Click here to load reader

MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 9 08.05.2009 r

  • View
    56

  • Download
    3

Embed Size (px)

DESCRIPTION

MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 9 08.05.2009 r. Orbita w przestrzeni. Elementy orbitalne. a – wielka półoś e – mimośród Ω – długość węzła wstępującego I – nachylenie orbity do płaszczyzny odniesienia ω – długość perycentrum w orbicie T – czas przejścia przez perycentrum - PowerPoint PPT Presentation

Text of MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 9 08.05.2009 r

  • MECHANIKA NIEBA

    WYKAD 9

    08.05.2009 r

  • Orbita w przestrzeniElementy orbitalnea wielka poe mimord dugo wza wstpujcegoI nachylenie orbity do paszczyzny odniesienia dugo perycentrum w orbicieT czas przejcia przez perycentrum

    = + dugo perycentrum=M+ dugo redniau=+ argument szerokoci

  • Orbita w przestrzeniElementy orbitalnePrzejcie od ukadu wsprzdnych zwizanego z orbit do ukadu odniesienia polega na obrocie wok trzech osi:

    obrt wok osi z o kt , wtedy o x pokrywa si z lini wzw obrt wok osi x o kt I, obie paszczyzny pokrywaj si obrt wok osi z o kt

  • Orbita w przestrzeniElementy orbitalneKada z transformacji jest reprezentowana przez odpowiedni macierz obrotu:Wtedy przejcia midzy ukadami dokonuje si poprzez:

    Poniewa wszystkie macierze obrotu s ortogonalne wic macierze odwrotne s po prostu macierzami transponowanymi

  • Orbita w przestrzeniElementy orbitalneJeeli ograniczymy si do wsprzdnych w lecych w paszczynie orbity:

    Obrt nie zmienia dugoci std wielka po i mimord nie zmieniaj si

  • Orbita w przestrzeniPooenie planety z elementw orbitalnychMajc dane elementy orbitalne moemy wyznaczy jej wsprzdne w dowolnym ukadzie odniesienia.

    Przykad:wyznaczenie wsprzdnych heliocentrycznych Jowisza na dzie 25 wrzenia 1993 r, 6:32 UT

    1. Parametry orbity:Murray, C.D. i Dermott, S.F.1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press

    parametrEpoka 2000.025.09.1993 ra [AU]5.203363015.20332e0.048392660.0484007I1.305301.30537100.55615100.53514.7538514.739234.40438204.234

  • Orbita w przestrzeniPooenie planety z elementw orbitalnychM=-=189 .4953.Rozwizujc rwnanie Keplera dostajemy: E=189 .0594. Korzystajc ze wzorw:

    wyznaczamy wsprzdne prostoktne Jowisza w paszczynie jego orbity

  • Orbita w przestrzeniPooenie planety z elementw orbitalnych5. Nastpnie uywajc wartoci I, , wyznaczamy macierz, ktra pozwoli na przejcie do ukadu odniesienia (ekliptycznego):

    skd:X=-5.00336,Y=-2.16249,Z=0.121099

  • Orbita w przestrzeniZmiany elementw orbitalnychMurray, C.D. i Dermott, S.F.1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Pressgdzie t jest czasem wyraonym w stuleciach juliaskichpoczwszy od JD 2451545.0 (epoka 2000.0)stulecie juliaskie = 36525 dniTe przyblione formuy pozwalaj wyznaczy perturbowane parametry orbitalne planet Ukadu Sonecznego z dokadnoci rzdu 600 (w przedziale 1800 r. 2050 r.)

  • Orbita w przestrzeniZmiany elementw orbitalnychDane dla Ziemi s w rzeczywistoci parametrami orbity barycentrum ukadu Ziemia-Ksiyc Epoka 2000.0 (JD 2451545.0)

    a0 (AU)e0I0 (o)0 (o)0 (o)0 (o)Merkury0.387098930.205630697.0048777.4564548.33167252.25084Wenus0.723331990.006773233.39471131.5329876.68069181.97973Ziemia1.000000110.016710220.00005102.94719348.73936100.46435Mars1.523662310.093412331.85061336.0408449.57854357.15332Jowisz5.203363010.048392661.3053014.75385100.5561534.40438Saturn9.537070320.054150602.4844692.43194113.7150449.94432Uran19.191263930.047167710.76986170.9642474.22988313.23218Neptun30.068963480.008585871.7691744.97135131.72169304.88003

  • Orbita w przestrzeniZmiany elementw orbitalnychZmiany wielkiej posi i mimorodu s pomnoone przez 108, podczas gdy zmiany wielkociktowych zostay podane w sekundach uku na stulecieEpoka 2000.0 (JD 2451545.0)

    Merkury662527-23.51573.57-446.30261628.29415Wenus92-4938-2.86-108.80-996.89712136.06162Ziemia-5-3804-46.941198.28-18228.251293740.6399Mars-722111902-27.171560.78-1020.19217103.7853Jowisz60737-12880-4.15839.931217.17557078.358Saturn-301530-367626.11-1948.89-1591.05513052.953Uran152025-19150-2.091312.561681.40246547.791Neptun-1251962514-3.64-844.43-151.25786449.210

  • Orbita w przestrzeniWyznaczanie elementw orbitalnychAlgorytm pozwalajcy z pooenia (X,Y,Z) i prdkoci (X,Y,Z) wyznaczy elementy orbitalne a, e, I, , , T.

    Zakadamy, e masy ciaa centralnego i orbitujcego s rwne odpowiednio m1 i m2.

    Mamy (w ukadzie odniesienia):Wtedy:

  • Orbita w przestrzeniWyznaczanie elementw orbitalnychR dugo promienia wodzcego tempo zmian pr. wodzcego, znak jest taki sam jak znak iloczynu poniewaR jest zawsze dodatnie

    Potrzebne bd jeszcze rzuty momentu pdu:

    grny znak wybieramy jelicz>0, a dolny dla cz

  • Orbita w przestrzeniWyznaczanie elementw orbitalnychMoemy teraz przystpi do wyznaczenia parametrw orbity (eliptycznej):Wielk po wyznaczamy z rwna:

    skd dostajemy:

  • Orbita w przestrzeniWyznaczanie elementw orbitalnychmimord wyznaczamy przy wykorzystaniu uzyskanego wyraenia na a orazze wzoru:

    otrzymujemy:Wyznaczamy nachylenie orbity, ktre jest ktem zawartym pomidzy wektorem momentu pdu a jego skadow cz:

  • Orbita w przestrzeniWyznaczanie elementw orbitalnych4. Do wyznaczenia dugoci wza wstpujcego, uywamy:

    skd otrzymujemy:

    znak wybieramy w zalenoci od znaku cz

  • Orbita w przestrzeniWyznaczanie elementw orbitalnych5. Argument szerokoci + otrzymamy z wyrae na Z/R oraz X/R (pamitajc, e r=R):

    czyli:

  • Orbita w przestrzeniWyznaczanie elementw orbitalnych6. Nastpnie wyliczamy anomali prawdziw i dugo perycentrum (w paszczynie orbity) przy uyciu:

    wtedy:

  • Orbita w przestrzeniWyznaczanie elementw orbitalnychNa koniec wyliczamy moment przejcia przez perycentrum, T. Aby tego dokona wyznaczamy E ze wzoru:

    a nastpnie z rwnania Keplera i III prawa Keplera:

    otrzymujemy:

  • Orbita w przestrzeniWyznaczanie elementw orbitalnychPowysza procedura pozwala uzyska elementy orbitalne w przypadku orbity eliptycznej.

    Ze wzgldw praktycznych warto jeszcze pozby si z rwna czynnika G(m1+m2) poprzez wybr innych jednostek.

    Mona tego dokona skalujc niezalen zmienn t przez czynniki wprowadzajc now zmienn czasow, tak, e:

    Mona zauway, e taki sam skutek odniesie zaoenie =1 w rwnaniu:

    jeli dodatkowo przyjmiemy za jednostk dugoci warto wielkiej posi, to mamy ukad dwch cia, w ktrym mamy jednostkowy ruch redni i okres orbitalny rwny 2 jednostek czasowych.

  • Zagadnienie dwch ciaRozwinicia w szeregW rzeczywistoci dokadnych rozwiza w mechanice nieba (i nie tylko ) jest niewiele.

    Bardzo czsto posugujemy si rozwizaniamiprzyblionymi bazujcymi na rozwiniciach w szeregi.

    W Ukadzie Sonecznym korzystamy czsto z faktu, e orbity rni si niewiele od koa (rozwijanie wzgldem maych e), tworz mae kty z paszczyzn ekliptyki (mae I).

    Innym zagadnieniem, w ktrym czsto korzysta si z rozwini w szereg jest teoria perturbacji

  • Zagadnienie dwch ciaTrygonometryczny szereg FourieraDana jest pewna funkcja okresowa f(x) bezwzgldnie cakowalna w przedziale (-T/2, T/2), gdzie T jest okresem.

    Rozwinicie f(x) w szereg Fouriera ma posta:

    wspczynniki an i bn:

  • Zagadnienie dwch ciaTrygonometryczny szereg Fouriera

  • Zagadnienie dwch ciaRozwinicia w szeregNapiszmy rwnanie Keplera w postaci:

    rnica E-M jest nieparzyst funkcj okresow std praw stron moemy rozwinw szereg Fouriera biorc tylko wyrazy nieparzyste:

    gdzie:

    pierwszy czynnik w tym wyraeniu jest rwny 0.

  • Korzystajc znw z rwnania Keplera moemy napisa:

    wtedy:

    Pierwsza z tych caek jest rwna 0, natomiast drug mona przeksztaci (znw przy uyciu rwnania Keplera) do postaci:

    Caka wystpujca w tym rwnaniu moe by zapisana przy uyciu funkcji Besselapierwszego rodzaju.Zagadnienie dwch ciaRozwinicia w szereg

  • Zagadnienie dwch ciaRozwinicia w szeregDla dodatnich wartoci s moemy napisa:

    ten szereg jest zbieny dla wszystkich x.

    Funkcje Bessela dla s=1,,5

  • Moemy ostatecznie napisa rozwizanie rwnania Keplera w postaci:

    szereg jest szybko zbieny dla maych wartoci e. W przypadku e>0.6627434 staje si jednak rozbieny.

    Zagadnienie dwch ciaRozwinicia w szereg

  • Zagadnienie dwch ciaRozwinicia w szeregZaleno midzy promieniem i wielk posi daje:

    rozwijajc czynnik ecosE dostajemy:

    po uwzgldnieniu jawnej postaci funkcji Bessela mamy ostatecznie:

    To rozwinicie bdzie wykorzystywane m.in. w tzw. przyblieniu guiding centre oraz przy analizie perturbacji.

  • Zagadnienie dwch ciaRozwinicia w szeregPrzeksztacajc znw wyraenie:

    dostajemy:

    Uwzgldniajc otrzymane wczeniej rozwinicie r/a moemy wyznaczy rozwiniciecosE:

  • Rniczkujc rwnanie Keplera dostaniemy:

    prawa strona jest rwna a/r.

    Rniczkujc otrzymane wczeniej wyraenie:

    otrzymujemy:

    std mamy rozwinicie a/r w szereg przy uyciu funkcji BesselaZagadnienie dwch ciaRozwinicia w szereg

  • Zagadnienie dwch ciaRozwinicia w szeregKorzystajc z otrzymanego rozwinicia a/r moemy wyznaczy:

    ktre jest przydatne przy analizie perturbacji planetarnych

  • Zagadnienie dwch ciaRozwinicia w szeregKorzystajc z rwnania biegunowego elipsy:

    moemy napisa:

    ktre po uwzgldnieniu rozwinicia a/r daje:

  • Zagadnienie dwch ciaRozwinicia w szeregRozwinicie sin otrzymujemy w nieco bardziej skomplikowany sposb. Rwnanie biegunowe elipsy zapiszemy w postaci:

    Rniczkujemy po M:

    korzystajc z caki pl, definicji anomalii redniej i trzeciego prawa Keplera:

    otrzymamy:

  • Zagadnienie dwch ciaRozwinicia w szeregKorzystajc z otrzymanego wyraenia mamy:

    skd:

    i ostatecznie:

    Te rozwinicia s uyteczne przy badaniu rezonansu typu spin-orbita oraz przy badaniu perturbacji.

  • Zagadnienie dwch ciaRozwinicia w szeregKolejne rozwinicie dotyczy rnicy anomalii -M zwanego rwnaniem rodka. Dziki niemu jestemy w stanie wyrazi anomali prawdziw w funkcji czasu jaki upyn od przejcia ciaa przez perycentrum. Korzystamy z caki pl w postaci:

    Korzystajc z:

    otrzymamy:

  • Uwzgldniajc w otrzymanym wyraeniu wyznaczon wczeniej posta dE/dM i cak