26
MEHANIKA - sinopsis predavanj za ˇ studente matematike v letu 2008/2009 MEHANIKA TO ˇ CKE, SISTEMA TO ˇ CK in TOGEGA TELESA 3. 10. 08 OSNOVE NEWTONOVE MEHANIKE Literatura Aganoviˇ c, Veseliˇ c, Uvod v analitiˇ cku mehaniku, Matematiˇ cki odjel Prirodoslovnog-matematiˇ ckog fakul- teta, Zagreb, 1990 1-3. Arnold, V.I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd. ed., Springer-Verlag, New York, 1995, 1-11. Definicija Mnoˇ zica A je afini prostor nad vektorskim prostorom V ce obstaja operacija A×V→A, (A,a) A + a, tako da velja: a) (A + a)+ b = A +( a + b) b) za poljubni toˇ cki A, B ∈A obstaja natanko doloˇ cen a ∈V , tako da velja B = A + a. Definicija Nad A×A→V je definirana operacija B - A = a ⇐⇒ B = A + a. Trditev Velja a) A - A = 0, b) (A - B)+(B - A)= 0, c) (A - B)+(B - C)+(C - A)= 0, d) (A + a) - B =(A - B)+ a. Definicija Galilejeva struktura G je trojica (A, t, ρ), kjer je a) A ˇ stiri dimenzionalni afini prostor nad vektorskim prostorom V , b) t ∈L(V , R), c) ρ evklidska razdalja na Ker t. Elementom prostora A pravimo dogodki. ˇ Ce velja t(A - B) = 0 pravimo, da sta dogodka A in B istoˇ casna. Nad afinim prostorom istoˇ casnih dogodkov je s c) definirana evklidska razdalja. Definicija Galilejevi strukturi G =(A, t, ρ) in ˜ G =( ˜ A, ˜ t, ˜ ρ) sta ekvivalentni, ˇ ce obstaja bijekcija g : A→ ˜ A tako, da je g afina preslikava, ki ohranja ˇ casovnost dogodkov in razdaljo med istoˇ casnimi dogodki. Preslikavi g pravimo Galilejeva transformacija. Zapis afine preslikave. Naravna Galilejeva struktura na R × E. Trditev Galilejeva trasnformacija (t, P ) (t ,P ) med dvema naravnima Galilejevima strukturama na R × E je oblike: t = t + t 0 P = ct + Q(P - P 0 )+ P 0 . Grupa Galilejevih transformacij. 6. 10. 08 Literatura Aganoviˇ c, Veseliˇ c, Uvod v analitiˇ cku mehaniku, Matematiˇ cki odjel Prirodoslovnog-matematiˇ ckog fakul- teta, Zagreb, 1990 6-10. Arnold, V.I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd. ed., Springer-Verlag, New York, 1995, 1-11. Definicija Naj bo ϕ =(τ,π): A→ R × E taka bijekcija, da je τ afina preslikava. Potem pravimo, da je ϕ Galilejev koordinatni sistem na A. Trditev Galilejev koordinatni sistem inducira na A naravno Galilejevo strukturo. Definicija Koordinatna sistema ϕ in ˜ ϕ pripadata istemu Galilejevemu razredu, ˇ ce je ϕ ˜ ϕ -1 Galilejeva transformacija. Trditev V Galilejevem razredu sta istoˇ casnost dogodkov in razdalja med istoˇ casnimi dogodki invari- antno definirana. 1

MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

  • Upload
    others

  • View
    7

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

MEHANIKA - sinopsis predavanj za studente matematike v letu 2008/2009

MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOCK in TOGEGA TELESA

3. 10. 08 OSNOVE NEWTONOVE MEHANIKELiteratura• Aganovic, Veselic, Uvod v analiticku mehaniku, Matematicki odjel Prirodoslovnog-matematickog fakul-

teta, Zagreb, 1990 1-3.• Arnold, V.I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd. ed., Springer-Verlag, New York, 1995,

1-11.

Definicija Mnozica A je afini prostor nad vektorskim prostorom V, ce obstaja operacija A× V → A,(A,~a) 7→ A+ ~a, tako da velja:a) (A+ ~a) +~b = A+ (~a+~b)b) za poljubni tocki A,B ∈ A obstaja natanko dolocen ~a ∈ V, tako da velja B = A+ ~a.

Definicija Nad A×A → V je definirana operacija B −A = ~a ⇐⇒ B = A+ ~a.Trditev Veljaa) A−A = ~0,b) (A−B) + (B −A) = ~0,c) (A−B) + (B − C) + (C −A) = ~0,d) (A+ ~a)−B = (A−B) + ~a.

Definicija Galilejeva struktura G je trojica (A, t, ρ), kjer jea) A stiri dimenzionalni afini prostor nad vektorskim prostorom V,b) t ∈ L(V,R),c) ρ evklidska razdalja na Ker t.

Elementom prostora A pravimo dogodki. Ce velja t(A − B) = 0 pravimo, da sta dogodka A in Bistocasna. Nad afinim prostorom istocasnih dogodkov je s c) definirana evklidska razdalja.Definicija Galilejevi strukturi G = (A, t, ρ) in G = (A, t, ρ) sta ekvivalentni, ce obstaja bijekcijag : A → A tako, da je g afina preslikava, ki ohranja casovnost dogodkov in razdaljo med istocasnimidogodki. Preslikavi g pravimo Galilejeva transformacija.Zapis afine preslikave.Naravna Galilejeva struktura na R× E.Trditev Galilejeva trasnformacija (t, P ) 7→ (t′, P ′) med dvema naravnima Galilejevima strukturama naR× E je oblike:

t′ = t+ t′0

P ′ = ~ct+Q(P − P0) + P ′0.

Grupa Galilejevih transformacij.

6. 10. 08 Literatura• Aganovic, Veselic, Uvod v analiticku mehaniku, Matematicki odjel Prirodoslovnog-matematickog fakul-

teta, Zagreb, 1990 6-10.• Arnold, V.I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd. ed., Springer-Verlag, New York, 1995,

1-11.

Definicija Naj bo ϕ = (τ, π) : A → R × E taka bijekcija, da je τ afina preslikava. Potem pravimo, daje ϕ Galilejev koordinatni sistem na A.Trditev Galilejev koordinatni sistem inducira na A naravno Galilejevo strukturo.Definicija Koordinatna sistema ϕ in ϕ pripadata istemu Galilejevemu razredu, ce je ϕ ϕ−1 Galilejevatransformacija.Trditev V Galilejevem razredu sta istocasnost dogodkov in razdalja med istocasnimi dogodki invari-antno definirana.

1

Page 2: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

Vektor hitrosti, pospeska; transformacija vektorja hitrosti in pospeska pri Galilejevi transformaciji.Trajektorija, tir; sistem tock.Princip determiniranosti Trajektorija P(t) sistema N materialnih tock je v danem koordinatnemsistemu natanko dolocena z zacetnim polozajem P0 ∈ EN in zacetno hitrostjo P0 ∈ R3N . To pomeni,da obstaja funkcija interakcije f , tako da velja P = f(t,P, P).Princip relativnosti Obstaja tak Galilejev razred koordinatnih sistemov, da je funkcija interakcijeinvariantna za Galilejeve transformacije. Koordinatnim sistemom iz tega razreda pravimo inercialnikoordinatni sistemi.Homogenost casa, prostora, prostora hitrosti, izotropicnost prostora.Posebni primer N = 1; prvi Newtonov zakon: v razredu inercialnih koordinatnih sistemov se izoliranamaterialna tocka giblje premocrtno s konstantno hitrostjo.Zaprti sistem, okolica, nezaprti sistem.

10. 10. 08 Literatura• Aganovic, Veselic, Uvod v analiticku mehaniku, Matematicki odjel Prirodoslovnog-matematickog fakul-

teta, Zagreb, 1990 6-10.• Jose, Jorge V. in Saletan, Eugene, it Classical dynamics : a contemporary approach, Cambridge Uni-

versity Press, 1998, 6-9.

Princip sorazmernosti Naj bo P sistem materialnih tock Pi. Za poljuben par tock Pi, Pj iz P, ki tvorizaprt sistem obstaja, ne glede na vrsto interakcije, pozitivna konstanta k21 tako, da velja Pi = −kjiPj .Za stevila kij velja kijkjkkki = 1.Lema Naj za stevila kij veljaa) kij > 0b) kji = 1/kijc) kijkjkkki = 1.

Potem obstajajo stevila, mi > 0, tako da velja kij = mi/mj .Pojem inercijske mase, pojem sile.Tretji Newtonov zakon.Gravitacijski zakon, gravitacijska masa.Newtonov eksperiment, enakost inercijske in gravitacijske mase.Momenti, gibalna kolicina ~p = ~p(P ) = mdP

dt , vrtilna kolicina ~l = ~l(O,P ) = (P −O)× ~p.Delo, kineticna energija.Izrek Delo, ki ga opravi sila na materialno toco pri gibanju vzdolz tira, je enako razliki kineticneenergije.

13. 10. 08Literatura• Arnold, V.I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd. ed., Springer-Verlag, New York, 1995,

15-22.• Jose, Jorge V. in Saletan, Eugene, it Classical dynamics : a contemporary approach, Cambridge Uni-

versity Press, 1998, 18-22.• Landau, L.D., in Lifshitz, E. M., Mechanics , Addison-Wesley, Reading, Mass., 1960, 25-27.

Potencialna sila, konzervativna sila.Izrek(Izrek o energiji) Naj bo ~F konzervativna sila. Potem je vsota kineticne in potencialne energijekonstanta gibanja.PREMOCRTNO GIBANJEIzrek Gibanje je premocrtno ⇐⇒ obstaja O, tako da je ~l(O,P ) = ~0.Pisimo ~F = f~i in naj bo f = f(x) zvezna funkcija. Potem je T + U = E integral gibanja in gibanje jeintegrabilno. Velja

t = t0 + sgn x∫ x

x0

dx√2m (E − U(x))

.

2

Page 3: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

Kvalitativna analiza gibanja, tocka obrata, periodicno gibanje, neomejeno gibanje.Omejeno premocrtno gibanje je periodicno.Perioda periodicnega gibanja.Ravnovesna lega, stabilna, nestabilna ravnovesna lega.

17. 10. 08 Literatura• Arnold, V.I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd. ed., Springer-Verlag, New York, 1995,

15-22.• Landau, L.D., in Lifshitz, E. M., Mechanics , Addison-Wesley, Reading, Mass., 1960, 27-29.

Primer: harmonicni oscilator U(x) = 12kx

2, nihajni cas T = 2π√

mk je neodvisen od energije.

Lema Naj bo x0 izoliran lokalni minimum potenciala. Potem v okolici U0 = U(x0) velja

x2(U)− x1(U) =1

π√

2m

∫ U

U0

T (E) dE√U − E

.

Posledica Naj bo U(x) soda funkcija in monotona na veji sodosti ter x0 = 0 in U(0) = 0. Potem

x(U) =1

2π√

2m

∫ U

0

T (E) dE√U − E

.

Trditev Edino izokronicno gibanje s simetricnim in monotonim potencialom na veji simetrije je har-monicno gibanje.Fazna ravnina, fazni portret.Lema Za omejeno premocrtno gibanje velja dS

dE = 1mT . Tu je S ploscina pripadajocega lika v fazni

ravnini, T pa perioda gibanja.Primer: harmonicni oscilator.Primer: U(x) = αx2 + βx−2.GIBANJE PO KRIVULJILocna dolzina, ukrivljenost.Tangencialni pospesek, normalni pospesek; ~a = s~et + κs2~en.Newtonova enacba m~a = ~F + ~S, sila vezi ~S.

20. 10. 08 Literatura• Greiner,W., Classical Mechanics: Point Particles and Relativity, Springer, 2004, 229-240.• Courant, R. in John F., Introduction to Calculus and Analysis, Wiley, New York, 1965, 410-412.

Idealno gibanje po krivuljiSila vezi, delo sile vezi, idealna vez; redukcija na premocrtno gibanje.Primer: matematicno nihalo.Ocena nihajnega casa matematicnega nihala:

√l

g≤ T ≤ 1

cos θ022π

√l

g.

Cikloidno nihalo y = 12ks

2, izracun nihajnega casa T = 4π√

ag .

Trditev Edino simetricno izokronicno nihalo je cikloidno nihalo.

3

Page 4: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

24. 10. 08 GIBANJE V POLJU CENTRALNE SILELiteratura• Goldstein, H., Classical Mechanics, 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 76-82, 85-90.• Greiner,W., Classical Mechanics: Point Particles and Relativity, Springer, 2004, 246-257.

Definicija Sila ~F je centralna, ce obstaja tocka O (center sile) tako, da velja ~F = F (|P −O |)(P −O)/|P −O |.Izrek Konzervativna sila je centralna ⇐⇒ obstaja tocka O tako, da je ~l(O,P ) je konstanten.Izrek Gibanje v polju centralnih sil je ravninsko. Tir lezi v ravnini, ki gre skozi O in ima normalo vsmeri ~l(O,P ).Polarni koordinatni sistem, zapis vektorja hitrosti in pospeska v polarnem koordinatnem sistemu.Ploscinska hitrost, zveza l =

∣∣∣~l ∣∣∣ = mC0, kjer je C0 dvojna ploscinska hitrost.Izrek Gibanje v polju centralne sile ima dve konstanti gibanja, energijo in ploscinsko hitrost.Zgodovinski oris, Keplerjevi zakoni.Trditev Ce je ploscinska hitrost konstantna, je obodni pospesek enak nic.Binetova formula

ar = −C20u

2

(d2u

dθ2+ u

).

Trdtev Ce je tir elipsa, je radialni pospesek obratno sorazmeren kvadratu oddaljenosti do centra sil.Trditev Kvocient C2

0/p je konstanten za vse planete v osoncju,Redukcija na premocrtno gibanje koordinate r, efektivni potencial.Dolocitev trajektorije s kvadraturami.Dolocitev tira θ = θ(r).

27. 10. 08 Literatura• Arnold, V.I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd. ed., Springer-Verlag, New York, 1995,

34-42.• Goldstein, H., Classical Mechanics, 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 90-102.• Jose, Jorge V. in Saletan, Eugene, Classical dynamics : a contemporary approach, Cambridge University

Press, 1998, 77-92.• Arnold, V.I., V.V. Kozlov in A.I. Neishtadt, Mathematical aspects of Classical and Celestial Mechanics,

Springer, Beriln, 1997, 53-55.

Kvalitativna analiza gibanja v polju centralne sile, apsidni radij, pericenter, apocenter, apsidni kot ∆θ.Primer: gibanje v polju gravitacijske sile V (r) = −γr . Formula

r =p

1 + ε cos(θ − θ0 + π/2), p =

l2

mγ, ε =

√1 +

2El2

mγ2,

kjer je θ0 polarni kot do lokalnega minimuma efektivnega potenciala.Trditev Tir je simetricen glede na apsidni radij.Trditev Tir se dotika apsidnih kroznic.Pogoj zaprtosti tira W = ∆θ/π ∈ Q.Ce tir ni zaprt, je omejeni tir gosta mnozica v kolobarju med dvema apsidnima radijema;Vprasanje, kdaj je vsak omejen tir zaprt.Izrek Bertrandov izrek (brez dokaza). Ce so vsi tiri v okolici vrtilne kolicine in energije stabilnegakroznega tira r = r0 zaprti in je potencial analiticen v okolici r0, je v tej okolici potencial gravitacijskiali pa Hookov.Ekscentricna anomalija u, zveza med polarnim kotom in ekscentricno anomalijo.

4

Page 5: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

3. 11. 08 Literatura• Aganovic, Veselic, Uvod v analiticku mehaniku, Matematicki odjel Prirodoslovnog-matematickog fakul-

teta, Zagreb, 1990 35-36.

Trditev Za vsak ζ in ε ∈ [0, 1) obstaja enolicna resitev u(ε, ζ) Keplerjeve enacbe.Trditev u(ε, ζ)− ζ je liha periodicna funkcija spremenljivke ζ s periodo 2π.Keplerjeva enacba u− ε sinu = 2π t

T = ζ.Razvoj u(ε, ζ) v potencno vrsto, aproksimacija nultega, prvega in drugega reda.GIBANJE V RELATIVNEM KOORDINATNEM SISTEMUDefinicija Soredje ϕ(t, P ) se giblje glede na soredje ϕ′(t′, P ′), ce obstaja trojica (P0, P

′0, Q), P0 ∈ E,

P ′0 : R→ E, Q : R→ SO(3), tako da velja t′ = t in P ′ = P ′0(t) +Q(t)(P − P0).Translacijsko gibanje, rotacijsko gibanje.Trditev Rotacijski del gibanja je neodvisen od centra gibanja.Trditev QT Q je posevno simetricni tenzor.Trditev Naj bo W posevno simetricni tenzor iz R3 v R3. Potem obstaja vektor ~ω tako, da je W~a = ~ω×~aza vsak ~a. Vektorju ~ω pravimo osni vektor tenzorja W .Trditev Wij = −eijkωk.

7. 11. 08 Literatura• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 164-166.

Definicija Osnemu vektorju ω tenzorja QT Q pravimo rotacijski vektor. Vektor kotne hitrosti rotacijeQ je ~ω ′ = Q~ω.Trditev Vektor kotne hitrosti rotacije za kot ϕ = ϕ(t) okrog stalne osi ~e je ~ω = ϕ~e.Trditev Naj bodo ~a,~b,~c tri med seboj linearno neodvisni vektorji in A ∈ Lin(R3). Potem

detA =(A~a,A~b,A~c)

(~a,~b,~c).

Trditev Naj bo A ∈ Lin(R3) neizrojena. Potem

(A~a)× (A~b) = (detA)A−T (~a×~b) = A∗(~a×~b).

Izrek Naj bo Q ∈ SO(3). Potem Q(~a×~b) = (Q~a)× (Q~b).Trditev Ce je ~ω rotacijski vektor rotacije Q, je −~ω je vektor kotne hitrosti rotacije QT .Trditev Naj bo R(~e, ϕ) rotacija okoli smeri ~e za kot ϕ; |~e| = 1. Potem

R(~e, ϕ)~r = cosϕ~r + ~e(~e · ~r)(1− cosϕ) + (~e× ~r) sinϕ

inR(~e, ϕ) = I + sinϕW(~e) + (1− cosϕ)W2(~e).

Trditev Naj bo Q = R(~e, ϕ). Potem cosϕ = (SlQ− 1)/2.

10. 11. 08 Literatura• Aganovic, Veselic, Uvod v analiticku mehaniku, Matematicki odjel Prirodoslovnog-matematickog fakul-

teta, Zagreb, 1990, .• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 174-182.

Predstavitev rotacije s kvaternioni.Trditev R(~e, ϕ)~r = q~rq∗, kjer je q = j(R(~e, ϕ)) = cos ϕ2 + ~e sin ϕ

2 .Prostor enotskih kvaternionov H1 = q : q ∈ H, ‖q‖ = 1.Ekvivalencna relacija na H1: q1 ∼ q2 ⇐⇒ q1~rq

∗1 = q2~rq

∗2 za vsak ~r ∈ R3.

Izrek Predpis j : SO(3)→ H1/ ∼ je izomorfizem grup.

5

Page 6: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

Izrek Naj bo Q rotacija okrog osi ~e = ~e(t) za kot ϕ = ϕ(t). Potem je

~ω = ϕ~e+ sinϕ~e− (1− cosϕ)~e× ~epripadajoci osni vektor, vektor kotne hitrosti pa je

~ω ′ = ϕ~e+ sinϕ~e+ (1− cosϕ)~e× ~e.Vektor kotne hitrosti sestavljene rotacije.Izrek Vektor kotne hitrosti sestavljene rotacije Q = Q2Q1 je ~ω ′ = ~ω ′2 +Q2~ω

′1, kjer sta ~ω ′1 in ~ω ′1 vektorja

kotne hitrosti rotacije Q1 in Q2. Rotacijski vektor pa je ~ω = QT1 ~ω2 + ~ω1.

14. 11. 08 Literatura• Greiner, W., Classical Mechanics: System of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 2003, 3-10.

Absolutni, relativni koordinatni sistem; pisava ~ζ = P − P0, ~ζ ′ = Q~ζ, P ′ = P ′0 +Q~ζ = P ′0 + ~ζ ′.

Relativna hitrost ~vrel = ~ζ, ~v ′rel = Q~vrel = (~ζ)′, povezava med absolutno in relativno hitrostjo

~v ′ = ~v ′0 +Q(~ω × ~ζ + ~vrel) = ~v ′0 + ~ω ′ × ~ζ ′ + ~v ′rel.

Trditev (Q~u). = Q~u+ ~ω ′ × ~u ′.Relativni pospesek ~arel = ~ζ = ζi~ei, ~a ′rel = ζi~e ′i , povezava med absolutnim in relativnim pospeskom

~a ′ = ~a ′0 +Q(~ω × (~ω × ~ζ) + ~ω × ~ζ + 2~ω × ~vrel + ~arel) = ~a ′0 + ~ω ′ × (~ω ′ × ~ζ ′) + ~ω ′ × ~ζ ′ + 2~ω ′ × ~v ′rel + ~a ′rel.

Sistemski, Coriolisov, centrifugalni pospesek.Newtonova enacba v absolutnem koordinatnem sistemu m~a ′ = ~F ′, v relativnem koordinatnem sistemu

m~arel = ~F −m~a0 −m~ω × (~ω × ~ζ)−m~ω × ~ζ − 2m~ω × ~vrel,

kjer je ~F = QT ~F ′ in ~a0 = QT~a ′0.Translacijska sila, centrifugalna sila, inercijska sila rotacije, Coriolisova sila.Primer: gibanje materialne tocke v votli vrteci se cevi. Doloci izstopno hitrost.

17. 11. 08 Literatura• Greiner, W., Classical Mechanics: System of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 2003,

23-29.

Primer: v relativnem koordinatnem sistemu se tocka giblje po elipsi s konstantno ploscinsko hitrostjo.Doloci rotacijo RKS okrog centra sile tako, da se bo v AKS tocka gibala v polju centralne sile.Primer: Foucaultovo nihalo, izracun precesije ravnine nihanja.

21. 11. 08 Literatura• Greiner, W., Classical Mechanics: System of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 2003,

66-73.• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 5-11.

SISTEM MATERIALNIH TOCKMasno sredisce P∗ = O + 1

m

∑Ni=1mi(Pi −O).

Trditev Masno sredisce je neodvisno od izbire koordinatnega izhodisca O.Notranje sile, zunanje sile.Enacba gibanja masnega sredisca mP∗ = ~F .Vrtilna kolicina ~L = ~L(O) =

∑Ni=1

~l(O,Pi).Odvisnost vrtilne kolicine od pola : ~L(P0) = ~L(O) + (O − P0)×mP∗.Navor zunanjih sil ~N = ~N(O) =

∑Ni=1(Pi −O)× ~Fi.

Centralnost notranjih sil:

~Fji = ~Fji(Pi, Pj) = Fji(|Pi − Pj |)Pi − Pj|Pi − Pj |

.

Izrek o vrtilni kolicini: Ce so notranje sile centralne, je odvod vrtilne kolicine okoli fiksnega polaenak navoru zunanjih sil okoli tega pola.

6

Page 7: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

24. 11. 08 Literatura• Arnold, V.I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd. ed., Springer-Verlag, New York, 1995,

44-50.• Greiner, W., Classical Mechanics: System of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 2003,

73-79.

Pisava: Pi = P0 + ~ζi

Vrtilna kolicina gibanja okoli P0: ~L = ~L(P0) =∑i~ζi ×mi

~ζi.Trditev d

dt~L(P0) = ~N(P0)−mP0 × P∗.

Trditev ddt~L = ~N(P0)− (P∗ − P0)×mP0.

Posebna primera : P0 = P∗, P0 = ~0 ⇒ ddt~L = ~N(P0).

Potencial notrajnih sil

Uji(Pi, Pj) = −∫ |Pi−Pj |

r0

Fji(r) dr, U =∑i<j

Uji.

Energijski princip ddt (T + U) =

∑Ni=1

~Fi · Pi.Odvisnost kineticne energije od izbire centra gibanja.

Koenigov izrek T = Trel + 12m∣∣∣ P∗ ∣∣∣2.

Zaprti sistem, 10 osnovnih konstant klasicne mehanike.Primer: problem dveh teles.Dekompozicija na gibanje masnega sredisca in gibanje masne tocke z reducirano maso v polju centralnesile s polom v masnem srediscu.

28. 11. 08 Literatura• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980,

Problem treh teles.Reduciran problem treh teles; kolinearna resitev.Korotirajoca resitev problema treh teles. Izracun kotne hitrosti ω2 = 3κm0

a3 .Stabilnost korotirajoce resitve.Velja:

i) Ce je vektor vrtilne kolicine gibanja treh tock okoli masnega sredisca nicelen, je gibanje ravninsko.ii) Ce je vektor vrtilne kolicine gibanja okoli masnega sredisca nenicelen, hkratni trk vseh teles ni

mozen.Virial W = W (O) =

∑imi(Pi −O) · Pi.

Enacba gibanja viriala

dW

dt= 2T +

N∑i=1

(Pi −O) · ~Fi −∑i<j

∂Uji∂(Pi − Pj)

(Pi − Pj).

(Eulerjev izrek o homogeni funkciji) Naj bo f(P−O) homogena funkcija reda p. Potem (P−O)·grad f =pf(P −O).Trditev Ce so notranje sile homogene funkcije reda p, je

dW

dt= 2T +

N∑i=1

(Pi −O) · ~Fi − p U.

Primer: Hookov potencial, potencial gravitacijske sila.Primer: omejeno gibanje problema N teles.

7

Page 8: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

1. 12. 08 Literatura

Problem N teles; naj bo E > 0, potem vsaj eno telo ubezi v neskoncnost.KINEMATIKA TOGEGA TELESADefinicija Gibanje t → P (t) tock sistema P je togo, ce za poljubni tocki P1, P2 ∈ P velja|P1(t)− P2(t) | = konst.

Pojem togega telesa; opis gibanja togega telesa, rotacija + translacija.Izrek Naj bo gibanje sistema P togo. Potem za vsak koordinatni sistem ϕ in za poljubno tocko P0 ∈ Eobstajata funkciji P ′0(t) in Q(t) ∈ SO(3), tako da velja:a) P ′0(t = 0) = P0, Q(t = 0) = I,b) P (t) = P ′0(t) +Q(t)(P (t = 0)− P0).

Posledica Definirajmo soredja ϕ(t, P ) in ϕ′(t, P ′), kjer je P = P (t = 0) in P ′ = P (t). Potem se soredjeϕ giblje glede na ϕ′, v soredju ϕ pa sistem P miruje. Soredju ϕ pravimo telesno soredje, soredju ϕ′ paprostorsko soredje.Pisava P ′ = P (t), P = P (t = 0).Pojem kontinuuma, masa, gostota; dm = %dP

Opis gibanja kontinuuma B na osnovi referencnega polozaja, pisava B′ = B(t), B = B(t = 0).Zakon o ohranitvi mase.Masno sredisce kontinuuma:a) koordinatni sistem ϕ′ : P ′∗ = O′ + 1

m

∫B′(P ′ −O′) dm za poljubno tocko O′;

b) koordinatni sistem ϕ : P∗ = O + 1m

∫B0

(P −O) dm za poljubno tocko O.Trditev Velja P ′∗ −O′ = Q(P∗ −O).

8. 12. 08 Literatura• Greiner, W., Classical Mechanics: System of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 2003,

165-180.

Izrek Za masno sredisce telesa B velja dP ′∗

dt = P ′∗ in dP ′∗dt = P ′∗.

Vrtilna kolicina relativnega gibanja v absolutnem koordinatnem sistemu ~L ′.Prostorski vztrajnostni tenzor J ′, telesni vztrajnostni tenzor J .

Velja ~L ′ = J ′~ω ′.

Trditev Velja J ′ = QJQT in ~L = QT ~L ′ = J~ω.Komponentni zapis vztrajnostnega tenzorja.Primer: vztrajnostni tenzor kroznega valja.Vztrajnostni moment Je = ~e · J~e okoli osi ~e, deviacijski momenti D.Trditev Tenzor J je pozitiven. Ce telo ni tanka palica, je pozitivno definiten.Diagonalizacija vztrajnostnega tenzorja, glavne osi, glavni momenti.

8. 12. 08 Literatura• Greiner, W., Classical Mechanics: System of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 2003,

190-215.

Trditev Normala na ravnino zrcalne simetrije je glavna smer vztrajnostnega tenzorja.Trditev Ce ima telo dve ravnini zrcalne simetrije, je presek ravnin simetrij glavna smer vztrajnostnegatenzorja.Izrek (Steiner) J(P0) = J(P∗) +m|P0 − P∗ |2I −m(P0 − P∗)⊗ (P0 − P∗).Trditev Prehod na novo bazo; ~e

?

i = αij~ej =⇒ J

?

ij = αikαj

kJkl.Racunanje vztrajnostnega tenzorja, Routhova metoda.Primer: elipsoid, J1 = m

5 (b2 + c2), J2 = m5 (a2 + c2), J3 = m

5 (a2 + b2).Kineticna energija togega telesa T = 1

2m|~v∗ |2 + 1

2~ω · J(P∗)~ω.

8

Page 9: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

DINAMIKA TOGEGA TELESA12. 12. 08 Literatura

• Greiner, W., Classical Mechanics: System of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 2003,220-226.

Trditev Moc notranjih sil togega telesa je enaka nic.Energijski princip: dT

dt = ~v ′∗ · ~F ′ + ~ω ′ · ~N ′(P ′∗) = ~v∗ · ~F + ~ω · ~N(P∗).Enacba gibanja masnega sredisca m~a∗ = ~F .Eulerjeve dinamicne enacbe J~ω + ~ω × J~ω = ~N .Komponentni zapis Eulerjevih dinamicnih enacb.a) v lastnem koordinatnem sistemu vstrajnostnega tenzorja;b) v koordinatnem sistemu s koordinatno osjo v smeri stalne osi rotacije.

N1 = J13ϕ− J23ϕ2

N2 = J23ϕ+ J13ϕ2

N3 = J33ϕ

Trditev Ce je gostota ~f volumenske sile ~F konstantna, torej ~F =∫B~f dm = ~fm(B), je navor ~N(P0)

volumenske sile enak navoru rezultante ~F s prijemaliscem v masnem srediscu:

~N(P0) =∫B(P − P0)× ~f dm = (P − P∗)× ~F .

Definicija Telo B1 se kotali po telesu B2, ce sta hitrosti telesa v dotikaliscu enaki.Primer: kotaljenje valja po strmini, sila kotaljenja.

15. 12. 08 Literatura• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 205-213.

Primer : vrtenje telesa okrog stalne osi, dolocitev sil v lezajih.Prosta vrtavkaBinetov elipsoid, presek Binetovega elipsoida s sfero; gibanje vektorja vrtilne kolicine po Binietovemelipsoidu.Posebni primer: enakomerna rotacija; stabilnost enakomerne rotacije.

19. 12. 08 Literatura• Greiner, W., Classical Mechanics: System of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 2003,

249-252.

Osnosimetricna prosta vrtavka: analiticna obravnava; precesija vektorja kotne hitrosti okoli osi simetrije.Eulerjevi kotiϕ - precesija, θ - nutacija, ψ - kot lastne rotacije.Eulerjeva rotacija R = R(~k,~i,~k, ψ, θ, ϕ) := R(~k2, ψ)R(~i1, θ)R(~k, ϕ); ~i1 = R(~k, ϕ)~i, ~k2 = R(~i1, θ)~k.Lema R(R(~e, ϕ)~f, θ)R(~e, ϕ) = R(~e, ϕ)R(~f, θ).Definicija Za dane osi ~fk in kote ϕk, k = 1, 2, . . . , n pisemo ~f

(0)k = ~fk in ~f

(l)k = R(~f (l−1)

l , ϕl)~f(l−1)k za

k = l + 1, . . . , n. Definiramo kompozitum rotacij okrog zarotiranih osi

R(~fn, . . . , ~f1, ϕn, . . . , ϕ1) = R(~f (n−1)n , ϕn) . . . R(~f (1)

2 , ϕ2)R(~f1, ϕ1).

IzrekR(~fn, . . . , ~f1, ϕn, . . . , ϕ1) = R(~f1, ϕ1) . . . R(~fn−1, ϕn−1)R(~fn, ϕn).

9

Page 10: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

5. 1. 09 Literatura• Jose, Jorge V. in Saletan, Eugene, Classical dynamics : a contemporary approach, Cambridge University

Press, 1998, 526-533.

Primer: Eulerjeva rotacija

R(~k,~i,~k, ψ, θ, ϕ) = R(~k2, ψ)R(~i1, θ)R(~k, ϕ) = R(~k, ϕ)R(~i, θ)R(~k, ψ).

Izrek Vsako rotacijo, z izjemo rotacije okrog osi ~k, moremo enolicno zapisati kot Eulerjevo rotacijoR(~k,~i,~k;ψ, θ, ϕ), ϕ ∈ [0, 2π), θ ∈ (0, π), ψ ∈ [0, 2π).Izrek Vektor kotne hitrosti rotacije R(~fn, . . . , ~f1, ϕn, . . . , ϕ1) je ~ω ′ =

∑k ϕk

~f(k−1)k . Z besedami, vektor

kotne hitrosti sestavljene rotacije je vsota kotnih hitrosti okoli trenutnih osi rotacij.Primer: vektor kotne hitrosti Eulerjeve rotacije v prostorskih baznih vektorjih (~i,~j,~k) je

~ω ′ = (ψ sin θ sinϕ+ θ cosϕ)~i+ (θ sinϕ− ψ sin θ cosϕ)~j + (ψ cos θ + ϕ)~k.

Izrek R(~k,~i,~k;ψ, θ, ϕ)T = R(~k,~i,~k;−ϕ,−θ,−ψ).Trditev Osni vektor Eulerjeve rotacije zapisan v prostorski bazi (~i,~j,~k) je

~ω = (ϕ sin θ sinψ + θ cosψ)~i+ (ϕ sin θ cosψ − θ sinψ)~j + (ϕ cos θ + ψ)~k.

Posledica Vektor kotne hitrosti Eulerjeve rotacije zapisan v telesni bazni (~i ′,~j ′,~k ′) je

~ω ′ = (ϕ sin θ sinψ + θ cosψ)~i ′ + (ϕ sin θ cosψ − θ sinψ)~j ′ + (ϕ cos θ + ψ)~k ′.

Simetricna(Lagrangeeva) vrtavka Integrali gibanja : komponenta vrtilne kolicine okoli navpicnice,komponenta vrtilne kolicine v telesnem koordinatnem sistemu okoli osi simetrije in vsota kineticne inpotencialne energije.

9. 1. 09 Literatura• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 213-225

Analiticni zapis konstant gibanja

J3

(ϕ cos θ + ψ

)= J1a,

ϕ(J1 sin2 θ + J3 cos2 θ

)+ J3ψ cos θ = J1b,

12J1

(θ2 + ϕ2 sin2 θ

)+

12J3(ω3)2 +mgl cos θ = E.

Redukcija gibanja na premocrtno gibanje kota nutacije.

u2 = (1− u2)(α− βu)− (b− au)2, α =2E′

J1, β =

2mglJ1

.

Kvalitativni opis gibanja v odvisnosti od konstant gibanja.Klasicna naloga vrtavke; ϕ(t = 0) = 0, θ(t = 0) = 0, u2 = c = b

a , α = βu2.Hitra vrtavka, razpon nutacije u2 − u1 = β

a2 sin2 θ2.Frekvenca nutacije, povprecna kotna hitrost precesije.

10

Page 11: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

LAGRANGEEVA MEHANIKA

12.1.09 Literatura• Jose, Jorge V. in Saletan, Eugene, Classical dynamics : a contemporary approach, Cambridge University

Press, 1998, 48-62.• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 11-16

Generalizirane koordinate, konfiguracijski prostor; pisava q = (q1, q2, . . . , qN ) ∈ RN .Vezi: geometrijske vezi, vezi prvega reda, vezi p-tega reda.Omejitev na geometrijske vezi in kvazilinearne vezi prvega reda :

a(q, t) · q + a0(q, t) = 0.

Izrek (Frobenius) Vez akqk + a0 = 0 je integrabilna natanko tedaj, ko obstaja nenicelni mnozitelj

λ = λ(q, t), tako da je∂ak∂ql

=∂al∂qk

, k, l ∈ 0, 1, . . . , N, q0 = t.

Vprasanje integrabilnosti vezi prvega reda.Primer:a) kotaljeneje diska po premici;b) kotaljeneje diska po ravnini.

Klasifikacija vezi: holonomna, neholonomna vez, reonomna, skleronomna, katastaticne, akatastaticne.Stevilo prostostnih stopenj je enako razseznosti konfiguracijkega prostora minus stevilo vezi.Katastaticne vezi.Dejanski pomik, mozni pomiki(infinitezimalni), virtualni pomik.

16.1.09 Literatura• Jose, Jorge V. in Saletan, Eugene, Classical dynamics : a contemporary approach, Cambridge University

Press, 1998, 48-62.

Sistem vezi∂f i

∂qkqk = −∂f

i

∂t,

ajk qk = −aj ,

i = 1, 2, . . . ,m′′, j = 1, 2, . . . ,m′.Definicija Resitvi q sistema vezi pravimo mozna hitrost. Resitvi prirejenega homogenega sistema pavirtualna hitrost.Trditev Ce je sistem holonomen in skleronomen ali pa katastaticen, se pojma mozne(ga) in virtualne(ga)hitrosti(pomika) sovpadata.Princip virtualnega delaKlasifikacija sil: sile vezi, notranje sile, aktivne sile, pasivne sile.Definicija Vez je idealna, ce je virtualno delo vezi enako nic.Trditev Naj bo sila j-te tocke na i-to tocko ~Fji centralna in naj velja med tockami vez |Pi−Pj | = aij(t).Potem je virtualno delo sil ~Fji enako nic.Primer:a) Vez gibanja materialne tocke po gladki ploskvi je idealna.b) Vez kotaljenja je idealna vez.c) Notranje sile togega telesa so pasivne sile.

Definicija Sistem je idealen, ce je virtualno delo sil vezi enako nic. Silam, katerih virtualno delo jeanko nic pravimo pasivne sile.Princip virtualnega dela: idealen sistem je v ravnovesju, ce je virtualno delo aktivnih sil enako nic.

δA =N∑i=1

~Fi · δPi = 0.

11

Page 12: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

Primer: na eni strani vrtljivo vpeta na drugi strani pa gladko podprta viseca palica. Doloci ravnovesnipolozaj:a) s pomocjo vektorske mehanike;b) s principom virtualnega dela.

19.1.09 Literatura• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 16-21

Virtualna rotacija.Primer: viseca palica, doloci silo podpore.Generalizirana sila Qj =

∑Ni (∂Pi/∂qj)T ~Fi; virtualno delo δA = Qjδq

j .Ravnovesni pogoji:a) neodvisne koordinate qj : Qj = 0 za vsak j ∈ 1, . . . , n;b) odvisne koordinate: Qj −

∑mk λ

kakj = 0, pomen Lagrangeevih mnoziteljev.Potencialen sistem ~Fi(t, Pi) = −(∂Vi/∂Pi)T , V =

∑Ni Vi, Qj = −∂V/∂qj .

Primer: viseca palica, obravnava s potencialom:a) dolocitev ravnovesnega polozaja s pomocjo potencialne energije;b) vprasanje stabilnosti ravnovesnega polozaja.

D’Alembertov princip δA =∑Ni (−miPi + ~Fi) · δPi = 0.

Lagrangeove enacbePotencialen sistem V = V (q, t), neodvisne koordinate: Lagrangeeva funkcija L = T − V ; Lagrangeeveenacbe:

d

dt

∂L

∂q− ∂L

∂q= 0.

16.2.09 Literatura• Jose, Jorge V. in Saletan, Eugene, Classical dynamics : a contemporary approach, Cambridge University

Press, 1998, 62-66.

Lagrangeeve enacbe : potencialen sistem V = V (q, t), odvisne koordinate:

(d

dt

∂L

∂q− ∂L

∂q

)T= λA.

Primer: Zdrs naslonjene palice na gladki steni;a) izracun z Euler-Newtonovo mehaniko;b) izracun z neodvisnimi koordinatami;c) izracun z odvisnimi koordinatami.

Izrek (kovariantnost Lagrangeovih enacb) Naj bo Q = Q(q, t)←→ q = q(Q, t) difeomorfizem med gen-eraliziranimi koordinatami q in Q in naj bo L(q, q, t) dana Lagrangeova funkcija. Pisimo L(Q, Q, t) =L(q(Q, t), (∂q/∂Q)Q + ∂q/∂t, t). Potem

d

dt

∂L

∂Q− ∂L

∂Q=(d

dt

∂L

∂q− ∂L

∂q

)∂q∂Q

.

Trditev Lagrangeeve enacbe so invariantne za transformacijo L 7→ L+ dFdt , kjer je F = F (q, t).

Generalizirani momenti pi, ciklicne koordinate.Izrek Kanonicno konjugiran moment ciklicne koordinate je integral gibanja.Jacobijeva energijska funkcija E = p · q− L(q, q, t).Trditev Vzdolz resitve Lagrangeove enacbe velja d

dtE = −∂L∂t .Avtonomni sistem.Posledica Jacobijeva energijska funkcija je konstanta gibanja avtonomnega sistema.

12

Page 13: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

Struktura kineticne energije sistema N materialnih tock.

T =12

N∑i=1

mi

∣∣∣ ~ri ∣∣∣2 =12qTq + T1q + T0 =

12Tij q

iqj + Tiqi + T0.

Ce je sistem skleronomen, je T = 12Tij q

iqj .Trditev Naj bo sistem N materialnih tock skleronomen. Potem E = T + V .Posledica Naj bo sistem avtonomen in skleronomen. Potem je T + V konstanta gibanja.

20.2.09 Literatura• Arnold, V.I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd. ed., Springer-Verlag, New York, 1995,

88-91,98-110.• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 243-263• Jose, Jorge V. in Saletan, Eugene, Classical dynamics : a contemporary approach, Cambridge University

Press, 1998, 68-72,118-125,178-183.

Primer: simetricna vrtavka; pϕ, pψ in T + V so konstante gibanja.Izrek (Noether) Naj bo Lagrangeova funkcija invariantna za enoparametricno druzino transformacijhs : q 7→ hs(q), s ∈ J ⊂ R, 0 ∈ J , hs=0 = 1 in naj bo hs diferenciabilna pri s = 0. Potem je

I =∂L

∂q

(dhsds

)s=0

konstanta gibanja.Primer: Naj bo qi ciklicna koordinata. Potem je pi konstanta gibanja.Primer: Naj bo L = 1

2

∑imi~ri · ~ri − V (~r1, . . . , ~rN ) invariantna za rotacijo okoli P0 okrog vektorja ~e.

Potem je komponenta vrtilne kolicine s polom v P0 v smeri ~e konstanta gibanja.MAJHNA NIHANJA OKOLI RAVNOVESNE LEGEPredpostavke : avtonomni sistem L = L(q, q), T = 1

2Tij qiqj .

Ravnovesna lega, stabilna ravnovesna lega; razvoj Lagrangeeve funkcije v Taylorjevo vrsto

L =12qTTq− 1

2qTVq.

Posplosen problem lastnih vrednosti (V − λT)a = 0. Osnovne lastnosti posplosenega problema lastnihvrednosti.Hkratna diagonalizacija matrik T in V.Normalne koordinate, osnovne frekvence.

24.2.08 Literatura• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 21-24.

Dolocitev resitve iz zacetnih pogojev.Primer: Dvojno matematicno nihalo; dolocitev stabilne ravnovesne lege; dolocitev lastnih frekvenc,lastnih vektorjev, normaliziranih koordinat; osnovna nacina nihanja.Posplosen potencial, V = V (q, q, t).Primer: Lorentzova elektromagnetna sila ~F = q( ~E + 1

c P × ~B).

Izrek Osni vektor posevno simetricnega dela ∂ ~A∂P je 1

2 rot ~A.

13

Page 14: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

3.3.09 Literatura• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 234-235.• Landau, L.D., in Lifshitz, E. M., Mechanics , Addison-Wesley, Reading, Mass., 1960, 126-129.

Potencial Lorentzove sile U = q(φ− 1c~A · ~v).

Umeritvena transformacja, ekvivalentna Lagrangeova funkcija.Opis gibanje v relativnem koordinatnem sistemu P ′ = P ′0 + Q(P − P0), P ′0 fiksna tocka, Q = Q(t).Potencial v RKS je:

Vrel(P ) = V (P ′0 +Q(P − P0))−12m| ~ω × (P − P0) |2 −m(~ω × (P − P0)) · P .

Trditev∂

∂P(~ω × (P − P0)) = W (~ω),

(∂

∂P(~ω × (P − P0))

)T= W (−~ω).

Izracun ddt∂Vrel/∂P − ∂Vrel/∂P .

Trditev Ce je ~B konstantno vektorsko polje, je ustrezni vektorski potencial ~A = 12~B × ~r.

Izrek (Larmor) Dinamicni efekt konstantnega magnetnega polja ~B ′ je do prvega reda natancnostiekvivalenten precesiji sistema s kotno hitrostjo ~ω = −q ~B/(2mc).

6.3.09 Literatura• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 43-54, 339-356.• Landau, L.D., in Lifshitz, E. M., Mechanics , Addison-Wesley, Reading, Mass., 1960, 135-137.

Variacijski principAkcijski funkcional I(q) =

∫ t2t1L(q, q, t) dt.

Hamiltonov variacijski princip. Stacionarna tocka akcijskega funkcionala nad afinim prostorom tra-jektorij s predpisanimi vrednostmi na krajiscih je natanko resitev Lagrangeovih enacb s predpisanimivrednostmi na krajiscih.

HAMILTONOVA MEHANIKA

Legendrova transformacija.Primer: f(x) = 1

αxα, Lf(z) = 1

β zβ ; 1

α + 1β = 1.

Trditev Legendrova transformacija je involutivna; LL = I.Definicija Hamiltonova funkcija je Legendrova transformacija Lagrangeove funkcije po spremenljivkiq. Pisava x = (q,p), prostoru koordinat x pravimo fazni prostor.Trditev Velja (

∂H

∂pk

)T= qk

(∂H

∂qk

)T= − ∂L

∂qk

Izrek Trajektorija q(t) je resitev Lagrangeovih enacb ⇐⇒ x(t) = (q(t),p(t)) je resitev kanonskegasistema

q =(∂H

∂p

)Tp = −

(∂H

∂q

)T.

Primer: V = V (q), T = 12Tij q

iqj . Potem q = T−1p in H = 12p ·T

−1p + V (q).Primer: gibanje materialne tocke v polju centralnih sil, zapis in resevanje kanonskih enacb.Poissonov oklepajZa f = f(t,q,p), g = g(t,q,p) definiramo

[f, g] =(∂f

∂q

)T·(∂g

∂p

)T−(∂f

∂p

)T·(∂g

∂q

)T.

Odvod vzdolz resitve kanonskega sistema.

14

Page 15: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

Trditev Odvod funkcije f(t,q,p) vzdolz resitve kanonskega sistema je dfdt = ∂f

∂t + [f,H].Posledica Ce je sistem avtonomen, je H konstanta gibanja.Lastnosti Poissonovega oklepaja:

i) Posevna simetricnost : [f, g] = −[g, f ].ii) Lineranost : [f1 + f2, g] = [f1, g] + [f2, g] in [λf, g] = λ[f, g].iii) Leibnitzovo pravilo : [f1f2, g] = [f1, g]f2 + f1[f2, g].iv) ∂[f,g]

∂t = [∂f∂t , g] + [f, ∂g∂t ].v) Jacobijeva identiteta: [f, [g, h]] + [g, [h, f ]] + [h, [f, g]] = 0.C1(R2n,+, [•, •]) je Liejeva algebra.Izrek (Poisson) Naj bosta f = f(t,q,p) in g = g(t,q,p) konstanti gibanja. Potem je [f, g] konstantagibanja.Primer: Poissonov oklepaj komponent vrtilne kolicine, [li, lj ] = eijklk.

10.3.09 Literatura• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980,378-405

Simplekticna matrika J.Trditev Velja J−1 = −J = JT in det J = 1.Trditev Definirajmo [x,x]ij = [xi, xj ]. Potem [x,x] = J.

Pisava: ∂f∂x je vrstica, f,x =

(∂f∂x

)Tje stolpec.

Trditev [f, g] = f,x · Jg,x.Trditev Kanonski sistem moremo zapisati v obliki x = JH,x in x = [x,H].Definicija Difeomorfizem x = (q,p) 7→ ξ = (Q,P), iz R2n v R2n je kanonska preslikava ⇐⇒ preslikavaohranja Poissonov oklepaj:

[f , g]ξ = [f, g]x, kjer je f(ξ) = f(x(ξ)).

Izrek Preslikava ξ = ξ(x) je kanonska ⇐⇒

∂ξ

∂xJ(∂ξ

∂x

)T=(∂ξ

∂x

)TJ∂ξ

∂x= J.

Pogoju izreka pravimo simplekticni pogoj.Trditev Ce je n = 1, je preslikava kanonska ⇐⇒ det ∂ξ∂x = 1.Izrek Preslikava ξ = ξ(x) je kanonska ⇐⇒ ohranja strukturo kanonskih enacb.Primer: harmonicni oscilator H = 1

2m

(p2 +m2ω2q2

), vpeljava novih koordinat p = f(P ) cosQ in

q = f(P )mω sinQ tako, da je Q ciklicna koordinata. Doloci f(P ) tako, da je transformacija kanonska.

Izrek (Liouville) Kanonska transformacija ohranja volumen faznega prostora.Izrek (Modificiran Hamiltonov princip): Stacionarna tocka funkcionala

I(x) = I(q,p) =∫ t2

t1

(piq

i −H(t,q,p))dt

nad afinim prostorom s predpisanimi vrednostmi koordinat q na krajiscih intervala je natanko kanonskisistem.

15

Page 16: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

13.3.09 Literatura• Goldstein, H., Classical Mechanics , 2nd ed., Addison-Wesley, reading, Mass., 1980, 438-456.• Landau, L.D., in Lifshitz, E. M., Mechanics , Addison-Wesley, Reading, Mass., 1960, 147-154.

Rodovne funkcije kanonskih transformacij.Posplosimo Q = Q(q,p, t), P = P(q,p, t), ξ = (Q,P).Trditev Preslikava ξ = ξ(x, t) ohranja strukturo kanonskih enacb, ce velja

piqi −H(t,q,p) = PiQ

i −K(t,Q,P) +dF

dt.

Funkciji F = F (q,p,Q,P, t) pravimo rodovna funkcija kanonske transformacije.Osnovni primeri rodovnih funkcij:

1)

F = F1(q,Q, t) : pi =∂F1

∂qi, Pi = −∂F1

∂Qi, K = H +

∂F1

∂t.

2)

F = F2(q,P, t)− PiQi : pi =∂F2

∂qi, Qi =

∂F2

∂Pi, K = H +

∂F2

∂t.

3) F = F3(Q,p, t) + piqi,

4) F = F4(p,P, t) + piqi − PiQi

Primeri:a) F = F1 =

∑ni=1 q

iQi.b) F2 = f i(t,q)Pi + g(t,q); posebni primer F2 = giPi, potem q = Q in p = P.

Hamilton Jacobijeva teorijaHamilton-Jacobijeva enacba

∂S

∂t+H(t,q,

∂S

∂q) = 0.

Popolni intetegral S = S(t, q1, . . . , qn, α1, . . . , αn), dolocitev αi = Pi in βi = Qi iz zacetnih pogojevq0 = q(t = t0) in p0 = p(t = t0), dolocitev resitve q(t) = q(t,q0,p0).Primer: harmonicni oscilator, resevanje enacbe

∂S

∂t+

12m

((∂S

∂q

)2

+m2ω2q2

)= 0

s separacijo spremenljivk S = S(t, q, α) = W (q, α)− αt.Primer: Krogelne koordinate; gibanje materialne tocke pod vplivom potenciala V = a(r) + r−2b(θ).

MEHANIKA KONTINUUMA

17.3.09 KINEMATIKA

Literatura• Aganovic, I., Uvod u rubne zadae mehanike kontinuuma, Zagreb, 2003.• Gurtin, M. E., An introduction to continuum mechanics, Academic Press, 1981

Definicija Materialno telo B je regularno odprta mnozica z druzino preslikav X = χ : χ : B → E3tako da veljaa) χ : B → χ(B) je bijekcija,b) za poljubna χ1, χ2 ∈ A, je kompozitum χ2χ

−11 : χ1(B)→ χ2(B) difeomorfizem.

Preslikavam χ ∈ X pravimo konfiguracije. Pisava; elemente iz B oznacujemo s P.

16

Page 17: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

Definicija Gibanje materialnega telesa je gladka druzina konfiguracij

χt : χt : B → χt(B), t ∈ R .

Referencna konfiguracija χR; posebni primer χR := χt=t0 .Pisava P polozaj tocke P v referencni konfiguracji, p polozaj tocke v prostorski konfiguraciji.Preslikava p = χR(P, t), poenostavljena pisava p = χ(P, t) oziroma p = p(P, t).Referencne koordinate X = (XK), prostorske koordinate x = (xk), preslikava x = χR(X, t).Gradient deformacije F = ∂~p

∂ ~P.

Desni Cauchy Greenov tenzor C = FTF .Lagrange-Greenov tenzor deformacije E = 1

2 (C − I).Mere deformacije:a) ε = ds−dS

dS ;b) Cauchyjeva mera ds2−dS2

dS2 = dP

| d~P | · 2EdP

| d~P | .

Trditev Pisimo ~A = d~P/∣∣∣ d~P ∣∣∣. Potem

ε =√

1 + 2 ~A · E ~A− 1 ≈ ~A · E ~A.

V kartezicnih koordinatah v smeri osi ~Ei je εi =√

1 + 2Eii− 1 ≈ Eii.

Mera strizne deformacije, v kartezicnih koordinatah

sin γ12 =2E12√

1 + 2E11

√1 + 2E22

.

Definicija Transformacija χ : E3 → E3 je homogena, ce je F := Gradχ konstanten tenzor.Trditev Naj bo χ homogena transformacija. Potem za vsako tocko P0 ∈ E3 obstaja enolicni razcepχ = d1 g = g d2, kjer je g homogena transformacija z negibno tocko P0, d1 in d2 pa sta translaciji.

20.3.09 Literatura• Gurtin, M. E., An introduction to continuum mechanics, Academic Press, 1981, 14-15, 43-44.

Primer: enostavni strig.Izrek (Polarna dekompozicija) Naj bo F neizrojen. Potem obstajata enolicni dekompoziciji F = RU =V R, tako da sta U in V pozitivno definitna, R pa ortogonalen. Prvemu zapisu pravimo desna, drugemupa leva polarna dekompozicija.Primer: Polarna dekompozicija enostavnega striga ∆b

b = 2√3.

Primeri homogenih deformacij:a) rotacija okoli P0: χ(P ) = P0 +R(P − P0), R ∈ SO(3);b) razteg iz P0: χ(P ) = P0 + U(P − P0), U ∈ Sym2(R

3); posebni primer: enoosni razteg U =I + (λ− 1)~e⊗ ~e, λ > 0;

c) enostavni strig: F = I + b~e⊗ ~f , ~e ⊥ ~f .

24.3.09 Literatura• Gurtin, M. E., An introduction to continuum mechanics, Academic Press, 1981, 44-58.• Chadwick, P.,Continuum mechanics : concise theory and problems, George Allen & Unwin, 1976, 16-19.

Trditev Naj bo χ homogena transformacija z negibno tocko P0. Potem obstaja enolicni razcep χ =s1 r = r s2, kjer je r rotacija okoli P0, s1 in s2 pa sta raztega iz P0.Naj bo C : α ∈ I 7→ C(α) ∈ E3 krivulja. Kompozitum χ C je potem slika transformirane krivulje.Pisava |C | je dolzina krivulje.Trditev

|χ C | =∫I

∣∣∣∣U(C(α))dC

∣∣∣∣ dα.17

Page 18: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

Definicija Transformacija χ : D ⊂ E3 → E3 je toga, ce

|χ(P )− χ(Q) | = |P −Q |

za vsak par P , Q iz D.Izrek (karakterizacija togih transformacij) Naj bo χ : D ∈ E3 → E3 razreda C1, D povezana mnozicain det(Gradχ) > 0. Potem so naslednje trditve ekvivalentne:a) χ je toga transformacija iz D v χ(D);b) χ(P ) = χ(P0) +R(P − P0) za poljubna P , P0 iz D in R ∈ SO(3);c) U(P ) = I za vsak P ∈ D.d) za vsako krivuljo C(α) v D je |C | = |χ C |.

Izrek Deformacija je toga ⇐⇒ E = 0.Pomik, ~U(P, t) = χ(P, t)− P , pisava H = Grad ~U .Infinitezimalni deformacijski tenzor ε = 1

2 (H +HT ).Definicija Vektorsko polje ~U(P ) definirano na D ⊂ E3 je vektorsko polje infinitezimalnih togih pomikov,ce obstaja posevni simetricni tenzor W , tako da velja

~U(P ) = ~U(Q) +W (P −Q)

za poljubna P in Q iz D.Izrek (karakterizacija infinitezimalnih togih pomikov) Naj bo ~U(P ) gladko vektorsko polje na D.Naslednje trditve so ekvivalentne:a) ~U je polje infinitezimalnih togih pomikov;b) ~U ima projekcijsko lastnost; za poljubna P in Q iz D velja

(~U(P )− ~U(Q)) · (P −Q) = 0.

c) Grad ~U je posevno simetricen;d) ε(~U) = 0 za vsak P ∈ D.

TrditevSlA =

1

(~a,~b,~c)

((A~a,~b,~c) + (~a,A~b,~c) + (~a,~b, A~c)

),

kjer so ~a, ~b in ~c poljubni linearno neodvisni vektorji.Geometricna linearizacija, F = I +H in

∥∥H∥∥ = δ << 1.Trditeva) detF = 1 + SlH +O(δ2);b) F−1 = I −H +O(δ2);c) E = 1

2 (H +HT ) +O(δ2);Prostorski zapis vektorja pomika ~u(p, t) = ~U(χ−1(p, t), t)Trditev Velja grad ~u = Grad ~U +O(δ2).

27.3.09 Literatura• Gurtin, M. E., An introduction to continuum mechanics, Academic Press, 1981, 54-58.

Trditev Naj bo ~a konstantni vektor. Potema) (grad ~u)T~a = grad (~u · ~a);b) div ~u = Sl (grad ~u).

Definicija (rot t)~a = rot (tT~a), ~a konstantni vektor.Trditev (rot t)i

j= εikltjl;k.

Trditeva) grad (f~u) = fgrad ~u+ ~u⊗ grad f ;b) rot grad ~u = 0;

18

Page 19: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

c) rot (grad ~uT ) = grad rot ~u.Trditev Naj bo t simetricen. Potem Sl rot t = 0.Izrek Naj bo Ω ⊂ R3 enostavno povezano obmocje in t razreda Cr na Ω. Ce velja rot t = 0, potemobstaja vektorsko polje ~u razreda Cr+1 na Ω tako, da t = grad ~u. Nadalje, ce Sl t = 0, potem t = rotw,kjer je w posevno simetricen.Izrek Simetricni tenzor ε definiran na enostavno povezanem obmocju je infinitezimalen deformacijskitenzor ⇐⇒ rot rot ε = 0.Komponentni zapis kompatibilnostnega pogoja εipqεjrsepr;qs = 0, 6 neodvisnih enacb.Primer : ravninska deformacija. Dan je simetricni tenzor

ε11 = a+ b(x2 + y2) + x4 + y4, ε12 = A+Bxy(x2 + y2 − c2), ε22 = α+ β(x2 + y2) + x4 + y4

a) Doloci zvezo med konstantami tako, da bo izpolnjen kompatibilnostni pogoj.b) Izracunaj pripadajoce pomike.

31.3.09 Literatura•

Trditeva) dv = (detF )∗dV = J∗dV ;

b) d~a = ((detF )F−T )∗d ~A.Vzvrat in prenost, pisava f∗(P, t) = f(p(P, t), t) in F∗(p, t) = F (P (p, t), t).Trditev (f∗)∗(p, t) = f(p, t) in (F∗)∗(P, t) = F (P, t).Definicija Materialni odvod prostorske funkcije f = f(p, t) je

Df

Dt=(d

dtf∗)∗.

Materialni odvod referencne funkcije ~F (P, t) je DFDt = ∂F

∂t .Izrek Df

Dt = grad f ~v + ∂f∂t .

Hitrostno polje: ~V (P, t) = ∂p∂t (P, t).

Polje pospeskov: ~A(P, t) = ∂2p∂t2 (P, t).

Prenos na prostorski polozaj: ~v(p, t) = ~V∗(p, t), ~a(p, t) = ~A∗(p, t).Izrek ~a = D~v

Dt .Trditev (grad ~u)~v = (~v · ∇)~u.Trditev ~v · ∇~v = grad 1

2 |~v |2 + rot~v × ~v.

Materialni, referencni(Lagrangeov), prostorski(Eulerjev) opis gibanja.Primer: x = X + 3Y t2, y = Y

1+2t , z = Z + 5Xt. Izracunaj ~V , ~A, ~v, ~a in D~vDt .

Pisava: p(t) = F(p0, τ, t) je integral sitema navadnih diferencialnih enacb dpdt = ~v(p, t) z zacetnim

pogojem p(t = τ) = p0.Tirnica materialne tocke P0, ki ima v casu t = τ prostorski polozaj p0 je krivulja p(t) = F(p0, τ, t), t ∈I ⊂ R.Slednica (emisijska crta) v casu t0 skozi prostorski polozaj p0 je krivulja π(τ) = F(p0, τ, t0), τ ∈ I.Tokovnica v casu t0 skozi prostorski polozaj p0 je krivulja, ki gre skozi p0 in se dotika hitrostnega polja~v(p, t0).Trditev Ce je hitrostno polje stacionarno, se tirnice, tokovnice in slednice sovpadajo.Primer: Dano je hitrostno polje : v1 = 6t(1 + 2t)y, v2 = −2

1+2ty, v3 = 5(x− 3t2(1 + 2t)y).

a) Doloci tirnico, ki gre v casu t = 0 skozi x0, y0, z0.

19

Page 20: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

3.4.09 Literatura•

b) Doloci slednico, ki gre skozi tocko x0 = 0, y0 = 1 in z0 = 0 v casu t0 = 1.c) Doloci tokovnico, ki gre skozi tocko x0 = 0, y0 = 1 in z0 = 0 v casu t = 1(t = 0).

Definicija L = Grad ~V = F , l = grad~v.Trditev L = l∗ F .Definicija a : b = Sl (aT b).Trditeva) a : b = aijbij ;b) a : b je skalarni produkt nad Lin2;c) a : b = aT : bT ;d) ab : c = b : aT c;

Odvajanje skalarne tenzorske funkcije.Izreka)

∂adet a = det a a−T

b)∂

∂aSl a = I.

Izrek DJDt = Jdiv~v.

7.4.09 Literatura•

Izreka) D

Dtdp = l dp;b) D

Dtd~a = (div~v I − lT )d~a;c) D

Dtdv = div~v dv.Transportni izrekiPisava: B, A, C materialni volumen, ploskev, krivulja telesa B0, B, A, C ustrezni referencni polozaji inb(t) = χ(B, t), a(t) = χ(A, t), c(t) = χ(C, t) pripadajoci prostorski polozaji.Izrek Naj bo F (P, t) skalarna ali tenzorska funkcija definirana na referencnem polozaju B razreda C1

z omejenimi parcialnimi odvodi in f(p, t) njen pripadajoci prostorski zapis. Potem

a)D

Dt

∫b(t)

f dv =∫b(t)

(Df

Dt+ fdiv~v

)dv.

b)D

Dt

∫a(t)

f d~a =∫a(t)

(Df

Dt+ f(div~vI − lT )

)d~a.

c)D

Dt

∫c(t)

f ds =∫c(t)

(Df

Dt+ f~t · d~t

)ds.

Definicija (div t) · ~a = div (tT~a).Trditev div ~u⊗ ~v = (div~v)~u+ grad ~uvecv.Izrek (Gauss) ∫

b

div t dv =∫∂b

t ~n da.

20

Page 21: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

Posledica Naj bo f skalarna ali vektorska funkcija. Potem

D

Dt

∫b(t)

f dv =∫b(t)

∂f

∂tdv +

∫∂b(t)

f ~v · d~a.

Posledica Naj bo f skalarna ali vektorska funkcija z nezveznostjo na materialni ploskvi a(t) ⊂ b(t).Potem

D

Dt

∫b(t)

f dv =∫b(t)

∂f

∂tdv +

∫∂b(t)

f ~v · d~a+∫a(t)

[|f |]~v · d~a.

FIZIKALNI PRINCIPI MEHANIKE KONTINUUMAPojem mase, masa je absolutno zvezna mera glede na volumen; gostota.Zakon o ohranitvi mase

0 =∂m(V)∂t

=D

Dtm(b(t)) =

D

Dt

∫b(t)

ρ dv = 0 za vsak V ⊂ B.

Lokalni zapis v prostorskem polozaju:

Dt+ ρdiv~v + 0,

∂ρ

∂t+∇ · (ρ~v) = 0.

Definicija Gibanje kontinuuma je nestisljivo, ce DDtρ = 0.

Posledica Gibanje je nestisljivo ⇐⇒ hitrostno polje je solenoidalno.Zapis zakona o ohranitvi mase v Lagrangeevem opisu ρJ = konst.Posledica

D

Dt

∫b(t)

ρf dv =∫b(t)

ρDf

Dtdv.

10.4.09 Literatura•

Klasifikacija sil; volumenske, povrsinske, tockovne sile.Cauchyjeva hipoteza, pisava ~t(p, t;~n).Princip o gibalni kolicini:

D

Dt

∫b(t)

ρ~v dv =∫b(t)

ρ~f dv +∫∂b(t)

~t da.

Princip o vrtilni kolicini:

D

Dt

∫b(t)

(p− o)× ρ~v dv =∫b(t)

(p− o)× ρ~f dv +∫∂b(t)

(p− o)× ~t da+ ~N.

Tu je ~N navor notranjih sil. Sredstvo je nepolarno, ce velja ~N = 0.Izrek (Cauchyjeva reciprocna relacija) ~t(p, t;−~n) = −~t(p, t;~n).Homogenizacija; definiramo ~t(p, t; ~u) = |~u|~t(p, t; ~u

|~u| ).Izrek ~t(p, t; ~u) je homogena funkcija argumenta ~u.Izrek ~t(p, t; ~u) je aditivna funkcija argumenta ~u.Izrek Obstaja tenzor t, tenzor napetosti, tako da je ~t(p, t;~n) = t(p, t)~n.Trditev t : w = 0 za vsak w ∈ Psym2 =⇒ t ∈ Sym2.Trditev div (t~u) = div tT · ~u+ tT : grad ~u.Lema Naj bo sredstvo nepolarno. Potem za vsako vektorsko polje ~w infinitezimalnih togih pomikovvelja ∫

b(t)

ρD~v

Dt· ~w dv =

∫b(t)

ρ~f · ~w dv +∫∂b(t)

~t · ~w da.

21

Page 22: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

17.4.09 Literatura•

Lokalna oblika izreka o gibalni kolicini; Cauchyjeva momentna enacba

ρD~v

Dt= ρ~f + div t oziroma

∂ρ~v

∂t+∇ · (~v ⊗ ρ~v) = ρ~f + div t.

Izrek Ce je sredstvo nepolarno, je tenzor napetosti simetricen.V nadaljevanju se bomo omejili na nepolarna sredstva.Piolin-Kirchhoffov napetostni tenzor T1PK = (detF )F−1t.Cauchyjeva momentna enacba v referencnem polozaju.Lastnosti tenzorja napetosti; normalna, strizna napetost.Morhove kroznice; smer maksimalne, minimalne normalne napetosti, maksimalne strizne napetosti.Dopustni napetostni tenzor ravnovesja.Primeri:a) Enoosni napetostni tenzor t = p~k ⊗ ~k.b) Strig: t = p (~i⊗~j +~j ⊗~i); torzija, torzijski moment za krozni presek.c) Ravninska napetost, Airyjeva funkcija.d) Sfericni napetostni tenzor t = −p I; hidrostatika. Hidrostatika v relativnem koordinatnem sistemu.

Primer: oblika proste povrsine v enakomerno vrteci se posodi.

21.4.09 Literatura•

TermodinamikaDefinicijea) kineticna energija: K = 1

2

∫b(t)

ρ~v · ~v dv;b) notranja energija: U =

∫b(t)

ρu dv;

c) moc volumenskih in povrsinskih sil: W =∫b(t)

ρ~f · ~v dv +∫∂b(t)

~t · ~v da;d) sprememba toplotne energije na enoto casa: Q =

∫b(t)

ρh dv −∫∂b(t)

~q · d~a.Tu je u specificna notranja energija, h specificna gostota toplotnih vrelcev na enoto casa, ~q pa je toplotnitok na enoto casa.Prvi zakon termodinamike

D

Dt(T + U) =W +Q.

Tenzor deformacijskih hitrosti d = 12 (l + lT ), spin (vrtincni) tenzor w = 1

2 (l − lT ).Lokalna oblika

ρDu

Dt= d : t− div ~q + ρh.

Drugi zakon termodinamike

D

Dt

∫b(t)

ρη dv ≥∫b(t)

ρh

Tdv −

∫∂b(t)

1T~q · ~n da.

Tu je η specificna entropija, T pa absolutna temperatura.Lokalna oblika:

ρDη

Dt+ div

1T~q − ρh

T≥ 0 oziroma ρ

(TDη

Dt− Du

Dt

)+ d : t− 1

T~q · gradT ≥ 0.

Primer: elastostatika; ~v = ~0, u = u(η, eij). Potem T = ∂u∂η in ~q · gradT ≤ 0.

Gibbsova formulacija: termodinamicne spremenljivke 1/ρ-specificni volumen, η, u, p-tlak, T ; Enacbastanja u = u(η, 1/ρ), p = − ∂u

∂(1/ρ) in T = ∂u∂η .

22

Page 23: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

Koordinatna neodvisnost - materialna objektivnostKoordinatna neodvisnost skalarjev, vektorjev in tenzorjev.Primer: vektor hitrosti ni koordinatno neodvisen, gradient vektorskega polja prav tako ne.Trditev Tenzor napetosti in tenzor deformacijskih hitrosti sta koordinatno neodvisna.Definicija Kontinuum je elasticen, ce t = f(F ).Princip invariance funkcijske oblike konstitutivne enacbe; t = f(F ) −→ t′ = f(F ′).Izrek Za vsak Q ∈ O(3) je

f(QF ) = Qf(F )QT .

24.4.09 Literatura•

Definicija (izotropicne funkcije)a) Funkcija ψ : Sym2 7→ R je izotropicna skalarna funkcija, ce za vsak A ∈ Sym2 velja ψ(QTAQ) =

ψ(A) za vsak Q ∈ SO(3).b) Funkcija f : Sym2 7→ Sym2 je izotropicna tenzorska funkcija, ce za vsak A ∈ Sym2 velja f(QTAQ) =

QT f(A)Q za vsak Q ∈ SO(3).Glavne invariante tenzorja A: I(A) = SlA, II(A), III(A) = detA.Trditev II(A) = 1

2

((SlA)2 − SlA2

).

Trditev Glavne invariante tenzorja so skalarne izotropicne funkcije.Izrek ψ : Sym2 7→ R je izotropicna skalarna funkcija ⇐⇒ ψ(A) = ψ(I(A), II(A), III(A)).Izrek f : Sym2 7→ Sym2 je izotropicna tenzorska funkcija ⇐⇒ f(A) = τ0(A)I + τ1(A)A + τ2(A)A2,kjer so τi(A) izotropicne skalarne funkcije.

MEHANIKA FLUIDOV

(Stokes) Razlika med napetostjo v dani tocki in smeri ter hidrostaticnim tlakom je odvisna zgolj odneposrednega relativnega deformacijskega gibanja.Definicija Kontinuum je je Stokesov fluid, ce velja t = f(d), kjer je f zvezna izotropicna funkcijatenzorja d in f(0) = −pI.Posledica Ce je fluid Stokesov, potem t = αI+βd+γd2, kjer so α, β in γ izotropicne skalarne funkcijetenzorja d.Viskoznostni tenzor V , t = −pI + V .Trditev V : d ≥ 0.

5.5.09 Literatura•

Newtonov fluid (Cauchy-Poissonov zakon): V je afina funkcija tenzorja d:

t = (−p+ λdiv~v)I + 2µd.

Trditev Velja µ ≥ 0 in 3λ+ 2µ ≥ 0.Trditev V evklidski metriki je div (grad~v)T = grad div~v.Definicija ∆~v = div (grad~v)Navier - Stokesova enacba:

%D~v

Dt= %~f − grad p+ (λ+ µ)grad div~v + µ∆~v.

Zacetni, robni pogoji.Dimenzija [µ] = kg

ms , kinematicna viskoznost ν, tabela tipicnih vrednostih µ, ν.Brezdimenzijski zapis, Froudovo, Reynoldsovo stevilo.Eulerjeva enacba, Stokesova enacba.

23

Page 24: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

8.5.09 Literatura•

Trditev div (~u× ~v) = rot ~u · ~v − rot~v · ~u.Trditev Velja ∆~v = grad div (~v)− rot rot~v.Enostavni primeri laminarnega tokaa) Tok med paralelnima ploscama; pretok, sila vleka.b) Poiseuilleov tok: tok skozi cilinder, krozni cilinder; pretok, viskozimeter.

12.5.09 Literatura•

c) Taylor Couettov tok : tok med vrtecima se valjema.Navor vrtenja notranjega oboda, Taylorjevi vrtinci.

d) Nestacionarno gibanje; I. Stokesova naloga-impulzivni zacetek gibanja plosce; difuzijska enacba.Trditev Resitev difuzijske enacbe je kvecejmu ena sama.Trditev Resitev difuzijske enacbe je v(t, y) = g( y√

t).

Trditev Konstrukcija resitev v = UErcf(y/(2√νt)).

14.5.09 Literatura•

Grafa hitrostnega polja v/y, v/t.Graf vrtincnega polja ω = 1

2 rot~v, ω/y, ω/t; hitrost difuzije vrtinca.Turbulenca Filtri, zeljene lastnosti filtrov:a) linearnost: < α~u+ β~v >= α < ~u > +β < ~v >;b) komutativnost s casovnim in prostorskim odvajanjem: < D~v >= D < ~v >;c) << ~v >>=< ~v >;d) produktna lastnost :< ~u < ~v >>=< ~u >< ~v >.

Primeri filtrov: povprecenje, casovno, prostorsko, statisticni filter.Filtriranje Navier-Stokesovih enacb.Reynoldsov turbulentni napetostni tenzor.

190.5.09 Literatura•

IDEALNI FLUID; t = −pI.Adiabaticni fluid Dη

Dt = 0, prvi zakon termodinamike, dekompozicija toplotnega in mehanskega dela.Izentropicni fluid η ≡ η0; u = u( 1

ρ ), entalpija w = u+ pρ ; nestisljivi homogeni fluid.

Eulerjeva enacba, robni pogoji toka idealnega fluida.Izrek (I. Bernoullijev izrek) Naj velja:

i) fliud je idealen,ii) fliud je izentropicen ali nestisljiv in homogen,iii) volumenske sile so potencialne iniv) tok je stacionaren.Potem je H = 1

2 |~v|2 + w + V konstanta vzdolz tokovnic.

Izrek (II. Bernoullijev izrek) Naj velja i - iii iniv) tok je brezvrtincen; ~v = gradϕ.Potem je H = 1

2 |~v|2 + w + V + ∂ϕ

∂t = C(t).Izrek (Kelvinov izrek o cirkulaciji) Naj bo fluid izentropicen ali homogen in nestisljiv in naj bodovolumenska sila potencialna. Potem je cirkulacija okoli sklenjene materialne krivulje konstantna.

DΓDt

=D

Dt

∫C(t)

~v · d~p = 0.

24

Page 25: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

Posledica Ce je tok idelanega izentropicnega fluida brezvrtincen v trenutku t = t0, je brezvrtincen zavsak t.Potencialni tokRavninski potencialni tok, Cauchy Riemannove enacbe, identifikacija ~v = v = v1 + iv2, kompleksnipotencial dFdz = v1 − iv2 = v, dolocitev tlaka.

22.5.09 Literatura•

Tokovna funkcija, tokovnica, ekvipotencial.Trditev Nivojnica tokovne funkcije je tokovnica.Trditev Pretok med dvema tokovnicama je enak razliki tokovnic.Elementarni primeri kompleksnih potencialov:

i) premocrtni tok, F (z) = v0z;ii) izvor, ponor, F (z) = Q

2π log(z − z0);iii) vrtinec, F (z) = Γ

2πi log(z − z0);iv) dipol, F (z) = meiαz−1; tokovnice dipola.Izrek (Milne-Thomson) Naj bo f(z) kompleksni potencial brez singularnosti znotraj kroznice |z| = a.Potem je F (z) = f(z)+ f(a

2

z ) kompleksni potencial obtekanja kroznice z enakimi singularnostmi v tokukot jih ima f(z). Tu je f(z) = f(z).Izrek (Blasius) Sila ravninskega potencialnega toka idealnega nestisljivega homogenega fluida s kom-pleksnim potencialom F na nepropustno telo omejeno s krivuljo C je

D1 + iD2 = − iρ2

∮C

(dF

dz

)2

dz.

26.5.09 Literatura•

Primer: obtekanje kroznice, D’Alembertov paradoks.Primer: obtekanje kroznice s cirkulacijo; klasicna teorija kril.Izrek (Kutta-Joukowski) Dan je potencialen tok idealnega nestisljivega homogenega fluida, ki obtekatelo B. Ce je pripadajoci potencial F (z) holomorfen na C \ B in velja lim|z|→∞ ~v = ~V , je sila fluida natelo enaka ~D = ρ~V × ~Γ, kje je ~Γ = Γ~k cirkulacija okrog telesa.Izrek Naj bo Ω enostavno povezano obmocje v IR3. Potem:

i) na Ω obstaja natanko dolocen potencialni tok idealnega homogenega nestisljivega fluida s predpisanonormalno komponento hitrosti ~v · ~n = V na robu Γ = ∂Ω ⇐⇒

∫ΓV da = 0;

ii) ta resitev minimizira kineticno energijo 12

∫Ωρ|~v|2 dΩ na razredu solenoidalnih hitrostnih polj ~v, ki

na robu Γ zadoscajo pogoju ~v · ~n = V .

29.5.09 Literatura•

Osnosimetricni potencialni tok.Potencial, Stokesova tokovna funkcija;

∂ϕ

∂r=

1r

∂ψ

∂θ,

∂ϕ

∂θ= −1

r

∂ψ

∂r.

Osnovni primeri:a) enakomerni tok;b) izvor, ponor;c) dipol, zapis dipola kot odvod izvora;

25

Page 26: MEHANIKA MEHANIKA TOCKE, SISTEMA TOˇ CK in TOGEGA …mejak/Mehanika_UniverzitetniStudij_files/syn09.pdf · •Aganoviˇc, Veseliˇc, Uvod v analitiˇcku mehaniku, Matematiˇcki odjel

2.6.09 Literatura•

Obtekanje krogle, premocrtni tok + dipol, dolocitev hitrosti na temenu, d’Alembertov paradoks.Potencialen tok stisljivega fluida.Hitrost zvoka, klasifikacija enacbe v odvisnosti od hitrosti.Primer: Lavalova soba

26