MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA

YOGIE BUDHI RANTUNG

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Matriks Pascal dan

Sifat-Sifatnya adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing

dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.

Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun

tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan

dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Mei 2014

Yogie Budhi Rantung.

NIM G54070049

ABSTRAK

YOGIE BUDHI RANTUNG. Matriks Pascal dan Sifat-Sifatnya. Dibimbing oleh

NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA dan FARIDA HANUM .

Matriks Pascal adalah matriks yang setiap unsur-unsurnya memuat koefisien

binomial. Matriks Pascal dapat dibentuk menjadi tiga macam, yaitu matriks Pascal

simetrik matriks Pascal segitiga bawah dan matriks Pascal segitiga atas

Kajian ini bertujuan mengetahui sifat-sifat matriks Pascal.

Pembuktian sifat menunjukkan bahwa perkalian matriks Pascal

segitiga bawah dengan matriks Pascal segitiga atas selalu menghasilkan

matriks Pascal simetrik melalui tiga metode pembuktian berupa perkalian

matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi. Dalam hal ini, perkalian matriks

merupakan pembuktian yang paling efektif. Pembuktian tersebut juga

menunjukkan bahwa dan masing-masing memiliki nilai determinan yang

sama, yakni satu . Sifat lain matriks Pascal yang diketahui

adalah transpos matriks Pascal segitiga bawah tidak lain merupakan matriks

Pascal segitiga atas atau berlaku sebaliknya

Kata kunci: matriks Pascal, matriks Pascal segitiga bawah, matriks Pascal segitiga

atas.

ABSTRACT

YOGIE BUDHI RANTUNG. Pascal Matrix and It’s Characteristics. Supervised

by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and FARIDA HANUM.

Pascal matrices are matrices that their elements contain binomial

coefficients. Pascal matrices can be built into three different types: symmetric

Pascal matrix lower triangular Pascal matrix and upper triangular Pascal

matrix This study aims to determine the characteristics of the Pascal matrices.

The proof of characteristics shows that multiplication of a lower

triangular Pascal matrix with an upper triangular Pascal matrix always yields

symmetric Pascal matrix through three methods: matrix multiplication,

Gaussian elimination, and equality of functions. In this study, matrix

multiplication is the most effective method of proof. The proof of also

shows that each of and has the same determinant value, that is one

. Another characteristics of the Pascal matrix is that

transpose of a lower triangular Pascal matrix is an upper triangular Pascal

matrix and vice versa .

Keywords: Pascal matrix, lower triangular Pascal matrix, upper triangular Pascal

matrix.

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA

YOGIE BUDHI RANTUNG

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

Judul Skripsi : Matriks Pascal dan Sifat-Sifatnya

Nama : Yogie Budhi Rantung

NIM : G54070049

Disetujui oleh

Ir N K Kutha Ardana, MSc

Pembimbing I

Dra Farida Hanum, MSi

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas

limpahan rahmat serta hidayah-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Matriks

Pascal dan Sifat-sifatnya berhasil diselesaikan.

Terima kasih penulis ucapkan kepada :

1. Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Dra Farida Hanum, MSi

selaku komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi

dengan penuh kesabaran kepada penulis,

2. Muhammad Ilyas, MSc, MSi selaku penguji luar komisi yang telah

memberikan saran dan kritiknya,

3. Dr Toni Bakhtiar, MSc selaku Ketua Departemen Matematika,

4. Ibu dan ayah yang telah memberikan nasihat dan motivasi dengan penuh

kesabaran dan kasih sayang,

5. Rina Putri Utami yang talah memberikan semangat dengan penuh kesabaran.

6. teman-teman kos Wisma Asri beserta Pak Agik sekeluarga,

7. semua pihak terkait yang telah membantu dalam proses penyusunan karya

ilmiah ini.

Bogor, Mei 2014

Yogie Budhi Rantung

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 1

Manfaat Penelitian 1

LANDASAN TEORI 1

HASIL DAN PEMBAHASAN 4

Pembuktian Menggunakan Perkalian Matriks 4

Pembuktian Menggunakan Eliminasi Gauss 7

Pembuktian Menggunakan Penyamaan Fungsi 12

Pembuktian Determinan Matriks Pascal 17

SIMPULAN 18

DAFTAR PUSTAKA 18

LAMPIRAN 19

RIWAYAT HIDUP 20

DAFTAR TABEL

1 Matriks Pascal segitiga bawah 4

2 Matriks Pascal segitiga atas 5

3 Matriks Pascal simetrik 6

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Matriks Pascal adalah matriks yang setiap elemen atau unsur-unsurnya

memuat koefisien binomial. Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan

yang muncul dari hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan

(Johnsonbaugh 1997). Dengan menempatkan koefisien binomial ke dalam matriks,

maka ada tiga cara untuk mencapai hal ini, di antaranya ialah matriks Pascal

simetrik ( ), matriks Pascal segitiga bawah ( ), dan matriks Pascal segitiga atas

( ).

Matriks Pascal merupakan salah satu contoh konkret dari matriks

unimodular. Matriks unimodular adalah matriks yang memiliki determinan

bernilai atau , sehingga

Dalam perkembangannya, matriks Pascal muncul dalam banyak aplikasi

seperti ekspansi binomial, probabilitas, kombinatorika, aljabar linear, teknik

elektro dan statistik. Salah satu aplikasi matriks Pascal dalam algoritme untuk

mentransformasikan suatu fungsi.

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas sifat-sifat matriks Pascal dan tiga cara

untuk membuktikan yaitu dengan perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan

penyamaan fungsi. Ketiga metode pembuktian tersebut seringkali dijumpai dalam

berbagai persoalan matematika. Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel

berjudul Pascal Matrices yang disusun oleh Alan Edelman dan Gilbert Strang.

Tujuan Penelitian

Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah mengkaji sifat-sifat matriks Pascal

simetrik ( ), matriks Pascal segitiga bawah ( ), dan matriks Pascal segitiga atas

( ), dan membuktikan bahwa melalui perkalian matriks, eliminasi Gauss,

dan penyamaan fungsi serta membuktikan determinan ketiga jenis matriks Pascal

tersebut bernilai satu.

Manfaat Penelitian

Manfaat dari karya ilmiah ini antara lain:

1. mengetahui sifat-sifat matriks Pascal,

2. mengetahui pembuktian persamaan melalui perkalian matriks,

eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi,

3. mengetahui pembuktian determinan matriks Pascal yang selalu bernilai satu.

LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan disajikan beberapa pengertian atau konsep dasar yang

digunakan dalam karya ilmiah ini.

2

Definisi 1

Matriks Pascal simetrik adalah suatu matriks berukuran yang

didefinisikan sebagai berikut:

(Bicknell & Hoggat 1973)

Berikut ini diberikan contoh matriks :

Definisi 2

Matriks Pascal segitiga bawah (lower triangular) adalah suatu matriks

berukuran yang didefinisikan sebagai berikut:

(Bicknell & Hoggat 1973)

Berikut ini diberikan contoh matriks :

Definisi 3

Matriks Pascal segitiga atas (upper triangular) adalah suatu matriks

berukuran yang didefinisikan sebagai berikut:

(Bicknell & Hoggat 1973)

Berikut ini diberikan contoh matriks :

3

Definisi 4

Dimisalkan untuk setiap matriks , determinan :

dengan permutasi dari sejumlah dan

didefinisikan sebagai berikut:

(Mayer 2000)

Berikut ini diberikan contoh jika :

dengan permutasi :

Kemudian selanjutnya:

Teorema 1

Determinan dari matriks segitiga ialah perkalian elemen semua diagonal

utamanya:

(Mayer 2000)

Teorema 2

Jika matriks berukuran maka:

(Mayer 2000)

4

Definisi 5

Eliminasi Gauss merupakan suatu algoritme untuk mengekuivalenkan

bentuk matriks melalui serangkaian operasi baris dasar.

(Leon 2001)

Definisi 6

Matriks partisi merupakan suatu matriks yang dapat dipartisi menjadi

matriks-matriks yang lebih kecil dengan cara menggambar garis-garis horizontal

antara baris-baris dan garis-garis vertikal antara kolom-kolom. Matriks-matriks

yang lebih kecil seringkali disebut blok.

(Leon 2001)

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan disajikan pembuktian-pembuktian melalui

perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi serta membuktikan

determinan matriks Pascal bernilai satu.

Pembuktian Menggunakan Perkalian Matriks

Pembuktian diawali dengan membangkitkan matriks Pascal segitiga bawah

. Misalkan matriks Pascal segitiga bawah berukuran sebagai berikut:

Matriks di atas dapat dinyatakan ke dalam bentuk tabel sebagai berikut:

Tabel 1 Matriks Pascal segitiga bawah

Baris-baris Tabel 1 dilabeli dengan dan kolom-kolom

Tabel 1 dilabeli dengan Label dan menunjukkan indeks

elemen matriks Pascal segitiga bawah . Elemen baris dengan label adalah

koefisien-koefisien hasil penjabaran :

5

sehingga setiap elemen pada dapat dinyatakan sebagai berikut:

(1)

dengan , dan Jika

maka bernilai nol.

Transpos matriks Pascal segitiga bawah tidak lain merupakan matriks Pascal

segitiga atas .

Tabel 2 Matriks Pascal segitiga atas

Kolom-kolom Tabel 2 dilabeli dengan dan baris-baris

Tabel 2 dilabeli dengan . Label dan menunjukkan indeks

elemen matriks Pascal segitiga atas . Elemen baris dengan label adalah

koefisien-koefisien hasil penjabaran :

6

sehingga setiap elemen pada dapat dinyatakan sebagai berikut:

(2)

dengan , dan Untuk ,

bernilai nol.

Misalkan matriks Pascal simetrik berukuran sebagai berikut:

Matriks Pascal simetrik dapat dinyatakan ke dalam bentuk tabel sebagai berikut:

Tabel 3 Matriks Pascal simetrik

aSumber: (Strum 1977)

Baris-baris Tabel 3 dilabeli dengan dan kolom-kolom

Tabel 3 dilabeli dengan . Elemen-elemen dalam baris dan

kolom bernilai:

7

dengan dan .

Teorema 3

untuk setiap bilangan bulat .

(Strum 1977)

Bukti:

Teorema 3 diperoleh berdasarkan identitas kombinatorial berikut:

(lihat Lampiran 1)

(3)

Dengan demikian pembuktian melalui perkalian matriks terbukti.

Pembuktian Menggunakan Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss merupakan operasi baris dasar pada matriks yang bertujuan

untuk mengeliminasi suatu matriks, sehingga hasil eliminasi tersebut memiliki

baris yang ekuivalen terhadap matriks yang tereliminasi dengan melihat

serangkaian operasi baris dasarnya. Dalam kasus ini matriks yang akan

dieliminasi adalah matriks Pascal segitiga bawah .

Misalkan dilakukan pengeliminasian dengan serangkaian operasi baris

dasar dan dengan serangkaian baris dasar

melalui eliminasi Gauss sebagai berikut:

● (4)

●

Jika diperhatikan dari kedua proses eliminasi tersebut terlihat bahwa terjadinya

selisih antar baris dengan baris sebelumnya pada dan , baris ke-4 dengan

8

baris ke-3, baris ke-3 dengan baris ke- , baris ke- dengan baris ke- , dan baris

ke- dengan baris ke- berlaku untuk matriks . Dengan kata lain

, , , dan untuk setiap dan

:

Jika hasil pada proses eliminasi tersebut difaktorkan akan membentuk

perkalian matriks sebagai berikut:

Untuk setiap akan berlaku:

sehingga proses eliminasi Gauss tersebut dapat juga dinyatakan sebagai perkalian

matriks antara dan dengan didefinisikan sebagai berikut:

9

Tujuannya adalah untuk membentuk sebuah persamaan baru yang akan dibuktikan

kesetaraannya sebagai berikut:

.

. (5)

Proses selanjutnya ialah menjabarkan ruas kiri pada persamaan (5). Sebagai

ilustrasi misalkan perkalian matriks sebagai berikut:

(6)

. (7)

Perhatikan bahwa matriks (4) dan matriks (6) adalah sama, dan jika baris pertama

dan kolom pertama dihilangkan akan membentuk submatriks

Untuk setiap akan diperoleh sebagai berikut:

(8)

Pembentukan submatriks juga terjadi pada perkalian Misalkan pada

perkalian matriks :

10

Dari hasil perkalian tersebut terbentuk submatriks Dengan cara serupa,

untuk setiap diperoleh:

(9)

Dari hasil proses eliminasi atau perkalian matriks pada dan tersebut

dapat disimpulkan bahwa untuk setiap hasil eliminasi dan masing-masing

akan menghasilkan submatriks dan Selanjutnya dengan

mengasumsikan ruas kiri persamaan dapat dituliskan ke

dalam bentuk matriks sebagai berikut:

(10)

Dalam proses eliminasi pada dan terdapat persamaan rekursif sehingga

pembuktian persamaan (10) dapat ditempuh dengan menggunakan bukti Induksi

Matematik. Misalkan:

i) Basis Induksi

(benar)

ii) Hipotesis Induksi: Misalkan benar, yaitu

, untuk

iii) Akan dibuktikan: benar, yaitu

Bukti:

Di dalam hipotesis induksi dikatakan bahwa berukuran

yang memiliki sejumlah -baris dan -kolom:

(11)

11

sehingga untuk mencapai ke bentuk ukuran pada

persamaan (11) perlu ditambahkan satu baris dan satu kolom setelah baris ke-

dan setelah kolom ke- agar dapat tercapai:

Kemudian matriks dan masing-masing dilakukan partisi matriks

dengan menggambar garis vertikal di antara baris dan baris serta

menggambar garis horizontal di antara kolom dan kolom sehingga

matriks dan akan terbagi menjadi empat blok:

(12)

dengan dan [ , …,

]T. Kemudian setiap elemen pada persamaan (12) dapat dijabarkan

sebagai berikut:

●

●

12

●

Hipotesis induksi menyatakan sehingga persamaan (12) dapat

dinyatakan sebagai berikut:

Dengan demikian pembuktian induksi matematik terpenuhi sehingga

persamaan (10) juga terbukti dan pembuktian melalui eliminasi Gauss

terbukti.

Pembuktian Menggunakan Penyamaan Fungsi

Misalkan vektor koefisien dan vektor

merepresentasikan sebuah fungsi dalam deret Taylor:

. (13)

Dengan ini dapat dinyatakan bahwa membentuk suatu matriks segitiga tak

terbatas. Perkalian menunjukkan bahwa persamaan (13) merupakan sebuah

deret kuasa

(14)

sehingga perkalian membentuk fungsi polinomial untuk setiap baris ke- :

. (15)

13

Tujuan pembuktian ini adalah menyetarakan fungsi hasil perkalian

dengan fungsi hasil perkalian yang akan dijabarkan. Pada persamaan

dilakukan perkalian ruas kiri dan ruas kanan tehadap vektor tak terbatas

:

(16)

Baris pertama perkalian :

(17)

membentuk deret geometri yang konvergen di :

(18)

Jika persamaan (18) diturunkan maka akan membentuk deret yang menjadi baris

kedua pada perkalian :

(19)

Jika persamaan (19) juga diturunkan akan membentuk deret yang selanjutnya

melakukan penyederhanaan ruas kiri dan ruas kanan yang akan menjadi baris

ketiga perkalian :

(20)

(21)

Persamaan (21) merupakan deret yang menjadi pembentuk baris ketiga pada

perkalian . Selanjutnya persamaan (20) juga diturunkan akan membentuk deret

sebagai berikut:

14

(22)

(23)

Persamaan (23) merupakan deret yang menjadi pembentuk baris keempat pada

perkalian . Dan seterusnya hingga turunan ke- akan membentuk deret

kuasa yang konvergen di dengan fungsi sebagai berikut:

(24)

Jadi dapat disimpulkan bahwa penurunan setiap baris pada perkalian akan

membentuk baris selanjutnya sehingga persamaan (17) dapat dinyatakan sebagai

berikut:

(25)

(26)

Selanjutnya menjabarkan perkalian sebagai berikut:

(27)

Baris pertama juga membentuk deret geometri seperti halnya pada persamaan

(18). Baris kedua merupakan hasil turunan baris pertama yang sudah

disederhanakan seperti pada persamaan (19) dengan mengalikan variabel tiap-

tiap ruas:

15

Baris ketiga merupakan hasil turunan persamaan (19) yang sudah

disederhanakan seperti pada persamaan (21) dengan mengalikan variabel tiap-

tiap ruas:

Baris keempat merupakan hasil turunan persamaan (20) yang telah

disederhanakan seperti pada persamaan (23) dengan melakukan perkalian variabel

tiap-tiap ruas:

sehingga untuk setiap baris ke- berlaku:

(28)

sehingga persamaan (27) dapat dinyatakan sebagai berikut:

16

(29)

Selanjutnya di tahap akhir ini akan ditunjukkan bahwa untuk mencapai

hasil perkalian pada persamaan (26) dilakukan perkalian matriks dengan

di persamaan (29) dimana :

(30)

Bentuk T pada persamaan (30) serupa dengan

bentuk [1, (1 + x), (1 + x)2, (1 + x)

3, ...]

T pada persamaan (14) maka bentuk

merupakan sebuah deret kuasa .

Dengan mengembalikan nilai pada diperoleh:

sehingga persamaan (30) dapat juga ditulis sebagai berikut:

17

(31)

Dengan demikian hasil perkalian pada persamaan (31) memiliki hasil

yang sama dengan hasil perkalian pada persamaan (26), sehingga pembuktian

melalui penyamaan fungsi terbukti.

Pembuktian Determinan Matriks Pascal

Pada Teorema 1 telah dijelaskan bahwa nilai determinan matriks segitiga

ialah perkalian elemen semua diagonal utamanya. Matriks Pascal segitiga bawah

dan matriks Pascal segitiga atas merupakan matriks segitiga dengan semua

elemen diagonal utamanya bernilai 1 sehingga determinan matriks Pascal segitiga

bawah dan matriks Pascal segitiga atas bernilai satu:

Pada subbab-subbab sebelumnya telah disajikan pembuktian

melalui tiga pembuktian berupa perkalian matriks, Eliminasi Gauss, dan

penyamaan fungsi, sehingga matriks memiliki determinan bernilai satu:

Dengan demikian matriks Pascal segitiga bawah , matriks Pascal segitiga

atas , dan matriks Pascal simetrik , terbukti memiliki determinan bernilai satu

untuk setiap ukuran .

18

SIMPULAN

Simpulan

Pembuktian melalui perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan

penyamaan fungsi sudah terbukti dalam bab sebelumnya. Pembuktian perkalian

matriks merupakan pembuktian yang paling efektif dan pembuktian penyamaan

fungsi merupakan pembuktian yang paling sulit dari ketiga metode tersebut.

Matriks Pascal memiliki beberapa sifat di antaranya ialah, perkalian matriks

Pascal segitiga bawah dengan matriks Pascal segitiga atas akan selalu

menghasilkan matriks Pascal simetrik , transpos matriks Pascal

segitiga bawah akan selalu membentuk matriks Pascal segitiga atas atau

berlaku sebaliknya ( atau ), dan determinan matriks Pascal simetrik

, determinan matriks Pascal segitiga bawah , dan determinan matriks Pascal

segitiga atas selalu memiliki determinan yang sama yakni bernilai satu

.

Saran

Dalam penelitian selanjutnya pembuktian dapat juga dibuktikan

dengan menggunakan gluing graphs. Pembuktian gluing graphs merupakan

pembuktian menggunakan prinsip graf algoritmik dengan cara menghitung path

dari elemen ke elemen dalam matriks Pascal segitiga bawah , matriks Pascal

segitiga atas , dan matriks Pascal simetrik .

DAFTAR PUSTAKA

Bicknell M, Hoggat VE. 1973. Unit determinants in generalized Pascal triangles.

Fibonacci Quarterly. 131-144.

Edelman A & Strang G. 2004. Pascal Matrices. The American Mathematical

Monthly. 189-197

Johnsonbaugh R. 1997. Discrete Mathematics. New Jersey (US): Prentice-Hall.

Leon SJ. 2001. Linear Algebra with Applications. New Jersey (US): Prentice Hall

PTR.

Mayer CD. 2000. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Philadelphia

(US): Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM).

Strum JE. 1977. Binomial Matrices. The Two-Year College Mathematics Journal.

260-266

19

Lampiran 1

Hasil penjabaran persamaan (3) diperoleh dari identitas polinomial pada

halaman 7 sebagai berikut:

20

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Watampone, Sulawesi Selatan pada tangal 5 Juni 1989

sebagai anak ke-2 dari dua bersaudara pasangan Lilik Budiarto dan Mulyani.

Pendidikan formal yang ditempuh penulis, yaitu di SDN Selosari 01

Magetan lulus pada tahun 2001, SMPN 1 Magetan lulus pada tahun 2004, SMAN

3 Magetan lulus pada tahun 2007, dan pada tahun yang sama penulis diterima di

Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Tahun pertama penulis memasuki

Tingkat Persiapan Bersama (TPB). Pada tahun 2008, penulis mulai masuk

Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Penulis pernah mengikuti organisasi BEM KM secara independen periode

tahun 2007/2008 pada masa Tingkat Persiapan Bersama (TPB). Pada tahun 2008,

penulis masuk GUMATIKA sebagai anggota divisi PSDM.

.