Mecanica 2 Material de Curs

MECANICĂ. TEORIE ŞI APLICAŢII 111

Capitolul 4 – STATICA SOLIDULUI RIGID

4.6.2 Statica rigidului supus legăturilor cu frecare Pentru a studia aspectul general al legăturii cu frecare, se consideră un rigid

( )S , cu o formă geometrică oarecare aflat în contact permanent cu un alt rigid notat ( )1S , (vezi Fig.4.15.a). Corpul ( )1S reprezintă o legătură fizică aplicata corpului ( )S . Contactul între cele două corpuri ( )S şi ( )1S se realizează într-o infinitate de puncte ale unei suprafeţei de contact cu frecare de alunecare. Se consideră că în jurul rigidului acţionează un sistem de forţe jF , şi fiecare punct

( )1jM j = →∞ al suprafeţei de contact reprezintă o simplă rezemare cu frecare de alunecare, având coeficientul de frecare jμ . Aplicând axioma legăturilor pentru fiecare punct jM , se obţine un sistem al forţelor de legătură, constituit din reacţiunile normale jn şi forţele de frecare de alunecare jt .

Astfel, rigidul ( )S devine liber, asupra lui acţionând două sisteme de forţe,

unul activ şi unul al forţei de legătură. Acestea se reduc în raport cu punctul teoretic al suprafeţei de contact, obţinându-se un torsor de reducere al forţelor active şi respectiv un torsor al forţelor de legătură de forma:

0

0

;R

Mτ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

;L

L

L

R

Mτ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.86)

ν

.a .b

LM

0M

pM

rM

tM

nM

2τ nR

tR

R

LR N

T O1τ

Fig. 4.15

jM

1F

( )S

( )1S

1A

iF

nFiA

nA

O( )

1

;j j

j j j

n tt nj

μ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬≤ ⋅⎪ ⎪= →∞⎩ ⎭

112 MECANICĂ. TEORIE ŞI APLICAŢII


Conform cu Fig.4.15.b, în planul tangent la suprafaţa de contact în punctul O se consideră două direcţii 1τ şi 2τ , în aşa fel încât 1τ , 2τ şi ν să fie perpendiculare între ele, formând un triedru drept orientat. În raport cu aceste axe, ţinând seama şi de relaţiile (4.86), componentele celor doi torsori sunt date prin următoarele relaţii:

( )

( )0

0

;n t

n t

R RR

M M M

τ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

( );

L

L

L p r

N TR

M M M

τ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.87)

Condiţia necesară şi suficientă pentru ca rigidul să rămână în stare de echilibru este reprezentată de 0 0Lτ τ τ= + = , adică prin sistemul echivalent de ecuaţii vectoriale:

0

00

L

L

R RM M⎧ + =⎨

+ =⎩ (4.88)

Prin explicitare, expresiile (4.88) se transformă în următoarele sisteme de ecuaţii: 00

;0 0

n pn

t t r

M MR NR T M M

⎧ + =⎧ + =⎪ ⎪⎨ ⎨

+ = + =⎪ ⎪⎩ ⎩ (4.89)

În sistemele anterioare, care reprezintă ecuaţiile vectoriale de echilibru a rigidului supus legăturilor cu frecare, au fost introduse următoarele notaţii:

componenta nR a rezultantei forţelor active tinde să deplaseze rigidul ( )S

după normala ν la suprafaţa de contact, opunându-i-se reacţiunea normală N ; a doua componentă caracterizează forţele active tR , tinde să deplaseze

rigidul ( )S prin translaţie după axa 1τ . Acestei acţiuni se opune o forţă de rezistenţă

T (forţa de frecare de alunecare); componenta nM a vectorului moment rezultant 0M al forţelor active tinde

să imprime rigidului ( )S o rotaţie în jurul normalei ν , rotaţie numită pivotare, căruia

i se opune pM , numit moment al frecării de pivotare;

componenta tM tinde să rotească rigidul după axa 2 1τ τ ν= × , mişcare numită rostogolire, opunându-i-se momentul rezistent rM , numit moment al frecării de rostogolire.



4.7 Fenomenul de autofixare şi autoblocare Pentru a evidenţia frecarea de alunecare, conform cu [V01], se ia în studiu un

corp prismatic de greutate G situat pe un plan aspru, având coeficientul de frecare ( )μ înclinat sub unghiul ( )α faţă de orizontală,(vezi Fig.4.16). Studiul presupune determinarea domeniului de variaţie al forţei orizontale F , astfel încât rigidul să rămână în repaus.

Aplicând axioma legăturilor, se introduc forţele de legătură N şi T , şi se constată că rigidul prezintă două tendinţe de deplasare, şi anume : • Tendinţa rigidului de alunecare în jos (Fig.4.16.a), caz în care ecuaţiile scalare de echilibru sunt următoarele:

00

T F c G sN F s G c

T N

α αα α

μ

+ ⋅ − ⋅ =⎧⎪ − ⋅ − ⋅ =⎨⎪ ≤ ⋅⎩

(4.90)

Efectuând calculele, se obţine expresia: F c G s F s G cα α μ α μ α− ⋅ + ⋅ ≤ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ , de unde rezultă:

s cF Gc sα μ αα μ α− ⋅

≥ ⋅+ ⋅

(4.91)

Limita inferioară a modulului forţei F devine nulă pentru următoarea valoare a lui α : 0s cα μ α− ⋅ = , adică tgα μ= (4.92)

Pentru tgα μ≤ , modulul valorii forţei F este negativ sau nul, ceea ce demonstrează că punctul material luat în studiu rămâne în echilibru. Acest fenomen este cunoscut sub denumirea de denumit fenomen de autofixare.

.a .bFig.4.16

T

TN

N

αα G Gμμ

xxy y

FF



• Tendinţa de alunecare în sus (Fig.4.16.b), este reprezentată prin ecuaţiile: 0

0T F c G s

N F s G cT N

α αα α

μ

− + ⋅ − ⋅ =⎧⎪ − ⋅ − ⋅ =⎨⎪ ≤ ⋅⎩

(4.93)

Efectuând, calculele rezultă următoarea relaţie pentru forţa F : s cF Gc sα μ αα μ α+ ⋅

≤− ⋅

(4.94)

Limita superioară a modulului forţei F devine infinit pentru: 0c sα μ α− ⋅ = , adică 1tgα μ= (4.95)

În cazul în care 1tgαμ

≤ , atunci nu există o limită superioară dincolo de care

punctul material să alunece în sens ascendent. Deci, oricât de mare este forţa F , punctul material rămâne în repaus. Fenomenul este denumit autoblocare. Astfel, ţinând seama de relaţiile (4.91) şi (4.94), domeniul de variaţie al forţei F este:

s c s cG F Gc s c sα μ α α μ αα μ α α μ α− ⋅ + ⋅

⋅ ≤ ≤ ⋅+ ⋅ − ⋅

(4.96)

Ori de câte ori forţa motoare este nulă, în cazul legăturii cu frecare de alunecare, fenomenul este denumit autofixare, iar în cazul în care forţa tinde spre infinit, fenomenul fizic se numeşte autoblocare.

4.8 Influenţa frecării de alunecare în cuplele prismatice: cupla prismatică cu joc şi cupla prismatică fără joc

Pentru studiul frecării în cazul corpurilor aflate în mişcarea de translaţie, se ia în studiu o cuplă prismatică (Fig.4.17 sau Fig.4.18) formată din tija ( )1 de dimensiune d , care se deplasează în interiorul unui ghidaj fix ( )2 , caracterizat prin dimensiunile l şi d . Contactul între părţile componente ale cuplei, este cu frecare de alunecare, caracterizat de coeficientul de frecare ( )μ . Asupra tijei acţionează forţa motoare P cu punctul de aplicaţie în O , definit prin ( ),x y , orientată sub un unghi α faţă de axa Oy .

Pe axa de simetrie a cuplei acţionează o forţă tehnologică Q . Se pune problema determinării forţei P din condiţiile de echilibru, precum şi condiţiile de apariţie, respectiv evitare a fenomenului de autoblocare în cuplele prismatice. În funcţie de gradul de uzură, în cele ce urmează se vor trata două tipuri de cuple prismatice, cupla prismatică cu joc (Fig.4.17) şi cupla prismatică fără joc (vezi Fig.4.18), conform cu [P03].



Cupla prismatică cu joc (vezi Fig.4.17). Datorită jocului care se creează în interiorul ghidajului, contactul dintre cele două părţi componente, se reduce la două puncte,

dispuse simetric, notate cu ( )A şi respectiv ( )B . Fiecare dintre cele două puncte au rolul unui reazem simplu, cu frecare de alunecare, pentru studiul căruia se va aplica axioma legăturilor. Astfel, se înlocuiesc legăturile fizice din punctele ( )A şi ( )B cu reacţiunile (forţele de legătură), notate ( );A AN T , respectiv ( );B BN T . Pentru scrierea ecuaţiilor scalare de echilibru, se utilizează sistemele

de referinţă cu originea în punctele ( )A şi ( )B , se ţine seama de faptul că toate forţele au o distribuţie coplanară, precum şi de faptul că N sau T nu se cunosc, ceea ce conduce la scrierea a trei ecuaţii scalare de echilibru, după cum urmează:

( )α

α α

α α

μ μ

⋅ − − − =⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎨ ⎬⎛ ⎞⎪ ⎪− ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠

= ⋅ = ⋅⎪ ⎪⎩ ⎭

0;0;

2 20;

2 2; ;

A B

A A

B B

A A B B

P c Q T Td dP x c P y l s Q N l T d

d dP x c P y s Q N l T d

T N T N

(4.97)

Sistemul de ecuaţii prezentat, corespunde echilibrului la limita frecării de alunecare în cuplele prismatice cu joc. Pentru determinarea forţei P , se înlocuiesc condiţiile frecării de alunecare în prima relaţie, după care se explicitează AN şi BN :

( )α α

μ

α α

μ

⎧ ⎫⎛ ⎞⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪=⎪ ⎪+ ⋅⎨ ⎬⎛ ⎞⎪ ⎪⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎪=⎪ ⎪− ⋅⎩ ⎭

2 2

2 2

A

B

d dP x c P y l s QN

l dd dP x c P y s Q

Nl d

. (4.98)

Fig.4.17

A

B

QByμ

μ ( )1

( )2α

x

l

x

P

y

y

Bx

d BT

AxAy

AT

AN

BN

O



Întrucât coeficientul μ este subunitar iar d l< , rezultă că termenul d lμ ⋅ << , de unde l d lμ± ⋅ ≈ . Astfel, înlocuind AN şi BN din (4.98) în prima relaţie din (4.97), rezultă expresia forţei motoare în cuplele prismatice cu joc, stabilită din condiţiile de echilibru la limita frecării de alunecare:

2 21

QPx yc c s

l lα μ α α

=⎡ ⋅ ⋅ ⎤⎛ ⎞− ⋅ ⋅ + + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(4.99)

În cazul în care numitorul relaţiei (4.99) este nul, ceea ce conduce la tinderea valorii forţei motoare P spre infinit, apare fenomenul de autoblocare a tijei. Prin aplicarea unor transformări se deduce următoarea relaţie :

2 21 1 0yx c sl lμ α μ α⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ ⋅ − ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.100)

Ţinând seama de (4.100), se obţine condiţia de autoblocare, exprimată prin: 21

21critic

xltg

yl

μ

αμ

⋅− ⋅

=⋅⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

(4.101)

În relaţia anterioară, criticα reprezintă unghiul critic de înclinare al forţei motoare P , la care apare fenomenul de autoblocare în cazul cuplelor prismatice cu joc. O soluţie particulară este prezentata, conform relaţiei următoare :

20, pentru 1 02critic

lx xlμα

μ⋅

= − ⋅ = ⇒ =⋅

(4.102)

Observaţie: Pentru a evita fenomenul de autoblocare se impun următoarele condiţii:

, .2critic

lxα αμ

⎧ ⎫< <⎨ ⎬⋅⎩ ⎭ (4.103)

Cupla prismatică fără joc. Întrucât cupla luată în studiu conform Fig.4.18 este nerodată (fără uzură sau joc), zona de contact devine o dreaptă A A′ ′′ , respectiv B B′ ′′ , de lungime ( )/ 2l , la care se admite că presiunea normală de contact este uniform repartizată. Prin aplicarea axiomei legăturii în punctele ( )A şi ( )B situate la ( )/ 4l de A′ , şi respectiv la ( )/ 4l de B′ se introduc, conform cu [P03], reacţiunile normale rezultante ( ),A BN N , şi forţele de frecare de alunecare ( ),A BT T ].



Ecuaţiile scalare de echilibru pentru cupelele prismatice fără joc devin echivalente cu următoarele relaţii:

α

α α

α α

μ μ

− − − =⎧⎪

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪− + ⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎨

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪− − ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪ = ⋅ = ⋅⎩

0

3 02 4 2 2

02 4 2 2

;

A B

A A

B B

A A B B

Pc Q T T

d l d lP x c P y s Q T d N

d l d lP x c P y s Q T d N

T N T N

(4.104)

Similar cazului anterior, se înlocuieşte AT şi BT din ultima în prima relaţie (4.104), după care se explicitează AN şi BN din celelalte două, în final rezultând:

2 22 1

QPx yc c s

l lα μ α α

=⎡ ⋅ ⋅ ⎤⎛ ⎞− ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(4.105)

Fenomenul de autoblocare a tijei apare atunci când valoarea forţei motoare P →∞ , adică expresia de la numitor din relaţia anterioara devine zero:

1 2 1 2 02 2

c sxl lμ μα μ α⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ ⋅ =− ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , (4.106)

Fig.4.18

Q

B′

B′′

( )1

( )2α

xx

P

y

y

d

BT

A′

4l

AT

AN

BN

O

2l

A′′



Prin aplicarea unor transformări, rezultă: 1 22

21critic

xltgyl

μ

αμ

− ⋅′ =

⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

; (4.100)

unde notaţia criticα′ , reprezintă unghiul critic de inclinare înclinare a forţei motoare P la care apare fenomenul de autoblocare în cazul cuplelor prismatice cu joc. Ţinând seama de faptul că criticα α′ < , se determină condiţia geometrică pentru evitarea fenomenului de autoblocare în cazul cuplelor prismatice cu joc:

;4 critic critic

lx α αμ

⎧ ⎫′ ′< <⎨ ⎬⋅⎩ ⎭ (4.107)

Observaţie: Se constată că parametrii geometrici necesari evitării fenomenului de autoblocare sunt mai mici în cazul cuplelor prismatice fără joc, faţă de cuplele prismatice cu joc.

4.9 Frecarea de rostogolire Prin rostogolire se înţelege rotaţia unui rigid în jurul axe din planul său

tangent la axa normala pe planul central de inerţie. Frecarea de rostogolire se pune în evidenţă printr-un moment rezistent, numit momentul frecării de rostogolire, notat cu rM . Se pune problema determinării condiţiilor necesare pentru ca un corp să fie în echilibru sub şi la limita frecării de rostogolire. În acest sens se ia în studiu un disc circular drept, având raza R şi greutatea G , situat pe o cale de rulare orizontală ( )Δ , contactul fiind cu frecare de alunecare, caracterizat prin coeficientul de frecare ( )μ . Asupra discului acţionează o forţă motoare, notată cu F , situaţie care conduce la apariţia unui moment motor şi a unei forţe de tracţiune, [V01], [R01].

4.9.1 Cazul roţii trase pe o suprafaţă plană, şi pe o suprafaţă înclinată.

Conform Fig.4.19.a, datorită acţiunii forţei F , discul are pe de o parte tendinţa de alunecare pe calea de rulare, efectuând astfel o mişcare de translaţie, ia pe de alta parte tendinţa de rostogolire în jurul axei Oz . Pentru studiul echilibrului, se aplică axioma legăturilor, astfel că legătura punctiformă din punctul ( )A se înlocuieşte cu reacţiunea normală N , respectiv cu forţa de frecare de alunecare T . Astfel, se obţin ecuaţiile scalare de echilibru:

{ }0; 0; 0;F T N G F R T Nμ− = − = − ⋅ = ≤ ⋅ (4.108)



Înlocuind T din prima condiţie şi N din a doua în a patra din (4.108), rezultă: F Gμ≤ ⋅ (4.109)

Relaţia (4.109) reprezintă condiţia necesară pentru a realiza echilibrul sub şi respectiv la limita frecării de alunecare. Condiţia a treia din (4.108) este imposibilă

din punct de vedere fizic, adică 0≠⋅RF , fiind un moment dat

de o forţă motoare ce imprimă discului o mişcare de rostogolire, ceea ce înseamnă că axioma legăturilor a fost aplicată în mod eronat. Conform cu Fig.4.19b, zona de contact dintre discul circular şi calea de rulare nu este un punct ci o suprafaţă care înregistrează deformările pe direcţia de mişcare, şi în care există o concentraţie masivă de forţe de legătură înspre direcţia de înaintare a rotii. Astfel, în fiecare punct al suprafeţei de contact există o reacţiune

normală punctiformă, notată jn precum şi o forţă punctiformă jF , 1j = →∞ . În Fig.4.19c, se aplică axioma legăturilor suprimând, ca urmare legătura din punctul ( )A este substituită cu reacţiunea normală N , la o distanţă l , cu scopul anihilării efectului forţei motoare. Tot în A , pe direcţia axei Ay , se introduc forţele egale şi de sens contrar, N şi N− , astfel încât noul sistem de forţe produce acelaşi efect mecanic (vezi Fig.4.19d), adică se constituie într-un cuplu de forţe:

rM N l= ⋅ , (4.110)

unde, rM reprezintă momentul frecării de rostogolire notat Ecuaţiile scalare de echilibru ale roţii trase în acest caz se modifică astfel:

{ }0; 0; 0;F T N G N l F R T Nμ− = − = ⋅ − ⋅ = ≤ ⋅ ; (4.111)

Fig.4.19

( );j jn F

N

N

N−

A

A

rM

AN

G

G G

F

F F

F

N

( )Δ

( )Δ

T

T

RR

R R

x x

x x

y

y

y

y

O

OO

l

.a .b

.c .d

G O



Înlocuind N şi T din primele două ecuaţii, în ultima condiţie din relaţiile (4.111), rezultă relaţia (4.110). Conform ecuaţiei a treia de momente din (4.111), rezultă:

N l F R⋅ = ⋅ ; l Rμ≤ ⋅ (4.112) Conform cu (4.112), rezultă că distanţa l este limitată superior, iar valoarea ei maximă, care reprezintă coeficientul frecării de rostogolire, se notează:

s Rμ= ⋅ (4.113) Ţinând seama de relaţiile anterioare, se deduce condiţia necesară şi suficientă ca discul să fie în echilibru sub sau la limita frecării de rostogolire, adică:

rM s N≤ ⋅ (4.114) Observaţie: Se constată că în cazul frecării de rostogolire, pentru ca un rigid să fie în echilibru intervin două condiţii: cu referire la frecarea de alunecare (4.110); şi tendinţa de rostogolire a rigidului (4.114). Se consideră acelaşi disc circular drept, conform Fig.4.20 şi [V01], având raza R şi greutatea G , situat pe un plan inclinat cu unghiul ( )α , contactul fiind cu frecare de alunecare, caracterizat prin coeficientul de frecare ( )μ . Asupra discului acţionează forţa

motoare F după direcţia planului inclinat, căreia se opune momentul frecării de rostogolire notat prin rM . Ca şi în studiul precedent, se aplică axioma legăturilor, astfel că în punctul ( )A se introduc echivalentele mecanice reacţiunea normală N , forţa de frecare la alunecare T şi respectiv momentul frecării de rostogolire rM . Ecuaţiile scalare de echilibru devin:

ααα

μ

− ⋅ − =⎧ ⎫⎪ ⎪− ⋅ =⎪ ⎪⎨ ⎬⋅ − ⋅ ⋅ − =⎪ ⎪

≤ ⋅ ≤ ⋅⎪ ⎪⎩ ⎭

00;

0;

r

r

F G s TN G c

F R G R s MT N M s N

(4.115)

Înlocuind N , T şi rM din primele trei ecuaţii, în condiţiile din relaţiile (4.115), rezultă condiţia obligatorie pentru ca roata trasă să fie în echilibru pe planul înclinat:

F tgG c

μ αα

≤ −⋅

(4.116)

Fig.4.20

F

O

G

T

R

N

x

y

α

rM( ),s μ

Aα



4.9.2 Cazul roţii motoare pe o suprafaţă plană, respectiv pe o suprafaţă înclinată Asupra discului din Fig. 4.21, [V01], acţionează pe de o parte forţa de tracţiune

F , care imprimă rigidului o mişcare de translaţie, iar pe de altă parte momentul motor notat mM , care tinde să imprime o mişcare de rostogolire. Acestei tendinţe i se opune momentul frecării de rostogolire notat prin rM . Similar studiului echilibrului în cazul rotii trase pe o suprafaţă plană, legătura punctiformă din punctul ( )A se înlocuieşte cu reacţiunea normală N , forţa de frecare la alunecare T şi respectiv momentul frecării de rostogolire rM (Fig. 4.21). Ţinând seama de consideraţiile anterioare, ecuaţiile scalare de echilibru în cazul roţii motoare pe o suprafaţă plană sunt:

0;0;

0;

r m

r

T FN G

M F R MT N M s Nμ

− =⎧ ⎫⎪ ⎪− =⎪ ⎪⎨ ⎬+ ⋅ − =⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⋅ ≤ ⋅⎩ ⎭

(4.117)

Înlocuind T şi N în condiţia a patra, iar rM din ecuaţia trei în ultima condiţie a sistemului (4.117), se obţine condiţia de echilibru la rostogolire, astfel :

mM F R s G≤ ⋅ + ⋅ (4.118) Ţinând seama de (4.109) şi (4.118), rezultă condiţiile de rostogolire pură fără alunecare: { }; mF G M F R s Gμ< ⋅ ≥ ⋅ + ⋅ precum şi condiţiile de patinare { }; mF G M F R s Gμ= ⋅ ≥ ⋅ + ⋅ în cazul roţilor motoare. Studiul frecării de rostogolire în cazul roţii motoare pe o suprafaţă înclinată. Se consideră în Fig.4.22, conform cu [V01] un disc cu raza R şi greutatea G , situat pe un plan inclinat cu unghiul ( )α , contactul fiind cu frecare de alunecare,

caracterizat prin coeficientul de frecare ( )μ . Asupra discului acţionează în axa să

centrală un moment motor mM precum şi o forţă motoare F după direcţia planului înclinat. Prin aplicarea axiomei legăturilor, se înlocuiesc în punctul ( )A reacţiunea

Fig.4.21

FO

G

T

R

N

x

y

mM

rM( )μ

A



normală N , forţa de frecare la alunecare T şi respectiv momentul frecării de rostogolire rM , astfel că ecuaţiile de echilibru se scriu:

0;0;

0;

r m

r

T F G sN G c

M M G R s F RT N M s N

ααα

μ

− − ⋅ =⎧ ⎫⎪ ⎪− ⋅ =⎪ ⎪⎨ ⎬− + ⋅ ⋅ + ⋅ =⎪ ⎪⎪ ⎪≤ ⋅ ≤ ⋅⎩ ⎭

(4.119)

Similar cazurilor anterioare, rezultă următoarele condiţii de echilibru:

( )F G c sμ α α≤ ⋅ ⋅ − , respectiv F G sG c

αμα

+ ⋅≥

⋅ (4.120)

Ţinând seama de expresiile determinate anterior, (4.120), momentul motor minim la care devine posibilă tracţiunea sau remorcarea este:

1mM F G Rs c

Rα α⎡ ⎤⎛ ⎞= + ⋅ ⋅+ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

. (4.121)

4.10 Frecarea de pivotare Pentru a evidenţia fenomenul fizic reprezentat prin frecarea de pivotare,

conform cu [V01] şi Fig.4.23, se consideră un ax vertical ( )1 , numit pivot, a cărui

secţiune în zona de contact cu lagărul cilindric fix ( )2 este o suprafaţă de formă

inelară de raze ( ),r R conform cu Fig.4.23. Contactul între pivotul ( )1 şi lagărul

cilindric ( )2 se realizează într-o infinitate de puncte, în fiecare punct legătura este cu

frecare de alunecare ( )μ , iar forţele de legătură sunt distribuite uniform, pe o

suprafaţă inelară numită suprafaţă de pivotare. Se admite că în fiecare punct există atât o reacţiunea normală pe unitatea de suprafaţă, notată p , care se menţine aceeaşi în toate punctele; cât şi o forţă de frecare de alunecare, t care îndeplineşte condiţia t pμ≤ ⋅ . Asupra pivotului acţionează un sistem de forţe active

Fig.4.22

FO

G

T

R

N

x

y

αrM

( ),s μ

A

α

mM



, 1iF i n= → a căror rezultantă este echivalentă cu nR , care tinde să deplaseze pivotul după normala la suprafaţa de contact, dar se opune reacţiunea normală N , forţa de frecare la alunecare T ; şi un moment nM care tinde să imprime pivotului o mişcare de rotaţie, numită mişcare de pivotare, acestuia i se opune

pM , numit momentul frecării de pivotare.

Prin aplicarea axiomei legăturilor, condiţiile de echilibru se pot scrie:

0; 0n n pR N M M+ = + = (4.122)

În Fig.4.23, se pune în evidenţă forţa de legătură prin separarea unei suprafeţe elementare dA din suprafaţa de contact delimitată de coordonatele polare ( ),ρ α :

dA d dρ ρ α= ⋅ ⋅ (4.123) Având în vedere că pe suprafaţa elementară dA există o infinitate de reacţiuni normale p , rezultanta acestora este:

dN p dA p d dρ ρ α= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (4.124) Reacţiunii normale elementare, îi corespunde forţa de frecare de alunecare elementară:

dT dN p d dμ μ ρ ρ α= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (4.125) Pe baza expresiei (4.124), reacţiunea normală pe suprafaţa de contact este:

( )2 2

2 2

02

2

RRr

rN dN p d d p p R r

π ρρ ρ α π π= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −∫ ∫ ∫ (4.126)

Având în vedere că în (4.126), termenul ( )2 2R rπ ⋅ − reprezintă aria unei suprafeţe

inelare, conform cu prima relaţie din (4.122), se rescrie după cum urmează:

( ) ( )2 2 2 2nRNp

R r R rπ π= =

⋅ − ⋅ − (4.127)

Fig.4.23

R

nR

r

nM

( )2

( )1

Tdα

αd

ρd

pM

rM

Ndpt

O

( )dA



Momentul elementar al frecării de pivotare este produs al forţei de frecare de alunecare elementare:

2pdM dT p d dρ μ ρ ρ α= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (4.128)

Având în vedere relaţia (4.128), momentul rezultant al frecării de pivotare între pivotul ( )1 şi lagărul cilindric ( )2 este de forma următoare:

( )2

2 3 3

0

23

R

p pr

M dM p d d p R rπ

μ ρ ρ α μ π= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −∫ ∫ ∫ (4.129)

Înlocuind termenul ( )p π⋅ cu relaţia (4.126), expresia anterioară (4.129) devine: 3 3

2 223p

R rM NR r

μ⎛ ⎞−

= ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟−⎝ ⎠

, unde: 3 3

2 223p

R rsR r

μ −= ⋅ ⋅

−, (4.130)

Termenul ps se numeşte coeficient al frecării de pivotare, depinde de forma geometrică a suprafeţei de pivotare. Ţinând seama de coeficientul frecării de pivotare relaţia (4.130) se poate rescrie după cum urmează:

p pM s N≤ ⋅ , (4.131) reprezentând condiţia mecanică şi suficientă de echilibru sub limita frecării de pivotare.

4.11 Frecarea în cuplele de rotaţie cu joc (rodate) şi fără joc În Fig.4.24 se ia în studiu un fus cilindric mobil situat în interiorul unui lagăr

radial cilindric fix, între care se stabileşte un contact cu joc, contactul fiind caracterizat de coeficientul de frecare ( )μ . Asupra fusului mobil acţionează un sistem de forţe exterioare active, care se reduce la o rezultantă R , orientată după normală principală a fusului şi un moment rezultant 0M orientat după axa de rotaţie a fusului.

Presiunea de contact ( )p este neuniform distribuită pe suprafaţa de contact, valoarea maximă fiind pe direcţia normalei principale a fusului. Pentru studiul efectului mecanic, conform cu [P03] se separă o suprafaţă elementară dA din suprafaţa de contact delimitată de coordonatele polare ( ),r α , precum şi grosimea l a suprafeţei cilindrice de contact astfel încât:

dA r l dα= ⋅ ⋅ , (4.132)



Ţinând seama de faptul că pe unitatea de suprafaţă dA există o infinitate de reacţiuni normale punctiforme p , reacţiunea normală elementară dN şi corespunzătoare acesteia forţa de frecare elementară dT sunt:

( )0 0dN p c dA p r l c dα α α= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (4.133)

( )0 0dT dN p c dA p r l c dμ μ α μ α α= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (4.134)

Reacţiunea normală elementară dN respectiv forţa de frecare elementară dT , proiectate pe direcţia rezultantei R , determină condiţia de echilibru a forţelor:

2 2

2 2R dN c dT s

π π

π π

α α− −

= ⋅ + ⋅∫ ∫ , (4.135)

Substituind (4.133) şi (4.134) în relaţia (4.135), se va obţine următoarea expresie: 2 2

20 0

2 2R p r l c d p r l s c d

π π

π π

α α μ α α α− −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ (4.136)

Relaţia anterioară, după efectuarea calculelor devine echivalentă cu:

02R p r lπ= ⋅ ⋅ ⋅ (4.137)

Fig.4.24

( )A( )B

Nd

dA

TdoM

r

fM

R αd

O

α

αdr ⋅

p

l



Forţa de frecare elementară dT pe suprafaţa elementară dA , generează un moment rezistent al frecării, de forma, fdM r dT= ⋅ , care pe suprafaţa de contact, este:

( ) ( )2

0 02

2fM r dT r p r c d r p rπ

π

μ α α μ−

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ (4.138)

Ținând seama de relaţia (4.137), expresia momentului rezistent al frecării devine: 4

fM r Rμπ

= ⋅ ⋅ ⋅ (4.139)

Substituind în (4.139) 04 μ μπ

′′⋅ = , numit coeficient al frecării din cupla de rotaţie cu

joc, atunci relaţia anterioară devine:

0 0M r Rμ′′≤ ⋅ ⋅ , (4.140)

şi caracterizează condiţia de echilibru în cazul cuplelor de rotaţie cu joc.

4.12 Studiul în cuplele de rotaţie fără joc(nerodate) Zona de contact între fus şi lagăr este o suprafaţă semicilindrică, (vezi Fig.

4.25) opusă rezultantei forţelor active R . Presiunea de contact ( )p este uniform distribuită pe toată suprafaţa de contact. Contactul punctiform se realizează cu frecare de alunecare, caracterizat prin coeficientul ( )μ .

Fig.4.25

( )A ( )B

Nd

dA

TdoM

r

fMR αd

O

α

αdr ⋅

p

l



Pentru a pune în evidenţă efectul mecanic, se separă o suprafaţă elementară dA din suprafaţa de contact delimitată de coordonatele polare ( ),r α , [P03] astfel încât:

dA r l dα= ⋅ ⋅ , (4.141)

unde l reprezintă grosimea suprafeţei cilindrice de contact. Pe suprafaţa elementară dA se dezvoltă o reacţiune normală elementară dN şi corespunzătoare acesteia o forţă de frecare elementară dT .

Conform Fig.4.25, se proiectează dN şi dT pe direcţia rezultantei R , din condiţia de echilibru a forţelor rezultă:

2 2

2 2R dN c dT s

π π

π π

α α− −

= ⋅ + ⋅∫ ∫ (4.142)

Având în vedere că pe unitatea de suprafaţă dA există o infinitate de reacţiuni normale punctiforme p , reacţiunea normală elementară devine echivalentă cu:

dN p dA p r l dα= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (4.143) Forţa de frecare de alunecare elementară este exprimată prin relaţia:

dT dN p r l dμ μ α= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (4.144) Substituind (4.144) şi (4.143) în (4.142), se va obţine următoarea relaţie:

2 2

2 2R p r l c d p r l s d

π π

π π

α α μ α α− −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ (4.145)

Ţinând seama de faptul că: 2 2

2 22 ; 0c d s d

π π

π π

α α α α− −

⋅ = ⋅ =∫ ∫ , expresia (4.145) devine:

2R p r l= ⋅ ⋅ ⋅ (4.146) Datorită acţiunii lui dT pe suprafaţa elementară dA , se va genera un moment rezistent al frecării, de forma:

fdM r dT= ⋅ (4.147) Conform cu (4.147), pe toată suprafaţa de contact, momentul rezistent al frecării este:

( )2fM r p r r Rππ μ μ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (4.148)

Substituind în (4.148) 02π μ μ′⋅ = , numit coeficient al frecării din cupla de rotaţie

fără joc, atunci relaţia anterioară devine: 0fM r Rμ′≤ ⋅ ⋅ , (4.149)

şi caracterizează condiţia de echilibru în cazul cuplelor de rotaţie fără joc.



4.13 Aplicații 4.13.1. O bară AB omogenă, de greutate G şi lungime 2 l⋅ se reazemă cu frecare în punctul B pe un plan orizontal, iar în punctul E pe o suprafaţă cilindrică cu raza r . Coeficientul de frecare în punctele de rezemare B şi E este μ . Să se determine unghiul α pe care-l face bara cu orizontala în poziţia de echilibru. Rezolvare: Se alege sistemul de referinţă xOy , se eliberează S.R. de legături, se introduc forţele exterioare (date şi de legătură) şi se scriu ecuaţiile scalare de echilibru:

( )

( )( )

: 0: 0: 0

,

E E B

E E B

B E

B B E E

Ox N s T c TOy N c T s N GM G l c N r ctg

T N T N

α αα α

α αμ μ

⎧ ⋅ − ⋅ − =⎪

⋅ + ⋅ + − =⎪⎨

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =⎪⎪ ≤ ⋅ ≤ ⋅⎩

(1)

În continuare se rezolvă sistemul de ecuaţii scalare (1), determinând unghiul pentru echilibru α , conform paşilor prezentaţi mai jos. Din cea de-a treia ecuaţie rezultă:

ElN G sr

α= ⋅ ⋅ (2)

Înlocuind expresia (2) în cea de-a doua condiţie a sistemului (1) se obţine:

ElT G sr

μ α= ⋅ ⋅ ⋅ (3)

Relaţiile (2) şi (3) se introduc în primele două ecuaţii ale sistemului (1), rezultând:

GB

BN

BT

αα

r

Ox

y

EN

ETC

2 l⋅

Fig. 4.26



( ) ( );B Bl lT G s s c N G G s c sr r

α α μ α α α μ α= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ (4)

Utilizând condiţia B BT Nμ≤ ⋅ şi sistemul de ecuaţii (4), se obţine:

( ) ( )l lG s s c G G s c sr r

α α μ α μ α α μ α⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ≤ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

( )21rs

lμα

μ⋅

≤⋅ +

(5)

Expresia (5) reprezintă valoarea unghiului α pentru echilibru. Din cea de-a treia ecuaţie a sistemului (1) rezultă următoarea expresie:

( )2

0 0

1

E EN r N rc G l c G ls r

l

α αα μ

μ

⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅ − = ⇒ ⋅ ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ +⎣ ⎦

(6)

Rezolvând ecuaţia (6) se obţine: 02

c πα α= ⇒ = care reprezintă poziţia de

echilibru considerată ca limită superioară.

4.13.2. O placă omogenă de forma şi dimensiunile din figură şi de greutate P se află în poziţia de echilibru, fiind legată de un arc în punctul A si articulată în O . În această poziţie, dreapta OA este orizontală iar arcul AB este vertical, cu constanta de elasticitate k şi distanţa =AB h . Se cere să se determine lungimea arcului nedeformat necesară pentru ca placa să fie în echilibru în poziţia indicată şi forţa de legătură din articulaţia cilindrică O .

Rezolvare: Conform Fig. 4.27, se poate observa că forţa elastică din arc poate fi exprimată cu relaţia:

( )0eF k h h= ⋅ − (1)

unde h reprezintă lungimea arcului în poziţia de echilibru, iar 0h lungimea arcului nedeformat.

ha2 ⋅

A

B

h0

a3 ⋅

a2 ⋅

a

O

Fig. 4.27



Lungimea arcului (nedeformat) necesară pentru a menţine placa în poziţie de echilibru, se determină din ecuaţiile scalare de echilibru:

( )( )

0

0

00

5 0

O

O

C

HV G k h h

k h h a P x

=⎧⎪ − + ⋅ − =⎨⎪ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =⎩

(2)

Se observă că în sistemul (2) numărul necunoscutelor este mai mare decât cel al ecuaţiilor. Necunoscuta Cx (coordonata centrului maselor pentru placa din figură), se poate determina pe baza momentelor statice. Astfel, placa este împărţită în trei elemente: un triunghi dreptunghic (pentru care se cunosc dimensiunile

celor două catete - 3 a⋅ respectiv 2 a⋅ ) la care se adaugă un sector circular de rază 2 a⋅ (un sfert dintr-un cerc de rază 2 a⋅ ) iar din cele două se decupează un semicerc de rază a (vezi Fig. 4.28). Pentru fiecare element se determină poziţia centrului de masă şi aria corespunzătoare. Poziţia centrului maselor pentru întreaga placă se determină în final utilizând relaţia de mai jos:

1 2 31 2 3

1 2 3

C C CC

x A x A x Ax

A A A⋅ + ⋅ − ⋅

=+ −

(3)

În expresia (3), prezentată mai sus, 1 2,C Cx x respectiv 3Cx sunt coordonatele centrelor de

masă pentru cele trei elemente (triunghi, sector circular de rază 2 a⋅ şi semicercul de rază a ) iar 1 2,A A şi 3A reprezintă ariile acestora. Astfel, (3) devine:

( )

( ) ( )

22 22 83 3 3 3 52 93 3 2

6 3 6C

a aa a a a a ax

ππ πππ π

⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ + ⋅⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =+ ⋅ +

(4)

În continuare, considerând Cx cunoscut, se determină lungimea 0h a arcului nedeformat, utilizând ultima ecuaţie a sistemului (2), rezultatul fiind următorul:

( )0 055

CC

xk h h a P x h h Pa k

⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = − ⋅⋅ ⋅

(5)

Expresia (5) se înlocuieşte în cea de-a doua ecuaţie a sistemului (2), rezultând OV :

5C

OxV G P

a= − ⋅

⋅ (6)

Fig. 4.28

a2 ⋅

h

h0

A

a2 ⋅a3 ⋅

PCx

OH

OV

x

y

O



În concluzie, lungimea arcului nedeformat necesară menţinerii poziţiei de echilibru a sistemului mecanic prezentat în Fig. 4.27 este dată de relaţia (5), unde Cx a fost determinat anterior cu expresia (4). De asemenea, forţele de legătură din articulaţia cilindrică se determină astfel:

0 ;5

CO O

xH V G Pa

= = − ⋅⋅

(7)

unde OH şi OV reprezintă reacţiunea orizontală respectiv reacţiunea verticală din cupla cilindrică notată cu O .

4.13.3 Placa dreptunghiulară omogenă de greutate G , având laturile =AB a şi

=BC b este articulată în B şi simplu rezemată în A pe planul vertical neted EF . În punctul C este aplicată o forţă verticală P . Să se determine valoarea minimă a forţei P pentru care A se reazemă de perete. Pentru valori mai mari decât valoarea minimă a forţei P să se determine reacţiunile din reazeme. Rezolvare: În rezolvarea problemei se aplică metoda solidificării. Se eliberează articulaţia B de legături şi se înlocuieşte cu forţele de

legătură corespunzătoare şi anume: reacţiunea orizontală BH şi cea verticală BV . Forţele care acţionează asupra plăcii sunt prezentate în Fig. 4.29. Astfel, ecuaţiile de echilibru pentru placa dreptunghiulară se pot scrie:

00

0

B A

B

A B

H NV P GN a c G x P b cα α

− + =⎧⎪ − − =⎨⎪ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ =⎩

(1)

unde AN reprezintă reacţiunea normală manifestată din partea peretelui iar Bx braţul forţei

G in raport cu reazemul B. Acesta se determină (vezi Fig. 4.30) astfel: 1Bx x x= − (2)

Aplicând funcţia sinus în triunghiul BNM rezultă:2ax sα= ⋅

a

A C

F

E

B

D

GP

α b

Fig. 4.29



Aplicând funcţia cosinus în triunghiul dreptunghic CM M′ , se obţine în final: 1 2bx cα= ⋅ .

Înlocuind cele două expresiile pentru x şi 1x în (2) şi înlocuind rezultatul în cea de-a treia

ecuaţie a sistemului de ecuaţii (1), momentul rezultant in raport cu punctul B , devine:

( )1 02AN a c G a s b c P b cα α α α⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = (3)

Valoarea minimă a forţei P pentru care A se reazemă de perete se determină impunând condiţia ca reacţiunea normală în punctul de contact, AN să fie egală cu zero,

adică:

min 0AP N⇒ = (4)

Înlocuind 0AN = în ecuaţia de

momente (3) rezultă că valoarea minimă a forţei este:

( )

min

12

1 12

G a s b c P b c

aP G tgb

α α α

α

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(5)

Dacă minP P> , rezultă că reacţiunile din punctele A respectiv B se determină astfel:

12A

b bN P G tga a

α⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

(6)

B AH N= (7)

BV G P= + (8)

BV

BHα

B

CA

G P

α

ANb 2

x

y

a 2

x1

α

α

x

D Fig. 4.30


Capitolul 5 ― STATICA SISTEMELOR MATERIALE

Capitolul 5. Statica sistemelor materiale

5.1. Forţele de legătură interioare Se ia în studiu un sistem discret de n particule materiale iM , caracterizat

prin ( )Ti i i ir x y z= . Dacă sistemul este liber în spaţiu, va prezenta n⋅3 grade de libertate. În cazul în care asupra acestui sistem se impun np ⋅<3 restricţii, atunci

numărul gradelor de libertate al sistemului va fi pnk −⋅=3 . Se presupune ca asupra sistemului

acţionează un sistem de forţe active, un sistem al forţelor de legătură interioare, precum şi un sistem al forţelor de legătură exterioare. Din sistemul discret de n puncte materiale, se consideră mai întâi două puncte iM şi jM , (vezi Fig.5.1) cu precizarea că iM acţionează asupra lui jM cu o forţă ijF , iar punctul jM va reacţiona la rândul său cu o forţă jiF egală în modul şi de sens opus.

Conform principiului acţiunii şi reacţiunii, ecuaţiile scalare de echilibru se vor evidenţia prin următoarele relaţii:

( )0 , 0ij ji i ij j ji i j ij j i ijF F r F r F r r F M M F+ = × + × = − × = × = (5.1)

Ecuaţiile (5.1) reprezintă torsorul forţelor de legătură interioare în raport cu punctul O , care este echivalent mecanic cu zero.

Observaţie: Cele două forţe nu formează un sistem în echilibru, pentru că acţionează asupra a două puncte diferite.

Generalizând (5.1) pentru întregul sistem discret de particule materiale rezultă:

( )1 1 1 1

0, 0 ; 0n n n n

ij i ij ij iji j i j

F r F Fτ= = = =

⎧ ⎫= × = =⎨ ⎬

⎩ ⎭∑∑ ∑∑ (5.2)

Ecuaţiile (5.2) reprezintă torsorul forţelor de legătură interioare din întregul sistem de n puncte materiale, care deşi este echivalent cu zero, nu reprezintă o condiţie de echilibru a sistemului material, pentru că forţele de legătură interioare acţionează asupra diferitelor particule din sistemul de puncte luat în studiu.

iM

Fig.5.1

jM

ijF

jiF

jr

ir

O

z

x

y



Pentru a studia echilibrul, în Fig.5.2 se reprezintă un punct din cele n notat cu iM ,

1i n= → asupra căruia acţionează o forţă exterioară activă iF . Ca efect al interacţiunii mecanice cu celelalte ( )n 1− puncte din sistem, asupra lui iM acţionează o rezultanta a forţelor

de legătură interioară ∑=

n

jijF

1.Pentru ca sistemul

să rămână în echilibru, trebuie ca fiecare particulă iM aparţinând sistemului să fie în

echilibru. Astfel, ţinând seama de considerațiile din statica punctului material, precum şi de (5.1) sau (5.2), se poate scrie:

niFFn

jiji →==+ ∑

=1,0

1; (5.3)

011

=×+×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+× ∑∑

==

n

jijiii

n

jijii FrFrFFr . (5.4)

După cum se poate observa, ecuaţiile de moment (5.4) sunt o consecinţă a relaţiilor (5.3). Ca urmare, condiţia necesară şi suficientă pentru ca un sistem de n particule materiale să fie în echilibru, este ca rezultanta forţelor ce solicită fiecare punct material să fie egală cu zero (vezi (5.3)).Prin scalarizarea celor n ecuaţii vectoriale de forma (5.3), rezultă un sistem de n⋅3 ecuaţii scalare de echilibru, din care rezultă pe de o parte parametrii care exprimă poziţia de echilibru, iar pe de altă parte forţele de legătură. Altfel spus, se determină parametrii independenţi k şi p (necunoscutele forţelor de legătură), în aceste condiţii, problema devine static determinată.

5.2. Teorema solidificării. Teorema echilibrului părţilor În conformitate cu [R01], [V01], [V02], întregul sistem material luat în studiu

se consideră un solid rigid, acţionat atât de forţe exterioare active cât şi de forţe de legătură, pentru care se scriu ecuaţiile scalare de echilibru corespunzătoare, de tipul (5.3) şi (5.4), se însumează vectorial, după cum urmează:

∑ ∑∑= = =

=+n

i

n

i

n

jiji FF

1 1 10 (5.5)

∑ ∑∑= = =

=×+×n

i

n

i

n

jijiii FrFr

1 1 10 (5.6)

iM

z

y

x

ir

iF

∑=

n

jijF

1

Fig.5.2

O



Ţinând seama de § 1.5, relaţia (5.6), se mai poate scrie sub următoarea formă: ( ) ( ) 0=+ iji FF ττ (5.7)

Întrucât ( )ij ijF 0τ = torsorul forţelor exterioare ( )iFτ în raport cu polul O , conduce la condiţia de echilibru definită prin:

( ) 0=iFτ (5.8)

Relaţia (5.8) reprezintă condiţia vectorială necesară şi suficientă pentru ca un corp rigid să fie în echilibru, de aici rezultând teorema solidificării, conform căreia întregul sistem material (fie sistem de puncte, fie sistem de corpuri) se consideră ca fiind un singur rigid fără legături interioare, asupra căruia acţionează forţe active şi de legătură exterioare.

Pentru rezolvarea oricărui caz, se scriu ecuaţiile scalare, în mod asemănător tratării unui rigid. Se poate constata în anumite aplicaţii că numărul ecuaţiilor scalare de echilibru este mai mic decât numărul necunoscutelor. Astfel, această teoremă nu este întotdeauna suficientă pentru un număr de necunoscute mai mari decât numărul de ecuaţii, problema fiind nedeterminată. În asemenea situaţii, când sunt necesare ecuaţii suplimentare pentru a elimina nedeterminarea, se aplică teorema echilibrului părţilor. Conform acestei teoreme, din sistem se izolează fiecare corp asupra căruia se aplică atât forţe active, forţe de legătură exterioare cât şi forţe de legătură interioare, apoi se scriu ecuaţiile de echilibru pentru fiecare corp izolat.

Prin combinarea celor două teoreme, numărul total de ecuaţii devine cel puţin egal cu numărul de necunoscute al sistemului de ecuaţii. Observaţii: • Ecuaţia (5.8) este necesară, dar nu întotdeauna şi suficientă în cazul unui sistem material privit ca un rigid solicitat de forţe exterioare active şi de legătură; • Considerând un sistem format din ( )n corpuri rigide, dacă întregul sistem material este în echilibru sub acţiunea forţelor care îl solicită, rezultă că fiecare punct sau subsistem se va găsi în echilibru sub acţiunea forţelor active, de legătură exterioară şi interioară. Pentru rezolvarea aplicaţiilor care tratează statica sistemelor de corpuri, se recomandă parcurgerea următoarelor etape: • Aplicarea teoremei solidificării. • Dacă numărul necunoscutelor e mai mare decât numărul ecuaţiilor de echilibru, se aplică teoria echilibrului părţilor (sau metoda izolării corpurilor din sistem). Se scriu ecuaţiile scalare de echilibru pentru fiecare corp izolat. Prin combinarea ecuaţiilor de echilibru, problema devine static determinată.



5.3. Aplicații 5.3.1. Se consideră sistemul mecanic din figură. Distanţa d corespunde cazului în care resortul de constantă elastică ( )k este nedeformat. Să se determine poziţia de echilibru (dată prin unghiul α sau distanţa x ) şi forţele de legătură. Rezolvare: În rezolvarea problemei se aplică metoda separării corpurilor. Pentru început se consideră

bara OA , pentru care se rup legăturile din O şi B . Forţele de legătură şi forţele active care acţionează asupra barei sunt reprezentate în Fig. 1.2. Pe baza acestei figuri se pot scrie ecuaţiile scalare de echilibru şi ecuaţia de momente ce caracterizează bara OA , după cum se observă din sistemul prezentat mai jos:

0 (1)0 (2)

0 (3)

O B

O B

B

H N sV P N c

d xN P l cc

αα

αα

− ⋅ =⎧⎪ − + ⋅ =⎪⎨

+⎛ ⎞⎪ ⋅ − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

Tot din Fig. 1.2 se poate observa că ecuaţia (3) mai poate fi exprimată în forma:

0BhN P l c

sα

α⎛ ⎞⋅ − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(4)

De asemenea, d xctg

hα += de unde rezultă că: x h ctg dα= ⋅ − (5)

Se presupune că unghiul α este cunoscut, de unde rezultă condiţia (5). Se poate observa că sistemul de trei ecuaţii prezentat mai sus nu este suficient pentru a determina cele patru necunoscute şi anume: { }O O BH V N x, , , . Pentru a putea rezolva sistemul de ecuaţii este necesară determinarea a cel puţin unei ecuaţii. Astfel, se consideră cel de-al doilea corp (prisma) asupra căreia se aplică la fel ca şi în primul caz, metoda separării corpurilor. Se desfac toate legăturile, forţele care acţionează asupra prismei fiind reprezentate în Fig. 1.3. Pe baza acestei figuri se scriu ecuaţiile scalare de echilibru ce caracterizează corpul 2:

Fig. 1

A

P

G

C ( )k

( )μ

Bl2⋅

O

d x

h

α



B

B

N s T k xN c G N

T N

0 (6)0 (7)

(8)

αα

μ

⋅ − − ⋅ =⎧⎪− ⋅ − − =⎨⎪ = ⋅⎩

Din ecuaţia (7) se separă reacţiunea normală N (manifestată din partea planului orizontal asupra prismei), iar expresia rezultată se înlocuieşte în (8) obţinându-se:

BN N c Gα= ⋅ + (9)

( )BT N c Gμ α= ⋅ ⋅ + (10) Expresia (10) se înlocuieşte în relaţia (6) de unde rezultă reacţiunea BN , astfel:

( ) ( ) 0BN G ks c h ctg dμα μ α α− ⋅ − =− ⋅ ⋅ − De unde rezultă în final expresia reacţiunii normale din punctul B, astfel:

( )

( )BG k h ctg dN

s cμ α

α μ α⋅ − ⋅ ⋅ −

=− ⋅

(12)

Egalând expresia (12) cu (4), rezultă:

( )( )

G k h ctg d P l c shs c

μ αα α

α μ α⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

= ⋅ ⋅− ⋅

(13)

Valoarea unghiului α se obţine rezolvând ecuaţia trigonometrică (13). În continuare, considerând unghiul α cunoscut, se pot determina acum şi celelalte necunoscute, în acest scop utilizându-se sistemul ecuaţiilor scalare de echilibru ce caracterizează fiecare dintre

BNα

hP

α

l2⋅

A

B

Ox

y

OV OH( )d x+

Fig. 1.2

x

y

C

G

eF( )k α⋅

BNα

h

T N

x

Fig. 1.3



cele două corpuri. Astfel, reacţiunea normală BN se poate exprima cu relația (12), după cu este prezentat mai jos:

( )( )B

G k h ctg dNs c

μ αα μ α

⋅ − ⋅ ⋅ −=

− ⋅

Înlocuind (12) în prima şi a doua ecuaţie scalară de echilibru notate cu (1) respectiv (2), rezultă expresiile reacţiunii orizontale şi verticale din punctul O în forma de mai jos:

( )( )

( )( )

O B

O B

G G h ctg dH N sctg

G G h ctg dV P N c Pctg ctg

1

1

μ αα

μ α

μ αα

α μ α

⋅ + ⋅⎧ ⋅ −= ⋅ =⎪ − ⋅⎪

⎨⋅ + ⋅ ⋅ −⎪ = − ⋅ = −⎪ ⋅ − ⋅⎩

(14)

Reacţiunea normală N şi forţa de frecare T se determină din ecuaţiile (9) şi (10) în care se înlocuieşte BN cu expresia determinată la (12), rezultatul fiind următorul:

( ) ( )( )B

G G ctgh ctg d ctgN N c G Nctg ctg

11

αμ α μ αα

α μ α⋅ + ⋅ ⋅+ ⋅ − − ⋅

= ⋅ + ⇒ =⋅ − ⋅

(15)

( ) ( )( )

G G ctgh ctg d ctgT N

ctg ctg1

1αμ α μ α

μ μα μ α

⋅ + ⋅ ⋅⎛ ⎞+ ⋅ − − ⋅= ⋅ = ⋅⎜ ⎟⋅ − ⋅⎝ ⎠

(16)

5.3.2. Se consideră sistemul de corpuri din figură la care se cunosc greutăţile G şi Q , razele R şi r , lungimile 4OA l= ⋅ şi AB l= , unghiul α şi coeficienţii de frecare μ şi

s . Se neglijează greutatea barei OA şi frecarea din articulaţia O . Se cere să se determine: ecuaţiile scalare de echilibru ale sistemului de corpuri, valoarea greutăţii P necesară pentru a menţine sistemul de corpuri în stare de echilibru. Rezolvare: Determinarea ecuaţiilor scalare de echilibru pentru sistemul de corpuri (Fig.2.) Pentru determinarea ecuaţiilor scalare de echilibru pentru sistemul de corpuri format din troliul de greutate Q şi raze R respectiv r, discul de greutate G şi rază R şi bara AO încastrată la

( )s,μ

A

B

C

G

R

r

Q

R

Pα

Ol4 ⋅

l

Fig. 2



capătul A şi articulată în O se aplică metoda separării corpurilor. Pentru aceasta, se rup toate legăturile şi se analizează separat fiecare corp în parte (vezi Fig. 2.1 şi 2.2). Asupra primului corp (troliu) acţionează următoarele forţe: tensiunea din fir S , greutatea proprie Q şi forţa P .În articulaţia O după ruperea legăturii, vor acţiona reacţiunile verticală OV şi

orizontală OH . Conform Fig. 2.1, ecuaţiile scalare de echilibru pentru troliu sunt:

0; 0; 0O OH S c S s V Q P S R P rα α− ⋅ = − ⋅ + − − = ⋅ − ⋅ = (1) Se observă că sistemul (1) este un sistem de trei ecuaţii cu patru necunoscute: , ,O OH S V şi P , deci static nedeterminat. Pentru rezolvarea acestui sistem este necesar să mai găsim

cel puţin o relaţie de legătură intre necunoscute. Astfel se trece la cel de-al doilea corp, şi anume discul de rază R şi greutate G . Forţele care acţionează asupra discului: tensiunea din fir S , greutatea proprie G iar în punctul de contact B dintre disc şi bară (după ruperea legăturii) apare reacţiunea normală BN manifestată din partea barei, forţa de frecare BT şi momentul

rostogolitor rM . Se procedează similar ca şi în primul caz, ecuaţiile scalare de echilibru pentru acest corp,

conform Fig. 2.2, putând fi scrise în forma prezentată mai jos:

00

0;

B

B

r

B B r B

N G cS G s T

S R G R s MT N M s N

αα

αμ

− ⋅ =⎧⎪ − ⋅ − =⎪⎨− ⋅ + ⋅ ⋅ + =⎪

= ⋅ = ⋅⎪⎩

(2)

Din prima ecuaţie a sistemului (2) se determină reacţiunea normală BN :

BN G cα= ⋅ (3)

α

x

y

P

OV

OH

Q

SO

R

r

Fig. 2.1

BN

B

C

S

BT

G

R

rM

Fig. 2.2

x

y



Relaţia (3) se introduce în ultimele două condiţii ale sistemului (2) rezultând expresiile pentru forţa de frecare şi momentul rostogolitor ( ),B rT M astfel:

BT G cμ α= ⋅ ⋅ ; rM s G cα= ⋅ ⋅ . (4) Se înlocuieşte expresia (4) corespunzătoare forţei de frecare în cea de-a doua ecuaţie a sistemului (2) şi expresia pentru momentul rostogolitor rM în cea de-a treia ecuaţie a aceluiaşi sistem. În final rezultă un sistem de două ecuaţii în necunoscuta S :

S G s G cS R G R s s G c

00

α μ αα α

− ⋅ − ⋅ ⋅ =⎧⎨− ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎩

. (5)

Se împarte cea de-a doua ecuaţie a sistemului (5) cu ( )R− după care se adună la prima ecuaţie şi astfel rezultă expresia pentru tensiunea din fir S în funcţie de ,s μ :

12

sS G s cR

α μ α⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦. (6)

Pentru determinarea reacţiunii în plan vertical din articulaţia O , notată cu OV , se elimină P din cea de-a treia ecuaţie a sistemului (1) şi se înlocuieşte în cea de-a doua, rezultând următoarea expresie:

OR s RV S s Q G s c s Qr R r

12

α α μ α α⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (7)

Determinarea valorii minime a forţei P pentru care sistemul rămâne în echilibru: Forţa minimă pentru care sistemul rămâne în echilibru se obţine din condiţiile:

BT G cμ α≤ ⋅ ⋅ ; rM s G cα≤ ⋅ ⋅ . (8)

Din cea de-a doua ecuaţie a sistemului (2) se determină: BT S G sα= − ⋅ (9)

iar din ecuaţia 3 a aceluiaşi sistem se exprimă: rM S R G R sα= ⋅ − ⋅ ⋅ (10)

Se înlocuiesc BT şi rM din inecuaţiile (8) cu expresiile (9) respectiv (10) rezultând una dintre condiţiile ca sistemul să fie în echilibru şi anume:

12

sS G s cR

α μ α⎡ ⎤⎛ ⎞≤ ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (11)

Dar, din cea de-a treia ecuaţie a sistemului (1) rezultă că: rS PR

= ⋅ (12)

Înlocuind expresia (12) pentru tensiunea din fir S în condiţia (11), va rezulta expresia forţei minime P necesară pentru echilibrul sistemului. Condiţia este:

12

r sP G s cR R

α μ α⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ≤ ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ de unde rezultă că forţa minimă P este dată de:



12

G R sP s cr R

α μ α⋅ ⎡ ⎤⎛ ⎞≤ ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (13)

5.3.3. Se consideră sistemul mecanic din figură la care se cunosc greutăţile P , G , razele , ,a r R , lungimea 4HE l= ⋅ şi coeficientul de frecare la alunecare μ . Să se determine

ecuaţiile scalare de echilibru ale sistemului mecanic precum şi valoarea forţei Q necesară pentru a menţine sistemul în echilibru. Rezolvare: Analizând Fig. 3 se poate observa că sistemul mecanic prezentat este alcătuit din trei corpuri: troliul de greutate G , de raze R şi r , articulat în 1O , bara EH de lungime 4 l⋅ articulată în 2O şi care vine în contact cu troliul în punctul D (coeficientul de frecare la

alunecare dintre cele două suprafeţe fiind μ ) respectiv corpul BOA având forma prezentată în figura 3, articulat în punctul O şi legat printr-un fir de troliu. Ecuaţiile de echilibru pentru sistemul mecanic analizat se determină aplicând metoda separării corpurilor. Se rup legăturile şi se analizează fiecare corp în parte.

Se consideră mai întâi bara EH . Forţele care acţionează asupra barei după ruperea legăturilor sunt reprezentate în Fig. 3.1. Acestea sunt: Forţa Q care acţionează asupra capătului H al barei, reacţiunile orizontală 2OH

respectiv cea verticală 2OV care apar după ruperea legăturii din articulaţia 2O . În punctul de contact dintre bară şi troliu - D , apare reacţiunea normală DN manifestată

din partea troliului asupra barei, respectiv forţa de frecare DT care acţionează în sens invers tendinţei de mişcare a barei pe troliu.

( )μl

l

l2 ⋅

O2

O1

E

HQ

P

O

a

O3

A

B

Rr

G

Fig. 3



Ecuaţiile scalare de echilibru respectiv ecuaţia de momente pentru bara EH sunt:

2

2

00

2 0

O D

D O

D

D D

Q H N

T V

Q l N lT Nμ

+ + =⎧⎪

− =⎪⎨

⋅ ⋅ − ⋅ =⎪⎪ = ⋅⎩

(1)

Se observă că sistemul (1) este nedeterminat (3

ecuaţii şi 5 necunoscute). Pentru a determina necunoscutele din sistem se trece la analiza celui de-al doilea corp – troliul. În cazul troliului se procedează similar ca şi în cazul barei. Din figura 3.2 se pot observa forţele care acţionează asupra troliului şi anume: greutatea proprie G , reacţiunea normală DN

manifestată din partea barei şi forţa de frecare DT (opusă sensului de mişcare a discului). După ruperea legăturii în articulaţia 1O apar reacţiunile orizontală 1OH respectiv cea

verticală 1OV . În fir apare tensiunea S . Ecuaţiile de echilibru pentru corpul 2 (troliu) pot fi scrise sub forma de mai jos:

1

1

00

0

O D

O D

D

H N

V G S T

S r T R

− =⎧⎪

− − − =⎨⎪ ⋅ − ⋅ =⎩

(2)

Se observă că ecuaţiile sistemului (1) şi (2) nu sunt suficiente pentru a determina necunoscutele, de aceea se trece la cel de-al treilea corp. Din Fig. 3.3 se poate deduce că cel de-al treilea corp a fost obţinut decupând dintr-un pătrat de latură a un sector circular

având unghiul la centru de 2π

(un sfert dintr-

un cerc de rază a ). Pentru a putea scrie ecuaţiile scalare de echilibru corespunzătoare celui de-al treilea corp, este necesar să se determine poziţia centrului de masă C al acestuia (punctul de aplicaţie al forţei P ) . Coordonata Cx a centrului de

O1

OV 1

OH 1

DN

DT

D

G

x

y

S

R

r

Fig. 3.2

l

l

l2⋅

O2

OV 2

OH 2

DN

DTD

Q

x

y

Fig. 3.1



masă pentru corpul trei se obţine aplicând următoarea expresie: 1 21 2

1 2

C CC

x A x Ax

A A⋅ − ⋅

=−

(3)

unde 1 2,C Cx x reprezintă coordonata pe axa Ox a centrelor de masă pentru pătratul de latură a respectiv sectorul circular reprezentat în figură iar 1 2,A A ariile corespunzătoare celor două figuri (pătratul de latură a şi sectorul circular de rază a ). Pentru pătrat se cunoaşte faptul că centrul de masă se găseşte la intersecţia celor două diagonale, în cazul nostru coordonata centrului de

masă este: 1 2Cax = iar aria corespunzătoare acestei

figuri geometrice este dată de relaţia: 21A a= .

Pentru celălalt element (sectorul circular de rază a şi unghi

la centru 2π

) coordonata centrului de masă este 243C

ax aπ⋅

= −⋅

iar aria se calculează

astfel: 22 4

A aπ= ⋅ .

Se înlocuiesc expresiile pentru 11 2, ,C Cx x A şi 2A determinate anterior în relaţia (3) rezultând astfel poziţia centrului de greutate pentru placa reprezentată în Fig. 3.3:

( )( )

2 2

1 21 22

21 2

410 32 4 3 0,22

3 44

C CC

a aa a ax A x A ax a

A A aa

πππ

ππ

⋅⎛ ⎞⋅ − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⋅⎝ ⎠= = = = ⋅− ⋅ −⋅−

(4)

Cunoscând poziţia centrului de greutate determinată cu (4), se pot scrie ecuaţiile scalare de echilibru pentru placa reprezentată în Fig. 3.3 (vezi situaţiile anterioare):

00

0

O

O

C

HS P VS a P x

=⎧⎪ − + =⎨⎪ ⋅ − ⋅ =⎩

(5)

În continuare se determină necunoscutele din sistem. Se observă că tensiunea din fir S poate fi determinată din cea de-a treia ecuaţie a sistemului (5), astfel:

CxS Pa

= ⋅ (6)

a

O3

OV

OHx

y

S

PO

Cx

Fig. 3.3



Relaţia (6) se înlocuieşte în cea de-a doua ecuaţie a sistemului (5) rezultând:

1 CO

xV P S Pa

⎛ ⎞= − = ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

(7)

Din ultima ecuaţie a sistemului (2) se poate determina forţa de frecare DT , astfel:

CD

x rrT S PR a R

⋅= ⋅ = ⋅

⋅ (8)

Înlocuind relaţia (8) în cea de-a doua ecuaţie a sistemului (2) se obţine reacţiunea 1OV :

1 1CO D

x rV G S T G Pa R

⎛ ⎞= + + = + ⋅ ⋅+⎜ ⎟⎝ ⎠

(9)

Din cea de-a doua ecuaţie a sistemului (1) rezultă: 2D OT V= (10) În continuare se înlocuieşte expresia (8) în cea de-a patra ecuaţie a sistemului (1):

CDD

x rTN Pa Rμ μ⋅

= = ⋅⋅ ⋅

(11)

Din prima ecuaţie a sistemului (2), va rezulta că: 1O DH N= (12)

Din cea de-a treia ecuaţie a sistemului (1) se determină expresia forţei Q , astfel:

2 02 2

CDD

x rN PQ l N l Qa R μ⋅

⋅ ⋅ − ⋅ = ⇒ = = ⋅⋅ ⋅

(13)

De asemenea din prima ecuaţie a sistemului (1) se obţine valoarea reacţiunii orizontale

2OH în forma prezentată mai jos:

232

CO D

x r PH Q Na R μ⋅

= − − = − ⋅ ⋅⋅

(14)

Valoarea forţei Q pentru care sistemul de corpuri analizat rămâne în echilibru: Forţa Q pentru care sistemul rămâne în echilibru se obţine impunând condiţia:

D DT Nμ≤ ⋅ (15)

De unde rezultă că: 2

Cx r PQa R μ⋅

= ⋅⋅ ⋅

(16)

5.3.4. Sistemul de bare din figură, situat în plan vertical este format din 2 bare omogene

2OA l= ⋅ şi DE l= de greutăţi 2 G⋅ respectiv G . Bara OA este articulată în punctul O iar la capătul A acţionează forţa orizontală P . Bara DE este articulată în ( )E OE EA= de bara OA , iar în D de o culisă cu greutatea Q , care se poate deplasa

fără frecare pe o tijă aşezată pe verticala articulaţiei O . De culisă mai este legat un arc elastic cu constanta k , care este nedeformat în poziţia sistemului cu α = 0 . Ştiind că forţa



din arc este proporțională cu deformaţia arcului ( )= ⋅F k y , se cere să se determine ecuaţia pentru calculului unghiului α , care corespunde poziţiei de echilibru a sistemului mecanic din figura alăturată precum şi forţele de legătură în poziţia de echilibru presupunând că unghiul α este cunoscut. Rezolvare: Din Fig. 4 se poate observa că în situaţia în care arcul este nedeformat mai precis în situaţia în care unghiul 0α = ,

0 2D O l= ⋅ . Prin acţiunea forţei P asupra barei OA , arcul va fi deformat iar între axa verticală şi bară apare un unghi α . Astfel, deformaţia arcului, notată cu y este:

( )2 2 2 1y l l c l cα α= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − (1) Cunoscând faptul că forţa din arc este proporţională cu deformaţia arcului ( )= ⋅F k y , pe baza relaţiei (1) va rezulta că forţa elastică poate fi scrisă:

( )2 1eF k y k l cα= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − (2)

Pe baza Fig. 4.1 unde sunt reprezentate forţele care acţionează asupra sistemului mecanic, se pot scrie ecuaţiile scalare de echilibru, astfel:

( )0

2 3 012 2 0

2

O D

O

D

H P NV Q k l Gc

lP l c G l s G s N l c

α

α α α α

+ − =⎧⎪ − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ =−⎨⎪− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎩

(3)

P

E

G2⋅

G

O

D

D0

α

lQ

DN eF

OHOV

x

y

Fig. 4.1

EG

D

l

DN

eF

α

x

y

EHEV

DH

DV

D

α

EG EH

EV

Fig. 4.2

P

E

l

G2⋅

Q

G

O

( )kD

D0

α

Fig. 4



unde OH respectiv OV reprezintă reacţiunea în plan orizontal respectiv reacţiunea în plan vertical cu care se înlocuieşte legătura din O iar DN reacţiunea normală din D . Se aplică axioma legăturilor, sistemul ecuaţiilor de echilibru pentru bara DE , conform Fig. 4.2.a , fiind următorul:

( )( )

02 1 0

2 012

E D

E

D

H NV G k l c

lG s k l l s N l cc

α

α α αα

− =⎧⎪⎪ − + ⋅ ⋅ ⋅ − =⎨⎪ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =−⎪⎩

(4)

unde EH respectiv EV reprezintă reacţiunea în plan orizontal respectiv reacţiunea în plan vertical cu care se înlocuieşte legătura din E iar DN reacţiunea normală din D . Se mai aplică încă o dată axioma legăturilor , suprimând de aceasta dată legătura din cupla D şi înlocuind-o cu forţele de legătură corespunzătoare, DH respectiv DV . Astfel, conform Fig. 4.2.a, sistemul ecuaţiilor de echilibru va fi următorul:

0, 0E D E DH H V G N− = − − = (4*) Din cea de-a treia ecuaţie a sistemului (4) se explicitează DN , rezultând expresia:

( )α α αα⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅−22 12 DlG s k l s N l cc (5)

Similar, utilizând cea de-a treia ecuaţie a sistemului (3) se determină α⋅ ⋅DN l c , astfel:

α α α α⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅2 22 DlP l c G l s G s N l c (6)

Se egalează expresiile (5) şi (6), în final rezultând o ecuaţie care prin rezolvare conduce la determinarea unghiului α necesar pentru echilibrul sistemului:

( )α α α α⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =− ⋅ 0P c s k l s cG k l (7)

Aplicând o serie de transformări trigonometrice asupra expresiei (7), va rezulta în final:

( ) ααα

⋅ + ⋅ ⋅ = −− ⋅+ 21tgtg k l PG k l

tg; ( ) ( )[ ] ααα ⋅ = ⋅ ⋅− ⋅+ ⋅ −21 k l tgP tgtg k l G

( ) ( ) ( ) αα α α⋅ = ⋅ ⋅⎡ ⎤+ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⋅ − ⋅ −⎣ ⎦2 2 222 2 21 2 k l tgtg P tg P tgk l G k l G (8)

Expresia (8), obţinută anterior reprezintă o ecuaţie trigonometrică cu necunoscuta αtg care prin rezolvare va conduce în final la determinarea unghiului de echilibru α . În continuare, considerând unghiul α cunoscut, forţele de legătură se determină astfel: Pentru început se poate observa că reacţiunea normală din punctul D poate fi determinată cu relaţia (5) care prin transformări va conduce la:



( ) αα⎡ ⎤= ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

2 12DGN tgk l c (9)

Înlocuind expresia (9) în prima ecuaţie a sistemului (4), va rezulta valoarea reacţiunii orizontale din punctul E , în forma prezentată mai jos:

( ) αα⎡ ⎤= = ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

2 12E DGH N tgk l c (10)

Din cea de-a doua ecuaţie a aceluiaşi sistem (4) se determină reacţiunea verticală EV :

( )α= − ⋅ ⋅ ⋅ −2 1EV G k l c (11)

Valoarea reacţiunii orizontale din punctul D , notată cu DH se determină din prima ecuaţie a sistemului (4*), de unde după efectuarea înlocuirilor necesare, rezultă:

( ) αα⎡ ⎤= = = ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

2 12D E DGH H N tgk l c (12)

Reacţiunea orizontală şi verticală din punctul O se determină din prima şi din cea de-a doua ecuaţie a sistemului (3), astfel: reacţiunea orizontală OH se obţine înlocuind expresia (9) în prima ecuaţie a sistemului menţionat iar reacţiunea verticală OV rezultă din cea de-a doua ecuaţie a aceluiaşi sistem, după cum se poate observa din ecuaţiile prezentate mai jos.

( )

( )

αα

α

⎧ ⎡ ⎤= − = ⋅ −+ ⋅ ⋅ ⋅ −⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎨⎪ = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅−⎩

2 122 31

O D

O

GH N P tg Pk l c

V Q k l Gc (13)

5.3.5. Se consideră sistemul de corpuri din figură la care se cunosc greutăţile G şi Q ,

razele 1R şi 2R , distanţele a şi b , coeficientul de frecare de alunecare μ dintre sabot şi

disc, precum şi unghiul α . Să se determine ecuaţiile de echilibru ale sistemului mecanic din figură precum şi forţa minimă P necesară pentru a menţine sistemul în echilibru. Rezolvare: În rezolvarea problemei se va aplica metoda separării corpurilor. Se rup legăturile dintre cele trei corpuri şi se înlocuiesc cu forţele de legătură. Forţele active şi de legătură care acţionează asupra fiecărui corp sunt reprezentate în figurile 5.1, 5.2, 5.3 şi 5.4. Pe baza acestor figuri se pot scrie ecuaţiile scalare de echilibru ale sistemului mecanic.



Ecuaţiile scalare de echilibru pentru primul corp (sabotul), (vezi Fig. 5.1), sunt:

( )

00

0A B

A B

P NN N T

N N ba bT Nμ

− =⎧⎪ − + =⎪⎨− ⋅ + ⋅ =+⎪⎪ = ⋅⎩

(1)

Ecuaţiile scalare de echilibru pentru al doilea corp (discul) conform Fig. 5.2, sunt:

1 2

00

0

O

O

H S c NV S s T GT R S R

αα

+ ⋅ + =⎧⎪ + ⋅ − − =⎨⎪ ⋅ − ⋅ =⎩

(2)

P

a b

A B

O1

O2

2R1R

2R

G

Q

2Q

G2⋅

a2 ⋅

C

α

Fig. 5

P

A B

AN

TBN

N x

y

Fig. 5.1

Q

T

N x

y

G

R1R2

OH

OV

O

S

α

Fig. 5.2



Ecuaţiile scalare de echilibru pentru cel de-al treilea corp (scripete), Fig. 5.3, sunt:

( )

O

O

H S c

V Q S s

RQ S

2

2

22

03 02

0

α

α

− ⋅ =⎧⎪⎪

− ⋅ − ⋅ =⎨⎪

⋅ =−⎪⎩

(3)

Ecuaţiile scalare de echilibru pentru cel de-al patrulea corp (bara), Fig. 5.4, sunt:

C O

C O

O O

H HV G V

G a V a M

02 0

2 2 0

− =⎧⎪ − ⋅ − =⎨⎪ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − =⎩

(4)

În continuare se determină necunoscutele (forţele de legătură). Astfel, din cea de-a treia

ecuaţie a sistemului (3) rezultă că tensiunea din fir, notată cu S : S Q= (5) Cunoscând tensiunea din fir S tot din sistemul (3), utilizând prima şi a doua ecuaţie se determină OH şi OV , astfel:

23 32 2OV Q Q s Q sα α⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ = ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5)

2OH S c Q cα α= ⋅ = ⋅ (6) Forţa de frecare care apare la contactul dintre tambur şi disc (fig. 5.2) se determină astfel:

21 2

10; RT R S R T Q

R⋅ − ⋅ = = ⋅ (7)

Din cea de-a patra ecuaţie a sistemului (1) se determină expresia: 2

1; RT QT N N

Rμ

μ μ= ⋅ = = ⋅ (8)

OV 2

OH 2

Q

x

y

Q12⋅

S

R2

Fig. 5.3

x

y

G2⋅

OH

OV

CH

CV

a2⋅Fig. 5.4



Reacţiunile orizontală şi verticală OH respectiv OV (vezi fig. 5.2) rezultă înlocuind expresiile (5), (7) respectiv (8) în primele două ecuaţii ale sistemului (2), astfel:

( ) αα α μ

αα α

⎧ ⎛ ⎞++ ⋅ + = ⇒ = − = − ⋅⋅ +⎪ ⎜ ⎟⋅⎪ ⎝ ⎠⎨ ⎛ ⎞⎪ −+ ⋅ − − = ⇒ = + − ⋅ = + ⋅⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

2

1

2

1

0

0

O O

O O

R cH S c N H QS c N RR sV S s T G V T G S s G QR

(9)

Din primele două ecuaţii ale sistemului (4) se obţin CH şi CV şi din cea de-a treia OM :

1 2

2 1

2

1

; 3

22 2 2

C O C

O O

R Rc sH H Q V G QR R

RG Q sM G a V a aR

α αμ

α

⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −= = − ⋅ = ⋅ + ⋅⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎡ ⎤⎪ ⋅ + ⋅ −= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

(10)

Reacţiunile normale AN respectiv BN se obţin din sistemul (1), astfel: în a doua ecuaţie a sistemului se înlocuieşte forţa de frecare T cu expresia (7), rezultând un sistem de două ecuaţii în necunoscutele AN şi BN care prin rezolvare conduce la:

( )( )

22

11

2

10

AB A

BB A

R bN QRN N Q R aR R a bN QN b N a b R a

⋅⎧ = ⋅⎧ ⎪− = ⋅ ⋅⎪ ⎪⇒⎨ ⎨ ⋅ +⎪ ⎪ = ⋅⋅ − ⋅ =+⎩ ⋅⎪⎩

(11)

Din prima ecuaţie a sistemului (1) se observă că forţa minimă necesară pentru ca sistemul să rămână în echilibru este:

1

2

RP N QRμ

= = ⋅⋅

(12)

5.3.6. Bara omogenă AB de greutate neglijabilă şi lungime l , înclinată cu unghiul α faţă de verticală, este articulată în punctul A şi susţine în planul său vertical discul de rază r şi greutate Q rezemat şi pe peretele vertical. Întreg sistemul este în echilibru prin aplicarea în punctul B a forţei orizontale T care acţionează în planul vertical al barei. Să se determine ecuaţiile scalare de echilibru, precum şi valoarea unghiului α pentru care forţa care acţionează asupra barei este minimă.

Fig. 8

AV

AH

l

A

Q

Ay

Ax

D

EN

E

T

r



Rezolvare: Pe baza Fig.8 şi Fig.8.1 se scriu ecuaţiile scalare de echilibru în forma de mai jos:

00

02

A E

A

E

H N TV Q

T l c Q r N r ctgαα

+ − =⎧⎪⎪ − =⎨⎪ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ =⎪⎩

(1)

0

0E D

ED

N N cN Q ctg

N s Qα

αα

− ⋅ =⎧⇒ = ⋅⎨ ⋅ − =⎩

(2)

Ecuaţia de momente este următoarea:

02

T l c Q r Q r ctg ctgαα α⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

de unde: 1

2ctg ctgrT Q

l c

αα

α

⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟= ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3)

Condiţia ca forţa T să fie minimă este:

12 0

ctg ctgd

c

αα

α

⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟

⎝ ⎠

ccctg ctgs c s

21 1 .2 2

2 2 2

αα αα α α α+ ⋅ = + ⋅

⋅ (4)

2 21 2 2 12 2

c s s cα αα α= − ⋅ ⇒ ⋅ = − (5)

Astfel, din expresiile (4), respectiv (5) se obţine: 11

2 1ctg ctg

cαα

α+ ⋅ =

−

( )1 0

1d

c cα α⎛ ⎞ =⎜ ⎟−⎝ ⎠

⇒ ( )2 0d c cα α− − = (6)

2 0s c sα α α− ⋅ ⋅ = ; ( )1 2 0s cα α⋅ − ⋅ = ⇒ 0 ; 0sα α= = ; De unde rezultă în final că valoarea unghiului α pentru care T Tmin= este:

1 2 0 ; 60cα α− ⋅ = = (7)

Cy

CxCr

EN

DNQ

α

Fig. 8.1



5.3.7. Se consideră sistemul de corpuri din figura alăturată. Acesta este constituit din bara OA , de greutate G şi lungime 4 l⋅ , încastrată plan în punctul O şi articulată cilindric în punctul A , bara AB legată de bara OA prin intermediul articulaţiei cilindrice A, de greutate 34

G⋅ şi lungime 3 l⋅ , simplu rezemată în punctul C de un disc de greutate Q şi rază R .

Discul se găseşte pe o suprafaţa de rulare fixă, contactul dintre cele două suprafeţe realizându-se cu frecare (de alunecare şi rostogolire). Asupra barei OA acţionează o forţă P orientată sub unghiul β faţă de orizontală. Se cere să se determine valorile reacţiunilor din legăturile ,E C , articulaţia A şi încastrarea O în ipoteza în care se consideră că nu există frecare în cupla cilindrică ( 0 0μ = ) precum şi valorile coeficienţilor de frecare de alunecare μ şi de rostogolire s . De asemenea, se cere să se determine valoarea coeficientului de frecare μ0 din articulaţia A astfel încât bara AB să rămână în echilibru în poziţia din figură, în situaţia în care se îndepărtează discul. Rezolvare: Conform axiomei legăturilor, se suprimă pe rând legăturile dintre cele trei corpuri şi se înlocuiesc cu forţele de legătură corespunzătoare. Pentru fiecare dintre cele trei corpuri prezentate în Fig. 9, se scriu ecuaţiile scalare de echilibru (vezi Fig. 9.1, 9.2, 9.3 în care sunt reprezentate forţele active şi de legătură care acţionează asupra fiecărui corp în parte). Pentru primul corp – bara OA de greutate G şi lungime 4 l⋅ - încastrată la capătul O şi prevăzută cu o articulaţie cilindrică la celălalt capăt (vezi Fig. 9.1 ), sistemul ecuaţiilor scalare de echilibru este:

P

C

A

G

α

Oβ

l2 ⋅

l

( )0μ

( )r0

( )s,μE

Q

RG3

4⋅

l2 ⋅llD

B

P

Fig. 9



00

2 3 4 0

O A

O A

O A fA

H P c HV G P s V

M l G l P s l V M

ββ

β

− ⋅ + =⎧⎪ − − ⋅ + =⎨⎪− + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + =⎩

(1)

OM reprezintă momentul în raport cu punctul O iar fAM reprezintă momentul frecării de

rostogolire din cupla cilindrică A , care poate fi determinat astfel:

2 20 0f A AAM r H Vμ= ⋅ ⋅ + (2)

( ),O OH V reprezintă reacţiunea orizontală respectiv cea verticală care apar în încastrarea O ca urmare a ruperii legăturii dintre perete şi bara OA ; ( ),A AH V reprezintă reacţiunea orizontală respectiv cea verticală care apar în punctul A ca urmare a desfacerii legăturii din articulaţia cilindrică. Pentru cel de-al doilea corp – bara

AB , de greutate 34

G⋅ şi lungime 3 l⋅ -

legată de bara OA prin intermediul articulaţiei cilindrice A (Fig. 9.2 ) şi liberă la

celălalt capăt, sistemul ecuaţiilor scalare de echilibru – în condiţiile în care bara vine în contact cu discul de greutate Q şi rază R (cel de-al treilea corp) – poate fi scris astfel:

2 20 0

03 04

3 32 02 4

A C

A C

C A A

H N s

V G N c

l N l G r H V

α

α

μ

− − ⋅ =⎧⎪⎪− − ⋅ + ⋅ =⎨⎪− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + =⎪⎩

(3)

AH O

OMOH

OV

l2⋅ll

β

PAV

fAM

A

GFig. 9.1

A

AH

AV

fAMx

y

l2⋅

l G34⋅

CNα

BFig. 9.2



unde CN reprezintă reacţiunea normală manifestată din partea discului asupra barei In cazul celui de-al treilea corp – discul de greutate Q şi rază R - ecuaţiile scalare de echilibru pot fi scrise (conform Fig. 9.3) astfel:

0

00

C E

C E

C r

N s TN c Q NN R s M

ααα

⋅ − =⎧⎪− ⋅ − + =⎨⎪− ⋅ ⋅ + =⎩

(4)

;E E r ET N M s Nμ= ⋅ = ⋅ (5) unde EN reprezintă reacţiunea normală exercitată din partea planului orizontal asupra discului, ET forţa de frecare la alunecare care apare la contactul dintre disc şi planul orizontal iar rM momentul frecării de rostogolire (vezi Fig. 9.3). a). Determinarea reacţiunilor din legăturile

, ,E C A şi încastrarea O în ipoteza 0 0μ = Impunând 0 0μ = în cea de-a treia ecuaţie a sistemului (3), se obţine:

3 3 92 02 4 16C Cl N l G N G− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅ (6)

Înlocuind expresia (6) în prima ecuaţie a sistemului (2), va rezulta: 9

16A C AH N s H G sα α= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ (7)

Similar, înlocuind expresia (6) în cea de-a doua ecuaţie a sistemului (3) se obţine:

( )3 9 3 3 3 44 16 4 16A C A A

GV N c G V G c G V cα α α⋅= ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ − (8)

Din ultima ecuaţie a sistemului (3), prin înlocuirea expresiei (6) se poate determina: 9

16r C rM N R s M G R sα α= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ (9)

Înlocuind (6) în cea de-a doua ecuaţie a sistemului (3) rezultă reacţiunea normală EN :

EN G c Q916

α= ⋅ ⋅ + (10)

Valoarea forţei de frecare ET care apare la contactul dintre disc şi suprafaţa de rulare: 9

16E C ET N s T G sα α= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ (11)

CN

x

y

EN

ET

E

rM

R

Q

Fig. 9.3



Reacţiunea în plan orizontal care apare după înlăturarea legăturii din O - OH , se obţine din

prima ecuaţie a sistemului (1), astfel:

916O A OH P c H H P c G sβ β α= ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ (12)

Reacţiunea în plan vertical OV rezultă din cea de-a doua ecuaţie a sistemului (1) prin

înlocuirea expresiei (8) ce caracterizează reacțiunea în plan vertical care apare în punctul A

după înlăturarea legăturii:

( )28 916O A OGV G P s V V P s sβ β α= + ⋅ − ⇒ = ⋅ + ⋅ − ⋅ (13)

Deoarece 0 0μ = va rezulta în mod evident că f A AAM r H V2 20 0 0μ= ⋅ ⋅ + = , unde fAM

reprezintă momentul frecării din cupla cilindrică A .

Momentul OM se determină din cea de-a treia ecuaţie a sistemului (1) astfel:

( )2 3 4O AM l G P s Vβ= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ (14)

Înlocuind expresia (8) în relaţia anterioară (14) va rezulta:

93 54OM l P s G sβ α⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(15)

b). Determinarea coeficienţilor de frecare la alunecare ( )μ şi la rostogolire ( )s

Cei doi coeficienţi de frecare se pot determina din condiţiile (4) conform relaţiilor:

916

9 16116 9

E

E

G sT tgQN G c Q

G s

α αμ μα

α

⋅ ⋅= ⇒ = =

⋅⎛ ⎞⋅ ⋅ + +⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

(16)



916

9 16 161 116 9 9

r

E

G R sM R tgs sQ QN G c

G c G c

α α

αα α

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = =

⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(17)

Se poate observa că între coeficientul de frecare la alunecare ( )μ şi coeficientul de

frecare la rostogolire ( )s se stabileşte următoarea relaţie de legătură:

s Rμ= ⋅ (18)

c). Valoarea coeficientului de frecare μ0 din articulaţia A astfel încât bara AB să rămână

în echilibru în poziţia din figură, în situaţia în care se îndepărtează discul.

Condiţia care se impune în acest caz este următoarea: CN 0= (vezi Fig. 9.3).

Impunând această condiţie în prima ecuaţie a sistemului (2) va rezulta AH 0= . Similar, din

cea de-a doua ecuaţie a aceluiaşi sistem se obţine: 34AV G= − ⋅ .

Înlocuind cele două expresii obţinute pentru reacţiunile AH şi AV după impunerea condiţiei

CN 0= (ceea ce înseamnă că nu mai există contact între bară şi disc), în cea de-a treia ecuaţie

a sistemului (2) va rezulta valoarea coeficientului de frecare 0μ :

0 0 00

9 3 38 4 2

ll G r Gr

μ μ ⋅⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

(19)



5.3.8. Se consideră sistemul mecanic din figura alăturată format din bara AB de greutate neglijabilă, prevăzută cu un sabot de frână şi roliul de greutate G , articulat cilindric în punctul O . Asupra barei AB acţionează o forţa verticală P iar asupra troliului acţionează prin intermediul unui fir trecut peste un scripete mic, greutatea Q . Coeficientul de frecare la alunecare dintre sabot şi troliu este μ . Să se determine valoarea minimă a forţei P necesară pentru echilibrul sistemului precum şi reacţiunile din punctele O şi A .

Rezolvare: Conform Fig. 10.1, sistemul ecuaţiilor de echilibru pentru sistemul bară – sabot este:

( )

0

0

0

A C

A C

C C

H T

V N P

P a b N a T e

− =⎧⎪

+ − =⎨⎪⋅ + − ⋅ − ⋅ =⎩

(1)

La care se mai adaugă condiţia ca sistemul sa fie în echilibru:

( ) ( )C C

C

T NP a b N a e 0

μ

μ

= ⋅⎧⎪⎨⋅ + − ⋅ + ⋅ =⎪⎩

(2)

Ecuaţiile de echilibru pentru disc se scriu sub forma prezentată mai jos (Fig. 10.2):

0

0

0

0

2 0

C

C

C

H T Q

V N G

Q R T R

+ + =⎧⎪

− − =⎨⎪

⋅ − ⋅ ⋅ =⎩

(3)

Astfel, rezultă condiţia:

( )1

2Q aP e

a b μ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

(4)

Din cea de-a treia ecuaţie a sistemului (3) se poate observa că CQT2

= care prin înlocuire

în prima ecuaţie a sistemului (3) va conduce la determinarea reacţiunii OH :

H Q032

= − (5)

a b

Ce

P

B

RR2

O

Q

A

Fig. 10

a bP

B Ae

CN

CTAH

AV

x

y

Fig. 10.1



Din cea de-a doua ecuaţie a sistemului (2) se poate determina reacţiunea normală din punctul C în forma prezentată în continuare:

CQN

2 μ=

⋅. (6)

Relaţia (6) se înlocuieşte în prima condiţie a sistemului (2) rezultând valoarea forţei de frecare din punctul C şi anume:

C CQT N2

μ= ⋅ = (7)

Reacţiunile din cupla A vor rezulta în forma prezentată mai jos:

( )A A CbQ QeV H T

a b;

2 2μ⎡ ⎤−= ⋅ = =⎢ ⎥⋅ + ⎣ ⎦

(8)

Reacţiunile din cupla O se vor obţine în conformitate cu expresiile:

O O CQ QV G H T Q; 3

2 2μ= + = − = − ⋅

⋅ (8)

5.3.9 Se consideră sistemul mecanic din figură format din: cama (1), compus dintr-un dreptunghi cu laturile 4r și 2r și un semicerc de raza r, de greutate 5G ,și din placa semicirculară (2), de rază R și de greutate Q. Cama este articulat cilindric în centrul semicercului și se reazemă fără frecare pe placa (2), placa semicirculară se deplasează pe planul orizontal OOx cu frecare, în centrul de masă al plăcii este legat un resort. Distanţa d corespunde cazului în care resortul de constantă elastică ( )k este nedeformat. Să se determine:

1. legătura între unghiul α și distanța x; 2. centrele de masă ale corpurilor (1) și (2); 3. unghiul α pentru care sistemul este în echilibru; 4. forțele de legătură și distanța 1x dintre centrul plăcii (2) și suportul forței normale (dintre placa și planul orizontal), pentru care momentul în centrul plăcii este 0.

Ox

1C

r

d

α

5G

Q

x

R 2C

4r

( )1

( )2

( )μ

( )k

O

Oy



Din triunghiul 1OO B rezultă: 1 sinr ROO

α+

=

1OO d x R= + + sinr Rx d R

α+

= − −

2.

1 1

1

1 2

1 2

C CC

x A x Ax

A A′ ′′⋅ + ⋅

=+

;

12Cx r′ = ⋅ ; 2

1 8A r= ⋅ ;

1C

x dAx

dA′′

⋅= ∫∫

; cos

dA R dR dx R

θθ

= ⋅ ⋅⎧⎨ = ⋅⎩

;

1y

θd 2π

R

1x1′′C

θ

dR

1′′Cx

32π⋅

α5G

A1C

4r

r

1x

O

1y

1′C

1′′C

ANV

H

d x

B

α

1OO

R

r



( )1

32

23

02

3 22

02

cos2

3

2

r

Cr

R dR d r

xr

RdR d

π

π

π

π

θ θ

πθ

′′−

⋅ ⋅

= =⋅ −

⋅

∫ ∫

∫ ∫

; 1

43C

rxπ′′ = − ;

2

2 2rA π ⋅

= ;

1

33

22

216 92348 38

2

C

rr rxrr π π

⋅ − ⋅= =

⋅ +⋅ +; (0,5p)

2

43C

Ryπ

=

3. Ecuații de echilibru:

( )1

cos sin 5 sin 0sin cos 5 cos 05 cos ctg 0

A

C A

H V GH V G Nx G r R N

α α αα α α

α α

⎧ ⋅ + ⋅ − ⋅ =⎪− ⋅ + ⋅ − ⋅ + =⎨⎪− ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =⎩

;

( ) ( )

( ) ( )

1

2 2

5sin ; 5 tg ;

5 sin 5 cos 0 5 ;

CA

A A

x GN H G V

r R

G V V G N V G N

α α

α α

⋅= ⋅ = − ⋅

+

− − ⋅ + − ⋅ + = ⇒ = −

2 1

sin 0cos 0

0

A e

A

C e

N F TN Q N

y F x NT N

αα

μ

⋅ − − =⎧⎪− ⋅ − + =⎪⎨ ⋅ − ⋅ =⎪⎪ = ⋅⎩

; cosAN N Qα= ⋅ + ; ( )cosAT N Qμ α= ⋅ ⋅ + ;

( )

( )

sin cos 0

1sin cos sin

A A

A

N k x N Q

r RN Q k d R

α μ α

μα μ α α

⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ + = ⇒

⎡ + ⎤⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ − −⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎣ ⎦

;

Q

2C

2y

N

2x

A

α

1x

eFAN

T



( ) ( )1

5 1sinsin cos sin

Cx G r RQ k d Rr R

α μα μ α α

⋅ ⎡ + ⎤⎛ ⎞⋅ = ⋅ + ⋅ − −⎜ ⎟⎢ ⎥+ − ⎝ ⎠⎣ ⎦;

4.

( )1

5sinC

A

x GN

r Rα

⋅= ⋅

+;

( )15 1 sinCx

V Gr R

α⎛ ⎞

= ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠;

( )1

25 sincos

CG xH

r Rαα

⋅= ⋅

+;

( )1

5sin cosCx G

N Qr R

α α⋅

= ⋅ ⋅ ++

; ( )

15

sin cosCx GT Q

r Rμ α α

⋅⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

;

( )2

1

1sin

5sin cos

CC

r Rk d Rx y x G

Qr R

α

α α

+⎛ ⎞⋅ − −⎜ ⎟⎝ ⎠= ⋅

⋅⋅ ⋅ +

+

;

5.3.12 Sistemul de corpuri din figură, situat în plan vertical este format din corpul (1), compus dintr-un con circular de înălțimea 4R și dintr-un semisferă de raza R, și din bara AB de lungimea 4R de greutăţi 3G respectiv G . Corpul compus este articulată în punctul O iar la capătul A este articulată de bara AB , iar în B de o culisă cu greutatea Q , care se poate deplasa cu frecare pe o tijă aşezată pe verticala articulaţiei O . De culisă mai este legat un arc elastic cu constanta k , care este nedeformat în poziţia sistemului cu

0α α= . Ştiind că forţa din arc este proporțională cu deformaţia arcului ( )= ⋅F k y , se cere să se determine:

1. centrul de greutate pentru corpul (1); 2. unghiul α pentru care sistemul este

în echilibru; 3. forțele de legătură din punctele O, A și

B.

O

0α

αC

h0

3GR

G

Q

D

D0

B4R

4R

( )k

h

( )μ

( )1

( )2

( )3

1y

1z

A



1. 2dV r dzπ= ⋅ ⋅ ;

Ţinând seama de teorema asemănării, rezultă: 4

4r R zR R

−= , din care se deduce

că: ( )1 44

r R z= ⋅ − .

( )21 416

dV R z dzπ= ⋅ ⋅ − ⋅ ;

( )

( )

42

404 31

2

0

416 4 3

3 44

16

R

C R

R z z dzz dV Rz R

RdVR z dz

ππ

ππ

⋅ − ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= = = ⋅ =⋅ ⋅

⋅ − ⋅

∫∫∫ ∫

; 3

14

3RV π⋅ ⋅

= ;

2dV r dzπ= ⋅ ⋅ ; 3 2

4 34

3 2 323 3

cos sin3 3

4 82cos

C

R dz dV R RzRdV

R d

π

ππ

π

π θ θ θπ

ππ θ θ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= = = − ⋅ = −⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

∫∫∫ ∫

;

3

22

3RV π⋅ ⋅

= ;

r

1yCO

R

1z

1x

4R

z

dz

1C

2C



4 4

1 21 1 23 3

1 2

14

3

43 4

4 23 3

13 1 1312 242

n

C iiC Ci

C n

ii

R Rz Vz V z V

zV V R RV

R RR

π π

π π

ππ

=

=

⋅ ⋅ ⋅⋅ −⋅ + ⋅= = = =

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ =

⋅ ⋅

∑

∑ ;

2.

03 03 sin 2 sin 8 cos 0

O B

O B e

c B

B B

H NV G G Q T F

z G R G R NT N

α α αμ

− =⎧⎪ − − − + + =⎪⎨− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎪⎪ = ⋅⎩

( )00 cos cos8 cos 8 cos 8y R R R α αα α −= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ; ( )0cos cos8eF k R α α−= ⋅ ⋅ ⋅

AG

B

4R

BN

eF

α

x

y

AHAV

BH

BV

B

α

AG AH

AV

BT

4R

O

0α

αC

G3 ⋅R

Q

G

B

A

BN

eF

OHOV

BT

y

x

Cz



( )( )

0

0

08 cos cos 0

2 sin 4 8 cos cos sin 4 cos 4 sin 0

A B

A B

B B

H NV G k R T

R G R k R R N R Tα α

α α α α α α

− =⎧⎪ − + ⋅ ⋅ ⋅ − + =⎨⎪ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =⎩

00

A B

A B

H HV G V

− =⎧⎨ − − =⎩

;

( )( )

0sin 16 cos cos sin2 sin cosB

G k RN

α α α αμ α α

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅=

⋅ ⋅ −;

3 sin 2 sin8 cos

cB

z G R GNRα α

α⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=⋅

;

( )( )

0cos cossin 16 sin 3 sin 2 sin2 sin cos 8 cos

cG k R z G R GR

α αα α α αμ α α α

−⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ − ⋅;

3. 3 sin 2 sin

8 cosc

Oz G R GH

Rα α

α⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=⋅

;

( )03 sin 2 sin cos cos4 8

8 cosc

Oz G R GV G Q k R

Rα α α αμ

α⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

−= + − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⋅

;

3 sin 2 sin8 cos

cA

z G R GHRα α

α⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=⋅

;

( )03 sin 2 sin8 cos cos

8 cosc

Az G R GV G k R

Rα αα α μ

α⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅⋅

;

3 sin 2 sin8 cos

cB

z G R GNRα α

α⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=⋅

; 3 sin 2 sin

8 cosc

Bz G R GT

Rα α

μα

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= ⋅

⋅;

3 sin 2 sin8 cos

cB

z G R GHRα α

α⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=⋅

;

( )03 sin 2 sin8 cos cos

8 cosc

Bz G R GV k R

Rα αα α μ

α⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅⋅

.


Capitolul 8 - MIŞCAREA GENERALĂ A RIGIDULUI

Capitolul 8. Mişcarea generală a rigidului

Pornind de la ipoteza simplificatoare conform căreia rigidul este constituit dintr-o infinitate de puncte, între care distanţa se păstrează constantă, studiul cinematic al acestuia se diferenţiază de cel abordat în cazul unui punct material. Ca urmare în studiul geometric şi cinematic al rigidului se evidenţiază trei probleme fundamentale: ecuaţiile parametrice de mişcare (legea de mişcare solidului rigid); legea distribuţiei vitezelor; legea distribuţiei acceleraţiilor. Ecuaţiile specifice acestor legi evidenţiază o diseminare a vitezelor şi acceleraţiilor liniare de la un punct la altul, aparţinând corpului rigid. Din punct de vedere al tipului de mişcare, corpul rigid poate efectua o mişcare generală, iar în cazul în care asupra acestuia se aplică anumite restricţii geometrice, atunci mişcarea generală degenerează în mişcări particulare, precum: mişcarea de translaţie rezultantă, care la rândul ei poate degenera în mişcări de translaţie simple; mişcarea de rotaţie în jurul unei axe fixe; mişcarea de rototranslaţie (elicoidală), iar un caz particular al acesteia este mişcarea de şurub; mişcarea plan – paralelă; mişcarea de rotaţie în jurul unui punct fix (mişcarea sferică); combinaţii ale mişcărilor anterior prezentate în cazul sistemelor de corpuri rigide.

În cadrul acestui capitol se prezintă mai întâi un studiu geometric al mişcării generale, după care, se analizează vectorul viteză unghiulară şi vectorul acceleraţie unghiulară în contextul acestui tip de mişcare.

8.1. Studiul geometric În Fig.8.1 se ia în studiu un corp rigid ( )S , cu o formă geometrică oarecare,

a cărui mişcare se studiază cu ajutorul a două sisteme de referinţă: un sistem de referinţă fix { }0 , respectiv { }S , sistem de referinţă mobil, invariabil legat de rigidul ( )S , într-un punct arbitrar ales O aparţinând acestuia. Cu originea în acelaşi punct O , este fixat sistemul { }0′ a cărui orientare este constantă pe toată durata mişcării şi identică cu a sistemului de referinţă fix { }0 , adică { } { }0 0′ ≡ . • Dacă asupra corpului rigid ( )S nu se aplică nicio restricţie geometrică, atunci conform capitolului patru, (vezi (4.17) din §4.1), poziţia şi orientarea în raport cu sistemul de referinţă fix { }0 , este definită prin şase parametri independenţi, reprezentând gradele de libertate ale corpului rigid.


Capitolul 8 – MIŞCAREA GENERALĂ A RIGIDULUI

Rigidul fiind în mişcare, cei şase parametri independenţi devin funcţii de timp, astfel:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

0 0 00T

Tx t y t z tr

Xt t tψ θ ϕ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎣ ⎦= = ⎢ ⎥⎜ ⎟Ω⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (8.1)

Primele trei ecuaţii din (8.1) caracterizează poziţia sistemului de referinţă { }S la momentul ( )t şi reprezintă ecuaţiile parametrice de mişcare ale originii '

0O O≡ , adică: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0

Tr r t x t y t z t= = ⎡ ⎤⎣ ⎦ (8.2) Totodată ecuaţiile (8.2) exprimă mişcarea de translaţie rezultantă a corpului ( )S . Ultimele trei ecuaţii din (8.1) se rescriu sub forma următoare:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tt t t tψ θ ϕΩ = Ω = (8.3) Aceste ecuaţii exprimă, conform aceluiaşi § 4.2, orientarea rezultantă la momentul ( )t faţă de sistemul de referinţă fix atașat corpului ( )S . În acelaşi timp, ele exprimă mişcarea de rotaţie rezultantă a corpului rigid, rotaţie modelată matematic prin cele

Fig. 8.1

( )tθ

x

0OO ′≡

z

y

( )Mr t

( )tϕ

M

0z

0z′

( )S

0y′

0y

0x′

0x

( )r t

( )0r t

0O

ω

0v

N

0a

θ( )tθ

N

ϕ

( )tψ( )tϕ

ψ

ε

i

{ }S

{ }0

r ′

0j

( )tψ

( )j t

0i

0j0i

0k

0k

( )k t

( )Nr t { }0′

( )Sr

2 3k k k= =

1 2n i i= =



trei unghiuri Euler, componente ale relaţiilor (8.3), incluse în matricea de rotaţie rezultantă (4.52), (vezi §4.4), rescrisă sub forma următoare:

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

[ ]( )

0

0

, , ,S

S

R t i t j t k t R z t R x t R z ts c s c c s c c c s s s

R t c c s s c c c c s s c ss s s c c

ψ θ ϕ

ψ θ ϕ ψ ϕ ψ θ ϕ ψ ϕ ψ θψ θ ϕ ψ ϕ ψ θ ϕ ψ ϕ ψ θ

θ ϕ θ ϕ θ

⎡ ⎤= = ⋅ ⋅⎣ ⎦− ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅⎢ ⎥⋅ ⋅⎣ ⎦

(8.4)

Aşadar, atunci când rigidul posedă şase grade de libertate, acesta execută o mişcare generală, ale cărui ecuaţii parametrice sunt definite prin expresiile (8.1)-(8.3). Ţinând seama de (4.28) din §4.2, ecuaţia vectorială a traiectoriei de mişcare a unui punct M aparţinând corpului rigid ( )S şi respectând condiţia 0M ≠ este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )00 , S

sMr t r t r t iar r t R t r= + = ⋅ (8.5)

unde, .S r cst= este vectorul de poziţie al punctului M cu proiecţii pe sistemul { }S .

• Dacă restricţiile geometrice aplicate corpului rigid impun ca pe toată durata mişcării acestuia sistemul{ }S să păstreze orientarea identică cu a sistemului { }0′ , adică { } { }0OR ORS ′≡ , atunci unghiurile de orientare primesc valorile particulare:{ }0; 0; 0ψ θ ϕ= = = . Ca urmare matricea de rotaţie rezultantă se transformă în matrice unitate după cum urmează:

( ) ( )03

1 0 00 1 00 0 1

T T T T

T T T Ts

T T T T

i i i i j i kR j i j k j i j j k j I

k k i k j k k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥≡ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.6)

În aceste condiţii restrictive, ecuaţiile parametrice de mişcare ale rigidului ( )S devin echivalente cu relaţiile (8.2), adică rigidul posedă trei grade de libertate, reprezentând translaţii simple în lungul axelor sistemului de referinţă { }0 . Acest tip de mişcare particulară este cunoscut sub denumirea de mişcare de translaţie rezultantă. Ecuaţia vectorială a traiectoriei de mişcare a punctului M , aparţinând corpului ( )S devine:

( ) ( )0 , : .Mr t r t r unde r cst= + = (8.7) Se observă că în acest caz traiectoriile tuturor punctelor rigidului ( )S sunt curbe paralele având translaţia geometrică dintre ele dată de .r cst=



• Dacă restricţiile geometrice aplicate corpului ( )S (vezi Fig.8.2), determină ca două puncte ale acestuia, spre exemplu O şi O′ , să fie fixate în spaţiu, adică identice fiecare cu o articulaţie sferică, (vezi §4.6.1) atunci cele două puncte definesc o dreaptă ( )Δ , fixă în spaţiu. Luând în studiu axa ( )Δ , coliniară cu axa Oz , restricţiile geometrice aplicate asupra relaţiilor (8.2) şi (8.3) conduc la următoarele:

( )0 0; 0; 0;r tψ θ ϕ ϕ= = = = (8.8)

Se observă că în acest caz particular, rigidul ( )S , conform cu (8.8), posedă un singur grad de libertate, adică rotaţia în jurul axei fixe ( )Δ . De aceea, acest tip de mişcare particulară este cunoscută ca mişcarea de rotaţie a rigidului în jurul axei ( )Δ .

Fig. 8.2

( )tθ

x

0OO ′≡

z

y

( )Mr t

( )tϕ

M

0z

0z′

( )S

0y′

0y

0x′

0x

( )r t

( )0r t

0O

ω

0v

N

0a

θ( )tθ

N

ϕ

( )tψ( )tϕ

ψ

ε

i

{ }S

{ }0

r ′

0j

( )tψ

( )j t

0i

0j0i

0k

0k( )k t

( )Nr t { }0 ;′( )Σ

( ); ; 0f x y z =

( )ΔO′

( )Sr



Matricea de rotaţie rezultantă (8.4), conform restricţiilor anterioare, degenerează într-o matrice de rotaţie simplă, (vezi capitolul patru, §4.2, (4.27)) :

[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]0

0, 0

0 0 1s

c t s tR R z t s t c t

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎡ ⎤−⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.9)

Ecuaţia vectorială a traiectoriei de mişcare a punctului M , definită cu (8.5) se rescrie: ( ) [ ]( ) ( )[ ]0 ,S S

sMr t R t r R z t rϕ= ⋅ ≡ ⋅ (8.10)

• Dacă restricţiile geometrice aplicate corpului ( )S determină ca pe toată durata mişcării două puncte ale acestuia O şi O′ să se deplaseze în lungul unei axe ( )Δ fixată în spaţiu, atunci corpul rigid posedă două grade de libertate. Considerând axa ( )Δ identică cu axa 0 0O z′ ′ , restricţiile geometrice aplicate asupra expresiilor (8.2) şi (8.3) conduc la următoarele:

( )( )

0 0 0 00; 0;0; 0;

x y z z ttψ θ ϕ ϕ

⎧ = = = ⎫⎨ ⎬= = =⎩ ⎭

adică: ( ) ( ) ( )0 0 ,r t z t k tϕ ϕ= ⋅ = (8.11)

Ecuaţiile parametrice de mişcare (8.11) arată că rigidul ( )S execută o mişcare de translaţie, simultan cu o mişcare de rotaţie, ambele fiind în lungul şi în jurul aceleiaşi axe. O asemenea mişcare este cunoscută sub denumirea de rototranslaţie, sau mişcare elicoidală, iar axa ( )Δ este axa mişcării elicoidale. În acest caz, rotația este caracterizată de către matricea (8.9), iar ecuaţia vectorială a traiectoriei de mişcare a punctului M , caracterizată printr-o curbă elicoidală, este modelată prin:

( )( )

( )[ ]00 , S

Mr t R z t rz t

ϕ⎡ ⎤⎢ ⎥= + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.12)

• Dacă restricţiile geometrice aplicate corpului ( )S determină ca pe toată durata mişcării o suprafață ( )Σ aparținând corpului rigid ( )S , definită de planul ( ), , 0f x y z = , deplasarea paralelă cu ea însăşi şi paralel cu starea iniţială, în planul

0z cst= , atunci corpul rigid posedă trei grade de libertate, iar restricţiile geometrice aplicate asupra expresiilor (8.2) şi (8.3), conduc la următoarele particularităţi:

( )( )( ) ( )

( )

0

0 0 0

0

0; 0

.

x tr r t y t t

tz cst ϕ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = Ω =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎩ ⎭

(8.13)



Ecuaţiile parametrice de mişcare (8.13) arată că rigidul ( )S execută o mișcare de translaţie în planul 0z cst= , simultan cu o mişcare de rotaţie în jurul unei axe perpendiculare pe planul 0z cst= . O asemenea mişcare, este cunoscută sub denumirea de mişcare plan-paralelă. Ecuaţia vectorială, a traiectoriei de mişcare a punctului M , devine:

( )( )( ) ( )[ ]

0

0

0

,.

SM

x tr t y t R z t r

z cstϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥= + ⋅⎢ ⎥

=⎣ ⎦ (8.14)

Expresia anterioară, în cazul particularităţii geometrice (8.13), arată că punctele rigidului sunt situate în plane paralele între ele şi paralele cu planul

0 .z cst= , numit planul mişcării. • Dacă restricţiile fizice şi geometrice aplicate corpului ( )S impun ca un punct O , aparținând lui ( )S , să fie fixat pe toată durata mişcării, atunci translațiile simple din (8.2) devin nule, adică 0 0r = şi drept urmare, corpul posedă trei grade de libertate, efectuând o mișcare de rotație în jurul punctului fix O , caracterizată prin:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tt t t tψ θ ϕΩ = (8.15) Ecuaţia vectorială a traiectoriei de mişcare a punctului M , este identică cu (8.10):

( ) [ ]( )0 SsMr t R t r= ⋅

Prin eliminarea parametrului timp, se obține o suprafață sferică, cu centrul în punctul fix O , fapt pentru care, această mișcare a rigidului este denumită mișcare sferică.

8.2. Definirea vectorului viteză unghiulară şi acceleraţie unghiulară În Fig.8.3, se ia în studiu un punct material M, aflat în mişcare pe o traiectorie

circulară de rază OM , cu centrul în punctul O şi situată în planul

0 0z z O M c cstθ= = ⋅ = , unde cstθ = este unghiul dintre raza vectoare 0O M şi axa mişcării de rotaţie. La momentul iniţial, mobilul se află în poziţia 0 ,M definită prin vectorul ( )0 0r t = . La momentul ( )t , punctul se află în poziţia M, caracterizată prin

( )0O M r t= , iar la momentul ( )t t+ Δ în poziţia 1M , având raza vectoare ( )r t t r r+ Δ = + Δ , unde tΔ este un timp elementar, finit, dar foarte mic. În

intervalul finit de timp ( ]0, t punctul material M, descrie arcul de cerc

0M M s OM ϕ= = ⋅ , iar raza polară, notată prin 0OM OM r sθ= = ⋅ descrie



unghiul la centru ( )tϕ ϕ= . În intervalul de timp ( ),t t t+ Δ mobilul descrie arcul elementar sΔ , iar raza polară descrie la centru unghiul elementar ( )ϕΔ . În studiu, se consideră de asemenea, un sistem de referinţă mobil { }S , la care axa Ox este legată de punctul M , iar axa Oz este coliniară cu 0Oz . Ca urmare, sistemul { }S , legat de mobilul M execută o rotaţie în jurul acestei axe, conform cu (8.9), rescrisă mai jos:

( )[ ]( ) ( )

( ) ( )

0

, 00 0 1

c t s t

R z t s t c t

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

⎡ ⎤⎡ ⎤ − ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Ţinând seama de relaţia(8.9), proiecţia vectoruluiOM pe sistemul { }0 se exprimă :

( , ) SOM R z OMϕ= ⋅ , (8.16)

( ) ( )0 00 0 ; 0 0S T TOM r s O O zθ= ⋅ = .(8.17) Înlocuind (8.9) şi (8.16), în expresia (8.5), rezultă:

0

000 0 0

0 0 1 0

c s r sxr y s c

z z

ϕ ϕ θϕ ϕ

− ⎛ ⋅ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟= = + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

(8.18)

Dezvoltând expresia matriceală anterioară, rezultă ecuaţiile parametrice de mişcare ale mobilului M în coordonate carteziene:

0

;;

.

x r s cy r s sz z cst

θ ϕθ ϕ

⎧ = ⋅ ⋅ ⎫⎪ ⎪

= ⋅ ⋅⎨ ⎬⎪ ⎪= =⎩ ⎭

(8.19)

Observaţie: Din expresia (8.19), se observă că legea de mişcare a mobilului M pe o traiectorie circulară este dată prin ( )tϕ ϕ= , reprezentând

variaţia în raport cu timpul a unghiului polar. Luând în considerare triunghiul elementar 1OMM , (vezi Fig. 8.3), se poate scrie r sΔ ≅ Δ , aşadar coarda vectorială

rΔ este egală în aproximaţia liniară cu arcul elementar ( )sΔ .

x

y

ωε

OM

1M ϕΔ

ϕr

O R

N Mr

R

M

k

0x

x

y

0z z≡

ω ε

O

( )tr

OO

0M

θ

1MϕΔ

s sΔ

( )0=tr ( )ttr Δ+

0y

ϕ

Fig.8.3



Viteza unghiulară ω , reprezintă unghiul la centru, măturat de raza vectoare în unitatea de timp:

( ) ( )m

t t tt t t

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ω+ Δ − + Δ Δ= = =

Δ Δ Δ, (8.20)

unde mω reprezintă viteza unghiulară medie pe intervalul de timp [ , )t t t+ Δ . Valoarea exactă a vitezei unghiulare ω instantanee momentului ( )t , se obţine prin trecerea la limită în relaţia (8.20), adică:

0

limt

dt dtϕ ϕ ϕ ω

Δ →

Δ= = =

Δ; (8.21)

unde ω reprezintă derivata absolută de ordinul întâi în raport cu timpul a funcţiei ( )tϕ ϕ= . În triunghiul isoscel şi elementar 1OMM , se scrie următoarea relaţie:

22

r OM s ϕΔ⎛ ⎞Δ = ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

, unde 0OM O M s r sθ θ= ⋅ = ⋅ (8.22)

Funcţia trigonometrică de argument elementar din (8.22), se dezvoltă în serie Taylor după cum urmează:

3 51 1sin ...........2 2 3! 2 5! 2ϕ ϕ ϕ ϕΔ Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (8.23)

În aproximaţia liniară, rezultă sin2 2ϕ ϕΔ Δ⎛ ⎞ ≅⎜ ⎟

⎝ ⎠, astfel că expresia (8.22) devine:

r r sϕ θΔ = Δ ⋅ ⋅ (8.24) Relaţia anterioară, se divizează cu tΔ şi se trece la limită, rezultând:

0 0

lim limt

rr s

t tϕ

ϕ θΔ → Δ →

Δ Δ= ⋅ ⋅

Δ Δ (8.25)

Ţinând seama că viteza particulei M din Fig.8.2 este conform cu (7.10) v r= pe de o parte, iar pe de altă parte luând în considerare expresia (8.21), relaţia (8.25) devine echivalentă cu:

v r sω θ= ⋅ ⋅ (8.26) Ştiind că viteza liniară este o mărime vectorială, relaţia (8.26) caracterizează modulul acesteia, astfel că expresia vectorului viteză, rezultată din ecuaţia (8.26), ia forma:

( )v rω= × ⋅ (8.27) Expresia (8.27) reprezintă viteza de rotație şi demonstrează că viteza unghiulară este o mărime vectorială, care închide, cu vectorul de poziţie unghiul .cstθ = ,fiind astfel orientată după axa de rotaţie, în acest caz, aceasta fiind axa Oz .



Observaţie: Componentele celor trei vectori din expresia (8.27), proiectaţi pe axele unui sistem de referință fix, sunt:

x y z

x y z

x y z

v v i v j v ki j k

r r i r j r kω ω ω ω= ⋅ + ⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅

(8.28)

Se apelează următoarele notații (a se vedea cap. 1 §1.1): { }, ,u x y z= , şi respectiv { }, ,u i j k= , unde u reprezintă una dintre axele { }, ,x y z ale unui sistem de

referință drept orientat, axă caracterizată prin versorul u . Ţinând seama de proprietățile produsului mixt, proiecțiile vectorului viteză liniară, definit cu (8.27) pe cele trei axe ale sistemului de referinţă fix, pot fi scrise în conformitate cu:

( ) ( )Tuv r u r uω ω= × ⋅ = ⋅ × (8.29)

Ținând seama de (8.28), expresia anterioară se rescrie astfel:

xT

y

z

i i j i k ivv v i j x j j y k j z

i k j k k kvω

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × ×⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= = ⋅ × ⋅ + × ⋅ + × ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟× × ×⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(8.30)

Dar (8.30), este echivalentă matematic cu următoarea expresie:

xT

y

z

i i j i k iv xv v i j j j k j y

zi k j k k kvω

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⋅ × + × + × ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟× × ×⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(8.31)

Ținând seama de proprietăţile versorilor unui sistem de referinţă drept orientat: 0; ; ; .i i j j k k i j j i k j k k j i k i i k j× = × = × = × = − × = × = − × = × = − × =

expresia (8.31), se rescrie astfel: 0

00

T T

T T

T T

k j xv k i y

zj i

ω ωω ωω ω

⎡ ⎤− ⋅ ⋅ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎜ ⎟= ⋅ − ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥− ⋅ ⋅ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(8.32)

În conformitate cu (8.28), ştiind că: ; ;T T Tx y zi j kω ω ω ω ω ω⋅ = ⋅ = ⋅ = , primul

termen din membrul drept al expresiei (8.32), o matrice de dimensiuni ( )3 3× , devine:

( )0

00

z y

z xy x

ω ωω ω ω

ω ω

−⎡ ⎤⎢ ⎥× = −⎢ ⎥−⎣ ⎦

(8.33)

şi reprezintă matricea antisimetrică asociată vectorului viteză unghiulară ω .



În cazul prezentat în Fig.8.2, axa de rotație este zO , astfel că vectorul ω este:

( )0 0 Tkω ϕ ϕ= ⋅ = . (8.34) Ţinând seama de matricea antisimetrică asociată vectorului ω , notată cu ( )ω × şi definită cu (8.33), expresia (8.34) se rescrie în formă vectorială astfel:

( ) ( )0 0 0 1 0

0 0 1 0 00 0 0 0 0 0

kϕ

ω ϕ ϕ ϕ− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥× = = ⋅ = ⋅ ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

; (8.35)

unde ( )k × este matricea antisimetrică asociată versorului k , care exprimă orientarea axei de rotaţie.

Variaţia în raport cu timpul a vitezei unghiulare ω este pusă în evidenţă printr-o altă mărime cinematică, denumită acceleraţie unghiulară. În cazul exemplului prezentat în Fig.8.2, rezultă:

0limt

d k kt dtω ωε ω ϕ ϕ

Δ →

Δ= = = = ⋅ + ⋅

Δ (8.36)

Întrucât versorul k cst= , vectorul acceleraţie unghiulară ε este echivalent cu: kε ϕ= ⋅ (8.37)

Aşadar, în cazul mişcării circulare a unui punct material, vectorul acceleraţie unghiulară ε , este coliniar cu vectorul viteză unghiulară ω , ambii vectori fiind dirijaţi după axa de rotaţie Oz .

8.3. Derivata în raport cu timpul a matricei de rotaţie În conformitate cu Fig.8.2, ecuaţia vectorială a traiectoriei de mişcare

absolută a punctului M se scrie sub forma: ( ) ( ) ( )[ ]0 0 ; ,S S

r t O O OM t O O R z t OM unde OM cstϕ= + = + ⋅ = . (8.38) Asupra expresiei (8.38) se aplică derivata absolută de ordinal întâi în raport cu timpul:

( ) ( )[ ].

; Sr t OM R z t OMϕ= = ⋅ . (8.39)

În (8.39) se introduce proprietatea, conform căreia ( ) ( ) 3; ;TR z R z Iϕ ϕ⋅ ≡ , unde TR este transpusa matricei de rotaţie, iar 3I reprezintă matricea unitate. Astfel,

expresia (8.39) devine: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ; ; ; ;ST Tr t R z R z R z OM R z R z OMϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (8.40)

Ţinând seama de (8.27) şi (8.38), se scrie expresia vectorială a vitezei liniare: ( )0 0v r r O O OM O O OM OMω ω ω ω ω= = × = × + = × + × = × , (8.41)



unde 0 0O Oω× = . Expresiile (8.40) şi (8.41) sunt identice şi exprimă viteza liniară a punctului M . Prin identificare, se obţine următoarea proprietate cu privire la derivata în raport cu timpul a matricei de rotaţie, demonstrata şi în lucrări precum [N01] şi [C01]:

( ) ( ) ( ); ;TR z R zω ϕ ϕ× = ⋅ , (8.42) Conform proprietăţii (8.42), matricea antisimetrică asociată vectorului viteză unghiulară reprezintă produsul matriceal dintre derivata în raport cu timpul a matricei de rotaţie şi transpusa acesteia. Dezvoltând expresia din membrul drept al ecuaţiei (8.42) rezultă:

( ) ( )0 0 0 1 00 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0

s c c sc s s c kϕ ϕ ϕ ϕ

ω ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥× = ⋅ − ⋅ − = ⋅ = ⋅ ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.43)

expresie identică cu (8.35), ce exprimă matricea antisimetrică asociată vectorului ω , Ţinând seama de (8.35) şi (8.42), se scrie următoarea identitate matriceală:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ; ; ;T TR k R k R k R k kϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⋅ ≡ ⋅ = ⋅ × (8.44)

Observaţii: • Identitatea: ( ) ( ) ( ) ( ); ; ; ;T TR k R k R k R kϕ ϕ ϕ ϕ⋅ ≡ ⋅ este adevărată numai în cazul rotaţiilor simple. În caz contrar, matricea antisimetrică asociată vectorului viteză unghiulară ω , cu proiecţie pe sistemul de referinţă mobil, se determină conform cu:

( ) ( ) ( ); ;S TR k R kω ϕ ϕ× = ⋅ . (8.45) • Conform proprietăţii matricelor de rotaţie (a se vedea § 4.2), inversa matricei de rotaţie este identică cu transpusa acesteia, adică:

( ) ( )1; ;TR k R kϕ ϕ−= (8.46) Înmulțind relația (8.44) cu ( )dt , rezultă următoarea expresie diferenţială:

( ) ( )1 ;R k dR k dϕ ϕ− ⋅ = × ⋅ (8.47) Prin integrarea expresiei anterioare, se obţine:

( ) ( )1 ;R k dR k dϕ ϕ− ⋅ = × ⋅∫ ∫ , (8.48)

care devine echivalentă cu: ( ) ( )ln ;R k k Cϕ ϕ= × ⋅ + (8.49)

Constanta de integrare C din expresia anterioară, se determină din condiţia:

( ) [ ]0 3 30 3

1 0 0ln ; ln 0 1 0 ln ln 0

0 0 1C R k I eϕϕ ×

=

⎡ ⎤⎢ ⎥= = = = =⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.50)



Ca urmare, matricea de rotaţie devine o funcţie exponenţială de matrice [B01], [N01], [P04], echivalentă cu:

( ) ( ) ( )( )0; k kR k e eϕ ϕϕ × ⋅ × ⋅= = (8.51)

unde: ( )0k este versorul axei de rotaţie în starea iniţială. Membrul drept al expresiei (8.51), se dezvoltă în serie de puteri, astfel rezultă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

11 1

1! 2! ! !

n jk

j

k k kken j

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ∞× ⋅

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤× ⋅ × ⋅ × ⋅× ⋅ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= + + + + + = +∑ (8.52)

În continuare se analizează matricele antisimetrice ( )k × din seria (8.52). Astfel, considerând un caz general, versorul axei de rotaţie are componentele:

( )Tx y zk k k k= , (8.53)

iar în cazul particular al expresiei (8.53), rezultă ( )0 0 1 Tk = . Ca urmare, matricea antisimetrică se rescrie după cum urmează:

( )0

00

Tz y

z x

y x

k kk k k

k k

−⎡ ⎤⎢ ⎥× = −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.54)

( )

2 2

2 2 2

2 2

y z x y x z

y x z x y z

z x z y x y

k k k k k kk k k k k k k

k k k k k k

⎡ ⎤− − ⋅ ⋅⎢ ⎥

× = ⋅ − − ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⋅ − −⎣ ⎦

(8.55)

Ţinând seama de proprietatea 2 2 2 1x y zk k k+ + = , expresia anterioară se rescrie astfel:

( )

2 2

2 2 23

2 2

11

1

x x y x z x x y x z

y x y y z y x y y z

z x z y z z x z y z

k k k k k k k k k kk k k k k k k k k k k I

k k k k k k k k k k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥

× = ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.56)

Se observă faptul că, matricea din membrul drept al expresiei anterioare este:

( )2

2

2

x x y x z xT

y x y y z y x y z

zz x z y z

k k k k k kk k k k k k k k k k k

kk k k k k

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ≡ ⋅ = ⋅⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⋅ ⋅ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(8.57)

Aşadar, pătratul matricei antisimetrice asociată versorului axei ( )k al axei de rotaţie este:

( )23

Tk k k I× = ⋅ − (8.58)



Prin generalizarea expresiilor (8.55) şi (8.58), rezultă: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 1 2 211 ; 1 , 1

j jj jk k k k unde j⋅ + ⋅ +× = − ⋅ × × = − ⋅ × = →∞ (8.59)

Se observă că matricea antisimetrică ( )k × , ridicată la o putere impară este ( )k ×∓ , iar prin ridicare la o putere pară devine ( )2

k± × . Substituind (8.59) în ecuaţia (8.52), aceasta se modifică după cum urmează:

( ) ( ) ( )3 5 2 42

3 3! 5! 2! 4!ke I k kϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ× ⋅ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + × ⋅ − + − + × ⋅ − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ (8.60)

În expresia anterioară sunt incluse dezvoltările în serie Taylor ale funcţiilor trigonometrice: 3 5 2 4

; 1 .3! 5! 2! 4!

s cϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ− + − = − + = − (8.61)

Aşadar, orice matrice de rotaţie cu un unghi ( )tϕ ϕ= în jurul unei axe de orientare ( )k faţă de un sistem de referinţă fix, se poate scrie sub forma:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )20 0 0

3; 1kR k e I k s k cϕϕ ϕ ϕ× ⋅= = + × ⋅ + × ⋅ − (8.62) Ţinând seama de (8.58), expresia anterioară este echivalentă cu:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )0 0 0 0

3; 1TkR k e I c k s k k cϕϕ ϕ ϕ ϕ× ⋅= = ⋅ + × ⋅ + ⋅ ⋅ − (8.63)

Conform cu (8.46) şi respectiv cu (8.42), rezultă: ( ) ( ) ( ) ( )1; ; ; ;TR k R k R k R kϕ ϕ ϕ ϕ−⋅ = ⋅ (8.64)

unde:

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )

0 0 03

0 01 0 0 03

; ;

; 1

T

T Tk k

R k I s k c k k s

R k e e I c k s k k cϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ− − × ⋅ × ⋅

⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ + × ⋅ + ⋅ ⋅⎣ ⎦

= = = ⋅ − × ⋅ − ⋅ ⋅ −(8.65)

Substituind expresiile din (8.65) în (8.64), rezultă: ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )

1

0 0 0 0 0 03 3

; ; ; ;

1

T

T TR k R k R k R k

I s k c k k s I c k s k k c

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

−⋅ = ⋅ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ + × ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − × ⋅ − ⋅ ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.66)

Dezvoltând produsul din expresia anterioară şi ținând seama de proprietăţile: ( ) ( )[ ] ( ){ } ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ){ } ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ){ }

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

20 0 03

;0;

T T T

T

T

k k k k k kk k k k k k

k k k I

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

⋅ ⋅ × = ⋅ × =

⋅ = × +

expresia (8.66) ia următoarea formă finală: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1; ; ; ;TR k R k R k R k kω ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ−× = ⋅ = ⋅ = ⋅ × (8.67)



Observaţii: • Matricea de rotaţie se poate exprima cu ajutorul exponenţialelor de matrice, iar expresiile (8.62), (8.65) conduc la definirea acesteia. Se observă că în componenţa acestora intervine unghiul de rotaţie ( )tϕ ϕ= , precum şi versorul ( ){ }0k k≡ al axei de rotaţie, dar în starea iniţială. Acest aspect constituie un avantaj esenţial, deoarece nu necesită introducerea vreunui sistem de referinţă mobil, care la rândul său impune anumite restricţii, în special la cinematica sistemelor mecanice. • Expresia (8.67), se poate rescrie sub forma:

( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ]0 0 0 0 00 0 3k k k kd e e k e e k e

dtϕ ϕ ϕ ϕω ϕ ϕ− × ⋅ × ⋅ × ⋅ − × ⋅⎧ ⎫⎡ ⎤× = ⋅ = ⋅ × ⋅ ⋅ = ⋅ × ⋅⎣ ⎦⎨ ⎬

⎩ ⎭ (8.68)

Dar, știind că: [ ]0 33e I= , expresia anterioară devine identică cu (8.43).

8.4. Viteza şi acceleraţia unghiulară în mişcarea de rotaţie rezultantă Proprietatea (8.45) arată că matricea antisimetrică asociată vectorului viteză

unghiulară cu proiecţie pe sistemul de referinţă mobil, reprezintă produsul matriceal dintre transpusa matricei de rotaţie şi derivata de ordinul întâi în raport cu timpul a aceleiaşi matrice de rotaţie. Cele două proprietăţi, (8.42) şi (8.45) se extind asupra mişcării de rotaţie rezultantă, anterior exprimată prin setul de unghiuri Euler, dar şi prin matricea de rotaţie rezultantă (4.55). Drept urmare, matricea antisimetrică asociată vectorului viteză unghiulară de rotaţie rezultantă, cu proiecţie pe sistemele de referinţă fix şi mobil, ia forma următoare, arătată în lucrări precum [N01]:

( ) [ ] [ ]0 00

00

z yT

z x s s

y x

R Rω ω

ω ω ωω ω

−⎡ ⎤⎢ ⎥× = − = ⋅⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.69)

( ) [ ] [ ]0 00

00

S Sz y

TS S Sz x s s

S Sy x

R Rω ω

ω ω ωω ω

⎡ ⎤−⎢ ⎥

× = − = ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(8.70)

Expresia (8.69), se dezvoltă în formă matriceală, după cum urmează: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

; ; ; ; ; ;; ; ; ; ; ;; ; ; ; ; ;

T T T

T T T

T T T

R z R x R z R z R x R zR z R x R z R z R x R zR z R x R z R z R x R z

ω ψ θ ϕ ϕ θ ψ

ψ θ ϕ ϕ θ ψ

ψ θ ϕ ϕ θ ψ

× = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(8.71)



Fiecare termen din membrul drept al ecuaţiei (8.71) se dezvoltă pe baza proprietăţii, conform căreia ( ) ( ) 3, ,TR u R u Iδ δ⋅ = (matricea unitate), unde { }; ;u x y z= , iar

{ }; ;δ ψ θ ϕ= . De asemenea, se consideră proprietatea (8.69). Ca urmare, cei trei termeni din membrul drept al ecuaţiei (8.71) devin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )( ) ( ) ( )

; ; ; ; ; ;; ;

T T T

T

R z R x R z R z R x R z

R z R z k

ψ θ ϕ ϕ θ ψ

ψ ψ ψ

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎣ ⎦= ⋅ ≡ ⋅ ×

(8.72)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

; ; ; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ;

T T T

T T

T


R z R x R x R z

R z i R z R z i

ψ θ ϕ ϕ θ ψ

ψ θ θ ψ

ψ θ ψ ψ θ

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ =⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ × ⋅ = ⋅ × ⋅⎣ ⎦

(8.73)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

; ; ; ; ; ;; ; ; ;

; ;

T T T

T T


R z R x k R x R zR z R x k

ψ θ ϕ ϕ θ ψ

ψ θ ϕ θ ψ

ψ θ ϕ

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎣ ⎦= ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅ ⋅ =

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ × ⋅⎣ ⎦

(8.74)

În urma efectuării transformărilor matriceale şi diferenţiale, din (8.72)-(8.74), se obţine vectorul viteză unghiulară ω , sub următoarea formă:

( ) ( ) ( )0 1 00 ; 0 ; ; 01 0 1

x

y

z

R z R z R xω

ω ω ψ θ ϕ ψ ψ θ ψ θ ϕω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = + + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(8.75)

Expresia (8.75), se scrie sub formă matriceală: 001 0

x

y

z

c s ss c s J

c

ψω ψ ψ θω ω ψ ψ θ θ

θ ϕωΩ

⎛ ⎞⋅⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥= = − ⋅ ⋅ = ⋅Ω⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(8.76)

unde JΩ reprezintă matricea de transfer unghiulară dintre derivatele în raport cu

timpul ale unghiurilor lui Euler, incluse în Ω şi componentele vectorului viteză unghiulară ω pe axele sistemului de referinţă fix. Din expresia (8.76) rezultă proiecţiile vectorului viteză unghiulară ω pe axele sistemului de referinţă fix, cunoscute sub denumirea de ecuaţiile cinematice Euler, exprimate conform cu:

; ; .x y zc s s s c s cω θ ψ ϕ ψ θ ω θ ψ ϕ ψ θ ω ψ ϕ θ= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ = + ⋅ (8.77)

Observaţie:Ţinând seama de Fig.8.1, expresia (8.3) se rescrie sub forma:

[ ] 0 0 1 2T k n k k i kψ θ ϕ ψ θ ϕ ψ θ ϕΩ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ (8.78)



Pe baza expresiei anterioare, conform cu (8.75), vectorul viteză unghiulară ω , poate fi exprimat sub următoarea formă

0k n kω ψ θ ϕ= Ω = ⋅ + ⋅ + ⋅ (8.79) În urma aplicării celor trei rotații simple ( )z x zR α β γ− − (a se vedea § 4.2.1), caracterizate prin unghiurile lui Euler, cei trei versori ai axelor de rotație sunt:

( )

( )

( ) ( )

0 0 0 1 ;1 0 1

; 0 0 0 ;0 0 0 1 0 0

1 0 1 0 0 1; ; 0 0 0 0 .

0 0 0 1 0 0

Tkc s c

n R z s c s

c s s sk R z R x s c c s c s

s c c

ψ ψ ψψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ θψ θ ψ ψ θ θ ψ θ

θ θ θ

=

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(8.80)

Substituind (8.80) în (8.79), se obține o expresie identică cu (8.76), care exprimă vectorul viteză unghiulară ω .

Dezvoltând expresia (8.70) şi procedând similar cu analiza anterioară, rezultă vectorul viteză unghiulară ω , cu proiecţii pe axele sistemului de referinţă mobil { }S :

( ) ( ) ( )0 1 0

; ; 0 ; 0 01 0 1

Sx

S T T Ty

z

R z R x R zω

ω ω ϕ θ ψ ϕ θ ϕω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(8.81)

Expresia anterioară, sub formă matriceală, se rescrie conform cu:

[ ]000

0 1

Sx TS Sy s

z

s s cR c s s J

c

ψω ϕ θ ϕω ω ω ϕ θ ϕ θ

θ ϕωΩ

⎛ ⎞⋅⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅Ω⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(8.82)

Componentele vectorului viteză unghiulară ω , pe axele sistemului de referinţă mobil, cunoscute de asemenea sub denumirea de ecuaţiile cinematice Euler, rezultă din (8.82), astfel:

; ; .S S Sx y zs s c c s s cω ψ ϕ θ θ ϕ ω ψ ϕ θ θ ϕ ω ψ θ ϕ= ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ + (8.83)

Observaţie:Conform considerațiilor anterioare, (a se vedea (8.81)), proiecţiile pe axele unui sistem de referinţă mobil ale vectorului viteză unghiulară se exprimă conform cu:

0S S S Sk n kω ψ θ ϕ= ⋅ + ⋅ + ⋅ (8.84)



Proiecțiile versorilor axelor de rotație pe axele unui sistem de referinţă mobil sunt:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

0

0

0 0 1 0 0 0; ; 0 0 0 0 ;

1 0 0 1 0 1

; 1 0 0 0 ;

0 0 1 ;

S T T

T TS T

TS

c s s sk R z R x s c c s c s

s c c

n R z c s

k

ϕ ϕ ϕ θϕ θ ϕ ϕ θ θ ϕ θ

θ θ θ

ϕ ϕ ϕ

⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⋅ = −

=

(8.85)

Substituind (8.85) în (8.84), se obține o expresie identică cu (8.82), care exprimă vectorul viteză unghiulară ω , cu proiecţii pe axele unui sistem de referinţă mobil.

Expresiile (8.76) şi (8.82), se pot scrie sub forma:

( ) ( )S S Jω Ω= ⋅Ω , unde ( ) { };S Sω ω ω= . (8.86)

În conformitate cu expresia de definiţie (8.36), acceleraţia unghiulară, reprezintă derivata de ordinul întâi în raport cu timpul a vectorului viteză unghiulară de rotaţie. Pentru aplicarea acestei definiţii, în cazul mişcării de rotaţie rezultantă, mai întâi se fac următoarele transformări:

[ ] ( )0 ,TTS S S S S

s x y zR undeω ω ω ω ω ω= ⋅ = (8.87)

[ ] [ ]0 0T TSs sR Rε ω ε= ⋅ = ⋅ (8.88)

unde Sω şi Sε reprezintă, conform relaţiilor anterioare, viteza şi acceleraţia unghiulară, cu proiecţii pe sistemul de referinţă mobil, iar [ ]0 T

s R este transpusa matricei de rotaţie rezultantă (4.55).

Întrucât, în expresia (8.87) vectorul Sω este reprezentat numai prin componentele scalare pe axele unui sistem de referinţă mobil, derivata acestuia în raport cu timpul are un caracter relativ şi drept urmare se obţin relaţiile:

[ ] [ ]0 0S T T

s sR Rtω ω ω∂= ⋅ + ⋅

∂ (8.89)

[ ] [ ]0 0S TTS

s sR Rtωε ω ω∂

= ⋅ = − ⋅∂

(8.90)



Al doilea termen din membrul drept al expresiei (8.90), se dezvoltă, pe de o parte ţinând seama că [ ] [ ]0 0

3T

s sR R I⋅ = , iar pe de altă parte în consonanţă cu proprietatea (8.70). Astfel, se obţine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]{ } ( )

0 0 0 0 0 0

0 0 0

T T TT Ss s s s s s

T TT S S S Ss s

R R R R R R

R R

ω ω ω

ω ω ω ω ω

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ = × ⋅ = − × = (8.91)

Aşadar, în urma dezvoltării de mai sus, rezultă următoarea proprietate: S Sddt dtω ω∂= . (8.92)

Conform expresiei (8.92), în cazul parametrilor cinematici unghiulari, derivata absolută în raport cu timpul, este egală cu derivata relativă în raport cu timpul, aplicată aceluiaşi vector cu proiecţie pe sistemul de referinţă mobil.

Drept urmare, expresia de definiţie, pentru vectorul acceleraţie unghiulară se scrie: ( ) ( )

( ) ( )S SS S d

dt tω ωε ω ∂

= = =∂

, unde ( ) { };S Sω ω ω= . (8.93)

Ţinând seama de expresiile (8.76)şi (8.82), rezultă: ( ) ( ) ( ) ( ),

TS S SJ J undeε ψ θ ϕΩ Ω= ⋅Ω + ⋅Ω Ω = (8.94)

( )000 0

s c s s cdJ J c s s c cdt s

ψ ψ ψ ψ θ θ ψ θψ ψ ψ ψ θ θ ψ θ

θ θΩ Ω

⎡ ⎤− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎢ ⎥= = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎢ ⎥

− ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.95)

( )00

0 0

S Sc s s c s

dJ J s s c c cdt s

ϕ ϕ θ θ ϕ θ ϕ ϕϕ ϕ θ θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θΩ Ω

⎡ ⎤⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅⎢ ⎥= = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅⎢ ⎥

− ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.96)

Ţinând seama de expresiile (8.76) şi (8.82) pe de o parte, iar pe de altă parte de expresia (8.94), rezultă în urma unor transformări matriceale, că:

( ) ( ) 0S Sω ε× ≠ , (8.97) Pentru a demonstra expresia anterioară, conform cu (8.75), vectorii viteză unghiulară şi respectiv accelerație unghiulară sunt:

0

0 0

z n k

z n k z n k

ω ψ θ ϕ

ε ψ θ ϕ ψ θ ϕ

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ (8.98)



unde,

0 0; ;0 0

c sdz n s cdt

c s s cs sdk c s s s c cdt c s

ψ ψψ ψ ψ

ψ ψ θ θ ψ θψ θψ θ ψ ψ θ θ ψ θθ θ θ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(8.99)

Substituind (8.98) în (8.97), se obține: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

20 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0

0

z z z n z k z z

z n z k n z n n n k

n z n n n k k z

k n k k k z k

ω ε ψ ψ ψ θ ψ ϕ ψ

ψ θ ψ ϕ θ ψ θ θ θ ϕ

θ ψ θ θ θ ϕ ϕ ψ

ϕ θ ϕ ϕ ϕ ψ ϕ θ

× = ⋅ ⋅ × + ⋅ ⋅ × + ⋅ ⋅ × + ⋅ × +

+ ⋅ ⋅ × + ⋅ ⋅ × + ⋅ ⋅ × + ⋅ ⋅ × + ⋅ ⋅ × +

+ ⋅ ⋅ × + ⋅ ⋅ × + ⋅ ⋅ × + ⋅ ⋅ × +

+ ⋅ ⋅ × + ⋅ ⋅ × + ⋅ ⋅ × + ⋅ ⋅ ( ) ( )2n k kϕ× + ⋅ ×

(8.100)

În continuare, se efectuează produsele vectoriale, după cum urmează: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0

0 0

0; 0; 0;

0; 0; 0; 0;

0 0 00 0 0 0

0 0 0

z z z z n n

n z n n k k k z

s cn n c s

s c

ψ ψψ ψ ψ ψ

ψ ψ

× = × = × =

× = × = × = × =

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = − ⋅ − ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(8.101)

0 0 1z n n z j× = − ⋅ = (8.102)

0

0 1 01 0 00 0 0 0

s s c sz k c s s s n s

c

ψ θ ψ θψ θ ψ θ θθ

− + ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟× = ⋅ − ⋅ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(8.103)

0

0 1 01 0 00 0 0 0 0

s cz n c s n

ψ ψψ ψ ψ ψ ψ

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟× = ⋅ ⋅ = − ⋅ = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(8.104)

00

s s c cz k c s s c

ψ ψ θ θ ψ θψ ψ θ θ ψ θ

⎛ ⎞− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟× = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(8.105)



0 00 0

0

s s s s cn k c c s c c

s c c s

ψ ψ θ ψ θψ ψ θ ψ θ

ψ ψ θ θ

⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟× = − ⋅ − ⋅ = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(8.106)

;0

s s c cs sn k c s k k c s s c

c

ψ ψ θ θ ψ θψ θθ ψ θ ψ ψ θ θ ψ θ

θ

⎛ ⎞− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅− ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟× = ⋅ + ⋅ × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(8.107)

Ţinând seama de expresiile (8.102)-(8.107), în cazul mişcării de rotaţie rezultantă, expresia (8.97) este adevărată şi prin urmare vectorii ω şi ε nu sunt coliniari. Observaţii: Prin derivarea în raport cu timpul a expresiei (8.94), se obţine acceleraţia unghiulară de ordin doi, notată cu ε , cunoscută şi sub denumirea de şoc unghiular, a cărei proiecţii pe sistemul fix { }0 , respectiv pe sistemul mobil { }S se determină conform cu expresia:

( ) ( ) ( ) ( )2S S S SJ J Jε Ω Ω Ω= ⋅Ω+ ⋅ ⋅Ω + ⋅Ω (8.108)

unde ( )Tψ θ ϕΩ = , reprezintă vectorul coloană al şocurilor unghiulare aferente celor trei rotaţii simple.

8.5. Legea de distribuţie a vitezelor Pentru a determina legea de distribuţie a vitezelor, se derivează în raport cu

timpul expresia (8.5), rescrisă mai jos sub forma:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( )00 0

SM Sr t r t r t r t R t r= + = + ⋅

Prin derivare, rezultă următoarea expresie vectorială: [ ] [ ] [ ] [ ]0 0 0 0

0 0 0TS S

SM S S Sr r r r R r r R R R r= + = + ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ (8.109)

în care M Mr v= reprezintă viteza punctului M , iar 0 0r v= viteza punctului O , ambele

fiind în raport cu sistemul fix{ }0 . Astfel, expresia (8.109) se rescrie sub forma:

0Mv v rω= + × (8.110)

reprezintă legea distribuţiei vitezelor, cunoscută sub numele de formula lui Euler pentru viteze în mişcarea generală a solidului rigid (a se vedea §1.1). În (8.110), vectorul ω reprezintă viteza unghiulară instantanee (vezi (8.76) sau (8.77)).



Observaţie: • Ecuaţia vectorială (8.110) se mai poate scrie sub următoarea formă matriceală:

00

0

z yOxx

y Oy z x

y xz Oz

vv xv v y

zv v

ω ωω ωω ω

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + − ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

; (8.111)

pe baza cărora se obţin proiecţiile pe axele sistemului fix { }0 :

x Ox y z

y Oy z x

z Oz x y

v v z yv v x zv v y x

ω ωω ωω ω

⎧ = + ⋅ − ⋅⎪ = + ⋅ − ⋅⎨⎪ = + ⋅ − ⋅⎩

(8.112)

• Se consideră versorul { }; ;u i j k= , ce caracterizează axele unui sistem de

referința fix, precum şi versorul { }; ;S S S Su i j k= , specific unui sistem mobil.

Cunoscând matricea de orientare [ ]0S R între sistemul fix şi cel mobil, precum şi

proiecția oricăreia dintre componentele lui u pe axele sistemului fix, adică:

[ ]0 SSu R u= ⋅ (8.113)

se poate scrie: [ ] [ ] [ ]0 0 0T S

S S Su R R R u uω= ⋅ ⋅ ⋅ = × (8.114)

Substituind versorul { }, ,u i j k= în (8.114) se obţin formulele lui Poisson (a se

vedea §1.1), astfel:

i = iω× ; j = jω× ; k = kω× (8.115)

Observaţie: Ecuaţia (8.110) se aplică pentru un alt punct al corpului ( )S , spre exemplu N O≠ şi N M≠ rezultând:

0Nv v ONω= + × (8.116)

Expresia (8.110) şi (8.116), arată că viteza liniară variază conform acestei legi de la un punct la altul al corpului rigid ( )S spre deosebire de viteza unghiulară, care este

invariantă (constantă) pentru o infinitate de puncte ale corpului ( )S .



8.6. Legea distribuţiei acceleraţiilor Pentru a stabili legea distribuţiei acceleraţiilor, se determină acceleraţia unui

punct M al rigidului, prin derivarea absolută în raport cu timpul a expresiei (8.110):

0a v v r rω ω= = + × + × , (8.117)

În expresia (8.117), 0 0v a= reprezintă acceleraţia punctului O (vezi Fig. 8.1);

ω ε= este acceleraţia unghiulară instantanee, iar r rω= × conform cu (8.109). Substituind expresiile anterioare în (8.117) se obţine:

( )0a a r rε ω ω= + × + × × (8.118)

reprezentând legea de distribuţie a accelerației, expresie cunoscută sub denumirea de formula lui Rivals (a se vedea §1.1) pentru acceleraţii în mişcarea generală a solidului rigid.

Relaţia (8.118) se poate scrie sub următoarea formă matriceală: 20 0

0 00 0

z y z yOxx

y Oy z x z x

y x y xz Oz

aa x xa a y y

z za a

ε ε ω ωε ε ω ωε ε ω ω

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + − ⋅ + − ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(8.119)

din care se obţin astfel proiecţiile pe axele sistemului Oxyz ale acceleraţiei:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

;;.

x Ox y z x y z x z y

y Oy y x z z x y z x

z Oz z x y z y x x y

a a x y z

a a x y z

a a x y z

ω ω ω ω ε ω ω ε

ω ω ε ω ω ω ω ε

ω ω ε ω ω ε ω ω

= − + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

= + ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ − ⋅

= + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − + ⋅

(8.120)

Observaţii: Conform expresiei (8.118), acceleraţia unui punct aparţinând unui corp rigid, aflat într-o mişcare generală, are trei componente şi anume: • Acceleraţie de translaţie, reprezentată prin vectorul 0a , care este identic pentru

toate punctele rigidului; • Acceleraţie de rotaţie, care este reprezentată prin vectorul rε × , a cărui direcţie este perpendiculară pe planul definit de vectorii ε şi r ; • Acceleraţie axipetă, reprezentată prin ( )rω ω× × .


Capitolul 9 - MIŞCĂRILE PARTICULARE ALE RIGIDULUI

Capitolul 9. Mişcările particulare ale rigidului

9.1 Consideraţii generale În cadrul acestui capitol se va realiza un studiu geometric şi cinematic

privind mișcările particulare ale solidului rigid. Astfel, vor fi analizați pe de o parte parametrii de poziție şi orientare, ce definesc mișcarea, iar pe de altă parte particularitățile cinematice, ce caracterizează distribuția de viteze şi accelerații. Studiul geometric are la bază aspectele tratate în §8.1, în timp ce distribuția vitezelor şi accelerațiilor apelează noțiuni din §8.5 şi respectiv §8.6. În funcție de suprimarea gradelor de libertate, mișcările particulare, executate de un solid rigid sunt: mișcarea de translație, mișcarea de rotație în jurul unui ax fix, mișcarea de rototranslație (mișcarea elicoidală), mișcarea plan-paralelă şi mișcarea sferică.

9.2 Mişcarea de translaţie Aşa cum reiese din §8.1, un solid rigid execută o mișcare de translație, dacă

o dreaptă oarecare aparținând rigidului, rămâne paralelă cu ea însăși toată durata mişcării. Pentru a pune în evidență particularitățile acestui tip de mișcare, în Fig.9.1, se consideră un solid rigid ( )S a cărui mişcare se studiază în raport cu sistemul de referinţă fix { }0 . Invariabil, legat de solidul rigid ( )S se ia un sistem de referinţă mobil { }S , care va executa aceeaşi mişcare precum solidul rigid.

Fig.9.1

y

M vr

0r

0yx

0x

0a

z

0va

Mr

( )S

0O

0z

O



Întrucât sistemul mobil păstrează orientarea identică cu a sistemului fix { }0 , mişcarea rigidului ( )S este o translaţie rezultantă. Drept urmare, mişcarea de translaţie este caracterizată prin trei grade de libertate, care conduc la următoarele particularități geometrice:

( )( )( )( )

( )0

0 0 0

0

0; 0

0

x tr r t y t t

z t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = Ω =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(9.1)

Conform Fig. 9.1, se ia în considerare un punct M , aparţinând rigidului ( )S , a cărui lege de mişcare se poate scrie sub următoarea formă vectorială:

( ) ( )0Mr t r t r= + (9.2) Dar, ținând seama de definiția mişcării de translaţie, unde .cstr = , traiectoria punctului M rezultă din traiectoria punctului O printr-o translaţie geometrică dată de vectorul rOM = . În concluzie, traiectoriile tuturor punctelor sunt curbe identice.

9.2.1 Distribuţia de viteze Pentru analiza distribuției de viteze în cazul mişcării de translaţie, se

derivează în raport cu timpul expresia vectorială (9.2). Ținând seama de faptul că .r cst= , se obţin relaţiile:

0

0 0

0

;M

M M

M

x xr r y y

z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

sau 0Mv v= (9.3)

care arată că în mişcarea de translaţie, la momentul t , vitezele instantanee ale tuturor punctelor rigidului sunt egale între ele.

9.2.2 Distribuţia de acceleraţii Prin derivarea în raport cu timpul a expresiei (9.3) în care viteza unghiulară

şi accelerația unghiulară sunt nule, adică 0=ω şi 0=ε , se obţine: 0

0 0 0

0

; ;M

M M M

M

x xr r v v y y

z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

sau 0aa = , (9.4)

care reprezintă legea distribuţiei acceleraţiilor în mişcarea de translaţie şi arată că la un moment dat t acceleraţiile tuturor punctelor rigidului sunt egale între ele. Observaţie: Ținând seama de (9.1), care arată că 0Ω = , o altă particularitate cinematică a mişcării de translaţie, constă în aceea că 0=ω şi 0=ε .



( ) ( )2 2M J Ja r r r r JM JMε ω ε ω= × − − ⋅ − ≡ × − ⋅ (9.76)

Modulul acceleraţiei punctului M este:

( )4 2Ma JM ω ε= ⋅ − (9.77)

Expresiile (9.76) şi (9.77), arată că din punct de vedere al distribuţiei de acceleraţii, mişcarea plan-paralelă este reductibilă la o rotaţie în jurul punctului J , numit polul acceleraţiilor, [I01]. Astfel, cunoscând acceleraţia unui punct Ma , precum şi viteza, respectiv acceleraţia unghiulară a rigidului, se poate deduce geometric, poziţia polului acceleraţiilor. În acest scop se calculează unghiul ψ , format de Ma cu JM :

2tg εψω

= (9.78)

Acest unghi se măsoară faţă de vectorul Ma în sensul dat de ε , definind astfel direcţia vectorului JM . Din (9.77) se explicitează modulul vectorului JM , adică:

( )4 2MaJM

ω ε=

−. (9.79)

Pe direcţia vectorului JM , anterior definită, se măsoară distanţa JM , rezultând astfel poziţia punctului J .

9.6 Mişcarea rigidului cu un punct fix (mişcarea sferică) Printre mişcările particulare cu o largă aplicabilitate în construcţia de maşini,

este mişcarea de rotaţie în jurul unui punct fix, numită generic şi mişcare sferică. O astfel de mişcare se întâlneşte printre componentele şi subansamblele autovehiculelor, structurile paralele şi seriale de roboţi, etc.

În consonanţă cu § 8.1, reprezentând studiul geometric al mişcării generale, în care se regăsesc particularităţile geometrice (8.15), se ia în studiu în Fig. 9.10 un corp rigid ( )S , care se caracterizează printr-un punct O, permanent fixat în spaţiu. Acesta este echivalent din punct de vedere mecanic cu o articulaţie sferică, conform cu §4.6.1, care suprimă din cele şase grade de libertate al rigidului liber, numai translaţiile simple. Ca urmare, rigidul posedă trei grade de libertate reprezentate prin setul de trei unghiuri Euler, ( ), ,ψ θ ϕ (vezi §1.1 şi din §8.1 (8.15). Datorită acestor restricţii cele două sisteme de referinţă mobil { }S şi fix { }0 au originea comună în punctul fix O .



Aşadar, conform cu (8.15) ecuaţiile parametrice de mişcare ale rigidului cu

punct fix sunt: ( ) ( ) ( ) ( )( ), , .Tt t t tψ θ ϕΩ =

Cele trei unghiuri din relaţia anterioară sunt incluse în matricea de rotaţie rezultantă, (8.4), rescrisă mai jos:

[ ]( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )0 , , ,S R t R z t R x t R z tψ θ ϕ= ⋅ ⋅ Pentru studiul geometric şi cinematic se consideră un punct M O≠ , ce aparţine rigidului. Ecuaţia vectorială a traiectoriei de mişcare, pentru punctul M este caracterizată prin:

[ ]( )0 ;

SM

S S S S SM M M M M MS

SM

x

r R t r i j k y x i y j z k

z

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(9.80)

ϕ

MvMa

{ } { }0 S≡

N

0y

0x

z

ϕ

ωε

ψ

Mr

0O O≡

Fig.9.10

0i

0j

0k( )Δ

θ

M

ϕ

x

i

j

( )S

ψ

rω ω× ×

rε ×

O′

ψ

y

k

0z

θ

nθ



Prin ridicare la pătrat şi însumare, expresiile anterioare devin: 222 2 2 2 2 2S S S

M M M M M M Mx y z x y z r OM+ + = + + = = (9.81)

Relaţia (9.81) reprezintă ecuaţia unei suprafeţe sferice. Aşadar traiectoriile tuturor punctelor rigidului sunt situate pe suprafeţe sferice, concentrice cu centrul geometric în punctul O de raze Mr . Ca urmare, mişcarea rigidului cu un punct fix este cunoscută şi sub denumirea de mişcare sferică.

9.6.1 Particularităţi cinematice

Ţinând seama că originea sistemului de referinţă { }S este fixă, adică

0 0,r = rezultă că viteza şi acceleraţia originii sistemului mobil este zero, adică { }0 00, 0v a= = . Luând în considerare aspectele din §8.4, viteza unghiulară este o funcţie de cele trei unghiuri Euler şi derivatele în raport cu timpul a acestora. Ecuaţiile (8.75), (8.76) şi (8.81), (8.82), consfiinţesc vectorul viteză unghiulară ω cu proiecţie pe sistemele de referinţă fix şi mobil, adică:

0 c s s0 s c s1 0 c

x

y

z

Jψω ψ ψ θ

ω ω ψ θ ϕ ψ ψ θ θθ ϕω

Ω

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⋅⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟= = + + = − ⋅ ⋅ = ⋅Ω⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠

( ) [ ] ( )0s s c 0c s s 0

c 0 1

Sx

TS S Sy S

Sz

R J

ω ψϕ θ ϕω ω ω ϕ θ ϕ θ

θ ϕωΩ

⎛ ⎞ ⎡ ⎤⋅⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟= = ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅Ω⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠

De asemenea, în §8.4, s-a arătat că acceleraţia unghiulară ε este definită cu (8.93), adică:

( ) ( ) ( ) ( )S S S SJ Jε ω Ω Ω= = ⋅Ω + ⋅Ω În acelaşi paragraf s-a demonstrat expresia (8.97), adică :

0ω ε× ≠ În concluzie, în mişcarea sferică, vectorii viteză unghiulară şi acceleraţie unghiulară nu sunt coliniari.

9.6.2 Distribuţia de viteze Expresia (9.80), se derivează în raport cu timpul, şi se obţine:

[ ] [ ]0 0 0 ;T S

M M MS SSr R R R r rω⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ = ×⎣ ⎦ (9.82)



adică: M Mv rω= × (9.83) Expresia anterioară, caracterizează distribuţia de viteze în mişcarea sferică, care este identică ca formă de exprimare matematică cu expresia vitezei în mişcarea de rotaţie în jurul unei axe fixe. Spre deosebire de aceasta, în mişcarea sferică componentele scalare ale vitezei unui punct M devin:

00

0

z y y M z MM M

M M z x M z M x M

M y x M x M y M

z yx xv y y x z

z z y x

ω ω ω ωω ω ω ωω ω ω ω

− ⋅ − ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − ⋅ = ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅ − ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(9.84)

Observaţie: În continuare se demonstrează că în mişcarea sferica există puncte cu viteza nulă la momentul ( )t , altele decât punctul fix O. Astfel, în ecuaţia (9.83), se impune 0v = rezultând:

0rω× = , adică r λ ω= ⋅ ; x y z

x y z λω ω ω

= = = (9.85)

Ecuaţia anterioară, arată că toate punctele situate pe o dreaptă care trece prin punctul O, coliniară cu ω , au la momentul ( )t viteză nulă. Această dreaptă se numeşte axă instantanee de rotaţie (A.I.R). Aşadar din punct de vedere a distribuţiei de viteze, mişcarea sferică poate fi disociată într-o infinitate de rotaţii elementare, cărora le corespund la momentul ( )dt o axă instantanee de rotaţie A.I.R.

9.6.3 Distribuţia acceleraţiilor Asupra expresiei (9.83) se aplică derivata de ordin întâi în raport cu timpul,

rezultând:

M M M M M M Ma v r r r v r rω ω ε ω ε ω ω= = × + × = × + × = × + × × (9.86)

M M Ma r rε ω ω= × + × × (9.87) Expresia (9.87) reprezintă legea distribuţiei de acceleraţii în mişcarea sferică, iar forma de exprimare matematică este identică cu expresia acceleraţiei în mişcarea de rotaţie în jurul unei axe fixe. Deosebirea constă în componentele scalare reprezentate în acest caz prin expresiile:

00 ;

0

z y y C z MM

rot M z x M z C x M

y x M x C y M

z yxa r y x z

z y x

ε ε ε ε

ε ε ε ε εε ε ε ε

− ⋅ − ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= × = − ⋅ = ⋅ − ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⋅ − ⋅⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(9.88)



( )

( )( )

( )

2 2

2 2

2 2

0 00 0

0 0

;

z y z y

ax M z x z x

y x y x

y z x y x z

y x z x y z

z x z y x y

a rω ω ω ω

ω ω ω ω ω ωω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= × × = − ⋅ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤− + ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ − + ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ − +⎢ ⎥⎣ ⎦

(9.89)

( ) ( ) 2ax Ma r O M O M O Mω ω ω ω ω ω ω′ ′ ′= × × = × × = ⋅ ⋅ − ⋅ (9.90)

unde rota poartă denumirea de acceleraţie de rotaţie, iar axa de acceleraţie axipetă.

Substituind (9.88) şi (9.89) în (9.87), expresia acceleraţiei punctului M devine:

( )( )

( )

2 2

2 2

2 2

;

y z x y z x z yM

M y x z z x y z x M

Mz x y z y x x y

xa y

z

ω ω ω ω ε ω ω ε

ω ω ε ω ω ω ω ε

ω ω ε ω ω ε ω ω

⎡ ⎤− + ⋅ − ⋅ +⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ + − + ⋅ − ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⋅ − ⋅ + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

(9.91)

Observaţie: Pentru a verifica dacă există puncte cu acceleraţie nulă, conform cu

[I01] se impune în (9.91) ca 0Ma = . Astfel se obţine un sistem de trei ecuaţii

algebrice liniare şi omogen, în necunoscutele ( ), ,M M Mx y z . Pentru a obţine o soluţie

diferită de cea banală, adică ( )0, 0, 0M M Mx y z= = = trebuie ca determinantul

sistemului să fie zero. În urma calculării determinantului din (9.91), se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 0y z z y z x x z x z z zω ε ω ε ω ε ω ε ω ε ω ε ω ε⎡ ⎤Δ = − × = − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ≠⎣ ⎦

În concluzie, rezultă că în mişcarea sferică nu există puncte cu acceleraţia egală cu

zero, altele decât punctul O. Aşadar, mişcarea sferică este ireductibilă din punct de

vedere al distribuţiei de acceleraţii la alte forme de mişcări simple.



9.7 Aplicații 9.7.1 O dreaptă ( )d se roteşte în jurul punctului O cu viteză unghiulară constantă ω şi taie

un cerc de raza r într-un punct notat cu M (vezi Fig.9.11). Se cere să se determine viteza şi

acceleraţia punctului M în mişcarea sa pe cerc şi pe dreaptă.

Rezolvare:

În mişcarea punctului material pe un cerc, ecuaţia vectorială poate fi scrisă sub forma:

( ) ( )ϕ ϕ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅⎣ ⎦2 2r r s i c j (9.92)

Conform cu (7.12) viteza se exprimă ca derivata în raport cu timpul a vectorului de poziţie:

d rv rdt

= = (9.93)

Derivând în raport cu timpul ecuaţia vectorială a mişcării (9.92), rezultă expresia vitezei:

2v rω= ⋅ ⋅ (9.94)

Acceleraţia e definită ca derivata de ordinul întâi a vectorului viteză sau derivata de ordinul doi a

vectorului de poziţie. Derivând de două ori în raport cu timpul (9.92), se obţine:

( ) ( )2 24 4s 2 2a v r r ri c jω ωϕ ϕ⎡ ⎤= = = − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ + ⋅⎣ ⎦ (9.95)

x

y

( )M t0 0=M

R

ν

τ

N

O1

r2⋅

2 ϕ⋅

a1a v1

v

s0

Oω

( )d

sϕ

Fig. 9.11



În mişcarea punctului material pe o dreaptă , ecuaţia parametrică a mişcării este:

2s r cϕ= ⋅ ⋅ (9.96)

Viteza punctului material rezultă prin derivarea în raport cu timpul a ecuaţiei (5):

1 2dsv r sdt

ω ϕ= = − ⋅ ⋅ ⋅ (9.97)

Analizând Fig.9.11 se deduce următoarea expresie pentru deplasarea s şi anume:

( )2 2 24 1s r s ϕ= ⋅ ⋅ − (9.98)

În expresia (9.98) se explicitează sϕ în funcţie de raza cercului r şi deplasarea s , astfel:

2 21 42

s r sr

ϕ = ⋅ ⋅ −⋅

(9.99)

Se înlocuieşte relaţia (9.99) în expresia vitezei definită cu (9.97),rezultând în final:

2 21 4v r sω= − ⋅ ⋅ − (9.100)

Acceleraţia punctului în mişcarea pe o dreaptă se obţine efectuând derivata de ordinul întâi

în raport cu timpul a vitezei, astfel ținând seama de (9.100) rezultă:

11 2dva r c

dtω ϕ= = − ⋅ ⋅ ⋅ , dar 2 2 24s r c ϕ= ⋅ ⋅ de unde rezultă: 2

1a sω= − ⋅ (9.101)

Ținând seama de §7.4.2 și §7.4.3 viteza şi acceleraţia unui punct, în mişcare pe un cerc se

exprima în coordonate intrinseci respectiv în coordonate polare, după cum urmează:

θ ϕ= 2 de unde rezultă ϕ= ⋅ ⋅0 2s R (9.102)

0 2 2v s R Rϕ ω= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (9.103)

0 0a sτ = = ; 2 2 2

20 4 4s Ra RRν

ω ωρ

⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅ (9.104)



9.7.2 Bara OC se roteşte cu viteza unghiulară constantă ω în jurul articulaţiei cilindrice O şi pune în mişcare bara AB ale cărei puncte D şi E se deplasează în lungul axelor Ox şi Oy. Ştiind că AE=EC=CD=DB=OC=l, să se determine: a. traiectoria, viteza şi acceleraţia

punctului A; b. viteza şi acceleraţia unghiulară

instantanee a barei AB; c. centroidele mişcării barei AB; d. polul acceleraţiilor; Rezolvare:

Pentru determinarea traiectoriei, vitezei respectiv accelerației punctului A se scriu legile de mișcare în raport cu sistemul fix de referințe { }0 :

3 cossin

A

A

x ly l

ϕϕ

= − ⋅ ⋅⎧⎨ = − ⋅⎩

; (9.105)

de unde rezultă ridicând la pătrat și însumând cele două relații traiectoria de mișcare al punctului A:

2 2

2 2 19

A Ax yl l+ =

⋅; - ecuația unei elipse

Derivând legile de mișcare al punctului A în raport cu timpul se obține proiecțiile vitezei pe sistemul fix de referință:

23 sin 8 sin 1cosA

AA

x l v ly lω ϕ ω ϕω ϕ

= ⋅ ⋅ ⋅⎧ ⇒ = ⋅ ⋅ +⎨ = − ⋅ ⋅⎩ (9.106)

Accelerația punctului A se determină derivând proiecțiile vitezei în raport cu timpul 2

2 22

3 cos 8 cos 1sin

AA

A

x l a ly l

ω ϕ ω ϕω ϕ

⎧ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ +⎨ = ⋅ ⋅⎩ (9.107)

Pentru determinarea vitezei și accelerației unghiulare instantanee a barei AB se scrie viteza punctului C, ținând seama că bara OC execută mișcare de rotație. Datorită faptului că punctul C aparține de bara AB la care se cunoaște poziția centrului instantaneu de rotație (CIR), viteza s-a poate fi scrisă și în funcție de viteza unghiulară instantanee a barei AB.

; ; 0C AB AB AB ABv l l cstω ω ω ω ε ω= ⋅ = ⋅ ⇒ = = ⇒ = = (9.108) Pentru determinarea polului accelerațiilor se scriu următoarele relații:

2 2A ABa JA JA JAε ω ω= × − ⋅ = − ⋅ ; de asemenea:

O

A

E

C

D

B0y

0x

yx

ϕ

ω

ωCIR



22

2 2; ; ;CC

a la l JC l J Oωωω ω

⋅= ⋅ ⇒ = = = ⇒ ≡ (9.109)

Se scriu proiecțiile vectorului de poziție al centrului instantaneu de rotație în raport cu sistemul fix pentru determinarea bazei:

00 2 0 2 2

02 cos 4

2 sinCIR

CIR CIRCIR

x l x y ly l

ϕϕ

⎧ = − ⋅ ⋅⇒ + = ⋅⎨ = ⋅ ⋅⎩

- baza (9.110)

Similar se proiectează vectorul de poziție al centrului instantaneu de rotație în raport cu sistemul mobil xCy pentru determinarea rostogolitoarei:

2 2 2cos2sin2

CIRCIR CIR

CIR

x l x y ly lϕ

ϕ= − ⋅ ⋅⎧ ⇒ + =⎨ = ⋅ ⋅⎩

- rostogolitoarea (9.111)

9.7.3 Pentru mecanismul din figură, alcătuit din barele articulate AB şi BC de lungime l, precum şi discul (S) de rază R=l/4, care se rostogoleşte fără alunecare pe un plan orizontal, se cer: a. baza şi rostogolitoarea pentru bara BC; b. vitezele în punctele B, C, D, E, fiind dată viteza unghiulară a barei AB (ω =constant); acceleraţiile punctelor B, C, D, E, precum şi polul acceleraţiilor pentru bara BC, dacă ω =constant. Se determină poziția centrului instantaneu de rotație al barei BC, utilizând figura, bara AB execută o mișcare de rotație de unde rezultă că viteza punctului B este perpendiculară pe

A J≡EC

D

B

0y

0x

y

x

ϕ

ω

BCCIRω

discCIR

l

2l

2l

2 ϕ⋅

R

CvEv

Dv

Bv

Ca

Ba

Da

discω



AB, iar punctul C execută o mișcare de translație pe direcția axei 0x , se duce o linie perpendiculară pe axa 0x până când intersectează dreapta AB, punctul de intersecție reprezintă centrul instantaneu de rotație. Pentru determinarea bazei se scriu coordonatele centrului instantaneu de rotație în raport cu sistemul fix de referință:

00 2 0 2 2

0

2 cos4

2 sinBC

BC BC

BC

CIRCIR CIR

CIR

x lx y l

y lϕϕ

⎧ = ⋅ ⋅⎪ ⇒ + = ⋅⎨ = ⋅ ⋅⎪⎩ - baza. (9.112)

Coordonatele centrului instantaneu de rotație în raport cu sistemul mobil atașat punctului D se utilizează pentru determinarea rostogolitoarei:

22 2cos2

2 2sin2BC

BC BC

BC

CIRCIR CIR

CIR

l lx l x y ly l

ϕ

ϕ

⎧ = − + ⋅ ⋅⎪ ⎛ ⎞⇒ + + =⎜ ⎟⎨⎝ ⎠= ⋅ ⋅⎪⎩

- rostogolitoarea. (9.113)

Bara AB execută o mișcare de rotație în jurul punctului A de unde rezultă că viteza punctului B se determină cu relația: Bv lω= ⋅ ; Viteza punctului C se determină utilizând principiul că la un moment dat bara BC execută o mișcare pură de rotație în jurul centrului instantaneu de rotație: C BC BCv CIR Cω= ⋅ ; Se poate observa că BCω ω= respectiv utilizând figura 2 sinBCCIR C l ϕ= ⋅ ⋅ , înlocuind în relația vitezei punctului C obținem: 2 sinCv lω ϕ= ⋅ ⋅ ⋅ ; De asemenea se determină și viteza punctului D utilizând relația de mai jos:

22 2 cos2

4D BClv CIR D l lω ω ϕ= ⋅ = ⋅ + − ⋅ ⋅ ; (9.114)

Discul execută o mișcare plană și centrul instantaneu de rotație se găsește în punctul de contact cu planul orizontal pe care se rostogolește, în acest caz viteza punctului E este:

2E disc disc discv CIR E Rω ω= ⋅ = ⋅ ; (9.115) Utilizând viteza punctului C se determină viteza unghiulară al discului cu relația:

2 sin . 2 2 sinCdisc E

v l cst v lR R

ω ω ϕ ω ϕ⋅= = ⋅ ⋅ ≠ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ (9.116)

Pentru determinarea polului accelerațiilor se scriu următoarele relații: 2

Ba JBω= − ⋅ ; de asemenea: 2

22 2; ; ;B

Ba la l JB l J Aωωω ω

⋅= ⋅ ⇒ = = = ⇒ ≡

Utilizând polul accelerațiilor se determină accelerațiile punctelor C,D cu ecuațiile:

2 22 cosBa JC lω ω ϕ= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ; 2

2 2 2 2 cos24Dla JD l lω ω ϕ= ⋅ = ⋅ + + ⋅ ⋅ ; (9.117)

Pentru determinarea accelerației punctului E se scrie proiecția vectorului de poziție pe axele sistemului fix de referință:

22 cos 2 cosE E Ex R l a x lϕ ω ϕ= + ⋅ ⋅ ⇒ = = − ⋅ ⋅ ⋅



9.7.4 Se dă mecanismul din figură format din două discuri solidare concentrice 1 de raze 2R şi respectiv 4R, bara 2 de lungime 8R articulată la capete în A şi B şi discul 3 de rază 3R. Centrele O şi B sunt situate pe aceeaşi orizontală, paralelă cu planele pe care se rostogolesc fără alunecare corpurile 1 şi 3. Pe discul de rază 2R este înfăşurat un fir inextensibil al cărui capăt P se deplasează pe orizontală, cu viteza v constantă. Se cer: a. vitezele punctelor O, A şi B; b. vitezele unghiulare ale corpurilor 1, 2 şi 3; c. acceleraţiile unghiulare ale corpurilor 1, 2 şi 3; d. acceleraţiile punctelor O, A şi B (pentru OA-vertical).

Centrul instantaneu de rotație ( )1CIR al corpului 1 se găsește în punctul de contact dintre discul de raza 4R și planul orizontal. Știind viteza punctului P, viteza unghiulară 1ω se

determină cu relația: 11 2

v vCIR P R

ω = =⋅

; (9.118)

AM

O B

2CIR

P2

4R

Ov

v

2ω

3CIR3ω

1CIR1ω

2R

3R

ϕ

2ϕ

ψ8R

1

3

2ϕM ′



De unde rezultă viteza liniară a centrului O: 0 1 4 2v R vω= ⋅ ⋅ = ⋅ ; Cunoscând viteza unghiulară și poziția centrului instantaneu de rotație al corpului 1, viteza liniară a punctului A are următoarea formă: 1 1Av CIR Aω= ⋅ ;

Utilizând figura: 1 8 cos 4 cos2 2ACIR A R v vϕ ϕ

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ . (9.119)

Pentru determinarea vitezei unghiulare 2ω , se determină poziția centrului instantaneu de rotație pentru corpul 2 ( )2CIR . Știind pozițiile centrelor instantanee de rotație ( )1CIR respectiv ( )3CIR , se prelungesc dreptele 1CIR A și 3CIR B , iar punctul de intersecție reprezintă centrul instantaneu de rotație al barei AB. În acest caz viteza unghiulară a barei

se determină cu relația: 22

AvCIR A

ω = ;

Distanța 2CIR A se obține utilizând figura:

2 2 2 2

264 16 cos 4 4 cos

sin sin sin2 2 2

R R RAMCIR A ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= = = , (9.120)

Utilizând relația de mai sus rezultă: 2 2

sin2 4 cosvR

ϕωϕ

= ⋅−

(9.121).

Viteza punctului B se determină luând în considerare viteza unghiulară a barei AB cu relația: ( )2 2Bv CIR M MBω= ⋅ + ; (9.122) Distanța ( )2CIR M MB+ , se determină utilizând triunghiurile 2CIR MA și OM A′ obținând:

22

cos24 4 cos 4 cos

sin2

CIR M M B R R

ϕ

ϕ ϕϕ

+ = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ; (9.123)

Înlocuind distanța de mai sus în relația vitezei punctului B rezultă ecuația:

22

cos24 cos sin 4 cos cos

2 24 cosBv v

ϕϕ ϕϕ ϕ

ϕ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦−

. (9.124)

După determinarea vitezei liniare a punctului B, se va determina viteza unghiulară a discului 3:

23 3 2

cos4 2; cos sin 4 cos cos3 3 2 24 cos

Bv vR R

ϕϕ ϕω ω ϕ ϕ

ϕ⎡ ⎤= ⇒ = ⋅ ⋅ + − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦−

; (9.125)

Pentru determinarea accelerațiilor unghiulare ale corpurilor, se derivează vitezele unghiulare:

22

2

1 1 2 2 2

sin cos4 cos cos4 cos0;

2 4 cosvR

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕϕ

ε ω ε ωϕ

⋅⋅ − ⋅ + ⋅

−= = = = ⋅

−; (9.126)



( )( )

222

2 322 2

cos sin cos4 cos4 4 cos

vR

ϕ ϕ ϕϕε

ϕ

+ ⋅−= ⋅

−; (9.127)

( ) 223 3

2

22

22

cos sin cos1 24 4 cossin2 4 cos3 cos sin

4 cos 2

cos 12cos 4 cos sin sin cos cos2 2 2 24 cos

cos sin cos1 2sin 4 cos2 2 4 cos

vR

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕε ω

ϕ ϕϕϕ

ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ ϕϕϕ ϕ ϕ

ϕ

⎡ ⋅ ⋅⎢⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅−⎢= = ⋅−⋅ ⎛⎢ ⋅ +⎜⎢ − ⎝⎣

⎞ ⎛+ ⋅+ ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ −⎟ ⎜⎠ ⎝−

⎞⋅ ⋅− ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅

− ⎠

;⎤⎥⎟⎥⎟⎟⎥⎦

(9.128)

Pentru determinarea accelerațiilor liniare a punctelor O,A și B se determină poziția polului de

accelerații, pentru început pentru primul corp:

3

1 1 11 14 2 4 2

1 1 1 1

0; 4J Jv vx y R J Oω ε ω

ω ε ω ε⋅ ⋅ ⋅

= = = = ⋅ ⇒ ≡+ +

(9.129)

Utilizând poziția polului de accelerații rezultă ecuațiile: 2

210; 4O A

va a RR

ω= = ⋅ ⋅ = ;

Pentru corpul trei poziția polului de accelerații se determină utilizând relațiile:

3

3 3 33 34 2 4 2

3 3 3 3

; ;B BJ J

v vx yω ε ωω ε ω ε⋅ ⋅ ⋅

= =+ +

4 23 3Ba PB ω ε= ⋅ + . (9.130)



9.7.5 Discul de rază R se rostogoleşte pe dreapta fixă ( )Δ cu viteza unghiulară

.cstR2

v00 ==ω , având viteza centrului său .cstv0 = În punctul A este articulată bara AB

de lungime 2R al cărei capăt B se deplasează pe aceeaşi dreaptă ( )Δ . Solidar şi concentric cu discul de rază R se află un alt disc de rază 3R/2 de care este articulată bara CD de lungime 3R al cărei capăt D se deplasează pe direcţia fixă ( )1Δ . Să se determine: a. centrul instantaneu de rotaţie pentru elementele 1, 2 şi 3; b. vitezele punctelor A, B, C şi D; c. acceleraţiile punctelor A şi C.

Cv

Bv

Ca

A

D

O

B

2CIR

Ov

2ω

3CIR 3ω

1CIR1ω

32

R ϕ

R

Dv

T

C

N M

S

Av( )Δ

( )1Δ3R

2R



Pentru determinarea vitezelor liniare conform cu figura de mai sus au fost determinate centrele

instantanee de rotație pentru cele trei corpuri. Utilizând ( )1CIR viteza punctului A este:

1 1 12O

Avv CIR A CIR AR

ω= ⋅ = ⋅ (9.131)

Distanța 1CIR A se determină cu relația de mai jos rezultând viteza punctului A:

( )2 21 2 sin cos 5 4 sin ; 5 4 sin

2O

AvCIR A R R vϕ ϕ ϕ ϕ= ⋅ − + = − ⇒ = ⋅ − (9.132).

Identic se determină și viteza liniară a punctului C utilizând aceeași considerente:

1 1 1

2 2

1

;2

3 32 cos sin 25 24 cos ; 25 24 cos .2 2 2 4

OC

OC

vv CIRC CIRCR

vRCIRC R R R v

ω

ϕ ϕ ϕ ϕ

= ⋅ = ⋅

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Pentru determinarea vitezei punctului B, se va determina viteza unghiulară al barei doi cu:

22 2

15 4 sin2OA vv

CIR A CIR Aω ϕ= = ⋅ − ⋅ ; (9.133)

iar distanța 2CIR A se determină utilizând că triunghiul 2CIR MA și 1CIR NA sunt asemenea:

( )

( )

22 2 2 2

1 1

4 1 sin;

cos 2 sin5 4 sinRCIR A CIR M CIR A CIR MAM

AN CIR A CIR N R RRϕ

ϕ ϕϕ⋅ − −

= = ⇒ = =⋅ ⋅ −⋅ − ⋅

;

( )

( )( ) ( )

22 2 2

22

cos5 4 sin 4 1 sin ; ;cos 2 4 1 sin

2 sin 4 1 sin ;cos

OvRCIR AR

RCIR M

ϕϕ ϕ ωϕ ϕ

ϕ ϕϕ

= ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⇒ = ⋅− −

= ⋅ − ⋅ − −

Utilizând viteza unghiulară 2ω , se poate determina viteza liniară a punctului B cu relațiile:

( ) ( ) ( )22 2 2 2; 2 sin 4 1 sin 1 sin ;

cosBRv CIR B CIR B CIR M MB Rω ϕ ϕ ϕϕ

= ⋅ = + = ⋅ − ⋅ − − + ⋅ −



rezultând: ( )( )2

cos 1 sin2 sin .2 4 1 sinO

Bvv ϕ ϕ

ϕϕ

⎛ ⎞⋅ −= ⋅ − +⎜ ⎟

⎜ ⎟− −⎝ ⎠ (9.134)

Parcurgând același pași se determină și viteza liniară punctului D, după cum se observă:

33

;CvCIR C

ω = (9.135)

în cazul respectiv distanța 3CIR C se determină din condiția 3 1CIR TC CIR SCΔ ≈ Δ :

2

3 3 3 3

1 1

3 4 sin2; 3 325 24 cos 2 cos sin

2 2 2

RCIR C CIR T CIR C CIR TTCRCIR C CIR S CS R R R

ϕ

ϕ ϕ ϕ

⋅ ⋅ −= = ⇒ = =

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅;

3 2

1 4 3 cos ;6 4 sin

OvR

ϕωϕ

+ ⋅= ⋅ ⋅

− (9.136)

Viteza liniară a punctului D are forma: 3 3Dv CIR Dω= ⋅ ;

Distanța 3CIR D se determină cu relația de mai jos:

2

3 34 sin3 3sin sin

2 4 3 cos 2CIR D CIR T TD R Rϕ

ϕ ϕϕ

−= + = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

+ ⋅; (9.137)

rezultând: 2

1 4 3 cossin 14 4 sin

D Ov v ϕϕϕ

+ ⋅⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟−⎝ ⎠

; (9.138)

Pentru accelerațiile liniare ale punctelor A și C, se determină poziția polului accelerațiilor.

Utilizând condiția .Ov cst= , obținând 0Oa = , deci O este polul accelerațiilor, rezultând:

2 2

2 21 1

3 3;4 2 8

O OA C

v va R respectiv a RR R

ω ω= ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅⋅

. (9.139)


Capitolul 10 – MIŞCAREA RELATIVĂ

Capitolul 10. Mişcarea relativă

10.1 Consideraţii generale În partea introductivă a părţii a doua, intitulată Cinematica, s-a arătat că

mişcarea unui sistem material (punct material, sistem discret de puncte materiale, corpuri) în raport cu un sistem de referinţă fix, poartă denumirea de mişcare absolută, în timp ce mişcarea sistemului material în raport cu sistemul de referinţă mobil poartă denumirea de mişcare relativă. Prezentul capitol conţine două părţi esenţiale ce urmăresc studiul cinematic al mişcării relative. Mai întâi, se va aborda mişcarea relativă a punctului material, prin studiul geometric şi respectiv prin legea de compunere a vitezelor şi acceleraţiilor. În partea a doua, studiul se extinde asupra sistemelor de corpuri. Se va analiza mişcarea, sub formă matriceală, din punct de vedere al parametrilor de poziţie şi orientare. În continuare, se va trece la studiul vitezelor şi acceleraţiilor unghiulare şi liniare.

10.2 Mişcarea relativă a punctului material Spre deosebire de capitolele consacrate mişcării absolute a punctului

material, există o serie de aplicaţii în care problema centrală este studiul mişcării sistemelor materiale în raport cu un sistem de referinţă mobil. Acest studiu constă în determinarea traiectoriei, vitezei şi acceleraţiei ce exprimă mişcarea absolută a punctului material, fiind cunoscuţi în acest sens parametrii cinematici ce exprimă mişcarea punctului material faţă de un sistem de referinţă mobil, precum şi parametrii cinematici ai mişcării absolute a sistemului de referinţă mobil. Pentru a studia mişcarea relativă, în Fig. 10.1 s-a reprezentat un sistem de referinţă fix, notat

0 0 0 0O x y z sau { }0 şi un sistem de referinţă mobil simbolizat Oxyz sau { }S , cu originea într-un punct oarecare O , din spaţiu, la care se adăugă sistemul cu originea în acelaşi punct O , care însă îşi păstrează orientarea constantă cu a sistemului de referinţă fix, simbolizat 0 0 0Ox y z′ ′ ′ . În aceeaşi figură, este reprezentat un punct material M a cărui mişcare va constitui obiectivul central al acestui studiu.

10.2.1 Studiul geometric şi cinematic Pentru început, se realizează un studiu geometric al sistemului mecanic

reprezentat în Fig. 10.1. Conform aspectelor din capitolul patru, sistemul de referinţă { }S prezintă, în cazul general, şase parametri independenţi de poziţie şi orientare, fiecare dintre ei fiind funcţii de singura variabilă independentă, care este parametrul



timp. Aceşti parametri sunt incluşi în simbolul ( )X t , care în algebra matriceală reprezintă un vector coloană de dimensiuni ( )6 1× , scris matriceal [N01], astfel:

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]0 0 00

T

T

x t y t z tr tX t

t t t tψ θ ϕ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ω⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(10.1)

unde ψ reprezintă unghiul de precesie, θ unghiul de nutaţie, iar ϕ unghiul de rotaţie proprie, adică setul de unghiuri Euler, care este inclus în simbolul ( )tΩ având în algebra matriceală semnificaţia unui vector coloană ( )3 1× , numit în acest capitol vector de orientare (vezi capitolul patru).

Fig. 10.1

x

y

z

0y ′

0z′k

j

i

ϕ

ϕ

θ

0k ′ψ

θN

ϕθψ0i ′

0i

0j ′

ψ

0j

0k

0x

0y0O

0rMr0z

ε ω0v

0a

{ }0

0x′

s rM

{ }S′

av

aaR O



Astfel, prin funcţia vectorială ( )0 0r r t= , se remarcă ecuaţiile care exprimă mişcarea de translaţie rezultantă a sistemului de referinţă mobil, respectiv prin vectorul de orientare ( )tΩ = Ω , ecuaţiile parametrice care exprimă mişcarea de rotaţie rezultantă a aceluiaşi sistem de referinţă mobil. Conform aceluiaşi capitol 4, s-a introdus matricea de rotaţie rezultantă, ale cărei cosinusuri directoare sunt funcţii în exclusivitate de setul de unghiuri Euler, aşa cum se poate observa şi din expresia (8.4), rescrisă sub forma următoare:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )0 ; ; ;s R R R z R x R zψ θ ϕ ψ θ ϕ= − − = ⋅ ⋅ .

( )s c s c c s c c c s s s

R c c s s c c c c s s c ss s s c c

ψ θ ϕ ψ ϕ ψ θ ϕ ψ ϕ ψ θψ θ ϕ ψ θ ϕ ψ ϕ ψ θ ϕ ψ ϕ ψ θ

θ ϕ θ ϕ θ

− ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎡ ⎤⎢ ⎥− − = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅⎢ ⎥

⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

Aşadar, sistemul de referinţă mobil { }S , supus analizei prezentului capitol, se află într-o mişcare generală, caracterizată prin şase parametri independenţi, reprezentând ecuaţiile parametrice de mişcare, simbolizate prin expresiile conţinute în (10.1). Punctul material M , spre deosebire de capitolele precedente, se află în mişcare atât faţă de sistemul de referinţă fix { }0 , cât şi faţă de sistemul de referinţă mobil { }S . Conform aceluiaşi capitol 4, se pot scrie următoarele ecuaţii matriceale, ce exprimă transferul vectorului de poziţie OM , din sistemul de referinţă mobil, simbolizat s sOM r= , în sistemul de referinţă fixOM r= , cu observaţia că atât

( )r r t= , cât şi ( )S Sr r t= sunt funcţii vectoriale de parametrul timp: ( ) [ ]( ) ( )0 s

sr t R t r t= ⋅ . (10.2) Astfel, s-a obţinut ecuaţia vectorială cu proiecţie pe sistemul { }0 , a traiectoriei mişcării relative a punctului material M . Poziţia punctului material în raport cu sistemul de referinţă fix, este:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( )00 0

sM sr t r t r t r t R t r t= + = + ⋅ (10.3)

Ţinând seama de semnificaţia expresiei (10.2), expresia (10.3), caracterizează ecuaţia vectorială a traiectoriei mişcării absolute a particulei materiale M . Spre deosebire de mişcarea absolută, evidenţiată prin relaţia (10.3), mişcarea de transport, inevitabilă în acest studiu cinematic, este evidenţiată prin ecuaţia vectorială a traiectoriei punctului material M , de forma:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( )00 0

sM sr t r t r t r t R t r= + = + ⋅ (10.4)

Aşadar, mişcarea de transport caracterizează mişcarea particulei M , fără a lua în considerare mişcarea relativă, adică la momentul t se consideră, imaginar, că punctul M este solidar cu sistemul de referinţă mobil.



Sub aspectul cinematicii instantanee la momentul t , sistemul de referinţă mobil { }S se caracterizează pe de o parte prin parametrii cinematic specifici translaţiei rezultante, iar pe de alta parte rotaţiei rezultante. Astfel, mişcarea de translaţie rezultantă, se caracterizează prin viteza şi acceleraţia originii sistemului de referinţă mobil, definite prin expresiile:

( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;T Tv r x y z a v r x y z= = = = = . (10.5) Mişcarea de rotaţie rezultantă, este evidenţiată prin vectorul viteză şi acceleraţie unghiulară, expresiile acestor parametri cinematici fiind definite în capitolul opt.

10.2.2 Legea de compunere a vitezelor Ecuaţia de plecare în determinarea legii de compunere a vitezelor în

mişcarea relativă este (10.3). Asupra acestei ecuaţii se aplică derivata absolută ordinul întâi în raport cu timpul, rezultând:

0Mr r r= + , (10.6)

unde M ar v= , iar 0 0r v= ; (10.7)

av fiind viteza absolută, care se va determina în funcţie de mişcarea relativă a punctului M , iar 0v reprezintă viteza absolută a originii sistemului de referinţă

mobil. Semnificaţia vectorului 0r din expresia (10.6) se stabileşte în urma aplicării derivatei absolute de ordinul întâi în raport cu timpul asupra relaţiei (10.2), rezultând:

[ ] [ ]0 0s

ss s

rr R r Rt

∂= ⋅ + ⋅

∂, (10.8)

Primul termen din membrul drept al expresiei anterioare se dezvoltă în conformitate cu proprietatea privind derivata în raport cu timpul a matricei de rotaţie, rezultând relaţia:

[ ] [ ] [ ]( ) [ ]0 0 0 0Ts ss s s sR r R R R r rω⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = × . (10.9)

care reprezintă viteza de rotaţie.

Observaţii: Pentru a defini caracterul expresiei s rt

∂∂

din (10.8), se scrie mai întâi,

conform cu expresia (10.2) următoarea relaţie de transfer a vectorului r , cu proiecţie pe sistemul { }S :

[ ] ( )0 TTs S S Ssr R r x y z= ⋅ = . (10.10)



Derivata absolută în raport cu timpul a vectorului s r , este:

[ ] [ ]0 0s

T Ts s

d r drR R rdt dt

= ⋅ = ⋅ . (10.11)

reprezentând o relaţie de transfer din sistemul de referinţă fix, pe sistemul de referinţă mobil. Întrucât în expresia (10.10), vectorul s r este reprezentat numai prin componente scalare pe axele sistemului de referinţă mobil, aplicarea derivatei în raport cu timpul asupra relaţiei (10.10) conduce la:

[ ] [ ]0 0s T T

s sr R r R rt

∂= ⋅ + ⋅

∂. (10.12)

unde s rt

∂∂

are caracterul unei derivate relative în raport cu timpul. Se aplică asupra

expresiei (10.12) următoarele transformări diferenţiale:

[ ]0s s T

sd r r R rdt t

∂= − ⋅

∂. (10.13)

[ ] ( )0 0T S S

s R r rω⋅ = − × ≠ (10.14)

unde ( )Sω× este rezultatul transformărilor din (8.88). Ca urmare, rezultă: s s

S Sd r r rdt t

ω∂= + ×

∂. (10.15)

s sd r rdt t

∂≠

∂. (10.16)

Aşadar, în cazul parametrilor cinematici liniari, derivata absolută în raport cu timpul nu este identică cu derivata relativă în raport cu timpul, aplicate aceluiaşi vector cu proiecţii pe sistemul de referinţă mobil. Ţinând seama de expresia (10.16), al doilea termen din (10.8) se notează:

[ ]0s

s rrR vt

∂⋅ =∂

, (10.17)

unde rv reprezintă viteza relativă a punctului material, cu proiecţii pe sistemul de referinţă fix. Substituind expresiile (10.9) şi (10.17) în relaţia (10.8), rezultă:

[ ] [ ]0 0s

ss s r

rr R r R r vt

ω∂= ⋅ + ⋅ = × +

∂. (10.18)



Substituind expresiile (10.7), respectiv (10.18) în ecuaţia de plecare (10.6), rezultă: 0a rv v r vω= + × + (10.19)

Ţinând seama de semnificaţia mişcării de transport (a se vedea Fig.10.2), viteza specifică acestui tip de mişcare este denumită viteză de transport şi este reprezentată în expresia (10.19), prin expresia de definiţie:

0tv v rω= + × , (10.20) Ca urmare, legea de compunere a vitezelor în mişcarea relativă, ia forma finală:

a r tv v v= + . (10.21) Conform expresiei (10.21), viteza absolută av a punctului material M , reprezintă suma vectorială dintre de viteza transport tv şi viteza relativă rv , adică suma vectorială a celor două tipuri de mişcări ce compun mişcarea absolută (vezi Fig.10.2).

rv

0j

( )Δ

( )M t

tv

av

{ }0

x

0y

0x

0z

rω×

y

z

0x′

0y ′

0z′

( )tϕ

( )tϕ

( )tψ

N( )tθ

( )tθ

0v

0v

ωε

0r

r( )S r

Mr

{ } { }0 ;0 ;

O OS

′ ≡′

( )tψ

Fig. 10.2

( )j t

( )i t0i

0j

0k

0k

( )k t

0i

0a

O



10.2.3 Legea de compunere a acceleraţiilor Pentru determinarea legii de compunere a acceleraţiilor se poate utiliza ca

şi ecuaţie de plecare fie expresia (10.3), fie (10.19). În primul caz, trebuie aplicată derivata absolută de ordinul doi în raport cu timpul. Întrucât studiul vitezelor s-a efectuat în paragraful anterior, se preferă utilizarea expresiei (10.19) asupra căreia se aplică derivata absolută de ordinul întâi în raport cu timpul:

0a rv v r r vω ω= + × + × + , (10.22)

unde, a av a= , 0 0v a= ; ω ε= , (10.23)

În expresia (10.23), termenul aa reprezintă acceleraţia absolută a punctului material; 0a este acceleraţia absolută a originii sistemului de referinţă mobil, iar ε acceleraţia unghiulară exprimând mişcarea de rotaţie rezultantă, componentă a mişcării generale a sistemului de referinţă mobil. Expresia (10.18) este substituită în al doilea termen al membrului drept, din (10.22):

rr r vω ω ω ω× = × × + × , (10.24) Pentru dezvoltarea termenului rv din expresia (10.22), se aplica asupra expresiei de definiţie a vitezei relative (10.17) derivata absolută în raport cu timpul. Astfel, rezultă:

[ ] [ ] [ ]( )2

0 0 02

s s s

r s s sd r r rv R R Rdt t t t⎧ ⎫∂ ∂ ∂

= ⋅ = ⋅ + ⋅⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭ ∂

. (10.25)

Asupra primului termen din expresia anterioară, se aplică proprietatea (8.69):

[ ] [ ] [ ]{ } [ ]0 0 0 0s s

Ts s s s r

r rR R R R vt t

ω∂ ∂⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ×∂ ∂

. (10.26)

Al doilea termen din membrul drept din expresia (10.25) este simbolizat astfel:

[ ] ( )20

2

s

s rrR a

t∂⋅ =

∂. (10.27)

unde ra reprezintă acceleraţia în mişcarea relativă a punctului material cu proiecţie pe sistemul de referinţă { }0 . Ținând seama de expresiile (10.26) şi (10.27), relaţia (10.25), ia forma:

r r rv v aω= × + (10.28) Substituind relaţiile (10.23), (10.24) şi (10.28) în ecuaţia de plecare (10.22), rezultă:

0 2a r ra a r r v aε ω ω ω= + × + × × + ⋅ × + . (10.29)



Fără a lua în considerare mişcarea relativă, adică 0rv = , 0ra = , (10.29) devine:

0 ta r r aε ω ω+ × + × × = , (10.30) unde ta este acceleraţia în mişcarea de transport a punctului material M .

Aşadar, mişcarea relativă din punctul de vedere al acceleraţiei, este reprezentată prin componenta ra , definită cu expresia (10.27) şi respectiv prin:

2 r Cv aω⋅ × = (10.31) unde Ca poartă denumirea de acceleraţia Coriolis (acceleraţie complementară care apare în exclusivitate atunci când punctul se află într-o mişcare relativă). Ținând seama de (10.30), şi (10.27), expresia (10.29), se rescrie sub forma finală:

a r t Ca a a a= + + (10.32) Expresia anterioară, poartă denumirea de legea de compunere a acceleraţiilor în mişcarea relativă a punctului material cunoscută şi sub numele de teorema lui Coriolis. În conformitate cu această teoremă, acceleraţia absolută a punctului material, reprezintă suma vectorială dintre acceleraţia de transport ( ta ) şi celelalte două componente specifice mişcării relative: acceleraţia relativă ( ra ) şi acceleraţia Coriolis ( Ca ).

ra 0j

( )Δ

( )M t

ta

Ca aa

{ }0

x

0y

0x

0z

rε ×

y

z

0x′

0y ′

0z′

( )tϕ

( )tϕ

( )tψ

N( )tθ

( )tθ

0v

0a

ωε

0r

r( )S r

Mr

{ } { }0 ;0 ;

O OS

′ ≡′

( )tψ

Fig.10.3

( )j t

( )i t0i

0j

0k

0k( )k t

0i

0a

rω ω× ×

O



10.3 Mişcarea relativă a sistemelor de corpuri Mişcarea relativă a sistemelor de corpuri se bazează pe de o parte pe

parametrii, care exprimă poziţia şi orientarea fiecărui corp în raport cu un sistem de referinţă fix, precum şi în raport cu celelalte corpuri, între care se realizează o legătură fizică. De aceea, în cele ce urmează, se apelează expresiile consacrate definirii poziţiei şi orientării, dezvoltate, de asemenea în capitolul patru şi preluate într-o formă simbolică în §10.2. Pe de altă parte, mişcarea relativă, analizată în exclusivitate sub aspect cinematic, se bazează pe expresiile de definiţie cu privire la vitezele şi acceleraţiile unghiulare, dezvoltate în subcapitolele anterioare, dar şi pe proprietăţile definite în secţiunile precedente ale prezentului capitol.

10.3.1 Studiul geometric sub formă matriceală Mai întâi, se face studiul geometric, sub formă matriceală a unui sistem de

( )n corpuri, simbolizate prin ( )iS , unde 1,2,... 1i n n= = → , legate între ele, aşa cum rezultă din Fig.10.3.

. În ipoteza, conform căreia cele ( )n corpuri ar fi libere (nelegate între ele),

întregul sistem ar poseda 6 n⋅ grade de libertate, de forma (10.1), şi respectiv (4.55), pentru fiecare corp în parte. O altă ipoteză introdusă în acest studiu, arată că legăturile dintre corpuri devin cuple de clasa { }, ,V IV III , caracterizate prin

{ }1; 2; 3 grade de libertate. Asupra sistemului se aplică un număr de 6p n< ⋅ restricţii

Fig.10.4

( )11

iiip−−

0y

0x

{ }1i −

0z

P

0O

{ }0

1iO −

{ }i

{ }n

iO

nip

npip p

( )npr

nO1ip −



cinematice, care limitează mobilităţile simple ale întregului sistem de corpuri, drept urmare, numărul gradelor de libertate devine:

6k n p= ⋅ − (10.33) Studiul,geometric şi cinematic al fiecărui corp ( )iS , se efectuează cu ajutorul unui sistem de referinţă { }i i i iO x y z i= , invariabil legat de corp cu originea într-un punct arbitrar al acestuia. Se introduce ipoteza conform căreia sistemul mecanic format din cele ( )n corpuri este parcurs în sens direct de la ( ) ( )0 nS→ . Ca urmare, numărul gradelor de libertate ale corpului ( )iS este:

1 , 1, 2, .... 1ik k i n n≤ < = = → (10.34) În consecinţă, secvenţa de corpuri ( ) ( )0 iS→ posedă iN grade de libertate adică:

1, 1,2, 3.....

i

i jj

N k i n=

= =∑ (10.35)

Întregul sistem de corpuri ( ) ( ) ( )1 , , , ,i nS S S… … are nk N= grade de libertate, definite:

1

n

n jj

k N k=

= = ∑ (10.36)

Pentru studiul geometric, se consideră mai întâi, secvenţa de două corpuri legate ( ) ( )1i iS S− → , având ataşate sistemele de referinţă 1 1 1 1i i i i i i i iO x y z O x y z− − − − − . Întrucât, legăturile dintre corpurile care compun sistemul mecanic luat în studiu, permit translaţii şi/sau rotaţii, corpul ( )iS faţă de ( )1iS − , se caracterizează prin gradele de libertate numite, sub aspect cinematic şi dinamic, coordonate generalizate. Acestea pot fi coordonate liniare şi/sau unghiulare, simbolizate jq şi sunt incluse în simbolul 1iiθ − , având în algebra matriceală semnificaţia unui vector coloană:

( )( )11 , 1 , 1Tj i iii q j N N i nθ −− = + →= = → (10.37)

unde T semnifică transpusa unei matrice. Acelaşi corp ( )iS , faţă de sistemul de referinţă fix, se caracterizează prin gradele de libertate, incluse, în formă simbolică, în vectorul coloană:

1 , 1TT

i jj j iθ θ −⎡ ⎤= = →⎣ ⎦ (10.38) Complexitatea acestui studiu impune introducerea operatorului iΔ , având două valori posibile:

1, 0,i ipentru mişcarea de rotaţie şi pentru mişcarea de translaţieΔ = Δ = (10.39)



• Studiul privind orientarea sistemului de corpuri. Orientarea corpului ( )1iS − , faţă de sistemul de referinţă fix, este definit prin matricea de orientare:

( ) ( )01 1i iR tR θ− − Δ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (10.40)

care este o funcţie matriceală de componentele vectorului coloană ( )1i tθ − Δ , reprezentate prin coordonatele unghiulare independente:

( )1 1 , 1 1TT

i jjt j iθ θ− Δ − Δ⎡ ⎤= = → −⎣ ⎦ (10.41)

unde ( )1 1, 1jj m m j jq m N Nθ − Δ −= ⋅Δ = + →⎡ ⎤⎣ ⎦ (10.42)

Aşadar, orientarea corpului ( )iS , faţă de ( )1iS − este exprimată conform cu: ( ) ( )1

1, 1ii j j i iR q j N NR−

−= ⋅Δ = + →⎡ ⎤⎣ ⎦ (10.43)

Orientarea corpului ( )iS , faţă de sistemul { }0 , se defineşte prin matricea de rotaţie reprezentată prin:

( ) ( ) ( )0 0 11

ii i iR R R−

−= ⋅ (10.44) Cunoscând matricea de rotaţie care descrie orientarea corpurilor ( ), 1jS unde j i= → , expresia anterioară, se poate rescrie ca fiind:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 11

1

ij i j

i j i jj

R R R R R− − −

== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =∏… … (10.45)

Pentru i n= , orientarea fiecărei axe a sistemului { }n , ataşat corpului ( )nS , faţă de sistemul de referinţă fix{ }0 , este exprimată prin următoarea matrice de rotaţie:

( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 11

1

ni n

n i n ni

R R R R− −−

== = ⋅∏ (10.46)

( ) ( )( )0 0 , 1n n n n n j j

nx ny nz

c c ci j k c c c q j kR R

c c c

α α αβ β βγ γ γ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤= = = ⋅Δ = →⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

,(10.47)

adică { } ( )cos , ; ; , , 1u u u j jc u x y z c f q j kα α α= = = ⋅Δ = → . Expresia (10.47) arată că orientarea este o funcţie matriceală de

coordonatele unghiulare independente ale sistemului mecanic de ( )n corpuri: ( ) ( ) ( )1 , , , ,i nS S S… … . Expresia (10.47) reprezintă orientarea fiecărei axe a sistemului { }n ataşat ultimului corp ( )nS faţă de sistemul de referinţă fix{ }0 .



Orientarea corpului ( )nS se exprimă prin setul de unghiuri Euler, care se obţine din identitatea matriceală de mai jos:

( ) ( )0nR Rψ θ ϕ =− − , (10.48)

unde ( )R ψ θ ϕ− − este exprimată prin (4.55) (vezi §4.2.1 din capitolul patru). Conform cu (10.1), setul de unghiuri Euler este inclus în simbolul Ω având

în algebra matriceală semnificaţia unui vector coloană, numit în acest capitol vector de orientare. Unghiurile Euler sunt funcţii de coordonatele unghiulare independente ale sistemului mecanic format din ( )n corpuri simbolizate: ( ) ( ) ( )1 , , , ,i nS S S… … . Rezultă, astfel, expresia:

( )( )( )( )

, 1j j

tq j kt t

t

ψθϕ

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⋅Δ = →Ω = = Ω⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(10.49)

Pentru determinarea unghiurilor de orientare, se aplică funcţia trigonometrică inversă: ( ) ( )tan2 sin ;cos tan2 s ;A A cα α α α α= = . (10.50)

Intervalul de definire a funcţiei tan2A este: [ ];π π− . Această funcţie inversă stabileşte valoarea unghiurilor, în cadranul corespunzător, fiind o funcţie de semnul celor două argumente: sα şi cα . Expresia (10.48), fiind o identitate matriceală, rezultă că ( ) ( ); ;stg drlinia i coloana j linia i coloana j≡ ,iar membrul stâng devine o

matrice a necunoscutelor. Mai întâi, se caută, în membrul stâng, funcţia trigonometrică cea mai simplă. Astfel, ţinând seama de expresia (10.50), prin identificare rezultă:

( ){ } ( )1;1 ; 1 (10.92) ; 1nz nz j jc c unde din c f q j kθ γ γ= ∈ − ± = ⋅Δ = → , (10.51) Expresia (10.51) arată că determinarea unghiurilor Euler se bazează pe

două cazuri posibile. Primul caz rezultă din condiţia ( )1;1nzcγ ∈ − . Ca urmare, unghiul de nutaţie devine

2πθ ≠ ± , adică:

( ) ( )cos cos ; 1nz j jArc c Arc f q j kθ γ= = ⋅Δ = →⎡ ⎤⎣ ⎦ . (10.52)



Ţinând seama de (10.52), prin identificarea elementelor (1,3) şi (2,3), respectiv (3,1) şi (3,2), se determină unghiul de precesie ψ şi respectiv unghiul de rotaţie proprie ϕ cu relaţiile:

( )

( )

1 1; tan2 ;

1 1; tan2 ;

nz nz

nx ny

s c c c A s cs s

s c c c A s cs s

ψ α ψ β ψ ψ ψθ θ

ϕ γ ϕ γ ϕ ϕ ϕθ θ

= ⋅ = − ⋅ =

= ⋅ = ⋅ = (10.53)

Al doilea caz, din (10.51), este 1nzcγ = ± . În această situaţie 2πθ = ± , iar soluţiile

(10.53) pentru unghiul de precesie ψ şi unghiul de rotaţie proprie ϕ sunt degenerate sub aspect matematic. Această situaţie este cunoscută sub denumirea de singularitate geometrică pentru orientare. O soluţie posibilă este alegerea unui alt set de unghiuri pentru orientare din mulţimea celor 12 seturi, conform cu capitolul patru, Tabelul 4.1 şi [N01]. • Studiul privind poziţia sistemului de corpuri. Cunoscând vectorul de poziţie dintre sistemele { } { }1i i− − , proiectat pe sistemul { }1i − , simbolizat prin

11

iiip−− ,precum şi matricea de rotaţie dintre sistemul { }i şi sistemul { }0 ,adică

( )0i R , se poate determina proiecţia vectorului de poziţie dintre sistemele { } { }1i i− − , proiectat pe sistemul fix { }0 , prin utilizarea expresiei:

( )0 11 1

iii i iip pR −− −= ⋅ (10.54)

Vectorul de poziţie 11

iiip−− , este substituit prin expresia:

( ) ( )1 1 0 11 1 1

i i ii i i i i i ip p p tσ− − −− − −= + ⋅ (10.55)

unde operatorul { }1;0iσ = , are următoarea semnificaţie: ( )( )1 11 11, i i

ii i idacă p p t− −− −= ,

respectiv ( )110, .i

i idacă p cst−− = Ţinând seama de expresiile (10.54) şi (10.55),

respectiv cunoscând vectorul de poziţie: ( )1 1 1i i ip p tθ− − −⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , se poate determina

poziţia sistemului { }i i i iO x y z i= , ataşat corpului ( )iS faţă de sistemul de referinţă fix { }0 , după cum urmează:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 11 1 1 1

ii i ii i i iip p p p pt t t t tR −

− − − −= + = + ⋅ (10.56)



Expresia anterioară, se poate rescrie în conformitate cu următoarea relaţie:

( )0 11 1 1

1 1

i ij

i jj j jjj j

p p pR −− − −

= == = ⋅∑ ∑ (10.57)

Parcurgând întregul sistem de corpuri: ( ) ( ) ( )1 , , , ,i nS S S… … , poziţia sistemului de referinţă { }n , ataşat corpului ( )nS faţă de sistemul de referinţă fix se exprimă prin:

( )0 11 1 1

1 1

n ni

n ii i iii i

p p pR −− − −

= == = ⋅∑ ∑ (10.58)

Conform cu (10.58), poziţia ultimului corp ( )nS , este o funcţie de coordonatele generalizate, după cum urmează:

( )( )( )( )

( ); 1xn

yn jn n

zn

p tp q j kp pt ttp t

⎛ ⎞⎜ ⎟ = →= = ⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(10.59)

Expresia (10.59) arată că vectorul de poziţie al originii sistemului { }n este o funcţie vectorială de toate cele k grade de libertate ale sistemului mecanic. Astfel, ţinând seama de expresiile (10.49) şi (10.59), parametrii corespunzători poziţiei şi orientării sistemului { }n , ataşat corpului ( )nS , faţă de sistemul de referinţă fix sunt incluşi în simbolul ( )X t , care în algebra matriceală, conform cu (10.1), reprezintă un vector coloană de dimensiuni ( )6 1× , scris sub formă matriceală astfel:

( )( )( )

( )( )

( )( ); 11 6

T Txn yn znn j i i

T

p p pp f q unde i kt tX t t iar jδ

ψ θ ϕ

⎡ ⎤ ⋅ = →⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = = ⎢ ⎥⎢ ⎥Ω ⎢ ⎥ = →⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦(10.60)

Expresia (10.60), sub o formă explicită arată astfel:

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

1

2

3

; 1; 1; 1

ixn

n yn i

zn i

f q unde i ktp tp p f q unde i kt t t

p f q unde i kt t

= →⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= = = →⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟= →⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(10.61)

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

4

5

6

; 1; 1; 1

i i

i i

i i

f q unde i kttf q unde i kt t t

t f q unde i kt

ψθϕ

⋅Δ = →⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟Ω = = ⋅Δ = →⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅Δ = →⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(10.62)

În expresiile de mai sus, operatorul jδ prezintă două valori posibile: 1jδ = în cazul vectorului de poziţie şi respectiv i iδ = Δ în cazul unghiurilor de orientare, unde iΔ are valorile din (10.39).



10.3.2 Legea de compunere a vitezei şi acceleraţiei unghiulare Pentru determinarea expresiilor vitezei şi acceleraţiei unghiulare de rotaţie,

conform cu Fig. 10.4, se consideră o secvenţă de corpuri: ( ) ( ) ( )10 i iS S−→ →

legate între ele. Rotaţia absolută a sistemului { }1i − , reprezentată prin vectorii:

{ }1 1 1;i i iω ε ω− − −= , precum şi rotaţia relativă a sistemului { }i în raport cu { }1i − ,

dată prin: vectorii { }1 1 1;ii ii iiω ε ω− − −= se presupun cunoscute. Necunoscutele devin

parametrii cinematici { };i i iω ε ω= ,care exprimă rotaţia absolută a sistemului { }i ,

ataşat corpului ( )iS , adică viteza şi acceleraţia unghiulară absolută. Pentru acest studiu sunt apelate matricele de rotaţie (10.44) şi (10.43). Asupra matricei de rotaţie

[ ]( )0i R t , descrisă prin expresia (10.44), se aplică derivata absolută de ordinul întâi

în raport cu timpul şi astfel rezultă: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 1

1i i i

i i i i i it R RR R R− − −−= ⋅ + Δ ⋅ ⋅ (10.63)

Pe baza proprietăţii cu privire la derivata absolută de ordinul întâi în raport cu timpul a matricei de rotaţie, fiecare termen din membrul stâng şi drept al expresiei (10.63) sunt dezvoltaţi astfel

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0Ti i i i iiR R RR R ω= ⋅ ⋅ = ⋅× (10.64)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 0 0 1 01 1 1 1 1

i iTi i i i i i iiR R R R RR R ω− −− − − − −⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅× (10.65)

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )0 1 01 11 1

ii i Ti i ii ii iR R RRR ω−− −− −⋅ ⋅ = ⋅×⋅ (10.66)

Substituind expresiile (10.64), (10.65) şi (10.66) în relaţia (10.63), identificând membrul stâng al produsului vectorial, se obţine expresia de definiţie a vitezei unghiulare absolute corespunzătoare sistemului mobil { }i ataşat corpului ( )iS , după cum urmează:

1 1i i i iiω ω ω− −= + Δ ⋅ (10.67) unde 1iω − reprezintă viteza unghiulară de transport, iar 1iiω − viteza unghiulară relativă, aceasta din urmă fiind condiţionată de existenţa a cel puţin unei cuple de rotaţie care să reflecte rotaţia relativă a corpului ( )iS faţă de corpul ( )1iS − .



Pentru determinarea acceleraţiei unghiulare absolute a sistemului { }i ,

ataşat corpului ( )iS , expresia vitezei unghiulare (10.67) este derivată în raport cu timpul, rezultând:

1 1i i i iiω ω ω− −= + Δ ⋅ (10.68) unde: i iω ε= , 1 1i iω ε− −= (10.69) Pe baza proprietăţilor asupra derivatei în raport cu timpul din (10.68), se operează câteva transformări diferenţiale, în urma cărora se obţine expresia de definiţie pentru derivata în raport cu timpul a vitezei unghiulare relative simbolizată în (10.68) prin 1iiω − :

( ) 101 11

iii iii Rω ω−− −−= ⋅

( ){ }

( ) ( ) ( )

101 11

1 1 0 11 1 1 11 1

iii iii

i i iii i ii iii iii

dRdt

RR t

ω ω

ω ω ω εω

−− −−

− − −− − − −− −

= =⋅

∂= ⋅ + ⋅ = × +

∂

(10.70)

unde ( ) ( )0 11 1 1

iii i iiR tε ω−

− − −∂

= ⋅∂

(10.71)

Vectorul 1iiε − exprimat prin (10.71) poartă denumirea de acceleraţie unghiulară relativă, care împreună cu acceleraţia complementară 1 1i iiω ω− −× şi viteza unghiulară 1iiω − caracterizează sub aspect cinematic mişcarea de rotaţie relativă a corpului ( )iS faţă de corpul ( )1iS − , condiţionată fiind, aşa cum se arăta mai sus de existenţa a cel puţin unei cuple de rotaţie, între cele două corpuri ale sistemului mecanic. Substituind (10.69), (10.70) în expresia (10.68), acceleraţia unghiulară absolut, corespunzătoare sistemului mobil { }i ataşat corpului ( )iS , ia forma finală:

( )1 1 1 1i i i i ii iiε ε ω ω ε− − − −= + Δ ⋅ × + (10.72) Aşadar, luând în considerare secvenţa de corpuri ( ) ( ) ( )10 i iS S−→ → ,

mişcarea de rotaţie absolută a corpului ( )iS se exprimă prin matricea de rotaţie (10.44) respectiv prin viteza şi acceleraţia unghiulară absolută (10.67) şi (10.72). Acestea din urmă se pot rescrie sub forma generală, astfel:

0 11

i

i j jjj

ω ω ω −=

= + Δ ⋅∑ (10.73)



( )1 1 101

i

j jj jji jj

ω ω εε ε − − −=

× += + Δ ⋅∑ (10.74)

unde 0ω şi 0ε exprimă rotaţia absolută a sistemului fix, având valorile: 0 0ω = , 0 0ε = . Dacă studiul cinematic necesită proiecţia vectorilor iω şi iε definiţi cu

(10.73) şi (10.74), pe axele sistemului de referinţa propriu { }i , atunci se utilizează expresia matriceală de transfer:

( ) ( )0 0;i iT Ti i i ii iR Rω ω ε ε= ⋅ = ⋅ (10.75)

Parcurgând întregul lanţ cinematic al sistemului de corpuri: ( ) ( ) ( )1 , , , ,i nS S S… … , adică pentru 1i n= → în (10.73) şi (10.74), se obţin expresiile:

0 11

n

n i iii

ω ω ω −=

= + Δ ⋅∑ (10.76)

( )0 1 1 11

n

n i i ii iii

ε ε ω ω ε− − −=

= + Δ ⋅ × +∑ (10.77)

Observație: Aşadar, mişcarea de rotaţie absolută a sistemului { }n , ataşat corpului ( )nS , este complet definită sub aspect cinematic prin matricea de rotaţie (10.46), respectiv prin viteza unghiulară (10.76) şi acceleraţia unghiulară (10.77).

10.3.3 Legea de compunere a vitezei şi acceleraţiei liniare Pentru stabilirea expresiilor de definiţie ale vitezei şi acceleraţiei liniare

absolute, conform cu Fig. 10.3, se ia în studiu, pentru început, secvenţă de corpuri: ( ) ( ) ( )10 i iS S−→ → . Se presupune că mişcarea absolută a originii { }1 1iO i− ∈ − ,

reprezentată prin vectorii viteză şi acceleraţie liniară: { }1 1 1;i i iv v a− − −= , precum şi

mişcarea relativă a originii { }iO i∈ faţă de { }1i − adică, { }1 1;ii iiv v− − este

cunoscută. Tabloul parametrilor, care se presupun cunoscuţi, este completat prin: ( ) ( ) ( ){ }0 1 0

1 1 1 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ;ii i i ii i i ii i ip p pR R Rω ε ω ε−− − − −− (10.78)

unde semnificaţia fiecărui termen este precizată în paragrafele prezentului capitol. Necunoscutele acestui studiu sunt reprezentate prin parametrii cinematici,

{ };i i iv v a= , adică viteza şi acceleraţia liniară, care definesc mişcarea absolută a

originii { }iO i∈ a sistemului de referinţă mobil, invariabil legat de corpul ( )iS .



Ecuaţiile de plecare, în cadrul acestui studiu cinematic sunt (10.55) şi (10.56) Asupra expresiei (10.56), se aplică derivata absolută de ordinul întâi în raport cu timpul:

1 1i i iip p p− −= + (10.79) Se introduc următoarele notaţii: 1 1;i i i ip v p v− −= = , reprezentând viteza liniară absolută a originii { }1 1iO i− ∈ − şi respectiv viteza liniară absolută a originii

{ }iO i∈ . Al doilea termen din membrul drept al ecuaţiei (10.79), adică 1iip − , se dezvoltă sub forma următoare:

( )( ){ } [ ] ( )0 01 1101 1 111 11

i iiii ii i iiiii ii

dp R p R pptRdt tσ− −−

− − −−− −−

∂⎡ ⎤= = ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⎣ ⎦ ∂ (10.80)

Ţinând seama de (10.55), primul termen al membrului drept din expresia (10.80), devine:

[ ]{ } [ ]0 0 0 01 1

1 1 1 11 11 1

Ti iii ii i iii ii i

R p R R R p pω− −− − − −− −− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ×⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (10.81)

Al doilea termen din membrul drept al expresiei (10.80) se simbolizează:

[ ] ( )0 11 11

iii iii R p v

t−

− −−

∂⋅ =∂

(10.82)

fiind viteza liniară relativă a originii { }iO i∈ în mişcarea relativă a acestuia faţă de sistemul { }1i − , mişcare condiţionată de existenţa, prin iσ , a cel puţin unei cuple care imprimă o astfel de stare. Substituind (10.81) şi (10.82) în (10.80), se obţine expresia vectorului 1iip − sub forma:

( ) ( ) ( )0 1 101 1 1 1 1 111

i iii ii i ii i ii i iiiip p p p vRR t

σ ω σ− −− − − − − −−−

∂= ⋅ + ⋅ ⋅ = × + ⋅

∂ (10.83)

Ca urmare, luând în considerare 1 1;i i i ip v p v− −= = şi (10.83) în (10.79), viteza liniară absolută a originii { }iO i∈ ia forma finală, mai jos scrisă, astfel:

1 1 11 1 1 1 01

i

j jj j jji i i ii i iij

p vv v p v v ω σω σ − − −− − − −=

× + ⋅= + × + ⋅ = + ⎡ ⎤⎣ ⎦∑ (10.84)

unde: 1 1 1i i iiv pω− − −+ × este viteza liniară în mişcarea de transport a sistemului { }1i − ataşat corpului ( )1iS − .

În continuarea studiului se determină acceleraţia liniară absolută a originii { }iO i∈ . În acest sens, asupra expresiei vitezei liniare (10.84) se aplică derivata

absolută în raport cu timpul, astfel: 1 1 1 1 1 1i i i ii i ii i iiv v p p vω ω σ− − − − − −= + × + × + ⋅ (10.85)



unde 1 1 1 1; ;i i i i i iv a v a ω ε− − − −= = = având semnificaţiile precizate în prezentul paragraf. Asupra derivatei absolute de ordinul întâi, aplicată vitezei liniare relative, reprezentată prin ultimul termen din (10.85), se efectuează transformările diferenţiale:

[ ]{ } [ ] [ ] ( )11 01 1 111 1 1 1 1 1 1

ii i i ii iiii ii ii ii i ii ii

dv R v R v R v v adt t

ω−− − − −

−− − − − − − −∂

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = × +∂

(10.86)

unde [ ] ( )0 11 1 1

ii ii iiR v a

t−

− − −∂

⋅ =∂

(10.87)

vectorul 1iiv − exprimând mişcarea relativă a originii { }iO i∈ faţă de sistemul { }1i − , iar 1iia − poartă denumirea de acceleraţie liniară relativă a originii { }iO i∈ , mişcarea fiind condiţionată de existenţa, prin iσ , a cel puţin unei cuple care imprimă o astfel de stare. Ţinând seama de notaţiile 1 1 1 1; ;i i i i i iv a v a ω ε− − − −= = = , care sunt substituite alături de (10.83) şi (10.86) în (10.85), se obţine expresia finală pentru acceleraţia liniară absolută a originii { }iO i∈ , adică:

( )

( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 101 1

2

2

i i i ii i i ii i i ii iii i

j jj j j jj j jj jjjj j

a a p p v a

p p v aa

ε ω ω σ ω

ε ω ω ωσ

− − − − − − − −

∗− − − − − − −

= =

= + × + × × + ⋅ =⋅ × +

× + × × ⋅ × += + + ⋅∑ ∑ (10.88)

Parametrii cinematici 0v şi 0a ∗ caracterizează, alături de 0ω şi 0ε , mişcarea absolută a sistemului fix, având valorile: 0 0ω = şi 0 0ε = , respectiv 0 0v = , iar în studii cu privire la dinamica sistemelor materiale 0 0a g kτ∗ = ⋅ ⋅ , reprezentând un vector egal în modul şi de sens invers acceleraţiei gravitaţionale ( )1τ = ± . [N01]

Dacă studiul cinematic necesită proiecţia vectorilor iv şi ia definiţi cu(10.84) şi (10.88), pe axele sistemului de referinţa propriu { }i , atunci se utilizează expresia matriceală de transfer:

( ) ( )0 0;i iT Ti i i ii iv v a aR R= ⋅ = ⋅ (10.89)

Parcurgând întregul lanţ cinematic al sistemului de corpuri: ( ) ( ) ( )1 , , , ,i nS S S… … , adică pentru 1i n= → în (10.84) şi (10.88), se obţin expresiile:

( )0 1 1 11

n

n i ii i iii

v v p vω σ− − −=

= + × + ⋅∑ (10.90)

( ) 0 10 1 11 1 1 1 111 1

2in n

j jjn i ii iii ii i i iiji i

a a v ap p ω ωσε ω ω∗− − −− − − − −

== =

⎡ ⎤⎛ ⎞+ Δ ⋅= + + ⋅ × +× + × × ⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦∑∑ ∑ (10.91)



Observație: Aşadar, mişcarea absolută a sistemului { }n , ataşat corpului ( )nS , este complet definită sub aspect cinematic prin parametrii de poziţie şi orientare exprimaţi cu (10.60)-(10.62), prin viteza unghiulară (10.76) şi acceleraţia unghiulară (10.77), respectiv prin viteza şi acceleraţia liniară definite mai sus prin expresiile (10.90)-(10.91).

10.3.4 Parametrii mişcării absolute

Studiul mişcării sistemului de corpuri: ( ) ( ) ( )1 , , , ,i nS S S… … , simbolic reprezentat în Fig. 10.4, se extinde asupra unui punct oarecare P , a cărui mişcare faţă de corpul ( )nS este evidenţiată matematic prin operatorul Pσ , având semnificaţia din (10.55), adică: 1Pσ = va arăta că punctul P este în mişcare relativă faţă de

corpul ( )nS , iar 0Pσ = va particulariza ecuaţiile pentru un punct P aparţinând

corpului ( )nS . Cunoscând poziţia şi orientarea sistemului { }n n n nO x y z n= , ataşat

corpului ( )nS , cât şi vectorul de poziţie npr al punctului P , în raport cu acelaşi

sistem { }n , vectorul de poziţie al punctului P , în raport cu sistemul de referinţă fix { }0 , se determină cu expresia:

( )0 nn p n n pp p r p rR= + = + ⋅ (10.92)

Viteza absolută a punctului P , simbolizată pp v= , este rezultatul derivării absolute în raport cu timpul a expresiei (10.92), după cum urmează:

( ){ }0 nn p n n p

dp p r p rRdt= + = + ⋅ (10.93)

În expresia anterioară, primul termen din membrul drept, n np v= reprezintă viteza

absolută a originii sistemului { }n n n nO x y z n= , exprimată mai sus prin (10.90). Al doilea termen, din membrul drept al relaţiei (10.93), se determină conform cu:

[ ]{ } [ ] [ ] ( )0

0 0 0n n np n p n p p n p n p p rpn

dr R r R r R r r vdt t

σ ω σ∂= ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = × + ⋅

∂ (10.94)

în care : ( )1, np pdacă r tσ = şi 0, .n

p pdacă r cstσ = = (10.95)

iar [ ] ( )0 nn p rpR r v

t∂

⋅ =∂

(10.96)

exprimă viteza relativă a lui P în mişcarea sa relativă faţă de ( )nS , conform cu (10.95).



Ţinând seama de (10.94), (10.95), expresia (10.93) se rescrie sub forma finală: p n n p p r t p rp p pv v r v v vω σ σ= + × + ⋅ = + ⋅ (10.97)

şi caracterizează viteza absolută a punctului P condiţionată fiind de (10.95). Prin derivarea expresiei (10.97) în raport cu timpul, rezultă acceleraţia absolută

punctului P :

p n n p n p p rpv v r r vω ω σ= + × + × + ⋅ (10.98)

Se introduc următoarele notaţii: , ; ;n n p p n n p n p p rpv a v a r r vω ε ω σ= = = = × + ⋅ (10.99)

În aceeaşi expresie (10.98), termenul rpv este echivalent cu:

[ ] [ ] ( )2

002

nnp

r n r n p n r rp p p pnd rv v R r v aRdt tt

ω ω⎧ ⎫ ∂∂= = × + ⋅ = × +⎨ ⎬⋅

∂∂⎩ ⎭ (10.100)

unde [ ] ( )2

02

nn p rpR r a

t∂

⋅ =∂

(10.101)

vectorul rPv exprimând mişcarea relativă a punctului P faţă de sistemul { }n , iar

rPa poartă denumirea de acceleraţie liniară relativă a punctului P , mişcarea fiind

condiţionată, prin Pσ ,a unei astfel de mişcări relative. Pe baza notaţiilor conţinute în (10.99), ţinând seama de (10.100), relaţia (10.98), se rescrie sub forma finală:

( ) ( )2 n r r C rp n n p n n p p t pp p ppv a a aa a r r aωε ω ω σ σ⋅ × + += + × + × × + ⋅ = + ⋅ (10.102)

şi reprezintă acceleraţia absolută a unui punct oarecare P , condiţionată fiind de (10.95).

Observație: Aşadar, expresiile(10.92), (10.97) şi (10.102), care au în vedere pe de o parte mişcarea de transport a sistemului { }n n n nO x y z n= , ataşat corpului ( )nS , iar

pe de altă parte mişcarea relativă, condiţionată însă de (10.95), definesc într-o formă completă mişcarea absolută a unui punct P integrat în lanţul cinematic al sistemului de corpuri ( ) ( ) ( )1 , , , ,i nS S S… … , reprezentat în Fig. 10.4.


Capitolul 12 ― MOMENTE DE INERŢIE MECANICE

Capitolul 12. Momente de inerție mecanice

Una dintre proprietăţile fundamentale ale corpurilor care conțin integrată o cantitate de masă, este de a opune rezistenţă oricărei schimbări a stării sale, proprietate care poartă denumirea de inerţie.

Momentele de inerţie mecanice se integrează în această proprietate şi reprezintă mărimi fizice ce caracterizează un sistem de puncte material din punct de vedere al răspândirii masei. Ele sunt o caracteristică a inerţiei corpurilor aflate în mişcarea de rotaţie. Dimensional, momentul de inerţie poate fi exprimat cu ajutorul relaţiei următoare: [ ] 2

SII kg m⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ .

12.1 Expresii de definiţie ale momentelor de inerţie Se ia în studiu un sistem de n puncte materiale iM (v. Fig.12.1.a), de

masă im , precum şi un rigid (Fig.12.12.b) divizat într-o infinitate de mase elementare dm . Poziţia fiecărei particule ( )iM , respectiv dm este dată de raza vectoare ir , respectiv r . Se notează cu ( )iδ , respectiv ( )δ distanţa de la particulele ( )iM , respectiv ( )dm la un plan,axă sau pol, simbolizat prin ( )Δ aparţinând sistemului xOyz .

Prin definiţie, momentul de inerţie mecanic reprezintă suma produselor dintre masele particulelor materiale şi pătratul distanţei la planul, axa sau polul ( )Δ adică:

2 2

1;

n

ii

I m dmδ δΔ=

⎧ ⎫= ⋅ ⋅⎨ ⎬⎩ ⎭∑ ∫ (12.1)

Fig. 12.1

iM

iriz

ixiy

z

y

x

O

.a

( )iδ

dm

r

zx

y

z

y

x

O

.b

δ( )S



Se observă că, în cazul rigidului, masele elementare dm sunt continuu distribuite în

întregul volum, iar sumele se transformă în integrale masice 2 2

1i i

im dmδ δ

∞

=

⎛ ⎞⋅ = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫ .

Dacă distanţa ( )iδ , respectiv ( )δ este raportată la unul din planele sistemului de referinţă, atunci se obţine momentul de inerţie mecanic planar, conform cu:

2 2 2 2 2 2

1 1 1; ; ; ; ;

n n n

xx i i yy i i zz i ii i i

I m x x dm I m y y dm I m z z dm= = =

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ (12.2)

Dacă ( )iδ respectiv ( )δ din (12.1) reprezintă distanţa la una din axele { }; ;x y zΔ = sistemului de referinţă, se obţine momentul de inerţie mecanic axial:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

1

2 2 2 2

1

2 2 2 2

1

;

;

;

n

x i i ii

n

y i i ii

n

z i i ii

I m y z x z dm

I m z x z x dm

I m x y x y dm

=

=

=

⎧ ⎫= ⋅ + + ⋅⎨ ⎬⎩ ⎭⎧ ⎫

= ⋅ + + ⋅⎨ ⎬⎩ ⎭⎧ ⎫

= ⋅ + + ⋅⎨ ⎬⎩ ⎭

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

(12.3)

Dacă iδ , respectiv δ din relaţia (12.1) reprezintă distanţa la punctul O al sistemului xOyz , rezultă momentul de inerţie mecanic polar:

( ) ( )2 2 2 2 2 2 20

1;

n

i i i i i i ii

I m x y z r dm x y z dm=

⎧ ⎫= ⋅ + + ⋅ = + + ⋅⎨ ⎬⎩ ⎭∑ ∫ ∫ (12.4)

Alături de momentul de inerţie mecanic planar, axial şi polar, în aplicaţii se întâlnesc momente de inerţie mecanice centrifugale, exprimate prin:

1

1

1

;

;

;

n

xy yx i i ii

n

yz zy i i ii

n

zx xz i i ii

I I m x y x y dm

I I m y z y z dm

I I m z x z x dm

=

=

=

⎧ ⎫= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎨ ⎬

⎩ ⎭⎧ ⎫

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎨ ⎬⎩ ⎭⎧ ⎫

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎨ ⎬⎩ ⎭

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

, (12.5)



Conform expresiilor din (12.5), momente de inerţie mecanice centrifugale reprezintă suma produselor dintre masele im şi distanţele de la acestea la două plane perpendiculare între ele.

12.2 Relaţii între momentele de inerţie mecanice În această secţiune se prezintă, conform cu [V01], [V02], [P01], câteva

relaţii matematice între momentele de inerţie mecanice definite în §12.1. • Momentul de inerţie mecanic polar este egal cu semisuma momentelor de inerţie axiale în raport cu axele sistemului de referinţă Oxyz cu originea în polul considerat. Din relaţiile (12.3) şi (12.4) rezultă următoarea expresie de legătură:

( )012 x y zI I I I= ⋅ + + (12.6)

• Momentul de inerţie mecanic polar este egal cu suma dintre momentele de inerţie mecanic în raport cu un plan şi o axă normală la acel plan, în polul considerat. Din expresiile (12.2), (12.3) şi (12.4) rezultă:

0 xx x yy y zz zI I I I I I I= + = + = + (12.7) • Momentul de inerţie mecanic polar reprezintă suma momentelor de inerţie mecanică în raport cu planele sistemului de referinţă cu originea în polul ales. Din (12.2) şi (12.4) rezultă:

0 xx yy zzI I I I= + + (12.8)

• Momentul de inerţie mecanic axial reprezintă suma momentelor de inerţie mecanic în raport cu două plane care se intersectează perpendicular după acea axă. Din (12.2) şi (12.3) rezultă următoarele expresii de legătură:

{ }; ;x yy zz y zz xx z xx yyI I I I I I I I I= + = + = + (12.9) • Suma momentelor de inerţie mecanice în raport cu două axe ale unui sistem de referinţă este mai mare sau cel puţin egală cu momentul de inerţie mecanic în raport cu o a treia axă a sistemului considerat. Însumând relaţiile (12.9), rezultă următoarele relaţii de inegalitate:

x y zI I I+ ≤ ; y z xI I I+ ≤ ; z x yI I I+ ≤ (12.10) • În cazul unui sistem material situat într-un plan, suma momentelor de inerţie mecanice în raport cu două axe perpendiculare din plan este egală cu momentul de inerţie în raport cu punctul de intersecţie al acestor axe. Astfel, rezultă expresia:

0x y zI I I I+ = = (12.11)



Conform Fig.12.2 se iau două sisteme de referinţă { }S şi { }'S concurente în polul O . Rotaţia lui { }'S faţă de { }S cu ( )4π se exprimă prin matricea de rotaţie:

( ) ( )( ) ( )

4 4 0 2 2 2 2 0

; 4 4 0 2 2 2 2 04

0 0 1 0 0 1

c s

R z s c

π ππ π π

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(12.12)

Unghiul de rotaţie fiind ( )4π arată că ' 0x = şi ' 0y = sunt planele bisectoare ale diedrelor formate din 0x = şi 0y = . Poziţia unei particule iM faţă de axele

sistemului { }S este dată prin: '2 2 2 2'2 2 2 2

i i

i i

x x

y y

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

, de unde rezultă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 ' ' ; 2 2 ' ' ; 1 2 ' 'i i i i i i i i i ix x y y x y x y x y= ⋅ − = ⋅ + ⋅ = ⋅ − (12.13)

Ca urmare, momentul de inerţie mecanic centrifugal faţă de planele { }0; 0x y= = devine:

( ) ( )2 2

1

1 1' ' ' '2 2

n

xy i i i i i i xx yyi

I m x y m x y I I=

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ −∑ (12.14)

adică semidiferenţa momentelor de inerţie mecanică planare (planele bisectoare ' 0x = şi ' 0y = ). În mod similar, se exprimă momentele de inerţie mecanice

centrifugale faţă de celelalte două plane 0; 0y z= = , respectiv 0; 0x z= = .

Fig. 12.2

irix ′

iy ′ 45°

iMx ′y ′

y

xO

{ }S′

{ }S



12.3 Raza de inerţie (raza de giraţie) Momentul de inerţie mecanic poate fi exprimat cu ajutorul unei mărimi

geometrice iΔ numită rază de inerţie sau rază de giraţie, conform [V02] şi [R01]. Denumirea de „rază de giraţie” vine de la cazul frecvent întâlnit în tehnică al rotaţiei unui corp în jurul unei axe. Raza de inerţie reprezintă distanţa fictivă la care ar trebui plasată întreaga masă a corpului, concentrată într-un punct, pentru ca în raport cu o axă, un plan sau un pol, să fie îndeplinită condiţia exprimată prin relaţia:

2 2 2

1;

n

i ii

I m dm M iδ δΔ Δ=

⎧ ⎫= ⋅ ⋅ = ⋅⎨ ⎬⎩ ⎭∑ ∫ (12.15)

În cazul momentului de inerţie mecanic polar relaţia (12.15) se exprimă astfel: 2

0 0I M i= ⋅ . (12.16) În funcţie de raza de inerţie, conform cu (12.15) momentele de inerţie mecanice axiale se pot exprima, astfel:

2x xI M i= ⋅ ; 2

y yI M i= ⋅ ; 2z zI M i= ⋅ (12.17)

Pe baza celor trei expresii prezentate anterior, se pot determina razele de inerţie:

xx

IiM

= ; yy

Ii

M= ; z

zIiM

= (12.18)

Raza de inerţie (raza de giraţie) este exprimată în unităţi de lungime.

12.4 Momente de inerţie geometrice În cazul corpurilor omogene, densitatea este o constantă adică:

, , .V A L cstρ = Ca urmare, elementul de masă dm se va înlocui în relaţiile (12.2)-

(12.5) cu una din expresiile { }; ;V A ldm dV dA dlρ ρ ρ= ⋅ ⋅ ⋅ , (vezi §2.2), după cum rigidul este tridimensional, bidimensional sau unidimensional, rezultând astfel următoarea formă:

{ }2 2 2; ;V A lI dV dA dlρ δ ρ δ ρ δΔ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ (12.19)

Se observă în (12.19) că integralele masice s-au transformat în integrale geometrice care se notează cu { }2 2 2; ;gI dv dA dlδ δ δΔ = ∫ ∫ ∫ şi poartă denumirea de momente

de inerţie geometrice. Aşadar, rezultă relaţia următoare: , ,V A L gI IρΔ Δ= ⋅ (12.20)



Relaţia (12.20) exprimă legătura matematică dintre momentele de inerţie mecanice şi cele geometrice, adică: momentul de inerţie mecanic este egal cu produsul dintre momentul de inerţie geometric şi densitatea (volumetrică, superficială, sau liniară). În funcţie de forma geometrică, există trei tipuri de momente de inerţie geometrice:

• moment de inerţie al volumului corpurilor 2 2I g V

dV dx dy dzδ δΔ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫∫∫ (12.21) • moment de inerţie al unei suprafeţe

2 2I g AdA dx dyδ δΔ = ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫∫ (12.22)

• momentul de inerţie al barei 2I g l

dlδΔ = ⋅∫ (12.23) Observaţii: Momentele de inerţie geometrice ale suprafeţelor plane pot fi:

• momente de inerţie axiale sau ecuatoriale: 2Ixg A

y dA= ⋅∫ ; 2Iyg Ax dA= ⋅∫ (12.24)

• momente de inerţie polare: ( )2 2

0I g Ax y dA= + ⋅∫ (12.25)

• momente de inerţie centrifugale: Ixyg A

x y dA= ⋅ ⋅∫ (12.26) Expresiile anterioare se particularizează pentru formele geometrice simple ale corpurilor.

12.5 Variaţia momentelor de inerţie mecanice În general, momentele de inerţie mecanice se calculează în raport cu axele

unui sistem cu originea în centrul maselor. Uneori, în aplicaţii este necesar a se determina momentele de inerţie în raport cu alte axe, diferite de cele pentru care sunt calculate momentele de inerţie în tabele, [V01].

z ′

x

y ′

z

y

Cx

OC

( )1S

Fig. 12.3

( )Δ′( )Δ

( )CΔ

( )S

Cz

Cy x ′



Astfel, dacă ( )CΔ este axa pentru care CIΔ este cunoscut, iar ( )Δ este o axă oarecare în spaţiu, atunci se poate exprima momentul de inerţie mecanic IΔ în raport cu axa ( )Δ după cum urmează: • ( )CI f IΔ Δ′ = , adică se determină mai întâi IΔ′ în raport cu ( )′Δ paralelă cu ( )CΔ ; • ( )I f IΔ Δ′= , cele două axe ( )Δ şi ( )′Δ fiind concurente în polul O, (vezi Fig. 12.3.). Aşadar, problema anterioară evidenţiază două aspecte fundamentale şi anume: variaţia momentelor de inerţie mecanice în raport cu axe paralele, respectiv cu axe concurente.

12.5.1 Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe paralele

În Fig.12.4 se consideră un corp rigid ( )S , de masă M având centrul de masă ( )C cunoscut conform geometriei maselor. Cu originea în punct se fixează un sistem de referinţă { }CS , considerat sistem de axe centrale. Momentul de inerţie mecanic al corpului ( )S în raport cu axa ( )C CCzΔ ≡ , este cunoscut prin:

( )2 2zC CI I x y dmΔ = = + ⋅∫ (12.27)

unde particula elementară ( )dm este poziţionată faţă de sistem { }CS prin raza

vectoare ( )Tr x y z= .

Fig. 12.4

C

dm

Cx

Cy

( )S

1z

1O

{ }CS

Cz

1x

1y1r

r

{ }1S

( )1Δ

( )CΔ



Într-un punct 1O C≠ , aparţinând corpului ( )S se fixează un al doilea sistem de referinţă { }1S , paralel cu sistemul { }CS , a cărui poziţie este dată prin

( )1 1 1 0 TCO x y= , cu observaţia că punctul 1O aparţine planului ( )0Cz = . Pătratul distanţei dintre cele două sisteme este:

2 2 2 21 1 1CO x y d= + = (12.28)

Poziţia particulei ( )dm faţă de sistemul { }1S este dată prin expresia:

( ) ( )1 1 1 1Tr r CO x x y y z= − = − −⎡ ⎤⎣ ⎦ (12.29)

Cunoscând momentul de inerţie mecanic CIΔ , conform aspectelor generale ale acestui paragraf, se cere determinarea momentului de inerţie mecanic, în raport cu axa ( )1 1 1O zΔ ≡ ,paralelă cu ( )CCz :

( ) ( )2 21 11 1zI I x x y y dmΔ

⎡ ⎤= = − + − ⋅⎣ ⎦∫ (12.30)

Prin dezvoltarea expresiei (12.30), se obţine: ( ) ( )2 2 2 2

1 1 1 11 2 2I x y dm x x dm y y dm x y dmΔ = + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅∫ ∫ ∫ ∫ (12.31)

Ţinând seama că { }CS are originea în centrul maselor rezultă:

0; 0; 0Cr dm

r x dm y dmdm⋅

= = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫ (12.32)

Expresia (12.32) caracterizează teorema momentelor statice dezvoltată în capitol doi. Ca urmare, expresia finală a momentului de inerţie mecanic faţă de axa ( )1Δ devine:

21I I C M dΔ Δ= + ⋅ (12.33)

Expresia (12.33), reprezintă variaţia momentelor de inerţie, în raport cu axe paralele, cunoscută şi sub denumirea de teorema lui Steiner. Aceasta, se enunţă astfel: momentul de inerţie mecanic faţă de o axă este egal cu momentul de inerţie faţă de axa paralelă trecând prin centrul maselor sistemului, însumat cu produsul dintre masa totală a sistemului şi pătratul distanţei dintre cele două axe. Spre deosebire de variaţia momentelor de inerţie axiale, în aceeaşi Fig.12.4, se consideră originea sistemului { }1S definită prin vectorul:

( ) ( )1 1 1 1 1T TCO a b c r r x x y y z z= = − = − − − . (12.34)



Astfel, ţinând seama de relaţia (12.34), se poate scrie: ( ) ( )1 1 1

TTx y z x a y b z c= − − − . Conform cu expresia (12.5), se scrie următoarea expresie:

( ) ( )1 11 1Ix y x y dm x a y b dm

x y dm b x dm a y dm a b dm

⎧ ⎫= ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ =⎪ ⎪⎨ ⎬= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

(12.35)

Ţinând seama de relaţiile (12.32), se obţine:

1 1I Ix y x yC C M a b= + ⋅ ⋅ (12.36) unde Ix yC C este cunoscut şi reprezintă momentul de inerţie mecanic centrifugal faţă

de planele 0Cx = , respectiv 0Cy = aparţinând lui { }CS . Observaţii: Luand în considerare momentele de inerţie (a se vedea Fig. 12.5), în care

1IΔ este cunoscut, şi 2IΔ , este necunoscut faţă de două axe ( )1Δ şi ( )2Δ paralele cu

axa ( )CΔ , situate la distanţele 1d şi 2d de aceasta, conform cu (12.33) se scrie: 2 21 21 2,C CI I M d I I M dΔ Δ Δ Δ= + ⋅ = + ⋅ (12.37)

Scăzând membru cu membru elementele celor două ecuaţii din (12.37) se va obţine: ( )2 2

2 12 1I I M d dΔ Δ= + ⋅ − (12.38) Se pot demonstra şi pentru momentele de inerţie mecanice polare, planare şi centrifugale, teoreme analoage teoremei lui Steiner.

( )1Δ

( )2Δ

( )CΔ

2d1d

Fig.12.5

C

Cx

Cy

( )S

1z

2O

Cz

1x

1y1O

2y

2z

2x



12.5.2 Tensorul inerțial. Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe concurente Un „parametru” esenţial al geometriei maselor cu implicaţii definitorii în

dinamica corpurilor, caracterizate prin mişcare de rotaţie, poartă denumirea de tensor inerţial şi este reprezentat printr-o matrice de dimensiuni ( )×3 3 , conţinând momentele de inerţie mecanice axiale şi centrifugale.

Pentru determinarea expresiei de definiţie, se consideră Fig.12.6 . În cadrul acestei figuri, elementele centrale sunt, pe de o parte sistemul de referinţă { }′0 şi { }S , concurente în punctul O , pe de altă parte particula materială dm şi centrul maselor C . Pentru o analiză unitară se introduc notaţiile: { } { } { }; ; ; ; ; ; ; ;u u u uu x y z w y z x d α β γ= = = . (12.39)

{ } ( ) { }{ } ( )0 0 0 0

; ; c c c ; ; ;

; ; c c c

Tu u u

TS S S Sx y z

u i j k w j k i

u i j k d d d

α β γ= = =

= =. (12.40)

unde u şi w sunt axele sistemului { }S , iar u şi w versorii ce exprimă orientarea axelor sistemului mobil { }S .

x

y

z

0y

0z

z

ck c

c

αβγ

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

y

cj c

c

αβγ

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

x

ci c

c

αβγ

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

ϕuu

0k

0i

0j

0x

( )sCr

ud

C

( )S r

( ) ∗S r

{ } { };0 S

{ } { }∗ ∗;0 Sdm

( )S

O

M

Fig.12.6

u



O altă notaţie consacrată matricei de rotaţie (vezi capitolul 4, dar şi (10.92)), este:

[ ]0

00

0

S

SS

Sx y z

ic c cR i j k c c c j

c c c k

α α αβ β βγ γ γ

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤= = = ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(12.41)

[ ] ( )00 0 0

Tx x x

T T S S Sy y yS

Tz z z

i c c cR j c c c i j k

c c ck

α β γα β γα β γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

(12.42)

unde T reprezintă transpusa matricei, iar [ ]0 TS R este transpusa matricei de rotaţie.

În centrul maselor, notat C , sunt fixate alte două sisteme de referinţă simbolizate într-o formă scurtă prin { }∗0 şi { }∗S , cu proprietatea { } { }∗ ′=0 0OR OR , respectiv { } { }∗ =OR ORS S , adică { }∗0 păstrează orientarea sistemului { }′0 , iar { }∗S orientarea sistemului { }S .

Poziţia particulei dm în raport cu sistemul { }′0 este exprimată prin vectorul de poziţie r , iar faţă de sistemul mobil { }S prin S r , faţă de { }∗0 şi { }∗S prin ( ) ( ){ }∗ ∗ ∗= ;S Sr r r . Drept urmare a consideraţiilor din capitolul patru, se pot scrie următoarele expresii matriceale de transfer:

( ) ( )⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⋅ = = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 0;

S

TS SS S

x xr y R r r y R r

z z (12.43)

( ) ( ) ( )− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥× = − − × = × = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 00 ; 0

0 0

Tz y z y

r z x r r z xy x y x

(12.44)

unde ( )×r reprezintă matricea antisimetrică asociată vectorului de poziţie, iar ( )× Tr transpusa acestei matrice antisimetrică.

Conform aceleiaşi Fig.12.6, se notează ud distanţa de la particula dm la axa u , identică cu: ( )su ud u r u rϕ= ⋅ ⋅ = × (12.45)



Luând în considerare expresia de definiţie a momentului de inerţie mecanic axial, în cazul Fig.12.6, ea se particularizează conform cu relaţia: 2S

u uI d dm= ⋅∫ (12.46)

unde SuI exprimă momentul de inerţie mecanic în raport cu axa u , aparţinând

sistemul mobil. Ţinând seama de expresia (12.45), pătratul distanţei de la particula dm la axa u este de asemenea echivalent cu: ( ) ( )2 T

ud u r u r= × ⋅ × , (12.47)

unde ( )γ β β γ

γ α γ αβ α α β

− ⋅ − ⋅⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥× = − ⋅ = ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟− ⋅ − ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

00

0

u u u u

u u u u

u u u u

c c x z c y cu r c c y x c z c

c c z y c x c.

Conform algebrei matriceale, vectorii ce compun expresia (12.47), se exprimă cu:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎡ ⎤× = − × = × ⋅ × = × ⋅ = ⋅ ×⎣ ⎦,TT T T Tu r r u r u u r r u u r .(12.48)

Substituind (12.48) în (12.46), se obţine:

( ) ( ){ }TS TI u r r dm u= ⋅ × ⋅ × ⋅ ⋅∫ (12.49) Integrala masică din (12.49), se notează:

( ) ( )0 0

0 00 0

TS

z y z yI r r dm z x z x dm

y x y x

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= × ⋅ × ⋅ = − ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ (12.50)

Dezvoltând produsul matriceal din (12.50) şi aplicând asupra lui integrala masică, expresia anterioară devine:

( ) ( )

( )( )

( )

2 2

2 2

2 2

TS

y z dm y x dm z x dm

I r r dm y x dm z x dm z y dm

z x dm z y dm x y dm

⎡ ⎤+ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥= × ⋅ × ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅⎣ ⎦

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

(12.51)

Ţinând seama de definiţia momentelor de inerţie mecanice, expresia (12.51), ia forma finală:

( ) ( )x xy xz

TS yx y yz

zx zy z

I I II r r dm I I I

I I I

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= × ⋅ × ⋅ = − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

∫ (12.52)



Astfel, s-a obţinut o matrice pătrată, conţinând pe diagonala principală momentele de inerţie mecanice axiale, faţă de sistemul { }′0 , iar simetric faţă de aceasta şi negativ definite sunt dispuse momentele de inerţie mecanice centrifugale în raport cu planele aceluiaşi sistem { }′0 . Drept urmare, SI poartă denumirea de

tensor inerţial axial centrifugal al corpului ( )S în raport cu sistemul { }′0 . Ţinând seama de (12.52), momentul de inerţie mecanic în raport cu axa u , aparţinând sistemului de referinţă mobil { }S ,devine:

( )S Tu S u u u S

u

cI u I u c c c I c

c

αα β γ β

γ

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(12.53)

unde u este substituit prin notaţiile din (12.39), rezultând astfel momentele de inerţie mecanice axiale în raport cu sistemul de referinţă mobil { }S .

Momentul de inerţie mecanic centrifugal în raport cu planele = 0u şi = 0w ale sistemului mobil { }S se determină cu expresia: S S S

uwI u w dm= ⋅ ⋅∫ (12.54)

unde Su şi Sw , conform cu notaţiile (12.39), reprezintă coordonatele vectorului de poziţie S r . Aşadar, ţinând seama de notaţiile (12.39), (12.40), pe baza expresiilor (12.43), se obţin coordonatele vectorului S r , adică: = ⋅ = ⋅ = ⋅;S T S T Tu u r w w r r w (12.55)

( )⋅ = ⋅ ⋅ ⋅S S T Tu w u r r w (12.56) Produsul matriceal din (12.56) se dezvoltă mai jos, astfel că rezultă:

( )

( )

⎡ ⎤⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎡ ⎤+ − ⋅ − ⋅⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟= + + ⋅ − − ⋅ + − ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥− ⋅ − ⋅ +⎝ ⎠ ⎣ ⎦

2

2

2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

1 0 00 1 00 0 1

T

x x y x zxr r y x y z y x y y z

z z x z y z

y z x y x zx y z y x z x y z

z x z y x y

(12.57)

unde matricea diagonală se notează 3I şi poartă denumirea de matrice unitate.



Ca urmare a acestei observaţii, dar şi a produsului matriceal din (12.51), rezultă:

( ) ( ) ( )⋅ = + + ⋅ − × ⋅ ×2 2 23

TTr r x y z I r r (12.58)

Substituind (12.58) în (12.56), rezultă:

( ) ( ) ( )⋅ = + + ⋅ ⋅ − ⋅ × ⋅ × ⋅2 2 2 TS S T Tu w x y z u w u r r w (12.59)

unde ⋅ = 0Tu w , datorită proprietăţilor sistemului de referinţă cartezian, triortogonal

şi drept orientat. În consecinţă, expresia (12.59) se particularizează şi devine:

( ) ( )⋅ = − ⋅ × ⋅ × ⋅TS S Tu w u r r w (12.60)

Substituind (12.60) în (12.54), ţinând seama tensorul inerţial (12.50), rezultă:

( ) ( )TS T Tuw SI u r r dm v u I w− = ⋅ × ⋅ × ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ (12.61)

adică prin substituţia lui u şi w , conform cu (12.39), se obţin momentele de inerţie mecanice centrifugale în raport cu sistemul mobil { }S . Drept urmare, a aspectelor anterioare, expresiile (12.53) şi (12.61) se rescriu sub o formă matriceală după cum urmează:

( )

S S S Tx xy xz

S S S S TS yx y yz S

TS S Szx zy z

I I I iI I I I j I i j k

kI I I

⎡ ⎤− − ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎜ ⎟

= − − = ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(12.62)

unde SSJ este tensorul inerţial axial centrifugal al corpului ( )S (indicele din dreapta

jos), în raport cu sistemul mobil { }S (indicele din stânga sus).

Observaţie: Dar ţinând seama de expresiile matriceale (12.41) şi (12.42), expresia

(12.62) ia forma finală:

( ) ( )0 0TSS SS SI R I R= ⋅ ⋅ (12.63)

( )u

S Tu S u u u S u

u

cI u I u c c c I c

c

αα β γ β

γ

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(12.64)



Așadar, expresia (12.64), se rescrie sub forma:

2 2 2

2 2 2

Su x u y u z u

xy u u yz u u zx u u

I I c I c I cI c c I c c I c c

α β γ

α β β γ α γ

= ⋅ + ⋅ + ⋅ −

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ (12.65)

Efectuând calculele, se obţine:

( )x

Sxy x x x S x

x

cI c c c I c

c

αα β γ β

γ

⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(12.66)

( )( )( )

Sxy x x y y x y z x y

xy x y y x

yz y z z y

zx z x x z

I I c c I c c I c c

I c c c c

I c c c c

I c c c c

α α β β γ γ

α β α β

α β α β

α β α β

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅

(12.67)

( )( )( )

Syz x y z y y z z y z

xy x y y x

yz y z z y

zx z x x z

I I c c I c c I c c

I c c c c

I c c c c

I c c c c

α α β β γ γ

β γ β γ

β γ β γ

β γ β γ

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅

(12.68)

( )( )( )

Sxy x x y y x y z x y

xy x y y x

yz y z z y

zx z x x z

I I c c I c c I c c

I c c c c

I c c c c

I c c c c

α α β β γ γ

γ α γ α

γ α γ α

γ α γ α

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅

(12.69)

Ținând seama de (12.63), rezultă:

0 0S T S S

uw SI u I w= − ⋅ ⋅ (12.70)

Prin efectuarea calculelor, se obţine:

( )x xy xz x

xy x y z yx y yz y

zx zy z z

I I I cI c c c I I I c

I I I c

βα α α β

β

− −⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎜ ⎟= − ⋅ − − ⋅⎢ ⎥ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎢ ⎥− − ⎝ ⎠⎣ ⎦

(12.71)



( )( )( )

xy x x x y y y z z z

xy x y y x

yz y z z y

zx z x x z

I I c c I c c I c c

I c c c c

I c c c c

I c c c c

α β α β α β

α β α β

α β α β

α β α β

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅

(12.72)

( )( )( )

yz x x x y y y z z z

xy x y y x

yz y z z y

zx z x x z

I I c c I c c I c c

I c c c c

I c c c c

I c c c c

β γ β γ β γ

β γ β γ

β γ β γ

β γ β γ

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅

(12.73)

( )( )( )

zx x x y y x y z x y

xy x y y x

yz y z z y

zx z x x z

I I c c I c c I c c

I c c c c

I c c c c

I c c c c

γ α γ α γ α

γ α γ α

γ α γ α

γ α γ α

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + ⋅

(12.74)

Observații: Expresiile anterioare caracterizează legea de variaţie a tensorului

inerţial, în raport cu sisteme de referinţă concurente.

12.6 Legea de variaţie a tensorului inerţial În conformitate cu aspectele prezentate în paragrafele anterioare, se

cunosc în general momentele de inerţie mecanice axiale şi centrifugale faţă de un sistem de referinţă cu originea în centrul maselor. Având în vedere expresia de definiţie a tensorului inerţial, (12.50) se poate scrie: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( );

T TS S S S S SS SI r r dm I r r dm∗ ∗ ∗= × ⋅ × ⋅ = × ⋅ × ⋅∫ ∫ (12.75)

unde { };S SS S SI I I∗ ∗ ∗= caracterizează tensorul inerţial al corpului ( )S fie în raport cu

sistemul de referinţă { }∗0 fie în raport cu { }*S , ambele concurente în centrul maselor, expresiile celor doi tensori fiind de forma(12.63), adică:

[ ] [ ]0 0 TSS s S SI R I R∗ ∗= ⋅ ⋅ . (12.76)



Transferul din centrul maselor în punctul O , se realizează prin ecuaţia vectorială:

[ ]∗ ∗= + = + ⋅0C C s Sr r r r R r (12.77)

Conform expresiei de definiţie (12.50), se scrie mai întâi matricea antisimetrică şi transpusa acesteia, aferentă vectorului de poziţie exprimat cu (12.77), adică:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∗× = × + ⋅ × ⋅0 0 TSC S Sr r R r R (12.78)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∗× = × + ⋅ × ⋅0 0TTT TSC S Sr r R r R (12.79)

Expresiile anterioare sunt substituite în (12.50), rescrisă sub forma:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

TS

TT TS SC C S S

I r r dm

r r dm R r r dm R∗ ∗

= × ⋅ × ⋅ =

= × ⋅ × ⋅ + ⋅ × ⋅ × ⋅ ⋅

∫

∫ ∫ (12.80)

Primul termen din membrul drept al expresiei (12.80) se notează:

( ) ( ) ( ) ( )T TSC C C C CI r r dm M r r= × ⋅ × ⋅ = ⋅ × ⋅ ×∫ (12.81)

unde SCI reprezintă matricea de inerţie axial centrifugală a centrului maselor în

raport cu sistemul de referinţă { }′0 . Al doilea termen din membrul drept al expresiei (12.80) este echivalent cu (12.76) şi

exprimă tensorul inerţial axial centrifugal în raport cu sistemul de referinţă { }∗0 aplicat în centrul maselor. Drept urmare, expresia (12.80) ia următoarea formă finală:

( ) ( )TS C C S SC SI M r r I I I∗ ∗= ⋅ × ⋅ × + = + (12.82)

şi caracterizează legea de variaţie generalizată a tensorul inerţial axial centrifugal al

corpului ( )S în raport cu sistemul { }′0 , considerând cunoscute următoarele

proprietăţi de masă: ( )∗, , SC SM r J .



12.7 Momente de inerţie principale. Axe principale de inerţie În conformitate cu paragrafele anterioare, momentul de inerţie faţă de axa ( )Δ

care trece prin originea sistemului de referinţa Oxyz este o funcţie de orientarea axei

reprezentată prin versorul ( )Tu u uu c c cα β γ= . Axele pentru care momentele de

inerţie mecanice au valori maxime şi minime poartă denumirea de axe principale de inerţie, iar momentele de inerţie mecanice determinate în raport cu aceste axe se numesc momente de inerţie principale. Aşadar, conform cu [V01], [V03], stabilirea acestora se reduce la determinarea extremelor unei funcţii implicite de trei variabile de forma (12.44), adică:

2 2 2

2 2 2u x u y u z u

xy u u yz u u zx u u

I I c I c I cI c c I c c I c c

α β γ

α β β γ α γ

= ⋅ + ⋅ + ⋅ −

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ (12.83)

Cele trei variabile ( ), ,u u uα β γ , sunt legate prin următoarea relaţie trigonometrică:

2 2 2 1u u uc c cα β γ+ + = (12.84)

Pentru definirea momentelor principale de inerţie principale, se aplică metoda multiplicatorilor lui Lagrange, conform căreia se introduce funcţia auxiliară:

( )2 2 21Su u u uI c c cλ α β γΦ = + ⋅ − − − , (12.85)

Întrucât, există o singură funcţie de legătură, funcţia auxiliară Φ conţine un singur parametru nedeterminat, λ denumit multiplicatorul lui Lagrange. Ţinând seama de expresia (12.84), funcţia auxiliară Φ va fi de forma:

( )2 2 2

2 2 2

2

2 2 1x u y u z u xy u u

yz u u zx u u u u u

I c I c I c I c c

I c c I c c c c c

α β γ α β

β γ γ α λ α β γ

Φ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − − − (12.86)

Condiţia ca funcţia auxiliară Φ să admită un extrem este reprezentată prin condiţiile:

( ) ( ) ( )0; 0; 0

u u uc c cα β γ∂Φ ∂Φ ∂Φ

= = =∂ ∂ ∂

(12.87)



Aşadar, conform cu (12.87), egalând cu zero derivatele parţiale ale funcţiei Φ din expresia (12.86), rezultă:

( )

( )

( )

2 2 2 2 0

2 2 2 2 0

2 2 2 2 0

x u xy u zx u uu

y u xy u yz u uu

z u yz u zx u uu

I c I c I c cc

I c I c I c cc

I c I c I c cc

α β γ λ αα

β α γ λ ββ

β β α λ γγ

∂Φ= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

∂Φ= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

∂

∂Φ= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

∂

(12.88)

Expresiile (12.88), se scriu sub formă matriceală astfel:

[ ]30x xy xz u

yx y yz u

zx zy z u

I I I c

I I I c

I I I c

λ α

λ β

λ γ

⎡ ⎤− − − ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎜ ⎟− − − ⋅ =⎢ ⎥ ⎜ ⎟

⎢ ⎥ ⎜ ⎟− − −⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

, (12.89)

Atât (12.88), cât şi (12.89), conduc la un sistem de ecuaţii liniare şi omogene, ale cărei necunoscute sunt { }, ,u u uc c cα β γ . Sistemul nu poate admite soluţiile banale

{ }0, 0, 0u u uc c cα β γ= = = , întrucât contravine condiţiilor definitorii pentru

versorul ( )Tu u uu c c cα β γ= , definite în (12.84). Ca urmare, determinantul asociat matricei necunoscutelor din sistem trebuie să fie nul, astfel rezultă:

0x xy xz

yx y yz

zx zy z

I I I

I I I

I I I

λ

λ

λ

− − −

− − − =

− − −

(12.90)

Prin dezvoltarea relaţiei (12.90), se obţine o ecuaţie de gradul al treilea a cărei necunoscuta este λ , ecuaţie de forma:

( ) ( )3 2 2 2 2

2 2 2 2 0 ,

x y z x y y z z x xy yz zx

x y z xy z yz x zx y xy yz zx

I I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I I I I I

λ λ λ− ⋅ + + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + −

− ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = (12.91)

Având în vedere că elementele determinatului sunt simetrice faţă de diagonala principală, soluţiile ecuaţiei (12.91) sunt întotdeauna reale. Se poate arăta că soluţiile ( )1 2 3, ,λ λ λ ecuaţiei (12.90) reprezintă valorile extreme ale momentului de



inerţie mecanic uI . Ca urmare, substituind iλ λ= în (12.90), vor rezulta

cosinusurile directoare ale unui versor ( )Ti i i iu c c cα β γ= care exprimă orientarea unei axe ( )iΔ faţă de care momentul de inerţie mecanic prezintă un extrem. Valoarea momentului de inerţie corespunzătoare direcţiei axei ( )iΔ este:

0x xy xz

T Ti yx y yz i i i i

zx zy z

I I I

u I I I u u u

I I I

λ

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ =⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

, (12.92)

S Tu i S i iiI u I u λ= ⋅ ⋅ = , (12.93)

Cosinusurile directoare ale axelor principale de inerție se determină cu expresiile:

, 1; 2; 3i i i

y i yz yz yx yx y i

zy z i z i zx zx zy

c c c iI I I I I I

I I I I I I

α β γλ λ

λ λ

= = =− − − − − −

− − − − − −

, (12.94)

În cele ce urmează se va arăta faptul că axele principale de inerție sunt perpendiculare între ele. Astfel, se scriu expresiile:

0

0

T Tj S i i j i

T Ti S j j i j

u I u u u

u I u u u

λ

λ

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = , (12.95)

Făcând diferența intre cele două expresii din (12.95), rezultă:

( ) 0Ti j j iu uλ λ− ⋅ ⋅ = , (12.96)

Dar ținând seama de faptul că i jλ λ= , rezultă:

0Tj iu u⋅ = , (12.97)

ceea ce conduce la concluzia că ( ) ( ){ }, 1;2;3 , 2;3;1j iu u i j⊥ = = , care arată

perpendicularitatea axelor principale de inerție. În continuare se analizează momentele centrifugale faţă de axele principale

de inerție. Astfel se consideră expresia: S T

ij i S jI u I u= ⋅ ⋅ , (12.98)



Din (12.95), ținând seama de (12.97), rezultă: 0T

ij i S jI u I u= ⋅ ⋅ = , (12.99)

ceea ce conduce la concluzia c u a, momentele centrifugale faţă de axele principale de inerție sunt nule.

Observaţie: Dacă sistemul devine o placă situată în planul ( )0z = , axa ( )uΔ fiind

de asemenea în acest plan, atunci rezultă:

2πγ = ,

2πα β+ = ,

2πβ α= − (12.100)

În acest caz, expresia momentului de inerţie mecanic IΔ din (12.86) va lua forma:

2 2 2u x y xyI I c I c I s cα β α αΔ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ (12.101)

Aşadar, în funcţie de planul în care este situată placa, expresia (12.86) se

particularizează astfel:

2 2 2y z yzuI I c I c I c cβ γ β γΔ′ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ , (12.102)

reprezentând expresia momentului de inerţie mecanic IΔ când placa se află în

planul 0x = , respectiv : '' 2 2 2x z xzuI I c I c I c cα γ α γΔ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ (12.103)

în cazul când placa se află în planul 0y = .

352 MECANICĂ. TEORIE SI APLICATII

Capitolul 13 ― DINAMICA RIGIDULUI

Capitolul 13. Dinamica rigidului

13.1 Consideraţii generale Spre deosebire de aspectele tratate în capitolul unsprezece, intitulat

Dinamica punctului material, în prezentul capitol se realizează o extensie asupra noţiunilor şi teoremelor fundamentale specifice unui corp sau sisteme de corpuri.

13.1.1 Studiul cinematic Aşa cum rezultă din primul capitol al staticii, corpul rigid este constituit dintr-

o infinitate de puncte materiale şi drept urmare noţiunile şi teoremele fundamentale se bazează printre altele pe integrale masice extinse pe întregul volum al corpului ocupat de mase elementare infinit mici şi continuu distribuite. Pentru definirea noţiunilor şi teoremelor fundamentale este obligatoriu, mai întâi să se realizeze un studiu cu privire la cinematica, geometria maselor şi sistemele de forţe exterioare ce imprimă corpului o mişcare generală.

Ca urmare, în Fig. 13.1 este reprezentat conturul geometric al unui corp ( )S al cărui studiu se realizează în raport cu sistemul fix { }=0 0 0 0 0O x y z , respectiv

în raport cu sistemul de referinţă mobil { }=Oxyz S , invariabil legat de corp cu originea în punctul arbitrarO al acestuia. Sistemul { }′ ′ ′ ′=0 0 0Ox y z O , reprezentat în aceeaşi figură, este un sistem cu originea în punctul O şi a cărui orientare se menţine constantă pe toată durata mişcării, orientarea fiind identică cu cea a sistemului fix { }0 , adică { } { }′ ≡ 0OR ORO .

Analiza corpului ( )S , sub aspect cinematic şi dinamic se efectuează în cazul unei mişcări generale, ale cărei ecuaţii cinematice şi dinamice au fost prezentate detaliat în capitolul opt. Pentru a facilita studiul dinamic, în cadrul acestui subcapitol se prezintă parametrii independenţi, reprezentaţi prin simbolul . ( )X t ., a cărui expresie (10.1), din capitolul zece, §10.2, este rescrisă:

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]ψ θ ϕ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ω⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0 00T

T

x t y t z tr tX t

t t t t



unde ( )=0 0r r t exprimă ecuaţia vectorială a mişcării de translaţie rezultantă, iar vectorul de orientare ( )Ω t , conţinând setul de unghiuri Euler, exprimă mişcarea de rotaţie rezultantă, ambele fiind componente ale mişcării generale a rigidului ( )S . Din aceleaşi considerente, privind facilitarea calculului, matricea de rotaţie rezultantă este rescrisă sub forma următoare:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )ψ θ ϕ ψ θ ϕ= − − = ⋅ ⋅0 ; ; ;s R R R z R x R z .

x

y

z

0x′

0y ′

0z′z

ck c

c

αβγ

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

y

cj c

c

αβγ

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

x

ci c

c

αβγ

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

ϕ

ϕ

θ

0kψ

θ

N

ϕ

θψ

0i

0i

0j

ψ

0j

0k

0x

0y0O

0r

Cr

Mr

0z

ρsi

s1F

siF

snF

1A

iA

nA

scρ

CaR

a

a dm⋅

C

εs r

s r ∗

ω

0v

0a{ } { }′ ;0 S

{ } { }∗ ∗;0 S

{ }0

dm

CM v⋅Cvv dm⋅

v iu

1u( )S

O

M

Fig. 13.1



( )ψ θ ϕ ψ ϕ ψ θ ϕ ψ ϕ ψ θ

ψ θ ϕ ψ θ ϕ ψ ϕ ψ θ ϕ ψ ϕ ψ θθ ϕ θ ϕ θ

− ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎡ ⎤⎢ ⎥− − = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅⎢ ⎥

⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

s c s c c s c c c s s sR c c s s c c c c s s c s

s s s c c

şi reprezintă în exclusivitate o funcţie matriceală, de cele trei unghiuri Euler [N01]. Sub aspectul cinematicii instantanee, corpul ( )S este caracterizat de

următorii parametri: = = =0 0 0 0 0,v r a v r . Aşadar, mişcarea de translaţie rezultantă este exprimată din punct de vedere cinematic prin ecuaţia vectorială ( )=0 0r r t , viteza absolută 0v şi acceleraţia absolută 0a , a originii O a sistemului mobil { }S . Rotaţia rezultantă se va exprima alături de cele trei unghiuri Euler incluse în matricea [ ]0

s R prin viteza unghiulară ω respectiv acceleraţia unghiulară ε . Determinarea vitezei unghiulare ω are la bază proprietăţile (10.30) şi

(10.31), rescrise mai jos:

( ) [ ] [ ]ω ω

ω ω ωω ω

−⎡ ⎤⎢ ⎥× = − = ⋅⎢ ⎥⎢− ⎥⎣ ⎦

0 00

00

z yT

z x s s

y x

R R ;

( ) [ ] [ ]ω ω

ω ω ωω ω

⎡ ⎤−⎢ ⎥

× = − = ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0

0

00

S Sz y

TS S Sz x s s

S Sy x

R R

Ca urmare, viteza unghiulară, cu proiecţie pe sistemul fix { }0 şi pe sistemul mobil { }S este definită prin expresiile (10.34) şi (10.37), reluate după cum urmează:

ψω ψ ψ θω ω ψ ψ θ θ

θ ϕωΩ

⎛ ⎞⋅⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥= = − ⋅ ⋅ = ⋅Ω⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠

001 0

x

y

z

c s ss c s J

c

[ ]ψω ϕ θ ϕ

ω ω ω ϕ θ ϕ θθ ϕω

Ω

⎛ ⎞⋅⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅Ω⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠

000

0 1

Sx

TS Sy s

z

s s cR c s s J

c



Ţinând seama de proprietăţile (10.44) şi (10.45), acceleraţia unghiulară instantanee, specifică momentului ( )t , se exprimă cu (10.47), de asemenea rescrise mai jos:

( ) ( ) ( )ε Ω Ω= ⋅Ω+ ⋅Ω ,S S SJ J unde

( ) ( )ψ ψ ψ ψ θ θ ψ θ

ψ θ ϕ ψ ψ ψ ψ θ θ ψ θθ θ

Ω Ω

⎡ ⎤− ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎢ ⎥

Ω = = = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥− ⋅⎣ ⎦

0, 0

0 0

Ts c s s c

dJ J c s s c cdt

s.

Din acelaşi Capitol 10, este reluată expresia (10.50) ( ) ( )ω ε× ≠ 0S S , conform căreia într-o mişcare de rotaţie rezultantă, vectorii viteză unghiulară ω şi acceleraţie unghiulară ε nu sunt coliniari.

Corpul ( )S se divizează într-o infinitate de particule elementare, infinitezimale, notate simbolic dm . Fiecare dintre acestea sub aspect geometric şi cinematic, sunt asimilate conform ipotezelor simplificatoare cu un punct material. Unul dintre acestea, notat ≠M O , se caracterizează printr-o ecuaţie vectorială de forma (10.4), ce exprimă traiectoria de mişcare absolută, rescrisă astfel:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( )= + = + ⋅00 0

sM sr t r t r t r t R t r . (13.1)

Prin derivarea absolută, de ordinul întâi în raport cu timpul, a ecuaţiei (13.1) şi prin aplicarea proprietăţii (10.30), rezultă expresiile:

[ ]= + ⋅00

SM Sr r rR ; (13.2)

ω= + ×0v v r . (13.3)

unde v exprimă viteza absolută a particulei materiale M , aparţinând rigidului ( )S , expresie cunoscută, conform capitolului opt, ca fiind legea de distribuţie a vitezelor în mişcarea generală.

Prin derivarea în raport cu timpul a ecuaţiei (13.3), rezultă: ε ω ω= + × + × ×0a a r r . (13.4)

unde a reprezintă acceleraţia absolută a particulei M şi conform aceluiaşi capitol opt, caracterizează legea de distribuie a acceleraţiilor în mişcarea generală a rigidului ( )S .



13.1.2 Studiul geometriei maselor Prezentul paragraf nu are drept scop analiza în detaliu a distribuţiei

proprietăţilor de masă, dezvoltate în capitolul doi şi nici a momentelor de inerţie mecanice, dezvoltate în capitolul 12. Utilizând aspectele cuprinse în aceste capitole, în cele ce urmează se vor relua câteva proprietăţi ale geometriei maselor, indispensabile studiului dinamic prin prisma noţiunilor şi teoremelor fundamentale. Drept urmare a observaţiei din §13.1.1, corpul ( )S a fost divizat într-o infinitate de particule elementare, infinit mici de masă dm , distribuite în mod continuu în întregul volum al corpului ( )S . Una dintre aceste particule materiale, este reprezentată în Fig.13.1, iar poziţia acesteia în raport cu sistemul de referinţă mobil { }S este dată

prin vectorul = .S r cst , iar faţă de sistemul de referinţă mobil prin vectorul de poziţie, anterior exprimat prin relaţia (13.1). Drept urmare, masa totală a corpului ( )S , este rezultatul expresiei din capitolul doi, reluată mai jos:

= ∫ ,M dm unde { }ρ ρ ρ= ⋅ ⋅ ⋅; ;V A ldm dV dA dl (13.5)

iar ρ ρ ρ, ,V A l semnifică densitatea de volum, de suprafaţă sau liniară, fiind aşadar o funcţie de forma geometrică a corpului ( )S .

Conform aceluiaşi capitol doi, poziţia centrului maselor pentru corpul ( )S , în raport cu sistemul de referinţă fix { }0 , şi respectiv în raport cu sistemul { }′0 , se caracterizează prin:

⋅

= ∫ MC

r dmr

M, (13.6)

ρ⋅

= ∫Cr dmM

. (13.7)

Ţinând seama de ecuaţiile matriceale de transfer, între parametrii Cr , ρC există relaţia:

[ ]ρ ρ= + = + ⋅00 0

SC C S Cr r r R (13.8)

unde ρSC este vectorul de poziţie al centrului maselor cu proiecţii pe sistemul mobil.



Sub aspect cinematic, centrul maselor, este un punct al corpului ( )S , caracterizat prin expresii de forma (13.3) şi respectiv (13.4) privind viteza şi acceleraţia liniară absolută: ω ρ= + ×0C Cv v ; (13.9)

ε ρ ω ω ρ= + × + × ×0C C Ca a . (13.10)

Aceste expresii sunt fie rezultatul derivatei absolute de ordinul întâi în raport cu timpul, aplicate asupra ecuaţiei de poziţie (13.8) fie prin similitudine cu (13.3) şi (13.4), substituind r prin ρC , v prin Cv , respectiv a prin Ca .

13.1.3 Studiul forţelor exterioare aplicate asupra corpului rigid

Mişcarea generală a corpului ( )S este rezultatul acţiunii unui sistem de

forţe exterioare, active, cu o distribuţie spaţială cunoscută (modul şi orientare) faţă

de sistemul mobil { }S . Prin transfer matriceal, conform cu capitolul patru, distribuţia

spaţială a sistemului de forţe exterioare este cunoscută şi faţă de sistemele { }′0 şi

respectiv { }0 . Aşadar, se cunosc următorii vectori:

{ }ρ = = →; ; 1 1…S Si iF i n n . (13.11)

unde SiF sunt forţe exterioare, iar ρS

i sunt vectorii de poziţie ai punctelor de aplicaţie ale fiecărei forţe.

Aplicând ecuaţiile matriceale de transfer, se obţin proiecţiile forţelor pe sistemul fix { }0 , precum şi poziţia punctului de aplicaţie al fiecărei forţe, notat iA , faţă de

sistemele { }′0 şi { }0 , adică:

[ ]= ⋅0 Si s iF R F (13.12)

[ ]ρ ρ= + = + ⋅00 0

Si i s ir r r R (13.13)



În conformitate cu proprietăţile torsorului de reducere al unui sistem de vectori (vezi capitolul întâi, §1.3), sistemul de forţe exterioare este echivalent mecanic în raport cu polul O , originea sistemului de referinţă { }′0 cu un torsor constituit din vectorii:

( )=

= = = ⋅∑ ∫1

nTx y z i

iR R R R F a dm , (13.14)

( ) ρ=

′ ′ ′ ′= = × = × ⋅∑ ∫01

nTx y z i i

iM M M M F r a dm , (13.15)

integralele masice fiind o extensie a teoremelor analizate la dinamica punctului material. Aplicând legea de variaţie a momentului rezultant la schimbarea polului din O

în 0O , rezultă: ′= × + = × ⋅∫0 0 0 MM r R M r a dm . (13.16) Astfel, sistemul de forţe devine echivalent mecanic în raport cu punctul 0O cu vectorii R din (13.14), respectiv 0M din (13.16).

13.2 Studiul sistemelor de corpuri Analiza făcută în subparagrafele anterioare, se extinde asupra unui sistem

de corpuri ( ) ( ) ( )1 , , , ,… …i nS S S , cu observaţia că studiul geometric şi cinematic sub formă matriceală a fost detaliat în §10.3 din capitolul zece. Sub aspect cinematic, sistemul de corpuri se caracterizează prin expresiile (10.90), (10.118) şi (10.119), expresii care sunt specifice mişcării de rotaţie absolută a corpului ( )iS şi care sunt rescrise mai jos astfel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − −

== ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =∏0 0 1 1 1

11

… …i

j i ji j i j

jR R R R R unde:

( ) ( )−−= ⋅Δ = + →⎡ ⎤⎣ ⎦

11, 1i

i j j i iR q j N NR

ω ω ω −=

= + Δ ⋅∑0 11

i

i j jjj

; ( )ω ω εε ε − − −=

× += + Δ ⋅∑ 1 1 101

i

j jj jji jj

unde ( )0i R este matricea de rotaţie care exprimă orientarea fiecărei axe a sistemului

{ }i ataşat lui { }iS faţă de { }0 , iar ωi şi ε i este viteza şi acceleraţia unghiulară

absolută a corpului ( )iS .



Acest tablou este completat cu expresiile (10.101), (10.102), (10.129) şi (10.123), caracteristice mişcării de translaţie absolută a sistemului { }i ataşat corpului ( )iS . Aceste expresii sunt rescrise după cum urmează:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) −− − − −= + = + ⋅0 1

1 1 1 1i

i i ii i i iip p p p pt t t t tR

( ) −− − −

= == = ⋅∑ ∑ 0 1

1 1 11 1

i ij

i jj j jjj j

p p pR

ω σω σ − − −− − − −=

× + ⋅= + × + ⋅ = + ⎡ ⎤⎣ ⎦∑ 1 1 11 1 1 1 01

i

j jj j jji i i ii i iij

p vv v p v v

( )

( ) ( )

ε ω ω σ ω

ε ω ω ωσ

− − − − − − − −

∗− − − − − − −

= =

= + × + × × + ⋅ =⋅ × +

× + × × ⋅ × += + + ⋅∑ ∑

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 101 1

2

2

i i i ii i i ii i i ii iii i

j jj j j jj j jj jjjj j

a a p p v a

p p v aa

Noţiunile cu privire la geometria maselor din §13.1.2 se extind asupra sistemului de corpuri. Drept urmare, fiecare corp ( )iS , = = →1...... 1i n n , (a se vedea Fig.13.2, cu observaţia că toţi parametrii vor avea indicele " "i ) se caracterizează prin proprietăţile de masă: = ∫iM dm (13.17)

unde iM reprezintă masa totală a corpului ( )iS , al cărui centru de masa iC este

definit faţă de sistemul fix { }0 prin Cir cu expresiile:

ρ⋅ ⋅

= =∫ ∫;M iiC Ci i

i i

r dm r dmr

M M (13.18)

( )= + = + ⋅0 SM i i i i iir p r p rR (13.19)

( )ρ ρ= + = + ⋅0 iC i C i i Ci i ir p p R (13.20)

iar ρCi fiind poziţia centrului de masă iC faţă de un sistem .{ }′0 , aplicat în

sistemul { }iO şi având aceeaşi orientare cu sistemul fix { }0 . Sub aspectul cinematicii instantanee centrul maselor iC , al fiecărui corp

( )iS se va caracteriza prin viteza Civ şi acceleraţia Cia , cele două fiind rezultatul

derivatei absolute de ordinul întâi şi doi în raport cu timpul a relaţiei (13.20), prin luarea în considerare însă a proprietăţii (10.30) şi a expresiilor (10.129) şi (10.123).



Drept urmare, se obţin expresiile:

1 1 101

i

j jj j jji i C i Ci iCi jp vv v v ω σω ρ ω ρ− − −

=

× + ⋅= + × = + + ×⎡ ⎤⎣ ⎦∑ (13.21)

( )

( )

ε ρ ω ω ρ ε ω ω

σ ω ε ρ ω ω ρ

− − − − −=

+ −=

= + × + × × = + × + × × +

+ ⋅ ⋅ × + + × + × ×

∑

∑

*0 1 1 1 1 1

1

1 11

2

i

C i i C i i C j j j j j j ji i ij

i

j j j j j j i C i i Ci ij

a a a p p

v a(13.22)

Ţinând seama de notaţiile şi noţiunile din prezentul capitol, tensorul inerţial şi variaţia lui generalizată căpătă următoarele expresii specifice corpului ( )iS .

( ) ( )* Ti i ii i iI r r dm∗ ∗= × ⋅ ×∫ (13.23)

( ) ( ) ( ) ( )' 0 * 0T i TS i C C i i ii i iI M IR Rρ ρ= ⋅ × ⋅ × + ⋅ ⋅ (13.24)

( ) ( ) ( ) ( )0 * 0T i TS i C C i i ii i iI M r r IR R= ⋅ × ⋅ × + ⋅ ⋅ (13.25)

unde iiI∗ este tensorul inerţial axial centrifugal în raport cu sistemul { }∗i de aceeaşi

orientare cu sistemul { }i , dar amplasat în centrul maselor, în timp ce SiI′ prin SiI

este tensorul axial centrifugal faţă de { }′0 cu originea în iO , respectiv sistemul fix. Mişcarea fiecărui corp ( )iS , aşa cum s-a arătat în §13.1.3, este rezultatul

acţiunii unui sistem de forţe exterioare, active, cu o distribuţie spaţială cunoscută şi echivalente în raport cu sistemul { }′0 cu originea în iO , (a se vedea Fig.13.1, cu

observaţia că sistemul { }S devine { }iS ) cu un torsor de reducere constituit din:

( ) ( )′= =,T Ti ix iy iz i ix iy izR R R R M M M M (13.26)

Tabloul forţelor este completat în conformitate cu axioma legăturilor cu un sistem al forţelor de legătură, echivalent mecanic în raport cu acelaşi sistem { }′0 aplicat în iO cu un torsor constituit din vectorii LiR şi LiM , adică vectorul rezultant

şi momentul rezultant al forţelor de legătură aplicate corpului ( )iS . Necunoscutele introduse de forţele de legătură sunt o funcţie de tipul legăturii aplicate, aşa cum se arată şi în §10.3.1, legăturile fiind considerate cuple de clasa { }, ,V IV III .



13.3 Impuls. Teorema mişcării centrului maselor Impulsul, denumit cantitate de mişcare, reprezintă în cazul unui punct

material , conform cu §11.2, un vector egal cu produsul dintre masa punctului material şi vectorul viteză al acestuia. Transferând această noţiune asupra masei elementare dm , aparţinând corpului ( )S , a cărei viteză la momentul t este v definită cu (13.3), rezultă expresia impulsului elementar de forma: = ⋅dH v dm ; (13.27) Extinzând această expresie asupra tuturor particulelor elementare ce compun corpul ( )S , se obţine impulsul total H , definit prin integrala masică de mai jos: = = ⋅∫ ∫H dH v dm . (13.28)

Substituind expresia (13.3) a vectorului viteză în (13.28), se obţine: ( )ω ω+ ×= ⋅ = ⋅ + × ⋅∫ ∫ ∫ ∫0 0v rdH dm v dm r dm . (13.29)

Ţinând seama de expresiile (13.5), respectiv (13.7), ecuaţia (13.29) mai poate fi scrisă sub forma: ( )ω ρ+ ×= ⋅ 0 CvH M (13.30)

Conform expresiei (13.9), paranteza din (13.30) reprezintă viteza centrului maselor. Astfel, se obţine expresia finală: = ⋅ CH M v . (13.31) Aşadar, impulsul total în cazul unui corp rigid este produsul dintre masa totală a acestuia şi viteza centrului maselor. Expresia (13.31) este echivalentă ca formă de exprimare matematică cu expresia impulsului în cazul unui sistem discret de puncte materiale, cu observaţia că în cazul unui corp vectorul Cv prezintă forme de exprimare în consonanţă cu mişcările particulare ale acestuia. Conform §11.3, pentru a evidenţia cauza generatoare a mişcării, adică sistemul de forţe exterioare aplicate corpului ( )S , expresia (13.27) se derivează în raport cu timpul şi ţinând seama de expresia (13.14), rezultă:

= ⋅ = ⋅ =∫;dH a dm H a dm R (13.32)



În expresia (13.32) vectorul a al particulei elementare dm este substituit prin (13.4) şi rezultă:

( )0

0

a r ra dm dm

a dm r dm r dm

ε ω ω

ε ω ω

+ × + × ×⋅ = ⋅ =

= ⋅ + × ⋅ + × × ⋅

∫ ∫∫ ∫ ∫

. (13.33)

unde integralele masice sunt substituite prin (13.5) şi (13.7). Ca urmare se obţine: ( )ε ρ ω ω ρ⋅ = ⋅ + × + × ×∫ 0 C Ca dm M a . (13.34) Paranteza din membrul drept al expresiei (13.34) este conform cu (13.10) acceleraţia centrului maselor, simbolizată Ca . Aşadar, se obţine expresia finală:

= ⋅ =, CH R M a R . (13.35) Expresia (13.35) este cunoscută sub denumirea de teorema mişcării centrului maselor (teorema impulsului) şi ea arată că produsul dintre masa totală a corpului şi acceleraţia centrului maselor este egal cu vectorul rezultant al forţelor exterioare aplicate corpului rigid aflat într-o mişcare generală. Expresia (13.35) este identică, ca formă de exprimare matematică, cu aceea a unui sistem discret de puncte materiale, cu observaţia că expresia acceleraţiei centrului de maselor ia forme specifice mişcărilor particulare ale rigidului ( )S .

Vectorul de poziţie al centrului maselor definit cu expresia (13.8) şi derivata de ordinul doi în raport cu timpul al acestuia, acceleraţia centrului maselor, se proiectează pe axele sistemului de referinţă fix { }0 , rezultând:

( ) ( )= = =;T TC C C C C C C C Cr x y z a r x y z (13.36)

Substituind (13.36) în expresia (13.35) şi ţinând seama de (13.14) se obţine: ⋅ = ⋅ = ⋅ =; ;C x C y C zM x R M y R M z R (13.37)

Aşadar, proiecţiile teoremei mişcării centrului maselor pe axele sistemului de referinţă fix { }0 , reprezintă ecuaţiile diferenţiale specifice mişcării de translaţie rezultantă, componentă a mişcării generale. Ţinând seama de definirea mişcării de translaţie, dar şi de expresia (13.8), se recomandă ca sistemul de referinţă mobil { }S să fie aplicat în centrul maselor.



13.3.1 Teorema mişcării centrului maselor pentru un sistem de corpuri Luând în considerare aspectele tratate în §13.1.4, cu privire la cinematica,

geometria maselor şi forţele aplicate în cazul unui sistem de corpuri, expresia impulsului total definit cu (13.31), ia următoarea formă finală:

= ⋅i i CiH M v (13.38)

unde Civ , reprezentând viteza centrului maselor, este substituită prin (13.21), în

care ωi este exprimat prin relaţia (10.118).

Teorema mişcării centrului maselor, (vezi expresia (13.35)), aplicată fiecărui

corp ( )iS , devenit liber în urma aplicării axiomei legăturilor, se modifică astfel:

⋅ = +i C i Li iM a R R (13.39)

unde acceleraţia centrului maselor Cia este substituită prin expresia (13.22), iar în

cadrul acesteia, termenii ωi şi ε i sunt substituiţi prin (10.118) şi respectiv (10.119).

În funcţie de tipul legăturii suprimate, necunoscutele din sistemul de ecuaţii diferenţiale (13.39) se referă pe de o parte la parametrii independenţi ce exprimă

mişcarea de translaţie, componentă a mişcării generale a corpului ( )iS , iar pe de

altă parte include necunoscute legate de forţele de legătură.

13.4 Moment cinetic Plecând de la ecuaţia vectorială ce exprimă momentul cinetic în cazul unui

punct material, (vezi §11.6), pentru corpul ( )S , reprezentat în Fig.13.1, se defineşte

mai întâi momentul cinetic elementar corespunzător particulei materiale de masă elementară dm , astfel:

= × ⋅0 MdK r v dm ; (13.40)



Întrucât rigidul ( )S este constituit dintr-o infinitate de particule elementare, momentul cinetic rezultant, în raport cu polul 0O , originea sistemului de referinţă fix se exprimă

prin următoarea integrală masică: = × ⋅∫0 MK r v dm . (13.41)

Substituind vectorul de poziţie Mr , definit cu (13.1) şi ecuaţia vitezei particulei

dm cu (13.3), momentul cinetic rezultant în raport cu O devine: ( ) ( )ω+ + ×= × ⋅∫ 0 00 r r v rK dm . (13.42)

Ţinând seama de (13.5) şi (13.7), se dezvoltă produsul vectorial din ecuaţia (13.42), astfel că se obţin următorii termeni vectoriali: × ⋅ = × ⋅ = × ⋅∫ ∫0 0 0 0 0 0r v dm r v dm r M v ; (13.43)

ω ω ρ× × ⋅ = × ⋅ ×∫ 0 0 Cr r dm r M ; (13.44)

Însumând cele două expresii (13.43) şi (13.44), ţinând seama de (13.9), reprezentând viteza centrului maselor, se obţine: ( )ω ρω ρ + ×× ⋅ + × ⋅ × = × = × ⋅00 0 0 0 0CC Cvr M v r M r M r M v ; (13.45)

Următorii doi termeni ai produsului vectorial din (13.42) se dezvoltă ţinând seama de (13.5), adică tensorul inerţial al corpului ( )S în raport cu sistemul { }′0 . Astfel, se obţin următoarele expresii: ρ× ⋅ = ⋅ × = × ⋅∫ ∫0 0 0Cr v dm r dm v M v ; (13.46)

( ) ( )T Sr r dm Idmr rω ω ω′× × ⋅ = ⋅ = ⋅⎡ ⎤⋅ ⋅× ×⎣ ⎦∫ ∫ . (13.47)

unde SI′ este tensorul inerţial, axial-centrifugal al corpului ( )S faţă de sistemul { }′0

Expresiile anterioare, se înlocuiesc în ecuaţia de plecare (13.42), rezultând: 0 0 0C C sK r M v M v Iρ ω′= × ⋅ + × ⋅ + ⋅ . (13.48)

Ecuaţia astfel obţinută, caracterizează momentul cinetic al corpului ( )S , aflat în

mişcare generală faţă de sistemul de referinţă fix{ }0 .



Aplicând următoarele particularităţi: { }ρ= = =0, 0,C CO C r r , adică

considerând că sistemul mobil are originea în centrul maselor, iar ca urmare S SI I∗′ = este tensorul inerţial aferent centrului maselor, expresia (13.48), ia forma următoare: ω∗= × ⋅ + ⋅ = × ⋅ +0 C C S C C CK r M v J r M v K . (13.49)

Expresia (13.49) rezultată prin calcul integral, este identică cu teorema lui König dedusă în cazul unui sistem discret de puncte materiale. Diferenţele între cele două expresii sunt evidente, pe de o parte datorită faptului că viteza centrului maselor ia forme specifice mişcărilor particulare ale rigidului, iar pe de altă parte prin

C SK I ω∗= ⋅ , adică momentul cinetic al corpului ( )S aflat în mişcare relativă de rotaţie în jurul centrului de maselor. Aceeaşi expresie (13.49), se extinde pentru sistemul de corpuri, reprezentat în Fig.13.3, astfel că rezultă: i C i C i ii iK r M v I ω∗= × ⋅ + ⋅ . (13.50)

termenii conţinuţi în expresia anterioară, având semnificaţiile din §13.1.4.

13.5 Teorema momentului cinetic Utilizând aceleaşi principii ca şi în dinamica punctului material, (vezi §11.8),

variaţia în raport cu timpul a momentului cinetic pune în evidenţă sistemul de forţe care imprimă rigidului mişcarea mecanică. Pentru început, se derivează expresiile (13.40) şi (13.41) în raport cu timpul:

= × ⋅ + × ⋅ = × ⋅∫ ∫ ∫0 M M MK r v dm r v dm r a dm . (13.51)

Conform ecuaţiilor (13.15), rezultă:

0 0K M= (13.52) În cele ce urmează, membrul stâng din expresia (13.52) se dezvoltă prin substituirea termenului Mr cu (13.1), precum şi a vectorului acceleraţie prin (13.4). Astfel, se obţine:

( ) ( )ε ω ω+ + × + × ×× ⋅ = × ⋅∫ ∫ 0 0M r r a r rr a dm dm . (13.53)

Produsul vectorial din membrul drept se dezvoltă şi ţinând seama de (13.5) şi (13.7) rezultă: × ⋅ = × = × ⋅∫ ∫0 0 0 0 0 0r a dm r a dm r M a ; (13.54)



ε ε ε ρ× × ⋅ = × × ⋅ = × ⋅ ×∫ ∫0 0 0 cr r dm r r dm r M ; (13.55)

ω ω ω ω ω ω ρ× × × ⋅ = × × × ⋅ = × ⋅ × ×∫ ∫0 0 0 cr r dm r r dm r M . (13.56)

Cele trei expresii anterioare, se însumează şi ţinând seama de relaţia (13.10), rezultă:

( )

ε ρ ω ω ρε ρ ω ω ρ

× ⋅ + × ⋅ × + × ⋅ × × =

= × ⋅ + × + × × = × ⋅0 0 0 0

0 0 0

C C

C C C

r M a r M r Mr M a r M a

(13.57)

Următorii trei termeni ai dezvoltării din (13.53), prin luarea în considerare a expresiilor (13.5), vor conduce la:

ρ× ⋅ = ⋅ × = × ⋅∫ ∫0 0 0Cr a dm r dm a M a ; (13.58)

( )( )T Sr r dm dm Ir rε ε ε′× × ⋅ = ⋅ × = ×× ×∫ ∫ ; (13.59)

( ) ( )( )T Sr r dm dm Ir rω ω ω ω ωω ′× × × ⋅ = ⋅ ⋅ = × ⋅× × ×∫ ∫ . (13.60)

Înlocuind (13.57)-(13.60) în (13.53), în final va rezulta următoarea expresie:

0 0 0 0C C S SK r M a M a I I Mρ ε ω ω′ ′= × ⋅ + × ⋅ + ⋅ + × ⋅ = . (13.61)

Ecuaţia (13.52) în formă simbolică sau (13.61) în formă dezvoltată, reprezintă

teorema momentului cinetic a corpului ( )S aflat în mişcare generală, fată de

sistemul de referinţă fix { }0 .

Aplicând particularitatea: { }0, 0, ,C C S SO C r r I Iρ ∗′= = = = , rezultă:

0C C S Sr M a I I Mε ω ω∗ ∗× ⋅ + ⋅ + × ⋅ = , (13.62)

adică teorema momentului cinetic specifică cazului în care sistemul de referinţă

mobil { }S are originea în centrul maselor.

În acest caz, luând în considerare doar mişcarea de rotaţie, componentă a mişcării generale, teorema definită prin (13.62)se particularizează astfel:

S S CI I Mε ω ω∗ ∗⋅ + × ⋅ = . (13.63)



unde: = − ×0C CM M r R (13.64)

reprezintă momentul rezultant al sistemului de forţe exterioare, faţă de centrul maselor.

Expresia (13.64), caracterizează teorema momentului cinetic a corpului ( )S în

raport cu centrul maselor. Prin proiectarea acestei ecuaţii diferenţiale, fie pe axele

sistemului de referinţă fix { }0 , fie pe axele sistemului mobil { }S , rezultă un sistem

de trei ecuaţii diferenţiale, în care, aşa cum rezultă din expresiile termenilor ω şi ε

necunoscutele sunt reprezentate de setul de celor trei unghiuri de orientare (unghiuri

Euler), incluse în ( )Ω t , prezentat prin expresia (10.1).

Teorema momentului cinetic în mişcarea generală a corpului ( )S , definită prin

expresia (13.61), poate fi demonstrată ţinând seama de relaţia (13.48), ce

caracterizează momentul cinetic al corpului ( )S , aflat în mişcare generală faţă de

sistemul de referinţă fix{ }0 . Prin derivarea în raport cu timpul a acestei expresii, rezultă:

( )0 0 0 0 0C C C C SdK r M v r M a M v M a Idt

ρ ρ ω′= × ⋅ + × ⋅ + × ⋅ + × ⋅ + ⋅ ; (13.65)

Explicitând termenii din membrul drept al expresiei anterior obţinute, rezultă:

× ⋅ = × ⋅ = − × ⋅0 0 0C C Cr M v v M v v M v ; (13.66)

( ) ( )ρ ρ ω ρ ρ ω ρ= ⋅ = × × ⋅ = × × ⋅00 0;S

C S C C C CM v M vR ; (13.67)

Prin însumarea expresiilor (13.66), (13.67) şi ţinând seama de (13.9), se obţine:

( ) ( )ω ρ ω ρ− + × × ⋅ = ⋅ × − × = ⋅ × =0 0 0 0 0C C C Cv M v M v v M v v ; (13.68)

Conform legii de variaţie a tensorului inerţial axial-centrifugal în raport cu

sistemele { }0' şi { }S , concurente în polul O , termenul ′SJ din (13.65), se rescrie:

[ ] ( )( ) [ ] [ ] [ ]0 0 0 0T T TS S SS S S S S SI R r r dm R R I R′ = ⋅ × × ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ (13.69)



Ţinând seama de expresia (13.69), termenul ( )Sd Idt

ω′ ⋅ din (13.65)devine:

( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 0 0 0 0 0TT TS SS S S S S S S S S

d I R I R R I R R Rdt

ω ω ω′ ′⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (13.70)

Pe baza proprietăţii (10.30) şi respectiv (10.33), termenii din (13.70) se rescriu:

[ ] [ ]0 0 TSS S S SR I R Iω ω ω′⋅ ⋅ ⋅ = × ⋅ (13.71)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ }

[ ] ( )

0 0 0 0 0 0 0

0 0

T TTS STS S S S S S S S S

S S SS S

R I R R R R I R R

R I

ω ω

ω ω

′ ′⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =⋅

′= ⋅ ⋅ =− ×. (13.72)

Ţinând seama de (13.68), respectiv substituind (13.72), (13.71) în expresia de plecare (13.65) aceasta devine:

0 0 0C C S SK r M a M a I Iρ ε ω ω′ ′= × ⋅ + × ⋅ + ⋅ + × ⋅ ; (13.73)

Aşadar, s-a obţinut o expresie identică cu membrul stâng al ecuaţiei (13.61),

reprezentând teorema momentului cinetic a corpului ( )S aflat în mişcare generală,

faţă de sistemul de referinţă fix { }0 .

Conform consideraţiilor anterioare, dinamica rigidului aflat în mişcare generală,

se poate studia prin aplicarea celor două teoreme fundamentale, anterior demonstrate: teorema mişcării centrului maselor (teorema impulsului) (13.35) şi teorema momentului cinetic în raport cu centrul maselor (13.63). Astfel, proiectând (13.63) pe axele sistemului

fix { }′0 se obţine un sistem de trei ecuaţii diferenţiale de forma:

00

0

x xy xz x xy xz xz yx x

y z x y yyx y yz yx y yz

y xz z zzx zy z zx zy z

I I I I I I MMI I I I I I

MI I I I I I

ω ωε ωε ω ω ω

ω ωε ω

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ + − ⋅ ⋅ =− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−− − − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(13.74)



Prin efectuarea calculelor, expresia (13.74), va conduce la:

( )( )

( )( )

x x xy y xz z zx x yz y z z y

yx x y y yz z z x

yx x y y yz z x x xy y xz z z

yx x y y yz z x y

zx x zy y z z yx x y

I I I I I I

I I I M

I I I I I I

I I I M

I I I I I

ε ε ε ω ω ω ω

ω ω ω ω

ε ε ε ω ω ω ω

ω ω ω ω

ε ε ε ω ω

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⋅ − ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ −

− − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ =

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −

− − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ =

− ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅ + ⋅( )( )

y yz z x

x x xy y xz z y z

I

I I I M

ω ω

ω ω ω ω

∗

∗ ∗ ∗ ∗

− ⋅ ⋅ −

− ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ =

(13.75)

Ţinând seama de (10.34) şi (10.46) reluate în §13.1.1 al prezentului capitol, necunoscutele din (13.75) sunt reprezentate de setul de unghiuri de orientare (unghiuri Euler), prin integrarea cărora şi prin aplicarea condiţiilor iniţiale, se obţin ecuaţiile parametrice ale mişcării generale ale rigidului ( )S .

13.5.1 Teorema momentului cinetic pentru un sistem de corpuri În cadrul acestui studiu, sunt apelate noţiunile din §13.1.4, respectiv

expresiile de definiţie ale teoremei momentului cinetic (13.62) şi (13.63). Aceste două expresii, aplicate asupra fiecărui corp ( )iS , din ansamblul de corpuri

( ) ( ) ( )1 , ,… …i nS S S se modifică astfel:

C i C C i i i i i i i i Li i i ir M a M a I I M Mρ ε ω ω′ ′× ⋅ + × ⋅ + ⋅ + × ⋅ = + . (13.76)

i i i i i C Li iI I M Mε ω ω∗ ∗ ∗⋅ + × ⋅ = + . (13.77)

unde ∗LiM este momentul rezultant al forţelor de legătură aplicate corpului ( )iS , în

raport cu centrul maselor iC .

Studiul dinamic al sistemului de corpuri ( )iS , necesită în funcţie de numărul necunoscutelor aplicarea pentru fiecare corp în parte a celor două ecuaţii fundamentale (13.39), reprezentând teorema mişcării centrului maselor şi respectiv (13.76) adică teorema momentului cinetic în raport cu centrul maselor. Reuniunea



ecuaţiilor (13.39) şi (13.76), iar apoi proiectarea lor pe axele sistemului fix, va conduce la un sistem de ( )⋅6 n ecuaţii diferenţiale de ordinul doi. Necunoscutele acestui sistem, sunt pe de o parte parametrii independenţi, numiţi coordonate generalizate (vezi (10.82) din cap 10), numărul lor fiind k .Pe de altă parte necunoscutele se referă la forţele de legătură, numărul lor fiind = ⋅ −6p n k .

13.6 Lucrul mecanic al forțelor aplicate rigidului Orice transformare sau schimbare de stare, în general se realizează printr-o

mişcare, a cărei măsură la un moment dat constituie energia. Lucrul mecanic reprezintă măsura transferului de energie între două stări (starea iniţială şi starea finală) ale unui sistem material. Altfel spus este un proces fizic şi real în decursul căruia au loc transformări ale mişcărilor nemecanice în mişcări mecanice şi invers.

Pentru studiul lucrului mecanic al forţelor exterioare, conform cu [V01] şi [V02], se consideră că asupra corpului ( )S , acţionează un sistem de forţe exterioare cu distribuţie spațială cunoscută, cu observaţia că originea sistemului de referinţă mobil { }S coincide cu centrul maselor corpului, adică: ≡O C , ρ = 0C .

La momentul ( )t , punctul de aplicaţie al forţelor ( ){ }= →, 1iF i n , este

definit prin vectorul ρ= +i C ir r . Echivalentul mecanic al acestor forţe, în raport cu

punctul C este torsorul de reducere, constituit din vectorul rezultant R , definit prin (13.14) şi momentul rezultant în raport cu centrul maselor CM , explicitat conform cu:

ρ ∗

== × = × ⋅∑ ∫

1

n

C i ii

M F r a dm . (13.78)

De asemenea, viteza centrului maselor, definită prin (13.9), se rescrie sub forma:

= = CC C

drv rdt

. (13.79)

Punctul de aplicaţie iA , al forţei iF , ce acţionează asupra rigidului, definit prin

vectorul de poziţie ir , este caracterizat prin vectorul viteză:

ω ρ= = = + ×ii i C i

drv r vdt

(13.80)



Conform aspectelor tratate în capitolele anterioare, lucrul mecanic elementar, reprezintă produsul scalar dintre vectorul forţă şi deplasarea elementară a punctului său de aplicaţie.

Tabloul expresiilor cinematice (13.79), (13.80), este corespunzător momentului ( )t , în care poziţia punctului iA este definită prin vectorul ir , astfel că la momentul ( )+t dt , noua poziţie a punctului de aplicaţie va fi: ( )+i ir dr . Pe baza acestor consideraţii, lucrul mecanic elementar al forţelor iF , aplicate asupra rigidului ( )S este: ( )ω= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ + × ⋅i i i i i i C idL F dr F v dt F v r dt (13.81) Conform (13.81), lucrul mecanic elementar, corespunzător acţiunii celor n forţe este:

( )ω ρ=

= ⋅ + × ⋅∑1

n

i C ii

dL F v dt (13.82)

Prin dezvoltarea expresiei (13.82), se obţine:

ω ρ= =

= ⋅ ⋅ + ⋅ × ⋅∑ ∑1 1

n n

i C i ii i

dL F v dt F dt (13.83)

Primul termen al membrului drept din (13.83), conform cu (13.79), devine echivalent cu:

= =

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

1 1

n n

i C i C Ci i

dL F v dt F dr R dr (13.84)

unde Cdr reprezintă deplasarea elementară infinitezimală a centrului maselor. Al doilea termen din (13.83) este:

( )ω ρ ρ ω= =

= ⋅ × ⋅ = × ⋅ ⋅ = ⋅ Ω∑ ∑1 1

n n

i i i i Ci i

dL F dt F dt M d , (13.85)

unde Ωd reprezintă vectorul ce exprimă rotaţia elementară, infinitezimală a corpului ( )S . Pe baza expresiilor (13.84) şi (13.85), relaţia (13.82), reprezentând lucrul mecanic elementar rezultant al forţelor aplicate asupra corpului ( )S în mişcarea generală, este: = ⋅ + ⋅ ΩC CdL R dr M d (13.86) Observaţii: • Dacă Ω = 0 , rigidul este în mişcare de translaţie, iar expresia (13.86), devine:

( ) ( )= ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅TTC x y z C C C x C y C z CdL R dr R R R dx dy dz R dx R dy R dz . (13.87)



• Dacă originea sistemului de referinţă mobil este în centrul maselor, atunci = 0Cr , astfel că rigidul execută o mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe sau punct

fix, iar expresia (13.86) se rescrie conform cu:

( ) ( )ψ θ ϕ ψ θ ϕ= ⋅ Ω= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅TTC x y z x y zdL M d M M M d d d M d M d M d . (13.88)

Expresiile (13.87) şi respectiv (13.88) se particularizează, dacă mişcarea de translaţie şi de rotaţie degenerează în mişcări simple, în lungul sau în jurul unei singure axe.

13.7 Puterea mecanică Puterea mecanică reprezintă o mărime scalară ce caracterizează lucrul

mecanic produs în unitatea de timp. Puterea mecanică, se exprimă prin raportul între lucrul mecanic elementar şi timpul elementar corespunzător acestuia, adică:

=dLPdt

(13.89)

În conformitate cu expresia lucrului mecanic elementar (13.86), expresia anterioară se rescrie:

( ) Ω= = ⋅ ⋅ + ⋅ Ω = ⋅ + ⋅

1 CC C C

drdL dP R dr M d R Mdt dt dt dt

(13.90)

Ţinând seama că: =CC

dr vdt

, respectiv ωΩ=

ddt

, expresia (13.90), se rescrie:

ω= ⋅ + ⋅C CP R v M (13.91) În cazul în care, corpul efectuează o mişcare de translaţie în care ω = 0 , puterea mecanică este:

= ⋅ = ⋅ 0CP R v R v , (13.92) Dacă rigidul se află într-o mişcare de rotaţie, iar originea sistemului de referinţă mobil { }S coincide cu centrul maselor, adică ω= ×C Cv r , puterea mecanică este:

( )ω ω= ⋅ × + ⋅C CP R r M (13.93) Primul termen din membrul drept din (13.93) este: ( ) ( )ω ω⋅ × = × ⋅C CR r r R (13.94)



Substituind (13.94) în (13.93), rezultă: ( ) ( )ω ω ω= × ⋅ + ⋅ = × + ⋅C C C CP r R M r R M (13.95)

Ţinând seama de legea de variaţie a momentului rezultant la schimbarea polului din C (centrul maselor) în 0O aparţinând sistemului { }0 , adică × + = 0C Cr R M M , puterea mecanică este: ω= ⋅0P M (13.96)

Pentru exemplificare, se presupune că sistemul { }S , ataşat corpului ( )S

efectuează o rotaţie în jurul axei fixe = 0Oz Oz , atunci ( )ω ω= 0 0 T . Pe baza expresiei (13.96), puterea mecanică este echivalentă cu: ω ω ω= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅0 0 0x y z zP M M M M M (13.97)

În cazul unei mişcări în jurul unui ax fix (mişcare sferică), puterea mecanică este exprimată conform cu relaţia:

ω ω ω ω= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅0 x x y z z zP M M M M (13.98)

unde ψω ψ ψ θ

ω ω ψ ψ θ θθ ϕω

⎛ ⎞⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

001 0

x

y

z

c s ss c s

c.

Pentru mişcarea plan-paralelă, în care planul mişcării este =0 .z cst , puterea mecanică devine:

( )

( )0

0 0 0

C C C

C

P R v M R v R r M

R v r R M R v M

ω ω ω

ω ω

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ × + ⋅ =

= ⋅ + × + ⋅ = ⋅ + ⋅ (13.99)

unde

( ) ( )ω ω

ω ω ω

= =

− − ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + × = + ⋅ = + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

'

0 0

0 0 0

0 ; 0 0

0 00 0

0 0 00 0

TTx y C z

x x

C y y

R R R M M

v x v yv v r v y v x

z

Expresia (13.99), este echivalentă cu: ω= ⋅ + ⋅ + ⋅0 0x x y y zP R v R v M (13.100)



Observaţie: În mod curent în aplicaţii este folosită următoarea expresie de calcul:

π ⋅= ⋅

30mnP M (13.101)

unde, mM este momentul motor, iar n reprezintă numărul de rotaţii pe minut,

executate de corpul aflat în mişcarea de rotaţie.

13.8 Randamentul mecanic Sistemul de forţe exterioare (active) care acţionează asupra unui corp rigid,

produce un lucru mecanic motor, simbolizat mL . O altă parte din sistemul de forţe,

precum forţele rezistente (de legătură) generează un lucru mecanic rezistent. Aşadar, lucrul mecanic motor este constituit din:

= + = +,m u p m u pL L L sau P P P (13.102)

unde uL reprezintă lucrul mecanic util, necesar punerii în mişcare a sistemului

mecanic, în timp ce pL este lucrul mecanic pasiv necesar învingerii frecărilor,

deformărilor, ce apar în timpul mişcării mecanice. Randamentul mecanic este o mărime adimensională, notată ( )η si reprezintă

funcţia de transfer a lucrului mecanic sau a puterii, transfer exprimat prin relaţia:

η η− −

= = =m p m pu

m m m

L L P PL sauL L P

(13.103)

Ţinând seama de (13.103), se introduce notaţia: p p

m m

L PL P

ϕ = = care se numeşte

coeficient de pierderi. Astfel, expresia randamentului (13.103), se rescrie astfel: η ϕ= − <1 1 (13.104)

şi arată că randamentul mecanic este o funcţie de transfer subunitară, influenţată de coeficientul de pierderi.



13.9 Energia cinetică În capitolele anterioare, s-a arătat că energia cinetică este o mărime fizică

scalară, strict pozitivă, care măsoară capacitatea mişcării mecanice de transformare într-o altă mişcare de natură nemecanică. În cazul unui punct material sau sistem de puncte materiale expresia acestei mărimi este:

= ⋅ ⋅ 212CE m v , respectiv

== ⋅ ⋅∑ 2

1

12

n

C i ii

E m v

Datorită faptului că solidul rigid este format dintr-o infinitate de puncte (de masă elementară dm , a se vedea Fig.13.1), energia cinetică totală a corpului rigid ( )S este:

= = ⋅∫ ∫ 212C CE dE v dm (13.105)

Studiul se efectuează considerând că sistemului de referinţă { }∗S este aplicat în centrul maselor, particularitate care implică: ρ = 0C , iar ≡0 Cr r . În aceste condiţii,

particula ( )dm se caracterizează prin:

( ) ( )ω ω ω= + × = ⋅ = ⋅ = + × ⋅ + ×2; TTC C Cv v r v v v v v v r v r (13.106)

Înlocuind în (13.105), expresia (13.106), rezultă:

( ) ( )ω ω= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + × ⋅ + × ⋅∫ ∫1 12 2

TTC C CE v v dm v r v r dm (13.107)

Se efectuează produsul scalar în expresia (13.107). Primul termen, dezvoltat este:

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫2 21 1 12 2 2

TC C C Cv v dm v dm M v (13.108)

Datorită particularităţii geometrice prin care centrul maselor devine originea sistemului de referinţă{ }S , integrala masică din expresia (13.7) devine:

ρ⋅ = ⋅ =∫ 0Cr dm M (13.109)

şi ca urmare, următorii doi termeni explicitaţi din (13.107) devin nuli, adică:

( ) ( )ω ω⋅ ⋅ × ⋅ = ⋅ ⋅ × ⋅ =∫ ∫1 1 02 2

T TC Cv r dm v r dm (13.110)

( ) ( )ω ω⋅ × ⋅ ⋅ = ⋅ × ⋅ ⋅ =∫ ∫1 1 02 2

TTC Cr v dm r dm v (13.111)



Pentru dezvoltarea matriceală a ultimului termen din (13.107), se scriu transformările:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω ω ω ω⎧ ⎫⎡ ⎤× = − × = × × = − × ⋅ = × ⋅⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭;

TT T T TTr r r r r r

pe baza cărora, se obţine expresia:

( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω ω⋅ × ⋅ × ⋅ = ⋅ ⋅ × ⋅ × ⋅ ⋅∫ ∫1 12 2

T TTr r dm r r dm (13.112)

Asupra expresiei anterioare, se efectuează următoarele transformări matriceale:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

0 0 0 0

, ,

,

T TS S T S TS S S

TT T TS SS S S S

R R R

r R r R r R r R

ω ω ω ω ω ω= ⋅ = ⋅ = ⋅

× = ⋅ × ⋅ × = ⋅ × ⋅

care substituite în relaţiile (13.112), vor conduce la expresia:

( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω ω⎡ ⎤⎡ ⎤⋅ ⋅ × ⋅ × ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅ × ⋅ × ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫1 12 2

TTT S T S S Sr r dm r r dm (13.113)

Ţinând seama de expresia tensorului inerţial axial centrifugal în raport cu centrul maselor, expresia (13.112) ia următoarea formă finală:

( ) ( )1 12 2

TS T S S S S T S SSr r dm Iω ω ω ω∗⎡ ⎤⋅ ⋅ × ⋅ × ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦∫ (13.114)

Substituind (13.108) şi (13.114) în expresia de definiție (13.107), se obţine expresia finală pentru energia cinetică totală, a corpului ( )S aflat în mişcarea generală:

21 12 2

S T S SC C SE M v Iω ω∗= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ (13.115)

Expresia anterioară, este cunoscută sub denumirea de teorema lui König pentru energia cinetică. Aşa cum se poate observa din (13.115), energia cinetică reprezintă suma a două componente: prima caracterizează energia cinetică în mişcarea de translaţie, iar a doua componentă constituie energia cinetică în mişcarea de rotaţie rezultantă, ambele mişcări compunând mişcarea generală a rigidului. Observaţii: • Stabilirea formei matriceale a energiei cinetice se va efectua în două situaţii distincte, conform cu [N01]. Mai întâi, se va considera un sistem discret de puncte materiale, iar în continuare studiul se va extinde asupra unui solid rigid. Pentru început, se consideră un sistem discret de puncte materiale, caracterizat prin:

( )= = → = →; ; ; 1 ; ; 1i i i i j iM m r r q j k v unde i n ;



unde im este masa fiecărui punct material, ir reprezintă vectorul de poziţie în raport

cu un sistem de referinţă fix, k este numărul . . .g d l ale întregului sistem material, iar

iv este viteza fiecărui punct material. Energia cinetică a sistemului material este:

1

12

nT

C i i ii

E m v v=

= ⋅ ⋅∑ ; unde 1 1

;T Tk k

T T i ii i j i m

j mj m

r rv r q v qq q= =

∂ ∂= = ⋅ = ⋅

∂ ∂∑ ∑ ; (13.116)

1 1 1 1

1 12 2

Tn n k kT i i

C i i i i j mi i j m j m

r rE m v v m q qq q= = = =

∂ ∂= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

∂ ∂∑ ∑∑∑ . (13.117)

Pentru ;i j i m< < rezultă că: 0i i

j m

r rq q∂ ∂

= =∂ ∂

. Ca urmare, energia cinetică devine:

1 1 max( ; )

12

Tk k nm m

C m i ji j m i j i j

r rE m q qq q= = =

∂ ∂= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∂ ∂∑∑ ∑ ;max( ; )

Tnm m

ij ji mm i j i j

r rM M mq q=

⎛ ⎞∂ ∂= = ⋅ ⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∑ . (13.118)

Ţinând seama de notaţiile de mai sus, expresia matriceală a energiei cinetice este :

[ ]1 1

1 1 11 112 2

k k TC ij i j i ij j

i j

i nE M q q q i n M q j nj n= =

⎧ = → ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅ = → ⋅ ⋅ = →⎨ ⎬ ⎣ ⎦⎢ ⎥= →⎣ ⎦⎩ ⎭∑∑ .(13.119)

În continuare, studiul se extinde asupra unui corp ( )i , conform cu Fig. 13.2,

divizat într-o infinitate de mase elementare ( )dm şi continuu distribuite.

iC

{ }i

( )−1i

{ }0

dm

iCir

iir

0Cir

ip

0ir

{ }+1i( )+1i

Fig. 13.2.



Poziţia uneia dintre acestea, reprezentată în figura alăturată, este definită faţă de { }i

şi { }0 prin vectorii de poziţie ca:

( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ]0 00 0

1 1

1 1 ; 1 1

T Ti T i i ii i i i

T T TT i T T i Ti i i ii i

r x y z

r T r r r T

=

= ⋅ = ⋅; (13.120)

unde [ ]0i T este matricea de transformare omogenă determinată, prin expresia [N01]:

[ ]( )

[ ]( ) ( )

( ) ( )

0

3 13 30

4 41 11 3

0 0 0 1

ii

i

Submatricede Vector de R protaţie poziţie

TTransformarede Factor de

perspectivă scară

××

×××

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(13.121)

Considerând expresia în coordonate omogene în cazul vectorului de poziţie, expresia diferenţială a energiei cinetice este scrisă sub forma următoare:

( ) ( )0 01 0 02

Ti T TC i idE r r dm= ⋅ ⋅ ⋅ ;

( ) ( ) ( )

( )

00 0 0

0 0

1 10 0 002 2

1 112

Ti T T TiC i i i

i Ti Tiii i

rdE r r dm Trace r dm

rTrace T r dm T

⎧ ⎫⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅ ⋅ ≡⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭⎧ ⎫⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤≡ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎩ ⎭

.(13.122)

Astfel, expresia integrală a energiei cinetice se obţine prin aplicarea integralei masice:

( ) ( ) ( )0

00 0

1 01 020 02

i iC C

TiT iT Ti i

E dE rTrace r dmr r dm

⎧ ⎫= ≡ ⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪ = ⋅ ⋅ ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟≡ ⋅ ⋅ ⋅ ⎝ ⎠⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

∫∫

∫ (13.123)

adică:

( ) ( )

( ) { }

0 0 00

0 0 0 0

1 10 10 12 2

1 1112 2

i Ti T i Ti iC i ii i

i T Ti T Iii psii i i i

r rE Trace r dm Tr T r dm T

rTr T r dm T Trace T I T

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≡⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎧ ⎫⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤≡ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎩ ⎭

∫ ∫

∫.(13.124)

unde Trace are semnificaţia din capitolul patru, (vezi (4.34)), iar ipsiI poartă

denumirea de tensorul pseudoinerţial şi conţine toate momentele masice, fiind definit:



( )11

i i T ii i i ii i Tipsi i i T

i

i i i ixx xy xz i Ci

i i i iyx yy yz i Ci

i i i izx zy zz i Cii i i

i C i C i C ii i i

r r dm r dmrI r dmr dm dm

I I I M x

I I I M y

I I I M z

M x M y M z M

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ ⋅ = =⎜ ⎟⎢ ⎥⋅⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦

∫ ∫∫

∫ ∫

Derivata în raport cu timpul a matricei de situare se determină cu (13.121), astfel: ( ) [ ]{ } ( )0 0

1 1

i iT Tj jijii j jj

T T q A qq= =

∂⎡ ⎤ = ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ∂∑ ∑ . (13.125)

Substituind (13.125) în (13.124), rezultă expresia integrală a energiei cinetice pentru corpul ( )i astfel:

( ) { }1 1

1; 12

i ii I TC j j ij psi im j m

j mE q q j i Trace A I A q q

= == → = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑∑ . (13.126)

Energia cinetică, pentru structura mecanică cu n grade de libertate, se determină cu expresia de jos:

( ) ( ) { }1 1 1 1

1; ; 12

n n i ii I T

C C j j ij psi im j mi i j m

E E q q j i Trace A I A q qθ θ= = = =

= = → = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ ∑∑∑ .(13.127)

Datorită simetriei de calcul din (13.127), conform cu [F01], [N04], se introduce simbolul:

{ }( )max ;

nk T

ij ji ki psk kjk i j

M M Trace A I A=

≡ ≡ ⋅ ⋅∑ ; (13.128)

Înlocuind notaţiile (13.128) în (13.127) şi efectuând câteva transformări matriceale, se obţine expresia matriceală finală, pentru energia cinetică totală a corpului, astfel:

( )1 1

1 1 1; 11 12 2

Tn nji

C ij i j iji j

qq i nE M q q M j ni n j nθ θ

= =

⎛ ⎞⎧ = → ⎫⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= →= → = →⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠∑∑ ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 1;2 2

n nT

C ij i ji j

E t t M t q t q t t M t tθ θ θ θ θ= =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦⎣ ⎦ ∑∑ . (13.129)



Simbolul ( )M θ , inclus în (13.119) şi în (13.129), poartă denumirea de matricea de inerţie a energiei cinetice (matricea maselor). Ţinând seama de (13.128), expresia de definiţie este următoarea:

( ) { }( )max ;

11

nk T

ij ji ki psk kjk i j

i nM M M Trace A I A j nθ=

⎡ ⎤= →= ≡ ≡ ⋅ ⋅⎢ ⎥= →⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ;

( )( )

{ }1 1 11ij ij jin n

i nM M Matrix M M unde i n iar j nj nθ×

= →⎡ ⎤= ≡ ≡ = → = →⎢ ⎥= →⎣ ⎦.(13.130)

şi este fiind exprimată în spaţiul cartezian. Expresia matriceală (13.129), se aplică pentru stabilirea ecuaţiilor dinamicii, sub formă explicită sau matriceală.

În continuare se prezintă expresiile energiei cinetice pentru mișcările particulare ale rigidului. Astfel, există următoarele cazuri: • dacă rigidul execută o mişcare de translaţie, atunci în (13.115), ω = 0S , rezultând:

• 212C CE M v= ⋅ (13.131)

• dacă rigidul execută o mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe, spre exemplu axa

zO de versor k , atunci particularităţile cinematice conduc la o formă particulară a

energiei cinetice. Astfel, viteza centrului maselor Cv şi viteza unghiulară ω , se înlocuiesc cu expresiile:

ω ω ϕ= × = ⋅;C Cv r k (13.132) Introducând în (13.115) pătratul vitezei centrului maselor, se fac transformările:

( ) ( )ω= ⋅ = × ⋅0 0T TS SC C CS Sv R v R r (13.133)

( ) ( )( ) ( ) ( )ω ω ω⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤× ⋅ = ⋅ × ⋅ = ⋅ ⋅ ×⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦0 0 0

TTTT T TS S S TC C CS S SR r R r R r (13.134)

( ) ( )ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤× ⋅ = ⋅ × ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0 TT TS S

C CS SR r R r (13.135)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 02

0 0

TT TS T SC C CS S

TTS T SC CS S

v R r R r

R r r R

ω ω

ω ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ × ⋅ ⋅ × ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅ ⋅ × ⋅ × ⋅ ⋅⎣ ⎦

(13.136)



• Înlocuind 2Cv din (13.136) în (13.115) rezultă:

( ) ( ) ( ) ( ){ }0 012

TTS T S SC C C SS SE M R r r R Iω ω∗⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅ × ⋅ + ⋅⎣ ⎦ (13.137)

Conform cu variaţia generalizată a tensorului inerţial axial-centrifugal, rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

TTSS C CS S

TS S S S SS CS S CS SS S

I R M r r R

I R I R I I I

∗

∗ ∗

+ ⋅ ⋅ × ⋅ × ⋅ =

= + ⋅ ⋅ = + = (13.138)

unde SSI reprezintă tensorul inerţial axial-centrifugal al rigidului în raport cu sistemul

de referinţă{ }S , cu originea în punctul fix O . Aşadar se obţine: 12

S T S SC SE Iω ω= ⋅ ⋅ ⋅ (13.139)

Înlocuind în (13.115), expresia vitezei unghiulare din relaţia (13.139), se obţine:

( ) 2 20

1 1 10 0 02 2 2

S S Sx xy xz

S S S S SC yx y yz z S

S S Szx zy z

I I I

E I I I I I

I I I

ϕ ϕ ωϕ

⎡ ⎤− − ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ − − ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠− −⎢ ⎥⎣ ⎦

(13.140)

• Dacă rigidul execută o mişcare în jurul unui punct fix (sferică), atunci energia cinetică va prezenta o expresie specifică acestui tip de mişcare. Pentru demonstrarea acestei expresii se utilizează relaţiile deduse mai sus. Deosebirea faţă de mişcarea precedentă constă în faptul că vectorul viteză unghiulară are

componente pe toate cele trei axe, adică: ( )ω ω ω ω=T

x y z .

Ca urmare, relaţia (13.139) se particularizează astfel:

( )0 0

1 1 0 02 2

0 0

Sx x

S T S S SC S x y z y y

Szz

IE I I

I

ωω ω ω ω ω ω

ω

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

(13.141)

de unde: ( )2 2 212

S S SC x x y z zE I I Iω ω ω= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ (13.142)

În ecuaţia anterioară, s-a introdus ipoteza conform căreia axele sistemului de referinţă mobil sunt axe principale de inerţie faţă de care momentele de inerţie centrifugale devin nule, adică:

0S S Sxy yz zxI I I= = = .



• În cazul în care rigidul execută o mişcare plan-paralelă, iar planul mişcării este

( )=0 0z , expresia energiei cinetice înregistrează particularităţile:

( ) 2

0 01 1 10 0 0 02 2 2

0 0

S Sx xy

S T S S S S SS yx y z

Sz

I I

I I I I

I

ω ω ω ωω

∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗

⎡ ⎤− ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(13.143)

Substituind (13.143) în (13.115), expresia energiei cinetice în cazul unei plăci situate în planul ( )=0 0z şi aflată în mişcare plan-paralelă devine:

2 21 12 2

SC C zE M v I ω∗= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (13.144)

unde SzI∗ este momentul de inerţie mecanic în raport cu axa Cz , normală pe planul

plăcii (de mişcare) în centrul maselor. Ţinând seama de faptul că mişcarea plan-

paralelă este reductibilă, sub aspectul vitezelor la o rotaţie în jurul centrului

instantaneu de rotaţie,(vezi capitolul nouă, §9.5.3, (9.59)) viteza centrului maselor se

poate exprima prin expresia:

ω ω ω= × = ⋅ = ⋅22 2; ,C C Cv IC v IC iar v IC (13.145)

Substituind expresia vitezei centrului maselor (13.145) în relaţia (13.144) rezultă: 2 21

2S

C zE M IC I ω∗⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(13.146)

Conform teoremei lui Steiner, rezultă: 2 S S

z iM IC I I∗Δ⋅ + = (13.147)

unde SiIΔ este momentul de inerţie mecanic în raport cu axa instantanee de rotaţie.

Aşadar, expresia (13.144) se rescrie sub forma următoare:

212

SC iE I ωΔ= ⋅ ⋅ (13.148)

şi exprimă energia cinetică în cazul unui corp rigid aflat în mişcare plan-paralelă.



13.9.1 Teorema energiei cinetice În §8.16 s-a demonstrat teorema energiei cinetice în formă diferenţială şi

integrală pentru un sistem de puncte materiale (vezi §8.13.3). Corpul rigid este constituit dintr-o infinitate de puncte materiale între care distanţele se păstrează constante. Conform § 8.13.3, lucrul mecanic elementar al forţelor interne devine

= ⋅ ⋅ = 0i ij ijdL F v dt . Aşadar, în cazul unui rigid, expresiile diferenţiale şi integrale se

particularizează şi rezultă expresia: = − = 122 1,C C CdE dL adică E E L (13.149)

ce caracterizează teorema energiei cinetice în formă diferenţială şi integrală în cazul unui corp rigid.

În cele ce urmează, se demonstrează că teorema energiei cinetice în formă diferenţială are un caracter general, din aceasta rezultând prin transformări celelalte două teoreme fundamentale. Se pleca de la ecuaţia diferenţială (13.149), în care lucrul mecanic elementar se înlocuieşte cu expresia specifică mişcării generale (13.86):

= ⋅ + ⋅ ΩT S T SC CdL R dr M d , (13.150)

Expresia integrală a energiei cinetice în forma (13.115) se diferenţiază şi rezultă: 21 1

2 2S T S S

C C SdE d M v Iω ω∗⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(13.151)

Prima diferenţială din membrul drept din (13.151) se dezvoltă după cum urmează: ⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

212

TC C Cd M v M v d v (13.152)

unde: = ⋅ ⋅ =,C C C Cd v a dt v dt dr . Aşadar, expresia (13.152), se rescrie astfel:

( )⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

212

T TC C C C Cd M v M a v dt M a dr (13.153)

A doua diferenţială a membrului drept din (13.151) se referă la componenta rotaţională a energiei cinetice:

( ) ( )1 1 12 2 2

S T S S S T S S S T S SS S Sd I d I I dω ω ω ω ω ω∗ ∗ ∗⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ (13.154)



Ţinând seama că tensorul inerţial SSI∗ este o matrice pătrată şi simetrică, termenii

din membrul drept al relaţiei (13.154) sunt identici, astfel se obţine:

( )12

S T S S S T S SS Sd I d Iω ω ω ω∗ ∗⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ (13.155)

Se efectuează următoarele transformări diferenţiale, bazate pe expresiile de definiţie ale vitezei şi acceleraţiei unghiulare, adică:

( ) ( ){ }ω ω ε ε ε ω= ⋅ = ⋅ =0 0; ;T TS SS SR R (13.156)

Se aplică derivata în raport cu timpul asupra vitezei unghiulare ( )ωS , în conformitate cu expresiile (10.42)-(10.46) şi rezultă:

ω ω ωε ω ω∂ ∂= = = + ×

∂ ∂

S S SS S Sd

t dt t, ω ω× = 0S Sunde (13.157)

Se cunoaşte faptul că, mişcarea de rotaţie rezultantă, componentă a mişcării

generale, este caracterizată prin vectorul de orientare ( ) ( ) [ ]ψ θ ϕΩ = S TS , a

cărui derivată de ordinul întâi în raport cu timpul este vectorul viteză unghiulară ω : ( )

ω Ω=

Sddt

(13.158)

Se înlocuieşte vectorul viteză unghiulară ω în expresia (13.157) şi se obţine: ω ω ω∂ Ω= + ×

∂

S S SSd d

dt t dt (13.159)

de unde: ω ω ω= ∂ + Ω×S S S Sd d (13.160)

În (13.155), este inclusă transpusa diferenţialei ( )ωS Td , adică:

( ) ( ) ( )ω ω ω= ∂ + Ω×TS T S T S Sd d (13.161)

Termenul al doilea din membrul drept al relaţiei anterioare se poate scrie:

( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω⎡ ⎤Ω× = × ⋅ Ω = Ω ⋅ ×⎢ ⎥⎣ ⎦

TT TS S S S S T Sd d d (13.162)



Ţinând seama de (13.162), relaţia (13.161), se rescrie după cum urmează: ( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω= ∂ + Ω ⋅ ×S T S T S T Sd d (13.163)

Substituind (13.163) în (13.155), se obţine:

( )S T S S S T S S S T S S SS S Sd I I d Iω ω ω ω ω ω∗ ∗ ∗⋅ ⋅ = ∂ ⋅ ⋅ + Ω ⋅ × ⋅ (13.164)

Primul termen din (13.164), se rescrie sub forma:

( ) ( ) ( )T T TS T S S S S S S S S S S SS S S SI I I dt I dω ω ω ω ω ε ε∗ ∗ ∗ ∗∂ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∂ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ Ω (13.165)

Al doilea termen din (13.164) este echivalent cu:

( ) ( )TS T S S S S S S SS Sd I I dω ω ω ω∗ ∗Ω ⋅ × ⋅ = × ⋅ ⋅ Ω (13.166)

Aşadar, diferenţiala componentei rotaţionale a energiei cinetice, ia forma finală:

( )12

TS T S S S S S S S SS S Sd I I I dω ω ε ω ω∗ ∗ ∗⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + × ⋅ ⋅ Ω⎜ ⎟

⎝ ⎠ (13.167)

Expresiile (13.153) şi (13.167) se înlocuiesc în ecuaţia de plecare (13.151) şi rezultă:

( ) ( )TT S S S S S S T S T SC C S S C CM a dr I I d R dr M dε ω ω∗ ∗⋅ ⋅ + ⋅ + × ⋅ ⋅ Ω = ⋅ + ⋅ Ω (13.168)

Întrucât corpul rigid este într-o mişcare generală, caracterizată prin şase parametri independenţi, componenţi ai vectorilor Cr şi Ω . Rezultă astfel, că şi diferenţialele acestora sunt independente între ele. În consecinţă, conform cu identitatea (13.168), dacă vectorii diferenţiali devin:

• Ω = 0Sd , respectiv ≠ 0Cdr , atunci rezultă expresia:

⋅ =CM a R (13.169)

• = 0Cdr şi Ω ≠ 0Sd , atunci se obţine expresia: S S S S S S

S S CI I Mε ω ω∗ ∗⋅ + × ⋅ = (13.170) Observații: • Comparând expresiile (13.169) cu (13.35), respectiv (13.170) cu (13.63) se constată o identitate perfectă. Aşadar, prin transformări succesive aplicate asupra teoremei energiei cinetice în forma diferenţială, au fost deduse teorema mişcării centrului maselor (13.169) şi teorema momentului cinetic în raport cu centrul maselor



(13.170). Astfel s-a demonstrat caracterul general al teoremei energiei cinetice în formă diferenţială • O altă formulare asupra teoremei energiei cinetice, poate fi elaborată, considerând că rigidul ( )i , reprezentat în mod simbolic în Fig. 13.2, este parte

integrantă dintr-un sistem de corpuri ( )iS unde i 1 n= → , şi execută o mişcare generală în raport cu sistemul de referinţă fix şi definită prin:

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

........................................................

TC C CC i i i ii

iT

i i i i i

x t y t z tr tX

t t t t

θ

θ ψ θ ϕ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪Ω ⎡ ⎤⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭

; (13.171)

în care sistemul mobil { }*i , prin care se raportează mişcarea, are originea în centrul maselor. Pentru început, ţinând seama de expresiile stabilite în secţiunile anterioare, expresia de definiţie a teoremei energiei cinetice în formă diferenţială, se scrie, conform cu [N01] şi [N03] ca:

{ }2 *1 12 2

i j T j i i i iC i j j i i C i iid E v dm v v dm d L F d r N d⎧ ⎫= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ≡ = ⋅ + ⋅ Ω⎨ ⎬

⎩ ⎭;

( )* *1 12 2

i T i i T i i i i i ii C C i i i i C i ii i id M v v I F d r N dω ω⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ≡ ⋅ + ⋅ Ω⎜ ⎟

⎝ ⎠; (13.172)

unde id L este lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare, echivalente mecanic

cu forţa rezultantă iiF şi momentul rezultant *i

iN în raport cu sistemul{ }*i aplicat în

centrul maselor. Vectorii diferenţiali de mişcare iCid r şi i

id Ω exprimă translaţia şi

respectiv rotaţia elementară, ambele fiind independente şi componente ale mişcării generale a corpului cinetic analizat.

În continuare, asupra expresiei ce caracterizează teorema energiei cinetice, în formă diferenţială, vor fi aplicate câteva transformări matriceale şi diferenţiale importante. Pentru început se dezvoltă diferenţiala aplicată asupra primului termen din teorema lui König pentru energia cinetică, reprezentând membrul stâng al identităţii matriceale (13.172). Astfel, se obţine:

( ) ( ){ } ( )

12

i T i i T ii C C i C Ci i i i

i T i i T i i T ii C C i C C i C Ci i i i i i

d M v v M v d v

M v v dt M v v dt M v d r

⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ≡⎜ ⎟⎝ ⎠

≡ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅ (13.173)



Diferenţiala aplicată asupra termenului al doilea din componenţa teoremei lui König devine:

( ) ( )( ) ( ){ }

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ≡⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

≡ ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅

* * *

* *

1 1 12 2 2

Ti T i i i i i i T i ii i i i i i i i i

Ti i i i T i ii i i i i i

d I d I I d

d I I d. (13.174)

Ținând seama de matricea antisimetrică asociată vitezei unghiulare din capitolul patru, adică: { } [ ]

0 00 Ti ii

R Rω ⎡ ⎤× = ⋅⎣ ⎦ ; { } [ ]00 Ti

i i iR Rω ⎡ ⎤× = ⋅ ⎣ ⎦

transferul

vitezelor şi acceleraţiilor unghiulare din sistemul { }0 în sistemul { }i este definit:

[ ]0 0i Ti ii Rω ω= ⋅ ; [ ]0 0i T

i ii Rω ω= ⋅ . (13.175) Viteza unghiulară i

iω este derivată în raport cu timpul. Astfel, se obţine acceleraţia unghiulară, a cărei expresie este dată prin:

( ) [ ]{ } [ ]{ } [ ] [ ]{ }0 0 0 00 0 0 0i i i ii i

i i i i i id d dR R R R

t dt dt dtω ω ω ω ω ω∂

= ⋅ = ⋅ + ⋅ ≡ ⋅ +∂

; (13.176)

( ) ( ) [ ]{ } ( ) [ ]{ }00 00i Ti i i i

i i i i i iid d dR Rdt t dt t dt

ω ω ω ω ω ω∂ ∂≡ = − ⋅ = − ⋅

∂ ∂;(13.177)

[ ]{ } [ ]{ } [ ]

[ ]{ }00 0 00 0

00 0

TT T T

i ii i ii

T i i ii i ii i

d R R R Rdt

R R

ω ω

ω ω ω

⎡ ⎤− ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ =⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ≡ × ≡⎣ ⎦

.

Astfel, derivatele absolute şi relative, în raport cu timpul, aplicate asupra vitezei şi acceleraţiei unghiulare sunt egale între ele, după cum se poate observa mai jos:

( ) [ ]{ } ( )00ii i i

i i i id dR

t dt dtω ω ω ω∂ ⎧ ⎫≡ ⋅ = ≡⎨ ⎬∂ ⎩ ⎭

; de unde: ( )i ii i dtω ω∂ = ⋅ . (13.178)

Vectorul vitezei unghiulare absolute este de asemenea, definit prin intermediul derivatei în raport cu timpul a vectorului de orientare:

[ ]{ } { }{ } { }00i

T i i ii ii i

dR Rdt

ω⎧ ⎫⎧ ⎫Ω⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤⋅ = × ≡ Ω × = ×⎨ ⎨ ⎬ ⎬⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

;

de unde i

i i ii ii

ddt

ω Ω= Ω = ; respectiv i i

i idt dω ⋅ = Ω . (13.179)



Ţinând seama de (13.179), expresia(13.177), privind acceleraţia unghiulară absolută, se scrie ca:

( ) ( ) [ ]{ } ( )00 Ti i i i i iii i i i i ii i

dd R Rdt t t dt

ω ω ω ω ω ω⎧ ⎫Ω∂ ∂⎧ ⎫ ⎡ ⎤≡ = + ⋅ ⋅ = + ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎣ ⎦∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭

;

de unde: ( ) ( )i i ii i i id dω ω ω= ∂ + Ω × ; (13.180)

iar ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( )

T T Ti i ii i i i

TT T Ti i i T ii i i i ii i

d d

d d

ω ω ω

ω ω ω ω

⎧ ⎫= ∂ + Ω × ≡⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬

⎛ ⎞⎪ ⎪≡ ∂ + × ⋅ Ω = ∂ + Ω ⋅ ×⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

. (13.181)

Substituind (13.181), în cadrul expresiei (13.174), asupra acesteia se efectuează câteva transformări:

( ) ( )

{ } { }

* *

* *

* *

Ti i i i T i ii i i i i i

i T i i T i i ii i i ii i i i

T Ti i i i i i ii i i i i i i

d I I d

I d I

I I d

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅ =

= ∂ ⋅ ⋅ + Ω ⋅ × ⋅ ≡

≡ ⋅ ⋅ ∂ + × ⋅ ⋅ Ω

; (13.182)

( ) ( ){ }{ } { }

{ } { }

* * *

* *

* *

12

Ti T i i i i i i T i ii i i i i i i i i



d I d I I d

I I d

I dt I d

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

⎧ ⎫⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ≡ ⋅ ⋅ =⎨ ⎬⎩ ⎭

= ⋅ ⋅ ∂ + × ⋅ ⋅ Ω ≡

≡ ⋅ ⋅ ⋅ + × ⋅ ⋅ Ω

; (13.183)

Aşadar, diferenţiala termenului al doilea din componenţa teoremei lui König se exprimă prin:

{ } { }

{ }

*

* *

* *

12

i T i ii i i


Ti i i i i ii i i i i i

d I

I dt I d

I I d

ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω

⎧ ⎫⋅ ⋅ =⎨ ⎬⎩ ⎭

= ⋅ ⋅ ⋅ + × ⋅ ⋅ Ω ≡

≡ ⋅ + × ⋅ ⋅ Ω

. (13.184)

Rezultatele obţinute cu (13.173), (13.174) şi respectiv (13.184) sunt înlocuite în expresia de plecare (13.172), care caracterizează teorema energiei cinetice sub formă



13.11 Aplicaţii 13.11.1 Se dă sistemul format din următoarele trei corpuri: un disc circular drept de rază R şi greutate G ( )3 , articulat în centrul de masă, un disc circular drept, de rază R şi

greutate G ( )2 şi prisma ( )1 , de greutate G . Cele două discuri sunt legate între ele prin intermediul unui fir flexibil şi inextensibil de masă neglijabilă având unul dintre capete fixat.

Prisma ( )1 este suspendată în centrul de masă al discului ( )2 . Asupra sistemului material acţionează un moment constant OM . În ipoteza frecărilor neglijabile se cere să se determine: a). ecuaţiile de mişcare ale punctului material b). acceleraţia corpului prismatic ( )1 c). tensiunile din firul flexibil şi inextensibil ce face legătura între corpuri. Rezolvare: Se consideră că sistemul porneşte din repaus, ceea ce înseamnă că energia cinetică iniţială este

C1E 0= . În mişcare, corpul de translaţie parcurge distanţa x cu viteza v . Viteza unghiulară a discului

( )1 este: 11

vR

ω = . (1)

Discul ( )2 efectuează o mişcare plan-paralelă Viteza discului ( )2 se determină astfel: 2 1 1v 2 R 2 vω= ⋅ ⋅ = ⋅ (2)

Acceleraţia unghiulară acelui de-al doilea element: 2 12

v 2 vR R

ω ⋅= = (3)

Se notează cu y deplasarea pe axa Oy a sistemului format din discul ( )2 şi prisma ( )1 iar cu y şi y componentele vitezei respectiv acceleraţiei sistemului.

LH M a R R= ⋅ = + (4)

( )* *

,O O C C

C

K M K MK I Iε ω ω

⎧ = =⎪⎨

= × + ×⎪ ×⎩ , * x

yz

I 0 00 I 0I0 0 I

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5)

Se aplică metoda separării corpurilor şi se scriu ecuaţiile dinamice de echilibru pentru fiecare dintre cele trei corpuri: Corpul prismatic ( )1 :

1

1

m y S GGmg

⎧ ⋅ = −⎪⎨ =⎪⎩

(6)



Corpul ( )2 - discul de rază R :

2 2 3 1

2

m y S S S GGmg

⎧ ⋅ = + − −⎪⎨ =⎪⎩

(7)

*x2

y2 2

z z 22 2 2

0I 0 0 0

0 I 0I 000 0 I I

ε

εε

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

× = ⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⋅− ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8)

{ } *2

22 2

z 22

00 0 00I 0 0 0

I0 0 0 0

ωωω ω

ω

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅ = ⋅ =× − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(9)

Momentul de inerţie al discului în raport cu axa de rotaţie se determină astfel: 2 2

zz

M R G RI2 2 g⋅ ⋅

= =⋅

(10)

Ecuaţia de momente pentru discul ( )2 în raport cu centrul de rotaţie se scrie astfel:

( )2

3 2G R y S S R2 g R⋅

−⋅ = ⋅⋅

(11)

Corpul ( )2 - discul de rază R :

;2

O z 3 z3 3G Rk I k I2 g

ω ⋅= ⋅ ⋅ =

⋅ (12)

2

O 3G R 2 y M S R2 g R⋅ ⋅

⋅ = − ⋅⋅

(13)

1

2 3 1

O 3

3 2

G y S GgG y S S S GgG R y M S R

gG y S S

2 g

⎧ ⋅ = −⎪⎪⎪ ⋅ = + − −⎪⎨ ⋅⎪ ⋅ = − ⋅⎪⎪

⋅ = −⎪⋅⎩

(14)

1 2 3

3

2 3 1 3 2

G 2 Gy S G y S S 2 G5 Gg g y S GG G 4 gy S S S G y S S

g 2 g

⋅⎧ ⎧⋅ = − ⋅ = + − ⋅⎪ ⎪ ⋅⎪ ⎪⇒ ⇒ ⋅ = −⎨ ⎨ ⋅⎪ ⎪⋅ = + − − ⋅ = −⋅⎪ ⎪⎩ ⎩

(15)



dar, O 3

O

3

G y M S M9 Gg y G5 G 4 g Ry S G4 g

⎧ ⋅ = −⎪ ⋅⎪ ⇒ ⋅ = −⎨ ⋅ ⋅⎪ ⋅ = −⋅⎪⎩

(16)

OO

y 0M G 0 M G RR

>⎧⎪⎨ − > ⇒ > ⋅⎪⎩

(17)

Rezolvarea problemei utilizând teorema conservării energiei cinetice

C0E 0= , 1 1vv RR

ω ω= ⋅ ⇒ = (18)

, 22 1 2 2

v 2 vv 2R v 2 vR R

ω ω ⋅= ⋅ ⇒ = ⋅ = = (19)

**2 22 2C 21

1 11 1E m v Im v I2 22 2

ωω⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ (20)

222 22 2

C 211 G 1 M R1 G 1 M RE v v2 g 2 22 g 2 2

ωω⎡ ⎤ ⋅⋅= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

(21)

( )2 2 2 2C 1 2

G 1 GE v Rg 4 g ω ω= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + (22)

2 2 2C

G 5 G 9 GE v v vg 4 g 4 g

= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (23)

1 0 C C0

1 0 O

L E E2 xL 2 G x MR

2 x2 x RR

θ θ

−

−

= −⎧⎪ ⋅⎪ = − ⋅ ⋅ + ⋅⎨⎪ ⋅⋅ = ⋅ ⇒ =⎪

⎩

(24)

M OoL M θ= ⋅ (25)

2 OO

9 G 2 x Mv 2 G x M 2 x G4 g R R

⋅ ⎡ ⎤⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦ (26)

{ O O2 M x9 G Mx v 2 v v 2 G x 2 x Gv a 4 g R R⋅ ⋅= ⎡ ⎤⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ −⎢ ⎥= ⎣ ⎦

(27)

O4 G Ma G9 g R

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦ (28)



13.11.2 O placă omogenă de greutate G având forma unui triunghi dreptunghic OAB cu catetele b şi h este articulată în A şi simplu rezemată în O . Cele două legături sunt

situate pe axa de rotaţie ( )Δ în jurul căreia placa se roteşte cu viteza unghiulară .constω = Să se determine: a). Ecuaţiile de mişcare b). Reacţiunile din reazemele O şi A c). Valoarea vitezei unghiulare ω pentru care încetează contactul în O . Rezolvare: Placa execută o mişcare de rotaţie. Se aplică teorema rotaţiei centrului maselor:

( ),C L

2C C

H M a R RbR m a a r 3

ω ωω

⎧ = ⋅ = +⎪⎨

= − ⋅ = ⋅ = − ⋅×⎪⎩

(1)

:

:

:

2C O A O A

A

Ox 0 01 GOy M a N V b N V3 g

Oz 0 H G

ω

=⎧⎪⎪ ⋅ = − ⇒ − ⋅ ⋅ ⋅ = −⎨⎪

= −⎪⎩

(2)

În continuare se aplică teorema momentului cinetic în raport cu polul O :

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] ( )

,

, .,

O O O Lo

S SJ

S S SO

K J J K M M

I IK MI I IK const 0

ω ε

ω ω

ε ω ω ω ω ω ε

Δ Δ⎧ = ⋅ = ⋅ = +⎪⎪⎨ = = + × ⋅⎪

= ⋅ + × ⋅ = × ⋅ = =⎪⎩

(3)

[ ]SO IK ω ω= × ⋅ (4)

x xy xz yz2yx y yz xzOzx zy z

I I I0 0 I0 0 I I I IK

0 0 0 I I I 0

ωω ω

− −− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ −= ⋅ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(5)

2yz A

hI V h G3

ω ⋅ = ⋅ − ⋅ (6)

O xz yz zK I i I j I kω ω ω= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (7)

( ) ( )2 2O zyz xz xz yzK i j I kI I I I εω ε ω ε= ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ (8)



se cunoaşte .constω = de unde rezultă că 0ε = deoarece ε ω= şi astfel (8) devine:

2 2O yz xzK I i I jω ω= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ (9)

b b b2 2yz 0 0 0

1 1 G 2 GI y z dm y z dy y z dy2 2 g b h g b h

= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ (10)

unde din asemănarea triunghiurilor rezultă următoarele relaţii de legătură:

( )z b y hz b yh b b

−= ⇒ = ⋅ − (11)

De asemenea, ,

mdm dA dAA G 2 2 GG b h dm dA z dym A g b h g b hg 2

dA z dy

ρ⎧ = ⋅ = ⋅⎪⋅⎪ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎨ = = ⋅ ⋅ ⋅⎪

⎪ = ⋅⎩

(12)

( )2b 2 2

yz 20

G 1 h G b hI y dy b y 2 y bg b h g 12b⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅+ − ⋅ ⋅⋅ ∫ (13)

2O A

A2

A

G b N Vg 3

0 H GG b h bV h Gg 12 3

ω

ω

⎧− ⋅ ⋅ = −⎪⎪ = −⎨⎪ ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅⎪⎩

(14)

Din rezolvarea sistemului (14) rezultă:

A2

A

d 2A

H G1 G 1 bV b G

12 g 3 h1 GV b

12 g

ω

ω

=⎧⎪

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎪⎨⎪

= ⋅ ⋅ ⋅⎪⎩

(15)

Dacă 2O A

G bN 0 Vg 3

ω= ⇒ = − ⋅ ⋅ (16)



13.11.3 În figura alăturată este reprezentat un sistem de corpuri omogene alcătuit din bara AB l= , de greutate G , discul de greutate P şi rază R precum şi corpul prismatic de

greutate Q . Corpurile sunt legate între ele printr-un fir flexibil şi inextensibil de masă neglijabilă. Considerând că sistemul porneşte din repaus la

0θ θ= şi neglijând frecările, se cere energia cinetică a sistemului de corpuri la momentul t de la începutul mişcării reprezentat prin poziţia θ a barei; Rezolvare: Bara AB execută o mişcare plan-paralelă. Viteza unghiulară a troliului ( )2 va fi:

2yR

ω = (1)

Viteza unghiulară a barei AB (corpul ( )3 ) este:

3y yIA l c

ω θϕ

= = =⋅

(3)

Necunoscuta principala este y . În rezolvare se aplică teorema energiei cinetice:

C C 1 22 1E E L −− = (4)

C1E 0= , ( ) ( ) ( )31 2C C C C2E E E E= + + (5)

Energia cinetică a primului element se determină ţinând cont de faptul că acesta efectuează o mişcare de translaţie de-a lungul axei Oy :

1 2C

1 PE y2 g

= ⋅ ⋅ (6)

Pentru cel de-al doilea element (troliul aflat în mişcare de rotaţie), energia cinetică este: ( ) 2 2 2 22

2 2C1 1 1 QE I m R y2 4 4 g

ω ωΔ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (7)

Exemplu de determinare a momentului de inerţie IΔ pentru un disc de rază R :

dA r dr ϕ= ⋅ ⋅ ; ( )2 2z OI I dmx y= = ⋅+∫ (8)

dm dAρ= ⋅ , x r cϕ= ⋅ , y r sϕ= ⋅ (9)

( ) ( )2R 22 32 2 2 2

z 0 0

M RI dm r r dr d r dr dx y c s 2π

ρ ϕ ϕϕ ϕ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =+ +∫ ∫ ∫ ∫ (10)

Ultimul corp efectuează o mişcare plan paralelă. Energia cinetică pentru corpul ( )3 va fi:

; ; ;2 2 2

3 2 2C I 3 I AB l

1 l G l l G lE I I I M IC IC I2 2 g 12 4 g 3

ω⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ = + ⋅ = = ⋅ + = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠


Capitolul 14 –PRINCIPII ALE MECANICII ANALITICE

PARTEA A PATRA ― MECANICA ANALITICĂ

Capitolul 14. Principii ale mecanicii analitice

14.1 Introducere Equatio n Chapter 14 Section 1

Utilizând principiile mecanicii clasice (newtoniene), se stabilesc noţiunile şi teoremele fundamentale ale dinamicii (a se vedea capitolul 11). Cu ajutorul acestor teoreme se poate studia dinamica sistemelor mecanice, rezultând sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul al doilea, în general diferite de la o aplicaţie la alta. Din această cauză, este dificil a se realiza un studiu unitar al proprietăţilor generale privind mişcarea mecanică a sistemelor materiale.

Spre deosebire de mecanica clasică, în cadrul mecanicii analitice se dezvoltă modele matematice, care conduc la determinarea directă a ecuaţiilor de mişcare, fără introducerea forţelor de legătură. De asemenea, sistemul de ecuaţii diferenţiale poate fi scris sub o formă generalizată sau forma canonică, care conduce la un studiu unitar a mişcării mecanice a sistemelor materiale. Modul de prezentare şi de implicare a legăturilor este diferit de cel abordat în mecanica clasică. Ca urmare, se impune o analiză a legăturilor şi deplasărilor.

14.2 Legături şi deplasări în mecanica analitică

14.2.1 Legături în mecanica analitică

Sub aspect mecanic, legătura constituie o restricţie, care limitează numărul gradelor de libertate, adică posibilităţile de mişcare ale unui sistem material. Ea

prezintă, pe de o parte un aspect geometric reprezentat prin reducerea numărului gradelor de libertate. Pe de altă parte legătura prezintă un aspect fizic, concretizat prin aplicarea, din statică, a axiomei legăturilor, conform căreia legătura fizică este suprimată şi înlocuită prin echivalentul său mecanic, reprezentat fiind de către forţele de legătură. În cele ce urmează, se vor prezenta câteva consideraţii asupra legăturilor în mecanica analitică, în conformitate cu aspectele din [V01] şi [V02]. Restricţiile geometrice sunt reprezentate analitic prin ecuaţii

între coordonate sau între coordonate şi deplasări. Pentru exemplificare, în Fig. 14.1 se consideră un punct material M situat pe suprafaţa fixă şi indeformabilă în timp

f

r

r

0x

0y

0z

M

1M

Fig. 14.1


Capitolul 14 – PRINCIPII ALE MECANICII ANALITICE

. Punctul material M este definit faţă de sistemul de referinţă fix prin vectorul

de poziţie, scris ca: T

Mr x y z . Obligativitatea punctului material de a

rămâne pe suprafaţa fixă, se poate exprima prin ecuaţia suprafeţei, în formă finită şi implicită, scrisă în formă simbolică mai jos:

; ; 0f x y z ; spre exemplu: 2 2 2 2 0x y z R . (14.1)

În aceeaşi figură este reprezentat vectorul, care exprimă normala orientată

aplicată în punctul M la suprafaţa . Această normală orientată este definită,

matematic, în conformitate cu:

Tf f f

f grad fx y z

. (14.2)

De asemenea, în planul tangent la suprafaţa , dus prin punctul M , (vezi Fig.

14.1), este reprezentat vectorul: T

dr dx dy dz , ce exprimă deplasarea

elementară infinitezimală. Condiţia ca punctul material să rămână pe suprafaţă se poate exprima prin ecuaţia diferenţială după cum urmează:

0f f f

f dr dx dyx y z

. (14.3)

Dacă ecuaţia (14.1), prezentată anterior, impune restricţii geometrice asupra coordonatelor punctului material, ecuaţia diferenţială (14.3) impune constrângeri cu

privire la deplasarea elementară dr . Întrucât expresia (14.3) este o diferenţială

totală a ecuaţiei (14.1), în timp ce aceasta din urmă este forma integrală, rezultă faptul că aceste două expresii sunt echivalente.

În continuare, se consideră o relaţie diferenţială, în formă generală:

; ; ; ; ; ; 0A x y z dx B x y z dy C x y z dz . (14.4)

Pentru a obţine, prin integrare, o relaţie integrală (finită), între coordonatele

vectorului de poziţie al punctului material, T

Mr x y z , este necesar ca

ecuaţia (14.4) să fie o diferenţială totală. Ca urmare, trebuie îndeplinite toate condiţiile de integrabilitate Cauchy, scrise mai jos astfel:

; ;A B B C C A

y x z y x z

; (14.5)

unde ; ;A B C sunt derivatele parţiale ale aceleiaşi funcţii ; ;f x y z , conform cu:

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ; ;f x y z f x y z f x y z

A x y z B x y z C x y zx y z

. (14.6)



Observaţie. În conformitate cu cele prezentate mai sus, se desprinde concluzia, că ecuaţia diferenţială a legăturilor (14.3) este mai generală decât forma integrală (14.1), motiv pentru care, în mecanica analitică, forma generală a legăturilor este dată prin ecuaţiile diferenţiale.

Pentru studiul geometric al legăturilor, se consideră, ca exemplu, un sistem

discret de n puncte materiale poziţionat, în raport sistemul de referinţă fix

0 0 0 0 0O x y z , prin vectorii de poziţie T

i i i ir x y z , unde 1i n .

Asupra sistemului discret de n puncte materiale se aplică 3p n legături, care

se exprimă printr-o ecuaţie matriceală:

11 13

1 3

...................

1 0 0

..................

n

T T

j j jij

p p n

b b

dx dy dz j nb

b b

;

3 2 3 1 3

1

0; 1n

i j j i j j i j j

j

b dx b dy b dz unde i p

. (14.7)

Astfel, se obţin un număr de p relaţii diferenţiale, în care coeficienţii

11 12 3, , ..., p nb b b sunt funcţii de coordonatele vectorilor de poziţie

T

i i i ir x y z , unde 1i n . Între numărul p al relaţiilor diferenţiale

(14.7) şi cel al coordonatelor există relaţia: 3p n .

Observaţii. Întrucât toate cele p relaţii diferenţiale (14.7) sunt independente,

rangul matricei 1 ; 1 3ijb i p j n este p , existând cel puţin un

determinant

0ijp p

Det b .

Ţinând seama de aspectele de mai sus, se disting următoarele tipuri de legături: olonome, neolonome şi critice. Dar, legăturile se clasifică şi din punct de vedere al dependenţei faţă de timp, rezultând: legături scleronome şi legături reonome. Legăturile scleronome sunt independente în raport cu timpul, adică fixe, indeformabile şi caracterizate prin ecuaţii de forma integrală (14.1) sau diferenţială (14.3). Spre deosebire de acestea, legăturile reonome, sunt dependente faţă de timp, mobile şi deformabile, fiind exprimate prin ecuaţii de forma:

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0A x y z t dx B x y z t dy C x y z t dz T x y z t dt . (14.8)



În continuare, se prezintă tipurile de legături ce caracterizează structurile mecanice. 1. Legăturile scleronome şi olonome se caracterizează prin aceea că

toate relaţiile diferenţiale (14.7) sunt integrabile, rezultând p ecuaţii finite

(integrale) având forma de jos:

1 1 1; ; ; ...; ; ; 0

1

i n n nx y z x y z

i p

. (14.9)

Din ecuaţiile (14.9) se deduc p coordonate în funcţie de celelalte 3k n p .

Totodată, din cele p ecuaţii diferenţiale (14.7) se obţin p deplasări elementare

infinitezimale în funcţie de celelalte 3k n p . Aşadar, legăturile olonome se

caracterizează prin numărul gradelor de libertate ale sistemului, ca fiind acelaşi, atât în deplasări finite, cât şi în deplasări infinitezimale.

Pentru exemplificare se consideră un punct material obligat să se deplaseze pe o suprafaţă sferică fixă, în conformitate cu Fig.14.2, adică:

2 2 2 2 0x y z R ;

; ;x R s c y R s s z R c ;

2 2 2 0x dx y dy z dz ;

(14.10)

2 ; 2 ; 2A x B y C z ;

0; 0;A B B C

y x z y

0C A

x z

(14.11)

Condiţiile Cauchy fiind astfel satisfăcute, rezultă că ecuaţia diferenţială (14.10) este integrabilă, obținând relația prezentată mai jos sub următoarea formă:

2 2 22 2 2xdx ydy zdz x y z C ; (14.12)

20 ; 0 0 ; 0 ;x y z R C R .

În concluzie, un punct material pe o suprafaţă fixă posedă două . . .g d l în deplasări

finite: ; , respectiv două . . .g d l în cazul deplasărilor infinitezimale: ;d d .

0x

0y

0z

0M

M

R

x

y

z

0O

Fig. 14.2



2. Legături scleronome şi neolonome. Acest tip de legături corespunde cazului în care toate sau numai o parte din relaţiile diferenţiale (14.7) sunt neintegrabile. Considerând m p relaţii diferenţiale integrabile, rezultă faptul că în deplasări finite

există 3k n m grade de libertate, iar în deplasări infinitezimale ' 3k n p .

Întrucât 'k k , legăturile neolonome sunt caracterizate de un număr mai mare al gradelor de libertate pentru deplasări finite, decât în deplasări infinitezimale.

Un exemplu elocvent al unei legături neolonome este cazul unui robot mobil (vezi Fig. 14.3). Parametrii independenţi, care exprimă deplasarea finită a robotului, sunt:

1 2

T

p px y . (14.13)

Aplicând restricţiile cinematice, ce caracterizează alunecarea după Ry , se obţine:

0R p py x s y c . (14.14)

Vitezele punctelor de contact, ale roţilor motoare, sunt caracterizate prin expresiile:

1 22

R p p

rx x c y s ; 1 2

2

r

l

. (14.15)

1 2

2 l

r

; iar 2 1

2 l

r

. (14.16)

Înlocuind expresiile (14.16) în (14.15), se obţin alte două restricţii cinematice:

1 20 ; 0p p p px c y s r l x c y s r l . (14.17)

0x

0y

Ry

Rx

l2C

Rx

P

C

Pv

Pr

1O

2O

1,1 r

2,2 r

0O Fig. 14.3.



O

0z

y

x

P0

l

1q

z

0y

0x

0O

d

1dq

'z

'O

'y

'x

Fig. 14.4

Ţinând seama de (14.14) şi (14.17), sistemul celor trei restricţii în formă diferenţială:

1 2

1 2

1 2

0 0 0 0

0 0

0 0

p p

p p

p p

s dx c dy d d d

c dx s dy l d r d d

c dx s dy l d d r d

. (14.18)

Între cele cinci deplasări 1 2

T

p pdx dy d d d sunt trei relaţii. Întrucât, sunt doi

parametri independenţi în deplasări elementare, este definită astfel, legătura neolonomă.

3. Legături scleronome şi critice. Considerând relaţiile diferenţiale (14.7) integrabile, rezultă pentru deplasări finite: 3k n p grade de libertate. Există

însă posibilitatea ca o parte p m din ecuaţiile (14.7), să fie o consecinţă a

ecuaţiilor (14.9). Ca urmare, din (14.7) se pot exprima un număr m p mărimi

diferenţiale, în funcţie de celelalte ' 3k n m . Întrucât 'k k , în cazul legăturilor critice numărul gradelor de libertate în deplasări finite este mai mic decât în cazul deplasărilor elementare şi infinitezimale. Pentru exemplificare în Fig. 14.4 se consideră cazul unei cuple motoare de translaţie (prismatică) rodată (cu joc).



În deplasări finite, cupla motoare emite un singur grad de libertate, reprezentat prin

coordonata liniară: 1q . În cazul deplasărilor infinitezimale, datorită uzurii create pe

flancuri, apare un joc evidenţiat prin eroarea diferenţială: d . Aşadar, poziţia

punctului P , precum şi deplasarea elementară a cestuia în raport cu 0 este

caracterizată prin expresiile finite şi diferenţiale:

0

0

0

0

0 1

0P

P

P

x

y l s

l c qz

;

0

0 1

0P

P

P

x

y l s d

z l c d q

; (14.19)

0 0 0

0 0 0

s d s c d

c d c s d

; 0

0 1

0P

P

P

dx

dy l c d

dz l s d d q

. (14.20)

Se observă că în cazul deplasărilor infinitezimale, în conformitate cu (14.20), cupla

motoare prismatică emite două grade de libertate, reprezentate prin: 1q şi d .

Aşadar, numărul gradelor de libertate în deplasările infinitezimale este mai mare decât în cazul deplasărilor finite.

14.2.2 Deplasări în mecanica analitică. Deplasări virtuale.

În conformitate cu §14.2.1, forma generală de exprimare matematică a legăturilor este ecuaţia diferenţială. Ca urmare, se impune un studiu al deplasărilor

infinitezimale care sunt incluse în ecuaţia legăturilor [N01], [V01], [V02]. Iată de ce, în Fig. 14.5 se consideră un punct material M obligat a se

deplasa pe o suprafaţa fixă şi indeformabilă .

Aşadar, punctul material este supus unei legături scleronome şi olonome definită prin (14.1) şi (14.3). Sub acţiunea unui sistem de forţe concurente şi, efectiv aplicate, punctul

material execută în timpul dt o deplasare

infinitezimală 1dr MM situată în planul

tangent la suprafaţă, numită deplasare reală. Această deplasare elementară este compatibilă cu legătura. Componentele sale:

T

dr dx dy dz satisfac ecuaţia legăturii în formă diferenţială (14.3).

f

r

r

0x

0y

0z

M

1M

2M

3M

Fig. 14.5



În planul tangent dus la suprafaţa prin punctul M există însă o

infinitate de deplasări posibile, dintre care deplasarea reală este univoc determinată. Oricare dintre deplasările posibile, reprezintă o deplasare virtuală simbolizată, în Fig.

14.5, prin 2r MM . Aşadar, ea corespunde cazului în care legătura este, real sau

virtual, fixă şi indeformabilă la momentul t . Componentele vectorului deplasării

virtuale: T

r x y z satisfac ecuaţia diferenţială:

0

xf f f f f f

f r y x y zx y z x y z

z

. (14.21)

În cazul deplasărilor virtuale, legătura punctului material se exprimă prin ecuaţia (14.21).

Observaţii: Spre deosebire de operatorul real d de diferenţiere, operatorul virtual

de diferenţiere nu acţionează asupra variabilei de timp t . Pentru

exemplificare, se consideră un sistem discret de n particule materiale, asupra

căruia se aplică un număr 3p n de restricţii geometrice. Ca urmare, sistemul

material posedă 3k n p grade de libertate. Conform cu [N01], gradele de

libertate sunt evidenţiate prin vectorul coloană al coordonatelor generalizate:

; 1T

jq j k . Astfel, poziţia fiecărui punct material este:

1 2; ; ; ; ; 1 ;T

i i i i i k i jr x y z r q q q t r q j k t . (14.22)

Aplicând operatorul real d şi respectiv virtual de diferenţiere asupra

expresiei (14.22), vectorul diferenţial al deplasărilor reale şi vectorul diferenţial al deplasărilor virtuale devine:

1

1

1

i i ij ki

j k

i i ki i

jij j

r r rdq dq dqdx

q q qdr dy

r rdq dtdz

q t

. (14.23)

1

11

1 1 1

ki i i i

j k ji jj k j

Ti ik k k

i i ii j j j

j j jj j j

r r r rq q q qx q q q q

r yx y z

z q q qq q q

. (14.24)



În concluzie, forma generală, în mecanica analitică, a unei legături scleronome şi olonome este ecuaţia diferenţială (14.4), care este rescrisă sub forma de mai jos:

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; 0

TA x y z B x y z C x y z dx dy dz

A x y z dx B x y z d y C x y z dz

. (14.25)

Pentru deplasări virtuale, ecuaţia diferenţială, a unei legături se exprimă cu relația:

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; 0

TA x y z B x y z C x y z x y z

A x y z x B x y z y C x y z z

. (14.26)

Expresiile prezentate mai sus, privind legăturile şi deplasările din mecanica analitică, stau la baza determinării principiilor diferenţiale şi respectiv principiilor variaţionale.

14.3 Principul lucrului mecanic virtual

În mecanica analitică, principiul lucrului mecanic virtual reprezintă unul dintre principiile fundamentale. Acest principiu diferenţial se află la baza determinării ecuaţiilor Lagrange-Euler, a ecuaţiilor lui Appell, precum şi a principiului variaţional Hamilton-Ostrogradski. Conform cu studiile din lucrările [V01] şi [V02], în cele ce urmează se prezintă principiul lucrului mecanic virtual pentru problema statică, iar apoi pentru problema dinamică, în acest din urmă caz fiind cunoscut sub denumirea de principiul lui D’Alembert-Lagrange. Studiul acestui principiu se va face pentru legături scleronome şi olonome, respectiv pentru legături scleronome şi neolonome.

14.3.1 Principul lucrului mecanic virtual. Problema statică

Aşa cum este arătat mai sus, studiul se efectuează pentru cele două tipuri de legături.

Legături scleronome şi olonome. Pentru început, în Fig. 14.6 se consideră un punct material M , asupra căruia acţionează de un sistem de forţe exterioare şi

concurente, a căror rezultantă este: 1

n

i

i

F F

. Punctul

material M este situat pe o suprafaţă fixă, indeformabilă

şi cu frecare neglijabilă . Astfel, asupra punctului

material este aplicată o legătură scleronomă şi olonomă, definită prin ecuaţia (14.1) sau (14.3). Aplicând axioma legăturilor se introduce forţa de legătură

normală: ; ;N f x y z . Se imprimă punctului

material o deplasare virtuală ca:

T

r x y z situată în planul tangent dus la suprafaţa (vezi Fig. 14.6).

2O pv pr P 2 l

N

r

r

0x

0y

0z

1M

M

F

Fig. 14.6



Deplasarea virtuală este compatibilă cu legătura scleronomă şi olonomă, întrucât componentele deplasării virtuale satisfac ecuaţia diferenţială (14.21). Condiţia de

echilibru static este: 0F N , adică axa centrală a forţelor active şi de legătură

este orientată după normala la suprafaţă: f grad f , aplicată în punctul M .

Ţinând seama că f r , se poate scrie produsul scalar dintre rezultanta

forţelor F N şi deplasarea virtuală r :

0

0x x y y z z

F N r F r N rL

F N x F N y F N z

. (14.27)

În conformitate cu definiţia lucrului mecanic elementar, expresia (14.27) reprezintă lucrul mecanic virtual al forţelor ce solicită punctul material. Această expresie se transformă în următoarele relații după cum urmează:

0N x y zL N r N x N y N z ; (14.28)

0x y zL F r F x F y F z . (14.29)

Ecuaţia (14.28) arată că lucrul mecanic virtual NL al reacţiunii normale este egal

cu zero. Conform cu (14.29), lucrul mecanic virtual al forţei exterioare este zero, în cazul echilibrului static.

Studiul se extinde asupra unui sistem discret de n particule materiale,

care este supus unui număr 3p n de legături scleronome şi olonome. Fiecărui

punct material notat cu iM , unde 1i n se asociază o rezultantă a forţelor:

i iF N situată după normala la planul tangent dus la legătură. Se imprimă

deplasarea virtuală: T

i i i ir x y z , compatibilă cu legătura. Conform cu

(14.28), lucrul mecanic virtual al forţelor de legătură devine:

1 1

0n n

N i i ix i iy i iz i

i i

L N r N x N y N z

. (14.30)

Ţinând seama de (14.29), lucrul mecanic virtual al forţelor exterioare active este determinat cu:

1 1

0n n

i i ix i iy i iz i

i i

L F r F x F y F z

. (14.31)

Observaţii: Utilizând acelaşi raţionament, se demonstrează că şi în cazul solidelor rigide, dacă legăturile sunt ideale, lucrul mecanic virtual al forţelor de legătură este egal cu zero. Se poate enunţa, astfel, prima formă a principiul lucrului mecanic virtual:



în cazul unui sistem material supus legăturilor scleronome şi olonome ideale (fără frecare), lucrul mecanic virtual al forţelor de legătură, pentru deplasări virtuale compatibile cu legăturile, este egal cu zero. Acest principiu se poate aplica pentru determinarea forţelor de legătură într-o problemă statică.

Întrucât ecuaţiile (14.28)-(14.31) sunt o consecinţă a ecuaţiilor de echilibru static, acestea reprezintă o condiţie necesară, dar în general şi suficientă de echilibru. Se ajunge astfel la a doua formulare a principiului lucrului mecanic virtual: Condiţia necesară şi suficientă pentru ca un sistem material supus legăturilor ideale să se afle în echilibru este ca lucrul mecanic virtual al forţelor active, pentru deplasări virtuale compatibile cu legăturile, să fie egal cu zero.

Expresia (14.31), reprezentând principiul lucrului mecanic virtual pentru un sistem material, conduce la rezolvarea problemelor din statica sistemelor, eliminând de

la început forţele de legătură şi transformându-se într-un sistem de k ecuaţii scalare,

având k necunoscute. Aceste necunoscute, incluse în vectorul coloană:

; 1T

jq j k şi numite coordonate generalizate, determină, în mod univoc,

poziţia de echilibru a sistemului material, având k grade de libertate. Utilizând

principiul independenţei între deplasările virtuale generalizate şi simbolizate prin

vectorul coloană: ; 1T

jq j k , din ecuaţia diferenţială (14.31) se obţine

un sistem de k ecuaţii scalare, având k necunoscute, coordonatele generalizate.

În acest context, deplasarea virtuală ir este substituită prin (14.24) în (14.31).

Ca urmare, ecuaţia (14.31), care exprimă principiul lucrului mecanic virtual, suferă o serie de transformări:

1 2

1 1 1

; ; ...;0

n n ki k

i i i j

i i j j

r q q qL F r F q

q

. (14.32)

Inversând ordinea de însumare a componentelor expresiei (14.32), se poate scrie astfel:

1 2

1 1

; ; ...;0

k ni k

i j

j i j

r q q qL F q

q

. (14.33)

În expresia (14.33), determinată anterior, se introduce o notaţie fundamentală:

1 2

1 1

; ; ...;n ni k i i i

j i ix iy iz

i ij j j j

r q q q x y zQ F F F F

q q q q

. (14.34)

Ca urmare, expresia (14.33), principiul lucrului mecanic virtual, se scrie sub forma:



1

1 1 0.

kT

j j s

j

j j k k

L Q q Q

Q q Q q Q q

(14.35)

În cazul legăturilor olonome, deplasările virtuale sunt independente între ele, fapt pentru care se poate aplica principiul suprapunerii efectelor. Ca urmare, se pot considera, în mod succesiv toate egale cu zero cu excepţia uneia, cum se poate observa şi din relaţiile prezentate mai jos:

0 ; 0 ; 1 ; 1 ;j iq q unde j k i k iar j i . (14.36)

Înlocuind succesiv (14.36) în (14.35), din condiţia ca ecuaţia (14.35) să fie identic

satisfăcută, se obţine sistemul de k ecuaţii scalare, conţinând k necunoscute,

coordonatele generalizate:

1 2

1

1 1

1 2

1

1 2

1

; ; ...;0

; ; ...;0

; ; ...;0

ni k

i

i

ni k

j i

i j

ni k

k i

i n

r q q qQ F

q

r q q qQ F

q

r q q qQ F

q

; (14.37)

1 2

1

1

; ; ...;0, 1

0

ni k

j i

i j

ni i i

j ix iy iz

i j j j

r q q qQ F unde j k

q

x y zQ F F F

q q q

. (14.38)

Observaţii: Sistemul de ecuaţii liniare (14.37) conduce la determinarea poziţiei de echilibru a sistemului material, reprezentată prin vectorul coloană

; 1T

jq j k . Ecuaţiile (14.38) sunt ecuaţiile de echilibru ale unui punct

imaginar în spaţiul cu k dimensiuni, numit spaţiul configuraţiilor. Aceste ecuaţii

reprezintă proiecţiile pe axele k din spaţiul configuraţiilor, ale vectorului coloană:

1T

s jQ Q j k . De aceea, jQ este denumită forţă generalizată, adică forţă sau

moment al unei forţe, după cum coordonata generalizată poate fi liniară sau unghiulară.



Legături scleronome şi neolonome. Studiul se aplică asupra unui sistem

material cu un număr 3p n de legături. Dar, numărul gradelor de libertate în

deplasări finite este 3k n m . Ca urmare, numai m deplasări elementare:

; 1T

jq j k sunt independente, iar între ele există p m relaţii

diferenţiale neintegrabile, având forma:

1

1 1 0; 1k

T

ij j ij j

j

a q a j k q j k unde i p m

; (14.39)

1

0 1

1 ; 1 1 0

Tk

ij j

j

T

ij j p m

a q i p m

a i p m j k q j k

. (14.40)

Se aplică metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Conform acestei metode, ecuaţiile

(14.39) sunt multiplicate cu i denumiţi multiplicatori Lagrange, astfel, rezultă:

1

1 1 0 ; 1k

T

i ij j i ij j

j

a q a j k q j k unde i p m

; (14.41)

1

; 1 ; 1 1 0k

T

i ij j i ij j p m

j

a q a i p m j k q j k

.

Ecuaţiile (14.41) se însumează, rezultând expresia diferenţială, scrisă sub forma:

1 1 1

1 1

1 ; 1 ; 1 1 0

p m p mkT

i ij j i ij j

i j i

T

i ij j

a q a j k q j k

i p m a i p m j k q j k

. (14.42)

Ecuaţia (14.35), se transformă prin însumare cu relația (14.42), rezultând astfel:

1 1 1

0p mk k

j j i ij j

j i j

Q q a q

; (14.43)

1 1

0p mk

j i ij j

j i

Q a q

. (14.44)

Impunând condiţia: 0 ; 0 ; 1 ; 1 ;j iq q unde j k i k j i , se obţine:

1 2

1 1 1

; ; ...;0; 1

p m p mni k

j i ij i i ij

i i ij

r q q qQ a F a unde j k

q

(14.45)



Observaţii: Ecuaţiile (14.45) se completează cu restricţiile (14.40), rezultând, astfel,

un sistem de ecuaţii liniare, neolonome, în necunoscutele: 1jq unde j k şi

; 1i i p m .

14.3.2 Principiul lui D’Alembert-Lagrange

În conformitate cu (14.30) şi (14.31), principiul lucrului mecanic virtual este definit pentru condiţii de echilibru static. Pentru determinarea ecuaţiilor de mişcare (dinamicii) în cazul unui sistem material, utilizând principiul lucrului mecanic virtual, mai întâi, problema dinamică trebuie redusă la una statică. Această reducere se realizează prin aplicarea principiului D’Alembert. În acest context, se consideră un

sistem discret de n particule materiale, supus unui număr 3p n de legături

ideale, scleronome şi olonome. Sistemul material se caracterizează prin masele

im , vectorii de poziţie faţă de un reper fix ir şi prin 3k n m grade de

libertate. Asupra fiecărei particule materiale acţionează: forţele exterioare, efectiv

aplicate şi notate cu iF , forţele de legătură exterioară iN , la care se adaugă un

sistem al forţelor de legătură interioară, reprezentate prin

vectorii: 1ijF unde j n . Sub acţiunea acestor forţe, sistemul material execută

o mişcare mecanică, definită prin vitezele iv şi acceleraţiile ia .

Se cunoaşte faptul că forţa de inerţie, reprezintă reacţiunea agentului condus, de

masă im , asupra agentului motor, care imprimă mişcarea cu acceleraţia ia :

ji i iF m a ; i i ji i i iF F F m a ; (14.46)

unde jiF reprezintă forţa de inerţie, iar i poartă denumirea de forţă pierdută, fiind

una dintre cele două componente ale forţei exterioare, efectiv aplicată asupra particulei materiale. Prin urmare, tabloul parametrilor, specifici sistemului material analizat, este sintetizat în expresia:

1

; 1 ; ; ; ; ; ; ; 1n

i i j i ji i ij i i i i i

j

m r q t j k F F N F v r a v r i n

. (14.47)

Conform artificiului introdus de D’Alembert, se consideră că forţele de inerţie acţionează fictiv asupra particulelor materiale. Ecuaţiile de echilibru, fictiv dinamic, ale sistemului material devin:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0n n n n n n n n n n

i ji i ij i i i i ij

i i i i j i i i i j

F F N F F m a N F

; (14.48)



1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

0

n n n n n

i i i ji i i i ij

i i i i j

n n n n n

i i i i i i i i ij

i i i i j

r F r F r N r F

r F r m a r N r F

. (14.49)

Ţinând seama de principiul acţiunii şi reacţiunii, torsorul forţelor de legătură interioară este nul:

1 1

0n n

ij

i j

F

; 1 1

0n n

i ij

i j

r F

. (14.50)

Substituind (14.50) în (14.49), ecuaţiile vectoriale de echilibru, fictiv dinamic, în cazul sistemului de particule materiale supus legăturilor ideale, scleronome şi olonome se scrie în formă finală:

1 1 1 1 1 1

0n n n n n n

i ji i i i i i

i i i i i i

F F N F m a N

; (14.51)

1 1 1

1 1 1

0

n n n

i i i ji i i

i i i

n n n

i i i i i i i

i i i

r F r F r N

r F r m a r N

. (14.52)

Ecuaţiile vectoriale (14.51) şi (14.52) reprezintă principiul lui D’Alembert, conform căruia forţele active, efectiv aplicate, forţele de legătură şi respectiv forţele de inerţie, fictiv aplicate asupra unui sistem material, formează un sistem de forţe în echilibru. Astfel, problema dinamică este redusă la o problemă statică. Ca urmare, acest principiu este cunoscut şi sub denumirea de metoda cinetostatică. În cazul general de aplicare asupra unui sistem de corpuri, spre exemplu asupra structurii mecanice a unui robot, torsorul forţelor de inerţie, specific fiecărui element, se exprimă cu relațiile de mai jos:

0 0

0

0 0 0 0 0 0

i

i i

i i

i i Ci

jii i i i i i

i i i C i i C

H M vF

M v r r

; (14.53)

* * * *i i i i i i iji i i i i i iN K I I ; (14.54)

*

i i

i i i i i i

i i i i i ii

ji i i i i i i

i C i i C i

K I IN

N I I

. (14.55)



În consecinţă, asociind fiecărei particule materiale o deplasare virtuală ir

compatibilă cu legăturile, care sunt aplicate sistemului material şi totodată, ţinând seama de (14.30) şi (14.31), lucrul mecanic virtual al forţelor pierdute este nul, în conformitate cu expresia scrisă mai jos, ca:

0TL F m a r r r ; (14.56)

1

1

0

1 1 0

n

i i i i

i

nTT

i i i i

i

L F m a r

r i n r i n

. (14.57)

Ecuaţia (14.54) şi forma particulară a acesteia (14.53) reprezintă principiul lucrului mecanic virtual pentru problema dinamică şi poartă denumirea de principiul lui D’Alembert-Lagrange.

În cazul sistemelor de corpuri, considerând cazul general, principiul lui D’Alembert-Lagrange în conformitate și cu transformările anterior dezvoltate ia forma:

1

1

0;

nii i

Ci i C iii

ni i i ii i i i i i i

C i i iC i C i i i i ii i ii

rF M a

r F N r M a I I

(14.58)

1 1

1 1

.

n ni i ii i i i i i i

i C C iC i C i i i i ii i i ii i

n ni i ii i i

i C iC i ii ii i

M a r r M a I I

F r r F N

(14.59)

În expresiile de mai sus, deplasarea virtuală a vectorului de poziție aferent centrului de masă, se exprimă cu relațiile prezentate mai jos:

; 1jC Ci iq j kr r t ; (14.60)

1

kCi

C jij j

rr q

q

. (14.61)

Variația virtuală a vectorului de orientare i (a se vedea Cap.10, § 10.3.1, expresia

(10.49) ) se determină utilizând relațiile de mai jos:

; 1j ji iq j kt ;

0 0

1

ki iT

i i j jiij j

vect J qRRq

; (14.62)



1

ki i

i j jj j

J qq

. (14.63)

Componentele vectorilor iiF și i

iN au forma (13.187) respectiv (13.188), iar iJ

se determină cu relația (8.76) (a se vedea § 8.4)

Observaţii. Datorită caracterului aleator al deplasărilor virtuale ir , acesta se

transformă într-un un număr de ecuaţii diferenţiale scalare, care este identic cu numărul coordonatelor generalizate. Acestea reprezintă legea de mişcare a sistemului material, asupra căruia se aplică legături, considerate cu frecare neglijabilă, scleronome şi olonome.

14.4 Ecuaţiile lui Lagrange ─ Euler

Ecuaţiile diferenţiale de mişcare ale unui sistem mecanic cu 2 . . .n g d l

se pot stabili într-o formă generalizată cu ajutorul ecuaţiilor lui Lagrange de speţa întâi şi respectiv de speţa a doua. Acestea din urmă sunt cunoscute şi sub denumirea de ecuaţiile lui Lagrange – Euler, conform cu [V01] - [V03], [F01] şi [N04]. Avantajul aplicării acestor ecuaţii, în dinamica sistemelor, constă în faptul că stabilirea ecuaţiilor diferenţiale de mişcare, se face fără implicarea forţelor de legătură.

14.4.1 Ecuaţiile lui Lagrange de speţa întâi

Pentru acest studiu, se consideră un sistem discret de n particule materiale,

supus unui număr 3p n de legături ideale, scleronome şi olonome. Sistemul se

caracterizează prin masele im , vectorii de poziţie faţă de un reper fix ir şi prin

3k n m grade de libertate. Asupra fiecărei particule materiale acţionează:

forţele exterioare, efectiv aplicate şi notate cu iF . Sub acţiunea acestora sistemul

material execută o mişcare mecanică, care se exprimă prin coordonatele generalizate

incluse în vectorul coloană: ; 1T

jt q t j k , respectiv prin vitezele iv şi

acceleraţiile ia . Tabloul acestor parametri este sintetizat prin:

; ; 1 ; ; 1 ; ; ; 1T

i j i i j i i im t q t j k r t r q t j k v t a v i n .(14.64)

Vectorul viteză şi acceleraţie al fiecărei particule materiale se exprimă cu ecuaţiile:



1

11

ki j

i i j j

j j

r q t j kv r q t j k q

q

;

2

1 1 1

1k k k

i ii i j j j m

j j mj j m

r ra r q t j k q q q

q q q

. (14.65)

Deplasarea virtuală ir , compatibilă cu legăturile, este substituită prin (14.24) în

(14.57). Ca urmare, principiul lui D’Alemebert–Lagrange (vezi § 14.3.4) se transformă în expresia scrisă ca:

1 2

1 1

; ; ...;0

n ki k

i i i j

i j j

r q q qL F m a q

q

. (14.66)

Se inversează ordinea de însumare şi se introduc notaţiile jA rezultând astfel:

1 2

1 1

; ; ...;0

k ni k

i i i j

j i j

r q q qL F m a q

q

; (14.67)

1 2

1

; ; ...;1

ni k

i i i j

i j

r q q qF m a A unde j k

q

; (14.68)

1 1

1

1 1 ... 0k

T

j j j j k k

j

A q A j k q j k A q A q

. (14.69)

În cazul legăturilor olonome, deplasările virtuale sunt independente între ele. De aceea, se poate aplica principiul suprapunerii efectelor. Se consideră, în mod succesiv, toate deplasările virtuale egale cu zero cu excepţia uneia, aşa cum reiese din (14.36), rescrisă astfel:

0 ; 0 ; 1 ; 1 ;j iq q unde j k i k iar j i .

Substituind în mod succesiv (14.36) în (14.69), din condiţiile ca aceasta din urmă să

fie identic satisfăcută, se obţine sistemul de k ecuaţii diferenţiale scalare:

1 2

1

; ; ;0 1

ni k

j i i i

i j

r q q qA F m a unde j k

q

. (14.70)

Ecuaţiile, reprezentate prin (14.70), poartă denumirea de ecuaţiile lui Lagrange de

speţa întâi. Acestea formează un sistem de k ecuaţii diferenţiale scalare de ordinul

doi. Dar, în aplicaţii se utilizează o altă formă a ecuaţiilor, care conduce la studiul generalizat al dinamicii sistemelor.



14.4.2 Ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua (Ecuaţiile lui Lagrange-Euler)

Ecuaţiile lui Lagrange de speţa întâi, definite cu (14.70) se pot scrie în forma:

1 2 1 2

1 1

; ; ; ; ; ;n ni k i k

i i i

i ij j

r q q q r q q qm a F

q q

. (14.71)

În conformitate cu (14.34), membrul drept al ecuaţiilor (14.71), reprezintă forţele generalizate:

1 2

1 1

; ; ...;n ni k i i i

j i ix iy iz

i ij j j j


q q q q

.

Ţinând seama de (14.65), precum şi de (14.34), ecuaţia (14.71) se rescrie sub forma:

1

1 ; 1 1; 1

ni j j i j

i j

i j

d v q t j k q t j k r q t j km Q j k

dt q

. (14.72)

Utilizând regula de derivare a unui produs de funcţii (aici un produs scalar), se obţine:

1 1 1

Tn n nT Ti i i i

i i i i i j

i i ij j j

d v r r rd dm m v m v Q

dt q dt q dt q

.(14.73)

Expresia (14.72), care caracterizează vectorul viteză iv , se scrie în formă dezvoltată:

1

1 1

1 ; 1

1

i j j

ki j i i i

j j k

j j j k

v q t j k q t j k

r q t j k r r rq q q q

q q q q

. (14.74)

Se observă că vitezele 1 ; 1i i j jv v q t j k q t j k sunt funcţii pe de

o parte de coordonatele generalizate 1jq j k , iar pe de altă parte şi de

vitezele generalizate 1jq j k . Lagrange a introdus artificiul matematic, prin

care se presupune că vitezele generalizate jq sunt independente în raport cu

coordonatele generalizate jq ale sistemului.

Aşadar, vitezele iv devin funcţie de 2 k variabile independente, rescrise mai jos astfel:

1 2 1 2; 1 ; 1 ; ; ; ; ;j j k kq j k q j k q q q q q q . (14.75)



Conform cu [V02], expresia (14.75) reprezintă spaţiul de stare, adică un spaţiu fictiv,

având 2 k dimensiuni şi care include spaţiul configuraţiilor. Ca urmare, din (14.74)

rezultă expresia:

1 ; 1 1i j j i j

j j

v q t j k q t j k r q t j k

q q

. (14.76)

Aplicând derivata parţială, în raport cu jq , asupra expresiei (14.75), se obţine:

2 2 2

1 2

1

i i i ij k

j j j k j

v r r rq q q

q q q q q q

. (14.77)

Pe de altă parte, derivând în raport cu timpul funcţia vectorială: i jr q , rezultă:

2 2 2

1 2

1

i i i ij k

j j j k j

r r r rdq q q

dt q q q q q q

. (14.78)

Comparând expresia (14.77) cu (14.78), se obţine o identitate vectorială, esenţială:

2

1

1ki mi i i

k

mj j j m j

r q m kv d r rdq

q q dt dt q q q

. (14.79)

Prin înlocuirea termenilor din (14.73) cu identităţile acestora din (14.76) şi (14.79), rezultă expresiile:

1 1

1n n

T Ti ii i i i j

i ij j

v vdm v m v Q j k

dt q q

. (14.80)

Efectuând câteva transformări asupra termenilor din expresiile (14.80), rezultă:

1 1

1 11

2 2

n nT T

i i i i i i j

i ij j

dm v v m v v Q j k

dt q q

; (14.81)

2

1 1

1 11 ; 1

2 2

n nT

i i i i i C j j

i i

m v v m v E q j k q j k

. (14.82)

Expresia (14.82) reprezintă energia cinetică a sistemului discret de puncte materiale, fiind definită ca o funcţie de coordonatele şi de vitezele generalizate ale sistemului material. Înlocuind (14.82) în (14.81), rezultă ecuaţiile diferenţiale de mişcare ale sistemului ca:

; ;

; 1C C

j

j j

E EdQ unde j k

dt q q

. (14.83)



Observaţii. Ecuaţiile (14.83) poartă denumirea de ecuaţiile lui Lagrange de speţa a

doua. Ele formează sistemul de k ecuaţii diferenţiale scalare de ordinul doi, care în

general sunt neliniare. Necunoscutele sunt ; 1j jq q t j k şi definesc legea

de mişcare a sistemului material.

14.4.3 Ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua. Cazul forţelor conservative

Una din situaţiile întâlnite frecvent în aplicaţii se referă la cazul când forţele

active iF , care acţionează asupra sistemul material, derivă dintr-o funcţie de forţă,

notată prin iU . În acest caz, forţele active sunt conservative. Între cele două mărimi

există următoarea relaţie:

T

Ti i i

i ix iy iz i i

i i i

U U UF F F F grad U U

x y z

; (14.84)

1 1 1 1i i i j i j i j i jU U x q j k x q j k x q j k U q j k .

Dacă forţele conservative îndeplinesc, în totalitate, condiţiile de integrabilitate Cauchy:

; ;y yx z z x

F FF F F F

y x z y x z

;

atunci identitatea (14.84) este adevărată şi este echivalentă cu următoarele relaţii:

1 1 1; ;

i j i j i j

ix iy iz

i i i

U q j k U q j k U q j kF F F

x y z. (14.85)

În aceste condiţii, expresia (14.34) a forţei generalizate jQ se transformă în

următoarea, astfel:

1

1 1

1

ni i i

ix iy izn n

i j j jT i ij i

ni ij ji i i i i i

i i j i j i j

x y zF F F

q q qr UQ F

q qU x U y U z

x q y q z q

; (14.86)

1 1

1; 1

n ni j

j i j

i ij j

U q j k UQ U U q j k

q q

; (14.87)

unde U este funcţia de forţă, corespunzătoare întregului sistem al forţelor

conservative.



Substituind (14.87) în (14.83), ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua se transformă:

1

; ; 1; 1

nC C i j

ij j j j

E E U q j kd Uunde j k

dt q q q q

. (14.88)

Se introduce funcţia Lagrange sau potenţialul cinetic , ca fiind suma dintre

energia cinetică şi funcţia de forţă, corespunzătoare întregului sistem mecanic:

1 ; 1 1 ; 1 1j j c j j jq j k q j k E q j k q j k U q j k (14.89)

Se efectuează derivatele parţiale ale funcţiei Lagrange (14.89) în raport cu jq şi jq :

C

j j

E

q q

; C

j j j

E U

q q q

. (14.90)

Înlocuind (14.90) în (14.88), ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua se scriu sub forma:

; ;

0 ; 1j j

dunde j k

dt q q

. (14.91)

Observaţii. Expresiile (14.88), respectiv (14.91) reprezintă ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua, specifice cazului când asupra sistemului mecanic acţionează un sistem de forţe conservative. Conform principiilor variaţionale (vezi § 14.7), integrala aplicată funcţiei Lagrange (14.89) devine:

1 2

1 ; 1j jM M

S q j k q j k t dt ; (14.92)

Condiţia necesară ca integrala S să fie staţionară (minimă) se exprimă cu ajutorul

ecuaţiilor diferenţiale Euler de ordinul doi, având forma (14.91). Datorită acestei observaţii remarcabile, ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua poartă denumirea şi de ecuaţiile Lagrange – Euler (LE).

14.4.4 Ecuaţiile lui Lagrange – Euler (LE) în cazul forţelor neconservative

În cazul structurilor mecanice, asupra cărora acţionează forţe neconservative, cum sunt structurile mecanice de roboţi, ecuaţiile Lagrange–Euler (14.91) se modifică conform cu [N06]:

; ;

; ; ; 1i

m

i i

dQ i n

dt q q

; (14.93)



; ;; ; ; 1i iC C

g m

i i

E EdQ Q i n

dt q q. (14.94)

Observaţii. Ecuaţiile (14.93) sau (14.94) reprezintă sistemul ecuaţiilor diferenţiale de ordinul al doilea, care exprimă mişcarea structurii mecanice. În aceste ecuaţii

sunt incluse: ; ;i i i

i gQ Q Q cunoscute ca fiind: forţele generalizate de inerţie,

forţele generalizate gravitaţionale conform cu [N01]. Dintre toate acestea, forţa

generalizată de inerţie iQ este aplicată, pentru a pune în mişcare structura

mecanică. Expresiile lor sunt stabilite în capitolul zece al acestei lucrări. Forţa

generalizată motoare din fiecare cuplă, simbolizată în (14.93) sau (14.94) prin i

mQ

unde 1i n , se scrie ca o sumă a acestora:

i i i

m i gQ Q Q ; (14.95)

unde,

1

n C ji Tg j

j i

rQ M g

q, (14.96)

iar 0 0Tg a g k (a se vedea capitolul zece, §10.3.4)

Comparând (14.95), (14.93) şi (14.94), se observă că forţa generalizată de inerţie este:

; ;i C Ci

i i

E EdQ

dt q q. (14.97)

Energia cinetică a structurii mecanice se determină cu una din expresiile (9.40) sau (9.43) (a se vedea § 9.2). Conform cu [F01] şi [N04], ecuaţiile Lagrange – Euler (LE) se scriu sub formă matriceală. Astfel, se obţine expresia matriceală generalizată, scrisă mai jos:

; ;; ;

CC

g m

E EdQ Q

dt. (14.98)

Primul termen din membrul stâng, fiind derivata absolută în raport cu timpul, aplicată

derivatei parţiale a energiei cinetice în raport cu , se dezvoltă conform cu [N01] şi

[N04], rezultând expresiile:

; ;1

T

C C

i

E Ed di n

dt dt q; (14.99)



14.4.5 Ecuaţiile lui Lagrange-Euler în cazul legăturilor neolonome

Pentru studiu, conform cu [V02] şi [V01], se consideră un sistem material

asupra căruia se aplică 3p n legături. Dar, numărul gradelor de libertate

pentru deplasările finite este: 3k n m . Astfel, un număr m p deplasări

elementare: ; 1T

jd d q j k sunt independente, iar între ele există p m

relaţii diferenţiale neintegrabile, având forma:

1

1 1 0; 1k

ij j j i j

j

a q t j k q b q t j k i p m

; (14.100)

1

1 1 0; 1k

ij j j i j

j

a q t j k d q b q t j k dt i p m

; (14.101)

1 ; 1 1 1 0T T

ij j i p ma i p m j k d q j k b dt i p m .

(14.102) În cazul aplicării deplasărilor virtuale, expresiile de mai sus se transformă astfel:

1

0 1 0

1 ; 1 1 0

Tk

ij j p m

jT

ij j p m

a q i p m

a i p m j k q j k

. (14.103)

Se aplică metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Conform acestei metode, ecuaţiile

(14.103) sunt multiplicate cu i denumiţi multiplicatori Lagrange. Astfel, rezultă:

1

1 1 0 ; 1k

T

i ij j i ij j

j

a q a j k q j k unde i p m (14.104)

1

; 1 ; 1 1 0k

T

i ij j i ij j p m

j

a q a i p m j k q j k

.

Ecuaţiile (14.104) se însumează, rezultând expresia diferenţială, scrisă sub forma:

1 1 1

1 1

1 ; 1 ; 1 1 0

p m p mkT

i ij j i ij j

i j iT

i ij j

a q a j k q j k

i p m a i p m j k q j k

. (14.105)

Ecuaţia (14.98), specifică legăturilor olonome, însumata cu (14.105), rezultă:

1 1 1

0p mk k

j j i ij j

j i j

A q a q

; 1 1

0p mk

j i ij j

j i

A a q

(14.106)



Impunând condiţia ca: 0 ; 0 ; 1 ; 1 ;j iq q unde j k i k iar j i , rezultă:

1 2

1 1 1

; ; ...;0; 1

s n si k

j i ij i i i i ij

i i ij

r q q qA a F m a a j k

q

. (14.107)

Ecuaţiile diferenţiale de ordinul doi (14.107) poartă denumirea de ecuaţiile lui Lagrange de speţa întâi pentru legături neolonome. Aplicând transformările diferenţiale din § 16.4.2, rezultă ecuaţiile lui Lagrange-Euler (ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua) pentru cazul legăturilor neolonome. Ţinând seama de (14.98), aceste ecuaţii sunt scrise într-o formă explicită, astfel:

1

; ;; 1

11 1 0

1

p mC C

j i ij

ij j

T T

ij j i p m

E EdQ a unde j k

dt q q

i p ma d q j k b dt i p m

j k

.(14.108)

; ; 11

1

11 1 0

1

C C T

ij i

T T

ij j i p m

E Ed j kQ a i p m

i p mdt


j k

.

Dacă sistemul mecanic este acţionat, în exclusivitate, de forţele conservative, atunci conform cu (14.99), ecuaţiile lui Lagrange-Euler pentru legături neolonome se transformă în următoarele:

1

; ;; 1

11 1 0

1

p m

i ij

ij j

T T

ij j i p m

da unde j k

dt q q


j k

. (14.109)

; ; 11

1

11 1 0

1

T

ij i

T T

ij j i p m

d j ka i p m

i p mdt


j k

.



Observaţii: Necunoscutele în cadrul sistemului de ecuaţii diferenţiale de ordinul doi

(14.108) sau (14.109) sunt variabilele generalizate: ; 1T

jt q t j k ,

care exprimă legea de mişcare a sistemului material. La acestea se adaugă

multiplicatorii lui Lagrange simbolizaţi prin: ; 1T

i i p m . Una dintre

aplicaţiile frecvente ale ecuaţiilor lui Lagrange-Euler, reprezentate prin ecuaţiile de sus, se referă la roboţii mobili a căror structură este neolonomă.

14.4.6 Ecuaţiile lui Lagrange în cazul mişcărilor impulsive

În secţiunile anterior prezentate, vectorul viteză s-a considerat ca o funcţie

continuă de timpul t . Dar, în anumite situaţii, componentele vectorului viteză prezintă

o variaţie extrem de mare într-un interval de timp foarte mic, variaţie ce constituie într-o primă aproximaţie, o discontinuitate a vectorului viteză. Fenomenul fizic, care caracterizează o astfel de situaţie, este denumit ciocnire, conform cu [V02] şi [V01]. Între corpurile aflate în contact, se dezvoltă forţe a căror intensitate creşte foarte mult, după care începe să scadă. Corpurile aflate în contact se deformează şi ca urmare se renunţă la ipoteza de rigiditate. Astfel, fenomenul de ciocnire se caracterizează prin două faze: comprimare urmată de destindere sau relaxare. Întrucât legea de variaţie în raport cu timpul a forţelor care se dezvoltă în timpul ciocnirii, este dificil de stabilit sub aspect teoretic, dar şi sub aspect experimental, se introduce o noţiune superioară forţei numită percuţie, ca fiind o mărime vectorială definită prin expresia integrală:

2

1

t

p

t

P F dt ;

1

c p

t

P F dt

; 2

1

t

d p

t

P F dt ; (14.110)

unde 2 1t t t este intervalul de timp corespunzător fenomenului de ciocnire,

c dP sunt percuţiile corespunzătoare celor două faze: comprimarea şi destinderea,

percuţia rezultantă fiind: c dP P P , iar este momentul de separaţie între

cele două faze ale ciocnirii. Dintre ipotezele simplificatoare introduse pentru a putea studia fenomenul de

ciocnire se precizează că forţele curente, cum sunt: forţele gravitaţionale, forţele elastice, forţele de rezistenţă ale mediului etc. se neglijează în raport cu forţele percutante. De asemenea, în timpul ciocnirii corpurile nu prezintă deplasări mecanice, fiind supuse deformaţiilor. Raportul dintre componentele normale ale percuţiilor din

cele două faze (destindere ndP şi comprimare ncP ) echivalent şi cu raportul vitezelor

relative la sfârşitul şi începutul ciocnirii, este constant:

/ / 0;1nd nc r rP P u v e . (14.111)



Parametrul e reprezintă coeficientul de restituire (de elasticitate) la ciocnire.

Experimental, s-a demonstrat că 0 1e , adică nd ncP P . Pentru 1e

ciocnirea este elastică nd ncP P , iar pentru 0e ciocnirea este plastică,

lipsită de destindere 0ndP .

În studiul fenomenului de ciocnire a fost introdusă noţiunea de percuţie (14.110). Astfel, teoremele fundamentale, ca şi ecuaţiile lui Lagrange se modifică, aşa cum se va vedea în continuare. Pentru început, se analizează cele trei teoreme fundamentale specifice mişcărilor impulsive, adică: teorema impulsului, teorema momentului cinetic şi teorema energiei cinetice.

Teorema impulsului este caracterizată cu ajutorul ecuaţiilor vectoriale de mai jos:

2 2

1 11 1

t tn n

pi i

i it t

d H F dt P

; 2 1

1

n

i

i

H H P

. (14.112)

Variaţia finită a impulsului total, în timpul ciocnirii, este egală cu rezultanta percuţiilor

exterioare. Ecuaţia (14.112) include impulsul total la începutul ciocnirii 1H şi respectiv la

sfârşitul ciocnirii 2H .

Teorema momentului cinetic se exprimă prin ecuaţiile vectoriale în formă integrală:

2 2

1 1

0

1 1

t tn n

i pi i i

i it t

d K r F dt r P

; 2 1

1

n

i i

i

K K r P

. (14.113)

Astfel, variaţia finită a momentului cinetic în timpul ciocnirii este egală cu momentul rezultant al tuturor percuţiilor exterioare în raport cu acelaşi pol fix. Vectorii,

simbolizaţi prin 1K şi 2K în ecuaţia (14.113), reprezintă momentul cinetic înainte de

ciocnire şi respectiv după ciocnire. Teorema energiei cinetice se demonstrează prin luarea în studiu a unui

sistem de n particule materiale iM , având masele im , vitezele înainte de

ciocnire 1iv , iar după ciocnire 2 iv . Teorema energiei cinetice se caracterizează

prin expresia, scrisă mai jos:

2 1 2 2

1 1 1

n n n

C C Cp i i ij i

i i j

E E E P v P v

; (14.114)

unde iP este percuţia exterioară, ijP sunt percuţiile interioare, iar 1cE şi

2cE

reprezintă energia cinetică la începutul şi respectiv sfârşitul ciocnirii. Simbolul CpE din



(14.114) reprezintă energia cinetică a vitezelor pierdute şi se determină cu expresia specifică sistemului material:

2

2 1

1

1

2

n

Cp i i i

i

E m v v

. (14.115)

În anumite cazuri particulare, membrul drept, al teoremei energiei cinetice (14.114), devine nul:

2 2

1 1 1

0n n n

i i ij i

i i j

P v P v

. (14.116)

Spre exemplu, în Fig. 14.7 este reprezentat un sistem, format din două bare omogene

şi situat în planul orizontal 0z . Barele, caracterizate prin ,m l , sunt articulate

între ele şi se rotesc cu aceeaşi viteză unghiulară. Firul AM , perfect întins,

acţionează ca o percuţie în articulaţia A .

Ca urmare, ecuaţia (14.116) este adevărată, iar teorema energiei cinetice se scrie sub forma:

1 2

1 2

22 2

1 2 2 1

1 1 1

22 2

1 2 2 1

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

n n n

C C Cp i i i i i i i

i i i

C C Cp

E E E m v m v m v v

E E E v dm v dm v v dm

. (14.117)

În cazul exemplului din Fig. 14.7, expresia (14.117) se particularizează, rezultând:

2 2 2

1 1 1

1 5 5

3 6 2m l m l . (14.118)

O

1

A

x

y

M

;m l

;m l

B

Fig.14.7



Aşadar, expresia (14.117) reprezintă teorema lui Carnot în cazul ciocnirii, conform căreia energia cinetică pierdută prin ciocnire este identică cu energia cinetică a vitezelor pierdute la ciocnire.

Dacă sistemul mecanic, având 2 . . .n g d l şi subordonat legăturilor

olonome, este supus fenomenului de ciocnire în intervalul de timp elementar, foarte mic

2 1t t t , atunci studiul dinamic al mişcărilor impulsive se realizează cu ajutorul

ecuaţiilor lui Lagrange. Asupra sistemului mecanic, pe lângă forţele curente,

acţionează şi forţele percutante piF . Corespunzător acestora, se obţin forţele

percutante generalizate, definite cu expresia de mai jos:

1

1; 1

ni j

pj pi

i j

r q j kQ F unde j k

q

. (14.119)

Ţinând seama de (14.110), percuţiile generalizate se definesc cu ajutorul expresiilor:

2 2

1 11 1

Ρ

t tn ni i

j pj pi i

i ij jt t

r rQ dt F dt P

q q

. (14.120)

Forţele generalizate curente jQ , precum şi termenii de forma c jE q , care prin

analogie cu teorema impulsului din mecanica newtoniană sunt de natura unor forţe curente, se neglijează:

1

10

ni j

j i

i j

r q j kQ F

q

; 0c

j

E

q

. (14.121)

Astfel, ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua, pentru mişcări impulsive, în formă finală:

cpj

j

EdQ

dt q

; 2 2

1 1

t t

cpj

jt t

Ed Q dt

q

; (14.122)

12 1

2 1

1

Ρ

Ρ ; 1

nC C i

Pj i

ij j j

ni

j j Pj i

i j

E E rP

q q q

rp p P j k

q

; (14.123)

unde 1,21,2c j jE q p sunt impulsurile generalizate la începutul şi la sfârşitul ciocnirii.



14.5 Ecuaţiile canonice (Ecuaţiile lui Hamilton)

În conformitate cu studiile şi modelele prezentate în numeroase lucrări, dintre care se amintesc [N04], [V02] şi [V01], în cadrul acestui paragraf se vor dezvolta unele dintre modelele matematice, care conduc la ecuaţiile canonice (ecuaţiile lui Hamilton). Pentru început, se vor defini impulsurile generalizate, iar apoi funcţia lui Hamilton, cunoscută şi sub denumirea de integrala energiei. Ţinând seama de aceste noţiuni, dar şi de ecuaţiile cu derivate parţiale, în continuare se vor demonstra ecuaţiile canonice în forma explicită, iar apoi în formă matriceală.

14.5.1 Impulsurile generalizate

Pentru integrarea comodă a ecuaţiilor lui Lagrange-Euler (ecuaţiilor lui Lagrange de speţa a doua) (14.83) şi (14.91) sau pentru a efectua un studiu calitativ asupra mişcării unui sistem mecanic, se impune determinarea integralelor prime. Acestea exprimă forma invariantă a unor expresii matematice, făcând, astfel, posibilă reprezentarea unor mărimi fizice cu ajutorul acestor expresii. Una din integralele prime ale ecuaţiilor (14.91) corespunde cazului, când există condiţia:

0jq

; 0

j

d

dt q

; (14.124)

j

Cq

; j

j

pq

. (14.125)

Pentru a preciza semnificaţia fizică a integralei prime jp , astfel obţinută, se

consideră, spre exemplificare, robotul mobil, reprezentat în Fig. 14.3. Energia cinetică a platformei robotului (a se vedea aplicaţia 14.8.2 inclusă în § 14.8) este definită cu ajutorul ecuaţiei, scrisă sub forma, de jos:

2 2 2

2 2 2

1 2 3 1 2 3 3

1 12

2 2

1 12

2 2

P

P

A R

C A P P C P P

R

A C

E M x y x x s y c J

M q q x q q s q cq J q

; (14.126)

Funcţia Lagrange sau potenţialul cinetic, în cazul acestei aplicaţii, se exprimă cu ecuaţia:

1 2 3 1 2 3 1 2 3; ; ; ; ; ; ;cq q q q q q E U q q q . (14.127)

Conform ecuaţiei (14.125), se obţin integralele prime ale ecuaţiilor lui Lagrange:

1 2

1 2

;R R

A P C A P Cp M x x s p M y x cq q

; (14.128)



3 1 2 3 3

3 3P

A ARC C

A C

E Ep M x q s q cq J q

q q

. (14.129)

Observaţii: Se poate observa faptul că în timp ce expresiile (14.128) au caracterul unui impuls, expresia (14.129) este un moment cinetic. Aşadar, integrala primă

jp , definită prin ecuaţia (14.125), poartă denumirea de impuls generalizat, putând

fi un impuls sau un moment cinetic.

14.5.2 Funcţia lui Hamilton (Integrala energiei)

Un aspect important, în studiul dinamic al sistemelor mecanice cu . . .k g d l

îl constituie determinarea funcţiei lui Hamilton, fiind cunoscută ca integrala energiei. În acest context, sunt apelate ecuaţiile lui Lagrange-Euler (ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua) (14.91), rescrise ca:

; ;

0 ; 1j j

dunde j k

dt q q

.

Funcţia lui Lagrange sau potenţialul cinetic este definită cu expresia (14.89), ca

o sumă dintre energia cinetică şi funcţia de forţă corespunzătoare întregului sistem mecanic, adică:

1 ; 1 1 ; 1 1j j c j j jq j k q j k E q j k q j k U q j k ;

1 ; 1j jq j k q j k t . (14.130)

Ecuaţiile lui Lagrange-Euler se multiplică cu 1jq j k , iar apoi se însumează,

rezultând:

1 1

; ;0

k k

j j

j jj j

dq q

dt q q

. (14.131)

Primul termen al expresiei (14.131) se scrie într-o formă dezvoltată, după cum urmeză:

1 1 1

k k k

j j j

j j jj j j

d dq q q

dt q dt q q

;

de unde 1 1 1

k k k

j j j

j j jj j j

d dq q q

dt q dt q q

. (14.132)



Ţinând seama de (14.130), derivata funcţiei lui Lagrange, în raport cu timpul, arată ca:

1 1

k k

j j

j jj j

dq q

dt q q t

. (14.133)

Ţinând seama de (14.132) şi (14.133), ecuaţia (14.131) se transformă în felul următor:

1

0k

j

j j

d dq

dt q dt t

. (14.134)

Înlocuind (14.125), adică j jq p , ecuaţia (14.134) se poate scrie sub forma

următoare:

1

0k

j j

j

dp q

dt t

. (14.135)

În cazul legăturilor scleronome, al doilea termen din ecuaţia (14.135) este zero, rezultând funcţia prezentată sub forma de mai jos:

0t

;

1

1 ; 1 .k

j j j j

j

p q q j k q j k H cst

. (14.136)

Expresia (14.136) constituie o integrală primă a ecuaţiilor lui Lagrange-Euler, cunoscută ca funcţia lui Hamilton. Această funcţie reprezintă totodată şi teorema de conservare a energiei mecanice a sistemului material, supus legăturilor scleronome şi olonome, adică integrala energiei. Pentru a demonstra această proprietate a funcţiei lui Hamilton, se consideră un sistem discret de puncte materiale (a se vedea (14.64) din § 14.4.1). Energia cinetică a sistemului material este rescrisă mai jos în forma:

1 1

11 11 1

12 2

k kT

C ij i j i ij j

i j

i nE M q q q i n M q j n

j n

.

Se observă că energia cinetică este un polinom omogen de gradul doi în vitezele generalizate. Primul termen al funcţiei lui Hamilton (14.136) se calculează mai jos:

1 1 1

k k kC

j j j j

j j jj j

Ep q q q

q q

;

1

kC

ij i j

ij

EM q q

q

; (14.137)

1 1 1 1 1

2k k k k k

Cj j j j ij i j C

j j j i jj j

Ep q q q M q q E

q q

. (14.138)

Înlocuind (14.138) în (14.136), funcţia lui Hamilton se transformă în teorema:

1

2k

j j C C C C p m

j

H p q E E U E U E E E

. (14.139)



Observaţii: Ecuaţia (14.139) arată că funcţia Hamilton reprezintă integrala energiei sau teorema de conservare a energiei mecanice pentru sisteme materiale cu legături scleronome şi olonome.

14.5.3 Ecuaţiile canonice (ecuaţiile lui Hamilton)

Pentru demonstraţie sunt apelate ecuaţiile lui Lagrange-Euler (14.91), rescrise mai jos ca:

; ;

0 ; 1j j

dunde j k

dt q q

.

Aceste ecuaţii se pot transforma într-un sistem de 2 k ecuaţii diferenţiale de ordinul

întâi, cu 2 k necunoscute. Prin urmare, Hamilton a dedus ecuaţiile canonice

(ecuaţiile lui Hamilton). Pentru stabilirea acestora, se apelează, de asemenea, expresia (14.125), care

defineşte impulsul generalizat, adică j jq p , unde 1j k . Funcţia lui

Lagrange este un polinom de gradul al doilea în vitezele generalizate. Conform cu (14.125), vitezele generalizate devin:

1 1; ; ; ; ; ; 1 ; 1 ;j j k k j j jq q q q p p t q q j k p j k t ; (14.140)

adică sunt funcţii de variabilele generalizate şi respectiv impulsurile generalizate ale sistemului. Înlocuind (14.125) în (14.91), ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua se transformă, conform cu:

0j

j

dp

dt q

; j

j

pq

. (14.141)

Pentru a deduce primul grup de ecuaţii canonice, funcţia lui Hamilton este

derivată parţial în raport cu impulsul generalizat: 1ip unde i k . Ca urmare,

se obţin ecuaţiile:

1 1 1

k k kj j

j j i j

j j ji i i j j

q qHp q q p

p p p q p

. (14.142)

Considerând (14.125), impulsul generalizat, (14.142) devin primul grup de ecuaţii canonice:

; 1i

i

Hq unde i k

p

. (14.143)



Pentru stabilirea celui de al doilea grup de ecuaţii canonice, funcţia lui Hamilton este derivată parţial în raport cu variabila generalizată:

1iq unde i k . Se obţin expresiile:

1

1 1

k

j j

ji ik k

j j

j

j ji i j i

Hp q

q qq q

pq q q q

. (14.144)

Conform cu: /j jp q , iar (14.144) devin al doilea grup de ecuaţii canonice:

; 1i

i i

Hp unde i k

q q

. (14.145)

Ecuaţiile canonice şi diferenţiale (14.143) şi (14.145) sunt rescrise, după cum se observă:

1

1

; 1

; 1

k

j j i

ji i

k

j j i

ji i

Hp q q i k

p p

Hp q p i k

q q

. (14.146)

Acestea formează un sistem de 2 k ecuaţii canonice având 2 k necunoscute,

adică: 1 1; ; ; ; ; 1 ; 1k k j jq q p p q j k p j k . Ecuaţiile canonice

(14.146), mai sus determinate, sunt cunoscute ca fiind ecuaţiile lui Hamilton. Observaţii: Prima observaţie se referă la cazul, când asupra sistemului mecanic acţionează un sistem de forţe neconservative sau parţial conservative, conform cu [N04] şi [V02]. Ecuaţiile canonice se stabilesc, plecând de la ecuaţiile lui Lagrange-Euler (14.93) şi (14.94), rescrise ca:

; ;

; ; 1j

m

j j

dQ unde j k

dt q q

. (14.147)

Impulsul generalizat jp şi derivata acestuia în raport cu timpul jp se exprimă,

conform cu:

j

j

pq

; ; ;j

j m

j

p Qq

. (14.148)



Aşadar, ecuaţiile canonice sau ecuaţiile lui Hamilton (14.146), se transformă astfel:

1

1

1

; ;

1

; ;

k

j j i

ji i

i

m

ik

i

j j m i

ji

Hp q q i k

p p

HQ

qi k

p q Q pq

. (14.149)

Sistemul (14.149), constituit din 2 k ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi cu 2 k

necunoscute: 1 1; ; ; ; ; 1 ; 1k k j jq q p p q j k p j k reprezintă

ecuaţiile canonice sau ecuaţiile lui Hamilton pentru un sistem mecanic cu forţe neconservative sau parţial conservative.

A doua observaţie fundamentală constă în determinarea ecuaţiilor canonice, prin utilizarea teoremei lui Hamilton ─ Jacobi. Conform cu [V02] şi [V01], se scrie ecuaţia cu derivate parţiale:

Ι Ι

1 ; 1 ; 0j

j

H j k q j k tt q

. (14.150)

Derivatele parţiale: Ι 1jq j k , ale funcţiei integrale Ι , substituie

impulsurile generalizate ; 1jp j k în expresia funcţiei Hamilton (14.136),

rescrisă mai jos, astfel:

1

; 1 ; 1 ;k

T

j j j j

j

H p q q j k q j k p

;

1 1 1 1; ; ; ; ; ; ; ; ; I / ; ; I / ;

1 ; 1 ;

; 1 ; I / ; 1 ;

k k k k

j j

j j

H H q q p p t H q q q q t

H q j k p j k t

H q j k q j k t

(14.151)

Integrala ecuaţiei cu derivate parţiale (14.150) conţine un număr de k constante

arbitrare jc :

ΙΙ 1 ; 1 ;

Ι Ι 1 ; ; 1

j

j

j j

H j k q j k t dtq

q j k t c j k

. (14.152)



În cadrul funcţiei integrale (14.152), constantele de integrare jc sunt considerate

principale. Derivatele parţiale ale funcţiei integrale (14.152) sunt prezentate, mai jos:

Ι

; 1j

j

s j kc

;

I; 1j

j

p j kq

; (14.153)

unde ; 1js j k sunt, de asemenea, constante arbitrare. Pentru a demonstra

ecuaţiile canonice, primul grup din (14.153) este derivat în raport cu timpul. Se obţine sistemul de ecuaţii:

2 2

1

I I0; 1

k

m

mi i m

q unde i kc t c q

. (14.154)

Expresia (14.150) este derivată în raport cu constantele de integrare jc , rezultând:

2 2

1

I I0 ; 1

k

mi m m i

Hunde i k

t c p q c

. (14.155)

Se efectuează diferenţa dintre expresiile (14.155) şi (14.154), obţinându-se sistemul:

2

1

2

1

I0; 1

I 1; 1 0

1

k

m

m i m mT

mki m m

Hq unde i k

c q p

Hi kq m k

m kc q p

. (14.156)

Sistemul de ecuaţii, astfel obţinut, este considerat un sistem liniar şi omogen, având

variabilele ; 1m mH p q m k . Întrucât constantele: ; 1jc j k sunt

considerate, ca fiind, constante principale ale funcţiei integrale, rezultă că determinantul sistemului (14.156) este:

2I 1

01

i m

i kDet

m kc q

. (14.157)

Sistemul de ecuaţii (14.156) admite numai soluţia banală:

; 1 0m mH p q m k . Astfel, se obţine primul grup de ecuaţii canonice

sau ecuaţii Hamilton (14.143), rescrise mai jos:

1 ; 1 ;

; 1j j

i

i

H q j k p j k tq unde i k

p

. (14.158)



Pentru a determina al doilea grup al ecuaţiilor canonice, se aplică derivata în raport cu timpul asupra celui de al doilea grup de relaţii (14.153). Astfel, se obţine sistemul de ecuaţii diferenţiale:

2 2

1

I I; 1

k

m i

mi i m

q p unde i kq t q q

. (14.159)

Ecuaţia cu derivate parţiale (14.150) este derivată în raport cu iq , rezultând:

2 2

1

I I0 ; 1

k

mi m m i i

H Hunde i k

t q p q q q

. (14.160)

Se efectuează diferenţa dintre ecuaţiile (14.160) şi (14.159), iar apoi ţinându-se seama de primul grup al ecuaţiilor canonice (14.158), mai sus arătat, se obţin următoarele expresii diferenţiale:

1 ; 1 ;

; 1j j

i

i

H q j k p j k tp unde i k

q

. (14.161)

Se constată că (14.161) sunt identice cu (14.145), rezultând al doilea grup al ecuaţiilor canonice.

14.5.4 Ecuaţiile canonice sub formă matriceală

În studiul dinamic al structurilor mecanice de roboţi, ecuaţiile canonice se aplică sub formă matriceală [N04] şi [N06]. Considerând ipotezele simplificatoare, conform cărora cuplele motoare sunt legături scleronome şi olonome, funcţia lui Hamilton scrisă sub formă matriceală devine:

1

; ; ; ;n

T

i i C p

i

H p q p E E

.(14.162)

Vectorul coloană al impulsurilor generalizate se caracterizează prin expresia:

/ / / / ; 1T

c i i c ip E p q E q i n .(14.163)

Considerând expresia energiei cinetice vectorul al impulsului generalizat devine:

; 1 ; 1T

i ijp M p M j n i n

. (14.164)

Vectorul coloană al vitezelor generalizate este explicitat din (14.164), obţinându-se expresia:

1 1; 1 ; 1

T

i ijM p q M j n p i n

. (14.165)



Astfel, expresia energiei cinetice în formă matriceală se transformă în felul următor:

1 1

;2 2

TT T

CE t t t M t t p t M t p t . (14.166)

Funcţia lui Hamilton, scrisă sub forma (14.162), se transformă în expresia de mai jos:

1;

21

2

T

g

TT

g

H t t t M t t Q t

p t M t p t Q t. (14.167)

Întrucât structura mecanică este un sistem mecanic neconservativ (vezi § 14.4.4), ecuaţiile canonice sunt reprezentate prin (14.149). Aceste ecuaţii sunt rescrise matriceal, astfel:

;

;TH t t

p t t t t tp p

. (14.168)

;; ;

; ; ;

m

T

m

H t tp Q t t t

p t t t t Q t t t

.

Particularitatea ecuaţiei canonice matriceale constă în aceea că matricele dinamicii sunt exprimate în spaţiul de stare cartezian. Aplicând această ecuaţie matriceală, se determină legea de mişcare, pentru efectorul final al structurii mecanice, în spaţiul de stare cartezian.

14.6 Generalizarea ecuaţiilor lui Appell

Sistemele mecanice cu . . .k g d l subordonate legăturilor neolonome se

caracterizează prin anumite restricţii cinematice (a se vedea, spre exemplificare, ecuaţiile (14.18) din § 14.2.1). În conformitate cu aspectele analizate în § 14.3.1 şi § 14.4.5, aceste restricţii devin esenţiale în studiul dinamic al mişcărilor sistemelor mecanice (vezi ecuaţiile (14.108) şi (14.109) din § 14.4.5).

Însă, ecuaţiile dinamicii unui sistem mecanic având . . .k g d l şi subordonat fie

legăturilor olonome fie neolonome, pot fi determinate cu ajutorul unei mărimi dinamice fundamentale, superioară energiei cinetice şi cunoscută ca energia acceleraţiilor. Această mărime este esenţială pentru studiul mişcărilor ultrarapide evidenţiate prin acceleraţii de ordin superior. Dar, energia acceleraţiilor poate fi aplicată la stabilirea ecuaţiilor diferenţiale de mişcare ale structurilor mecanice neolonome, cunoscute sub denumirea de ecuaţiile lui Appell [V02]. Expresia sub formă explicită (13.204) ce definește energia acceleraţiilor, este rescrisă mai jos astfel:



elementul i

iC

i

1i

0

dm

i

Ciri

ir

0

Cir

ip

0

ir

1i

1i

Fig. 14.8

21 1; ; 1

2 2

j j T j

A k k k j j jE q q q k j v dm v v dm

;

2 * * *

1 1; ; 1 1

1 3 21 1

2 21

2

M

j j

Mj j T j

A k k k j C C

M

j T j j j j j j T j j j

M j j j j j j j j j j

T j T j j j T j j j

j j pj j j pj j j

E q q q k j M v v

I I I

Trace I I

;

unde 1; ; 0; ; 1;M Mişcaregenerală Mişcaredetranslatie Mişcarederotatie .

Expresia, prezentată mai sus, corespunde corpului (elementului i ), din sistemul mecanic, reprezentat simbolic în Fig.14.8.

Pentru determinarea ecuaţiilor diferenţiale de mişcare, se utilizează energia acceleraţiilor ca o funcţie centrală. Mai întâi, se analizează un

sistem discret de n particule

materiale, supus unui număr:

3p n de legături ideale,

scleronome şi olonome. Sistemul se

caracterizează prin masele im ,

vectorii de poziţie faţă de un reper fix

ir şi prin 3k n m grade de

libertate. Asupra fiecărei particule materiale acţionează: forţele exterioare,

efectiv aplicate şi notate cu iF . Sub acţiunea acestora, sistemul material execută o

anumită mişcare mecanică. Această mişcare se exprimă cu ajutorul coordonatelor

generalizate, incluse în vectorul coloană: ; 1T

jt q t j k , completat cu

vitezele iv şi acceleraţiile ia . Tabloul acestor parametri este sintetizat prin

(14.64), respectiv prin viteza şi acceleraţia (14.65), rescrise mai jos:

; ; 1 ; ; 1 ; ; ; 1T

i j i i j i i im t q t j k r t r q t j k v t a v i n ;



1

11

ki j m

i i j m j mj m j m

r q t j m kv r q t j m k q

q

;

;j mj mq q q ;

2

1 1 1

1 11

k k ki j i j

i i j j j m

j j mj j m

r q t j k r q t j ka r q t j k q q q

q q q

.

Energia acceleraţiilor în cazul sistemului discret de particule materiale este definită mai jos:

1

2

1

; ; ; 1

; ;1

; ; ; 12

ni

A j j j

inA

i i j j j

i

E q t q t q t j k

E t t t

m a q t q t q t j k(14.169)

Pentru demonstraţie este rescris principiul lui D’Alemebert–Lagrange (14.66), ca:

1 2

1 1

; ; ...;0

n ki k

i i i j

i j j

r q q qL F m a q

q

.

De asemenea, sunt rescrise ecuaţiile lui Lagrange de speţa întâi (14.71), (vezi § 14.4.2), astfel:

1 2 1 2

1 1

; ; ; ; ; ;n ni k i k

i i i

i ij j

r q q q r q q qm a F

q q

.

În conformitate cu (14.34), membrul drept al ecuaţiilor (14.71), reprezintă forţele generalizate, adică:

1 2

1 1

; ; ...;n ni k i i i

j i ix iy iz

i ij j j j


q q q q.

În membrul stâng al ecuaţiilor (14.71) se operează o serie de transformări. Artificiul matematic (aplicat în cazul ecuaţiilor lui Lagrange) se extinde prin considerarea

acceleraţiilor generalizate jq şi a vitezelor generalizate jq ca fiind independente

între ele şi totodată independente în raport cu variabilele generalizate jq ale

sistemului mecanic. Astfel, rezultă următoarele:

; 1T

jq j k , ; 1T

jq j k , ; 1T

jq j k ;

1 1 1i j i j i j

j j j

a q t j k r q t j k r q t j k

q q q

. (14.170)



2 2

1 1 1 1

1 1

2 2

k k k ni i

i i i i i i i i

i i i ij j j j

r am a m a m a m a

q q q q

(14.171)

În membrul drept al ecuaţiei (14.171) se regăseşte energia acceleraţiilor (14.169). Ecuaţia devine:

2

1

1; ;

2

k

i i A

ij j

m a E t t tq q

. (14.172)

Ţinând seama de (14.34) şi (14.172), ecuaţiile diferenţiale (14.71) se transformă în:

2

1

; ;1; 1

2

n A

i i j

ij j

E t t tm a Q t unde j k

q q

(14.173)

Observaţii: Se obţine sistemul de k ecuaţii diferenţiale de ordinul doi, care, în

general, sunt neliniare. Necunoscutele, acestor ecuaţii, sunt ; 1j jq q t j k

şi definesc legea de mişcare a sistemului mecanic. Ţinând seama de membrul drept al ecuaţiilor (14.173) şi prin comparaţie cu (14.83) (a se vedea §14.4.2), se constată identitatea cu ecuaţiile lui Lagrange-Euler:

; ;

; ;1

C C

j j

A

j

j

E t t E t td

dt q q

E t t tQ t j k

q

(14.174)

A doua observație constă în aplicarea principiul lui D’Alembert-Lagrange pentru sisteme de corpuri, ecuația (14.59), rescrisă mai jos sub următoarea formă:

1 1

1 1

;

n ni i ii i i i i i i

i C C iC i C i i i i ii i i ii i

n ni i ii i i

i C iC i ii ii i

M a r r M a I I

F r r F N

Conform cu relația (14.97), forța generalizată de inerție se poate scrie astfel:

0

0 0j

T Tn nCi j j

j ji j j i

j i j ii

rQ R F R N

q

. (14.175)

unde j

jF și j

jN au semnificațiile prezentate în ecuațiile (13.187) respectiv (13.188)



În acest caz accelerațiile centrelor de masă se determină cu următoarea relație:

0 2 0

0 0

1 1 1

j j

j j

j j jC C

C C i i k

i i ki i k

r rv r q q q

q q q

; (14.176)

Ținând seama de independența între coordonate, viteze și accelerații generalizate, așa cum se arată în relația (14.170) rezultă următoarea relație:

0 0

j jC C

i i

v r

q q

; (14.177)

Drept urmare, termenul consacrat mișcării de translație rezultantă, ca și componentă a mișcării generale, ia forma prezentată mai jos:

0 0

0 0 1

2

j j

j j j j

n n nT C C j T j

j C j C j C C

j i j i j ii i i

r vM v M v M v v

q q q. (14.178)

În continuare se abordează termenul consacrat mișcării de rotație rezultantă:

0

1

j

j i i

i

q

; (14.179)

0

1 1 1

j j ji

j i i i k

i i k k

q q qq

;

0

j

i

iq

. (14.180)

Astfel al doilea termen din ecuația (14.175) se scrie sub următoarea formă:

0

0Tn n

jj j Tj j i j

j i j i i

R N Nq

. (14.181)

Substituind j

jN cu (14.54) și efectuând o serie de transformări diferențiale se obțin:

.

jnT jj j j j j

j j j j j

j i in

Tj j j j j j

j j j j j j

j i iTn

j j j j j j

j j j j j j

j i i

I Iq

I Iq

I Iq

(14.182)

1

1 1

1

2

1 1;

2 2

nT

j j j j j j

j j j j j j

j i in

j T j j j j j

j j j j j j

ji

n nj T j j j j T j j

j j j j j j j

j ji i

I Iq

I Iq

I Iq q

(14.183)



1

1

2

Tn nj j j j T j j

j j j j j j

j i ji i

I Iq q

; (14.184)

1

0, ; ; 1

Tnj j j j j

j j j j j i i

j i

I f q q i jq

.(14.185)

Substituind (14.184), (14.183) și (14.178) în ecuația de plecare (14.175) rezultă:

0

0 j

j

jn nC jj T A

j C j

j i j ii i i

v EM v N

q q q

; (14.186)

1

2

1 1.

2 2

j j

nj T jA

j C C

j ij jn

j T j j j j j j T j j j

j j j j j j j j j j

j i j

EM v v

q q

I I Iq

(14.187)

Pe de o parte, expresia consacrează forma explicită a energiei accelerațiilor pentru mișcări mecanice, pe de altă parte, expresia (14.186), conduce la identitatea:

i C C Ai

i i i

E E EdQ

dt q q q

. (14.188)

Această identitate este evidențiată și în cazul sistemelor materiale prin relația (14.174) Pe baza relației (14.188), se obține următoarea expresie integrală dintre

energia accelerației și energia cinetică prezentată sub forma de mai jos:

2 212

21 1 12

1 1 1

1; ;

2

.

n n nC C

A i i j

i i j ii i jn n n

C Ci j i

i j ii j i

E EE q q q

q q q

E Eq q q

q q q

(14.189)

Ecuaţiile diferenţiale de mişcare (14.173) sau (14.174) se aplică în cazul sistemelor mecanice olonome. Energia acceleraţiilor, ca o funcţie centrală în cadrul acestor ecuaţii, este substituită și rescrise mai jos, după cum urmează:

1

; ; ; ; 1k

j

A A m m m

j

E t t t E q t q t q t m j

; (14.190)

Pentru a studia mişcarea sistemelor mecanice neolonome, similar cu aspectele tratate în § 14.4.5, se consideră un sistem material, asupra căruia se

aplică 3p n legături. Numărul gradelor de libertate, pentru deplasările finite,

este: 3k n m . Ca urmare, un număr de m p deplasări elementare:



; 1T

jd d q j k sunt independente. Între acestea există p m relaţii

diferenţiale neintegrabile, de forma (14.100) - (14.102) (vezi § 14.4.5), adică:

1

1 1 0; 1k

ij j j i j

j


;

11 1 0

1

T T

ij j i p m


j k

.

În cazul aplicării energiei acceleraţiilor, ca o funcţie centrală, restricţiilor cinematice de mai sus se adaugă, obligatoriu, restricţiile extinse asupra acceleraţiilor, conform cu următoarele:

1 1 1 1

0 1k k k k

ij iij j j m j

j j m jm j

a ba q q q q unde i p m

q q

. (14.191)

În cazul aplicării deplasărilor virtuale, aceste expresii se transformă în (14.103):

11 0

1

T

ij j p m

i p ma q j k

j k

.

Se aplică metoda multiplicatorilor lui Lagrange (vezi §14.4.5), rezultând (14.104) şi (14.105), adică:

1

11 0

1

kT

i ij j i ij j p m

j

i p ma q a q j k

j k

.

1 1 1

1 1 0p m p mk

T

i ij j i ij j

i j i

a q a j k q j k

.

Ecuaţia (14.67), specifică legăturilor olonome, se transformă prin însumare cu (14.105), astfel:

1 2

1 1 1 1

; ; ...;0

p mk n ki k

i i i j i ij j

j i i jj

r q q qF m a q a q

q

; (14.192)

1 2

1 1 1

; ; ...;0

p mk ni k

i i i i ij j

j i ij

r q q qF m a a q

q

. (14.193)

Impunând condiţia ca: 0 ; 0 ; 1 ; 1 ;j iq q unde j k i k iar j i :

1 2

1 1

; ; ...;0; 1

n si k

i i i i ij

i ij

r q q qF m a a j k

q

. (14.194)



2

1 1

1

11

2

; ;1

n s

i i j i ij

i ij

sA

j i ij

ij

m a Q t a unde j kq

E t t tQ t a unde j k

q

(14.195)

Aplicând transformările diferenţiale (14.172) în (14.195), se obţin ecuaţiile diferenţiale de mişcare pentru sistemele mecanice neolonome, reprezentând o generalizare a ecuaţiilor lui Appell. Acestea sunt identice cu ecuaţiile lui Lagrange-Euler, iar sub formă explicită arată astfel:

1

1

; ;; 1

1 1 0; 1

p mA

j i ij

ijk

ij j j i j

j

E t t tQ a unde j k

q


(14.196)

; ; 11

1

11 1 0

1

A T

ij i

T T

ij j i p m

E t t t j kQ a i p m

i p m


j k

(14.197)

Observaţii: Necunoscutele în cadrul sistemului de ecuaţii diferenţiale (14.196) sau

(14.197) sunt variabilele generalizate: ; 1T

jt q t j k , care exprimă

legea de mişcare, la care se adaugă multiplicatorii lui Lagrange, simbolizaţi prin:

; 1T

i i p m . Una dintre aplicaţiile posibile ale energiei acceleraţiilor şi

ecuaţiilor lui Appell, se referă la roboţii mobili a căror structură este neolonomă sau la sistemele mecanice, dominate de mişcări ultrarapide.

14.7 Principiul variaţional Hamilton - Ostrogradski

În mecanica analitică, conform cu §14.2, legăturile, aplicate unui sistem mecanic, sunt reprezentate în formă generală prin intermediul ecuaţiilor diferenţiale. Conform aceluiaşi paragraf, în cazul legăturilor scleronome se aplică ecuaţia diferenţială (14.25), rescrisă astfel:

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; 0

TA x y z B x y z C x y z dx dy dz

A x y z dx B x y z d y C x y z dz

.



Pentru deplasări virtuale, ecuaţia diferenţială, în formă generală, a legăturii este (14.26):

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; 0

TA x y z B x y z C x y z x y z

A x y z x B x y z y C x y z z

Spre deosebire de acestea, legăturile reonome, sunt dependente de parametrul timp, mobile şi deformabile, fiind exprimate prin ecuaţii diferenţiale de forma generală (14.8):

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0A x y z t dx B x y z t dy C x y z t dz T x y z t dt .

În cazul deplasărilor virtuale, expresia diferenţială (14.8) a legăturii reonome se modifică în felul următor prezentat mai jos: 0A x B y C z T t (14.198)

Asupra ecuaţiei diferenţiale (14.198) se aplică unele transformări. Pentru început, din ecuaţia (14.8) se explicitează funcţia T . Expresia, obţinută, se înlocuieşte în (14.198):

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;T x y z t A x y z t x B x y z t y C x y z t z ; (14.199)

; ; ; ; ; ;

; ; ; 0.

A x y z t x x t B x y z t y y t

C x y z t z z t (14.200)

Se introduce simbolul r , reprezentând vectorul deplasărilor virtuale specifice

legăturilor reonome. Ţinând seama de (14.200), vectorul deplasărilor virtuale se exprimă cu următoarele:

T T T

r x y z r v t x y z x y z t

; (14.201)

T

r v t x x dt y y dt z z dt . (14.202)

Prin substituirea componentelor din (14.201) şi (14.202) în (14.200), rezultă expresia:

; ; ; ; ; ; ; ; ; 0A x y z t x B x y z t y C x y z t z . (14.203)

Studiul dinamic al sistemelor mecanice, în general evidenţiate cu ajutorul ecuaţiilor diferenţiale de mişcare, se poate reduce la calculul variaţiilor, adică a valorilor pentru care integrala unei anumite funcţii are o valoare staţionară (minimă). Pe baza condiţiilor necesare satisfacerii minimului acestei integrale, se pot deduce, apoi, ecuaţiile diferenţiale ale mişcării pentru unui sistem mecanic. Principiul care conduce la calculul variaţiilor poartă denumirea de principiul variaţional Hamilton –

Ostrogradski. Pentru demonstrarea lui, se consideră un sistem discret de n

particule materiale iM , supus unui număr 3p n legături ideale.. Sistemul se

caracterizează prin masele im , vectorii de poziţie faţă de un reper fix ir şi prin

3k n m grade de libertate. Asupra particulei materiale acţionează forţa



exterioară activă iF , imprimând mişcarea pe traiectoria i , în intervalul finit de

timp 0 1t t . Mişcarea sistemului material, Fig. 14.9, se exprimă prin coordonatele

generalizate incluse în: ; 1T

jt q t j k , prin vitezele iv şi acceleraţiile

ia . Tabloul parametrilor este următorul:

; ; 1 ;

; 1 ;

; ; ; 1

T

i j

i i j

i i i i

m t q t j k

r t r q t j k

v t a v F i n

. (14.204)

Fig. 14.9

Vectorul viteză, vectorul acceleraţie de ordinul întâi și vectorul accelerație de ordinul doi (a se vedea Cap.7, §7.5 )al fiecărei particule materiale se exprimă alături (14.65) cu:

1

11

ki j m

i i j m j mj m j m

r q t j m kv r q t j m k q

q

;

;j mj mq q q ;

2

1 1 1

1 11

k k ki j i j

i i j j j m

j j mj j m

r q t j k r q t j ka r q t j k q q q

q q q

;

O

z

y

x

0tri

ir

ir

1tri

0tM i

tM i

ttMi '

1tM i

iaiv

iv

i 'i

ia



2 2

1 1 1 1 1

3

1 1 1

2 3

1 1 1

2

3

k k k k ki i i

i i i j j m j m

j j m j mj j m j m

k k ki

j m p

j m p j m p

k k ki i i

j j m

j j mj j m j

r r ra r v q q q q q

q q q q q

rq q q

q q q

r r rq q q

q q q q

1 1 1

.k k k

j m p

j m p m p

q q qq q

(14.205)

Energia cinetică a sistemului de particule materiale se exprimă cu relația de mai jos:

1 1 1 1

1 1

2 2

Tn n k kT i i

C i i i i j m

i i j m j m

r rE m v v m q q

q q

.

1 1 max( ; )

1

2

Tk k nm m

C m i j

i j m i j i j

r rE m q q

q q

;

max( ; )

Tn

m mij ji m

m i j i j

r rM M m

q q

.

Ţinând seama de notaţiile de mai sus, expresia matriceală a energiei cinetice este:

1 1

11 11 1

12 2

k kT

C ij i j i ij j

i j

i nE M q q q i n M q j n

j n

.

Locul geometric al extremităţii vectorilor de poziţie ; 1i i jr t r q t j k este

o traiectorie curbilinie spaţială denumită şi hodograful mişcării reale a sistemului de particule materiale, reprezentat simbolic în Fig. 14.9. Fiecărei funcţii vectoriale de timp

ir t se asociază o deplasare virtuală ir compatibilă cu legăturile, exprimată cu

(14.24) (vezi § 14.2.2), rescrisă:

1

11

1 1 1

ki i i i

j k jijj k j

Ti i k k k

i i ij j ji

j j jj j j

r r r rq q q qx

q q q qr y

x y zq q qz

q q q

.

Funcţia ir este o funcţie continuă şi derivabilă în raport cu raza vectoare ir t ,

aşadar derivabilă în raport cu timpul. În consecinţă, dacă traiectoria reală i este o

curbă continuă cu tangentă unică în fiecare punct, ţinând seama de observaţia care se

face în legătură cu ir înseamnă că extremitatea acestuia va descrie de asemenea

o traiectorie curbilinie, continuă şi cu tangentă unică, care corespunde momentului

trecerii prin cele două puncte la momentele 0t şi 1t . Punctul fictiv (imaginar) iM



este definit prin vectorul de poziţie i ir r la momentul t t . Conform cu

[V02], asupra parametrilor: ir şi t , care caracterizează deplasările virtuale se

fac unele observaţii. Astfel, dacă 0t , rezultă că punctele iM şi iM vor efectua o

mişcare sincronă. Spre deosebire de acest caz, pentru legăturile reonome, punctele

iM şi iM se vor găsi într-o mişcare asincronă: t şi t t .

Pentru cele două extremităţi ale traiectoriei: început şi final de mişcare, se cunosc:

0 1

0i it tr r ;

0 1

0t t

t t (14.206)

Din Fig. 14.9 se poate observa că punctului fictiv iM se asociază o viteză iv ,

definită cu ajutorul relației de mai jos:

1

1 11

ii

i i i ii

dr d dr td r r dr d r dt dt dtv

d ddd t tt tdt t

dt dtdt

. (14.207)

În expresia de sus au fost consideraţi ca infiniţi mici şi neglijabili, următorii termeni:

2

0d

tdt

; 0i

d dr t

dt dt

; (14.208)

Ca urmare (14.207) a vitezei iv a particulei fictive iM se poate scrie conform cu:

i ii i i i i

dr drd d d dv r t v r v t

dt dt dt dt dt dt

; (14.209)

de unde: i i i i i

d dv v v r v t

dt dt

. (14.210)

Expresia (14.210), se poate exprima sub o altă formă, conform cu următoarea:

i i i i i i

d dv r v t a t r a t

dt dt

. (14.211)

1 1

2 2

1 1 1 1 1

.

k ki ii

i j ji

j jj j

k k k k ki i i

j m j j m

j m j j mj m j j m

r rd d ddrv q qr

dt dt q q dtdt

r r rq q q q q

q q q q q



În aceeași Fig 14.9, punctului fictiv iM se asociază o accelerație ia , definită cu:

2

1

11

1 1

1

i i i i

i

i i i i

i ii i i

i ii i

dtd v v d v v dta

ddd t ttdt t

dtdtd v v d v vd d

t tdt dt dtd

dt tdt

dv dvd d d da v t v t

dt dt dt dt dt dtdv dvd d d

v t adt dt dt dt d

i i

dv a t

t dt

; (14.212)

Variația virtuală pentru vectorul accelerație se determină utilizând relația de mai jos:

' .

0 sin ;

.

i i i i i

ii i

i i i i i i i

i i i

d da a a v a t

dt dtdvd

Dacă t mişcare cronă a vdt dt

d d da v a t a t v v t a t

dt dt dtd d

v a t a tdt dt

(14.213)

Forma derivată a variației virtuale al accelerației ia , se prezintă în ecuațiile:

2

1 1 1

2 2

1 1 1 1 12

1 1

k k ki i i

i i j j m

j j mj j m

k k k k ki i i

j j m j m

j j m j mj j m j mk k

ij m

j m j m

dv r rd da v q q q

dt dt dt q q q

r r rdq q q q q

q dt q q q q

r dq q

q q dt

3

1 1 12 2

1 1 1 1 12 3

1 1 1 1 1

k k ki

j p m

j m p j m pk k k k k

i i ij j m j m

j j m j mj j m j mk k k k k

i ij m j p m

j m j m pj m j m p

rq q q

q q q

r r rq q q q q

q q q q q

r rq q q q q

q q q q q

; (14.214)

Conform cu [V02], principiul lucrului mecanic virtual este utilizat pentru

determinarea principiului variaţional Hamilton-Ostrogradski. Se introduce notaţia CE ,



reprezentând variaţia virtuală de ordinul întâi a energiei cinetice. Prin diferenţierea virtuală în raport cu timpul a ecuaţiei energiei cinetice integrală, se obţine expresia:

1 1

1

2

n nT

C i i i i i i

i i

E m v v m v v

. (14.215)

Derivata în raport cu timpul a energiei cinetice, pentru mişcarea uniform variată este:

1 1 1

1

2

n n nT

C i i i i i i i i

i i i

dE m v v m a v F v

d t

. (14.216)

Pentru a deduce expresia principiului variaţional Hamilton, se pleacă de la relaţia (14.216), la care se adaugă principiul lui D’Alembert-Lagrange, scris în două variante. Astfel, conform cu (14.57) (a se vedea §14.3.4), în cazul legăturilor scleronome, expresia generală este următoarea:

1

0n

i i i i

i

L F m a r

.

În cazul legăturilor reonome, principiul lui D’Alembert-Lagrange se modifică conform cu:

1

0n

i i i i

i

L F m a r

. (14.217)

Asupra expresiei (14.217) se efectuează o serie de transformări diferenţiale. Pentru început, membrul drept al ecuaţiei este scris prin separarea celor doi termeni, rezultând:

1 1

n n

i i i i i

i i

F r m a r

. (14.218)

Membrul stâng din (14.218), este explicitat, în forma de mai jos, aplicând unele de

transformări. Astfel, înlocuind variaţia virtuală a vectorului de poziţie ir cu

(14.201) în (14.218), se obţine:

1 1 1 1

n n n n

i i i i i i i i i

i i i i

F r F r v t F r F v t

. (14.219)

Membrul drept, al expresiei de plecare (14.218), poate fi explicitat sub forma de mai jos:

1 1 1 1

n n n ni

i i i i i i i i i i i

i i i i

dv d dm a r m dr m v r m v r

dt dt dt

. (14.220)

Cei doi termeni, din membrul drept al expresiei (14.220), se dezvoltă în continuare:

2

1 1 1i

n n n

i i i i i i i

i i i

d dm v r m v r m v t

dt dt

; (14.221)



Explicitând i

dr

dt din (14.211) şi înlocuind în (14.220), rezultă expresia pentru

termenul al doilea:

1 1 1

n n n

i i i i i i i i i C C

i i i

dm v r m v v m a v t E E t

dt

. (14.222)

Înlocuind (14.219), (14.221) şi (14.222) în ecuaţia de plecare (14.218), rezultă expresia de mai jos:

2

1 1 1 1

n n n n

C i i C i i i i i i i

i i i i

dE F r E F v t m v r m v t

dt

. (14.223)

Prin separarea variabilelor si integrarea ecuaţiei diferenţiale de mai sus, se obține:

1 1

0 0

2

1 1 1 1i

t tn n n n

C i i C i i i

i i i it t

E F r E F v t dt d m v r m v ti i i

. (14.224)

Ţinând cont de expresiile determinate anterior, rezultă că membrul drept este zero: 1 11 1

0 00 0

2 2

1 1 1 1

0i i

t tt tn n n n

i i

i i i it tt t

d m v r m v r d m v t m v ti i i i i i

;

1

01 1

0

t n n

C i i C i i

i it

E F r E F v t dt

. (14.225)

Observaţii: Ecuaţia (14.225) reprezintă principiul integral în formă generală. În cazul sistemelor scleronome și olonome, principiul integral (14.225), ia o formă particulară,

datorită condiției restrictive prin care 0t , așa cum se observă:

1

01

0, 0

t n

C i i

it

E F r d t t

. (14.226)

Lucrul mecanic virtual (14.33) - (14.35) este rescris în felul următor prezentat mai jos:

1 1 1 1

n k n ki

i i i j j j

i j i jj

rF r F q Q q

q

. (14.227)

Energia cinetică și variația virtuală a acesteia se stabilesc conform ecuațiilor, astfel:

1 1 1 1

1 1 max 1 1,

1 1

2 2

1 1;

2 2

n n k kT i i

C i i i i j m

i i j m j m

Tk k n k k

p p

i j ij i j

i j p i ji j i j

r rE m v v m q q

q q

r rTrace q q M q q

q q

(14.228)



; 1 ; ; 1C C j jE E q j k q j k ; (14.229)

1 1 1

1 1

1 1 1

.

n k kT C C

C i i i j j

i j jj j

k kC C

j j

j jj j

k k kC C C

j j jj jj j j j

E EE m v v q q

q q

E Edq q

q dt q

E E Ed dq q q

q qdt dt q

(14.230)

În expresia de mai sus este substituită următoarea relație prezentată sub forma:

1 1 1

k k kC C C C

j j j j

j j jj j j j

E E E Ed d dq q q q

q q d t d t q d t q

. (14.231)

Drept urmare (14.230) este substituită sub noua formă în ecuația de plecarea (14.226)

. Extremitatea intervalului finit de timp 0 1;t t , curba reală și virtuală se intersectează;

ca urmare, condițiile (14.206) sunt rescrise:

1 11 1

0 00 01

; 0 ; 0k

t tt ti

j j ji i it tt tj j

rq q qr r r

q

. (14.232)

Aplicând integrare în raport cu timpul și unele transformări se obține relația:

1

1 11

0

0 00

0

tt t

tC C C C

j j j jt

j j j jt tt

E E E Edq d t d q q q

d t q q q q

; (14.233)

unde C

j

E

q

este o funcție de timp care depinde de starea dintre poziția inițială și finală.

În continuare se analizează integrala în raport cu timpul care se aplică asupra celui de-al doilea termen din ecuația (14.231):

1 1 1

0 0 0

1

0

.

t t t

C C Cjj j

j j jt t t

tC C C

jj jtj j j

E E Ed dqq d t q d t d

d t q d t q q

E E Eqq q

q q q

(14.234)

1 1

0 01 1

t tk kC C

C j j

j jj jt t

E EE d t q q d t

q q

; (14.235)



Al doilea termen din (14.235) se derivează pe baza acelorași considerente, rezultând:

11 1 1

00 0 0

tt t t

CC Cjj j

jj j tt t t

EE Eqd tq d t q d t d

qq q

;

1 11

1

0

0 00

0

t ttt

C Cj j

tj jt tt

E Eq qd t d td

q q

;

11

00

tt

CCj j

jj tt

EEd tq d t q

qq

. (14.236)

Substituind (14.235) și (14.236) în ecuația de plecare (14.226), rezultând relația:

1 11

0 001 1 1

t tt k k kC C CC

C j j j

j j jj j jj t tt

E E EEd t d tE d t q q q

q q qq

; (14.237)

Cu aceeași expresie (14.226) se calculează următoarea integrală în raport cu timpul, referitoare la lucrul mecanic virtual, prezentată sub următoarea formă:

1 1

0 0

1 1

0 0

1 1 1

1 1

t tn k ni

i i i j

i j i jt t

t tk k

j j j j

j jt t

rF r d t F q d t

q

Q q d t Q d t q

; (14.238)

Drept urmare principiul integral în forma generală (14.226), ia următoarea formă:

1

01

0, 0

tkC C

j j

j j jt

E EQ d t q t

q q

. (14.239)

Asupra ecuației (14.239) se aplică condițiile specifice, prezentate mai jos în ecuațiile:

0, 1 ; 0, 1 ,j iq j k q i k i j ; (14.240)

În urma aplicării acestor condiții se obțin relațiile scrise după cum urmează:

1

0

0; 1

t

C Cj

j jt

E EQ d t j k

q q

;

1

0

0; 1

t

CCj

jj t

EEd Q d t j kqqdt

; (14.241)

1

0

t

C Cj j

j jt

E EdQ d t Q

d t q q

.



Ca urmare principiul integral în forma generală (14.226), pentru sisteme mecanice scleronome și olonome este identică cu relațiile de mai jos:

1

0k

C Cj j

j j j

E EdQ q

d t q q

; (14.242)

0, 1 ; 0, 1 ,j iq j k q i k i j ;

0, 1C Cj

j j

E EdQ j k

d t q q

. (14.243)

Se constată că ecuația (14.243) reprezintă întocmai ecuația Lagrange-Euler dedusă în § 14.4. pe cale diferențială sub forma (14.83). Observaţii: A doua observație impusă asupra principiul integral se referă la ecuațiile diferențiale și integrale existente între energia cinetică și energia accelerației (14.188):

2 212

21 1 12

1 1 1

1; ;

2

;

n n nC C

A i i j

i i j ii i jn n n

C Ci j i

i j ii j i

E EE q q q

q q q

E Eq q q

q q q

(14.244)

Ținând seama de (14.173) care exprimă ecuațiile diferențiale de mișcare bazate pe energia accelerației, se constată că această funcție centrală prezintă interes în ecuațiile diferențiale numai prin componentele ce conțin acceleraţiile

generalizate iq . Drept urmare, variația virtuală a energiei accelerațiilor pentru un

sistem material are forma generală:

1

kA A A

j j jAj j jj

E E Eq q qE

q q q

, (14.245)

iar forma consacrată stabilirii ecuațiilor de mișcare este prezentată în relația:

1 1

1

k kA A

A j j j

j jj j

kA A

A j j j

j j j

E E dE q q q

q q d t

E Ed dE q q q

d t q d t q

; (14.246)

Asupra acestei expresii se aplică integrala în raport cu timpul pe același interval finit

0 1;t t , ținând seama de condițiile restrictive pe extremitățile intervalului (14.232):

1 1

0 01

t tkA

jA j

j jt t

EqE d t q d t

q

; (14.247)



1

0

t

A Aj j

j jt

E Edq d t q

qd t q

; (14.248)

1 1

0 0

0

t t

A A A A Aj j j j j

j j j j jt t

E E E E Edq d t q d q q q

qd t q q q q

; (14.249)

1

0

t

A A A Aj j j j

j j j jt

E E E Ed d dq q d t q q

d t q d t q q q d t

.

Așadar, într-o primă etapă al integrala (14.247), are forma prezentată mai jos:

1

01

t kA

jA j

j jt

EqE d t q

q

; (14.250)

În continuare expresia (14.250) este integrat în raport cu timpul rezultând relațiile:

1 1 1

0 0 01

t t tkA

A j j

j jt t t

EE q d t d t q d t

q

; (14.251)

A AA Ajj j j

j jj j

E EE E d d dqq q q

q qq q d t d t d t

; (14.252)

11

0 0

0

tt

A Aj j

j jt t

E Edq qd t

q qd t

;

1 1

0 0

1

0

t t

A A Aj j j

j j jt tt

A A Aj j j

j j jt

E E Edq d t q d q

qd t q q

E E Eq q q

q q q

; (14.253)

1

0

t

A Aj j

j jt

E Eq d t q

q q

. (14.254)

Asupra ecuației (14.254) se aplică din nou integrala în raport cu timpul rezultând:

11

001

tt kA

jA jjjtt

EqE d t d t q

q

; (14.255)

1 1 1 1

0 0 0 0

1 1 1 1

0 0 0 0

1

1 1

t t t tkA

A j j

j jt t t t

t t t tk kA A A

j j j

j jj j jt t t t

EE q d t d t d t q d t

q

E E Eq d t d t d q q d t

q q q

;(14.256)



1 1 1

1

0

0 0 0

0

t t ttA A

j j tj jt t t

E Ed t d q d t q

q q

.

Observaţii: Așadar în urma transformărilor diferențiale și integrale anterior aplicate se obține identitatea prezentată sub următoarea formă:

1 1 1 1 1

0 0 0 0 01

t t t t tkA

A j j C

j jt t t t t

EE q d t d t d t q d t E d t

q

; (14.257)

De asemenea se aplică explicitează (14.238) sub forma prezentată mai jos:

1 1

0 0

1 1

0 0

1 1 1

1 1

t tn k ni

i i i j

i j i jt t

t tk k

j j j j

j jt t

rF r d t F q d t

q

Q q d t Q d t q

; (14.258)

Drept urmare, principiul integral pentru sisteme olonome și cu punct sincronă 0t , ia forma

1

01

0, 0

tkA

j j

j jt

EQ d t q t

q

. (14.259)

Aplicând condițiile (14.240), adică: 0, 1 ; 0, 1 ,j iq j k q i k i j ; rezultă:

1

0

0 ; 0; 1

t

A Aj j

j jt

E EdQ d t Q j k

d t q q

;

C C A

j j j

E E Ed

qdt q q

. (14.260)

Expresia finală a principiului integral fiind scrisă mai jos sub următoarea formă:

11 1 1

00 0 01 1

0, 0

tt t tn n

A i i C i i

i itt t t

E d t d t F r d t d t unde tE F r

. (14.261)

Așadar (14.260) stabilită cu relația (14.187) sau (14.174), evidențiază identitatea dintre ecuația lui Lagrange de speța a doua și derivata parțială a energiei accelerației în raport cu accelerațiile generalizate. Observaţii:Pentru un sistem de forţe conservative se introduce funcţia Lagrange

sau potenţial cinetic şi notată cu . Expresia de definiţie a acestei funcţii este

(14.89) (vezi § 14.4.3), rescrisă mai jos conform cu:

1 ; 1 1 ; 1 1j j C j j jq j k q j k E q j k q j k U q j k .



Funcţia de forţă 1jU q j k din (14.89) reprezintă lucrul mecanic al forţelor

conservative. Aplicând diferenţierea virtuală, iar apoi derivata în raport cu timpul asupra ecuaţiei (14.89), rezultă:

1

n

C C C i i

i

E U E L E F r

. (14.262)

1 1

n nC C

i i C i i

i i

d

dt

d E d EdU dF r E F v

dt dt dt dt

. (14.263)

Înlocuind (14.262) şi (14.263) în (14.225), se obţine principiul integral pentru forţe conservative ca:

1

0

0

t

t

dt

dtdt

. (14.264)

Principiul integral (14.264) se află la baza principiului variaţional Hamilton-Ostrogradski. Mai întâi, pentru mişcările reale şi mişcările fictive ale sistemului mecanic sunt asociate integralele:

1

0

t

real r

t

I I dt ; (14.265)

1 1 1

0 0 0

1

t t t

f

t t t

dt

dt

dI d t t t dt

dt

;(14.266)

Variaţia virtuală a funcţiei Lagrange reprezintă r f rI I I şi este definită cu expresia:

1

0

t

r f r

t

dt

dtI I I dt

. (14.267)

În urma unor transformări, al doilea termen al expresiei integrale (14.267) se scrie conform cu:

d dd

t t tdt dtdt

.

1 1 1

0 0 0

t t t

t t t

d ddt d t t d t t

dt dtdtd t

;

1 1 1

1

0

0 0 0

0;

t t tt

t

t t t

d dt d t t

dtdtd d t t d t

. (14.268)



Substituind (14.268) în (14.267) şi considerând (14.265), precum şi (14.264), rezultă:

1 1

0 0

0

t t

r

t t

ddt t dt

dtI

; 1

0

0

t

t

dt

; (14.269)

1

0

; 1 ; ; 1 minimă

t

j j

t

dtq j k q j k . (14.270)

Observaţii:

Expresia integrală (14.269) identica cu (14.93) reprezintă principiul variaţional Hamilton-Ostrogradski. Condiţia de minim este îndeplinită de către ecuaţiile diferenţiale de ordinul doi Euler. Astfel, se consideră integrala curbilinie a unei

funcţii ; ;f x y y , definită după cum urmează: ; ;b

a

I f dxx y y . Această

integrală este staţionară (minimă sau maximă) dacă funcţia y y x satisface

ecuaţiile diferenţiale şi omogene de ordinul doi Euler, având forma:

0f d f

y dx y

Pentru integrala definită cu (14.270), funcţiile din ecuaţia de mai sus sunt următoarele:

; ;; ; j jt q qf x y y .

Drept urmare, se obţin următoarele ecuaţii diferenţiale:

0j j

d

q dt q

Aşadar, ecuaţiile de mai sus reprezintă ecuaţiile Lagrange-Euler (14.92)

Particularizând acest principiu pentru cazul în care funcţia de forţă nu depinde de timp, atunci devine aplicabilă teorema conservării energiei mecanice. Se obţine:

1 1 1 1

0 0 0 0

2 2 0

t t t t

C C C C

t t t t

dt E E const dt E const dt E dt

; (14.271)

1

0

2 0

t

C

t

E dt

1

0

2 minimă

t

C

t

E dt . (14.272)

Expresia finală (14.272) este principiul lui Maupertuis (un caz particular al principiului variaţional).



14.8 Aplicaţii:

14.8.1 În Fig. 14.10 este reprezentat un sistem mecanic alcătuit din două bare 1 2O O şi

2O P , legate prin cuple motoare de rotaţie. Barele sunt omogene de lungimi egale cu l şi

mase egale cu M . Sistemul mecanic, aflat iniţial în stare de echilibru, este ciocnit în punctul

2D O P , unde 2O D , de către o bilă după o direcţie normală pe bara 2O P . Percuţia,

care se dezvoltă în timpul ciocnirii, DP este cunoscută în modul şi orientare. Fiind date

condiţiile iniţiale ale mişcării sistemului mecanic: 0; 0; 1;2i iq q i , se cere să se

determine vitezele unghiulare, ale celor două bare, la sfârşitul perioadei de ciocnire.

Fig. 14.10

Soluţie. Necunoscutele problemei sunt vitezele unghiulare ale barelor care compun sistemul mecanic, asimilat cu structura mecanică a unui robot planar, având două grade de

libertate: 1 2

Tt q t q t . Ca urmare, vitezele unghiulare ale barelor componente

sunt incluse în vectorul coloană al vitezelor generalizate: 1 2

Tq q . Determinarea

acestor necunoscute se poate face fie prin aplicarea ecuaţiilor lui Lagrange de speţa a doua fie prin utilizarea teoremelor fundamentale specifice mişcărilor impulsive (ciocnirilor). Aplicarea ecuaţiilor lui Lagrange în cazul mişcărilor impulsive

; 1 2cpi

i

EdQ unde i

dt q

; (14.273)

gM 0

gM 0

2z

P

D

DP

2q

2C2x

l

2O0x

1q

1C1x

0z

1z

l 0y10 OO



2 2

1 1

t t

cpi

it t

Ed Q dt

q

;

2 2

1 1

t t

i pi

t t

d p Q dt ; (14.274)

12 1

; 1 2n

jC CPi j

ji i i

rE EP i

q q q. (14.275)

Ţinând seama că c i iE q p , ecuaţiile lui Lagrange în cazul mişcărilor impulsive devin:

2 1

1

; 1 2n

j

i i Pi j

j i

rp p P unde i

q; (14.276)

unde 1i

p şi 2i

p sunt impulsurile generalizate la începutul şi respectiv la sfârşitul ciocnirii.

Pentru început se calculează energia cinetică a sistemului mecanic, utilizând în acest scop teorema lui Kőnig , rescrisă în forma simbolică după cum urmează:

2 *1 1 1

11 3 2 2

M

i i

Mi i T i i T i i

C i C C M i i i

M

E M v v I . (14.277)

unde 1; ; 0; ; 1;M General Motion Translational Motion Rotation Motion .

Ţinând seama că bara bare 1 2O O execută o mişcarea absolută de rotaţie, bara 2O P o

mişcare plan – paralelă, expresia energiei cinetice se particularizează, mai jos, astfel:

1

22

1

1

2 3C

M lE q

;

2 2

22 2

2

1 1

2 2 12C C

M lE M v q

. (14.278)

Viteza centrului maselor 2C se determină cu următoarele expresii ale cinematicii:

2

2

2

1 21 2

1 21 2

1

211

22

c

Cc

l l cq l cqx cq cqr

y lsq sql sq l sq

; (14.279)

2

2

2

1 1 2 21 21

2

1 1 2 21 2

11

22

11

22

c

Cc

l q sq q sql sq l sqx q

vy q

l q cq q cql cq l cq

; (14.280)

2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1

1

4Cv l q l q l q q c q q . (14.281)

Înlocuind (14.281) în (14.278) şi efectuând calculele, se obţine energia cinetică a sistemului:

2 1 2

2 22 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1

1 1 1 1 1

2 3 2 12 2 8 2C

M l M lE q q M l q M l q M l q q c q q

;

2

2 2 2 2 2

1 1 2 2 1

2 1 1

3 6 2CE M l q M l q M l q q c q q . (14.282)



Utilizând (14.122) şi (14.123), se calculează impulsurile generalizate, adică:

2 2

1 1 2 2 1

1

4 1

3 2

cEp M l q M l q c q q

q; (14.283)

2 2

2 2 1 1 2

2

1 1

3 2

cEp M l q M l q c q q

q. (14.284)

Aplicând (14.122) şi (14.123), se stabilesc percuţiile generalizate după cum urmează:

1 2

1 2

DD

D

l cq cqxr

y l sq sq;

2

2

DxDD

yD D

P sqPP

P P cq;

1

; 1 2n

j

Pi j

j i

rP unde i

q;

1 1 2 1 2 2 1

1 1

D DP xD yD D D

x yP P P sq sq cq cq P l c q q

q q; (14.285)

2

2 2

2 2

2 2

D DP xD yD D D

x yP P P s q c q P

q q (14.286)

Întrucât în timpul ciocnirii nu există deplasări, 1 2 2 10 ; 0 ; 0q q q q , impulsurile

şi percuţiile generalizate se particularizează după cum urmează:

1 2

;P PP l P ; (14.287)

2 2

11 12 1 2

1 11 2

4 10 ;

3 2

c cE Ep p M l q M l q

q q; (14.288)

2 2

21 22 2 1

2 21 2

1 10 ;

3 2

c cE Ep p M l q M l q

q q

. (14.289)

Înlocuind (14.287), (14.288) şi (14.289) în (14.276), se obţin ecuaţiile diferenţiale:

2 2

1 2

2 2

1 2

4 1

3 21 1

2 3

M l q M l q P l

M l q M l q P

; 1 2 2

1 2 2

68 3

63 2

D

D

q q P lM l

q q PM l

(14.290)

1 22 2

6 62 3 8 3

7 7

T

D Dq P l q P lM l M l

. (14.291)

Expresiile (14.291) reprezintă vitezele unghiulare absolute ale celor două bare la sfârşitul perioadei de ciocnire a sistemului mecanic (structura mecanică a unui robot planar). Aplicarea teoremelor fundamentale în cazul mişcărilor impulsive În acest scop se utilizează teoremele fundamentale : teorema impulsului şi respectiv teorema momentului cinetic, rescrise mai jos după cum urmează:



2 2

1 11 1

t tn n

pi i

i it t

d H F dt P

; 2 1

1

n

i

i

H H P

. (14.292)

2 2

1 1

0

1 1

t tn n

i pi i i

i it t

d K r F dt r P

; 2 1

1

n

i i

i

K K r P

. (14.293)

Se aplică teorema momentului cinetic în raport cu originea 2 2O şi anume:

2

2 1 2 DO

K K O D P ; (14.294)

Componentele ecuaţiei vectoriale din cadrul teoremei momentului cinetic se stabilesc astfel:

2 0 0 0T

D D DO D P P z P ; (14.295)

2 2

2

2 2 2212

O C

M lK O C M v q z

; (14.296)

2 2 2 2 22 2

0 0T

C C C C CO C v x y y x ;

2

2

2

2 2

1 1

2 2

T

c

Cc

xr l cq l sq

y

;

2

2

2

1 1 2 21 21

2

1 1 2 21 2

11

22

11

22

c

Cc

l q sq q sql sq l sqx q

vy q

l q cq q cql cq l cq

;

2 2 2 2

2 2

1 2 1 2

1 1

2 4C C C Cx y y x l q c q q l q . (14.297)

Întrucât în timpul ciocnirii nu există deplasări, 1 2 2 10 ; 0 ; 0q q q q , rezultă:

2 2

2 2

1 1 2 2 1 2

1 10 ;

2 3O OK K K K M l q M l q . (14.298)

Teorema momentului cinetic, (14.293) în raport cu originea 2 2O , ia forma finală adică:

2 2

1 2

1 1

2 3DM l q M l q P . (14.299)

Se aplică teorema impulsului, a cărei expresie se scrie după cum urmează:

22 1 D OH H P P ; (14.300)

unde 2OP reprezintă percuţia de legătură dezvoltată în cea de-a doua cuplă motoare a

sistemului. Pentru început, se determină impulsul barei 2O P utilizând următoarele expresii:

2 2 2

0T

C C CH M v M x M y . (14.301)

Ca urmare, componentele teoremei impulsului pe axele sistemului 2 sunt scrise astfel:



1 1 2 2

1 1 2 2

1

21

2

xD xO

yD yO

M l q sq M l q sq P P

M l q cq M l q cq P P

. (14.302)

Întrucât în timpul ciocnirii nu există deplasări, 1 2 2 10 ; 0 ; 0q q q q , rezultă:

1 2 1 2

10 ; 0

2

T

H H M l q M l q

; (14.303)

1 2

0

1

2

xD xO

yD yO

P P

M l q M l q P P

; 2

1 2 2

1

2

xO x D

yO D

P P P sq

P M l q M l q P cq

; (14.304)

Pentru bara 1 2O O se aplică teorema momentului cinetic în raport 0 0O , adică:

2

02 1 1 2 O

OK K O O P ; (14.305)

Întrucât bara 1 2O O execută o mişcare de rotaţie în jurul axei fixe 0z , momentul cinetic este:

0

2

1 03

O

M lK q z

; 0 0

2

1 2 2 1 00 ;3O O

M lK K K q z

; (14.306)

Momentul percuţiei de legătură 2OP în raport cu 0 0O este dat de expresia următoare:

2

1

1 2 1

1 1 1 1

0 0 0

0 0 0

00

xO

O yO

xO yO

l sq P

O O P l cq P

l sq l cq P l sq P l cq

;

2

2 2

1 2 1 2 2 1 2 1

1

2O D

zO O P M l q M l q c q q P l c q q ; (14.307)

2

2 2

1 2 1

1

2O D

zO O P M l q M l P l . (14.308)

Înlocuind (14.306) şi (14.308) în (14.305) se obţine următoarea ecuaţie diferenţială:

2

2 2

1 1 2

1

3 2D

M lq M l q M l q P l ; 2 2

1 2

4 1

3 2DM l q M l q P l . (14.309)

Expresiile (14.309) formează sistemul de ecuaţii diferenţiale scris mai jos, după cum urmează:

2 2

1 2

2 2

1 2

4 1

3 21 1

2 3

M l q M l q P l

M l q M l q P

. (14.310)

Sistemul (14.310) este identic cu (14.290), rezultând astfel cele două viteze unghiulare (14.291).



14.8.2. În figura 14.11 este reprezentat un sistem format din două bare omogene, articulate

între ele, caracterizate prin ,m l , situat în planul orizontal 0z . Barele se rotesc cu

aceeaşi viteză unghiulară 0 . Dacă firul e întins, acesta acţionează ca o percuţie în A. Se cere:

a. Energia cinetică a sistemului de bare, la începutul ciocnirii; b. Viteza unghiulară a barei AB,

1 AB la sfârşitul ciocnirii;

c. Percuţia apărută în punctul A. a. Energia cinetică a sistemului de bare, la începutul ciocnirii;

OA AB ;

2

2 221 1

22 2 2

C O

lE I m

b Viteza unghiulară a barei AB,

1 AB la sfârşitul ciocnirii;

Varianta 1 Utilizarea Teoremei de conservare a momentului cinetic:

2 1 0A Ak k ; 1 2A Ak k AB ; Ok r v dm ; Ok I ; (14.311)

2 2 2 3 3 3 3

2

1 1

8 4

3 3 2 2

l l l

A

l l l

l l l lk x l v dm x x l dx x l x dx

; (14.312)

3

2

1

5 5

6 6A

lk m l

;

2

2 1 13

A

m lk I

; (14.313)

Fig.14.12

O

l

A

1

x dx

dm

l

OPeP

APv

O

1

A

x

y

M

;m l

;m l

B

Fig.14.11



2 2

1 1

5 1 5

6 3 2m l m l ; (14.314)

32 2 22 2 2

2 2 1 1 1

02 2

1 1

23

3 3

ll l l

A

l l l

x lk x l v dm x l dx x l x l dx

l m lq l

.

Varianta 2 Aplicarea teoremei lui Carnot.

2 0Av la sfârşitul ciocnirii 2 0Ov . Iată de ce, 2 0A Ap v ; 2 0O Op v .

1 2C C CpE E E ; 2 2

1

4

3CE m l ;

22 2 2

2 1 1

1 1

2 3 6C

m lE m l

;

OA AB

Cp Cp CpE E E ; 2 21

6

OA

CpE m l ; 2

2 1

1

2

AB

CpE v v dm ;

1v x ; 2 1v x l ; 2

2

1

1

2

lAB

Cp

l

E x l x dx ;

2 3

22 2

1 13

l

l

lx l dx ;

2

3

1 1

52

3

l

l

x x l dx l ;

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

1 15 7 5 7

6 6

AB

CpE m l l l m l ;

1 2C C CpE E E ;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1

4 1 1 1 7 5

3 6 6 6 6 6m l m l m l m l m l m l

2 2 2

1 1 1

1 5 5

3 6 2m l m l

Varianta 3 Ecuaţiile lui Lagrange în cazul mişcărilor impulsive

12 1

; 1n

C C ij i

ij j j

E E rL P j k

q q q

;

22 2

1 1

1 1

2 2 3

OA

C O

m lE I q q

; 2 2

2 2 2

1 1'

2 2

AB

C C CE m v I q ;

2 2 2

2 2 2C C Cv x y ; 2

212

C

m lI

; 2 1 2'q q q ; 2 1 2'

2C

lx l cq cq ;



2 1 2'2

C

ly l sq sq ; 2 1 1 2 2' '

2C

lx l q sq q sq

; 2 1 1 2 2' '

2C

ly l q cq q cq ;

unde 2 1 2'q q q ; 1 2 2'c q q cq ; 2

2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 2' '4

C

lv l q q l q q cq ;

2 2

2 22 2 2 2 2

1 1 1 2 1 1 2 2 1 2

1 1 1 1 1

2 3 2 8 2 2 12C

m l m lE q m l q m l q q m l q q q cq q q

2

2 2 2 2

1 1 2 1 2 2 1 2

1

4 1 1

3 4 2 12

CE m lm l q m l q q m l q q cq m l q q

q

;

2 2 2

1 2 1 1 2

2

1 1 1

4 2 12

CEm l q q m l q m l q q

q

;

La ciocnire 2 20 1q cq

2 2

1 2

1 1

8 8; 0;

3 3

CEm l q m l q

q

2 2

2 1 1

1 2

5 5; 0;

6 6

CEm l q m l q

q

2 2

1 2

2 1

5 5; 0;

6 6

CEm l q m l q

q

2 2

2 1 1

2 2

1 1; 0;

3 3

CEm l q m l q

q

1q O

1q

1C

1 2' 'q

1 2q

2q

2'q1q

2C

x

y

A

B

eP

Fig. 14.13

1

l

O

2

lAP

A B 'x

'y

2C

2Cv

Fig. 4

Fig. 14.14



AP - percuţia din articulaţia A; OP - percuţia din articulaţia O; eP - percuţia activă (firul întins);

Se consideră că eP OA ; blochează bara OA . Pentru percuţia AP se poate aplica:

2 1

1

n

i

i

H H P

; CH M v ; 1 2

3

2Cv l ; 2 2

1

2Cv l

1 3 ;2

0 .

yA

xA

lm P

P

Pentru eP se aplică: 20 10

1

n

i i

I

k k r P

; 0 0T

e ex eyP P P ;

1 1 0 0 .T

OA l cq l sq

2

103

m lk k

; 20 0k

2

1 13

yA ex ey

m lP l P l sq P l cq

. (14.315)

2

1 1 1

1 11

2 6ex eyP l sq P l cq m l

.

Se calculează percuţiile generalizate 1P şi 2P

1 1 1

1

2

2

0

P

P

e ex ey

e

OAP P l sq P l cq

q

OAP

q

(14.316)

1

1 12 1

P c cE E

q q

; 2

2 22 1

P c cE E

q q

. (14.317)

2 2

1 1 1

5 8

6 3ex eym l m l P l sq P l cq sau ţinând seama de (14.315) se obţine:

2 2

1 1

5 8 1 11

6 3 2 6m l m l

; de unde: 1

5

2

l

O

''y

y

''x

x

1C

OP

eP

yAP

A1q

Fig. 14.15



Dacă se aplică a 2-a ecuaţie Lagrange, atunci rezultă direct 1 , adică:

2

1

1 50

3 6m l

; de unde: 1

5

2

Dacă se cunoaşte lungimea firului perfect întins AM şi unghiul , se poate determina eP :

Fig. 14.16

0T

e e eP P c P s ; (14.318)

1

AMsq s

l ;

22

1

1cq l AM s

l cu condiţia: l AM s ;

Se scriu următoarele relaţii:

22 2

1

5 8 1

6 3e e

AMm l P l s c P l s l AM s

l l

;

2

22

7

12e

m lP

AM c l AM s s

(14.319)

x

y

O1q

eP

A

B

M



14.8.3 În Fig. 14.17 este reprezentată structura mecanică a unui robot mobil de tipul RM2. Pentru simplificarea calcului se consideră că structura mecanică posedă două roţi motoare. Să se determine ecuaţiile diferenţiale de mişcare şi momentele motoare pentru celor două roţi.

Fig. 14.17

Soluţie. Conform celor prezentate în cadrul §14.1, (a se vedea relaţiile (14.25) –(14.30)), structura mecanică a robotului mobil de tipul RM2 este subordonată legăturilor neolonome. Parametrii independenţi, care exprimă mişcarea finită a structurii mecanice, sunt următorii:

T21pp yx . (14.320)

Conform restricţiilor cinematice de alunecare după Ry , rezultă expresia cinematică de jos:

0cysxy ppR . (14.321)

Vitezele punctelor de contact, dintre roţile motoare şi calea de rulare, se caracterizează prin:

21ppR2

rsycxx ; 21

l2

r

; (14.322)

r

l221 ,

r

l212 . (14.323)

Înlocuind succesiv expresiile (14.323) în (14.322), rezultă alte două restricţii cinematice privind vitezele punctelor de contact ale roţilor motoare. Acestea sunt scrise mai jos conform cu:

0lrsycx0lrsycx 2pp1pp ; . (14.324)

Ţinând seama de (14.321) – (14.324), sistemul celor trei restricţii cinematice este următorul:

0drd0dldysdxc

0d0drdldysdxc

0d0d0d0dycdxs

21pp

21pp

21pp

. (14.325)

0x

0y

Ry

Rx

l2C

Rx

P

C

Pv

Pr

1O

2O

1,1 r

2,2 r

0O



Există trei relaţii de legătură între cele cinci deplasări: T21pp ddddydx .

Rămân independenţi doi parametri în deplasări infinitezimale. Rezultă legături neolonome. Ecuaţiile diferenţiale de mişcare se determină cu ajutorul ecuaţiilor de tip Lagrange - Euler (LE) pentru legături neolonome. Ele sunt prezentate în §14.4.5 prin (14.108) rescrise mai jos astfel:

sT

iT

ji j

i j

s

1ii

jm

jg

j

C

j

C

0s1idtbk1jqk1j

s1ia

k1junde;aQQq

;E

q

;E

dt

d

. (14.326)

Necunoscutele în sistemul de ecuaţii diferenţiale (14.326) sunt coordonatele generalizate

Tj k1j;q şi respectiv parametrii Lagrange Ti s1i; . În cazul

acestei aplicaţii, necunoscutele sunt incluse în vectorul coloană, scris sub forma următoare:

Tij

TTT 31i;;51j;q; ; (14.327)

25143p2p1T q;q;q;yq;xq ; (14.328)

25143p2p1T ddq;ddq;ddq;dydq;dxdqd . (14.329)

Sistemul ecuaţiilor de restricţii cinematice (14.325) este substituit în sistemul de ecuaţii (14.326),

de unde, prin identificare, se obţin expresiile coeficienţilor i ja ai deplasărilor jdq . În cele ce

urmează, se vor parcurge etapele: calculul energiei cinetice a structurii mecanice; stabilirea

coeficienţilor i ja din ecuaţiile de restricţii; calculul derivatelor din ecuaţiile lui Lagrange; iar în final

scrierea ecuaţiilor diferenţiale de mişcare şi determinarea momentelor motoare ale celor două roţi. Determinarea energiei cinetice. Structura mecanică a robotului conţine platforma

A , a cărui energie cinetică este notată cu ACE şi respectiv cele două roţi motoare, pentru

care energia cinetică se notează cu 1CE şi 2

CE . Ca urmare, energia cinetică totală devine:

2C

1C

ACjjC EEE51j;q;qE . (14.330)

Conform Fig. 14.17, centrul maselor pentru platforma A este notat cu C , iar poziţia acestuia

este dată prin CR xPC . Masa platformei se notează cu AM , iar cu

CJ se notează

momentul de inerţie mecanic în raport cu axa Cz , adică: 2C

RAPC

xMJJ .

Platforma se află în mişcare plan-paralelă, iar pentru calculul energiei cinetice se aplică teorema lui Kőnig, particularizată pentru acest caz, după cum urmează:

ii*

iiT

ii2

MiCiT

iCi

iM

MMiC I

2

1vvM

2

1

31

11E

.



22C

RAP

2cA

2

C

2cA

AC xMJ

2

1vM

2

1J

2

1vM

2

1E

. (14.331)

Pentru a calcula viteza centrului maselor Cv , se scriu ecuaţiile parametrice ale centrului

maselor în raport cu sistemul 0 , iar apoi se determină derivatele în raport cu timpul, adică:

sxy

cxx

y

xr

CR

P

CR

P

C

CC ;

cxy

sxx

y

xrv

CR

P

CR

P

C

CCC

; (14.332)

de unde cysxx2xyxyxv ppcR22

cR2

p2p

2c

2c

2c . (14.333)

Înlocuind (14.333) în (14.331), expresia energiei cinetice a platformei capătă forma următoare:

2

PPPCR2

P2PA

AC J

2

1cysxx2yxM

2

1E . (14.334)

Pentru determinarea energiei cinetice 1CE şi 2

CE se aplică aceeaşi teoremă Kőnig :

ROT21C

TR21C

21C

EEE ; (14.335)

2

21O21TR21

c vM2

1E ;

2zzz

2yyy

2xxx

ROT21c III

2

1E ; (14.336)

unde componenta de rotaţie este conformă cu rotaţia în jurul unui punct fix (mişcare sferică).

Pentru determinarea vitezei centrului roţilor motoare 2

1Ov se scriu ecuaţiile parametrice:

cly

slx

y

x

P

P

1O

1O;

sly

clx

y

xv

P

P

1O

1O

1O

; (14.337)

2P

2

P2

1O2

1O2

1O slyclxyxv (14.338)

Parametrii specifici componentei de rotaţie a energiei cinetice sunt exprimaţi, mai jos, astfel:

1x ; 0y ; z ; 2

rMI

21

xx

;

4

rMI

21

zz

. (14.339)

Înlocuind (14.336)–(14.339) în (14.335), rezultă expresia energiei cinetice a celor două roţi motoare:

22

1

212

P

2

P11C

2

1

4

rMslyclxM

2

1E . (14.340)

22

2

222

P

2

P22C

2

1

4

rMslyclxM

2

1E . (14.341)

Înlocuind (14.334), (14.340) şi (14.341) în (14.330), se obţine energia cinetică totală a structurii:

22

21

2r2

R

PPCR

A2P

2P

jjC

4

rMI

2

1

cysxxMyxM2

1

51jqqE

;; ; (14.342)



2r

2r

PPR lM22

rMIzI

; rA M2MM ; 21r MMM ; (14.343)

25

24

2r2

3R

32313CR

A22

21

jjC

qq4

rMqI

2

1

cqqsqqqxMqqM2

1

51jqqE

;; . (14.344)

Calculul forţelor generalizate igQ . Ţinând seama de distribuţia forţelor gravitaţionale

pe cele trei componente ale structurii mecanice, se pot scrie expresiile vectoriale următoare:

00ji0jii z.constryqyxqxr ; 0q

z

j

i

; 0

0

y

x

g00 i

i

.

Ca urmare, forţele generalizate gravitaţionale se particularizează, luând valoarea zero, adică.

51junde;0q

rgMQ

3

1i j

iT0i

jg

. (14.345)

Calculul derivatelor din ecuaţiile de tip LE. Ţinând seama de artificiul lui Lagrange,

privind independenţa dintre şi

, asupra energiei cinetice (14.344) se aplică derivatele, astfel:

0q

E

1

C

; 33C

RA1

1

C sqqxMqMq

E

;

32333C

RA1

1

C cqqsqqxMqMq

E

dt

d

; (14.346)

0q

E

2

C

; 33C

RA2

2

C cqqxMqMq

E

;

32333C

RA2

2

C sqqcqqxMqMq

E

dt

d

; (14.347)

32313CR

A3

C sqqcqqqxMq

E

; 3R3231C

RA

3

C qIcqqsqqxMq

E

;

3323313231CR

A3R1

C sqqqcqqqcqqsqqxMqIq

E

dt

d

;(14.348)

0q

E

4

c

; 4

2r

4

c q2

rM

q

E

dt

d

;

0q

E

5

c

; 5

2r

5

c q2

rM

q

E

dt

d

. (14.349)



Coeficienţii i ja din ecuaţiile lui Lagrange-Euler se obţin din restricţiile (14.325), astfel:

r00

0r0

ll0

ssc

ccs

51j31i

51ja

a

a

a

a

a

321

321

321

321

321

Tj

j i

3

1i5ii

3

1i4ii

3

1i3ii

3

1i2ii

3

1i1ii

. (14.350)

Ecuaţiile diferenţiale de mişcare ale robotului mobil de tipul RM2 sunt următoarele:

rq2

rM

rq2

rM

lsqqcqqqxM

sqqqcqqqcqqsqqxMqJ

scsqqcqqxMqM

cscqqsqqxMqM

Q

Q

0

0

0

35

2r

24

2r

3232313cR

A

3323313231cR

A3R

32132333C

RA2

32132333C

RA1

5m

4m

; (14.351)

0

0

0

51i;q

r0lsqcq

0rlsqcq

000cqsqT

i

33

33

33

. (14.352)


BIBLIOGRAFIE

BIBLIOGRAFIE

[A01] Atanasiu, M., Mecanică, Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti, 1973. [B01] Bernstein, D.S., So, W.G., Some explicit Formulas for the Matrix Exponential, IEEE

Transaction on Automatic Control, Vol. 38, No. 8, August, 1993. [B02] Bratu, P., Mecanică teoretică, Editura Impuls, ISBN 973-8132-57-6, Bucureşti, 2006. [B03] Bulgaru, M., Enescu, N., Mecanica cu aplicaţii în inginerie, Editura Printech, ISBN973-

718-325-8, Bucureşti, 2005. [C01] Craig, J.J., Introduction to Robotics, Addison-Wesley, Amsterdam, 1989. [F01] Fu, K., Gonzales, R. and Lee, C., Robotics: Control, Sensing, Vision and Intelligence,

McGraw-Hill Book Co., International Edition, 1987. [I03] Ispas, V., Arghir, M., s.a. Mecanică, Ed. Dacia, ISBN 973-35-06-97-4, Cluj-Napoca, 1997. [L01] Lascu, B., Ladislau, B., Matematici generale, ediţia a IV-a, Inst. Pol. Cluj-Napoca, 1975. [M01] Mihăileanu, N., Istoria matematicii, vol.2, Editura științifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1981. [M02] Mangeron, M., Mecanica rigidelor cu aplicaţii în inginerie, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1978. [N01] Negrean, I., Mecanică Avansată în Robotică, Ed. UT PRESS, ISBN 978-973-662-420-9.

Cluj-Napoca, 2008. [N02] Negrean, Contribuţii la optimizarea parametrilor cinematici şi dinamici în vederea măririi

preciziei de funcţionare a roboţilor, Teză de doctorat, Cluj-Napoca, Romania, 1995. [N03] Negrean, I., Vuşcan, I., Forgo, Z., Inverse Modelling of the Kinematical Errors of

Industrial Robots, INES'97, IEEE International Conference on Intelligent Engineering Systems, Proceedings, Budapest, Hungary, September 1997, pp.135-140.

[N04] Negrean, I, Vuşcan, I, Haiduc, N, Robotică. Modelarea cinematică şi dinamică, Editura Didactică şi Pedagogică, R.A., Bucureşi, 1997.

[N05] Negrean, I., Forgo, Z., Inverse Modelling of the Dynamic Errors of Robots, INES'98, IEEE International Conference on Intelligent Engineering Systems, Proceedings, Vienna, Austria, September 1998.

[N06] Negrean, I., et al, Robotics - Kinematic and Dynamic Modelling, Editura Didactică şi Pedagogică R.A., ISBN 973-30-5958-7, Bucharest, 1998.

[N07] Negrean, I., Kinematics and Dynamics of Robots-Modelling-Experiment-Accuracy, Editura Didactică şi Pedagogică R.A., ISBN 973-30-9313-0, Bucharest, 1999.

[N08] Negrean, I., Negrean, D. C., Matrix Exponentials to Robot Kinematics, 17th International Conference on CAD/CAM, Robotics and Factories of the Future, CARS&FOF 2001, Durban, South Africa, July 2001.


BIBLIOGRAFIE

[N09] Negrean, I., Negrean, D. C., The Acceleration Energy to Robot Dynamics, International Conference on Automation, Quality and Testing, Robotics, AQTR 2002, Cluj-Napoca.

[N10] Negrean, I., Negrean, D. C., Albeţel, D. G., The Generalized Dynamics Forces to Robotics, The 8th International Conference of Applied Mathematics, Computer Science and Mechanics, May 30- June 2, 2002 Cluj-Napoca, Acta Technica Napocensis, Series: Applied Mathematics and Mechanics, 2002, Vol.1, pp.13-18.

[N11] Negrean, D. C., Albeţel, D.G., The Kinematic Control of the Mobile Robots, Proceedings, of the 7th International Conference MTeM, 2005, Cluj-Napoca, ISBN 973-9087-83-3.

[N12] Negrean, I., Vuşcan, I., New Formulation in the Applied Mechanics to Robotics, Proceedings of AQTR 2006 IEEE-TTTC (THETA 15), International Conference on Automation, Quality and Testing, Robotics, 2006, Cluj-Napoca, Romania.

[N13] Negrean, I., Formulations about the Newton’s and Euler’s Equations in Robotics, Published in the Acta Technica Napocensis, Series: Applied Mathematics and Mechanics, Vol. I, 2006, pp. 13-20, Cluj-Napoca, Romania

[N14] Negrean, I., Formulations about the Kinetic Energy Theorem in Robotics, Published in the Acta Technica Napocensis, Series: Applied Mathematics and Mechanics, Vol. I, 2006, pp. 21-26, Cluj-Napoca, Romania.

[N15] Negrean, I., Negrean, D.C., Formulation of the Fundamental Theorems in Robotics, The second International Conference, Computational Mechanics and Virtual Engineering, COMEC 2007, ISBN 978-973-598-117-4, Braşov, Romania

[P01] Popescu, P., Mecanică, Institutul Politehnic Cluj-Napoca, ISBN 973-35-0697-4, Cluj-Napoca 1981.

[P02] Popescu, P., Mecanică, Institutul Politehnic Cluj-Napoca, ISBN 973-35-0697-4, Cluj-Napoca 1978.

[P03] Pelecudi, Ch.,Precizia mecanismelor, Editura Academiei Romane, Bucureşti, 1975. [P04] Park, F.C., Computational Aspects of the Product-of-Exponentials Formula for Robot

Kinematics, IEEE Transaction on Automatic Control, Vol. 39, No. 3, 1994. [R01] Ripianu, A.,ş.a., Mecanică tehnică, Editura Didactică şi Pedagogică, București, 1982. [S01] Stoenescu Al., Ripianu, A., Culegere de probleme de mecanică teoretică, 1965. [U01] Ursu-Fischer, N., Ursu, M., Complemente de matematici cu aplicații în inginerie,

Casa Cărții de Știință, ISBN: 978-973-133-728-9, 2010. [V01 ] Voinea, R., Voiculescu, Mecanica, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983. [V02] Vâlcovici,V., Bălan, S., Mecanică teoretică, Ediția a 2-a. Editura Tehnică, București, 1963 [V03] Voinea, R., Voiculescu, D., Simion, P., Introducere în mecanica solidului cu aplicaţii

în inginerie, Editura Academiei, Bucureşti, 1989.

Documents

Mecanica 2 Material de Curs