Click here to load reader

MATRIKS [Compatibility Mode]

  • View
    82

  • Download
    13

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Bahan Kuliah Matematika Ekonomi

Text of MATRIKS [Compatibility Mode]

  • MATRIKS

    Ol hOleh:Imam Awaluddin

    1

  • Pengertian MatriksPengertian MatriksMatriks adalah kumpulan bilangan yang p g y g

    disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi y g p gpanjang yang termuat dalam sepasang tanda kurung ( ) atau [ ].g ( ) [ ]Bilangan yang terkandung dalam suatu

    matriks dinamakan unsur matriksmatriks dinamakan unsur matriks.Jajaran horisontal unsur-unsur matriks

    dinamakan baris dan jajaran vertikal unsurdinamakan baris, dan jajaran vertikal unsur-unsur matriks dinamakan kolom. 2

  • Pen lisan MatriksPenulisan Matriks

    11 12 13 1... na a a aa a a a 21 22 23 2

    31 32 33 3

    ...

    ...n

    n

    a a a aa a a a = A ... ... ... ... ...a a a a

    1 2 3 ...m m m mna a a a

    3

  • Pen lisan MatriksPenulisan Matriks

    11 12 13 1... na a a a 21 22 23 2

    31 32 33 3

    ...

    ...n

    n

    a a a aa a a a

    = A 31 32 33 3... ... ... ... ...n 1 2 3 ...m m m mna a a a

    4

  • Uns r MatriksUnsur Matriks

    Unsur-unsur suatu matriks secara umum dilambangkan notasi aij. i menunjukkan baris, sedangkan j menunjukkan kolom.Unsur a23 berarti unsur pada baris kedua dan 23

    kolom ketiga.

    5

  • Orde (Dimensi) MatriksOrde (Dimensi) MatriksMatriks yang terdiri atas m baris dan nMatriks yang terdiri atas m baris dan n

    kolom dinamakan matriks berukuran m x natau matriks berorde m x natau matriks berorde m x n.Matriks yang jumlah baris sama dengan

    j l h k l ( ) di k t ikjumlah kolom (m = n) dinamakan matriks bujursangkar (square matrix)Matriks tidak mempunyai nilai numerik,

    meski mrp sekumpulan bilangan tapi ia sendiri bukan suatu bilangan.

    6

  • Contoh ordo matriksContoh ordo matriks

    6 4 71 12 5

    = B2 5 10 4 6

    = A 0 4 8 0 4 6 9 1 6 07 5 0 5 = C 7 5 0 52 2 4 7

    = C

    7

  • VektorVektorVektor mrp matriks khusus yang hanyaVektor mrp matriks khusus yang hanya

    mempunyai satu baris atau satu kolom.Vektor baris adalah matriks yang hanyaVektor baris adalah matriks yang hanya

    terdiri dari satu baris (dengan ordo 1 x n). C t h [ 2 3 4]Contoh : v = [ 2 3 4]Vektor kolom adalah vektor yang hanya

    terdiri dari satu kolom (dengan ordo m x 1)Contoh: 3 85u =

  • Operasi MatriksOperasi MatriksPenjumlahan dan Pengurangan MatriksPenjumlahan dan Pengurangan Matriks syarat: dimensi matriks harus samaPerkalian Matriks dengan Skalar menghasilkan matriks berdimensi yang g y gsama dengan matriks tsb.Perkalian antar MatriksPerkalian antar Matriks syarat: jika jumlah kolom matriks pertama (lead matrix sama dengan jumlahpertama (lead matrix sama dengan jumlah baris matriks kedua (lag matrix). 9

  • Contoh Penambahan MatriksContoh Penambahan Matriks

    2 5 10 4 6

    = A5 4 01 2 3 = B0 4 6 1 2 3

    7 1 11 6 9

    + = A B 1 6 9 10

  • Perkalian Matriks dengan SkalarPerkalian Matriks dengan Skalar

    6 3 6 6 3 63 12 9

    = B13

    k =3 12 9 3

    2 1 2 2 1 21 4 3

    k = B

    11

  • Contoh Perkalian Antar MatriksContoh Perkalian Antar Matriks4 6 1 3 2

    (2 2)

    4 63 7 = A (2 3)

    1 3 20 4 3 = B

    (2 3)

    4( 1) 6(0) 4(3) 6(4) 4(2) 6( 3)3( 1) 7(0) 3(3) 7(4) 3(2) 7( 3) + + + = AB(2 3) 3( 1) 7(0) 3(3) 7(4) 3(2) 7( 3) + + +

    4 36 10 (2 3)

    4 36 103 37 15

    = AB12

  • 4 6 1 3 2 (2 2)

    4 63 7 = A (2 3)

    1 3 20 4 3 = B

    13

  • Perkalian Vektor dg VektorPerkalian Vektor dg Vektor2

    (2 1)

    23

    u = [ ](1 3)' 4 1 5v =

    (2 3)

    2(4) 2(1) 2(5) 8 2 10'

    3(4) 3(1) 3(5) 12 3 15uv

    = = ( ) ( ) ( )

    [ ]' 1 3 8 [ ](1 2)' 1 3u = (2 1) 6v = [ ] [ ]' 1(8) 3(6) 26+

    14[ ] [ ](1 1)' 1(8) 3(6) 26u v = + =

  • Matriks IdentitasMatriks Identitas IA = AI = A IA = AI = A

    4 6 = A 1 0 = I(2 2) 3 7 = A (2 2) 0 1 = I1 0 4 6 4 6

    (2 2)

    1 0 4 6 4 60 1 3 7 3 7 = = IA

    (2 2)

    4 6 1 0 4 6 = = AI15

    (2 2) 3 7 0 1 3 7 AI

  • Transpose MatriksTranspose Matriks

    (2 3)

    2 5 10 4 6

    = A( ) 0 4 6 2 0

    (3 2)

    2 0' 5 4

    = A (3 2)1 6

    16

  • Sifat sifat TransposeSifat-sifat Transpose

    [A] = A[A + B] = A + B[AB] = BA atau [ABC] = CBA

    17

  • Determinan MatriksDeterminan Matriks

    a a 11 12(2 2)

    21 22

    a aa a =

    A21 22

    11 22 12 21a a a a= A4 6 A

    11 22 12 21

    3 7 = A4(7) 6(3) 28 18 10A

    184(7) 6(3) 28 18 10= = =A

  • Determinan Orde Lebih TinggiDeterminan Orde Lebih Tinggi

    A =

    11 12 13

    21 22 23

    a a aa a a

    32 31 33a a a

    |A| = 21 23 21 2212 1331 33 31 3

    22 2311

    32 3 23

    ( 1)a a a a

    aa a

    a aa a a aa a

    + +

    |A| = a11(a22a33 a32a23) a12(a21a33 a31a23)+ a (a a a a ) = sebuah skalar+ a13(a21a32 a31a22) = sebuah skalar

    19

  • Determinan Orde Lebih TinggiDeterminan Orde Lebih Tinggi

    A = 21 23

    11 12 13

    22a aa

    aa a

    31 332 3a a a

    |A| =22 23 21 23

    121 22

    1331 3

    1 1232 33 31 33 2

    ( 1)a a a a

    a aa a a

    a aa

    a aa++

    |A| = a11(a22a33 a32a23) a12(a21a33 a31a23)+ a (a a a a ) = sebuah skalar+ a13(a21a32 a31a22) = sebuah skalar

    20

  • Determinan Orde Lebih TinggiDeterminan Orde Lebih Tinggi

    A = 21 22

    11 12 13

    23a aa a a

    a

    31 3332a a a

    |A| = 22 23 21 23 21 2211 12 1332 33 31 33 31 32

    ( 1)a a a a a a

    a a aa a a a a a

    + +

    |A| = a11(a22a33 a32a23) a12(a21a33 a31a23)+ a (a a a a ) = sebuah skalar+ a13(a21a32 a31a22) = sebuah skalar

    21

  • Determinan Orde Lebih TinggiDeterminan Orde Lebih Tinggi

    A =

    11 12 13

    21 22 23

    a a aa a a

    31 32 33a a a

    |A| = 22 23 21 23 21 2211 12 1332 33 31 33 31 32

    ( 1)a a a a a a

    a a aa a a a a a

    + +

    |A| = a11(a22a33 a32a23) a12(a21a33 a31a23)+ a (a a a a ) = sebuah skalar+ a13(a21a32 a31a22) = sebuah skalar

    22

  • MinorMinor

    11 12 1321 22 23

    a a aA a a a

    = 31 32 33a a a

    22 23

    1132 33

    a aM

    a a= 21 2312

    31 33

    a aM

    a a= 21 2213

    31 32

    a aM

    a a=

    |A| = a11|M11| + a12 (1)|M12| + a13|M13| 11 11 12 12 13 1323

  • KofaktorKofaktori j|Cij| = (1)i+j|Mij|

    |C11| = (1)1+1|M11| = 22 2311a a

    M =| 11| ( ) | 11|

    |C | ( 1)1+2|M |

    1132 33a a

    21 23a a|C12| = (1)1+2|M12| = 21 231231 33

    Ma a

    = a a|C13| = (1)1+3|M13| = 21 2213

    31 32

    a aM

    a a=

    24

  • Ekspansi LaplaceEkspansi Laplace

    Ekspansi Laplace untuk determinan orde ketiga|A| = a11|C11| + a12|C12| + a13|C13|

    Ekspansi Laplace untuk determinan orde keempatkeempat|A| = a11|C11| + a12|C12| + a13|C13| + a14|C14|

    25

  • Contoh: Ekspansi Laplace sepanjang baris pertama

    12 7 0 12 7 05 8 3A

    =

    |A| = a |C | + a |C | + a |C |6 7 0

    |A| = a11|C11| + a12|C12| + a13|C13|

    8 3 5 3 5 812 7 0A = +12 7 0

    7 0 6 0 6 712(0 21) 7(0 18) 0(35 48)

    A += +

    252 126 0 126= + + = 26

  • 12 7 0 5 8 3A = 6 7 0

    27

  • Contoh: Ekspansi Laplace sepanjang kolom ketiga

    12 7 0 12 7 05 8 3A

    =

    |A| = a |C | + a |C | + a |C |6 7 0

    |A| = a31|C31| + a32|C32| + a33|C33|

    12 73

    5 8 12 70 0A = +3

    6 7( ) 3(8

    0 06

    4 42) ( )7 5 8

    0 35 48 0 96 35

    A += +

    0 126 261= = 28

  • Matriks Kofaktor dan Matriks AdjointMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoint

    Matriks KofaktorMatriks Kofaktor11 12 13C C C

    C C C C

    21 22 23

    31 32 33

    C C C CC C C

    = Matriks Adjoint

    C C C 11 21 3112 22 32Adj '

    C C CA C C C C

    = = 13 23 33C C C 29

  • Contoh2 3 1 Contoh 4 1 25 3 4

    A = 5 3 4 1 2 4 2 4 1 1 2 4 2 4 13 4 5 4 5 3

    3 1 2 1 2 33 4 5 4 5 3

    C = 3 1 2 1 2 3

    1 2 4 2 4 1

    1 2 4 2 4 1 30

  • 1 2 4 2 4 1 3 4 5 4 5 33 1 2 1 2 3

    3 1 2 1 2 33 4 5 4 5 3

    C = 3 1 2 1 2 3

    1 2 4 2 4 1

    (4 6) (16 10) (12 5) 2 6 7 (12 3) (8 5) (6 15) 9 3 9(6 1) (4 4) (2 12) 5 0 10

    C = = ( ) ( ) ( ) 31

  • 2 6 7 2 6 79 3 9C

    = 5 0 10 2 9 5

    Adj ' 6 3 0A C = = 7 9 10

    32

  • In erse MatriInverse Matrix

    Syarat ada inverse matrix:Matriks bujursangkarj gMatriks non singular : A |A| 0.

    AA-1 = I = A-1AAA = I = A A

    1 1A AdjARumus: 1A AdjAA

    =33

  • Contoh matriks in erseContoh matriks inverse2 3 1 1 12 3 14 1 2A =

    1 1A AdjAA

    =

    C i d k k h d t i 0

    5 3 4 Adj A C'=Cari dan cek apakah determinannya 0. |A| = 2[1(4)-3(2)] 3[4(4)-5(2)] + 1[4(3)-5(1)] |A| = -4 18 + 7 = -15. |A| 0 ada inverse-nya.

    34

  • 1 2 4 2 4 1 3 4 5 4 5 33 1 2 1 2 3

    3 1 2 1 2 33 4 5 4 5 3

    C = 3 1 2 1 2 3

    1 2 4 2 4 1

    (4 6) (16 10) (12 5) 2 6 7 (12 3) (8 5) (6 15) 9 3 9(6 1) (4 4) (2 12) 5 0 10

    C = = ( ) ( ) ( ) 35

  • 2 9 5 2 9 5Adj ' 6 3 0

    7 9 10A C

    = = 7 9 10 32 1

    15 5 31 2 1

    5 5

    2 9 51 6 3 0 0A

    = = 5 57 3 2

    15 5 3

    6 3 0 015

    7 9 10A

    0.1333 0.6 0.30 4 0 2 0

    36

    0.4 0.2 00.467 0.6 0.67

  • Penyelesaian persamaan dengan matriks inverse

    4 5 8x x x+1 2 31 2 3

    4 5 82 3 12

    x x xx x x+ =

    + + =1 2 33 4 5x x x + =

    Nyatakan dalam bentuk matriks: AX = KNyatakan dalam bentuk matriks: AX = K14 1 5 8x 22 3 1 12

    3 1 4 5xx

    = 33 1 4 5x 37

  • Rumus : X = A-1KRumus : X A K

    1 1 dj dj1 1 AdjA AA

    = Adj 'A C=

    1

    2

    4 1 5 82 3 1 12

    xx

    = 23

    2 3 1 123 1 4 5

    xx

    |A| = 4[3(4)-(-1)(1)]1[(-2)(4)-3(1)]+(-5)[(-2)(-1)-3(3)] |A| = 52 + 11 + 35 = 98 |A| 52 + 11 + 35 98.

    38

  • 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 31 4 3 4 3 1

    13 11 7

    13 11 71 5 4 5 4 11 31 7

    1 4 3 4 3 116 6 14

    C = = 16 6 141 5 4 5 4 1

    3 12 2 1 2 3

    3 12 2 1 2 3

    39

  • 13 1 16 13 1 16Adj ' 11 31 6A C

    = = 7 7 14 13 16113 1 16 13 16198 98 98

    1 31 611

    13 1 161 11 31 6A

    = = 98 98 987 7 14

    98 98 98

    11 31 698

    7 7 14A

    = =

    40

  • Rumus : X = A-1KRumus : X A K

    13 161 8 98 98 9831 611

    98 98 98

    812X

    = 7 7 14

    98 98 98 5

    104 80 19612 2 104 80 1961298 98 98 9888 372 30 49098 98 98 98

    25X

    + + = + + = = 98 98 98 9856 84 70 98

    98 98 98 98 1 + +

    x1 = 2, x2 = 5, x3 = 1. 41

  • Penyelesaian persamaan dengan Aturan Cramer

    4 5 8x x x+1 2 31 2 3

    4 5 82 3 12

    x x xx x x+ =

    + + =1 2 33 4 5x x x + =

    Nyatakan dalam bentuk matriks: AX = KNyatakan dalam bentuk matriks: AX = K14 1 5 8x 22 3 1 12

    3 1 4 5xx

    = 33 1 4 5x 42

  • Rumus: iiA

    x = Cari Determinan A: |A| = 98.Rumus: ix A Cari Determinan A: |A| 98.

    81 54 12

    81

    1 53 12 2

    4 xx

    = AX = K

    31 43 5x

    8 1 512 3 1A

    = 1 12 3 15 1 4

    A = 43

  • 8 1 51 12 3 1

    5 1 4A =

    5 1 43 1 12 1 12 3

    8 1 ( 5)A +1 8 1 ( 5)1 4 5 4 5 1A = + 1 8(13) 1(43) 5( 27) 196A = =

    A11

    196 298

    Ax

    A= = =

    44

  • Rumus: iiA

    x =Rumus: ix A84 51

    AX = K1

    2

    81

    4 52 1 2

    13

    xx

    =

    33 41 5x

    4 8 52 12 1A

    = 2 2 12 13 5 4

    A = 45

  • 4 8 5 2 2 12 1

    3 5 4A =

    12 1 2 1 2 124 8 ( 5)A

    +3 5 4

    2 4 8 ( 5)5 4 3 4 3 5A = +

    2 4(43) 8( 11) 5( 46) 490A = =A2

    2490 598

    Ax

    A= = =

    46

  • Rumus: iiA

    x =Rumus: ix A854 1

    AX = K1

    2

    81

    51

    4 12 3 2

    xx

    =

    343 1 5x

    4 1 82 3 12A

    = 3 2 3 123 1 5

    A = 47

  • 4 1 8 3 2 3 12

    3 1 5A =

    3 12 2 12 2 34 1 8A

    +

    3 1 5 1 4 1 81 5 3 5 3 1

    A = + 1 4(27) 1( 46) 8( 7) 98A = + =

    A33

    98 1.98

    Ax

    A= = =

    48

  • Contoh Penerapan Ekonomi (1)Contoh Penerapan Ekonomi (1)Sebuah perusahaan dalam persaingan memproduksiSebuah perusahaan dalam persaingan memproduksidua barang, dan mempunyai fungsi penerimaan total dan fungsi biaya total sbb:g y

    TR = 15Q1 + 18Q2TC = 2Q12 + 2Q1Q2 + 3Q22.Q1 Q1Q2 Q2

    Carilah besarnya masing-masing output yang akanmemaksimumkan laba dg cara Cramerg

    Berapa laba maksimumnyaUjilah apakah laba max dg determinan HessianUj a apa a aba a dg dete a ess a

    49

  • TR = 15Q1 + 18Q2Q1 Q2TC = 2Q12 + 2Q1Q2 + 3Q22. = TR TC = TR TC = 15Q1 + 18Q2 2Q12 2Q1Q2 3Q22

    T k i l f l b th Q d QTurunkan scr parsial fs laba th Q1 dan Q2:/ Q1 = 1 = 15 4Q1 2Q2 = 0/ Q2 = 2 = 18 2Q1 6Q2 = 0Kita susun ulang4Q1 + 2Q2 = 152Q1 + 6Q2 = 182Q1 6Q2 18

    50

  • Dalam bentuk matriks:Dalam bentuk matriks:

    4 2 15Q 12

    4 2 152 6 18

    QQ =

    Penyelesaian dengan aturan CramerA|A| = 24 4 = 20 i

    i

    AQ

    A=|A| = 24 4 = 20|A1| = 90 36 = 54

    |A2| = 72 30 = 4254* 2 7Q

    42* 2 1Q = =511

    * 2,720

    Q = = 2* 2,120Q = =

  • = 15Q1 + 18Q2 2Q12 2Q1Q2 3Q22

    Dengan Q1 = 2,7 dan Q2= 2,1 maka* = 15(2,7) + 18(2,1) 2(2,7)2 2(2,7)(2,1) 3(2,1)2 15(2,7) 18(2,1) 2(2,7) 2(2,7)(2,1) 3(2,1)* = 40,5 + 37,8 14,58 11,34 13,23 = 19,15Dari: = 15 4Q 2Q = 0Dari:1 = 15 4Q1 2Q2 = 0

    2 = 18 2Q1 6Q2 = 0Dengan menggunakan turunan parsial kedua:

    11 12 4 2| H | 24 4 20 11 12

    21 22| H | 24 4 20

    2 6 = = = = 52

    Karena |H1| < 0 dan |H2|=|H| > 0 mk laba maks.

  • Contoh Penerapan Ekonomi (2)Contoh Penerapan Ekonomi (2)Sebuah perusahaan monopolistik memproduksi duaSebuah perusahaan monopolistik memproduksi duabarang, dan mempunyai fungsi permintaan danfungsi biaya total sbb:g yP1 = 80 5Q1 2Q2 dan P2 = 50 Q1 3Q2TC = 3Q12 + 2Q1Q2 + 2Q22.Q1 Q1Q2 Q2Carilah besarnya masing-masing output yang akan

    memaksimumkan laba dg cara CramergBerapa laba maksimumnyaUjilah apakah laba max dg determinan Hessian

    53

    Uj a apa a aba a dg dete a ess a

  • TR = TR + TR = P Q + P QTR TR1 + TR2 P1Q1 + P2Q2

    = TR TC = P Q + P Q TC = TR TC = P1Q1 + P2Q2 TC = (80 5Q1 2Q2)Q1 + (50 Q1 3Q2)Q2

    3Q 2 2Q Q 2Q 2 3Q12 2Q1Q2 2Q22. = 80Q1 + 50Q2 5Q1Q2 8Q12 5Q22

    Turunkan scr parsial fs laba th Q1 dan Q2:/ Q1 = 1 = 80 16Q1 5Q2 = 0/ Q2 = 2 = 50 5Q1 10Q2 = 0

    54

  • Kita susun ulang 4Q1 + 2Q2 = 151 22Q1 + 6Q2 =18

    55

  • Soal LatihanSoal Latihan Perusahaan penerbangan Gagak HitamPerusahaan penerbangan Gagak Hitam

    memisahkan tiga pasar untuk pelayanan penerbangannya. Permintaan masing-masing pasar p g y g g padalah sebagai berikut:

    11 112Penerbangan siang : 12Q P= 1 112

    12 210

    1

    g gPenerbangan malam : 11P b kh 13

    QQ PQ P

    = 1

    3 38Penerbangan khusus : 13Q P= 240 10 0,5C Q Q= + +

    1 2 3dimana Q Q Q Q= + +,Q Q

    56

  • PERTANYAAN:PERTANYAAN:Bentuk fungsi penerimaannyaBentuk fungsi labanyaBentuk fungsi labanyaCarilah tingkat output dan harga di masing-masing

    pasar yang memaksimumkan laba dengan:pasar yang memaksimumkan laba dengan: Metode inverse matriks Metode aturan Cramer Metode aturan Cramer.

    Uji apakah labanya maksimum (dg uji |H|)Berapa laba maksimumnyaBerapa laba maksimumnyaBerapa elastisitas permintaa masing2 pasar pada

    tingkat output dan harga tersebuttingkat output dan harga tersebut.57

  • Cara pen elesaianCara penyelesaian

    Ingat rumus: = R C, dan R = PQKarena ada 3 pasar: R = R1 + R2 + R3. = P1Q1 + P2Q2 + P3Q3 - C

    11 1 1 11212 144 12Q P P Q= = 1 1 1 112

    12 2 2 210

    1

    11 110 1013 104 8

    Q QQ P P QQ P P Q

    = = = =

    = (144-12Q1)Q1+(110-10Q2)Q2+(104-8Q3)Q3 C

    13 3 3 3813 104 8Q P P Q= = ( 1) 1 ( 2) 2 ( 3) 3

    58

  • C = 40 + 10Q + 0,5Q2C = 40 + 10(Q1+Q2+Q3) + 0,5(Q1+Q2+Q3)2.C 40 10(Q1 Q2 Q3) 0,5(Q1 Q2 Q3) .C = 40 + 10Q1 + 10Q2 + 10Q3 + 0,5Q12

    + Q1Q2 + 0 5Q22 + Q2Q3 + 0 5Q32 + Q1Q3+ Q1Q2 + 0,5Q2 + Q2Q3 + 0,5Q3 + Q1Q3.

    = 144Q1 12Q12+110Q2 10Q22 +104Q3 8Q322 40 10Q1 10Q2 10Q3 0,5Q12

    Q1Q2 0,5Q22 Q2Q3 0,5Q32 Q1Q3.

    = 12,5Q12 + 134Q1 Q1Q2 10,5Q22 + 100Q2 Q2Q3 8 5Q32 + 94Q3 Q1Q3 40

    59

    Q2Q3 8,5Q3 + 94Q3 Q1Q3 40.

  • = 12,5Q12 + 134Q1 Q1Q2 10,5Q22 + 100Q2 12,5Q1 + 134Q1 Q1Q2 10,5Q2 + 100Q2 Q2Q3 8,5Q32 + 94Q3 Q1Q3 40.

    1 = 25 Q1 + 134 Q2 Q3 = 0 1 25 Q1 134 Q2 Q3 0 2 = 21 Q2 + 100 Q1 Q3 = 0 3 = 17 Q3 + 94 Q1 Q2 = 03 Q3 Q1 Q2

    25Q1 + Q2 + Q3 = 134Q + 21Q + Q = 100Q1 + 21Q2 + Q3 = 100Q1 + Q2 + 17Q3 = 94

    12

    25 1 1 1341 21 1 100

    QQ

    = 6031 1 17 94Q

  • K nci ja abanKunci jawaban

    Q1 = 4,99; P1 = 84,12.Q2 = 4,29; P2 = 67,10.2 2Q1 = 4,98; P1 = 64,16.|H | = -25 |H | = 524 |H | = |A| = -8864|H1| = -25, |H2| = 524, |H1| = |A| = -8864.1 = -1,40, 2 = -1,56, 3 = -1,61.

    61

  • S l t B l tihSelamat Berlatih

    wassalam

    62