Medjunarodna Matematicka Natjecanja 1997

7/17/2019 Medjunarodna Matematicka Natjecanja 1997

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Z A D A C I I Z M A T E M A T I K E

d r M i r j a n a o r i , d r P a v l e M l a d e n o v i , d r M i l o x A r s e n o v i

M E U N A R O D N A M A T E M A T I Q K A T A K M I Q E ; A

1 9 9 7 . G O D I N E

P R V A B A L K A N S K A O S N O V N O X K O L S K A

M A T E M A T I Q K A O L I M P I J A D A

B e o g r a d , 1 8 { 2 2 . 0 6 . 1 9 9 7 .

P r v a b a l k a n s k a o s n o v n o x k o l s k a m a t e m a t i q k a o l i m p i j a d a ( 1 . B O M O ) o d r a -

n a j e o d 1 8 . d o 2 2 . j u n a o v e g o d i n e u B e o g r a d u . O r g a n i z a t o r o v e o l i m p i j a d e b i o

j e S a v e z d r u x t a v a m a t e m a t i q a r a J u g o s l a v i j e , a d o m a i n i t a k m i q e a s u b i l i

u q e n i c i i n a s t a v n i c i O X , , M i l o x C r a n s k i \ i z B e o g r a d a .

T a k m i q e e s u , u z p r i g o d a n k u l t u r n o - u m e t n i q k i p r o g r a m , o t v o r i l i p r e d s e -

d n i k S a v e z a d r u x t a v a m a t e m a t i q a r a J u g o s l a v i j e , d r V l a d i m i r M i i i p o t -

p r e d s e d n i k V l a d e S R J u g o s l a v i j e , m r N i k o l a X a i n o v i . P o s l e u s p e x n o r e -

x e n i h z a d a t a k a u q e s n i c i t a k m i q e a s u s v o j e s l o b o d n o v r e m e i s k o r i s t i l i z a

r a z g l e d a e B e o g r a d a , p o s e t e p o z o r i x n i m p r e d s t a v a m a , k o n c e r t i m a i d r u e e .

Z a u q e s n i k e t a k m i q e a i i h o v e d o m a i n e j e 2 1 . j u n a o r g a n i z o v a n i z l e t d o D e -

s p o t o v c a , m a n a s t i r a M a n a s i j e i R e s a v s k e p e i n e .

Z a v r x n a s v e q a n o s t p r v e B O M O o d r a n a j e u V l a d i S R J u g o s l a v i j e , g d e j e

p r e d s e d n i k i r i j a , d r M i r j a n a o r i u r u q i l a n a g r a d e u q e s n i c i m a , a s a v e z n i

m i n i s t a r z a i n f o r m i s a e , I v a n M a t i j e z a t v o r i o t a k m i q e e .

N e s e b i q n u p o m o u o r g a n i z a c i j i p r v e B O M O p r u i l i s u V l a d a S R J u g o -

s l a v i j e , Z a v o d z a i z r a d u n o v q a n i c a , , , S o k o X t a r k \ , , , B e o b a n k a \ , M a t e m a t i q k i

l i s t z a u q e n i k e o s n o v n e x k o l e i m n o g i e n t u z i j a s t i k o j i s u s v o j i m l i q n i m z a l a -

g a e m d o p r i n e l i d a J u g o s l a v i j a b u d e u s p e x a n d o m a i n o v e m a n i f e s t a c i j e .

P r o p o z i c i j e B O M O s u t a k v e d a u q e n i c i q e t i r i s a t a r e x a v a j u p e t z a d a -

t a k a , o d k o j i h s v a k i n o s i p o 1 0 p o e n a . S v a k a z e m a u q e s n i c a i m a p r a v o d a

p r e d l o i n a j v i x e p e t z a d a t a k a i z s l e d e i h o b l a s t i : e l e m e n t a r n a t e o r i j a b r o -

j e v a , p r o p o r c i j e i p r o c e n t i , l i n e a r n e j e d n a q i n e s a j e d n o m n e p o z n a t o m i p r i m e n e ,

s i s t e m i l i n e a r n i h j e d n a q i n a s a d v e n e p o z n a t e i p r i m e n e , l i n e a r n e n e j e d n a q i -

n e i s i s t e m i l i n e a r n i h n e j e d n a q i n a s a j e d n o m n e p o z n a t o m , a l g e b a r s k i i z r a z i ,

d o k a z i i m e r e e u p l a n i m e t r i j i ( b e z s l i q n o s t i i P i t a g o r i n e t e o r e m e ) , l o g i q k o -

k o m b i n a t o r n i z a d a c i . K a k o j e o v e g o d i n e n a o l i m p i j a d i u q e s t v o v a l o t a q n o p e t

z e m a a , i r i j e d o n e o o d l u k u d a s e o d 2 4 p r e d l o e n a z a d a t k a i z a b e r e p o j e d a n

p r e d l o g s v a k e z e m e u q e s n i c e .



6 0 M . o r i , P . M l a d e n o v i , M . A r s e n o v i

Z A D A C I :

1 . D e v e t t a q a k a j e r a s p o r e e n o u j e d i n i q n o m k v a d r a t u . D o k a z a t i d a m e u i m a

p o s t o j e t r i t a q k e t a k v e d a p o v r x i n a t r o u g l a k o m e s u o n e t e m e n a n i j e v e a

o d 1 = 8 .

2 . U k o l i k o j e

x

2

+ y

2

x

2

; y

2

+

x

2

; y

2

x

2

+ y

2

= k , i z r a z i t i

x

8

+ y

8

x

8

; y

8

+

x

8

; y

8

x

8

+ y

8

u f u n k c i j i

o d k .

3 . N e k a j e I c e n t a r k r u g a u p i s a n o g u d a t i t r o u g a o A B C , a D i E r e d o m s r e -

d i x t a s t r a n i c a A B i A C . N e k a s u , d a e , K i L p r e s e q n e t a q k e p r a v e D E

r e d o m s a B I i C I . D o k a z a t i d a j e

A I + B I + C I > B C + K L :

4 . N a i u g l o v e t r o u g l a A B C u k o l i k o j e R ( b + c ) = a

p

b c , p r i q e m u s u a , b

i c s t r a n i c e t r o u g l a A B C , a R j e p o l u p r e q n i k k r u g a o p i s a n o g o k o o v o g

t r o u g l a .

5 . A k o s u n

1

n

2

. . . n

1 9 9 7

n

1 9 9 8

p r i r o d n i b r o j e v i t a k v i d a j e

n

2

1

+ n

2

2

+ + n

2

1 9 9 7

= n

2

1 9 9 8

d o k a z a t i d a s u b a r d v a o d t i h b r o j e v a p a r n i .

P r a v o u q e x a n a b a l k a n s k o j o s n o v n o x k o l s k o j o l i m p i j a d i ( p o p r a v i l n i k u ) ,

i m a j u u q e n i c i m l a i o d 1 5 : 5 g o d i n a . E k i p e s u p e t o q l a n e , a p o r e d J u g o s l a v i j e n a

o v o j O l i m p i j a d i u q e x e s u u z e l e i e k i p e B u g a r s k e , G r q k e , K i p r a i M a k e d o n i j e .

U z v a n i q n o j p o j e d i n a q n o j k o n k u r e n c i j i q l a n o v i j u g o s l o v e n s k e e k i p e p o s t i -

g l i s u s l e d e e r e z u l t a t e : z l a t n u m e d a u s u o s v o j i l i T o m i s l a v R a d i , u q e n i k

o s m o g r a z r e d a O X , , B o r i v o j e M i l o j e v i \ , K r u p a i D r a g a n P r e k r a t , u q e n i k

o s m o g r a z r e d a O X , , B r a n k o R a d i q e v i \ , P a n q e v o s r e b r n u m e d a u o s v o j i o j e

V l a d i m i r L a z i , u q e n i k o s m o g r a z r e d a O X , , M i l a n R a k i \ , N o v i B e o g r a d

b r o n z a n u m e d a u o s v o j i l a j e K a r o l a M e s a r o x , u q e n i c a o s m o g r a z r e d a O X , , V I I I

V U B \ , S u b o t i c a p o h v a l u j e o s v o j i o n a j m l a i u q e s n i k o l i m p i j a d e , N e n a d J o v a -

n o v i , u q e n i k s e d m o g r a z r e d a O X , , B r a n k o R a d i q e v i \ , N o v i B e o g r a d .

U n e z v a n i q n o m e k i p n o m p l a s m a n u , k o j i s e o d r e u j e p r e m a u k u p n o m z b i r u

p o e n a , n a j v i x e u s p e h a i m a l a j e e k i p a B u g a r s k e , a z a t i m s l e d i e k i p a J u g o s l a v i j e .

d r M i r j a n a o r i

p r e d s e d n i k i r i j a 1 . b a l k a n s k e

o s n o v n o x k o l s k e m a t e m a t i q k e o l i m p i j a d e



M e u n a r o d n a m a t e m a t i q k a t a k m i q e a 1 9 9 7 . g o d i n e 6 1

3 8 . M E U N A R O D N A M A T E M A T I Q K A O L I M P I J A D A

M a r d e l P l a t a , A r g e n t i n a , 2 4 . i 2 5 . j u l i 1 9 9 7 .

U v r e m e n u o d 1 8 . d o 3 1 . j u l a o d r a n a j e 3 8 . M e u n a r o d n a m a t e m a t i q k a

o l i m p i j a d a u M a r d e l P l a t i ( A r g e n t i n a ) . N a o v o j O l i m p i j a d i u q e s t v o v a l e

s u x e s t o q l a n e e k i p e i z 8 2 z e m e s a s v i h k o n t i n e n a t a . U z v a n i q n o j p o j e d i n a q n o j

k o n k u r e n c i j i q l a n o v i j u g o s l o v e n s k e e k i p e p o s t i g l i s u s l e d e e r e z u l t a t e : s r e -

b r n e m e d a e o s v o j i l i s u D u x a n u k i i N i k o l a P e t r o v i , u q e n i c i d r u g o g

r a z r e d a M a t e m a t i q k e g i m n a z i j e u B e o g r a d u b r o n z a n e m e d a e o s v o j i l i s u J e -

l e n a S p a s o j e v i , u q e n i c a t r e e g r a z r e d a M a t e m a t i q k e g i m n a z i j e u B e o g r a d u ,

R a d e S t a n o j e v i , u q e n i k d r u g o g r a z r e d a g i m n a z i j e , , S v e t o z a r M a r k o v i \ u N i -

x u i B r a n i s l a v C v e t k o v i , u q e n i k t r e e g r a z r e d a M a t e m a t i q k e g i m n a z i j e u

B e o g r a d u . Q l a n n a x e e k i p e b i o j e i I v a n V e k o v i , u q e n i k q e t v r t o g r a z r e d a

g i m n a z i j e , , V u k K a r a i \ u L o z n i c i .

U n e z v a n i q n o m e k i p n o m p l a s m a n u , k o j i s e o d r e u j e p r e m a u k u p n o m z b i r u p o -

e n a , n a j v i x e u s p e h a i m a l a j e e k i p a K i n e , a z a t i m s l e d e e k i p e M a a r s k e , I r a n a ,

R u s i j e i S j e d i e n i h A m e r i q k i h D r a v a , U k r a j i n e i t d . N a x a e k i p a z a u z e l a j e

d v a d e s e t o m e s t o .

Z A D A C I

P r v i d a n

1 . T a q k e s a c e l i m k o o r d i n a t a m a u r a v n i s u t e m e n a j e d i n i q n i h k v a d r a t a . K v a d -

r a t i s u n a i z m e n i q n o o b o j e n i c r n o i b e l o ( k a o n a x a h o v s k o j t a b l i ) . Z a

s v a k i p a r p o z i t i v n i h c e l i h b r o j e v a m i n , r a z m a t r a m o p r a v o u g l i t r o u g a o

q i j a t e m e n a i m a j u c e l e k o o r d i n a t e i q i j e k a t e t e , d u i n e m i n , l e e n a

s t r a n i c a m a k v a d r a t a . N e k a j e S

1

u k u p n a p o v r x i n a c r n o g d e l a t r o u g l a i S

2

u k u p n a p o v r x i n a e g o v o g b e l o g d e l a . N e k a j e

f ( m n ) = j S

1

; S

2

j :

( a ) I z r a q u n a t i f ( m n ) z a s v e p o z i t i v n e c e l e b r o j e v e m i n k o j i s u i l i o b a

p a r n i i l i o b a n e p a r n i .

( b ) D o k a z a t i d a j e f ( m n ) 6

1

2

m a x f m n g z a s v e m i n .

( v ) D o k a z a t i d a n e p o s t o j i k o n s t a n t a C t a k v a d a j e f ( m n ) < C z a s v e m

i n .

2 . U g a o A j e n a j m a i u t r o u g l u A B C . T a q k e B i C d e l e o p i s a n u k r u n i c u

t r o u g l a n a d v a l u k a . N e k a j e U u n u t r a x a t a q k a l u k a i z m e u B i C k o j i

n e s a d r i A . S i m e t r a l e d u i A B i A C s e k u p r a v u A U r e d o m u t a q k a m a V

i W . P r a v e B V i C W s e k u s e u T . D o k a z a t i d a j e

A U = T B + T C :

3 . N e k a s u x

1

, x

2

, . . . , x

n

r e a l n i b r o j e v i k o j i z a d o v o a v a j u u s l o v e :

j x

1

+ x

2

+ + x

n

j = 1 i j x

i

j 6

n + 1

2

z a i = 1 2 . . . n :




D o k a z a t i d a p o s t o j i p e r m u t a c i j a y

1

, y

2

, . . . , y

n

b r o j e v a x

1

, x

2

, . . . , x

n

, t a k v a

d a j e

j y

1

+ 2 y

2

+ + n y

n

j 6

n + 1

2

:

D r u g i d a n

4 . M a t r i c a n n ( k v a d r a t n a t a b l i c a ) q i j i s u q l a n o v i e l e m e n t i s k u p a S =

f 1 2 . . . 2 n ; 1 g n a z i v a s e s r e b r n a m a t r i c a a k o , z a s v a k o i = 1 2 . . . n ,

i - t a v r s t a i i - t a k o l o n a z a j e d n o s a d r e s v e e l e m e n t e i z S . D o k a z a t i d a :

( a ) n e p o s t o j i s r e b r n a m a t r i c a z a n = 1 9 9 7

( b ) s r e b r n e m a t r i c e p o s t o j e z a b e s k o n a q n o m n o g o v r e d n o s t i n .

5 . N a i s v e p a r o v e ( a b ) c e l i h b r o j e v a a > 1 , b > 1 , k o j i z a d o v o a v a j u j e d n a -

q i n u :

a

b

2

= b

a

:

6 . Z a s v a k i p o z i t i v a n c e o b r o j n , n e k a f ( n ) o z n a q a v a b r o j p r e d s t a v a a b r o -

j a n u o b l i k u z b i r a s t e p e n a b r o j a 2 s a n e n e g a t i v n i m c e l i m e k s p o n e n t i m a .

R e p r e z e n t a c i j e k o j e s e r a z l i k u j u s a m o u r e d o s l e d u i h o v i h s a b i r a k a s m a -

t r a j u s e i s t i m . N a p r i m e r , f ( 4 ) = 4 , j e r b r o j 4 m o e b i t i p r e d s t a v e n n a

s l e d e a q e t i r i n a q i n a : 4 , 2 + 2 , 2 + 1 + 1 , 1 + 1 + 1 + 1 . D o k a z a t i d a z a

s v a k i c e o b r o j n > 3 v a i

2

n

2

= 4

< f ( 2

n

) < 2

n

2

= 2

:

N a m e u n a r o d n o j m a t e m a t i q k o j o l i m p i j a d i t r a d i c i o n a l n o s e r e x a v a x e s t

z a d a t a k a u t o k u d v a d a n a . Z a d a c i s e b i r a j u i z s l e d e i h o b l a s t i : g e o m e t r i j a ,

t e o r i j a b r o j e v a , a l g e b r a i k o m b i n a t o r i k a . O v e g o d i n e j e b i l o v i x e z a d a t a k a

u k o j i m a s e p r e p l i u r a z l i q i t e o b l a s t i , a s v e t r a d i c i o n a l n e o b l a s t i s u b i l e

z a s t u p e n e . Z a d a c i k o j i s e p r e d l a u n a M e u n a r o d n o j m a t e m a t i q k o j o l i m p i j a d i

s u r a z l i q i t e t e i n e i s l o e n o s t i . M e u i m a o b a v e z n o i m a z a d a t a k a k o j i s u

d o s t u p n i v e i n i u q e n i k a ( t a k a v j e n a p r i m e r z a d a t a k 2 ) . T a k o e s e p r e d l a u

i z a d a c i k o j i b i m o g l i b i t i u v o d u d u b a i s t r a i v a a . N a p r i m e r , u v e z i

s a z a d a t k o m 6 , i n t e r e s a n t n o j e p i t a e a s i m p t o t s k e i l i t a q n e f o r m u l e z a b r o j

s v i h p r e d s t a v a a b r o j a 2

n

u o b l i k u z b i r a s a b i r a k a o b l i k a 2

k

. D o b a r u v o d u

t e o r i j u r a z b i j a a s k u p o v a i b r o j e v a m o e p r e d s t a v a t i k i g a A n d r e w s , G . E . :

T h e T h e o r y o f P a r t i t i o n s , A d d i s o n { W e s l e y , L o n d o n , 1 9 7 6 .

d r P a v l e M l a d e n o v i ,

r u k o v o d i l a c j u g o s l o v e n s k e e k i p e

n a 3 8 . M e u n a r o d n o j m a t e m a t i q k o j o l i m p i j a d i



M e u n a r o d n a m a t e m a t i q k a t a k m i q e a 1 9 9 7 . g o d i n e 6 3

Q E T V R T O M E U N A R O D N O T A K M I Q E ; E S T U D E N A T A

P l o v d i v , B u g a r s k a , 3 0 . 0 7 { 0 4 . 0 8 . 1 9 9 7 .

Q e t v r t o m e u n a r o d n o t a k m i q e e s t u d e n a t a m a t e m a t i k e u P l o v d i v u , B u g a r -

s k a , o d r a n o j e u p e r i o d u o d 3 0 . j u l a d o 4 . a v g u s t a o v e g o d i n e . U q e s t v o v a l i s u

s t u d e n t i s l e d e i h u n i v e r z i t e t a : A d a m M i c k i e w i c z U n i v e r s i t y , C a m b r i d g e U n i -

v e r s i t y , C h a r l e s U n i v e r s i t y P r a g u e , C o m e n i u s U n i v e r s i t y , C o m p l u t e n s e U n i v e r s i t y

M a d r i d , E c o l e N o r m a l e S u p e r i e u r e P a r i s , H e b r e w U n i v e r s i t y J e r u s a l e m , K h a r k o v

S t a t e U n i v e r s i t y , L o r a n d E o t v o s U n i v e r s i t y , O x f o r d U n i v e r s i t y , T a r t y U n i v e r s i t y ,

U n i v e r s i t y C o l l e g e L o n d o n , U n i v e r s i t y o f B e l g r a d e , U n i v e r s i t y o f B l a g o e v g r a d ,

U n i v e r s i t y o f L j u b l j a n a , U n i v e r s i t y o f N i s , U n i v e r s i t y o f P l o v d i v , U n i v e r s i t y o f

S h o u m e n , U n i v e r s i t y o f S o a , U n i v e r s i t y o f V e l i k o T r n o v o , U n i v e r s i t y o f Z a r a g o s a ,

W a r s a w U n i v e r s i t y .

T a k m i q a r i s u r e x a v a l i z a d a t k e t o k o m d v a d a n a , s v a k o g d a n a s u i m a l i n a

r a s p o l a g a u p o p e t s a t i z a x e s t z a d a t a k a . U e k i p i M a t e m a t i q k o g f a k u l t e -

t a U n i v e r z i t e t a u B e o g r a d u s u u q e s t v o v a l i V l a d i m i r B a l t i ( q e t v r t a g o d i n a

s t u d i j a ) , V e l i b o r T i n t o r ( t r e a g o d i n a ) , M a r k o S t o x i i o r e M i l i e v i

( s t u d e n t i p r v e g o d i n e ) . M i l i e v i j e o s v o j i o p r v u n a g r a d u , S t o x i i T i n t o r

d r u g u n a g r a d u a B a l t i t r e u n a g r a d u .

P r v i d a n

1 . N e k a j e f "

n

g

1

n = 1

n i z p o z i t i v n i h b r o j e v a t a k a v d a j e l i m

n ! 1

"

n

= 0 . N a i

l i m

n ! 1

1

n

1

X

n = 1

l n

k

n

+ "

n

:

2 . N e k a r e d

1

P

n = 1

a

n

k o n v e r g i r a . D a l i t a d a s l e d e i r e d o v i m o r a j u t a k o e k o n -

v e r g i r a t i ?

a ) a

1

+ a

2

+ a

4

+ a

3

+ a

8

+ a

7

+ a

6

+ a

5

+ a

1 6

+ a

1 5

+ + a

8

+ a

3 2

+

b ) a

1

+ a

2

+ a

3

+ a

4

+ a

5

+ a

7

+ a

6

+ a

8

+ a

9

+ a

1 1

+ a

1 3

+ a

1 5

+ a

1 0

+ a

1 2

+ a

1 4

+

a

1 6

+ a

1 7

+ a

1 9

+ .

O p r a v d a t i d a t e o d g o v o r e .

3 . N e k a s u A i B r e a l n e n n m a t r i c e t a k v e d a j e A

2

+ B

2

= A B . D o k a z a t i d a

a k o j e B A ; A B i n v e r t i b i l n a m a t r i c a , o n d a j e n d e i v o s a 3 .

4 . N e k a r e a l a n b r o j , 1 < < 2 .

a ) P o k a z a t i d a i m a j e d i n s t v e n u r e p r e z e n t a c i j u u o b l i k u b e s k o n a q n o g p r o i z v o -

d a =

1 +

1

n

1

1 +

1

n

2

, g d e s u n

i

p r i r o d n i b r o j e v i t a k v i d a j e n

2

i

6 n

i + 1

.

b ) D o k a z a t i d a j e r a c i o n a l a n a k o i s a m o a k o z a n e k o m v a i n

i + 1

= n

2

i

i =

m m + 1 . . . .

5 . Z a d a t i p r i r o d a n b r o j n p o s m a t r a j m o h i p e r r a v a n R

n

0

=

x = ( x

1

. . . x

n

) 2

R

n

:

n

P

i = 1

x

i

= 0

i m r e u Z

n

0

= f y 2 R

n

0

: s v i y

i

s u c e l i b r o j e v i g . D e f i n i x i m o

( k v a z i ) n o r m u n a R

n

i z r a z o m k x k = (

n

P

i = 1

j x

i

j

p

)

1 = p

a k o j e 0 < p < 1 , i k x k

1

=




m a x

i

j x

i

j . N e k a j e x 2 R

n

0

t a k v o d a j e m a x

i

x

i

; m i n

i

x

i

6 1 . D o k a z a t i d a z a s v a k o

p 2 1 + 1 ] i s v a k o y 2 Z

n

0

v a i k x k

p

6 k x + y k

p

.

6 . P r e t p o s t a v i m o d a j e F f a m i l i j a k o n a q n i h p o d s k u p o v a s k u p a N p r i r o d n i h

b r o j e v a i d a z a s v a k a d v a s k u p a A B 2 F i m a m o A \ B 6= .

a ) D a l i j e t a q n o d a p o s t o j i k o n a q a n p o d s k u p Y o d N t a k a v d a z a b i l o k o j a d v a

s k u p a A B 2 F i m a m o A \ B \ Y 6= ?

b ) D a l i j e t v r e e a ) t a q n o a k o j o x p r e t p o s t a v i m o d a s v i q l a n o v i f a m i l i j e F

i m a j u i s t i b r o j e l e m e n a t a ?

D r u g i d a n

1 . N e k a j e f t r i p u t a n e p r e k i d n o d i f e r e n c i j a b i l n a f u n k c i j a n a R , p r e t p o -

s t a v i m o d a j e f ( x ) > 0 , x 2 R i d a j e f ( 0 ) = f

0

( 0 ) = 0 < f

0 0

( 0 ) . N e k a j e

g ( x ) = (

p

f ( x ) = f

0

( x ) )

0

z a x 6= 0 i g ( 0 ) = 0 . D o k a z a t i d a j e g o g r a n i q e n a u n e k o j

o k o l i n i n u l e .

2 . N e k a j e M i n v e r t i b i l n a m a t r i c a d i m e n z i j e 2 n 2 n , p r e d s t a v e a u b l o k

f o r m i M =

A B

C D

i M

; 1

=

E F

G H

, g d e s u A B . . . H m a t r i c e d i m e n z i j e

n

n . D o k a z a t i d a j e d e t M d e t H = d e t A .

3 . D o k a z a t i d a r e d

1

P

n = 1

( ; 1 )

n ; 1

s i n ( l o g n )

n

k o n v e r g i r a a k o i s a m o a k o j e > 0 .

4 . a ) N e k a j e p r e s l i k a v a e f : M

n

! R i z p r o s t o r a M

n

= R

n

2

s v i h n n

m a t r i c a s a r e a l n i m q l a n o v i m a u r e a l n e b r o j e v e l i n e a r n o , t o j e s t , n e k a v a i

f ( A + B ) = f ( A ) + f ( B ) , f ( c A ) = c f ( A ) z a s v e A B 2 M

n

, c 2 R . D o k a z a t i d a

p o s t o j i j e d i n s t v e n a m a t r i c a C 2 M

n

t a k v a d a j e f ( A ) = t r ( A C ) z a s v e A 2 M

n

.

( A k o j e A = f a

i j

g

n

i j = 1

, o n d a j e t r ( A ) =

n

P

i = 1

a

i i

) .

b ) P r e t p o s t a v i m o d a j o x v a i i f ( A B ) = f ( B A ) z a s v e A B 2 M

n

. D o k a z a t i

d a t a d a p o s t o j i

2 R t a k v o d a j e f ( A ) = t r ( A ) z a s v a k o A

2 M

n

.

5 . N e k a j e X p r o i z v o a n s k u p , n e k a j e f b i j e k c i j a s k u p a X n a s e b e . D o k a z a t i d a

p o s t o j e p r e s l i k a v a a g

1

g

2

: X ! X t a k v a d a j e f = g

1

g

2

i g

1

g

1

= i d = g

2

g

2

,

g d e i d o z n a q a v a i d e n t i q k o p r e s l i k a v a e n a s k u p u X .

6 . N e k a j e f : 0 1 ] ! R n e p r e k i d n a f u n k c i j a . K a e m o d a f , , p r e l a z i o s u \ u

t a q k i x a k o j e f ( x ) = 0 i a k o u s v a k o j o k o l i n i t a q k e x p o s t o j e y z t a k v i d a j e

f ( y ) < 0 i f ( z ) > 0 .

a ) D a t i p r i m e r n e p r e k i d n e f u n k c i j e k o j a p r e l a z i o s u u b e s k o n a q n o m n o g o t a q a k a .

b ) M o e l i n e p r e k i d n a f u n k c i j a p r e l a z i t i o s u u n e p r e b r o j i v o m n o g o t a q a k a ?

O p r a v d a t i o d g o v o r .

d r M i l o x A r s e n o v i

r u k o v o d i l a c e k i p e M a t e m a t i q k o g f a k u l t e t a

Documents

Medjunarodna Matematicka Natjecanja 1997