Upload
dinhhuong
View
273
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
2/20/2018
1
Prof. Dr Mira Petronijević
Matrična analiza konstrukcija 1
MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA-Informacije o predmetu-
školska godina 2017/2018.
MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 2017/2018
Matrična analiza konstrukcija 2
FOND ČASOVA: 4+2
PREDAVANJA SREDA 12:15-14h SALA 225
ČETVRTAK 10:15-12h SALA 113
PROFESOR Dr Mira Petronijević KABINET 145
DOCENTI Dr Marija Nefovska-Danilović KABINET 145
Dr Miroslav Marjanović KABINET 144
2/20/2018
2
MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA
Matrična analiza konstrukcija 3
VEŽBE UTORAK 8:15-10h SALA 316 (I GRUPA)*
10:15-12h SALA 319 (II GRUPA)
12:15-14h SALA 316 (III GRUPA)
* PODELA NA GRUPE ĆE BITI ISTAKNUTA NA TABLI ISPRED KABINETA 145
ASISTENTI Miloš Jočković KABINET 333
Emilija Damnjanović KABINET 333
Marko Marinković KABINET 333
USLOV ZA POHAĐANJE NASTAVE
Matrična analiza konstrukcija 4
Studenti mogu pohađati nastavu ako su
ostvarili potpis iz
STATIKE KONSTRUKCIJA.
2/20/2018
3
Matrična analiza konstrukcija 5
Matrična analiza konstrukcija
Obaveze studenata
- Prisustvovanje predavanjima
- Prisustvovanje vežbama
- Overen elaborat
Uslov za potpis
� Prisustvo na 48/56 časova predavana� Prisustvo na 24/28 časova vežbanja� Ocena veća od 6 na elaboratu i testovima
ElaboratElaboratElaboratElaborat
Matrična analiza konstrukcija 6
Studenti rade ukupno 3 GRAFIČKA RADA i 3 TESTA.Svaki od grafičkih radova se u zakazanom terminupredaje asistentu na pregled i ocenu. Stečeno znanje seproverava na testu. Ocena na jednom grafičkom raduje jednaka prosečnoj oceni iz zadatka i testa. Ocena naelaboratu je jednaka prosečnoj oceni za sva 3 grafičkarada.
Ocena na elaboratu se dodaje broju bodova kojestudent ostvari na pismenom ispitu. Ova olakšica važijednu školsku godinu, tj. od juna 2018. do oktobra2019.
2/20/2018
4
OOOOslobađanjeslobađanjeslobađanjeslobađanje usmenogusmenogusmenogusmenog deladeladeladela ispitaispitaispitaispita
Matrična analiza konstrukcija 7
Student se može osloboditi usmenog dela ispita akopoloži 2 kolokvijuma (više od 55% poena). Kolokvijumi sepolažu prema sledećem rasporedu:
I kolokvijum – 8. nedelja nastaveII kolokvijum – Kolokvijumska nedelja
Kolokvijum je u vidu testa, koji se sastoji od 25kombinovanih pitanja (izvođenje, zaokruživanje,dopunjavanje...). Radi se 2 časa. Pogrešni odgovoridonose 2 negativna poena.
Oslobađanje od usmenog dela ispita važi jednu godinu(od juna tekuće godine do oktobra naredne godine).Nakon tog roka polaže se ceo ispit.
Literatura
Matrična analiza konstrukcija 8
� M. Sekulović: Teorija linijskih nosača, GK
� M.Petronijević, M. Nefovska-Danilović:
Statika konstrukcija 2. Zbirka zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007.
� M. Sekulović, M. Petronijević: Statika konstrukcija 2: Zbirka
rešenih ispitnih zadataka, GF
� R. Salatić, S. Živanović: Zbirka zadataka iz stabilnosti i
dinamike konstrukcija, GF
� Web site fakulteta/predmeta www.grf.bg.ac.rs
2/20/2018
5
Matrična analiza konstrukcija 9
1. UVOD
• MAK- istorijat i osnove• Rekapitulacija osnovnih jednačina linearne teorije štapa
Matrična analiza konstrukcija 10
Matrična analiza konstrukcija
Statika ravnih i prostornih linijskih nosača
Stabilnost ravnih linijskih nosača
2/20/2018
6
prema pristupu
Metode analize linijskih nosača
Metode klasične statike
konstrukcija
Matrična analiza
konstrukcija
Matrična analiza konstrukcija 11
Matrična analiza konstrukcija 12
Klasična statika konstrukcija(od Isaac Newton-a 1666.)
� Analizira se nosač u celini, kao sistem povezanih štapova,
� Utvrđuje se statička odnosno deformacijska neodređenost nosača,
� Usvaja se metoda za rešavanje,
� Formiraju se jednačine za određivanje nepoznatih (uslovne jednačine), određuju nepoznate veličine i sile u presecima nosača.
2/20/2018
7
Matrična analiza konstrukcija 13
� Štap je osnovni element nosača,� Nosač se posmatra kao skup međusobno povezanih
štapova,� Za nepoznate veličine biraju se parametri (pomeranja
ili sile) u čvorovima nosača,� Na osnovu teorije štapa uspostavljaju se veze između
vektora sila i vektora pomeranja krajevima štapa u matričnom obliku,
� Formiraju se jednačine za određivanje nepoznatih (uslovne jednačine), određuju nepoznate veličine i sile u presecima nosača.
1.1. Matrična analiza konstrukcija
Istorijski razvoj
Matrična analiza konstrukcija 14
1930 Matrična analiza je prvi put primenjena u rešavanju problema aeroelastičnosti, Collar i Duncan,avio-industrija, GB
1934 Prva knjiga Collar, Duncan i Frazer
1955 Argyris, Metoda sila i metoda deformacije
1959 Tyrner, Direct Stiffness Method
1964 Wilson, Metoda konačnih elemenata (MKE)
2/20/2018
8
Matrična analiza konstrukcija 15
� Od 1964 Gallagher,
Irons,
Martin,
Clough,
Zienkiewicz
• 1977 Sekulović
Matrična analiza - Metoda deformacije
Matrična analiza konstrukcija 16
� Od 1960-te godine sa ekspanzijom računara, MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA (metoda deformacije) se sve više primenjuje u analizi linijskih nosača.
� Metoda je u literaturi poznata i kao DIRECT STIFFNESS METHOD (Direktna metoda krutosti). Ime potiče od matrice krutosti koja daje vezu između sila i pomeranja krajeva štapa.
� Iz ove metode se praktično razvila METODA KONAČNIH ELEMENATA, mnogo opštija metoda, koja se primenjuje u statičkoj i dinamičkoj analizi složenih konstrukcija.
2/20/2018
9
1.2 Osnove matrične analize
Matrična analiza konstrukcija 17
1.2 Osnove matrične analize
Konstrukcija Matematički model
Rešenje diskretnog modela
IDEALIZACIJA DISKRETIZACIJA
Diskretan model
REŠENJE
Idealizacija – krovna rešetka
Matrična analiza konstrukcija 18
element
oslonac
čvor
Konstrukcija
DISKRETIZACIJAIDEALIZACIJA
Matematički model
Slika je preuzeta i prilagođena iz on line book, Carlos Felippa: Introduction to FEM, http://bib.tiera.ru/DVD-
013/Felippa_C.A._Introduction_to_finite_element_methods_(2001)(en)(489s).pdf
2/20/2018
10
Primer – čelična hala
Matrična analiza konstrukcija 19
2D idealizacija
Matrična analiza konstrukcija 20
2/20/2018
11
Matrična analiza konstrukcija 21
Diskretizacija
� Nosač sa posmatra kao sistem sastavljen od diskretnih elemenata – štapova koji su povezani u čvorovima nosača
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10
ČVOROVI
ŠTAPOVI
Broj čvorova 10
Broj štapova 9
8 9
3 41 2 5 6 7
Y
X
4 54
11
DISKRETIZACIJA
Matrična analiza konstrukcija 22
Izbor nepoznatih
� Nepoznate veličine su parametri u čvorovima nosača.
� U zavisnosti od izbora parametara u čvorovima, postoje 2 metode analize:
Metoda sila Metoda deformacije
2/20/2018
12
Matrična analiza - Metoda sila:
Matrična analiza konstrukcija 23
� Parametri: sile u čvorovima nosača u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema: H, V, M
� Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktično se ne koristi u matričnoj analizi konstrukcija.
Hi
Mi
Vi
Mk
Vk
Nk
x
y
Matrična analiza - Metoda deformacije
Matrična analiza konstrukcija 24
• Parametri: komponente pomeranja
čvorova nosača u, v i obrtanje ϕ.
ui
ϕi ϕk
vk
uk
x
y
i k
vi
2/20/2018
13
Analize
Matrična analiza konstrukcija 25
� Postoje 2 nivoa analize: analiza štapa i analiza sistema štapova,
� Analiza štapa: uspostavljaju se veze između sila i pomeranja na krajevima štapa- osnovna jednačina štapa.
� Analiza strukture (sistema) štapova: formiraju se jednačine sistema za određivanje nepoznatih pomeranja (uslovne jednačine) nosača. One predstavljaju uslove
ravnoteže čvorova sistema.
Matrična analiza konstrukcija
1
2
3
4
5
6
i
i
i
k
k
k
R N
R T
R M
R N
R T
R M
= =
R
=
=
k
k
k
i
i
i
v
u
v
u
q
q
q
q
q
q
ϕ
ϕ
6
5
4
3
2
1
q
Vektor pomeranja Vektor sila
j j j j= −R K q Q
Matrica krutosti štapa
Osnovna jednačina štapa j
P: Važi linearna teorija štapax,y, z –lokalni koordinatni sistem
Vektor ekvivalentnog opterećenja
Analiza štapa
4
26 x
p(x)
1
35
E, A, I, l
y
k
2/20/2018
14
Matrična analiza konstrukcija 27
Nepoznate veličine u metodi deformacije:
- Komponente pomeranja čvorova: ui , vi
broj nepoznatih komponenata pomeranja: 2K-zo
K – broj čvorova, zo –broj oslonaca u nosaču
- Uglovi obrtanja čvorova: φi
broj nepoznatih uglova obrtanja čvorova: m
m – broj čvorova u kojima postoji bar jedan krut ugao
Ukupan broj deformacijski nepoznatih veličina nosača:
2K-zo+m
Analiza sistema štapova
Matrična analiza konstrukcija 28
Deformacijske nepoznate su pomeranja i obrtanja u slobodnim (neoslonjenim) čvorovima.
Analiza sistema štapova
poznata pomeranja
nepoznata pomeranja
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10
X
Y
X,Y, Z - globalni koordinatni sistem
Z
2K=2x10=20m=6Broj mogućih pomeranjaN=20+6=26Broj nepoznatihzo=9n=26-9=17
2/20/2018
15
Jednačine iz kojih određujemo nepoznata pomeranja: uslovi ravnoteže čvorova nosača
Matrična analiza konstrukcija 29
}2K-zo
0
0
0
X
Y
M
=
=
=
∑∑∑ } m
*1
jR
*2
jR
Pi,x
Mi Pi,y
i
k
αik
X
*3
jR
Y
* * * *j j j j= −R K q Q* * *=K q S
Matrica krutosti sistema
* * *=K q S
Matrična analiza konstrukcija 30
SISTEM ALGEBARSKIH JEDNAČINA
REŠENJE
*q
VEKTOR POMERANJAVEKTOR SILA NA
KRAJEVIMA ŠTAPOVA
Uslovne jednačine
jR
2/20/2018
16
Matrična analiza konstrukcija 31
� formiranje matrica krutosti pojedinih elemenata u lokalnom sistemu
� transformacija matrica krutosti pojedinih elemenata u globalni sistem
� formiranje matrice krutosti sistema štapova,
� formiranje vektora slobodnih članova,
� određivanje pomeranja čvorova rešavanjem sistema uslovnih jednačina,
� sračunavanje sila u štapovima nosača.
Postupak analize:
Vektor ekvivalentnog sistema
Matrična analiza konstrukcija 32
� Primena principa superpozicije
dati nosač
Qe+
ekvivalentni nosač
Qe - ekvivalentno opterećenje
=
deformacijski određen sistem datog nosača
2/20/2018
17
Matrična analiza konstrukcija 33
� Direktno, iz uslova ravnoteže čvorova
� Iz principa o min potencijalne energije Πsistema
Metode za formiranje uslovnih jednačina:
1.3 Linearna teorija štapa -rekapitulacija
Matrična analiza konstrukcija 34
NEPOZNATE:
� sile u presecima: M, N i T
� pomeranja i obrtanja: u, v i φ
� deformacijske veličine: ε, κ i φt
2/20/2018
18
1.3 Linearna teorija štapa -rekapitulacija
Matrična analiza konstrukcija 35
JEDNAČINE:
� uslovi ravnoteže elementa štapa
� veze između pomeranja i deformacije elementa štapa
� veze između sila u presecima i
deformacije (Hooke-ov zakon)
1.3 Linearna teorija štapa -rekapitulacija
Matrična analiza konstrukcija 36
Osnovne pretpostavke:
P1. Pretpostavka o malim pomeranjima
(pretpostavka o statičkoj linearnosti)
P2. Pretpostavka o malim deformacijama
(pretpostavka o geometrijskoj linearnosti)
P3. Hookov zakon
(pretpostavka o fizičkoj linearnosti)
2/20/2018
19
Uslovi ravnoteže štapa
Matrična analiza konstrukcija 37
P1. Uslove ravnoteže posmatramo na nedeformisanom štapu.
Posledica: Uslovi ravnoteže štapa su linearne jednačine.
0
0
0
t
n
dN p ds
dT p ds
dM Tds
+ =
+ =
− =ds
C'
C
pndsptds
X
Y
M
N
T
M+dM
N+dN
T+dT
(I)
Geometrijske veze
Matrična analiza konstrukcija 38
Veze između pomeranja i deformacije štapa se izvode
geometrijskim razmatranjem.
Posledica P2 je da su te veze linearne.
u+duds
CC1
X
Y
φ
(1+ε)ds
α
φ
v v+dv
uC'
C1
'
dx+du
dy+dv
dx
α dy
( )t
du dx dy
dv dy dx
d
ds
ε ϕ
ε ϕ
ϕ ϕκ
= −
= +
−= −
(II)
2/20/2018
20
Klizanje poprečnog preseka ϕt
� ϕt - klizanje poprečnog
preseka
� Pomeranja ekvidistantnog
elementa
u(y)=u-y(φ-φt)
v(y)=v
Matrična analiza konstrukcija 39
X
Y
φ
O
O'
Tehnička teorija
savijanja štapa
Timošenkov
štap
φt
osa štapa
v
v(y)
u
u(y)
C'(y)
C'
φ-φt
φ
y
C
C(y)
Promena krivine κ
Matrična analiza konstrukcija 40
( )1 td
ds
ϕ ϕκ
ρ
−= = −
′′
X
Y
φ
C1
ds
C1yCy
Cy
φ
(1+ε)ds
O'
O''
ρ''dφ
φt
φt+dφt
y
φ-φt
ρ'
(1+εy )ds
yy κεε +=)(
2/20/2018
21
Veze sila i deformacije
Posledica P3: Veze između sila u preseku, temperature i
deformacijskih veličina štapa su linearne.
Matrična analiza konstrukcija 41
o
t
Nt
EFε α= +
t
M t
EI hκ α
∆= +
t
Tk
GFϕ =
(III)
Raspodela temperature:
yC
x
to
tu
toh
t(y)
t∆
Jednačine štapa:
Matrična analiza konstrukcija 42
Jednačine: 6 diferencijalnih (I i II) i 3 algebarske (III)
⇐
0
0
0
t
n
dN p ds
dT p ds
dM Tds
+ =
+ =
− =
(I)
( )t
du dx dy
dv dy dx
d
ds
ε ϕ
ε ϕ
ϕ ϕκ
= −
= +
−= −
(II) t
M t
EI hκ α
∆= +
o
t
Nt
EFε α= +
t
Tk
GFϕ =
(III)
2/20/2018
22
Nepoznate veličine štapa:
Matrična analiza konstrukcija 43
Nepoznate:� sile u presecima: M, N i T
� pomeranja i obrtanja ose: u, v i φ� deformacije: ε, κ i φt
Ukupan broj nepoznatih je 9.
Ako iz jednačina (III) ε, κ i φt iskažemo u funkciji od M,N i T i zamenimo u jednačine (II) dobija se sistem od 6 dif. jednačina sa 6 nepoznatih.
Nepoznate i jednačine štapa:
Matrična analiza konstrukcija 44
� 6 nepoznatih veličina: M, N, T, u, v i φ� 6 diferencijalnih jednačina I i II
Sistem je moguće rešiti ako znamo još i 6 integracionih konstanti – 6 graničnih uslova štapa.
2/20/2018
23
Granični uslovi štapa
Matrična analiza konstrukcija 45
Ni
Mi
Ti
Mk
Tk
Nk
granični uslovi po silama granični uslovi po pomeranjima
Mogući granični uslovi: max3 po silama, min 3 po pomeranjima
i k
φi
vi vk
uiuk
φk
6 graničnih uslova po pomeranjima
� Ako su svih 6 graničnih uslova štapa zadati po pomeranjima, reč je o metodi deformacije.
Matrična analiza konstrukcija 46
q3
q2 q5
q1q4
q6
x
y