MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 9 08.05.2009 r

MECHANIKA NIEBA

WYKŁAD 9

08.05.2009 r

Orbita w przestrzeni

Elementy orbitalne

Ω

I

ω

Z

Y

X

ognisko

z y

x

orbitapłaszczyznaodniesienia

perycentrum

kierunekodniesienia

węzełwstępujący

a – wielka półośe – mimośród Ω – długość węzła wstępującegoI – nachylenie orbity do płaszczyzny odniesieniaω – długość perycentrum w orbicieT – czas przejścia przez perycentrum

= Ω+ω – długość perycentrumλ=M+ – długość średniau=ω+υ – argument szerokości


Elementy orbitalne

Ω

I

ω

Z

Y

X

ognisko

z y

x

orbitapłaszczyznaodniesienia

perycentrum

kierunekodniesienia

węzełwstępujący

Przejście od układu współrzędnych związanego z orbitą do układu odniesienia polega na obrocie wokół trzech osi:

a.obrót wokół osi z o kąt ω, wtedy oś x pokrywa się z linią węzłów

b.obrót wokół osi x o kąt I, obie płaszczyzny pokrywają się

c.obrót wokół osi z o kąt Ω


Elementy orbitalne

Każda z transformacji jest reprezentowana przez odpowiednią macierz obrotu:

100

0cossin

0sincos

P

IcosIsin0

IsinIcos0

001

P

100

0cossin

0sincos

P 321

Wtedy przejścia między układami dokonuje się poprzez:

Ponieważ wszystkie macierze obrotu są ortogonalne więc macierze odwrotne są po prostu macierzami transponowanymi

Z

Y

X

PPP

z

y

x

z

y

x

PPP

Z

Y

X1

3

1

2

1

1123


Elementy orbitalne

Jeżeli ograniczymy się do współrzędnych w leżących w płaszczyźnie orbity:

Obrót nie zmienia długości stąd wielka półoś i mimośród nie zmieniają się

Isinsin

Icossincoscossin

Icossinsincoscos

r

0

sinr

cosr

PPP

Z

Y

X

123


Położenie planety z elementów orbitalnychMając dane elementy orbitalne możemy wyznaczyć jej współrzędne w dowolnym układzie odniesienia.

Przykład:wyznaczenie współrzędnych heliocentrycznych Jowisza na dzień 25 września 1993 r, 6:32 UT

1. Parametry orbity:

parametr Epoka 2000.0 25.09.1993 r

a [AU] 5.20336301 5.20332

e 0.04839266 0.0484007

I 1 30530. 1 30537.

Ω 100 55615. 100 535.

14 75385. 14 7392.

λ 34 40438. 204 234.Murray, C.D. i Dermott, S.F.1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press


Położenie planety z elementów orbitalnych

2. M=λ-=189 495.

3. Rozwiązując równanie Keplera dostajemy: E=189 059.

4. Korzystając ze wzorów:

wyznaczamy współrzędne prostokątne Jowisza w płaszczyźnie jego orbity

Esine1ay

eEcosax2


Położenie planety z elementów orbitalnych

5. Następnie używając wartości I, Ω, wyznaczamy macierz, która pozwoli na przejście do układu odniesienia (ekliptycznego):

skąd: X=-5.00336, Y=-2.16249, Z=0.121099

99974.000167014.00227198.0

00416519.0967097.0254373.0

0223971.0254401.0966839.0

PPPP 123


Zmiany elementów orbitalnych

tN3603600

t3600

t3600

t3600

III

teee

taaa

r0

0

0

0

0

0

Murray, C.D. i Dermott, S.F.1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press

gdzie t jest czasem wyrażonym w stuleciach juliańskichpocząwszy od JD 2451545.0 (epoka 2000.0)stulecie juliańskie = 36525 dni

Te przybliżone formuły pozwalają wyznaczyć perturbowane parametry orbitalne planet Układu Słonecznego z dokładnością rzędu 600’’ (w przedziale 1800 r. – 2050 r.)



a0 (AU) e0 I0 (o) 0 (o) Ω0 (o) λ0 (o)

Merkury 0.38709893 0.20563069 7.00487 77.45645 48.33167 252.25084

Wenus 0.72333199 0.00677323 3.39471 131.53298 76.68069 181.97973

Ziemia 1.00000011 0.01671022 0.00005 102.94719 348.73936 100.46435

Mars 1.52366231 0.09341233 1.85061 336.04084 49.57854 357.15332

Jowisz 5.20336301 0.04839266 1.30530 14.75385 100.55615 34.40438

Saturn 9.53707032 0.05415060 2.48446 92.43194 113.71504 49.94432

Uran 19.19126393 0.04716771 0.76986 170.96424 74.22988 313.23218

Neptun 30.06896348 0.00858587 1.76917 44.97135 131.72169 304.88003

Dane dla Ziemi są w rzeczywistości parametrami orbity barycentrum układu Ziemia-Księżyc Epoka 2000.0 (JD 2451545.0)



Merkury 66 2527 -23.51 573.57 -446.30 261628.29 415

Wenus 92 -4938 -2.86 -108.80 -996.89 712136.06 162

Ziemia -5 -3804 -46.94 1198.28 -18228.25 1293740.63 99

Mars -7221 11902 -27.17 1560.78 -1020.19 217103.78 53

Jowisz 60737 -12880 -4.15 839.93 1217.17 557078.35 8

Saturn -301530 -36762 6.11 -1948.89 -1591.05 513052.95 3

Uran 152025 -19150 -2.09 1312.56 1681.40 246547.79 1

Neptun -125196 2514 -3.64 -844.43 -151.25 786449.21 0

0a 0e 0I 0 0 0 rN

Zmiany wielkiej półosi i mimośrodu są pomnożone przez 108, podczas gdy zmiany wielkościkątowych zostały podane w sekundach łuku na stulecieEpoka 2000.0 (JD 2451545.0)


Wyznaczanie elementów orbitalnych

Algorytm pozwalający z położenia (X,Y,Z) i prędkości (X,Y,Z) wyznaczyć elementy orbitalne a, e, I, Ω, ν, T.

Zakładamy, że masy ciała centralnego i orbitującego są równe odpowiednio m1 i m2.

Mamy (w układzie odniesienia):

2222

2222

ZYXV

ZYXR

Wtedy:

2

22

R

cVR

XYYX,ZXXZ,YZZYc

ZZYYXXRR



2

22

R

cVR

XYYX,ZXXZ,YZZYc

ZZYYXXRR

R – długość promienia wodzącegoṘ – tempo zmian pr. wodzącego, znak Ṙ jest taki sam jak znak iloczynu ponieważ

R jest zawsze dodatnie

Potrzebne będą jeszcze rzuty momentu pędu:

górny znak wybieramy jeślicz>0, a dolny dla cz<0

RR

Y

X

Z

ccosIsinc

csinIsinc

cIcosc



Możemy teraz przystąpić do wyznaczenia parametrów orbity (eliptycznej):

1. Wielką półoś wyznaczamy z równań:

skąd dostajemy:

a

1

R

2V

ZYXV

ZYXR

2

2222

2222

1

21

2

mmG

V

R

2a



2. mimośród wyznaczamy przy wykorzystaniu uzyskanego wyrażenia na a orazze wzoru:

otrzymujemy:

2e1ac

ammG

c1e

21

2

3. Wyznaczamy nachylenie orbity, które jest kątem zawartym pomiędzy wektorem momentu pędu a jego składową cz:

c

carccosI Z



4. Do wyznaczenia długości węzła wstępującego, Ω używamy:

skąd otrzymujemy:

znak wybieramy w zależności od znaku cz

Y

X

ccosIsinc

csinIsinc

Isinc

ccos

Isinc

csin YX



5. Argument szerokości ω+υ otrzymamy z wyrażeń na Z/R oraz X/R (pamiętając, że r=R):

czyli:

Isinsin

Icossincoscossin

Icossinsincoscos

r

Z

Y

X

IcossinsinR

Xseccos

IsinR

Zsin



6. Następnie wyliczamy anomalię prawdziwą i długość perycentrum (w płaszczyźnie orbity) przy użyciu:

wtedy:

sine

e1

naR

cose1

e1aR

2

2

R

ce

e1asin1

R

e1a

2

1cos

22



7. Na koniec wyliczamy moment przejścia przez perycentrum, T. Aby tego dokonać wyznaczamy E ze wzoru:

a następnie z równania Keplera i III prawa Keplera:

otrzymujemy:

Ecose1aR

32anEsineETtn

3

21 ammG

EsineEtT



Powyższa procedura pozwala uzyskać elementy orbitalne w przypadku orbity eliptycznej.

Ze względów praktycznych warto jeszcze pozbyć się z równań czynnika G(m1+m2) poprzez wybór innych jednostek.

Można tego dokonać skalując niezależną zmienną t przez czynniki wprowadzając nową zmienną czasową, τ taką, że:

Można zauważyć, że taki sam skutek odniesie założenie μ=1 w równaniu:

jeśli dodatkowo przyjmiemy za jednostkę długości wartość wielkiej półosi, to mamy układ dwóch ciał, w którym mamy jednostkowy ruch średni i okres orbitalny równy 2π jednostek czasowych.

21 mmG ddt

0r

r

dt

rd32

2

Zagadnienie dwóch ciał

Rozwinięcia w szereg

W rzeczywistości dokładnych rozwiązań w mechanice nieba (i nie tylko ) jest niewiele.

Bardzo często posługujemy się rozwiązaniamiprzybliżonymi bazującymi na rozwinięciach w szeregi.

W Układzie Słonecznym korzystamy często z faktu, że orbity różnią się niewiele od koła (rozwijanie względem małych e), tworzą małe kąty z płaszczyzną ekliptyki (małe I).

Innym zagadnieniem, w którym często korzysta się z rozwinięć w szereg jest teoria perturbacji


Trygonometryczny szereg Fouriera

Dana jest pewna funkcja okresowa f(x) bezwzględnie całkowalna w przedziale (-T/2, T/2), gdzie T jest okresem.

Rozwinięcie f(x) w szereg Fouriera ma postać:

współczynniki an i bn:

1n

nn0 x

T

n2sinbx

T

n2cosa

2

axS

,3,2,1nxdxT

n2sinxf

T

2b

,3,2,1,0nxdxT

n2cosxf

T

2a

2

T

2

Tn

2

T

2

Tn


Trygonometryczny szereg Fouriera



sMsinebEsine1s

s

000s EsinesMdcos

s

2sMcosEsine

s

2sMdMsinEsine

2eb

Napiszmy równanie Keplera w postaci:

różnica E-M jest nieparzystą funkcją okresową stąd prawą stronę możemy rozwinąćw szereg Fouriera biorąc tylko wyrazy nieparzyste:

gdzie:

pierwszy czynnik w tym wyrażeniu jest równy 0.

EsineME

Korzystając znów z równania Keplera możemy napisać:

wtedy:

Pierwsza z tych całek jest równa 0, natomiast drugą można przekształcić (znów przy użyciu równania Keplera) do postaci:

Całka występująca w tym równaniu może być zapisana przy użyciu funkcji Besselapierwszego rodzaju.



00s sMdEcos

s

2sMdMcos

s

2eb

MEdEsined

0

s dEEsinsesEcoss

2eb

seJs

2eb ss



s2s1s!

2x1

2

x

!s

1xJ

2

0

s

s

Dla dodatnich wartości s możemy napisać:

ten szereg jest zbieżny dla wszystkich x.

Funkcje Bessela dla s=1,…,5

75

5

64

4

753

3

642

2

753

1

xOx3840

1xJ

xOx384

1xJ

xOx768

1x

48

1xJ

xOx96

1x8

1xJ

xOx384

1x

16

1x2

1xJ

Możemy ostatecznie napisać rozwiązanie równania Keplera w postaci:

szereg jest szybko zbieżny dla małych wartości e. W przypadku e>0.6627434 staje się jednak rozbieżny.



54

32

s1s

eOM2sin6

1M4sin

3

1e

Msin8

1M3sin

8

3eM2sin

2

1eMsineM

sMsinseJs

12ME



54

32

eOM4cosM2cos3

e

M3cosMcos8

e3M2cos1

2

eMcose1

a

r

1ss2

2 seJde

d

s

1e2e

2

11

a

r

Zależność między promieniem i wielką półosią daje:

rozwijając czynnik ecosE dostajemy:

po uwzględnieniu jawnej postaci funkcji Bessela mamy ostatecznie:

To rozwinięcie będzie wykorzystywane m.in. w tzw. przybliżeniu „guiding centre” oraz przy analizie perturbacji.

Ecose1a

r



54

32

1ss2

eOM5cos384

125M3cos

128

45Mcos

192

5e

M2cos3

1M4cos

3

1eMcosM3cos

8

e31M2cos

2

eMcos

sMcosseJde

d

s

12e

2

1Ecos

Ecose1a

r Przekształcając znów wyrażenie:

dostajemy:

Uwzględniając otrzymane wcześniej rozwinięcie r/a możemy wyznaczyć rozwinięciecosE:

e

ar1Ecos

Różniczkując równanie Keplera dostaniemy:

prawa strona jest równa a/r.

Różniczkując otrzymane wcześniej wyrażenie:

otrzymujemy:

stąd mamy rozwinięcie a/r w szereg przy użyciu funkcji Bessela



sMsinseJs

12ME s

1s

Ecose1

1

dM

dE

1ss sMcosseJ21

dM

dE



54

32

3

eOM4cos8

77M2cos

2

7

8

15e

M3cos8

53Mcos

8

27eM2cos

2

9

2

3eMcose31

r

a

Korzystając z otrzymanego rozwinięcia a/r możemy wyznaczyć:

które jest przydatne przy analizie perturbacji planetarnych



54

32

1ss

2

eOM5cos384

625M3cos

128

225Mcos

192

25e

M2cosM4cos3

e4McosM3cos

8

e91M2coseMcos

sMcosseJe

e12ecos

Korzystając z równania biegunowego elipsy:

możemy napisać:

które po uwzględnieniu rozwinięcia a/r daje:

cose1

e1ar

2

r

a

e

e1

e

1cos

2



Rozwinięcie sinν otrzymujemy w nieco bardziej skomplikowany sposób. Równanie biegunowe elipsy zapiszemy w postaci:

Różniczkujemy po M:

korzystając z całki pól, definicji anomalii średniej i trzeciego prawa Keplera:

otrzymamy:

cose1

e1

a

r 2

dM

dsin

a

r

e1

e

a

r

dM

d2

2

3222 an;TtnM;e1aconstr

222 e1adM

dr



54

32

1ss

2

eOM5sin384

625M3sin

128

207Msin

192

17e

M2sin6

7M4sin

3

4eMsin

8

7M3sin

8

9eM2sineMsin

sMsinseJde

d

s

1e12sin

Korzystając z otrzymanego wyrażenia mamy:

skąd:

i ostatecznie:

Te rozwinięcia są użyteczne przy badaniu rezonansu typu „spin-orbita” oraz przy badaniu perturbacji.

sin

e1

e

a

r

dM

d

dM

dsin

a

r

e1

e

a

r

dM

d2

2

2

a

r

dM

d

e

e1sin

2



222 e1nar

dM

dM

dEe1dM

Ecose1

e1d

2

2

2

2

Kolejne rozwinięcie dotyczy różnicy anomalii ν-M zwanego równaniem środka. Dzięki niemu jesteśmy w stanie wyrazić anomalię prawdziwą w funkcji czasu jaki upłynął od przejścia ciała przez perycentrum. Korzystamy z całki pól w postaci:

Korzystając z:

otrzymamy:

32an;Ecose1ar;ndtdM

Uwzględniając w otrzymanym wyrażeniu wyznaczoną wcześniej postać dE/dM i całkując dostajemy:

które będzie używane w przybliżeniu „guiding centre”.



54

32

eOM2sin24

11M4sin

96

103e

Msin4

1M3sin

12

13eM2sine

4

5Msine2M

Documents

MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 9 08.05.2009 r