63

Maw DekomposisiMatriks

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Maw DekomposisiMatriks
Page 2: Maw DekomposisiMatriks

i

KATA PENGANTAR

Pertama-tama tentu saja saya selaku penulis mengucapkan puji dan syukur ke hadirat

Gusti Allah SWT yang dengan rahmat dan karunianya telah menjadikan saya sebagai seorang

(mantan) mahasiswa Prodi Matematika FMIPA UGM. Sebelumnya saya ingin meminta maaf

dulu apabila kalimat pada kata pengantar ini tidak sepenuhnya merupakan kalimat baku dan

cenderung ekspresif. Maklum, penulis juga merangkap profesi sebagai seorang blogger (bisa

dilihat di http://wijna.web.id). Akan tetapi pada pembahasan mengenai Dekomposisi Matriks,

penulis menggunakan bahasa baku yang mengacu kepada standar tata-kalimat Tugas Akhir di

Prodi Matematika FMIPA UGM.

Di tahun 2007, sembari menunggu nilai-nilai ujian akhir yang tidak kunjung terpampang

di papan nilai ujian, penulis iseng-iseng membuat makalah ini. Makalah ini dibuat semata-mata

sebagai jejak peninggalan kami yang telah sukses menempuh matakuliah Aljabar Linear

Numerik yang pada masa kami diasuh oleh Pak Sutopo. Mengapa kami? Karena penulis tidak

menggunakan referensi pribadi saja dalam penyusunan makalah ini, namun juga menggunakan

makalah-makalah hasil presentasi teman-teman penulis; Noorma, Adhisti, Pipit, Ruth, dan Yoa.

Terima kasih juga untuk Hening (Math 2005) atas makalahnya yang berkaitan dengan Proyeksi.

Bagi anda yang mengambil matakuliah Aljabar Linear Numerik, semoga makalah ini bisa

menjadi salah satu media pembelajaran anda.

Yogyakarta, Agustus 2007 – Juni 2009

Wihikan "Mawi" Wijna

Page 3: Maw DekomposisiMatriks

ii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Terima Kasih Sebanyak-Banyaknya Buat Genk Chubby!

Dari Kiri ke Kanan:

Adhisti Arie Yusanti

Ruth Triaulia Napitupulu

Pipit Pratiwi Rahayu

Yoanita Dwi Harlandi

Noorma Yulia Megawati

[semuanya math 2004]

Page 4: Maw DekomposisiMatriks

iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR......................................................................................................... i

HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................................... ii

DAFTAR ISI........................................................................................................................ iii

DAFTAR SIMBOL ............................................................................................................. iv

1. Pendahuluan..................................................................................................................... 1

2. Dasar Teori....................................................................................................................... 3

3. Dekomposisi Nilai Singular............................................................................................. 10

4. Dekomposisi QR.............................................................................................................. 21

5. Dekomposisi Cholesky.................................................................................................... 34

6. Dekomposisi Schur.......................................................................................................... 46

7. Metode Least Square....................................................................................................... 53

8. Proyektor......................................................................................................................... 55

Page 5: Maw DekomposisiMatriks

iv

DAFTAR SIMBOL

: Himpunan seluruh bilangan asli, { }1, 2,3,... .

: Himpunan seluruh bilangan bulat.

: Himpunan seluruh bilangan rasional.

: Himpunan seluruh bilangan real.

: Himpunan seluruh bilangan kompleks. m n× : Himpunan seluruh matriks dengan entri-entrinya merupakan bilangan real,

memiliki sejumlah m baris, dan sejumlah n kolom. m n× : Himpunan seluruh matriks dengan entri-entrinya merupakan bilangan kompleks,

memiliki sejumlah m baris, dan sejumlah n kolom. m : Himpunan vektor dengan entri-entrinya merupakan bilangan real, berbentuk m

baris dan 1 kolom. m : Himpunan vektor dengan entri-entrinya merupakan bilangan kompleks,

berbentuk m baris dan 1 kolom. Tx : Transpose dari suatu vektor mx∈ .

*c : Transpose konjugat dari suatu vektor mc∈ . TA : Transpose dari suatu matriks mxnA∈ .

*B : Transpose konjugat dari suatu matriks mxnB∈ . 1A− : Invers suatu matriks A terhadap operasi perkalian matriks.

( )det A : Determinan matriks A.

x : Norma vektor x.

,x y : Inner-product vektor x dan y.

0 : Vektor nol.

Page 6: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

1

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Salah satu permasalahan pada bidang aljabar linear adalah menyelesaikan suatu

sistem persamaan Ax b= , untuk suatu matriks A serta vektor x dan b. Salah satu metode

yang umum digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut adalah dengan

melakukan serangkaian operasi kolom/baris elementer untuk membawa matriks A

menjadi bentuk eselon tereduksi. Namun selain cara tersebut, dapat pula digunakan cara

memfaktorkan matriks A menjadi bentuk A UV= untuk suatu matriks U dan V. Dengan

demikian sistem persamaan akan berubah menjadi ( )Ax UV x b= = . Sehingga cara yang

digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut adalah dengan menghitung

vektor y Vx= dan diharapkan sistem persamaan akan lebih mudah diselesaikan dalam

bentuk Uy b= . Teknik pemfaktoran tersebut dinamakan dekomposisi matriks.

1.2 Maksud dan Tujuan

Pada makalah ini akan dibahas mengenai jenis beserta sifat dari dekomposisi

matriks berikut; Dekomposisi Nilai Singular, Dekomposisi QR, Dekomposisi Cholesky,

dan Dekomposisi Schur. Selain itu dibahas pula mengenai metode Least Square serta

Proyeksi.

1.3 Tinjauan Pustaka

Literatur yang menjadi acuan utama dalam penulisan tugas akhir ini makalah-

makalah yang dihasilkan oleh kelompok di matakuliah Aljabar Linear Numerik pada

Semester Ganjil di tahun ajaran 2006/2007. Selain makalah kelompok tersebut,

Page 7: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

2

ditambahkan pula literatur yang diperoleh dari internet yang mayoritas bersumber dari

situs Wikipedia.

1.4 Metode Penelitian

Untuk mempelajari dekomposisi matriks terlebih dahulu dipelajari dasar-dasar

dari Aljabar Linear seperti Basis, Rank, Null, Ortogonalitas dan lain sebagainya. Untuk

memudahkan pembelajaran diharapkan pembaca menguasai dasar-dasar dari matakuliah

Aljabar Linear Elementer dan Aljabar Linear. Setelah itu pembahasan dilanjutkan

mengenai dekomposisi matriks. Bab-bab yang menjelaskan teori dekomposisi matriks,

yaitu Bab III sampai VIII masing-masing berdiri sendiri dan tidak terkait dengan bab-bab

sebelumnya.

1.5 Sistematika Penulisan

Untuk memberikan gambaran secara menyeluruh tentang masalah yang diangkat

dalam penulisan makalah ini, diberikan sistematika penulisan sebagai berikut. Bab I

merupakan pendahuluan makalah, yang meliputi latar belakang masalah, maksud dan

tujuan, tinjauan pustaka, metode penulisan, dan sistematika penulisan. Bab II berisi dasar

teori, yang meliputi dasar-dasar dari Aljabar Linear. Pada bab III dibahas pengertian dan

sifat-sifat Dekomposisi Nilai Singular. Bab IV dibahas pengertian dan sifat-sifat

Dekomposisi QR. Bab V dibahas pengertian dan sifat-sifat Dekomposisi Cholesky. Bab

VI dibahas pengertian dan sifat-sifat Dekomposisi Schur. Bab VII dibahas pengertian dan

sifat-sifat metode Least Square. Bab VIII dibahas pengertian dan sifat-sifat Proyeksi.

Page 8: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

3

BAB II

DASAR TEORI

Berikut diberikan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam

pembahasan dekomposisi suatu matriks. Pembahasan diawali dengan definisi mengenai

himpunan bilangan kompleks.

Definisi 2.1 (Himpunan Bilangan Kompleks)

Himpunan { },a bi a b= + ∈ dengan 2 1i = − disebut sebagai himpunan bilangan

kompleks. Himpunan bilangan kompleks merupakan lapangan. Lebih lanjut berlaku sifat

⊂ ⊂ ⊂ ⊂ .

Definisi 2.2 (Sekawan Bilangan Kompleks)

Diketahui suatu bilangan komples z a bi= + . Sekawan dari z adalah z a bi= − . Lebih

lanjut, berlaku sifat 2 2z zz a b= = + .

Pada matakuliah Aljabar Linear Elementer telah dibahas mengenai ruang vektor

dan basis. Berikut akan kembali dijelaskan mengenai ruang vektor, basis, dan khususnya

rank suatu matriks.

Definisi 2.3 (Basis Ruang Vektor)

Diketahui V suatu ruang vektor atas lapangan F, basis untuk V merupakan himpunan

{ }1 2, ,..., nS v v v V= ⊂ yang memenuhi kedua aksioma berikut:

(i). Himpunan S bebas linear, yaitu 1 1 2 2 ... 0n nk v k v k v+ + + = jika dan hanya jika

1 2 ... 0nk k k= = = = .

(ii). Himpunan S membangun V, untuk setiap v V∈ terdapat 1 2, ,... nk k k F∈

sehingga 1 1 2 2 ... n nv k v k v k v= + + + .

Teorema 2.4

Setiap ruang vektor V atas sebarang lapangan F memiliki basis.

Page 9: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

4

Teorema 2.5

Diketahui m nA ×∈ , maka himpunan { }nV Ax x= ∈ merupakan suatu ruang vektor

atas , dan menurut Teorema 2.4 berakibat V memiliki basis.

Definisi 2.6 (Range dan Rank)

Diketahui m nA ×∈ , maka Range A adalah himpunan { }nV Ax x= ∈ . Dimensi basis

dari V disebut dengan Rank A.

Contoh 2.7

Diketahui matriks 2 31 0 10 1 0

A ×⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

. Untuk sebarang 3

ax b

c

⎡ ⎤⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, berlaku:

21 0 10 1 0

aa c

Ax bb

c

⎡ ⎤+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= = ∈⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Dengan demikian Range A adalah 3 2

aa c

V bb

c

⎧ ⎫⎡ ⎤+⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥= ∈ ⊆⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa 2 V⊆ . Diambil sebarang 2xy⎡ ⎤

∈⎢ ⎥⎣ ⎦

, perhatikan

bahwa dapat dipilih a x y= + , b y= , dan c y= − sehingga berlaku:

21 0 1 1 0 10 1 0 0 1 0

a x yx

b yy

c y

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ∈⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. Jadi terbukti bahwa x

Vy⎡ ⎤

∈⎢ ⎥⎣ ⎦

yang

berakibat 2 V⊆ .

Karena 2V ⊆ dan 2 V⊆ , maka berlaku 2 V= dan dengan demikian banyaknya

elemen pada basis untuk V adalah 2, atau dengan kata lain Rank A adalah 2.

Page 10: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

5

Pada matakuliah Aljabar Linear Elementer juga telah diterangkan bahwa

pengertian lain dari rank suatu matriks adalah banyaknya kolom-kolom yang saling bebas

linear pada matriks bentuk eselon tereduksi. Besar harapannya bahwa pembaca juga

menambah wawasan mengenai definisi lain dari rank beserta sifat-sifat rank. Berikut

diberikan sifat rank yang disebut dengan fullrank.

Definisi 2.8 (Fullrank)

Suatu matriks m nA ×∈ dikatakan fullrank jika dan hanya jika A memetakan vektor yang

berbeda ke vektor yang berbeda pula, yaitu untuk setiap , nx y∈ dengan x y≠ berlaku

Ax Ay≠ . Definisi tersebut ekuivalen dengan untuk setiap , nx y∈ dengan Ax Ay= ,

berakibat x y= . Matriks fullrank memiliki Rank { }min ,m n= .

Contoh 2.9

Matriks A pada contoh 7 bukan merupakan matriks fullrank karena terdapat

3

1 21 , 10 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∈⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, sehingga 1 2

11 1

10 1

A A⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Teorema 2.10

Suatu matriks persegi A invertibel jika dan hanya jika A fullrank.

Disamping rank, terdapat pula pengertian mengenai null suatu matriks.

Teorema 2.11

Diketahui m nA ×∈ , maka himpunan { }0nW x Ax= ∈ = merupakan suatu ruang

vektor atas , dan menurut teorema 4 berakibat W memiliki basis.

Definisi 2.12 (Null dan Kernel)

Diketahui m nA ×∈ , maka Null A adalah himpunan { }0nW x Ax= ∈ = . Dimensi

basis dari W disebut dengan Kernel A.

Page 11: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

6

Berikut diberikan definisi mengenai transpose dan transpose konjugat.

Definisi 2.13 (Transpose)

Diketahui vektor 1

n

n

kx

k

⎡ ⎤⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. Transpose dari vektor x adalah vektor 1T nx ×∈ dengan

[ ]1T

nx k k= . Transpose dari matriks m nA ×∈ didefinisikan serupa, yaitu dengan

memandang A sebagai matriks yang dibentuk dari vektor kolom dan melakukan

transpose pada vektor kolom tersebut.

Definisi 2.14 (Transpose Konjugat)

Diketahui vektor 1

n

n

zc

z

⎡ ⎤⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. Transpose dari vektor c adalah vektor 1* nc ×∈ dengan

[ ]1* nc z z= . Transpose konjugat dari matriks m nB ×∈ didefinisikan serupa, yaitu

dengan memandang B sebagai matriks yang dibentuk dari vektor kolom dan melakukan

transpose konjugat pada vektor kolom tersebut.

Contoh 2.15

Diketahui matriks 2 30 1 23 4

iA

i i×+⎡ ⎤

= ∈⎢ ⎥−⎣ ⎦, maka

0 3* 1 4

2A i i

i

⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Page 12: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

7

Berikut diberikan definisi mengenai matriks simetri, hermitian, ortogonal, dan

uniter.

Definisi 2.16 (Matriks Simetri)

Suatu matriks persegi m mA ×∈ dikatakan simetri jika dan hanya jika TA A= .

Definisi 2.17 (Matriks Hermitian)

Suatu matriks persegi m mB ×∈ dikatakan hermitian jika dan hanya jika *A A= .

Definisi 2.18 (Matriks Ortogonal)

Suatu matriks persegi m mA ×∈ dikatakan ortogonal jika dan hanya jika 1TA A−= .

Definisi 2.19 (Matriks Uniter)

Suatu matriks persegi m mB ×∈ dikatakan uniter jika dan hanya jika 1*A A−= .

Berikut diberikan definisi mengenai matriks definit positif.

Definisi 2.20 (Matriks Definit Positif)

Suatu matriks hermitian m mA ×∈ dikatakan definit positif jika dan hanya jika untuk

sebarang vektor mx∈ , berlaku * 0x Ax > .

Contoh 2.21

Matriks 1

0i

Ai

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

bukan matriks definit positif, karena ada vektor 201⎡ ⎤

∈⎢ ⎥⎣ ⎦

sehingga

[ ] 1 00 1 0

0 1i

i⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

Page 13: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

8

Berikut akan diberikan definisi mengenai basis ortonormal. Sebelumnya, akan

didefinisikan dulu mengenai norma, inner-product, vektor ortogonal dan vektor normal

yang diberikan pada vektor-vektor di n . Karena definisi tersebut juga berlaku pada n

karena adanya hubungan n n⊂ .

Definisi 2.23 (Norma Euclid Vektor Kompleks)

Diketahui vektor 1

n

n

zc

z

⎡ ⎤⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, maka norma vektor c adalah 2 21 nc z z= + +

dengan i i iz z z= .

Definisi 2.24 (Inner-Product)

Diketahui vektor , nx y∈ , maka inner-product vektor x dan y adalah , *x y x y= .

Teorema 2.25

Diketahui vektor nx∈ , maka berlaku 2,x x x= .

Definisi 2.26 (Vektor Ortogonal)

Vektor , mx y∈ dikatakan saling ortogonal jika dan hanya jika , 0x y = .

Definisi 2.27 (Vektor Normal)

Vektor mx∈ dikatakan vektor normal jika dan hanya jika 1x = .

Definisi 2.28 (Basis Ortonormal)

Diketahui V ruang vektor atas , dan { }1 2, ,..., nS v v v= merupakan basis untuk V. Basis

S disebut Basis Ortonormal jika dan hanya jika:

(i). Setiap iv merupakan vektor normal, dan

(ii). , 0i jv v = untuk setiap ,i j dengan i j≠ .

Page 14: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

9

Berikut akan diberikan definisi mengenai nilai eigen dan vektor eigen.

Definisi 2.29 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen)

Diketahui m nA ×∈ . Bilangan kompleks λ dan vektor tak nol nx∈ yang memenuhi

persamaan Ax xλ= berturut-turut disebut nilai eigen A dan vektor eigen A. Vektor x

yang merupakan vektor eigen A, disebut juga vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai

eigen λ .

Teorema 2.30

Diketahui m nA ×∈ . Jika A merupakan matriks hermitian, maka vektor-vektor eigennya

saling ortonormal.

Teorema 2.31 (Diagonalisasi Matriks)

Diketahui m nA ×∈ . Jika A merupakan matriks hermitian, maka terdapat matriks uniter

Q sehingga berlaku *A Q Q= Λ dengan Λ merupakan matriks diagonal yang entri-

entrinya merupakan nilai eigen matriks A. Lebih lanjut, matriks Q merupakan matriks

yang dibentuk dari vektor-vektor eigen matriks A.

Untuk memahami lebih jauh mengenai sifat-sifat yang telah dipaparkan pada bab

ini, diharapkan pembaca juga mendalami topik mengenai aljabar linear yang terdapat

pada matakuliah Aljabar Linear Elementer dan Aljabar Linear.

Page 15: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

10

BAB III

DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR

Dekomposisi Nilai Singular atau yang lebih dikenal sebagai SVD (Singular Value

Decomposition) merupakan salah satu dekomposisi yang cukup terkenal. SVD berkaitan

erat dengan singular value atau nilai singular dari sebuah matriks yang merupakan salah

satu karakteristik matriks.

Definisi 3.1 (Nilai Singular)

Diketahui matriks m nA ×∈ dengan rank A = r. Diketahui juga nilai eigen dari matriks

*A A adalah sebagai berikut:

1 2 1... ... 0r r nλ λ λ λ λ+≥ ≥ ≥ > = = = .

Bilangan 2i iσ λ= , untuk setiap 1 i n≤ ≤ disebut nilai singular dari matriks A.

Teorema 3.2

Diketahui matriks m nA ×∈ dengan rank A = r. Maka terdapat tepat sejumlah r nilai

singular yang tak nol.

Bukti.

Misalkan nilai eigen dari matriks *A A adalah 1 2, ,..., nλ λ λ dengan 1 2 ... nλ λ λ≥ ≥ ≥ .

Berarti terdapat sejumlah n vektor eigen , 1, 2,3,...,ix i n= yang bersesuaian dengan nilai-

nilai eigen tersebut. Misalkan { }1 2, ,..., nx x x merupakan himpunan n vektor eigen yang

dimaksud. Diperhatikan bahwa himpunan tersebut membentuk basis ortogonal untuk n .

Jika basis ortogonal tersebut dinormalisasi akan diperoleh basis ortonormal

{ }1 2, ,..., np p p untuk n , dengan ii

i

xpx

= untuk setiap 1 i n≤ ≤ .

Karena himpunan { }1 2, ,..., np p p merupakan basis ortonormal untuk n , maka berlaku

2, 1i i ip p p= = untuk setiap 1 i n≤ ≤ , akibatnya

Page 16: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

11

( ) ( )( )( )

( )2

, *

* *

*

*

.

i i i i

i i

i i i

i i i

i i

i

Ap Ap Ap Ap

p A Ap

p p

p p

p

λ

λ

λλ

=

=

=

=

=

=

Menurut definisi nilai singular, berlaku 22i i iApσ λ= = , untuk setiap1 i n≤ ≤ . Karena

diketahui rank A = r, maka berlaku 1 2 ... 0rAp Ap Ap= = = ≠ , dan

1 2 ... 0r r nAp Ap Ap+ += = = = . Jadi diperoleh 0iσ ≠ , untuk 1,2,3,...,i r= .

Lebih lanjut, karakteristik matriks juga menentukan karakteristik dari sebuah

matriks transformasi linear. Hubungan antara prapeta dan petanya, ditentukan oleh

karakteristik matriks transformasi linear. Diperhatikan ilustrasi berikut:

Ilustrasi diatas menunjukkan bagaimana hubungan antara prapeta { }1 2,v v ketika

ditransformasikan menggunakan matriks m nA ×∈ , dengan petanya { }1 1 2 2,u uσ σ . Vektor

,u v masing-masing adalah vektor unit, sehingga dengan demikian apabila jumlah vektor

u dan v ada sebanyak n buah, maka berlaku:

i i iAv uσ= , 1 i n≤ ≤

Page 17: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

12

Dalam notasi matriks:

1

1 2 1 2

0... ... .

0n n

nV U

A v v v u u uσ

σΣ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Hubungan ini dapat pula ditulis sebagai:

.AV U= ∑

Karena V adalah matriks uniter, maka dengan mengkalikannya dengan *V dari

kanan diperoleh :

*A U V= ∑

Dengan U , matriks uniter yang dibentuk oleh vektor eigen normal matriks TAA .

Dengan V , matriks uniter yang dibentuk oleh vektor eigen normal matriks TA A .

Dengan ∑ , matriks diagonal yang entri-entrinya adalah nilai singular matriks A.

Bentuk diatas disebut dengan bentuk dekomposisi SVD.

Berikut akan dijelaskan mengenai cara untuk membentuk matriks U dan V.

Misalkan diketahui matriks m nA ×∈ dengan rank A = r. Kemudian dibentuk matriks

*A A , dan dicari nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigennya. Misalkan 1 2, ,..., nλ λ λ

merupakan nilai-nilai eigen matriks *A A dan 1 2, ,..., nv v v merupakan vektor-vektor eigen

matriks *A A dengan iv merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan iλ . Karena

*A A matriks hermitian maka vektor-vektor eigennya membentuk basis ortonormal.

Dengan demikian dapat dibentuk matriks 1 2 ... nV v v v⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

yang merupakan matriks

uniter.

Menurut definisi nilai eigen diperoleh * i i iA Av vλ= untuk setiap 1 i n≤ ≤ ,

sehingga diperoleh * * * ,i j i j j j i jv A Av v v v vλ λ= = . Menurut Teorema 3.2 ada sejumlah

r nilai singular yang tidak nol. Dengan demikian, untuk nilai positif jλ dengan

1,2,...,j r= , dapat definisikan j jσ λ= dan dibentuk vektor 1j j

j

u Avσ

= . Diperhatikan

Page 18: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

13

bahwa ( ) ( )*1 1 1, * * * ,j ji j i j i j i j i j

i j i j i j i j

u u Av Av v A Av v v v vλ λ

σ σ σ σ σ σ σ σ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

dan,

(i). Untuk i j≠ , diperoleh , 0i jv v = dan akibatnya

, , 0 0j ji j i j

i j i j

u u v vλ λ

σ σ σ σ= = ⋅ = .

(ii). Untuk i j= , diperoleh , 1i jv v = dan akibatnya

, , 1j ji i i j

i j i j

u u v vλ λσ σ σ σ

= = = .

Dari (i) dan (ii), berakibat himpunan { }1 2, ,..., ru u u merupakan basis ortonormal.

Dibentuk matriks uniter U, dan V yang masing-masing dibangun oleh vektor-vektor eigen

u dan v, Maka diperoleh :

( )0

* *,i jij

j i j

j rU AV u Av

u u j rσ

>⎧⎪= = ⎨ ≤⎪⎩

Sehingga *U AV = ∑ atau dengan kata lain *A U V= ∑ .

Secara umum berikut algoritmanya.

Algoritma 3.3 (Algoritma Dekomposisi Nilai Singular)

Input : Matriks m nA ×∈ dengan rank A = r.

Output : Matriks uniter U,V dan matriks singular ∑ sehingga *A U V= ∑ .

1. Dibentuk matriks *A A dan tentukan sejumlah r nilai singular tak nolnya.

Misalkan { }1 2, ,..., rσ σ σ merupakan nilai-nilai singular tak nol matriks *A A

dengan 1 2 1... ... 0r r nσ σ σ σ σ+≥ ≥ ≥ > = = = .

2. Dibentuk matriks diagonal 1 0

0 n

σ

σ

⎡ ⎤⎢ ⎥∑ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Page 19: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

14

3. Dicari himpunan vektor eigen matriks *A A. Misalkan { }1 2, ,..., nv v v

merupakan vektor-vektor eigen matriks *A A dengan iv merupakan vektor

eigen yang bersesuaian dengan iλ .

4. Dibentuk matriks uniter 1 2 ... nV v v v⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

5. Dibentuk himpunan vektor { }1 2, ,..., nu u u dengan 1i i

i

u Avσ

= untuk setiap

1 i n≤ ≤ .

6. Dibentuk matriks uniter 1 2 ... nU u u u⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Contoh 3.4

Diketahui matriks 1 10

0A i

i

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

, akan dicari bentuk dekomposisi SVD-nya.

Dibentuk matriks 1 1

1 0 2 1* 0

1 0 1 20

iA A i

ii

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Diketahui nilai eigen matriks *A A adalah 1 23 dan 1λ λ= = .

Kemudian dibentuk matriks singular, 3 00 1

⎡ ⎤∑ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦.

Nilai-nilai eigen 1 23, 1λ λ= = masing-masing berkorespondensi dengan vektor eigen

1

22

22

v⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

dan 2

22

22

v⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

. Himpunan vektor-vektor eigen tersebut ortonormal

sehingga dapat dibentuk matriks uniter V sebagai berikut:

[ ]1 2

2 22 2

2 22 2

V v v⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

Page 20: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

15

Kemudian untuk matriks U yang dibentuk dari 1i i

i

u Avσ

= , diperoleh :

1

636

66

6

u i

i

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

dan 2

0

222

2

u i

i

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

. Kemudian dibentuk matriks uniter U :

[ ]1 2

6 036 2

6 26 2

6 2

U u u i i

i i

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Sehingga bentuk SVD dari matriks A adalah :

ˆ*

ˆ

6 031 1 2 26 2 3 0 2 20

6 2 0 1 2 20 2 26 26 2

V

U

A i i ii

i i∑

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Diperhatikan matriks uniter 3 2xU ∈ , agar matriks unitary U ini menjadi matriks persegi

berukuran 3x3 harus ditambah satu kolom lagi. Namun vektor yang menyusun kolom

tambahan tersebut haruslah ortonormal dengan vektor kolom lainnya. Karena itu dipilih

sebarang vektor yang memenuhi syarat tersebut.

Page 21: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

16

Diambil 3

33

33

33

u

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

, sehingga menjadikan matriks

6 6 30 0 33 36 2 6 2 3

36 2 6 26 2 6 2 3

36 2 6 2

U i i i i

i i i i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Namun akibatnya matriks singular ∑ harus menambah jumlah baris agar mengimbangi

jumlah kolom tambahan pada matriks unitary U. Karena baris tambahan pada matriks

singular ∑ harus tetap menjadikan hasil perkalian ˆU ∑ sama seperti ketika matriks

unitary U belum bertambah jumlah kolomnya, maka baris tambahan pada matriks

singular ∑ harus dibentuk oleh vektor 0. Sehingga :

*

6 30 331 1 3 0 2 26 2 2 230 0 136 2 2 20 0 0 2 26 2 3

36 2V

U

A i i ii

i i ∑

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥−− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Bentuk ini dinamakan bentuk SVD penuh karena matriks unitary U dan V masing-

masing berupa matriks persegi. Sedangkan bentuk SVD sebelumnya dinamakan bentuk

SVD tereduksi. Bila diperhatikan ada perbedaan notasi “bertopi” yakni &U ∑ serta

ˆˆ &U ∑ . Notasi topi digunakan untuk menandai matriks dekomposisi dalam bentuk

tereduksi.

Page 22: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

17

Berikut merupakan beberapa sifat yang ada pada SVD.

Teorema 3.5

Diketahui m nA ×∈ dengan rank A = r , maka Range A = { }1 2, ,..., rspan u u u , dan Null A

= { }1 2, ,...,r r nspan v v v+ + .

Bukti.

Dari SVD diperoleh bentuk *U AV AV U= ∑ ⇔ = ∑ .

Karena rank A = r, maka terdapat tepat sejumlah r nilai singular tak nol. Sehingga, Range

A adalah U ∑ .

[ ] [ ]1

1 2 1 1 2 2... ...n n n

n

U u u u u u uσ

σ σ σσ

⎡ ⎤⎢ ⎥∑ = =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Bila terdapat n nilai singular maka 1 ... 0r nσ σ+ = = = , berakibat 1 1 ... 0r r n nu uσ σ+ + = = = .

Sehingga [ ]1 1 ... 0 ... 0r rU u uσ σ∑ = dan dengan demikian berlaku

Range A = { }1 2, ,..., rspan u u u .

Sebaliknya untuk matriks AV , karena Range A = { }1 2, ,..., rspan u u u berakibat

[ ] [ ] [ ]1 2 1 1 1 1... ... ... ... 0 ... 0n r r n r rAV A v v v Av Av Av Av u uσ σ+= = =

Hal ini berarti 0iAv = , untuk 1,...,i r n= + . Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa

Null A = { }1 2, ,...,r r nspan v v v+ + .

Teorema 3.6

Nilai singular tak nol dari matriks m nA ×∈ adalah akar pangkat dua ( 2 ) dari nilai

eigen matriks *A A atau *A A (nilai eigen dari kedua matriks ini sama).

Bukti

Menurut SVD tereduksi, diperoleh bentuk *A U V= ∑ , sehingga dengan demikian:

( ) ( ) ( )* * * * * * * * *A A U V U V V U U V V V= ∑ ∑ = ∑ ∑ = ∑ ∑ .

Page 23: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

18

Diperhatikan bahwa matriks V adalah matriks uniter dan menurut teorema diagonalisasi

berakibat matriks *A A dan *∑ ∑ similar. Akibatnya matriks *A A dan *∑ ∑ memiliki

persamaan karakteristik yaitu nilai eigen yang sama. Nilai eigen matriks tak nol matriks

*∑ ∑ tidak lain adalah 2 2 21 2, ,..., rσ σ σ . Hal serupa berlaku juga untuk

( )( ) ( )* * * * * * * * *AA U V U V U V V U U U= ∑ ∑ = ∑ ∑ = ∑∑ .

Teorema 3.7

Nilai singular dari matriks hermitian n nA ×∈ adalah harga mutlak nilai eigen dari

matriks A.

Bukti.

Menurut Teorema 2.31, diketahui bahwa matriks A dapat disajikan sebagai *A Q Q= Λ ,

dengan matriks Q adalah matriks uniter yang dibentuk dari vektor-vektor eigen matriks

A. Serta matriks Λ yang merupakan matriks diagonal persegi dengan entri-entrinya nilai

eigen dari matriks A. Karena nilai eigen matriks A bisa positif maupun negatif sehingga

( )( ) *A Q sign Q= Λ Λ

dengan matriks ( )sign Λ adalah matriks diagonal persegi yang entri-entrinya adalah 1

atau -1, tergantung dari entri matriks Λ yang bersesuaian dengannya. Dengan demikian

matriks ( )sign Λ merupakan matriks uniter.

Misalkan ( )( ) *V sign Q= Λ , maka matriks V ini masih merupakan matriks uniter karena

( )( ) ( )* ( ) * * ( ) *V sign Q Q sign= Λ = Λ , sehingga

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )* ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * *VV sign Q Q sign I Q sign sign Q V V= Λ Λ = = Λ Λ = .

Jadi, diperoleh bentuk A Q V= Λ dengan ( )( ) *V sign Q= Λ merupakan matriks uniter.

Bentuk ini tidak lain adalah bentuk SVD dan dengan demikian nilai singular matriks A

adalah entri-entri matriks Λ .

Page 24: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

19

Teorema 3.8

Harga mutlak determinan dari matriks persegi mxmA∈ , yaitu ( )det A , adalah

perkalian semua nilai singular matriks A.

Bukti.

Jika Q merupakan matriks uniter maka *QQ I= , sehingga dengan demikian berlaku

( ) ( ) ( ) ( )det det * det * det 1Q Q QQ I= = = atau dengan kata lain

( ) ( )det det * 1Q Q= = . Menurut SVD, matriks A dapat disajikan sebagai *A U V= ∑ .

Karena U dan *V matriks uniter, maka berlaku ( ) ( )det det * 1U V= = sehingga dengan

demikian

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

det det *

det det det *

det .

A U V

U V

= ∑

= ∑

= ∑

Karena matriks ∑ merupakan matriks diagonal dengan entri-entrinya merupakan nilai

singular, yaitu merupakan bilangan positif atau nol, maka berlaku ( ) ( )det det∑ = ∑ dan

nilai determinannya merupakan perkalian nilai-nilai singular matriks A.

Teorema 3.9

Jika matriks m nA ×∈ fullrank, maka SVD dari matriks A tunggal.

Bukti.

Diperhatikan bahwa jika matriks A fullrank maka setiap nilai singularnya akan bernilai

positif. Sebaliknya, jika matriks A tidak fullrank maka salah satu nilai singularnya akan

bernilai nol. Hal tersebut berkaitan dengan determinan *A A ataupun *AA yang bernilai

nol jika matriks A tidak fullrank.

Akibatnya apabila matriks A tidak fullrank, maka pada saat pembentukan matriks uniter

U, vektor 1j j

j

u Avσ

= (untuk suatu nilai j) tidak akan terdefinisi karena jσ bernilai 0.

Karenanya dipilih sebarang vektor yang ortonormal dengan vektor u yang lain, dan

Page 25: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

20

berakibat matriks U tidak tunggal. Berbeda jika matriks A fullrank, maka setiap vektor

1j j

j

u Avσ

= , akan selalu terdefinisi, sehingga matriks U tunggal. Akibatnya SVD dari

matriks A tunggal.

Page 26: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

21

BAB IV

DEKOMPOSISI QR

Untuk memulai pembahasan mengenai dekomposisi QR, terlebih dahulu dibahas

mengenai eksistensi basis ortonormal dari suatu ruang vektor m . Diperhatikan teorema

berikut.

Teorema 4.1

Ruang vektor m atas memiliki basis ortonormal.

Menurut Teorema 2.4, ruang vektor m memiliki basis dan menggunakan algoritma

Gram-Schmidt, dapat dibentuk suatu basis ortonormal dari suatu basis ruang vektor.

Berikut algoritma Gram-Schmidt yang dimaksud.

Algoritma 4.2 (Algoritma Gram-Schmidt 1)

Input : Ruang vektor m dengan basisnya { }1 2, ,..., nv v v .

Output : Basis ortonormal { }1 2, ,..., nq q q untuk ruang vektor m .

1. Dibentuk 11

1

vqv

= .

2. Untuk 2,3,4,...,i n= dibentuk

1 1 2 2 1 1

1 1 2 2 1 1

, , ... ,, , ... ,

i i i i i ii

i i i i i i

v q v q q v q q v qq

v q v q q v q q v q− −

− −

− − − −=

− − − −.

Page 27: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

22

Contoh 4.3

Misalkan diketahui 3 memiliki basis 1 2 00 , 0 ,

0 1

ii

i

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

.

Misalkan 1 2

1 20 , 0

0

iv v

i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dan 3

0

1v i

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

i. Karena ( )21 1 1* 1 0 1 0 1 2v v v i i= = + + − = + + = , maka

11

1

22

0

22

vqv

i

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

ii. Karena

( )2 1 2 1

2 2 22 2 22 2 2, 0 0 , 0 0 0 2 0

0 0 02 2 22 2 2

i i iv q v q i

i i i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

20 0 00 1 1

i i i−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dan ( ) 22 1 2 1, 0 1 1 0 1 2v q v q i i− = − + + = + + = ,

maka 2 1 2 12

2 1 2 1

22,0

,2

2

iv q v q

qv q v q

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−

= = ⎢ ⎥− ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Page 28: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

23

iii. Karena

3 1 3 1 2 3 2

220 2 22 2, , 0 02 2

1 2 222

i

v q v q q v q i i

i

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− − = − − − − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 02 20 0

1 1 1 02 2

i i

i i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dan

( )( )3 1 3 1 2 3 2, , 0 0 0 1 0 1v q v q q v q i i− − = + − + = + + =

maka 3 1 3 1 2 3 23

3 1 3 1 2 3 2

0, ,, ,

0

v q v q q v qq i

v q v q q v q

⎡ ⎤− − ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥− −

⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Dari poin i, ii, dan iii diperoleh basis ortonormal untuk 3 adalah

22 02 20 , 0 ,

02 222

i

i

i

⎧ ⎫⎡ ⎤⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪

⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

.

Akan tetapi algoritma Gram-Schmidt diatas terbatas dengan inputnya yang

merupakan basis dari suatu ruang vektor. Bagaimanakah jika syarat basis diperlemah

dengan hanya menjadi himpunan pembangun, yaitu dengan menghilangkan syarat bebas

linearnya. Diperhatikan bahwa, jika syarat bebas linear dihilangkan maka dapat muncul

kemungkinan 1 1 2 2 1 1, , ... , 0i i i i i iv q v q q v q q v q− −− − − − = untuk suatu nilai i,

Page 29: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

24

akibatnya vektor iq tidak dapat didefinisikan. Dengan demikian harus dicari suatu vektor

lain, misalkan vektor q , yang merupakan vektor normal dan ortogonal dengan

1 2 1, ,..., iq q q − vektor yang lain. Vektor q ini dapat dipilih sebagai sebarang vektor yang

tidak dibangun oleh 1 2 1, ,..., iq q q − pada ruang vektor yang sama yang kemudian

diortonormalkan. Berikut merupakan algoritma Gram-Schmidt untuk himpunan

pembangun.

Algoritma 4.4 (Algoritma Gram-Schmidt 2)

Input : Ruang vektor m dengan himpunan pembangun { }1 2, ,..., nv v v .

Output : Basis ortonormal { }1 2, ,..., nq q q untuk ruang vektor m .

1. Dibentuk 11

1

vqv

= .

2. Untuk 2,3,4,...,i n= dibentuk

1 1 2 2 1 1

1 1 2 2 1 1

, , ... ,, , ... ,

i i i i i ii

i i i i i i

v q v q q v q q v qq

v q v q q v q q v q− −

− −

− − − −=

− − − −

3. Jika 0iq = , maka pilih sebarang vektor mq∈ yang bukan merupakan

kombinasi linear dari vektor 1 2 1, ,..., iq q q − dan dibentuk

1 1 2 2 1 1

1 1 2 2 1 1

, , ... ,, , ... ,

i ii

i i

q q q q q q q q q qq

q q q q q q q q q q− −

− −

− − − −=

− − − −.

Contoh 4.5

Misalkan diketahui 3 memiliki himpunan pembangun 1 0 00 , 0 , 0

1i i

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

.

Misalkan 1 2

1 00 , 0

1v v

i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dan 3

00vi

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Page 30: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

25

i. Karena ( )21 1 1* 1 0 1 0 1 2v v v i i= = + + − = + + = , maka

11

1

22

0

22

vqv

i

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

ii. Karena

2 1 2 1

2 2 20 0 02 2 22, 0 0 , 0 0 0 02

1 1 12 2 22 2 2

v q v q i

i i i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 2 20 0 01 1 1

2 2

i i⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dan 2

2 1 2 11 1 1 2, 0 0

2 2 2 4 4 2i iv q v q −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

maka 2 1 2 12

2 1 2 1

22,0

,2

2

iv q v q

qv q v q

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−

= = ⎢ ⎥− ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

iii. Karena

3 1 3 1 2 3 2

220 2 22 2, , 0 0 0222 2

22

i

v q v q q v q ii

i

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− − = − − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Page 31: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

26

1 10 02 20 0 0 0

02 2

i i i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, maka harus dipilih vektor 3q∈ dengan q merupakan

vektor normal dan ortogonal dengan 1q dan 2q . Dengan demikian dapat dipilih

3

0

0q q i

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Dari poin i, ii, dan iii diperoleh basis ortonormal untuk 3 adalah

22 02 20 , 0 ,

02 222

i

i

i

⎧ ⎫⎡ ⎤⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪

⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

.

Kemdian, misalkan diketahui matriks m nA ×∈ . Diperhatikan bahwa matriks A

dapat disajikan sebagai matriks yang dibentuk dari vektor-vektor kolom, yaitu

1 2 ... nA a a a⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

dengan mia ∈ . Menurut Teorema 2.5, diketahui bahwa

himpunan { }n mV Ax x= ∈ ⊆ merupakan suatu ruang vektor atas . Untuk sebarang

v V∈ , maka 0v Ax= untuk suatu 1

0n

n

zx

z

⎡ ⎤⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, dengan kata lain

0 1 1 2 2 n nv Ax a z a z a z= = + + + dengan 1 2, ,..., nz z z ∈ . Karena V merupakan ruang

vektor bagian dari m dan karena menurut Teorema 4.1 m memiliki basis ortonormal,

maka V juga memiliki basis ortonormal.

Page 32: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

27

Misalkan { }1 2, ,..., mnq q q ⊆ merupakan basis ortonormal untuk V. Karena

1 2, ,..., mna a a ∈ , maka 1 2, ,..., na a a dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari basis

ortonormal tersebut, yaitu:

1 1 11 2 21 1

2 1 12 2 22 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n n nn

a q r q r q ra q r q r q r

a q r q r q r

= + + += + + +

= + + +

, dengan ijr ∈ .

Menggunakan Algoritma Gram-Schmidt 2 (Algoritma 4.4) jumlah konstanta ijr dapat

diminimalkan, yaitu dengan mendapatkan basis ortonormal { }1 2, ,..., nq q q dari himpunan

pembangun { }1 2, ,..., na a a . Dengan demikian diperoleh:

11

1

2 1 2 12

2 1 2 1

1 1 2 2 1 1

1 1 2 2 1 1

,,

, , ... ,.

, , ... ,n n n n n n

nn n n n n n

aqa

a q a qq

a q a q

a q a q q a q q a qq

a q a q q a q q a q− −

− −

=

−=

− − − −=

− − − −

Vektor-vektor persamaan diatas dapat dipindah posisi sehingga persamaan diatas menjadi

seperti berikut:

1 1 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 2 2 1 1

, ,

, , , , ... , ,n n n n n n n n n n n n

a a q

a q a q a q a q q

a q a q q a q a q a q q a q q a q q− − − −

=

= + −

= + + + − − − −

atau dengan kata lain

1 1 11

2 1 12 2 22

1 1 1 1 ,n n n n n n nn

a q ra q r q r

a q r q r q r− −

== +

= + + +

Page 33: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

28

dengan

1 1 2 2 1 1

, ,

, , ... , ,

0 ,

i j

ij j j j j j j

q a i j

r a q a q q a q q a q i j

i j− −

< > <⎧⎪

= − < > − < > − − < > =⎨⎪ >⎩

.

Dalam notasi matriks:

11 1

1 2 1 2... ...n

n n

nnQ R

r rA a a a q q q

r

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Hubungan ini dapat pula ditulis sebagai:

.A QR=

Dengan Q , matriks uniter yang dibentuk oleh basis ortonormal { }1 2, ,..., nq q q .

Dengan R, matriks segitiga atas yang dibentuk oleh nilai ijr .

Secara umum berikut algoritmanya.

Algoritma 4.6 (Algoritma Dekomposisi QR)

Input : Matriks m nA ×∈ .

Output : Matriks uniter Q dan matriks segitiga atas R sehingga A QR= .

1. Matriks A dimisalkan sebagai matriks yang dibentuk dari vektor-vektor kolom,

yaitu 1 2 ... nA a a a⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, dengan mia ∈ .

2. Dibentuk basis ortonormal { }1 2, ,..., nq q q dari himpunan { }1 2, ,..., na a a dengan

menggunakan Algoritma Gram-Schmidt 2 (Algoritma 4.4).

3. Dibentuk matriks uniter 1 2 ... nQ q q q⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Page 34: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

29

4. Dibentuk matriks segitiga atas 11 1n

nn

r rR

r

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

dengan

1 1 2 2 1 1

, ,

, , ... , ,

0 ,

i j

ij j j j j j j

q a i j

r a q a q q a q q a q i j

i j− −

< > <⎧⎪

= − < > − < > − − < > =⎨⎪ >⎩

.

Contoh 4.7

Diketahui matriks 3 2

1 0

0 1A i i ×

⎡ ⎤⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, akan dicari bentuk dekomposisi QR-nya.

Matriks A dapat dinyatakan ke dalam bentuk matriks kolom [ ]1 2A a a= , dengan

1

1

0a i

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

dan 2

0

1a i

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. Menurut Algoritma Gram-Schmidt 2 (Algoritma 4.4) diperoleh:

i. Karena ( )21 1 0 2a i i= + − + = , maka

11

1

22

220

aq ia

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

ii. Karena 2 1 2 1

2 2 22 2 20 0 0

2 2 2 2, ,2 2 2 2

1 1 10 0 0

a q a q i i i i i i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − = − ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 12 20

2 21 0 1

i ii

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dan 2 1 2 11 1 3, 14 4 2

a q a q− = + + = ,

Page 35: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

30

maka 2 1 2 12

2 1 2 1

66

, 66,

2 66

a q a qq i

a q a q

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥= =⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

iii. Karena diperlukan satu vektor ortonormal lagi, maka dipilih vektor 3

001

q⎡ ⎤⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

dan vektor tersebut diortonormalkan. Karena

1 1 2 2

62620

2 62 6, , 0 0 62 61 0 2 6

6

q q q q q q q i i

⎡ ⎤⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − = − ⋅ − ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

6 118 30

6018 3

1 6 1318

ii

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

dan 1 1 2 21 1 1 3, ,9 9 9 3

q q q q q q q− − = + + =

maka 1 1 2 23

1 1 2 2

33

, , 33, ,3

3

q q q q q q qq i

q q q q q q q

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎢ ⎥= =⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Dari poin i, ii, dan iii dapat dibentuk matriks Q, yaitu

6 322 6 3

2 6 32 6 3

2 6 30 6 3

Q i i i

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Page 36: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

31

Karena diperoleh

1 2a =

1 22,

2q a = 2 1 2 1

3,2

a q a q− =

maka dapat dibentuk matriks R, sebagai berikut

22 2302

0 0

R

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Jadi, diperoleh bentuk dekomposisi

6 32 222 6 3 21 02 6 3 30

2 6 3 20 10 02 6 30 6 3

A

RQ

i i i i i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

.

Bentuk dekomposisi diatas disebut sebagai bentuk QR Penuh, karena matriks Q

merupakan matriks persegi. Sedangkan bentuk dekomposisi

ˆ

ˆ

622 6 21 0 2 22 6

32 6 00 1 22 60 6A

R

Q

i i i i

⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

.

disebut sebagai bentuk QR Tereduksi, karena matriks Q bukan merupakan matriks

persegi.

Page 37: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

32

Berikut merupakan beberapa sifat yang ada pada Dekomposisi QR.

Teorema 4.8

Setiap matriks m nA ×∈ memiliki bentuk dekomposisi QR.

Bukti.

Menurut Teorema 4.1 dan Algoritma Gram-Schmidt 2 (Algoritma 4.4), ruang vektor

{ }n mV Ax x= ∈ ⊆ memiliki basis ortonormal dan dengan demikian terjamin

eksistensi dari matriks Q. Sedangkan matriks R dapat dibentuk dari konstanta-konstanta

dari kombinasi linear basis ortonormal terhadap vektor-vektor kolom matriks A.

Teorema 4.9

Setiap matriks m nA ×∈ memiliki dekomposisi QR penuh dan tidak setiap bentuk

dekomposisi QR penuh tunggal.

Bukti.

Bukti merupakan akibat dari Algoritma Dekomposisi QR (Algoritma 4.6) yang selalu

menghasilkan matriks Q sebagai matriks persegi, yaitu dengan penggunaan Algoritma

Gram-Schmidt 2 (Algoritma 4.4). Kemungkinan tidak tunggal sebagai akibat dari

langkah ke-3 pada Algoritma Gram-Schmidt 2 (Algoritma 4.4), yaitu pengambilan

sebarang vektor untuk diortonormalkan.

Teorema 4.10

Setiap matriks m nA ×∈ dengan m n≥ yang non-singular memiliki dekomposisi QR

tereduksi yang tunggal dan diagonal utamanya matriks R merupakan bilangan positif.

Bukti.

Karena matriks A non-singular, akibatnya matriks A fullrank, yaitu setiap vektor

kolomnya bukan merupakan kombinasi linear dari vektor kolom yang lain. Sehingga

kasus vektor 1 1 2 2 1 1, , ... , 0i i i i i iv q v q q v q q v q− −− − − − = untuk suatu nilai i tidak akan

terjadi. Dengan demikian tidak ada pengambilan sebarang vektor yang ortonormal pada

Algoritma Gram-Schmidt 2 (Algoritma 4.4) di langkah ke-3. Karena itu bentuk QR

tereduksinya adalah tunggal.

Page 38: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

33

Terkahir, jelas diagonal utama dari matriks R adalah bilangan positif. Sebab diagonal

utama matriks R adalah nilai 1 1 2 2 1 1, , ... ,j j j j j ja q a q q a q q a q− −− < > − < > − − < > ,

dimana nilainya akan selalu positif.

Page 39: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

34

BAB V

DEKOMPOSISI CHOLESKY

Khusus untuk matriks hermitian yang definit positif dapat didekomposisi menjadi

perkalian dari dua matriks segitiga, dimana masing-masing merupakan konjugat

transpose yang lain. Dekomposisi tersebut dinamakan dekomposisi Cholesky.

Pembahasan dekomposisi Cholesky dimulai dengan sifat-sifat pada matriks hermitian dan

matriks definit positif.

Teorema 5.1

Entri-entri diagonal utama suatu matriks hermitian adalah bilangan real.

Bukti.

Entri diagonal pada suatu matriks hermitian merupakan bilangan kompleks yang apabila

dikonjugatkan tetap merupakan bilangan itu sendiri. Dengan demikian bilangan tersebut

tidak boleh memiliki komponen imajiner, dan akibatnya bilangan tersebut haruslah

bilangan real.

Teorema 5.2

Diketahui m mA ×∈ merupakan matriks hermitian yang definit positif dan m nQ ×∈ merupakan matriks fullrank dengan m n≥ , maka matriks *Q AQ juga

merupakan matriks hermitian yang definit positif.

Bukti.

Matriks *Q AQ merupakan matriks hermitian, karena ( * )* * * *Q AQ Q A Q Q AQ= = .

Juga definit positif, karena untuk sembarang vektor nx∈ dengan 0x ≠ , berlaku

0Qx ≠ dan akibatnya *( * ) ( )* ( ) 0x Q AQ x Qx A Qx= > .

Page 40: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

35

Teorema 5.3

Entri-entri diagonal utama matriks hermitian yang definit positif adalah bilangan real

positif.

Bukti.

Misalkan m mA ×∈ merupakan matriks hermitian yang definit positif. Menurut Teorema

5.1, berakibat entri-entri diagonal utama A adalah bilangan real. Sehingga tinggal

dibuktikan bahwa bilangan real tersebut positif. Kemudian dipilih matriks 1miQ ×∈ ,

yaitu 1

i

m

aQ

a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

dengan 0ja = untuk j i≠ dan 1ja = untuk j i= . Dengan demikian

untuk setiap 1 i m≤ ≤ , iQ merupakan vektor satuan baku pada m . Matriks iQ

merupakan matriks fullrank, dan menurut Teorema 5.2 berakibat * 0i i iiQ AQ a= > untuk

setiap 1 i m≤ ≤ . Jadi, terbukti bahwa entri-entri diagonal utama A adalah bilangan real

positif.

Proses dekomposisi Cholesky mengacu kepada proses Eliminasi Gauss. Berikut

akan dibahas mengenai hal-hal terakait dengan Eliminasi Gauss.

Definisi 5.4 (Matriks Elementer)

Matriks persegi m mR ×∈ disebut matriks elementer jika matriks tersebut dapat

diperoleh dari matriks identitas m mI ×∈ dengan melakukan operasi baris (kolom)

elementer tunggal.

Lemma 5.5

Setiap matriks elementer memiliki invers, dan inversnya juga merupakan matriks

elementer. Hal yang serupa juga berlaku untuk transpose dari sebarang matriks

elementer.

Lemma 5.6

Setiap matriks elementer merupakan matriks fullrank dan hasil kali matriks-matriks

elementer juga merupakan matriks fullrank.

Page 41: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

36

Contoh 5.37

Diketahui matriks identitas 3 3

1 0 00 1 00 0 1

I ×

⎡ ⎤⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, maka:

i. Matriks 1

0 1 01 0 00 0 1

R⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, merupakan matriks elementer karena merupakan hasil

operasi baris elementer dari matriks I dengan menukar baris pertama dengan

kedua.

ii. Matriks 2

1 0 00 2 00 0 1

R⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, merupakan matriks elementer karena merupakan hasil

operasi baris elementer dari matriks I dengan mengalikan baris kedua dengan

suatu skalar, yaitu 2.

iii. Matriks 3

1 0 00 1 00 2 1

R⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, merupakan matriks elementer karena merupakan hasil

operasi baris elementer dari matriks I dengan menjumlahkan baris ketiga dengan

kelipatan baris kedua.

iv. Matriks 4

2 0 00 2 00 0 2

R⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, bukan merupakan matriks elementer karena untuk

menghasilkan matriks 4R dari matriks I menggunakan operasi baris (kolom)

elementer memerlukan sekurang-kurangnya tiga kali operasi.

Lemma 5.8

Diketahui matriks m nA ×∈ dan matriks ' m nA ×∈ sebagai hasil operasi baris (kolom)

elementer tunggal terhadap matriks A, maka terdapat matriks elementer , ' n nR R ×∈

sehingga ' 'A R A= dan 'A RA= .

Page 42: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

37

Definisi 5.9(Matriks Bentuk Eselon Baris)

Matriks persegi m mA ×∈ dengan 11 1

1

m

m mm

a aA

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

dikatakan dalam bentuk eselon

baris jika dan hanya jika 0ija = untuk i j> .

Contoh 5.10

Matriks 2 0 30 0 10 0 4

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

merupakan matriks dalam bentuk eselon baris.

Definisi 5.11 (Matriks Bentuk Eselon Kolom)

Matriks persegi m mA ×∈ dengan 11 1

1

m

m mm

a aA

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

dikatakan dalam bentuk eselon

kolom jika dan hanya jika 0ija = untuk j i> .

Contoh 5.12

Matriks 2 0 0

5 00 0

A ii

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

merupakan matriks dalam bentuk eselon kolom.

Definisi 5.13 (Eliminasi Gauss)

Diketahui matriks persegi m mA ×∈ . Eliminasi Gauss adalah serangkaian operasi baris

(kolom) elementer yang dilakukan terhadap matriks A sehingga menghasilkan matriks

dalam bentuk eselon baris (kolom).

Page 43: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

38

Contoh 5.14

Misalkan diketahui matriks 1 0 0

20 2 4

A i i⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

yang bukan merupakan matriks dalam bentuk

eselon baris. Akan dilakukan Eliminasi Gauss pada matriks A sehingga menghasilkan

matriks eselon baris dengan langkah-langkah sebagai berikut:

i. Baris kedua dikurangi dengan kelipatan i dari baris pertama dan menghasilkan

matriks 1

1 0 00 20 2 4

A i⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

dan matriks elementer 1

1 0 01 0

0 0 1R i

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

sehingga

berlaku 1 1A R A= .

ii. Baris ketiga dikurangi dengan baris kedua dan menghasilkan matriks

2

1 0 00 20 0 4

A ii

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

dan matriks elementer 2

1 0 00 1 00 1 1

R⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

sehingga

berlaku 2 2 1A R A= .

Matriks 2A merupakan matriks dalam bentuk eselon baris, sehingga diperoleh

2 2 1 2 1A R A R R A= = .

Dari Contoh 5.14, Eliminasi Gauss juga menghasilkan matriks-matriks elementer

1 2, ,..., kR R R untuk suatu k ∈ , sehingga 1 2 1' k kA R R R R A−= dengan 'A merupakan

bentuk eselon baris matriks A. Hal serupa juga berlaku bagi bentuk eselon kolom.

Proses dekomposisi Cholesky adalah menggunakan Elimininasi Gauss, yaitu

dengan menghasilkan matriks eselon baris kemudian matriks eselon kolom berturut-turut

dan berulangkali sehingga pada akhirnya akan diperoleh matriks eselon baris sekaligus

eselon kolom yang berupa matriks identitas. Berikut akan dijelaskan tahapan demi

tahapan dekomposisi Cholesky.

Page 44: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

39

Misalkan 11 1

1

mm m

m mm

a aA

a a

×

⎡ ⎤⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

merupakan matriks hermitian yang definit positif.

Diperhatikan, apabila memandang nilai entri 11a maka akan muncul dua kasus, yaitu

11 1a = dan 11 1a ≠ . Dari dua kasus tersebut, akan diselidiki dulu untuk kasus 11 1a = .

Misalkan juga 1

1 1

1 *zA

z K⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

,

dengan 21

11

1

m

m

az

a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

dan ( ) ( )22 2

1 11

2

mm m

m mm

a aK

a a

− × −

⎡ ⎤⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Pertama, akan dicari matriks eselon baris dari matriks A menggunakan proses Eliminasi

Gauss. Menggunakan operasi baris elementer pada matriks A, dapat dibentuk matriks

1m mA ×∈ dengan 1

11 1 1 1

1 *0 *

zA

K z z⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦, 1

1

00

0

m−

⎡ ⎤⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, dan memenuhi hubungan

11

1 1 1 11 1

1 *1 00 *

zA

K z zz I⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎣ ⎦ ... (a)

dengan ( ) ( )1 11

m mI − × −∈ merupakan matriks identitas.

Selanjutnya, menggunakan operasi kolom elementer pada matriks 1A , dapat dibentuk

matriks 1 ' m mA ×∈ dengan 11

1 1 1 1

1 0'

0 *A

K z z⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ , dan memenuhi hubungan

111

1 11 1 1 1

1 *1 000 *

zA

IK z z⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ... (b).

Dari (a) dan (b) diperoleh

1 11 1

1 1 1 11 1 1 1 1 1

1 * 1 *1 0 1 000 *

z zA

z K Iz I K z z⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

Page 45: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

40

Untuk kasus 11 1a ≠ , maka menurut Teorema 5.3 berakibat 11a ∈ dan 11 0a > , sehingga

dengan demikian 11

1a

dan 11a terdefinisi. Karena untuk 11 1a = juga berlaku 11 1a = ,

maka secara umum untuk sebarang 11a ∈ diperoleh:

111 1 11111 1

11 1 1 11 1 11 1 11 1

11 1 111

*0 1 0*' **0

0

za aa zaA R A Rz z zI Kz K

a Ia

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa matriks 1 'A merupakan matriks hermitian

yang definit positif. Diperhatikan bahwa matriks 1R merupakan hasil dari perkalian

matriks-matriks elementer yang membentuk matriks eselon baris 1A . Menurut Teorema

5.6 berakibat 1R fullrank, dan karena 1R matriks persegi berakibat 1R memiliki invers.

Menurut Teorema 5.5, hal yang serupa juga berlaku untuk matriks 1 *R . Dengan

demikian diperoleh:

( ) 111 1 1 1 1 1' * * 'A R A R R A R A−−= ⇔ = .

Karena 1R dan 1 *R keduanya fullrank, maka 11R− dan ( ) 1

1 *R − juga fullrank, sehingga

menurut Teorema 5.2, berakibat matriks 1 'A merupakan matriks hermitian yang definit

positif.

Jika dipilih matriks ( )1m mQ × −∈ , dengan

( )

( )

( )

( )

11 1 1

21 2 1

31 3 1

1 1

0 01 00 0

0 1

m

m

m

m m m

a a

a a

Q a a

a a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

maka matriks Q tersebut merupakan matriks fullrank dan menurut Teorema 5.2 berakibat

matriks 1 11 1

11

*' * z zQA Q Ka

= − juga merupakan matriks hermitian yang positif definit.

Page 46: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

41

Dengan demikian entri 11b pada matriks

( )

( ) ( )( )

( ) ( )11 1 1

1 11 11

111 1 1 1

*m

m m

m m m

b bz zKa

b b

− × −

− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥

− = ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

menurut Teorema 5.3 merupakan bilangan real positif.

Jadi, menggunakan langkah-langkah Eliminasi Gauss seperti yang dioperasikan

pada matriks A, maka matriks ( ) ( )1 11 11

11

* m mz zKa

− × −− ∈ dapat disajikan menjadi bentuk

1 11 2 2 2

11

* ' *z zK R A Ra

− = ,

dengan ( ) ( )1 12 2 2, ', * m mR A R − × −∈ . Karena matriks A berukuran m m× maka matriks 2R

dan 2 'A “diperbesar” ukurannya menjadi 12

1 2

1 0''

0 'A

A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

dan 12

1 2

1 0'

0R

R⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

sehingga

dengan demikian diperoleh 1 1 1 1 2 2 2 1' * ' '' * *A R A R R R A R R= = . Secara umum, matriks

( ) ( )m k m kA − × −∈ dapat “diperbesar” menjadi berukuran m m× , yaitu merupakan matriks

0 *'

0m mk k

k

IA

A×⎡ ⎤

= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

, dengan kI matriks identitas di k k× , ( )0 k m k× −∈ . Sifat pada

matriks 2 ''A serupa dengan sifat pada matriks 1 'A , yaitu 2 ''A merupakan matriks

hermitian yang definit positif. Dengan demikian langkah-langkah Eliminasi Gauss dapat

terus dilakukan sehingga secara umum akan diperoleh

( ) ( )1 2 1 2 *k k kA R R R A R R R= .

Diperhatikan bahwa ketika k m= , maka m mkA I ×= ∈ , dan akibatnya

( ) ( )1 2 1 2 * *m mA R R R I R R R RR= =

dengan 1 2 mR R R R= yang merupakan matriks segitiga. Dekomposisi ini dinamakan

dekomposisi Cholesky dan berikut merupakan algoritmanya.

Page 47: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

42

Algoritma 5.15 (Algoritma Dekomposisi Cholesky)

Input : Matriks hermitian yang definit positif m mA ×∈ .

Output : Matriks segitiga atas R sehingga *A RR= .

1. Dibentuk matriks 1C A= dan 1k = .

2. Matriks kC dimisalkan sebagai 1 0 0

0 *0

k

k kk k

k k

IC c z

z K

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

dengan 1kI − matriks identitas di ( ) ( )1 1k k− × − , kkz ∈ , dan kK ∈ k k× .

3. Dibentuk matriks 1

1

0 0

0 0

0

k

k kk k

km k

kk

I

R cz Ic

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

Dengan kI matriks identitas di ( ) ( )1 1k k− × − , dan 10k− vektor nol di 1k− .

4. Dibentuk matriks 1

1 1

1

0 00 1 0 *

*0 0

k

k k

k kk k

kk

IC

z zKc

+ −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

.

5. Jika matriks 1k kC I+ ≠ , dengan kI merupakan matriks identitas di k k× , maka

langkah 2 – 5 diulang dengan nilai 1k k= + .

Jika 1k kC I+ = , maka lanjutkan ke langkah 6.

6. Dibentuk matriks 1 2 1k kR R R R R−= .

Page 48: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

43

Untuk mengecek apakah suatu matriks hermitian bersifat definit postif dapat

menggunakan teorema ini.

Teorema 5.16 (Kondisi Sylvester)

Diketahui A matriks hermitian. Matriks A definit positif jika dan hanya jika determinan

dari setiap submatriks utamanya bernilai positif.

Bukti.

Bukti dapat dilihat pada paper karya George T. Gilbert yang dapat didownload di alamat

http://math.huji.ac.il/~andrei/Teaching/Advanced_Infi_1/PositiveDefiniteMatricesAndSy

lvester_Gilbert.pdf.

Contoh 5.17

Diketahui matriks hermitian 4 2

1 02 0 4

i iA i

i

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. Submatriks utamanya adalah [ ]4 ,

41i

i⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

, dan A itu sendiri. Karena [ ]( )det 4 4= , 4

det 51i

i⎛ ⎞⎡ ⎤

=⎜ ⎟⎢ ⎥−⎣ ⎦⎝ ⎠, dan ( )det 8A = ,

maka matriks A definit positif.

Contoh 5.18

Akan dibentuk dekomposisi Cholesky dari matriks 4 2

1 02 0 4

i iA i

i

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. Menurut Contoh

5.17, matriks A merupakan matriks hermitian yang definit positif.

i. Untuk 1k = , diperoleh

11 4c = , 1 2i

zi−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, dan 1

1 00 4

K ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Dibentuk matriks 1

2 0 0

1 02

0 1

iR

i

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Page 49: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

44

Karena 1 11

11

3 11 0 1 2* 1 4 20 4 2 4 14 32

z zKc

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥− = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

,

maka 2

1 0 03 10 4 210 32

C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

ii. Karena 2C I≠ , maka langkah 2-4 pada Algoritma 5.15 diulangi dengan 2k =

dan diperoleh

223

4c = , 21

2z ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , dan [ ]2 3K = .

Dibentuk matriks 2

1 0 0

30 0230 13

R

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Karena [ ]2 22

22

* 4 813 43 3z zKa

⎡ ⎤⎡ ⎤− = − = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦, maka diperoleh

3

1 0 00 1 0

80 0 3

C

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

iii. Karena 3C I≠ , maka langkah 2-4 pada Algoritma 5.15 diulangi dengan 3k = dan

diperoleh

3311

3c = , dan 3z , 3K tidak ada.

Dibentuk matriks 3

1 0 00 1 0

2 20 03

R

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

dan 4

1 0 00 1 00 0 1

C⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Karena 4C I= , maka diperoleh matriks

Page 50: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

45

1 2 2

2 0 0 2 0 01 0 0 1 0 03 31 0 0 0 0 1 0 02 22 2

2 230 1 0 0 3 2 20 1 33 3 3

i iR R R R

i i

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dan memenuhi hubungan

*

22 0 0 24 23 3 31 0 0 02 2 32

2 0 4 2 23 2 2 0 033 3

A

R R

i ii i

iii

i

⎡ ⎤⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Lemma 5.19

Setiap matriks hermitian yang definit positif memiliki dekomposisi Cholesky yang

tunggal.

Bukti.

Ketunggalan dekomposisi Cholesky disebabkan oleh hal-hal sebagai berikut:

i. Untuk setiap k , nilai kkc dipilih sebagai bilangan positif dan dengan demikian

terdapat dengan tunggal kx +∈ sehingga kk kc x= .

ii. Vektor k

kk

zc

tunggal dan juga matriks *k kk

kk

z zKc

− .

iii. Karena ii. maka untuk setiap k matriks kR tunggal, dan hal serupa juga berlaku

bagi matriks 1 2 1k kR R R R R−= .

Jadi, setiap dekomposisi Cholesky dari suatu matriks hermitian yang definit positif

tunggal.

Page 51: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

46

BAB VI

DEKOMPOSISI SCHUR

Menurut Teorema 2.31, setiap matriks Hermitian dapat didiagonalisasi yaitu

disajikan sebagai perkalian matriks-matriks uniter dengan matriks diagonal. Akan tetapi,

jika syarat matriks Hermitian diperlemah menjadi matriks persegi biasa, maka apakah

proses diagonalisasi masih dapat terjadi? Secara umum tidak, akan tetapi ada proses

“diagonalisasi” khusus yang nyaris serupa dengan proses diagonalisasi pada Teorema

2.31, yaitu menyajikan suatu matriks persegi sebagai perkalian matriks-matriks uniter

dengan matriks segitiga atas. Proses diagonalisasi ini dikenal dengan nama dekomposisi

Schur, dan menyatakan bahwa setiap matriks persegi m mA ×∈ dapat disajikan dalam

bentuk

*A U TU=

dengan m mU ×∈ matriks uniter, dan m mT ×∈ matriks segitiga atas. Proses

dekomposisi ini didasari oleh teorema berikut:

Teorema 6.1

Diketahui matriks persegi m mA ×∈ dengan λ∈ merupakan salah satu nilai eigennya

dan mx∈ merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ . Jika m mS ×∈

merupakan matriks non-singular dengan kolom ke-i nya adalah vektor x, maka kolom

ke-i dari matriks 1S AS− adalah ieλ dengan 1

mi

m

ae

a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, 1ja = untuk j i= , dan

0ja = untuk j i≠ .

Page 52: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

47

Bukti.

Misalkan [ ]1 2 1 1i i mS s s s x s s− += … … . Karena 1S S I− = maka

[ ]1 11 2 1 1

1 1 1 1 1 11 2 1 1

i i m

i i m

S S S s s s x s s

S s S s S s S x S s S s I

− −− +

− − − − − −− +

=

⎡ ⎤= =⎣ ⎦

… …

… …

dan akibatnya 1S x− = ie . Pada 1S AS− , menjadi

[ ][ ]

1 11 2 1 1

11 2 1 1

1 1 1 1 1 11 2 1 1

i i m

i i m

i i m

S AS S As As As Ax As As

S As As As x As As

S As S As S As S x S As S As

λ

λ

− −− +

−− +

− − − − − −− +

=

=

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

… …

… …

… …

… karena Ax=λx

sehingga diperoleh 1iS x eλ λ− = .

Teorema 6.2

Diketahui matriks persegi , m mA B ×∈ . Jika A dan B merupakan matriks uniter, maka

AB juga merupakan matriks uniter.

Untuk melakukan proses dekomposisi, pertama dicari dahulu nilai-nilai eigen dari

matriks A. Karena matriks A berukuran m m× , maka terdapat sejumlah m nilai eigen

beserta m vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen tersebut. Misalkan iv

merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan iλ dan 1 i m≤ ≤ . Kemudian, dipilih

sebarang tepat satu dari m vektor eigen tersebut sebut saja 1kv yang bersesuaian dengan

nilai eigen 1kλ dengan 11 k m≤ ≤ . Jika vektor eigen kv bukan merupakan vektor normal,

maka vektor tersebut dinormalkan, yaitu dibentuk vektor 1

1

1

' kk

k

vv

v= . Perlu diperhatikan

bahwa menormalkan vektor eigen tidak akan berpengaruh terhadap nilai eigen yang

bersesuaian dengannya, karena pada dasarnya hanya mengalikan vektor eigen tersebut

dengan skalar.

Page 53: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

48

Kemudian, dibentuk himpunan ortonormal { }1 1', ,...,k nV v w w= . Pembentukan

himpunan ortonormal tersebut dapat menggunakan Algoritma Gram-Schmidt 2

(Algoritma 4.4). Apabila dibentuk matriks yang kolom-kolomnya adalah anggota V maka

matriks tersebut akan berwujud matriks uniter, misalkan 1kU merupakan matriks yang

dimaksud, maka

1 1 1'k k nU v w w⎡ ⎤= ⎣ ⎦ .

Sehingga dapat dibentuk 1 1 1*k kU AU T= atau

1 11 *k kA U TU= . Matriks uniter 1kU

merupakan matriks non-singular, dan menurut Teorema 6.1 matriks 1T akan berbentuk

1 1

1 1

*

0k z

K

λ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, dengan 11 1

00 ,

0

mz −

⎡ ⎤⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

dan ( ) ( )1 11

m mK − × −∈ .

Jika submatriks 1K belum berbentuk matriks segitiga atas, maka dilakukan proses

dekomposisi yang serupa. Misalkan 2 21 2 *k kK U T U= . Karena ( ) ( )

2

1 1m mkU − × −∈ , maka

2kU

dapat “diperbesar” menjadi suatu matriks uniter berdimensi m m× , yaitu matriks

2

2

1 0 *'

0kk

UU

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, dengan 10 m−∈ . Dengan demikian akan diperoleh

1

2 2

2 2

1 2 21 2

2 21 1

* 1 0 1 0*' ' '*

0 * 000k

k kk k

z B zT U T U

U UKK

λ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦,

dengan ( ) ( )1

2

2 22 0

k m m

k

zB

λ

λ− × −⎡ ⎤

= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, 2 22 20 , z ×∈ , dan ( ) ( )2 2

2m mK − × −∈ .

Karena 1 11 *k kA U TU= dan

2 21 2' ' '*k kT U T U= maka diperoleh

( ) ( )1 2 2 12 1' ' '* *k k k kA U U T U U= .

Secara umum proses dekomposisi ini akan menyajikan A dalam bentuk

( ) ( )1 2 2 1

* * *k k k k k kn nnA U U U T U U Uλ λ λ λ λ λ=

Page 54: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

49

dengan matriks *

0n n

nn n

B zT

K⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

dengan ( ) ( )1

0n

km n m n

n

k

B

λ

λ

− × −

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

( )0 , 0 n m nn nz × −∈ ∈ , dan ( ) ( )m n m n

nK − × −∈ . Diperhatikan bahwa matriks nB merupakan

matriks segitiga atas dengan entri-entri diagonalnya adalah nilai eigen 1 2, ,...,

nk k kλ λ λ .

Proses dekomposisi terus dilakukan sampai nT yang memiliki submatriks nK

yang berbentuk matriks segitiga atas. Proses ini suatu saat akan terhenti, karena ukuran

submatriks nK yang semakin mengecil, sehingga perulangan proses akan terjadi

maksimal sejumlah m kali. Pada akhirnya akan terbentuk

( ) ( )( ) ( )

1 2 2 1

1 1 2 1

* * *

* * * * * * * .

k k k k k kn n

k k k k k kn n n

A U U U T U U U

U U U T U U U

λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ−

=

=

Jika diambil matriks 1 1

* * *k k kn n

U U U Uλ λ λ−= , maka menurut Teorema 6.2 matriks U

juga merupakan matriks uniter karena merupakan perkalian dari matriks-matriks uniter,

sehingga diperoleh bentuk

*A U TU= .

Teorema berikut dapat mempermudah proses dekomposisi, yaitu pada langkah

mencari nilai eigen matriks 1 2, , ,..., kA T T T .

Teorema 6.2

Diketahui matriks persegi , m mA B ×∈ . Jika 1B S AS−= , untuk suatu matriks non-

singular m mS ×∈ , maka nilai-nilai eigen matriks A dan B sama akan tetapi tidak selalu

vektor-vektor eigennya juga sama.

Jadi, menurut teorema tersebut nilai-nilai eigen matriks 1 2, , ,..., kA T T T sama. Dengan

demikian langkah untuk menentukan nilai eigen hanya perlu dilakukan sekali saja.

Page 55: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

50

Secara umum berikut algoritmanya.

Algoritma 6.3 (Algoritma Dekomposisi Schur)

Input : Matriks persegi m mA ×∈ .

Output : Matriks uniter U dan segitiga atas T sehingga *A U TU= .

1. Dicari nilai eigen matriks A, misalkan

{ }1 2, ,..., mE λ λ λ= merupakan himpunan nilai eigennya.

2. Dibentuk matriks 1C A= dan 1k = .

3. Dipilih sebarang kn Eλ ∈ , maka terdapat vektor eigen

knv yang bersesuaian

dengan knλ .

4. Dibentuk { }knE E λ= − .

5. Jika nkv bukan vektor normal, maka bentuk ' nknk

nk

vvv

= .

Jika nkv merupakan vektor normal, maka bentuk 'nk nkv v= .

6. Dibentuk himpunan ortonormal { }1', ,...,k nk m kV v w w −=

dan matriks uniter [ ]'1'k nk m kU v w w −= .

7. Dibentuk matriks '

0 *0

k kk

k k

IU

U⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

,

dengan kI matriks identitas di ( ) ( )1 1k k− × − , dan ( ) ( )1 10 k m k− × − +∈ .

8. Dibentuk matriks *k k k kT U C U= .

9. Matriks kT akan berbentuk *

0k k

k k

B zK

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

dengan

1

0k

n

k kk

n

B

λ

λ

×

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, ( )0 , k m kk kz × −∈ , dan ( ) ( )m k m k

kK − × −∈ .

Matriks kB merupakan matriks segitiga atas dengan entri-entri diagonalnya

adalah nilai eigen 1 2, ,...,

kn n nλ λ λ .

Page 56: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

51

10. Jika matriks kK bukan merupakan matriks segitiga atas maka langkah 2-10

diulang dengan 1k k= + dan k kC K= .

Jika matriks kK merupakan matriks segitiga, maka lanjutkan ke langkah 11.

11. Bentuk matriks uniter 2 1* * *kU U U U= .

Contoh 6.4

Akan dibentuk dekomposisi Schur dari matriks 1 1 2 00 2 01 1

iA i

i

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Nilai-nilai eigen matriks A adalah 1 iλ = , 2 2iλ = , dan 3 1λ = .

Dibentuk himpunan { } { }1 2 3, , , 2 ,1E i iλ λ λ= = .

Dipilih 1 2 2n iλ λ= = dan himpunan E menjadi { } { }2 ,1E E i i= − = .

Vektor eigen yang bersesuaian dengan 2 2iλ = , adalah 2

11

0v

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Vektor 2

11

0v

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

bukan vektor normal, maka dinormalkan menjadi 2

1 2

' 1 20

v

⎡ ⎤⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Dibentuk himpunan ortonormal

1 2 1 201 2 , 0 , 1 2

0 0V

i

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

.

Dibentuk matriks uniter 1 1

1 2 0 1 2

' 1 2 0 1 20 0

U Ui

⎡ ⎤⎢ ⎥

= = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Page 57: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

52

Dibentuk matriks

1 1 1 1

1 2 0 1 21 2 1 2 0 1 1 2 0* 0 0 0 2 0 1 2 0 1 2

1 1 0 01 2 1 2 0

2 0 1 2

0 2 .0 0 1

iT U C U i i

i i

i i

i i

⎡ ⎤⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Diperoleh matriks 12

0 1i iK⎡ ⎤−

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, karena matriks 1K merupakan matriks segitiga atas

maka proses dekomposisi berhenti dan diperoleh

*

1 2 0 1 2 2 0 1 21 1 2 0 1 2 1 2 00 2 0 1 2 0 1 2 0 2 0 01 1 0 0 0 0 1 1 2 1 2 0

T UU

i iiA i i i i

i i

⎡ ⎤ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.

Lemma 6.5

Setiap matriks persegi m mA ×∈ memiliki dekomposisi Schur dan dekomposisi tersebut

tidak selalu tunggal.

Bukti.

Algoritma Dekomposisi Schur (Algoritma 6.3) menjamin bahwa setiap matriks persegi

memiliki bentuk dekomposisi. Dekomposisi tersebut tidak tunggal karena ada

pembentukan himpunan ortonormal pada langkah 6, yaitu ada vektor ortormal yang dapat

berbeda. Selain itu, pemilihan vektor eigen juga berpengaruh kepada bentuk dari

himpunan ortonormal tersebut. Sebagai contoh,

*

1 1 2 0 0 1 0 1 1 0 0 10 2 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 01 1 1 0 0 0 0 2 0 1 0

U T U

i iA i i

i i

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

merupakan bentuk lain dari dekomposisi Schur matriks A yang berbeda dari Contoh 6.4.

Page 58: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

53

BAB VII

METODE LEAST SQUARE

Pada bidang aljabar linear, seringkali persamaan Ax b= tidak memiliki solusi

eksak. Salah satunya, disebabkan karena vektor b bukan merupakan elemen dari

Range(A). Yaitu sistem persamaan tersebut memiliki jumlah persamaan yang lebih

banyak dari jumlah peubah bebasnya. Diperhatikan sistem persamaan berikut,

1 1 71 1 01 2 7

xy

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Sistem persamaan tersebut tidak memiliki solusi eksak. Karena itu solusi pada

sistem persamaan tersebut dapat dipilih sebagai suatu vektor x elemen Range(A) yang

jaraknya dengan vektor b paling pendek (minimal) dibandingkan vektor-vektor lain

dalam Range(A). Solusi tersebut memang bukan solusi eksak, tetapi "mendekati" solusi

yang memenuhi sistem persamaan tersebut.

Dengan demikian dapat dibentuk vektor residual r b Ax= − dan akan dicari

vektor x elemen Range(A) sehingga norma vektor r minimal. Agar norma vektor r

minimal, vektor r b Ax= − harus ortogonal terhadap Range(A), yaitu :

, 0

* 0*( ) 0* * .

A r

A rA b AxA b A Ax

=

⇔ =

⇔ − =⇔ =

Sistem permasalahan * *A Ax A b= disebut sebagai persamaan normal dari

metode Least Square. Sebagai tambahan bahwa sistem permasalahan normal dapat

diubah bentuk menjadi ( ) 1* *x A A A b−= . Matriks ( ) 1* *A A A− disebut dengan

pseudoinverse (invers semu) dari matriks A.

Page 59: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

54

Contoh 7.1

Akan dicari penyelesaian sistem persamaan 1 1 71 1 01 2 7x

A b

xy

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

menggunakan metode

Least Square.

Menggunakan persamaan normal, dibentuk matriks 3 2

*2 6

A A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦.

Kemudian bentuk matriks 14

*7

A b⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Sehingga persamaan normal * *A Ax A b= akan menjadi

3 2 142 6 7

xy

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Sistem persamaan ini dengan mudah dapat diselesaikan dan diperoleh

51

2

xy

⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Sedangkan elemen dari Range(A) yang memiliki jarak terpendek dengan vektor b adalah:

1121 1 5

91 1 1 221 2 4

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−− =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦ −

⎣ ⎦

.

Page 60: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

55

BAB VIII

PROYEKTOR

Pada bab ini akan dibahas mengenai sifat-sifat suatu matriks proyektor. Berikut

merupakan definisi dari matriks proyektor.

Definisi 8.1 (Matriks Proyektor)

Diketahui matriks persegi n nA ×∈ . Matriks A disebut matriks proyektor jika dan hanya

jika A A A⋅ = . Dengan kata lain A memiliki sifat idempoten.

Secara umum definisi proyektor adalahs sebagai berikut.

Definisi 8.2 (Proyektor)

Diketahui V ruang vektor atas lapangan F dan :P V V→ merupakan transformasi

linear. Transformasi linear P disebut proyektor jika dan hanya jika P P P= .

Lemma 8.3

Diketahui matriks proyektor n nA ×∈ dan ( )x Range A∈ , maka berlaku Ax x= .

Bukti.

Diambil sebarang ( )x Range A∈ , maka x Av= untuk suatu nv∈ . Dari sifat matriks

proyektor diperoleh ( ) ( )Ax A Av A A v Av x= ⋅ = ⋅ = = .

Lemma 8.4

Diketahui matriks proyektor n nA ×∈ dan ( )x Range A∈ , maka berlaku

( )Ax x Null A− ∈ .

Page 61: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

56

Bukti.

Dari Lemma 8.3 diperoleh Ax x= untuk setiap ( )x Range A∈ . Dengan demikian

diperoleh, 0 nAx x x x− = − = ∈ . Karena 0 0A = , maka ( )Ax x Null A− ∈ .

Teorema 8.5 (Komplemen Proyektor)

Diketahui matriks proyektor n nA ×∈ dan n nnI ×∈ merupakan matriks identitas, maka

matriks nI A− juga merupakan matriks komplemen. Lebih lanjut, matriks nI A− disebut

komplemen proyektor dari A.

Bukti.

( ) ( ) ( ) ( )2 222

.

n n n n

n

n

I A I A I I A AI A AI A

− ⋅ − = − +

= − +

= −

Lemma 8.6

Diketahui matriks proyektor n nA ×∈ dan n nnI ×∈ merupakan matriks identitas,

maka ( ) ( )nRange I A Null A− = .

Bukti.

Diambil sebarang ( )nx Range I A∈ − , maka ( )nI A v x− = untuk suatu nv∈ . Karena

( )n nI A v I v Av v Av− = − = − , maka ( ) ( ) 0Ax A v Av Av A A v Av Av= − = − ⋅ = − = .

Dengan demikian ( )x Null A∈ dan diperoleh ( ) ( )nRange I A Null A− ⊆ .

Diambil sebarang ( )x Null A∈ , maka berlaku 0Ax = . Diperhatikan bahwa

( ) 0n nI A x I x Ax x x− = − = − = . Dengan demikian ( )nx Range I A∈ − dan diperoleh

( ) ( )nNull A Range I A⊆ − . Jadi berlaku ( ) ( )nRange I A Null A− = .

Page 62: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

57

Lemma 8.7

Diketahui matriks proyektor n nA ×∈ dan n nnI ×∈ merupakan matriks identitas,

maka ( ) ( )nRange A Null I A= − .

Bukti.

Dari Lemma 8.6 dan matriks A disajikan dalam bentuk ( )n nA I I A= − − .

Teorema 8.8

Diketahui V ruang vektor atas lapangan F dan :P V V→ merupakan proyektor, maka

berlaku ( ) ( )Range P Null P V⊕ = .

Bukti.

Untuk membuktikan ( ) ( )Range P Null P V⊕ = maka harus dipenuhi dua syarat berikut:

1. ( ) ( ) { }0Range P Null P∩ =

2. Untuk setiap v V∈ , terdapat ( )x Range P∈ dan ( )y Null P∈ sehingga v x y= + .

Pertama, akan dibuktikan ( ) ( ) { }0Range P Null P∩ = . Dimbil sebarang

( ) ( )x Range P Null P∈ ∩ . Karena ( )x Range P∈ , maka berlaku Px x= . Karena

( )x Null P∈ , maka berlaku 0Px = . Dengan demikian diperoleh 0x Px= = . Jadi,

terbukti bahwa ( ) ( ) { }0Range P Null P∩ = .

Selanjutnya, diambil sebarang v V∈ . Diperhatikan bahwa dapat dipilih

( )x Pv Range P= ∈ dan ( )y v Pv Null P= − ∈ . Sehingga berlaku

( )v Pv v Pv x y= + − = + . Jadi, karena syarat 1 dan 2 dipenuhi, maka terbukti bahwa

( ) ( )Range P Null P V⊕ = .

Page 63: Maw DekomposisiMatriks

Struktur Aljabar – Dekomposisi Matriks © Wijna 2007 – 2009 http://wijna.web.ugm.ac.id

58

Selanjutnya, diperhatikan matriks persegi

1 1 11 1 1

1

1 1 1

n nn

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ∈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, yaitu matriks

persegi berukuran n n× dengan setiap entrinya bernilai 1. Diperhatikan bahwa

1 1 1n n nn⋅ = ⋅ , dan dengan demikian matriks 1 1nn⋅ merupakan matriks proyektor. Karena

( ) ( )2 2

1 1 1 1 11 1 1 1 1 1n n n n n nnn n n n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Contoh 8.9

Untuk 3n = , matriks 3

1 3 1 3 1 31 1 1 3 1 3 1 33

1 3 1 3 1 3E

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

merupakan matriks proyektor. Dari

Teorema 8.5, diperoleh matriks 3

2 3 1 3 1 31 3 2 3 1 31 3 1 3 2 3

I E− −⎡ ⎤

⎢ ⎥− = − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

juga merupakan matriks

proyektor. Khusus untuk komplemen dari matriks proyektor 1 1nn⋅ diberi perhatian

khusus.

Definisi 8.10 (Matriks Centering)

Matriks persegi n nnC ×∈ , dengan 1 1n n nC I

n⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

disebut matriks centering

berukuran n.