Upload
lamthuan
View
244
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Matrice i determinante.Predavanje II
Ines [email protected]
Odjel za matematikuSveucilista u Rijeci
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Matrice i determinante• Determinanta.
• Determinante i Cramerovo pravilo.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Matrice i determinante• Determinanta.
• Determinante i Cramerovo pravilo.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Determinanta matrice
Determinante su u algebru uvedene najprije kao sredstvo prirjesavanju sustava linearnih jednadzbi s regularnom matricom.Naime, rjesenja sustava mogu se izraziti pomocu kvocijenataodredenih determinanti. Kasnije je njihova teorija razvijena, takoda je pojam determinante kvadratne matrice postao vazan pojam ulinearnoj algebri, a posebno u teoriji matrica. Premda je njihovavaznost smanjena jer su neprakticne u racunanju, one ipak imajuveliku primjenu u tehnici za racunanje svojstvenih vrijednosti,rjesavanje diferencijalnih jednadzbi, racunanje s vektorima, imaju iprimjenu u geometriji te u mnogim drugim podrucjima. Pomocudeterminante matrice moze se dobiti izvjesna informacija o matrici,npr. kod odredivanja ranga ili kriterija za prepoznavanje regularnihmatrica.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Determinanta matrice
Determinanta n-tog reda je povezana sa n × n matricom.Determinanta realne kvadratne matrice A = [ajk ], za n ≥ 2, jefunkcija det : Rn×n → R.Svakoj kvadratnoj (realnoj ili kompleksnoj) matrici A reda npridruzen je (realan ili kompleksan) broj detA koji se zovedeterminanta matrice A, i pise se
D = detA = det(aij) = |A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Determinante mozemo uvesti na nekoliko ekvivalentnih nacina.Ovdje ce biti dana definicija najprakticnija za njihovo povezivanjesa sustavima linearnih jednadzbi.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Matrice i determinante• Determinanta.
• Determinante i Cramerovo pravilo.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Determinanta drugog reda
Determinanta drugog reda se definira i oznacava ovako:
D = detA =
∣∣∣∣a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21 (1)
Primjer
∣∣∣∣4 32 5
∣∣∣∣ = 4 · 5− 3 · 2 = 14
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Cramerovo pravilo
Cramerovo pravilo za rjesavanje sustava dviju linearnihjednadzbiIzvedite formulu za rijesiti sljedeci sustav jednadzbi:
a11x1 + a12x2 = b1 (2)
a21x1 + a22x2 = b2. (3)
Rjesenje Eliminiramo x2 tako da pomnozimo (2) sa a22 i (3) sa−a12 i onda zbrojimo.
(a11a22 − a12a21)x1 = b1a22 − a12b2
Sada eliminiramo x1 mnozeci (2) sa −a21 i (3) sa a11 i zbrajajuci.
(a11a22 − a12a21)x2 = a11b2 − b1a21
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Cramerovo pravilo
Pretpostavimo da je D = a11a22 − a12a21 6= 0, te podijelimo ovedvije jednadzbe sa D. Mozemo desne strane jednadzbi pisati i kaodeterminante. Tako smo dobili Cramerovo pravilo za rjesavanjesustava dviju linearnih jednadzbi, odnosno za n = 2.
x1 =
∣∣∣∣b1 a12
b2 a22
∣∣∣∣D
=b1a22 − a12b2
D,
x2 =
∣∣∣∣a11 b1
a21 b2
∣∣∣∣D
=a11b2 − b1a21
D
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Primjer: sustav dvije jednadzbe s dvije depoznanice
Na primjer, ako imamo
4x1 + 3x2 = 12
2x1 + 5x2 = −8,
onda je
x1 =
∣∣∣∣12 3−8 5
∣∣∣∣∣∣∣∣4 32 5
∣∣∣∣ =84
14= 6, x2 =
∣∣∣∣4 122 −8
∣∣∣∣∣∣∣∣4 32 5
∣∣∣∣ =−56
14= −4
Ako imamo homogen sustav (sustav je homogen ako jeb1 = b2 = 0) i D 6= 0, onda sustav ima samo trivijalno rjesenjex1 = x2 = 0. Ako je D = 0, onda ima i netrivijalnih rjesenja.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Determinante treceg reda
Determinante treceg reda mozemo definirati ovako:
D =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11
∣∣∣∣a22 a23
a32 a33
∣∣∣∣− a21
∣∣∣∣a12 a13
a32 a33
∣∣∣∣+ a31
∣∣∣∣a12 a13
a22 a23
∣∣∣∣ .Uocimo da su predznaci s desne strane + - +. Svaki od triju izrazas desne strane je element prvog stupca u D puta njegova minora, aminora je determinanta drugog reda koja je dobivena iz Dbrisanjem retka i stupca u kojem se nalazi taj element (tako zaelement a11 brisemo prvi red i prvi stupac itd.) Ako izracunamominore, dobivamo
D =a11a22a33 − a11a23a32 + a21a13a32 − a21a12a33
+ a31a12a23 − a31a13a22(4)
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Cramerovo pravilo za rjesavanje sustava triju linearnihjednadzbi
Za sustav tri linearne jednadzbe sa tri nepoznanice
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
Cramerovo pravilo je
x1 =D1
D, x2 =
D2
D, x3 =
D3
D(D 6= 0) (5)
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Pri cemu je determinanta sustava D dana sa (4) i
D1 =
∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ , D2 =
∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33
∣∣∣∣∣∣ , D3 =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3
∣∣∣∣∣∣ .(6)
sto se moze izvesti sa eliminacijama slicnima onima u danomprimjeru. Umjesto toga, mozemo koristiti i opcenito Cramerovopravilo za sustav sa n linearnih jednadzbi.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Determinante n-tog reda
Determinanta n-tog reda je skalar povezan sa n × n matricomA = [ajk ], koju zapisujemo ovako:
D = detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·· · · · · ·
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(7)
i za n = 1 je definirana kao
D = a11 (8)
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
a za n ≥ 2 kao
D = aj1Cj1 + aj2Cj2 + · · ·+ ajnCjn (j = 1, 2, · · · , ili n) (9)
ili
D = a1kC1k + a2kC2k + · · ·+ ankCnk (k = 1, 2, · · · , ili n)(10)
gdje je
Cjk = (−1)j+kMjk
i Mjk je determinanta reda n − 1, tj. determinanta podmatrice odA dobivene iz A brisanjem retka i stupca u kojem je element ajk(brisemo j-ti redak i k-ti stupac ).
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Tako je D definirana izrazima od n determinanti reda n − 1, odkojih je svaka naizmjence definirana izrazima od n− 1 determinantireda n − 2 itd. Na kraju dolazimo do determinanti drugog reda,cije se podmatrice sastoje od jednog elementa, a njegova jedeterminanta definirana kao sam taj element.
Iz definicije slijedi da mozemo razviti D po bilo kojem retku ilistupcu, odnosno odaberemo u (9) i (10) elemente bilo kojeg retkaili stupca, isto tako razvijamo Cjk -ove, itd.Ova je definicija jednoznacna, odnosno daje isti rezultat za Dbez obzira po kojem retku ili stupcu razvijamo.U opcem slucaju, determinanta matrice definira se razvojem ponekom retku, odnosno stupcu. Takav se rastav naziva Laplaceovrazvoj determinante.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Termini koji se koriste u vezi s determinantama su kao oni kojekoristimo s matricama. Tako u D imamo n2 elemenata ajk , te nredaka i n stupaca, i glavnu dijagonalu na kojoj sua11, a22,. . . , ann. Imamo dva nova termina:Mjk je minora od ajk u D, a Cjk je kofaktor ili algebarskikomplement od ajk u D.Za ubuduce, naglasimo da se (9) i (10) moze zapisati i pomocuminora
D =n∑
k=1
(−1)j+kajkMjk (j = 1, 2, · · · , ili n) (11)
D =n∑
j=1
(−1)j+kajkMjk (k = 1, 2, · · · , ili n) (12)
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Minore i kofaktori determinanti treceg reda
U (8) minore i kofaktori elemenata prvog stupca od D su odmahvidljivi. Za elemente drugog retka minore su
M21 =
∣∣∣∣a12 a13
a32 a33
∣∣∣∣ , M22 =
∣∣∣∣a11 a13
a31 a33
∣∣∣∣ , M23 =
∣∣∣∣a11 a12
a31 a32
∣∣∣∣a kofaktori su C21 = −M21, C22 = +M22, i C23 = −M23. Slicno jei za treci redak. Predznaci za Cjk su tada
+ − +
− + −+ − +
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Razvoj determinante treceg reda
D =
∣∣∣∣∣∣1 3 02 6 4−1 0 2
∣∣∣∣∣∣ = 1
∣∣∣∣6 40 2
∣∣∣∣− 3
∣∣∣∣ 2 4−1 2
∣∣∣∣+0
∣∣∣∣ 2 6−1 0
∣∣∣∣ = 1(12− 0)− 3(4 + 4) + 0(0 + 6) = −12.
To je razvoj po prvom retku. Razvoj po trecem stupcu je
D = 0
∣∣∣∣ 2 6−1 0
∣∣∣∣− 4
∣∣∣∣ 1 3−1 0
∣∣∣∣+ 2
∣∣∣∣1 32 6
∣∣∣∣ = 0− 12 + 0 = −12.
Ostala cetiri razvoja dala bi takoder ovaj rezultat.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Primjer: Determinanta trokutaste matrice
∣∣∣∣∣∣−3 0 06 4 0−1 2 5
∣∣∣∣∣∣ = −3
∣∣∣∣4 02 5
∣∣∣∣ = −3 · 4 · 5 = −60.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Opca svojstva determinanti
Teorem 1 (karakteristike determinanti n-tog reda uelementarnim operacijama sa retcima)(a) Zamjena dvaju redaka znaci da se vrijednost determinantemnozi sa −1.(b) Ako pomnozimo jedan redak sa skalarom i dodamo ga nekomdrugom retku, vrijednost determinante ostaje ista.(c) Mnozenje nekog retka determinante sa skalarom znaci da sevrijednost determinante takoder mnozi sa skalarom.
Dokaz svojstva (a) ide matematickom indukcijom po redu matrice,dokaz svojstva (b) tako da dodamo i-ti redak pomnozen sa cj-tom retku i pogledamo pripadne determinante, a dokaz svojstva(c) razvojem determinante po onom retku kojeg smo pomnozili saskalarom.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Teorem 2 (Dodatna svojstva determinanti n-tog reda)
Svojstva (a)-(c) iz teorema 1 vrijede i za stupce.(d) Transponiranje ne mijenja vrijednost determinante.(e) Ako su u nekom retku ili stupcu u determinanti sve nule,vrijednost determinante je nula.(f) Proporcionalni retci ili stupci daju da je vrijednostdeterminante nula. Posebno, determinanta sa dva identicna stupcaili retka ima vrijednost nula.
Svojstva (a)-(e) slijede izravno iz cinjenice da determinantumozemo razviti po bilo kojem retku ili stupcu. Za dokaz svojstva(f) uzmemo da je j-ti redak=c × i-ti redak, i tada koristeci teorem1(a) lako dokazemo tvrdnju.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Rang u terminima determinanti
Najznacajnije je da se rang m × n matrice A (maksimalan brojlinearno nezavisnih redaka ili stupaca u A) moze povezati sdeterminantama (to se ponekad koristi za definiranje ranga).Ovdje mozemo pretpostaviti da je rang A > 0 (rang A = 0 ako isamo ako je A = 0).
Teorem 3 (Rang u terminima determinanti)m× n matrica A = [ajk ] je ranga r ≥ 1 ako i samo ako A ima r × rpodmatricu sa ne-nul determinantom, dok je determinanta svakekvadratne podmatrice sa r + 1 ili vise redaka jednaka nuli.Posebno, ako je A kvadratna, n × n, njezin rang je n ako i samoako je detA 6= 0.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Skica dokaza:Kljucna ideja u dokazu je da elementarne operacije sa retcima nemijenjaju rang matrice. Takoder, ako imamo ne-nul matricu, nakonsto provedemo elementarne operacije sa retcima, ona ce i dalje bitine-nul matrica. Koristeci tu cinjenicu i teorem 2, dokazujemo ovutvrdnju za m × n matricu.Posebno, ako je A kvadratna matrica, n × n, tada je rang A = nako i samo ako A sadrzi n × n podmatricu sa ne-nuldeterminantom. Ali jedina takva podmatrica moze biti sama A, paje det A 6= 0.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Cramerovo pravilo
Teorem 3 otvara put klasicnoj formuli za rjesavanje sustavalinearnih jednadzbi, Cramerovom pravilu, koje daje rjesenje sustavalinearnih jednadzbi kao kvocijent determinanti. Cramerovo pravilonije prakticno u racunanju, ali je od velikog teorijskog interesa udiferencijalnim jednadzbama i drugim teorijama koje imajutehnicku primjenu.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Teorem 4 : Cramerov teorem (rjesenje sustava linearnihjednadzbi pomocu determinanti)
(a) ako sustav od n linearnih jednadzbi sa n nepoznanicax1, . . . , xn
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
· · ·an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn
ima ne-nul determinantu D=det A, taj sustav onda ima tocnojedno rjesenje, koje je dano sa formulama
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
x1 =D1
D, x2 =
D2
D, . . . , xn =
Dn
D(13)
(Cramerovo pravilo)gdje je Dk determinanta dobivena iz D zamjenom k-tog stupcastupcem s elementima b1,. . . ,bn.
(b)Dakle, ako je sustav od n linearnih jednadzbi sa n nepoznanicahomogen i D 6= 0, onda on ima samo trivijalno rjesenje x1 = 0,x2 = 0,. . . , xn = 0. Ako je D = 0, homogeni sustav ima inetrivijalna rjesenja.
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo
Matrice i determinante• Matrica.
• Determinanta.
• Determinante i Cramerovo pravilo.
Kraj ... za danas :-)