MATTE KURS-for foreldre og voksene (2)

Mehmet Ali EKIZ

01.01.2000

MATTE KURS For voksen og foreldre

Her finner du enkle innfringer i matematiske tema som elevene mter i

skolen. Vi har i frste rekke satset p "lynkurs" for foreldre/foresatte med

elever i barne- eller ungdomsskolen.

01.01.2000

1

MATTE KURS

For voksen og foreldre

Matematiske tekster

Er det noen temaer innen matematikken du har lyst til lre mer om? Her finner du artikler om alt fra null til uendelig.

A R I T M E T I K K

T a l l o g t a l l r e g n i n g

1. Aksiomer for reelle tall

Vi m ha egne lover, aksiomer, som gjelder for de vanlige reelle tallene vre slik at alle som jobber med matematikk behandler et regnestykke p nyaktig samme mten.

T a l l s y s t e m e r

2. Babylonsk tallsystem

Babylonerne (ca. 2000 f.Kr.) brukte et slags ufullstendig posisjonssystem med grunntall 60, men de adderte, multipliserte og dividerte akkurat som vi gjr.

3. Det gylne snitt

Man regner med at de frste til studere det gyldne snitt var pytagoreerne. Her lrer du blant annet hvordan du kan konstruere en regulr femkant med utgangspunkt i et linjestykke oppdelt etter det gylne snitt.


4. Fibonaccitallene

Om kaniner, bier og andre ting hvor Fibonaccitallene kan anvendes til modellere situasjonen. Fibonaccitallene i seg selv er ogs verdt et studium.


5. Hoderegning

Det er kanskje like mange teknikker for hoderegning som det er hoderegnere. Men noen generelle metoder gr igjen. Her ser vi p bde addisjon og multiplikasjon og p hvordan egenskaper ved tallene kan hjelpe oss p vei.


Lr om matematiske bevis av Terence Tao

Les tre av bevisene Tao har beskrevet i boka "Solving Mathematical Problems".

6. Magiske kvadrater

Historien til magiske kvadrater er omtrent 3000 r gammel. Kvadratet kalles magisk da summen i hver rad, hver syle og de to diagonalene i kvadratet er helt like. I et 3x3 kvadrat er summen 15.

K o m b i n a t o r i k k

01.01.2000

2

7. Pascals trekant

En trekant bygget opp av (et uendelig antall) rader med tall. I Europa har trekanten ftt navnet Pascals trekant etter matematikeren Blaise Pascal (1623-1662), men bde kinesiske og arabiske matematikere kjente til arrangementet av disse tallene lenge fr Pascal.


8. Personnummer

Fdselsnummeret ditt bestr av 11 siffer, av disse 11 utgjr de fem siste sifrene personnummeret. Initiativet til innfre personnummer kom fra nringslivet p 1950-tallet, for det ville gjre ting enklere i forbindelse med skattemyndigheter, trygdekontorer o.l.


9. Pytagoras og Diofant

Pytagoras og pytagoreerne underskte figurtall ved legge ut steinmnster p bakken. Ved hjelp av smsteinene fant de ut av partall og oddetall, og de jobbet med finne alle lsninger p likningen som i dag er kjent som Pytagoras lresetning - til det mtte de ha hjelp av Diofant.

B r k r e g n i n g

10. Stambrker

De gamle egypterne brukte summer av stambrker til hjelp nr de skulle fordele ting, og de var flinke i brkregning. Her kan du blant annet lre om hvordan du kan sammenligne brker uten hjelp av kalkulator.

11. Strekkoder

Strekkoder finnes p de aller fleste produkter vi omgir oss med i dagens samfunn. Hemmeligheten bak strekkoding fins i matematikken...

Symmetrier

At ANNA er symmetrisk er lett forst fordi det kan leses bde forfra og bakfra. Symmetri er et begrep som brukes i nesten alle deler av matematikken.

1. Tall og tallmengder

De naturlige tallene er 1, 2, 3 og s videre. Vi ser p utvidelsene fra de naturlige tallene opp til de komplekse.


2. Tallet 0

Null har to hovedbruksomrder; det brukes som posisjonsnotasjon og som tall i seg selv. I dag bruker vi tallet helt naturlig, men innfringen av tallet mtte motstand og ble ikke innfrt i Europa fr p 1600-tallet.

E k s p o n e n t i a l f u n k s j o n e r F u n k s j o n s t y p e r G r e n s e v e r d i L o g a r i t m e r T a l l o g t a l l r e g n i n g

3. Tallet e

01.01.2000

3

Tallet e har en forholdsvis kort historie i matematikkens verden, det ble ikke tatt i bruk fr midten av 1700-tallet. Tallet e og logaritmeregning hrer nye sammen, blant annet er eksponentialfunksjoner inverse av logaritmefunksjoner.

4. Tallet i

Visste du at det er mulig trekke kvadratroten av et negativt tall? Tallet i er definert som kvadratroten av -1, og det hrer til tallsystemet som kalles "De komplekse tall".


5. Tellbare tall

Vi har uendelig mange tall, men kan vi telle alle?


6. Uendelighet

Hva er uendelig? Kan vi laget et symbol for uendelig og late som om det er et tall vi kan regne med p lik linje med de vanlige tallene?

A L G E B R A

F u n k s j o n s d r f t i n g

1. Divisjonstrapp

Divisjon kan ogs utfres i trapper!

2. Klassisk kryptografi

Kokk-a-nonn dodd-u "rversprket" (= Kan du "rversprket")? Dette er en enkel form for kryptering av beskjeder. Her ser vi blant annet p hvordan vi kan kryptere ved bytte ut f.eks A med B, B med C osv, bruke Csarkoder.

3. Offentlig-nkkel kryptografi

Hvordan bruke grafer med perfekt kode til sende krypterte meldinger.

4. Strekkoder


A N A L Y S E

F u n k s j o n s d r f t i n g

1. Divisjonstrapp

Divisjon kan ogs utfres i trapper!

2. Grafer, algoritmer og effektivitet

Finnes det effektive algoritmer som kan hjelpe oss med lse alle problemer vi stter p i matematikken? Her ser vi p problemer som ikke har kjente, effektive algoritmer som blant annet hvordan avgjre om en graf har perfekt kode eller ikke.

M o d e l l e r i n g

01.01.2000

4

3. Matematikk og sjonglering

Veldig mye av det vi opplever rundt oss kan beskrives med matematikk, ogs sjonglering.

E k s p o n e n t i a l f u n k s j o n e r F u n k s j o n s t y p e r G r e n s e v e r d i L o g a r i t m e r T a l l o g t a l l r e g n i n g

4. Tallet e

Tallet e har en forholdsvis kort historie i matematikkens verden, det ble ikke tatt i bruk fr midten av 1700-tallet. Tallet e og logaritmeregning hrer nye sammen, blant annet er eksponentialfunksjoner inverse av logaritmefunksjoner.

B E V I S


1. Lr om matematiske bevis av Terence Tao


2. Matematiske bevis

I enhver matematisk teori er bevis noe av det som har strst betydning. Thales fra Milet (ca. 600 f.Kr.) var trolig den frste som gjennomfrte et bevis i en matematisk tekst.

G EOM ET R I

1. Broene i Knigsberg

Innbyggerne i Knigsberg gikk mange turer over broene i byen, og det bermte problemet var om det var mulig g Turen med stor t, nemlig en tur gjennom byen der man krysset hver av de syv broene nyaktig n gang.

A r e a l V o l u m

2. Cavalieris prinsipp

beregne volum er ikke alltid like lett, men det kan gjres enklere om du gjr det p samme mte som Bonaventura Cavalieri gjorde det p 1600-tallet.

3. Det gylne snitt

Man regner med at de frste til studere det gyldne snitt var pytagoreerne. Her lrer du blant annet hvordan du kan konstruere en regulr femkant med utgangspunkt i et linjestykke oppdelt etter det gylne snitt.

4. Fraktaler - matematikk i det sm

Fraktaler forbindes ofte med kompliserte bilder som Mandelbrotmengden, men fraktaler kan ogs lages for hnd.

K o o r d i n a t s y s t e m

Koordinatsystemer

For vite hvor vi er trenger vi et referansesystem, men et referansesystem trenger ikke bare vre det vanlige koordinatsystemet vi er vant med fra kartbker. Vi har ogs kulekoordinater, polarkoordinater og sylinderkoordinater.

01.01.2000

5


1. Lr om matematiske bevis av Terence Tao


2. Mbiusbnd og kleinflaske

Mbiusbnd og kleinflasker er legemer som behandles i topologi. Topologi er en retning innen den moderne geometrien hvor de ser p hvordan legemer henger sammen.

G e o m e t r i s k e o b j e k t e r

3. Platonske legemer

Omhandler de fem platonske legemene; tetraeder, oktaeder, heksaeder, dodekaeder og ikosaeder - hvor mange hjrner, kanter og sideflater de har og ogs om sammenhengen mellom disse, kalt Eulers formel.

P y t a g o r a s l r e s e t n i n g

4. Pytagoras' lresetning

Om den bermte setningen som brukes p rettvinklede trekanter. Den brukes ogs innenfor tallteori, og sammenhengen var egentlig kjent lenge fr Pytagoras tid.

G e o m e t r i s k e o b j e k t e r V i n k e l

5. Regulre mangekanter

Om vinkelsum, kantvinkler, suplementvinkler i "perfekte", eller regulre mangekanter. Formel for vinkelsum i en regulr mangekant er 180(n-2), hvor n er antallet kanter i figuren.

6. Sfrisk geometri

Vanligvis jobber vi med geometri i planet, i x-retning og y-retning. Hva skjer om vi forflytter oss til overflate p en kule, en sfre? Blir vinkelsummen mellom tre punkter fremdeles 180 grader?

7. Symmetrier

At ANNA er symmetrisk er lett forst fordi det kan leses bde forfra og bakfra. Symmetri er et begrep som brukes i nesten alle deler av matematikken.

S A N N S Y N L I G H E T


1. Pascals trekant


2. Spillteori

Spillteori gr i korte trekk ut p studere ulike former for spill, avdekke strategier og lsninger, avgjre ut om det finnes mter vinne spillene p, og ikke minst forst hvordan spillene faktisk er bygget opp.

01.01.2000

6

T A L L T EO R I



2. Palindromer

20 02 2002, om du leser det forlengs eller baklengs spiller ingen rolle, det har samme betydning begge veier.




P y t a g o r a s l r e s e t n i n g

4. Pytagoras' lresetning

Om den bermte setningen som brukes p rettvinklede trekanter. Den brukes ogs innenfor tallteori, og sammenhengen var egentlig kjent lenge fr Pytagoras tid.

5. Strekkoder


MAT EM AT I K K E N S H I S T O R I E

T a l l s y s t e m e r

1. Babylonsk tallsystem

Babylonerne (ca. 2000 f.Kr.) brukte et slags ufullstendig posisjonssystem med grunntall 60, men de adderte, multipliserte og dividerte akkurat som vi gjr.



3. Klassisk kryptografi

Kokk-a-nonn dodd-u "rversprket" (= Kan du "rversprket")? Dette er en enkel form for kryptering av beskjeder. Her ser vi blant annet p hvordan vi kan kryptere ved bytte ut f.eks A med B, B med C osv, bruke Csarkoder.

4. Magiske kvadrater

01.01.2000

7

Historien til magiske kvadrater er omtrent 3000 r gammel. Kvadratet kalles magisk da summen i hver rad, hver syle og de to diagonalene i kvadratet er helt like. I et 3x3 kvadrat er summen 15.

5. Matematiske bevis

I enhver matematisk teori er bevis noe av det som har strst betydning. Thales fra Milet (ca. 600 f.Kr.) var trolig den frste som gjennomfrte et bevis i en matematisk tekst.


6. Pascals trekant



7. Personnummer

Fdselsnummeret ditt bestr av 11 siffer, av disse 11 utgjr de fem siste sifrene personnummeret. Initiativet til innfre personnummer kom fra nringslivet p 1950-tallet, for det ville gjre ting enklere i forbindelse med skattemyndigheter, trygdekontorer o.l.




B r k r e g n i n g

9. Stambrker

De gamle egypterne brukte summer av stambrker til hjelp nr de skulle fordele ting, og de var flinke i brkregning. Her kan du blant annet lre om hvordan du kan sammenligne brker uten hjelp av kalkulator.


10. Tallet 0

Null har to hovedbruksomrder; det brukes som posisjonsnotasjon og som tall i seg selv. I dag bruker vi tallet helt naturlig, men innfringen av tallet mtte motstand og ble ikke innfrt i Europa fr p 1600-tallet.

11. Tallet i

Visste du at det er mulig trekke kvadratroten av et negativt tall? Tallet i er definert som kvadratroten av -1, og det hrer til tallsystemet som kalles "De komplekse tall".

01.01.2000

8

Aksiomer for reelle tall

Hvilke lover gjelder for vre vanlige reelle tall?

Dette hres kanskje ut som et litt underlig sprsml, som om Norges lover skulle gjelde

for tallene? La oss kikke litt p tallene og se p hvordan de oppfrer seg nr vi regner

med dem, s kanskje vi finner noen andre slags lover.

P skolen lrer vi at vi har vi fire regnearter, addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og divisjon. Jeg pstr at det ikke er fire, men bare to, addisjon og multiplikasjon. Og hvis vi bare hadde gjre med hele tall har vi egentlig kun n regneart, nemlig addisjon. I det tilfelle kan vi se p

multiplikasjon som repetert addisjon, . Dette gr ikke med reelle tall, for hvordan skulle vi framstille som repetert addisjon? Det er ikke mulig siden ikke er et helt tall. Vi kan ikke legge sammen noe ganger. Derfor trenger vi to regnearter for reelle tall, men bare n for hele tall.

De andre to regneartene, subtraksjon og divisjon, kan vi se p som avarter av addisjon og multiplikasjon. Hvordan? La oss holde oss til addisjon. For det frste observerer vi at det finnes ett tall som er mer spesielt enn de andre, nemlig tallet 0. Dette tallet har den egenskapen at det ikke forandrer noen ting nr det legges til et annet tall, og det er det eneste som oppfrer seg p denne mten. De negative tallene tvinger seg fram med en gang 0 er p plass. Tallet -3 er nettopp laget for vre det som vi kan legge til 3 og f 0. Tilsvarende for alle negative tall,

osv. Nr vi har oppdaget de negative tallene kan vi lett beskrive subtraksjon, rett og slett som addisjon av et positivt og et negativt tall, for eksempel 5 - 3 = 5 + (-3) = 2. Dermed trenger vi ikke se p subtraksjon som en egen regneart.

Tilsvarende kan vi gjre for divisjon. Frst m vi finne det tallet som i forhold til multiplikasjon spiller rollen som 0 gjr for addisjon. Dette tallet er 1. P samme mte som at den viktigste egenskapen til 0 er at ikke noe endres om vi legger til 0 s vil ikke noe forandres om vi ganger

med 1. Vi har at . Divisjon avleder vi fra multiplikasjon p samme mte som subtraksjon avledes fra addisjon. For alle reelle tall, bortsett fra 0, s finnes et annet tall som multiplisert

sammen med dette tallet gir akkurat 1. Dette tallet skrives og kalles den multiplikative

inversen. Inversen til 2 er og inversen til er . Dette gir oss alle brker. For et hvert

rasjonalt tall x er ogs et rasjonalt tall, og tilsvarende dersom x er et reellt tall. Til og med en brk delt p en brk blir ikke noe annet enn en vanlig brk nr vi multipliserer bort

smnevnerne. En divisjon 3 : 5 kan vi n oppfatte som og vi trenger ikke beskrive divisjon som en egen regneart.

Det aller mest spesielle tallet er likevel 0. Det har ingen invers, finnes ikke, det skulle eventuelt ha vrt uendelig, men det er ikke noe tall. Alle andre tall har en invers med andre ord 0 er vr store helt! - eller antihelt?

Vi nevner ogs at de to operasjonene addisjon og multiplikasjon til en viss grad henger sammen

gjennom det som kalles distributiv lov, dvs. at . Dermed dukker for frste gang begrepet lov opp. Distributiv lov er en lov som alle tallene m flge (og det gjr de!). Men det er ikke den eneste!

01.01.2000

9

Begge regneartene har noen egenskaper som vi ofte bruker, en er at de er kommutative. Det betyr at vi kan endre rekkeflgen i regnestykkene uten at svaret forandrer seg. Vi har 2 + 3 = 3 +

2 og vi har . "Faktorenes orden er likegyldig" sier man ofte om gange-eksempelet. I tillegg til "kommutativ lov" har vi det som kalles "assosiativ lov" dvs. 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4, men vi skal ikke g nrmere inn p den.

De egenskapene vi har sett p til n kan vi med en fellesbetegnelse kalle algebraiske egenskaper. I tillegg til de algebraiske egenskapene har de reelle tall "ordningsegenskaper". Det er nemlig slik at de reelle tall ligger langs tallinja, og det har mening snakke om at et tall er strre enn et annet. Uansett hvilke to forskjellige tall vi velger s er det ene tallet helt sikkert strre enn det andre. Dette er ikke opplagt, det er fullt mulig lage tallsystemer hvor dette ikke gjelder, for eksempel komplekse tall. Men det beste med ordningsstrukturen er at den passer sammen med den algebraiske strukturen. Hvis vi starter med et tall og legger til et hvilket som helst positivt tall s fr vi noe som er strre enn det vi startet med!

Den siste egenskapen til de reelle tall er det som kalles kompletthet. En tallinje har ingen hull! Alle punkter p tallinja tilsvarer et reelt tall, og alle reelle tall har sin plass p tallinja. Vi kunne ha kalt denne egenskapen for de reelle talls geometriske egenskap. Faktisk er dette den eneste egenskapen som skiller de reelle tall fra de rasjonale. Det er en overkommelig jobb sjekke at de rasjonale tallene har alle de samme algebraiske egenskapene og ordningsegenskapene som de reelle tallene, men alts ikke den geometriske egenskapen. De rasjonale tall har masse hull, selv om de ligger helt tett. Det kan hres ut som et paradoks, men er ikke det. Vi har brukt tallet tidligere. Dette tallet er et reelt tall og har derfor sin plass p tallinja, men det er ikke noe rasjonalt tall. Snn sett kan vi betrakte som et hull i den rasjonale linja.

De andre tallsystemene vi har sett p, nemlig de naturlige tall og de hele tall skiller seg ogs fra reelle og rasjonale tall p sine egenskaper. De naturlige tall mangler blant annet inverser for addisjon og de hele tall mangler inverser for multiplikasjon.

N kan vi drive litt matematisk gymnastikk. I stedet for starte med tallene og underske alle deres egenskaper, s starter vi heller med egenskapene og ser hva slags tall vi fr. La oss frst sl fast en ting, uten g nrmere inn p begrunnelsen: Hvis vi tar med alle de egenskapene vi har listet opp fr vi ndvendigvis de reelle tall. Men vi kunne tenke oss at vi tok bort noen egenskaper og s hva vi fikk da. Generelt vil det vre slik at for hvert krav vi tar bort, s fr vi flere muligheter. Snn sett er egenskapene betrakte som begrensninger. Tenk bare p det at dersom vi ikke krevde noen egenskaper for at noe skulle kalles tall, s ville absolutt alt vrt tall!

Vi kan se p et eksempel som ikke er helt vanlige tall. Vi gjr som de gjr i datamaskiner og holder oss til tallene 0 og 1. Vi har to regneoperasjoner

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

Tabell 1: Addisjon i datamaskiner.

01.01.2000

10

0 1

0 0 0

1 0 1

Tabell 2: Multiplikasjon i datamaskiner.

Av tabellene ser vi at begge disse operasjonene har alle de algebraiske egenskapene vi trenger (oppgave: sjekk at dette stemmer). Det eneste merkelige er at 1 + 1 = 0, dvs at -1 = 1. Dette er noks annerledes enn vi er vant til, men det fungerer helt fint. Det vi derimot ikke har er en ordning. Vi kunne ha sagt at 0 skulle vre mindre enn 1, men da blir det galt at 1 + 1 = 0, fordi det blir helt galt at nr noe blir enda strre s blir det mindre. Og noen geometrisk egenskap har vi ikke i dette eksemplet.

De 11 lovene for reelle tall

1. Addisjonslov: Summen av to reelle tall er et reelt tall. 2. Multiplikasjonslov: Produktet av to reelle tall er et reelt tall.

3. Kommutativ lov: 2 + 3 = 3 + 2 og . 4. Assosiativ lov: 2 + ( 3 + 4 ) = ( 2 + 3 ) + 4.

5. Distributiv lov: . 6. Null-loven: Det finnes et reelt tall 0 som ikke endrer noe nr vi legger det til. 7. Subtraksjonslov: Alle reelle tall har additiv invers, -2, -7, - osv. slik at 2 + (-2) = 0. 8. Enhetsloven: Det finnes et reelt tall 1 som ikke endrer noe nr vi ganger med det.

9. Divisjonslov: Alle tall bortsett fra 0 har en multiplikativ invers, . 10. Ordningsloven: De reelle tallene er ordnet, av to forskjellige tall er alltid ett strst og hvis vi legger til et positivt tall fr vi et tall med strre verdi. 11. Kompletthetsloven: De reelle tall er en komplett mengde, dvs. de dekker hele tallinja.

Babylonsk tallsystem

Mens egypternes matematikk var praktisk rettet, viste babylonerne en teoretisk

interesse for matematiske problemer. Ulempene med med det babylonske tallsystemet

var blant annet at de kun hadde to tallsymboler, og ingen av disse var tallet 0.

P samme mten som Nilen i Egypt skapte Eufrat og Tigris grunnlaget for den babylonske sivilisasjonen i Mesopotamia.

Mellom r -3000 og r -2000 var det sumererne som regjerte i den srlige delen av Mesopotamia. Deres kultur hadde ndd et hyt niv, og deres folk var blant de frste som hadde et skriftsprk. Etter hvert ble de dominert av folk fra Akkad lenger nord, som overtok mye av deres kultur. Omkring r -1800 kom kong Hammurabi fra byen Babel til makten, og han grunnla det frste babylonske dynasti.

De eldste kjente tekstene fra Mesopotamia stammer fra r -3000, mens de eldste babylonske tekstene vi kjenner, er fra perioden -1900 til -1600.

Babylonsk tallnotasjon

Babylonerne brukte et slags ufullstendig posisjonssystem med grunntall 60 (et seksagesimalt system). Med et fullstendig 60- talls posisjonssystem er det ndvendig med et symbol for null (den "tomme" plassen) og et symbol for hvert av de 59 tallene. Men babylonerne hadde bare to tegn:

01.01.2000

11

Fra 60 av begynte de p nytt, ved innfre en ny posisjon som skulle angi antall 60'ere osv.

Eksempel:

Som vi ser, skaper et slikt system stor tvetydighet. Er

Systemet mangler tegn for 0, komma og skikkelig posisjonsklarering.

Vr inndeling i minutter og sekunder stammer fra babylonerne. Via grekerne og araberne kom systemet til Vest-Europa

ca. r 1200. (Minutt = en sekstidel (av en time) = pars minuta prima (Latin). Sekund = en sekstidel (av et minutt) = pars

minuta secunda).

Regning hos babylonerne

Addisjon, subtraksjon og multiplikasjon foregikk som hos oss. Babylonerne trengte multiplikasjonstabeller over for

alle tall i, j mellom 1 og 59. Divisjon foregikk slik: 47:3 ble regnet ut ved frst beregne 1/3 og deretter multiplisere

med 47.

Babylonerne lste linere og ogs noen ikke-linere ligningssystemer slik vi gjr det, men de brukte ikke

bokstavsymboler til representere tall. Algebraen var retorisk, alts uttrykt med ord og setninger. Likevel var de i stand

til lse f.eks. annengradsligninger.

Et eksempel er ligningen . Babylonerne "omskrev" til (i vr notasjon):

x (x + 6) = 16

x + 6 = y

Alts fr vi

xy = 16

Dette lste babylonerne slik: Sett y = a + 3, x = a - 3. Da er xy = a2 - 9 = 16, slik at a2 = 25 og dermed er a = 5. Det gir x =

2 og y = 8.

Hvis vi sammenligner babylonsk matematikk med egyptisk matematikk, kan vi si at egyptisk matematikk er mer direkte

rettet mot praktiske anvendelser, mens babylonerne begynner vise en teoretisk interesse for matematiske problemer.

Babylonsk algebra representerer et stort framskritt, for ganske kompliserte ligningssystemer kan lses med den. En

alvorlig ulempe er imidlertid drlig og mangelfull matematisk notasjon.

Det gylne snitt

01.01.2000

12

Hvorfor ser noen rektangler (for eksempel A4-sider) 'penere' ut enn andre? Kanskje

fordi forholdet mellom sidene er tilnrmet tallet kjent som "det gylne snitt"...

Man regner med at det var pytagoreerne som var de frste til studere "Det gylne snitt", og at det er dette arbeidet som ligger bak nedtegnelsene om det gylne snitt i Euclids "Elementer" der det opptrer for frste gang. De gamle grekerne baserte seg p geometri og regnet ikke med symboler slik vi gjr i dag, men med lengder. Enkelte forhold og proporsjoner mellom lengder ble sett p som penere enn andre, og det gylne snitt var ett av dem ( var et annet): Ta et linjestykke mellom to punkter A og B og la AB vre lengden av linjestykket. Merk av et punkt C mellom A og B slik at forholdet mellom AB og AC er lik forholdet mellom AC og CB, dvs.:

, se figur 1.

Figur 1: Linjestykket som er

delt etter forholdet "Det gylne snitt".

Da sier vi at linjestykket er delt etter forholdet det gylne snitt.

Dette forholdet dukket opp i mange av grekernes geometriske konstruksjoner. Etter hvert dukket det ogs opp i algebraiske sammenhenger og ble assosiert med et tall. Det gylne snitt er tilnrmet lik 1,618. I artikkelen om fibonaccitallene kan du se hvordan man finner den nyaktige verdien ved lse en annengradslikning, og ogs se hvordan denne ligningen brukes til se sammenhengen mellom fibonaccitallene og det gylne snitt.

Navnet "Det gylne snitt" kommer fra tanken om at man i dette forholdet ville se normen for en fullkommen harmoni i proporsjonene. Det er blant annet brukt innenfor arkitektur, kunst og moteverdenen. Det gylne rektangelet er for eksempel rektangelet der forholdet mellom sidene er det gylne snitt, og dette er pent se p. Formen p kredittkort er tilnrmet det gylne rektangelet...

La oss se hvordan vi kan konstruere en regulr 5-kant ved starte med en linje som er delt opp etter det gylne snitt: La linjestykket AB vre delt opp etter det gylne snitt ved punktet C som i tegningen over. Vi bruker en passer og slr en sirkelbue med sentrum i A og radius AB og merker av punktet D p buen slik at AC = BD = CD, se figur 2.

Figur 2: Starten p en regulr

5-kant.

01.01.2000

13

Hvis vi kaller vinkel A for v, blir vinkel BCD lik 2v siden summen av vinklene i en trekant er 180

og en halvsirkelbue er 180. Trekant ABD er likebeint, og det gylne snitt gir at . Dermed fr vi at trekantene BCD og ABD er formlike, det vil si at trekant BCD er likebeint, og dermed er vinkel B ogs 2v. Dermed blir vinkel BDC lik v siden trekant ABD er likebeint, slik som i figur 3.

Figur 3: Vinklene i trekantene.

N slr vi en sirkelbue med sentrum i A og radius AC, og lar E vre skjringspunktet mellom buen og AD. Da vil E dele AD etter det gylne snitt. S trekker vi forlengelsene av linjene DC og BE som i figur 4.

Figur 4.

01.01.2000

14

Til slutt setter vi av punktene F og G p disse forlengede linjene slik at BD = DF = BG og trekker linjer.

Figur 5.

Ved se p trekantene vi fr i figur 5, ser vi at AGBDF blir en regulr 5-kant.

Fibonaccitallene

Tallflgen 1,1,2,3,5,8,13,... er bygd opp ved at hvert tall i flgen er summen av de to

foregende tallene i flgen. Tallene i denne flgen kalles fibonaccitallene, og de

dukker opp p de merkeligste steder...

Opphavet til disse tallene er et problem som Fibonacci jobbet med i r 1202. Problemet handlet om hvor fort kaniner kan formere seg under ideelle forhold:

Anta at et nyfdt par kaniner, en hann og en hunn, puttes i en innhegning.

Kaniner parer seg nr de er en mned gamle, og etter to mneder kan en hunn fde et nytt par kaniner. Anta n at vre kaniner ikke dr og at hunnene alltid fder et nytt par, en hann og en hunn, hver mned fra sin andre leve-mned.

Fibonaccis sprsml var: Hvor mange par kaniner er det i innhegningen etter ett r?

Lsning:

Vi starter med 1 par (par nr. 1).

Etter 1 mned: Par nr. 1 parrer seg, men vi har fortsatt bare 1 par.

Etter 2 mneder: Hunnen i par nr. 1 fder et nytt par, par nr. 2, s n har vi 2 par kaniner.

01.01.2000

15

Etter 3 mneder: Par nr. 1 fder sitt andre par, par nr. 3, mens par nr. 2 parrer seg, s dermed har vi 3 par i innhegningen.

Etter 4 mneder: Den frste hunnen fder sitt tredje par, par nr. 4. Par nr. 2 fr sitt frste par, par nr. 5, og par nr. 3 parrer seg. Totalt har vi n 5 par.

Etter 5 mneder: Par nr. 1, 2 og 3 fr ett nytt par hver og par nr. 4 og 5 parrer seg. Totalt 8 par.

Generelt vil vi etter hver mned ha alle parene fra forrige mned pluss noen nye par. De nye parene er ett par fra hvert av parene vi hadde to mneder tilbake (de nye parene vi fikk forrige mned fr ikke avkom fr neste mned). For finne ut hvor mange par vi har i slutten av en mned, m vi alts plusse sammen antall par vi hadde p slutten av de to foregende mnedene. Dette gir tallflgen

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

der leddene vil gi oss totalt antall par i innhegningen p slutten av hver mned. Svaret p Fibonaccis sprsml er dermed 233 par kaniner.

Fire generasjoner honningbier. (Illustrasjon: Birte

Lohne Lvdal)

Kaninoppgaven er kanskje ikke s realistisk, men i naturen fins det mange eksempler der fibonaccitallene modellerer situasjonen vi ser p.

Et eksempel er honningbier. Hann-honningbier produseres fra dronningbiens ubefruktede egg, s hannene har bare en mor og ingen far. Hunn-biene har bde mor og far. Hvis vi dermed teller forfedrene til en hann-honningbie i hver generasjon fr vi:

Start: 1 hann-honningbie

01.01.2000

16

En generasjon tilbake: 1 mor

To generasjoner tilbake: 2 besteforeldre (morens foreldre)

Tre generasjoner tilbake: 3 oldeforeldre (bestemors foreldre og bestefarens mor)

Fire generasjoner tilbake: 5 tippoldeforeldre (2 oldemdres foreldre og oldefars mor)

osv.

For hver generasjon har vi alts to typer forfedre; de kvinnelige som har to foreldre, og alts "deler seg i to", og de mannlige som kun har en mor, og sledes ikke forgrener seg. Den slags oppfrsel modelleres nettopp av fibonaccitallene.

Denne typen oppfrsel kan vi ogs finne p ulike blomster, ved se hvordan stilken forgrener seg: Begynn ved bakken og flg stilken oppover.

Hvis vi trekker nogenlunde rette horisontale streker mellom delingspunktene (der stilken forgrener seg), som er ca. i samme hyde, vil svrt ofte antall grener mellom disse strekene vre fibonaccitall. Nyserylliken er et slikt eksempel:

Nyseryllik

Vi nevner noen flere eksempler p fibonaccitallenes opptreden i naturen:

Hvis vi teller antall kronblader (blomsterblader) p en blomst, er det i mange tilfeller et fibonaccitall. For eksempel har smrblomster 5 kronblad, liljer 3, gullkrager 13, tusenfryd kan ha 34 eller 55 og blomster i kurvplantefamilien (slik som hestehov og lvetann) kan ha 89 blomsterblader.

Fibonaccispiralen er spiralen som er satt sammen av sirkelbuer der radiene er et nytt fibonaccitall for hver 90. grad (kvart rotasjon). Det vil si at vi tegner en spiral der vi starter med en halvsirkel med radius 1, deretter en kvart sirkelbue med radius 2 etterfulgt av en kvart bue med radius 3 og s videre.

01.01.2000

17

Fibonaccispiralen.

Du kjenner den kanskje igjen fra sneglehus og diverse skjell?

En annen type spiraler er skalte "botaniske spiraler". Hvis du ser nrmere p for eksempel kongler, ananas eller frhodene i en solsikkeblomst, vil du finne mange spiraler. Det er pvist en klar sammenheng mellom slike spiraler og fibonaccitallene. Hvis du for eksempel teller antall spiraler i solsikkeblomsten vil du finne 21 spiraler som gr med klokka og 34 som gr mot! Generelt vil antall botaniske spiraler med og mot klokka nesten alltid vre nabo-fibonaccitall. Studier har vist at dette er det mest hensiktsmessige pakkemnsteret en plante kan benytte seg av.

La oss n se litt nrmere p noen av alle de matematiske egenskapene til fibonaccitallene. Dem er det nemlig mange av. Det er ogs mange som har studert fibonaccitallene, og noen har funnet flgende mnster blant disse tallene: Hvis vi ser p det siste sifferet i hvert fibonaccitall, fr vi flgen

0,1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,.....

(Det er mange som bruker 0 som det frste fibonaccitallet.) Det viser seg at nr vi kommer til det 60. tallet i denne flgen av siste sifre, starter den p nytt, og repeteres for hvert 60. tall. Vi sier at det siste sifferet i fibonaccitallene har en sykel av lengde 60. Ser vi p de to siste sifrene (00,01,01,02,03,05,08,13,....), har vi en sykel av lengde 300. For de tre siste sifrene har vi en sykel av lengde 1 500, for fire 15 000, for fem 150 000 osv. Det ser ut til vre et mnster blant mnstrene i fibonaccitallene...

Vi innfrer fra n notasjonen F(n) for det n-te fibonaccitallet, for eksempel er F(3) = 2 og F(7) = 13.

Hvis vi starter med F(3), s ser vi at hvert 3. fibonaccitall (F(3), F(6), F(9)...) er et multippel av F(3).

Siden F(3) = 2 vil det si at disse tallene er partall. Hvis vi starter p F(4), s er hvert 4. fibonaccitall (F(4), F(8), F(12)...) et multippel av F(4) = 3. Starter vi med F(5) s er hvert 5.

01.01.2000

18

fibonaccitall et multippel av F(5) = 5. Vi har observert et mnster og gjetter n at F(nk) er et multippel av F(k) for alle verdier av n og k=1,2,...

Siden dette er et resultat som gjelder for de naturlige tallene, kan vi prve bevise dette ved induksjon. Det klarer vi (Selv om vi ikke gjr det her), og dermed er gjetningen vr blitt et resultat.

Vi har ogs et annet resultat som omhandler faktoriseringen av fibonaccitallene. Det kalles Carmichaels teorem: Bortsett fra fire unntak har vi at hvis vi ser p primtallsfaktorene til et fibonaccitall vil det vre minst en av dem som ikke har forekommet som en faktor i et mindre fibonaccitall. Unntakene er F(1) = 1, F(2) = 1, F(6) = 8, F(12) = 144 (de to frste har ingen

primtallsfaktorer, og og bde 2 og 3 er faktorer i mindre fibonaccitall).

En annen kuriositet om primtall og fibonaccitall er at hvis vi ser p de naturlige tallene som kommer fr og etter et fibonaccitall er disse aldri primtall. Dette gjelder for alle fibonaccitall strre enn 8 (for 8 er naboene 7 og 9, og 7 er et primtall). lete etter primtall er "big business" i dag. I letingen kan vi iallfall utelukke naboene til fibonaccitallene.

Vi har nevnt mnstre som opptrer nr vi ser p de siste sifrene i fibonaccitallene, s vi spr n: Er det noen mnstre i de frste sifrene i fibonaccitallene? Hva er sannsynligheten for at et fibonaccitall begynner med sifferet 1? Hva med 4? Det viser seg at frste siffer i fibonaccitallene oppfrer seg ganske likt som for eksempel frste siffer i antall innbyggere i verdens land: Det mest "populre" sifferet i begge tilfeller er 1, deretter flger 2, helt ned til 9, som er det sifferet som dukker opp frrest ganger som frste siffer. Det er faktisk ca. en tredjedel av verdens land som har et antall innbyggere der frste siffer er 1. Dette er eksempler p samlinger av tall som flger Benfords lov.

Vi sier at en samling tall flger Benfords lov hvis frste sifferet i tallene flger flgende distribusjon:

Siffer 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Prosentandel 30 18 13 10 8 7 6 5 5

Denne loven opptrer ofte i statistikken, nemlig nr vi har en samling tall som fger en potenslov, dvs. at tallene forholder seg til en potens av et tall. Se for eksempel p tallene som er en potens av 2: 2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,131072,262144,524288,...

Det er 1 som opptrer oftest som frste siffer, deretter flger 2 osv.

Nr vi kaster en terning eller trekker et Lotto-tall er henholdsvis tallene 1-6 og 1-34 like sannsynlige. Her gjelder ingen potenslov. Men i tilfeller som fibonaccitallene, antall innbyggere i verdens byer eller land, strrelsene p verdens innsjer og prisene p aksjer p brsen har vi en potenslov. Fibonaccitallene forholder seg for eksempel til potenser av tallet "det gylne snitt" som ofte betegnes (uttales "fi", skrives "phi").

Tanken om "Det gylne snitt" gr tilbake til Pytagoras' tid, da man s p enkelte proporsjoner og forhold som penere enn andre. Tenk deg at vi har en strrelse som deles i to slik at den strste delen forholder seg til den minste slik hele strrelsen forholder seg til den strste delen. Da sier vi at strrelsen er delt etter det gylne snitt. La oss se hva forholdet, det gylne snitt, blir.

01.01.2000

19

Vi kaller de to delene A og B. Hvis A er den strste delen, skal vi alts finne forholdet . Vi har

som gir oss ligningen . Siden B 0 kan vi dele p B2 som gir

andregradsligningen . Lsningene av denne gir

eller .

Dette gir forholdet siden vi vil ha et positivt tall. Det er tilnrmet lik 1,61803.

S var det sammenhengen mellom fibonaccitallene og det gylne snitt: I utregningen av det gylne

snitt hadde vi lsningene og for andregradsligningen vr. For fibonaccitallene

viser det seg at vi har formelen .

La oss se hvordan vi kan f frem fibonaccitallene ved manipulere andregradsligningen

. passer inn i denne ligningen, det vil si at . Hvis vi multipliserer

ligningen med hyere og hyere potenser av og erstatter med fr vi:

.

.

.

.

Vi gjetter at

,

noe vi kan vise at stemmer ved induksjon.

N brukte vi , men passer ogs inn i andregradsligningen, s dermed fr vi p

tilsvarende mte .

Ser vi p differansen , fr vi formelen vi ga over for F(n).

01.01.2000

20

Hvis vi ser p forholdet for stadig strre n, fr vi

dermed etter en del mellomregning at

Siden , blir det andre leddet bde over og under brkstreken mindre og mindre for

stadig strre n, s blir nrmere og nrmere , det gylne snitt. For eksempel er

55/34 ~ 1,61765 89/55 ~ 1,61818 144/89 ~ 1,61798 233/144 ~ 1,61806.

La oss n manipulere nok et polynom. Denne gangen ser vi p polynomet P(x) som har fibonaccitallene som koeffisienter:

Nr vi setter inn x-verdier for x < 1, vil vi f en sum, og siden koeffisientene er fibonaccitall kan vi regne ut hva summen blir:

Se p polynomene

og

Hvis vi n tar polynomet , vil vi kun f igjen polynomet 1, siden alle andre ledd kanselleres (det er slik fibonaccitallene er bygd opp - prv selv!). Dermed fr vi at

. Hvis vi setter inn , ser vi p . Dette gir oss flgende tall skrevet i

titallssystemet: 1,12359550561.... (9-tallet kommer fra ). Vi kan n finne

den nyaktige brken for dette desimaltallet, nemlig ved sette inn i P(x) dvs. .

Fibonaccitallene dukker ogs opp i Pascals trekant. Pascals trekant er rader med tall som danner en trekant. Trekanten er bygd opp med 1-ere p kantene og der hvert tall innenfor disse er summen av de to tallene i raden over som er p hver side av tallet:

1

1 1

01.01.2000

21

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

... og s videre.

Hvis vi n tegner Pascals trekant slik at alle radene flyttes til hyre slik at vi fr en diagonal med 1-ere, kan vi summere kolonnene. Gjett hva disse summene blir... Vi setter det i en tabell:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 ...

1 6 15 20 ...

1 1 2 3 5 8 13 ...

Vi kan prve forklare dette ved se p antall mulige mter summere tallene 1 og 2 p slik at summen blir n, n et naturlig tall. For eksempel hvis n=4, fr vi 1+1+1+1,2+1+1,1+2+1,1+1+2 og 2+2, som gir 5 mter. Hvis vi i tillegg deler mtene opp etter hvor mange 1-ere og 2-ere vi bruker, fr vi delt opp n som i n-te kolonne av Pascals trekant (der vi har flyttet radene som over). S for eksempel, 5 deles i 1 3 1.

Til slutt tar vi en liten tur tilbake til fibonaccispiralen. P tilsvarende mte som vi lagde denne spiralen ved pusle sammen sirkelbuer der radiene var fibonaccitall, kan vi pusle sammen kvadrater der sidene er fibonaccitall og f rektangler:

01.01.2000

22

Kvadrater der sidelengdene er Fibonaccitall.

Nr vi bygger et nytt rektangel ved legge til et kvadrat, blir den korte siden i rektangelet lik den lengste siden i det forrige rektangelet, og den lange siden blir summen av sidene i de to siste kvadratene vi la til.

Vi har alts et puslespill av kvadrater som har lengder som er et fibonaccitall.

Hva forteller dette puslespillet oss matematisk? Hvis vi ser p arealene vi fr, fr vi

Generelt ser det alts ut til at hvis vi summerer kvadratene av fibonaccitall vil summen bli lik produktet av det strste fibonaccitallet vi brukte i kvadratene og det neste fibonaccitallet. Sagt matematisk, 12+12+22+32+52+82+...+F(n)2=F(n)F(n+1), noe som igjen kan vises ved induksjon.

Hoderegning

Det er ikke alltid s lett fortelle andre hvordan man regner i hodet. Vi har ofte helt

forskjellige teknikker, og det som kan virke lett for noen er vanskelig for andre. Det er

kanskje like mange teknikker for hoderegning som det er hoderegnere. Men noen

generelle metoder gr igjen. Vi skal ta for oss bde addisjon og multiplikasjon og se

hvordan egenskaper ved tallene kan hjelpe oss p vei.

Legge sammen

01.01.2000

23

legge sammen i hodet er egentlig bare et sprsml om huske og holde rede p flere ting samtidig. Posisjonssystemet er i seg selv et godt utgangspunkt for hoderegning. Sprsmlet blir om man skal begynne bakfra eller forfra, dvs. om man skal legge sammen enerne frst og s tierne slik man gjr nr man regner p papir, eller om man skal g motsatt vei. Nr man regner i hodet kan det ofte vre lurt g den andre veien.

Hvis man begynner med de strste tallene m man hele tiden skjele til neste tall for se om det skjer en tierovergang. Et eksempel: 3782+1965. Vi starter fra venstre, med tusenene, 3+1=4, men det aner oss, ved kaste et blikk p det som kommer etterp, at det er en tierovergang i neste siffer. Derfor blir frste siffer 5. Siden 7+9=16 og 10-eren er brukt opp, blir neste siffer 6, men ogs her aner vi at det er tierovergang p gang og ker med en, til 7, alts 5 tusen 7 hundre ... Neste siffer blir 4, fordi 8+6=14 og 10-eren er brukt opp fra fr, og denne gangen kommer det ingen tierovergang, alts beholder vi 4, og til slutt fr vi 2+5=7. Til sammen 5747. Kunsten er gjre disse prosessene s raskt at man kan lese svaret fem tusen sju hundre og frtisju, mens regningene som beskrevet over pgr. Det som kreves er huske samt kunne lille addisjonstabell utenat. Subtraksjon kan gjres omtrent p samme mte.

Gange sammen

Nr det gjelder multiplikasjon er det flere ulike teknikker som kan anvendes, og teknikkene har litt forskjellige bruksomrder. Den mest generelle teknikken er flytting av faktorer. Ethvert tall kan p en entydig mte (bortsett fra omstokking av rekkeflge) faktoriseres i sine ulike primfaktorer. Ofte er det lettere multiplisere sammen et stort tall med en enkel primfaktor og s gjenta dette til hele multiplikasjonen er utfrt enn multiplisere sammen to flersifrede tall. Et eksempel illustrerer dette prinsippet.

Utfr multiplikasjonen 168 78. Vi starter med splitte av primfaktorer p det minste av tallene. I dette tilfellet er 78 det minste og vi ser lett at 2 er en faktor. Det gir oss 168 78 = 336 39, der fordoblingen av 168 flger addisjonsprinsippet med begynne forfra og skjele bakover om det er noen tierovergang i sikte p neste siffer. Videre er 39 delelig med 3, og 336 lar seg lett multiplisere med 3 siden vi husker at 333 3 = 999. Siden 336 er 3 strre vil 3 ganger tallet bli 9 strre, alts 1008, dvs. er regnestykket vrt 1008 13. N gjenstr egentlig bare multiplikasjonen 8 13. Denne tar vi greit ved at 8 13 = 4 26 = 2 52 = 104. Eller s husker vi at hver farge i en kortstokk har 13 kort, det er fire farger og til sammen 52 kort. 8 farger tilsvarer 2 kortstokker med 52 2 = 104 kort. Vrt opprinnelige regnestykke blir dermed 168 78 = 13104. Dette virker kanskje noks ad hoc og lite generelt, men faktum er at vi ved denne framgangsmten tar i bruk helt vesentlige egenskaper ved de naturlige tallene, nemlig deres multiplikative oppbygning. Ankepunktet ved en slik metode er selvflgelig at av og til m vi multiplisere med primtall, og da er metoden til liten hjelp. Eller s kan tallene vre s store at vi ikke klarer faktorisere. Det kan nemlig vre svrt vanskelig, srlig for store tall.

Faktorisering fungerer veldig ofte bra, men som vi har sett, ikke alltid, og metoden er heller ikke ndvendigvis s rask. En metode som bare fungerer i enkelte tilfeller, men som da kan vre god, er bruke kvadratsetningene, srlig den tredje. Den sier at

.

Det er ikke vanskelig vise at dette alltid gjelder, vi ganger bare ut ledd for ledd og ser fort at det er to ledd som inneholder ab, og disse opptrer med motsatt fortegn. Anvendelsesomrdet er p produkter av typen 26 34, der det ene tallet er like mye mindre enn et rundt tall som det andre er strre. Vi regner slik: 26 34 = (30-4)(30+4)= 900-16 = 884. Det er ogs mulig bruke frste og andre kvadratsetning,

01.01.2000

24

og ,

men dette er sjelden veldig effektivt.

Noen helt spesielle teknikker finnes ogs. En av dem er multiplikasjon mellom et tosifret tall og 11. Det er lett se, ut fra vanlig oppstilling av multiplikasjon at svaret er laget ved ta det tosifrede tallet, splitte sifrene og sette tverrsummen i midten. Dersom tverrsummen overstiger 9, alts er 10 eller strre, s settes siste siffer i tverrsummen i midten, og ettallet legges til det frste av de splittede sifrene. Vi tar to eksempler.

11 42, tverrsummen av 42 er 6 og svaret blir 462. I utregningen av 11 68 ser vi at tverrsummen av 68 blir 14, vi setter 4 i midten og legger 1-tallet til 6 og fr 748.

Det er generelt vanskelig beskrive metoder for hoderegning. Men det er mulig bruke aritmetiske egenskaper ved tallene, som faktorisering eller generelle algebraiske resultater som kvadratsetningene og lage helt allmenne teknikker. I tillegg er det en forutsetning for rask hoderegning at man er vet i hndtere flere teknikker samtidig, at man har evne til huske mange tall og at man klarer kombinere dette. Den praktiske betydningen av en slike evne er ikke bare kuris, men kan for mange vre nyttige i ulike dagligdagse sammenhenger.

Men kanskje vel s viktig som kunne utfre eksakte regnestykker i hodet er kunne gjre kvalifiserte og gode overslag i hodet, slik at man kan angi cirka-svar p regneproblemer som dukker opp. Man gjr noen forenklinger, bruker noen av de foreskrevne teknikker og s kommer man fram til svar som for mange praktiske forml er like gode som det eksakte svaret. I alle tilfelle er det nyttig kunne den lille multiplikasjonstabellen utenatt, den ligger ofte til grunn. Et eksempel p dette er rask divisjon i hodet. Dersom man fr oppgitt f.eks. et firesifret tall som man av ulike grunner vet er et kvadrattall s holder det ofte ansl strrelsen p tallet ved se p de frste to sifrene, for deretter sikte seg inn p det eksakte tallet ved se p de to siste.

Et eksempel: 52 52 = 2704. Hvis vi kun kjenner svaret kan vi tenke slik: Normalt vil kvadratet av et 2-sifret tall vre 3 eller 4-sifret, kvadratet av et 3-sifret tall 5 eller 6-sifret, osv. Det betyr at kvadratroten til 2704 raskt vil kunne fastsls vre 2-sifret, og siden 50 50 er 2500, mens 60 60 er 3600, s vet vi at tallet ligger mellom 50 og 60. Ser vi p siste siffer, s bruker vi flgende huskeregel, kvadratet av et tall som slutter med 1 har 1 som siste siffer, kvadratet av et tall som slutter p 2 har 4 som siste siffer, 3 som siste siffer gir 9, osv. Det er to kvadratstyper som har 4 som siste siffer, nemlig de som slutter p 4 og de som slutter p 8. 2704 er nrmere 2500 enn 3600 hvilket skulle indikere at svaret er 52. Forutsetningen for at dette skal g bra er at tallet vi ser p faktisk er et kvadrattall.

Igjen ser vi at forutsetningene for regne raskt i hodet er en god kjennskap til tallene og deres multiplikative egenskaper, kombinert med evne og intuisjon til finne gode teknikker og hndtere flere tall samtidig.

Det finnes selvflgelig et mangfold av andre teknikker som vi ikke kan behandle her. Det viktigste er finne sine egne metoder, som passer til ens egne ferdigheter. Det er i stor grad opp til den enkelte, og en fin og nyttig intellektuell velse.

Lr om matematiske bevis av Terence Tao

01.01.2000

25

Terence Tao

Terence Tao er fdt i Adelaide i Australia i 1975. I 1987, 1988 og 1989 var han med p det australske laget i den internasjonale matematikkolympiaden (IMO). Matematikkolympiaden er for elever under 20 r.

I 2006 ble Terence tildelt Fields-medaljen som av mange ses p som den mest prestisjetunge matematikkprisen i verden.

I tillegg til masse annet har Terence ogs skrevet en bok om bevis som passer for deg som liker matematikk. Den heter "Solving Mathematical Problems" og foreligger normalt bare p engelsk, men matematikk.org har ftt lov til oversette noen av bevisene til norsk som en prve for deg som kanskje kunne ha lyst til lese boka p engelsk.

Bevis innen euklidsk geometri

Oppgave: ABC er en trekant som er innskrevet i en sirkel. Halveringslinjene i vinkel A,

B og C treffer sirkelen i henholdsvis D, E og F. Vis at AD str vinkelrett p EF.

Fra boka "Solving Mathematical Problems", oversatt av Nils Voje Johansen

Figur 1: Sirkel med alle punktene i oppgaven markert.

Vi begynner selvsagt med tegne en figur og markere alle punktene, se figur 1.

Jeg har i tillegg tatt meg den frihet merke innsenterpunktet med I (halveringslinjene skjrer hverandre i innsenteret (sentrum i trekantens innskrevne sirkel), og punktet kan derfor vre viktig). Jeg har ogs avmerket skjringspunktet M mellom linjene AD og EF (som jo er stedet hvor vi nsker vise at linjene str vinkelrett p hverandre). Dermed kan vi skrive ned vrt

studieobjekt som en likning, vi vil vise at . (Vi kunne selvsagt formulert kravet ved hjelp av en av de andre vinklene der linjene skjrer hverandre, for eksempel

.)

Dette ser ut til vre en overkommelig oppgave: figuren er lett tegne, og pstanden virker rimelig ut fra figuren. Stilt ovenfor et problem av denne typen vil ofte en direkte angrepsmte fungere greit.

Vi skal beregne en vinkel i M. Ved frste yekast synes det ikke vre noe spesielt ved punktet M. Etter ha satt inn alle de data vi har ser vi at vi kjenner mange vinkler, hovedsakelig p

01.01.2000

26

grunn av vinkelhalveringene, trekantene og den omskrevne sirkelen. Kanskje det vil kunne la seg gjre bestemme AMF bare ved finne nok andre vinkler? Tross alt er det jo mange lresetninger (teoremer) som bare venter p bli brukt: summen av vinklene i en trekant er 180, periferivinkler som spenner over samme sirkelbue er like store, vinkelhalveringslinjene i en trekant er konkurrente (skjrer hverandre i ett punkt).

Vi starter derfor med navngi noen vinkler. Siden trekant ABC er utgangspunktet vrt og siden vi har halvert vinklene i trekanten, virker det fornuftig starte med navngi vinklene i trekanten:

, og

(det er vanlig betegne vinkler med greske bokstaver). N har vi selvsagt at .

Vi kan lett finne en mengde andre vinkler fra dette, for eksempel er . (Det beste er om du lager en tegning og setter p tilsvarende vinkler selv.) Vi kan n benytte at vinkelsummen i en trekant er 180 og finne noen av de indre vinklene. For eksempel, siden I er innsenteret (skjringspunktet mellom AD, BE og CF) i ABC, s kan vi lett finne at

ved se p trekanten AIC. Sannheten er at vi kan finne s godt som alle relevante vinkler bortsett fra de ved M, som jo var de vi egentlig nsket finne. Vi m derfor forske representere vinkelen ved M ved hjelp av andre vinkler som ikke er relatert til

M. Heldigvis er dette ikke s vanskelig, vi kan for eksempel sette , som vi jo nsker vise at er 90, lik

.

Dette bringer oss et langt steg fremover siden de to vinklene og er mye letter bestemme. Vi finner

, og fordi periferivinkler som spenner over samme sirkelbue er like store finner vi

Av dette fr vi at

,

akkurat det vi var p jakt etter.

Dette er en vakker mte lse geometriske problemer p rett og slett arbeide seg frem til den etterskte vinkelen. Vinkler er vanligvis enklere finne enn sidekanter (hvor du ofte m plye deg gjennom stygge uttrykk med sinus og cosinus), og reglene er ogs lettere huske.

Intervju med Terence Tao

Dette intervjuet er hentet fra intervjuet som ble offentliggjort i forbindelse med at Terence Tao ble tildelt Fields-medaljen. Hvis du vil lese hele intervjuet p engelsk finner du det i vre eksterne lenker til hyre p denne siden.

Hvordan ble du interessert i matematikk? Var det noe som kom innenfra eller kom det ogs

av at du for eksempel hadde en spesielt god lrer?

01.01.2000

27

Foreldrene mine har fortalt meg at jeg var interessert i tall allerede som toring, jeg forskte lre de andre barna telle ved hjelp av lekeklosser med tall p. Jeg husker dessuten at jeg som barn var fascinert av mnstre og lek med manupulering av matematiske symboler. Det var frst senere, p videregende skole, at jeg ogs lrte meg sette pris p de dypere aspektene ved matematikk og hvordan den henger sammen med verden rundt oss og ens egen intuisjon. N verdsetter jeg faktisk de dypere aspektene ved matematikken mer enn selve problemlsingen. Jeg tror at det viktigste for bli interessert i matematikk er ha evnen til og friheten til leke seg med matematikken lage sm utfordringer for seg selv, finne opp sm spill og s videre. Det var ogs viktig for meg ha gode lrere fordi det gav meg muligheten til diskutere denne typen matematisk lek. Den formelle klasseromsundervisningen er selvsagt best for lre teori og anvendelser og for f innblikk i og sette pris p faget som sdan , men klasserommet er ikke det beste stedet for lre eksperimentere. Et karaktertrekk som kommer godt med er dessuten ha evnen til konsentrere seg, og kanskje det ogs hjelper vre litt sta. Hvis vi i klasserommet lrte noe som jeg bare delvis forstod flte jeg meg ikke tilfreds fr jeg var i stand til g gjennom det hele, og skjnne det. Det uroet meg nr forklaringene ikke passet sammen som de skulle. Jeg brukte ofte mye tid p enkle ting helt til jeg forstod dem baklengs og forlengs, og dette hjelper deg virkelig nr du gr videre med mer avanserte deler av faget.

Hvordan ser du etter nye problemer arbeide med? Og hvordan vet du at et problem vil bli

et interessant problem arbeide med?

Jeg snapper opp mange problemer ved snakke med andre matematikere. Jeg hadde kanskje flaks, i og med at mitt frste arbeidsomrde, harmonisk analyse, har s mange forgreininger til og anvendelser p andre omrder av matematikken (partielle differensiallikninger (PDE), anvendt matematikk, tallteori, kombinatorikk, ergodeteori etc.). S i grunnen har det aldri vrt noen mangel p problemer ta fatt i. Jeg kan ogs komme over interessante problemer ved g gjennom et omrde av matematikken og oppdage at det i litteraturen er et hull, for eksempel ved se p en analogi mellom to ulike objekter (for eksempel to forskjellige PDE) og sammenlikne de kjente positive og negative lsningene for begge.

Finnes det hot topics innen matematikken, og i s fall hva vil du si er hot topics n?

Jeg kjenner egentlig bare godt nok til de omrdene av matematikken hvor jeg selv arbeider aktivt, s jeg kan ikke si hva som er hot p andre omrder. P mitt eget omrde synes det som om ikke-linere geometriske PDE er i vinden for tiden (mest spektakulrt i Perelmans [en annen Fieldsmedaljevinner fra 2006] bruk av Ricci flow for lse Poincars formodning) det er ogs en spennende syntese mellom geometrisk, analytisk, topologisk, dynamisk og algebraisk metode her!

Hvordan ser du p forholdet mellom matematikk og offentligheten? Og hvordan mener du

det ideelt burde vre?

Forholdet varierer antagelig en del fra land til land. I USA synes det som det er en slags diffus allmenn oppfatning av at matematikk er viktig for mye av den hyteknologiske industrien, men oppfatningen er ogs at det er vanskelig og br overlates til eksperter. S det er vilje til sttte matematisk forskning, men det er ikke s stor interesse etter finne ut hva matematikere egentlig gjr. (Det har i det siste vrt en del innen film og andre medier som har involvert matematikere, men dessverre er det veldig sjelden de gir noe som likner p et sannferdig bilde av hva matematikk er og hvordan det er arbeide med det.) Jeg skulle gjerne

01.01.2000

28

sett at matematikken ble demystifisert og gjort mer tilgjengelig for allmennheten, men jeg vet ikke egentlig hvordan man skal gripe det an for n disse mlene.

Bevis innen tallteori

Oppgave: Vis at i en rekke av 18 tresifrete tall som flger etter hverandre i tallrekka

vil i det minste ett av tallene vre slik at tverrsummen deler tallet.

Fra boka "Solving Mathematical Problems", oversatt av Nils Voje Johansen.

Dette er et klart begrenset problem. Det finnes bare rundt 900 tresifrete tall, s i teorien kunne vi sette oss ned og regne etter for se om det stemmer. Men la oss se om vi kan unng den slags grisearbeid.

For det frste virker selve studieobjektet vrt litt fremmed: Vi nsker se p tall som skal vre delelig med tverrsummen. La oss forske f det hele p matematisk form, slik at vi lettere kan behandle (manipulere) det. Et tresifret tall kan skrives p formen abc10, hvor a, b og c er siffer. Vi benytter skrivemten abc10 for ikke blande det sammen med abc legg da merke til at vi bestemmer at abc10 = a100 + b10 + c, mens abc = abc. Det finnes en standard skrivemte for uttrykke at tallet a deler tallet b (alts at a gr opp i b), den ser slik ut: a|b. Benytter vi denne skrivemten kan problemet vrt omskrives til formen

(a + b + c)|abc10 (1)

hvor abc10 er sifrene i et av de 18 tallene. Kan vi n redusere, forenkle eller gjre noe annet med dette uttrykket? Det er mulig f til noe, men ikke noe som ser vettugt ut (som for eksempel en brukbar likning som forbinder a, b og c direkte). Faktum er at (1) er et grusomt uttrykk arbeide med, selv om vi forsker erstatte abc10 med a100 + b10 + c.

Jukser vi litt og ser p de tallene som lser (1) vil vi finne at det er

100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, ..., 990, 999.

De ser ved frste yekast tilfeldige og vilkrlige ut. Det kan imidlertid se ut til at de forekommer ofte nok til at ethvert utvalg av 18 pflgende tall vil inneholde minst ett av dem. Men har 18 noen signifikant betydning? La oss anta at 18 ikke er valgt for villede (at det samme for eksempel ogs ville vre tilfelle for 13 pflgende tall) hvilken betydning har da 18? Noen av dere vil kanskje huske at 9 kan skape en forbindelse mellom et tall og tverrsummen av tallet (for eksempel vil et tall og tallets tverrsum f samme rest dersom vi dividerer med 9), og tallet 9 er jo i sin tur forbundet med 18. Det kan alts vre en slags forbindelse her. Men til tross for dette har vi ikke klart uttrykke noe som fanger opp delelighet samt at vi er interessert i pflgende tall. Det kan derfor se ut som vi m reformulere oppgaven eller se p en beslektet oppgave for komme videre.

La oss begynne med se etter alt som kan ha med tallet 9 gjre. Hvis vi ser p lsningene av (1) legger vi merke til at mange er multiplum av 9, og enda flere er multiplum av 3. Ser vi nyere etter i lista er det faktisk bare tre unntak, 100, 110 og 112. Kanskje vi derfor skulle forlate formuleringen

I ethvert utvalg av 18 pflgende tall vil minst ett tilfredsstille (1)

og i stedet forske oss p

I ethvert utvalg av 18 pflgende tall finnes det et multiplum av 9 som tilfredsstiller (1).

Dette leder oss i en retning som ser lovende ut, og det bygger bro mellom studiemengden vr (18 pflgende tall) og kravet (at minst ett tall tilfredsstiller (1)), siden 18 pflgende tall alltid vil inneholde et multiplum av 9 (i realiteten inneholder det jo to slike multiplum).

01.01.2000

29

Tallteoretiske argumenter og erfaring fra prving har jo dessuten vist oss at multiplum av 9 ofte tilfredsstiller (1). Metoden med formulere en hjelpeoppgave er ofte den beste mten forene to utsagn som fremstr som uvennlige.

Det viser seg n at denne hjelpeoppgaven (hvor vi betrakter multiplum av 9) virkelig fungerer, men det trengs litt arbeid for sikre at vi dekker alle muligheter. Det viser seg faktisk at det er bedre se p multiplum av 18. Vi har alts flgende lille plan:

se p 18 pflgende tall se p et multiplum av 18 f en lsning av (1)

Det er to grunner til denne endringen:

18 pflgende tall vil alltid inneholde ett multiplum av 18, men det vil vre vre to multiplum av 9. Det ser derfor penere ut, og virker riktigere, benytte multiplum av 18 enn multiplum av 9. Hvis vi bare benyttet multiplum av 9 for lse oppgaven ville det jo si at oppgaven bare trengte ta for seg 9 pflgende tall i stedet for 18. Det burde vre lettere vise (1) ved hjelp av multiplum av 18 i stedet for multiplum av 9, siden multiplum av 18 jo ikke er annet enn spesialtilfeller av multiplum av 9. Det viser seg ogs at multiplum av 9 ikke alltid fungerer (se for eksempel p 909), men multiplum av 18 vil alltid fungere som vi skal se. Hvorom allting er, eksperimentering viser at multiplum av 18 alltid fungere, men hvorfor det? La oss for eksempel se p 216, som jo er et multiplum av 18. Tverrsummen er 9, og 9 deler 216 fordi 18 deler 216. La oss se p nok et eksempel, 882 er et multiplum av 18, og tverrsummen er 18. Siden 882 er et multiplum av 18 vil tverrsummen helt penbart dele 882. Tar vi for oss flere tall som er multiplum av 18 ser vi tverrsummen alltid er 9 eller 18, som jo selvsagt vil dele det opprinnelige tallet.

Med denne bakgrunnen forsker vi oss n p et bevis:

BEVIS

Innenfor 18 pflgende tresifrete tall m ett vre et multiplum av 18, la oss kalle det abc10. Fordi abc10 da ogs blir et multiplum av 9, s m a + b + c vre et multiplum av 9. (Husk: Et tall er bare delelig med 9 dersom tverrsummen er delelig med 9). Siden a + b + c bare kan anta verdier mellom 1 og 27 m a + b + c vre enten 9, 18 eller 27 (husk at tverrsummen skal vre delelig med 9). Her vil 27 bare forekomme nr abc10 = 999, men det er ikke noe multiplum av 18. Alts m a + b + c vre enten 9 eller 18. Siden 9 og 18 alltid vil dele et multiplum av 18 vet vi at (a + b + c)|abc10.

Bevis innen analytisk geometri

Oppgave: Et regulrt polygon med n hjrner er innskrevet i en sirkel med radius lik 1.

La L vre mengden av linjestykker med forskjellig lengde som kan trekkes mellom

hjrnene i polygonet. Hvis du kvadrerer lengdene til elementene i L, hva blir da

summen av kvadratene?

Fra boka "Solving Mathematical Problems", oversatt av Nils Voje Johansen

Mange geometriske oppgaver blir enklere lse hvis man benytter andre deler av matematikken, slik som algebra og induksjon, for lse dem. Denne oppgaven er et eksempel p nettopp det.

La oss starte med gi uttrykket summen av kvadratene til elementene i L et kortere navn, for eksempel X. Oppgaven vr er alts regne ut X. Dette ser ut til vre en overkommelig oppgave; det er ikke en vis at-oppgave eller en er det slik at-oppgave, men en ren

01.01.2000

30

utregningsoppgave hvor vi for eksempel kan tenke p benytte trigonometri og Pytagoras' setning. La oss se p et eksempel.

Nr n = 4 har vi et kvadrat innskrevet i en enhetssirkel. De mulige lengdene som kan oppns ved

forbinde to hjrner er kvadratets sidelengde lik og diagonalens lengde lik 2. Fra dette

finner vi . Tilsvarende fr vi nr n = 3 at den eneste lengden som

opptrer er trekantens sidelengde, som er . Dermed blir . Setter vi n = 5 blir situasjonen litt mer komplisert og vi trenger bttevis av cosinus- og sinusregning for finne svaret s la oss vente litt med det. La oss i stedet se p n = 6. Sidelengdene i sekskanten blir

lik sirkelens radius, alts 1. De korte diagonalene blir lik , mens de lange diagonalene

(diameteren) blir lik 2. Fra dette finner vi . Til slutt ser vi p et underlig spesialtilfelle, nemlig n = 2. Da er polygonet lik diameteren, og vi finner

. Vi samler resultatene fra disse eksemplene:

n X

2? 4?

3 3

4 6

6 8

Vi har satt sprsmlstegn ved n = 2 siden det er litt spesielt snakke om et polygon med kun to sider.

Denne lille tabellen gir oss imidlertid ikke mange tips om hvordan den generelle lsningen blir. Vi br derfor se p et litt mer generelt tilfelle, og starter med tegne en figur. Det er antagelig fornuftig navnsette hjrnene, og da p en slik mte at det representerer en mte om kan brukes generelt. Vi starter med et hjrne og kaller det A1 og fortsetter med solen med A2, A3, A4, A5 og opp til det siste hjrnet An, se figur 2.

01.01.2000

31

Figur 2: Navnsetting av hjrnene.

N kan vi gjre noen innledende observasjoner:

a) Det kan vre av betydning om n er like eller odde. Hvis n er like vil den lengste diagonalen

vre lik diameteren. Vi legger ogs merke til at nr n er like vil vi ha forskjellige varianter

av linjestykker, mens nr n er odde vil det vre forskjellige.

b) Muligens vil X alltid vre et heltall. I alle fall har det vrt tilfelle med de eksemplene vi s p. Vi m imidlertid huske at spesialtilfellene vi behandlet, kvadratet, den likesidede trekanten og heksagonet, er spesielle og har kvadratrotaktige lengdeml. Men tross alt gir det oss et hp om at svaret ikke vil vre altfor stygt.

c) Oppgaven vr er addere kvadrater av lengder, ikke lengdene selv. Det betyr at vi ikke lenger er innenfor ren geometri, men derimot har vi beveget oss over i analytisk geometri. Det impliserer at vi antagelig br ta i bruk vektorer, koordinatgeometri eller kanskje komplekse tall? (I bunn og grunn vil imidlertid alle disse metodene vre like.) Koordinatgeometri vil antagelig involvere mye grisete trigonometri, men vil forhpentligvis sakte men sikkert fre oss mot mlet. Vektorgeometri eller komplekse tall ser derfor noe mer lovende ut (med vektorregning kan vi benytte skalarprodukt, mens komplekse tall gir oss mulighet til benytte komplekse eksponenter).

d) Det virker umulig starte direkte p oppgaven siden vi ikke skal summere alle diagonaler, men bare dem med ulik lengde. Vi vil derfor frst forske omformulere sprsmlet slik at det lettere kan uttrykkes som en likning. (Likninger er trygg matematikk, ikke ndvendigvis s kreative og fulle av inspirasjon, men de er lette manipulere. Generelt kan oppgaver uttrykkes ved hjelp av en eller annen likning muligens med noen unntak innen kombinatorikk og grafteori.) Hvis vi begrenser oss til se p diagonalene som lper ut fra ett enkelt hjrne av polygonet (fig. 3) vil vi finne alle de diagonalene vi trenger.

01.01.2000

32

Figur 3: Diagonaler ut fra et enkelt hjrne.

Figur 3 viser et eksempel hvor n er like. Hvis vi begrenser oss til se p vre halvsirkel ser vi at alle ulike diagonaler vil forekomme n og bare n gang. Lengdene |A1A2|, |A1A3|, |A1A4| og |A1A5| vil utgjre de lengdene vi er interessert i. Vi kan med andre ord uttrykke den etterskte strrelsen som:

X = |A1A2|2 + |A1A3|

2 + |A1A4|2 + |A1A5|

2

Mer generelt kan vi si at vi er interessert i beregne

X = |A1A2|2 + ... + |A1Am|

2

hvor (hvis n er like) og (hvis n er odde). Vi kan n skrive opp problemet p en mer eksplisitt form:

La et regulrt polygon med n hjrner vre innskrevet i en enhetssirkel. La hvis n er

like og hvis n er odde. Beregn strrelsen X = |A1A2|

2 + ... + |A1Am|2.

Det er litt uleilig at summen |A1A2|2 + ... + |A1Am|

2 stopper ved Am og ikke ved An som hadde vrt mer naturlig. Vi kan rette p dette ved se p den doble summen og deretter dele p 2. Vi benytter dessuten at symmetri gir at |A1Ai|=|A1An+2i| og derfor:

X = (|A1A2|2 + |A1A3|

2 + + |A1Am|2 + |A1An|

2 + |A1An1|2 + + |A1An+2m|

2 ).

Her m vi huske p at nr n er like har vi talt diagonalen |A1An/2 + 1|2 = 4 to ganger. Vi kan

imidlertid rydde opp i dette ved skille mellom like og odde tilfeller. For f et penere og mer symmetrisk uttrykk kan vi dessuten fritt innfre leddet |A1A1|

2 siden det jo er lik 0. Gjr vi det finner vi:

X = (|A1A1|2 + |A1A2|

2 + + |A1An|2) (1)

nr n er odde, og

X = (|A1A1|2 + |A1A2|

2 + + |A1An|2) + 2 (2)

01.01.2000

33

nr n er like (det ekstra 2-tallet kommer fra at i denne parentesen telles leddet med

diagonalen, |A1An/2 + 1|2 = 4, bare en gang, og vi m derfor legge til for ta vare p at

den opprinnelig skulle vrt talt med 2 ganger). Vi kan n innfre strrelsen

Y = |A1A1|2 + |A1A2|

2 + + |A1An|2 (3)

og regne ut Y i stedet for X. Fordelen med dette er

s snart vi vet Y vil likning (1) og (2) gi oss X.

Y er et penere uttrykk enn X, og derfor muligens lettere beregne.

for regne ut Y trenger vi ikke skille p like og odde verdier for n.

Hvis vi n gr tilbake til den lille tabellen vi laget for tilfellene n = 3, 4 og 6 kan vi n i tillegg beregne Y (for eksempel ved likning (1) og (2)):

n X Y

2? 4? 4?

3 3 6

4 6 8

6 8 12

Fra verdiene p n og Y kan vi n formulere en formodning om at Y = 2n. Fra likning (1) og (2) vil vi da se at X = n nr n er odde og at X = n + 2 nr n er like. Dette ser jo lovende ut, men vi m n bevise at vr formodning er rett!

Vi tar i bruk vektorgeometri, siden det gir oss et kraftfullt verkty til manipulere uttrykk av den typen vi har i uttrykk (3). Siden kvadratet av lengden av en vektor v rett og slett er skalarproduktet av vektoren prikket med seg selv, v v, kan vi skrive Y som

Y = (A1 A1)(A1 A1) + (A1 A2)(A1 A2) + + (A1 An)(A1 An).

Her betyr n A1, , An vektorer og ikke punkter. Vi kan fritt velge origo i koordinatsystemet, men det naturligste er la det vre i sirkelsenteret. (Det nest mest naturlige er muligens velge A1 som origo.) En umiddelbar fordel ved la origo ligge i sirkelsenteret er at alle vektorene A1, , An da vil ha lengde lik 1. Det betyr videre at A1A1 = A2A2 = = AnAn = 1. Hvis vi n benytter dette til regne ut skalarproduktene ovenfor ser vi generelt at

(A1 Ai)(A1 Ai) = A1A1 2A1Ai + AiAi = 2 2A1Ai

Dette gir oss mulighet til forenkle uttrykket Y

Y = (2 2A1A1) + (2 2A1A2) + + (2 2A1An)

Hvis vi samler like ledd og faktoriserer fr vi

Y = 2n 2 A1(A1 + A2 + + An).

01.01.2000

34

Vr formodning gikk ut p at Y = 2n. For oppn dette m vi vise at vektorsummen A1 + A2 + + An er lik null. Dette gir seg selv ut fra symmetri (vektorene ligger symmetrisk og drar like mye i alle retning, s nettokraften m bli null. Det lnner seg alltid se etter muligheter for utnytte symmetriegenskaper). Dermed har vi vist at Y = 2n, og dermed blir X = n nr n er odde og X = n + 2 nr n er like.

Magiske kvadrater

Tror du p tallmystikk? Historien til magiske kvadrater er rundt 3000 r gammel. De

stammer fra det eldste kjente tallmysterium, legenden om Lo Chu.

Skilpadden som kom opp av elva.

Legenden om Lo Chu ble funnet i Kina i en bok med tittel Yih King, og i en litt forkortet versjon gr legenden omtrent snn: I Kina var det for lenge siden en stor flom. Folk prvde ofre til "elveguden" i elva Lo for stagge hans sinne. Hver gang kom det en skilpadde opp av elva og vandret rundt offeret fr den gikk tilbake til elva. Elveguden aksepterte ikke offeret, og flommen fortsatte. Dette gjentok seg inntil et lite barn skjnte den kurise figuren p skilpaddeskallet. Det forestilte et magisk kvadrat som skrevet p en litt ryddigere mte ser slik ut:

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Summen i hver rad, hver syle og de to diagonalene er alle 15. Da skjnte kineserene at det rette antallet ofre var 15, og de klarte stagge elveguden.

Definisjon av magisk kvadrat

En oppstilling av de naturlige tallene fra 1 til n2 i n rekker og n kolonner med flgende egenskap: Summen av tallene i hver rekke, hver kolonne og langs hver diagonal er den samme.

Tallet n kalles kvadratets orden. Skilpaddeskallet er alts et magisk kvadrat av tredje orden.

Et ulst matematisk problem er finne antallet av mulige kvadrater av en gitt orden. Nr man ser bort fra dreininger og rotasjoner, finnes det kun n type kvadrat av tredje orden og 880 av fjerde orden. Antallet femte ordens kvadrater er ikke kjent, men er trolig over 13 millioner.

Den magiske summen for et magisk kvadrat av orden m er gitt ved , det vil si

at for m=3 har vi , mens vi for m=4 har .

De magiske kvadratene av tredje orden har i utgangspunktet 9 ukjente:

01.01.2000

35

a B c

d E f

g H i

Summen i hver rad, kolonne og diagonal skal vre 15, noe som gir oss 8 likninger lse. Noen av disse er overfldig,e og etter noe regning ender vi opp med flgende kvadrat som gir oss alle lsninger

A b 15-a-b

20-2a-b 5 -10+2a+b

-5+a+b 10-b 10-a

N kan vi sette inn verdier for a og b. Det er i alt 8 mulige:

A 2 2 4 4 6 6 8 8

B 7 9 3 9 1 7 1 3

Setter vi inn verdiene i kvadratet fr vi flgende 8 magiske kvadrater:

De 8 ulike magiske kvadratene.

og det er enkelt se at disse essensielt er samme kvadrat, bare rotert eller speilet.

For et magisk kvadrat av orden 4 har vi tilsvarende 16 ukjente, og vi har 9 uavhengige betingelser, noe som gir oss 7 parametre. Ikke alle valg av verdier for disse parametrene gir oss

01.01.2000

36

ekte kvadrater, for vre nyaktig er tallet 7 040. Men s er det ogs her mange overfldige, det vil si noen magiske kvadrater som vi kan lage fra andre ved rotasjoner eller andre symmetrier.

For hvert magisk kvadrat har vi 4 rotasjoner og 2 speilinger, noe som gir oss 8 "stive" symmetrier. I tillegg har vi noe vi kan kalle "aritmetrier", der vi beholder alle de 8 regnestykkene (4 rader, 4 syler og 2 diagonaler) i kvadratet, men forandrer geometrien. Vi har flere typer aritmetrier:

og denne

Et par eksempler p magiske kvadrater av orden 4:

9 4 5 16

15 10 3 6

2 7 14 11

8 13 12 1

og dets aritmetiske komplement, som i dette tilfellet er en speiling om horisontalen. Det aritmetiske komplement til et kvadrat lager vi ved ta n mer enn det strste tallet og trekke fra tallet i hver rute. n mer enn 16 er 17 og 17 - 9 = 8, 17 - 4 = 13, osv.

8 13 12 1

2 7 14 11

15 10 3 6

9 4 5 16

Dette kvadratet er en aritmetri av kvadratet over:

01.01.2000

37

7 2 11 14

13 8 1 12

4 9 16 5

10 15 6 3

Et annet eksempel p et magisk kvadrat av orden 4:

6 2 11 15

7 13 4 10

9 3 14 8

12 16 5 1

og dets aritmetiske komplement som i dette tilfellet ikke er en symmetri:

11 15 6 2

10 4 13 7

8 14 3 9

5 1 12 16

Vi har alts aritmetiske komplementer som er symmetrier, og noen som ikke er symmetrier.

Pascals trekant

I Europa har denne trekanten bestende av (uendelig mange) rader av tall ftt navn

etter den franske matematikeren Blaise Pascal, men bde kineserne og araberne kjente

til talltrekanten lenge fr Pascal.

Figur 1: De seks frste radene i Pascals trekant.

01.01.2000

38

Pascals trekant er uendelig mange rader av tall som, danner en (uendelig) trekant. Trekanten bygges opp ved sette 1-ere p kantene, og la hvert tall innenfor 1-erne vre summen av de to tallene i raden over som er p hver side av tallet. For eksempel fr vi tallet 10 i rad 5 (det verste 1-tallet er rad 0) ved legge sammen 4 og 6, som vist i figur 1. Neste rad i figur 1 blir derfor 1, 1+5, 5+10, 10+10, 10+5, 5+1, 1, alts 1, 6, 15, 20, 15, 6 og 1.

Blaise Pascal genererte trekanten p en litt annen mte nr han frst publiserte sine ideer om dette i 1665. Han s p en (uendelig) firkant med tall, figur 2:

Figur 2: Pascal satte opp sammenhengen i en firkant.

verste rad bestr igjen av 1-ere. Hvert av de andre tallene i firkanten fikk han ved ta summen av alle tallene som ligger i samme posisjon og i posisjonene til venstre for tallet i raden over. For eksempel fr vi tallet 20 i rad 4 ved legge sammen 1, 3, 6 og 10 i raden over, som vist p tegningen. De fire frste tallene i neste rad blir 1, 1+4, 1+4+10 og 1+4+10+20, alts 1, 5, 15 og 35. Diagonalene nedover mot venstre i firkanten gir radene i Pascals trekant.

I Europa har alts trekanten vi startet med ftt navnet Pascals trekant, men vi nevner at bde kinesiske og arabiske matematikere kjente til arrangementet av disse tallene lenge fr Blaise Pascal. I Kina kalles trekanten Yanghui-trekanten. Uansett, trekantens tall dukker opp i mange sammenhenger, og trekantformen er en nyttig mte holde orden p disse tallene. For eksempel fins fibonaccitallene blant trekantens tall.

Hovedbruksomrdene for Pascals trekant er algebra og kombinatorikk. Begge omrdene gjr bruk av at tallene i Pascals trekant er binomialkoeffisienter

der n er radnummeret, n 0, og k er posisjonen i raden. For eksempel er tallene i 5. rad 1, 5, 10, 10, 5, og 1, som er henholdsvis binomialkoeffisientene

.

Formelen for en binomialkoeffisient er

der og 0!=1

01.01.2000

39

I kombinatorikk dukker disse tallene opp veldig ofte. Binomialkoeffisienten gir oss nemlig antall forskjellige mter trekke k ting fra en mengde av n ting p. I algebra dukker de opp som koeffisienter nr vi regner ut potenser av polynomer med to ledd. For eksempel er

. P http://mathforum.org kan du utforske Pascals trekant. Du kan gjre mye rart med den. For eksempel viser det seg at det frste tallet etter 1-eren i hver rad er en faktor i de andre tallene 1 i raden hvis, og bare hvis, tallet er et primtall. Du kan ogs se hvordan trekanten dukker opp i konstruksjonen av regulre polygoner, og i forbindelse med Sierpinski-trekanten. Vi skal se litt nrmere p det sistnevnte.

Sierpinski-trekanten hrer inn under en klasse matematiske objekter kalt fraktaler. Vi kan konstruere Sierpinski-trekanten, som ble konstruert av Waclaw Sierpinski i 1915, ved starte med en likesidet trekant (niv 0). Trekk deretter streker mellom midtpunktene p de tre sidene slik at du fr fire like store trekanter i den store trekanten (alle er formlike). S lager du et hull i den store trekanten ved fjerne det indre av den midterste trekanten. N har du niv 1 i konstruksjonen av Sierpinski-trekanten. For f niv 2, gjentar vi niv 1 p hver av de tre trekantene vi har igjen. Nr denne prosessen gjentas uendelig mange ganger, blir resultatet Sierpinski-trekanten. I figur 3 ser vi konstruksjonen opp til niv 4:

Figur 3: Sierpinski-trekanten til niv 4.

Vi ser at vi lager neste niv ved erstatte en trekant med tre like store mindre trekanter, slik at alle er formlike (alle er likesidede, og lengden p sidene halveres for hvert niv). Antall trekanter blir dermed tredoblet fra et niv til det neste. Sierpinski-trekanten inneholder alts uendelig mange likesidede trekanter: Uansett hvor mye vi forstrrer Sierpinski-trekanten, kommer det nye slike trekanter til syne.

Hvordan kan vi lage Sierpinski-trekanten fra Pascals trekant? En mte er bruke regulre sekskanter som utgangspunkt: Vi tegner like store sekskanter rundt alle tallene i Pascals trekant, og setter dem inntil hverandre slik at vi fr en trekant (med litt "ruglete" kanter). Deretter fargelegger vi alle sekskantene der det str et partall med en farge, og oddetalls-sekskantene med en annen farge (vi sier at vi fargelegger Pascals trekant modulo 2). I figur 4 har vi gjort fargeleggingen for de 19 frste radene med svart for oddetall og hvitt for partall:

01.01.2000

40

Figur 4: Pascals trekant rammet inn av sekskanter hvor alle

oddetallene er farget mrkt og alle partallene er hvite.

Legg merke til at vi har fjernet tallene, da vi egentlig ikke trenger dem: Vi vet at vi har 1-ere p kantene og i de to frste radene, s disse sekskantene blir svarte. Dessuten vet vi hvordan trekanten er bygd opp; hvert av tallene er summen av de to tallene i raden over som er p hver side av tallet. Dermed kan vi fargelegge trekanten ved bruke flgende tre mnstre:

Den verste sekskanten representerer den likesidede trekanten vi startet med i konstruksjonen av Sierpinski-trekanten. De 4 verste radene med sekskanter / tall i Pascals trekant gir oss frste niv i Sierpinski-trekanten, de 8 verste radene gir oss andre niv, og hvis du fortsetter fargeleggingen ved bruke de tre mnstrene, ser du at de 16 verste radene gir tredje niv, osv. Sekskanten med et kryss i figur 4 er forvrig binomialkoeffisienten

, som er et oddetall.

For f vekk de "ruglete" kantene i tegningen over, kan vi bruke regulre trekanter (likesidede) istedenfor regulre sekskanter, men for at puslespillet skal passe sammen n, fr vi hvite trekanter snudd opp-ned mellom alle tallene. Vi farger trekantene med oddetall svarte og fr resultatet som vist i figur 5:

01.01.2000

41

Figur 5: Pascals trekant innrammet med trekanter.

Personnummer

Og det skjedde i de dager at det utgikk et bud fra keiser Augustus at all verden

skulle innskrives i manntall. Dette var den frste innskrivning, i den tid Kvirinius

var landshvding i Syria. Og alle gikk for la seg innskrive, hver til sin by. (Luk.2,1-

3)

Fra gammelt av forbindes gjerne folkeregistrering med kirkebker. Ganske mange r etter at keiser Augustus regjerte holdt man p med forarbeidet til den frste loven om folkeregistrering i Norge. Hovedbegrunnelsene for opprette et slikt register var for det frste skaffe et grunnlag for utarbeide skatte- og valgmanntall og fre befolkningsstatistikk, og videre kunne et slikt register brukes i administrative forml innenfor forvaltningen. I 1905 kom loven som ga kommunene adgang til fre folkeregister, men de ble ikke plagt dette fr en ny lov kom i 1946.

I dag reguleres folkeregistreringen av Lov om folkeregistrering (16. januar 1970). Loven sier blant annet at alle kommuner skal fre folkeregister over alle bosatte i kommunen og at det skal vre et Sentralkontor for folkeregistrering. Dette kontoret er lagt til Skattedirektoratet. I Norge fdes det ca. 60 000 barn rlig. Nr et nytt barn kommer til verden / Norge, sendes det blant annet melding til folkeregisteret i morens bostedskommune (eventuelt fdekommune). Den norske kirke hadde funksjonen som fdselsregisterfrer frem til 1. januar 1983, da folkeregistrene overtok denne funksjonen. Dermed blir ogs barn fdt i Norge av mdre som ikke er registrert bosatt i Norge, registrert i folkeregisteret. Fdselsmeldingen gr s videre til Sentralkontoret. Under registreringen her fr barnet tildelt et fdselsnummer p grunnlag av fdselsdato og kjnn.

I undersidene finner du mer stoff om personnummereringen i Norge: Du finner mer historikk og litt om hva som kan skje i fremtiden med personnummeret, vi ser ogs nrmere p selve personnummer-systemet, og tar for oss matematikken bak dette: hvordan sjekke at et personnummer er gyldig, og hvordan finne ut hvor mange personnummer som kan deles ut hver dag.

Kort historikk

Initiativet til personnummereringen kom fra nringslivets organisasjoner p 1950-

tallet, for det ville gjre ting enklere i forbindelse med skattemyndigheter,

trygdekontorer o.l. dersom hver arbeidstaker hadde ett fast nummer. Det resulterte i

et fdselsnummer p 11 siffer som bestr av fdselsdatoen (6 sifre) og

personnummeret (5 sifre).

01.01.2000

42

Matematisk sett er det personnummeret som er mest interessant. P 1950-tallet l folkeregistreringen under Statistisk Sentralbyr (som var opprettet allerede i 1867), og det var de som spurte Ernst Selmer (professor i matematikk, Universitetet i Bergen) om se nrmere p personnummeret etter ptrykk fra nringslivet.

Resultatet ble etableringen av Det Sentrale Personregister 1. oktober 1964, og samtidig en total nummerering av hele den norske befolkning. For nummereringen tok man utgangspunkt i folketellingen fra 1960: Alle personer som var bosatt i Norge p folketellingstidspunktet, personer som ble fdt etter folketellingen og alle norske statsborgere som var innvandret etter folketellingen ble tildelt et personnummer. Dermed var man i gang.

I starten l folkeregisteret p magnetbnd, men i 1985 ble registeret lagt om til en database. All registrering online ble i utgangspunktet bare utfrt av Sentralkontoret, mens folkeregistrene sendte inn optisk lesbare blanketter med meldinger om flytting og lignende. P slutten av 1980-tallet og begynnelsen p 1990-tallet var flere kommuner involvert i et prveprosjekt der de lokale registrene fikk datautstyr for egenregistrering. I lpet av 1994 ble alle folkeregistrene tilknyttet online, og fra 1. januar 1995 opphrte all manuell fring av folkeregisteropplysninger.

Akkurat som butikkene har databaser over sine varer (se artikkelen om strekkoder), har dermed Sentralkontoret en database over alle norske statsborgere og utlendinger som sker oppholdstillatelse i Norge. Fdselsnummeret brukes blant annet til oppslag i denne databasen. Nummeret er ditt for alltid og identifiserer deg entydig. Et fdselsnummer som blir ledig, kan alts ikke benyttes av en annen person, og det skal veldig mye til for f et nytt personnummer (det kan skje ved for eksempel adopsjon).

I Sentralkontorets database ligger opplysninger som ditt / din fdested, navn, sivil status, kommunenummer, flyttedato, arbeidstillatelse osv. Disse opplysningene oppdateres fortlpende og distribueres til for eksempel trygdemyndigheter, Forsvaret, valgmanntall, sosialkontorer og politiet. Det fins mange andre databaser som har opplysninger om deg, og noen har lov til bruke fdselsnummeret som oppslagsnummer. Dessuten har du sikkert noen av disse numrene: ansattnummer, elevnummer, studentnummer, passnummer, kontonummer, lnenummer, kundenummer. Disse brukes alts til oppslag i diverse databaser.

Mennesker er tall!

Dagens system med individ- og kontrollnummer

Oppbygginge

Documents

MATTE KURS-for foreldre og voksene (2)