of 69/69
UNIVERZITET SINGIDUNUM Dr Olivera Nikolić Kvantitativne metode - Priručnik za laboratorijske vežbe - MATLAB 7

MATLAB VJEŽBE

  • View
    67

  • Download
    8

Embed Size (px)

DESCRIPTION

NIJE LOŠE

Text of MATLAB VJEŽBE

UNIVERZITET SINGIDUNUMDr Olivera NikoliKvantitativne metode- Prirunik za laboratorijske vebe -MATLAB 7 FAKULTET ZA FINANSIJSKI MENADMENT I OSIGURANJEFAKULTET ZA POSLOVNU INFORMATIKUFAKULTET ZA TURISTIKI I HOTELIJERSKI MENADMENTMATLAB Prirunik za laboratorijske vebeValjevo, 20052MATLAB Prirunik za laboratorijske vebeUNIVERZITET SINGIDUNUMBEOGRAD 3 FAKULTET ZA FINANSIJSKI MENADMENT I OSIGURANJE FAKULTET ZA FINANSIJSKI MENADMENT I OSIGURANJE FAKULTET ZA POSLOVNU INFORMATIKUFAKULTET ZA TURISTIKI I HOTELIJERSKI MENADMENTMATLAB Prirunik za laboratorijske vebeUVODPostoje dve klase softverskih paketa za reavanje matematikih problema: programi zasnovani na simbolikom reavanju i programi zasnovani na numerikom reavanju problema. Tipian predstavnik prve klase programa je Mathematic, a druge MATLAB. MATLAB je dostupan u vie verzija koje su prilagoene razliitim raunarskim platformama od PC i Macintosh raunara, preko UNIX radnih stanica do Convex i Cray raunara. Predstavlja najee korien paket u svojoj oblasti. Verzije MATLAB-a za razliite raunarske sisteme se razlikuju donekle samo po korisnikom interfejsu sve komande se jednako izvravaju na svim platformama. MATLAB je koncipiran kao proiriv programski paket pored osnovnog paketa mogue je nabaviti i dodatne module specijalizovane za rad u oblastima kao to su automatsko upravljanje (Control System Toolbox), obrada signala (Signal Processing Toolbox) ili simulacija neuronskih mrea (Neural Network Toolbox).Osnovno okruenje MATLAB-a predstavlja tekstualni prozor u kome se zadaju MATLAB komande. Komande se izvravaju neposredno nakon unosa. Poseban simbol (>>) predstavlja MATLAB Prompt. Pored toga, mogue je pisati i programe u programskom jeziku kojeg nudi MATLAB. Sam MATLAB programski jezik je nalik drugim proceduralnim jezicima, izuzimajui njegovu prilagoenost radu sa matricama.Prva, izvorna verzija MATLAB-a, napisana je kasnih sedamdesetih, na univerzitetu New Mexico i Stanford Univerzitetu, sa osnovnom namenom da slui kao pomono sredstvo na kursevima iz linearne algebre, i numerike analize. Zamiljeno je da ovaj paket bude nadgradnja FORTRAN-a koja bi koristila gotove potprograme FORTRAN-a. Dananje mogunosti MATLAB-a daleko prevazilaze tadanji originalni "MATrix LABoratory". Ogroman broj naunih i tehnikih disciplina neizostavno zahtevaju korienje MATLAB-a. U MATLAB-u se vrlo jednostavno mogu kreirati sopstvene funkcije koje daju reenja na postavljene zahteve. Skup ovako kreiranih funkcija (m-fajlova) objedinjenih u jednu celinu predstavlja osnovnu strukturu toolboxa. Toolboxovi dakako predstavljaju mnogo vie od kolekcije upotrebljivih fajlova, jer je u njima objedinjen trud velikih svetskih istraivaa u raznim podrujima nauke. 4MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe1. OSNOVNI PRINCIPI RADA U MATLAB-uNakon to ste pokrenuli MATLAB na vaem monitoru se pojavljuje okvir prikazan na sledeoj slici: 1.1. ARITMETIKE OPERACIJE SA SKALARIMAU aritmetikim proraunima brojevi se mogu upotrebljavati direktno, kao na kalkulatoru ili se mogu pridruiti promenljivima koje se mogu koristiti za izraunavanja. Simboli aritmetikih operacija su:Operacija Simbol PrimerSabiranje + 5+3Oduzimanje - 5-3Mnoenje * 5*3Deljenje s desna / 5/3Deljenje s leva \ 5\3=3/5Stepenovanje ^ 5^3 (znai 53=125)Tabela 1.Treba naglasiti da su svi simboli, sem deljenja s leva, isti kao u veini kalkulatora. Za skalare je deljenje s leva operacija inverzna deljenju s desna. Deljenje s leva se uglavnom upotrebljava za operacije sa nizovima. 5MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe1.2. PRIORITET IZVRAVANJAMATLAB izvrava operacije prema sledeem redosledu prioriteta: Prioritet Matematika operacijaNajvii Zagrade. Kada su ugnedene, prioritet ima unutranja zagradaDrugi po redu StepenovanjeTrei po redu Mnoenje i deljenjeetvrti po redu Sabiranje i oduzimanjeU izrazu koji sadri vie operacija, operacije vieg prioriteta izvravaju se pre operacija nieg prioriteta. Izraz se izraunava s leva u desno ukoliko dve ili vie operacija imaju isti prioritet. Zagradama se moe promeniti redosled izraunavanja. 1.3. KORIENJE MATLAB-A KAO KALKULATORAPRIMER 1: Ako u komandni prozor upiete matematiki izraz i pritisnete Enter, MATLAB e izraunati taj izraz, napisati ans = i prikazati numeriki rezultat u sledeem redu.>> 7+8/2ans = 11>> (7+8)/2ans = 7.5000>> 4+5/3+2ans = 7.6667>> 5^3/2ans = 62.5000>> 27^(1/3)+32^0.2ans = 5>> 27^1/3+32^0.2ans = 11>>0.7854-(0.7854)^3/(1*2*3)+0.785^5/(1*2*3*4*5)-(0.785)^7/(1*2*3*4*5*6*7)ans = 0.70716Prvo se izraunava 8/2Prvo se izraunava 7+8Prvo se izraunava 5/3Prvo se izraunava 5^3 a zatim /2Prvo se izraunava 1/3, zatim 27^(1/3) i 32^0.2; poslednje je +MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe1.4. UGRAENE ELEMENTARNE MATEMATIKE FUNKCIJEIzrazi u MATLAB-u mogu da sadre i funkcije osim osnovnih aritmetikih operacija. MATLAB ima veliku biblioteku ugraenih funkcija, a i korisnik moe definisati svoje funkcije. Funkcija se poziva imenom i argumentom u zagradama. Na primer, funkcija sqrt (x) izraunava kvadratni koren broja (engl. square root). Ime funkcije je sqrt a argument joj je x. Argument funkcije moe biti broj, promenljiva kojoj se pridruena numerika vrednost ili izraz koji sadri brojevei/ili promenljive. PRIMER 2: Izraunati sledee izraze: 64 , 50 14 3 + , 54 9 100 + , 600154121+>> sqrt(64)ans =8>> sqrt(50+14*3)ans =9.5917>> sqrt(54+9*sqrt(100))ans =12>> (15+600/4)/sqrt(121)ans =15U sledeoj tabeli su navedene najee koriene elementarne matematike funkcije. Celokupan spisak funkcija razvrstanih po kategorijama moete prikazati u prozoru za pomo (Help).7Argument je brojArgument je izrazArgument sadri funkcijuFunkcija je deo izrazaMATLAB Prirunik za laboratorijske vebeFunkcija Opis Primersqrt(x)Kvadratni koren.>> sqrt(81)ans = 9exp(x)Eksponencijalna funkcija (ex).>> exp(5)ans = 148.4132abs(x)Apsolutna vrednost.>> abs(-24)ans = 24log(x)Prirodni logaritam.Logaritam sa osnovom e (ln).>> log(1000)ans = 6.9078log10(x)Logaritam sa osnovom 10.>> log10(1000)ans = 3factorial(x)Faktorijel od x (x!)(x mora biti pozitivan ceo broj).>> factorial(5)ans = 120 Tabela 2. Elementarne matematike funkcijeFunkcija Opis Primersin (x)Sinus ugla x (u radijanima)>> sin(pi/6)ans = 0.5000cos (x)Kosinus ugla x (u radijanima)>> cos(pi/6)ans = 0.8660tan (x)Tangens ugla x (u radijanima)>> tan(pi/6)ans = 0.5774cot (x)Kotangens ugla x (u radijanima)>> cot(pi/6)ans = 1.7321Tabela 3. Trigonometrijske funkcije1.5. FORMATI PRIKAZA REZULTATAKorisnik moe izabrati format u kojem MATLAB prikazuje rezultat na ekranu. Izlazni format se zadaje komandom format. Prikaz svih formata u MATLAB-u sa pojedinostima moete dobiti kada u komandni prozor upiete help format.8MATLAB Prirunik za laboratorijske vebeformat longFiksni zarez sa 14 decimala za decimalne brojeve u opsegu: 0.001 broj 100 .>> format long,530/7ans = 75.71428571428571format shortFiksni zarez sa 4 decimala za decimalne brojeve u opsegu: 0.001 broj 1000 .>> format short,530/7ans = 75.7143format long eNauna notacija sa 15 decimala.>> format long e,530/7ans = 7.571428571428571e+001format short eNauna notacija sa etiri decimale.>> format short e,530/7ans = 7.5714e+001format bankDve decimale. >> format bank,530/7ans = 75.71Tabela 4. Formati prikaza rezultata1.6. DEFINISANJE SKALARNIH PROMENLJIVIHPromenljiva je ime od jednog slova ili proizvoljne kombinacije slova i cifara (s poetnim slovom) kojem je pridruena numerika vrednost. Promenljiva kojoj je pridruena numerika vrednost, moe se upotrebljavati u matematikim izrazima, funkcijama i svim MATLAB-ovim iskazima i komandama. Promenljiva je zapravo ime odreene lokacije u memoriji. Kada definiete novu promenljivu, MATLAB joj dodeljuje odgovarajuu lokaciju u memoriji gde uva njoj pridruenu vrednost. U MATLAB-u se znak = naziva operatorom dodele (engl. assignment operator). Ovaj operator dodeljuje vrednost promenljivoj. Levo od operatora dodele moe biti samo jedno ime promenljive. Desno moe biti broj ili izraz koji sadri brojeve i/ili promenljive kojima su prethodno dodeljene numerike vrednosti. PRIMER 3: Izraunati x=5x-20 za x=30.>> x=30x = 309Ime_promenljive = numerika vrednost ili izrazBroj 30 dodeljen je promenljivoj xMATLAB Prirunik za laboratorijske vebe>> x=5*x-20x = 130>>PRIMER 4: Prikaz vrednosti izraza u MATLAB-u moe se prikazati drugaije nego u prethodnim primerima. Ukoliko nekoj promenljivoj dodelite odgovarajuu vrednost i iza stavite '' ; '' dobiete prikaz kao na slici:>> a=15;>> b=30;>> c=2*a+50-b/3+(a/5)^2;>> cc = 79 Ovaj nain prikaza sa '';'' na kraju se esto koristi u radu kada nas meurezultati ne interesuju. Ovako se ubrzava rad na raunaru, jer se eliminie ispisivanje velikog broja (esto nepotrebnih) meurezultata.Imena promenljivih u MATLAB-u 7 mogu imati do 63 znaka za razliku od verzije MATLAB 6.0 gde je taj broj bio 31. Imena promenljivih moraju poinjati slovom i mogu, pored slova, sadrati cifre i podvlake. MATLAB pravi razliku izmeu velikih i malih slova i treba izbegavati korienje imena ugraenih funkcija za promenljive (na primer cos, sin, exp, sqrt).1.7. UNAPRED DEFINISANE PROMENLJIVEPojedine esto koriene promenljive automatski su definisane ime se MATLAB pokrene. Osnovne konstante su:ansPromenljiva kojoj je dodeljena vrednost poslednjeg izraza koji nije bio dodeljien nekoj promenljivoj. Skraeno od answer (engl.). Ako se ne dodeli vrednost izraza promenljivoj, automatski se snima u ans.piBroj .epsDozvoljena tolerancija greke, odnosno najmanja razlika izmeu dva broja koju MATLAB moe da uoi. infBeskonano velika vrednost (), ili rezultat 1/0iDefinisano kao 1 , to iznosi 0 1.0000i +jDefinisano kao 1 , to iznosi 0 1.0000i +NaNSkraenica od Not-a-Number (nnije broj), rezultat operacije 0/0Tabela 5. Osnovne konstante 10MATLAB prikazuje ime promenljivei njoj dodeljenu vrednostMATLAB Prirunik za laboratorijske vebePRIMER 5: Izraunati 15 3 5 x _ + + ,.>> x=5+(3*5+1/pi)x = 20.3183Broj je definisan kao stalna veliina i dovoljno je uneti samo pi. Kao to smo ve napomenuli imaginarna jedinica je definisana kao stalna veliina. Oznaava se sa 1 i ili 1 j .>> i=sqrt(-1)i = 0 + 1.0000iPRIMER 6: Napisati broj z=5+3i>> z=5+3*iz = 5.0000 + 3.0000iPRIMER 7: Napisati broj i5w=5e>> w=5*exp(i*pi/5)w = 4.0451 + 2.9389iPRIMER 8: Izraunati 5sin2.>> sin(5*pi/2)ans = 1PRIMER 9: Za 15 x i 65 y izraunati vrednost izraza ln z x y + .>> z=log(x)+sqrt(y)z = 10.7703PRIMER 11: Izraunati 00x .11MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe>> x=0/0Warning: Divide by zero.x = NaN1.8. BRISANJE I UVANJE PODATAKANaredba Opisclear Brie podatke iz radne memorije.clear x Brie se promenljiva x.save uva podatke u fajlu na disku za kasniju upotrebu.save ime Pamti sve veliine iz radnog prostora pod zadatim imenom.quit, exit Ostvaruje se prekid programa.load Predstavlja obrnutu naredbu od saveTabela 7. Naredbe za brisanje i uvanje podataka12MATLAB Prirunik za laboratorijske vebePregled uraenih vebiRedni broj vebeNaziv vebeDatumStudent DemonstratorProfesorNapomene1 Izraunajte: 3233, 5 55 745 5 +2Izraunajte: 2233187 55(2 15)2 3+ + +3 Izraunajte: 9333 log(76)9106 55++4Izraunajte:( )26 2tan ln87 5cos sin6 8 5 _ _+ , ,5 Izraunajte: 1 33 329415 7 552+ + +6Definiite promenljivu x kao x=8,7 i izraunajte:3 23 68, 4 57 x x x + 7Definiite promenljivu x kao x=15,5 i izraunajte:3380xxe8Definiite promenljive x i z kao x=10,7 z=5,8 i izraunajte:35223zxzx _ ,9Proveriti: sin 2 2sin cos x x x za 524x 1022tantan 21 tanxxx za 317x 13MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe2. DVODIMENZIONALNI GRAFIKONIMATLAB poseduje velike mogunosti grafikog predstavljanja. Studenti se mogu upoznati sa ostalim mogunostima grafikog predstavljanja koristei naredbe help i demo. 2.1. GRAFIKO PREDSTAVLJANJE FUNKCIJA JEDNE PROMENLJIVEOsnovna naredba za crtanje grafika je naredba plot.Najjednostavniji nain za grafiko predstavljanje, sa linearnom podelom na osama, je korienje naredbe plot(x). Prilikom crtanja otvara se grafiki prozor za koji vae ista pravila kao kod Windows prozora.PRIMER 1: Nacrtati vektor dat svojim koordinatama.>> x=[1,3,5,7,25,33,51];plot(x)Iz ovog primera moemo da vidimo da je MATLAB za vrednosti nezavisno promenljive x uzeo redni broj elementa, a njihove slike su vrednosti vektora x tj. take nacrtanog grafika imaju koordinate (1,x(1)), (2,x(2))...U optem sluaju naredba plot(x) crta grafik spajajui take (i,x(i)), gde je i=1,2,3,...N, gde je N duina vektora.Nezavisno promenljiva moe biti zadata posebno. U tom sluaju se koristi naredba plot(x,y).PRIMER 2: Nacrtati vektor zadat koordinatama.>>x=[1 2 3 4 5];y=[-1,0,3,-5,7];plot(x,y)14MATLAB Prirunik za laboratorijske vebePRIMER 3: Nacrtati funkciju y = xcos x(x)3 u datom opsegu.>> x=-10:.1:10;>> y=x.*cos(pi*x).^3;>> plot(x,y)PRIMER 4: Koristei MATLAB moemo na jednom grafiku nacrtati vie funkcija kao to je prikazano u sledeem primeru.>> x1=-2:2:2;y1=2*x1;>> x2=-2:.2:2;y2=x2.*exp(x2);>> plot(x1,y1,x2,y2)15MATLAB Prirunik za laboratorijske vebeVrste linija i oblik mogu takoe da se zadaju naredbom plot na sledei nain:plot(x,z,'vrsta linije'). Tabela 8. daje mogunost izbora.Simbol linije Boja. taka y utao krug m ljubiastax x-znak c cijan+ plus r crvena* zvezda g zelena- puna linija b plava-. zaka-crta k crna: takasta w bela-- isprekidana linijaTabela 8. PRIMER 5: Nacrtati funkciju y = x4-3x-3 u domenu [-5,5]>> f='x^4-3*x-3';fplot(f,[-5,5])16MATLAB Prirunik za laboratorijske vebeNaredba ezplot omoguava crtanje funkcije u definisanom domenu: -2 < x < 2.Domen funkcije moe da se menja i tada naredba ima oblik ezplot(f,[a,b]). Ovom naredbom se crta grafik funkcije f(x) na intervalu a < x < b .PRIMER 6: Nacrtati funkciju xy = xe .>> ezplot('y=x*exp(x)')Druga mogunost da simboliki zadamo funkciju je da prvo definiemo nezavisni promenljivu, koristei naredbu syms. PRIMER 7: Nacrtati funkciju 1log( ) log( 1 5* ) 1 02yy xy + + + + 17MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe>>ezplot('1/y-log(y/2)+log(-1+5*y)+x+1')PRIMER 8: Izraunati 324xyx>> ezplot('y=x^3/(x^2-4)')PRIMER 9: Izraunati 2xeyx>> ezplot ('exp(x)/x^2')18MATLAB Prirunik za laboratorijske vebePRIMER 10: Izraunati 2logxyx .>> ezplot('y=x^2*log(x)')2.2. OZNAAVANJE GRAFIKA I OSAMATLAB nudi mogunosti oznaavanja osa, pisanja razliitog teksta i razne druge mogunosti. Neke od njih su:Oznaka Opistitle Naziv grafika.xlabel Naziv x ose.ylabel Naziv y ose.text Naziv teksta u grafiku.gtex Tekst na poziciji oznaenenoj miem.19MATLAB Prirunik za laboratorijske vebegrid Crtanje linija mree.Tekst u prethodnim naredbama pie se u zagradi pod navodnicima. Naredba hold on zadrava sliku na ekranu. Suprotna njoj je naredba hold off.PRIMER 11: Nacrtati funkciju z=sin x i obeleiti sliku koristei naredbe iz predhodnog teksta. >> syms x>> y=sin(x);>> ezplot(y)>> hold on>> title('sinus')>> xlabel('x osa')>> ylabel('y osa')>> text(0,0,'nula')>> gtext('max')>> grid20MATLAB Prirunik za laboratorijske vebeZadaci za vebu1. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije:A.a)222 1;1x xyx ++b)24;4xyx+ v) 2;1xyx+g)22 2;1x xyx +d)26;2x xyx ) ( )21;2xyx+e)22;1x xyx+)212;4x xyx+ z) 23;4x xyxi)2;1x xyx+j)( )32;2 1xyx+ k) 32;9xyx+l)32;1x xyx+lj)321;xyx m) 32;4xyxn)224;1xyx+nj)221;1xyx+ o) 2;4 3xyx x +p)22;xyx r)21;xyx+ s) ( )21.2xyxB.a) ;xy xe b) ( )222 ;xy x e + v) ;1xeyx+g)2;3xeyxd) ( )21 ;xy x e +)1;xy xee)22;xy xe)22;xy x e z) ;xeyxi)21xeyx;C.a)ln;xyx b) ;lnxyx v)2ln ; y x x g)2ln ; y x x d)21 ln;xyx )ln;xyxe) ( )2ln 1 ; y x )4ln ;1xyxz) ( )2ln 3 3 y x x + +21MATLAB Prirunik za laboratorijske vebeD.a)3 21 ; y x b)21 ; y x v)1;1xyx+g) ( ) 3 y x x 22MATLAB Prirunik za laboratorijske vebePregled uraenih vebiRedni broj vebeNaziv vebeDatumStudent DemonstratorProfesorNapomeneNacrtati grafik funkcija i sa grafika uneti podatke za:domen, znak,nule, parnost (neparnost), monotonost, ekstremne vrednosti, konveksnost (konkavnost), prevojne take1222 11x xyx ++2234x xyx324 3xyx x +4xy xe5( )222xy x e +622xy xe7ln xyx82ln y x x 921x xyx+10 ( ) 3 y x x 23MATLAB Prirunik za laboratorijske vebeNAPOMENERedni broj vebeNaziv vebe NapomeneNacrtati grafik funkcija i sa grafika uneti podatke za:domen, znak,nule, parnost (neparnost), monotonost, ekstremne vrednosti, konveksnost (konkavnost), prevojne take1222 11x xyx ++2234x xyx324 3xyx x +4xy xe5( )222xy x e +622xy xe7ln xyx82ln y x x 921x xyx+10 ( ) 3 y x x 24MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe3. EKONOMSKE FUNKCIJE3.1. FUNKCIJA PRIHODAPRIMER 1: Data je funkcija tranje x=10-0,5p.a) Na osnovu grafika analiziraj funkciju.b) Pronai nivo proizvodnje xp za koji se postie maksimalan ukupan prihod P i utvrditi njegov iznos.c) Proanalizirati elastinost ukupnog prihoda P u odnosu na x .25MATLAB Prirunik za laboratorijske vebePRIMER 2: Data je funkcija tranje p=20-2x.a) Pronai nivo proizvodnje x kod koga se postie maksimalan ukupan prihod P i utvrditi njegov iznos.b) Algebarski, tabelarno i grafiki analizirati elastinost ukupnog prihoda P u odnosu na nivo proizvodnje x.c) Na grafikonu nacrtati funkcije: tranje, ukupnog prihoda i graninog prihoda, uz prilaganje odgovarajue algebarske analize.26MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe3.2. FUNKCIJA TROKOVAPRIMER 3: Za funkciju trokova 20, 01 20 900 y x x + + odrediti proizbvodnju za koju su proseni trokovi jednaki graninom. 27MATLAB Prirunik za laboratorijske vebePRIMER 4: Data je funkcija ukupnih trokova 25 320 y x + . Pokazati da su minimalni proseni trokovi jednaki ukupnim graninim trokovima. 28MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe3.3. FUNKCIJA DOBITIPRIMER 5: Data je funkcija tranje p=9-1,5x i funkcija ukupnih trokova C=6+1,5xa) Pronai funkciju ukupnog prihoda P=P(x) i na istom grafiku nacrtati funkcije p=p(x), C=C(x) i P=P(x); b) Odrediti intervale nerentabilne, rentabilne i najrentrabilnije proizvodnje.c) Odrediti funkciju ukupne dobiti D=D(x).29MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe4. MATRICEPoto je matrica osnovni element MATLAB-a postoji mnogo naina za manipulisanje i rad sa matricama. Kada se matrica definie, odnosno unese u program, MATLAB omoguuje itav niz postupaka kojima se unesena matrica po volji moe menjati. Ovo je u stvari klju za efikasno korienje MATLAB-a.4.1. UNOS MATRICA I VEKTORAMatrica je polje brojeva koje se definie sa dva indeksa m x n gde prvi indeks m oznaava broj vrsta a drugi n broj kolona. Elementi se uglavnom unose po vrstama, a zagrade [ , ] oznaavaju listu elemenata. U okviru liste elementi se razdvajaju zarezom ili razmakom. Taster Enter ili ; se korise za odvajanje vrsta matrice. Vektori su matrice vrste ili kolone. PRIMER 1: Uneti matricu 1 2 34 5 67 8 9A 1 1 1 1 ]>> A=[1 2 3;4 5 6; 7 8 9]A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9Druga mogunost unosa je:>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9PRIMER 2: Uneti vektor (1, 2,...,10) x >> x=1:10;xx = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Naredba length izraunava duinu vektora.>> length(x)ans = 10PRIMER 3: Uneti vektor x.30MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe>> x=1:10;x=[x x+2]x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12PRIMER 4: Uneti matricu 2 3 1 53 6 7 2i izi i + 1 1+ + ]>> a=[-2,1;3,7];b=[3,-5;6,2];Z=a+b*iZ = -2.0000 + 3.0000i 1.0000 - 5.0000i 3.0000 + 6.0000i 7.0000 + 2.0000iMatricu moemo uneti i na sledei nain:>> Z=[-2+3*i,1-5*i;3+6*i,7+2*i]Z = -2.0000 + 3.0000i 1.0000 - 5.0000i 3.0000 + 6.0000i 7.0000 + 2.0000iJedan element matrice se moe izdvojiti uz pomo komande A(i,j). Ako elimo da izdvojimo celu vrstu ili kolonu matrice koristimo komande: A(k,:) , A(:,k), gde k predstavlja traenu vrstu odnosno kolonu.PRIMER 5: Iz matrice 2 1 53 6 73 5 4A 1 1 1 1 ] izdvojiti element u prvoj vrsti i drugoj koloni.>> A=[-2 1 -5;3 6 7;3 -5 4];>> A(1,2)ans = 1Ako elimo da izdvojimo celu neke matrice to svakako moemo uraditi koristei komande: A(k,:) i A(:,k) gde k predstavlja traenu vrstu ili kolonu. Dimenzije matrice odreuju se komandom size (A) ili [m,n]=size(A) . 31MATLAB Prirunik za laboratorijske vebePRIMER 6: Odrediti dimenzije matrice iz prethodnog primera koristei naredbu size(A).>> size(A)ans = 3 3Zamena elemenata matrice A brojevima izmeu 21 i 29 jedininim korakom ostvaruje se na sledei nain:PRIMER 7: >> A(:)=21:29A = 21 24 27 22 25 28 23 26 294.2. MATRICE SPECIJALNIH STRUKTURAU MATLAB-u postoje posebne naredbe za matrice specijalnih struktura kao to su eye, ones, zeros, magic, diag i druge.Naredba eye daje jedininu matricu.Funkcija Opiseye(n) Daje n x n jedininu matricueye(m,n) Daje mx n jedininu matricueye(size(A))Daje jedininu matricu dimenzija date matrice ATabela 8. Naredba eyePRIMER 8: Odrediti jedininu matricu sa tri vrste i dve kolone koristei naredbe iz prethodne tabele.>> A=eye(3,2)A = 1 0 0 1 0 0PRIMER 9: Koristei dimenzije matrice iz primera 5, odrediti jedininu matricu. >> A=[-2 1 -5;3 6 7;3 -5 4];X=eye(size(A))X = 1 0 032MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe 0 1 0 0 0 1 33MATLAB Prirunik za laboratorijske vebeNaredba ones daje matricu iji su svi elementi jedinice.Funkcija Opisones(n) Daje n x n matricu iji su svi elementi jediniceones(m,n) Daje mx n matricu iji su svi elementi jediniceones(size(A))Daje matricu dimenzija date matrice A iji su svi elementi jediniceTabela 9. Naredba onesPRIMER 10: Formirati kvadratnu matricu reda 3 iji su svi elementi jednaki 1.>> A=ones(3)A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1Naredba zeros daje matricu iji su svi elementi nule.Funkcija Opiszeros (n) Daje n x n matricu iji su svi elementi nulezeros (m,n) Daje mx n matricu iji su svi elementi nulezeros (size(A))Daje matricu dimenzija date matrice A iji su svi elementi nuleTabela 10. Naredba zerosPRIMER 11: Formirati matricu sa tri vrste i dve kolone iji su svi elementi jednaki 0.>> A=zeros(3,2)A = 0 0 0 0 0 04.3. OPERACIJE SA MATRICAMAU osnovne operacije sa matricama spadaju sabiranje, oduzimanje, mnoenje, stepenovanje, deljenje i transponovanje.SABIRANJE I ODUZIMANJE MATRICAOperacije sabiranja (+) i oduzimanja (-) mogu biti izvedene nad nizovima jednakih dimenzija (koji imaju jednak broj vrsta i kolona). Zbir ili razlika dva niza dobija se sabiranjem odnosno oduzimanjem njihovih odgovarajuih elemenata.34MATLAB Prirunik za laboratorijske vebePRIMER 12: Izraunati C=A+B.>>A=[1,-2,3;4,-5,6;-7,8,-9],B=[-1,8,-2;6,3,-4;3,-2,1],C=A+BA = 1 -2 3 4 -5 6 -7 8 -9B = -1 8 -2 6 3 -4 3 -2 1C = 0 6 1 10 -2 2 -4 6 -8PRIMER 13: Izraunati B=A-3.>> A=[1,-2,3;4,-5,6;-7,8,-9],B=A-3A = 1 -2 3 4 -5 6 -7 8 -9B = -2 -5 0 1 -8 3 -10 5 -12MNOENJE MATRICAAko su A i B dve matrice, operacija A*B moe biti izvedena samo ako je broj kolona matrice A jednak broju vrsta matrice B. Rezultat je matrica koja ima isti broj vrsta kao A i isti broj kolona kao B. PRIMER 14: Izraunati C=A*B.>> A=[1,4,3;2,6,1;5,2,8],B=[1,2;2,-3;2,6],C=A*A1A = 1 4 3 2 6 1 5 2 8B = 1 2 2 -3 2 6C =35Definiemo matrice A i B dimenzija 3x3MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe 15 8 16 -8 25 52 Mnoenje matrica skalarom se vri tako to svaki element te matrice pomnoimo vrednou datog skalara.PRIMER 15: Odrediti C=3A.>> A=[1,4,3;2,6,1;5,2,8],C=3*AA = 1 4 3 2 6 1 5 2 8C = 3 12 9 6 18 3 15 6 24TRANSPONOVANJE MATRICATransponovanje matrica sa realnim koeficijentima, je zamena vrsta i kolona i vri se pomou operatora ' .PRIMER 16: Transponovati datu matricu A, gde je E novonastala matrica. >> A=[1,4,3;2,6,1;5,2,8];E=A'E = 1 2 5 4 6 2 3 1 8PRIMER 17: Transponovanje skalara i vektora se vri na sledei nain:>> a=[3.5]',x=[-3 5 4]',y=[-5;-3;-4]'a = 3.5000x = -3 5 4y = -5 -3 -4PRIMER 18: Ukoliko radimo sa matricom iji su elementi kompleksni brojevi, MATLAB transponuje matricu i istovremeno konjuguje svaki njen element tj. vri kompleksnu transpoziciju.36MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe>> Z=[-2+3*i,1-5*i;3+6*i,7+2*i],T=Z'Z = -2.0000 + 3.0000i 1.0000 - 5.0000i 3.0000 + 6.0000i 7.0000 + 2.0000iT = -2.0000 - 3.0000i 3.0000 - 6.0000i 1.0000 + 5.0000i 7.0000 - 2.0000iDETERMINANTA MATRICEOperator det slui za izraunavanje determinante matrice. PRIMER 19: Izraunati determinantu kvadratne matrice A.>> A=[ 1 -2 3;4 -5 6; 7 8 -9];>> D=det(A)D = 42INVERZNA MATRICA11det( )A adjAAOperatorom inv(A) se odreuje inverzna matrica 1A date matrice A.PRIMER 20: Nai inverznu matricu, matrice A.>> A;Ai=inv(A)Ai = -0.0714 0.1429 0.0714 1.8571 -0.7143 0.1429 1.5952 -0.5238 0.0714PRIMER 21: Ukoliko elimo da izraunamo inverznu matricu matrice ija je determinanta jednaka 0, MATLAB daje sledei odgovor:>> A=[ 1 2 3;4 5 6; 7 8 9];D=det(A)D = 0>> inv(A)Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.37MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe Results may be inaccurate. RCOND = 1.541976e-018.ans = 1.0e+016 * -0.4504 0.9007 -0.4504 0.9007 -1.8014 0.9007 -0.4504 0.9007 -0.4504Ovo pokazuje jo jednu prednost MATLAB-a da vam ukazuje na greku pri radu.U MATLAB-u ne postoji poseban operator za izraunavanje adjungovane matrice, ali na osnovu definicije inverzne matrice moemo je izraunati. ( ) det( ) * ( ) adj A A inv A STEPENOVANJE MATRICAZa matricu A ija je determinanta razliita od 0, vai 1( )p pA A Operator ^ slui za stepenovanje matrice.PRIMER 22: Za matricu A odrediti 2 2A i Ai proveriti da li je 2 2A A I (I je jedinina matrica istih dimenzija kao matrica A) >> A=[ 1 -2 3;4 -5 6; 7 8 -9];>> M=A^2,N=A^(-2),I=M*NM = 14 32 -36 26 65 -72 -24 -126 150N = 0.3844 -0.1497 0.0204 -1.2313 0.7007 0.0408 -0.9728 0.5646 0.0442I = 1.0000 0 -0.0000 0 1.0000 -0.0000 0 0.0000 1.0000DELJENJE MATRICAMATLAB ume da deli matrice na dva naina: deljenje s leva i deljenje s desna.Deljenjem s leva (engl. left division) reavamo matrinu jednainu AX B . U toj jednaini, X i B su vektori kolone. Jednaina se moe reiti mnoenjem obe strane matricom inverznom matrici A, i to s leva:1 1A AX A B . 38MATLAB Prirunik za laboratorijske vebeLeva strana ove jednaine jednaka je X poto je: 1A AX IX X . Dakle, reenje od AX B je: 1X A B.U MATLAB-u se poslednja jednaina moe napisati pomou simbola za deljenje s leva: X A \B. Premda dve poslednje operacije daju isti rezultat, MATLAB u njima izraunava X na dva razliita naina. U prvoj jednaini MATLAB izraunava 1A i zatim njime mnoi B. U drugoj (deljenje s leva), reenje se dobija numeriki, metodom zasnovanom na postupku Gausove eliminacije. Za reavanje skupova linearnih jednaina preporuujemo matrino deljenje s leva, poto je rezultat izraunavanja inverzne matrice manje precizan od rezultata Gausove eliminacije kada se radi o velikim matricama. Deljenje s desna (engl. right division) reavamo matrinu jednainu XC D . U toj jednaini X i D su vektori vrste. Jednaina se moe reiti mnoenjem obe strane matricom koja je inverzna matrici C i to s desna: 1 1X CC D C to daje 1X D C U MATLAB-u se poslednja jednaina moe napisati pomou simbola za deljenje s desna: X D /C . PRIMER 23: Uoimo razliku izmeu operatora deljenja s leva \ i s desna /.>>A=[1,4,3;2,6,1;5,2,8],B=[1,2,1;2,-3,-1;2,6,-2],D=A\B,D1=A/BA = 1 4 3 2 6 1 5 2 8B = 1 2 1 2 -3 -1 2 6 -2D = 0.4474 -1.1316 -1.3158 0.1974 -0.3816 0.1842 -0.0789 1.5526 0.5263D1 = 2.1765 -0.3529 -0.2353 1.5882 -0.1765 0.3824 6.1176 0.7647 -1.3235PRIMER 24: Reiti matrinu jednainu AX=B gde su date matrice 1 2 32 5 13 5 7A 1 1 1 1 ] i 122B 1 1 1 1 ] >> A=[1 -2 -3;2 -5 1;-3 -5 -7];B=[1;2;-2];X=inv(A)*BX =39MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe 0.8172 -0.0753 -0.0108ili>> X=A\BX = 0.8172 -0.0753 -0.0108PRIMER 25: Podeliti matricu A skalarom 3 s leva i s desna.>> A\3??? Error using ==> mldivideMatrix dimensions must agree.>> A/3ans = 0.3333 -0.6667 -1.0000 0.6667 -1.6667 0.3333 -1.0000 -1.6667 -2.333340MATLAB Prirunik za laboratorijske vebePregled uraenih vebiRedni broj vebeNaziv vebeDatumStudent DemonstratorProfesorNapomene1.Koristei datu matricu A=3 1 85 2 43 2 1 1 1 1 1 ] odrediti: a) lan na mestu (3,1)b) drugu vrstu matrice Ac) determinantu matrice 2Ad) transponovanu matricu matrice 1A 2.Izraunajte: ( )2 1'4 detA AA++ koristei datu matricu A.3.Izraunati zbir matrica: 1 2 5 1 2 50 2 3 0 3 4A i B 1 1 1 1 ] ]4.Izraunati zbir matrica: 1 2 4 2 4 52 5 0 2 3 23 1 3 2 1 1A i B 1 1 1 1 1 1 1 1 ] ]5.Ako je2 1 3 4 2 28 2 4 0 1 3A i B 1 1 1 1 ] ]Izraunati 3A-5B.6.Izraunati 22 2 A A I + ako je 1 11 1A 1 1 ]7.Reiti matrine jednaine: 1 3 2 1 10 10 2 2 1 3 2 73 4 0 0 7 8X 1 1 1 1 1 1 1 1 ] ]41MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe5. SISTEMI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAINASistemi jednaina po nepoznatim x, y, z moemo zapisati:1 1 1 12 2 2 23 3 3 3a x b y c z da x b y c z da x b y c z d+ + + + + + gde su ia,ib,ic,id (i =1,2,3) realni brojevi. Stepen moemo zapisati i ovako:1 1 1 12 2 2 23 3 3 3za b c d xa b c y da b c d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] ] ]zapravo AX=Bgde je 1 1 1 12 2 2 23 3 3 3za b c d xA a b c X y B da b c d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] ] ]pa sistem moemo reiti matrinom metodom 1X A B, u sluaju kada je det 0 A .Za reavanje sistema moemo primeniti i Kramerovo pravilo, koje moemo takoe primeniti u sluaju kad je determinanta sistema razliita od 0.PRIMER 1: Kreirati m-fajl Cramer.m za reavanje sistema linearnih algebarskih jednaina koristei Kramerovo pravilo:%Resavanje sistema AX=B Cramerovim pravilom%function X=Cramer(A,B)[m,n]=size(A);if m~=n, error('Matrica nije kvadratna'),endif det(A)==0, error('Matrica je singularna'),endfor j=1:n, C=A; C(:,j)=B; X(j)=det(C)/det(A);endX=X';42MATLAB Prirunik za laboratorijske vebePRIMER 2: Reiti sistem jednaina matrinom metodom i koristei kreirani fajl Cramer.m. Uporediti dobijena reenja.2 3 113 5 2 192 3 14x y zx y zx y z + + + >> M=[2,-3,1;-3,5,-2;1,-2,3];N=[11;-19;14];>> X1=inv(M)*NX1 = 1.0000 -2.0000 3.0000>> X2=Cramer(M,N)X2 = 1 -2 3PRIMER 3: Reiti sistem jednaina matrinom metodom:11 2,1 0px qx zx qx pz za p i qx pqy z q + + + + >> syms p qA=[-p q 1;1 -q -p;-1 p*q 1]A =[ -p, q, 1][ 1, -q, -p][ -1, p*q, 1]>> B=[1;1;q]B = 1 1 q>> X=inv(A)*BX = -(p+1)/(p^2+p-2)-1/(p^2+p-2)+1/(p^2+p-2)*q (p+1)/(p^2+p-2) -1/(p^2+p-2)-(p+1)/(p^2+p-2)-1/(p^2+p-2)*qPRIMER 4: Reiti sistem jednaina koritei fajl Cramer.m43MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe2 3 13 2 16 3x y zx y zx y z + + + + >> Z=[-2 3 1;1 3 -2;1 -6 1]Z = -2 3 1 1 3 -2 1 -6 1>> Z1=[1;1;3]Z1 = 1 1 3>> Cramer(Z,Z1)??? Error using ==> CramerMatrica je singularna44MATLAB Prirunik za laboratorijske vebePregled uraenih vebiRedni broj vebeNaziv vebeDatumStudent DemonstratorProfesorNapomeneReiti sistem jednaina matrinom metodom:1.02 2 3 72 9x y zx y zx y z+ + + 2.2 3 14 2 3 51336x y zx y zx y z+ + + + + 3.12 5 2 103 2 3 15x y zx y zx y z+ + + + + 4.2 15 4 7 27 3 6 3x y zx y zx y z+ + + Reiti sisteme jednaina koristei Kramerove formule (fajl Cramer.m)5.4 3 2 13 5 13 6 9 2x y zx y zx y z+ + + + + + 6.2 23 29 47 4 75 2 5ax y zx ay zx y az + + + + + 7.2 25 2 12 3ax zx yx y bz+ + + 45MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe6. INTEGRALI I PRIMENA INTEGRALANeodreeni integralIntegraljenje se moe obaviti pomou komande int. Ta komanda se upotrebljava za izraunavanje neodreenih i odreenih integrala. Neodreeni integral ima sledee komande:int(S) ili int(S,prom) S moe biti oznaka za ranije definisan izraz, ili se izraz upisuje kao argument Kada se upotrebi komanda int(S) ako izraz sadri samo jednu promenljivu, integraljenje se odvija po toj promenljivoj. Ako izraz sadri vie promenljivih, izraunava se integral za naznaenu promenljivu. Kada se upotrebi oblik komande int(S,prom), pogodan za izraze s vie simolikih promeljivih, integraljenje se obavlja za promenljivu prom.PRIMER 1:>> int('cos(x)')ans =sin(x)PRIMER 2:>> syms x>> S=2*cos(x)-5*xS =2*cos(x)-5*x>> int(S,x)ans =2*sin(x)-5/2*x^2PRIMER 3:>> int(x*sin(x))ans =sin(x)-x*cos(x)PRIMER 4:>> syms x>> S=5*x^2*cos(4*x);>> int(S)ans =5/4*x^2*sin(4*x)-5/32*sin(4*x)+5/8*x*cos(4*x)PRIMER 5:>> syms x46MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe>> S=x^2*(x-1);>> int(S,x)ans =1/4*x^4-1/3*x^3PRIMER 6: Izraunati integral + ++dxx xx2 25 32>> syms x>> S=(3*x+5)/(x^2+2*x+2);>> int(S,x)ans =3/2*log(x^2+2*x+2)+2*atan(x+1)>> pretty(ans) 2 3/2 log(x + 2 x + 2) + 2 atan(x + 1)PRIMER 7: Izraunati integral + +dxxx x24 232 1>> syms x>> S=(1+x^2+2*x^4)/(3*x^2);>> int(S,x)ans =2/9*x^3+1/3*x-1/3/x>> pretty(ans) 3 2/9 x + 1/3 x - 1/3 1/xPRIMER 8: Izraunati integral dx x9) 2 5 (>> syms x>> S=(5*x-2)^9;>> int(S,x)ans =1/50*(5*x-2)^10>> pretty(ans) 10 1/50 (5 x - 2)PRIMER 9: Izraunati integral dx x ex 2347MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe>> syms x>> S=exp(-x^3)*x^2;>> int(S,x) ans = -1/3*exp(-x^3)PRIMER 10: Izraunati integral dxx xx x22 332>> syms x>> S=(3*x^2-2)/(x^3-2*x);>> int(S,x)ans =log(x*(x^2-2))>> pretty(ans) 2 log(x (x - 2))PRIMER 11: Izraunati integral +dxx 412>> syms x>> S=1/(x^2+4);>> int(S,x)ans =1/2*atan(1/2*x)>> pretty(ans) 1/2 atan(1/2 x)PRIMER 12: Izraunati integral + dx x x4 3 51>> syms x>> S=(1+x^5)^(1/3)*x^4;>> int(S,x)ans =3/20*(1+x^5)^(4/3)>> pretty(ans) 5 4/3 3/20 (1 + x )48MATLAB Prirunik za laboratorijske vebeOdreeni integralZa odreene integrale komanda ima sledei oblik:int(S,a,b) ili int(S,prom,a,b) a i b su granice integrala. Granice mogu biti brojevi ili drugi simboli. Na primer, odreeni integral 20(sin 5 ) y y dy+ u MatLab-u se izraunava na sledei nain:PRIMER 1:>> syms x>> int(sin(x)-5*x^2,0,pi)ans =2-5/3*pi^3 S moe biti oznaka za ranije definisan izraz, ili se izraz upisuje kao argument MatLab ponekad ne moe izraunati integral. U tom sluaju umesto odgovora izbacuje poruku Explicit integral could not be found (integral nije pronaen).PRIMER 2: Izraunati 332x dx .>> syms x>> f=x^3;>> int(f,1,3)ans =20PRIMER 3: Izraunati 83 21x dx .>> syms x>> f=x^(2/3);>> int(f,1,8)ans =49MATLAB Prirunik za laboratorijske vebe24/5*8^(2/3)-3/5PRIMER 4: Izraunati 3241sindxx .>> syms x>> f=1/sin(x)^2;>> int(f,pi/4,pi/3)ans =1-1/3*3^(1/2)>> pretty(ans) 1/2 1 - 1/3 3PRIMER 5: Izraunati 20sin xdx .>> syms x>> f=sin(x);>> int(f,0,2*pi)ans =0PRIMER 6: Izraunati 201/(1 ^ 2) x dx+ .>> syms x>> f=1/(1+x^2);>> int(f,0,1)ans =1/4*pi50MATLAB Prirunik za laboratorijske vebeNeki primeri p rimene odreenog integrala pri izraunavanju povrina PRIMER 7: Nacrtati luk krive 29 y x i runo izraunatii povrinu ogranienu lukom krive i x osom. >> syms x;f1=x^2-9;>> a=solve(f1) a = 3 -3 >> int(f1,-3,3)ans =-36>> abs(ans)ans = 36>> ezplot(f1);hold onPRIMER 8: Data je funkcija f(x)=sin x. Nacrtati funkciju, obeleiti oblast ogranienu datom funkcijom i x osom na intervalu 0 1 x i izraunati brojnu vrednost povrine.>> x=[0:0.001:1];>> fill(x,sin(x),'r')>> x=[0:0.001:1];>> fill([x 1],[sin(x) 0],'r')51MATLAB Prirunik za laboratorijske vebeTraena povrina ima vrednost: >> p=int('sin(x),0,1')p =[ -cos(x), 0, x]PRIMER 9: Izraunati funkciju ogranienu funkcijom 2( )xf x e i x osom na intervalu 0 4 x , nacrtati funkciju i obeleiti traenu povrinu.>> fill([0 0:.1:4 4 0],[0 exp(-(0:.1:4).^2) 0 0],'c')52MATLAB Prirunik za laboratorijske vebeZadaci za vebu1. Proveriti rezultate: a)3 3213x xe x dx e C +b)sin sincosx xe xdx e C +v)34ln 1ln4xdx xdxxg)2 31cos sin cos3x xdx x C +d)( )4 55110 2 4x dx xarctg Cx ++)2lnsin lndxctg x Cx x +2. Izraunati sledee integrale:a) ( )95 2x dx ; b)34 3 x dx + ; v)45dxx +g)5xe dx; d)sin 2x dx ; )2 1dxx e)225 4dxx +; )2 2sincosxa x + ; z)x xdxe e+i)21dxx x +; j)23 4dxx ; k)25 2dxx l)2sin2 cosx dxx ; lj)235 lndxx x ; m)1xxedxe +n)22 3x dxx +; nj)2ln x dxx; o)41x dxx +p)ctgx dx; r)233 22xdxx x; s) 3 5 41 x x dx t) ( )2sin 1 x x dx )5sin cos x x dxu)264x dxx +3. Izraunati:53MATLAB Prirunik za laboratorijske vebea)2sin x x dx; b) 2ln x x dx; v) ln , x x dx R g)xxe dx; d) x arc tgx dx; ) 2x arc tgx dxe)2ln x dx; ) 3ln xdxx; z) 3cos 2 x x dxi) ( )22 5xx x e dx +; j) ( )22 3xx x e dx+ k) ( )2ln 1 x dx +4. Proveriti da li su tane jednakosti:a)21 1ln ln 22 2 2dxx x Cx x + ++b)21 3ln6 5 2dx xCx x x + +v)333ln ln 1 2ln 1xdx x x x Cx x + +g)( ) ( )221 1 1ln 1 ln 12 4 2 1 1xdxx x arctgx Cx x + + + +d)( )23 211 1 2 1ln1 6 1 3 3xdx xarctg Cx x x+ + + +)3 324 8ln 22 3x xdx x x x Cx + + + +e)3 224 5ln 2 ln 12 2 3 3x xdx x x x Cx x + + + ++ )323 21 1 1 2 2 1ln 1 ln 13 3 3 3 3x xdx x x x x arctgx x+ + + + + z)( ) ( )4 227 7 222 ln 1 ln 1 ln 22 6 2 3 1 2x dx xx x x x Cx x + + + + + +54MATLAB Prirunik za laboratorijske vebePregled uraenih vebiRedni broj vebeNaziv vebeDatumStudent DemonstratorProfesorNapomene1 Izraunati 23x dx2 Izraunati 3 2( 2 2 1) x x x dx + 3 Izraunati246 2x xdxx+ +4 Izraunati 3 21x x dxx _+ + ,5 Izraunati 221xdxx +6 Izraunati 2sinx xxe e xdxe+7 Izraunati 2 2cos 2sin cosxdxx x 8 Izraunati ( )105 x dx +9 Izraunati 5dxx 10 Izraunati 2cos4 sinxdxx +11 Izraunati 2 2dxa x 55MATLAB Prirunik za laboratorijske vebeRedni broj vebeNaziv vebeDatumStudent DemonstratorProfesorNapomene12 Izraunati 22 33 5xdxx x +13 Izraunati tgxdx14 Izraunati cos x x dx15 Izraunati ln x x dx16 Proveriti:5 54lnln5 25x x xx x dx C +17 Proveriti:ln ln x dx x x x C +18 Izraunati 22 33 5xdxx x++ +19 Izraunati 22xdxx 20 Izraunati 22 5dxx x + +56