Mattehjelperen. Leksehjelp for foreldre og elever på ungdomsskolen

Mattehjelperen.book Page 1 Thursday, November 20, 2014 5:38 PM


Hanan M. Abdelrahman

MattehjelperenLeksehjelp for foreldre og elever på ungdomsskolen


© 2015 J.M. Stenersens Forlag AS

Omslagsdesign: Martin KvammeOmslagsbilde: BillybonkersSats: akzidenz as | Dag Brekke Repro: Løvaas Lito ASPapir: Hello Fat Mat 115 gBoken er satt med: Minion Pro 11/15Trykk og innbinding: Print Best

ISBN: 978-82-7201-591-5

J.M. Stenersens ForlagStortingsg. 120161 Oslo

[email protected]

Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke ereksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale medKopinor (www.kopinor.no).


Innhold

Kapittel 1 Tall

Brøk - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -21

Potenser - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -38

Kapittel 2 Algebra

Likninger og ulikheter - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -70

Kapittel 3 Funksjoner

Digitale hjelpemidler: Geogebra - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -113

Kapittel 4 Måling og geometri

Måleenheter og omgjøring - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -123

Geometri- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -137

Konstruksjon med passer og linjal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -180

Konstruere en trekant med Geogebra - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -185

Ulike typer romfigurer - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -191

MattehjelperenTOC.fm Page 5 Friday, November 21, 2014 12:11 PM

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet

Statistikk - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 202

Excel - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 209

Sannsynlighet og kombinatorikk - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 223

Kombinatorikk- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 224

Sannsynlighet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 227

Stikkordregister- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 232

MattehjelperenTOC.fm Page 6 Monday, January 5, 2015 9:55 AM

7

Alle kan bli bedre i matte!

Mine beste opplevelser som mattelærer på ungdomsskolen er å se denenorme mestringsgleden elevene får når de forstår et nytt emne, eller nårlikningen for første gang går opp. Samtidig vet jeg at mange synes matte ervanskelig. Dette gjelder både elever og foreldre. I løpet av ungdomsskolenforandrer nemlig matten seg: Vi går fra å tenke praktisk og regne med kon-krete tallverdier til å begynne å tenke abstrakt, lære å regne med bokstaverog bruke matematikken i større sammenhenger. Mange gir dessverre opp.

Derfor starter denne boka med de helt grunnleggende tingene man måkunne for å forstå matte. Les denne siste setningen en gang til – noen tingmå man nemlig bare kunne hvis man skal forstå. Matte er ikke bare forgenier som forstår alt etter første øyekast, de finnes stort sett bare på film.Med litt jobbing mener jeg at alle kan bli bedre i matte. Det har jeg sett,gang på gang.

Denne boka er ment for foreldre som føler at de kommer til kort medleksehjelpen, og for barn som selv ønsker å bli bedre. Den tar deg gjennomhele pensum på ungdomsskolen. Boka kan også brukes av elever på videre-gående som har hull i kunnskapen sin. Jeg forklarer trinn for trinn hvordanman kan løse oppgaver. Jeg forklarer også hvordan man bruker de digitaleverktøyene Excel og Geogebra. Slike digitale verktøy er obligatoriske påeksamen for 10. trinn fra våren 2015. Bakerst i boka er det et register dukan slå opp i for å finne akkurat det du lurer på.

De fleste elevene sikter ikke mot en femmer eller sekser. Veldig mange erfornøyde med en treer eller firer, og noen ønsker først og fremst å bestå. Dablir man demotivert av de vanskeligste oppgavene. De som mestrer matte,


derimot, trenger noen ekstra utfordringer. Derfor har jeg stemplet hverteneste tema med et karaktermål, sånn at du skal få bedre oversikt overhva du trenger å kunne for å få den karakteren du ønsker deg. Jeg harbrukt kompetansemålene fra læreplanen for å finne riktig nivå, sammenmed det jeg har sett når elevene mine får resultatene fra eksamen.

Mitt ønske med boka er at flere kan få oppleve mestringsgleden sommatten gir. Jeg håper også at den kan bidra til å motivere noen elever tilå fortsette med matte på videregående, og etter hvert på videre studier.Jeg elsker jobben min og gleder meg til hver arbeidsdag, og unner flere åjobbe med matematikk.

Lykke til!Hilsen Hanan

Oslo, november 2014


9

Kapittel 1 Tall

Hvorfor trenger jeg å lære dette?Dette kapitlet er utrolig viktig, for det danner grunnlaget for alle regneope-rasjoner i alle temaene vi skal innom i ungdomsskolen. Mye av stoffet erhentet fra barneskolepensum, men min erfaring er helt tydelig: De elevenesom sliter med matte, må starte med dette. Jeg anbefaler på det sterkeste åbruke god tid på å gjennomgå dette kapitlet grundig og regne mange opp-gaver. Noen begreper og regler er vi nødt til å pugge og automatisere for åføle oss komfortable i faget. Det er det jeg kaller sunt pugg. Forståelsen skalpå alle måter være hovedmålet, men for å nå denne forståelsen og ha gledeav abstrakt matematikk er det viktig at vi kan de grunnleggende begrepeneog regneoperasjonene.

Disse grunnleggende reglene er ikke minst viktige i hverdagen. De blirofte brukt når vi regner i praktiske situasjoner. De er kjekke å kunne, uan-sett om vi skal fortsette med en praktisk eller teoretisk retning i matematik-ken. Vi kan ikke lære algebra, geometri, sannsynlighetsregning ellerstatistikk hvis vi ikke kan regne og har god tallforståelse.


10 Mattehjelperen

Titallssystemet Titallssystemet er tallsystemet vårt. Det har bare ti sifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Sifferet 0 (null) markerer en tom plass. Det kalles tiltallssystem fordi vi grupperer i tiere.

Eksempel Ti enere gir til sammen en tier:1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10

Ti tiere gir til sammen en hundrer:10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 100

Ti hundredeler gir til sammen en tidel:0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 = 0,10

Dette vil si at vi får en ny plass på venstre side av plassen vi er i, når vi hargruppert ti enheter i den. Dette fortsetter i det uendelige.

Titallssystemet er et plassverdisystem. Det vil si at plassen til sifferetavgjør verdien sifferet har.

Eksempel Sifferet 3 har verdien tre hundrere i tallet 320.Sifferet 3 har verdien tre tideler i tallet 0,34.Sifferet 1 har tre ulike verdier i tallet 111.

Det første ettallet fra venstre er en hundrer.Det andre ettallet er en tier.Det siste ettallet er en ener.

TallinjaTallinja er en vannrett eller horisontal linje der vi framstiller tallene franegativt uendelig til positivt uendelig, med null i midten. Skalaen påtallinja kan justeres etter hva vi ønsker å se på.

– 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6

–0,8 –0,7 –0,6 –0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8


Kapittel 1 Tall 11

De ulike tallmengdene: naturlige tall, hele tall, rasjonale tall og reelle tall

En tallmengde er en samling av tall som har like egenskaper. Vi har ulike sentrale tallmengder. Disse tallmengdene er skapt etter

behovene som oppsto for å regne ulike størrelser.

De naturlige tallene ℕTallmengden for de positive hele tallene

1, 2, 3, 4, 5, … Tallene fortsetter å vokse til uendelig mot høyre på tallinja.

De hele tallene ℤTallmengden for negative og positive hele tall i tillegg til null

…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … Tallene fortsetter å vokse til uendelig både mot høyre og venstre på tallinja, med null i midten.

De rasjonale tallene ℚTallmengden for alle tall som kan skrives som brøk

Disse tallene er både positive og nega-tive:• hele tall, for eksempel 1, 2, –5 osv.• endelige desimaltall, for eksempel

0,125, som er det samme som • uendelige periodiske desimaltall,

for eksempel 0,333 333, som er det samme som

De irrasjonale tallene Tallmengden for alle tall som ikke kan skrives som brøk

Slike tall er for eksempel og .De har uendelig mange desimaler og kan ikke skrives som brøker.

De reelle tallene ℝTallmengden som samler alle tall-mengder vi har snakket om

Disse tallene er både rasjonale og irrasjonale. Det er hele tallinja.

18--

13--

2 π


12 Mattehjelperen

Skrive tall på utvidet formNår vi skriver et tall på utvidet form, bryter vi ned tallet og skriver det somet addisjonsstykke som viser verdiene til de ulike sifrene i tallet.

Eksempel 503,154 = 5 · 100 + 0 · 10 + 3 · 1 + 1 · 0,1 + 5 · 0,01 + 4 · 0,001503,154 = 5 hundrere + 0 tiere + 3 enere + 1 tidel + 5 hundre-deler + 4 tusendeler

Regler • Enerplassen har verdien 1, tierplassen har verdien 10, hundrerplassen har verdien 100, og tusenerplassen har verdien 1000.Vi multipliserer med 10 for å flytte fra en plass til neste plass mot venstre. Vi multipliserer 10 med 1 for å få en tier, 10 med 10 for få en hundrer og 100 med 10 for en tusener.

• Tidelsplassen har verdi 0,1, hundredelsplassen har verdi 0,01, og tusen-delsplassen har verdi 0,001.

• Vi dividerer med 10 for å flytte fra en plass til neste plass mot høyre. Vi dividerer 1 med 10 for å få en tidel, 0,1 med 10 for å få ti hundredeler og 0,01 med 10 for å få ti tusendeler.

De reelle tallene ℝAlle typer tall på tallinjaDe rasjonale tallene ℚAlle tall som kan skrives som brøk

Hele tall, eks.: 2 =

Endelige desimaltall, eks.: 0,125 =

Uendelige periodiske desimaltall, eks.

0,333 333 333 =

De hele tallene ℤPositive og negative hele tall med 0 i midten, eks.:…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …∞, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ∞(∞ betyr uendelig)De naturlige tallene ℕPositive hele tall, eks.: 1, 2, 3, 4, …1, 2, 3, 4, ∞(∞ betyr uendelig)

84--

18--

13--

ℝ

ℚ

ℤ

ℕ


Kapittel 1 Tall 13

De fire regneartene

Navn Hva vil det si? Regler

Addisjon er det samme som pluss

+

Å addere vil si å legge sammen to eller flere ledd.ledd + ledd = sum

2 + 3 = 5

Vi kan bytte rekkefølge på leddene i et addi-sjonsstykke. Svaret blir uansett det samme:3 + 2 = 2 + 33 + 2 = 52 + 3 = 5

Subtraksjon er det samme som minus

–

Å subtrahere vil si å trekke et ledd fra et annet ledd.ledd – ledd = differens

3 – 2 = 1

Dersom vi bytter rekke-følge på leddene i et subtraksjonsstykke, får vi ulike svar:3 – 2 ≠ 2 – 33 – 2 = 12 – 3 = – 1

Multiplikasjon er det samme som ganging

.

Å multiplisere vil si å gange to eller flere faktorer med hverandre.faktor · faktor = produkt

3 · 2 = 6

Vi kan bytte rekkefølge på faktorene i et multi-plikasjonsstykke. Svaret blir uansett det samme:3 · 2 = 2 · 33 · 2 = 62 · 3 = 6

Divisjon er det samme som deling

:

Å dividere vil si å dele en dividend på en divisor. dividend : divisor = kvotient

10 : 2 = 5

Dersom vi bytter rekke-følge på faktorene i et divisjonsstykke, får vi ulike svar:3 : 2 ≠ 2 : 33 : 2 = 1,52 : 3 = 0,67

NB: Ledd, faktor, dividend, divisor, sum, kvotient og produkt er tallverdiersom har ulike navn etter hvilken rolle de har i regnestykker.


14 Mattehjelperen

Ut fra min erfaring som ungdomsskolelærer er det svært nyttig å puggedisse to tabellene:

Den lille addisjonstabellen

Den lille gangetabellen

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

· 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 2 4 6 8 10 12 14 16 18 203 3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 4 8 12 16 20 24 28 32 36 405 5 10 15 20 25 30 35 40 45 506 6 12 18 24 30 36 42 48 54 607 7 14 21 28 35 42 49 56 63 708 8 16 24 32 40 48 56 64 72 809 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


Kapittel 1 Tall 15

Oddetall, partall og primtall

Faktorisere hele tallÅ faktorisere vil si å skrive et tall som et produkt eller et multiplikasjons-stykke av to eller flere tall (faktorer).

Eksempel 24 = 12 · 2

Regel Sammensatte tall faktoriserer vi både i primtall og sammensatte tall.

Primtallfaktorisere hele tallPrimtallfaktorisering betyr å skrive et tall som et produkt eller et multipli-kasjonsstykke av to eller flere primtallfaktorer.

Eksempel 24 = 2 · 2 · 2 · 3

Regel Vi faktoriserer sammensatte tall bare til primtall.

Forklaring Eksempel

OddetallTall som gir en rest eller et desimaltall i svaret når vi deler dem på 2Regel: Oddetall ender på 1, 3, 5, 7 og 9.

13, 15 osv.13 : 2 = 6,5 eller 6 hele og 1 i rest 15 : 2 = 7,5 eller 7 hele og 1 i rest

PartallTall som ikke gir rest, men gir et helt tall i svaret når vi deler dem på 2Regel: Partall ender på 0, 2, 4, 6 og 8.

12, 14 osv.12 : 2 = 614 : 2 = 7

PrimtallTall som bare kan deles på seg selv og tallet 1Regel: Tallet 1 er ikke et primtall.

Primtallene fra og med 1 til og med 20:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

Sammensatte tall Tall som kan divideres med flere tall enn seg selv og 1

Tallet 24 er et sammensatt tall som kan divideres med 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 og 24.


16 Mattehjelperen

DelelighetsregleneDette er regler for hvilke tall vi kan dele/dividere et konkret tall på uten atdet gir rest eller desimaltall.

Minste felles multiplumMinste felles multiplum er det minste felles tallet som to eller flere tall gåropp i. Når vi skal finne minste felles multiplum for to tall eller mer, faktori-serer vi alle tallene og finner «det minste felles tallet» som har alle fakto-rene til tallene våre i seg.

Eksempel Finn minste felles multiplum for 12, 15, 5 og 3.Vi faktoriserer alle tallene hver for seg:3 = 35 = 512 = 2 · 2 · 315 = 3 · 5Så finner vi faktorene i minste felles multiplum:Tallet 3 finnes i 3, 12 og 15, da tar vi bare en treer. Tallet 5 fin-nes i 5 og 15, da tar vi en femmer. Til slutt finnes 2 · 2 bare i12, da tar vi hele 2 · 2. Minste felles multiplum blir 3 · 5 · 2 · 2 = 60Tallet 3 er representert blant faktorene i 60.

Regel Eksempel

Et tall er delelig med 2 hvis det siste sifferet i tallet er 0, 2, 4, 6 eller 8.

44, 82 44 : 2 = 2282 : 2 = 41

Et tall er delelig med 5 hvis det siste sifferet i tallet er 0 eller 5.

105, 2000 105 : 5 = 212000 : 5 = 400

Et tall er delelig med 3 hvis «tverr-summen», det vil si summen av sif-rene i tallet, finnes i 3-gangen.

153Summen av sifrene i 153 er 1 + 5 + 3 = 9, og da er 153 delelig med 3: 153 : 3 = 51

Et tall er delelig med 9 hvis «tverr-summen» eller summen av sifrene i tallet finnes i 9-gangen.

108. Summen av sifrene i 108 er 1 + 0 + 8 = 9, og da er 108 delelig med 9: 108 : 9 = 12


Kapittel 1 Tall 17

Tallet 5 er representert blant faktorene i 60.Faktorene i 12 = 2 · 2 · 3 er representert blant faktorene i 60.Faktorene i 15 = 3 · 5 er representert blant faktorene i 60.Vi finner altså ikke minste felles multiplum ved å multipliserealle tallene. I dette tilfellet ville det blitt

3 · 5 · 12 · 15 = 2700Dette er et unødig stort tall som det er vanskelig å regne videremed.

Regning med negative tall

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

Regnetegn er tegnet for regneoperasjonen. (+) er regnetegnet for addisjon,(–) er regnetegnet for subtraksjon, (·) er regnetegnet for multiplikasjon, og(:) er regnetegnet for divisjon.Et fortegn viser om tallet er positivt (+), pluss, eller negativt (–), minus. Viskriver sjelden (+) foran positive tall for å markere at de er positive, men viskriver (–) foran negative tall for å markere at de er negative. 5 uten fortegn påvenstre side er det samme som +5, altså et positivt tall. (–5) er et negativt tall.Positivt (+) vil si at vi flytter oss mot høyre på tallinja. +5 betyr altså at viflytter oss fem enheter mot høyre på tallinja.Negativt (–) vil si at vi flytter oss mot venstre på tallinja. –5 betyr altså at viflytter oss fem enheter mot venstre på tallinja.

I et addisjons- eller subtraksjonsstykke begynner vi alltid med å flytte ossfra det første tallet til venstre i stykket.

Eksempel (–5) + 6 vil si at vi starter fra –5 på tallinja og flytter oss seksenheter mot høyre. Du kan også se for deg et termometer, dervi starter på –5 grader og flytter oss seks grader oppover. Daender vi på +1 grad.

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

Regler for addisjon og subtraksjon med negative tall Når vi har regnetegn og fortegn rettetter hverandre mellom leddene i et addisjons- eller subtraksjonsstykke,bruker vi flere regler:

Mattehjelperen_1.fm Page 17 Friday, November 21, 2014 10:15 AM

Documents

Mattehjelperen. Leksehjelp for foreldre og elever på ungdomsskolen