Meccanica dei fluidi - fisica.uniba.it pdf/fluidi.pdf · Meccanica dei fluidi ... A PRESSIONE NEI FLUIDI o, in simboli: S.I. Pascal 1 Pa = 1 N ... Una conseguenza della legge di Stevino

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Meccanica dei fluidi

GLI SFORZI Un corpo solido può trovarsi in equilibrio statico pur essendo sottoposto a forze : in tal caso queste ultime tendono a deformarlo. Il rapporto tra l'intensità F della forza applicata e l'area A del corpo sulla quale detta forza agisce uniformemente è chiamato sforzo:

Supponendo che il corpo sia vincolato in modo che l'applicazione di una forza non ne modifichi lo stato di quiete, a seconda della direzione della forza rispetto alla superficie di applicazione abbiamo vari tipi di sforzi: Sforzo di trazione : si ha quando la forza viene applicata perpendicolarmente ed uniformemente ad una superficie del corpo, in modo da tendere ad allungarlo.

• Sforzo di compressione : si ha nelle stesse condizioni del punto precedente, solo che la direzione della forza è tale da tendere ad accorciare il corpo.

• Gli sforzi di trazione e compressione, deformando il corpo nella direzione in cui vengono applicati, producono variazioni relative della lunghezza che si definiscono deformazioni:

Sforzo di taglio : si ha quando una forza è applicata tangenzialmente ad una superficie del corpo. L'effetto di questo tipo di sforzo è chiamato deformazione di scorrimento.

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In questo caso la deformazione è definita deformazione di scorrimento e, relativamente alla figura è definita come:

LE DEFORMAZIONI La deformazione che può subire un corpo quale ad esempio una barra solida, quando sottoposta a sforzo di trazione, ha un andamento come quello illustrato sotto:

Il grafico è lineare fino al punto 1 : tale comportamento è noto come legge di Hooke. In 2 è permanentemente deformata e in 3 si rompe. Il rapporto tra sforzo e deformazione nella zona lineare del grafico è una costante chiamata modulo di Young E

• Per lo sforzo di taglio e la relativa deformazione per scorrimento è invece definito un

modulo di scorrimento Ms:

I FLUIDI

Prof. Vincenzo Augelli Complementi di Fisica 1 I fluidi (Laurea Specialistica in 2

Gli stati fondamentali della materia macroscopica sono quattro: solido, liquido, gas e plasma. I primi tre possono essere raggruppati in solidi e fluidi. I corpi solidi tendono ad essere rigidi e a mantenere la propria forma, mentre i fluidi tendono a deformarsi scorrendo ( il temine fluido infatti deriva dal latino "fluere" = scorrere ). I fluidi comprendono liquidi e gas. I liquidi sono limitati da una superficie definita, che racchiude un volume definito, sia essa la superficie di contatto con il recipiente o sia una superficie libera che separi il liquido in questione da un gas o un altro liquido. I gas tendono ad occupare tutto lo spazio consentito dal recipiente, adottando come superficie

Matematica)

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ottoposti a sforzi di taglio i fluidi tendono a deformarsi per scorrimento ed è possibile dare una

, in equilibrio, gli sforzi siano sempre normali

à ρ, definita come il rapporto tra la sua massa e il suo volume:

• • Per un fluido omogeneo la densità può dipendere da fattori quali pressione e

limite quella del recipiente stesso. Sdefinizione proprio in base a questa proprietà: definiamo fluido un mezzo continuo nel qualealle rispettive superfici, ovvero un mezzo che non possa sopportare sforzi di taglio senza deformarsi per scorrimento. Proprietà • densit

temperatura:

• d è quindi necessario

• peso specifico, definito come il rapporto tra il

• L'unità di misura del peso specifico, quando la surata in kg/m³, è il N/m³. ro

uesta caratteristica

questo proposito, per un corpo immerso in un fluido che tende a subire una diminuzione

• • misurato in N/m², dove one relativa del volume corrispondente alla

• Abbiamo detto che praticam bili : in realtà variando pressione e

è quasi indipendente dalla temperatura T. re della temperatura, e in generale circa 10

• per i liquidi la densità varia molto poco al variare di temperatura e pressione, quindi anche per ampie variazioni di queste ultime possiamo considerare costante; per i gas la densità dipende sensibilmente da pressione e temperatura, eprecisare questi parametri quando si dá la densità di un gas. La densità si misura in Kg/m³ o in g/cm³. Direttamente dipendente dalla densità è il peso di un corpo ed il suo volume. Esso non è altro che ρ g :

densità è mi

• La seconda proprietà di una sostanza è la compressibilità , definita come quel parametche indica di quanto diminuisce il volume con l'aumento della pressione. Sotto questo aspetto solidi e liquidi sono praticamente incompressibili, e qè praticamente indipendente da pressione e temperatura. I gas si comprimono con facilità, dipendentemente da pressione e temperatura. Adel proprio volume a causa dell'aumento di pressione (forza riferita all'area della superficie sulla quale è esercitata), si definisce il modulo di elasticità di volume B:

è la diminuzi

variazione di pressione . La com ressibilità k non è altro che l'inverso del modulo di elasticità di volume:

p

ente i liquidi sono incomprimi

temperatura anche la comprimibilità di un liquido subisce un cambiamento, sebbene così piccolo da potersi trascurare in prima approssimazione. Il coefficiente di dilatazione ( di volume V ) di un liquido è β (misurato in °C-1) :

Tipicamente i liquidi tendono a dilatarsi al crescevolte più dei solidi.

Matematica)

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A PRESSIONE NEI FLUIDI

o, in simboli:

S.I. Pascal 1 Pa = 1 N/m²

RESSIONE E ORIENTAZIONE DELLE SUPERFICI o possono sopportare sforzi

rio la

• sa fluida in quiete) una terna di assi cartesiani con i

• Indichiamo con px ,py , pz ettivamente agli assi x, y, z

• Se il tetraedro è infinitesimo e si assu infinitesimo del primo

• ento si otterrebbe , e quindi dal fatto che la pressione

de dall'orientazion mento di superficie al quale è applicata, si può parlare di pressione nel punto O, senza specificare una superficie sulla quale esso agisca.

LDefiniamo la pressione come:

c g s 1 Baria = 1 dina/cm² Altre unità: bar; mmHg; atm. P• I fluidi sono stati definiti come quei mezzi che in equilibri

normali alle rispettive superfici. Una conseguenza immediata di questo è che in equilibpressione su tutti gli elementi di superficie che passano per uno stesso punto è la stessa qualunque sia la loro orientazione. Consideriamo (all'interno di una masorigine in O: un piano generico ABC molto prossimo ad O isola una porzione di fluido dvolume infinitesimo a forma di tetraedro. Il tetraedro è soggetto al peso e alle forze di pressione agenti sulle quattro facce.

le pressioni sulle tre facce normali risp

e di area dSx , dSy ,dSz; con p la pressione sulla faccia ABC di area dS. Consideriamo le componenti, per unità di superficie, delle forze normali alle rispettive facce. La componente,che dà luogo a p, lungo x, è se α è l'angolo tra x e la normale ad ABC diretta verso l'esterno del tetraedro. Le componenti della forza di volume applicata al tetraedro rispetto agli assi saranno ρXdV , ρYdV , ρZdV . Per l'equilibrio si dovrà avere:

me la lunghezza dei lati come

ordine, ne segue che l'area delle facce è infinitesima del secondo ordine ed il volume del terzo ordine. In queste condizioni è lecito trascurare quello del terzo ordine come

infinitesimo di ordine superiore. Ne segue che:

e poiché: si ha py = pz = p Con lo stesso procedim

non dipen e dell'ele

Matematica)

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•

Un caso interessante si presenta quando si considera un moto di rotazione rispetto per quanto detto rientra nello studio dei

razione

• recipiente ruoti con una velocità angolare costante ω, allora su ogni

•

• i rotazione, orientato ui si trova dV e l'asse.

In totale quindi la forza agente è:

• •

• LA LEGGE DI STEVINO Prendiamo una colonna dorizzontale sarà nulla in quant

enso orizzontale). La massa di tale colonna liquida è:

FLUIDI IN QUIETE E CAMPI DI FORZE Quando si parla di fluido in quiete si intende in quiete rispetto al recipiente che lo contiene, indipendentemente dal fatto che quest'ultimo sia o no in moto rispetto l'osservatore.

l'osservatore, come nel caso della centrifuga, chefluidi in quiete. Un fluido in quiete contenuto in un recipiente in quiete è sottoposto al campo di forzegravitazionale, ovvero ogni elemento di volume dV di fluido è sottoposto all'acceledi gravità , diretta verso il basso e di valore costante pari a 9,8 m/s². Nel caso in cui il

volume dV agisce sia la forza peso come nel caso del recipiente in quiete, sia la forza centrifuga

• dovuta alla rotazione, dove è u dn vettore perpendicolare all'asse verso quest'ultimo e di modulo pari alla distanza tra il punto in c

• ovvero si può definire un ca po In figura è indicato l'andamento del campo per ω=0 e ω≠0

m

i liquido di sezione A ed altezza h (la risultante delle forze sul piano o la colonna considerata si suppone non avere accelerazione in

s

ed il suo peso è: • Indichiamo con po la pressione in cima alla colonna.

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Alla base della colonna la pressione sarà maggiore di quella alla sommità, perché oltre alla forza di pressione sarà presente il peso della colonna. Indicando con p la pressione sul fondo, la forza verso l'alto esercitata dalla superficie inferiore per bilanciare la forza esercitata dalla parte superiore sarà:

ovvero • Il risultato è appunto che la pressione aumenta linearmente con la profondità e ad una

profondità h essa è aumentata di una quantità rispetto alla pressione po della quota di riferimento rispetto cui è misurata la profondità h.

• Questo risultato è noto come Legge di Stevino. Possiamo ricavare la legge di Stevino in una maniera più rigorosa considerando un piccolo elemento di fluido all'interno di un volume più grande (finché non si procede all'integrazione, le equazioni che in seguito verranno riportate saranno valide sia per i liquidi che per i gas).

Ciascuna faccia del disco abbia area A e lo spessore sia dy. In queste condizioni la massa di

fluido contenuta nell'elemento di volume sarà ed il suo peso ; le forze che agiscono sul volume in questione sono il suo peso e le forze di pressione

esercitate dal fluido circostante:


Da cui

ra nel caso di un liquido omogeneo possiamo considerare ρ e costanti:

gO

Matematica)

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IL PRINCIPIO DI PASCAL Se applichiamo una forza di intensità F ad un pistone che comprime il liquido contenuto in un recipiente di forma sferica, vedremo che quest'ultimo zampillerà dai fori con getti di lunghezza pressappoco uguale e direzione iniziale perpendicolare a quella della parete sferica.

La velocità di fuoriuscita del liquido, inoltre, sarà tanto più elevata quanto maggiore è l'intensità della forza applicata. Tale fenomeno si spiega ammettendo che la pressione applicata dal pistone si trasmetta invariata a tutto il liquido. Principio di Pascal : una pressione esercitata in un punto di una massa fluida si trasmette in ogni altro punto e in tutte le direzioni con la stessa intensità (su superfici uguali). Tale principio deriva dalla legge di Stevino: aumentando la pressione po di una quantità ∆po, la densità ρ nella precedente equazione rimarrà costante (liquido incomprimibile) e di conseguenza in P avremo un nuovo valore di

pressione p' : La variazione di pressione avvenuta nel punto P dopo il cambiamento di quella alla quota di

riferimento è: IL PARADOSSO IDROSTATICO Una conseguenza della legge di Stevino è che la pressione dipende solo dalla profondità alla quale essa viene misurata e non dalla forma del recipiente che contiene il fluido.


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Supponiamo che i recipienti abbiano tutti la stessa base. La forza che agisce sul fondo è F=pA = ρghA = ρgV = mg = P; quindi sul fondo, la forza agente è uguale al peso del fluido contenuto nel recipiente. Il paradosso idrostatico consiste proprio in questo: pur essendo il peso del liquido contenuto nei vari recipienti diverso a seconda dei casi, la forza esercitata sul fondo (nelle condizioni sopra indicate) è uguale per tutti e tre i casi e pari al peso del liquido contenuto nel recipiente (1).

Il peso del liquido in 2 è maggiore di quello in 1 e quindi è maggiore della forza esercitata sul fondo. Il paradosso in questo caso si spiega con il fatto che parte del peso del liquido contenuto è sostenuto dalla forza normale R, avente componente P' verso l'alto, esercitata dalle pareti del recipiente stesso. In effetti la porzione di liquido ombreggiata è sostenuta dai lati del recipiente.

Nel caso del recipiente (3) la forza di reazione delle pareti del recipiente avrà una componente P' verso il basso che andrà a sommarsi al peso del liquido a quella quota e darà comunque come risultato una forza F di intensità equivalente al peso del liquido contenuto in (1) PRINCIPIO DEI VASI COMUNICANTI In un sistema di vasi comunicanti il fluido contenuto raggiunge la stessa quota indipendentemente dalla forma dei recipienti.


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pB – pA=

Se le densità sono diverse:

Cioè: (liquidi non miscibili in vasi comunicanti raggiungono altezze inversamente proporzionali alle proprie densità). DIMINUZIONE ESPONENZIALE DELLA PRESSIONE ATMOSFERICA Le variazioni di temperatura della superficie terrestre determinano riscaldamenti e raffreddamenti dell'aria e di conseguenza diminuzioni e aumenti di densità che si traducono in variazioni di pressione. Per il calcolo delle differenze di pressione dovute all'altitudine, possiamo spiegare l'andamento da un punto di vista matematicamente più formale assumendo che la densità dell'aria sia proporzionale alla pressione (cosa che sarebbe esattamente vera se la temperatura dell'aria fosse costante ad ogni quota).

• Supponendo che anche la variazione del modulo dell'accelerazione gravitazionale g sia trascurabile con la quota, potremo scrivere l'equazione dell'equilibrio di un volume cilindrico infinitesimo di area di base dA ed altezza dy:

• Poiché si è detto che ρ è proporzionale alla pressione si avrà:


Allora

Che integrata dà:to un grafico di variazione della pressione con l'altezza nell'aria e con la

• dove ρ0 e p0 sono valori noti di densità e pressione a livello del mare.

:

In figura è riportaprofondità nell'acqua, supponendo una pressione di 1 atm a livello del mare.

Matematica)

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MISURE DI PRESSIONE

• I BAROMETRI A MERCURIO – per le misure di pressione atmosferica;

• I MANOMETRI A LIQUIDO – per le misure di una qualsiasi pressione incognita assoluta o in riferimento alla

pressione atmosferica. • Altri strumenti usati per misurare le pressioni sono: • I BAROMETRI METALLICI

– per le misure indirette di pressione atmosferica; • I MANOMETRI A DEFORMAZIONE

– per le misure indirette di pressioni qualsiasi: sfruttano le deformazioni prodotte dalle pressioni incognite su opportuni rivelatori.

I BAROMETRI A MERCURIO Il barometro di Torricelli è uno strumento a mercurio per la misura della pressione atmosferica. Ideato da Evangelista Torricelli nel 1643, consiste in un lungo tubo di vetro riempito di mercurio e immerso con l'estremità aperta in una bacinella piena anch'essa di mercurio.

Per la legge di Stevino

ovvero

I MANOMETRI A LIQUIDO


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I manometri misurano pressioni incognite sfruttando il fatto che la differenza di pressione è direttamente proporzionale alla profondità del fluido.

Essi sono costituiti da un tubo ad U collegato ad una estremità alla pressione p da misurare e l'altra è aperta all'aria: nel tubo è contenuto un liquido manometrico di densità ρ conosciuta. Con questo tipo di manometro si misura la pressione differenziale ( o relativa ) p-patm che è data da ρgh, dove h è la differenza tra le estremità delle colonne di liquido nei rami del tubo. I BAROMETRI METALLICI I barometri metallici sono utilizzati per misure rapide (anche se non molto precise) e richiedono una preliminare taratura con un barometro a mercurio.

Il barometro olosterico è costituito da una scatola metallica vuota internamente e chiusa superiormente da una superficie flessibile e ondulata per aumentare la superficie esposta. Le deformazioni subite dal coperchio, dovute alla pressione atmosferica, sono equilibrate da una molla elastica e, dopo essere state opportunamente amplificate, trasmesse ad un indice che si muove su un quadrante. Le variazioni di pressione atmosferica producono quindi spostamenti dell'indice che, una volta tarato attraverso un barometro a mercurio, permette una lettura diretta della pressione. I MANOMETRI A DEFORMAZIONE Questi manometri misurano indirettamente la pressione attraverso le deformazioni prodotte da quest'ultima su opportuni rivelatori. MANOMETRO BOURDON. Il rivelatore di pressione è costituito da un tubo di acciaio a forma di spirale e a sezione ellittica, il cui interno è posto in comunicazione con il fluido di cui si vuol misurare la pressione. La pressione del fluido produce una deformazione che per la forma ellittica del tubo si traduce in un allargamento della spirale. L'estremità della stessa è collegata per mezzo di un sistema di leve ad un indice mobile che segnala su un'apposita scala le deformazioni della spirale al variare della pressione. La taratura avviene mettendo in comunicazione il manometro con fluidi a pressione nota; si segna di solito lo zero sulla scala quando la pressione del fluido è uguale a quella atmosferica, per cui in genere questi manometri indicano il valore della sovrapressione del fluido rispetto a quella atmosferica. Prof. Vincenzo Augelli Complementi di Fisica 1 I fluidi (Laurea Specialistica in 11Matematica)

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MANOMETRO PIEZOELETTRICO. Il rivelatore di pressione è costituito da sostanze solide cristalline che hanno la proprietà di caricarsi quando sottoposte a pressione. Le cariche prodotte a loro volta generano una differenza di potenziale che si può amplificare e misurare. La differenza di potenziale è proporzionale alle sovrapressioni applicate, per cui una volta tarato lo strumento per confronto esso misura direttamente le sovrapressioni. IL PRINCIPIO DI ARCHIMEDE Se si pesa un corpo immerso in acqua si nota che la bilancia segna un valore inferiore a quello che segnerebbe se il corpo venisse pesato in aria. Principio di Archimede : un corpo immerso in un fluido in equilibrio subisce una spinta diretta dal basso verso l'alto di intensità pari al peso del volume del fluido spostato. Dimostrazione teorica che diede Stevino nel 1586 In un fluido stazionario di densità isoliamo un volume V per mezzo di una superficie di contorno impermeabile e priva di massa, di area S. Essendo la massa m del fluido contenuto in S in equilibrio, il suo peso sarà controbilanciato dalle forze esercitate su esso dal fluido circostante e poiché tali forze dipendono solo dalle condizioni all'esterno di S, qualsiasi altro oggetto avente la stessa superficie esterna S necessariamente verrà sospinto verso l'alto dalle stesse forze, cioè da forze la cui risultante è sempre uguale al peso del fluido spostato. Abbiamo supposto il fluido in equilibrio e quindi la forza di Archimede non solo è diretta verso l'alto ma deve passare per il centro di massa della porzione di fluido spostato : quest'ultimo punto è detto centro di spinta e non coincide necessariamente con il centro di massa di un corpo immerso.

L'EQUILIBRIO

• Per discutere i diversi casi di equilibrio di un corpo immerso in un liquido (prendiamo un caso particolare di fluido) è necessario confrontare le forze agenti su di esso: il peso di intensità P e la spinta di Archimede di intensità S. I tre casi che possono verificarsi per un qualsiasi corpo immerso in un fluido sono:

• P > S : il corpo affonda; • P = S : il corpo è in equilibrio in ogni posizione; • P < S : il corpo galleggia.


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Per l'equilibrio del corpo galleggiante occorre che il centro di massa ed il centro di galleggiamento stiano sulla medesima verticale. Gli scafi delle navi sono sagomati in modo che il baricentro dello scafo si trovi al di sopra del centro di galleggiamento, ma ad una distanza da questo tale che una possibile rotazione della barca attorno al proprio centro di massa (cosa che modifica la forma della parte immersa e di conseguenza il volume del liquido spostato) generi un nuovo centro di galleggiamento B', in un punto tale che la forze agenti su esso e su G generino un momento che tenda a riportare la barca in posizione di equilibrio orizzontale.

LA TENSIONE SUPERFICIALE Nella materia allo stato liquido ogni molecola è circondata da altre molecole: le forze attrattive tra molecole, per il fatto che ognuna di esse è completamente circondata da altre, si bilanciano permettendo che ogni molecola si sposti liberamente.

Se una molecola che si trova nello strato limite viene sollevata, i legami tra essa e le molecole adiacenti vengono tesi, generando una forza che tende a richiamare la molecola verso la superficie. Allo stesso modo, appoggiando un corpo minuscolo sulla superficie di un liquido, le molecole superficiali di quest' ultimo vengono spinte verso il basso generando una forza di richiamo diretta verso l'alto. La superficie di un liquido si comporta quindi come una membrana tesa.


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La tensione superficiale di un liquidi è il lavoro che deve essere fatto per portare un numero sufficiente di molecole dall'interno del liquido alla superficie per poter formare una nuova area unitaria di detta superficie. Si definisce coefficiente di tensione superficiale ( misurato in N/m oppure in J/m2 ):

Le lamine liquide sono contrattili ed assumono la superficie minima compatibilmente con i vincoli e le forze esterne applicate, cioè l'energia potenziale superficiale relativa alla configurazione di equilibrio è minima. Prendiamo il caso della superficie di separazione liquido-vuoto. La molecola di liquido è sottoposta all'azione attrattiva delle molecole circostanti, azione che diminuisce rapidamente con la distanza e si può ritenere sostanzialmente nulla ad una distanza r (100 - 1000 volte più grande del raggio molecolare) dipendente dal tipo di molecola ma comunque dell'ordine di grandezza del , detto raggio della sfera d'azione molecolare.

• La molecola O1, la cui sfera d'azione molecolare r è interna al liquido, attira ed è attirata

simmetricamente da tutte le molecole che la circondano. • Molecole come O3 ed O4 che appartengono ad una lamina superficiale di liquido vengono

attirate dalle molecole sottostanti ( sopra esse non ce ne sono ) : la risultante delle forze di coesione delle molecole è ed è crescente man mano che la molecola si avvicina alla superficie del liquido.

• La tensione superficiale viene misurata direttamente misurando la forza necessaria a rompere la superficie del liquido sollevando un filo sottile dalla superficie stessa.

La forza necessaria ad estrarre un filo di massa m e lunghezza L è: LA CAPILLARITÀ Tubi di sezione molto piccola (del diametro di qualche decimo di millimetro) sono detti vasi capillari: per questi non vale più il principio dei vasi comunicanti. L'innalzamento o la depressione del livello del liquido dipende dal tipo di liquido (nel disegno sotto (a) è il caso dell'acqua che tende a salire nei tubi e (b) quello del mercurio, che invece tende a scendere) ed è inversamente proporzionale al raggio del tubo.


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Se la superficie del liquido è concava verso l'alto la tensione superficiale in corrispondenza delle pareti del tubo sarà diretta verso il centro della superficie curva formata dal liquido e quindi avrà una componente diretta verso l'alto. Il liquido, grazie a questa forza, salirà nel tubo finché la forza verso l'alto dovuta appunto alla tensione superficiale non sarà equilibrata dal peso del liquido.

• Il fenomeno è spiegato dal fatto che in un liquido esistono forze di coesione che fanno sì

che molecole simili si attraggano tra loro. La forza tra la molecola di un liquido e un'altra sostanza (come il vetro della parete di un recipiente che contenga il liquido stesso) è detta forza di adesione.

Si dice che il liquido bagna la superficie di un'altra sostanza quando le forze di adesione sono grandi rispetto le forze di coesione: in questo caso la superficie di una colonna di liquido in un tubo (ad esempio acqua in vetro) presenta una concavità verso l'alto (a) e si ha la risalita del fluido in questione lungo un tubo capillare. Se le forze di adesione sono piccole rispetto quelle di coesione (mercurio in vetro) la superficie del liquido in un tubo è convessa (b) ed il livello del fluido in un sistema di vasi capillari comunicanti tende a decrescere al diminuire della sezione dei vasi. Questo fenomeno è chiamato capillarità. L'ASCENSIONE CAPILLARE Quando un liquido bagna la superficie di un'altra sostanza le forze di adesione tra le molecole che lo costituiscono sono grandi rispetto a quelle di coesione: la superficie di una colonna di liquido in un tubo è concava verso l'alto.

• Se la superficie del liquido è concava verso l'alto la tensione superficiale in corrispondenza

delle pareti del tubo sarà diretta verso l'alto (la forza F della figura): la componente verticale


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di questa forza è quella che sorregge il liquido ed ha modulo Fcosθ , dove l'angolo θ è quello indicato in figura ed è detto angolo di contatto. Visto che la linea di contatto è lunga 2πr la forza verticale è γ2πrcosθ .

• Trascurando la lieve curvatura sulla superficie, il volume del liquido nel capillare è πr2h e uguagliando la forza diretta verso l'alto al peso del fluido si ha:

• da cui • Se θ = 90°, allora h = 0 ed il fluido non si innalza né si abbassa. Se θ è maggiore di 90°,

cosθ è negativo e così anche h: questo significa che il liquido si abbassa. L'altezza h è proporzionale a γ , per cui più grande è il valore del coefficiente di tensione superficiale, maggiore è l'effetto della capillarità e, al contrario, dipendendo dall'inverso del raggio, l'effetto si accentua quando r è piccolo.

DINAMICA DEI FLUIDI Per studiare il moto di un fluido sotto l'azione di forze possiamo suddividere il fluido in elementi di volume infinitesimi ( detti particelle di fluido ) e seguirne il moto, generalizzando i concetti della meccanica del punto materiale sviluppati da Lagrange,. Questo modo di procedere ci impone però di dare le coordinate x, y, z di ciascuna particella e di precisarne il comportamento in funzione del tempo t: E’ questo un compito improbo in quanto le coordinate x, y, z al tempo t saranno funzione del tempo stesso e delle coordinate xo , yo , zo della particella relative al tempo to. È possibile descrivere il moto del fluido in modo più semplice determinando densità e velocità del fluido in ciascun punto dello spazio ed in ogni istante. Questo sarà il modo di procedere da questo momento in poi : vedremo cosa accade in un dato punto dello spazio e in un dato istante, anche se non potremo evitare completamente di seguire le particelle fluide nel loro moto, almeno per piccoli intervalli di tempo dt, visto che è alle particelle e non ai punti dello spazio che si devono applicare le leggi della meccanica. CARATTERISTICHE DEL MOTO DI UN FLUIDO

• Possiamo definire il moto di un fluido a seconda delle caratteristiche assunte dalla velocità lineare ed angolare degli elementi costituenti il fluido stesso. Velocità lineare :

• se è costante nel tempo per ogni punto dello spazio ( ma può variare da un punto all'altro ) allora il moto si dice stazionario : un esempio di ciò è una corrente molto lenta;

• se è funzione del tempo per ogni punto dello spazio il moto si dice non stazionario ; un esempio di ciò sono le ondate di marea

• se varia in modo irregolare da punto a punto e da un istante all'altro il moto si dice turbolento ; un esempio di ciò sono le rapide e le cascate.

• Velocità angolare delle particelle del fluido attorno ad un punto: • se in corrispondenza di ogni punto gli elementi di fluido hanno velocità angolare nulla

attorno a tale punto il moto si dice irrotazionale ; • se in corrispondenza di ogni punto gli elementi di fluido hanno velocità angolare non nulla

attorno ad un punto il moto è rotazionale; • una piccola ruota a palette immersa nel fluido in moto ci indica se tale moto è irrotazionale o

meno a seconda che la rotella si sposti senza ruotare o no.


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Comprimibilità : se un fluido può muoversi senza modificare di molto la propria densità si dice incomprimibile. Si può ritenere in generale che i liquidi fluiscano incomprimibilmente. Anche i gas, che sono molto comprimibili, possono fluire senza importanti variazioni della loro densità, come ad esempio nel moto dell'aria relativo alle ali di un aereo che voli a velocità subsonica. Viscosità, che è l'analogo dell'attrito nel moto dei solidi : si distinguono perciò fluidi viscosi o non viscosi. La viscosità crea delle forze tangenziali tra gli strati di fluido che scorrono uno sull'altro col risultato di dissipare energia meccanica. FLUIDI IDEALI Definiamo fluido ideale un fluido incomprimibile e a viscosità nulla. I fluidi ideali in prima approssimazione possono essere presi a modello del comportamento dei fluidi in generale. Per formulare leggi che regolino il moto dei fluidi consideriamo un fluido ideale, cioè un fluido incomprimibile e non viscoso; consideriamo inoltre il caso che si muova di moto stazionario e irrotazionale. Nel moto stazionario la velocità in ogni punto è costante nel tempo, cioè ogni particella che transita per un qualsiasi punto P lo fa sempre con la stessa velocità in modulo e verso. Perciò se tracciamo il percorso di una particella, questo sarà anche il percorso di ogni altra particella che arriva in P : lo spazio occupato dalla corrente è quindi proprio un campo vettoriale. La curva che descrive il moto della particella si chiama linea di flusso ed è tangente alla velocità della particella in ogni suo punto.

Nel moto stazionario le linee di flusso non si incrociano mai, in quanto se lo facessero una particella che arriva al punto di incrocio potrebbe proseguire lungo una linea o l'altra, quindi in uno stesso punto potrebbe avere differenti valori di velocità, contrariamente all'ipotesi stessa di stazionarietà. È possibile quindi dire che per il moto stazionario esiste una sola linea di flusso per ogni punto del fluido e che l'insieme delle linee di flusso è fisso nel tempo. Prendendo un fascio di linee di flusso otteniamo una superficie tubolare detta tubo di flusso


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• Per l'ipotesi di incomprimibilità del fluido osserviamo che il volume del fluido che in un certo tempo attraversa la sezione del condotto non varia con la sezione, altrimenti si avrebbe accumulo o rarefazione di fluido in alcune regioni nelle quali la densità aumenterebbe o diminuirebbe in contraddizione con l'ipotesi di incomprimibilità.

L'EQUAZIONE DI CONTINUITÀ Supponiamo di avere un condotto di sezione variabile. Per ipotesi il fluido sia incomprimibile (viscoso o meno): ad un certo volume di fluido entrante nel tubo corrisponderà un ugual volume di fluido uscente .

• Se all'entrata, nel punto 1, la velocità del fluido è v1 e la sezione del condotto è A1,

nell'intervallo di tempo ∆t sarà passato un volume di fluido •

• Nel punto 2 la velocità del fluido non sarà necessariamente la stessa del punto 1 : sarà una

certa velocità v2 corrispondente ad una sezione A2 del tubo. Nello stesso intervallo di

tempo uscirà quindi dal punto 2 un volume di fluido • Per l'incomprimibilità del fluido questi volumi saranno uguali e quindi :

• Questa equazione è detta equazione di continuità. • La grandezza Qv è detta portata in volume e dall'equazione di continuità si deduce che

in una corrente stazionaria di un fluido incompressibile la portata in volume ha lo stesso

valore in ogni punto del fluido : • Nel caso di fluidi viscosi, poichè la velocità varia sulla sezione del condotto, v sarà la

velocità media e varrà: Qv= cost • Considerando il flusso stazionario di un fluido all'interno di un tubo di flusso di sezione

variabile e ponendoci nella condizione più generale per cui detto fluido sia comprimibile, vediamo cosa accade all'interno del tubo tenendo presente la validità delle leggi di conservazione di massa ed energia.

• • Il volume di controllo che prendiamo in considerazione sarà contenuto nel tubo tra due

sezioni A1 ed A2, dove le densità del fluido stesso saranno rispettivamente ρ1 e ρ2 . Se nel tempo dt entra una certa massa di fluido attraverso A1, occupando il volume A1ds1,


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del

• Quindi:do entrambi i membri per dt otteniamo così l'equazione di continuità per un

• ’EQUAZIONE DI BERNOULLI

scorra in un tubo di sezione e quota variabile :

• •

o postamento d luido nel condotto porterà la massa che si trova tra i punti 1 e 2 a trovarsi

• • Il volume entran

• • Per effetto del movimento del fluido la m po ∆t è stata spostata dalla quota

•

e precede la massa ∆m eserciterà su essa una

• dove p1 ta forza compirà un lavoro :

nello stesso intervallo infinitesimo di tempo una massa della stessa entità ma di volume A2ds2 dovrà uscire dal tubo, proprio perché per la conservazione della massa all'interno tubo non ci potrà essere creazione o distruzione di materia.

• Dividen

generico fluido in flusso stazionario (per ottenere questa equazione non è necessario

supporre il fluido incomprimibile):

• L• Consideriamo ora un fluido ideale che

L s el fdopo un intervallo di tempo ∆t tra i punti 1' e 2'. • La variazione tra le figure (a) e (b) riguarda le porzioni di massa fluida ombreggiate nella

figura sotto

te sarà uguale a quello uscente (per l'incomprimibilità):

•

assa ∆m nel tem

y1 alla quota y2 e la sua velocità è variata da v1 a v2. La variazione di energia cinetica di questa massa è

La variazione di energia potenziale è: • • Il fluido a sinistra dell'imboccatura del tubo ch

forza di modulo è la pressione nel punto 1. Ques

•

Matematica)

20


• Con un ragionamento analogo, alla fine del tubo, a destra della massa ∆m considerata, il

•

Il tubo di Pitot : è un dispositivo che serve a m surare la velocità di flusso in un gas, che lle aperture in a.

• • Tali aperture sono parallele alla d imboccatura

del tubo in modo che velocità vicinanze abbiano valori non

•

• Se h è la differenza di altezza del liqu i e ρ’ la sua densità :

• Da cui

• L'EFFETTO VENTURI

• Se la velocità di un fluido aumenta, la nuisce. Questo fenomeno è detto

fluido che segue compirà su di essa un lavoro negativo:

•

•

•

•

•

APPLICAZIONI • i

fluisce all'altezza de

irezione del flusso e abbastanza lontane dall'

e pressione del gas nelle loroperturbati dalla presenza del tubo stesso. Nel ramo sinistro del manometro connesso alle aperture si trova la pressione statica della corrente gassosa, che indicheremo con pa, mentre l'imboccatura del ramo destro è ad angolo retto rispetto al moto della corrente gassosa, per cui in esso si rileva la pressione di arrestototale pb ( dove b è il punto in cui la velocità del gas è nulla ). Applicando l'equazione di Bernoulli ai punti a e b :

• ido manometrico nei due ram

•

pressione dimieffetto Venturi

Matematica)

21


• • La dimi inuzione

della sezione è rilevabile sperimentalmente attraverso un apparecchio detto venturimetro :

• • Il Venturimetro non è altro che un m erso nel fluido del

quale si vuole mi

• • IL TEOREMA DI TORRICELLI

•

• •

I FLUIDI VISCOSI perimentalmente rileviamo che è necessaria una differenza di pressione per spingere un

dotto orizzontale.

a

nuzione della pressione nel flusso di un fluido in corrispondenza di una dim

da questa pressione è possibile ricavare la velocità del fluido nel tubo.

anometro differenziale che viene imm

surare la velocità di flusso.

• • S

fluido attraverso un conQuesto in contrasto con l'equazione di Bernoulli che indica invece che per il moto stazionario di un fluido lungo un tubo di sezione costante la pressione si mantiene invariatlungo il tubo. La spiegazione di questa discrepanza sta nel fatto che nell'esperimento reale abbiamo a che fare con un fluido più o meno viscoso.

Matematica)

22


• i ra loro. La velocità del fluido non è costante per

• Qv secondo una costante

• Un moto simile, dove si può imm infinitesimi paralleli tra loro che scorrono l'uno sull' ristiche, si dice laminare.

• • Tale tipo di moto si produce con un determ inato valore di sezione

del tubo e quando la velocità non supe vo, tanto più piccolo

il fluido e danno luogo a distribuzioni irregolari e sulta

o

•

Prendiamo un fluido confinato tra due lastre parallele di area A e distanti tra loro z. Teniamo re quella superiore con una velocità costante v

• • Tale forza è necessaria p esercita su essa una

resistenza viscosa che si oppone al esercita su quelli adiacenti ad

alla distanza z tra le lastre attraverso un coefficiente di proporzionalità η

In questo caso il tubo esercita una forza resistente sul fluido a contatto e a loro volta gli stratdi fluido esercitano resistenza di attrito ttutta la sezione del tubo : è massima al centro e nulla sul bordo. Detta p1 la pressione nel punto 1 e p2 quella nel punto 2, si avrà che la differenza di pressione tra detti punti è direttamente proporzionale alla portatadi proporzionalità R che è la resistenza al moto da parte del fluido:

• aginare tutto il fluido diviso in strati

altro, ciascuno con velocità caratte

inato fluido per un determ

ra un determinato valore critico quanto maggiore è il raggio del tubo. In caso di superamento di tale valore critico la stratificazione regolare è distrutta dalla formazione di vortici che rimescolanocontinuamente variabili di velocità, con il risultato che in media la velocità del fluido rila stessa per qualsiasi valore di distanza dalle pareti del condotto a parte quella dello stratimmediatamente a contatto con queste ultime che è ancora nulla. Questo regime si dice vorticoso o turbolento.

IL COEFFICIENTE DI VISCOSITÀ •

ferma la lastra inferiore e facciamo scorre

applicandovi una forza .

erché il fluido vicino alla lastra superiore

moto : ogni strato di fluido esso una forza resistente di modo ché la velocità del fluido vicino alla lastra alla quale èapplicata la forza è v mentre è quasi nulla vicino alla lastra inferiore, variando linearmente con la quota.

Il modulo della forza risulta direttamente proporzionale a v e ad A ed inversamente proporzionaledetto coefficiente di vis sità: co

Matematica)

23


• • Per una realizzazione pratica si posso ienti cilindrici coassiali che

possono ruotare uno dentro l' contenuto tra le due superfici cilindriche

• • Assumendo r1~ r2, la formula per ricavare il coef può essere ricavato da:

• • r =(r1+r2)/2 ; la differenza r2 nella formula.

Unità di misura: S.I. 1 N·s/m² =1 Pa·s

ente a strati paralleli consideriamo due piani a di fluido considerata il resto della

•

• dove η è il coefficiente di viscosità. La differenza tra le distanze percorse nel tem dalle particelle fluide comprese tra i due

•

no considerare due recip

altro, con il fluido come in figura:

ficiente di viscosità

-r1 rappresenta la variabile z• • Cgs: Poise (P) 1 dyn·s/cm² •

e orizzontalm• In un fluido viscoso che fluiscistanza infinitesima ds tra loro. Al di sotto della porzioned

corrente fluisce a velocità v, mentre sopra a velocità v + dv. La parte di fluido in moto più rapido esercita su quello sottostante una forza di taglio F che tende ad accelerarlo mentre la parte in moto più lento ne genera una che tende a ritardarlo. Questa forza di taglio è proporzionale ad A ed F/A ha le caratteristiche di uno sforzo di taglio : in un intervallo di tempo dt lo strato superiore del fluido considerato è soggetto ad una deformazione dΦ. Per i fluidi lo sforzo di taglio è dato da :

•

po dt

piani orizzontali è pari a

e potendo scrivere

• e

Matematica)

24


• lo sforzo viscoso è quindi proporzionale alla variazione di velocità di flusso in un tratto di lunghezza unitaria in direzione perpendicolare a quella del flusso dv/dy.

• LA LEGGE DI POISEUILLE Il m incomprimibile in una tubatura di sezione ostante è laminare: consiste cioè nello scivolamento relativo di un numero infinito di cilindri

el

detta legge di Poiseuille, dove L il suo raggio, il coefficiente di viscosità del fluido e Qv la portata del tubo.

Il moto di un fluido viscoso e incomprimi avere due regimi diversi in uno stesso condotto: il regime laminare, nel quale gli strati o velocità crescente da zero per lo strato

l valore massimo corrispondente all'asse; il regime vorticoso o

)

Nella formula v è la velocità me al solido con cui viene a contatto, ρ è la sua densità, η è il suo coefficiente di viscosità e a grandezza caratteristica del solido (per una

empio, quest'ultimo può essere identificato con il diametro).

alla relazione

Possiamo quindi scrivere :

oto a velocità costante di un fluido viscoso ed ccoassiali all'asse del tubo. La variazione ∆p di pressione tra due punti situati rispettivamente all'ingresso ed all'uscita dtubo è data da:

è la lunghezza del tubo, r

Essendo possiamo definire la resistenza idraulica R

IL MOTO VORTICOSO bile può

cilindrici coassiali hannaderente alle pareti del tubo aturbolento, in cui gli strati liquidi acquistano velocità quasi uguale alla massima a breve distanza dalle pareti e inoltre si formano vortici visibili all'interno del liquido. Gli sforzi di taglio tra strati adiacenti di fluido, nel flusso laminare, sono causati in parte dalle forze molecolari di coesione e in parte da scambi di quantità di moto dovuti al passaggio (per diffusionedi molecole tra strati a differenti velocità. Nel flusso turbolento, invece, gli sforzi di taglio sono causati dallo scambio di quantità di moto associato ad intere porzioni di fluido che si spostano. Un flusso laminare, al variare di certe condizioni, può diventare turbolento . Osborne Reynolds, attorno al 1883, studiò sperimentalmente e teoricamente la natura di queste condizioni: attraverso esperimenti nei quali un flusso d'acqua di velocità regolabile era reso

imensionale che osservabile iniettandovi dei coloranti, egli ricavò la formula di un parametro adcaratterizza il tipo di moto del fluido:

numero di Reynolds.

dia del fluido rispetto d un

tubatura cilindrica, ad esSperimentalmente è stato dimostrato che per tubature rettilinee di sezione circolare il flusso della corrente fluida sarà laminare per valori di NR inferiori a 2000, mentre sarà turbolento per valori di NR superiori a 3000. Il numero di Reynolds corrisponde al rapporto tra la forza inerziale Fi e quella viscosa Fv ovvero

Matematica)

25

Possiamo considerare come ordine di grandezza della forza d'inerzia (considerando v costante):


della forza viscosa nella situazione considerata è : e quindi

a, mentre va al flusso laminare.

LA RESISTENZA AL MOTO DI UN CORPO IN UN FLUIDO I concetti di moto laminare e vorticoso possono essere estesi al caso di un corpo che sia in moto

di

che e:

ente di resistenza.

mentre dimensionalmente (vedi la definizione del coefficiente di viscosità) l'ordine di grandezza

Poiché nel flusso turbolento prevale la forza d'inerzia e in quello laminare la forza viscosa, grandivalori di NR potranno essere associati alla turbolenz lori più bassi

rispetto al fluido in cui è immerso. Mettendosi in un sistema di riferimento solidale al corpo, il numero di Reynolds per il moto del corpo con velocità v relativa al fluido avrà forma analoga

all'espressione precedente: dove questa volta d indica il diametro medio del corpo. George Stokes, nel 1845, prese in considerazione il problema solo per un caso particolare, quelloun oggetto di forma sferica, completamente immerso in un fluido in moto laminare, di densità costante ed incomprimibile. Per questa situazione egli ricavò che il modulo della forza di attritoagisce sul corpo si esprime com

In questa formula Fr è il modulo della forza ritardante, η è il coefficiente di viscosità del fluido, r è il raggio della sfera e v il modulo della velocità della sfera rispetto il fluido. Se il moto invece è turbolento le forze inerziali dominano su quelle viscose e la forza di resistenza

è: , c è il coeffici

Matematica)

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