Cuprins

1. Operaţii cu numere reale .................................... 1 1.1. Radicali, puteri .............................................................................. 1 1.1.1. Puteri .......................................................................................... 1 1.1.2. Radicali ...................................................................................... 1 1.2. Identităţi ........................................................................................ 2 1.3. Inegalităţi ...................................................................................... 3

2. Funcţii .................................................................. 6 2.1. Noţiunea de funcţii ....................................................................... 6 2.2. Funcţii injective, surjective, bijective ........................................... 6 2.3. Compunerea funcţiilor .................................................................. 7 2.4. Funcţia inversă .............................................................................. 8

3. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi ...................... 8 3.1. Ecuaţii de gradul întâi ................................................................... 8 3.2. Inecua¸tii de gradul întâi ............................................................... 9 3.3. Modul unui număr real ............................................................... 10

4. Numere complexe .............................................. 12 4.1. Forma algebrică .......................................................................... 12 4.2. Puterile numărului i .................................................................... 13 4.3. Conjugatul lui z .......................................................................... 13 4.4. Modulul unui număr complex .................................................... 14 4.5. Forma trigonometrică ................................................................. 15 4.6. Formula lui Moivre ..................................................................... 16 4.7. Forma exponenţială .................................................................... 17 4.8. Ecuaţia binomă ........................................................................... 18

5. Progresii ............................................................. 18 5.1. Progresiile aritmetice .................................................................. 18 5.2. Progresiile geometrice ................................................................ 19

6. Logaritmi ........................................................... 20 6.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale ............................ 22 6.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale .......................... 22

7. Geometrie ........................................................... 23 7.1. Vectori ........................................................................................ 23 7.2. Adunarea vectorilor .................................................................... 25 7.3. Teoreme cu vectori ..................................................................... 30 7.4. Geometrie analitică în plan şi în spaţiu ...................................... 34 7.4.1. Plan determinat de un punct şi doi vectori necolinari paraleli cu planul . 34 7.4.2. Plan determinat de trei puncte necolinare ............................... 36 7.4.3. Ecuaţia planului prin tăieturi ................................................... 37 7.4.4. Ecuaţia generală a planului ...................................................... 37 7.4.5. Poziţia planelor ........................................................................ 38 7.5. Ecuaţia dreptei ............................................................................ 39 7.5.1. Ecuaţia dreptei determinat de un punct şi de un vector paralel cu dreapta .. 39 7.5.2. Ecuaţia dreptei determinat de două puncte diferite ................. 41 7.5.3. Ecuaţia generală a dreptei ........................................................ 41 7.5.4. Ecuaţia dreptei în plan ............................................................. 42 7.5.5. Ecuaţia dreptei determinat de două puncte diferite ................. 42 7.5.6. Unghul determinat de două drepte .......................................... 43 7.6. Distanţa la un punct la o dreaptă (în plan) .................................. 44 7.6.1. Ecuaţia bisectoarei (în plan) .................................................... 44 7.7. Distanţa la un punct la o dreaptă (în spaţiu) ............................... 45 7.8. Cercul .......................................................................................... 46 7.9. Elipsa .......................................................................................... 46 7.10. Hiperbola .................................................................................. 48 7.11. Parabola .................................................................................... 49 7.12. Alte aplicaţii cu vectori ............................................................ 50

8. Metoda inducţiei matematice ........................... 51 8.1. Axioma de recurenţă a lui Peano ................................................ 51 8.2. Metoda unducţiei matematice ..................................................... 51 8.3. Variantă a metodei inducţiei matematice ................................... 52

9. Analiză combinatorie ........................................ 52 9.1. Permutări..................................................................................... 52 9.2. Aranjamente ................................................................................ 52 9.3. Combinări ................................................................................... 53 9.4. Binomul lui Newton ................................................................... 54 9.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale ......... 55

10. Polinoame ......................................................... 56 10.1. Forma algebrică a unui polinom ............................................... 56 10.2. Divizibilitatea polinoamelor ..................................................... 56 10.3. Rădăcinile polinoamelor ........................................................... 57 10.4. Ecuaţii algebrice ....................................................................... 58 10.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, Z ....................................... 58

11. Permutări, matrici, determinanţi ................... 59 11.1. Permutări .................................................................................. 59 11.2. Matrici....................................................................................... 60 11.3. Determinanţi ............................................................................. 62 11.4. Inversa unei matrici .................................................................. 63 11.4.1. Tr(A) ...................................................................................... 63 11.4.2. Determinantul şi rangul ......................................................... 64

12. Sisteme liniare .................................................. 66 12.1. Notaţii ....................................................................................... 66 12.2. Compatibilitatea ........................................................................ 67 12.3. Sisteme omogene (bi=0) ........................................................... 67

13. Trigonometrie .................................................. 68 13.1. Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie ................................. 71

14. Analiză matematică ......................................... 74 14.1. Recurenţe .................................................................................. 74 14.1.1. Recurenţe de ordin 1 .............................................................. 74 14.1.2. Recurenţe de ordin al doilea .................................................. 74 14.2. Limita de şiruri ......................................................................... 74 14.2.1. Limite generale, criterii de convergenţă ................................ 76 14.3. Limite de funcţii ....................................................................... 80 14.3.1. Operaţii cu limite de funcţii ................................................... 80 14.3.2. Limite tip ............................................................................... 81 14.4. Continuitatea funcţiilor ............................................................. 83 14.4.1. Teoreme pentru continuitatea funcţiilor ................................ 84 14.5. Funcţii derivabile ...................................................................... 86 14.5.1. Definiţia derivatei într-un punct ............................................ 86 14.5.2. Reguli de derivare .................................................................. 86 14.5.3. Derivatele funcţiilor elementare ............................................ 87

14.5.4. Derivatele funcţiilor compuse ............................................... 88 14.5.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementare ...... 90 14.5.6. Proprietăţi ale funcţiilor derivabile ........................................ 91 14.6. Integrale .................................................................................... 91 14.6.1. Primitive ................................................................................ 91

15. Primitivele funcţiilor ....................................... 92 15.1. Reguli pentru integrarea generală a funcţiilor .......................... 92 15.2. Primitivele funcţiilor raţionale ................................................. 93 15.3. Integrale cu r=(x2+a2)1/2 ............................................................ 96 15.4. Integrale cu s=(x2–a2)1/2 ............................................................ 99 15.5. Integrale cu t=(a2–x2)1/2 .......................................................... 100 15.6. Integrale cu R1/2=(ax2+bx+c)1/2 ............................................... 101 15.7. Integrale de funcţii trigonometrice ce conţin numai sin ......... 103 15.8. Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin numai cos ........ 105 15.9. Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin numai tan ........ 107 15.10. Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin atât sin cât şi cos ... 107 15.11. Funcţii logaritmice ................................................................ 109 15.11.1. Proprietăţi ale integralei definite ....................................... 110 15.11.2. Teorema Fundamentală ..................................................... 112 15.11.3. Inegalităţi ........................................................................... 113 15.12. Alte teoreme ......................................................................... 116 15.12.1. Funcţii primitivabile .......................................................... 116 15.12.2. Funcţii integrabile .............................................................. 117 15.12.3. Arii ..................................................................................... 117

16. Structuri algebrice ......................................... 118 16.1. Grupul ..................................................................................... 118 16.1.1. Proprietăţi şi teoreme ........................................................... 119 16.2. Monoid .................................................................................... 121 16.3. Inel .......................................................................................... 122 16.4. Corpuri .................................................................................... 122

17. Spaţii vectoriale ............................................. 124

1 Operaţii cu numere reale

1.1 Radicali,Puteri

1.1.1 Puteri

1. am·n = am · an2. am · bm = (a · b)m

3. am : an = am−n

4. am : bm = (a : b)m

5. a−m =1

am

6. (am)n = amn.

Puterile numerelor reale se extiind atât pentru exponenţiraţionali pozitivi sau negativi, cât şi pentru puterile realefiind definite cu ajutorul şirurilor de puteri raţionale.Aceste puteri au proprietǎţi identice cu exponenţi nu-mere naturale.

1.1.2 Radicali

1. n√a = a

1n , a > 0;

2. n√

1

a=

1n√a

= a− 1m ;

3. ( n√a)n

= a;4. n√a · n√b =

n√ab;

5. ( n√

1

a)n

=1

a;

6. n√a · n√b · n√c =

n√abc;

7. n√a :

n√b = n

√a

b;

1

8. m√a · n√a =

nm√an+m;

9. m√a : n√a =

nm√an−m;

10. n√anm = a

m;11. m

√an = a

nm ;

12. mn√amp =

n√ap;

13. m√ap · n

√bq =

nm√apn · bqm;

14. m√

n√a = nm

√a;

15.√a2 = |a|;

16. 2n+1√−a = − 2n+1

√a;

17.√a±√b =

√a+ c

2±√a− c

2,

c2

= a2 − b;

1.2 IdentitǎţiOricare ar fi x, y, z, t, a, b, c, d ∈ R şi n ∈ N avem:

1. a2 − b2 = (a− b)(a+ b)2. (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax− by)2 + (ay + bx)2

3. ab − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)4. a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2)5. a3+b3+c3−3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)6. ab + b3 + c3 = (a+ b+ c)3 − 3(a+ b)(b+ c)(c+ a)7. a4 − b4 = (a− b)(a+ b)(a2 + b2)8. a4 + b4 = (a2 + b2 − ab

√2)(a

2+ b

2+ ab√

2)

9. a5 − b5 = (a+ b)(a4 + a3b+ a2b2 + ab3 + b4)10. a6 + b6 = (a3 − 2ab2)2 + (b3 − 2a2b)2

11. an− bn = (a− b)(an−1 +an−2b+ ...+abn−2 + bn−1)

2

12. a2n+1 + b2n+1 =(a+ b)(a

2n− a2n−1b+ ...− ab2n−1 + b2n)

13. (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2bc+ 2ac

14.

n∑j=1

a2j

n∑j=1

x2j

− n∑j=1

ajxj

2=

∑1≤i

6. (a+ b+ c)(

1

a+

1

b+

1

c

)≥ 9,

a, b, c > 0;7. a2 + b2 + c2 ≥ ab+ bc+ ca;8. a3 + b3 + c3 ≥ 3abc;9.

a1

a2+a2

a3+ ...+

an−1

an+an

a1≥ n;

10. (x2 + y2)(a2 + b2) ≥ (ax+ by)2;11. (Bernoulli) Pentru orice x ∈ [−1,∞) şi α ∈ Q∗ \ {1}

avem: (1+x)α ≤ 1+αx, dacǎ α ∈ (0, 1) şi (1+x)α ≥1 + α · x dacǎ α ∈ (−∞, 0) ∪ (1,+∞).

12. Pentru orice ak ∈ R, k = 1, n şibk ∈ {−1, 1} avem cǎ∣∣∣∣∣n∑k=1

ak · bk

∣∣∣∣∣ ≤n∑k=1

|ak|.

13. Dacǎ un =(

1 +1

n

)n. Atunci şirul un este strict

descrescǎtor, adicǎ: un > un+1.14. Pentru orice ak ≥ 0 numere reale avem cǎ:

a1 + a2 + ...+ an

n

≥ n√a1a2 · ... · an ≥

n1a1

+ 1a2+ ...+ 1an

.

Inegalitatea de mai sus, este numitǎ, inegalitatea medi-ilor. Egalitatea se obţine pentru a1 = ... = an.

15.a1 + a2 + ...+ an

n≤

√a21 + a

22 + ...+ a

2n

n

4

16. (Cauchy-Buniakovsky-Schwarz) Dacǎ ak, bk ∈ Ratunci (

n∑k=1

a2k

)·(

n∑k=1

b2k

)≥

(n∑k=1

akbk

)2

17. (Cebisev) Pentru orice n ∈ N∗ şi ∀ak, bk ∈ R, k = 1, nesetén (

1

n

n∑k=1

ak

)·(

1

n

n∑k=1

bk

)≤

(1

n

n∑k=1

akbk

).

Egalitatea se obţine dacǎ ai = aj şi bi = bj i 6= j.18. (Huygens) Pentru orice n ∈ N∗ \{1} şi xk ∈ R+ avem

cǎn∏k=1

(1 + xk) ≥ (1 + n√x1...xn)

n

19. (Kantorovici) Fie [a, b] ⊂ R∗+ un interval, atunci dacǎxk ∈ [a, b] k = 1, n avem(

n∑k=1

tkxk

)(n∑k=1

tk

xk

)≤

(a+ b)2

4ab

(n∑k=1

tk

)2.

5

7.5.2 Ecuaţia dreptei determinat de douǎpuncte diferite

Similar, folosim ecuatţia de mai sus, pentru puntul M1,şi pentru vectorul ~M1M2: M1M2 :

x− x1x2 − x1

=y − y1y2 − y1

=z − z1z2 − z1

. (23)

7.5.3 Ecuatţia generelǎ a drepteiTeoremǎ 7.6. Sistemul:{

A1x+ B1y + C1z +D1 = 0A2x+ B2y + C2z +D2 = 0

(24)

unde (A1 B1 C1 D1A2 B2 C2 D2

)= 2.

reprezintǎ o dreaptǎ.

41

7.5.4 Ecuaţia dreptei în planSimilar ca şi în spacţiu. Fie e o drepatǎ în plan atunciecuatţia canonicǎ este:

x− x0p

=y − y0q

(25)

Dacǎ e nu este paralel cu axa Oy atunci (adicǎ p 6=0), atunci pentru orice vector de direcţie avem cǎ

q

p= m

este constantǎ. Numǎrul m este numitǎ panta dreptei.Avem cǎ

m = tg α, (26)

unde α este unghiul determinat de dreapta e cu axa Ox.În acest caz dacǎ dreapta trece prin punctul

A(x0, y0) şi are panta m atunci ecuaţia dreptei este:

y − y0 = m(x− x0). (27)

Observaţie 7.3. Douǎ drepte sunt parelele dacǎ şi numai dacǎ pantadreptelor sunt egale.

Observaţie 7.4. Fie e1, e2 douǎ drepte perpendiculare. Fie ~d1(p1, q1)şi ~d2(p2, q2) vectorii de direcţie. Evident cǎ ~d1 ⊥ ~d2, deci ~v1 ·~v2 = 0. Cea ce înseamnǎ p1p2 + q1q2 = 0. Presupunem cǎdreptele nu sunt paralele cu axaOy atunci

e1 ⊥ e2 ⇐⇒ m1 ·m2 = −1. (28)

7.5.5 Ecuaţia dreptei determinat de douǎpuncte diferite

FieM1(x1, y1) şiM2(x2, y2) douǎ puncte în plan. Atunciecuaţia dreptei care trece prin punctele M1 şi M2 are

42

vectorul de direcţie−−−−→M1M2(x2−x1, y2−y1), deci Ecuaţia

canonicǎ a dreaptei M1M2 este

x− x1x2 − x1

=y − y1y2 − y1

, (29)

sau: ∣∣∣∣ x y 1x1 y1 1x2 y2 1∣∣∣∣ = 0. (30)

7.5.6 Unghul determinat de douǎ drepteFie d1 şi d2 douǎ drepte. Atunci

m(d̂1, d2) =arccos

~d1 · ~d2||~d1|| · ||~d2||

, ~d1 · ~d2 ≥ 0

π − arccos~d1 · ~d2

||~d1|| · ||~d2||, altfel.

Dacǎ luǎm în considerare cǎ

π − arccos x = arccos(−x),

pentru orice x ∈ [−1, 1] atunci avem cǎ:

m(d̂1, d2) = arccos|~d1 · ~d2|||~d1|| · ||~d2||

, (31)

sau:m(d̂1, d2) =

arccos|p1p2 + q1q2 + r1r2|√

p21 + q21 + r

21 ·√p22 + q

22 + r

22

.

43

13 Trigonometrie1. sin2 x+ cos2 x = 1;

2. 1 + tan2 x =1

cos2 x;

3. 1 + cot2 x =1

sin2 x;

4. sin x = cos(π

2− x);

5. cos x = sin(π

2− x);

6. tan x = cot(π

2− x);

7. cot x = tan(π

2− x);

8. tan x > x > sin x, ∀x ∈(

0,π

2

);

9. cos(x+ y) =

cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y);

10. sin(x+ y) =

sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x);

11. tan(x+ y) =tan(x) + tan(y)

1− tan(x) tan(y);

12. cot(x+ y) =cot(x) cot(y)− 1cot(x) + cot(y)

;

13. sin(x− y) =

sin(x) cos(y)− sin(y) cos(x);

68

14. cos(x− y) =

cos(x) · cos(y) + sin(x) · sin(y);

15. tan(x− y) =tan(x)− tan(y)

1 + tan(x) tan(y);

16. cot(x− y) =cot(x) cot(y) + 1

cot(y)− cot(y);

17. sin(2x) = 2 sin(x) cos(x);18. cos(2x) = cos2 x− sin2 x =

1− 2 sin2 x = 2 cos2 x− 1;

19. sin 3x = 3 sin x− 4 sin3 x;20. cos(3x) = 4 cos3(x)− 3 cos(x);

21. cos(x

2

)=

√1 + cos(x)

2;

22. sin(x

2

)=

√1− cos(x)

2;

23. tan(x

2

)=

√1− cos x

1 + cos(x);

24. cot(x

2

)=

√1 + cos x

1− cos(x);

25. sin(p) + sin(q) =

2 sin

(p+ q

2

)· cos

(p− q

2

);

26. sin(x) · cos(y) =

1

2[sin(x+ y) + sin(x− y)];

69

27. sin(p)− sin(q) =

2 sin

(p− q

2

)· cos

(p+ q

2

);

28. cos(p) + cos(q) =

2 cos

(p+ q

2

)· cos

(p− q

2

);

29. cos(x) cos(y) =

1

2[cos(x+ y) + cos(x− y)];

30. cos(p)− cos(q) =

−2 sin(p− q

2

)· sin

(p+ q

2

);

31. sin(x) sin(y) =

1

2[cos(x− y)− cos(x+ y)];

32. tan(p)± tan(q) =sin(p± q)

cos(p) · cos(q);

33. cot(p) + cot(q) =sin(p+ q)

sin(p) sin q;

34. sin(x) =2 tan( x2 )

1 + tan2( x2 );

35. cos(x) =1− tan2( x2 )1 + tan2( x2 )

;

36. tan(x) =2 tan( x2 )

1− tan2( x2 );

37. tan(x

2) =

sin(x)

1 + cos(x)=

1− cos(x)sin(x)

;

70