Upload
meghan
View
122
Download
5
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Matriks 2. 1. Menentukan invers suatu matriks brordo 2x2. Jika matriks A = dengan det A = ad-bc , maka invers dari matris A ditentukan oleh A -1 = Dengan syarat bahwa det A= ad-bc ≠ 0. Langkah Penyelesaian 1. Elemen-elemen pada diagonal utama dipertukarkan - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Matriks 2
1. Menentukan invers suatu matriks brordo 2x2
Jika matriks A = dengan det A = ad-bc
, maka invers dari matris A ditentukan oleh
A-1 =
Dengan syarat bahwa det A= ad-bc ≠ 0
dc
ba
ac
bd
bcad
1
Langkah Penyelesaian
1. Elemen-elemen pada diagonal utama dipertukarkan
2. Tanda elemen-elemen pada diagonal samping diubah. Jika elemen itu (+) diubah menjadi (-) dan jika elemen itu (-) diganti (+)
3. Matriks yang diperoleh pada langkah 1 dan 2 di atas kemudian dibagi dengan determinan matriks persegi awal.
Tentukanlah invers matriks berikut ini.
Jawab:
Det A =
Karena det A≠ 0 maka matriks A mempunyai invers. Invers dari A adalah
24
35A
212104).3()2.(524
35
25
24
23
22
1
54
32
2
1A
1. Menentukan invers suatu matriks berordo 3x3a. Pengertian Minor Misalkan A adalah matriks persegi berordo
tiga yang disajikan dalam bentuk:
Jika elemen-elemen yang terletak pada baris ke –i dan kolom ke-j dari matrisk A itu dihapuskan, maka diperoleh matriks berordo 2 x 2.
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Determinan dari matriks persegi berordo 2 x 2 yang diperoleh itu dinamakan minor dari
matriks A, dilambangkan dengan |Mij|
Minor dari determinan matriks A disebut sebagai minor aij.
Contoh:
Diketahui matriks A =
Tentukanlah minor-minor dari matriks A.
341
431
321
Jawab:
63.43.234
32
13.14.141
31
14.13.131
41
74.43.334
43
2121
1313
1212
1111
MadalahaMinor
MadalahaMinor
MadalahaMinor
MadalahaMinor
12.13.131
21
13.14.141
31
13.34.243
32
22.14.141
21
03.13.131
31
3333
3232
3131
2323
2222
MadalahaMinor
MadalahaMinor
MadalahaMinor
MadalahaMinor
MadalahaMinor
b. Pengertian Kofaktor
Jika |Mij| adalah minor dari aij dari matriks A,
maka bentuk (-1)i+j |Mij| disebut kofaktor dari aij.
Kofaktor dari aij dilambangkan dengan α ij.
Jadi kofaktor aij dapat ditentukan dengan rumus
αij = (-1)i+j |Mij|
Contoh:
Kofaktor dari a11 adalah α11= (-1)1+1 |M11|= + |M11|
Kofaktor dari a12 adalah α12= (-1)1+2 |M12|= - |M12|
Kofaktor dari a13 adalah α13= (-1)1+3 |M13|= + |M13|
Kofaktor dari a21 adalah α21= (-1)2+1 |M21|= - |M21|
Kofaktor dari a22 adalah α22= (-1)2+2 |M22|= + |M22|
Kofaktor dari a23 adalah α23= (-1)2+3 |M23|= - |M23|
Kofaktor dari a31 adalah α31= (-1)3+1 |M31|= + |M31|
Kofaktor dari a32 adalah α32= (-1)3+2 |M32|= - |M32|
Kofaktor dari a33 adalah α33= (-1)3+3 |M33|= + |M33|
c. Pengertian Adjoin Matriks berordo 3 x3
Matriks A adalah matriks persegi berordo 3 x 3 dalam bentuk:
Yang dimaksud dengan adjoin matriks A (disingkat: adj A) adalah juga suatu matriks yang ditentukan dalam bentuk:
adj A =
Dengan αij adalah kofaktor dari aij
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
332313
322212
312111
d. Invers matriks berorodo 3 x 3
Misalkan matriks A adalah matriks
berorodo 3 x 3. Invers dari matriks A
dirumuskan dengan aturan:
0detdet
11 AuntukAadjA
A
Contoh: Tentukanlah invers matriks berikut.
Jawab:
Jadi matriks A mempunyai invers
021
130
121
A
1)023()020(
2
3
2
1
0
1
021
130
121
det
A
Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah:
202
12
321
30
101
10
202
13
21
13
12
11
330
21
110
11
113
12
421
21
101
11
33
32
31
23
22
Matriks adjoinnya:
Adj A= =
A-1 = 1/det A. adj A = 1/-1 =
332313
322212
312111
343
111
122
343
111
122
343
111
122
Penyelesaian persamaan matriks.Misalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2 x 2 atau 3 x 3, dan A adalah matriks yang tak singular yang mempunyai invers, yaitu A-1, maka:
Penyelesaian persamaan matriks A.X = B ditentukan oleh X = A-1. B
Penyelesaian persamaan matriks X.A = B, ditentukan oleh: X = B.A-1
Contoh 1: Tentukanlah penyelesaian SPLDV dibawah ini dengan menggunakan metode invers matriks.
4x + 5y = 172x + 3y = 11
Jawab:Langka awal untuk menyelesaikan bentuk persamaan diatas dengan metode invers matriks adalah dengan mengubah persamaan dalam bentuk persamaan matriks.
11
17
32
54
y
x
Langkah 2:
Langkah 3:
Langkah 4:
X = -2 dan y = 5
25.23.432
54det,
32
54
AmakaA
42
53
2
11A
5
2
11
17
42
53
2
1
y
x
Contoh 2: Tiga arus i1, i2, i3 dalam suatu jaringan berhubungan melalui persamaan berikut:
2 i1 + i2 – i3 = 13 - i1 + 2 i2 + 3i3 = -94 i1 - i2 + 2i3 = 8
Dengan menggunakan metode invers matriks tentukanlah penyelesaian persamaan diatas.
Jawab:Langkah 1:Mengubah persamaan dalam bentuk matriks
BIA
i
i
i
.
8
9
13
.
214
321
112
3
2
1
35)268()1128(
1
2
1
4
1
2
214
321
112
det
A
Kofaktor- kofaktor dari matriks A
521
12
531
12
532
11
614
12
33
32
31
23
824
12
121
11
714
21
1424
31
721
32
22
21
13
12
11
Matriks adjoin :
567
5814
517
AAdj
I = A-1 . B
I = 1/det A . Adj A . B
3;2;4
3
2
4
8
9
13
567
5814
517
35
1
321
3
2
1
3
2
1
iii
i
i
i
i
i
i