28
Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo Matrice i determinante. Predavanje II Ines Radoˇ sevi´ c [email protected] Odjel za matematiku Sveuˇ ciliˇ sta u Rijeci

Matrice i determinante. - Predavanje II

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Matrice i determinante.Predavanje II

Ines [email protected]

Odjel za matematikuSveucilista u Rijeci

Page 2: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Matrice i determinante• Determinanta.

• Determinante i Cramerovo pravilo.

Page 3: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Matrice i determinante• Determinanta.

• Determinante i Cramerovo pravilo.

Page 4: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Determinanta matrice

Determinante su u algebru uvedene najprije kao sredstvo prirjesavanju sustava linearnih jednadzbi s regularnom matricom.Naime, rjesenja sustava mogu se izraziti pomocu kvocijenataodredenih determinanti. Kasnije je njihova teorija razvijena, takoda je pojam determinante kvadratne matrice postao vazan pojam ulinearnoj algebri, a posebno u teoriji matrica. Premda je njihovavaznost smanjena jer su neprakticne u racunanju, one ipak imajuveliku primjenu u tehnici za racunanje svojstvenih vrijednosti,rjesavanje diferencijalnih jednadzbi, racunanje s vektorima, imaju iprimjenu u geometriji te u mnogim drugim podrucjima. Pomocudeterminante matrice moze se dobiti izvjesna informacija o matrici,npr. kod odredivanja ranga ili kriterija za prepoznavanje regularnihmatrica.

Page 5: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Determinanta matrice

Determinanta n-tog reda je povezana sa n × n matricom.Determinanta realne kvadratne matrice A = [ajk ], za n ≥ 2, jefunkcija det : Rn×n → R.Svakoj kvadratnoj (realnoj ili kompleksnoj) matrici A reda npridruzen je (realan ili kompleksan) broj detA koji se zovedeterminanta matrice A, i pise se

D = detA = det(aij) = |A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Determinante mozemo uvesti na nekoliko ekvivalentnih nacina.Ovdje ce biti dana definicija najprakticnija za njihovo povezivanjesa sustavima linearnih jednadzbi.

Page 6: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Matrice i determinante• Determinanta.

• Determinante i Cramerovo pravilo.

Page 7: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Determinanta drugog reda

Determinanta drugog reda se definira i oznacava ovako:

D = detA =

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21 (1)

Primjer

∣∣∣∣4 32 5

∣∣∣∣ = 4 · 5− 3 · 2 = 14

Page 8: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Cramerovo pravilo

Cramerovo pravilo za rjesavanje sustava dviju linearnihjednadzbiIzvedite formulu za rijesiti sljedeci sustav jednadzbi:

a11x1 + a12x2 = b1 (2)

a21x1 + a22x2 = b2. (3)

Rjesenje Eliminiramo x2 tako da pomnozimo (2) sa a22 i (3) sa−a12 i onda zbrojimo.

(a11a22 − a12a21)x1 = b1a22 − a12b2

Sada eliminiramo x1 mnozeci (2) sa −a21 i (3) sa a11 i zbrajajuci.

(a11a22 − a12a21)x2 = a11b2 − b1a21

Page 9: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Cramerovo pravilo

Pretpostavimo da je D = a11a22 − a12a21 6= 0, te podijelimo ovedvije jednadzbe sa D. Mozemo desne strane jednadzbi pisati i kaodeterminante. Tako smo dobili Cramerovo pravilo za rjesavanjesustava dviju linearnih jednadzbi, odnosno za n = 2.

x1 =

∣∣∣∣b1 a12

b2 a22

∣∣∣∣D

=b1a22 − a12b2

D,

x2 =

∣∣∣∣a11 b1

a21 b2

∣∣∣∣D

=a11b2 − b1a21

D

Page 10: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Primjer: sustav dvije jednadzbe s dvije depoznanice

Na primjer, ako imamo

4x1 + 3x2 = 12

2x1 + 5x2 = −8,

onda je

x1 =

∣∣∣∣12 3−8 5

∣∣∣∣∣∣∣∣4 32 5

∣∣∣∣ =84

14= 6, x2 =

∣∣∣∣4 122 −8

∣∣∣∣∣∣∣∣4 32 5

∣∣∣∣ =−56

14= −4

Ako imamo homogen sustav (sustav je homogen ako jeb1 = b2 = 0) i D 6= 0, onda sustav ima samo trivijalno rjesenjex1 = x2 = 0. Ako je D = 0, onda ima i netrivijalnih rjesenja.

Page 11: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Determinante treceg reda

Determinante treceg reda mozemo definirati ovako:

D =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11

∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣− a21

∣∣∣∣a12 a13

a32 a33

∣∣∣∣+ a31

∣∣∣∣a12 a13

a22 a23

∣∣∣∣ .Uocimo da su predznaci s desne strane + - +. Svaki od triju izrazas desne strane je element prvog stupca u D puta njegova minora, aminora je determinanta drugog reda koja je dobivena iz Dbrisanjem retka i stupca u kojem se nalazi taj element (tako zaelement a11 brisemo prvi red i prvi stupac itd.) Ako izracunamominore, dobivamo

D =a11a22a33 − a11a23a32 + a21a13a32 − a21a12a33

+ a31a12a23 − a31a13a22(4)

Page 12: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Cramerovo pravilo za rjesavanje sustava triju linearnihjednadzbi

Za sustav tri linearne jednadzbe sa tri nepoznanice

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

Cramerovo pravilo je

x1 =D1

D, x2 =

D2

D, x3 =

D3

D(D 6= 0) (5)

Page 13: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Pri cemu je determinanta sustava D dana sa (4) i

D1 =

∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ , D2 =

∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13

a21 b2 a23

a31 b3 a33

∣∣∣∣∣∣ , D3 =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 b1

a21 a22 b2

a31 a32 b3

∣∣∣∣∣∣ .(6)

sto se moze izvesti sa eliminacijama slicnima onima u danomprimjeru. Umjesto toga, mozemo koristiti i opcenito Cramerovopravilo za sustav sa n linearnih jednadzbi.

Page 14: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Determinante n-tog reda

Determinanta n-tog reda je skalar povezan sa n × n matricomA = [ajk ], koju zapisujemo ovako:

D = detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · ·· · · · · ·

an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(7)

i za n = 1 je definirana kao

D = a11 (8)

Page 15: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

a za n ≥ 2 kao

D = aj1Cj1 + aj2Cj2 + · · ·+ ajnCjn (j = 1, 2, · · · , ili n) (9)

ili

D = a1kC1k + a2kC2k + · · ·+ ankCnk (k = 1, 2, · · · , ili n)(10)

gdje je

Cjk = (−1)j+kMjk

i Mjk je determinanta reda n − 1, tj. determinanta podmatrice odA dobivene iz A brisanjem retka i stupca u kojem je element ajk(brisemo j-ti redak i k-ti stupac ).

Page 16: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Tako je D definirana izrazima od n determinanti reda n − 1, odkojih je svaka naizmjence definirana izrazima od n− 1 determinantireda n − 2 itd. Na kraju dolazimo do determinanti drugog reda,cije se podmatrice sastoje od jednog elementa, a njegova jedeterminanta definirana kao sam taj element.

Iz definicije slijedi da mozemo razviti D po bilo kojem retku ilistupcu, odnosno odaberemo u (9) i (10) elemente bilo kojeg retkaili stupca, isto tako razvijamo Cjk -ove, itd.Ova je definicija jednoznacna, odnosno daje isti rezultat za Dbez obzira po kojem retku ili stupcu razvijamo.U opcem slucaju, determinanta matrice definira se razvojem ponekom retku, odnosno stupcu. Takav se rastav naziva Laplaceovrazvoj determinante.

Page 17: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Termini koji se koriste u vezi s determinantama su kao oni kojekoristimo s matricama. Tako u D imamo n2 elemenata ajk , te nredaka i n stupaca, i glavnu dijagonalu na kojoj sua11, a22,. . . , ann. Imamo dva nova termina:Mjk je minora od ajk u D, a Cjk je kofaktor ili algebarskikomplement od ajk u D.Za ubuduce, naglasimo da se (9) i (10) moze zapisati i pomocuminora

D =n∑

k=1

(−1)j+kajkMjk (j = 1, 2, · · · , ili n) (11)

D =n∑

j=1

(−1)j+kajkMjk (k = 1, 2, · · · , ili n) (12)

Page 18: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Minore i kofaktori determinanti treceg reda

U (8) minore i kofaktori elemenata prvog stupca od D su odmahvidljivi. Za elemente drugog retka minore su

M21 =

∣∣∣∣a12 a13

a32 a33

∣∣∣∣ , M22 =

∣∣∣∣a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣ , M23 =

∣∣∣∣a11 a12

a31 a32

∣∣∣∣a kofaktori su C21 = −M21, C22 = +M22, i C23 = −M23. Slicno jei za treci redak. Predznaci za Cjk su tada

+ − +

− + −+ − +

Page 19: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Razvoj determinante treceg reda

D =

∣∣∣∣∣∣1 3 02 6 4−1 0 2

∣∣∣∣∣∣ = 1

∣∣∣∣6 40 2

∣∣∣∣− 3

∣∣∣∣ 2 4−1 2

∣∣∣∣+0

∣∣∣∣ 2 6−1 0

∣∣∣∣ = 1(12− 0)− 3(4 + 4) + 0(0 + 6) = −12.

To je razvoj po prvom retku. Razvoj po trecem stupcu je

D = 0

∣∣∣∣ 2 6−1 0

∣∣∣∣− 4

∣∣∣∣ 1 3−1 0

∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣1 32 6

∣∣∣∣ = 0− 12 + 0 = −12.

Ostala cetiri razvoja dala bi takoder ovaj rezultat.

Page 20: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Primjer: Determinanta trokutaste matrice

∣∣∣∣∣∣−3 0 06 4 0−1 2 5

∣∣∣∣∣∣ = −3

∣∣∣∣4 02 5

∣∣∣∣ = −3 · 4 · 5 = −60.

Page 21: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Opca svojstva determinanti

Teorem 1 (karakteristike determinanti n-tog reda uelementarnim operacijama sa retcima)(a) Zamjena dvaju redaka znaci da se vrijednost determinantemnozi sa −1.(b) Ako pomnozimo jedan redak sa skalarom i dodamo ga nekomdrugom retku, vrijednost determinante ostaje ista.(c) Mnozenje nekog retka determinante sa skalarom znaci da sevrijednost determinante takoder mnozi sa skalarom.

Dokaz svojstva (a) ide matematickom indukcijom po redu matrice,dokaz svojstva (b) tako da dodamo i-ti redak pomnozen sa cj-tom retku i pogledamo pripadne determinante, a dokaz svojstva(c) razvojem determinante po onom retku kojeg smo pomnozili saskalarom.

Page 22: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Teorem 2 (Dodatna svojstva determinanti n-tog reda)

Svojstva (a)-(c) iz teorema 1 vrijede i za stupce.(d) Transponiranje ne mijenja vrijednost determinante.(e) Ako su u nekom retku ili stupcu u determinanti sve nule,vrijednost determinante je nula.(f) Proporcionalni retci ili stupci daju da je vrijednostdeterminante nula. Posebno, determinanta sa dva identicna stupcaili retka ima vrijednost nula.

Svojstva (a)-(e) slijede izravno iz cinjenice da determinantumozemo razviti po bilo kojem retku ili stupcu. Za dokaz svojstva(f) uzmemo da je j-ti redak=c × i-ti redak, i tada koristeci teorem1(a) lako dokazemo tvrdnju.

Page 23: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Rang u terminima determinanti

Najznacajnije je da se rang m × n matrice A (maksimalan brojlinearno nezavisnih redaka ili stupaca u A) moze povezati sdeterminantama (to se ponekad koristi za definiranje ranga).Ovdje mozemo pretpostaviti da je rang A > 0 (rang A = 0 ako isamo ako je A = 0).

Teorem 3 (Rang u terminima determinanti)m× n matrica A = [ajk ] je ranga r ≥ 1 ako i samo ako A ima r × rpodmatricu sa ne-nul determinantom, dok je determinanta svakekvadratne podmatrice sa r + 1 ili vise redaka jednaka nuli.Posebno, ako je A kvadratna, n × n, njezin rang je n ako i samoako je detA 6= 0.

Page 24: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Skica dokaza:Kljucna ideja u dokazu je da elementarne operacije sa retcima nemijenjaju rang matrice. Takoder, ako imamo ne-nul matricu, nakonsto provedemo elementarne operacije sa retcima, ona ce i dalje bitine-nul matrica. Koristeci tu cinjenicu i teorem 2, dokazujemo ovutvrdnju za m × n matricu.Posebno, ako je A kvadratna matrica, n × n, tada je rang A = nako i samo ako A sadrzi n × n podmatricu sa ne-nuldeterminantom. Ali jedina takva podmatrica moze biti sama A, paje det A 6= 0.

Page 25: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Cramerovo pravilo

Teorem 3 otvara put klasicnoj formuli za rjesavanje sustavalinearnih jednadzbi, Cramerovom pravilu, koje daje rjesenje sustavalinearnih jednadzbi kao kvocijent determinanti. Cramerovo pravilonije prakticno u racunanju, ali je od velikog teorijskog interesa udiferencijalnim jednadzbama i drugim teorijama koje imajutehnicku primjenu.

Page 26: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Teorem 4 : Cramerov teorem (rjesenje sustava linearnihjednadzbi pomocu determinanti)

(a) ako sustav od n linearnih jednadzbi sa n nepoznanicax1, . . . , xn

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

· · ·an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn

ima ne-nul determinantu D=det A, taj sustav onda ima tocnojedno rjesenje, koje je dano sa formulama

Page 27: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

x1 =D1

D, x2 =

D2

D, . . . , xn =

Dn

D(13)

(Cramerovo pravilo)gdje je Dk determinanta dobivena iz D zamjenom k-tog stupcastupcem s elementima b1,. . . ,bn.

(b)Dakle, ako je sustav od n linearnih jednadzbi sa n nepoznanicahomogen i D 6= 0, onda on ima samo trivijalno rjesenje x1 = 0,x2 = 0,. . . , xn = 0. Ako je D = 0, homogeni sustav ima inetrivijalna rjesenja.

Page 28: Matrice i determinante. - Predavanje II

Determinanta Determinante i Cramerovo pravilo

Matrice i determinante• Matrica.

• Determinanta.

• Determinante i Cramerovo pravilo.

Kraj ... za danas :-)