MECCANICA dei FLUIDI impianti aerospaziali

POLITECNICO DI MILANO - DIPARTIMENTO DI SCIENZE E TECNOLOGIE AEROSPAZIALI

IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dispense del corso, versione 2013 Capitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi

Queste dispense possono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita vietata. 3.1

Capitolo 3

Elementi di meccanica dei fluidi




3.1 Introduzione

In molti impianti il collegamento fra i vari componenti costituito da una tubazione in

grado di contenere un fluido. Lo scopo del fluido pu essere quello del trasporto di una

qualsiasi delle grandezze di stato che lo caratterizzano; la finalit dellimpianto pu quindi

essere quella del trasporto di una massa (collegata quindi alla densit) come ad esempio

nellimpianto combustibile o nellimpianto di ventilazione, del trasporto di una forza

(collegata quindi alla pressione) come ad esempio nellimpianto oleodinamico, del trasporto

di calore (collegato quindi alla temperatura) come ad esempio nellimpianto di

condizionamento.

Le leggi che reggono il funzionamento dellimpianto sono le stesse indipendentemente

dalle sue finalit; potranno al massimo assumere maggiore o minore importanza, e quindi

essere in pratica trascurabili, alcuni termini. Verranno in seguito richiamate le principali

caratteristiche fisiche e le leggi fondamentali per il calcolo del flusso interno utili per il

progetto e la verifica degli impianti a fluido con particolare riferimento a fluidi allo stato

liquido.

3.2 Caratteristiche principali dei fluidi

I fluidi in genere sono caratterizzati da un certo numero di propriet fisiche di cui qui si

elencano le pi rilevanti, con particolare riguardo per i liquidi, indicando le unit di misura

utilizzate secondo il sistema metrico internazionale ed nella pratica.

3.2.1 Densit

La densit (o massa volumica) la massa dell'unit di volume di una determinata sostanza,

dipende dalla pressione e dalla temperatura, ha dimensioni [ML-3] e viene espressa con le

seguenti unit di misura:

sistema metrico internazionale kg/m3

sistema tecnico kgfs2/m4

sistema anglosassone lbfs2/ft4

Nel caso dei gas la dipendenza della densit da temperatura e pressione espressa dalla

equazione di stato RT

p valida per i campi di temperatura e pressione utilizzati negli

impianti; per i liquidi non possibile stabilire una legge cos semplice, ma si ricorre ad

approssimazioni lineari come trattato nel paragrafo 3.3..




3.2.2 Peso specifico

Il peso specifico il peso dell'unit di volume. Ha dimensioni [FL-3] o, pi propriamente,

[ML-2T-2]. E' legato alla densit dalla relazione = g, dove g l'accelerazione di gravit.

Anche esso quindi dipendente da pressione e temperatura; vi inoltre una dipendenza

dallaccelerazione di gravit, aspetto non trascurabile nelle applicazioni spaziali.

Il peso specifico espresso con le seguenti unit di misura:

sistema metrico internazionale N/m3

sistema tecnico kgf/m3

sistema anglosassone lbf/ft3

3.2.3 Pressione

La pressione data dal rapporto fra una forza e l'area su cui questa agisce.

Dimensionalmente quindi [FL-2], le unit di misura utilizzate sono varie:

sistema metrico internazionale Pa=N/m2

sistema tecnico kgf/cm2

sistema tecnico anglosassone psi = lbf/in2

Il Pascal una pressione piccola per cui vengono pi usati il kPa o il MPa. Sono ancora

molto in uso vecchie unit, comprese quelle che misurano la pressione come altezza

equivalente di una colonna di acqua o mercurio:

atm 101325 Pa

at 98062 Pa 1 kg/cm2

bar 100000 Pa 0.986 atm

kg/m2 9.81 Pa

psi 6890 Pa

mmHg 133.322 Pa

mH2O 9806.2 Pa

atm, at, bar, 760 mmHg, 10 mH2O corrispondono allincirca alla pressione atmosferica alla

quota zero in condizioni standard.

Ricordiamo che quando si parla di misura di pressione molte volte si trascura di precisare

se si tratta di una misura di pressione assoluta o relativa; in moltissimi casi questo chiaro

dal contesto o inessenziale; occorre comunque ricordare che la misura pu essere eseguita in

entrambi i modi e spesso gli strumenti misurano la pressione relativa rispetto a quella

atmosferica nel luogo di misura. Se la misura utilizzata per valutare differenze di pressioni

fra due punti diversi o le sollecitazioni indotte dalla pressione, luna o laltra misura portano

agli stessi risultati, dato che conta solo la differenza fra le due pressioni; esistono per

fenomeni legati alla pressione assoluta: uno di questi il fatto che la pressione assoluta non

pu diventare negativa. In tale caso si avrebbe, infatti, il passaggio da uno stato di

compressione ad uno di trazione, stato di sforzo al quale i fluidi non possono resistere; in




particolare per i liquidi esiste un valore di pressione minimo al disotto del quale il fluido passa

allo stato gassoso. Il valore di pressione al quale questo fenomeno avviene la tensione di

vapore ed in genere fortemente influenzato dalla temperatura.

3.2.4 Viscosit

La viscosit la capacit di un fluido a resistere a forze tangenziali. Per far scorrere luno

rispetto allaltro due piani paralleli separati da un fluido, necessaria una forza F

proporzionale alla superficie di contatto A, alla velocit relativa v ed inversamente

proporzionale alla distanza h delle due superfici:

FAv

h

il coefficiente di proporzionalit la viscosit:

Fh

Av

Le dimensioni della viscosit sono quindi [FL-2T]. Le unit di misura utilizzate per la

viscosit sono le seguenti:

sistema metrico internazionale Ns/m2 o Pas

sistema tecnico kgfs/m2

sistema anglosassone lbfs/m2

ma in pratica vengono sempre usati il poise P o il centipoise cP, essendo:

1 P = 1 dyne s/cm2 = 0.1 Pas.

E spesso usata anche la

viscosit cinematica, data dal

rapporto fra la viscosit e la

densit:

ed avente le dimensioni di

lunghezza per velocit [L2T-1],

usualmente misurata in Stokes:

1 St = 1 cm2/s

o pi comunemente in

centistokes:

1 cSt = 10-6 m2/s

La viscosit dipende

fortemente dalla temperatura,

come evidente nel diagramma di

fig.3.1 relativo ad un tipico

liquido a base petrolifera.

-80 -40 0 40 80 120

TEMPERATURA [C]

1

10

100

1000

VIS

CO

SIT

A' C

INE

MA

TIC

A [

cS

t]

Fig. 3.1 - Viscosit in funzione della temperatura

(liquido a base petrolifera)




3.2.5 Tensione di vapore

La tensione di vapore la grandezza pi significativa per descrivere la volatilit di un

liquido. Un fluido allo stato liquido caratterizzato dall'avere un volume proprio; se il fluido

viene posto in un recipiente di volume maggiore del volume del liquido, nel recipiente il

fluido si trova parzialmente allo

stato liquido e parzialmente allo

stato gassoso. La pressione alla

quale viene a trovarsi lo stato

gassoso detta tensione di vapore

e dipende dalla temperatura (fig.

3.2); per esempio la tensione di

vapore dellacqua a 100 C

notoriamente di 1 atm.

La tensione di vapore un

indice della tendenza del liquido

ad evaporare e definisce il punto di

ebollizione, la temperatura cio

alla quale il liquido ad una certa

pressione tende a passare allo stato

gassoso.

La tensione di vapore definisce

l'equilibrio fra le due fasi del

fluido ed un parametro

fondamentale per i fenomeni di

cavitazione (possibile formazione

di bolle di vapore nella tubazione con conseguente alterazione del corretto funzionamento

della linea).

3.2.6 Infiammabilit

Linfiammabilit una caratteristica molto importante per la sicurezza dell'impianto e del

velivolo stesso, pu essere il criterio di scelta determinante per il fluido da impiegare in un

determinato impianto.

Linfiammabilit viene caratterizzata attraverso tre temperature caratteristiche valutate in

condizioni prefissate di pressione e di presenza di aria:

1. punto di infiammabilit: temperatura minima alla quale il liquido, vaporizzato in modo

definito, crea una miscela capace in presenza di una fiamma di creare una vampata;

2. punto di fiamma: temperatura minima alla quale si genera vapore sufficiente a mantenere

la combustione che deve comunque essere innescata;

3. punto di auto ignizione: temperatura alla quale si crea una fiamma spontaneamente senza

che debba essere innescata.

40 80 120 160 200

TEMPERATURA [C]

0

1

10

100

1000

10000

TE

NS

ION

E D

I V

AP

OR

E [

Pa

]

Fig. 3.2 - Tensione di vapore in funzione della

temperatura (liquido a base petrolifera)




3.2.7 Comprimibilit

I fluidi impiegati negli impianti idraulici sono liquidi e quindi caratterizzati dall'avere un

volume proprio; in realt sotto effetto della pressione il fluido tende a comprimersi e a ridurre

il proprio volume; una misura di questo effetto data dal modulo di comprimibilit definito

come rapporto fra la variazione percentuale di volume e la variazione di pressione che la ha

prodotta, come meglio descritto in seguito (par 3.3).

3.2.8 Resistenza allaria

Laria pu essere presente in un liquido sotto diverse forme: disciolta, dispersa in bollicine

ben distinte e in schiuma, ossia bolle agglomerate in superficie. Gli ultimi due casi sono da

evitare per il corretto funzionamento dellimpianto, in quanto vengono radicalmente

modificate alcune caratteristiche fisiche del liquido (in particolare densit e comprimibilit).

3.2.9 Stabilit

La stabilit chimica la tendenza a mantenere invariate le principali caratteristiche. Si parla

in genere di:

stabilit allossidazione, ossia alla reazione con lossigeno;

stabilit termica, ossia alla decomposizione prodotta dalla temperatura;

stabilit allidrolisi, ossia alla reazione con lacqua.

3.2.10 Corrosione

Indica laggressivit del fluido sui materiali usati negli impianti. Pu essere di due tipi:

corrosione chimica, in genere ossidazione o attacco acido;

corrosione elettrochimica, tipicamente quella galvanica, che interviene nel contatto di due

metalli bagnati da un elettrolito.




3.3 Equazione di stato e modulo di comprimibilit

Le grandezze fondamentali che definiscono lo stato di un fluido sono, come noto:

pressione p [FL-2]=[MLT-2]

densit [ML-3]

temperatura T []

Le grandezze di stato non sono indipendenti, ma legate dallequazione di stato che nel caso

dei gas perfetti assume la nota forma:

p R T

questa relazione valida per gas perfetti, in un ben preciso campo di pressioni e temperature;

il coefficiente di proporzionalit R ha un valore dipendente dalla composizione del gas ed in

particolare dal peso molecolare degli elementi che lo compongono. Per i gas esistono anche

formulazioni dellequazione di stato pi complesse valide in condizioni pi ampie.

Per i liquidi non invece possibile determinare unequazione di stato cos semplice che

abbia un sufficiente campo di validit; si ricorre quindi ad una linearizzazione che porta ad

unequazione di stato valida solo nellintorno di un punto noto. Tale equazione, espressa pi

comunemente in funzione del volume specifico, o direttamente di volumi, se ci si riferisce ad

una determinata massa, ha la forma:

TpV

V

1

La parte dellequazione di stato

che fornisce il legame pressione-

densit (sia pure questo espresso

in termini di volume), a

temperatura costante, diventa cos

in termini finiti:

pV

V

o in termini differenziali :

dpdV

V

0

500

1000

1500

2000

2500

0 20 40 60 80 100

Pressione [MPa]

Co

eff

icie

nte

di c

om

pri

mib

ilit

[

MP

a]

Fig. 3.3 - Andamento del modulo di

comprimibilit con la pressione




Il fatto che anche i liquidi siano comprimibili ha diverse conseguenze tra le quali le pi

rilevanti consistono nel fatto che necessario un certo lavoro di compressione per portarli

ad una determinata pressione e che una trasmissione idraulica non rigida, ma presenta

una certa elasticit.

da notare che per molte applicazioni pratiche la comprimibilit sufficientemente

piccola da risultare trascurabile nei calcoli, occorre comunque ricordare che fisicamente

essa esiste ed strettamente collegata al meccanismo di generazione della pressione.

Il modulo di comprimibilit (bulk modulus nella letteratura anglosassone) dipendente in

modo non lineare dalla pressione, secondo un andamento qualitativamente descritto in fig.3.3;

per lutilizzo della relazione in termini finiti occorrer quindi considerarne un valore medio.

ha le dimensioni di una pressione ed il suo valore dipende dalla pressione; si pu

assumere per i vari fluidi utilizzati negli impianti oleodinamici, impianti operanti alle pi alte

pressioni, dove quindi la comprimibilit in grado di far sentire i suoi effetti, valori

dellordine di grandezza di 1500 MPa.

Assumendo tale valore come valore medio indipendente dalla pressione ne derivano le

variazioni di volume del fluido riportate in tab. 3.1.

Variazioni di pressione dellordine di grandezza dei 20 MPa, che

sono valori tipici negli impianti oleodinamici di bordo, sono quindi

in grado di ridurre il volume del fluido gi di una quantit superiore

all1.3%; reciprocamente variazioni di volume dellordine dell1%

sono necessarie per far nascere variazioni di pressione

dellordine dei 15 MPa.

In effetti lequazione di stato deve essere vista come lanaloga

dellequazione di Hooke per i solidi; la pressione definisce lo stato

di sforzo e la variazione percentuale di volume corrisponde alle

deformazioni.

Per quanto riguarda il termine legato alla temperatura:

V

VT

Il valore di circa 7 10-4 C-1 per un olio idraulico. Le conseguenze dalla dilatazione provocate da incremento della

temperatura sono in incremento di pressione se il liquido

contenuto in un volume chiuso, come pure possibile una

variazione di volume del contenitore come ad esempio in un

cilindro attuatore con spostamento del pistone.

p V

V

[MPa]

2.5 0.0016

5.0 0.0033

7.5 0.0050

10.0 0.0066

12.5 0.0083

15.0 0.0100

17.5 0.0116

20.0 0.0133

22.5 0.0150

25.0 0.0166

27.5 0.0183

30.0 0.0200

Tab. 3.1 -

Contrazione del

volume in funzione

del salto di pressione




3.4 Modulo di comprimibilit effettivo

Per quanto riguarda i valori del modulo di comprimibilit, occorre fare attenzione che nella

pratica si deve tenere conto anche del fatto che in un impianto, nonostante tutte le precauzioni

che si possono prendere, inevitabilmente contenuto, oltre al liquido, anche una frazione di

gas e che i componenti dellimpianto, per quanto rigidi, possono presentare una certa elasticit

e quindi per effetto della pressione si deformano aumentando il loro volume.

Il comportamento del gas espresso in termini di modulo di comprimibilit facilmente

ottenibile dato che questo ricavato in condizioni isoterme; per un gas in tali condizioni

quindi:

p

V

dVpdp

VdppdV

pV

0

cost

Se un certo volume Vtot occupato parzialmente da liquido Vl e parzialmente da gas Vg, si

pu ricavare un modulo di comprimibilit effettivo:

V V V

V V V

V

V p

V

V

V

V

V

V

V

V p

V

V

V

V

tot l g

tot l g

e

tot

tot

l

tot

l

l

g

tot

g

g

e

l

tot l

g

tot g

1 1

1 1 1

Dato che normalmente il volume di gas contenuto nel recipiente piccolo rispetto a quello del

liquido, il modulo di comprimibilit effettivo pu essere approssimato con:

1 1 1

e l

g

tot g

V

V

Evidentemente il modulo di comprimibilit dipende dalla quantit di gas contenuto nel

volume in esame, quantit che deve essere normalmente piccola. La tabella 3.2 riporta i valori

di variazione di volume che si ottengono con varie percentuali di gas, considerando per il

modulo di comprimibilit del gas il valore corrispondente alla pressione media. Si pu notare

che leffetto corrispondente alla pressione di 30 MPa con solo liquido si ha alla pressione di

22.5 MPa con una percentuale dell1% di gas, di 15 MPa con una percentuale del 2% e sotto i

2.5 MPa con percentuali superiori.




V/V

Vg/Vtot 0 .01 .02 .05 .10

p

[MPa]

2.5 0.0016 0.0066 0.0116 0.0266 0.0516

5.0 0.0033 0.0083 0.0133 0.0283 0.0533

7.5 0.0050 0.0100 0.0150 0.0300 0.0550

10.0 0.0066 0.0116 0.0166 0.0317 0.0567

12.5 0.0083 0.0133 0.0183 0.0333 0.0583

15.0 0.0100 0.0150 0.0200 0.0350 0.0600

17.5 0.0116 0.0167 0.0217 0.0366 0.0617

20.0 0.0133 0.0183 0.0233 0.0383 0.0633

22.5 0.0150 0.0200 0.0250 0.0400 0.0650

25.0 0.0166 0.0217 0.0266 0.0417 0.0666

27.5 0.0183 0.0233 0.0283 0.0433 0.0683

30.0 0.0200 0.0250 0.0300 0.0450 0.0700

Tabella 3.2 - Contrazione del volume in dipendenza della

concentrazione di gas

Il discorso pu per essere invertito: per portare a 30 MPa il liquido con presenza del 2% di

aria devo ridurne il volume del 50% in pi rispetto al liquido senza aria, devo quindi compiere

un lavoro maggiore del 50%.

Effetti nello stesso senso si hanno per la dilatazione dei componenti che contengono il

liquido, per cui possibile definire un modulo di comprimibilit dovuto allincremento di

volume del recipiente ed avere in definitiva:

1

1 1 1 1

c tot

e l

g

tot g c

V

V p

V

V

In pratica quindi il modulo di comprimibilit normalmente pi basso di quanto atteso in

base ai valori del solo liquido e questo ha conseguenze, per quanto piccole, sulla quantit di

liquido necessario a riempire un dato volume. Inoltre il legame pressione - volume da

vedersi come una rigidezza e questa in pratica risulta pi bassa di quanto di competenza del

solo liquido.




3.5 Idrostatica: il principio di Pascal

Lidrostatica governata dal principio di Pascal; se si considera un piccolo elemento di

fluido in condizioni statiche, la pressione che si misura sulle pareti di quellelemento si

trasmette a tutto il fluido, con eguale intensit ed in ogni direzione:

p = cost

Si consideri, per meglio chiarire la portata del principio di Pascal, il sistema in fig. 3.4,

costituito essenzialmente da due cilindri differenti muniti di pistone, collegati tra loro da un

condotto, il tutto riempito di liquido.

F2F1

A1 A2

p p

S1

S2

Fig. 3.4 - Torchio idraulico

Allequilibrio deve essere:

2

2

1

1

2

2

1

1

FA

AF

A

F

A

Fp

il che significa che un sistema del genere in grado di trasmettere forze variandone lintensit

a seconda del rapporto tra le aree dei pistoni (torchio idraulico).

Daltro canto, se non ci sono perdite di liquido, il volume spostato da una parte deve

ritrovarsi dallaltra:

2

1

2

1

222111

sA

As

sAVsAV




ossia gli spostamenti vengono anchessi variati dal rapporto delle aree. Ovviamente il lavoro

si conserva:

2222211111LsFspAspAsFL

Con tale dispositivo, che sta alla base della trasmissione idraulica, si pu trasmettere

lavoro variandone lintensit della forza e dello spostamento, ovvero si pu amplificare la

forza a patto di ridurre lo spostamento, e viceversa.

3.6 Equazione di continuit

Sotto questo termine si intende lequazione che esprime il principio di conservazione della

massa, e del quale gi si vista unespressione elementare nel paragrafo precedente.

Per un volume chiuso la conservazione della massa si traduce in:

0 V

dVdt

d

dt

dm

se nel volume possono esserci entrata o uscita di fluido;

0 vdAdVdt

d

iAV

dove V il volume considerato, A sono le aree attraverso le quali pu aversi entrata o uscita

di massa nel volume considerato e v la componente di velocit normale alla superficie A

positiva se entrante.

Quando il fluido pu essere ritenuto incomprimibile, costante e pu quindi essere

eliminato; per le applicazioni impiantistiche non ha quasi mai interesse leffettiva

distribuzione di velocit nelle sezioni di passaggio per cui si considera una velocit media:

v

vdA

dA

A

A

lequazione di continuit si riduce quindi a:

0,1

ni

iiAv

dt

dV

o, introducendo la portata volumetrica dalla singola sezione di passaggio:

n

i

i

iii

Qdt

dV

AvQ

1

0

dove Qi sono le singole portate volumetriche, positive entranti.




La relazione precedente utile ad esempio per calcolare il volume di liquido contenuto in

certo istante in un serbatoio.

A parte i serbatoi praticamente tutti gli altri componenti di impianti a fluido sono

completamente riempiti di liquido.

Per tutti i componenti dove non si ha variazione di volume si ha quindi:

Qi

i

n

1

0

Una classe importante di componenti nei quali si pu avere variazione di volume

costituita dagli attuatori lineari (normalmente detti martinetti); in questi lincremento o

decremento di volume ottenuto a sezione costante e quindi si ha un legame di

proporzionalit fra la portata entrante o uscente e la velocit di azionamento del martinetto:

Q Ax

3.7 Conservazione dellenergia

Il primo principio della termodinamica impone la conservazione dellenergia;

ragionamenti energetici portano a formulazioni estremamente utili per il calcolo del flusso in

tubazioni. Esso infatti possiede energia in forma cinetica, dovuta cio alla sua velocit, in

forma potenziale, dovuta cio allelevazione del condotto ed alla pressione del fluido e in

forma termica.

Quando si studia il moto del fluido in un condotto si osservano le varie grandezze fisiche in

sezioni di controllo fisse. Viene utile riferirsi allenergia per unit di massa, o di peso, o di

volume del fluido.

Vediamo di seguito le varie forme di energia possedute dal fluido, espresse per unit di

volume.

Energia cinetica

Lenergia cinetica di qualsiasi massa m che viaggi alla velocit v notoriamente data da:

2

2

1mvE

c

Nel caso in esame, riferendosi allunit di volume ed essendo la densit, sar:

2

2

1vE

c

Energia potenziale

Lenergia potenziale, in senso classico, di una particella di fluido di massa m dipende dalla

sua altezza z misurata rispetto ad un piano arbitrario di riferimento. Lenergia potenziale per

unit di volume quindi:

gzEz




Energia di pressione

Lenergia di pressione pu essere definita attraverso il lavoro che la pressione pu

compiere.

Si consideri un recipiente come quello indicato nella fig. 3.5, contenente del liquido. Ad

una certa distanza dal pelo libero si supponga vi sia un tubo che si stacca dal contenitore,

chiuso da un pistone mobile di area A. La forza esercitata dal liquido su tale pistone, dovuta

alla sua pressione idrostatica, pA. Il lavoro compiuto dal fluido per spostare il pistone di

una lunghezza L, dalla sezione 1 alla sezione 2, sar pAL; il volume di fluido che compie

tale lavoro quello che passa per la sezione 1, ossia AL. Il lavoro per unit di volume risulta

quindi:

pEp

p p

L

A

Fig. 3.5 - Lavoro di pressione

Energia interna

Lenergia interna legata alla temperatura del fluido ed al calore specifico a volume

costante e, per unit di volume, possiamo scriverla come insegna la termodinamica:

E c Ti v

Conservazione dellenergia

Il primo principio della termodinamica assicura che lenergia viene conservata o meglio

che le variazioni di energia in un sistema sono uguali al lavoro che viene esercitato sul sistema

stesso. Per un tubo di flusso le variazioni complessive delle quattro energie sopra viste devono

quindi uguagliare il lavoro ed i calori forniti dallesterno:

p v gz c T p v gz c T L qv v2 2 2

2

2 2 2 1 1 1

2

1 1 1

1

2

1

2

dove lavoro e calore sono considerati per unit di volume.

La stessa espressa per unit di peso porta alla seguente dove il peso specifico:

pz

v

gc T

pz

v

gc T L q

v v

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

2

12 2




In tale espressione le dimensioni sono quelle di una lunghezza. Questo modo di esprimere

la conservazione dellenergia sfruttato soprattutto nellidraulica classica dove i termini legati

ai dislivelli presenti negli acquedotti e quindi allenergia potenziale hanno importanza

predominante.

3.8 Moto stazionario di un fluido incomprimibile

Se il fluido incomprimibile costante:

p gz v c T p gz v c T L qv v2 2 2

2

2 1 1 1

2

1

1

2

1

2

3.9 Fluido in quiete

Se la velocit nulla, il fluido in equilibrio termico e non si verifica scambio di lavoro e di

calore con lesterno, ci si riduce a:

p gz p gz

p p g z

1 1 2 2

2 1

Quando le pressioni sono consistenti e le variazioni di quota piccole, il termine dellenergia

potenziale pu essere trascurato rispetto al termine della pressione e ci si riduce al principio di

Pascal per i fluidi in quiete:

p = cost

3.10 Perdite di carico distribuite

In assenza di lavoro e calore scambiato con lesterno, considerando trascurabile lenergia

potenziale rispetto alle altre grandezze in gioco ed ipotizzando un condotto a sezione costante

(il che implica per fluidi incomprimibili la conservazione della velocit), lequazione di

conservazione dellenergia si riduce a:

2211TcpTcp

vv

In effetti si nota sperimentalmente che, se il moto nella direzione dalla sezione 1 alla 2, la

pressione p2 inferiore alla p1, questo implica un aumento della temperatura. Esistono quindi

fenomeni dissipativi, per cui parte dellenergia di pressione viene trasformata in energia

termica e quindi considerata persa dal punto di vista meccanico, tanto che usuale chiamare

questo termine perdita di carico.

conveniente esprimere questo trasformando la relazione precedente in:

ppTTcppv

21221




dove il termine cv(T2-T1) stato sostituito da una generica caduta di pressione p.

Le tubazioni sono state ampiamente studiate dagli idraulici nel diciannovesimo secolo ed

stata riconosciuta una relazione tra la caduta di pressione e lenergia cinetica:

p p v1 2

21

2

L'intensit delle perdite di carico risente molto della presenza di un moto regolare,

caratterizzato dall'avere nelle singole particelle velocit sensibilmente dirette come l'asse del

condotto e nel verso del moto, o moto irregolare con componenti di velocit in tutte le

direzioni; il primo tipo di moto detto moto laminare, il secondo moto turbolento.

Se si osserva sperimentalmente il moto del fluido, si vede che in certe condizioni il moto

di tipo laminare ed in altre diventa turbolento. La transizione del moto da laminare a

turbolento dominata dal rapporto fra le forze di massa e le forze viscose, esprimibile da una

grandezza adimensionale, il numero di Reynolds, definito da:

vDvDRe

dove la densit, v la velocit media, D il diametro idraulico, la viscosit e la viscosit

cinematica. La caduta di pressione lungo la linea quindi dovuta a disuniformit nella

velocit che provoca conseguenti effetti viscosi.

Il diametro idraulico definito come:

DS

C

4

dove S larea della sezione e C il perimetro; nel caso di sezione circolare il diametro

idraulico corrisponde al diametro geometrico:

44

4

2

S

C

D

DD

Per le tubazioni si giunti per via sperimentale a determinare la seguente espressione di :

L

D

dove un coefficiente di perdite distribuite, L la lunghezza della tubazione e D il diametro

idraulico. La caduta di pressione sullintera tubazione quindi data dalla legge di Darcy -

Weisbach:

p pL

Dv

1 2

21

2

Il coefficiente dipende dal tipo di moto, indicato dal numero di Reynolds, e dalla rugosit

superficiale del condotto, definita come rapporto tra lo spessore medio delle irregolarit ed il




diametro del tubo. Il diagramma di Moody di fig. 3.6 riporta landamento del coefficiente in

funzione del numero di Reynolds della corrente fluida e parametrato sulla rugosit

superficiale.

Fig. 3.6 - Diagramma di Moody

Si riconosce che per Re < 2000 il moto laminare, la velocit nulla al contorno, diretta

come lasse della tubazione e massima al centro del tubo (fig. 3.7), con una distribuzione

parabolica; in questo caso possibile ricavare anche teoricamente il valore di che risulta:

64

Re

e quindi:

LAM INARE TURB OLENTO Fig. 3.7 - Profili di velocit tipici nel moto laminare e turbolento




p p pL

Dv

vD

L

Dv

L

Dv

1 2

2 2

2

64 1

2

64 1

232

Re

Nel moto laminare la perdita di carico risulta dipendente, oltre che dai parametri

geometrici, in modo lineare dalla viscosit e dalla velocit del fluido. La dipendenza dalla

viscosit porta ad una dipendenza dalla temperatura dato che la viscosit fortemente

influenzata da questa.

Quando il numero di Reynolds supera il valore di 4000, il moto diventa turbolento, la

distribuzione di velocit sulla sezione nella direzione normale a questa si appiattisce (fig. 3.7),

la velocit massima si avvicina quindi alla velocit media, ma la velocit ha componenti

anche perpendicolari alla tubazione: in questo caso i valori di sono desumibili da curve

sperimentali o da formule empiriche.

Per numeri di Reynolds molto alti, sensibilmente indipendente dal numero di Reynolds

e dipende solo dalla rugosit. In tale campo di moto la perdita di carico risulta quindi

dipendente dal quadrato della velocit ed indipendente dalla viscosit del fluido (questa

interviene comunque nel calcolo del numero di Reynolds).

Per i valori del numero di Reynolds fra 2000 e 4000 si ha una zona di transizione non ben

definita, dato che il passaggio dallo stato laminare a quello turbolento un fenomeno di

instabilit che pu avere quindi un certo margine di indeterminazione.

Sono state proposte formule che permettono di ottenere valori interpolati di :

per tubi lisci e 100000Re4000 25.0

Re

316.0

per tubi lisci e 4000Re 8.0Relog21 10

per la zona di transizione fra tubi lisci e ruvidi con 4000Re :

Re

35.9log214.1

110

D

e

per tubi ruvidi e flusso turbolento completamente sviluppato:

D

e10

log214.11

dove e/D la rugosit relativa.

Per le tubazioni si parla comunemente di perdite distribuite dato che la caduta di pressione

distribuita uniformemente su tutta la linea; la pressione decresce quindi sulla linea con

andamento lineare:

21

2

1v

D

xpxp

In realt le perdite di carico cos determinate avvengono quando il moto nella tubazione a

regime; se consideriamo linizio del tubo si ha una zona di una certa lunghezza nella quale la

velocit passa da una distribuzione iniziale nella sezione alla distribuzione tipica del moto




laminare o turbolento che si ha poi nellintero tubo; per tubazioni di una certa lunghezza

questo fenomeno non porta a differenze significative, ma per tubazioni corte questo pu non

essere pi vero.

3.11 Componenti discreti

Le perdite di carico sono dovute agli effetti viscosi causati da differenze di velocit nei vari

punti nel fluido; questo avviene tutte le volte che il fluido trova nel suo cammino un ostacolo

di natura qualsiasi o comunque la geometria del condotto porta a variazioni del vettore

velocit (fig. 3.8).

Nellidraulica classica, dove le tubazioni hanno una lunghezza molto elevata, queste

perdite possono essere di entit molto minore rispetto a quelle nelle tubazioni, tanto che nella

letteratura anglosassone vengono definite perdite minori; negli impianti di nostro interesse le

tubazioni sono invece relativamente corte ed esistono molti componenti in grado di causare

perdite di valore significativo. Verranno genericamente indicate come perdite concentrate.

Fig. 3.8 - Cause di perdite di carico concentrate

Anche in questo caso le perdite possono essere espresse come funzione di unenergia cinetica:

p p v2 1

21

2

I coefficienti necessari per il calcolo delle perdite di carico concentrate sono ovviamente

funzione della geometria del componente, ma anche di un numero di Reynolds di riferimento.

da notare che dal punto di vista degli impianti di interesse aeronautico non ha molta

importanza la variazione di pressione lungo un tubo, quanto i valori alle sue estremit. Di

conseguenza si pu considerare il tubo come un elemento discreto con pressioni alle sue

estremit legate dalla:

p p v2 1

21

2 con

L

D

Nei paragrafi seguenti vengono riportati alcuni esempi di coefficienti di perdite di carico

concentrate per le situazioni pi comuni. Ampia mole di dati sullargomento sono reperibili su

varie fonti ed in particolare sui data sheet ESDU e sul volume Idelcik Memento des pertes de

charge (versione francese dal russo).




3.11.1. Orifizio

Lorifizio consiste in un restringimento seguito da

un allargamento; nel caso ideale possiamo pensarlo

realizzato da un orifizio a bordi affilati.

A seconda del numero di Reynolds il flusso pu

avere andamento laminare (a) o turbolento (b) come

mostrato nella figura 3.9:

3.11.1.1 Orifizio con flusso turbolento

Nel caso di flusso turbolento il passaggio attraverso

lorifizio provoca un restringimento del tubo di flusso;

la sezione ristretta pu essere collegata a quella

dellorifizio mediante un coefficiente di contrazione Cc.

Si ha quindi:

02ACA

c

Tra la sezione 1 e la 2 si pu ritenere di non avere perdite di carico e di conseguenza:

2

22

2

112

1

2

1vpvp

21

2

2212

1vvpp

essendo:

2211vAvA

si ha

2

2

2

1

2

211

2

1v

A

App

2

1

2

21

2

1

2

A

A

ppv

In realt a causa degli attriti viscosi la velocit v2 sar leggermente inferiore; introducendo

un coefficiente di velocit, la portata risulta:

21

2

1

2

2

22

2

1

pp

AA

AcvcAQ v

v

considerando il coefficiente di contrazione, in modo da riferirsi alla sezione dellorifizio:

Fig. 3.9 Orifizio




21

2

1

02

02

1

pp

A

Ac

AccQ

c

cv

210

2ppAcQ

d

con:

2

1

021

A

Ac

ccc

c

cv

d

cv di poco inferiore a 1 e

normalmente A0 molto minore di

A1; in tali condizioni cd

approssimativamente uguale a cc.

Per orifizi a spigoli vivi

possibile calcolare teoricamente cc

ed il risultato mostrato nella figura

3.10.

Lesperienza mostra che per

orifizi a spigolo vivo, se il flusso

turbolento e la sezione dellorifizio

sufficientemente piccola rispetto al

diametro del tubo si pu utilizzare il valore:

611.02

cd

cc

Lespressione delle perdite di carico pu essere portata nelle consuete forme:

2

21

2

1212

1

KQpp

vpp

con

20

2 AcK

d

2

0

1

2

1

A

A

cd

Fig. 3.10 Coefficiente di scarica




3.11.1.2 Orifizio di lunghezza finita

Per orifizi di una certa lunghezza possono essere usati i valori del coefficiente di scarica cd

desumibili dal diagramma di figura 3.11.

3.11.1.3 Orifizio con flusso laminare

Per bassi numeri di Reynolds il coefficiente di scarica pu essere desunto dalla figura 3.12;

per Re=2500 il coefficiente tende al valore 0.611 indicato per il flusso turbolento.

Fig. 3.11 Coefficiente di scarica

Fig. 3.12 Coefficiente di scarica per flusso laminare




3.11.2 Allargamenti - Restringimenti

La figura 3.13 riporta coefficienti di perdita di carico per allargamenti o restringimenti

improvvisi in tubazioni.

La figura 3.14 riporta coefficienti relativi a perdite di carico di imbocco (passaggio da

recipiente di grandi dimensioni a tubazione) e sbocco (scarico in ambiente di grandi

dimensioni).

I coefficienti K indicati sono relativi allenergia cinetica nella sezione a velocit maggiore:

2

12

1vKp

Fig. 3.13 Variazione di sezione

Fig. 3.14 Imbocco e sbocco




Le figure seguenti riportano altri esempi di allargamenti o restringimenti:

Fig. 3.15 Allargamenti

Fig. 3.16 Restringimenti




3.11.3. Curve

La perdita di carico per un tratto curvo pu essere calcolato con:

2

2

1vK

d

Lp

g

dove d

L esprime le perdite distribuite nel tratto di gomito e gK le perdite dovute al cambio

di direzione del vettore velocit. gK e sono ricavabili dai diagrammi di figura 3.17.

Fig. 3.17 Perdite di carico in tratti curvi




3.11.4. Diramazioni

La figura 3.18 riporta coefficienti perdita per diramazioni con un ramo cieco.

La figura 3.19 riporta coefficienti per separazioni o riunioni di correnti.

Fig. 3.18 Diramazioni cieche

Fig. 3.19 Separazione e riunione di correnti




3.12 Colpo dariete

Se a valle di una tubazione con un certo flusso si ha la chiusura improvvisa di una valvola,

lenergia cinetica della colonna di fluido si trasforma in energia potenziale di compressione

con relativo incremento di pressione. Lincremento di pressione pu in determinate condizioni

essere tale da creare seri problemi.

Una colonna di fluido in movimento ha una energia cinetica:

2

2

1LAvE

c

supponendo di passare istantaneamente a velocit nulla tutta lenergia cinetica si trasforma in

energia potenziale di pressione:

ipVpE

2

1

dove V la variazione di volume e pi lincremento di pressione. Dalla relazione che

definisce la comprimibilit:

22

2

1

2

1iip

pLA

pV

E

Se tutta lenergia cinetica si trasforma in energia di pressione si ha un incremento di

pressione pari a:

vpi

Con valori tipici per un olio minerale (=1800 MPa; =850 kg/m2) si ha:

vvpi

6610*24.1850*10*1800

Larresto istantaneo di un flusso a 10 m/s provoca quindi un incremento di pressione

maggiore di 12 MPa.

In realt il fenomeno pi complesso perch non si comprime contemporaneamente tutta

la colonna di fluido, ma si ha unonda di compressione che si propaga a monte alla velocit

delle piccole perturbazioni (velocit del suono nel liquido

c ; per olio minerale

smc /1450

); dopo un tempo pari a L/c londa di compressione arriva allinizio

della colonna di fluido che risulta cos tutta compressa, a questo punto parte unonda di

decompressione verso la chiusura. Il fenomeno si ripete fino a quando i fenomeni dissipativi

assorbono tutta lenergia in gioco.

Quanto sopra visto valido per una chiusura istantanea della valvola; tale chiusura si pu

ritenere istantanea se avviene in un tempo inferiore a quello richiesto dallonda di

perturbazione per compiere un ciclo completo di andata e ritorno:

c

LTT

cr

2

Per tubi corti il tempo critico risulta molto piccolo (per un tubo di 10 m risulta dellordine

del centesimo di secondo) e il tempo di chiusura risulta difficilmente minore del tempo




critico. In questo caso il calcolo dellincremento di pressione risulta pi complesso, dipende

anche dalla lunghezza del tubo, dalla pressione iniziale e dal tempo di chiusura della valvola.

Il valore di pressione alla quale si arriva pu essere ricavato dal diagramma seguente.

dove:

02 p

pK i ; vp i ; 0p pressione iniziale

cT

TN ; T tempo necessario per la chiusura;

c

LT

c

2 tempo critico di chiusura

N rappresenta il numero di volte che il fenomeno di propagazione e ritorno dellonda di

compressione si verifica nel tempo di chiusura della valvola.

da notare che il valore massimo di pressione sempre inferiore a quello corrispondente

ad una chiusura istantanea; salvo casi particolari viene quindi spesso assunto come valore di

progetto pi.

Fig. 3.20 Colpo dariete per velocit di chiusura inferiori alla critica




3.13 Collegamento di componenti

Pu essere conveniente esprimere le perdite di carico in funzione della portata, sostituendo

al termine di velocit il corrispondente rapporto tra portata ed area del condotto:

22

52

2

2

2

21

8

4

2

1

2

1KQQ

D

L

D

Q

D

Lv

D

Lppp

o, nel caso di elemento con perdite concentrate:

22

42

2

2

2

21

8

4

2

1

2

1KQQ

DD

Qvppp

Lespressione del tipo 2

21KQpp (*)

pu essere utilizzata per esprimere il legame fra le pressioni alle estremit e la portata che

attraversa un generico componente dove la portata entrante ed uscente coincidono, un

componente quindi dove non possono esserci variazioni di volume del fluido contenuto.

Questa espressione definisce quindi il legame fra pressione e portata, le due grandezze

caratteristiche della potenza idraulica, individua quindi la curva caratteristica valida per un

generico componente passivo. Il valore di K deve essere ricavato partendo dai coefficienti

o del componente, ma conviene portarsi a tale forma che consente di esprimere pi

facilmente la conservazione di massa nei nodi di collegamento fra i vari componenti.

Per il singolo componente la relazione consente di ricavare una grandezza essendo

note le altre due: conoscendo le pressioni allestremit si pu ricavare la portata,

conoscendo una pressione e la portata si pu ricavare laltra pressione.

Lespressione (*) valida se p1 maggiore di p2 e il flusso di conseguenza diretto da 1

verso 2; quando questa viene utilizzata in programmi di calcolo dove non noto a priori il

verso della portata lespressione deve essere sostituita da:

QQKpp 21

dove si assume positiva la portata se diretta da 1 a 2 e negativa in senso contrario.

Collegando due componenti con collegamento in serie, essendo uguali le portate nelle due

tubazioni, si ha (fig. 3.21):

21

2

21

2

2121

2

22

2

11

KKK

KQpp

QKKpp

QKpp

QKpp

M

M

Si sommano quindi i coefficienti caratteristici.




k1

k1

k2

k2p1

p1

p2

p2

Q

Q

Q

Q

Q1

Q2

pM

Fig. 3.21 - Linee in serie e in parallelo

Nel collegamento in parallelo, essendo uguali le pressioni alle due estremit, si ha

(fig.3.21):

p p K Q1 2 1 12

p p K Q1 2 2 22

21

212

21

1

21

21

11pp

KKK

pp

K

ppQQQ

p p KQ1 22

21

111

KKK

Le relazioni sono analoghe a quelle delle resistenze elettriche in serie o in parallelo, con la

differenza che il legame quadratico anzich lineare.

3.14 Reti idrauliche

La struttura degli impianti a fluido di interesse aerospaziale normalmente semplice e

facilmente risolvibile con i collegamenti in serie o parallelo visti nel paragrafo precedente.

Si riporta comunque una procedura adatta a ricercare le condizioni di equilibrio di una rete

comunque connessa.

La rete viene schematizzata come un insieme di tratti connessi in un certo numero di nodi;

nei dati di ingresso la rete definita attraverso un certo numero di nodi e di tratti; i tratti

vengono identificati dal nome del nodo iniziale e del nodo finale.




Per la ricerca delle condizioni di equilibrio vengono assunte come incognite tutte le portate

nei tratti e tutte le pressioni nei nodi. Il numero di incognite nella soluzione di conseguenza

pari alla somma del numero di tratti e del numero di nodi.

Le portate considerate nel calcolo sono portate volumetriche, supponendo quindi costante

la densit, e vengono assunte come positive le portate nel senso definito dal nodo iniziale al

nodo finale.

Per ognuno degli m tratti considerati si pu scrivere la relazione fra pressioni ai nodi di

estremit e portata; quindi unequazione che chiamiamo di tipo A:

021

ii

QfppA

dove iQf una funzione normalmente non lineare in Qi , che dipende dai vari effetti

considerati, per una rete di distribuzione di fluido i tratti possono ad esempio essere costituiti

dei seguenti elementi:

a) Tubi, rappresentati come perdite di carico distribuite:

QQKvvd

lpQf

dd

2

1

b) Elementi discreti, rappresentati come perdite di carico concentrate:

QQKvvkpQfcc

2

1

c) Pompe, definite attraverso una curva caratteristica portata pressione.

Qfpp

Per ognuno degli n nodi considerati possibile scrivere una equazione che chiamiamo di

tipo B e che esprime la conservazione della massa, se si tratta di un nodo interno, o assegna un

valore alla pressione o alla portate, se queste sono note nel nodo; in alternativa quindi una

delle tre equazioni seguenti:

0

0

01

iil

iil

n

i

il

QQB

ppB

QB

Il sistema formato dalle m equazioni di tipo A e dalle n equazioni di tipo B un sistema

non lineare, per la sua soluzione si ricorre al metodo iterativo di Newton-Rapson, che porta

alla soluzione del sistema:

l

i

k

j

kljl

kiji

B

A

p

Q

pBQB

pAQA

//

//




Per tutti i tratti (in alternativa a seconda del tipo di elemento)

j

i

jc

jd

j

i

dQ

df

QK

QK

Q

A

fornisce elementi solo sulla diagonale principale

1

1

k

i

p

A

nelle colonne corrispondenti ai nodi di entrata e uscita nel tratto

Per i nodi interni:

1

1

j

l

Q

B

nelle colonne corrispondenti ai tratti in arrivo o in partenza dal nodo

0k

l

p

B

Per i nodi esterni in cui assegnata la pressione:

0j

l

Q

B

1k

l

p

B

sulla diagonale principale

Per i nodi esterni in cui assegnata la portata:

1j

l

Q

B

a seconda che si tratti di portata entrante o uscente

0k

l

p

B

Il calcolo, essendo basato sul metodo di Newton-Rapson, di tipo iterativo; ad ogni passo

si utilizzano i valori di jQ e kp del passo precedente e si calcolano le correzioni jQ e kp

da applicare, il processo prosegue fino a convergenza.




A scopo esplicativo si riporta un semplice esempio di rete.

La rete formata da 9 elementi e 8

nodi.

I dati di definizione degli elementi

possono essere descritti in una matrice

contenente i nodi di estremit dei vari

elementi, lordine dei nodi definisce il

verso positivo della portata:

Supponiamo siano note le pressioni ai due nodi di estremit e costruiamo la matrice M

risolutrice.

Le prime 9 righe della matrice sono relative ai tratti, si avr quindi nelle prime 9 colonne:

iidiiiAQKM

0ij

M per ij

Nelle colonne successive si ha:

1,

jNtrattii

M se il tratto i inizia dal nodo j,

1,

jNtrattii

M se il tratto i termina nel nodo j

0,

jNtrattii

M se il nodo j non appartiene al tratto i

Per le righe successive, nelle prime 9 colonne, si ha:

1,

jiNtrattiM se il nodo i interno e il tratto j termina in esso

1,

jiNtratti

M se il nodo i interno e il tratto j inizia da esso

0,

jiNtrattiM nei rimanenti casi

Nelle colonne successive si ha:

1,

jNtrattiNtratti

M se i=j e il nodo i esterno

0,

jNtrattiNtratti

M se ij o il nodo i interno

Tratto Nodo 1 Nodo 2

1 1 2

2 2 3

3 3 4

4 2 5

5 3 6

6 4 7

7 5 6

8 6 7

9 7 8




La matrice dei coefficienti nel nostro esempio diventa quindi:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8

1 A1 1 -1 2 A2 1 -1 3 A3 1 -1 4 A4 1 -1 5 A5 1 -1 6 A6 1 -1 7 A7 1 -1 8 A8 1 -1 9 A9 1 -1 1 1 2 1 -1 -1 3 1 -1 -1 4 1 -1 5 1 -1 6 1 1 -1 7 1 1 -1 8 1

E il vettore dei termini noti:

1

11121QQKpp

2 22232

QQKpp

3 33343

QQKpp

4 44452

QQKpp

5 55563

QQKpp

6 66674

QQKpp

7 77765

QQKpp

8 88876

QQKpp

9 99987

QQKpp

1 11

pp 2

421QQQ

3 532

QQQ

4 63

QQ

5 74

QQ

6 857

QQQ

7 986

QQQ

8 88

pp




necessario stabilire dei valori iniziali di portata e pressione con cui avviare il calcolo. Per

una rete del tipo in esame si potrebbe assumere come valore iniziale delle pressioni interne un

valore medio fra le pressioni fissate nei nodi di estremit e per le portate il valore di portata

che ne deriverebbe sul primo tratto.

3.15 Bibliografia

Sono numerosi i testi di Meccanica dei fluidi, la materia inoltre trattata in tutti i testi

relativi a impianti a fluido.

R.W.Jeppson, Analysis of Flows in Pipe Networks, Ann Arbor Science Publishers.

Daugherty and Franzini, Fluid mechanics with engeering application, McGraw Hill.

Idelcik, Memento des pertes de charge, Eyrolles

Documents

MECCANICA dei FLUIDI impianti aerospaziali