23
Matriks 2 1. Menentukan invers suatu matriks brordo 2x2 Jika matriks A = dengan det A = ad-bc , maka invers dari matris A ditentukan oleh A -1 = Dengan syarat bahwa det A= ad-bc ≠ 0 d c b a a c b d bc ad 1

Matriks 2

  • Upload
    meghan

  • View
    122

  • Download
    5

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matriks 2. 1. Menentukan invers suatu matriks brordo 2x2. Jika matriks A = dengan det A = ad-bc , maka invers dari matris A ditentukan oleh A -1 = Dengan syarat bahwa det A= ad-bc ≠ 0. Langkah Penyelesaian 1. Elemen-elemen pada diagonal utama dipertukarkan - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: Matriks  2

Matriks 2

1. Menentukan invers suatu matriks brordo 2x2

Jika matriks A = dengan det A = ad-bc

, maka invers dari matris A ditentukan oleh

A-1 =

Dengan syarat bahwa det A= ad-bc ≠ 0

dc

ba

ac

bd

bcad

1

Page 2: Matriks  2

Langkah Penyelesaian

1. Elemen-elemen pada diagonal utama dipertukarkan

2. Tanda elemen-elemen pada diagonal samping diubah. Jika elemen itu (+) diubah menjadi (-) dan jika elemen itu (-) diganti (+)

3. Matriks yang diperoleh pada langkah 1 dan 2 di atas kemudian dibagi dengan determinan matriks persegi awal.

Page 3: Matriks  2

Tentukanlah invers matriks berikut ini.

Jawab:

Det A =

Karena det A≠ 0 maka matriks A mempunyai invers. Invers dari A adalah

24

35A

212104).3()2.(524

35

25

24

23

22

1

54

32

2

1A

Page 4: Matriks  2

1. Menentukan invers suatu matriks berordo 3x3a. Pengertian Minor Misalkan A adalah matriks persegi berordo

tiga yang disajikan dalam bentuk:

Jika elemen-elemen yang terletak pada baris ke –i dan kolom ke-j dari matrisk A itu dihapuskan, maka diperoleh matriks berordo 2 x 2.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Page 5: Matriks  2

Determinan dari matriks persegi berordo 2 x 2 yang diperoleh itu dinamakan minor dari

matriks A, dilambangkan dengan |Mij|

Minor dari determinan matriks A disebut sebagai minor aij.

Contoh:

Diketahui matriks A =

Tentukanlah minor-minor dari matriks A.

341

431

321

Page 6: Matriks  2

Jawab:

63.43.234

32

13.14.141

31

14.13.131

41

74.43.334

43

2121

1313

1212

1111

MadalahaMinor

MadalahaMinor

MadalahaMinor

MadalahaMinor

Page 7: Matriks  2

12.13.131

21

13.14.141

31

13.34.243

32

22.14.141

21

03.13.131

31

3333

3232

3131

2323

2222

MadalahaMinor

MadalahaMinor

MadalahaMinor

MadalahaMinor

MadalahaMinor

Page 8: Matriks  2

b. Pengertian Kofaktor

Jika |Mij| adalah minor dari aij dari matriks A,

maka bentuk (-1)i+j |Mij| disebut kofaktor dari aij.

Kofaktor dari aij dilambangkan dengan α ij.

Jadi kofaktor aij dapat ditentukan dengan rumus

αij = (-1)i+j |Mij|

Page 9: Matriks  2

Contoh:

Kofaktor dari a11 adalah α11= (-1)1+1 |M11|= + |M11|

Kofaktor dari a12 adalah α12= (-1)1+2 |M12|= - |M12|

Kofaktor dari a13 adalah α13= (-1)1+3 |M13|= + |M13|

Kofaktor dari a21 adalah α21= (-1)2+1 |M21|= - |M21|

Kofaktor dari a22 adalah α22= (-1)2+2 |M22|= + |M22|

Kofaktor dari a23 adalah α23= (-1)2+3 |M23|= - |M23|

Kofaktor dari a31 adalah α31= (-1)3+1 |M31|= + |M31|

Kofaktor dari a32 adalah α32= (-1)3+2 |M32|= - |M32|

Kofaktor dari a33 adalah α33= (-1)3+3 |M33|= + |M33|

Page 10: Matriks  2

c. Pengertian Adjoin Matriks berordo 3 x3

Matriks A adalah matriks persegi berordo 3 x 3 dalam bentuk:

Yang dimaksud dengan adjoin matriks A (disingkat: adj A) adalah juga suatu matriks yang ditentukan dalam bentuk:

adj A =

Dengan αij adalah kofaktor dari aij

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

332313

322212

312111

Page 11: Matriks  2

d. Invers matriks berorodo 3 x 3

Misalkan matriks A adalah matriks

berorodo 3 x 3. Invers dari matriks A

dirumuskan dengan aturan:

0detdet

11 AuntukAadjA

A

Page 12: Matriks  2

Contoh: Tentukanlah invers matriks berikut.

Jawab:

Jadi matriks A mempunyai invers

021

130

121

A

1)023()020(

2

3

2

1

0

1

021

130

121

det

A

Page 13: Matriks  2

Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah:

202

12

321

30

101

10

202

13

21

13

12

11

Page 14: Matriks  2

330

21

110

11

113

12

421

21

101

11

33

32

31

23

22

Page 15: Matriks  2

Matriks adjoinnya:

Adj A= =

A-1 = 1/det A. adj A = 1/-1 =

332313

322212

312111

343

111

122

343

111

122

343

111

122

Page 16: Matriks  2

Penyelesaian persamaan matriks.Misalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2 x 2 atau 3 x 3, dan A adalah matriks yang tak singular yang mempunyai invers, yaitu A-1, maka:

Penyelesaian persamaan matriks A.X = B ditentukan oleh X = A-1. B

Penyelesaian persamaan matriks X.A = B, ditentukan oleh: X = B.A-1

Page 17: Matriks  2

Contoh 1: Tentukanlah penyelesaian SPLDV dibawah ini dengan menggunakan metode invers matriks.

4x + 5y = 172x + 3y = 11

Jawab:Langka awal untuk menyelesaikan bentuk persamaan diatas dengan metode invers matriks adalah dengan mengubah persamaan dalam bentuk persamaan matriks.

11

17

32

54

y

x

Page 18: Matriks  2

Langkah 2:

Langkah 3:

Langkah 4:

X = -2 dan y = 5

25.23.432

54det,

32

54

AmakaA

42

53

2

11A

5

2

11

17

42

53

2

1

y

x

Page 19: Matriks  2

Contoh 2: Tiga arus i1, i2, i3 dalam suatu jaringan berhubungan melalui persamaan berikut:

2 i1 + i2 – i3 = 13 - i1 + 2 i2 + 3i3 = -94 i1 - i2 + 2i3 = 8

Dengan menggunakan metode invers matriks tentukanlah penyelesaian persamaan diatas.

Page 20: Matriks  2

Jawab:Langkah 1:Mengubah persamaan dalam bentuk matriks

BIA

i

i

i

.

8

9

13

.

214

321

112

3

2

1

35)268()1128(

1

2

1

4

1

2

214

321

112

det

A

Page 21: Matriks  2

Kofaktor- kofaktor dari matriks A

521

12

531

12

532

11

614

12

33

32

31

23

824

12

121

11

714

21

1424

31

721

32

22

21

13

12

11

Page 22: Matriks  2

Matriks adjoin :

567

5814

517

AAdj

I = A-1 . B

I = 1/det A . Adj A . B

Page 23: Matriks  2

3;2;4

3

2

4

8

9

13

567

5814

517

35

1

321

3

2

1

3

2

1

iii

i

i

i

i

i

i