23
2/20/2018 1 Prof. Dr Mira Petronijević Matrična analiza konstrukcija 1 MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA -Informacije o predmetu- školska godina 2017/2018. MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 2017/2018 Matrična analiza konstrukcija 2 FOND ČASOVA: 4+2 PREDAVANJA SREDA 12:15-14 h SALA 225 ČETVRTAK 10:15-12 h SALA 113 PROFESOR Dr Mira Petronijević KABINET 145 DOCENTI Dr Marija Nefovska-Danilović KABINET 145 Dr Miroslav Marjanović KABINET 144

MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

1

Prof. Dr Mira Petronijević

Matrična analiza konstrukcija 1

MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA-Informacije o predmetu-

školska godina 2017/2018.

MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 2017/2018

Matrična analiza konstrukcija 2

FOND ČASOVA: 4+2

PREDAVANJA SREDA 12:15-14h SALA 225

ČETVRTAK 10:15-12h SALA 113

PROFESOR Dr Mira Petronijević KABINET 145

DOCENTI Dr Marija Nefovska-Danilović KABINET 145

Dr Miroslav Marjanović KABINET 144

Page 2: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

2

MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA

Matrična analiza konstrukcija 3

VEŽBE UTORAK 8:15-10h SALA 316 (I GRUPA)*

10:15-12h SALA 319 (II GRUPA)

12:15-14h SALA 316 (III GRUPA)

* PODELA NA GRUPE ĆE BITI ISTAKNUTA NA TABLI ISPRED KABINETA 145

ASISTENTI Miloš Jočković KABINET 333

Emilija Damnjanović KABINET 333

Marko Marinković KABINET 333

USLOV ZA POHAĐANJE NASTAVE

Matrična analiza konstrukcija 4

Studenti mogu pohađati nastavu ako su

ostvarili potpis iz

STATIKE KONSTRUKCIJA.

Page 3: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

3

Matrična analiza konstrukcija 5

Matrična analiza konstrukcija

Obaveze studenata

- Prisustvovanje predavanjima

- Prisustvovanje vežbama

- Overen elaborat

Uslov za potpis

� Prisustvo na 48/56 časova predavana� Prisustvo na 24/28 časova vežbanja� Ocena veća od 6 na elaboratu i testovima

ElaboratElaboratElaboratElaborat

Matrična analiza konstrukcija 6

Studenti rade ukupno 3 GRAFIČKA RADA i 3 TESTA.Svaki od grafičkih radova se u zakazanom terminupredaje asistentu na pregled i ocenu. Stečeno znanje seproverava na testu. Ocena na jednom grafičkom raduje jednaka prosečnoj oceni iz zadatka i testa. Ocena naelaboratu je jednaka prosečnoj oceni za sva 3 grafičkarada.

Ocena na elaboratu se dodaje broju bodova kojestudent ostvari na pismenom ispitu. Ova olakšica važijednu školsku godinu, tj. od juna 2018. do oktobra2019.

Page 4: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

4

OOOOslobađanjeslobađanjeslobađanjeslobađanje usmenogusmenogusmenogusmenog deladeladeladela ispitaispitaispitaispita

Matrična analiza konstrukcija 7

Student se može osloboditi usmenog dela ispita akopoloži 2 kolokvijuma (više od 55% poena). Kolokvijumi sepolažu prema sledećem rasporedu:

I kolokvijum – 8. nedelja nastaveII kolokvijum – Kolokvijumska nedelja

Kolokvijum je u vidu testa, koji se sastoji od 25kombinovanih pitanja (izvođenje, zaokruživanje,dopunjavanje...). Radi se 2 časa. Pogrešni odgovoridonose 2 negativna poena.

Oslobađanje od usmenog dela ispita važi jednu godinu(od juna tekuće godine do oktobra naredne godine).Nakon tog roka polaže se ceo ispit.

Literatura

Matrična analiza konstrukcija 8

� M. Sekulović: Teorija linijskih nosača, GK

� M.Petronijević, M. Nefovska-Danilović:

Statika konstrukcija 2. Zbirka zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007.

� M. Sekulović, M. Petronijević: Statika konstrukcija 2: Zbirka

rešenih ispitnih zadataka, GF

� R. Salatić, S. Živanović: Zbirka zadataka iz stabilnosti i

dinamike konstrukcija, GF

� Web site fakulteta/predmeta www.grf.bg.ac.rs

Page 5: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

5

Matrična analiza konstrukcija 9

1. UVOD

• MAK- istorijat i osnove• Rekapitulacija osnovnih jednačina linearne teorije štapa

Matrična analiza konstrukcija 10

Matrična analiza konstrukcija

Statika ravnih i prostornih linijskih nosača

Stabilnost ravnih linijskih nosača

Page 6: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

6

prema pristupu

Metode analize linijskih nosača

Metode klasične statike

konstrukcija

Matrična analiza

konstrukcija

Matrična analiza konstrukcija 11

Matrična analiza konstrukcija 12

Klasična statika konstrukcija(od Isaac Newton-a 1666.)

� Analizira se nosač u celini, kao sistem povezanih štapova,

� Utvrđuje se statička odnosno deformacijska neodređenost nosača,

� Usvaja se metoda za rešavanje,

� Formiraju se jednačine za određivanje nepoznatih (uslovne jednačine), određuju nepoznate veličine i sile u presecima nosača.

Page 7: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

7

Matrična analiza konstrukcija 13

� Štap je osnovni element nosača,� Nosač se posmatra kao skup međusobno povezanih

štapova,� Za nepoznate veličine biraju se parametri (pomeranja

ili sile) u čvorovima nosača,� Na osnovu teorije štapa uspostavljaju se veze između

vektora sila i vektora pomeranja krajevima štapa u matričnom obliku,

� Formiraju se jednačine za određivanje nepoznatih (uslovne jednačine), određuju nepoznate veličine i sile u presecima nosača.

1.1. Matrična analiza konstrukcija

Istorijski razvoj

Matrična analiza konstrukcija 14

1930 Matrična analiza je prvi put primenjena u rešavanju problema aeroelastičnosti, Collar i Duncan,avio-industrija, GB

1934 Prva knjiga Collar, Duncan i Frazer

1955 Argyris, Metoda sila i metoda deformacije

1959 Tyrner, Direct Stiffness Method

1964 Wilson, Metoda konačnih elemenata (MKE)

Page 8: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

8

Matrična analiza konstrukcija 15

� Od 1964 Gallagher,

Irons,

Martin,

Clough,

Zienkiewicz

• 1977 Sekulović

Matrična analiza - Metoda deformacije

Matrična analiza konstrukcija 16

� Od 1960-te godine sa ekspanzijom računara, MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA (metoda deformacije) se sve više primenjuje u analizi linijskih nosača.

� Metoda je u literaturi poznata i kao DIRECT STIFFNESS METHOD (Direktna metoda krutosti). Ime potiče od matrice krutosti koja daje vezu između sila i pomeranja krajeva štapa.

� Iz ove metode se praktično razvila METODA KONAČNIH ELEMENATA, mnogo opštija metoda, koja se primenjuje u statičkoj i dinamičkoj analizi složenih konstrukcija.

Page 9: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

9

1.2 Osnove matrične analize

Matrična analiza konstrukcija 17

1.2 Osnove matrične analize

Konstrukcija Matematički model

Rešenje diskretnog modela

IDEALIZACIJA DISKRETIZACIJA

Diskretan model

REŠENJE

Idealizacija – krovna rešetka

Matrična analiza konstrukcija 18

element

oslonac

čvor

Konstrukcija

DISKRETIZACIJAIDEALIZACIJA

Matematički model

Slika je preuzeta i prilagođena iz on line book, Carlos Felippa: Introduction to FEM, http://bib.tiera.ru/DVD-

013/Felippa_C.A._Introduction_to_finite_element_methods_(2001)(en)(489s).pdf

Page 10: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

10

Primer – čelična hala

Matrična analiza konstrukcija 19

2D idealizacija

Matrična analiza konstrukcija 20

Page 11: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

11

Matrična analiza konstrukcija 21

Diskretizacija

� Nosač sa posmatra kao sistem sastavljen od diskretnih elemenata – štapova koji su povezani u čvorovima nosača

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10

ČVOROVI

ŠTAPOVI

Broj čvorova 10

Broj štapova 9

8 9

3 41 2 5 6 7

Y

X

4 54

11

DISKRETIZACIJA

Matrična analiza konstrukcija 22

Izbor nepoznatih

� Nepoznate veličine su parametri u čvorovima nosača.

� U zavisnosti od izbora parametara u čvorovima, postoje 2 metode analize:

Metoda sila Metoda deformacije

Page 12: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

12

Matrična analiza - Metoda sila:

Matrična analiza konstrukcija 23

� Parametri: sile u čvorovima nosača u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema: H, V, M

� Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktično se ne koristi u matričnoj analizi konstrukcija.

Hi

Mi

Vi

Mk

Vk

Nk

x

y

Matrična analiza - Metoda deformacije

Matrična analiza konstrukcija 24

• Parametri: komponente pomeranja

čvorova nosača u, v i obrtanje ϕ.

ui

ϕi ϕk

vk

uk

x

y

i k

vi

Page 13: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

13

Analize

Matrična analiza konstrukcija 25

� Postoje 2 nivoa analize: analiza štapa i analiza sistema štapova,

� Analiza štapa: uspostavljaju se veze između sila i pomeranja na krajevima štapa- osnovna jednačina štapa.

� Analiza strukture (sistema) štapova: formiraju se jednačine sistema za određivanje nepoznatih pomeranja (uslovne jednačine) nosača. One predstavljaju uslove

ravnoteže čvorova sistema.

Matrična analiza konstrukcija

1

2

3

4

5

6

i

i

i

k

k

k

R N

R T

R M

R N

R T

R M

= =

R

=

=

k

k

k

i

i

i

v

u

v

u

q

q

q

q

q

q

ϕ

ϕ

6

5

4

3

2

1

q

Vektor pomeranja Vektor sila

j j j j= −R K q Q

Matrica krutosti štapa

Osnovna jednačina štapa j

P: Važi linearna teorija štapax,y, z –lokalni koordinatni sistem

Vektor ekvivalentnog opterećenja

Analiza štapa

4

26 x

p(x)

1

35

E, A, I, l

y

k

Page 14: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

14

Matrična analiza konstrukcija 27

Nepoznate veličine u metodi deformacije:

- Komponente pomeranja čvorova: ui , vi

broj nepoznatih komponenata pomeranja: 2K-zo

K – broj čvorova, zo –broj oslonaca u nosaču

- Uglovi obrtanja čvorova: φi

broj nepoznatih uglova obrtanja čvorova: m

m – broj čvorova u kojima postoji bar jedan krut ugao

Ukupan broj deformacijski nepoznatih veličina nosača:

2K-zo+m

Analiza sistema štapova

Matrična analiza konstrukcija 28

Deformacijske nepoznate su pomeranja i obrtanja u slobodnim (neoslonjenim) čvorovima.

Analiza sistema štapova

poznata pomeranja

nepoznata pomeranja

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10

X

Y

X,Y, Z - globalni koordinatni sistem

Z

2K=2x10=20m=6Broj mogućih pomeranjaN=20+6=26Broj nepoznatihzo=9n=26-9=17

Page 15: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

15

Jednačine iz kojih određujemo nepoznata pomeranja: uslovi ravnoteže čvorova nosača

Matrična analiza konstrukcija 29

}2K-zo

0

0

0

X

Y

M

=

=

=

∑∑∑ } m

*1

jR

*2

jR

Pi,x

Mi Pi,y

i

k

αik

X

*3

jR

Y

* * * *j j j j= −R K q Q* * *=K q S

Matrica krutosti sistema

* * *=K q S

Matrična analiza konstrukcija 30

SISTEM ALGEBARSKIH JEDNAČINA

REŠENJE

*q

VEKTOR POMERANJAVEKTOR SILA NA

KRAJEVIMA ŠTAPOVA

Uslovne jednačine

jR

Page 16: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

16

Matrična analiza konstrukcija 31

� formiranje matrica krutosti pojedinih elemenata u lokalnom sistemu

� transformacija matrica krutosti pojedinih elemenata u globalni sistem

� formiranje matrice krutosti sistema štapova,

� formiranje vektora slobodnih članova,

� određivanje pomeranja čvorova rešavanjem sistema uslovnih jednačina,

� sračunavanje sila u štapovima nosača.

Postupak analize:

Vektor ekvivalentnog sistema

Matrična analiza konstrukcija 32

� Primena principa superpozicije

dati nosač

Qe+

ekvivalentni nosač

Qe - ekvivalentno opterećenje

=

deformacijski određen sistem datog nosača

Page 17: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

17

Matrična analiza konstrukcija 33

� Direktno, iz uslova ravnoteže čvorova

� Iz principa o min potencijalne energije Πsistema

Metode za formiranje uslovnih jednačina:

1.3 Linearna teorija štapa -rekapitulacija

Matrična analiza konstrukcija 34

NEPOZNATE:

� sile u presecima: M, N i T

� pomeranja i obrtanja: u, v i φ

� deformacijske veličine: ε, κ i φt

Page 18: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

18

1.3 Linearna teorija štapa -rekapitulacija

Matrična analiza konstrukcija 35

JEDNAČINE:

� uslovi ravnoteže elementa štapa

� veze između pomeranja i deformacije elementa štapa

� veze između sila u presecima i

deformacije (Hooke-ov zakon)

1.3 Linearna teorija štapa -rekapitulacija

Matrična analiza konstrukcija 36

Osnovne pretpostavke:

P1. Pretpostavka o malim pomeranjima

(pretpostavka o statičkoj linearnosti)

P2. Pretpostavka o malim deformacijama

(pretpostavka o geometrijskoj linearnosti)

P3. Hookov zakon

(pretpostavka o fizičkoj linearnosti)

Page 19: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

19

Uslovi ravnoteže štapa

Matrična analiza konstrukcija 37

P1. Uslove ravnoteže posmatramo na nedeformisanom štapu.

Posledica: Uslovi ravnoteže štapa su linearne jednačine.

0

0

0

t

n

dN p ds

dT p ds

dM Tds

+ =

+ =

− =ds

C'

C

pndsptds

X

Y

M

N

T

M+dM

N+dN

T+dT

(I)

Geometrijske veze

Matrična analiza konstrukcija 38

Veze između pomeranja i deformacije štapa se izvode

geometrijskim razmatranjem.

Posledica P2 je da su te veze linearne.

u+duds

CC1

X

Y

φ

(1+ε)ds

α

φ

v v+dv

uC'

C1

'

dx+du

dy+dv

dx

α dy

( )t

du dx dy

dv dy dx

d

ds

ε ϕ

ε ϕ

ϕ ϕκ

= −

= +

−= −

(II)

Page 20: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

20

Klizanje poprečnog preseka ϕt

� ϕt - klizanje poprečnog

preseka

� Pomeranja ekvidistantnog

elementa

u(y)=u-y(φ-φt)

v(y)=v

Matrična analiza konstrukcija 39

X

Y

φ

O

O'

Tehnička teorija

savijanja štapa

Timošenkov

štap

φt

osa štapa

v

v(y)

u

u(y)

C'(y)

C'

φ-φt

φ

y

C

C(y)

Promena krivine κ

Matrična analiza konstrukcija 40

( )1 td

ds

ϕ ϕκ

ρ

−= = −

′′

X

Y

φ

C1

ds

C1yCy

Cy

φ

(1+ε)ds

O'

O''

ρ''dφ

φt

φt+dφt

y

φ-φt

ρ'

(1+εy )ds

yy κεε +=)(

Page 21: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

21

Veze sila i deformacije

Posledica P3: Veze između sila u preseku, temperature i

deformacijskih veličina štapa su linearne.

Matrična analiza konstrukcija 41

o

t

Nt

EFε α= +

t

M t

EI hκ α

∆= +

t

Tk

GFϕ =

(III)

Raspodela temperature:

yC

x

to

tu

toh

t(y)

t∆

Jednačine štapa:

Matrična analiza konstrukcija 42

Jednačine: 6 diferencijalnih (I i II) i 3 algebarske (III)

0

0

0

t

n

dN p ds

dT p ds

dM Tds

+ =

+ =

− =

(I)

( )t

du dx dy

dv dy dx

d

ds

ε ϕ

ε ϕ

ϕ ϕκ

= −

= +

−= −

(II) t

M t

EI hκ α

∆= +

o

t

Nt

EFε α= +

t

Tk

GFϕ =

(III)

Page 22: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

22

Nepoznate veličine štapa:

Matrična analiza konstrukcija 43

Nepoznate:� sile u presecima: M, N i T

� pomeranja i obrtanja ose: u, v i φ� deformacije: ε, κ i φt

Ukupan broj nepoznatih je 9.

Ako iz jednačina (III) ε, κ i φt iskažemo u funkciji od M,N i T i zamenimo u jednačine (II) dobija se sistem od 6 dif. jednačina sa 6 nepoznatih.

Nepoznate i jednačine štapa:

Matrična analiza konstrukcija 44

� 6 nepoznatih veličina: M, N, T, u, v i φ� 6 diferencijalnih jednačina I i II

Sistem je moguće rešiti ako znamo još i 6 integracionih konstanti – 6 graničnih uslova štapa.

Page 23: MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati

2/20/2018

23

Granični uslovi štapa

Matrična analiza konstrukcija 45

Ni

Mi

Ti

Mk

Tk

Nk

granični uslovi po silama granični uslovi po pomeranjima

Mogući granični uslovi: max3 po silama, min 3 po pomeranjima

i k

φi

vi vk

uiuk

φk

6 graničnih uslova po pomeranjima

� Ako su svih 6 graničnih uslova štapa zadati po pomeranjima, reč je o metodi deformacije.

Matrična analiza konstrukcija 46

q3

q2 q5

q1q4

q6

x

y