Meccanica dei fluidi: statica e dinamica

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Definizione

•  Un fluido, al contrario di un solido, e’ una sostanza che puo’ fluire.

•  I fluidi si adattano alla forma del recipiente che li contiene. Questo avviene perche’ i fluidi non sono in grado di opporre resistenza ad una forza applicata tangenzialmente alla loro superficie

Pressione

Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine 4

1019 Black hole (1 solar mass) 1018 Neutron star (core)

3 x 1017 Uranium nucleus 1010 White dwarf star (core)

1.6 x 105 core 1.4 x 103 Sun: average 2.8 x 103 crust 9.5 x 103 core 5.5 x 103 Earth: average

13.6 x 103 Mercury (the metal)

7.9 x 103 Iron 1.060 x 103 Whole blood

1.024 x 103 Seawater: 20°C and 1 atm

1.000 x 103 20°C and 50 atm 0.998 x 103 Water: 20°C and 1 atm 0.917 x 103 Ice

1 x 102 Styrofoam 60.5 20°C and 50 atm

1.21 Air: 20°C and 1 atm pressure

10-17 Best laboratory vacuum

10-20 Interstellar space

Density (kg/m3) Material or Object

TABLE 15-1 Some Densities

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Pressione

•  La  pressione  si  misura  nel  SI  in  pascal  

1Pa =1N /m2

atm :1,03kgpcm−2

mmHg = torr : 1/ 760( )atmbar =105Pa =100kPa

1 101,31 14,701 1010 1

atm kPaatm psiatm mbar bar

=

=

= ≅

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a Pressure in excess of atmospheric pressure. b The systolic pressure, corresponding to 120 torr on the physician's pressure gauge.

10-12 Best laboratory vacuum

1.6 x 104 Normal blood pressureab

1.0 x 105 Atmosphere at sea level

2 x 105 Automobile tirea

1 x 106 Spike heels on a dance floor

1.1 x 108 Deepest ocean trench (bottom)

1.5 x 1010 Highest sustained laboratory pressure

4 x 1011 Center of Earth

2 x 1016 Center of the Sun

Pressure (Pa)

TABLE 15-2 Some Pressures

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Schema ideale di un fluido •  In un fluido si trascura la costituzione atomica

•  La trattazione è basata su una idealizzata continuità •  In generale in un fluido punto per punto vengono definiti –  densità –  velocità –  pressione

•  Se la densità è costante –  fluido omogeneo ed incompressibile

– attenzione: non esistono fluidi incompressibili! •  Se ci sono forze dissipative –  fluidi viscosi

•  Se il fluido non è viscoso ed ha densità costante –  fluido ideale

Pressione idrostatica

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La legge di Stevino

•  La pressione dipende e linearmente da –  densità (se costante!) –  accelerazione di gravità –  quota

•  La pressione non dipende dalla massa –  la botte di Pascal!

» Si può far scoppiare una botte con pochissima acqua!

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La botte di Pascal

In una botte piena d'acqua si immerga un tubo stretto e alto. Versando acqua nel tubo la pressione idrostatica p aumenta (Stevino) proporzionalmente all' altezza. Per il principio di Pascal l'aumento di p si trasmette a tutto il liquido nella botte ed aumenta anche la forza esercitata dall'acqua contro le pareti della botte (F =pxS) Si arriverà ad un punto in cui la botte si rompe

Legge di Pascal

Manometri a pressione idrostatica

Legge di Archimede

Legge di Archimede

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Peso apparente in un fluido

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

aidrostatic spintadella grandezza

realepeso

apparentepeso

Papp = P-B

Legge di Archimede

Dinamica dei fluidi

Flusso di un fluido

Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine 19

Regime laminare

v1

v2 δ

A →

→

A

Modello di liquido come lamine che scorrono le une sulle altre

Forza di attrito:

si oppone al moto à FA ∝ - v

FA = – η A v δ

→ →

v=v1-v2 = velocita’ relativa tra lamine A = area lamine δ = distanza tra lamine η = coefficiente di viscosita’

Flusso di un fluido

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Portata di un fluido

V

Dt

Q= V/Dt

m3/s

portata = volume di liquido intervallo di tempo

SI cgs pratico m3/s cm3/s l/min

Portata del sangue: 5 l/min = (5000 cm3)/(60 s) = 83.33 cm3/s

Es.

Q = V Δt

A v Δt Δt = A v = costante =

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Moto in regime laminare

r p1

p2

p1 > p2

Q

h Q = π r4

8 η h (p1 – p2) Q ∝ Δp

Q = Δp/R Resistenza meccanica di un condotto dipende da: raggio-lunghezza del tubo viscosità del liquido

Condizione per il moto di un liquido:

differenza di pressione

v → asse del condotto

La portata è direttamente proporzionale alla differenza di pressione

La velocità è maggiore al centro del condotto (profilo parabolico) Il moto è silenzioso

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Regime turbolento

Quando la velocità del liquido supera una certa velocità critica, il modello laminare non funziona più:

il moto si fa disordinato, si creano vortici.

velocità critica v>vc

La portata non è più direttamente proporzionale alla differenza di pressione Q ∝ Δp

Per ottenere la stessa portata serve una pressione decisamente maggiore!

La velocità non ha più un profilo regolare Il moto è rumoroso

Moto dei fluidi: sintesi

MOTO STAZIONARIO di un LIQUIDO REALE e OMOGENEO in un CONDOTTO RIGIDO

REGIME LAMINARE

- lamine e profilo velocità parabolico - Q ∝ Δp - silenzioso (conservazione dell’energia)

approx. iniziale

v > vc

REGIME TURBOLENTO

- vortici - Q ∝ - rumoroso

Δp (alta dissipazione di energia per attrito)

Sistema circolatorio - 1

ARTERIE

CUORE

AORTA

CAPILLARI ARTERIOLE

VENA CAVA

VENE

VENULE

valvole

POLMONI

pressione media

velocità media (nel tempo)

(nel tempo)

AORTA ARTERIE ARTERIOLE CAPILLARI VENULE VENE VENA CAVA

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Sistema circolatorio - 2

CUORE

POLMONI

CAPILLARI

GRANDE CIRCOLO

AD VD AS VS

100 mmHg

5 litri/ min

40 mmHg

4 mmHg

5 litri/ min

10 mmHg

8 mmHg

25 mmHg

Circuito chiuso

Portata costante

(no immissioni, no fuoruscite)

Sistema circolatorio – 3

pressione media velocità media

(nel tempo)

(nel tempo)

velocità media (cm/s)

pressione media (mmHg)

100 100¸40

40¸25 25¸12

12¸8 8¸3 2

50¸40 40¸10

10¸0.1 <0.1

<0.3 0.3¸5

5¸25

CAPILLARI ARTERIOLE

VENULE

VENA CAVA

CUORE

AORTA ARTERIE

VENE

deve sempre diminuire diminuisce poi aumenta

Equazione di continuita’ - 2

S1 = 5 cm2 v1 = 20 cm/s

S2 = 1.25 cm2 v2 = 80 cm/s

Q = 100 cm3/s

A

S1 = 5 cm2

B S2 = 1.25 cm2

C S3 = 0.5 cm2

S3 = 2.5 cm2 v3 = 40 cm/s

Se il condotto si apre in piu’ diramazioni, bisogna considerare la superficie totale.

Velocita’ del sangue - 1

5000 4000 3000 2000 1000

S cm2

5000 4000 3000 2000 1000

cm2

25 400

4500+ 4000

60

totale

10 20 30 40 50

10 20 30 40 50

v cm/s cm/s

ARTERIOLE

CAPILLARI

VENULE VENE ARTERIE

ARTERIE ARTERIOLE

CAPILLARI

VENULE

VENE

4 miliardi

160 140mila 300 milioni

200

Paradossalmente, al contrario di quanto prevederebbe l’equazione di continuita’, la velocita’ e’ bassissima nei capillari perche’ il loro numero e’ altissimo!

Velocita’ del sangue - 2

Portata del sangue: Q= 5 l/min = (5000 cm3)/(60 s) = 83.33 cm3/s

Es.

Velocita’ del sangue nei vari distretti:

AORTA (r=0.8 cm) S = p r2 ≈ 2 cm2 v = Q/S ≈ 40 cm/s ARTERIOLE S ≈ 400 cm2 v = Q/S ≈ 0.2 cm/s CAPILLARI S ≈ 4000 cm2 v = Q/S ≈ 0.02 cm/s VENA CAVA (r=1.1 cm) S = p r2 ≈ 4 cm2 v = Q/S ≈ 20 cm/s

Es.

La bassissima velocita’ del sangue nei capillari (0.2 mm/s) permette gli scambi di sostanze (reazioni chimiche) necessari alla vita.

Teorema di Bernoulli

Teorema di Bernoulli

Equazione di Bernoulli

costante=++ gyvP ρρ 2

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La somma della pressione, dell’energia cinetica per unita’ di volume e della energia potenziale per unita’ di volume ha lo stesso valore in tutti I punti di una linea di flusso.

How can we derive this?

Conseguenze equazione di Bernoulli

Legge di Torricelli

Portanza

Qualche esercizio

Qualche esercizio

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Viscosita’  

• La viscosita’ si riferisce all’ attrito tra strati adiacenti di fluido • E’ richiesto un calo di pressione per forzare il passaggio dell’acqua attraverso I tubi (legge di Poiselle’s) • A velocita’ sufficientemente grandi si creano turbolenze

dAvF η=

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Viscosita’

η coefficiente di viscosità

Unita’ di misura cgs: poise = g/(s•cm)

La viscosita’ diminuisce al crescere della temperatura. Acqua a 0o ηacqua = 0.0178 poise a 20o η acqua = 0.0100 poise

Sangue Plasma à ηplasma = 1.5 η acqua

Sangue con ematocrito (% eritrociti) 40% à ηsangue = 5 η acqua

Es.

FA = – η A v δ

→ →

Diffusione

•  Le molecole si muovono dalle regioni a piu’ alta

concentrazione alle regioni a bassa concentrazione.

•  Legge di Fick:

•  D = coefficiente di diffusione

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −==

LCCDA

TempoMassa 12diffusione di Rate

Osmosi

Pressione osmotica: spinge l’acqua (solvente) dal lato della membrana in cui vi sono più soluti (ioni/biomolecole) rispetto che acqua.

L’osmosi di acqua non è “diffusione” ma “pressione” perché non dipende dalla concentrazione assoluta di acqua ma da quella dei soluti rispetto all’acqua

•  L’ Osmosi e’ il moto dell’acqua attraverso un setto, che invece impedisce il passaggio di altre specifiche molecole, come per esempio sali etc…