MECHANIKA I

2005.

MECHANIKA I.

Agárdy Gyula-dr. Lublóy László

2

Széchenyi István Egyetem

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A TÉRBELI ERŐK ÖSSZEFÜGGÉSEI ÉS A TÉRBELI SZERKEZETEK

KAPCSOLATI DINÁMJAI

(14. HÉT)

3


AZ ERŐ MEGADÁSATÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

Első dia címe:AZ ERŐ MEGADÁSA

Következő dia címe:ERŐKOMPO-NENSEK, ERŐVETÜLETEK

Utolsó dia címe:TÉRBELI SZERKEZETEK

az erő vektora a térben a három koordináta-irányú komponensével, az erő helyzete a hatásvonal egy pontjának három koordinátájával határozható meg.

Fx

Fy

Fz

x

z

y

xF

yF

zF F

4


F

ERŐKOMPONENSEK-ERŐVETÜLETEK

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A térbeli erő a hatásvonal egy tetsző-leges pontjában helyettesíthető há-rom komponensével. Ezek előjeles

nagyságait az erő vetületeinek nevezzük.

F=(FX,FY,FZ)

FX=FX×i

FY=FY×j

FZ=FZ×kFx

Fy

Fz

Fx

Fy

Fz

x

z

y

xF

yF

zF

j ik


Előző dia címe:AZ ERŐ MEGADÁSA

Következő dia címe:AZ ERŐÖSSZETEVŐK MEGHATÁROZÁSA


5


AZ ERŐÖSSZETEVŐK MEGHATÁROZÁSA

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A térbeli erő tengelyirányú komponensei-vetületei a hatásvonal két pontjának koor-dinátakülönbségei alapján aránypárokkal (is) számíthatók.

))()()((

)(222

ABABAB

ABx

zzyyxx

xxFF

))()()((

)(222

ABABAB

ABy

zzyyxx

yyFF

))()()((

)(222

ABABAB

ABz

zzyyxx

zzFF

A F

x

z

y

xA

yA

zA

xByB

zB

Fx

Fy

Fz

BF


Előző dia címe:ERŐKOMPO-NENSEK, ERŐVETÜLETEK

Következő dia címe:AZ ERŐÖSSZETEVŐK MEGHATÁROZÁSA


6


AZ ERŐÖSSZETEVŐK MEGHATÁROZÁSA

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

Az erőnagyság és az összetevők közötti összefüggés a hatásvonal iránykoszinuszai segítségével (is) megadható.

1coscoscos 222 zyx

xx FF cosF

Fxx cos

yy FF cosF

Fyy cos

F

Fzz coszz FF cos

x

z

y

F

Fx

Fy

Fz

F


Előző dia címe:AZ ERŐÖSSZETEVŐK MEGHATÁROZÁSA

Következő dia címe:A TÉRBELI ERŐ NYOMATÉKA


7


A TÉRBELI ERŐ NYOMATÉKATÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

F t

MF(t)

kF(t)

A térben az erő forgató hatását, nyomatékát tengelyre értelmezzük (a síkban e tengely döféspontja volt a nyomatéki forgáspont). Az erő nyomatékát a síkbeli esettel kompatibilis módon, az erő és a hatásvonal tengelytől mért merőleges távolsága (normáltranszverzális) szorzataként, a ten-gellyel szembenézveaz órával megegyezőforgásirányú pozitivi-tással értelmezzük.


Előző dia címe:AZ ERŐÖSSZETEVŐK MEGHATÁROZÁSA

Következő dia címe:A TÉRBELI ERŐ NYOMATÉKA


8


A TÉRBELI ERŐ NYOMATÉKATÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

F t

MF(t)

kF(t)

A térben az erő nyomatéka az erőhatásvonal és a normáltranszverzális által meghatározott síkban, e sík normálisa körül alakul ki. A térbeli forgatónyomaték tehát egy egyeneshez köthető, nagysággal és irányítással rendelkező meny-nyiség, így vektorként is kezelhető. A nyomaték-vektort a tengellyel szembe-nézve az órával megegye-ző forgásirányú pozitivi-tással értelmezzük, és(az erővektoroktól meg-különböztetendő) ket-tős nyíllal jelezzük.


Előző dia címe:A TÉRBELI ERŐ NYOMATÉKA

Következő dia címe:NYOMATÉK-KOMPONENSEK, NYOMATÉK-VETÜLETEK


9


NYOMATÉKKOMPONENSEK-NYOMATÉKVETÜLETEK

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

M=(MX,MY,MZ)

A nyomatékvektor (az erővektorhoz ha-sonlóan) helyettesíthető tengelyirányú komponenseivel.

x

z

y

MxMy

Mz

M

A nyomaték-vektor nem helyhezkötött, így a felbon-tást az origó-ban (is) végez-hetjük.


Előző dia címe:A TÉRBELI ERŐ NYOMATÉKA

Következő dia címe:A NYOMATÉK-VEKTOR ELŐÁLLÍTÁSA


10


A NYOMATÉKVEKTOR ELŐÁLLÍTÁSA

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

Egy P ponton átmenő, F nagyságú, általá-nos állású erőnek a koordinátatenge-lyekre vett nyomatékait az erő kompo-nensei és a P pont koordinátái (megfele-lő) szorzatösszegei határozzák meg.

Fx

Fy

Fz

x

z

y

xP

yP

zP

F

Mx= Fx×0 - Fy×zP+Fz×yP

My= Fx×zP+ Fy×0 -Fz×xP

Mz=-Fx×yP+ Fy×xP+Fz×0P

A tengellyel párhuzamos, ill. a tengelyt metsző erők nyomatéka a tengelyre zérus!


Előző dia címe:NYOMATÉK-KOMPONENSEK, NYOMATÉK-VETÜLETEK

Következő dia címe:A NYOMATÉK-VEKTOR ELŐÁLLÍTÁSA


11


A NYOMATÉKVEKTOR ELŐÁLLÍTÁSA

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A nyomatékvektor komponensei az F erő vektorának és a P pont helyvektorának vektoriális szor-zataként kaphatók.

Mx=i ×(-Fy×zP+Fz×yP)My=j ×( Fx×zP- Fz×xP)Mz=k ×(-Fx×yP+Fy×xP)

+ +-

i j kxP yP zP

Fx Fy Fz

Mx

Mz

My =

Ez a vektoriális szorzat valójában az F erőnek az origóra vett nyomatékát állítja elő.


Előző dia címe:A NYOMATÉK-VEKTOR ELŐÁLLÍTÁSA

Következő dia címe:AZ ERŐ PONTRA VETT NYOMATÉKA


12


AZ ERŐ PONTRA VETT NYOMATÉKA

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A térben egy erőnek egy pontra vonatkozó nyomatéka a ponton átmenő, ortogonális (egy-másra kölcsönösen merőleges) tengelyekre vett nyomatékai vektoriális összegével azonos, és megfordítva: egy pontra vonatkozó nyomatéknak a tengelyekre eső vetülete a tengelyekre vonat-kozó nyomaték értékét adja.

Egy erő esetén az origóra vett (a tengelyekre szá-mított összetevők eredőjeként adódó) nyomaték mindig benne van az origó és az erő hatásvona-la által meghatározott síkban, azaz vektora merőleges az erő vektorára.


Előző dia címe:A NYOMATÉK-VEKTOR ELŐÁLLÍTÁSA

Következő dia címe:AZ ERŐ PONTRA VETT NYOMATÉKA


13


AZ ERŐ PONTRA VETT NYOMATÉKA

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

Az F erő S pontra vonatkozó nyoma-tékának meghatározása során eltol-hatjuk a koordinátarendszer origóját az S pontba, és így a transzformált koordinátarendszerben a P pont hely-vektorát az eredeti koordinátarend-szerben értelmezett (P-S) vektor-összeg jelenti.

),,()),,(),,((),,()( zyxFzyxSzyxPzyxM SF


Előző dia címe:AZ ERŐ PONTRA VETT NYOMATÉKA

Következő dia címe:A FERDE SÍKÚ NYOMATÉK


14


A FERDE SÍKÚ NYOMATÉK TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A nyomaték vektoros értelmezése alapján a ferde síkon működő nyomaték (koordináta)-tengelyekre kifejtett hatása is számítható.

X

M

Z

Y

MX

MZ

M

MX=M×sin()

MZ=M×cos()


Előző dia címe:AZ ERŐ PONTRA VETT NYOMATÉKA

Következő dia címe:A FERDE SÍKÚ NYOMATÉK


15


A FERDE SÍKÚ NYOMATÉK

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

Az általános ferde síkon működő nyo-maték vetületei a koordinátamet-szetek felhasználásával írhatók fel.

XY

Z

XY

Z))((

)(22222222

22

XZZYYXYX

YXZMM Z

))(( 22222222

2

XZZYYXYX

XYMM X

))(( 22222222

2

XZZYYXYX

YXMMY


Előző dia címe:A FERDE SÍKÚ NYOMATÉK

Következő dia címe:A TÉRBELI ERŐRENDSZER EREDŐJE


16


A TÉRBELI ERŐRENDSZER EREDŐJE

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

Az eredő vektorának komponenseit az erők vetületösszegei adják.

xix FR , yiy FR , ziz FR ,

)()( yi

yR MM )()( y

iyR MM )()( z

izR MM

Az eredő helyét (hatásvonalának egy pontját) az erők nyomatékösszegé-nek és az eredő (ugyanazon tenge-lyekre vett) nyomatékainak azo-nossága szolgáltatja.


Előző dia címe:A FERDE SÍKÚ NYOMATÉK

Következő dia címe:AZ EREDŐ HELYE


17


AZ EREDŐ HELYE

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

Ha az eredőhatásvonalnak valame-lyik koordinátasíkkal képzett döfés-pontját keressük, csak két koordi-náta lesz ismeretlen.

xR

RxRy

Rz

xy

z

yR

RzyR

yi xRMM )()(

RzyR

yi xRMM )()(

Az x és y tengelyekre az Rx és Ry komponensek nyomatéka zérus.


Előző dia címe:A TÉRBELI ERŐRENDSZER EREDŐJE

Következő dia címe:ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE


18


ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

Ha az F erő és az M erőpár egy síkban van (az F erő és az M nyomaték vektora merőleges egymásra), akkor a feladat síkbelivé egyszerűsödött, egyetlen erő lesz az eredő.

Ha az F erő és az M nyomaték vektora párhuzamos, azaz az M erőpár az F erő-re merőleges síkban működik, akkor ha-tásaik nem összegezhetők: az F erő ha-tásvonal-irányú eltoló hatása és az M nyomaték ugyanezen tengely körüli elfor-gató hatása együttesen jelentkezik.


Előző dia címe:AZ EREDŐ HELYE

Következő dia címe:AZ ERŐCSAVAR


19


AZ ERŐCSAVAR

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A közös tengelyű eltoló-elfordító, csa-varvonal-szerű hatás nem helyettesít-hető egyszerűbb mozgásformával, így az erőrendszer eredője sem egyszerűsíthető tovább.

Az egy erőből és egy, vele párhu-zamos vektorú erőpárból álló, to-vább nem egyszerűsíthető együttes dinám neve erőcsavar, és általános esetben ez lesz a térbeli erőrend-szer eredője.


Előző dia címe:ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE

Következő dia címe:AZ ERŐCSAVAR


20


AZ ERŐCSAVARTÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

xy

z

Mx

FMMz

RF,M

x kF Mx

FMMz

xy

z

Az F erő és M erőpár eredőjét keresve először helyettesít-sük az M nyomatékot x és z irányú összetevőivel. Az F erőre merőleges vektorú, azaz az F erővel párhuza-mos síkban működő nyomatéki komponens az F erővel egy (rész)eredővé összetehető.

Az RF,Mx erő és a vele párhuzamos vektorú Mz nyomatékkomponens már nem egyszerűsíthető, ezek együttesen alkotják az E erőcsavart.

E = (RF,Mx, Mz)=(F, Mx, Mz)=(F,M)

RF,Mx=(F, Mx)

RF,Mx=F

kF=Mx/FM=(Mx, Mz)


Előző dia címe:AZ ERŐCSAVAR

Következő dia címe:AZ EREDŐ ESETEI


21


AZ EREDŐ ESETEI

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

EREDMÉNYEKAZ

EREDŐmindhárom vetületösszeg és mindhárom nyomatékösszeg zérus EGYENSÚLY

legalább egy vetületösszeg nem zérus, de mindhárom nyomatékösszeg zérus

origón átmenő erő

mindhárom vetületösszeg zérus, de legalább egy nyomatékösszeg nem zérus erőpár

legalább egy vetületösszeg és legalább egy nyomatékösszeg nem zérus, ÉS a vetületösszegekből és a nyomatékösszegekből képzett erő és nyomatéki vektorok skalárszorzata zérus

egyetlen eredő erő

legalább egy vetületösszeg és legalább egy nyomatékösszeg nem zérus, ÉS a vetületösszegekből és a nyomatékösszegekből képzett erő és nyomatéki vektorok skalárszorzata nem zérus

erőcsavar


Előző dia címe:AZ ERŐCSAVAR

Következő dia címe:AZ EREDŐ ESETEI


22


AZ EREDŐ ESETEITÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

Az erőrendszerre felírható vetületi és nyomatéki egyenletek alapján az egyensúly ill. az eredő erőpár esetei egyértelműen adódnak. A FiX,=RX FiY=RY, FiZ=RZ eredővetületeket értelmezhetjük az origón átmenő hatásvonalú erő vetületeiként, a MiX=MX, MiY=MY, MiZ=MZ nyomatékvetületeket pedig az origón átmenő tengelyű nyomatékvektor vetületeiként. Ha e két vektor merőleges egymásra, akkor az eredő erő és az eredő nyomaték párhuzamos síkban működik, és egyetlen eredő erővel helyettesíthető.

xix FR , yiy FR , ziz FR ,

xix MM , yiy MM , ziz MM ,),,( zyx RRRR

0),,(),,()( zyxzyx MMMRRRMR ?),,( zyx MMMM


Előző dia címe:AZ EREDŐ ESETEI

Következő dia címe:AZ EGYENSÚLY FELTÉTELE


23


AZ EGYENSÚLY FELTÉTELE

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A térbeli erőrendszer egyensúlyának szükséges és elégséges számítási feltétele a koordinátatengelyekre számított három vetületösszeg és három nyomatékösszeg zérus értéke.

0, xix FR

0, yiy FR

0, ziz FR

0, xix MM

0, yiy MM

0, ziz MM


Előző dia címe:AZ EREDŐ ESETEI

Következő dia címe:A STATIKAI EGYENLETEK FÜGGETLENSÉGE


24


A STATIKAI EGYENLETEK FÜGGETLENSÉGE

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A vetületi tengelyek a koordinátatenge-lyektől eltérően is felvehetők, de egy erőrendszerre háromnál több függet-len vetületi egyenlet nem írható fel.

A nyomatéki tengelyek száma a vetületi vizsgálatok rovására növelhető, de egy térbeli erőrendszerre maximálisan hat matematikailag független statikai egyenlet írható fel.


Előző dia címe:AZ EGYENSÚLY FELTÉTELE

Következő dia címe:A TÉRBELI KÉNYSZEREK


25


A TÉRBELI KÉNYSZEREK

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A szerkezeti elemek külső és belső kapcsolódá-sát biztosító kényszerek a térbeli szerkezetek-ben is a csatlakozó pontok elmozdulásösszete-vőit gátolják, és ennek megfelelő jellegű és irányú kényszererőkkel-nyomatékokkal he-lyettesíthetők.

A térben egy pont elmozdulási szabadságfoka hat: három irányú eltolódás és három tengely körüli elfordulás. Ennek megfelelően a térbeli kényszerek lehetséges fokszáma 1-6 között változhat.


Előző dia címe:A STATIKAI EGYENLETEK FÜGGETLENSÉGE

Következő dia címe:A MEGTÁMASZ-TÁSOK MINŐSÍTÉSE


26


A MEGTÁMASZTÁSOK MINŐSÍTÉSE

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A térbeli megtámasztások kinematikai és statikai minősítése is a síkbeli vizsgála-tok analógiája alapján történhet. A térben a megtámasztandó egyszerű (egy testből álló) test elmozdulási szabadságfoka 6, azaz az elmozdulásmentesen, mereven megtámasztott szerkezetben a támasz-kényszerek összfokszámának legalább hatnak kell lennie.


Előző dia címe:A TÉRBELI KÉNYSZEREK



27



TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A térben az egyensúly feltételeként 6 statikai egyensúlyi egyenletet írha-tunk fel, azaz csak statikai egyenletek-kel meghatározható statikailag határo-zott megtámasztású szerkezetben a támaszkényszerek összfokszámának legfeljebb hatnak szabad lennie.


Előző dia címe:A MEGTÁMASZ-TÁSOK MINŐSÍTÉSE



28



TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

Az egyidejűleg mereven és statikailag határozott módon megtámasztott általános térbeli szerkezetben a támaszkényszerek szükséges – de nem feltétlenül elégséges – összfokszáma 6.



Következő dia címe:A TÉRBELI KÉNYSZEREK


29


A TÉRBELI KÉNYSZEREKTÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

Térbeli befogás

nincseX,eY,eZ

X,Y,Z

AX,AY,AZ,MAX,MAY,MAZ

KÉNYSZER ELMOZDULÁS KÉNYSZERDINÁM

ÁBRA

Villás megtámasztás X

eX,eY,eZ, Y,Z

AX,AY,AZ, MAY,MAZ

Kardáncsukló Y, Z

eX,eY,eZ

X

AX,AY,AZ,MAX

Térbeli csukló XY,Z

eX,eY,eZ AX,AY,AZ

AZ

ZY X

ZY X

ZY X

ZY X

AX, AZ

eX

eX, eZ

eY,eZ

X,Y,Z

eY

X,Y,Z

X-Y irányban görgős, X-Y-Z körül csuklós

Y irányban görgős, X-Y-Z körül csuklós

szabad fixElső dia címe:AZ ERŐ MEGADÁSA


Következő dia címe:TÉRBELI SZERKEZETEK


30


TÉRBELI SZERKEZETEK

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A statikailag határozott térbeli szerkezetek kapcsolati erőinek meg-határozására a koordinátatenge-lyekre felírható vetületi és nyo-matéki egyenleteket használhatjuk. A megoldás egyszerűsítésére érde-mes először a nyomatéki összefüg-géseket felhasználni, és az egyenle-tek felírására esetenként új tenge-lyeket választani.


Előző dia címe:A TÉRBELI KÉNYSZEREK



31



TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A legegyszerűbb térbeli szerkezetek:térbeli „bakállvány” (egy terhelt

csomópont három rúddal megtámasztva)háromlábú „asztal” (egy párhuzamos

erőkkel terhelt térbeli test három, az erőkkel párhuzamosan működő megtámasztással

általános térbeli test (tetszőleges terhelésű és alakú merev szerkezet, összesen 6-os fokszámú megtámasztó kényszerrel)


Előző dia címe:TÉRBELI SZERKEZETEK

Következő dia címe:TÉRBELI BAKÁLLVÁNY


32


TÉRBELI BAKÁLLVÁNYTÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A három rúderő a térbeli, közös met-széspontú erőrendszerre felírható há-rom vetületi egyenletből számítható.

Z

Y

X

1

32

FXC

0, XiF0, YiF0, ZiF

A közös metszés-ponton át felvett tengelyekre a nyomaték mindig zérus.

(FX,S1,S2,S3)=0





33



MECHANIKA I.

A közös metszésponton kívül felvett tengelyekre a nyomatéki egyenlet (is) lehet célravezető.

Z

Y

X

1

32

FX

C

(FX,S1,S2,S3)=0

t1

t2

Az Y, t1 és t2 tenge-lyekre felírt nyoma-téki egyenletekből a rúderők egyenlet-rendszer nélkül számíthatók.


Előző dia címe:TÉRBELI BAKÁLLVÁNY



34


ha a csomóponti erő hatásvonalának döféspontja az alapsíkon a rúd-talppontok háromszögén belül van, mindhá-rom rúdban azonos előjelű rúderő ébred.


MECHANIKA I.

A rudak talppontjait összekötő ten-gelyekre felírt nyomatéki egyen-letek a feladat diszkusszióját is lehetővé teszik:

F

Z

Y

X

1

2

C

3



Következő dia címe:HÁROMLÁBÚ SZERKEZET


35


HÁROMLÁBÚ SZERKEZET

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A három ismeretlen (párhuzamos) erő a három statikai egyenletből meghatározható.

x

z

yF

AB

C

y x

C

BA

2. 00, YiF

3. A0, ZiF

1. 00, XiF

6. 00)( ZiM

2. B0)( YiM

1. C0)( XiM



Következő dia címe:HATRUDAS TÉRBELI TEST


36


HATRUDAS TÉRBELI TEST

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A hat ismeretlen meghatározására a hat statikai egyenlet elegendő. Célszerű sor-rend- és tengelyválasztással azonban az egyenletrendszer akár egyismeretlenes egyenletekre is széteshet.

1

F1

XY

2 34

5

6

Z

M1 F3

F2

M2

t

6. S3

5. S20, XiF

0, ZiF

2. S60)( Z

iM

1. S10)( YiM

3. S40)( t

iM

4. S50)( X

iM


Előző dia címe:HÁROMLÁBÚ SZERKEZET

Következő dia címe:TÉRBELI RÁCSOSTARTÓ


37


TÉRBELI RÁCSOSTARTÓ

TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

A térbeli tartót is kialakíthatjuk rácsos szerkezettel. A térbeli rácsostartók esetén (a síkbeli szerkezetekkel megegyezően) acsomóponti és az átmetsző módszert alkalmazhatjuk.

A térben egy csomópontra három független egyenlet írható fel, az átmetszésben pedig max. hat rudat vághatunk át a tartón.


Előző dia címe:HATRUDAS TÉRBELI TEST



38



TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

Egy mongol jurta és a pekingi olim-piai csarnok képe.


Előző dia címe:TÉRBELI RÁCSOSTARTÓ



39



TÉRBELI ERŐK

MECHANIKA I.

Térbeli rácsos szerkezetekElső dia címe:AZ ERŐ MEGADÁSA



Documents

MECHANIKA I