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Mechanik der Flüssigkeiten und Gase

Festkörper - in diesem Zustand behält ein Stoff im Allgemeinen sowohl Form als auch Volumen bei.

Flüssigkeit - das Volumen wird i.A. beibehalten, aber die Form ist unbeständig und passt sich dem umgebenden Raum an. Die Flüssigkeitsteilchen sind nicht wie beim Festkörper ortsfest, sondern können sich gegeneinander verschieben. Ein flüssiger Stoff verteilt sich von alleine, wenn er nicht in einem Gefäß festgehalten wird.

Gas - füllt den zur Verfügung stehenden Raum vollständig aus. Bei Stoffen im gasförmigem Zustand sind die Teilchen in schneller Bewegung. Durch die schnelle Bewegung der Teilchen sind sie weit voneinander entfernt. Sie stoßen gelegentlich einander an, bleiben aber im Vergleich zur flüssigen Phase auf großer Distanz.

TF�

F� NF

�

Jede Flüssigkeit hat eine Oberfläche die stets normal zu einer wirkenden Kraft steht. Wirkt eine Kraft F auf ein Molekül, kann sie in Komponenten senkrecht und parallel zu der Oberfläche zerlegt werden.

Unter der Einwirkung von FT verschieben sich die Moleküle bis die Oberfläche normal zu der wirkenden Kraft ist.

�F�

m�2r

mg

r

Unter der Einwirkung der Zentrifugal- und Gewichtskraft wird die Flüssigkeits-oberfläche verformt bis sie senkrecht auf die resultierende Kraft F steht.

F

FlächeKraftDruck ��

Die Kraft die ruhende Flüssigkeitauf die Gefäßwände ausübt muss stets nur senkrecht zur Wandwirken. Gäbe es eine parallele Komponente so würde die Flüssigkeit strömen, was gegen die Voraussetzung wäre.

2

� � Pa1 m1Np

AFp :Druck 2 ��� 1Pa = 1Pascal

Andere Druckeinheiten: 1 Bar =100000 Pa; 1 mm Hg = 1 TorrEinige Zahlenwerte: Luftdruck – 1E5 Pa; Wasserleitung – 400 kPa

HYDROSTATIK – Lehre der strömungsfreien Flüssigkeiten und Gase

1A 2A

2s1F�

1s2F

�

2

2

1

1

222111

222111

AF

AF

dsFdWdsFdWdsAdVdsAdV

�

�

����������

Hydraulische Presse Ann. Inkompressibilität, Schwerkraft (Flüssigkeit) vernachlässigbar

Gesamter Hydrostatischer DruckDie Betrachtung der Druckverhältnisse in einer ruhenden Flüssigkeit muss vervollständigt werden indem wir auch den Schweredruck berücksichtigen. Dazu benutzen wir den Begriff der Dichte (�) = Masse (m) / Volumen (V) ein.

ghAFpghAmgF S ��������� ��

h p

0

F=m*.g

h*

pA

Der Schweredruck (pS) hängt nur von der Höhe Flüssigkeitssäule und von der Dichte (� ) ab.

p1

p2

p3

In nach oben geöffneten Gefäßen wirkt zusätzlich der äußere atmosphärische Druck (pA) auf die Flüssigkeitsoberfläche. Für den gesamten hydrostatischen Druck (p) gilt dann:

hgpp A ��� �

��� Das hydrostatische Paradoxon

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Messung des atmosphärischen Druckes (pA) mit dem Barometer

Der Luftdruck wird auch manchmal in Torr angegeben (1 Torr= 1mm Hg. 760Torr = 101325 Pa. Der Luftdruck hängt vom Wetter und der Höhe ab. Torricelli beobachtete, dass das Hg-Niveau in geschlossenen Glasröhren immer gleich ist.

Das Prinzip des Archimedes

�K

mK

�Fl

gmK��

AF� Auftriebskraft

Auf einen in einer Flüssigkeit eingetauchten Körper wirkt eine Auftriebskraft FA, deren Betrag gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeitsmenge ist.

gVgm FLFL���������� �AF

FlKörper

FlKörper

FlKörper

��

��

��

�

�

Körper sinkt

Körper schwebt

Körper schwimmt

Aräometer

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HYDRODYNAMIK

Zur Vereinfachung der Überlegungen nehmen wir an, dass:

1. Die Flüssigkeit ist inkompressibel

2. Es wirken keine Kräfte zwischen den Molekülen der Flüssigkeit

DIE KONTINUITÄTSGLEICHUNG

��

���

���

�

����������

sm

tVI

VpsApsFW3

1

11111111

A1A2

Strömung

ideale Flüssigkeit

1v� 2v�

�s1

�s2

Volumen-strom 2211

22

11

vAvAtsA

tsAI

���

�����

����

DIE BERNOULLISCHE GLEICHUNGDurch die Annahme, dass eine reibungsfreie Strömung vorliegt können Energieumwandlungen nur zwischen der kinetischen und potentiellen Energie erfolgen.

)(2

)(

21

22

12

vvmE

hhmgE

kin

pot

��

��

����

Zwischen Position 1 und 2 gibt es eine Differenz an potentieller und kinetischer Energie.

Dieser Energiezuwachs stammt von der Netto-Volumenarbeit::

)(2

)()(

/)(

21

221221

212211

vvmhhmgVpp

VmundApFweilVppsFsFW

��

������

���������������

�

2222

2111 2

121 vhgpvhgp ������� ����

Das ist die Energieerhaltung !

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Die Flüssigkeit strömt durch eine Verengung. Wie hoch ist der Druck in der Flüssigkeit in der Verengung ?

�v� v�1v�

ppist

vvwegenvvpp

ghpv

ghpv

�

�����

���

1

12

12

1

2

1

21

),(2

22�

����

p pp

-�p

p1Nach dem Prinzip: Erzeugung des Unterdruckes durch hohe Strömungsgeschwindigkeiten funktionieren viele Vorrichtungen.

Konsequenz der Bernoullischen Gleichung und Anwendungen

Zerstäuber

v großp klein

v1�t

�h

v2�t

FlächeA1

FlächeA2

v2

hgv

hhgv

vAAwenn

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�����

�

2

)(2

0

2

12

22

121

��

6

StrStröömungsvorgmungsvorgäänge in nge in FlFlüüssigkeiten und Gasenssigkeiten und GasenLaminare und turbulente StrömungenKräfte auf Körper in StrömungenWiderstrandsbeiwertTragflügel

Strömende Flüssigkeiten (Gase)

Hydrodynamik beschreibt das Strömen von Flüssigkeiten in Röhren bzw. das Umströmen von Körpern. Das Strömen von Flüssigkeiten wird durch innere und durch äußere Kräfte verursacht.Äußere Kräfte: Schwerkraft, Druckdifferenzen zwischen verschiedenen Strömungsquerschnitten. Sie wirken auf jedes Volumselement des Fluides.Innere Kräfte wirken nur bei realen Flüssigkeiten. Sie sind für die Viskosität verantwortlich und werden Reibungskräfte genannt.

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Innere Reibung in Flüssigkeiten und GasenReibung - physikalische Kraft, die einer Relativbewegung zwischen zwei einander berührenden Körpern entgegenwirkt.

Innere Reibung tritt auf bei Bewegung der Atome bzw. Moleküle eines Stoffes gegeneinander. Innere Reibung bewirkt die Zähigkeit (Viskosität) in Flüssigkeiten und Gasen. Die innere Reibung kann ähnlich der Reibung zwischen festen Körpern mittels einer Reibungskraft beschrieben werden. Diese Reibungskraft behindert die relative Bewegung zwischen denFlüssigkeitsteilchen.

� � sPamsN

vz

AF

zvAF

zFvFAF

�����

��

���

���

� 11

1;;

2�

�

�z

Viskosität (�)

� Stoffeigenschaft einerFlüssigkeit

� resultiert und ist abhängig vonden zwischen denMolekülen wirkenden Kräften.

� charakterisiert das Fließverhalten einer Flüssigkeit

� beim Fließen gleiten die Moleküle aneinander vorbei

Typische Viskositätswerte(in mPa.s bei 20 °C)

Was passiert also bei der realen Rohrströmung ?

Es gibt ein Druckabfall entlang des Rohres (Kapillare)

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Die Volumsstromstärke (Volumen / Zeit) durch eine Röhre mit Radius Rund Länge l bei einer gegebenen Druckdifferenz �p ist gegeben durch:

Hagen-Poiseuillesches GesetzBei einer Strömung durch eine Röhre haftet die äußere Schicht der Flüssigkeit an der Rohwand. Damit die nächste Flüssigkeitsschicht vorbeiströmt erzeugt der Druck p eine Kraft die der Schicht eine Geschwindigkeit erteilt. Daraus resultiert, dass Geschwindigkeit im Zentrum am höchsten ist und nimmt zu den Wänden hin ab. Das Strömungsprofil wird parabolisch (für sog. laminare Strömung).

p1 p2

418

Rlp

ZeitVolumenVQ ��

�����

���

Beim Durchfließen der Röhre hängt die Durchflußmenge von der 4-Potenz des Radius ab.

41 RlpQ ���

��

1. Durchflußmenge ist proportional der Druckdifferenz

2. Durchflußmenge ist umgekehrt proportional zu der Rohrlänge und Zähigkeit

3. Durchflußmenge ist proportional zu der 4. Potenz des Radius des Rohres

Punkt 3 bedeutet, dass bei gegebener Länge und Druck, jedoch bei halbem Radius die Durchflußmenge auf 1/16, das sind 6.6% sinkt.

Bedeutung für den Bluttransport im Körper: das Blut strömt vom Herzen über die Aorta und über verschieden lange und dicke Arterien bis in diverse Organe. Die Kapillaren mit etwa 8 �m Durchmesser sind die kleinsten Blutgefäße, jedoch findet der größte Druckabfall in den sog. Arteriolen statt. Der Durchmesser der Arteriolen ist Dank der Muskelhülle veränderlich.

07,2/)2,1( 44 �RR

Wird ein Gefäß um 20% erweitert, so ändert sich sein Radius von R auf 1.2 R. Das bedeutet eine Vergrößerung des Volumenstromesum mehr als das Doppelte:

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Beim liegen ist die Druckverteilung in den großen Arterien ziemlich homogen (etwa 100 Torr = 133 mBar).

Im Stehen ist die Druckverteilung aufgrund des Schweredruckes des Blutes inhomogen.

Druckverteilung beim Menschen

Laminare Strömung

Die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsschichten von der Wand bis zur Achse des Rohres nimmt kontinuierlich zu.

Laminare Strömungen haben ein parabolisches Strömungsprofil. Die Flüssigkeitsteilchen unmittelbar an der Gefäßwand sind in Ruhe. Die Stromlinien verlaufen parallel. Die mittlere Geschw. v = vmax/2

Im Rohr Umströmung einer Kugel (Uni Leipzig)

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Turbulente Strömung

Steigt die Stömungsgeschwindigkeitan, beginnen sich die Flüssigkeits-schichten zu verwirbeln - es entsteht eine turbulente Strömung.

Das Geschwindigkeitsprofil flacht ab, da sich die Flüssigkeitsteilchen auch quer zur Rohrachse bewegen.

Der Strömungswiderstand steigt an.

Der Übergang in die turbulente Strömungsform hängt von der Viskosität, von der Dichte, vom Gefäßradius und von der mittleren Geschwindigkeit der Strömung ab.

Turbulente Umströmung einer Kugel

Die Reynoldszahl ReRe - eine nach dem Physiker Reynolds benannte dimensionslose Kennzahl einer Strömung. Sie stellt das Verhältnis von Trägheits- zu Reibungskräften (Zähigkeit) dar.

�� dv ��

�Re� - Dichte des Mediums

� - Zähigkeit des Mediums

v – Strömungsgeschwindigkeit

d – charakteristische Länge

Überschreitet die Reynoldszahl einen kritischen Wert wird eine bis dahin laminare Strömung anfällig gegen kleinste Störungen. Oberhalb des kritischen Wertes gibt es dann einen Umschlag von laminarer zur turbulenten Strömung. Dieser Wert beträgt typischerweise Re (kritisch)~1000 – 3000.

Praktische Formulierung von Re für Luft (NTP) - Achtung Einheiten:

Re � 6,6.v.d (v in (cm/s); d in (cm)

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Luftwiderstand (Widerstandskraft)

�.... Luftdichte in kg/m3

cW... Luftwiderstandsbeiwert (dimensionslos)A..... Stirnfläche in m2

v...... Geschwindigkeit in m/s

2WW vAcF ����� �

21

12

c d

c …Zugkraft d … Widerstrandskraft

Kräfte am Tragflügel

Wieso gibt es diese Druckunterschiede ?

Tragfläche -Druckveränderung durch unterschiedlicheAnstellwinkel

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Lilienthal – Polardiagramm. Bestimmung des Anstellwinkels

SvcW

SvcA

W

A

��

��

��

��

2

22

2

�

�

Oberflächenspannung und Kapillarität

photo by Harold Davis

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OberflächenspannungEine Flüssigkeit wird von anziehenden Kräfte, welche zwischen benachbarten Molekülen wirken, den Kohäsionskräften, zusammengehalten.

� Molekül im Inneren der Flüssigkeit -seine Nachbarmoleküle sind allseitig etwa gleichmäßig verteilt. Damit heben sich die auf das betrachtete Teilchen wirkenden Kräfte auf – die resultierende Kraft ist im Mittel Null.

� Molekül nahe bei der Oberfläche – hier fehlt ein Teil der Wechselwirkungen mit anderen Molekülen der Flüssigkeit.

� Wechselwirkung mit den Molekülen des darüberliegenden Gases findet statt - diese Kräfte sind i.a. schwächer � resultierende Kraft auf das Molekül ist nach innen, senkrecht zur Oberfläche gerichtet.

� Um ein Molekül aus dem Inneren der Flüssigkeit an die Oberfläche zu bringen, mußgegen die Resultierende der molekularkräfte Arbeit geleistet werden - es bedarf einer zusätzlichen Energie.

� Der umgekehrte Vorgangist mit einem Gewinn von Energie verbunden � die Oberflächenmoleküle haben das Bestreben, die Flüssigkeitsoberfläche klein zu halten � Minimalflächen

MINIMAL - FLÄCHEN

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Vergrößert man die Oberfläche einer Flüssigkeit, so muss man - eben aufgrund der Oberflächenspannung - eine Arbeit verrichten. Die Oberflächenspannung wird nun so definiert:

Der Quotient aus der Arbeit, die zur Vergrößerung der Oberfläche verrichtet werden muss zu dem Oberflächenzuwachs. Die Oberflächenspannungkann daher auch als Oberflächenenergie bezeichnet werden.

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Einige Werte bei 20°C für die Oberflächenspannungen :Aceton 23.3 mN/m; Quecksilber 476 mN/m; Wasser 72.75 mN/m

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Kapillarität Durch die Oberflächenspannung verursachtes Verhalten von Flüssigkeiten in engen Röhren (Hohlräumen). Beim (senkrechten) Eintauchen einer engen Röhre (Kapillare) in eine benetzende Flüssigkeit, z. B. Glas in Wasser, steigt die Flüssigkeit in dem Kapillarrohr hinauf (Kapillaraszension). Für eine nicht benetzende Flüssigkeit, z. B. Quecksilber, sinkt diese im Kapillarrohr ab und steht dort tiefer als die Flüssigkeit außerhalb der Kapillare (Kapillardepression).

Die Ursache für diese Phänomene ist das Verhältnis von Kohäsionskräften zwischen den Flüssigkeitsmolekülen und Adhäsionskräften zwischen Flüssigkeit und Kapillarwand.