Embed Size (px)
DESCRIPTION
Knjiga
Citation preview
Mehanika fluida za studente Gradjevinskog fakulteta
Dusan Prodanovic
Contents 7 Hidrodinamicki otpori 7.1 Trenje pri jednolikom tecenju kroz cev kruznog poprecnog preseka 7.2 Otpori trenja u provodnicima razlicitog poprecnog preseka 7.3 Otpori tela 7.4 Trenje uz ravnu (usamljenu) plocu 7.5 Otpori oblika 7.5.1 Primeri obracuna sile otpora oblika
Chapter 7 Hidrodinamicki otpori
7.1 Trenje pri jednolikom tecenju kroz cev kruznog poprecnog preseka
Posmatranjem pravolinijske jednolike struje (poglavlje Proucavanje tecenja pod iskljucivim uticajem trenja (bez lokalnih poremecaja), postavljanjem jednacine odrzanja kolicine kretanja, dobijen je izraz za izgubljenu energiju (slika 7.1):
= E = EIZG12 =
O
g AL
R = A
O
L=
EIZG12
L= IE
IE = C V2
2 g R
Za kruznu cev hidraulicki radijus se racuna kao:
R = A
O=
D2
4
D
= D
4
pa se gubitak energije izmedju preseka 1 i 2 moze izraziti kao:
IE = 4 C V2
2gD=
1
D
V2
2gVelicina koja je odgovorna za gubitak energije je tangencijalni napon izmedju fluida i zida cevi . Od kojih velicina sve zavisi tangencijalni napon? Figure 7.1: Gubitak energije izmedju dva preseka kod pravolinijske jednolike fluidne struje je
rezultat trenja
Na osnovu slike 7.2 moze se predpostaviti da tangencijalni napon zavisi od sledecih velicina:
Precnika cevi D, jer od velicine precnika zavisi raspored brzina u cevi
Srednje profilske brzine V Gustine fluida Koeficijenta viskoznosti fluida , koji je pokazatelj unutrasnjeg trenja izmedju slojeva
fluida Apsolutne hrapavosti k, koja predstavlja visinu izbocina na zidu cevi
Figure 7.2: Tangencijalni napon zavisi od gustine () i viskoznosti () fluida, srednje brzine (V), precnika cevi (D) i apsolutne hrapavosti (k)
Na osnovu gore navedenog moze se napisati sledeca funkcija:
f(, D, V, , , k) = 0 Ona je dimenzionalni izraz sa sest velicina. Biranjem tri velicine za osnovne, zavisnost se svodi na 63=3 bezdimenzionalne velicine. Za osnove velicine se preporucuje da se izaberu precnik cevi D, srednja profilska brzina V i tangencijalni napon (videti poglavlje Opisivanje strujanja bezdimenzionalnim velicinama). Njihovi bezdimenzionalni oblici su:
Koeficijent tangecijalnog napona C
C =
1
2V2
Reynolds-ov broj Re
Re = V D
Relativna hrapavost [ k/D]
Gore dati dimenzionalni izraz se sada moze napisati u bezdimenzionlanom obliku:
C, Re, k
D
= 0
ili
C = C
Re, k
D
Koristeci dobijenu vezu, naucnici su eksperimentalno istrazivali zavisnost izmedju C i Re za konstantan k/D, kao i vezu izmedju C i k/D za konstantan Re. Rezultati koji su dobijeni takvim ispitivanjima, se obicno prikazuju na dijagramu (log C / log Re), kao familija krivih za razlicite vrednosti k/D. U ispitivanju veze C ( Re, [ k/D] ) zgodno je prvo posmatrati tok fluida kroz jednu cev precnika D i hrapavosti k (k/D = const.), a postepeno povecavati protok (odnosno brzinu, odnosno Re ( Re = [(V D)/()] = const. ·V )) od malih vrednosti ka velikim. U zavisnoti od brzine vode u cevi, tecenje se moze podeliti na nekoliko sledecih oblasti: A.
Pri jako malim brzinama fluida, strujanje je "slojevito", uredno, i nema mesanja izmedju pojedinih slojeva. Uzrok takvom nacinu tecenja su jake viskozne sile. Takvo strujanje se naziva laminarno, ili slojevito. Hrapavost cevi k u laminarnom tecenju ne utice na strujanje, jer su male izbocine prekrivene slojem fluida. Raspored brzina po poprecnom preseku je poznat, jer zavisi samo od viskoznosti, pa se C moze analiticki odrediti. Ako se posmatraju sile na elementarni fluidni delic (slika 7.3), moze se napisati sledece:
p dx2
p+ p
x1
dx1
dx2 dx1 + +
x2
dx2
dx1 = 0
x2
= p
x1
= u
x2
2 u
x22
= p
x1
Dvostrukom integracijom po x2, i stavljanjem granicnog uslova u(x2=0)=0 dobija se parabolican raspored brzina i linearna promena tangencijalnog napona.
Figure 7.3: Laminarno tecenje u kruznoj cevi: sile na elementarni delic, raspored brzina i raspored tangencijalnih napona
Koeficijenat tangencijalnog napona se definise kao (Hagen i Poaser, 1840):
4 C = = 64
ReAko se ovaj izraz stavi u Darsi-Vajsbahov izraz za izgubljenu energiju, dobija se:
EIZG = L
D
V2
2g=
64
V D
L
D
V2
2g=
32 L
g D2V
EIZG = const ·V1.0 Zbog ove veze izgubljene energije i brzine u cevi, ova oblast tecenja se naziva jos i oblast linearnog zakona otpora.
B. Postepenim dizanjem protoka, odnosno povecanjem brzine u cevi, sve su veci zahtevi nad viskoznim silama da odrze slojevito tecenje. U centru cevi je maksimalna brzina, odnosno najveca razlika u brzinama izmedju susednih delica. Sila nastala usled zelje da sporiji delici uspore one brze, i obrnuto, ce biti sve veca. U jednom trenutku (pri odredjenoj brzini u cevi) viskoznost nece vise biti u stanju da odrzi slojevito tecenje, te ce se u centru cevi javiti slojevi koji ce se uzburkati (slika 7.4). Cim se jave prvi uzburkani slojevi (turbulentni), ta se turbulencija poput "zaraze" prosiri po poprecnom preseku, ka zidu cevi, sve do manjih brzina uza zid gde viskoznost jos uvek odrzava laminarno, slojevito tecenje.
Figure 7.4: Viskoznost je ta koja treba da spreci ili dozvoli formiranje vrtloga, koji nastaju usled razlicitih brzina delica (cesto potpomognuto spoljnim poremecajima)
Za istu cev i fluid, granicna vrednost brzine pri kojoj se pojavljuju vrtlozi nije precizna. Ona zavisi ne samo od brzine, vec i od spoljih uticaja i neravnomernosti toka. U pojavi prelaska iz laminarnog tecenja u turbulentno, postoji i pojava histerezisa, tj. jednom izazvani vrtlozi teze da opstanu i kada se smanji brzina vode u cevi. Tecenje sa vrtlozima se naziva turbulentno tecenje, a pojavljivanje vrtloga u centru cevi turbulentno jezgro (slika 7.5). Sloj uza zid cevi u kome je viskoznost jos uvek dominantna, se zove laminarni podsloj. Ukoliko je taj laminaran podsloj dovoljno debeo, tangencijalni napon na zidu cevi (koji je odgovoran za trenje) ne zavisi od turbulencije, pa iako raspored brzina zavisi od turbulencije, trenje jos uvek zavisi samo od viskoznosti. Medjutim, ukupan pad energije duz cevi je veci od laminarnog toka, jer je potrebna dodatna energija da se "nahrane" vrtlozi u centru cevi. Sa daljim povecanjem protoka u istoj cevi, kako raste brzina, odnosno Re broj, sirina turbulentnog jezgra raste a laminarnipodsloj biva sve tanji. U jednom trenutku (pri odredjenoj brzini) laminarni podsloj vise ne uspeva da pokrije izbocine, hrapavost na zidu cevi k, te ta hrapavost pocinje da daje svoj doprinos u stvaranju novih vrtloga. Sa daljim povecanjem brzine, laminarni podsloj vise ne postoji, te viskoznost vise nema nikakvu ulogu na raspored brzine u cevi, kao ni na otpore trenja.
Figure 7.5: Turbulentno tecenje u cevi: oblast 1 je oblast uza zid cevi gde je viskoznost, usled manjih razlika brzina susednih delica, jos uvek u stanju da spreci pojavljivanje vrtloga; u oblasti 2, u sredini cevi, vece brzine izazivaju formiranje
vrtloga, formira se turbulentno jezgro
Turbulentno tecenje je najkomplikovanija oblast u fizici i mnoge stvari jos nisu izucene. Problem u turbulentnom tecenju je sto se vrtlozi javljaju haoticno, a kada se otkinu, sa sobom nose informaciju o pritisku, brzini, temperaturi, itd. sa mesta odakle su posli. Vrtlozi teze da uprosece sve karakteristike toka kroz proces mesanja. Turbulencijom se bavio i Werner Heisenberg (1901 - 1976), nemacki fizicar, pionir u oblasti kvantne mehanike. On je poznat po Hajzenbergovom principu neodredjenosti, po kome pri istovremenom merenju (posmatranju) parova osobina atomskih cestica, sto se vise saznaje o jednoj osobini, utoliko se manje moze saznati o drugoj. Zbog toga, nije moguce istovremeno znati i polozaj i brzinu neke atomske sestice. Jos gore, sto se jednacestica detaljnije posmatra (meri) utoliko ce vise biti ostecene njene izvorne osobine. Na samrti je Hajzelberg (prema []) rekao: "Kada vidim boga, pitacu ga dve stvari: zasto relativitet i zasto turbulencija. Ocekujem da cu dobiti odgovor samo na prvo pitanje."
Koja je granica izmedju laminarnog i turbulentnog tecenja? Osborn Reynolds je 1883 godine izveo niz eksperimenata koristeci vizuelizaciju toka (slika 7.6) da bi utvrdio pod kojim uslovima i pri kojim brzinama tecenje ostaje slojevito. ... objasni eksperiment... Figure 7.6: Eksperimentalno istrazivanje prelaska iz laminarnog u turbulentno tecenje putem vizuelizacije toka: na prvoj fotografiji je laminarno tecenje u cevi, postepenim povecanjem
brzine dolazi prvo do nestabilnosti u toku, koje daljim povecanjem brzine prelazi u razvijenu turbulenciju (slike preuzete iz knjige An Album of Fluid Motion, M.V. Dyke, 1982)
Na osnovu eksperimentalni ispitivanja, potvrdjeno je da granica izmedju laminarnog i turbulentnog tecenja nije fiksna i da zavisi od mnogih faktora, kao sto su oblik prilazne deonice, spoljne vibracije, itd. Za Re < 2000 se moze smatrati da je uglavnom tecenje u cevi laminarno. Za vrednosti Re do 4000 tok moze biti laminaran, ako su stabilni uslovi tecenja. Za Re > 10 000 tecenje je sigurno turbulentno. Na slici 7.7 je prikazan dijagram zavisnosti izgubljene energije EIZG i Reynolds-ovog broja EIZG=EIZG(Re) za jednu istu cev. Prvi deo dijagrama je za laminarno tecenje, za linearan zakon otpora. Prelazna oblast, odnosno prelaz iz laminarnog u turbulentno tecenje je neodredjena, jer zavisi od "mirnoce" dolazne struje, kao i spoljnih poremecaja - vibracija, kao i da li je proces sa histerezisom: jednom zapoceta turbulencija se pri smanjenim brzinama teze vraca u laminarano tecenje. Sa dijagrama se vidi da sa povecanjem brzine vode u cevi (i
porastom Re broja) raste "potrosnja" energije u odnosu na laminaran rezim, jer pored viskoznosti uza zid treba "hraniti" i vrtloge u centru cevi, koji kineticku energiju toka kasnije pretvaraju u toplotnu energiju.
Figure 7.7: Gubitak energije (po jedinici tezine fluida) u kruznoj cevi, za laminaran i turbulentan tok
Na sledecoj slici 7.8 je isti efekat povecane potriosnje energije toka prikazan na nesto drugavciji nacin. Ako se posmatra pad pijezometarske kote izmedju dva preseka, za laminarno tecenje sa velikim Re brojem (npr. Re=4000), koeficijenat trenja je mali, pa je samim tim mali i gubitak energije. Ako se pri istom protoku (i istom Re broju) malo zatrese cev i tok nepovratno predje u turbulentan, naglo poraste gubitak energije (slika 7.8):
T > L Figure 7.8: Pri istom protoku pad pijezometarske kote izmedju dva preseka je manji kod
laminarnog tecenja nego kod turbulentnog
Na slici 7.9 prikazano je kako izgledaju prifili brzina u poprecnom preseku cevi, za laminarno tecenje i za razlicite stepene razvijenosti turbulencije. Sa slike se vidi koji je efekat turbulencije na brzine: pojavom turbulencije u centru cevi, osrednjavaju se brzine! Na slici 7.9 objasniti ose dijagrama, V=Q/A, zasto je u centru kod turbulentnog tecenja vise osrednjena brzina,...
Figure 7.9: Raspored brzina u kruznoj cevi za laminarno tecenje (Re < 2000 i za razlicite stepene razvijenosti turbulencije
U zavisnosti od Reynolds-ovog broja, odnosno od stepena prosirenja turbulentnog jezgra prema zidovima cevi, razlikuju se sledeci slucajevi: B1.
Turbulentno tecenje u hidraulicki glatkoj cevi Turbulentno jezgro je unutar laminarnog sloja i hrapavost cevi ne utice na razvoj turbulencije. Koeficijenat trenja je funkcija samo Re broja:
= f (Re) B2.
Prelazna oblast Laminarni sloj polako nestaje, i gubici pocinju da zavise i od relativne hrapavosti cevi:
= f (Re, k
D)
B3. Turbulentno tecenje u hidraulicki hrapavoj cevi Laminarni sloj je u potpunosti nestao, na vrtloge i izgubljenu energiju utice samo hrapavost cevi:
= f ( k
D)
Sve zavisnosti = f (Re, [ k/D]) se dobijaju iskljucivo eksperimenatlnim radom, merenjima na vestacki ohrapavljenim cevima. Takodje, vazno je uociti da jedna ista cev se moze ponasati kao hidraulicki glatka ili hrapava cev, sto iskljucivo zavisi brzine, odnosno od Re broja. Na slici 7.10 prikazana je zavisnost Darsijevog koeficijenta trenja (koeficijenta linijskog gubitka energije) od Reynolds-ovog broja Re. Figure 7.10: Zavisnost Darsijevog koeficijenta trenja (koeficijenta linijskog gubitka energije)
od Reynolds-ovog broja
Na dijagramu se razlikuju sledece oblasti tecenja: I
Laminarno tecenje Koeficijenat trenja je funkcija samo Re broja:
= f(Re) i zavisnost je dobijena analiticki:
= 64
Re. Laminarno tecenje se javlja pri vrednostima Re broja manjim od 2000-2500 i vazi linearni zakon otpora:
E = const ·V1.0 II
Prelazna oblast Tecenje je nestabilno, javlja se pri 2000 Re 10 000. Moguce je i laminarno i turbulentno tecenje.
III Turbulentno tecenje u hidraulicki glatkoj cevi (B1) Zbog postojanja laminarnog sloja uza zid cevi, trenje je jos uvek funkcija samo Re broja:
= f(Re) ali se zavisnost ne moze vise dobiti analiticki, jer nije moguce obracunati koliko energije trose vrtlozi. Zbog toga su obradom eksperimentalnih rezultata, uz pretpostavku o profilu brzine, dobijeni razliciti izrazi za koeficijenat trenja. Na osnovu detaljnih ispitivanja koja je vrsio Blazijus (1910) merenjima pri Re < 100 000 na glatkim cevima, i uz pretposavku o eksponencijalnom rasporedu brzina u profilu kruzne cevi, dobijen je koeficijenat trenja:
= f(Re) = 0.316
Re[ 1/4]
Za ovakav obrazac, dobija se sledeca veza izmedju gubitaka energije i brzine:
E = const ·V1.75 Za iste uslove, ako se pretpostavi drugaciji raspored brzina uza zid cevi, dobijaju se i drugaciji izrazi. Cesto se koristi pretpostavka o logaritamskom rasporedu brzina, koja vodi do sledeceg obrasca za koeficijenat trenja (dobio Nikuradze na osnovu merenja na glatkim i vestacki ohrapavljenim cevima, lepljennjem peska sa unutrasnje strane cevi):
1
= 0.86 ln(Re
) 0.8
(implicitan oblik, jer je nepoznat koeficijenat trenja funkcija samog sebe, te se mora resavati iterativno).
IV Turbulentno tecenje - prelaz iz hidraulicki glatke u hidraulicki hrapavu cev (B2) Koeficijenat trenja je funkcija Re broja i relativne hrapavosti k/D:
= f(Re, k
D)
Obrasci kojima se izracunava koeficijenat trenja je kombinacija obrazaca za III i V oblast. Na osnovu niza merenja Kolbruk-Vajta (Colebrook-White) na komercijalnim (realnim) vodovodnim cevima, uz kombinaciju eksponencijalne zavisnost iz rezima glatke cevi, dobijen je sledeci, cesto koriscen obrazac:
= 0.115
k
D+
60
Re
[ 1/4]
Slican obrazac na osnovu Nikuradzeove pretpostavke o logaritamskom rasporedu brzina je u implicitnom obliku:
1
= 0.86 ln
k
3.7D+
2.51
Re
ili uprosceno, u eksplicitnom obliku:
1
= 0.86 ln
k
3.7D+
5.13
Re0.89
V Turbulentno tecenje u hidraulicki hrapavoj cevi (B3) Koeficijenat trenja je funkcija samo relativne hrapavosti k/D:
= f( k
D)
Bez obzira na obrazac kojim se obracunava koeficijenat trenja, posto u koeficijentu ne figurise vise brzina, dobija se kvadratni zakon otpora:
E = const ·V2.0 Za proracun koeficijenta trenja se mogu koristiti eksponencijalni obrasci, sa eksponentom na 1/4:
= 0.115
k
[ 1/4]
D ili eksponentom na 1/3:
= 0.189
k
D
[ 1/3]
Logaritamski oblik koeficijenta trenja je obicno dat izrazom:
1
= 1.74 0.86 ln k
D
Jos jednom se napominje da je ovako veliki broj raspolozivih obrazaca za koeficijenat trenja u turbulentnom tecenju, posledica toga sto su to sve rezultati eksperimenatlnih israzivanja, koji su uklapani u pretpostavljeni raspored brzina. Pri tome postoje dve pristupa: pretpostavka o logaritamskom i esponencijalnom rasporedu brzina1.
Primer 7.1.0Proracun gubitaka na trenja za vodovodne sisteme Za cev precnika D=300mm (standardna distributivna cev) i srednju brzinu od VSR=0.8m/s, ako je voda viskoznosti = 103Pa·s dobija se:
Re = V D
=
1000 ·0.8 ·0.3
103
= 240 000 = 0.24 ·106
Ako je hrapavost cevi k=1.0 mm, dobija se relativna hrapavost od:
k
D=
0.001
0.3=0.0033
Prema vrednosti Re broja oblast tecenja je oblast IV, pa se, u zavisnosti od primenjenog obrasca, dobijaju sledece vrednosti koeficijenta trenja:
Nikuradzeov dijagram
= 0.027 Obrazac Kolbruk-Vajt za obalst IV
= 0.0282 Obrazac Kolbruk-Vajt za obalsti III i IV
= 0.0280
Iz datog primera se vidi da postoji razlika u dobijenim rezultatima ( = 4.44 % ). Takodje, drugaciji rezultati bi se dobili i kada bi se upotrebio neki od velikog broja obrzaca koji nisu navedeni ovde. Da li je resenje uzeti sto vise obrazaca, pa posle odrediti srednju vrednost
koeficijenta trenja? Nije - potrebno je uzeti onaj obrazac koji je dobijen za uslove sto pribliznije uslovima tecenja u sistemu koji racunamo.
Primer 7.1.0Ako je vrednost Re=4000, kolika je razlika u koeficijentu trenja za laminarno i turbulentno tecenje? a)
Laminarno tecenje
= 64
Re=
64
4000= 0.016
b) Turbulentno tecenje
= 0.316
Re[ 1/4]=
0.316
4000[ 1/4]= 0.040
Koeficijenat trenja se dobija 2.5 puta veci pri turbulentnom nego pri laminarnom tecenju. Kako izracunati gubitak energije ako je rezim tecenja u cevi kao u datom primeru? Inzenjerski pristup problemu je sledeci: oba tecenja su fizicki moguca i koje ce se javiti zavisi samo od uslova. Sa turbulentim rezimom treba racunati kada se traze gubici, jer se dobija losija varijanata, odnosno manja propusna moc cevi. Ako se proveravaju maksimalni pritisci koji se mogu javiti u sistemu, onda se koristi laminarni rezim.
7.2 Otpori trenja u provodnicima razlicitog poprecnog preseka
U prethodnom poglavlju se poslo od pretpostavke da je tok u kruznoj cevi, i vazile su sledece zavisnosti:
IE = C V2
2gR
R = D
4
= 4 C pri cemu je = ( Re, [ k/D] ). U provodniku proizvoljnog preseka vaze sva razmatranja o rezimima tecenja, kao i dobijeni obrasci za trenje, samo treba izvrsiti sledece izmene:
Umesto D staviti 4R
Umesto staviti 4 C
7.3 Otpori tela
Posmatra se kretanje tela proizvoljnog oblika kroz homogeni fluid koji miruje ili, inverzno, telo koje miruje se nalazi u fluidu koji se krece konstantnom brzinom (slika 7.11).
Figure 7.11: Ukupan otopr tela se razdvaja na dve komponente: otpore usled promene pritisaka oko tela kao rezultat poremecaja polja brzina (otpor oblika) i otpore trenja uz
pretpostavku o neporemecenosti polja brzina
Ukupna sila otpora tela se moze razdvojiti na dva dela:
Otpor
tela
=
Otpor
oblika
+
Otpor
trenja
Otpor oblika
Na prednji deo tela ("celo") deluju povecani pritisci (zaustavni pritisak) i sila pritiska P1. Na straznji deo tela deluju snizeni pritisci i sila P2, koja je cesto veca od sile P1. Povecanje i snizenje pritiska zavisi od poremecaja fluidne struje. Sila otpora oblika moze se prikazati kao:
Foblika = A
(n
)p dA
Otpor oblika se izucava za idealan slucaj kada ne postoje otpori trenja (slika 7.12).
Otpor trenja
Po celoj povrsini tela integralno deluje tangencijalni napon, pa je sila otpora trenja:
Ftrenja = A
dA
Otpori trenja se izucavaju razmatranjem idealizovane situacije, a to je tanka ploca koja ne remeti struju. U tom slucaju ne postoje otpori oblika, vec je otpor tela jednak otporu trenja.
Figure 7.12: Ucesce otpora oblika i otpora trenja u ukupnom otporu tela, za razlicite oblike tela
7.4 Trenje uz ravnu (usamljenu) plocu
VAZNO .. u ovom poglavlju ce se spomenuti Prandtl kao tvorac teorije granicnog sloja. Osnovni biografski podaci o njemu su vec dati na strani u okviru price o Pito-Prantlovoj cevi. Uvode se sledece pretpostavke:
1. Ravanski problem
Ispituje se beskonacna ravanska struja i posmatra se strujanje samo u X1, X2 pravcima. Efekat granice se ispituje modelskim ispitivanjima (slika 7.13).
Figure 7.13: Ispitivanje automobila u aerotunelu sa nepokretnom podlogom (levo) ne prenosi verno strujnu sliku uz tlo - da bi se obezbedila potpuna slicnost, neophodno je obezbediti da se i podloga krece istom brzinom kao i neporemecena vazdusna struja
2. Fluid je nestisljiv = Const.
3. Daleko od ploce strujanje je pravolinijsko, paralelno i jednoliko, sa brzinom u=U=Const.
4. Strujanje je ustaljeno [(U0)/(t)] = 0, ali postoji turbulencija [(u(i))/(t)]5. Nema gubitaka energije = 0 = Const. (idealan fluid)
Strujno polje u fluidu jedino remeti ploca i to ne svojom debljinom, vec samo u tankom sloju uz plocu, gde brzina sa u=0 mora da poraste na u=U0 (slika 7.14).
Figure 7.14: Tanka ploca u neogranicenoj paralelnoj vazdusnoj struji
Ludwig Prandtl (1875-1953), nemacki hidraulicar, 1904. godine razvio je koncept granicnog sloja kao vaznu vezu izmedju strujanja idealnog fluida (neporemecena zona) i realnog fluida (unutar granicnog sloja). ..."Za fluide sa relativno malom viskoznoscu, efekti unutrasnjeg trenja se primenjuju samo na maloj oblasti oko granice tela ... " Brzina na samoj ploci je nula, a na spoljnoj granici granicnog sloja debljine brzina je U. Celokupan poremecaj brzine odigrava se u granicnom sloju. Raspored brzina uz plocu prikazan je na slici 7.15.
Figure 7.15: Raspored brzina uz tanku plocu u neogranicenoj paralelnoj vazdusnoj struji - promena brzine sa u=0 do u=U0 (odnosno 0.99 U0se odigrava u granicnom sloju debljine
(prikazano sa gornje strane ploce) pa i tangencijalni napon koji je odgovoran za otpor trenja, postoji samo u okviru granicnog sloja (donja strana ploce)
Uz samu plocu dolazi do naglog povecanja brzina, pa je i tangencijalni napon veliki. Trenje se u tom sloju ne moze zanemariti, pa se fluid u granicnom sloju tretira kao realan. Polazna pretpostavka o idealnom fluidu vazi samo izvan ovog sloja, gde je neporemecena brzina U. Granicni sloj se formira uz svako telo koje se nalazi u fluidnoj struji. Tanka ploca je samo ekstremni primer, gde je jedino granicni sloj poremecaj fluidnoj struji. Vazno! Staviti u tekst obavezno da je promena pijezometarske kote unutar granicnog sloja duz ploce:
x1
= 0
odnosno = 0 gde je 0 pijezometarska kota fluida, koja je konstantna (idealan fluid, izvan granicnog sloja). Razlog za ovo je sto su debljina ploce i debljina granicnog sloja zanemarljive, pa ne dolazi do povecanja brzine fluida na kontaktu izmedju granicnog sloja i neporemecene struje, odnosno U = U0. (Ovo je razlicito kod opstrujavanja tela, videti sliku 7.20). U nizu eksperimenata je primeceno da debljina granicnog sloja raste od pocetka ploce ka nizvodnom kraju (slika 7.16)
Figure 7.16: Granicni sloj niz tanku plocu postepeno raste jer se novi delici uvlace delovanjem viskoznosti
Na vrhu ploce (koja je tanka, pa nista ne gura ispred sebe) je nagli prelazak sa u=0 na u=U0, pa se javlja jako tanak sloj u kome . Niz plocu sloj se postepeno "deblja", jer postepeno vislji i vislji slojevi bivaju uhvaceni delovanjem viskoznosti u pokusaju da se uspore. Debljina sloja se definise obicno na dva nacina:
1. Kao odstojanje od ploce na kojem je brzina dostigla 99% vrednosti neporemecene brzine.
2. U izucavanjima se cesto posmatra ekvivalentni slucaj: ploca nije debljine d (d=0), vec debljine 1, a na povrsini ploce je odmah neporemecena brzina U:
1 =
0 (Uu) dx2
U
3. Debljina 1 se zove debljina istisnuca, a ukupna debljina granicnog sloja se uzima kao = 3 1 (slika 7.17).
Figure 7.17: Debljina granicnog sloja se cesto definise i kao trostruka vrednost debljine istisnuca 1
Na slici 7.18 prikazan je izgled granicnog sloja duz ploce (samo gornji deo) i raspored tangencijalnih napona. Sa slike se vidi kako tangencijalni napon opada niz plocu, sa porastom debljine granicnog sloja.
Figure 7.18: Na pocetku ploce granicni sloj je uvek laminaran - niz plocu postepeno raste i prelazi u turbulentan (gornja slika); kako raste debljina granicnog sloja tako opada i
tangencijalni napon, s time sto je veci u turbulentnom sloju nego u laminarnom
Kao i kod tecenja u cevi, i u granicnom sloju na ploci strujanje moze biti laminarno i turbulentno. Mehanizam razvoja turbulencije je isti kao i kod cevi. Razlika kod ta dva strujanja je samo u tome sto je kod cevi relativna hrapavost k/D konstantna, dok se kod ploce, za konstantnu brzinu U0, debljina granicnog sloja menja duz ploce. Zbog toga u izrazu za bezdimenzionalnu viskoznost (Re) nije zgodno uzeti debljinu granicnog sloja kao osnovnu velicinu za duzine, vec se uzima velicina x, koja predstavlja rastojanje od pocetka ploce. U tom slucaju se Reynolds-ov broj dobija u obliku:
Rex = U0 x
tako da za konstantnu brzinu fluida U, vrednost Re broja zavisi od mesta na ploci. Na pocetku ploce je Re broj jednak nuli, a duz ploce raste iako je U0=const. Kao i kod cevi, postoji kriticna vrednost Re broja za prelaz iz laminarnog u turbulentan sloj. Ta vrednost je u sirokim granicama:
Recr = 500 000 3 000 000
zbog velikog uticaja drugih faktora, pre svega intenziteta turbulencije u dolaznoj fluidnoj struji. Kada bi se umesto karakteristicne velicine x za duzinu koristila velicina , za kriticnu vrednost Re broja dobile bi se vrednosti koje vise lice na tecenje u cevi. Vazno: Unutar granicnog sloja fluid se ponasa kao realan (postoji trenje i tangencijalni napon), a van sloja se ponasa kao idealan (nema trenja). Debljina granicnog sloja se proracunava u zavisnosti od rezima tecenja:
Laminarni sloj
= 4.9
x1
Rex
Turbulentan sloj
= 0.38 x1
Rex[ 1/5]
Primer 7.4.0Posmatra se tanka ploca koja se nalazi u vodi (podmornica). Ulazni podaci su:
U0 = 3.0 m/s
= 103 Pa ·s
= 1000 kg
m3
Na rastojanju x=0.5 m Re broj je:
Rex = U0 x
=
1000 ·3.0 ·0.5
103
= 1.5 ·106
Dobijena vrednost Re broja je manja od Recr, pa se debljina granicnog sloja racuna po formuli za laminarni rezim:
= 4.9
x1
Rex
= 4.9
0.5
1.5 ·106
= 2.0 mm
Dobijen je vrlo tanak sloj! Ako bi brzina bila U0 = 10 m/s (20 cvorova), na rastojanju x=10.0 m, Re broj je:
Rex =
1000 ·10.0 ·10.0
103
= 100 ·106
Rex > Recr
= 0.38 x1
Rex[ 1/5]
= 0.38 10.0
(100 ·106)[ 1/5]= 0.1 m
Jos uvek je dobijen prilicno tanak granicni sloj! Naravno, podmornica u datom primeru nije isto sto i ravna ploca. Ovde se izucava samo deo usled trenja. Postoji i drugi deo, otpor oblika, koji ce se kasnije izuciti, pa je ukupan otpor zbir ova dva. Koeficijenti C i CF se racunaju u zavisnosti od rezima tecenja:
Laminarni sloj
C =
0.7
Rex
CF =
1.4
ReL
ReL = Rex(x=L) Turbulentan sloj
C = 0.026
k
x+
50
Rex
[ 1/5]
CF = 0.032
k
L+
50
ReL
[ 1/5]
Tangencijalni napon i sila trenja F se dobijaju iz odgovarajucih koeficijenata:
= C 1
2U0
2
F = CF 1
2U0
2 A
U izrazu za povrsinu ploce A, ne treba zaboraviti da ona obuhvata obe strane ploce:
A = B ·L ·2 gde su B sirina a L duzina ploce. Napomena: za x=0 dobija se Rex=0, pa koeficijenat C i tangencijalni napon teze beskonacnosti, ali ipak postoji integral . Kako duz iste ploce i iste neporemecene brzine U0 uvek postoji laminarni sloj na pocetku ploce, a turbulenti mozda stigne da se razvije ili ne, pitanje je kojim obrascima obracunavati silu trenja. Na ovom kursu ce se raditi samo "cisti" slucajevi:
Ako je na kraju ploce jos uvek laminarni sloj, sigurno je duz cele ploce laminarni sloj.
Ako je vec na prvih 10% duzine ploce (x=0.1 L) razvijen turbulentan sloj, smatrace se da je na celoj ploci turbulentan sloj.
Sazeto uputstvo za proracun sile trenja: 1. Proveriti vrednost Reynolds-ovog broja na kraju ploce ReL u odnosu na kriticnu
vrednost Recr
ReL > < Recr 2.3. Ako je ReL < Recr zadatak raditi kao za laminarni sloj4. Ako je ReL > Recr izracunati Re broj za x=0.1 L5. Ako je Re0.1L > Recr zadatak raditi kao za turbulentan sloj6. Ako je Re0.1L < Recr, zaliti se profesoru sto je asistent dao takve ulazne podatke7. Voditi racuna da je (u vecini slucajeva) povrsina duz koje se racuna sila sa obe strane
ploce:
A = 2BL 8.
7.5 Otpori oblika
Otpori tela su razdvojeni na otpore trenja (nema poremecaja brzine oko tela) i otpore oblika. Kod otpora oblika telo svojim prisustvom remeti brzinu fluida, pa dolazi do promene puta fluidnih delica. Samim tim dolazi i do promene brzine i promene pritiska (slika 7.19). Na slici se vidi da ce delic A da skroz stane, a delic B ima duzi put nego delic C, pa mora da "pozuri".
Figure 7.19: Zbog prisustva tela menjaju se putanje delica u fluidnoj struji pa dolazi i do promene njihove brzine
Uvode se sledece pretpostavke:
1. Zadatak je ravanski, posmatra se beskonacna fluidna struja.
2. Fluid je nestisljiv = Const.3. Brzina dolazne struje je konstantna u=U0=Const.4. Strujanje je ustaljeno [(U0)/(t)] = 0, ali je u vrtloznom tragu [(p)/(t)] 0, a
[([p])/(t)] = 05. U neporemecenoj zoni fluid je idealan, pa je E0=Const., odnosno 0 + [(U0
2)/2g] = Const.
6. Za razliku od trenja uz ravnu plocu, u granicnom sloju vazi da je pijezometarska kota za jedan presek konstantna, a duz sloja (odnosno, duz tela) se menja.
Uslov za = Const. se koristi kod pravolinijskog i paralelnog strujanja. Granicni sloj oko tela je zakrivljen, ali ova pretpostavka se koristi jer je granicni sloj jako tanak u odnosu na poluprecnik zakrivljenja ( << R). Iz ovoga sledi da je pijezometarska kota na spoljnoj strani granicnog sloja ista kao i za taj presek, tj. = (slika 7.19)
Figure 7.20: Telo svojim prisustvom remeti raspored brzina izvan granicnog sloja, sto izaziva promenu i pijezometarske kote
Promena pijezometarske kote unutar granicnog sloja oko tela je:
s
0
jer 0 gde je 0 pijezometarska kota fluida, koja je konstantna (idealan fluid, izvan granicnog sloja). Razlog za ovo je sto dolazi do promene brzine fluida na kontaktu izmedju granicnog sloja i neporemecene struje, odnosno U U0. (Ovo je razlicito kod otpora ravne ploce, videti sliku 7.14).
Da bi se odredila sila otpora oblika, potrebno je poznavati vrednosti pritisaka na konturi. Odatle se dobija sila:
Fotp = A
(n
) p dA
Figure 7.21: Smatra se da je fluid idealan (izvan granicnog sloja) a da za jedan presek kroz granicni sloj (presek 1) je pijezometarska kota konstantna (1 = 1)
Posmatra se telo na slici 7.21. Tacka A je zaustavna tacka (VA=0), pa se pritisak u toj tacki dobija postavljenjem energetske jednacine izmedju preseka B i A, za idealan fluid (u tacki A debljina granicnog sloja je nula):
EB = EA
zB + pB
g+
VB2
2g= zA +
pA
g+
VA2
2g
B = 0
pB = p0
VB = U0
zA = zB
VA = 0
pA = p0 + 1
2U0
2
Izraz [ 1/2] U02 predstavlja zaustavni pritisak.
Gornja jednacina se moze napisati i u formi:
pA p0
1 U02
= 1 = Cp
2gde je Cp koeficijenat pritiska, i za sve ostale tacke na konturi imace vrednost manju od 1. Postavlja se pitanje kako odrediti pritiske za sve ostale tacke na konturi tela. Za tacku 1 (slika 7.21), za spoljnu stranu granicnog sloja debljine 1 se moze napisati:
E1 = E1
1 = 0
0 + U0
2
2g= 1 +
U12
2gNa osnovu pretpostavke da je pijezometarska kota konstantna za jedan presek ( = ) dobija se da je 1 = 1, pa se moze napisati:
1 0 = U0
2
2g
U12
2g
p1
g
p0
g+ (z1 z0) =
U02
2g
U12
2g/: g
p1 p0 = 1
2U0
2
1 U1
2
U02
p1 p0
1
2U0
2= 1
U1
U0
2
Cp =
p1 p0
1
2U0
2=
potpora
1
2U0
2
1.0
jer je
U1 2
U0
0
U izrazu za koeficijent pritiska Cp, p1 je pritisak na telu, p0 pritisak na istoj koti daleko od tela (z1 = z0), a potpora povecanje pritiska usled prisustva tela. Ako se zna koliki je Cp u svim tackama na konturi tela, onda se zna i pritisak. Integracijom pritiska po celoj povrsini dobija se sila otpora oblika. Kada bi fluid bio idealan i u granicnom sloju, dobila bi se slika opstrujavanja i pritisaka prikazana na 7.22. Figure 7.22: Kad bi fluid bio idealan i u granicnom sloju, ne bi bilo odvajanja fluida od tela,
pa bi raspored pritisaka bio potpuno simetrican a ukupna sila otpora bi bila nula
Pritisci na konturi su simetricni, pa se dobija da je sila otpora oblika jednaka nuli. Pritisci se po konturi menjaju, ali je njihov integral jednak nula!!! Ne znam gde hoces ovo da stavis http://scienceworld.wolfram.com/physics/dAlembertsParadox.html d'Alembert's Paradox The symmetry of Bernoulli's equation means that, for an irrotational flow in the absence of a boundary layer, the drag on any object is zero. (A force perpendicular to the relative motion is, however, permitted. This allows lift.) The resolution of this paradox is that momentum is transferred from the object in the boundary layer. Author: Eric W. Weisstein Sta se dogadja u realnom fluidu, pa postoji sila otpora oblika? Kod realnog fluida postoji tangencijalni napon, odnosno trenje. Na delu konture od tacke A do tacke B (slika 7.23) dolazi do postepenog povecanja brzine i opadanja pijezometarske kote, odnosno [()/(s)] < 0. Sile pritiska i tezine deluju u suprotnom smeru od trenja i one se uravnotezuju, pa je granicni sloj stabilan. Sila (P+G) gura delice napred "zalepljene" uz konturu. Figure 7.23: U realnom fluidu postoji tangencijalni napon koji je odgovoran za trenje ali i za
odlepljivanje granicnog sloja od konture: na desnoj slici je prikazan slucaj gde brzina niz fluidnu struju raste i gde je granicni sloj stabilan (na donjem delu slike je prikazana analogija
sa jednolikim tecenjem u cevi) dok je na levoj slici nizvodni deo dela, gde dolazi do smanjenja brzine i porasta pritisaka, pa dolazi do odlepljivanja granicnog sloja
Na delu konture od tacke C do tacke D (slika 7.23) brzina pocinje da opada, a pijezometarska kota postepeno da raste, odnosno [()/(s)] > 0. Sile pritiska i tezine sada deluju u istom smeru kao i trenje. Sila (P+G) koci delice, zaustavlja ih i nagoni na povratno strujanje. Na taj nacin se stvara vrtlog koji postepeno raste, sve dok ne pocne da smeta struji fluida. Tacka u kojoj je zacet vrtlog naziva se tacka odvajanja, i nakon nje fluidni delici se "otkacinju" od tela i idu nizvodno u vrtlozni trag. Dodati jos par reci uz sliku 7.24 Figure 7.24: Raspored brzina u granicnom sloju sa prednje i straznje strane tela, gde u tacki E dolazi do negativnog gradijenta brzine i odvajanja granicnog sloja (gore) i raspored pritisaka
na konturi (dole) za idealan i realan fluid
Fluidni delici u vrtlozni trag sa sobom ponesu potencijalnu energiju (pritisak) sa mesta otkidanja (snizeni pritisak), pa se u vrtloznom tragu formiraju podpritisci i trag uvlaci telo! Raspored pritisaka na prethodnom primeru sa idealnim fluidom sada izgleda kao na slici 7.25.
Figure 7.25: Opstrujavanje cilindra u realnom fluidu - kod tacke D dolazi do odvajanja granicnog sloja, pa pritisci ostaju isti (isprekidanom linijom su prikazani rezultati za idealan
fluid - kao na slici 7.22)
Sila otpora oblika je veca od nule, i to sto se kasnije odvoji granicni sloj od tela, to je sila manja. Projektantski zadatak je da se granicni sloj sto duze zadrzi uz telo i da se fiksira mesto gde se on odvaja od konture. Resenje problema su strujolika tela (slika 7.26). Nije bitan izgled prednjeg dela tela, dok zadnji deo tela treba postepeno da se suzava, kako bi se sto kasnije odvojio granicni sloj. Ako se pretera sa duzinom objekta, smanjuje se otpor oblika, ali otpor trenja postaje dominantan. Kod simetricnih tela postoji samo komponenta sile u pravcu brzine. Figure 7.26: Otpor strujolikog tela u funkciji duzine, sa razdvojenim delom otpora usled trenja
(koje raste sa duzinom tela) i otpora oblika (koji se smanjuje sa izduzivanjem tela) - na desnom delu slike je dato uporedjenje dva tela sa istim ukupnim otporom
Kod avionskog krila (slika 7.27) sila otpora oblika je manja od sile uzgona. Figure 7.27: Sila uzgona na krilo aviona, u funkciji napadnog ugla
Granicni sloj je, kao i kod ravne ploce, u pocetku laminaran, a kasnije turbulentan Primeceno je da se laminarni sloj lakse odvaja od tela nego turbulentan. Razlog je u tome sto u turbulentnom sloju postoje i poprecna kretanja, koja omogucavaju sloju da duze ostane na telu (slika 7.28).
Figure 7.28: Na snimcima laminarnog (gornja slika) i turbulentnog granicnog sloja (donja slika) jasno se vidi da turbulencija zadrzava tacku odvajanja, koja se pomera niz struju, pa je i
podpritisak koji se uvlaci u vrtlozni trag manji nego kod laminarnog sloja sto rezultuje manjom ukupnom silom otpora oblika (slike preuzete iz knjige An Album of Fluid Motion,
M.V. Dyke, 1982)
Primer: Loptica za golf (slika 7.29) Kod standardnih udaraca granicni sloj je upravo na prelazu iz laminarnog u turbulentni. Ako bi loptica bila skroz glatka, granicni sloj ostaje laminaran, ranije se odvaja, pa je veca sila otpora i nestabilniji let loptice. Loptica se pravi vestacki ohrapavljena, tako da granicni sloj brzo postaje turbulentan, duze ostaje na loptici i stvara manju silu otpora. Figure 7.29: Pri istom Reynolds-ovom broju, na glatkoj sferi (levi deo slike) ostaje laminaran sloj dok se kod hrapave sfere formira turbulentan sloj a tacka odvajanja se pomera niz struju
sto rezultuje manjom silom otpora oblika (slika preuzeta iz knjige Introduction to Fluid Mechanics, Y. Nakayama i R.F. Boucher, 1999)
Postoji jos jedan veliki problem, a to je problem stabilnosti tacke odvajanja granicnog sloja (slika 7.30). Rezultat pomeranja tacke odvajanja je bocna komponenta sila koja osciluje, a javlja se i kod simetricnih tela.
Figure 7.30: U strujnom polju oko cilindra tacka odvajanja granicnog sloja se nesimetricno pomera kroz vreme sto izaziva oscilatornu bocnu komponentu sile otpora
Prakticna primena je kod merila proticaja, gde se senzor sile (napona zatezanja) stavlja na prepreku (slika 7.31).
Figure 7.31: Princip rada Vortex merila protoka: senzorom pritiska se dobija signal o frekvenciji vrtloga, koja je preko Strouhal-ovog broja povezana sa srednjom profilskom
brzinom i velicinom diska koji izaziva vrtloge
Razlog kidanja dalekovoda zimi cesto je poprecna komponenta sile otpora. Nedostaje slika iz skripti str. 104 Stabilna tacka odvajanja - primer kaciga bicikliste. Nedostaje slika iz skripti str. 104 Sila otpora oblika se racuna tako sto se crta dijagram rasporeda pritisaka oko tela (slika 7.32). Pozitivna je ona sila koja pritiska povrsinu.
dFotp = potp dA ( n
)
Fotp = A
potp ·dA (n
)
Cesto se koristi bezdimenzionalna sila:
CF =
Fotp
1
2U0
2 App
gde je App povrsina najveceg preseka tela upravnog na fluidnu struju. Na ovaj nacin prikazana sila ne daje podatak o pravcu i smeru. Zato se kao pozitivan usvaja pravac ako sila deluje u pravcu strujanja fluida.
Figure 7.32: Sila otpora oblika je jednaka integralu (povrsini) dijagrama pritiska oko tela
Podatak o vrednostima koeficijenta sile CF se moze naci u literaturi za razlicite oblike preseka. Po pravilu su ucrtane skica preseka i osnovne ose: nedostaje skica skripte str. 105 Komentar: u knjizi pogledati kako se ovo radi preko Eurokodova i to dopuniti Dodatna komplikacije je i to sto je CF funkcija i Reynolds-ovog broja (slika 7.33)
Figure 7.33: Koeficijenat sile za ravnu vertikalnu plocu, cilindar, elipsu i strujoliko telo, u funkciji Reynolds-ovog broja
7.5.1 Primeri obracuna sile otpora oblika
Primer 7.5.0U fluidnoj struji se nalazi kvadar (slika 7.34). Kolika je sila na gornju povrsinu?
Figure 7.34: Proracun opterecenja na zidove kvadra, dimenzija a×b×L (gornja slika) se moze izvesti ili koriscenjem iz literaure, za dati pravac vetra, koeficijenata pritisaka (nacin A) pa na osnovu njih sracunatih
pritisaka i integraljenih po konturi ili preko koeficijenata sila koji se mogu naci za istu geometriju i pravac vetra, pa se sile obracunavaju uz maksimalnu povrsinu upravnu na pravac vetra (nacin B)
Postupak resavanja:
U literaturi se nadje ista geometrija i ocitaju vrednosti koeficijenta pritiska Cp za karakteristicne tacke (1-4)
Za zadato U0 i racunaju se pritisci u karakteristicnim tackama:
pi = Cpi 1 U02
2
Na osnovu izracunatih vrednosti pritisaka, crta se dijagram opterecenja Na osnovu dijagrama opterecenja sila otpora oblika se racuna kao:
Fi =
p (n) dA
FX = FA + FC
FY = FB
Na kraju se izracunaju vrednosti koeficijenata sile za oba pravca:
CFX =
FX
1
2U0
2 App
CFY =
FY
1
2U0
2 App
Bitno: Povrsina App je ista za oba pravca, jer je to maksimalna povrsina upravna na pravac strujanja fluida.
Primer 7.5.0Umesto kvadra iz prethodnog primera, posmatra se garaza (slika 7.35), koja se proverava za tri slucaja:
1. Sva vrata su zatvorena
U tom slucaju pritisak unutar garaze je jednak nuli, pa sila otpora oblika pritiska krov.
2. Otvorena su prednja vrata
U tom slucaju pritisak sa prednje strane "ulazi" u kucu, i sila otpora oblika dize krov.
3. Otvoren je prozor sa zadnje strane
U tom slucaju treba izvrsiti proveru na opterecenje od savijanja.
Figure 7.35: Ako je kvadar sa slike 7.34 garaza, opterecenje krova treba proveriti za tri moguca slucaja: kada je pritisak unutar garaze nula (slika A), kada se otvore prednja vrata (slika B) ili kada se otvori prozor sa zadnje
strane (slika C)
Ostale slike nisam znala gde da smestim, pogledaj molim te!!!! Figure 7.36: Mesto odvajanja granicnog sloja zavisi od Reynolds-ovog broja: u laminarnom sloju, sa porastom Re broja tacka se postepeno pomera ka prednjoj strani, do ugla = 800; u
turbulentnom sloju, za Re > ReCR tacka odvajanja se pomera ka zadnjoj strani
Figure 7.37: Dijagram koeficijenta pritiska po konturi cilindra za idealan fluid, laminaran sloj sa Reynolds-ovim brojem blizu kriticnog ReCR=3.8×105 (linija A), slabo razvijeni turbulentan
sloj (linija B) i potpuno razvijen turbulentan sloj (linija C)
Figure 7.38: Vizuelizacija strujnog polja oko cilindra, pri razlicitim Reynolds-ovim brojevima (slike preuzete iz knjige An Album of Fluid Motion, M.V. Dyke, 1982)
Figure 7.39: Vizuelizacija strujnog polja oko cilindra, pri Re=140 sa jasno izrazenim Kármán-ovim vrtlozima koji postepeno rastu niz fluidnu struju (slike preuzete iz knjige An Album of
Fluid Motion, M.V. Dyke, 1982)
Footnotes:
1Pri tome se mora uzeti u obzir i deficit brzina u centru jezgra.
File translated from TEX by TTH, version 3.31.On 21 Mar 2005, 21:22.
