20

Meccanica2013-2014

Gravitazione

Massa inerziale e massa gravitazionale

Massa come agente dellainterazione gravitazionale

“Massa gravitazionale” “Massa inerziale”

gmrmmG IT

GTG =2Dalla eguaglianzaI

G

T

TG

mm

rmGg 2=

Dato sperimentale, precisione 10-12

2T

T

mGr

=

Teoria Generale della Relatività:basata su

“Principio di equivalenza”

amF rr=1 2

2 rm mF G ur

= !r r

Massa come resistenza alla accelerazioneprodotta da qualunque tipo di forza

Gravitazione universale

Stanza chiusa sulla Terra(gravità, accelerazione g)

Stanza chiusa in assenza digravità, accelerata

con a = g

Gravitazione universaleCampo gravitazionale

2,1221

2,1 urmmGF rr

!= 22,121 murmG !

"

#$%

&'=r

2( ) rmr G ur

! " #$ %& '( )

r r r

Vettore “Campo gravitazionale”

!=

"=n

ii

i

i urmG

12

r

“Campo” generato dalla massa(puntiforme) m1

Massa“campione” m2

Campo totale generato da n masse:

1

( )n

ii

P! !=

="r r

1!r

2!r

3!r

1m

2m

3m

P

Teorema di Gauss

dS d nS=r r

cosd dS dS! ! "# $ % =rr

dSr

!r S = Superficie chiusa che racchiude la massa m

S

m

Versore normale all’elementoinfinitesimo di superficie

Flusso attraverso la superficie S:Flusso elementare del campo :!

r

cosSdS! "= #$

1 2m!=r

rr

!

2

cosS rSGm d !

= " # 2n

S

dSGmr

= ! " SGm d= ! "# 4 Gm!= "

Proiezione di dS normale alladirezione radiale: dSn

Angolo solido dΩ

SdS!" = #$rr

rSu dS!= " #$

rr

rur

2 cosS

GmdSr

!= "#

ndS

Gravitazione universaleDistribuzione sferica di massa

( ) rS SdS r u dS! !" = # = $ #% %r rr r

Costante sulla superficiedella sfera di raggio r

rR

M

Per ragioni di simmetria il campo sullasuperficie della sfera:

!r

- Ha la stessa ampiezza in ogni direzione ( ) ( )r r! !=r rr

- E’ diretto radialmente: ( ) ( ) rr r u! != "r r

Flusso totale del campo attraverso lasfera di raggio r:

!r

( )S

r dS!= " # 24 ( )r r! "= #

Vettori paralleli

Applichiamo il teorema di Gauss: 4 GM!" = #24 ( ) 4r r GM! " !# = # 2( ) GMr

r! =

m

Una massa m a distanza r subisce una forza: 2( ) r rGMmF r mu ur

!= " = "r r r

Una massa M distribuita con simmetria sferica genera lo stesso campogravitazionale di un punto materiale di massa M posto al suo centro

!r

1m

2m

A

B

Energia potenziale gravitazionale conservativa

sdurmmG r

rr!"= 2

21Energia potenziale

Lavoro infinitesimo: sdFdW rr!= dr

rmmG 221!=

!"=B

Adr

rmGmW 221

1!!"

#$$%

&+''=

AB rrmGm 1121 PE= !

Per due masse molto distanti: 0 , !"! PErMasse vicine: !"## PEr ,0 (“energia di legame” cresce)

Velocità di fugaVelocità iniziale necessaria per sfuggire al campo gravitazionale (es.: terrestre)

2 Tf

T

Gmvr

=

Energia iniziale

21 02

Tf

T

m mmv Gr

! =

Energia finale

Tgr2= 21 02

Mmmc Gr

! = 22cGMrS =

Nessuna particella può sfuggireal campo gravitazionale

Caso limite: fv c! (velocità della luce)

Buco nero

Raggio di Schwarzschild

Gravitazione: forza centrale CostanteP KE E+ =

Energia potenzialegravitazionale

Gravitazione

Energia potenziale gravitazionaleEnergia potenziale massa sferica omogenea

rmmGEP 21!=

( )3 20 0

4 143PdE G r r dr

r!

" ! "# $= % & '( )

22 40

163G r dr!"= #

22 40 0

163

R

PE G r dr!"= # $ 52

0

2

51

316 RG !"

#=

62

25

2

169

51

316

RmRGEP !

!"=

235GmR

= !

235

SP

S

mE Gr

! "11 3 -1 -2 30 2

8

3 (6.67 10 m kg s )(2 10 kg)5 7 10 m

!" "= !

"412 10 J= ! "

Energia potenziale del Sole

Energia necessaria per portare dall’infinito ognisuo elemento infinitesimo (massa dm)

Ipotesi di omogeneità

204dm r dr! "=