Cuprins1. Elemente de logică matematică . . . . . . . . . . . 11.1. Propoziţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Predicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Mulţimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Inducţia matematică . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1. Numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Şiruri, progresii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1. Şiruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Progresii aritmetice . . . . . . . . . . . . . . . 293.3. Progresii geometrice . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Funcţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1. Noţiunea de funcţie . . . . . . . . . . . . . . . 354.2. Operaţii cu funcţii numerice . . . . . . . . . . 374.3. Proprietăţile funcţiilor . . . . . . . . . . . . . 454.4. Funcţii bijective . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5. Graficul unei funcţii . . . . . . . . . . . . . . . 604.6. Graficul şi proprietăţile funcţiei . . . . . . . . . 62

5. Funcţii numerice, ecuaţii . . . . . . . . . . . . . . 695.1. Funcţia de gradul întâi . . . . . . . . . . . . . 695.2. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi . . . . . . . . 725.3. Funcţia de gradul al doilea . . . . . . . . . . . 755.4. Ecuaţii de gradul al doilea . . . . . . . . . . . 815.5. Funcţia putere cu exponent natural . . . . . . . 865.6. Funcţia putere cu exponent negativ . . . . . . . 885.7. Funcţia radical . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.8. Ecuaţii iraţionale . . . . . . . . . . . . . . . . 945.9. Funcţia exponenţială . . . . . . . . . . . . . . 975.10. Ecuaţii exponenţiale . . . . . . . . . . . . . . 1005.11. Funcţia logaritmică . . . . . . . . . . . . . . 1035.12. Ecuaţii logaritmice . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.13. Funcţia sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.14. Funcţia arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.15. Funcţia cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.16. Funcţia arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . 1215.17. Funcţia tangentă . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.18. Funcţia arctangentă . . . . . . . . . . . . . . 1265.19. Funcţia cotangentă . . . . . . . . . . . . . . 1285.20. Funcţia arccotangentă . . . . . . . . . . . . . 130

6. Numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.1. Mulţimea numerelor complexe . . . . . . . . . 1326.2. Forma algebrică . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.3. Reprezentarea geometrică . . . . . . . . . . . 1386.4. Forma trigonometrică . . . . . . . . . . . . . 1416.5. Rădăcinile de ordinul n . . . . . . . . . . . . . 1456.6. Ecuaţii binome şi bicvadratice . . . . . . . . . 146

7. Elemente de combinatorică . . . . . . . . . . . . . 1487.1. Reguli generale ale combinatoricii . . . . . . . 1487.2. Permutări . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.3. Grupul Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.4. Aranjamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.5. Combinări . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.6. Binomul lui Newton . . . . . . . . . . . . . . 160

8. Statistică şi probabilităţi . . . . . . . . . . . . . . . 1628.1. Matematică financiară . . . . . . . . . . . . . 1628.2. Elemente de statistică matematică . . . . . . . 1658.3. Calculul probabilităţilor . . . . . . . . . . . . 168

9. Matrice şi determinanţi . . . . . . . . . . . . . . . 1729.1. Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1729.2. Determinanţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799.3. Aplicaţii ale determinanţilor în geometrie . . . 1849.4. Matrice inversabile . . . . . . . . . . . . . . . 1869.5. Rangul unei matrice . . . . . . . . . . . . . . 188

10. Sisteme de ecuaţii liniare . . . . . . . . . . . . . . 19111. Structuri algebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 19811.1. Legi de compoziţie . . . . . . . . . . . . . . . 19811.2. Grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

11.3. Subgrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21411.4. Morfisme de grupuri . . . . . . . . . . . . . . 21611.5. Inele şi corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

12. Polinoame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22312.1. Inel de polinoame . . . . . . . . . . . . . . . 22312.2. Forma algebrică a unui polinom . . . . . . . . 223

1. Elemente de logică matema-tică

1.1. Propoziţii

..

Definiţie. Se numeşte propoziţie un enunţ declarativ des-pre care se poate decide dacă este adevărat sau fals.Observaţie. O propoziţie nu poate fi în aceeaşi timp şi ade-vărată şi falsă.Definiţie. Unei propoziţii îi putematribui unadin cele douăvalori de adevăr “1” sau “0”: dacă propoziţia este adevărată,valoarea sa de adevăr este 1, iar valoarea de adevăr a uneipropoziţii false este 0 (“1” şi “0” sunt simboluri, nu repre-zintă numere).Notaţie. Propoziţiile se notează cu literele mici p,q,r,....

Exemplu. Sunt propoziţii: “În fiecare pătrat există un unghidrept.”- propoziţie adevărată, valoarea sa de adevăr este 1;“suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu 110◦.”-falsă, valoarea sa de adevăr este 0;“Într-un triunghi echilateral toate laturile sunt de lungimeegală.”-adevărată, valoarea sa de adevăr este 1.

Nu sunt propoziţii (în sensul logicii matematice): “x+3=10”-nu se poate decide dacă este advărată sau falsă: pentru x=7,propoziţia “7+3=10” este adevărată, iar pentru alte valori alelui x propoziţia este falsă;“Într-un triunghi laturile sunt congruente.”- în cazul triunghiuluiechilateral propoziţia este adevărată, în alte cazuri este falsă.

1

..

Definiţie. Negaţia propoziţiei p este propoziţia “non p”,notată ¬p sau p, care este adevărată dacă p este falsă şiTabelul de adevăr

al lui ¬p:p ¬p0 11 0

falsă dacă p este adevărată.Observaţie. Propoziţia ¬(¬p) are ace-eaşi valoarea de adevăr ca şi p. Pentrua nega o propoziţie, se pune în faţa eiexpresia “nu e adevărat că”.

.Negaţia unei propoziţii

Exemplu. Negaţia propoziţiei adevărate p: “2+3>4” este ¬p:“2+3 ̸>4”.Negaţia propoziţiei false “Fiecare câine este neagră.” este propo-ziţia adevărată“Există câine care nu este neagră”.

..Tabelul de advăr

al lui p∧q:p q p∧q0 0 00 1 01 0 01 1 1

Definiţie. Conjuncţia propoziţiilor p, qeste propoziţia “p şi q”, notată p∧q, careeste adevărată numai atunci când atât pcât şi q sunt adevărate, fiind falsă în ce-lelate cazuri.Observaţie. Pentru a exprima conjun-cţia propoziţiilor p, q, punem între celedouă propoziţii cuvântul “şi”.

.Conjuncţia propoziţiilor

..Tabelul de advăr

al lui p∨q:p q p∨q0 0 00 1 11 0 11 1 1

Definiţie. Disjuncţia propoziţiilor p, qeste propoziţia “p sau q”, notată p∨q,care este falsă numai atunci când atât pcât şi q sunt false, fiind adevărată în ce-lelate cazuri.Observaţie. Pentru a exprima disjuncţiapropoziţiilor p, q, punem între cele douăpropoziţii cuvântul “sau”.

.Disjuncţia propoziţiilor

2

..

Definiţie. Din propoziţiile simple p,q,r,... prin aplicareade un număr finit de ori a conectorilor logici ¬,∨,∧ se potcrea propoziţii compuse.Observaţie. Calculul propoziţiilor studiază propoziţiilecompuse din punctul de vedere al adevărului sau falsuluiîn raport cu valorile logice ale propoziţiilor simple care lecompun.

..

Definiţie. Se numeşte implicaţia propoziţiilor p şi q propo-ziţia ((¬p)∨q) şi se notează p→q (“p implică q”).Tabelul de advăr al

lui p→q:p q ¬p p→q

0 0 1 10 1 1 11 0 0 01 1 0 1

Din tabelul de adevăr constatăm căp→q este falsă numai dacă p este ade-vărată şi q este falsă, fiind adevărată încelelate cazuri. Observaţie. Implica-ţia propoziţiilor p,q se exprimă astfel:“dacă p atunci q”. În implicaţia p→qp se numeşte ipoteză, iar q se numeşteconcluzia implicaţiei.

.Implicaţia propoziţiilor

Exemplu. Considerând propoziţiile p: “Numărul 2 este par.” şiq: “Pământul este sferic.”:

.. p→q: “Dacă numărul 2 este par atunci Pământul estesferic.”- propoziţie falsă, ipoteza fiind adevărată şi con-cluzia falsă;

.. q→p: “Dacă Pământul este sferic, atunci numărul 2 estepar.”- propoziţie adevărată, ipoteza fiind falsă şi concluziaadevărată.

3

2. Numere reale

2.1. Numere reale

..

Notaţie.N={0,1,2,3,...}mulţimea numerelor naturale;Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...} mulţimea numerelorîntregi;

Q=

{m

n

∣∣∣∣m,n∈Q,n ̸=0

}mulţimea numerelor raţionale;

Rmulţimea numerelor realeI=R\Qmulţimea numerelor iraţionale;N∗=N\{0}, Z∗=Z\{0}, Q∗=Q\{0}, R∗=R\{0}.

Observaţie. N⊂Z⊂Q⊂R, R=Q∪I, Q∩I=∅.

..

.. asociativitate: (x+y)+z=x+(y+z),∀x,y,z∈R (N,Z,Q);

.. comutativitate:x+y=y+x, ∀x,y∈R (N,Z,Q);

.. există element neutru:∃0∈R astfel încât x+0=0+x=x,

∀x∈R (N,Z,Q);.. orice număr întreg (raţional, real) are un opus:

∀x∈Z (Q,R),∃(−x)∈Z (Q,R)astfel încât x+(−x)=0.

.Proprietăţile adunării numerelor reale

13

..

.. asociativitate:(x·y)·z=x·(y·z), ∀x,y,z∈R (N,Z,Q);

.. comutativitate: x·y=y·x, ∀x,y∈R (N,Z,Q);

.. există element neutru:∃1∈R astfel încât x·1=1·x=x, ∀x∈R (N,Z,Q);

.. orice număr real nenul este inversabil:∀x∈Q∗ (R∗), ∃

1

x∈Q∗, (R∗) astfel încât x·

1

x=1;

.. Distributivitatea înmulţirii faţă de adunare:x(y+z)=xy+xz, (x+y)z=xz+yz, ∀x,y,z∈R.

.Proprietăţile înmulţirii numerelor reale

Problemă. Să se demonstreze că numărul√2 este iraţional.

S.Presupunând că√2∈Q există numerelea,b∈N, b ̸=0 astfel în-

cât√2=

a

b, iar

a

beste ireductibilă. Ridicând la pătrat, 2=

a2

b2⇒

a2=2b2, deci a2 este par⇒a este par⇒a=2k, k∈N. Atunci4k2=2b2⇒2k2=b2, deci b2 este par⇒b par⇒b=2l, l∈N. Daratuncia=2k, b=2l, aşadar fracţia

a

beste reductibilă prin 2, con-

rar ipetezei. Deci√2 nu este reductibilă.

..

Definiţie. Numărul întreg a este divizibil cu numărul în-treg b dacă există un număr întreg c astfel încât a=b·c.

Notaţie. a...b (“a este divizibil cu b”) sau b|a (“b divide a”).

Teoremă. (Teorema împărţirii cu rest) Fiind date nume-relea∈N şi b∈N∗, există şi sunt unice numerele q,r∈N ast-fel încât a=bq+r şi 0≤r<b.

.Divizibilitate

14

..

Teoremă. Fie a,b,c∈N∗. Atunci.. dacă a|b şi b|c, atunci a|c (tranzitivitate);.. dacă a|b atuncima|mb, ∀m∈N∗;.. dacă a|b şi a|c, atunci a|ma+nb, ∀m,n∈N∗.

Definiţie. Un număr p≥2 se numeşte număr prim dacă pare exact doi divizori: 1 şi p.

.Divizibilitate - continuare

..

Definiţie. O fracţie zecimală de forma a0,a1a2a3... se nu-meşte

.. fracţie zecimală finită, dacă are un număr finit decifre zecimale;

.. fracţie zecimală periodică simplă, dacă are un grupde zecimale, numit perioadă, care se repetă la infi-nit,incepând imediat după virgulă:∃p∈N, p≥1 astfel încât an+p=an, ∀n≥1;

.. fracţie zecimală periodică mixtă, dacă perioada nuincepe imediat după virgulă: ∃k,p∈N, p≥1, k≥2astfel încât an+p=an, ∀n≥k.

.Fracţii zecimale

Exemplu. Fracţie zecimală finită: −12,003.Fracţie zecimală periodică simplă: 13,248248248...

jel.=

13,(248).

Fracţie zecimală periodică mixtă: −23,0487271271...jel.=−23,0487(271).

..Teoremă. Orice număr raţional poate fi transformat într-ofracţie zecimală finită sau într-o fracţie zecimală periodicăsimplă sau mixtă.

15

Problemă. Să se transforme în fracţii zecimale:137

40,19

21,

433

330.

S. Se împarte numărătorul la numitor:137

40=137:40=3,425

(fracţie zecimală finită),19

21=19:21=0,904761904761...=

0,(904761) (fracţie zecimală periodică simplă),433

330=433:330=1,3121212...=1,3(12) (fracţie zecimală

periodică mixtă).

..Teoremă. Orice fracţie zecimală finită sau fracţie zecimalăperiodică simplă saumixtă poate fi transformată într-o fra-cţie ordinară.

Problemă. Să se transforme următoarele fracţii zecimaleîn fracţii ordinare: 3,25; 1,335; 0,(36); −2,(693); 3,2(35);1,01(2).

S. Transformarea unei fracţii zecimale finite: 3,25=325

100=3

1

4,

1,335=1335

1000.

Transformarea unei fracţii zecimale periodice simple:

−2,(693)=−2693

999=−2

77

111, 0,(36)=

36

99=

4

11.

Transformarea unei fracţii zecimale periodice mixte:

1,01(2)=112−1900

=111

900, 3,2(35)=3

235−2990

=3233

990.

..

Definiţie. Partea întreagă a numărului real x este numărulîntreg (notat cu [x]) cel mai mare, mai mic sau egal cu x.

[x]=k∈Z⇔k≤x<k+1.Definiţie. Partea fracţională a numărului x este numărul{x}=x−[x]∈[0,1).

16

4.6. Graficul şi proprietăţile funcţiei

..

În cursul reprezentării graficului funcţiei numerice f :A→B ne interesează fragmentul din plan corespunzătoare pro-dusul cartezianA×Imf .Dacă graficul lui f este trasată, domeniul de definiţie al luif este proiecţia lui Gf pe axa Ox, iar Imf este proiecţialuiGf peOy.

.Gf↔ domeniul de definiţie, imaginea Imf

..x

.

y

.O.

Gx2

.

A

A=[−1,3]

..x

.

y

.O.

Gx2

.

Imf

Imf=[−1,2]

..

Funcţia f :A→R este mărginită cu margine inferioarăm şimargine superioarăM dacă graficul lui f este situată întredreptele orizontale de ecuaţie y=m şi y=M . Dacă grafi-cul lui f nu poate fi cuprinsă între două drepte orizontale,atunci f nu este mărginită.

.Gf↔mărginire

62

..x

.

y

.O

mărginită

..x

.

y

.O

mărginită superiornemărginită inferior

..x

.

y

.O

nemărginită superiormărginită inferior

..x

.

y

.O

nemărginită superiornemărginită inferior

..

Funcţia f este pară dacă graficul lui f este simetrică pe axaOy.Funcţia f este impară dacă graficul lui f este simetrică pepunctulO.

.Gf↔ paritate

..x

.

y

.O

f par

..x

.

y

.O

f impar

63

..x

.

y

.O

f crescătoare

..x

.

y

.O

f descrescătoare

..

Graficul unei funcţii strict crescătoare, de la stânga ladreapta, “se ridică”.Graficul unei funcţii strict descrescătoare, de la stânga ladreapta, “se coboară”.

.Gf↔monotonitate

..

Funcţia numerică f :A→R intersectează axa Ox în punc-tele (x0,0) unde f(x0)=0, deci x0 este o soluţie a ecuaţieif(x)=0. Abscisele punctelor de intersecţie ale graficuluicu axaOx determină valorile aproximative ale soluţiilor.Faptul că funcţia f este pozitivă (negativă) pe o mulţimeM⊆A, este chivalent cu faptul că imaginea geometrică alui f corespunzătoaremulţimiiM se află deasupra axeiOx(sub axaOx).Dacă imaginea geometrică a lui f este trasată, mulţimeasoluţiilor inegalităţii f(x)≥0 (f(x)≤0) este alcătuită dinproiecţiile peOx ale punctelor de pe grafic care se află dea-supra axeiOx (sub axaOx).Observaţie. Funcţiile continue îşi menţin semnul constantîntre două rădăcini consecutive: dacă f este continuă peA,f(x1)=f(x2)=0, x1<x2, (x1,x2)⊆A şi f(x) ̸=0, ∀x∈(x1,x2), atunci f(x)·f(y)≥0, ∀x,y∈(x1,x2).

.Gf↔ semnul funcţiei

64

..x

.

y

.O.

1

f(x)≥0⇔x∈[−2,−1]∪[2,∞)

..x

.

y

.O.

1

f(x)<0⇔x∈(−∞,−2)∪(−1,2)

..

Definiţie. Dreapta d se numeşte o asimptotă a graficuluifuncţiei f :A→B A,B⊆R, dacă distanţa dintre un punctde pe curbă şi dreapta d tinde spre 0, când abscisa punctu-lui tinde spre±∞.Deosebim trei tipuri de asimptote: verticală, orizontală şioblică.

.Gf↔ Asimptote

..x

.

y

.1

.1

.O

y=1asimptotă orizontală

..x

.

y

.1

.1

.O.

O

x=1asimptotă verticală

65

5.16. Funcţia arccosinus

..

Definiţie. Inversa funcţiei bijective g:[0,π]→[−1,1],g(x)=cosx este funcţia arccosinus: f :[−1,1]→[0,π],f(x)=arccosx.Din definiţie rezultă că

arccosx=α⇔cosα=x, α∈(0,π).

Reprezentareageometrică:

..x

.

y

.O .

π2

.

π

.−1

.1

.

Garccosx

Funcţiile f :[−1,1]→[0,π], f(x)=arccosx şi g:[0,π]→[−1,1], g(x)=cosxsunt funcţii inverse, deci reprezentarealor geometrică este simetrică faţă dedreapta y=x:

..x

.

y

.O .

π2

.π2

.

π

.−1

.1

.

1

.

−1

.π

.

Garccosx

.

Gcosx

..

x −1 −√3

2−√2

2−

1

20

1

2

√2

2

√3

21

arccosx π5π

6

3π

4

2π

3

π

2

π

3

π

4

π

60

.Valori remarcabile

121

..

x −1 0 1

arccosx −π +↘+π

2+↘+ 0

.Tabelul de variaţie şi de semne

Problemă. Determinaţi domeniul maxim de definiţie pentrufuncţia f :D→R, f(x)=arccos(1−2x)!S.Argumentul lui arccos trebuie să aparţină intervalului [−1,1]:D={x∈R| 1−2x∈[−1,1]}.

1−2x∈[−1,1]⇔−2x∈[−2,0]⇔x∈[0,1], deciD=[0,1].

Problemă. Să se calculeze arccos(cos6).S. Fie arccos(cos6)=α, atunci cosα=cos6 şiα∈[0,π]≈[0;3,14].Din relaţia cos(x)=cos(2π−x) rezultă că cos6=cos(2π−6) şi2π−6≈0,28∈[0,π], deci arccos(cos6)=α=2π−6.

..

Definiţie f :[−1,1]→[0,π], f(x)=arccosxImaginea lui f Imf=[0,π]

Puncte de inter- Gf∩Oy={(0,π2

)}

secţie cu axe Gf∩Ox={(1,0)}Periodicitate f nu este periodicăParitate f nu este pară, nu e impară:

arccos(−x)=π−arcsinxContinuitate curbă continuăAsimptote nu existăMărginire f este mărginită: 0≤arccosx≤π,

arccosx=0⇔x=1,arccosx=π⇔x=−1

Monotonie f este strict descrescătoare pe[−1,1]

Semnul funcţiei arccosx≥0, ∀x∈[−1,1]Convexitate f este convexă pe [−1,0], f este

concavă pe [0,1]

.Proprietăţile funcţiei arccosinus

122

..

Punct de infle-xiune

x=0

Bijectivitate f este bijectivă

Funcţia inversă f−1:[0,π]→[−1,1],f−1(x)=cosx

.Proprietăţile funcţiei arccosinus - continuare

Problemă. Să se demonstreze că 2arcsin1

3=arccos

7

9.

S. Cu notaţiile arcsin 13=α şi arccos 79 , din definiţie sinα=

13 ,α∈[

−π2 ,π2

], cosβ= 7

9 , β∈[0,π]. Trebuie să demostrăm că 2α=β.

Din teorema fundamentală a trigonometriei cos2α= 89⇒cosα=

± 2√

23 . Pe intervalul

[−π

2 ,π2]cosinusul este pozitiv, deci

cosα= 2√

23 . În mod analog, sinβ= 4

√2

9 .sin(2α)=2sinαcosα=2· 13 ·

2√

23 = 4

√2

9 =sinβ.

Faptul că sin(2α)=sinβ nu înseamnă că 2α=β (funcţia sin nueste injectivă, o altă posibilitate este 2α=π−β). Dar sinα>0⇒α∈(0,π2

)⇒2α∈(0,π); sin(2α)>0⇒2α∈

(0,π2

). cosβ>0⇒

β∈(0,π2

).

Deci sin(2α)=sinβ, 2α∈(0,π2

), β∈

(0,π2

), de unde 2α=β.

5.17. Funcţia tangentă

..Definiţie. Funcţia f :R\{

π

2+kπ| k∈Z

}→R, f(x)=tgx

se numeşte funcţia tangentă.

123

Reprezentarea geometricăgraficului:

..x

.

y

.O .−π

.π

.− 3π

2

.−π

2

.π2

.3π2

.

Gtgx..

x 0π

6

π

4

π

3

tgx 0

√3

31√3

.Valori remarcabile

..

x −3π

2−

π

2

π

2

3π

2

tgx ∞|−∞ ↗ ∞|−∞ ↗ ∞|−∞ ↗ ∞|−∞

.Tabelul de monotonie

..

x −π −π

20

π

2π

3π

2

tgx −0+ + +|− − −0+ + +|− − −0+ + +|−

.Tabelul de semne

..

Definiţie f :R\{

π2 +kπ| k∈Z

}→R, f(x)=

tgxImaginea lui f Imf=RPuncte de inter- Gf∩Oy={(0,0)}secţie cu axe Gf∩Ox={(kπ,0)| k∈Z}Periodicitate periodică, perioada principală:

T=π

.Proprietăţile funcţiei tangentă

124

..

Paritate f este impară: tg(−x)=−tgx,centrul de simetrie : O

Continuitate curbă continuă pe(−π

2 +kπ,π2 +kπ), k∈Z

Asimptote x=π2 +kπ, k∈Z asimptotaă

verticalăMărginire nu este mărginităMonotonie f e strict crescătoare pe(

−π2 +kπ,π2 +kπ

), k∈Z

Semnul funcţiei tgx≥0⇔x∈[kπ,π2 +kπ

)şi

tgx<0⇔x∈(π2 +kπ,(k+1)π

]Convexitate f este convexă pe

[kπ,π2 +kπ

),

k∈Zf este concavă pe(π2 +kπ,(k+1)π

], k∈Z

Puncte de inflexiune: xk=kπ, k∈Z

Bijectivitate f nu este bijectivă (nu e injectivă,este surjectivă)

Restricţia fb:(−π

2 ,π2)→R, fb(x)=tgx

bijectivă inversa lui f : f−1b :R→

(−π

2 ,π2),

f−1b (x)=arctgx

.Proprietăţile funcţiei tangentă - continuare

125

7. Elemente de combinatorică

7.1. Reguli generale ale combinatoricii

..

Teoremă. Dacă obiectul A poate fi ales în nA moduri,obiectul B (C,...) poate fi ales în nB(nC , ...) moduri şinici o alegere a lui A nu coincide cu nici o alegere a lui B(C,...), atunci alegerea “A sauB” (sauC, ...) poate fi rea-lizată în nA+nB(+nC+...)moduri.Observaţie. Această regulă poate fi prezentată sub forma:pentru mulţimile disjuncte A şi B, |A∪B|=|A|+|B|,unde |M | înseamnă numărul de elemente ale mulţimiiM .Teoremă. Dacă obiectul A poate fi ales în nA moduri,obiectulB în nB moduri, iarm posibilităţi de alegerea luiA şi a lui B coincid (m≤nA,nB), atunci alegerea “A sauB” poate fi realizată în nA+nB−mmoduri.Observaţie. Fie mulţimile A,B. Atunci |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|.

.Regula sumei

Exemplu. Într-un penar sunt 3 creioane de grafit, 12 creioanecolorate şi 4 pixuri, atunci alegerea unui creion poate fi realizatăîn 3+12=15moduri, iar pentru alegerea unui rechizite sunt 3+12+4=19 posibilităţi.

Problemă. Elevii unei clase urmează cursuri astfel încât 8merg la germană, 6 la română. Ştiind că 2 dintre elevi urmeazăambele cursuri iar 15 nu face nici un curs, să se determine efec-tivul clasei.!S. Se notează cuG (R) mulţimea elevilor care frecventează cur-sul de germană (română), iar cu S mulţimea celor care nu ur-mează cursuri. Atunci |G|=8, |R|=6, |G∩R|=2, |S|=15.

148

După regula sumei numărul elevilor care urmează cel puţin uncurs, este

|G∪R|=|G|+|R|−|G∩R|=8+6−2=12.

..

S

.

G

.

R

.

G∩R

.8

. 2.6

. 15. 6. 4

Mulţimile G∪R şi S suntdisjuncte, astfel conformregulei sumei,|(G∪R)∪S|=|G∪R|+|S|=12+15=27.

Problemă. Între 1 şi 100 câre numere naturale se divid cu 6sau 8?

S. Cu notaţiile A={x∈N| 1≤x≤100, x...6} şi

B={x∈N| 1≤x≤100, x...8}, A={1·6,2·6,3·6,...,16·6},

B={1·8,2·8,3·8,...,12·8}, deci |A|=16, |B|=12 şi

A∩B={x∈N| 1≤x≤100, x...6, x

...8}={x∈N| 1≤x≤

100, x...[6,8]=24}={24,48,72,96}, |A∩B|=4. Atunci

|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|=16+12−4=24.

..

Teoremă. Dacă obiectul A poate fi ales în nA moduri, şidacă după fiecare astfel de alegere, obiectul B se poatealege în nB moduri, atunci alegerea perechii (A,B) poatefi realizată în (nA·nB)moduri.

Observaţie. Fie mulţimile A şi B. Atunci |A×B|=|A|×|B|.

.Regula produsului

Exemplu. Între oraşele A şi B sunt două drumuri (AB1 şiAB2), din A în C putem ajunge în trei moduri (BC1, BC2,BC3) (vezi “harta” de mai jos). Atunci dinA înC putem ajungeîn 2·3=6moduri diferite.

149

Pentru reprezentarea unor astfel de situaţii se poate folosi dia-grama copac.

..A. B. C.AB1

.

AB2

.

BC1

. BC2.

BC3

..A.

B

.

B

.

C

.

C

.C

.C

.

C

.

C

.

AB1

.

AB2

.

BC1

.

BC2

.BC3

.

BC1

.

BC2

.

BC3

Exemplu. O fetiţă are 4 perechi de papuci, 3 fustiţe, 5 bluziţe şi2 vestuţe. În câte feluri se poate îmbrăca fetiţa?

Reprezentarea tuturor posibilităţilor pe o diagramă copac ar fiprea amplă (şi nici nu este necesară), de aceea reprezentăm doarnumărul posibilităţilor:Vestimentaţie papuci fustiţă bluziţă vestuţăNumăr bucăţi 4 3 5 2numărul posibilităţiloralegerii papucilor

4

numărul posibilităţilor(papuci,fustiţe)

4·3

(papuci,fustiţe, bluziţe) 4·3·5(papuci,fustiţe, bluziţe,vestuţe)

4·3·5·2

În total sunt 4·3·5·2=120 posibilităţi.

Observaţie. De obicei, se formulează un tabel simplificat:Vesti-mentaţie

papuci fustiţă bluziţă vestuţă total

↑ ↑ ↑ ↑Nr. posi-bilităţi

4 3 5 2 4·3·5·2=120

150