Memoire de Magister de Nait Slimani Boukhalfa 3

7/22/2019 Memoire de Magister de Nait Slimani Boukhalfa 3

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Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique

Universit Mouloud Mammeri de Tizi-Ouzou

Facult de Gnie Electrique et dInformatique

Dpartement dAutomatique

MEMOIRE DE MAGISTER

Spcialit : Automatique

Option: Automatique des Systmes Continus et Productique

Prsent par :

NAIT SLIMANI Boukhalfa

Ingnieur en Automatique

Synthse dobservateurs non linaires :

Application au diagnostic de dfauts.

Devant le jury dexamen compos de :

Prsident : Kamal HAMMOUCHE MCA UMM-TO

Rapporteur : Sad DJENNOUNE Professeur, UMM-TO

Examinateur : Ahmed MADI MCA UMM-TO

Examinateur : Rabah MELLAH MCA UMM-TO

Examinateur : Redouane KARA MCA UMM-TO


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Remerciement

Mes vifs remerciements vont tout dabord Monsieur DJENNOUNE Sad,professeur lUMMTO pour mavoir propos le thme de ce mmoire et mavoir

dirig, aid et conseill tout le long de notre travail.

Nous tenons aussi remercier Monsieur HAMMOUCHE Kamal, Matre de

Confrences classe A lUMMTO de nous avoir fait lhonneur daccepter de

prsider le jury de ce mmoire.

Nous exprimons notre reconnaissance Monsieur MELLAH Rabah, Matre de

Confrences classe A lUMMTO pour avoir accept de faire partie du jury

dexamen de notre mmoire.

Que Monsieur MADI Ahmed, Matre de Confrences classe A lUMMTO

trouve ici, nos sincres remerciements pour avoir accept de faire partie du jury

dexamen de notre mmoire.

Nous exprimons galement nous vifs remerciements Monsieur KARA Redouane,

Matre de Confrence de classe A lUMMTO pour sa prsence parmi les

membres de jury.


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DEDICACES

Je ddie ce travail,

ma mre,

ma sur,

tous mes frres,

toute personne qui porte de lestime pour moi.


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Sommaire

Introduction Gnrale ................................................................................................................ 1

Chapitre I : Etat de lart sur le diagnostic .......................................................... 4

I.1 Introduction ............................................................................................................................ 4

I.2 Dfinitions et concepts ............................................................................................................ 5

I.3 Procdure de dtection et disolation des dfauts ................................................................... 6

I.4 Principe de diagnostic de dfaut ............................................................................................. 7I.4.1 Redondances dinformations .................................................................................... 7

I 4.2 Redondance physique ou matrielle ......................................................................... 8

I 4.3 Redondance analytique ............................................................................................ 8

I.5 Prsentation des mthodes de diagnostic ................................................................................ 9

I.5.1 Diagnostique par traitement du signal ...................................................................... 9

I.5.2 Mthodes de diagnostic base de modles qualitatifs ............................................. 9

I.5.3 Mthodes de diagnostic base de modles quantitatifs .......................................... 10

I.5.4 Mthodes de diagnostic base de modle ............................................................... 10

I.5.4.1 Espace de parit ........................................................................................ 11

I.5.4.2 Mthodes destimation paramtrique ........................................................ 11

I.5.4.3 Mthodes de diagnostic base dobservateurs .......................................... 11

I.6 Principe de gnration de rsidus base dobservateurs ........................................................ 12

I.7 Structuration et valuation des rsidus gnrs base dobservateur ................................... 13

I.7.1 Structure dobservateurs simplifis ......................................................................... 13

I.7 .2 Structure dobservateurs ddis (DOS) ................................................................... 13

I.7.3 Structure dobservateurs gnraliss (GOS) ............................................................ 14

I.8 Evaluation des rsidus ............................................................................................................. 15

I.9 Reconstruction de dfauts ....................................................................................................... 16

I.10 Performance d'une procdure de diagnostic ........................................................................ 16

I.10.1 Robustesse du diagnostic ....................................................................................... 16

I.11 Modlisation des systmes en prsences de dfauts ............................................................. 17

I.1 2 Conclusion ........................................................................................................................... 18


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Chapitre II : Synthse dobservateurs non linaires ......................................... 19

II.1Introduction ............................................................................................................................ 19

II.2 Observabilit .......................................................................................................................... 20

II.2.1 Observabilit des systmes linaires ...................................................................... 20

II.2.2 Observabilit des systmes non linaires ............................................................... 20

II.3 Observateurs des systmes linaires ...................................................................................... 21

II.3.1 Observateur de Luenberger ..................................................................................... 22

II.3.2 Filtre de Kalman ..................................................................................................... 23

II.3.3 Observateur entre inconnue ................................................................................ 24

II.4 Observateurs des systmes non linaires ............................................................................... 25

II.4.1 Observateur de Luenberger tendu ......................................................................... 25

II.4.2 Filtre de Kalman Etendu (EKF) .............................................................................. 25

II.4.3 Observateurs grand gain ....................................................................................... 26

II.4.4 Observateurs adaptatifs ........................................................................................... 27

II.5 Observateur mode glissant .................................................................................................. 28

II.5.1Observateurs mode glissant pour les systmes linaires ........................................ 30

II.5.2 Observateurs mode glissant tape par tape........................................................ 33

II.5.3 Observateur mode glissant des systmes Lipschiziens ........................................ 38

II.6 Conclusion ............................................................................................................................ 41

Chapitre III : Dtection et isolation de dfauts base dobservateurs adaptatifs ... 42

III.1 Introduction .......................................................................................................................... 42

III.2 Systme linaire .................................................................................................................. 43

III.2.1 Cas I : Tous les tats sont disponibles la mesure ............................................... 43


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III2.1.1Gnration de rsidus ............................................................................... 45

III.2.2 Cas II : Seules les sorties sont mesurables .......................................................... 46

III.3 Systmes non linaires ......................................................................................................... 50

III.3.1 Cas I : Tous les tats sont disponibles la mesure ............................................... 50

III.3.2 Cas II : Seules les sorties sont mesurables ............................................................ 52

III.4 Dtection et isolation de dfauts actionneur dun systme trois cuves ............................. 56

III.4.1 Modle mathmatique du systme ....................................................................... 56

III.4.2 Dfaut en prsence dun bruit sur lamesure ........................................................ 60

III.5 Conclusion ............................................................................................................................ 61

Chapitre IV : Diagnostic de dfaut base dobservateur mode glissant ...... 62

IV.1 Introduction .......................................................................................................................... 62

IV.2 Reconstruction de dfauts des systmes linaires ................................................................ 63

IV.2.1 Reconstruction des dfauts actionneurs ................................................................ 65

IV.2.2 Reconstruction des dfauts capteurs ..................................................................... 65

IV.2.3 application sur un modle dun avion ................................................................... 67

IV.3 Reconstruction de dfauts de systmes non linaires par observateurs robustes ................. 72

IV.3 .1 Observateurs reconstructeurs de dfauts ............................................................... 75

IV.3.2 Observateurs reconstructeurs dentres inconnues ................................................. 76

IV.3.3 Etapes de convergence des observateurs ................................................................ 77

IV.3.4 Reconstruction de dfaut et des entres inconnues .............................................. 81

IV.3 .5 Application pour la reconstruction de dfaut actionneur dun double pendule

invers .......................................................................................................................................... 81

IV.4 Conclusion ........................................................................................................................... 88

Conclusion gnrale ................................................................................................................... 89

Rfrences bibliographiques ..................................................................................................... 92


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Liste des figures

I.1: Procdure de dtection et disolation des dfauts .................................................................. 7

I.2 : Schma reprsentant la redondance matrielle ..................................................................... 7

I.3 : Principe de diagnostic avec modle ...................................................................................... 10

I.4 : Schma de principe du diagnostic des dfauts base dobservateurs .................................. 12

I.5 : Structure dobservateur simple ............................................................................................. 13

I.6 : Structure dobservateurs ddis ............................................................................................ 14

I.7 : Structure dobservateurs gnralise .................................................................................... 15

I.8 : Diffrents Types de dfauts agissant sur un systme............................................................ 17

I.9 : Evolution temporelle des dfrents types de dfauts .......................................................... 18

II.1 : Schma structurel de lobservateur de Luenberger ............................................................. 22

II.2 : Schma fonctionnel dun observateur mode glissant ....................................................... 29

II.3 : Sorties et leurs estimes ....................................................................................................... 32

II.4 : Schma dun robot joint flexible ..................................................................................... 35

II.5 : Etats et leurs estims laides dobservateur mode glissant...........................................................37II.6 : Erreur destimation entres les tats et leurs estims ..........................................................................38

II.7 : Etats et leurs estims laides dobservateur mode glissant...........................................................41

II.8 : Erreur destimation entres les tats et leurs estims ..........................................................................41

III.1 : (a) actionneur en absence de dfaut, (b) actionneur affect par un dfaut ........................ 43

III.2 : Structure GOS pour la dtection et lisolation de dfauts actionneurs. ............................. 46

III.3 : Rsidu en absence de dfaut sur les deux actionneurs ....................................................... 79

III.4: Rsidus en prsence dun dfaut sur le premier actionneur ................................................ 50

III.5: Rsidus en prsence dun dfaut sur le deuxime actionneur ............................................. 50

III.6: Rsidus en absence de dfauts ............................................................................................ 55

III.7: Rsidus en prsence dun dfaut sur le premier actionneur ............................................... 55

III.8: Rsidus en prsence dun dfaut sur le deuxime actionneur ............................................. 55

III.9: Schma dun systme trois cuves ..................................................................................... 57

III.10 : Niveaux des trois cuves en absence de dfauts ................................................................ 57


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III.11: Rsidus en absence de dfauts ......................................................................................... 58

III.12: Rsidus en prsence dun dfaut sur le premier actionneur .............................................. 59

III.13: Rsidus en prsence dun dfaut sur le premier actionneur .............................................. 59

III.14: Rsidus en prsence dun dfaut sur le premier actionneur et en prsence de bruits surla mesure .................................................................................................................................... 60

III.15: Rsidus en prsence dun dfaut sur le deuxime actionneur et en prsence de bruitssur la mesure ................................................................................................................................. 60

VI.1 : Schma de reconstruction de dfauts actionneurs et capteurs ........................................... 67

IV.2: Reconstructeurs de dfauts en prsence dun dfaut sur le premier actionneur. ................ 69

IV.3: Reconstructeurs de dfauts en prsence dun dfaut sur le deuxime actionneur. ............. 69

IV.4: Reconstructions de dfauts en prsence de dfauts sur les deux actionneurs .................... 70IV.5: Reconstruction de dfaut de forme trapzodale agissant sur la premire sortie. .............. 71

IV.6: Reconstruction de dfaut de forme trapzodale agissant sur la deuxime sortie. ............. 71

IV.7: Reconstruction de dfaut de forme trapzodale agissant sur la troisime sortie. ............. 71

IV.8 : Rseau dobservateurs mode glissant interconnects...................................................... 77

IV 9 : Schma dun pendule invers ........................................................................................... 82

IV.10: Etat rels et tats estims en prsence de dfaut et en absence dentres inconnues ....... 83

IV.11: Reconstruction de dfaut en absence dentres inconnues .............................................. 84

IV.12: Etats rels et tats estims en absence de dfauts et en de prsence dentres inconnues 85

IV.13: Reconstruction dentres inconnues en absence de dfauts .............................................. 86

IV.14: Etats rels et tats estims en prsence dentre inconnue et dun dfaut sur le premieractionneur .................................................................................................................................... 86

IV.15: Reconstruction de dfaut agissant sur le premier actionneur en prsence de lentreinconnue d2. ................................................................................................................................ 87

IV.16: Etats rels et tats observs en prsence dentre inconnue et dun dfaut sur lepremier actionneur ........................................................................................................................ 87

IV.17: Reconstruction de dfaut agissant sur le deuxime actionneur en prsence de lentreinconnue d1. ................................................................................................................................. 88


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Introduction gnrale

La mesure de toutes les grandeurs (variables) dun procd physique est souvent

primordiale afin de mettre en uvre des stratgies de commande par retour dtat par

exemple, ou bien des stratgies de surveillance et de diagnostic de dfauts. Cependant, pour

des raisons techniques ou conomiques (difficult dimplmentation ou cot lev des

capteurs) il nest pas toujours possible daccder toutes les variables dtat reprsentant ces

grandeurs, do la ncessit de faire recours un systme dynamique auxiliaire, appel

observateur, qui est charg destimer ltat du systme. De manire gnrale, la synthse de

lobservateur exploite les informations disponibles sur le systme rel, savoir, le modle

dynamique du systme, ses entres et ses sorties mesures. Dans le cas linaire, le problme

de synthse dobservateurs est bien maitris. Les solutions apportes telles que lobservateur

de Luenberger [1] ou le filtre de Kalman [2] permettent de rpondre toutes les situations.

Cependant, le problme destimation dtat des systmes non linaires reste sans solution dans

un grand nombre de cas et cela, malgr les nombreuses mthodes proposes dans ce sens. En

effet, les systmes non linaires ont des reprsentations dtat trs varies, qui exploitent lastructure et les proprits de la fonction non linaire qui intervient dans le modle du systme.

Il semble donc difficile a priori, tant donn ltat des travaux actuels, de trouver une thorie

gnrale sur lestimation dtat non linaire, qui unifierait les approches dj tablies. La

technique dobservations base sur les modes glissants permet la synthse dobservateurs pour

de nombreuses classes de systmes non linaires tel que les systmes Lipchitziens [3], les

systmes forme triangulaire [4] et mme, sous certaines conditions, les systmes fortes

non linarits [5]. Lutilisation des observateurs mode glissant pour les systmes nonlinaires est motive par leur robustesse aux incertitudes paramtriques. Un autre observateur

trs rpandu dans la littrature est lobservateur adaptatif, ce dernier est utilis gnralement

lorsque les paramtres du systme ne sont pas tous connus. Il permet destimer conjointement

les paramtres et les tats du systme [6], [7].

cause de lintrt considrable port pour diagnostic, les orientations des travaux de

recherche sur lestimation dtat des systmes non linaires vers des objectifs de diagnostic

sont de plus en plus importantes. Avant lapparition des techniques utilisant le modle duprocessus ou les informations disponibles sur le processus, le diagnostic notamment la


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dtection de dfauts, se faisait principalement en utilisant la redondance matrielle qui

consiste doubler, tripler voire quadrupler certains composants. Cette redondance matrielle

est efficace et rapide mais savre coteuse et encombrante. Pour remdier ce problme

plusieurs mthodes de diagnostic on t proposes (diagnostic par traitement du signal,

diagnostic par estimation paramtrique, diagnostic base dobservateurs etc.).

Les mthodes base dobservateurs consistent gnrer des rsidus qui sont calculs

en faisant la diffrence, ventuellement filtre, entre les sorties relles et celles estimes par

lobservateur. Ces mthodes savrent trs efficaces pour la dtection et la localisation des

dfauts. En effet, elles ont connu un essor considrable pour le cas de systmes linaires. Des

mthodes trs performantes permettent aujourdhui daccomplir les objectifs dune dtection

et dune localisation de dfauts dune manire efficace et rapide. Nanmoins, lextension au

cas non linaire demeure particulirement difficile. Jusqu aujourdhui, il nexiste pas de

mthodes gnrales applicables pour tout systme non linaire. De plus la synthse

dobservateur en vu de diagnostic est beaucoup plus complexe que ce quelle en est dans le

cas de la commande, dans la mesure o les paramtres dobservateur jouent un rle aussi sur

la manire dont les dfauts vont affecter les rsidus. Ces derniers doivent tre gnrs dune

manire robuste et viter ainsi les fausses alarmes qui peuvent tre causes par les

perturbations ou les bruits. Une autre mthode de diagnostic de dfauts base dobservateurs

consiste utiliser ces derniers, en vu de la reconfiguration de la loi de commande, pour

reconstruire les dfauts. Plusieurs mthodes on t alors proposes dans ce sens.

Lobjectif de notre mmoire est de dresser, dans un premier temps, un tat de lart sur les

observateurs non linaires et le diagnostic de dfauts. Puis, dans une deuxime tape, les

mthodes de diagnostic base dobservateurs mode glissant et base dobservateurs

adaptatifs seront tudies. Ces deux mthodes de diagnostic seront illustres sur des exemples

rels.

Notre mmoire sarticule autour de quatre chapitres :Le premier chapitre aborde quelques concepts gnraux sur le diagnostic. Il sera

notamment consacr aux concepts fondamentaux du diagnostic des systmes bases de

modles et aux diffrentes structures de gnration de rsidus.

Le deuxime a pour objectif de prsenter les diffrents observateurs existants dans la

littrature et leurs mthodes de synthse. Diffrentes techniques destimation dtat

(observateurs grand gain, observateurs mode glissantetc.) seront prsents au cours de ce

chapitre. Des algorithmes de synthse dobservateurs robustes, base la technique des modesglissants, seront labors et valids, par simulation, sur des exemples dapplication.


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Chapitre I : Etat de l'art sur le diagnostic

4

Chapitre I :

Etat de lart sur le diagnostic

I.1 Introduction

Selon, le contexte et le domaine dapplication, le mot diagnostic peut avoir

plusieurs interprtations. Le diagnostic des procds industriels a pour objet de trouver la causedune dfaillance ou dun dfaut, il est dfini par les instances internationales de normalisation

comme tant un processus didentification de la cause probable des dfaillances laide dun

raisonnement logique fond sur un ensemble dinformations provenant dune inspection, dun

contrle ou dun test.

De manire gnrale, lorsquon parle de diagnostic des dfauts, on se rfre la procdure de

dtection et disolation de ces derniers, que lon retrouve souvent sous le nom: FDI (Fault

Detection and Isolation). Cette procdure nous permet davoir des informations sur lapparition

dun dfaut et sur sa provenance le plus rapidement possible. Les mthodes de dtection et de

localisation des dfauts ont connu un essor considrable depuis le dbut des annes 70 [8], [9].

En effet, de nombreux chercheurs ont investi dans ce domaine proposant alors diverses approches

et techniques rpondant la diversit des applications.

Nous proposons dans ce chapitre de faire un tat de lart sur le diagnostic des dfauts dans les

systmes physiques. Lintrt se portera essentiellement sur le problme de dtection et


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disolation des dfauts. Il est question, dans un premier temps, de donner les diffrents concepts

et notions rencontrs dans la littrature concernant le diagnostic des dfauts, car un bon

diagnostic ncessite une bonne comprhension de ces notions. Le principe de base du diagnostic

sera alors prsent ainsi que les diffrentes mthodes proposes dans ce domaine.

Dautre part, nous allons prsenter la procdure gnrale de dtection et disolation des dfauts

par les mthodes base de modle mathmatique. Cette dernire passe par deux tapes

essentielles : la gnration et lvaluation du vecteur rsidu. Mais auparavant, nous allons

introduire la manire avec laquelle aborder un problme FDI. Nous insisterons sur la phase de

modlisation du systme et des diffrents dfauts et entres inconnues. Nous aborderons

galement les critres de performance dun systme FDI et nous nous intresserons, plusparticulirement, au problme de robustesse.

I.2 Dfinitions et concepts [7]

Une anomalieest une particularit non conforme la loi naturelle ou logique.

Une panneest linaptitude dun dispositif accomplir une fonction requise. Une panne rsulte

toujours dune dfaillance.

Un dfautest une anomalie de comportement au sein du systme. Ce concept est important dans

les oprations de surveillance pour la conduite et la maintenance des processus industriels. Tout

cart entre la caractristique observe et la caractristique de rfrence est considr comme tant

un dfaut. Il est donc clair quune dfaillance conduit un dfaut. Mais un dfaut ninduit pas

ncessairement une dfaillance. En effet, le dispositif peut conserver son aptitude accomplir sa

tche principale si les dfauts nont pas dimpacts sur cette tche. Lart du diagnostic consiste dtecter de faon prcoce un dfaut avant quil ne conduise un tat de dfaillance donc de

panne.

Une dfaillanceest une anomalie altrant ou empchant laptitude dune unit fonctionnelle

accomplir la fonction souhaite. Une dfaillance correspond un passage dun tat un autre,


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par opposition une panne qui est un tat. Par abus de langage, cet tat de panne on pourra

lappeler mode de dfaillance.

Une perturbationconsiste en tout phnomne conu comme normal influenant un processus,

non ou mal, reprsent par un modle de rfrence.

Un rsidu est un signal conu pour tre un indicateur danomalies fonctionnelles ou

comportementales, sensiblement nul en absence de dfauts et non nul en leur prsence.

Un symptmeest un caractre distinctif dun tat fonctionnel ou comportemental anormal.

Le diagnosticconsiste dterminer le type, la taille, le lieu et l'instant d'occurrence d'un dfaut,

il suit la dtection de dfauts et inclut l'isolation et l'identification.

La surveillance est une tche continue, ralise en temps rel, qui permet de dterminer l'tat

d'un systme physique, elle consiste en l'enregistrement des informations ainsi qu'en la

reconnaissance et l'indication des anomalies du comportement.

La sensibilitreprsente la capacit dun systme de diagnostic gnrer des rsidus sensibles

aux dfauts dtecter. Ces dfauts sont gnralement caractriss par une certaine amplitude.

La supervisionest lasurveillance d'un systme physique et la prise de dcisions appropries en

vue de maintenir son opration lors de l'apparition de dfauts.

I.3 Procdure de dtection et disolation des dfauts

Comme elle est reprsente par la figure II.1, La procdure de dtection et disolation des dfautspasse par trois tapes essentielles :

La dtection

Cest ltape qui dcide si le systme est soumis un dfaut ou pas. Elle consiste dans la

plus part des cas gnrer le vecteur rsidu, qui est nul en fonctionnement normal et est compar

en ligne aux signatures de pannes. La dtection est ralise en vrifiant le dpassement dun seuil

par les rsidus.


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LIsolation

Cette tape permet de localiser le dfaut et donc de dterminer quelle partie du systme est

affecte par lanomalie. La dtection de pannes est souvent suivie d'une procdure d'isolation de

pannes, qui sert distinguer (isoler) une panne particulire. Un seul rsidu peut suffire pour

dtecter les pannes, cependant plusieurs rsidus (ou un vecteur de rsidus) sont souvent requis

pour l'isolation de pannes.

Lidentification : Lampleur et le type des dfauts sont estims dans cette phase.

I.4 Principe de diagnostic de dfaut

I.4.1 Redondances dinformations [10]

Le principe de base du diagnostic des dfauts repose sur la notion de redondance, qui

fournit au systme plusieurs informations diffrentes sur une mme variable. Des tests vont alors

permettre de vrifier la cohrence de ces informations. Cependant, il existe deux approches:

La premire est dite traditionnelle et consiste ajouter des capteurs afin dobtenir des

informations supplmentaires sur ltat du systme. Cest la redondance matrielle.

Figure I.1: Procdure de dtection et disolation des dfauts.

Procd

Modle

Dtection Isolation Identification

Capteur 1

Capteur 2

Mesure 1

Mesure 2

Figure I.2 : Schma reprsentant la redondance matrielle.


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Linconvnient majeur de cette approche est le cot additionnel en quipement. La deuxime

approche est dite redondance analytique. Elle consiste dvelopper des algorithmes de dtection

et de localisation des dfauts en utilisant les mesures disponibles sur le systme. Une quation de

redondance analytique est une quation dans laquelle toutes les variables sont connues. Pour

viter les fausses alarmes ou les manques de dtection, ces algorithmes doivent tenir compte des

bruits de mesure, des perturbations ainsi que des erreurs de modlisation. Les mthodes bases

sur cette approche sont plus simples, plus flexibles, moins coteuses et plus cologiques que

lapproche traditionnelle.

I 4.2 Redondance physique ou matrielleLa redondance physique consiste utiliser plusieurs actionneurs, capteurs, processeurs et

logiciels pour mesurer et/ou contrler une variable particulire. Un principe de vote est applique

sur les valeurs redondantes pour dcider si une faute est prsente ou non. Cette approche entrane

un cot important en instrumentation mais savre extrmement fiable et simple implanter. Elle

est mise en oeuvre essentiellement sur des systmes hauts risques tels que les centrales

nuclaires ou les avions.

Le diagnostic utilisant la redondance physique se limite a la surveillance des lments

redondants (capteur, actionneurs, ...) prsents sur une installation. A laide de cette unique

technique, il ne sera pas possible de dtecter des pannes survenant sur des lments non

redondants.

I 4.3 Redondance analytique

Un complment la redondance physique consiste exploiter les contraintes liant les

diffrentes variables du systme. Ces contraintes peuvent souvent sexprimer sous la forme de

relations analytiques liant les variables connues (relations dentre/sortie ou de sortie/sortie). Cesrelations sont appeles relations de redondances analytiques. Le principe de la surveillance

consiste vrifier la fermeture algbrique de ces relations en utilisant les mesures prleves en

ligne sur le systme. Le concept de redondance analytique repose sur lutilisation dun modle

mathmatique du systme surveiller [11]. Pour cette raison, les mthodes utilisant la

redondance analytique pour la surveillance sont appeles mthodes base de modle. Le principe


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de la surveillance utilisant un modle peut tre spare en deux tapes : la gnration de rsidus et

la prise de dcision [12].

I.5 Prsentation des mthodes de diagnostic

Selon que lon dispose, ou pas, dun modle mathmatique reprsentatif du systme, les

mthodes de diagnostic se rpartissent en deux grandes classes. Dans le premier cas, on utilise

des redondances dinformations et la connaissance fournie par le modle mathmatique pour

caractriser le mode de fonctionnement ou ltat du systme, puis dcider sil est normal ou

anormal. Dans le deuxime cas, cest lanalyse des donnes fournies par le systme qui permet de

dcider de son tat.Les mthodes les plus familires aux automaticiens sont les mthodes bases sur lutilisation de

modles mathmatiques. Celles-ci utilisent la redondance existant entre les diffrentes variables

mesures en termes de relations statiques ou dynamiques.

Dans ltude qui suit, il sera question de prsenter les diffrentes mthodes de dtection et

disolation des dfauts. Lintrt portera surtout sur les mthodes base de modle

mathmatique.

I.5.1 Diagnostique par traitement du signal

Le traitement et lanalyse dun signal peuvent tre parfois utiles dans le domaine de

diagnostic, en effet, La mesure dun signal indique des oscillations qui peuvent tre harmoniques,

de nature stochastique ou les deux simultanment. La variation de ces signaux peut tre relie aux

dfauts.

Ainsi, dune manire gnrale, on peut dterminer les caractristiques dun signal relatif un

dfaut en dterminant par exemple son amplitude. Il existe toutefois dautres possibilits qui

consistent dterminer les fonctions dauto corrlation, les transformes de Fourier ou la densitspectrale.

I.5.2 Mthodes de diagnostic base de modles qualitatifs

Les modles qualitatifs permettent dabstraire le comportement du procd avec un

certain degr dabstraction travers des modles non plus mathmatiques mais des modles de

type symbolique. Ces modles dcrivent dune manire qualitative lespace dtat continu du


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systme. Contrairement aux modles de type numrique, les modles qualitatifs ne reprsentent

pas la physique du systme, mais ils le dcrivent en terme de mode de fonctionnement.

I.5.3 Mthodes de diagnostic base de modles quantitatifs

Ces mthodes reposent sur lestimation de ltat, des paramtres ou de lespace de parit

en utilisant des modles mathmatiques du systme dcrivant le comportement du systme. Si

lcart entre ces modles et les variables du systme dpasse un certain seuil, une dfaillance est

alors dtecte. A ce moment, un rsidu sera gnr et compar avec toutes les signatures des

dfauts connues, afin disoler et didentifier la dfaillance. Parmi les diffrentes mthodes de

dtection et de diagnostic utilisant des modles mathmatiques, nous trouvons principalementcelles utilisant lespace de parit, lestimation paramtrique et celle base dobservateurs.

I.5.4 Mthodes de diagnostic base de modle

Le principe de ces mthodes consiste comparer le comportement du systme avec le

comportement du modle qualitatif et/ou quantitatif tabli.Tout cart est alors synonyme dune

dfaillance, comme indiqu dans le schma de la figure I.3. Il est ncessaire donc davoir des

connaissances approfondies sur le procd diagnostiquer sous la forme dun modle

reprsentatif, qui fournit des grandeurs caractristiques du procd qui seront constamment

compares aux grandeurs issues du procd rel.

Selon le type du modle (qualitatif et/ou quantitatif), on peut distinguer deux branches de

mthodes : les mthodes quantitatives issues de la communaut FDI (Fault Detection and

Isolation) et les mthodes qualitatives issues des communauts intelligence artificielle. La

dissociation entre les mthodes qualitatives et les mthodes quantitatives nimplique pas que ces

deux aspects sont disjoints. En ralit, ces deux types dapproche peuvent coexister au sein dune

mme mthode de diagnostic.

Systme physique

Modle du systme Comportementprdit

Ecart=dtection Isolation

Figure I.3 :Principe de diagnostic avec modle

Comportementobserv


20/104


11

I.5.4.1 Espace de parit

Cette mthode est utilisable la fois dans le cas des systmes dterministes et dans le cas

des systmes stochastiques. Elle sappuie sur llaboration de signaux permettant de tester la

cohrence des mesures par rapport leurs valeurs calcules laide dun modle (on parle aussi

de consistance des mesures, de leur parit). Dun point de vue gnral, la mthode consiste

vrifier les relations algbriques entres/sorties du modle en utilisant les mesures relles. Pour

cela, les signaux recueillis sur le systme sont injects dans les relations entres/sorties et les

signaux ainsi crs sont utiliss comme rsidus. La mthode a t dveloppe au dbut pour le

cas statique, puis elle t gnralise plus tard pour cas des systmes dynamiques. Cette

gnralisation utilise la redondance temporelle, cest - dire des relations faisant intervenir lesvaleurs des sorties des capteurs et les entres des actionneurs diffrents instants. Enfin, la

redondance frquentielle est galement utilise.

I.5.4.2 Mthodes destimation paramtrique

Quand la structure du modle est connue la dtection et la localisation des dfauts peuvent

tre effectues en utilisant des techniques didentification. Lide de base consiste estimer les

paramtres du systme en temps rel et de les comparer aux paramtres non affects par les

dfauts [13]. Pour cela on doit tablir un modle mathmatique du systme diagnostiquer et

dcrire toutes les relations qui existe entre les constantes physiques et les paramtres du modle,

puis estimer les paramtres du systme ainsi que ceux du modle partir des entres et sorties

du systme. Le vecteur de rsidus est obtenu en faisant la diffrence entre les grandeurs estimes

et les valeurs nominales.

I.5.4.3 Mthodes de diagnostic base dobservateurs [14]

Cette approche sappuie sur une bonne connaissance du modle et de ses paramtres, etncessite lintgration des diverses relations qui, contrairement aux relations de parit, sont

diffrentielles. Le diagnostic de dfaut base dobservateurs est bas sur le principe de

gnration de rsidus en comparant les grandeurs disponibles du systme rel aux grandeurs

estimes (issues de lobservateur). Ltat du systme est reconstruit en se recalant laide de

certaines mesures [15], le gain de lestimateur dpendant des objectifs et des performances

dsires. Dans le cas des systmes linaires, la structure de base des reconstructeurs est toujours


21/104


12

la mme, un modle parallle corrig la laide de lerreur destimation multiplie par un gain

adquat, mais dans le cas non linaires le problme savre difficile.

En diagnostic, la construction dobservateur est beaucoup plus complexe que ce que il en

est dans le cas de commande dans la mesure o les paramtres dobservateurs jouent un rle aussi

sur la manire dont les dfauts vont affecter les rsidus. En plus dassurer la stabilit, ces

paramtres doivent permettre de structurer les rsidus afin de localiser les dfauts. Cependant,

pour ce type de stratgie, si une anomalie apparat, elle affecte en gnral toutes les composantes

du vecteur rsidus ; de ce fait, le problme de localisation est plus complexe que ce quil en est

dans le cadre de lespace de parit. Pour rsoudre ce problme, une solution consiste construire

des bancs dobservateurs o chacun dentre eux surveille un dfaut.

I.6 Principe de gnration de rsidus base dobservateurs

Le principe de gnration de rsidu base dobservateur consiste estimer une partie ou

lensemble des grandeurs mesurables du systme surveiller. Le rsidu est calcul alors en

faisant la diffrence, ventuellement filtre, entre les sorties relles et celles estimes.

Lobservateur revient alors un modle parallle au systme avec une contre raction qui

pondre lcart de sortie. Ce principe est illustr sur la figure I.4. Cette approche offre des

proprits trs intressantes car elle donne lieu des rsidus trs flexibles et la souplesse, dans le

choix des paramtres, permet de saffranchir de certaines entres inconnues, amliorant ainsi les

caractristiques des rsidus telles que leur robustesse vis vis des perturbations et leur sensibilit

aux dfauts.

Systme

ObservateurGnrateurde rsidu

K

u(t)

Figure I.4 : Schma de principe du diagnostic des dfauts base dobservateurs.

y(t)

f(t)

r(t)


22/104


13

I.7 Structuration et valuation des rsidus gnrs base dobservateur

Il est important dobtenir une structure du rsidu permettant son valuation. Les rsidus

doivent tre produits, de manire que pour chaque dfaut un ou un ensemble de rsidus soient

affects.

Cependant, mme si lapparition de dfauts multiples est peu probables, les rsidus doivent tre

capables de situer chacun des dfauts arrivant simultanment, en occurrence, il devrait tre

garanti que le recouvrement des effets rsultants de la combinaison des dfauts ne mne pas une

dcision fausse, par exemple dtection manque d'un dfaut ou mauvaise isolation du dfaut. Il

existe plusieurs manires de dfinir les rsidus structurs afin de parvenir a une valuation

correcte du rsidu. Les rsidus structurs sont conus de manire tre chacun affect par unsous ensemble de dfaut et robuste (non affect) par rapport aux dfauts restantes. Ainsi,

lorsquune dfaillance apparat, seul un sous ensemble de rsidus ragit. Le rsidu est dit

structur par rapport un vecteur de dfaillances 1f sil nest affect que par les dfaillances 1f

et sil est robuste aux autres. Dans la littrature, on distingue trois structures de gnration de

rsidus base dobservateur ou chacune est dfinie par n schma particulier [16].

I.7.1 Structure dobservateurs simplifis

Dans cette structure le banc est constitu dun seul observateur. Il est synthtis de faon

ntre sensible qu un groupe de dfauts. Dans le cas o un des dfauts auquel il est sensible

apparat alors les estimations seront fausses. Dans le cas contraires, elles seront exactes.

I.7 .2 Structure dobservateurs ddis (DOS)

Dans ce type de structure, il est question de construire autant dobservateur que de dfaut

dtecter, chacun dentre eux gnre un rsidu insensible tous les dfauts sauf un. Ainsi,

ObservateurSystme

u(t) r(t)y(t)

f(t)

Figure I.5 : Structure dobservateur simple.


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14

l'observateur recevant une mesure dfaillante fournit une mauvaise estimation des variables

estimes, tandis que les estimations des autres observateurs convergent vers les mesures des

sorties correspondantes sauf sur la sortie errone. Ce schma reste valable mme dans le cas de

plusieurs dfauts simultans.

.

Mais, si cette structure donne parfois des bons rsultats sa conception reste trs limite car elle ne

permet pas de saffranchir des entres inconnues et des bruits

I.7.3 Structure dobservateurs gnraliss (GOS)

Dans ce genre de structure, il sagit de synthtiser un certain nombre dobservateurs o chacun

dentre eux tant insensibles un seul dfaut. Si un dfaut apparat alors, toutes les estimationsdtats seront errones sauf celles issues de lobservateur insensible ce seul dfaut. Ce schma

offre plus de degrs de libert pour la conception de l'observateur et permet d'augmenter la

robustesse. Cependant, en plus de ne pas tre gnralement pas capables de rsoudre les

problmes de localisation des dfauts, La problmatique de cette approche reste dans les

interactions entre les sous-systmes. En effet, si ces interactions sont faibles (voire nulle), un

dfaut n'affectera que l'estimation de l'observateur local correspondant. Il est alors possible de

Observateur sensible 1f

Observateur sensible 2f

Observateur sensible qf

Systmeu(t) y(t)

)(1 tr

)(2 tr

)(trq

Figure I.6 : Structure dobservateurs ddis.

f(t)


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15

localiser le composant dfaillant. En revanche, si les interactions sont grandes, un dfaut d'un des

composants se propagera aux observateurs des autres composants.

I.8 Evaluation des rsidus

Le rsidu converge vers une valeur proche de ou gale zro, dans le cas sans dfaut et

quitte dune manire significative cette valeur aprs loccurrence dun dfaut. Il est li la

diffrence entre les sorties mesures et leurs estim es par lquation ; )( iii yyOr = , ou irest

le rsidu correspondant la mei sortie et O est un oprateur mathmatique (driv, norme,

moyenne etc.). Selon le nombre de rsidus et Lexpression de loprateur O , il est possible de

dtecter et disoler les dfauts. La plupart des mthodes de diagnostic base de modle

incorporent deux tapes squentielles pour rsoudre un problme FDI [17] :

- gnration du rsidu.

- valuations du rsidu.

Un rsidu structur est caractris par la proprit suivante : le rsidu rpond seulement un

sous-ensemble de dfauts spcifique, et pour chaque dfaut seul un sous-ensemble spcifique de

rsidus rpond.

y(t)

Observateur insensible 1f

Observateur insensible 2f

Observateur insensible qf

Systmeu(t)

)(2 tr

)(trq

Figure I.7 : Structure dobservateurs gnralise

f(t)

)(1 tr


25/104


16

I.9 Reconstruction de dfauts

Au lieu de gnrer des rsidus pour dtecter et isoler le dfaut, il est par fois plus

intressant de savoir leurs natures et leurs grandeurs. Le problme de reconstruction et

destimation de dfauts (FRE) est diffrent de la majorit des mthodes FDI dcrites

prcdemment, dont la mesure o le but nest pas de dtecter et disoler le dfaut mais de

lestimer. Cette approche est trs utilise dans le cas des dfauts variants lentement, qui sont trs

difficile dtecter, et pour la synthse de commande tolrant aux faut. La reconstruction de

dfauts bases dobservateur est trs rpondue dans la littrature et de nombreux travaux ont t

fait dans ce sens [18].

I.10 Performance d'une procdure de diagnostic

Ltape de dtection est trs importante dans le processus de diagnostic des systmes. Si

cette tape n'est pas correctement ralise, des dfauts peuvent tre mal ou pas dtects ou que

des fausses alarmes peuvent apparatre. L'efficacit de la dtection passe aussi par sa robustesse

face aux incertitudes du modle.

Ptton et al [11] donnent un cadre pour les performances d'un systme de dtection dans le quel ils

dfinissent certaines qualits comme la rapidit de dtection, la minimisation des fausse alarmes

et la minimisation des mauvaises dtections.

Ainsi les performances attendues d'une procdure de dtection et d'isolation de dfauts reposent

sur la dfinition de critres qualitatifs de la mthode de diagnostic, se dcomposant en critres

minimiser tel que le retard la dtection et le taux de fausse alarme et de mauvaise dtection et

en critres maximiser tel que la sensibilit des dfauts de faible amplitude et l'insensibilit

aux bruits et aux perturbations mais aussi aux incertitude sur les paramtres du modle.

I.10.1 Robustesse du diagnostic

Certains phnomnes physiques peuvent ne pas tre dcrits par des modles suffisamment

prcis et ces erreurs de modlisation risquent de fausser les dcisions prendre quant

l'existence ou non d'un dfaut. De plus, les paramtres peuvent varier au cours du temps, les

caractristiques des perturbations et des bruits sont inconnues ce qui fait que, mme dans le cas

d'un fonctionnement normal, les rsidus gnrs partir de ce modle ne sont pas nuls. Les


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17

dcisions prises partir de ces rsidus peuvent conduire des fausses alarmes voire des

mauvaises dtections.

La notion de robustesse a t introduite trs tt dans la littrature du diagnostic par de

nombreux auteurs et devient ensuite un des thmes central dans les travaux concernant le

diagnostic. Patton et al [11] dfinissent la robustesse d'un systme de diagnostic comme un degr

pour lequel, les performances du systme de diagnostic ne sont pas affectes par des conditions

opratoires diffrentes de celles supposes, a priori, lors de la conception.

La robustesse apparat donc, comme le rapport entre une sensibilit maximale vis--vis du dfaut

recherch et une sensibilit minimale vis--vis des autres dfaillances (variations de paramtres,

modification de structure, bruits, ...). Un systme de diagnostic robuste, est donc un systme quimaximisera les effets des dfaillances, afin de permettre un niveau de performance du diagnostic

identique quelles que soient les conditions opratoires.

I.11 Modlisation des systmes en prsences de dfauts

Dans les mthodes de diagnostic base de modles, notamment celles base

dobservateurs, il est ncessaire dtablir un modle mettant en vidence les effets des dfauts et

des perturbations agissants sur le systme pour pouvoir diffrencier entre les dfauts et surtout

daugmenter linsensibilit des rsidus vis--vis des perturbations. Comme le montre la

figure II-8 les dfauts peuvent tre rpartis en trois classes.

Dfauts actionneurs: modliss en gnral comme des signaux additifs aux signaux dentre, ils

agissent au niveau de la partie oprative et dtriore ainsi le signal dentre du systme.

Dfauts systmes:modliss en gnral comme des dynamiques additionnelles avec une matrice

de distribution, ils sidentifient par la modification des caractristiques du systme.

Dfaut capteur: modliss en gnral par des signaux additifs aux signaux de sortie, ils

fournissent une mauvaise image de ltat physique du systme.

Actionneur Procd Capteur

DfautsActionneurs

DfautsSystme

DfautsCapteurs

Entre Sortie

Figure I.8 : Diffrents Types de dfauts agissants sur un systme.


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18

Type de dfautsles dfauts peuvent tre diffrencis selon leur forme et leur comportement dans

le temps. En gnrale on distingue trois types :

Dfaut abrupt: il est caractris par une discontinuit de lvolution temporelle de la variable, il

correspond une panne brutale (disfonctionnement totale partiel dun liment).

Dfaut intermittent: Ce dfaut est un cas particulier de dfaut abrupt avec la proprit

particulire que le signal revient de faon alatoire sa valeur normale. Ce type de dfauts

caractrise les faux contacts.

Dfaut graduelCe dfaut a un comportement temporel lent se qui le rend difficile dtecter, il

caractrise un encrassement ou une usure dune pice.

I.12 Conclusion

Dans ce chapitre nous avons tabli dune manire globale un tat dart sur le diagnostic

de dfauts en prsentant les principales mthodes de diagnostic. Les mthodes FDI base

dobservateurs ncessitent de faire un bon choix dobservateurs et de structures de gnration

rsidus utiliser. Ces choix dpendent la fois de la nature du systme diagnostiquer (linaires

ou non linaires) et de type de dfauts.

Dfaut abrupt Dfaut intermittent Dfaut graduel

Figure I.9 :Evolution temporelle des dfrents types de dfauts

ttt


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Chapitre II : Synthse dobservateurs non linaires

19

Chapitre II :

Synthse dobservateurs non linaires

II.1 Introduction

La disponibilit des toutes les variables dtats pour la mesure directe est rarement

vrifie dans la pratique. Il existe dans la plupart des cas un vrai besoin dune estimation

fiable des variables non mesures, particulirement quand elles sont employes pour la

synthse de lois de commande ou pour la surveillance des processus. En effet, ltat dun

systme peut correspondre une grandeur physique que lon ne peut pas toujours mesurer

directement ; llaboration dune loi de commande ou la dtermination dune dfaillance dun

composant dun systme passent souvent par laccs la valeur dun ou plusieurs de ses tats.

Pour cela, il savre ncessaire de concevoir un systme auxiliaire appel, observateur, qui se

charge de reconstruire les tats non mesurables en exploitant les informations disponibles,

savoir le modle dynamique du systme, ses sorties mesures et ventuellement ses entres.

Contrairement au problme de synthse dobservateurs dtat des systmes linaires qui a

t entirement rsolu. Le cas des systmes non linaires est plus difficile et beaucoup mois

systmatique. Cest la raison pour laquelle, de nombreux travaux ont abord ce problme,

dans la littrature, en se basant sur des classes spcifiques de systmes non linaires.

Dans cette section nous allons prsenter quelques mthodes de synthse dobservateurs de

systmes linaires et non linaires. Mais auparavant, nous allons parler dun concept

important dans le domaine de la reconstruction dtat, qui est celui de lobservabilit.


29/104


20

II.2 Observabilit

Lobservabilit dun processus est un concept trs important dans le domaine

destimation de ltat. En effet, pour reconstruire les tats inaccessibles dun systme, il faut

savoir, a priori, si les variables dtat sont observables ou non. Lobservabilit dun systmeest la proprit qui permet de dire si ltat peut tre dtermin uniquement partir de la

connaissance des signaux dentres et de sorties. Dans le cas des systmes non linaires, la

notion dobservabilit est lie aux entres (via la notion dentre uniforme) et aux conditions

initiales (via la notion de distinguebilit). Les rsultats classiques que lon peut trouver dans

la littrature [19] [20] sont rappels dans cette partie.

II.2.1 Observabilit des systmes linaires

Soit un systme continu dcrit par lquation dtat dterministe suivante:

=

+=

)(

)()()(

tCxy

tButAxtx& (II.1)

O les vecteurs nRtx )( , mRtu )( et pRty )( reprsentent respectivement ltat, la

commande et la sortie du systme. Les matricesA ,B etC sont des matrices constantes de

dimensions appropries. Lobservabilit du systme linaire (II.1) est garantie si et seulement

si :

n

CA

CA

CA

C

rangOrang

n

=

=

)1(

2)(

M

(II.2)

Par consquent le systme linaire (II.1)est observable, si le rang de la matrice dobservabilit

O est gal la dimension n de ce systme. Dans le cas o le rang de la matrice O est

infrieur n on parle alors, dobservabilit partielle.

II.2.2 Observabilit des systmes non linaires :

Pour les systmes non linaires, tant donn l'espace de l'tat nRX et l'ensemble Udes

entres, la notion d'observabilit est base sur la possibilit de diffrencier deux conditions

initiales distinctes. On parlera ainsi de la distinguabilit d'un couple de conditions initiales.

On considre le systme non linaire donne par :


30/104


21

=

+=

)(

)()(

xhy

uxgxfx& (II.3)

O les vecteurs nRtx )( , mRtu )( sont respectivement le vecteur dtat et de commande

Dfinition : (Distinguabilit) : Deux tats initiaux Xxx 2010 , tel que

20

10 xx sont dits

distinguables dans Xsi 0t et entre admissible u : [ ] Ut ,0 telle que les trajectoires des

sorties ))(,,( 10 tuxty et ))(,,(20 tuxty issues, respectivement de

10x et

20x ,restent dansXpendant

la dure [ ]t,0 et vrifient ))(,,())(,,( 2010 tuxtytuxty . Dans ce cas, on dira que u

distingue 10x et20x dansX.

Dfinition : (Observabilit et observabilit locale faible) : Un systme est observable en

Xx 10 si tout autre tat

10

20 xx est distinguable de

10x dansX.un systme est globalement

observable si il est distinguable en tous point deX. Un systme est localement faiblement

observable en Xx 10 , sil existe un voisinage XxX )('10 contenant

10x , tel que pour tout

voisinage )(''' 10xXX de10x , pour tout point )(''

20

20 xXx , les couples ),(

20

10 xx sont

distinguables et les trajectoires ))(,,( 10 tuxty et ))(,,(20 tuxty voluent lintrieur de )(''

10xX .

Dans la pratique, ces notions sont relativement difficiles vrifier et souvent on fait recours

la linarisation du systme au tour dun point dquilibre pour saffranchir de lobservabilit

ou pas du systme au voisinage de ce point dquilibre.

Dfinition : (Observabilit au sens du rang) : On dit que la paire ),( hf est observable au

sens du rang si :

{ } nhdLhdLdhRang Tnff =1,,, K (II.4)

O lcriture de hdLk

f est donne par le vecteur :

=

n

k

f

k

f

k

fk

fx

hL

x

hL

x

hLhdL ,,,

21

K

II.3 Observateurs des systmes linaires

Une solution simple et optimale au problme de lestimation de ltat des systmes

linaires a t propose par Luenberger dans le cadre dterministe, et par Kalman dans le

cadre stochastique. Dans les deux cas, on considre le modle dynamique du systme linairedfini par :


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22

+=

++=

)()()(

)()()()(

tvtCxty

tLwtButAxtx& (II.5)

O nRtx )( , mRtu )( , pRty )( , rRtw )( et pRtv )( sont deux bruits blancs gaussiens

desprance nulle, de covariances respectives Q et R . Ces bruits sont supposs non corrls.

Les matrices du systme sont de dimensions appropries, et les conditions initiales sont

dfinies par 0)0( xx = .

II.3.1 Observateur de Luenberger

La thorie de lobservation de Luenberger repose essentiellement sur des techniques de

placement de ples. On se place dans le cas dterministe, ou les bruits w et v sont nuls,

Luenberger propose lobservateur suivant pour le systme (II.5):

=

++=

)()(

))()(()()()(

txCty

tytyKtButxAtx& (II.6)

La dynamique de lerreur destimation ( ) ( ) ( )e t x t x t = a pour expression :

( ) ( ) ( )e t A KC e t = & (II.7)

B

A

C)(tu )(tx& )(tx )(ty +

-

B

A

C)(tx& )(tx )(ty +

-

+ -

+

+

K

Systme

Observateur

Figure II.1 :Schma structurel de lobservateur de Luenberger


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23

En utilisant une technique de placement de ples, il suffit alors de choisir le gain Kde

lobservateur de telle sorte que les valeurs propres de la matrice KCA soit dans le demi-

plan complexe gauche.Pour ce type dobservateur, une grande libert est laisse au choix des

valeurs propres, mais en pratique on choisit une dynamique derreur plus rapide que celle du

processus. Cependant on ne peut les prendre infiniment grandes pour deux raisons

essentielles : on ne peut utiliser que des gains ralisables et laugmentation de la bande

passante du reconstructeur ne permet plus de ngliger les bruits qui deviennent prpondrants

en hautes frquences.

Il faut noter quen prsence de bruits w, v, la dynamique de lerreur est rgie par lquation :

)()()()()( tKvtwteKCAte +=& (II.8)

Cette erreur est donc sensible aux bruits par lintermdiaire des deux fonctions de transfert

LKCAsI1)( + et 1( )sI A KC K + . Ltude du gain frquentiel permet de quantifier

linfluence des bruits sur lerreur dobservation.

II.3.2 Filtre de Kalman [2] [21]

La thorie de lobservation de Kalman ncessite, quant elle, la rsolution dune quation de

Riccati. Kalman utilise les proprits statistiques des bruits w et v et propose la structure

dobservateur suivante :

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )x t Ax t Bu t K y t Cx t= + + & (II.9)

En minimisant la matrice de covariance de lerreur destimation ])()([ TteteEP = , on obtient

lexpression du gain de lobservateur :

1= RPCK

T (II.10)

O P est solution de lquation de Riccati :

01 =++ TT LQLCPRPCPAAP (II.11)

Sous certaines conditions, on peut montrer que la matrice P tend vers une limite et que le

filtre est stable, ce qui permet ventuellement de conserver pour K sa valeur en rgime

permanent.


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24

II.3.3 Observateur entre inconnue

La thorie dobservateur entre inconnue est applicable la classe des systmes linaires

(II.1). Seulement cette fois, les entres inconnues interviennent dans le modle du systme :

=

++=

)()(

)()()()(

tCxty

tEdtButAxtx&

(II.12)

O qRtd )( est une entre inconnue et Eest une matrice de rang plein de dimension

approprie.

Pour le systme (II.12)on dit quun observateur est entre inconnue si lerreur destimation

tend vers zro en prsence dentres inconnues. Sa structure est donne par [22]:

+=

++=

)()(

)()()()(

tHytzx

tKytTButFztz

&

& (II.13)

O nRtz )( est le vecteur dtat de lobservateur et nRtx )( est le vecteur dtat estim du

systme, les matrices F, T, KetHqui seront dtermines pour stabiliser lobservateur et

dcoupler les entres inconnues. En posant 21 KKK += , la drive de lerreur destimation

par rapport au temps sera donne par :

[ ]

[ ] [ ] )()()()()()(

)()()()()()(

12

11

tyHCKHCAAKtEdHCItBuHCIT

tzCKHCAAFeCKHCAAtxtxte

== &&& (II.14)

Ainsi les conditions permettant le dcouplage de lentre inconnue sont :

0)( = EIHC

HCIT =

CKHCAAF 1=

FHK =2

21 KKK +=

Si ces conditions sont satisfaites alors lerreur dynamique sera :

)()( tFete =&

Afin que lerreur destimation tende asymptotiquement vers zro, les valeurs propres de

Fdoivent tre partie relle ngative. Les conditions ncessaires et suffisantes pour

lexistence dun tel observateur pour un systme dcrit par lquation (II.12)sont [13]:

- )()( ERangCERang =

- ),( lAC est stable, CACECECEEAA TT

l )(])[(1

= .


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25

La premire condition signifie que le nombre de lignes linairement indpendantes de la

matrice Cne doit pas tre infrieur au nombre de colonnes linairement indpendantes de la

matriceE, c'est--dire, le nombre de mesures indpendantes doit tre suprieur ou gal au

nombre dentres inconnues dcoupler.

I1.4 Observateurs des systmes non linaires

II.4.1 Observateur de Luenberger tendu

Lobservateur de Luenberger tendu intervient, soit au niveau du systme original

avec un gain constant, soit par le biais dun changement de coordonnes avec un gain

dpendant de ltat estimer. Dans le premier cas, un modle linaris est ncessaire, et le

gain de lobservateur est calcul par placement de ples. Ce type dobservateur ne peut tre

utilis que lorsque on est sr que ltat restera au voisinage de ltat dquilibre. Pour cette

raison, lutilisation de cet observateur peut tre compromise par les instabilits qui peuvent se

rvler si lon sloigne du point de fonctionnement. Dans le deuxime cas, les mthodes de

changement de coordonnes ne concernent quune classe restreinte de systmes non linaires.

En effet, beaucoup dapproches utilisant les changements de coordonnes ncessitent

lintgration dun ensemble dquations aux drives partielles non linaires, ce qui est

souvent trs dlicat raliser. De ce fait, lutilisation de solutions approches est

envisageable.

II.4.2 Filtre de Kalman Etendu (EKF)

Le filtre de Kalman tendu est lune des techniques destimation les plus populaires et

largement tudies dans le domaine destimation dtat des systmes dynamiques non

linaires. Ce filtre tendu consiste utiliser les quations du filtre de Kalman standard au

modle non linaire linaris par la formule de Taylor au premier ordre.

Ce filtre tendu a t appliqu avec succs sur diffrents types de procds non linaires.Malheureusement, les preuves de stabilit et de convergence tablies dans le cas des systmes

linaires, ne peuvent tre tendues de manire gnrale au cas des systmes non linaires.

Dans un environnement dterministe, une preuve de la convergence du filtre de Kalman

tendu a t tablie dans [23] et [24] pour la classe des systmes non linaires temps discret.

Cependant, cette convergence nest que locale. Lanalyse de la convergence de cet estimateur

reste, lheure actuelle, un problme ouvert.


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27

La synthse de lobservateur consiste ajuster les matrices P , Q et Kde faon garantir

lgalit (II.20). Ensuite, on vrifie si la condition (II.19)est satisfaite. Ainsi, et malgr lintrt

du rsultat, cette mthode nest pas constructive, elle ne donne aucune indication sur le choix

dun gain satisfaisant la condition (II.19).Cette approche a t tendue par plusieurs auteurs.Pour simplifier le problme on peut remplacer la matrice Q par une matrice identit ; et cela

revient choisir un gain Kqui satisfait :

)(

1

max Pk

< (II.21)

Ces techniques dites grand gain sont trs rpondues dans la littrature. Il sagit

principalement de techniques de vrification, qui permettent dtablir des conditions

suffisantes de convergence de ltat estim vers ltat rel. La structure de lobservateur non

linaire est une structure de Luenberger tendue au cas non linaire.

II.4.4 Observateurs adaptatifs

Pour les modles paramtriques on a parfois besoin d'estimer conjointement l'tat et les

paramtres inconnus. Un tel algorithme porte le nom d'observateur adaptatif [27]. Un

observateur adaptatif est donc, un algorithme rcursif qui permet destimer l'tat d'un systme

dynamique ou ses paramtres inconnus ou les deux conjointement. Les tudes sur les

observateurs adaptatifs ont d'abord t motives par la commande adaptative, et plus

rcemment par la dtection et le diagnostic de pannes dans des systmes dynamiques. Dans le

cas linaire la conception des observateurs adaptatifs est tudie depuis les annes 70 et

lobservateur propos intgre lerreur de sortie avec adaptations des paramtres. Puis on a

propos des observateurs convergence exponentielle bass sur la minimisation dun critre

spcifique. Pour les systmes non linaires on distingue deux approches principales : La

premire concerne des systmes non linaires qui sont intrinsquement associes une formecanonique, ventuellement aprs une transformation de coordonnes non linaire et une

injection de sortie. La deuxime concerne des systmes ayant une forme plus au moins

gnrale. Des algorithmes ont t proposs pour estimer asymptotiquement l'tat malgr les

paramtres inconnus. Dans [28] on propose des observateurs adaptatifs bass sur lexistence

dune fonction de Lyapunov pour des systmes non linaires possdants une forme gnrale

affine par rapport aux paramtres inconnus:

=

+=

)(),,(),,(

xhy

tuxgtuxfx & (II.22)


37/104


28

O est un vecteur de paramtres estimer. ),,( tuxf , ),,( tuxg et )(xh sont des fonctions

non linaires.

II.5 Observateurs mode glissantDans toutes les mthodes vues prcdemment, le modle dynamique du systme

tudi tait suppos parfaitement connu. Ici, il sagit de dvelopper une certaine robustesse

vis--vis dincertitudes paramtriques. Le principe des observateurs modes glissants

consiste contraindre, laide de fonctions discontinues, les dynamiques dun systme

dordre n converger vers une varit S de dimension )( pn dite surface de glissement

(p tant la dimension du vecteur de mesure). Lattractivitde cette surface est assure par des

conditions appeles conditions de glissement. Si ces conditions sont vrifies, le systmeconverge vers la surface de glissement et y volue selon une dynamique dordre )( pn .

Dans le cas des observateurs modes glissants, les dynamiques concernes sont celles des

erreurs dobservation )()()( txtxte = . A partir de leurs valeurs initiales )0(e , ces erreurs

convergent vers les valeurs dquilibre en deux tapes:

Dans une premire phase, la trajectoire des erreurs dobservation volue vers la surface de

glissement sur laquelle les erreurs entre la sortie de lobservateur et la sortie du systme rel

(les mesures) yyey = sont nulles. Cette tape, qui gnralement est trs dynamique, est

appele mode datteinte.

Dans la seconde phase, la trajectoire des erreurs dobservation glisse sur la surface de

glissement avec des dynamiques imposes de manire annuler toutes les erreurs

dobservation. Ce dernier mode est appel mode de glissement. Les diffrentes tapes de

synthse dun observateur mode glissant sont connues et clairement identifies dans [29].

Ces dernires sont rappeles ci-dessous. Considrons un systme dtat non linaire affin

dordre n :

=

=

p

n

Ryxhy

Rxuxfx

,)(

),,(& (II.23)

Lobservateur modes glissants est dfini avec la structure suivante :

=

=

)(

),(

xhy

Kuxfx s&

(II.24)


38/104


29

O

K: est la matrice de gain de dimension )( pn .

s : est un vecteur de dimension 1p dfini tel que T

pps yysignyysign )]()([ 11 = L .

Nous dfinissons galement les vecteurs relatifs aux erreurs dobservation tel que :

xxe = : est le vecteur dtat des erreurs dobservation.

yyeS y == : est la surface de glissement.

Pour que ltat estim converge vers ltat rel, lobservateur mode glissant doit respecter

deux conditions.) :La premire concerne le mode datteinte et garantie lattractivit de la surface de glissement

0=S de dimensionp , laquelle est attractive si la fonction de

Lyapunov SSxV T =)( vrifie la condition : 0)(


39/104


30

Durant ce mode, les dynamiques du systme sont rduites et le systme dordre n devient un

systme quivalent dordre )( pn .Ces critres permettent la synthse de lobservateur

mode glissant et dterminent son fonctionnement.

II.5.1 Observateurs mode glissant des systmes linaires

Considrons nouveau le systme (II.1), o la paire ),( CA est suppose observable.

La reconstruction des variables dtat est base sur les sorties mesures, un changement de

coordonnes peut tre effectu pour que les sorties apparaissent directement comme des

composantes du vecteur dtat. Sans perte de gnralit la matrice de sortie peut tre rcrite

comme suit :

[ ]2

1 CCC=

O )(1pnpRC

, ppRC 2 et le dterminant de 2C est non nul. En respectant ces conditions,

une matrice de transformation non singulire T permet de rcrire respectivement les

matrices de sortie, dtat et de commande dans les nouvelles coordonnes comme suit :

[ ]pICTC 0~ 1

== ,

==

2221

12111~AA

AATATA et

==

2

1~B

BTBB

O

=

21

0

CC

IT

pn

Le systme (II.1)peut donc tre mis sous la forme :

++=

++=

)()()(

)()()()(

222121

1121111

tuBtyAtxAy

tuBtyAtxAtx

&

& (II.25)

)()()(1

tTxty

tx=

et pnRtx )(1

Lobservateur mode glissant propos pour ce type de systmeest :

++=

+++=

)()()()(

)()()()()(

222121

1121111

tvtuBtyAtxAy

tLvtuBtyAtxAtx

&

&

(II.26)

O )(ty et )(1 tx sont les estimes de )(ty et de )(1 tx ,ppnRL

)( est le gain de lobservateur

et la fonction discontinue )(tv est donne par :


40/104


31

))()(()( tytyKsigntv ii = , avec 0>K .

)( tyi et )(tyi sont respectivement les composantes des vecteurs )(ty et )(ty . Les erreurs

destimation dtat et de sortie sont donnes par :

)()()(

)()()( 111tytyte

txtxte

y =

= (II.27)

A partir des quations (II.25), (II.26)et (II.27); la dynamique des erreurs destimation scrit :

+=

++=

)()()()(

)()()()(

22121

121111

tvteAteAte

tLvteAteAte

yy

y

&

& (II.28)

La paire ),(2111

AA est observable car la paire ),( CA est observable [30]. Par consquent, le

gain L peut tre choisi tel que les valeurs propres de la matrice 2111 LAA + soit dans le demi-

plan gauches du plan complexe.

Dfinissons maintenant un nouveau changement de variables tel que :

=

)(

)(

)(

)(~ 11ty

txT

ty

txL ,

=

p

pn

L I

LIT

0.,

Avec ce changement de variables, la dynamique des erreurs destimation scrit :

+=

+=

)()(~

)(~)(

)(~

)(~

)(~

22121

121111

tvteAteAte

teAteAte

yy

y

&

&

(II.29)

O

)()()(~ 11 tLetete y+= et 211111~

LAAA += ,

LALAAA 11221212~~

+= et LAAA 212222~

=

Utkin [30] a montr en utilisant la thorie des perturbations singulires que pour un gain

Kassez grand un rgime glissant peut tre tabli sur lerreur de sortie (II.29).Donc aprs un

temps fini, lerreur )(tey et sa drive seront nulles et on aura partir lquation (II.29) :

)(~~)(~ 1111 teAte =


41/104


32

Avec un choix correct du gain (un gain qui stabilise 11~

A ) le systme dquation (II.29) est

stable et 0)(~1 te quant t , ce qui veut dire que )()( 11 txtx et )(2 tx peut tre

reconstruite dans le systme de coordonnes original par :

))()(()( 111

22 txCtyCtx =

En pratique la difficult majore de cette approche rside dans choix dun gain appropri

Kpour tablir un rgime glissant dans un temps fini. Certains auteurs montre la ncessit de

modifier le gain Kpendant lintervalle de temps pour rduire les fortes commutations.

Exemple

On considre le systme linaire reprsent par les matrices dtat, de commande te de sortie

suivantes :

=

02

10A ,

=

1

0B , [ ]11=C

Ce systme est observable, car le rang de la matrice [ ]CAC est gal 2. Supposons que

0=u et considrons la matrices non singulire :

=

11

01T

Avec ce changement de coordonnes nous obtenons les matrices :

[ ]10~

=C ,

=

13

11~A et

=

1

0~B

Les rsultats de simulation sont prsents par la figure II.3avec des gains 57.0=L , 1=K et

des conditions initiales [ ] [ ]10)0()0(1 =yx , [ ] [ ]00)0()0(1 =yx .

FigureII.3 :Etats et leurs estimes

0 5 10

-1

-0.5

0

0.5

1

temps (s)

Amplitude

0 5 10

-1

-0.5

0

0.5

1

temps (s)

Amplitude

Etat rel

Etat Estim


42/104


33

II.5.2 Observateurs mode glissant tape par tape.

Lobservateur mode glissant tape par tape a t dvelopp pour des systmes pouvant se

mettre sous la forme, appele forme triangulaire dobservation, suivante [4], [31], [32] :

=

+=

+=

+=

+=

1

2121

12111

21232

1121

),,,,(),,,(

),,,,(

),,(

),(

xy

uxxxgxxxfx

uxxxgxx

uxxgxx

uxgxx

nnnnn

nnnn

KK&

K&

M

&

&

(II.30)

Onf et ig , pour ni ,,1K= , sont des fonctions scalaires, ix sont lestats du systme, u est le

vecteur dentre et y est la sortie. La structure de lobservateur propos est :

=

++=

++=

++=

++=

1

21221

111112111

222221232

11111121

)(),,,,(),,,(

)(),,,,(

)(),,(

)(),(

xy

xxsignuxxxgxxxfx

xxsignuxxxgxx

xxsignuxxgxx

xxsignuxgxx

nnnnnnnn

nnnnnnnn

KK&

K&

M

&

&

(II.31)

O les variablesi

x sont donnes par :

>+=

=

1pour)-(sign 111q,1

11

ixxxx

xx

iii-iii (II.32)

Avec eqsign dsigne la fonction (.)sign classique filtre par un filtre passe bas; la fonction isign

est dfinie de manire imposer que le terme correctif ne soit actif que si 0 = jj xx pour

ij ,,1K= c'est--dire, sil existe { }1,,1 ij K tel que 0 jj xx alors la fonction isign est

mise zro sinon elle est gale la fonction (.)sign usuelle. La convergence des erreurs

dobservation en temps fini nest assure que si le systme est entres bornes et tats borns

(BIBS) pour une dure finie. Si cette condition est vrifie alors les i peuvent tre choisis tel que

ltat de lobservateur x converge en un temps fini vers ltatx rel du systme. Cependant cette

convergence se fait par tapes :

Etape 1 : Dans cette tape on assure la convergence de 111 xxe = vers zro dans un

temps1

tt< . Pour 1>i toutes les fonctionsi

sign sont gales zro, les dynamiques des erreurs

dobservation xxe = sont donc :


43/104


34

+=

+=

+=

=

),,,,(),,,,(),,,(),,,(

),,,,(),,,,(

),,(),,(

)(

21

212121

121112111

21221232

11121

uxxxg

uxxxgxxxfxxxfe

uxxxguxxxgee

uxxguxxgee

xxsignee

nn

nnnnnnn

nnnnnn

K

KKK&

KK&

M

&

&

(II.33)

Lentre u et les tats sont borns. Par consquent les tats du systme ne divergent pas et les

erreurs dobservation sont aussi bornes. On considre la fonction de Lyapunov2

21

1

eV = , alors :

))(( 11211 esigneeV =&

En choisissantmax21

e> , lerreur dobservation 1e converge vers zro en un temps fini 1t . Aprs

cet instant, 1e reste gale zro et on obtient alors )( 1112 xxsigne = ce qui implique

que 22 xx = .

Etape 2 : Lobjectif dans cette tape est datteindre la surface de glissement 0222 == xxe .

Pour rester sur la surface 01 =e , il faut que max21 e> , mais cela est vrifi de part le fait que

2e est strictement dcroissante aprs 1t . Les dynamiques des erreurs dobservation sont alors :

+=

+=

=+=

==

),,,,(

),,,,(),,,(),,,(

),,,,(),,,,(

)()(),,(),,(0)(

21

212121

121112111

22311221221232

11121

uxxxg

uxxxgxxxfxxxfe

uxxxguxxxgee

esignexxsignuxxguxxgee

xxsignee

nn

nnnnnnn

nnnnnn

K

KKK&

KK&

M

&

&

(II.34)

En choisissant la fonction de Lyapunov22

22

21

2

eeV += on aura :

))(())(())(( 2132213211212 esigneeesigneeesigneeV =+=&

Si

max32 e> alors 2e converge vers zro aprs un temps fini 12 tt > . Lerreur dobservation est

strictement dcroissante durant la priode[ ]21 , tt ce qui implique que la condition impose dans la

premire tape sur 1 doit tre vrifie aussi aprs 1t .En fin, aprs un temps fini 2t , 33 xx = .

Ainsi, tape par tape nous obtenons la convergence de toutes les composantes de lerreur

dobservation vers zro et celles de x versx pour tous ni< , sous conditions, que

max1+>

ii e durant ],[ 1+ii tt .


44/104


35

Etape n :cette tape commence linstant 1nt , cet instant 0=ke pour tous nk< .

=

+=

==

==

==

)()(),,,,(

),,,,(),,,(),,,(

0)(

0)(

0)(

21

212121

1111

22232

11121

nnnnnnnnn

nnnnnnn

nnnnn

esignxxsignuxxxg

uxxxgxxxfxxxfe

xxsignee

xxsignee

xxsignee

K

KKK&

&M

&

&

(II.35)

De la mme faon on choisit la fonction de Lyapunov222

222

21 n

n

eeeV +++= L . On obtient

donc ))(( nnnn esigneV =& .

Ainsi, ne converge vers zro en un temps fini 1> nn tt pour toutes valeurs de 0>n , si

videment toutes les conditions sur k , nk< sont elles aussi, vrifies.

Exemple

Le modle non linaire dun robot joint flexible (Figure II.4) est dcrit par le systmedquations suivant [18] :

( )

( ) ( )ll

ml

l

l

ll

m

rm

m

rml

m

m

mm

J

mgh

J

k

u

J

K

J

B

J

k

sin=

=

+=

=

&

&

&

&

O m et m sont respectivement, la postions et la vitesse angulaires du moteur courant

continu, l et l sont respectivement la position et la vitesse du bras. Le moteurs est excit

par le signale )(tu .Le moment dinertie du moteur est mJ et celui du bras est lJ , rB et ksont

respectivement, le cfficient de frottement visqueux du moteur et la constante de raideur duressort.

Ressort

Moteur CC

Figure II.4: schma dun robot joint flexible


45/104


36

Le systme possde donc une forme triangulaire similaire celle de (II.30) en effet avec

[ ] [ ]llmmT

xxxxx == 4321 le systme scrit :

( )

=

=

+=

=

++=

=

22

11

3314

43

3212

21

sin

xy

xy

xJ

mghx

J

kx

J

kx

xx

uJ

Kx

J

Bx

J

kx

J

kx

xx

lll

m

r

m

r

mm

&

&

&

&

Dans le but destimer les ltat 2x et 4x correspondants respectivement aux vitesses m et l du

systme. On considre lobservateur mode glissant suivant :

( )

=

=

++=

+=

+++=

+=

32

11

44343314

333343

22223212

111121

)(sin

)(

)(

)(

xy

xy

xxsignxJ

mghx

J

kx

J

kx

xxsignxx

xxsignuJ

Kx

J

Bx

J

kx

J

kx

xxsignxx

lll

m

r

m

r

mm

&

&

&

&

O

)-(sign

)-(sign

333q344

33

111q122

11

xxxx

xxxxxx

xx

+=

=+=

=

Etape 1: Dans cette tape )( 2223 xxsign et )( 4444 xxsign sont nuls. Pour obtenir les

conditions de convergence de 111 xxe = (respectivement de 333 xxe = ) on considre la

fonction de Lyapunov2

21

1

eV = (respectivement

2

23

3

eV = ), on aura alors :

))(( 1121111 esigneeeeV == &&


46/104


37

))(( 3243333 esigneeeeV == &&

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Memoire de Magister de Nait Slimani Boukhalfa 3