Mehanika fluida - handot za auditorne vezbefluidi.mas.bg.ac.rs/mfm/handouts/potencijalnaStrujanja.pdf · MEHANIKA FLUIDA M-Potencijalna strujaa nestix ivog fluida 3 S druge strane

2Nevrtlo�na (poten ijalna) struja�a fluida

2.1 Znaqaj poten ijalne teorije

Osnove poten ijalne teorije su postavene pre oko 250 godina zahvauju�i velikim imenima sve-

tske nauke kao xto su Ojler (Euler), Bernuli (Bernoulli), Dalamber (D′Alambert), Lagran� (Lagrange),Stoks (Stokes), Helmhol (Helmholtz), Kirhof (Kirchoff) i Kelvin (Kelvin). Prvo se ova teorija kori-stila za objax�ava�e i predviÆa�e fenomena u drugim nauqnim dis iplinama, kao xto su provoÆe�e

toplote, teorija elastiqnosti i elektromagnetizam, i pri tome je dala veoma dobre rezultate. Poxto

izmeÆu pojedinih prirodnih fenomena postoje analogije (opisuju se istim tipovima jednaqina), dos-

hlo se na ideju da se ova teorija primeni i za struja�e fluida. Pri tim prouqava�ima viskoznost

fluida je zanemarena (struja�a neviskoznog fluida). Uz tu pretpostavku doxlo se do jednog kon-

tradiktornog zakuqka - na telo koje se kre�e kroz fluid ne deluje nikakva sila otpora. Naravno,

ovakav zakuqak se kosio sa realnox�u. Istovremeno, taqnije polovinom XIX veka, razvijala se i

teorija viskoznog fluida kada su formulisane quvene Navije-Stoksove (Navier− Stokes) jednaqinekoje opisuju struja�a viskoznog fluida. Radi se o par ijalnim, nelinearnim diferen ijalnim jed-

naqinama drugog reda koje se mogu rexiti samo u nekim spe ijalnim sluqajevima, zanemariva�em

pojedinih qlanova (o tome �e biti vixe reqi kasnije). Prva taqna rexe�a Navije-Stoksovih jedna -

hina su odreÆena za sluqajeve veoma sporih struja�a - iz rexe�a ovih jednaqina se moglo zakuqiti da

je struja�e izrazito vrtlo�no, i primena poten ijalne teorije je dovedena u pita�e. Pojavio se pro-

blem: s jedne strane je bila poten ijalna teorija, qiji je matematiqki aparat omogu�avao rexava�e

raznih problema, ali na jednom va�nom problemu (kreta�e tela kroz fluid) je davala razoqaravaju�e

rezultate; s druge strane su bile jednaqine koje je bilo mogu�e rexiti samo u par sluqajeva. Nemaqki

nauqnik Ludvig Prantl (Ludwig Prandtl) 1905. godine objavuje svoju quvenu teoriju graniqnog sloja(Boundary Layer Theory) koja povezuje teoriju viskoznog fluida i poten ijalnu teoriju. U slede�im

redovima se u par reqeni a daje suxtina te genijalne teorije.

Pri optrujava�u tela neviskoznim fluidom, na samoj konturi fluid ima brzinu razliqitu od

nule, koja je uvek prav a tangente u toj taqki konture (slika 2.1a). Sa druge strane, realan fluid,

qija je viskoznost razliqita od nule, mora da zadovoi uslov da je brzina u svim taqkama konture

jednaka nuli. Imaju�i to u vidu, Prantl je eksperimentalno je pokazao da se efekti viskoznosti

ose�aju u tankom sloju neposredno uz konturu tela (graniqni sloj), u sluqaju da je viskoznost fluida

relativno mala veliqina (eksperimenti su vrxeni na instala iji sa vodom). Pored ovog uslova,

mora biti i zadovoeno da Rejnoldsov broj, Re = U L/ν, mnogo ve�i od jedini e, Re ≫ 1 (ovde je Ukarakteristiqna brzina za dato struja�e, a L karakteristiqna du�ina). Debina graniqnog sloja

te�i nuli kada Re → ∞. U ovom sluqaju strujni prostor se mo�e podeliti na sloj neposredno

uz konturu tela u kome su viskozne sile istog reda veliqine kao i iner ijalne sile, i oblast van

graniqnog sloja, gde je struja�e nevrtlo�no i neviskozno.

A. �o�i�: MEHANIKA FLUIDA M - Poten ijalna struja�a nestixivog fluida 2

��

��PSfrag repla emen

U∞(x)

Graniqni sloj

��

��

PSfrag repla emen

Graniqni sloj

~ω 6= 0

(a) (b)

Slika 2.1: PoreÆe�e nevrtlo�nog i struja�a pri velikim vrednostima Rejnoldsovog broja: (a) struja�e

idealnog fluida, ν = 0; (b) struja�e pri velikim vrednostima Re broja.

Struja�e izvan graniqnog sloja (spoax�e struja�e) se mo�e prouqavati prime�uju�i teoriju

poten ijalnih struja�a, zanemaruju�i postoja�e graniqnog sloja. Rezultati dobijeni na taj naqin

(npr. poe pritiska i brzine oko graniqnog sloja) omogu�avaju da se jednaqine za struja�e u graniq-

nom sloju mogu rexiti - poznata je zakonitost promene pritiska na samoj konturi tela, kao i dodatni

graniqni uslov za brzinu, a to je obi no da je izvan graniqnog sloja u = U∞ (x). MeÆutim, i teorija

graniqnog sloja se ne mo�e prime�ivati u svim sluqajevima opstrujava�a nekog tela. Naime, ako je

to telo neaerodinamiqnog oblika (kao xto je npr. kru�ni ilindar, sl. 2.2) dolazi do fenomena

odvaja�a graniqnog sloja od konture tela, iza tela se stvaraju vrlozi, i viskoznost vixe nema uti aj

samo u tankom sloju uz konturu tela, ve� u znatno ve�em delu strujnog prostora. Poten ijalna teorija

u ovim sluqajevima se mo�e eventualno koristiti samo do taqke odvaja�a.

��

��

��

��

Slika 2.2: Primeri odvaja�a graniqnog sloja. Uzvodno od taqke odvaja�a, poten ijalna teorija daje zado-

voavaju�e rezultate

Mo�e se na kraju ovog uvoda re�i, da poten ijalna teorija ne zauzima entralno mesto u moder-

noj mehani i fluida, kao xto je to bio sluqaj pre jednog veka. Ipak, ona daje izvanredne rezultate

na nekim poima tehnike, posebno u aerodinami i. Npr. poe pritiska oko aeroprofila mo�e

se odrediti sa velikom taqnosqu na osnovu poten ijalne teorije. Quvena teorema Kuta-�ukovskog

(Kutta − Zhukhovsky) o sili uzgona aeroprofila dobijena korix�e�em poten ijalne teorije, se od-

liqno slaze sa eksperimentalnim rezultatima. Prantlova teorija se koristi u i danax�oj modernoj

mehani i fluida.

2.2 Strujna funk ija i poten ijal brzine

Posmatrajmo ravansko struja�e nestixivog fluida (ρ = const). Jednaqina kontinuiteta u tomsluqaju:

∂vx∂x

+∂vy∂y

= 0 (2.1)

obezbeÆuje postaja�e skalarne funk ije ψ (x, y) iz koje se komponente brzine vx i vy odreÆuju na

slede�i naqin:

vx ≡ ∂ψ

∂yvy ≡ −∂ψ

∂x(2.2)

Skalarna funk ija ψ (x, y) se naziva strujna funk ija i ona identiqki zadovoava jednaqinu (2.1).


S druge strane uslov da je vrlo�nost 2 ~ω = ∇ × ~v jednaka nuli u sluqaju dvodimenzijskih

struja�a se svodi na jednaqinu:

∂vy∂x

− ∂vx∂y

= 0 (2.3)

Iz teorije poa je dobro poznato da ako je rotor nekog vektorskog poa jednak nuli, da je takvo

vektorsko poe mogu�e izraziti kao gradijent neke skalarne funk ije, jer je jednostavno rot(gradA) =0 za svako skalarno poe A. Dakle, obezbeÆeno je postoja�e jox jedne skalarne funk ije, ϕ (x, y) kojase naziva poten ijal brzine i koja je povezan sa komponentama brzine na slede�i naqin:

~v = gradϕ =∂ϕ

∂x~i+

∂ϕ

∂y~j ≡ vx~i+ vy~j =⇒ vx ≡ ∂ϕ

∂xvy ≡ ∂ϕ

∂y(2.4)

Kako se u sluqaju nevrtlo�nih struja�a mora postojati poten ijal brzine, takva struja�a se qesto

i nazivaju poten ijalna struja�a. Jednaqine (2.2) i (2.4) pokazuju da izvod strujne funk ije daje

komponentu brzine rotiranu za 90◦ u smeru kazaki na satu u odnosu na prava diferen ira�a, dokizvod poten ijala brzine daje komponentu brzine u prav u diferen ira�a. Porede�i jednaqine (2.2)

i (2.4) dobija se

∂ϕ

∂x=∂ψ

∂yKoxi-Rimanovi uslovi

∂ϕ

∂y= −∂ψ

∂x

(2.5)

iz kojih se mo�e odrediti jedna od funk ija ako je ona druga poznata. Ekvipoten ijalne linije

(ϕ = const) i strujni e (ψ = const) su ortogonalne, xto neposredno sledi iz jednaqina (2.2) i (2.4)

∇ϕ · ∇ψ =∂ϕ

∂x

∂ψ

∂x+∂ϕ

∂y

∂ψ

∂y= 0

Vrlo lako (unakrsnim diferen ira�em Koxi-Rimanovih uslova - prva jednaqina se diferen-

ira po x a druga po y i obrnuto) se mo�e do�i do jedne va�ne osobine strujna funk ije i poten ijalabrzine - te dve funk ije zadovoavaju Laplasovu jednaqinu:

∇2ϕ ≡ ∆ϕ =∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2= 0 (2.6)

∇2ψ ≡ ∆ψ =∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2= 0 (2.7)

Funk ija koja zadovoava Laplasovu jednaqinu se naziva harmonijska funk ija. Laplasova jed-

naqina je par ijalna diferen ijalna jednaqina drugog reda, eliptiqkog tipa. Naravno, uz svaku

diferen ijalnu jednaqinu se moraju definisati graniqni uslovi koji �e iz familije �enih rexe�a

izdvojiti ono koje odgovara rexe�u problema koji se prouqava.

Pri nevrlo�nom struja�u fluida se definixu slede�i graniqni uslovi:

(1) Uslovi na konturi tela - Komponenta brzine struja�a normalna na konturu tela je jednaka

nuli, qime se obezbeÆuje da fluid ne prodire unutar konture tela. Taj graniqni uslov prilikom

opstrujava�a tela koje miruje se mo�e iskazati jednaqinom:

Na konturi :∂ϕ

∂n= 0 ili

∂ψ

∂s= 0 (2.8)

gde su s i n prav i tangente i normale konture tela.

(2) Uslovi u "beskonaqnosti" - za tipiqan primer tela koje se opstrujava uniformnom strujom


��

��

PSfrag repla emen

U∞

~n

~t

~v ≡ v~t

x

Slika 2.3: Graniqni uslovi pri opstrujava�u tela neviskoznim fluidom

u prav u x ose brzinom U∞, taj uslov se svodi

∂ϕ

∂x= U∞ ili

∂ψ

∂y= U∞ (2.9)

Rexava�e Laplasovih jednaqina (2.6) i (2.7)) uz graniqne uslove definisane jednaqinama (2.8)

i (2.9) nije jednostavno. Istorijski posmatrano, teorija poten ijalnih struja�a se razvijala na-

la�e�em funk ija koje zadovoavaju Laplasovu jednaqinu, i potom odreÆiva�a mogu�ih graniqnih

uslova koje ta funk ija zadovoava. Kako je Laplasova jednaqina linearna, sabira�e (superpozi-

ija) poznatih harmonijskih funk ija daje novu harmonijsku funk iju koja zadovoava neke nove

graniqne uslove. Na taj naqin je otkriven veliki broj razliqitih rexe�a kojima se mogu simulirati

razni problemi struja�a fluida. U daem izlaga�u �e biti prihva�en ovaj pristup prouqava�u

poten ijalnih struja�a.

Ako je poznato rexe�e Laplasove jednaqine, odreÆiva�em izvoda ϕ ili ψ je jednoznaqno odreÆen

i vektor brzine. Konaqno, raspodela pritiska je odreÆena Bernulijevom jednaqinom, koja u sluqaju

nevrtlo�nog struja�a neviskoznog fluida glasi:

p+1

2ρ v2 = const. (2.10)

gde je v intenzitet brzine (v =√vx2 + vy2). Bernulijeva jednaqina u ovom sluqaju (nevtrlo�no

struja�e neviskoznog fluida) va�i za bilo koje taqke u strujnom pou.

U slede�im redovima daju se najva�nije formule koje se koriste pri rexava�u problema iz

dvodimenzijskih poten ijalnih struja�a nestixivog fluida koje predstavaju kratak , kao i komp-

leksni poten ijali osnovnih struja�a.


2.3 REPETITORIJUM - dvodimenzijska poten ijalna stru-

ja�a nestixivog fluida

Posmatraju se ravanska (vz = 0, ∂∂z

= 0), sta ionarna (∂(... )∂t

= 0), nevrtlo�na (rot~v = 0) struja�a

nestixivog fluida (ρ = const).

• Jednaqina kontinuiteta:

∂vx∂x

+∂vy∂y

= 0 (2.11)

Strujna funk ija ψ (x, y) se definixe na slede�i naqin:

vx ≡ ∂ψ

∂yvy ≡ −∂ψ

∂x(2.12)

qime je jednaqina kontinuiteta identiqki zadovoena. Linije ψ(x, y) = C se nazivaju struj-

ni e. Kada je C = 0, tj. ψ(x, y) = 0 u pita�u je nulta strujni a.

• Struja�e je nevtrlo�no - 2 ~ω = rot~v ≡ ∇×~v = 0. Za dvodimenzijsko struja�e ovaj uslov se svodi

na:

∂vy∂x

− ∂vx∂y

= 0 (2.13)

Ovaj uslov omogu�ava da se vektor brzine izrazi kao gradijent skalarnog poa ϕ = ϕ(x, y).

Funk ija ϕ se naziva poten ijal brzine

~v = gradϕ =⇒ vx ≡ ∂ϕ

∂xvy ≡ ∂ϕ

∂y(2.14)

Linije ϕ(x, y) = C se nazivaju ekvipoten ijalne linije.

Iz prethodnih jednaqina se mogu izvu�i va�ni zakuq i:

Izvod strujne funk ije daje komponentu brzine roti-

ranu za 90◦ u smeru kazaki na satu u odnosu na prava

diferen ira�a, dok izvod poten ijala brzine daje kom-

ponentu brzine u prav u diferen ira�a.

∂ϕ

∂x=∂ψ

∂y

∂ϕ

∂y= −∂ψ

∂x

Koxi - Rimanovi uslovi (2.15)

∂vx∂x

= −∂vy∂y

∂vx∂y

=∂vy∂x

(2.16)


Ekvipoten ijalne linije i strujni e su familije uzajamno ortogonalne linije:

gradϕ · gradψ =∂ϕ

∂x

∂ψ

∂x+∂ϕ

∂y

∂ψ

∂y= −vx vy + vy vx = 0

Strujni e i ekvipoten ijalne linije su ortogonalne

linije.

ψ = C1

ψ = C2

ψ = C3

ϕ = const.

Ako je poznata jedna funk ija, npr. ϕ(x, y) ili vy(x, y), iz jednaqina (2.15), odnosno (2.16) se

mo�e odrediti druga, nepoznata funk ija, ψ(x, y), odnosno vx(x, y), i obrnuto.

Diferen ira�em jednaqina (2.12) i (2.14) po x i y uz (2.11) i (2.13) dobija se jox jedna va�na

osobina strujne funk ije i poten ijala brzine:

ψ(x, y)iϕ(x, y) su harmonijske funk ije

∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2= 0

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2= 0

(2.17)

Dakle, strujna funk ija i poten ijal brzine zadovoavaju Laplasovu jednaqinu, tj. ∆ϕ = 0 i

∆ψ = 0, gde je ∆ = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 Laplasov operator. Funk ija koja zadovoava Laplasovu jednaqinu se

naziva harmonijska funk ija.

Za rexava�e nekih problema je pogodnije korix�e�e polarnih koordinata r i θ umesto Dekar-

tovih x i y. U slede�im redovima se daju prethodne jednaqine u polarnim koordinatama:

1

r

∂

∂r(r vr) +

1

r

∂vθ∂θ

= 0 (jednaqina kontinuiteta) (2.18)

1

r

∂

∂r(r vθ)−

1

r

∂vr∂θ

= 0 (nevrtlo�no struja�e) (2.19)

Projek ija brzine vr:

vr =∂ϕ

∂r=

1

r

∂ψ

∂θ(2.20)

Projek ija brzine vθ:

vθ =1

r

∂ϕ

∂θ= −∂ψ

∂r(2.21)


r =√

x2 + y2

θ = arctg(y

x

)

PSfrag repla emen

y

x

θ

r

vθ vr

Slika 2.4: Polarne koordinate i komponente brzine u polarnim koordinatama

Laplasijan poten ijala brzine ϕ u polarnim koordinatama:

∇2ϕ =1

r

∂

∂r

(

r∂ϕ

∂r

)

+1

r2∂2ϕ

∂θ2= 0 (2.22)

Laplasijan strujne funk ije ψ u polarnim koordinatama:

∇2ψ =1

r

∂

∂r

(

r∂ψ

∂r

)

+1

r2∂2ψ

∂θ2= 0 (2.23)

Koxi-Rimanovi uslovi u polarnim koordinatama (jednaqine (2.20) i (2.21)):

∂ϕ

∂r=

1

r

∂ψ

∂θ

1

r

∂ϕ

∂θ= −∂ψ

∂r

Koxi - Rimanovi uslovi (2.24)

Veza izmeÆu projek ija brzine vr i vθ (direktno sledi iz jednaqina (2.18) i (2.19)):

∂

∂r(r vr) = −∂vθ

∂θ

∂vr∂θ

=∂

∂r(r vθ)

(2.25)

Mo�e se pokazati da ako su zadovoene jednaqine (2.15), onda ϕ(x, y) i ψ(x, y) predstavaju

realni i imaginarni deo komleksne analitiqke funk ije koja se oznaqava sa w(z) i naziva se kom-

pleksni poten ijal.

w(z) = ϕ(x, y) + i ψ(x, y) = ϕ(r, θ) + i ψ(r, θ) (2.26)

gde je z = x+ i y = r eiθ kompleksni broj (kompleksna prome�iva).

Va�na osobina kompleksnih analitiqkih funk ija je da �ihov izvod ne zavisi od prav a di-

feren ira�a - izvod komplesnog poten ijala po kompleksnoj prome�ivoj z je jednoznaqno odreÆena


kompleksna funk ija v̄(z) i ona predstava kompleksnu brzinu

v̄(z) =dw(z)

dz≡ vx − i vy ≡ (vr − i vθ) e

−iθ(2.27)

Kompleksna brzina je takoÆe analitiqka kompleksna funk ija qiji su realni i imaginarni

delovi: Re [v̄(z)] = vx(x, y) i Im [v̄(z)] = −vy(x, y). Lako se mo�e proveriti da se Koxi-Rimanovi

uslovi za komleksnu brzinu svode na jednaqine (2.16). Taqke u kojima je brzina struja�a jednaka nuli,

vx = vy = 0 se nazivaju zaustavnim taqkama.

Kratak podsetnik - Ojlerova formula. Osnovne opera ije sa komplek-

snim brojevima

i =√−1 − imaginarna jedini a

Ojlerova formula : eiθ = cos θ + i sin θ

Neka je z1 = x1 + i y1 = r1 eiθ1

i z2 = x2 + i y2 = r2 eiθ2

• Sabira�e: z = z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2)

• Oduzima�e: z = z1 − z2 = (x1 − x2) + i (y1 − y2)

• Mno�e�e: z = z1 · z2 = r1 eiθ1 · r2 eiθ2 = r1 r2e

i(θ1+θ2)ili

z = (x1 + i y1)(x2 + i y2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

• Dee�e: z =z1z2

=r1r2ei(θ1−θ2)

ili

z =x1 + i y1x2 + i y2

· x2 − i y2x2 − i y2

=x1x2 + y1y2x22 + y22

+ ix2y1 − x1y2x22 + y22

Neke trigonometrijske rela ije:

sin 2θ = 2 cos θ sin θ

cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ

tg(θ1 ± θ2) =tgθ1 ± tgθ21∓ tgθ1 tgθ2

arctgA± arctgB = arctgA±B

1∓AB


• Protok kroz konturu ograniqenu taqkama A i V se mo�e izraqunati korix�e�em obras a:

V̇ =

∫

A

~v • ~ndA =

B∫

A

~v • ~n dl · 1︸︷︷︸

dA

PSfrag repla emen

y

x

B

A

d~l

~n

~v

dA

A

b = 1m

Slika 2.5: Proizvona kontura ograniqena taqkama A i V.

Lako se mo�e pokazati, primenom Grinove formule u ravni, da se prethodni izraz svodi na:

V̇AB = ψB − ψA (2.28)

Dakle, protok kroz neku konturu koja je ograniqena taqakama A i V i koja je jediniqne visine

se mo�e lako izraqunati kao razlika vrednosti strujne funk ije u kraj�oj i poqetnoj taqki konture.

Ako je kontura zatvorena protok kroz konturu jednak nuli (taqka A se poklapa sa taqkom V), osim

u sluqaju kada se unutar konture nalaze singulariteti tipa izvora i ponora - tada je protok kroz

konturu jednak sumi izdaxnosti izvora (ponora) V̇ ≡∑

i

ε.

• Na sliqan naqin se mo�e izraqunati i irkula ija du� konture ograniqene taqkama A i V

ΓAB =

B∫

A

~v • dl = ϕB − ϕA (2.29)

Cirkula ija du� proizvone konture koja je ograniqena taqkama A i V se mo�e izraqunati kao

razlika vrednosti poten ijala brzine u kraj�im i poqetnim taqakama konture. Cirkula ija du�

zatvorene konture je jednaka nuli, osim ako se unutar konture nalaze singulariteti tipa vrtloga -

tada je irkula ija jednaka zbiru irkula ija vrtloga koji se nalaze unutar konture Γ =∑

i

Γi.


• Kompleksne analitiqke funk ije, pored jednoznaqnog izvoda imaju jox jedno va�no svojstvo - one

obezbeÆuju konformno preslikava�e, pri kome strujni e i ekvipoten ijalne linije zadr�avaju

svoju meÆusobnu ortogonalnost. Analitiqka funk ija

Z(z) = X(x, y) + i Y (x, y)

PSfrag repla emen

a

a

−a

x

x

y

y

X

X

Y

Y

U∞ U∞

z

z

Z

Z

Slika 2.6: Primena konformnog preslikava�a

preslikava struja�e iz z ravni opisano kompleksnim poten ijalom w(z) u novo struja�e u ravni Z

opisano kompleksnim poten ijalom W (Z)

W (Z) = Φ(X,Y ) + iΨ(X,Y ) =W [Z(z)] = w(z)

gde su Φ(X,Y ) = ϕ(x, y) i Ψ(X,Y ) = ψ(x, y) poten ijal brzine i strujna funk ija preslikanog stru-

ja�a.

Posredstvom transforma ije �ukovskog:

Z =1

2

(

z +a2

z

)

struja�e oko kru�nog ilindra u ravni z se preslikava u struja�e oko ravne ploqe, eliptiqkog

ilindra ili aeroprofila �ukovskog u ravni Z.

• Bernulijeva jednaqina. U sluqaju ravanskog sta ionarnog struja�a nestixivog, neviskoznog

fluida poe pritiska je povezano sa poem brzine preko Bernulijeve jednaqine, koja za taj sluqaj

struja�a glasi:

p+1

2ρ v2 = const. (2.30)

Obiqno su poznate vrednosti pritiska i brzine u "beskrajno" dalekim taqkama, p∞ i v∞. Raspodela


pritiska du� neke konture se mo�e odrediti korix�e�em Bernulijeve jednaqine, uz prethodno odre-

Æenu raspodelu brzine du� te konture:

p∞ +1

2ρ v2

∞= p+

1

2ρ (v2x + v2y)

• Sila na proizvonu konturu C. Neka su Fp,x i Fp.y komponente sile pritiska~Fp kojom nestis-

hiv, neviskozan fluid pri sta ionarnom, ravanskom struja�u, koje je opisano kompleksnim poten-

ijalom w(z), deluje na proizvonu zatvorenu konturu C u xy-ravni. Tada se sila na tu konturu mo�e

izraqunati preko integrala kompleksne prome�ive korix�e�em Blasijus-Qapaginovog obras a:

F̄p(z) = Fp,x − i Fp,y =i ρ

2

∮

C

(dw

dz

)2

dz =i ρ

2

∮

C

[v̄(z)]2dz (2.31)

Sila pritiska kojom fluid deluje na element konture AB konture C ograniqene taqkama A(z =

zA) i B(z = zB) se mo�e odrediti primenom izraza:

F̄p = Fp,x − i Fp,y =i ρ

2

∫

AB

[v̄(z)]2dz − i

(

p+1

2ρ v2

)

(z̄B − z̄A) (2.32)

gde je p+ 12ρv

2 = const, i gde su z̄B = xB − i yB i z̄A = xA − i yA konjugovano kompleksni brojevi zA i

zB.

U slede�oj tabeli su dati kompleksni poten ijalni osnovnih struja�a, qijim se superponira�em

mogu dobiti slo�ene strujne slike.


w(z) = v∞ z e−i β

Uniformna struja intenziteta v∞ pod uglom β u

odnosu na pozitivan smer x-ose

v∞

PSfrag repla emen

x

y

β

w(z) =ε

2 πln (z − z0)

Struja�e u pou osamenog (linijskog) izvora

izdaxnosti ε, ε > 0 smextenog u taqki z = z0.PSfrag repla emen

x

y

z = z0

w(z) =ε

2 πln (z − z0)

Struja�e u pou osamenog (linijskog) ponora

izdaxnosti ε, ε < 0 smextenog u taqki z = z0.PSfrag repla emen

x

y

z = z0

w(z) =M e i β

2 π (z − z0)

Struja�e u pou osamenog dvopola momenta M

smextenog u taqki z = z0, qija je osa nagnuta pod

uglom β u odnosu na pozitivan smer x-ose.

PSfrag repla emen

x

y

z = z0

β


w(z) =Γ

2 π iln (z − z0)

Struja�e u pou osamenog vrtloga irkula ije

Γ smextenog u taqki z = z0; kada je Γ > 0 u pi-

ta�u je je vrtlog pozitivne irkula ije, sa pozi-

tivnim matematiqkim smerom obrta�a , kao na

sli i. Ako je Γ < 0, smer obrta�a je suprotan.

PSfrag repla emen

x

y

z = z0

w(z) = a zn

Struja�e u 2n uglova, gde je a = const. Na sli i

je prikazano struja�e opisano kompleksnim po-

ten ijalom w(z) = −z2, zaustavna taqka je u ko-

ordinatnom poqentku, z = 0.PSfrag repla emen

x

y

2.4 Zada i

1. Za sluqaj da je ravansko struja�e nestixivog fluida definisano strujni ama u obliku kon-

entriqnih krugova i veliqninom apsolutne brzine propor ionalne n-tom stepenu rastoja�a

od entra, ispitati da li je za n = 0, n = 1 i n = −1 struja�e vrtlo�no i odrediti vrednost

irkula ije po krugu polupreqnika R.

2. Ako je poten ijal brzine ravanskog nevtrlo�nog strujnog poa odreÆen funk ijom

ϕ(r, θ) = −√r3 sin

(3

2θ

)

odrediti protok kroz konturu omeÆenu taqkama A(

2,π

6

)

i B(

3,π

9

)

.

3. Zadata je jedna projek ija brzine sta ionarnog poa ravanskog poten ijalnog struja�a nestix-

ivog fluida:

vy =2− y

(x+ 3)2 + (y − 2)2

• Odrediti kompleksnu brzinu v̄(z), ako je vx(−3, 5) = 0.

• Odrediti kompleksni poten ijal ako je w(−2, 2) = 0 i na rtati strujnu sliku ovog struja-

�a.


4. Ravansko poten ijalno struja�e opisano je kompleksnim poten ijalom

w(z) =12(3 + i

√3)

z − 3− i√3

izlo�eno je dejstvu jednolije struje koja zaklapa ugao α = 30◦ sa pozitivnim smerom x ose i ima

intenzitet v∞ = 2√3m/s. Odrediti:

(a) Kompleksni poten ijal, strujnu funk iju, jednaqinu nulte strujni e i zaustavne taqke ovog

slo�enog struja�a.

(b) Na rtati strujnu sliku sa smerom struja�a.

(v) Odrediti polo�aj i vrednost minimalnog pritiska na nultoj strujni i, ako je gustina

fluida ρ = 1000 kg/m3, a pritisak u beskrajno dalekim taqkama p∞ = 1bar.

5. Ravansko poten ijalno struja�e nestixivog fluida se ostvaruje u z-ravni dejstvom jednolike

struje paralelne pravoj y = −x, na osameni izvor izdaxnosti ε = 2π koji se nalazi u koordi-

natnom poqetku.

(a) Odrediti intenzitet jednolike struje, ako se zna da je taqka (-1, 1) zaustavna taqka ovog

slo�enog struja�a.

(b) Odrediti smer struja�a i ski irati strujnu sliku.

(v) Ako je gustina fluida ρ = 1000 kg/m3, a pritisak u beskrajno dalekim taqkama p∞ = 105Pa,

odrediti vrednost pritiska u taqki M(2, 0).

(g) Funk ijom

(Z + 2i)2

(Z − 2i)2= z2 exp[(1 + i)z]

dato struja�e preslikati u ravan Z. Odrediti strujnu funk iju Ψ(X, Y ) i ski irati

strujnu sliku sa na�anaqenim smerom struja�a i sraqunati protok kroz konturu Y = 0.

6. Zadata je kompleksna brzina ravanskog poten ijalnog struja�a mestixivog fluida:

v̄(z) =3z

z2 − z − 2

(a) Odrediti komplesksni poten ijal w(z) ovog struja�a ako je w(3) = ln 4 i ski irati strujnu

sliku.

(b) Odrediti raspodelu projek ije brzine vx du� y ose kao i taqku u kojoj je �en intenzitet

maksimalan. Koliko iznosi taj intenzitet?

7. Duga porozna ev postavena je na rastoja�u a od ravnog zida. Protok vode po duznom metru

evi je V̇ . Dodava�em struja�a koje je opisano poten ijalom brzine ϕ3 = k (x2 − y2), i uslovom

ψ3(0) = 0, dobija se kontura koja je prikazana na sli i. Sada voda iz evi dopire najdae do

visine. Odrediti:

(a) Konstantnu k, k = k(V̇ , a, h) u opxtim brojevima, kao i za konkretne vrednosti a = 2m,

h = 3m i V̇ = 5π (m3/s)/m.

(b) Jednaqinu konture koja razdvaja vodu iz evi od vode pridodatog struja�a.


2.4.1 II kolokvijum xkolske 2003/'04. godine

1. Jednolika struja brzine v0 = 1m/s opstrujava izvor i ponor jednakih izdaxnosti ǫ = 4π koji

se nalaze na rastoja�u 2a = 10m (slika 1). Odrediti strujnu funk iju, poten ijal brzine i

pokazati da je strujna funk ija koja prolazi kroz zaustavnu taqku nulta strujni a.

(30 poena)

v

2a

Slika 1

2. Polu ilindriqna graÆevina polupreqnika R i du�ine L izlo�ena je dejstvu vetra na naqin

prikazan na sli i 2. Odrediti pod kojim uglom θ0 treba napraviti otvor tako da sila kojom

vazduh deluje na polu ilindriqnu konstruk iju bude nula. Smatrati da se radi o poten ijalnom

struja�u vazduha.

(40 poena)

PSfrag repla emen

θ0

LR

v∞, p∞

PSfrag repla emen

θ0

R

v∞, p∞

Slika 2

3. Struja�e u tornadu mo�e se predstaviti kao ravansko poten ijalno struja�e u pou vrtloga i

ponora koji su smexteni u istoj taqki. Ako je brzina vetra, na mestu udaenom 6km od jezgra

tornada, 20m/s, a pritisak 98kPa, na�i brzinu i pritisak na mestu koje je udaeno 1km od

jezgra.

(30 poena)


2.4.2 II kolokvijum xkolske 2004/'05. godine

1. Tri izvora jednakih izdaxnosti ε = 2π (m3/s)/m se nalaze na jednakim suk esivnim rastoja-

�ima a = 1m (slika 1).

• Odrediti kompleksni poten ijal, strujnu funk iju, jednaqinu nulte strujni e i zaustavne

taqke ovog struja�a.

• Na rtati strujnu sliku sa smerom struja�a.

• Odrediti protok kroz konturu ograniqenu taqkama A (−1,√2), B (1,

√2).

(50 poena)

PSfrag repla emen

εεε

x

y

aa

A B

Slika 1

1. Na rastoja�u h = 1m od ravne beskonaqne ploqe nalazi se vrtlog pozitivne irkula ije Γ (slika

2). U taqki M sa koordinatama (h, h) izmerene su vrednosti (intenziteta) brzine i pritiska:

vM = 2√5m/s i pM = 1bar. Odrediti:

• vrednost irkula ije Γ,

• raspodelu pritiska p = p(x) du� ploqe, ako je ρ = 1.25 kg/m3

• na osnovu odreÆene raspodele pritiska, napisati izraz pomo�u kojeg se mo�e izraqunati

sila pritiska po jedini i du�ine (N/m) na deo ploqe izmeÆu taqaka x1 = −h i x2 = h.

(50 poena)

��

PSfrag repla emen

x

y

Γ

x1 x2

0

h

M (h, h)

Slika 2


2.4.3 Drugi kolokvijum xkolske 2005/'06. godine

1. Ravansko struja�e nestixivog fluida, odreÆeno je strujnom funk ijom ψ(x, y) = ay2− bx2, gdesu a i b realne konstante (a, b ∈ R).

(a) Pokazati da je ovo struja�e u opxtem sluqaju vrtlo�no.

(b) Odrediti uslov pod kojim struja�e postaje nevrtlo�no i za taj sluqaj na�i kompleksnu

brzinu v̄(z), kompleksni poten ijal w(z) i poten ijal brzine, ako je graniqni uslov w(0) =

0.

(v) Odrediti nulte strujni e, polo�aj zaustavne taqke i na rtati strujnu sliku.

(35 poena)

2. Preko ravnomerno perforiranog dela evi visine H = 5m usisava se zapreminskim protokom V̇

voda iz jezera (slika 1). Cev se nalazi na rastoja�u a = 1m od obale. Ako je u taqki A intenzitet

brzine v = 5m/s, odrediti zapreminski protok V̇ . Smatrati da se ev mo�e modelirati kao

ponor qija je izdaxnost odreÆena izrazom ε = −V̇ /H (problem razmatrati u horizontalnoj ravni

- slika 1b).

(30 poena)

��

��

��

��

��

��

PSfrag repla emen

H

a

a

a

a

V̇

A

A

(a) (b)

Slika 1

3. Oblik brda, koje je izlo�eno dejstvu vetra, mo�e se aproksimirati jednom od strujni a koja se

formira prilikom a ikliqnog opstrujava�a ilindra polupreqika R (slika 2). Maksimalna

visina brda je H = 3R/4. Odrediti intenzitet brzine i pritisak na vrhu brda, ako su pritisak

i brzina u beskrajno dalekim taqkama u podno�ju brda p∞ = 1bar i v∞ = 20m/s. Gustina

vazduha je ρ = 1.2 kg/m3. Smerni a: prvo odrediti rastoja�e h.

(35 poena)

��

��

PSfrag repla emen

x

y

H

h

R

p∞, v∞

Slika 2


2.4.4 Jox malo o kompleksnim brojevima i kompleksnim funk ijama

Iako su ve� date neki osnovni izrazi vezani za opera ije sa kompleksnim brojevima, ovde �e se

malo detanije analizirati pojam argumenta kompleksnog broja. Pa krenimo redom.

U kompleksnoj ravni taqka sa koordinatama (a, b), a ∈ R, b ∈ R odgovara kompleksnom broju

z = x + i y. Ovo je zapis kompleksnog broja u Dekartovim

1

pravouglim koordinatama. Taqka (a b) se

mo�e predstaviti i preko polarnih koordinata - rastoja�a od koordinatnog poqetka r i preko ugla

θ, odnosno kao z = r cos θ + i sin θ. Ovo je trigonometrijski zapis kompleksnog broja - r predstava

modul kompleksnog broja, r ≡ |z| =√

(Re z)2 + (Im z)2 =√a2 + b2, dok je θ (ugao izmeÆu potega r i

pozitivnog smera x ose) argument kompleksnog broja. Korix�e�em Ojlerove formule, kompleksni

broj se mo�e prikazati i u eksponen ijalnom obliku z = |z|eiθ.

r

PSfrag repla emen θ

a a

b b

x ≡ Rez x ≡ Rez

y ≡ Imz y ≡ Imz

Slika 2.7: Razni naqini predstava�a kompleksnog broja.

Kako bi se izbegle vixeznaqnosti po pita�u argumenta kompleksnog broja (neka dva kompleksna

broja z1 i z2 imaju isti moduo, |z1| = |z2|, a neka je, re imo θ1 = 3π/2, a θ2 = −π/2 - ovo su dva identiqnakompleksna broja), u kompleksnoj analizi se definixe pojam glavne vrednosti argumenta, koji se

obele�ava sa arg z i koji mo�e imati vrednosti od u intervalu od −π do π, ili pak u intervalu od 0

do 2π.

−π < arg z < π − glavna vrednost argumenta kompleksnog broja (2.33)

Pored glavne vrednosti argumenta, definixe se i uopxtena vrednost argumenta, Arg z,

Arg z = arg z + 2kπ, (k ∈ Z) − uopxtena vrednost argumenta kompleksnog broja (2.34)

Dakle, jednakost kompleksnih brojeva z1 i z2 povlaqi za sobom i |z1| = |z2| i arg z1 = arg z2, dok ne

povlaqi za sobom i jednakost �ihovih uopxtenih argumenata.

Prilikom odreÆiva�a glavne vrednosti argumenta kompleksnog broja z, mora se voditi raquna

o tome u kom se kvadrantu kompleksne ravni on nalazi.

Neka je θ vrednost glavnog argumenta kompleksnog broja, slika 2.8.

1

Poxto sam �eleo da se posvetim samo tra�e�u istine, smatrao sam da moram odba iti kao krivo sve o qemu bih mogao

i najma�e sum�ati, da vidim ne�e li nakon toga ostati i nexto u mom uvere�u, xto bi bilo izvan svake sum�e. Budu�i da

nas naxa qula ponekad varaju, hteo sam pretpostaviti, da nema stvari, koje bi bile takve kakve nam se prikazuju. . . Ali sam

odmah zatim primetio, da, dok sam hteo tako misliti, da je sve krivo, nu�no treba da ja, koji mislim, jesam nexto. I poxto

mi je bilo jasno da je ova istina: mislim, dakle jesam, tako qvrsta i tako pouzdana da je ni najpreteranije pretpostavke

skeptika nisu u sta�u uzdrmati, prosudio sam da je bez promixa�a mogu prihvatiti kao prvo naqelo filozofije kojom

sam se bavio.- Rene Dekart (1596-1650)


• θ = arg z, −π < θ < π, i takoÆe je α = arctg∣∣∣b

a

∣∣∣2

PSfrag repla emen

θ

θ

θ

θ

a

a

bb

α

α

−a

−a

−b−b

(a) Prvi kvadrant (b) Drugi kvadrant

(v) Tre�i kvadrant (g) Qetvrti kvadrant

z z

zz

θ = arctg∣∣∣b

a

∣∣∣ θ = π − α = π − arctg

∣∣∣b

a

∣∣∣

θ = −π + α = −π + arctg∣∣∣b

a

∣∣∣ θ = −α = −arctg

∣∣∣b

a

∣∣∣

Slika 2.8: OdreÆiva�e vrednosti glavnog argumenta kompleksnog broja

MeÆutim, vrednost glavnog argumenta se mo�e definisati u intervalu arg z ∈ [0, 2π), tako da �e

se izrazi u sluqaju da se kompleksni broj nalazi u tre�em i qetvrtom kvadrantu, izrazi za vrednost

glavnog argumenta razlikovati:

• Tre�i kvadrant: θ = π + α = π + arctg∣∣∣b

a

∣∣∣

• Qetvrti kvadrant: θ = 2π − α = 2π − arctg∣∣∣b

a

∣∣∣

2

U skupu realnih brojeva R, funk ija arctg x uzima vrednosti iz intervala −π/2, π/2, tj. −π/2 < arctg x < π/2, za−∞ < x < ∞, i takoÆe va�i arctg (−x) = −arctg x.


TakoÆe, ovde se daje jox dve korisne rela ija, a vezane su za zbir

arg(z1) + arg(z2) = arg(z1 z2) (2.35)

odnosno razliku

arg(z1)− arg(z2) = arg

(z1z2

)

(2.36)

argumenata kompleksnog brojeva z1 i z2.

Primer 2.1. Ako je struja�e fluida opisano kompleksnim poten ijalom w(z) = ln(z+2i)− ln(z− 2i)

na rtati strujnu sliku i odrediti protok kroz konturu y = 0.

Na osnovu zadatog kompleksnog poten ijala, i imaju�i u vidu izraze za osnovne komplesne poten ijale,

zakuqujemo da se radi u struja�u u pou izvora i ponora jednakih izdaxnosti ε = 2π, smextenih

u taqkama z = −2i (izvor) i z = 2i (ponor). Kako su strujni e odreÆene izrazom ψ = const, treba

odrediti imaginarni deo kompleksne funk ije w(z).

w(z) = ln(z + 2i)− ln(z − 2i) ≡ ϕ(x, y) + i ψ(x, y)

Realni i imaginarni deo kompleksne funk ije ln(z+2i), odnosno ln(z−2i) se odreÆuje na slede�i

naqin:

ln(z + 2i) = ln [x+ i(y + 2)] = ln(r1 e

i θ1)

gde su

r1 = |x+ i(y + 2)| =√

x2 + (y + 2)2 i θ1 = arg[x+ i(y + 2)].

Sliqno za ln(z − 2i):

ln(z − 2i) = ln [x+ i(y − 2)] = ln(r2 e

i θ2)

gde su

r2 = |x+ i(y − 2)| =√

x2 + (y + 2)2 i θ2 = arg[x+ i(y − 2)].

Dakle, realni i imaginarni deo kompleksnog poten ijala w(z) su:

w(z) = ln r1 − ln r2 + i (θ1 + θ2) =⇒ ψ = θ1 + θ2 ≡ arg[x+ i(y + 2)]− arg[x+ i(y − 2)]

Dae se izraz za strujnu funk iju uslovno

3

mo�e napisati i kao:

ψ(x, y) = arctgy + 2

x− arctg

y − 2

x

Koriste�i trigonometrijsku rela iju za zbir funk ije arctg, dolazi se do slede�eg izraza

ψ(x, y) = arctg4x

x2 + y2 − 4

iz koga slede da su strujni e krugovi qiji se entri nalaze na x-osi i koji prolaze kroz taqke u

3

Jednostavno, arg z i arctg(Im z/Re z) su veoma sliqne funk ije, ali nemaju iste vrednosti u svim taqkama z ravni!

O tome se mora voditi raquna prilikom odreÆiva�a vrednosti strujne funk ije u nekoj taqki z ravni.


PSfrag repla emen

x

y

Slika 2.9: Struja�e u pou izvora i ponora smextenih u taqkama z = −2i i z = 2i.

kojima su smexteni izvor i ponor. Strujni e su odreÆene izrazom:

arctg4x

x2 + y2 − 4= C =⇒ (x− 2C1)

2 + y2 = 4(1 + C21 ), C1 = ctgC

Nulta strujni a, ψ(x, y) = 0, je x = 0.

Do izraza za strujnu funk iju je mogu�e do�i i na slede�i naqin:

ψ(x, y) = arg[x+ i(y + 2)]− arg[x+ i(y − 2)] = arg

[x+ i(y + 2)

x+ i(y − 2)

]

= arg

[x2 + y2 − 4

x2 + (y − 2)2+ i

4x

x2 + (y − 2)2

]

odnosno, (uslovno)

ψ(x, y) = arctg4x

x2 + y2 − 4

Protok kroz neku konturu ograniqenu taqkama A i V u sluqaju dvodimenzijskih poten ijalnih

struja�a se mo�e odrediti na osnovu izraza (2.28). Sada �e biti pokazano da �e se u sluqaju da se

vrednost strujne funk ije odreÆuje preko raquna�a funk ije arctg dobiti pogrexni rezultat!

Ako primenimo izraz (2.28) za raquna�e protoka kroz x osu, taqke V i A su odreÆene koordina-

tama B (−∞, 0) i A(∞, 0).

• Prvi naqin odreÆiva�a vrednosti strujne funk ije u taqkama A i V - pogrexan!

ψB = arctg2

−∞ − arctg−2

−∞ = 0

ψA = arctg2

+∞ − arctg−2

+∞ = 0

pa je protok kroz konturu jednak nuli, xto je, gledaju�i sliku pogrexno - jasno je da �e protok

x osu biti jednak izdaxnosti izvora (ponora), tj. V̇ = 2π!


• Drugi naqin odreÆiva�a vrednosti strujne funk ije (argument definisan u intervalu −π ≤arg z < π) :

ψB = arg (−∞+ 2i)︸︷︷︸

II kvadrant

− arg (−∞− 2i)︸︷︷︸

III kvadrant

= π − arctg∣∣∣

2

−∞∣∣∣−

(

−π + arctg∣∣∣−2

−∞∣∣∣

)

= 2π

ψA = arg (+∞+ 2i)︸︷︷︸

I kvadrant

− arg (+∞− 2i)︸︷︷︸

IV kvadrant

= arctg∣∣∣

2

+∞∣∣∣− arctg

∣∣∣−2

−∞∣∣∣ = 0.

Ako se izabere vrednost argumenta u opsegu 0 ≤ arg z < 2π, dobija se

ψB = arg (−∞+ 2i)︸︷︷︸

II kvadrant

− arg (−∞− 2i)︸︷︷︸

III kvadrant

= π − arctg∣∣∣

2

−∞∣∣∣−

(

π + arctg∣∣∣−2

−∞∣∣∣

)

= 0

ψA = arg (+∞+ 2i)︸︷︷︸

I kvadrant

− arg (+∞− 2i)︸︷︷︸

IV kvadrant

= arctg∣∣∣

2

+∞∣∣∣−

(

2π − arctg∣∣∣−2

−∞∣∣∣

)

= −2π

Protok je sada, saglasno izrazu (2.28), V̇ = ψB − ψA = 2π! Dobijena je ista vrednost protoka

za oba intervala u kojima se definixe argument, iako se vrednosti u taqkama A i B pojedinaqno

razlikuju.

Dakle, u sluqaju kada u strujnom pou imamo neki singulatitet tipa izvora (ponora) ili vr-

tloga, odnosno struja�e koje je opisano poten ijalom u kome �e figurisati kompleksna analitiqka

funk ija ln(z − z0), u izrazu za strujnu funk iju kod izvora ili ponora, odnosno za poten ijal br-

zine kod vrtloga figurisa�e funk ija arg(z − z0), i ako treba odreÆivati vrednost strujne funk ije

(poten ijala brzine) u nekoj taqki strujnog poa treba koristiti pravila za odreÆiva�e argumenta

opisana u prethodnim redovima.

Protok kroz neku konturu (povrx) se uvek mo�e odrediti integra ijom vektora brzine po toj

konturi.

4

Kompleksna brzina je odreÆena izvodom kompleksnog poten ijala po z, tj.

v(z) =dw

dz=

1

z + 2i− 1

z − 2i= −i 4

z2 + 4

Kompleksna brzina na x-osi se jednostavno odreÆuje tako xto se z u prethodnom izrazu zameni sa x

v(z)∣∣z=x

= −i 2

x2 + 4≡ vx

∣∣z=x

− i vy∣∣z=x

Dakle, raspodela (intenziteta) brzine na x-osi je odreÆena izrazom v(x) = 4/(x2+4), i vektor brzine

u svakoj taqki x ose je usmeren u pozitivnom smeru y ose. Zapreminski protok je odreÆen izrazom

4

Zapreminski protok je kroz neku povrx je odreÆen fluksom vektora brzine kroz tu povrx, V̇ =∫A~v · ~ndA, gde je ~n

vektor normale elementarne povrxi dA.


(vektor brzine i vektor normale elementarnih povrxi su kolinearni u svakoj taqki x-ose):

V̇ =

∫

A

~v • ~ndA =

∫

A

vy dA︸︷︷︸

dx·1

=

+∞∫

−∞

vy(x) dx =

+∞∫

−∞

4

x2 + 4dx

=

+∞∫

−∞

dx

1 +(x2

)2 = 2 arctgx

2

∣∣∣

+∞

−∞

= 2 [ arctg(+∞)− arctg(−∞)]

= 2[π

2−(

−π2

)]

= 2π

�

2.5 Korix�e�e programskog paketa Mathematica

Mathematica je vode�i softverski paket za tzv. simboliqki raqun. Autor Mathematica-e je

Stefan Volfram (Stephen Wolfram) i prva verzija je ugledala svetlo dana 1988. godine, i tada je

predstavala pravu revolu iju u nauqnom svetu. Mogu�nosti ovog softvera su ogromne, i do sada je

objaveno oko 300 (!) k�iga koje se �ime bave. Posled�a verzija je 5.2.

Startova�em Mathematica-e dobija se prazan prozor (Notebook), u koga se unose odgovaraju�e

komande. Komunika ija sa programom je interaktivna. Kada zavrxite sa unosom sa Shift+ Enter

dajete naredbu kernelu da izvrxi odgovaraju�u komandu.

Prilikom instala ije Mathematica-e instalira se i �en odliqno uraÆeni Help Browser, sa veoma

jasnom naviga ijom.

U slede�im primerima �e se pokazati primena Mathematica-e za rexava�e problema iz dvodi-

menzijskih poten ijalnih struja�a nestixivog fluida.

Primer 2.1 Izvor izdaxnosti ε = 2π (m3/s)/m, smexten je u taqki z = −4. Na osnovu Milne-

Thompson-ove teoreme (teoreme o kru�ni i), odrediti kompleksni poten ijal struja�a koje simu-

lira opstrujava�e ilindra polupreqika R = 2m datim izvorom. Primenom programskog paketa

Mathematica na rtati strujnu sliku.

Primenom teoreme o kru�ni i na neku zadati kompleksnu funk iju f(z) (u naxem sluqaju to je kom-

pleksni poten ijal izvora), dobija se nova kompleksna funk ija F (z) qija je jedna linija Im[F (z)] =

const u kompleksnoj ravni kru�ni a polupreqnika R. Teorema o kru�ni i se opisuje izrazom:

F (z) = f(z) + f̄

(R2

z

)

(2.37)

Kompleksni poten ijal izvora ε = 2π, smextenog je u taqki z = −4 je odreÆen izrazom:

f(z) =ε

2πln(z − z0) = ln(z + 4)

Prime�uju�i teoremu o kru�ni i na dati kompleksni poten ijal f(z) dobija se novi kompleksni


poten ijal w(z):

w(z) = f(z) + f̄

(R2

z

)

= ln(z + 4) + ln

(22

z+ 4

)

= ln(z + 4) + ln[4(z + 1)]− ln z = ln(z + 4) + ln(z + 1)− ln z + ln 4

Dakle, izvoru je pridodat jos jedna izvor iste izdaxnosti, smexten u taqki z = −1 i ponor izdax-

nosti ε = −2π smexten u koordinatnom poqetku. Mo�e se pokazati analitiqki da je nulta strujni a

struja�a koje je opisano ovim kompleksnim poten ijalom kru�ni a polupreqnika R = 2 smextena

u koordinatnom poqetku. Sada �emo, koriste�i Mathematica-u, na rtati strujnu sliku i odrediti

polo�aje zaustavnih taqaka.

Sledi algoritam rta�a strujni a za zadati kompleksni poten ijal u Mathematica-i:

1. Definixi kompleksni broj:

z = x+ I ∗ y

Sa I se oznaqava imaginarna jedini a i; takoÆe znak ∗, koji oznaqava mno�e�e se mo�e i izosta-viti, ali su u tom sluqaju mora napraviti razmak izmeÆu brojeva koji se mno�e, tj. z = x + I y.

2. Definixi kompleksni poten ijal

w[z] = Log[z+ 4] + Log[4 (z + 1)]− Log[z]

Funk ija Log[x] predstava prirodni logaritam broja x, tj. funk iju lnx. Logaritam neke

proizvone baze b broja x se pixe kao Log[b, x].

3. Odredi strujnu funk iju:

strujnafunkcija= ComplexExpand[Im[w[z]]]

Sa komandom ComplexExpand[w[z]] dobija se realni i imagionarni deo kompleknog poten ijala;

komandom ComplexExpand[Im[w[z]]] dobija se samo imaginarni deo kompleksnog poten ijala.

4. Na rtaj strujni e:

strujnice = ContourPlot[strujnafunkcija, {x,−5,5}, {y,−5,5}, PlotPoints− > 200,

ContourShading−> False, Contours−> 50]

Posle startova�e ove komande dobija se slede�a slika:


-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

5. Na rtaj kru�ni u sa entrom u koordinatnom poqetku i polupreqnika R = 2:

kruznica = Graphics[Circle[{0, 0}, 2]

6. Prikazi na jednom grafiku strujni e i kru�ni u:

strujnaslika= Show[strujnice, kruznica]

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4


OdreÆiva�e zaustavnih taqaka

7. Neka z bude nezavisna prome�iva:

Clear[z]

8. Diferen iraj kompleksni poten ijal po z - odredi kompleksnu brzinu

v[z] = D[w[z], z]

9. Odrediti polo�aje zaustavnih taqaka:

zT = Solve[v[z] == 0, z]

10. Na rtaj zaustavne taqke:

ztacke = ListPlot[{{−2, 0}, {2, 0}}, PlotStyle−> PointSize[0.02]]

11. Prika�i na jednom dijagramu strujnu sliku sa zaustavnih taqkama:

finale = Show[ztacke, strujnaslika]

-4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

Primer 2.2 Primenom programskog paketa Mathematica prikazati strujne slike ikliqnog opstru-

java�a ilindra polupreqnika R = 1m, za karakteristiqne vrednosti irkula ije Γ. Poznato je da

je v∞ = 5m/s.


Cikliqno opstrujava�e ilindra se opisuje slede�im kompleksnim poten ijalom:

w(z) = v∞z +M

2πz+iΓ

2πln z = v∞

(

z +R2

z

)

Diferen ira�em izraza za komplesni poten ijal po z, dobija se kompleksna brzina v̄(z). Iz-

jednaqava�em tog izraza sa nulom, dobija se kvadratna jednaqina qija rexe�a odreÆuje polo�aje

zaustavnih taqaka:

z1,2 =−iΓ±

√

−Γ2 + 16π2 v2∞R2

4π v∞

U zavisnosti od vrednosti izraza pod korenom, −Γ2 + 16π2 v2∞R2

, mo�emo imati slede�e sluqa-

jeve:

• Γ < 4π v∞R - postoje dve zaustavne taqke na konturi ilindra

• Γ = 4π v∞R - postoji jedna zaustavna taqka na dnu ilindra

• Γ > 4π v∞R - postoji jedna zaustavna taqka i ona se ne nalazi na konturi ilindra

Prime�uju�i istu metodologiju kao u prethodnom primeru, dobijaju se slede�e strujne slike:

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

Γ < 4π v∞R Γ = 4π v∞R Γ > 4π v∞R

Zbog simetrije u odnosu na y osu, sila otpora je, kao i sluqaju a ikliqnog opstrujava�a i-

lindra (uniformna struja + dvopol) jednaka nuli. MeÆutim, dodava�e vrtloga ima za posledi u

nesimetriqnu sliku u odnosu na x osu, tako da se �e se dobiti neka sila koja deluje na ilindar u

vertikalnom prav u - to je sila uzgona. Ta sila se mo�e odrediti integrae�em poa pritiska na

konturi ilindra, i pritom se dobija da je ona jednaka:

L = ρ v∞Γ (2.38)

Ovo je zadivuju�i rezultat, koji nam ka�e da je sila uzgona propor ionalna irkula iji Γ i brzini

v∞, i da je nezavisna od geometrije ilindra. Ovaj fenomen je poznat pod imenom Magnusov efekat.

Ovaj rezultat su Kuta (Kutta) i �ukovski (Jaukowski) malo uopxtili:

Sila uzgona koja deluje na telo u struji neviskoznog fluida je propor ionalna

ukupnoj irkula iji oko tela. Smer sile uzgona je pod uglom od 90◦ u odnosu na

smer struja�a, rotiran u suprotnom smeru od smera irkula ije.

Documents

Mehanika fluida - handot za auditorne vezbefluidi.mas.bg.ac.rs/mfm/handouts/potencijalnaStrujanja.pdf · MEHANIKA FLUIDA M-Potencijalna strujaa nestix ivog fluida 3 S druge strane