atau yang non-kontradiktif. Adapun tujuan dari penulisan ini adalah untuk menyajikan implementasi Teorema Bayes dalam pengambilan keputusan dalam masalah (kasus) yang dihadapi secara langsung, yang bertujuan bahwa keputusan yang diambil akan memberikan hasil maksimum, dengan kata lain bahwa keputusan yang diambil dengan


memperhatikan tambahan informasi yang tersedia tersebut lebih korektif dan efisien daripada tanpa informasi sama sekali. 3.2. Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan sedikit banyak dapat memberikan gambaran tentang aplikasi Teorema Bayes dalam pengambilan keputusan yang mana dalam penelitian ini sebagai tambahan informasi bagi para pengambil keputusan (Decision Maker).

Manfaat dari penelitian ini pada hakekatnya untuk memberikan pandangan tentang penerapan Teorema Bayes bagi para pengambil keputusan dalam sebuah organisasi dalam mengambil keputusan yang terbaik dengan melihat kondisi dan kendala beserta informasi mengenai organisasi yang dipimpinnya. Dan lebih utama bagi para manajer organisasi sebagai bahan pertimbangan yang mungkin berguna sebelum mengambil kebijaksanaan dalam menyikapi setiap permasalahan yang mungkin timbul dengan memperhatikan keadaan intern dan ekstern organisasi yang tentu akan sangat berpengaruh dalam pengambilan keputusan. METODOLOGI PENELITIAN

Pengambilan keputusan itu sendiri merupakan proses berurutan yang membutuhkan penggunaan model yang tepat. Pengambilan keputusan berusaha menggeser keputusan yang semula tanpa perhitungan menjadi keputusan yang penuh perhitungan. Pada umumnya, semua model keputusan mempunyai aspek-aspek tertentu. Masing-masing adalah idealisasi, atau abstraksi dari bagian dunia nyata (praktek nyata) atau dengan kata yang lebih tepat dan jelas (imitasi dari kenyataan). Dalam hal ini dinyatakan bahwa karakteristik dari konstruksi model adalah abstraksi elemen tertentu dari situasi, mungkin dapat mambantu seseorang menganalisis keputusan dan memahaminya dengan baik. Dalam penelitian ini model yang dipergunakan yakni model probabilistik, dimana umumnya model-model keputusan yang merupakan konsep peluang dan konsep nilai harapan memberi hasil tertentu, adapun rumus yang dipegunakan adalah yang berhubungan dengan peluang yakni Teorema Bayes yang mempunyai rumus sebagai berikut :

∑=

⊥

⊥=⊥ n

njjj

iii

ABPAP

APABPBAP

,...,2,1

)()(

)()()(

dimana

∑=

∩++∩+∩=⊥n

njnjj BAPBAPBAPABPAP

,...2,121 )(...)()()()(

sebagai peluang marjinalnya.


Metodologi yang digunakan dalam tulisan ini adalah penelitian (studi kasus) terhadap masalah yang didapat di lapangan, setelah terlebih dahulu menjabarkan teori dan literatur yang berkaitan langsung dengan pengambilan keputusan dan teori peluang dengan langkah-langkah sebagai berikut : Langkah I : Mengenalkan dan menjabarkan konsep dan teori peluang. Langkah II : Menjelaskan teorema peluang yang merupakan konsep dasar dari

Teorema Bayes Langkah III : Penjabaran dan penerapan teorema Bayes dalam pengambilan

keputusan dalam kasus Langkah IV : Dari hasil pembahasan akan diberikan beberapa saran dan kesimpulan Teorema Bayes diterapkan dengan melihat beberapa kriteria alternatif tindakan yang tersedia dengan memperhatikan data dan informasi yang diperoleh sebagai peluang priornya. Dengan pertimbangan untung rugi yang akan dihadapi akan diambil keputusan yang merupakan kriteria yang terbaik dari antara kriteria yang diperoleh, yang hasilnya ditampilkan dalam suatu tabel nilai hasil (pay off table) juga dalam bentuk diagram pohon. Demikian juga halnya dengan peluang statistik atau proporsi statistik dapat dikembangkan melalui pengamatan langsung terhadap populasi atau melalui sampel dari populasi tersebut. Banyak kemungkinan dalam rangka pengambilan keputusan dalam organisasi, yang semuanya bertujuan mendapatkan sesuatu yang diharapkan masa mendatang, misalnya agar nantinya dapat menanggulangi terhadap kesulitan-kesulitan dalam masa resesi untuk dapat menaikkan tingkatan pendapatan organisasi. Konsep tentang nilai-nilai harapan (the concept of expected value) khususnya dapat digunakan dalam pengambilan keputusan yang akan diambil menyangkut kemungkinan-kemungkinan yang telah diperhitungkan bagi situasi dan kondisi yang akan datang. Adapun nilai yang diharapkan (nilai harapan) dari setiap peristiwa yang terjadi merupakan perkalian antara kemngkinan terjadinya peristiwa dengan nilai kondisional. PEMBAHASAN

5.1. Analisis Keputusan Analisis keputusan dapat didefenisikan sebagai analisis logika dan kuantitatif dari semua faktor yang mempengaruhi keputusan. Dalam proses pengambilan keputusan, pengambil keputusan selalu aktif sehingga akhirnya mereka lebih mengandalkan pada aturan-aturan secara konsisten dengan logika dan perilaku individu mereka daripada menggunakan mekanisme dalam pembuatan rumusan dan tabulasi peluang data. Tujuan utama analisis keputusan adalah untuk meningkatkan kemungkinan diperolehnya hasil yang baik dari suatu keputusan yang diambil. Hasil yang baik sangat bergantung pada informasi dan prefensi yang dimiliki oleh pengambil keputusan. Proses pengambilan keputusan manajemen dolakukan pada kondisi ketidakpastian, hal ini sering disebabkan oleh kurangnya informasi yang dimiliki oleh pengambil keputusan mengenai peristiwa yang akan terjadi di masa yang akan


datang. Keputusan yang diambil dari kondisi ketidakpastian ini sering berakibat pada kegagalan dari usaha mewujudkan tujuan keputusan tersebut. 5.2. Teori Kepastian dan Ketidak-pastian Pada saat para pengambil keputusan harus membuat keputusan, sering harus memilih satu tindakan dari beberapa alternatif tindakan yang tersedia. Biasanya alternatif-alternatif tindakan yang dipilih berhubungan dengan nilai hasilnya (Pay Off) telah diketahui. Variabel yang menunjukkan hasil dari suatu tindakan disebut peristiwa (state of nature) karena variabel tersebut akan dapat mengakibatkan terjadinya peristiwa lain yang berbeda dan biasanya diluar kendali pengambil keputusan. Secara umum peristiwa yang akan terjadi pada suatu peristiwa dalam masalah keputusan diberi simbol A1,A2,A3,…,Ai, dengan asumsi bahwa apabila suatu peristiwa terjadi maka peristiwa yang lain tidak akan terjadi. Apabila n alternatif tindakan yang dapat dipilih pengambil keputusan, maka setiap tindakan tersebut diberi simbol B1,B2,…,Bn, juga dengan asumsi bahwa setiap alternatif tindakan akan menghasilkan peristiwa yang saling meniadakan dan semua kemungkinan peristiwa dimasukkan dalam analisis. Sasaran pengambil keputusan dalam kondisi ketidakpastian selalu menimbulkan kesulitan. Teori peluang dan harapan matematis merupakan alat yang dapat digunakan untuk menyusun prosedur yang logis untuk memilih alternatif tindakan yang paling baik. Ilmu statistik memberikan struktur untuk melaksanakan keputusan. 5.3. Analisis Masalah Keputusan 5.3.1. Teorema Bayes Penerapan Teorema Bayes pada hakikatnya adalah pendekatan secara subjektif, dimana pendekatan semacam ini dilakukan melalui pengamatan berdasarkan sampel, tes, hipotesis, analisa regresi dan lain-lain. Inti dari Teorema Bayes ialah suatu penelitian yang cermat tentang tindakan apa atau alternatif tindakan apa yang tersedia, sesudah itu dilanjut dengan mempertimbangkan resiko (untung/rugi) untuk tiap keadaan yang bakal terjadi di masa depan. Antara Teorema Bayes dengan teori peluang terdapat hubungan yang sangat erat, karena untuk membuktikan Teorema Bayes tidak terlepas dari penggunaan teori peluang, dengan kata lain teori peluang adalah konsep dasar bagi Teorema Bayes. Teorema Bayes Secara umum : Misalkan A1 dan A2 adalah kelompok kejadian yang mutually exclusive (dua kejadian yang tidak dapat terjadi bersamaan) dan exhaustive (lengkap) merupakan kombinasi dari 2 kejadian keseluruhannya. Dan B adalah kejadian yang memotong (intersection) kejadian A, seperti ditunjukkan dalam gambar 5.1. berikut :


Gambar 5.1

Dari gambar di atas, bagian B yang berada dalam A1 mewakili daerah A1 dan B, sedangkan bagian B yang berada di dalam A2 mewakili daerah A2 dan B. Peluang kejadian Ai dengan kejadian B tertentu adalah :

P(Ai B) = )(

)(BP

BAP i ∩

Maka peluang kejadian A1 dengan kejadian B tertentu adalah :

P(A1 B) = )(

)( 1

BPBAP ∩

Dengan cara yang sama peluang A2 dengan B tertentu adalah :

P(A2 B) = )(

)( 2

BPBAP ∩

Dimana : P(B) = P(A1 B) + P(A2 B) sebagai peluang marjinalnya. Dengan memakai rumus peluang bersyarat : P(A1 ∩ B) = P(A1) x P(B A1) P(A2 ∩ B) = P(A2) x P(B A2) Selanjutnya untuk n = 3

A1,A2 dan A3 adalah kelompok kejadian yang mutually exclusive dan exhaustive seperti ditunjukkan dalam gambar 2.3. berikut:

Gambar 5.2


Untuk kejadian seperti di atas dapat diselesaikan dengan Teorema Bayes. Peluang kejadian Ai (i=1,2,…,n) dengan kejadian B tertentu adalah :

P(Ai ⊥ B) =

∑=

⊥

⊥n

njjj

ii

ABPAP

APABP

,...,2,1

)()(

)()(

= )(

)()(BP

APABP ii⊥

dimana :

∑=

∩++∩+∩=⊥n

njnij BAPBAPBAPABPAP

,...,2,121 )(...)()()()(

sebagai peluang marjinalnya. 5.3.2. Pohon Keputusan (Decision Tree) Untuk menganalisis masalah keputusan yang berupa pemilihan salah satu tindakan dari beberapa alternatif tindakan yang tersedia, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi semua tindakan yang dilakukan dan semua kemungkinan hasil dari masing-masing tindakan. Salah satu cara yang dapat dilakukan untuk melukiskan masalah pengambilan keputusan dari beberapa pilihan dan hasilnya adalah dengan pohon keputusan (decision tree). Pohon keputusan dibuat bercabang, dimana setiap cabang menunjukkan tindakan yang dapat dipilih (A1,A2,…,An), garis cabang yang kedua adalah yang berkenaan dengan peristiwa yang akan terjadi dari masing-masing tindakan (B1,B2,…,Bk). Bagian akhir dari cabang yang dibuat adalah daftar hasil dari masing-masing tindakan apabila peristiwa itu terjadi. Interpretasi yang sederhana dari diagram pohon adalah titik keputusan disajikan dengan persegi empat, dan titik kesempatan disajikan dengan lingkaran yang merupakan titik yang tidak dapat dikendalikan oleh pengambil keputusan, dan untuk menunjukkan tindakan yang dipilih disajikan dengan persegi (kubus). Persegi empat menunjukkan nilai hasil (pay off) Lingkaran menunjukkan peristiwa yang tidak pasti Persegi menunjukkan tindakan yang dipilih 5.3.3. Tabel Nilai Hasil (Pay off Table) Nilai hasil yang berhubungan dengan setiap hasil tindakan yang mungkin dipilih pada masalah keputusan dapat dibuat daftar dalam suatu tabel nilai hasil (pay off table). Tabel nilai hasil yang merupakan daftar dalam bentuk tabulasi dari nilai hasil yang berhubungan dengan semua tindakan yang dapat dilakukan dengan setiap peristiwa yang akan terjadi pada suatu masalah keputusan.


Tabel nilai hasil biasanya digambarkan dalam bentuk baris dan kolom, setiap kolom menunjukkan peristiwa yang akan terjadi dan baris menunjukkan tindakan yang dapat dilakukan. Apabila dalam suatu masalah pemilihan keputusan setiap tindakan yang dapat diambil diberi simbol (A1,A2,…,An) dan peristiwa yang akan terjadi untuk tiap masing-masing tindakan yang dapat dipilih diberi simbol (B1,B2,…,Bk), maka tabel nilai hasil dapat dibuat seperti tampak pada tabel 5.1 berikut :

Tabel 5.1. Tabel Nilai Hasil

Tindakan Peristiwa B1 B2 … Bk A1 A2 … An

5.3.4. Konsep Informasi Informasi adalah suatu produk komunikasi yang memberi pengaruh pada meningkatnya pengetahuan atau pendalaman seseorang terhadap suatu masalah. Dalam persoalan keputusan informasi ini berkaitan erat dengan ketidakpastaian yang melengkapi variabel-variabel persoalan tersebut, dimana untuk mengukur derajat ketidakpastian ini akan membutuhkan informasi tambahan. Pada umumnya informasi yang diterima tidak pernah tepat 100 % sempurna, sebelum diputuskan apakah perlu mencari informasi tambahan atau tidak. Terlebih dahulu ditinjau berapakah nilai dari informasi tersebut. Pada dasarnya informasi dapat dibedakan atas 2 bagian yaitu : 1) Data Empiris

Data empiris merupakan data yang diperoleh melalui pengumpulan data dari survey, dapat digunakan untuk menafsir distribusi kemungkinan munculnya suatu kejadian. Dalam hal pengambilan keputusan dalam tulisan ini disebut informasi awal atau dalam bahasa statistiknya disebut peluang prior-nya yang digunakan untuk menguji bahwa frekwensi relatif tersebut mencerminkan nilai kemungkinan yang benar, yaitu mencerminkan penafsiran nilai kemungkinan pengambilan keputusan.

Data empiris dapat pula digunakan untuk mendapatkan distribusi peluang posterior (peluang akhir) berdasarkan nilai kemungkinan prior yang telah ada. 2) Informasi dari Ahli

Dalam beberapa situasi data empiris sulit diperoleh, salah satu cara untuk mendapatkan sumber informasi adalah dari pendapat dan pandangan subjektif dari ahli atau orang yang lebih mengetahui tentang kejadian tak pasti tersebut. 5.4. Pengambilan Keputusan dengan Teorema Bayes Dalam defenisi dan pembahasan meengenai peluang prior diuraikan bahwa nilai peluang prior diperoleh dengan pemilihan secara subjektif atau penghitungan dari data historis. Tidak ada informasi pasti yang dapat menggambarkan kesempatan akan terjadi dari suatu peristiwa yang dianggap berguna. Setiap kasus pengambilan keputusan memerlukan informasi untuk menentukan peluang prior suatu peristiwa akan terjadi. Dalam pengambilan keputusan dengan Teorema Bayes setiap informasi mempunyai nilai tersendiri untuk menentukan peluang


prior sebagai informasi baru. Peluang yang telah diperbaharui (direvisi) ini disebut peluang posterior. Mungkin banyak informasi yang diperoleh dari suatu percobaan atau cara lain yang berguna bagi pengambil keputusan. Misalnya sebuah pengecer (dealer) yang usahanya tergantung dari cuaca dapat berkonsultasi dengan bagian meteorologi sebelum mengambil keputusan, atau contoh lain seorang investor dapat meminta informasi kepada seorang konsultan pasar sebelum melakukan investasi. Pada suatu kejadian dimana pada suatu percobaan yang menghasilkan 2 kemungkinan peristiwa yang terjadi, yaitu peristiwa A dan peristiwa B dengan syarat kedua peristiwa tersebut dependen satu sama lain, maka terjadinya peristiwa A akan berpengaruh terhadap peluang terjadinya peristiwa B. Misalkan A1,A2 ,…, An adalah kelompok kejadian yang mutually exclusive (dua kejadian yang tidak dapat terjadi bersamaan) dan exhaustive (lengkap) meruupakan kombinasi dari 2 kejadian keseluruhannya yang merupakan peluang prior. Dan B informasi tambahan yang berpengaruh terhadap kejadian A, Maka peluang Ai terjadi dengan syarat kejadian B telah terjadi terlebih dahulu dituliskan P(Ai|B). Peluang posterior P(Ai|B) menunjukkan besarnya peluang terjadinya suatu peristiwa Ak sebagai akibat dari adanya informasi hasil percobaan B. Nilai peluangnya adalah :

P(Ai ⊥ B) =

∑=

⊥

⊥n

njjj

ii

ABPAP

APABP

,...,2,1

)()(

)()(

dimana :

∑=

∩++∩+∩=⊥n

njnij BAPBAPBAPABPAP

,...,2,121 )(...)()()()(

sebagai peluang marjinalnya. Peluang P(A/Bi) adalah peluang bersyarat dari percobaan informasi

experimental A apabila terjadi peristiwa Bi dan peluang P(Bi) adalah peluang priori. Nilai revisidari peluang priori pada hasil perhitungan yang lebih kompleks akan

melalui dua tahap, pertama sumber informasi yang independen digunakan untuk menghitung peluang posterior yang akan membandingkan peluang priori dengan peluang posterior yang telah diubah berdasarkan informasi yang diperoleh dengan bukti melalui eksperimen. Prosedur ini digunakan untuk menggabungkan semua variabel informasi ke dalam analisis keputusan. Kedua, informasi tambahan digunakan untuk menyesuaikan keputusan untuk hasil yang spesifik dari bukti eksperimen.

Hasil perhitungan peluang posterior juga peluang prior akan ditunjukkan dalam suatu tabel nilai hasil (pay off table) Implementasi Bayes dalam kasus Diketahui komposisi anggota DPR RI periode 1999-2004 berdasarkan fraksi ditambah dengan TNI adalah sebagai berikut :


Tabel 5.2. Tabel Komposisi Anggota DPR periode 1999-2004 menurut jenis kelamin

J.kelamin TNI PDIP Golkar PPP PKB PAN PBB KKI Islam Jumlah %

Pria 35 138 104 55 47 33 12 16 15 455 91% Wanita 3 15 16 3 4 1 1 1 1 45 9% Jumlah 38 153 120 58 51 34 13 17 16 500 100%

Sumber : Forum Keadilan No. 27 Tgl. 10 Oktober 1999

Akan dicari peluang dari masing-masing partai untuk menduduki jabatan sebagai ketua DPR untuk periode 1999-2004. Dan sebagai batasan masalah koalisi dianggap tidak dilakukan, kemudian data dikelompokkan menjadi 7 kelompok yakni :

No Partai Pria n(Pi) Wanita n(Wi) Total 1 A1 (PDI-P) 138 15 153 2 A2 (Golkar) 104 16 120 3 A3 (PPP) 55 3 58 4 A4 (PKB) 47 4 51 5 A5 (PAN) 33 1 34 6 A6 (Lain-lain) 43 3 46 7 A7 (TNI) 35 3 38 Jumlah n(P) = 455 n(W) = 45 n(S) = 500

Kasus I. Untuk memimpin sidang diperlukan seorang ketua. Dari data yang telah

diberikan berapa peluang tiap partai untuk muncul sebagai ketua ?

a. P(PDI-P) = P(A1) = )()( 1

SnAn

= 306,0500153

=

b. P(Golkar) = P(A2) = )()( 2

SnAn

= 24,0500120

=

c. P( PPP ) = P(A3) = )()( 3

SnAn

= 116,050058

=

d. P( PKB ) = P(A1) = )()( 4

SnAn

= 102,050051

=


e. P( PAN ) = P(A1) = )()( 5

SnAn

= 068,050034

=

f. P(Lain-lain)= P(A1)= )()( 6

SnAn

= 092,050046

=

g. P( TNI ) = P(A1) = )()( 7

SnAn

= 072,050038

=

II. Peluang Pria (P) dengan syarat Partai Ai adalah sebagai berikut :

a. P(P1 | A1) = )()(

1

1

AnPn

= 901,0153138

=

b. P(P2 | A2) = )()(

2

2

AnPn

= 867,0120104

=

c. P(P3 | A3) = )()(

3

3

AnPn

= 948,05855

=

d. P(P4 | A4) = )()(

4

4

AnPn

= 921,05147

=

e. P(P5 | A5) = )()(

5

5

AnPn

= 97,03433

=


f. P(P6 | A6) = )()(

6

6

AnPn

= 934,04643

=

g. P(P7 | A7) = )()(

7

7

AnPn

= 92,03835

=

III. Peluang Wanita (W) dengan syarat partai Ai tertentu :

a. P(W1 | A1) = )()(

1

1

AnWn

= 099,015315

=

b. P(W2 | A2) = )()(

2

2

AnWn

= 133,012016

=

c. P(W3 | A3) = )()(

3

3

AnWn

= 052,0583

=

d. P(W4 | A4) = )()(

4

4

AnWn

= 079,0514

=

e. P(W5 | A5) = )()(

5

5

AnWn

= 03,0341

=

f. P(W6 | A6) = )()(

6

6

AnWn

= 066,0463

=


g. P(W7 | A7) = )()(

7

7

AnWn

= 08,0383

=

IV. Peluang Pria (P) untuk terpilih (peluang marjinal) P(P) = P(P1 | A1) P(A1) + P(P2 | A2) P(A2) + P(P3 | A3) P(A3) + P(P4 | A4) P(A4) + P(P5 | A5) P(A5) +

P(P6 | A6) P(A6) + P(P7 | A7) P(A7) = (0,901)(0,306) + (0,867)(0,242) + (0,948)(0,116) + (0,921)(0,102) + (0,97)(0,068) +

(0,92)(0,072) + (0,934)(0,92) = 0,2757 + 0,2098 + 0,1099 + 0,0939 + 0,0659 + 0,0662 + 0,0859 = 0,9076 V. Peluang Wanita (W) untuk terpilih :

P(W) = P(W1 | A1) P(A1) + P(W2 | A2) P(A2) + P(W3 | A3) P(A3) + P(W4 | A4) P(A4) + P(W5 | A5) P(A5) + P(W6 | A6) P(A6) + P(W7 | A7) P(A7)

= (0,099)(0,306) + (0,133)(0,242) + (0,052)(0,116) + (0,079)(0,102) + (0,03)(0,068) +

(0,08)(0,072) + (0,066)(0,92) = 0,0303 + 0,021 + 0,006 + 0,0081 + 0,002 + 0,0019 + 0,0057 = 0,0924 VI. Bila salah seorang dicalonkan menjadi ketua DPR-RI, berapakah peluang bahwa

dia adalah : 1. Anggota dari partai PDI-P (A1) yang Pria (P) 2. Anggota dari partai Golkar (A2) yang Pria (P) 3. Anggota dari partai PPP (A3) yang Pria (P) 4. Anggota dari partai PKB (A4) yang Pria (P) 5. Anggota dari partai PAN (A5) yang Pria (P) 6. Anggota dari partai lain-lain (A6) yang Pria (P) 7. Anggota dari partai TNI (A7) yang Pria (P)

1. Peluang yang terpilih Pria (P) dari PDI-P (A1) adalah :

P(Ai|Bi) = )(

)()(

)()(

)()(

,...,2,1

BPAPABP

ABPAP

APABP iin

njij

iii ⊥=

⊥∑=

P(A1|P) = )()(...)()()()(

)()(

777222111

11

APAPPAPAPPAPAPPAPAPP

++⊥+⊥⊥

= 3030,09076,02757,0

9076,0)306,0).(901,0(

==


2. Peluang yang terpilih Pria (P) dari Golkar (A2) adalah :

P(Ai|Bi) = )(

)()(

)()(

)()(

,...,2,1

BPAPABP

ABPAP

APABP iin

njij

iii ⊥=

⊥∑=

P(A2|P) = )()(...)()()()(

)()(

777222111

22


++⊥+⊥⊥

= 2312,09076,02098,0

9076,0)242,0).(867,0(

==

3. Peluang yang terpilih Pria (P) dari PPP (A3) adalah :

P(Ai|Bi) = )(

)()(

)()(

)()(

,...,2,1

BPAPABP

ABPAP

APABP iin

njij

iii ⊥=

⊥∑=

P(A3|P) = )()(...)()()()(

)()(

777222111

33


++⊥+⊥⊥

= 121,09076,01099,0

9076,0)116,0).(948,0(

==

4. Peluang yang terpilih Pria (P) dari PKB (A4) adalah :

P(Ai|Bi) = )(

)()(

)()(

)()(

,...,2,1

BPAPABP

ABPAP

APABP iin

njij

iii ⊥=

⊥∑=

P(A4|P) = )()(...)()()()(

)()(

777222111

44


++⊥+⊥⊥

= 1035,09076,00939,0

9076,0)102,0).(921,0(

==

5. Peluang yang terpilih Pria (P) dari PAN (A5) adalah :

P(Ai|Bi) = )(

)()(

)()(

)()(

,...,2,1

BPAPABP

ABPAP

APABP iin

njij

iii ⊥=

⊥∑=

P(A5|P) = )()(...)()()()(

)()(

777222111

55


++⊥+⊥⊥

= 0726,09076,00659,0

9076,0)068,0).(97,0(

==


6. Peluang yang terpilih Pria (P) dari Partai Lain-lain (A6) adalah :

P(Ai|Bi) = )(

)()(

)()(

)()(

,...,2,1

BPAPABP

ABPAP

APABP iin

njij

iii ⊥=

⊥∑=

P(A6|P) = )()(...)()()()(

)()(

777222111

66


++⊥+⊥⊥

= 0729,09076,00662,0

9076,0)072,0).(92,0(

==

7. Peluang yang terpilih Pria (P) dari TNI (A7) adalah :

P(Ai|Bi) = )(

)()(

)()(

)()(

,...,2,1

BPAPABP

ABPAP

APABP iin

njij

iii ⊥=

⊥∑=

P(A7|P) = )()(...)()()()(

)()(

777222111

77


++⊥+⊥⊥

= 094,09076,00859,0

9076,0)092,0).(934,0(

==

Dari hasil perhitungan didapat tabel nilai hasil (pay off table) sebagai berikut :

P(Ai) P(P\Ai) P(W\Ai) P(Ai dan P) P(Ai dan W) P(Ai\P) A1 0,306 0,901 0,099 0,2757 0,0303 0,3038 A2 0,242 0,867 0,133 0,2098 0.0321 0,2312 A3 0,116 0,948 0,052 0,1099 0,0060 0,1210 A4 0,102 0,921 0,079 0,0939 0,0081 0,1035 A5 0,068 0,970 0,030 0,0659 0,0020 0,0726 A6 0,072 0,920 0,080 0,0602 0,0057 0,0729 A7 0,092 0,934 0,066 0,0859 0,0060 0,0946

Total 1,00 - - 0,9031 0,0987 0,9996

Tabel 5.2. Tabel nilai hasil (pay off table)

Dengan kenyataan tersebut dibuktikan bahwa dengan tambahan informasi maka peluang dari tiap parpol memiliki nilai yang terkoreksi (berbeda karena pengaruh tambahan informasi). Hal ini memberi gambaran bahwa pengambilan keputusan dengan Teorema Bayes memberikan informasi yang lebih sempurna. Untuk melihat peluang dengan memakai diagram pohon dapat kita lihat pada halaman berikut :


p(p)

p(w)

0,9076

0,0924 0,328

0,306

p(p)

p(w)

0,9076

0,0924

0,2312

0,227

0,242

p(p)

p(w)

0,9076

0,0924

0,1210

0,065

0,116

p(p)

p(w)

0,9076

0,0924

0,1035

0,0877

0,102

p(p)

p(w)

0,9076

0,0924

0,0726

0,022

0,068

p(p)

p(w)

0,9076

0,0924

0,0729

0,020

0,072

p(p)

p(w)

0,9076

0,0924

0,0946

0,062

0,092

Prior

P(A i)Marginal Posterior

0,3038

Peluang

Gambar 5.1. Perhitungan Peluang Posterior dengan Diagram PohonDAFTA


DAFTAR PUSTAKA Algifari,”Probabilitas dalam Pengambilan Keputusan Bisnis”,BPFE Yogyakarta, 1996. Azhar Kasim,”Teori Pembuatan Keputusan”,LembagaPenerbit FE. UI.,Jakarta,1995. Douglas N. Nickson,”Using Logical Techniques for Making Decision”,John Wiley & Son,

Inc., Canada, 1983. Jedamus, Paul, Date,”Statistical Analysis for Busines Decisions”, McGraw-Hill,

Inc.,USA, 1976. Kustianto Bambang, Drs.,MA.,”Statistik untuk Ekonomi dan Bisnis”, BPFE Yogyakarta,

1997. Mangkusubroto Kuntoro, Dr. Ir. MSc.,”Analisis Keputusan Pendekatan Sistem dalam

Manajemen Usaha dan Proyek”, Ganeca Exact Bandung, Bandung, 1987. Moody Paul.,”Decision Making”, McGraw-Hill, Inc.,New York, USA, 1983. Richard I. Levin,”Quantitative Approaches to Management”, PT. Raja Grafindo Persada,

Jakarta, 1997. Siagian P.,”Penelitian Operasional Teori dan Aplikasi”, UI Press, Jakarta, 1987.

Documents

MENGAMBIL KEPUTUSAN DENGAN TEOREMA BAYES …library.usu.ac.id/download/fmipa/matematika-rosman3.pdf · Teorema Bayes adalah teori yang digunakan dalam menyelesaikan peluang- ... Untuk