memorator matematic

  • View
    5.542

  • Download
    13

Embed Size (px)

Text of memorator matematic

CUPRINSALGEBRI. Elemente de logic matematic . II. Mulimi . III. Relaii binare ... IV. Funcii . V. Operaii cu numere reale .. VI. Ecuaii i inecuaii de gradul nti ... VII. Numere complexe .. VIII. Ecuaii i inecuaii de gradul al II-lea ... IX. Ecuaii algebrice de gradul III, IV i V ... X. Logaritmi .. XI. Metoda induciei matematice .. XII. Analiz combinatorie . XIII. Progresii ... XIV. Polinoame . XV. Permutri, matrici, determinani XVI. Sisteme lineare . XVII. Structuri algebrice ... 3 6 9 11 12 14 16 18 24 24 26 27 29 30 32 35 36

GEOMETRIE I TRIGONOMETRIEI. Triunghiul .. II. Poligoane convexe III. Relaii metrice n triunghi ... IV. Patrulatere ... V. Poligoane nscrise n cerc . VI. Cercul .. VII. Complemente de geometrie plan . VIII. Poliedre . IX. Corpuri rotunde ... X. Funcii trigonometrice .. XI. Formule trigonometrice .. XII. Inversarea funciilor trigonometrice .. XIII. Soluiile ecuaiilor trigonometrice simple XIV. Elemete de geometrie analitic 39 40 40 42 43 43 44 45 49 50 51 53 54 55

1

ANLIZ MATEMATICI. Siruri .. II. Limite de funcii ... III. Funcii derivabile IV. Asimptote V. Primitive ... VI. Integrale definite . 59 61 64 67 68 70

2

ALGEBRI. Elemente de logic matematicI.1. Noiunea de propoziieDefiniia I.1.1. Se numete propoziie un enun despre care se poate spune c este adevrat sau fals, adr nu i adevrat i fals simultan. Se noteaz cu p,q, P, Q Ex: 1) Q : acesta este un enun care exprim un adevr, deci o propoziie adevrat. 2) x + 5 = 3, xN este o propoziie fals, pentru c nu exist nici un numr natural astfel ca x + 5 = 3 3) x y, x,yN este un enun despre care nu se poate spune nimic. Deci nu este o propoziie. Valoarea logic sau valoarea de adevr a unei propoziii. Dac o propoziie p este adevrat se spune c are valoarea logic sau valoarea de adevr: adevrul; aceast valoare de adevr se noteaz cu simbolul 1 sau a i scriem v(p) = 1 sau (v)p = a. Daca o propoziie q este fals, se spune c are valoarea de adevr: falsul; aceast valoare de adevr se noteaz cu simbolul 0 sau f i scriem v(q) = 0 sau v(q) = f.

I.2. Operatori logici NegaiaDefiniia I.1.2. Negaia unei propoziii p este propoziia care este fals cnd p este adevrat i este adevrat cnd p este fals. Se noteaz: non p, p, p . Tabela de adevr a propoziiei non p se ntocmete be baza relaiei v(non p) = 1 v(p). p non p 1 0 0 1

ConjunciaDefiniia I.2.2. Conjuncia a dou propoziii p i q este propoziia care este adevrat dac i numai dac fiecare propoziie p i q este adevrat. Se noteaz: p q

3

Tabela de adevr a propoziiei p q este: p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p q 1 0 0 0

DisjunciaDefiniia I.2.3. Disjuncia a dou propoziii p i q este propoziia care este adevrat dac i numai dac cel puin una din propoziiile p, qeste adevrat. Se noteaz: p q Tabela de adevr a propoziiei p q este: p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p q 1 1 1 0

ImplicaiaDefiniia I.2.4. Implicaia propoziiilor p i q este propoziia care este fals dac i numai dac p este adevrat i q este fals. Se noteaz: (non p) sau q, pq i se citete: p implic q sau dac p, atunci q. Propoziia p este ipoteza, iar propoziia q este concluzia. Tabela de adevr a propoziiei pq este: p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 non p (non p) q 0 1 0 0 1 1 1 1

Echivalena logicDefiniia I.2.4. Propoziiile p i q sunt echivalente logic, dac i numai dac p, q sunt adevrate sau false simultan. 4

Se noteaz (non p)q i (non q)p; (pq) i (qp); pq; se citete: p echivalent cu q sau p dac i numai dac q, p este condiie necesar i suficient pentru q. Tabela de adevr a propoziiei compuse pq este: p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 non p non q 0 0 0 1 1 0 1 1 pq qp (pq) (qp) 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

I.3. Expresii n calculul propoziiilorPropoziiile p,q, r, fiind date, cu ajutorul operatorilor logici , , , , putem formula diferite expresii, care se numesc formule ale calculului cu propoziii sau expresii logice. Ele se noteaz sau (p,q,r,), (p,q,r,). nlocuind n pe p,q,r, cu diferite propoziii obinem o alt propoziie, adevrat sau nu, a crei valoare de adevr se numete valoarea expresiei , obinut pentru propoziiile p,q,r, respective. Definiia I.3.1. O expresie logic care se reduce la o propoziie adevrat, oricare ar fi propoziiile p,q,r, se numete tautologie. Definiia I.3.2. Dou expresii logice i se numesc echivalente dac i numai dac pentru orice propoziii p,q,r, cele dou expresii reprezint propoziii care au aceeai valoare de adevr. n scris se noteaz .

I.4. Noiunea de predicatDefiniia I.4.1. Se numete predicat sau propoziie cu variabile un enun care depinde de o variabil sau de mai multe variabile i are proprietatea c pentru orice valori date variabilelor se obine o propoziie adevrat sau o propoziie fals. Predicatele se noteaz p(z,y,z,), q(x,y,z,) i pot fi unare (de o variabil), binare (de dou variabile), ternare (de trei variabile), etc., variabilele x,y,z, lund valori n mulimi date. Definiia I.4.2. Predicatele p(z,y,z,), q(x,y,z,) se numesc echivalente dac, oricare ar fi valorile pe care le iau x,y,z, n unul i acelai domeniu, propoziiile corespunztoare au aceleai valori de adevr. Scriem p(z,y,z,) q(x,y,z,).

I.5. CuantificatoriDefiniia I.5.1. Fie p(x), cu xM, un predicat. Dac exist (cel puin) un element xM, astfel nct propoziia p(x) este adevrat, atunci scriem xp(x), ( 5

x)p(x) sau (xM)p(x). Simbolul se numete cuantificator existenial i se citete exist. Definiia I.5.2. Fie p(x) cu xM, un predicat. Dac p(x) este o propoziie adevrat pentru orice xM, atunci scriem xpx, (x)p(x) sau (xM)p(x). Simbolul se numete cuantificator universal i se citete oricare ar fi. Proprietatea de comutativitate a cuantificatorilor: 1. (x)(y)p(x,y) (y)(x)p(x,y); 2. (x)( y)p(x,y) (y)( x)p(x,y); Reguli de negare: 1. ((x)p(x)) ((x)(p(x)); 2. ((x)p(x)) ((x)(p(x)); 3. ((x)(y)p(x,y))((x)(y)p(x,y)); 4. ((x)( y)p(x,y))(( x)( y)p(x,y));

I.6. Metoda de demonstraie prin reducere la absurdAceast metod se bazeaz pe tautologia (pq) (non pnon q), care ne arat c pentru a demonstra c pq, este totuna cu a demonstra c non pnon q.

I.7. Proprieti fundamentale ale operatorilor logici1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Oricare ar fi propoziiile p,q,r, avem: non(non p) p; (pq) (qp) (comutativitatea conjunciei); ((pq)r) (p(qr)) (asociativitatea conjunciei); (pq) (qp) (comutativitatea disjunciei); ((pq) r) (p (qr)) (asociativitatea discjunciei); ((pq)(qr))(pr) (tranzitivitatea implicaiei); non(pq) (non p)(non q) legile lui de Morgan; non(pq) (non p)(non q) (p(qr)) ((pq)(pr)) conjuncia este distributiv n raport cu disjuncia i (p(qr)) ((pq)(pr)) disjuncia este distributiv n raport cu conjuncia

II. MulimiModuri de definire a mulimilor. Mulimile se definesc fie prin indicarea elementelor lor (de pild {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprieti caracteristice a elementelor lor (de exemplu {xRx2 3x + 2 = 0}). Mulimile se noteaz cu litere mari: A, B, C, X, Y, Z, iar elementele lor cu litere mici: a, b, c, 6

Apartenena unui element la o mulime. Dac un element a aparine unei mulimi A, acesta se noteaz aA i se citete a aparine lui A. Definiie. Mulimea vid este mulimea care nu are nici un element. Se noteaz cu .

II.1. Egalitatea mulimlor A i B:(A = B) (xA xB) i (yB yA) Proprietile egalitii: 1. A, A = A (reflexivitatea); 2. (A = B) (B = A) (simetria); 3. (A = B B = C) (A = C) (tranzitivitatea);

II.2. Incluziunea mulimii A n mulimea B:(A B) (xA x B) Mulimea A se numete o parte sau o submulime a lui B. Proprietile incluziunii: A, A A (reflexivitatea); (A B) (B A) (A = B) (antisimetria); (A B B C) (A C) (tranzitivitatea); A, A Relaia de neincluziune se noteaz A B. A B = {xxA xB} Proprietile reuniunii: A, B: A B = B A (reflexivitatea); A, B, C: (A B) C) = A (B C) (asociativitatea); A: A A = A (idempotena); A: A = A; A, B: A A B, B A B.

1. 2. 3. 4.

II.3. Reuniunea mulimilor A i B:1. 2. 3. 4. 5.

II.4. Intersecia mulimilor A i B:A B = {xxA xB} Proprietile interseciei: 1. A, B: A B = B A (comutativitatea); 2. A, B, C: (A B) C = A (B C) (asociativitatea); 7

A: A A = A (idempotena); A: A = A, B: A B A, A B B A, B, C: (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea interseciei fa de reuniune); 7. A, B, C: (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea reuniunii fa de intersecie); 8. A, B: A (A B) = A, A (A B) = A (absorbia). 3. 4. 5. 6. Definiie. Mulimile A i B care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru ele avem A B = .

II.5. Diferena mulimilor A i B:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. A \ B = {xxA xB} Proprietile diferenei: A: A \ A = ; A, B, C: (A \ B) C = (A C) \ (B C); A, B: A \ B = A \ (A B); A, B: A = (A B) (A \ B); A, B, C: A \ (B C) = (A \ B) \ C; A, B, C: A \ (B C) = (A \ B) (A \ C); A, B, C: (A B) \ C = (A \ C) (B \ C); A, B, C: (A B) \ C = A (B \ C) = (A \ C) B. A B = (A \ B) (B \ A) Proprietile diferenei simetrice: A: A A = ; A, B: A B = B A (comutativitatea); A: A = A = A; A, B, C: (A B) C = A (B C) (asociativitatea); A, B, C: A (B C) = (A B) (A C); A, B: A B = A B \ (A B)

II.6. Diferena simetric a mulimilor A i B:1. 2. 3. 4. 5. 6.

II.7. Complementara unei mulimi A n raport cu mulimea E:(A fiind o parte a lui E, adic AE) CEA = {xxE xA} Proprieti: (A, BE) 8

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

CE(CEA) = A (principiul reciprocitii); CEA = E \ A; CE = E; CEE = ; A CEA = A (principiul exluderii teriului); A CEA = (principiul necontradiciei); A B CEB CEA; A \ B = CE(A B).

II.8. Formulele lui de Morgan (A, BE)CE(A B) = CEA CEB; CE(A B)= CEA CEB.

II.9. Produsul cartezian a dou mulimile A i B:A x B = {(a,b)aA bB} Proprietile produsului cartezian ( A,B,C,D avem): 1. A x B B x A, dac A B; 2. (A x B) (A x C) = A x (B C); 3. (A B) x C = (A x C) (B x C); 4. (A B) x C = (A x C) (B x C); 5. (A \ B) x C = A x C \ B x C; 6. (A B) x (C D) = (A x C) (B x D) Definiia II.9.1. Muli