UNIVERSITATEA ”OVIDIUS” CONSTANTAFACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA

SCOALA DOCTORALA

PROIECT DE CERCETARESTIINTIFICA

CONDUCATOR DE DOCTORAT,PROF. UNIV. DR. MIRELA STEFANESCU

DOCTORAND,OLTEANU ANDA-GEORGIANA

CONSTANTA2006

UNIVERSITATEA ”OVIDIUS” CONSTANTAFACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA

SCOALA DOCTORALA

GRUPURI COXETER VERSUS ALGEBRE

HECKE

CONDUCATOR DE DOCTORAT,PROF. UNIV. DR. MIRELA STEFANESCU

DOCTORAND,OLTEANU ANDA-GEORGIANA

CONSTANTA2006

Multumiri doamnei prof. univ. dr. MIRELA STEFANESCUsi doamnei conf. univ. dr. VIVIANA ENE pentru sprijinulacordat la elaborarea acestei lucrari.

Cuprins

Introducere i

1 Grupuri Coxeter 11.1 O definitie combinatoriala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Lungimi si expresii reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Subgrupuri parabolice si centrul unui grup Coxeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Constructia grupurilor Coxeter bune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Ordine partiala pe W 31

3 Algebre Hecke 35

4 Operatorul Bar 41

5 Chevie 475.1 Gap si Chevie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Grupuri Coxeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.1 Apelarea si construirea grupurilor Coxeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.2 Funtii destinate operarii cu grupuri Coxeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

A O definitie geometrica a grupurilor Coxeter 53A.1 Sisteme de radacini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53A.2 Constructia grupurilor Coxeter ireductibile finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

B Grupurile finite Weyl 63B.1 Grupul de tip An−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63B.2 Grupul hiperoctaedral, Bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64B.3 Grupul de permutari cu numar par de semne ”− ”, Dn . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Introducere

Grupurile Coxeter reprezinta o clasa de grupuri definite de matematicianul englez H. S. M. Coxeterın 1934 prin generatori si relatii. Ele au aplicatii ın diferite domenii ale matematicii (algebra,geometrie), dar si ın fizica. Aceste grupuri sunt intens studiate de la sfarsitul secolului trecut sipana ın prezent de un numar mare de matematicieni printre care: George Lusztig, Anders Bjorner,Francesco Brenti, Muhammaad Albar, Koji Nuida etc. Definitia acestor grupuri permite o abordarecombinatoriala cunoscuta sub numele de ”combinatorica grupurilor Coxeter” si reprezinta o parteimportanta ın algebra combinatoriala. Exemplul fundamental de grup Coxeter este grupul simetricSn si multe din grupurile Coxeter sunt construite pornind de la acesta.

Am ınceput studierea acestor grupuri odata cu elaborarea Lucrarii de Disertatie ”Grupuri desimetrie ın plan si ın spatiu. Grupuri Coxeter.”. Aici am urmat o constructie geometrica a acestora,pornind de la grupurile de simetrii. Grupurile Coxeter au fost definite atunci ca subgrupuri alegrupului transformarilor ortogonale ale unui spatiu vectorial V, euclidian finit dimensional, O(V ).Pentru aceste grupuri s-au definit si exemplifical notiunile de baza si sistem de radacini si au fostconstruite grupurile finite Weyl ca grupuri de simetrii. Anexa B din lucrarea de fata reia acestegrupuri evidentiindu-le proprietati combinatoriale.

Grupurile Coxeter au permis definirea unei structuri de A−algebra, unde A este inelul poli-noamelor Laurent, Z[v, v−1], v fiind nedeterminata. Aceasta algebra se numeste algebra Iwahori-Hecke, iar lucrarea de fata urmareste studierea cazului ın care parametrii sunt inegali. Astfel, pentruun grup Coxeter ponderat, W , pot fi definite elementele Tw cu w ∈ W care satisfac anumite relatiiın stransa legatura cu relatiile din grupul Coxeter considerat si se demonstreaza ca Tw |w ∈ Weste o baza pentru algebra astfel definita.

Proiectul de fata studiaza grupurile Coxeter din punctul de vedere al proprietatilor combina-toriale. Lucrarea are la baza cartea lui G. Lusztig ”Hecke Algebras with Unequal Parameters”.Proiectul este structurat ın cinci capitole: primele doua capitole studiaza ın detaliu grupurile Cox-eter, ın urmatoarele doua capitole sunt descrise algebrele Hecke, iar ultimul capitol este o introducereın pachetul Chevie.

In primul capitol este definita functia lungime a unui grup Coxeter care se dovedeste un obiectextrem de util ın ceea ce priveste proprietatile descrise. In stransa legatura cu aceasta sunt definiteexpresiile reduse ale elementelor grupurilor Coxeter. Sunt demonstrate proprietatile de schimb side stergere ale grupurilor Coxeter precum si faptul ca, dat un grup care satisface proprietateade stergere si care are un sistem de generatori format din elemente de ordin doi acest grup estegrup Coxeter. Utilizand articolul lui T. Hosaka, ”On the Center of a Coxeter Group”,este descriscentrul unui grup Coxeter, considerand subgrupurile parabolice ale unui grup Coxeter (ca fiindsubgrupurile generate de o submultime a sistemului de generatori). Pentru o clasa de echivalentaa unui grup Coxeter se demonstreaza existenta si unicitatea elementului de lungime minima. Daca

i

aceasta clasa de echivalenta este finita si, ın particular, daca grupul Coxeter este finit, atunci existaun unic element de lungime maxima. Am determinat acest element pentru cazul grupului simetricSn (grupul Weyl de tip An−1). In ultima parte a capitolului au fost construite grupurile afine Weylca exemple de grupuri Coxeter infinite.

In capitolul al doilea se defineste o relatie de ordine partiala pentru un grup Coxeter.Capitolul al treilea este destinat algebrelor Hecke. Sunt construite aceste algebre si este definit

modul de compunere ale elementelor. Relatiile dintre elementele bazei Tw depind de relatiile pecare elementele w le satisfac ın cadrul grupului Coxeter ponderat considerat. Se demonstreaza cao baza pentru algebra Hecke este indexata dupa elementele grupului Coxeter.

In capitolul al patrulea este definit operatorul Bar. Se demonstreaza ca acest operator esteo involutie, iar coeficientii din combinatiile liniare sunt polinoame cu proprietati specifice. Acestoperator este utilizat pentru construirea unei alte baze pentru o algebra Hecke(fapt ce nu esteprezentat ın lucrarea de fata).

Ultimul capitol este destinat introducerii pachetului Chevie, parte a softului Gap. Acest pachetruleaza numai sub varianta Gap3, dar cunoaste si o implementere ın soft-ul Maple. Ultima versiunea pachetului Chevie este din 2005 si, spre deosebire de variantele anterioare, acum pot fi construitegrupuri Coxeter arbitrare, nefiind reprezentate neaparat ca grupuri de permutari. Chevie estedestinat exclusiv operarii cu grupuri Coxeter, grupuri de simetrii algebre Iwahori-Hecke si algebreHecke ciclotomice etc. Capitolul prezinta numai modul de operare cu grupurile Coxeter, urmandsa studiez si functiile destinate operarii cu algebre Hecke.

Lucrarea se doreste o ınsusire a unor notiuni dintr-un domeniu intens studiat al algebrei. Incontinuare ımi voi ındrepta atentia spre teoria reprezentarii si aplicarea acesteia la grupurile Coxeter.De asemenea, am ın vedere aspectele computationale ale grupurilor Coxeter si algebrelor Hecke.

Capitolul 1

Grupuri Coxeter

Acest capitol este o introducere ın studiul grupurilor Coxeter. Sunt abordate aspecte combinatorialeale acestora. In primul paragraf este definit grupul Coxeter. In al doilea paragraf sunt definitenotiunile de lungime a unui element si expresie redusa pentru un element al unui grup Coxeter sidemonstrate proprietati ale acestora. Este introdusa si o alta abordare a grafului asociat unui grupCoxeter. Paragraful al treilea este destinat subgrupurilor parabolice ale unui grup Coxeter. Estedemonstrata aici existenta si unicitatea elementului de lungime maxima si minima ıntr-o clasa deechivalenta. Tot aici se demonstreaza faptul ca centrul unui grup Coxeter este ıntotdeauna finit.In ultimul paragraf sunt construite grupurile afine Weyl si sunt demonstrate unele proprietati aleacestora.

1.1 O definitie combinatoriala

Definitia 1.1.1. Fie S o multime finita. O matrice cu coeficienti ın N ∪ ∞, (ms,s′)(s,s′)∈S×S,astfel ıncat ms,s = 1 pentru orice s ∈ S si ms,s′ = ms′,s ≥ 2 pentru orice s, s′ ∈ S, s 6= s′ senumeste matrice Coxeter.

Daca ms,s′ ∈ 2, 3, 4, 6,∞ pentru orice s, s′ ∈ S, s 6= s′ matricea (ms,s′)(s,s′)∈S×S este com-plet descrisa de un graf (graful Coxeter) cu multimea varfurilor ın bijectie cu S, unde varfurilecorespunzatoare elementelor s 6= s′ sunt unite astfel:

• printr-o muchie simpla, daca ms,s′ = 3

• printr-o muchie dubla, daca ms,s′ = 4

• printr-o muchie tripla, daca ms,s′ = 6

• printr-o muchie cvadrupla, daca ms,s′ = ∞.

q qq qrraa

s s′

s

s

s

s′

s′

s′

Definitia 1.1.2. Fie W grupul generat de s | s ∈ S si cu relatiile (ss′)ms,s′ = 1 pentru orices, s′ ∈ S astfel ıncat ms,s′ < ∞. (W,S) se numeste grup Coxeter.

Observatia 1.1.3. Matricea Coxeter este unic determinata de (W,S).

1

Observatia 1.1.4. Exista un unic morfism

sgn : W → 1,−1

astfel ıncat sgn(s) = −1 pentru orice s ∈ S. (Reprezentarea ”semn”).

Demonstratie. Fie F grupul liber de baza S si R multimea relatiilor grupului W . Atunci W ∼=FR .

Din proprietatea de universalitate a grupului liber rezulta ca exista un unic morfism φ : F → (Z2, ·)care face diagrama comutativa,

-S

w(Z2, ·)

w

s

−1

F

φ

adica φ(s) = −1 pentru orice s ∈ S si φ(1) = 1.Fie π : F → W proiectia canonica. Deoarece kerπ ⊂ ker φ, din proprietatea de universalitate

a grupului factor rezulta ca exista un unic morfism sgn : W → (Z2, ·) care face comutativa diagrama

-

w(Z2, ·)

w

s

−1

F W

φ sgn

π

Observatia 1.1.5. In W , s2 = 1, pentru orice s ∈ S.

Exemple 1.1.6. 1. Grupul diedral, considerat cu urmatoarea prezentare

Dn =< a, b |a2 = b2 = (ab)n = 1 >,

este grup Coxeter.2. Grupul simetric Sn generat de multimea transpozitiilor de forma (i, i + 1), 1 ≤ i < n este

grup Coxeter.

1.2 Lungimi si expresii reduse

Definitia 1.2.1. Fie w ∈ W . Lungimea lui w (relativ la S), notata `(w), este cel mai mic numarıntreg q ≥ 0 astfel ıncat w este produsul unui sir de q elemente din S, adica w = s1s2 . . . sq, cusi ∈ S, 1 ≤ i ≤ q.

Definitia 1.2.2. O expresie redusa a unui element w ∈ W este un sir s = (s1, . . . , sq) deelemente din S astfel ıncat w = s1 . . . sq si q = `(w).

2

Exemple 1.2.3. 1. Fie grupul A4 care este izomorf cu grupul simetric S5. Acest grup estegeneratde transpozitiile (i, i + 1), 1 ≤ i ≤ 4. Fie w = (1, 5, 2, 3). O descompunere ın produs detranspozitii generatoare este

w = (1, 2)(4, 5)(3, 4)(2, 3)(1, 2)(2, 3)(3, 4)(4, 5)(2, 3).

Tinand cont de faptul ca lungimea unei permutari pentru acest grup Coxeter este egala cu numarulde inversiuni, obtinem ca `(w) = 7. O expresie redusa pentru w este:

w = (4, 5)(3, 4)(2, 3)(1, 2)(3, 4)(2, 3)(4, 5).

Pentru w putem gasi si alte expresii reduse, de exemplu:

w = (4, 5)(3, 4)(2, 3)(3, 4)(1, 2)(4, 5)(2, 3)

sauw = (2, 3)(1, 2)(3, 4)(4, 5)(3, 4)(2, 3)(1, 2).

2. Fie grupul Coxeter A3. Acest grup este generat de transpozitiile (1, 2), (2, 3), (3, 4). Con-sideram permutarea w = (1, 4, 3, 2). Lungimea elementului w este 3. O expresie redusa pentru weste

w = (3, 4)(2, 3)(1, 2).

Observatia 1.2.4. 1 este unicul element de lungime 0, iar multimea de generatori S este formatadin elementele de lungime 1.

Propozitia 1.2.5. Fie w,w′ ∈ W . Atunci:

`(ww′) ≤ `(w) + `(w′), (1.1)`(w−1) = `(w), (1.2)

|`(w)− `(w′)| ≤ `(ww′−1) (1.3)`(ww′) ≥ `(w)− `(w′) (1.4)

Demonstratie. Fie w = s1 . . . sp si w′ = s′1 . . . s′q doua expresii reduse. Atunci `(w) = p si `(w′) = q.Deoarece ww′ = s1 . . . sps

′1 . . . s′q, atunci `(ww′) ≤ p + q = `(w) + `(w′) ceea ce demonstreaza (1.1).

Deoarece S = S−1 si w−1 = s−1p . . . s−1

1 , avem ca `(w−1) ≤ p = `(w). Schimband w cu w−1,obtinem `(w) ≤ `(w−1), adica `(w) = `(w−1), ceea ce demonstreaza (1.2).

Inlocuind ın (1.1) si (1.2) pe w cu ww′−1, obtinem:

`(w) ≤ `(ww′−1) + `(w′)`(w)− `(w′) ≤ `(ww′−1) (1.5)

`(w′w−1) = `(ww′−1) (1.6)

Schimband w cu w′ ın (1.5) obtinem

`(w′)− `(w) ≤ `(w′w−1)(1.6)= `(ww′−1)

ceea ce demontreaza (1.3).Inlocuind ın (1.3) pe w′−1 cu w′ obtinem:

`(ww′) ≥ |`(w)− `(w′−1)| (1.2)= |`(w)− `(w′)| ≥ `(w)− `(w′)

ceea ce demonstreaza (1.4)

3

Corolar 1.2.6. Fie s = (s1, . . . , sp) si s’ = (s′1, . . . , s′q) doua siruri de elemente din S astfel ıncat

w = s1 . . . sp si w′ = s′1 . . . s′q. Daca sirul (s1, . . . , sp, s′1, . . . , s

′q) este o expresie redusa pentru ww′,

atunci s este o expresie redusa a lui w si s’ este o expresie redusa a lui w′.

Demonstratie. Din ipoteza avem ca `(w) ≤ p, `(w′) ≤ q si `(ww′) = p + q. Din prima relatie aPropozitiei 1.3.4 obtinem ca `(ww′) ≤ `(w) + `(w′), deci `(w) = p si `(w′) = q.

Lema 1.2.7. Fie w ∈ W, s ∈ S. Atunci:

1. `(sw) = `(w) + 1 sau `(sw) = `(w)− 1

2. `(ws) = `(w) + 1 sau `(ws) = `(w)− 1

Demonstratie. 1. Fie w = s1 . . . sq o expresie redusa pentru w. Atunci `(w) = q. Din Observatia1.1.4 obtinem ca

sgn(w) = (−1)q ⇒ sgn(w) = (−1)`(w)

si, cum sgn este morfism,sgn(sw) = sgn(s)sgn(w) = −sgn(w).

Atunci(−1)`(sw) = −(−1)`(w).

Din Propozitia 1.3.4, (1.1) rezulta ca `(sw) ≤ `(w) + 1, iar din (1.4) avem `(w) − 1 ≤ `(sw), deci`(w) − 1 ≤ `(sw) ≤ `(w) + 1 si, cum `(sw) 6= `(w), `(sw) ∈ N, rezulta ca `(sw) = `(w) − 1 sau`(sw) = `(w) + 1.

2. Deoarece sgn(ws) = −sgn(w), rezulta ca (−1)`(ws) = −(−1)`(w), si, ca ın cazul anterior,avem `(ws) = `(w)− 1 sau `(ws) = `(w) + 1.

Propozitia 1.2.8. Fie (W,S) un grup Coxeter. Doua elemente s, s′ ∈ S sunt conjugate ın W dacasi numai daca este ındeplinita urmatoarea conditie:

(I) Exista un sir finit (s1, . . . , sq) de elemente din S astfel ıncat s1 = s, sq = s′ si sjsj+1 estede ordin finit, impar, pentru orice 1 ≤ j < q

Demonstratie. ” ⇐ ” Fie s, s′ ∈ S astfel ıncat p = ss′, ord(p) = 2n + 1 < ∞, n ∈ Z.Demonstram prin inductie ca spms−1 = p−m pentru orice m ∈ Z.

sps−1 = sss′s−1 = s′s = p−1

Presupunem adevarat ca spms−1 = p−m; atunci

spm+1s = spmps = spmssps = p−msps = p−msss′s = p−mp−1 = p−(m+1)

Deci spms−1 = p−m,iar pentru m = n avem spns−1 = p−n adica sp−n = pns si pnsp−n = p2ns.Atunci pnsp−n = p−1s si deci pnsp−n = s′, adica s si s′ sunt conjugate ın W .

” ⇒ ” Pentru orice s ∈ S consideram As multimea elementelor s′ ∈ S care satisfac conditia(I) din ipoteza. Din faptul ca sjsj+1 sunt de ordin impar, ele sunt conjugate. Intr-adevar, fiepj = sjsj+1 si fie mj,j+1 = ord(pj). Atunci mj,j+1 este impar si, conform celor demonstrateanterior,

sj+1 = pmj,j+1−1

2j sjp

−mj,j+1−1

2j

4

deci sj si sj+1 sunt conjugate ın W . In particular, s2 si s1 sunt conjugate si s3 si s2 sunt conjugate,deci s3 si s1 sunt conjugate. Prin inductie, se demonstreaza ca orice s′ ∈ As este conjugat cu s.

Fie f : S → M = 1,−1 definit astfel:

f(s′) =

1, s′ ∈ As

−1, s′ ∈ S \As

Fie s′, s′′ ∈ S astfel ıncat ord(s′s′′) = m, m < ∞. Atunci

f(s′)f(s′′) = 1, daca s′, s′′ ∈ S \As sau s′, s′′ ∈ As

f(s′)f(s′′) = −1, daca s′ ∈ As si s′′ ∈ S \As sau invers si m este par

Daca m ar fi impar, ar rezulta ca s′ si s′′ ar fi conjugate. Dar s′ ∈ As sau s′′ ∈ As, deci s′ esteconjugat cu s sau s′′ este conjugat cu s. Atunci ar rezulta ca s′, s′′ ∈ As, contradictie. Rezulta ca(f(s′)f(s′′))m = 1 ın toate cazurile.

Exista un morfism g : W → M astfel ıncat g(s) = f(s) pentru orice s ∈ S.Fie s′ conjugat cu s. Demonstram ca s′ ∈ As.Deoarece s ∈ As, rezulta ca f(s) = 1 si, prin urmare, g(s) = 1, deci s ∈ ker(g). Cum s′, s sunt

conjugate ın W , rezulta ca exista w ∈ W astfel ıncat s′ = wsw−1. Atunci g(ss′) = g(swsw−1) =g(s)g(w)g(s)g(w−1) = 1. Dar g(ss′) = g(s)g(s′) = g(s′). Rezulta deci ca g(s′) = 1, deci s′ ∈ ker(g)si f(s′) = g(s′) = 1. Am demonstrat ca s′ ∈ As.

Propozitia 1.2.9. Fie E un R−spatiu vectorial de baza (es)s∈S. Pentru s ∈ S definim o aplicatieliniara σs : E → E astfel:

σs(es′) = es′ + 2 cosπ

ms,s′es, ∀s′ ∈ S.

1. Exista un unic morfism σ : W → GL(E) astfel ıncat σ(s) = σs, pentru orice s ∈ S.

2. Daca s 6= s′, atunci ss′ are ordinul ms,s′ ın W .

Demonstratie. Observam ca

σs(es) = es + cosπ

ms,ses = es + 2 cos πes

deci σs(es) = −es, pentru orice s ∈ S.Deoarece es /∈ E

Res, rezulta ca σs| E

Res(es′) = es′ pentru orice s′ ∈ S \ s, deci σs| E

Res= 1| E

Res.

Demonstram ca σ2s = 1.

σ2s(es) = σs(σs(es)) = σs(−es) = es

si cum σs| ERes

= 1| ERes

rezulta ca σ2s | E

Res= 1| E

Res, deci σ2

s = 1 pentru orice s ∈ S.Fie s 6= s′ din S. Notam m = ms,s′ si Φ = σsσs′ . Atunci

Φ(es) = σs(σs′(es)) = σs

(es + 2 cos

π

m

)= −es + 2 cos

π

m

(e′s + 2 cos

π

mes

)deci

Φ(es) =(4 cos2

π

m− 1

)es + 2 cos

π

mes′

5

Φ(e′s) = σs(σs′(es′)) = σs(−es′) = −es′ − 2 cosπ

mes.

Atunci putem restrictiona Φ la un endomorfism ϕ : Res

⊕Res′ → Res

⊕Res′ . Notam cu A

matricea asociata endomorfismului ϕ ın baza es, es′:

A =

4 cos2 πm − 1 −2 cos π

m

2 cos πm −1

,

trA = 4 cos2π

m− 2 = 2

(2 cos2

π

m− 1

)= 2 cos

2π

m

det A = −4 cos2π

m+ 1 + 4 cos2

π

m= 1

Polinomul caracteristic este deci:

PA = X2 − 2 cos2π

mX + 1

Tinand cont ca 2 cos x = eix + e−ix, obtinem:

X2 − 2 cos2π

mX + 1 =

(X − e

2π√−1

m

) (X − e

−2π√−1

m

)Daca 2 < m < ∞, atunci 1+ϕ+ϕ2+. . .+ϕm−1 = 0. Cum Pϕ(ϕ) = 0, rezulta ca ϕ = e

2πim 1Res

⊕Res′

sau ϕ = e−2πim 1Res

⊕Res′

.Daca ϕ = e

2πim 1Res

⊕Res′

, atunci ϕ2 = e2πim ·21Res

⊕Res′

, si, prin inductie, se demonstreaza caϕm−1 = e

2πim ·(m−1)1Res

⊕Res′

. Atunci

1 + ϕ + ϕ2 + . . . + ϕm−1 =e

2πim ·m − 1e

2πim − 1

1Res

⊕Res′

=(cos(2π) + i sin(2π))− 1

e2πim − 1

1Res

⊕Res′

deci1 + ϕ + ϕ2 + . . . + ϕm−1 = 0.

Analog, pentru ϕ = e−2πim 1Res

⊕Res′

, se demonstreaza ca 1 + ϕ + ϕ2 + . . . + ϕm−1 = 0.Daca m = 2, atunci Pϕ(ϕ) = 0, de unde obtinem ca ϕ2 + 2ϕ + 1 = 0, adica ϕ = −1.Deoarece Φ| E

Res⊕

Res′

= 1| ERes

⊕Re

s′, rezulta ca Φ : E → E are ordinul m daca m < ∞.

Daca m = ∞, atunci ϕ 6= 1 si ϕ− 1 6= 0, deci (ϕ− 1)2 6= 0 si ϕ are ordin infinit, prin urmare Φare ordin infinit.

Exista un unic morfism σ : W → GL(E), astfel ıncat σ(s) = σs si ordinul lui ss′ este ms,s′

pentru s 6= s′, s, s′ ∈ S.

Corolar 1.2.10. Fie s1 6= s2 ın S. Pentru un numar ıntreg k ≥ 0 definim 1k = s1s2s1 . . . (kfactori) si 2k = s2s1s2 . . . (k factori).

1. Presupunem ca m = ms1,s2 < ∞. Atunci < s1, s2 > este format din elementele 1k, 2k,k = 0, 1, 2, . . . ,m; aceste elemente sunt distincte, cu exceptia cazurilor 10 = 20, 1m = 2m.Pentru 0 ≤ k ≤ m avem `(1k) = `(2k) = k.

6

2. Presupunem ca m = ms1,s2 = ∞. Atunci < s1, s2 > este format din elementele 1k, 2k,k = 0, 1, 2, . . . ,m; aceste elemente sunt distincte, cu exceptia cazului 10 = 20. Pentru k ≥ 0avem `(1k) = `(2k) = k.

Identificam S cu o submultime a lui W si o numim multimea simetriilor simple. Fie

T =⋃

w∈W

wSw−1 ⊂ W.

Propozitia 1.2.11. Fie R = 1,−1 × T . Pentru s ∈ S definim Us : R → R astfel

Us(ε, t) = (ε(−1)δs,t , sts)

unde ε = ±1 si δ este simbolul lui Kronecker. Atunci exista un unic morfism U de la W la grupulpermutarilor pe R astfel ıncat U(s) = Us, pentru orice s ∈ S.

Demonstratie. Trebuie sa demonstram ca U2s = 1R si (UsUs′)

ms,s′ = 1R pentru orice s, s′ ∈ S, s 6=s′.

AvemU2

s (ε, t) = Us(Us(ε, t)) = Us

(ε(−1)δs,t , sts

)=

(ε(−1)δs,t+δs,sts , s2ts2

).

Observam ca

δs,sts =

1, s = sts0, s 6= sts

=

1, s = t0, s 6= t

= δs,t

rezulta ca U2s (ε, t) =

(ε(−1)2δs,t , t

)= (ε, t), deci U2

s = 1R.Fie s, s′ ∈ S, s 6= s′ cu m = ms,s′ < ∞. Atunci

UsUs′(ε, t) = Us

(ε(−1)δs′,t , s′ts′

)=

(ε(−1)δs′,t+δs,s′ts′ , ss′ts′s

)si, deci

(UsUs′)m (ε, t) = (ε(−1)r, (ss′)mt(s′s)m) = (ε(−1)r, t)

under = δs′,t + δs,s′ts′ + δs′,ss′ts′s + δs,s′ss′ts′ss′ + . . .

Observam ca

δs,s′ts′ =

1, s = s′ts′

0, s 6= s′ts′=

1, s′ss′ = t0, s′ss′ 6= t

= δs′ss′,t

decir = δs′,t + δs′ss′,t + δs′ss′ss′,t + . . .

Ambele sume din r au 2m termeni. Este suficient sa demonstram ca r este par sau ca t aparede un numar par de ori ın termenul 2m al sirului s′, s′ss′, s′ss′ss′, . . .. Acest lucru rezulta dinfaptul ca al k−lea termen este egal cu termenul k + m al sirului ((ss′)m = 1) , 1 ≤ k ≤ m. Deci(UsUs′)

m = 1R.

Propozitia 1.2.12. Fie w ∈ W si w = s1s2 . . . sq o expresie redusa. Atunci au loc afirmatiile:

(i) Elementele s1, s1s2s1, s1s2s3s2s1, . . . , s1s2 . . . sq . . . s2s1 sunt distincte.

7

(ii) Aceste elemente formeaza o submultime a lui T care depinde numai de w si nu depinde dealegerea expresiei reduse pentru w.

Demonstratie. (i) Presupunem prin absurd ca elementele nu sunt distincte, deci exista 1 ≤ i < j ≤ qastfel ıncat

s1s2 . . . si . . . s2s1 = s1s2 . . . sj . . . s2s1

prin urmaresi = si+1si+2 . . . sj . . . si+2si+1.

Atunci w se poate scrie

w = s1s2 . . . sq = s1 . . . si−1si+1si+2 . . . sj . . . si+2si+1si+1 . . . sjsj+1 . . . sq =

= s1 . . . si−1si+1 . . . sj−1sj+1 . . . sq

deci `(w) 5 −2 < q. Prin urmare q nu este minim, contradictie.(ii) Fie (ε, t) ∈ R. Atunci

U(w−1)(ε, t) = Uw−1(ε, t) = (ε(−1)δw−1,t , w−1tw).

Notam η(w, t) = (−1)δw−1,t = ±1. Atunci

Uw−1(ε, t) = (εη(w, t), w−1tw).

Pe de alta parte, tinand cont ca U este morfism, avem

U(w−1)(ε, t) = Usq...s2s1(ε, t) = Usq. . . Us2Us1(ε, t) =

= (ε(−1)δs1,t+δs2,s1ts1+δs3,s2s1ts1s2+...+δsq,sq−1...s1ts1...sq−1 , w−1tw) =

= (ε(−1)δs1,t+δs1s2s1,t+δs1s2s3s2s1,t+...+δs1...sq−1sqsq−1...s1,t , w−1tw)

deciη(w, t) = (−1)δs1,t+δs1s2s1,t+δs1s2s3s2s1,t+...+δs1...sq−1sqsq−1...s1,t

Din (i), s1, s1s2s1, s1s2s3s2s1, . . . , s1s2 . . . sq . . . s2s1 sunt distincte. Atunci suma

δs1,t + δs1s2s1,t + δs1s2s3s2s1,t + . . . + δs1...sq−1sqsq−1...s1,t = 1

daca t ∈ s1, s1s2s1, s1s2s3s2s1, . . . , s1s2 . . . sq . . . s2s1 si este 0 daca t nu apartine acestei multimi.Atunci, submultimea din (ii) este

t ∈ T | η(w, t) = −1 ⊂ T.

care nu depinde de alegerea expresiei reduse pentru w.

Propozitia 1.2.13. (Proprietatea de schimb) Fie w ∈ W si s ∈ S astfel ıncat `(sw) = `(w)−1.Fie w = s1s2 . . . sq o expresie redusa. Atunci exista 1 ≤ j ≤ q astfel ıncat

ss1s2 . . . sj−1 = s1s2 . . . sj .

Atuncisw = s1 . . . sj . . . sq

unde ˆ semnifica lipsa factorului respectiv.

8

Demonstratie. Fie w′ = sw si w′ = s′1s′2 . . . s′q−1 o expresie redusa. Atunci w = sw′ = ss′1s

′2 . . . s′q−1

este o alta expresie redusa pentru w. Din propozitia anterioara (ii), sirurile cu q termeni

s1, s1s2s1, . . . , s1 . . . sq . . . s1 si s, ss′1s, . . . , ss′1 . . . s′q−1 . . . s′1s

coincid pana la ordinea termenilor. Deci exista un j, 1 ≤ j ≤ q astfel ıncat

s = s1s2 . . . sj . . . s2s1

de unde rezulta cass1s2 . . . sj−1 = s1s2 . . . sj .

Corolar 1.2.14. (Proprietatea de stergere) Daca w = s1 . . . sn cu n > `(w) atunci exista i < jastfel ıncat

w = s1 . . . si . . . sj . . . sn.

Prin urmare, o expresie redusa poate fi obtinuta prin stergerea unui numar par de termeni si,si ∈ S.

Demonstratie. Pentru ınceput, demonstram ca exista un indice j, 1 ≤ j ≤ n astfel ıncat

`(s1 . . . sj) < `(s1 . . . sj−1).

Presupunem prin absurd ca nu exista un astfel de indice, deci, pentru orice 1 ≤ j ≤ n `(s1 . . . sj−1) <`(s1 . . . sj). Pentru j = 1, obtinem 0 = `(1) < `(s1) = 1 ceea ce este adevarat. Atunci `(s1) =`(1) + 1. Pentru j = 2, obtinem `(s1) < `(s1s2) si `(s1s2) = `(s1) + 1 = 2. Presupunem ca`(s1 . . . sn−1) = n− 1 si demonstram ca `(w) = n.

Cum `(s1 . . . sn−1) < `(s1 . . . sn), rezulta ca `(s1 . . . sn) = `(s1 . . . sn−1) + 1 = n− 1 + 1 = n.Dar, din ipoteza, avem `(w) < n, contradictie. Prin urmare, exista 1 ≤ j ≤ n astfel ıncat

`(s1 . . . sj) < `(s1 . . . sj−1). Atunci, cum

`((s1 . . . sj)sj) = `(s1 . . . sj−1) > `(s1 . . . sj),

din Propozitia 1.2.13 avem ca exista 1 ≤ i ≤ j astfel ıncat

s1 . . . sj−1 = (s1 . . . sj)sj = s1 . . . si . . . sj−1.

Teorema 1.2.15. Fie W un grup generat de o multime finita S cu prorietatea ca pentru orices ∈ S, s2 = 1. Daca W satisface proprietatea de stergere, atunci (W,S) este un grup Coxeter.

Demonstratie. Demonstram ca toate relatiile din W pot fi deduse din relatii tip Coxeter ((st)ms,t =1, s, t ∈ S).

Fie s1 . . . sn = 1, si ∈ S, 1 ≤ i ≤ n o relatie din W . Demonstram prin inductie dupa n caaceasta relatie poate fi dedusa din relatii tip Coxeter.

Pentru ınceput, demonstram ca n trebuie sa fie par pentru a avea loc o astfel de relatie. Fiefunctia ε : W → Z2, ε(s1 . . . sn) = (−1)n. Utilizam conditia de stergere pentru a demonstra cafunctia ε este bine definita.

9

Intr-adevar, dacas1 . . . sm = t1 . . . tn

si, tj ∈ S, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n si m < n. Atunci t1 . . . tn nu este expresie redusa si atunci, dinconditia de stergere avem ca exista i < j astfel ıncat

t1 . . . tn = t1 . . . ti . . . tj . . . tn.

Deci numarul de termeni din expresie este mai mic, ınsa are aceeasi paritate cu n. Cum ε(1) = 1,rezulta ca n trebuie sa fie par.

Daca n = 2, conditia s1s2 = 1 conduce la s1 = s2, deoarece s2i = 1 pentru orice si ∈ S. Obtinem

deci ca s21 = 1 care este o relatie de tip Coxeter.

Presupunem adevarat ca orice relatie cu mai putin de n termeni poate fi dedusa dintr-o relatiede tip Coxeter si demonstram ca acest lucru este adevarat si pentru o relatie cu n termeni.

Observam ca, dacas1 . . . sn = 1 (∗)

cu n = 2m, m > 1, atunci

s1s2 . . . si−1si = snsn−1 . . . si+1 (∗∗)

deoarece elementele s ∈ S sunt de ordin 2 si ınmultim relatia (∗) la dreapta cu snsn−1 . . . si+2si+1.Inmultind apoi relatia (∗∗) cu sisi+1 . . . s2s1 obtinem

1 = sisi−1 . . . s2s1snsn−1 . . . si+1

sausi+1 . . . sn−1sns1s2 . . . si−1si = 1

Atunci, dintr-o relatie s1s2 . . . sn = 1 cu n = 2m avem relatia

s1s2 . . . sm+1 = sn . . . sm+2.

Lungimea expresiei din partea dreapta este cel mult egala cu m − 1 astfel ca expresia din parteastanga nu este redusa. Atunci, din proprietatea de stergere, exista 1 ≤ i < j ≤ m + 1 astfel ıncat

s1 . . . sm+1 = s1 . . . si . . . sj . . . sm+1

decis1 . . . si−1sisi+1 . . . sj−1sjsj+1 . . . sm+1 = s1 . . . si−1si+1 . . . sj−1sj+1 . . . sm+1

sisisi+1 . . . sj−1sj = si+1 . . . sj−1

relatie care se mai poate scrie sub forma

si+1 . . . sj−1sj = sisi+1 . . . sj−1.

Inmultind la dreapta cu sj . . . si+1 obtinem

sisi+1 . . . sj−1sjsj−1 . . . si+1 = 1.

10

Cazul I: Presupunem ca aceasta expresie are mai putin de n termeni. Atunci, din ipotezade inductie avem ca aceasta relatie poate fi dedusa din relatii de tip Coxeter. In acest caz,si+1 . . . sj = si . . . sj−1 poate fi dedusa din relatii tip Coxeter. Inlocuind si+1 . . . sj cu si . . . sj−1 ın(∗) obtinem

1 = s1 . . . si−1si(si . . . sj−1)sj=1 . . . sn

deci1 = s1 . . . si . . . sj . . . sn.

Cum aceasta expresie are mai putin de n termeni, din ipoteza de inductie obtinem ca relatia poatefi dedusa din relatii de tip Coxeter.

Deci, ın primul caz, presupunand adevarata relatia s1 . . . sn = 1 obtinem ca relatiile

si+1 . . . sj = si . . . sj−1

sis1 . . . si . . . sj . . . sn = 1

pot fi deduse din relatii de tip Coxeter.

Cazul al II-lea: Daca sisi+1 . . . sj−1sjsj−1 . . . si+1 = 1 are tot n termeni. Acest lucru esteposibil pentru i = 1 si j = m + 1. Atunci relatia este

s2 . . . sm+1 = s1 . . . sm.

Relatia (∗) devines2 . . . sn = s1

sis2 . . . sns1 = 1

Ca si anterior, obtinems2 . . . sm+2 = s1sn . . . sm+3

Cum lungimea expresiei din partea dreapta este cel mult egala cu m−1, atunci expresia din parteastanga nu este redusa si putem aplica proprietatea de stergere. Deci exista 2 ≤ i < j ≤ m+2 astfelıncat

s2 . . . sm+2 = s2 . . . si . . . sj . . . sm+2.

Ca si anterior, obtinemsi . . . sj−1sjsj−1 . . . si+1 = 1

Daca relatia are mai putin de n termeni, atunci putem aplica ipoteza de inductie (cazul I). Dacarelatia are n termeni, atunci continuam. Acest caz este posibil daca i = 2 si j = m + 2, decis3 . . . sm+2 = s2 . . . sm+1. Relatia poate fi rescrisa astfel

s3(s2 . . . sm+1)sm+2sm+1 . . . s4 = 1.

Partea stanga are n termeni. Putem reduce relatia anterioara la o relatie cu mai putin termenidaca nu avem cazul

s2 . . . sm+1 = s3s2s3 . . . sm.

11

Tinand cont si de relatia anterioara,

s2 . . . sm+1 = s1 . . . sm

obtinem s1 = s3. Deci, daca s1 6= s3, relatia poate fi redusa la o expresie cu mai putin de n termeni.Prin permutari ciclice ale relatiei (∗) sub forma

sisi+1 . . . sns1s2 . . . si−1 = 1

putem reduce expresia (∗) la o relatie cu mai putin de n termeni daca s2 6= s4 sau daca s3 6= s5 siasa mai departe. In concluzie, pentru

s1 = s3 = s5 = . . . si s2 = s4 = s6 = . . .

expresia obtinuta va avea tot n termeni. Dar, ın acest caz, relatia (∗) devine

s1s2s1s2 . . . s1s2 = 1

care este o relatie de tip Coxeter.

Fie X multimea tuturor sirurilor (s1, s2, . . . , sq) din W astfel ıncat s1s2 . . . sq este o expresieredusa ın W :

X = (s1, s2, . . . , sq) |s1s2 . . . sq ∈ W este expresie redusa.

X poate fi privita ca multimea varfurilor unui graf ın care (s1, s2, . . . , sq) si (s′1, s′2, . . . , s

′p) sunt

unite printr-o muchie daca unul poate fi obtinut din celalalt ınlocuind m componente consecutivede forma s, s′, s, s′, . . . cu m componente s′, s, s′, s, . . . unde s 6= s′, s, s′ ∈ S si m = ms,s′ < ∞.

Exemplu 1.2.16. Considerand primul exemplu din 1.2.3, observam ca expresiile reduse(4, 5)(3, 4)(2, 3)(1, 2)(3, 4)(2, 3)(4, 5) si (4, 5)(3, 4)(2, 3)(3, 4)(1, 2)(4, 5)(2, 3) sunt ın aceeasi compo-nenta conexa.

Notam faptul ca (s1, s2, . . . , sq) si (s′1, s′2, . . . , s

′p) sunt ın aceeasi componenta conexa din X cu

(s1, s2, . . . , sq) ∼ (s′1, s′2, . . . , s

′p)

Daca (s1, s2, . . . , sq) ∼ (s′1, s′2, . . . , s

′p), atunci q = p si s1s2 . . . sq = s′1s

′2 . . . s′p ın W .

Teorema 1.2.17. (Matsumoto, Tits) Fie s = (s1, s2, . . . , sq), s’ = (s′1, s′2, . . . , s

′q) ın X astfel ıncat

s1s2 . . . sq = s′1s′2 . . . s′q = w ∈ W . Atunci s ∼ s’.

Demonstratie. Fie C componenta conexa a lui X care contine s si C ′ componenta conexa a lui Xcare contine s’. Avem de demonstrat ca C = C ′.

Fie 1 ≤ i ≤ q. Alegem

s(i) = (. . . , s′1, s1, s′1, s1, s2, s3, . . . , si)

un sir cu q elemente ın S si notam

s(i) = . . . s′1s1s′1s1s2s3 . . . si

12

produsul elementelor sirului s(i).Fie C(i) componenta conexa a grafului X care contine s(i). Atunci s = s(q) si deci C = C(q).Demonstram teorema prin inductie dupa q.Daca q = 0, rezulta ca 1 = 1, adevarat.Pentru q = 1, avem s1 = s′1 ∈ W , deci (s1) ∼ (s′1).Fie q ≥ 2 si presupunem afirmatia adevarata pentru q − 1. Pentru ınceput demonstram

urmatoarea afirmatie:(A) In ipotezele teoremei avem sau s ∼ s’ sau

(a) s1s2 . . . sq = s′1s1s2 . . . sq−1 si (s′1, s1, s2, . . . , sq−1) ∼ (s′1, s′2, . . . , s

′q).

Intr-adevar, avem `(s′1w) = `(w)− 1. Atunci, conform Propozitiei 1.2.13, exista 1 ≤ i ≤ q astfelıncat s′1s1s2 . . . si−1 = s1s2 . . . si. Deci

w = s1s2 . . . si . . . sq = s′1s1s2 . . . si−1si+1 . . . sq

In particular, (s′1, s1, s2, . . . , si−1, si+1, . . . , sq) ∈ X. Dar s1s2 . . . sq = s′1s′2 . . . s′q. Atunci avem

s′1s1s2 . . . si−1si+1 . . . sq = s′1s′2 . . . s′q. Din ipoteza de inductie, rezulta ca

(s1, s2, . . . , si−1, si+1, . . . , sq) ∼ (s′2, s′3, . . . , s

′q).

Atunci(b) (s′1, s1, s2, . . . , si−1, si+1, . . . , sq) ∼ (s′1, s

′2, s

′3, . . . , s

′q).

Presupunem, pentru ınceput, ca i < q. Atunci, din faptul ca

s′1s1s2 . . . si−1si+1 . . . sq−1 = s1s2 . . . sq−1,

si, din ipoteza de inductie, deducem ca

(s′1, s1, s2, . . . , si−1, si+1, . . . , sq−1) ∼ (s1, s2, . . . , sq−1)

deci(s′1, s1, s2, . . . , si−1, si+1, . . . , sq) ∼ (s1, s2, . . . , sq−1, sq)

si atunci(s′1, s1, s2, . . . , si−1, si+1, . . . , sq−1, sq) ∈ C.

Cu relatia (b) obtinem (s′1, s′2, s

′3, . . . , s

′q) ∈ C si rezulta ca C ′ ⊂ C. Tot din (b) obtinem ca C ⊂ C ′,

deci C = C ′.Presupunem i = q astfel ıncat s1s2 . . . sq = s′1s1s2 . . . sq−1. Atunci, din (b), rezulta ca

(s′1, s1, s2, . . . , sq−1) ∼ (s′1, s′2, . . . , s

′q).

Am demonstrat, deci ca afirmatia (A) este adevarata.Pentru 0 ≤ p ≤ q − 1, demonstram urmatoarea generalizare a afirmatiei (A):

(A′p) In ipotezele teoremei, avem C = C ′ sau pentru q − p− 1 ≤ i ≤ p

avem s(i) = w, Ci = C daca i− q ∈ 2Z sau Ci = C ′ daca i− q /∈ 2Z.

13

Demonstram aceasta afirmatie prin inductie.Pentru p = 0, afirmatia este identica cu afirmatia (A).Fie p > 0 si presupunem afirmatia A′

p−1 adevarata. Daca C = C ′, am terminat. Din faptul ca(A′

p−1) este adevarata rezulta ca: pentru q − p ≤ i ≤ q avem s(i) ∈ X, s(i) = w, Ci = C dacai− q ∈ 2Z si Ci = C ′ daca i− q /∈ 2Z.

Aplicand afirmatia (A) pentru s(q−p), s(q−p+1) (ın locul s, s’) obtinem ca sau Cq−p = Cq−p+1

sau s(q − p), s(q − p + 1) ∈ X, s(q − p) = s(q − p + 1) si Cq−p−1 = Cq−p+1. In ambele cazuri,observam ca (A′

p) are loc. Deci afirmatia (A′p) este adevarata. In particular, afirmatia (A′

q−2) esteadevarata, ceea ce ınseamna ca, fie C = C ′, fie

(c) pentru 1 ≤ i ≤ q avem s(i) ∈ X, s(i) = w, Ci = C daca i− q ∈ 2Z, Ci = C ′

daca i− q /∈ 2Z.

Daca C = C ′ teorema este demonstrata.Presupunem ca afirmatia (c) este adevarata. In particular,

(d) s(2) ∈ X, s(1) ∈ X, s(2) = s(1).

Din s(1) ∈ X si q ≥ 2 rezulta ca s’ 6= s si ca q ≤ m = ms,s′ . Din s(2) = s(1) rezulta cas2 ∈< s1, s

′1 >. Atunci s2 = s1 sau s2 = s′1. Dar s(2) 6= s(1) deoarece s(2) ∈ X, deci s2 = s′1.

Observam cas2 = (. . . , s′1, s1, s

′1, s1, s

′1) (numarul termenilor este q, q ≤ m).

Deoarece s(2) = s(1), rezulta ca q = m, deci s(2) ∼ s(1) si C2 = C1. Din (c), pentru niste permutaria, b a elementelor 1, 2, avem Ca = C, Cb = C ′. Deoarece Ca = Cb, rezulta ca C = C ′.

Propozitia 1.2.18. Fie w ∈ W si fie s, t ∈ S astfel ıncat `(swt) = `(w), `(sw) = `(wt). Atuncisw = wt.

Demonstratie. Fie w = s1s2 . . . sq o expresie redusa, `(w) = q si `(wt) = q + 1. Atunci s1s2 . . . sqteste o expresie redusa pentru wt. Din ipoteza, avem ca `(swt) = `(w), si deci `(swt) = `(wt) − 1.Din Propozitia 1.2.13 rezulta ca exista 1 ≤ i ≤ q astfel ıncat ss1s2 . . . si−1 = s1s2 . . . si daca i < qsau ss1s2 . . . sq = s1s2 . . . sqt daca i = q. Daca are loc a doua afirmatie, demonstratia este ıncheiata.Daca exista 1 ≤ i ≤ q astfel ıncat ss1s2 . . . si−1 = s1s2 . . . si, atunci

sw = ss1 . . . si−1 . . . sq = s1 . . . sisisi+1 . . . sq = s1 . . . si−1si+1 . . . sq

deci `(sw) ≤ q − 1. Dar `(sw) = `(wt) = q + 1, contradictie.Presupunem ca `(wt) = q − 1. Fie w′ = wt. Atunci

`(sw′t) = `(swtt) = `(sw) = `(wt) = `(w′).

`(sw′) = `(swt) = `(w) = `(wtt) = `(w′t).

Dar `(w′t) = `(w′)+1 si, aplicand prima parte a demonstratiei, obtinem sw′ = w′t, adica swt = wtt,deci sw = wt.

14

Putem privi S ca multimea varfurilor unui graf ın care s, s′ sunt unite daca ms,s′ > 2.

Definitia 1.2.19. W se numeste ireductibil daca acest graf este conex.

In general, W este un produs de grupuri Coxeter ireductibile corespunzatoare componentelorconexe ale multimii S.

1.3 Subgrupuri parabolice si centrul unui grup Coxeter

Lema 1.3.1. Fie w ∈ W . Presupunem ca w = s1s2 . . . sq cu si ∈ S, 1 ≤ i ≤ q. Exista un subsiri1 < i2 < . . . < ir al sirului 1, 2, . . . , q astfel ıncat w = si1si2 . . . sir

sa fie expresie redusa ın W .

Demonstratie. Demonstram prin inductie dupa q.Daca q = 0, atunci w = 1 si lema este adevarata.Fie q > 0. Din ipoteza de inductie putem presupune ca s2s3 . . . sq este o expresie redusa. Daca

s1s2 . . . sq este o expresie redusa pentru w, atunci am terminat.Presupunem ca s1s2 . . . sq nu este o expresie redusa pentru w. Atunci `(w) ≤ q − 1. Din

Propozitia 1.2.13 rezulta ca exista 2 ≤ j ≤ q astfel ıncat s1s2 . . . sj−1 = s2s3 . . . sj . In acest caz, wse poate scrie

w = s1s2 . . . sj−1sj . . . sq = s2s3 . . . sj−1sjsjsj+1 . . . sq

deciw = s2s3 . . . sj−1sj+1 . . . sq.

Am demonstrat ca exista 2 < 3 < . . . < j−1 < j+1 < . . . < q astfel ıncat w = s2s3 . . . sj−1sj+1 . . . sq

este o expresie redusa, `(w) = q − 2.

Fie w ∈ W , w = s1s2 . . . sq o expresie redusa a lui w. Din Propozitia 1.2.12 rezulta ca multimea

Sw = s ∈ S | s = si, 1 ≤ i ≤ q

este independenta de alegerea expresiei reduse.Fie I ⊂ S si WI =< I >. Daca w ∈ WI , atunci putem gasi o expresie redusa w = s1s2 . . . sq

ın W cu si ∈ I, 1 ≤ i ≤ q. Pentru aceasta, putem presupune ca w = s1s2 . . . sq nu este oexpresie redusa, si ∈ T , 1 ≤ i ≤ q si, din Lema 1.3.1 rezulta ca exista i1 < i2 < . . . ir astfel ıncatw = si1si2 . . . sir

este expresie redusa, sij∈ I, 1 ≤ j ≤ r. Atunci Sw ⊂ I.

Reciproc, fie w′ ∈ W astfel ıncat Sw′ ⊂ I. Atunci w′ ∈ WI . Rezulta ca

WI = w ∈ W | Sw ⊂ I.

Inlocuind S, (ms,s′)(s,s′)∈S×S cu I, (ms,s′)(s,s′)∈I×I ın definitia lui W , obtinem un grup Coxeter,notat W ∗

I . Atunci f : W ∗I → WI , f(s) = s pentru orice s ∈ I, este morfism.

Propozitia 1.3.2. f : W ∗I → WI este izomorfism.

Demonstratie. Definim f ′ : WI → W ∗I astfel: pentru w ∈ WI alegem o expresie redusa w =

s1s2 . . . sq ın W ; atunci si ∈ I, 1 ≤ i ≤ q si f ′(w) = s1s2 . . . sq, (produs din W ∗I ). Aceasta aplicatie

este bine definita.

15

Intr-adevar, fie s′1s′2 . . . s′q o alta expresie redusa pentru w. Atunci (s1, s2, . . . , sq) si (s′1, s

′2, . . . , s

′q)

se afla ın aceeasi componenta conexa si putem trece de la (s1, s2, . . . , sq) la (s′1, s′2, . . . , s

′q) de-a lun-

gul muchiilor grafului X. Dar fiecare muchie implicata ın aceasta deplasare afecteaza ın mod necesarnumai perechi (s, s′) din I. Atunci ecuatia

s1s2 . . . sq = s′1s′2 . . . s′q

trebuie sa aiba solutie ın W ∗I .

Fie w ∈ WI . Atunci ff ′(w) = f(s1)f(s2) . . . f(sq) = s1s2 . . . sq = w, deci ff ′ = idWIsi rezulta

ca f ′ este injectiv.Demonstram ca f ′ este morfism de grupuri. Pentru aceasta, este suficient sa demonstram ca

f ′(sw) = f ′(s)f ′(w) pentru orice s ∈ I si w ∈ WI .Daca `(sw) = `(w)+1 (ın W ), atunci fie w = s1s2 . . . sq o expresie redusa pentru w ın W si notam

w′ = sw. Atunci ss1s2 . . . sq este o expresie redusa pentru w′ ın W si deci f ′(w′) = ss1s2 . . . sq.Dar f ′(s) = s si f ′(w) = s1s2 . . . sq. Atunci rezulta ca f ′(w′) = f ′(s)f ′(w).

Daca `(sw) = `(w)−1 (ın W ), atunci consideram w = s1s2 . . . sq o expresie redusa ın W . Rezultaca si ∈ WI , 1 ≤ i ≤ q. Din propozitia 1.2.13 avem ca exista 1 ≤ i ≤ q astfel ıncat ss1s2 . . . si−1 =s1s2 . . . si. Atunci sw = ss1s2 . . . si−1si+1...sq

si w = s1s2 . . . sq = ss1s2 . . . si−1si+1 . . . sq este oexpresie redusa pentru w ın W si f ′(w) = ss1s2 . . . si−1si+1 . . . sq (produs ın W ∗

I ). Dar f ′(w) =s1s2 . . . sq (produs ın W ∗

I ) si f ′ este injectiv. Rezulta ca

s1s2 . . . sq = ss1s2 . . . si−1si+1 . . . sq ın W ∗I .

Inmultind cu s obtinemss1s2 . . . sq = s1s2 . . . si−1si+1 . . . sq

adica f ′(s)f ′(w) = f ′(sw).Deoarece Im f ′ contine generatorii s ∈ I ai grupului W ∗

I si f ′ este morfism de grupuri rezultaca f ′ este surjectiv.

Deci f ′ este izomorfism. Deoarece ff ′ = idWIrezulta ca f este bijectiva. Deci f este izomorfism.

Identificam W ∗I cu WI via f . Atunci WI este un grup Coxeter.

Observatia 1.3.3. Fie I ⊆ S si WI grupul Coxeter corespunzator. Fie `I : WI → N functialungime asociata acestui grup. Atunci `I(w) = `(w) pentru orice w ∈ WI .

Demonstratie. Fie w ∈ WI si w = s1s2 . . . sq o expresie redusa pentru w ın W . Atunci si ∈ Ipentru orice 1 ≤ i ≤ q. Atunci `I(w) ≤ `(w). Inegalitatea inversa, `(w) ≤ `I(w), este evidenta.atunci `I(w) = `(w).

Lema 1.3.4. Fie (W,S) un grup Coxeter, I o submultime a lui S si WIa o clasa de echivalenta(coset) ın W .

(a) Acest coset are un unic element,w, de lungime minima.

(b) Daca y ∈ WI , atunci `(yw) = `(y) + `(w).

(c) w este caracterizat de proprietatea ca `(sw) > `(w) pentru orice s ∈ I.

16

Demonstratie. (b) Fie w un element de lungime minima ın coset. Fie w = s1 . . . sq o expresie redusa.Alegem y ∈ WI si y = s′1s

′2 . . . s′p o expresie redusa ın WI . Atunci, din Lema 1.3.1, putem elimina o

parte din factori, astfel ıncat ceea ce ramane sa fie o expresie redusa pentru yw. Factorii eliminatinu se pot afla printre ultimii q deoarece am putea gasi un element ın WIa cu lungimea strict maimica decat `(w). Putem gasi, deci, un subsir i1 < i2 < . . . ir al sirului 1, 2, . . . , p astfel ıncatyw = s′i1s

′i2

. . . s′irs1s2 . . . sq sa fie expresie redusa. Atunci y = s′1 . . . s′p = s′i1s

′i2

. . . s′ir. Deoarece

`(y) = p, rezulta ca r = p si yw = s′1s′2 . . . s′ps1s2 . . . sq este o expresie redusa pentru yw si, prin

urmare, `(yw) = p + q = `(y) + `(w), ceea ce demonstreaza (b).Pentru a demonstra (a), consideram ca w′ este un alt element de lungime minima ın WIa.

Atunci exista y ∈ WI astfel ıncat w′ = yw. Atunci, tinand cont de (b), avem

`(w) = `(w′) = `(yw) = `(y) + `(w)

deci `(y) = 0 si y = 1, deci w′ = w.(c) Din (b) avem ca `(sw) = `(s) + `(w) > `(w) pentru orice s ∈ I. Fie w′ ∈ WIa un element

astfel ıncat `(sw′) > `(w′) pentru orice s ∈ I. Demonstram ca w′ = w.Cum w′ ∈ WIa, exista un y ∈ WI astfel ıncat w′ = yw. Daca y 6= 1, atunci exista un s ın I

astfel ıncat `(y) = `(sy) + 1. Din (b), obtinem ca

`(w′) = `(yw) = `(y) + `(w) = `(sy) + `(w) + 1 = `(syw) + 1 = `(sw′) + 1

Am gasit un s ∈ I astfel ıncat `(w′) > `(sw′), contradictie cu presupunerea facuta.Deci y = 1 si w′ = w.

Lema 1.3.5. Fie (W,S) un grup Coxeter, I o submultime a lui S si WIa un coset ın W .

(a) Daca WI este finit, atunci acest coset are un unic element w de lungime maxima si w2 = 1.Daca WI este infinit, acest coset nu are nici un element de lungime maxima.

(b) Presupunem ca WI este finit. Daca y ∈ WI , atunci `(yw) = `(w)− `(y).

(c) Presupunem ca WI este finit. Atunci w este caracterizat de proprietatea ca `(sw) < `(w)pentru orice s ∈ I.

Demonstratie. Presupunem ca w are lungime maxima ın WIa. Demonstram ca pentru orice y ∈ WI

avem(∗) `(yw) = `(w)− `(y).

Demonstratia o facem prin inductie dupa `(y).Daca `(y) = 0, atunci y = 1 si `(yw) = `(w) = `(w)− 0.Presupunem ca `(y) = p+1 ≥ 1 si ca afirmatia este adevarata pentru orice y′ ∈ WI cu `(y) ≤ p.

Fie y = s1 . . . spsp+1 o expresie redusa. Fie y′ = s1 . . . sp, `(y′) = p. Din ipoteza de inductie avem`(y′w) = `(w)−`(y′), deci `(w) = `(y′w)+p. Atunci, putem gasi o expresie redusa a lui w de forma

w = sp . . . s2s1s′1s

′2 . . . s′q.

Cum sp+1 ∈ I, din ipoteza de inductie avem

`(sp+1w) = `(w)− 1.

17

Din Propozitia 1.2.13 stim ca exista 1 ≤ j ≤ p astfel ıncat

(1) sp+1sp . . . sj+1 = sp . . . sj+1sj

sau exista 1 ≤ i ≤ q astfel ıncat

(2) sp+1sp . . . s2s1s′1s

′2 . . . s′i−1 = sp . . . s2s1s

′1s

′2 . . . s′i−1s

′i

In primul caz rezulta ca sjsj+1 . . . sp = sj+1 . . . spsp+1 si atunci

y = s1 . . . spsp+1 = s1 . . . sjsj+1 . . . spsp+1 = s1 . . . sj−1sj+1 . . . sp

Am obtinut ca `(y) < p, contradictie.Deci suntem ın cazul al doilea. Atunci

yw = s1 . . . spsp+1sp . . . s2s1s′1 . . . s′i−1s

′i . . . s′q = s1 . . . spsp+1sp . . . s2s1s

′1 . . . s′i−1s

′is′is′i+1 . . . s′q =

= s′1s′2 . . . s′i−1s

′i+1 . . . s′q

deci`(yw) ≤ q − 1 = `(w)− p− 1 = `(w)− `(y).

Dar, din Propozitia 1.2.5, stim ca`(yw) ≤ `(w)− `(y).

Din cele doua inegalitati rezulta ca `(yw) = `(w)− `(y).Observam ca `(y) ≤ `(w) pentru orice y ∈ WI , deci ` : WI → N este marginita superior si atunci

exista y ∈ WI de lungime maxima ın WI . Aplicand (∗) lui y, WI ın loc de w, WIa observam ca

`(y) = `(y′−1 + `(y′−1y)) = `(y′) + `(y′−1y), ∀ y′ ∈ WI .

Atunci, o expresie redusa a lui y′ urmata de o expresie redusa a lui y′−1 conduce la o expresieredusa pentru y. In particular, y′ ≤ y (capitolul al doilea ). Deoarece multimea

y′ ∈ W | y′ ≤ y

este finita, rezulta ca WI este finit. Reciproc, daca WI este finit, atunci cosetul WIa are macar unelement de lungime maxima.

Fie w′ un alt element de lungime maxima ın WIa. Atunci exista y ∈ WI astfel ıncat w′ = yw.

`(w) = `(w′) = `(yw) = `(w)− `(y)

si obtinem ca `(y) = 0 si, prin urmare, y = 1 deci w′ = w.Cum

`(w2) = `(ww) = `(w)− `(w)

rezulta ca w2 = 1.Din (b) avem ca

`(tw) = `(w)− `(t) < `(w)

pentru orice t ∈ I.Fie w′ ∈ WIa astfel ıncat `(tw′) < `(w′), pentru orice t ∈ I. Demonstram ca w′ = w.

18

Cum w′ ∈ WIa, exista y ∈ WI astfel ıncat w′ = yw. Daca y 6= 1, atunci exista t ∈ I astfel ıncat`(ty) = `(y)− 1. Atunci

`(w′) = `(yw) = `(w)− `(y)

si`(tw′) = `(tyw) = `(w)− `(ty) = `(w)− `(y) + 1 = `(yw) + 1 = `(w′) + 1

deci `(w′) = `(tw′)− 1 ≤ `(tw′), contradictie cu alegerea lui w′. Deci y = 1 si w′ = w.

Corolar 1.3.6. Fie (W,S) un grup Coxeter, I ⊂ S si w ∈ WI . Atunci urmatoarele afirmatii suntechivalente:

(i) WI este finit si w este element de lungime maxima ın WI .

(ii) `(wt) < `(w), pentru orice t ∈ I.

Exemplu 1.3.7. Fie grupul Coxeter An. Acesta este un grup finit, deci admite un unic element delungime maxima. Grupul An este generat de multimea de transpozitii S = (i, i + 1) | 1 ≤ i ≤ n.Vom demonstra ca elementul de lungime maxima din acest grup este w0 = (1, n+1)(2, n)(3, n−1) . . ..Observam ca `(w0) = n(n+1)

2 . De exemplu, pentru n = 4, elementul de lungime maxima din A4

este (1, 5)(2, 4) si lungimea acestui element este 10.Pentru a demonstra ca w0 este elementul de lungime maxima, demonstram ca `(sw0) < `(w0),

pentru orice s ∈ S. Observam ca `(w0) = n(n+1)2 si, pentru orice permutare σ ∈ Sn+1, inv(σ) ≤

n(n+1)2 . Cum An este izomorf cu Sn+1 si `(σ) = inv(σ) pentru orice σ ∈ An, rezulta ca `(sw0) =

`(w0) − 1 < `(w0) pentru orice s ∈ S, deci w0 este elementul de lungime maxima, conform Lemei1.3.5.

Definitia 1.3.8. Fie (W,S) un grup Coxeter si I o submultime a lui S, WI se numeste subgrupparabolic.

Definitia 1.3.9. Fie (W,S) un grup Coxeter. O submultime I ⊂ S, se numeste submultimesferica daca subgrupul parabolic WI este finit.

Teorema 1.3.10. Fie (W,S) un grup Coxeter si fie Z(W ) centrul lui W .

1. Pentru orice w ∈ Z(W ) exista o submultime sferica I a lui S astfel ıncat w este element delungime maxima ın WI .

2. w2 = 1 pentru orice w ∈ Z(W ).

3. Z(W ) este finit.

4. Exista n ≥ 0 astfel ıncat Z(W ) ∼= (Z2)n.

Demonstratie. Fie (W,S) un grup Coxeter si fie Z(W ) centrul lui W .1. Fie w ∈ Z(W ) si fie w = s1s2 . . . sq o expresie redusa. Cum w ∈ Z(W ), atunci ws1 = s1w si

ws1 = s1w = s1(s1 . . . sq) = s2 . . . sq

Rezulta ca `(ws1) < `(w) si w = (s2 . . . sq)s1 este o expresie redusa. Deoarece w ∈ Z(W ), ws2 =s2w atunci

ws2 = s2w = s2((s2 . . . sq)s1) = (s3 . . . sq)s1

19

Atunci `(ws2) < `(w) si w = (s3 . . . sq)s1s2 este expresie redusa. Continuand astfel, obtinem`(wsi) < `(w), 1 ≤ i ≤ q. Fie I = s1, s2, . . . , sq. Din Corolarul 1.3.20 obtinem ca WI este finitsi w este element de lungime maxima.

2. Din 1. si Lema 1.3.5, obtinem w2 = 1 pentru orice w ∈ Z(w).3. Fie I o submultime sferica a lui S si fie wI elementul de lungime maxima din WI . Din 1.

rezulta caZ(W ) ⊂ wI | I submultime sferica a lui S

care este finita, deoarece S este finita. Prin urmare, Z(W ) este finit.4. Din 2. avem ca w2 = 1 pentru orice w ∈ Z(W ) si

wv = vw, ∀ v, w ∈ Z(W )

Demonstram ca exista n ≥ 0 astfel ıncat |Z(W )| = 2n.Daca |Z(W )| = 1, atunci n = 0.Presupunem ca |Z(W )| ≥ 2 si ca |Z(W )| nu este de forma 2n. Atunci exista un numar prim

p > 2 astfel ıncat p| |Z(W )|. Conform teoremei lui Cauchy, exista H ≤ Z(W ) astfel ıncat |H| = psi H =< y >, ord(y) = p, contradictie cu ipoteza. Rezulta ca exista n ≥ 0 astfel ıncat |Z(W )| = 2n

si Z(W ) ∼= (Z2)n.

Fie E un R− spatiu vectorial de baza ess∈S si fie (, ) : E × E → R o forma R−biliniarasimetrica.

(es, es′) = − cosπ

ms,s′.

Observatia 1.3.11. σ(w) : E → E pastreaza (, ), pentru orice w ∈ W .

Demonstratie. Demonstram ca afirmatia este adevarata pentru orice s ∈ S, adica

(σ(s)(es′), σ(s)(es′′)) = (es′ , es′′) = − cosπ

ms′,s′′, ∀ s′, s′′ ∈ S

(σ(s)(es′), σ(s)(es′′)) =(

es′ + 2 cosπ

ms,s′es, es′′ + 2 cos

π

ms,s′′es

)=

= (es′ , es′′) + 2 cosπ

ms,s′′(es′ , es) + 2 cos

π

ms,s′(es, es′′) + 4 cos

π

ms,s′cos

π

ms,s′′(es, es) =

= − cosπ

ms′,s′′− 2 cos

π

ms,s′′cos

π

ms′,s− 2 cos

π

ms,s′cos

π

ms,s′′− 4 cos

π

ms,s′cos

π

ms,s′′cos

π

1=

= − cosπ

ms′,s′′= (es′ , es′′)

Definitia 1.3.12. Grupul W se numeste bun daca (e, e) ≥ 0, pentru orice e ∈ E.

Observatia 1.3.13. Daca W este finit, atunci W este bun.

Definitia 1.3.14. Daca 4 cos2 πms,s′

∈ N, sau, echivalent, ms,s′ ∈ 2, 3, 4, 6,∞ pentru orice s ∈ S,atunci W se numeste ıntreg.

20

Vom studia, ın continuare, cazul ın care W este bun. Un grup bun, ireductibil poate fi de treitipuri:

a. finit, ıntreg;

b. finit, neıntreg;

c. infinit (si automat ıntreg).

1.4 Constructia grupurilor Coxeter bune

1. Pentru k ∈ Z, definim ρk : Z → Z, ρk(z) = z +k. Fie n ≥ 2 si fie W grupul tuturor permutarilorσ : Z → Z astfel ıncat σρn = ρnσ. Definim χ : W → Z, χ(σ) =

∑k∈X

(σ(k) − k), unde X este o

multime de reprezentanti pentru clasele de resturi modulo n.Din faptul ca σρn = ρnσ rezulta ca, pentru orice z ∈ Z, σρn(z) = ρnσ(z) deci

σ(z + n) = σ(z) + n, ∀ z ∈ Z.

Observam ca

σρ2n(z) = σ(z + 2n) = σ(z + n) + n = σ(z) + 2n = ρ2nσ(z) ∀z ∈ Z.

Fie m ∈ Z. Presupunem adevarat ca σρmn = ρmnσ si demonstram ca σρ(m+1)n = ρ(m+1)nσ.

σρ(m+1)n(z) = σ(z + (m + 1)n) = σ(z + mn + n) = σ(z + mn) + n = σ(z) + mn + n =

= ρ(m+1)nσ(z), ∀z ∈ Z.

Am demonstrat ca σ(z + mn) = σ(z) + mn pentru orice z ∈ Z si m ∈ Z.Demonstram ca χ nu depinde de alegerea multimii X.Fie X = x1, x2, . . . , xn si Y = y1, y2, . . . , yn doua multimi de reprezentanti pentru clasele

de resturi mod n. Fie 1 ≤ i ≤ n si 1 ≤ j ≤ n astfel ıncat yj ≡ xi mod n. Rezulta ca n|(yj − xi)siatunci exista m ∈ N astfel ıncat yj − xi = mn. Deci yj = mn + xi.

σ(yj)− yj = σ(xi + mn)− yj = σ(xi) + mn− xi −mn = σ(xi)− xi

si atunci ∑k∈X

(σ(k)− k) =∑t∈Y

(σ(t)− t)

prin urmare, χ nu depinde de alegerea multimii X.Fie k ∈ X. Cum σ este bijectiva, rezulta ca exista pk ∈ Z a.ı. k = σ(pk). Presupunem prin

absurd ca pk > n. Atunci exista q, r ∈ Z astfel ıncat pk = nq + r, 0 ≤ r < n.

k = σ(pk) = σ(nq + r) = nq + σ(r).

Cum k ∈ X rezulta ca nq = 0 si, prin urmare, pk ∈ X. Atunci

χ(σ) =∑k∈X

(σ(k)− σ(pk)).

21

Cum σ(k) ∈ Z rezulta ca existaqk, rk ∈ Z astfel ıncat σ(k) = nqk + rk, 0 ≤ rk < n.

χ(σ) =∑k∈X

(nqk + rk − σ(pk)) =∑k∈X

nqk +∑k∈X

(rk − σ(pk)) = n∑k∈X

qk

deoarece∑

k∈X

(rk − σ(pk)) = 0.

Demonstram ca χ este morfism de grupuri adica χ(σσ′) = χ(σ) + χ(σ′), ∀σ, σ′ ∈ W .Fie χ(σ) = n

∑k∈X

qk, χ(σ′) = n∑

k∈X

q′k, χ(σσ′) = n∑

k∈X

q′′k .

Fie k ∈ X, σ′(k) = nq′k + r′k, 0 ≤ r′k < n ⇒ σσ′(k) = σ(nq′k + r′k) = σ(r′k) + nq′k = nqr′k+ rr′k

+nq′k, 0 ≤ r′k < n.

χ(σσ′) = n∑k∈X

(qr′k+ q′k) = n

∑k∈X

qr′k+ n

∑k∈X

q′k = χ(σ) + χ(σ′).

Avem Im(χ) = nZ.Fie W ′ = ker(χ).

ker(χ) = σ ∈ W | χ(σ) = 0 = σ ∈ W |nq = 0 = σ ∈ W |q = 0

unde q =∑

k∈X

qk. Putem alege X astfel ıncat qk ≥ 0, rezulta ca qk = 0, deci σ(k) ∈ X, ∀k ∈ X.

Fie sm : Z → Z,

sm(z) =

z + 1, z ≡ m mod nz − 1, z ≡ m + 1 mod n

z, z ∈ Z, z 6= m mod n, z 6= m + 1 mod n

sm =(

1 2 . . . m− 1 m m + 1 m + 2 . . .1 2 . . . m− 1 m + 1 m m + 2 . . .

)Atunci sm|X = (m,m + 1) ⇒ < sm | m ∈ Z/nZ >∼= Sn

∼= ker(χ).Rezulta ca sm | m ∈ Z/nZ este sistem de generatori pentru ker(χ).Exista un grup Coxeter cu acest sistem de generatori si se numeste de tip An−1.Pentru n ≥ 3, m, m′ ∈ Z/nZ sunt unite printr-o muchie simpla ın graful Coxeter daca m−m′ ≡ 1

mod n, iar ın caz contrar nu sunt unite.Pentru n = 2, 0, 1 ∈ Z/2Z sunt unite printr-o muchie cvadrupla ın graful Coxeter:

m = 0 ⇒ s0(z) =

z + 1, z ≡ 0 mod 2z − 1, z ≡ 1 mod 2 ⇒ s0(z) =

z + 1, z ∈ 2Zz − 1, z impar

m = 1 ⇒ s1(z) =

z + 1, z ≡ 1 mod 2z − 1, z ≡ 0 mod 2 ⇒ s1(z) =

z + 1, z imparz − 1, z ∈ 2Z

Pentru orice p ∈ Z, (s0s1)p 6= 1, deci s0s1 are ordinul ∞.Se stie ca numarul de inversiuni ale unei permutari σ ∈ Sn este

inv(σ) = |(i, j) ∈ 1, 2, . . . , n × 1, 2, . . . , n | i < j, σ(i) > σ(j)|.

Observam ca

(∗) inv(σsi) =

inv(σ) + 1, daca σ(i) < σi+1

inv(σ)− 1, daca σ(i) > σi+1

unde si = (i i + 1).

22

Propozitia 1.4.1. Fie σ ∈ Sn. Atunci

`(σ) = inv(σ).

Demonstratie. Deoarece inv(e) = `(e) = 0, atunci, din (∗), rezulta ca inv(σ) ≤ `(σ).Reciproc, demonstram inegalitatea prin inductie dupa inv(σ). Daca inv(σ) = 0, atunci σ = e

si propozitia e demonstrata. Fie σ ∈ Sn astfel ıncat inv(σ) = k > 0. Atunci exista si astfel ıncatinv(σsi) = k − 1.

Presupunem ca pentru orice si, inv(σsi) = k + 1. Rezulta ca pentru orice 1 ≤ i ≤ n σ(i) <σ(i + 1) si σ = e. Rezulta ca inv(σ) = 0 6= k.

Atunci, din ipoteza de inductie, obtinem

inv(σ) = inv(σsi) + 1 ≥ `(σsi) + 1 ≥ `(σ).

Atunci functia lungime pe W ′ este

`(σ) = |Yσ|τn|

unde, pentru σ ∈ W ′

Yσ = (i, j) ∈ Z× Z | i < j, σ(i) > σ(j)

si Yσ|τn este multimea (finita) a orbitelor determinate de

τn : Yσ → Yσ, τn(i, j) = (i + n, j + n).

2. Presupunem ca n = 2p ≥ 4, unde p ∈ N. Fie W subgrupul lui W format din toate per-mutarile σ ∈ W care comuta cu involutia ϕ : Z → Z, ϕ(z) = 1 − z, adica ϕσ = σϕ, deciϕσ(z) = σϕ(z), ∀z ∈ Z:

1− σ(z) = σ(1− z), ∀z ∈ Z

Pentru X = −(p− 1), . . . ,−1, 0, 1, 2, . . . , p, calculam χ(σ), unde σ ∈ W .

χ(σ) =p∑

k=−(p−1)

(σ(k)− k) =p∑

k=1

(σ(k)− k) +p∑

k=1

(σ(1− k)− (1− k)) =

=p∑

k=1

(σ(k)− k) +p∑

k=1

(1− σ(k)− (1− k)) = 0

Deci W ≤ ker χ(σ) = (W ′). W este generat de s′0, s′1, . . . , s′p, unde

s′0 = s0, s′1 = s1s−1, s′2 = s2s−2, . . . , s′p−1 = sp−1s1−p, s′p = sp.

Exista un grup Coxeter cu acest sistem de generatori se numeste de tip Cp. Graful Coxetereste

23

q q q q qcu varfurile corespunzand punctelor 0, 1, 2, . . . , p− 1, p.

Fie σ ∈ W . Avem o partitie Yσ = Y 0σ

⋃Y 1

σ , unde

Y 0σ = (i, j) ∈ Z× Z | i < j, σ(i) > σ(j), i + j 6= 1 mod 2p

Y 1σ = (i, j) ∈ Z× Z | i < j, σ(i) > σ(j), i + j ≡ 1 mod 2p

Fie α : Yσ → Yσ, α(i, j) = (1−j, 1−i). Se observa ca α2 = 1. Demonstram ca Y 1σ este multimea

punctelor fixate de involutia α.Fie (i, j) ∈ Yσ astfel ıncat α(i, j) = (i, j). Atunci (1− j, 1− i) = (i, j), deci 1− j = i si 1− i = j

echivalent cu i + j = 1, (i, j) ∈ Y 1σ .

Fie `0(σ) =12∣∣Y 0

σ |τn

∣∣ si `1(σ) =∣∣Y 1

σ |τn

∣∣, unde `0(σ), `1(σ) ∈ Z. Atunci

|Yσ|τn| = 2`0(σ) + `1(σ).

Fie ϕ : Y 1σ → Y 1

σ , ϕ(i, j) =(i, i+j−1

2p

). Demonstram ca ϕ este bijectiva.

Fie (i, j), (i′, j′) ∈ Y 1σ astfel ıncat ϕ(i, j) = ϕ(i′, j′). Atunci i = i′ si

i + j − 12p

=i′ + j′ − 1

2p,

de unde j = j′ si deci (i, j) = (i′, j′) si ϕ este injectiva.Demonstram ca ϕ surjectiva. Fie (i′, j′) ∈ Y 1

σ . Atunci i′ + j′ ≡ 1 mod 2p si 2p | i′ + j′ − 1,i′ < j′, σ(i′) > σ(j′).

Cautam (i, j) ∈ Y 1σ astfel ıncat ϕ(i, j) = (i′, j′) daca si numai daca

(i,i + j − 1

2p) = (i′, j′)

deci i = i′ si j = 2pj′ − i′ + 1. Se demonstreaza ca (i, j) ∈ Y 1σ si deci ϕ este surjectiva.

Avem

(i, h) ∈ Z× Z | 2i < 1 + 2ph, 2σ(i) > 1 + 2ph = (i, h) ∈ Z× Z | 2i− 1 < 2ph < 2σ(i)− 1 =

=

(i, h) ∈ Z× Z | i− 12

< ph < σ(i)− 12

= (i, h) ∈ Z× Z | i ≤ ph < σ(i)

Rezulta ca

`′(σ) =p∑

i=1−p

i<σ(i)

f(i)

unde f(i) = |x ∈ pZ | 1 ≤ x < σ(i)|.

24

Fie Z ′ = 1, 2, . . . , p+ 2pZ, Z ′′ = 1− p, 2− p, . . . , 0+ 2pZ. Atunci Z = Z ′ ∐ Z ′′. Avem

`1(σ) = `′(σ) + `′′(σ)

unde

`′(σ) =0∑

i=1−p

σ(i)∈Z′′

i<σ(i)

f(i)2

+p∑

i=1σ(i)∈Z′

i<σ(i)

f(i)2

+0∑

i=1−p

σ(i)∈Z′

i<σ(i)

f(i) + 12

+p∑

i=1σ(i)∈Z′′

i<σ(i)

f(i)− 12

`′′(σ) =0∑

i=1−p

σ(i)∈Z′′

i<σ(i)

f(i)2

+p∑

i=1σ(i)∈Z′

i<σ(i)

f(i)2

+0∑

i=1−p

σ(i)∈Z′

i<σ(i)

f(i)− 12

+p∑

i=1σ(i)∈Z′′

i<σ(i)

f(i) + 12

`′(σ) si `′′(σ) sunt numere ıntregi, deoarece f(i) este par daca i, σ(i) sunt ın aceeasi multime Z ′

sau Z ′′ si este impar ın caz contrar. Deci `(σ) ın W ′ este

`(σ) = 2`0(σ) + `′(σ) + `′′(σ).

Pe de alta parte, `(σ) ın W este

`(σ) = `0(σ) + `′(σ) + `′′(σ).

`′(σ) (respectiv `′′(σ)) indica numarul de ori ın care s′0 (respectiv s′p) apare ıntr-o expresie redusaa lui σ ın W .

Definim χ′ : W → ±1 si χ′′ : W → ±1 astfel: χ′(σ) = (−1)`′(σ) si χ′′(σ) = (−1)`′′(σ).Demonstram ca χ′ si χ′′ sunt morfisme de grupuri. Fie σ, σ′ ∈ W . Trebuie sa demonstram caχ′(σσ′) = χ′(σ) · χ′(σ′), adica (−1)`′(σσ′) = (−1)`′(σ) · (−1)`′(σ′).

`′(σσ′) =

`′(σ) + `′(σ′), daca s′0 nu apare ca ultim termen ın σ

si prim termen ın σ′

`′(σ) + `′(σ′)− 2, daca s′0 este ultim termen ın σsi prim termen ın σ′

(−1)`′(σ)+`′(σ′) = (−1)`′(σ) · (−1)`′(σ′)

(−1)`′(σ)+`′(σ′)−2 = (−1)`′(σ)+`′(σ′) · (−1)−2 = (−1)`′(σ) · (−1)`′(σ′)

Rezulta ca χ′ este morfism de grupuri. Analog se demonstreaza ca χ′′ este morfism de grupuri.

3. Presupunem ca p ≥ 3 si fie W ′ = kerχ′. Acesta este subgrupul lui W generat de

s′0s′1s

′0, s′1, s′2, . . . , s

′p−1, s′p

Exista un grup Coxeter cu acest sistem de generatori si spunem ca este de tip Bp. Graful Coxeterare varfurile 1, 1, 2, . . . , (p− 1), p corespunzatoare generatorilor s′0s

′1s

′0, s′1, s′2, . . . , s

′p−1, s′p:

25

q q q q qq

4. Presupunem ca p ≥ 4 si fie W ′ = ker(χ′) ∩ ker(χ′′). Acesta este un subgrup al lui W gene- ratde

s′0s′1s

′0, s′1, s′2, . . . , s

′p−1, s′ps

′p−1s

′p.

Exista un grup Coxeter cu acest sistem de generatori si spunem ca este de tip Dp. Graful Coxeterare varfurile 1, 1, 2, . . . , (p−1), ˜p− 1 corespunzatoare generatorilor s′0s

′1s

′0, s′1, s′2, . . . , s

′p−1, s′ps

′p−1s

′p:

q q q q qq q

5. Fie p ≥ q ≥ r ≥ 1 numere ıntregi astfel ıncat

p−1 + q−1 + r−1 = 1

Atunci p, q, r sunt 3, 3, 3, sau 4, 4, 2, sau 6, 3, 2. Deci q|p si r|p. Fie graful cu varfurile(ip

p, 0, 0

)| 1 ≤ i ≤ p

⋃ (0,

ip

q, 0

)| 1 ≤ i ≤ q

⋃ (0, 0,

ip

r

)| 1 ≤ i ≤ r

unde (p, 0, 0), (0, p, 0), (0, 0, p) reprezinta acelasi varf; muchiile sunt:(

ip

p, 0, 0

) ((i + 1)p

p, 0, 0

), 1 ≤ i < p

(0,

ip

q, 0

) (0,

(i + 1)pq

, 0)

, 1 ≤ i < q(0, 0,

ip

r

) (0, 0,

(i + 1)pr

), 1 ≤ i < r

Grupul Coxeter corespunzator grafului se numeste de tip En, unde n = p + q + r − 3. Decin ∈ 6, 7, 8.

6. Fie W de tip E6 (p = q = r = 3). Fie W ′ subgrupul lui W generat de

s1,0,0, s2,0,0, s3,0,0, s0,2,0s0,0,2, s0,1,0s0,0,1.

26

Indicele unui generator al lui W este varful corespunzator ın graf. Atunci W ′ este un grup Coxetercu acesti generatori, numit de tip F4. Graful Coxeter este:

q q q q q

7. Fie W de tip D4. Generatorii pot fi notati s0, s1, s2, s3, s4, iar graful Coxeter are varfurile0, 1, 2, 3, 4:

q qq

q

q

01

2

3

4

Fie W ′ subgrupul lui W generat de s1, s0, s2s3s4. Atunci W ′ este un grup Coxeter cu acestigeneratori, numit de tip G2. Graful Coxeter este

q q q

Observatia 1.4.2. Multimea grupurilor Coxeter de tip An−1 (n ≥ 2), Dn (n ≥ 4), Cn (n ≥2), Bn (n ≥ 3), En (n ∈ 6, 7, 8), F4, G2 coincide cu multimea grupurilor Coxeter ireductibile,bune, infinite (sau grupuri afine Weyl).

Fie (W,S) un grup afin Weyl. Fie T reuniunea tuturor claselor de conjugare finite din W .

Observatia 1.4.3. T este subgrup normal, liber, abelian, finit generat al lui W , de indice finit.

Fie Smin multimea tuturor elementelor s ∈ S astfel ıncat compunerea

< S \ s >−→ W −→ W

T

este un izomorfism.

27

Observatia 1.4.4. Aceasta compunere este injectiva pentru orice s ∈ S.

Vom descrie Smin pentru fiecare din grupurile afine Weyl.Daca W este de tip An−1 avem Smin = S. Daca W este de tip Cp atunci Smin corespunde

varfurilor 1, p din graful Coxeter. Pentru W de tip Bp atunci Smin corespunde varfurilor 1, 1 dingraful Coxeter. Daca W este de tip Dp atunci Smin corespunde varfurilor 1, 1, (p − 1), ˜(p− 1) dingraful Coxeter. Pentru En atunci Smin corespunde varfurilor (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) din grafulCoxeter pentru E6, (1, 0, 0), (0, 1, 0) din graful Coxeter pentru E7 si (1, 0, 0) pentru E8. Daca Weste de tip F4 atunci Smin = s1,0,0; daca W este de tip G2 atunci Smin = s1.

Fie (W,S) un grup Coxeter. Notam AW grupul tuturor automorfismelor grupului W careinvariaza S. (Acesta este si grupul automorfismelor grafului corespunzator.)

Fie (W,S) un grup afin Weyl. Fie T ⊂ W reuniunea tuturor claselor finite de conjugare. Notamcu Ω urmatoarea multime:

Ω = a ∈ AW | ∃ w ∈ W cu a(t) = wtw−1, ∀ t ∈ T .

Observatia 1.4.5. Ω este un subgrup normal si comutativ al grupului AW .

Demonstratie. Demonstram ca Ω este subgrup normal ın AW . Fie a ∈ Ω si b ∈ AW . Avem dedemonstrat ca bab−1 ∈ Ω. Din faptul ca a ∈ Ω, rezulta ca exista w ∈ W astfel ıncat a(t) = wtw−1

pentru orice t ∈ T . Atunci

(b a b−1)(t) = b(wb−1(t)w−1) = b(w)tb(w−1) = b(w)tb(w)−1, ∀ t ∈ T

deci Ω este subgrup normal ın AW .Demonstram ca Ω este comutativ, adica pentru orice a, b ∈ Ω avem a b = b a.Din faptul ca a ∈ Ω rezulta ca exista w ∈ W astfel ıncat a(t) = wtw−1 pentru orice t ∈ T . De

asemenea, faptul ca b ∈ Ω implica existenta unui w′ ∈ W astfel ıncat b(t) = w′tw′−1 pentru oricet ∈ T .

Observatia 1.4.6. Actiunea grupului AW asupra lui W poate fi restrictionata la actiunea lui Ω peSmin care este simpla, tranzitiva.

Observatia 1.4.7. Fie (W,S) un grup afin Weyl. Fie s ∈ Smin. Atunci(WS\s, S \ s

)este un

grup Coxeter finit.

Demonstratie. Din faptul ca s ∈ Smin rezulta ca βα este izomorfism, unde < S\s >α→ W

β→ WT .

Din propozitia 1.3.2, f : W ∗S\s → WS\s este izomorfism, unde WS\s =< S \ s >. Atunci

avem urmatoarea diagrama

WS\s WW

T

W ∗S\s

-α -β

+ βαfQQQkf

si β α f este izomorfism. Cum [W : T ] < ∞, rezulta ca W ∗S\s este grup Coxeter finit.

28

Definitia 1.4.8. Un grup Coxeter finit se numeste de tip An−1 (n ≥ 2) (respectiv Cn(n ≥2), Bn(n ≥ 3), Dn(n ≥ 4), En(n = 6, 7, 8), F4, G2) daca este izomorf cu WS\s pentru W, S, s

ca ın Observatia 1.4.7, unde W este de tip An−1 (n ≥ 2) (respectiv Cn(n ≥ 2), Bn(n ≥ 3), Dn(n ≥4), En(n = 6, 7, 8), F4, G2).

Multimea tuturor grupurilor Coxeter de tip An−1 (n ≥ 2), Cn(n ≥ 2), Bn(n ≥ 3), Dn(n ≥4), En(n = 6, 7, 8), F4, G2 coincide cu multimea tuturor grupurilor Coxeter ireductibile finiteıntregi (sau grupuri Weyl) diferite de 1. Grupul W = 1, S = ∅ este considerat de asemenea grupWeyl.

Observatia 1.4.9. Tipurile Cn si Bn coincid pentru n ≥ 3.

Fie (W,S) un grup Weyl de tip E8. Fie W ′ subgrupul lui W generat de

s2,0,0s0,2,0, s3,0,0s0,4,0, s4,0,0s6,0,0, s5,0,0s0,0,3,

Indicele unui generator al lui W este varful corespunzator al grafului. Atunci W ′ este un grupCoxeter finit neıntreg, cu acesti generatori, numit de tip H4.

29

30

Capitolul 2

Ordine partiala pe W

Pe grupurile Coxeter poate fi definita o relatie de ordine partiala care va fi folosita ın capitoleleurmatoare. Aceasta relatie ne va permite ca, ın cazul a doua elemente Coxeter comparabile, sagasim o expresie redusa pentru elementul mai mic ca o subexpresie a elementului mai mare.

Fie (W,S) un grup Coxeter, y, w doua elemente ale grupului W si fie T =⋃

w∈W

wSw−1. Vom

introduce o relatie de ordine partiala pe W , urmarind pe Chevalley.

Definitia 2.1. Spunem ca y ≤ w daca exista un sir y = y0, y1, y2, . . . , yn = w ın W astfel ıncat`(yk) − `(yk−1) = 1 pentru 1 ≤ k ≤ n si yky−1

k−1 ∈ T (sau, echivalent, yk−1y−1k ∈ T , y−1

k−1yk ∈ T ,y−1

k yk−1 ∈ T ) pentru 1 ≤ k ≤ n.

Aceasta este o relatie de ordine partiala pe W .

Observatia 2.2. Daca y ≤ w, atunci y−1 ≤ w−1 si `(y) ≤ `(w).

Daca y ≤ w, y 6= w, scriem y < w.

Observatia 2.3. Fie w ∈ W , s ∈ S. Atunci

(a) sw > w daca si numai daca `(sw) = `(w) + 1.

(b) sw < w daca si numai daca `(sw) = `(w)− 1.

Demonstratie. (a) ” ⇒ ”. Din faptul ca sw > w rezulta ca exista un sir w = y0, y1, . . . , yn = swın W astfel ıncat `(yk)− `(yk−1) = 1. Dar `(sw) = `(w) + 1 sau `(sw) = `(w)− 1.

Presupunem prin absurd ca `(sw) = `(w)−1. Atunci `(sw)− `(yn−1) = 1 si `(w)− `(yn−1) = 2,deci `(w) = `(yn−1) + 2. Dar `(yn−1) = `(yn−2) + 1; rezulta ca `(w) = `(yn−2) + 3. Rationandastfel, obtinem ca `(w) = `(y1) + n. Rezulta ca `(y1) − `(w) = −n. Dar `(y1) − `(w) = 1, decin = −1, fals deoarece n > 0. Deci presupunerea facuta este falsa si `(sw) = `(w) + 1.

” ⇐ ” Deoarece `(sw) = `(w) + 1, rezulta ca `(sw) − `(w) = 1. Dar sww−1 = s ∈ T si w, sweste un sir de elemente din W , deci w < sw.

Analog se demonstreaza (b).

31

Lema 2.4. Fie w = s1s2 . . . sq o expresie redusa ın W si fie t ∈ T . Urmatoarele afirmatii suntechivalente:

(a) U(w−1)(ε, t) = (−ε, w−1tw) pentru ε = ±1;

(b) t = s1s2 . . . si . . . s2s1 pentru 1 ≤ i ≤ q;

(c) `(tw) < `(w).

Demonstratie. (a) ⇒ (b) Rezulta din demonstratia Propozitiei 1.2.12(ii)..(b) ⇒ (c) Presupunem ca exista 1 ≤ i ≤ q astfel ıncat t = s1s2 . . . si . . . s2s1. Trebuie sa

demonstram ca `(tw) < `(w) adica `(tw) < q.Avem

tw = s1s2 . . . sisi−1 . . . s2s1s1s2 . . . si−1sisi+1 . . . sq

decitw = s1s2 . . . si−1si+1 . . . sq

Prin urmare, `(tw) ≤ q − 1 < q.(c) ⇒ (a) Presupunem ca `(tw) < `(w). Verificam ca

(∗) U(t)(ε, t) = (−ε, t)

Daca t ∈ S, atunci U(t)(ε, t) = (ε(−1)δt,t , ttt) = (−ε, t). Presupunem ca (∗) este adevaratapentru t si demonstram ca este adevarata pentru elementele de forma sts cu s ∈ S.

U(sts)(ε, sts) = U(s)U(t)U(s)(ε, sts) = U(s)U(t)(ε(−1)δs,sts , t) = U(s)(−ε(−1)δs,sts , t) =

= (−ε(−1)δs,sts+δs,t , sts)

Dar

δs,sts =

1, s = sts0, s 6= sts

=

1, s = t0, s 6= t

= δs,t

deciδ(s, sts) + δ(s, t) = 2δ(s, sts)

siU(sts)(ε, sts) = (−ε, sts).

Presupunem prin absurd ca (a) nu are loc. In acest caz

U(w)(ε, t) = (−ε, w−1tw)

si atunci

U((tw)−1)(ε, t) = U(w−1)U(t)(ε, w−1tw) = U(w−1)(−ε, t) = (−ε, w−1tw) = (−ε, (tw)−1t(tw)).

Din faptul ca (a) ⇒ (c) rezulta ca `(tw′) < `(w′), unde w′ = tw. Dar acest lucru implica `(w) <`(tw), contradictie deoarece (c) era adevarata. Prin urmare, presupunerea facuta este falsa si deciU(w−1)(ε, t) = (−ε, w−1tw).

Lema 2.5. Fie y, z ∈ W si s ∈ S. Daca sy ≤ z < sz, atunci y ≤ sz.

32

Demonstratie. Demonstram prin inductie dupa `(z)− `(sy).Daca `(z)− `(sy) = 0, atunci rezulta ca z = sy si y = sz.Presupunem c a `(z)− `(sy) > 0, adica `(z) > `(sy) si rezulta ca sy < z.Daca sy < y, atunci exista t ∈ T astfel ıncat sy < tsy < z si `(tsy) = `(sy) + 1. Daca t = s

rezulta ca y ≤ z < sz.Daca t 6= s, demonstram ca y < stsy. Presupunem prin absurd ca y > stsy. Fie `(sy) =

q. Atunci `(tsy) = q + 1. Cum sy < y, rezulta ca `(sy) < `(y). Dar `(sy) = `(y) ± 1, deci`(sy) = `(y) − 1. Rezulta ca `(y) = q + 1. Din faptul ca `(stsy) < `(y) si `(y) = `(tsy) rezulta ca`(stsy) < `(tsy). Cum `(stsy) = `(tsy)± 1, obtinem ca `(stsy) = q.

Putem gasi o expresie redusa y = ss1s2 . . . sq. Deoarece `(stsy) < `(y), din Lema 2.3 rezulta caexista 1 ≤ i ≤ q astfel ıncat sts = ss1 . . . si . . . s1s sau sts = s.

Daca sts = s, obtinem ca s = t, contradictie cu presupunerea facuta. Deci sts = ss1 . . . si . . . s1ssi tsy = s1 . . . si . . . s1sss1 . . . sisi+1 . . . sq. Atunci tsy = s1 . . . si−1si+1 . . . sq si `(tsy) ≤ q − 1,contradictie. Rezulta ca y < stsy.

Fie y′ = stsy. Atunci sy ≤ z < sz. Cum tsy ≤ z rezulta ca s(stsy) ≤ z si sy′ ≤ z < sz. Atunciq = `(sy) < `(tsy) = `(sy′) = q + 1 implica `(z) = `(sy′) < `(z) − `(sy). Din ipoteza de inductierezulta ca y′ ≤ sz. Dar y < y′; rezulta y < sz.

Propozitia 2.6. Fie y, w ∈ W . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) y ≤ w;

(ii) pentru orice expresie redusa w = s1s2 . . . sq exista un subsir i1 < i2 < . . . < ir al sirului1, 2 . . . , q astfel ıncat y = si1si2 . . . sir

, r = `(y);

(iii) exista o expresie redusa w = s1s2 . . . sq si un subsir i1 < i2 < . . . < ir al sirului 1, 2 . . . , qastfel ıncat y = si1si2 . . . sir

.

Demonstratie. (i) ⇒ (ii) Presupunem y < w. Atunci exista un subsir y = y0, y1, . . . , yn = w deelemente din W astfel ıncat yjy

−1j+1 ∈ T si `(yj+1)− `(yj) = 1 pentru orice 1 ≤ j ≤ n− 1.

Fie w = s1s2 . . . sq o expresie redusa. Deoarece yn−1y−1n ∈ T , atunci exista 1 ≤ i ≤ q ast-

fel ıncat yn−1y−1n = s1s2 . . . si . . . s2s1, deci yn−1 = s1s2 . . . si . . . s2s1yn. Cum yn = w, yn−1 =

s1s2 . . . si−1si+1 . . . sq. Deoarece `(yn) − `(yn−1 = 1), rezulta ca `(yn−1) = q − 1 si deci yn−1 =s1 . . . si−1si+1 . . . sq este o expresie redusa.

Analog, tinand cont ca yn−2y−1n−1 ∈ T , `(yn−2) = `(yn−1)−1, obtinem ca exista 1 ≤ i ≤ q, j 6= i

astfel ıncat yn−2y−1n−1 = s1s2 . . . sj . . . s2s1 si yn−2 = s1s2 . . . sj . . . s2s1yn−1. Avem doua cazuri:

• daca i < j obtinem yn−2 = s1s2 . . . si−1si+1 . . . sj−1sj+1 . . . sq

• daca j < i obtinem yn−2 = s1s2 . . . sj−1sj+1 . . . si−1si+1 . . . sq

si ambele sunt expresii reduse.Continuand ın acest mod, obtinem pentru y o expresie de forma ceruta.(ii) ⇒ (iii) Evident.(iii) ⇒ (i) Presupunem ca w = s1s2 . . . sq este o expresie redusa pentru w ın W si y =

si1si2 . . . sir unde i1 < i2 < . . . ir este un subsir al sirului 1, 2, . . . , q. Demonstram prin inductiedupa q ca y ≤ w.

Daca q = 0 nu avem ce demonstra.

33

Fie q > 0. Daca i1 > 1, atunci putem aplica ipoteza de inductie pentru y si w′ = s2s3 . . . sq siobtinem y ≤ w′. Dar w′ ≤ w, deci y ≤ w.

Daca i1 = 1, atunci putem aplica ipoteza de inductie pentru y′ = si2si3 . . . sir, w′ = s2s3 . . . sq

si obtinem y′ ≤ w′. Atunci avem s1y ≤ s si w′ < w. Din Lema 2.5 rezulta ca y ≤ w.

Corolar 2.7. Fie y, z ∈ W si s ∈ S.

(a) Presupunem ca sz < z. Atunci y ≤ z daca si numai daca sy ≤ z.

(b) Presupunem ca y < sy. Atunci y ≤ z daca si numai daca y ≤ sz.

Demonstratie. (a) Fie z = ss1s2 . . . sq o expresie redusa pentru z.” ⇒ ” Presupunem ca y ≤ z. Din Propozitia 2.6 rezulta ca exista un subsir i1 < i2 < . . . < iq

al sirului 1, 2, . . . , q astfel ıncat y = si1si2 . . . sir sau y = ssi1si2 . . . sir .Daca y = si1si2 . . . sir atunci rezulta ca sy = ssi1si2 . . . sir si, din Propozitia 2.6, sy ≤ z.Daca y = ssi1si2 . . . sir

atunci rezulta ca sy = si1si2 . . . sirsi, din Propozitia 2.6, sy ≤ z.

” ⇐ ” Presupunem ca sy < z. Atunci sy = si1si2 . . . sirsau sy = ssi1si2 . . . sir

, deci y =ssi1si2 . . . sir

sau y = si1si2 . . . sirsi, din Propozitia 2.6, rezulta ca y ≤ z.

(b) ” ⇒ ” Presupunem y ≤ z. Avem de demonstrat ca y ≤ sz.Daca z ≤ sz, atunci y ≤ sz.Fie sz < z. Pentru z exista o expresie redusa de forma z = ss1s2 . . . sq. Din Propozitia 2.6

rezulta ca exista un subsir i1 < i2 < . . . < ir al sirului 1, 2, . . . , q astfel ıncat

y = si1si2 . . . sir, `(y) = r

sauy = ssi1si2 . . . sir

, `(y) = r + 1.

Daca `(y) = r + 1, atunci `(sy) = r < `(y), contradictie cu y < sy. Deci `(y) = r, y = si1si2 . . . sir .Atunci sz = s1s2 . . . sq este o expresie redusa si, din Propozitia 2.6, rezulta ca y ≤ sz.

” ⇐ ” Presupunem ca y ≤ sz. Daca sz ≤ z, rezulta ca y ≤ z.Presupunem ca y < sz. Atunci exista o expresie redusa de forma z = s1s2 . . . sq, `(z) = q si

`(sz) = q + 1. Atunci sz = ss1s2 . . . sq este o expresie redusa pentru sz. Din Propozitia 2.6 rezultaca exista un subsir i1 < i2 < . . . < ir al sirului 1, 2, . . . , q astfel ıncat y = si1si2 . . . sir , `(y) = rsau y = ssi1si2 . . . sir , `(y) = r + 1.

Daca `(y) = r + 1, atunci `(sy) = r si sy < y, contradictie. Deci y = si1si2 . . . sir, `(y) = r.

Cum z = s1s2 . . . sq, din Propozitia 2.6 rezulta ca y ≤ z.

34

Capitolul 3

Algebre Hecke

In acest capitol este definta notiunea de algebra Hecke si se determina o baza indexata dupa ele-mentele unui grup Coxeter.

Definitia 3.1. Fie (W,S) un grup Coxeter. O aplicatie L : W → Z se numeste functie ponderepentru W daca

L(ww′) = L(w) + L(w′)

pentru orice w,w′ ∈ W astfel ıncat `(ww′) = `(w) + `(w′).

Definitia 3.2. Un grup Coxeter pentru care a am fixat o functie pondere L : W → Z se numestegrup Coxeter ponderat.

De exemplu, putem lua L = l. Acest caz se numeste splitat.

Observatia 3.3. L este determinat de acele valori L(s), s ∈ S pentru care L(s) = L(s′) pentruorice s, s′ ∈ S, s 6= s′ astfel ıncat ms,s′ < ∞ si ms,s′ este impar.

Observatia 3.4. Pentru orice w ∈ W , L(w) = L(w−1).

Fie A = Z[v, v−1], unde v este nedeterminata. Pentru s ∈ S, notam vs = vL(s) ∈ A.

Definitia 3.5. Fie H A−algebra definita de generatorii Ts, s ∈ S si relatiile

(a) (Ts − vs)(Ts + v−1s ) = 0 pentru orice s ∈ S;

(b) TsTs′Ts . . . = Ts′TsTs′ . . . (ambele produse au ms,s′ factori) pentru orice s, s′ ∈ S, s 6= s′

astfel ıncat ms,s′ < ∞.

H se numeste algebra Iwahori-Hecke.

Elementul unitate din H este T1 = 1.Pentru w ∈ W , definim Tw ∈ H astfel:

Tw = Ts1Ts2 . . . Tsq

35

unde w = s1s2 . . . sq este o expresie redusa ın W .Din teorema lui Matsumoto si din relatia (b) din definitie rezulta ca Tw este independent de

alegerea expresiei reduse pentru w.

Observatia 3.6. Pentru s ∈ S, w ∈ W sunt adevarate urmatoarele relatii:

(a) TsTw = Tsw, daca `(sw) = `(w) + 1;

(b) TsTw = Tsw + (vs − v−1s )Tw, daca `(sw) = `(w)− 1.

Demonstratie. (a) Fie w = s1s2 . . . sq o expresie redusa. Cum `(sw) = `(w) + 1, rezulta ca sw =ss1s2 . . . sq este o expresie redusa pentru sw si atunci

Tsw = TsTs1Ts2 . . . Tsq= TsTw.

(b) Fie w = s1s2 . . . sq o expresie redusa pentru w. Cum `(sw) = `(w) − 1, rezulta ca exista1 ≤ i ≤ q astfel ıncat

ss1s2 . . . si−1 = s1s2 . . . si.

Atunci sw = s1s2 . . . si−1si+1 . . . sq este o expresie redusa pentru sw si

Tsw = Ts1Ts2 . . . Tsi−1Tsi+1 . . . Tsq.

Dar w = s1s2 . . . sq = ss1s2 . . . si−1si + 1 . . . sq este o alta expresie redusa pentru w. Deci

Tw = TsTs1Ts2 . . . Tsi−1Tsi+1 . . . Tsq

AtunciTsTw = TsTsTs1Ts2 . . . Tsi−1Tsi+1 . . . Tsq .

Din relatia (a) din definitie obtinem

TsTs = 1 + (vs − v−1s Ts)

si atunciTsTw = (1 + (vs − v−1

s )Ts)Ts1Ts2 . . . Tsi−1Tsi+1 . . . Tsq=

= Ts1Ts2 . . . Tsi−1Tsi+1 . . . Tsq+ (vs − v−1

s )TsTs1Ts2 . . . Tsi−1Tsi+1 . . . Tsq= Tsw + (vs − v−1

s )Tw.

In particular, A−submodulul lui H generat de Tw | w ∈ W este un ideal stang al lui H.Deoarece acest ideal contine pe 1 = T1, rezulta ca este chiar H. Deci Tw | w ∈ W genereazaA−modulul H.

Propozitia 3.7. Tw | w ∈ W este o A−baza a A−modulului H .

Demonstratie. Fie E A−modulul liber de baza (ew)w∈W . Pentru orice s ∈ S definim aplicatiileA−liniare Ps, Qs : E → E astfel:

Ps(ew) =

esw, daca `(sw) = `(w) + 1esw + (vs − v−1

s )ew, daca `(sw) = `(w)− 1 ,

Qs(ew) =

ews, daca `(ws) = `(w) + 1ews + (vs − v−1

s )ew, daca `(ws) = `(w)− 1 .

Demonstram ca

36

a. PsQt = QtPs pentru orice s, t ∈ S.

Fie w ∈ W . Distingem sase cazuri:(I) `(swt) = q + 2, `(sw) = q + 1, `(wt) = q + 1, `(w) = q. In acest caz observam ca

`(sw) = `(w) + 1 si `(wt) = `(w) + 1. Atunci

PsQt(ew) = Ps(ewt) = eswt

deoarece `(swt) = `(wt) + 1 siQtPs(ew) = Qt(esw) = eswt

deoarece `(swt) = `(sw) + 1.

(II) `(w) = q+2, `(sw) = q+1, `(wt) = q+1, `(swt) = q. In acest caz observam ca `(sw) = `(w)−1si `(wt) = `(w)− 1. Atunci

PsQt(ew) = Ps(ewt + (vt − v−1t )ew) = Ps(ewt) + Ps((vt − v−1

t )ew)

Cum `(swt) = `(wt)− 1 si `(sw) = `(w)− 1, obtinem

PsQt(ew) = eswt + (vs − v−1s )ewt + (vt − v−1

t )(esw + (vs − v−1s )ew) =

= eswt + (vs − v−1s )ewt + (vt − v−1

t )esw + (vt − v−1t )(vs − v−1

s )ew

QtPs(ew) = Qt(esw + (vs − v−1s )ew) = Qt(esw) + Qt((vs − v−1

s )ew)

Deoarece `(swt) = `(sw)− 1 si `(wt) = `(w)− 1, obtinem

QtPs(ew) = eswt + (vt − v−1t )esw + (vs − v−1

s )(ewt + (vt − v−1t )ew) =

= eswt + (vt − v−1t )esw + (vs − v−1

s )ewt + (vs − v−1s )(vt − v−1

t )ew

(III) `(swt) = q + 1, `(w) = q + 1, `(sw) = q + 2, `(wt) = q. In acest caz avem urmatoareleegalitati: `(sw) = `(w) + 1, `(wt) = `(w)− 1, `(swt) = `(sw)− 1 = `(wt) + 1. Atunci:

PsQt(ew) = Ps(ewt + (vt − v−1t )ew) = Ps(ewt) + Ps((vt − v−1

t )ew) = eswt + (vt − v−1t )esw

QtPs(ew) = Qt(esw) = Qt(esw) = eswt + (vt − v−1t )esw

(IV) `(swt) = q+1, `(w) = q+1, `(sw) = q, `(wt) = q+2. Observam ca `(sw) = `(w)−1, `(wt) =`(w) + 1, `(swt) = `(sw) + 1 = `(wt)− 1. Atunci:

PsQt(ew) = Ps(ewt) = eswt + (vs − v−1s )ewt

QtPs(ew) = Qt(esw + (vs − v−1s )ew) = Qt(esw) + (vs − v−1

s )Qt(ew) = eswt + (vs − v−1s )ewt.

37

(V) `(swt) = q + 1, `(w) = q + 1, `(sw) = q, `(wt) = q. Avem urmatoarele egalitati: `(sw) =`(w)− 1, `(wt) = `(w)− 1, `(swt) = `(sw) + 1 = `(wt) + 1. Atunci:

PsQt(ew) = Ps(ewt + (vt − v−1t )ew) = eswt + (vt − v−1

t )esw + (vt − v−1t )(vs − v−1

s )ew

QtPs(ew) = Qt(esw + (vs − v−1s )ew) = eswt + (vs − v−1

s )esw + (vs − v−1s )(vt − v−1

t )ew

Dar `(sw) = `(wt), `(swt) = `(w). Din Propozitia 1.2.18 rezulta ca sw = wt. Cum

L(t) + L(wt) = L(w) = L(swt) = L(s) + L(sw)

rezulta ca L(t) = L(s) si decivt = vL(t) = vL(s) = vs.

(VI) `(swt) = q, `(w) = q, `(sw) = q + 1, `(wt) = q + 1. Avem urmatoarele egalitati: `(sw) =`(w) + 1, `(wt) = `(w) + 1, `(swt) = `(sw)− 1 = `(wt)− 1. Atunci:

PsQt(ew) = Ps(ewt)ew) = eswt + (vs − v−1s )ewt

QtPs(ew) = Qt(esw) = eswt + (vt − v−1t )esw

Dar `(sw) = `(wt), `(swt) = `(w). Din Propozitia 1.2.18 rezulta ca sw = wt. Cum

L(t) + L(swt) = L(sw) = L(wt) = L(s) + L(swt)

rezulta ca L(t) = L(s) si decivt = vL(t) = vL(s) = vs.

Am demonstrat ca PsQt = QtPs pentru orice s, t ∈ S.

Fie U A−subalgebra cu unitate a algebrei End(E) generata de Ps | s ∈ S. Morfismul ϕ : U → Edefinit astfel: ϕ(π) = π(e1) este surjectiv. Intr-adevar, fie w = s1s2 . . . sq o expresie redusa ın W .Atunci ew = Ps1Ps2 . . . Psq

e1. Atunci luam π = Ps1Ps2 . . . Psq.

Demonstram ca ϕ este injectiv. Fie π ∈ U , π ∈ ker(ϕ). Atunci ϕ(π) = π(e1) = 0. Fieπ′ = Qsq

. . . Qs2Qs1 . Atunci, din (a), avem ππ′ = π′π si

0 = π′π(e1) = ππ′(e1) = π(Qsq. . . Qs2Qs1(e1)) = π(ew)

Cum w a fost ales arbitrar, rezulta ca π = 0. deci ϕ este injectiv si, prin urmare, ϕ este unizomorfism de A−module. Cu ajutorul acestui morfism transportam structura de A−algebra a luiU la o structura de A−algebra pe E cu elementul unitate e1. Pentru aceasta structura de A−algebraavem

Ps(e1)π(e1) ∀ s ∈ S, ∀ π ∈ U .

Atunci, pentru orice s ∈ S si orice w ∈ W , avem

esew = Ps(ew)

Tinand cont de definitia aplicatiei Ps, obtinem

38

(b) esew = esw, daca `(sw) = `(w) + 1

(c) esew = esw + (vs − v−1s )ew, daca `(sw) = `(w)− 1

Din (b) rezulta ca daca alegem o expresie redusa w = s1s2 . . . sq pentru w ın W , atunci ew =es1es2 . . . esq

. In particular, daca s 6= s′, s, s′ ∈ S astfel ıncat m = ms,s′ < ∞ atunci eses′es . . . =es′eses′ . . . (ambele produse avand m factori). Intr-adevar, cum ss′s . . . = s′ss′ . . ., obtinemess′s... = es′ss′... si eses′es . . . = es′eses′ . . ..

Din (c) deducem ca, pentru orice s ∈ S avem

e2s = 1 + (vs − v−1

s )es

adica(es − vs)(es + v−1

s ) = 0

pentru orice s ∈ S.Observam ca exista un unic morfism de algebre ϕ : H → E care pastreaza unitatea, astfel ıncat

ϕ(Ts) = es pentru orice s ∈ S. Atunci ϕ(Tw) = ew pentru orice w ∈ W .Presupunem ca aw ∈ A (w ∈ W ) sunt nuli cu exceptia unui numar finit de elemente w si ca∑

w∈W

awTw = 0 ın H.

Aplicand ϕ obtinem ∑w∈W

awew = 0.

Cum (ew)w∈W este baza ın E , rezulta ca aw = 0 pentru orice w ∈ W si Tw | w ∈ W este oA−baza ın H.

Observatia 3.8. Exista un unic antiautomorfism involutiv al algebrei H, notat h → h[, care ılduce pe Ts ın Ts pentru orice s ∈ S. Acesta duce Tw ın Tw−1 , pentru orice w ∈ W .

Observatia 3.9. Exista o unica involutie a algebrei H notata h → h† astfel ıncat T †s = −T−1

s

pentru orice s ∈ S. Avem T †w = sgn(w)T−1

w−1 oricare ar fi w ∈ W .

39

40

Capitolul 4

Operatorul Bar

Pentru o algebra Hecke se poate defini o involutie care duce un element din baza ıntr-un elementcu coeficienti unic determinati si ale caror proprietati vor fi demonstrate mai apoi.

Fie (W,S) un grup Coxeter ponderat, L : W → Z functia pondere.

Observatia 4.1. Pentru orice s ∈ S, elementul Ts ∈ H este inversabil si

T−1s = Ts − (vs − v−1

s ).

Intr-adevar, cum0 = `(1) = `(ss) = `(s)− 1,

rezulta, din Observatia 3.6, ca

TsTs = T1 + (vs − v−1s )Ts = 1 + (vs − v−1

s )Ts.

AtunciTsT

−1s = TsTs − (vs − v−1

s )Ts = 1 + (vs − v−1s )Ts − (vs − v−1

s )Ts = 1.

Rezulta ca Tw este inversabil pentru orice w ∈ W . Daca w = s1s2 . . . sq este o expresie redusaın W , atunci

T−1w = T−1

sq. . . T−1

s2T−1

s1.

Fie¯: A → A o involutie a inelului definita astfel:

¯(vn) = v−n, ∀ n ∈ Z.

Lema 4.2. (a) Exista un unic morfism de inele ¯ : H → H care este A−semiliniar relativ la¯ : A → A si care satisface T s = T−1

s pentru orice s ∈ S.

(b) Acest morfism este involutiv. Tw = T−1w pentru orice w ∈ W .

Demonstratie. Observam ca, pentru orice s ∈ S,

(T−1s − v−1

s )(T−1s + vs) = 0

41

Intr-adevar

(T−1s − v−1

s )(T−1s + vs) = (Ts − (vs − v−1

s )− v−1s )(Ts − (vs − v−1

s ) + vs) = (Ts − vs)(Ts + v−1s ) = 0

din prima relatie din definitia algebrei H.De asemenea,

T−1s T−1

s′ T−1s . . . = Ts′T

−1s T−1

s′ . . .

(ambele produse au ms,s′ factori), pentru orice s, s′ ∈ S, s 6= s′ astfel ıncat ms,s′ < ∞.Din cele doua relatii rezulta (a).(b) Fie s ∈ S. Aplicand¯produsului TsT s = 1 obtinem

T sT s = 1

Avem, de asemenea, si T sTs = 1, deci T s = Ts. Rezulta ca prin aplicarea de doua ori a morfismului¯se obtine elementul unitate.

Demonstram caTw = T−1

w−1 .

Intr-adevar, fie w = s1 . . . sq o expresie redusa. Atunci w−1 = sq . . . s2s1. Cum `(w−1) = `(w) = q,rezulta ca w−1 = sq . . . s2s1 este o expresie redusa. In acest caz, Tw = T−1

w = T−1sq

. . . T−1s2

T−1s1

si,cum¯este morfism, rezulta ca Tw = T−1

w−1 .

Observatia 4.3. Pentru orice w ∈ W , exista o unica scriere

Tw =∑y∈W

ry,wTy

unde ry,w ∈ A sunt nuli cu exceptia unui numar finit.

Lema 4.4. Fie w ∈ W si s ∈ S astfel ıncat w > sw. Pentru orice y ∈ W avem:ry,w = rsy,sw daca sy < y,ry,w = rsy,sw + (vs + v−1

s )ry,sw, daca sy > y.

Demonstratie. Cum w > sw rezulta ca `(sw) < `(w). Dar `(sw) = `(w)± 1, deci `(sw) = `(w)− 1.Atunci

TsTw = Tsw + (vs + v−1s )Tw,

deciTsw = TsTw − (vs + v−1

s )Tw = (Ts − (vs + v−1s )Tw = T−1

s Tw = T sTw.

Aplicand ¯ obtinemT sw = T sTw = TsTw,

deciTw = T−1

s T sw.

Atunci

Tw = T−1s T sw = (Ts − (vs − v−1

s ))∑y∈W

ry,swTy = Ts

∑y∈W

ry,swTy − (vs − v−1s )

∑y∈W

ry,swTy.

42

Daca y < sy, atunci `(sy) = `(y) + 1 si TsTy = Tsy, iar daca y > sy, atunci `(sy) = `(y) − 1 siTsTy = Tsy + (vs − v−1

s )Ty. Atunci

Tw =∑

y∈W, y<sy

ry,swTsy+∑

y∈W, sy<y

ry,swTsy+(vs−v−1s )

∑y∈W, y>sy

ry,swTy−(vs−v−1s )

∑y∈W

ry,swTy =

=∑y∈W

ry,swTsy + (vs − v−1s )

∑y∈W, y<sy

ry,swTsy =∑y∈W

rsy,swTsy − (vs − v−1s )

∑y∈W, y<sy

ry,swTsy

Dar Tw =∑

y∈W

ry,wTy si Ty | y ∈ W este baza.

Daca sy < y, rezulta ca ry,w = ry,w, si, cum ¯ este bijectiva, rezulta ca ry,w = rsy,sw.Daca y < sy, atunci

ry,w = rsy,sw − (vs − v−1s )ry,sw = rsy,sw − (v−1

s − vs)ry,sw

si, cum ¯ este automorfism, rezulta ca

ry,w = rsy,sw − (v−1s − vs)ry,sw = rsy,sw + (vs − v−1

s )ry,sw.

Observatia 4.5. Fie w ∈ W astfel ıncat w 6= 1. Atunci exista s ∈ S astfel ıncat w > sw.

Intr-adevar, presupunem prin absurd ca pentru orice s ∈ S, w < sw. Fie w = s1 . . . sq o expresieredusa. Cum w < sw pentru orice s ∈ S rezulta ca `(sw) = `(w) + 1 = q + 1. Dar s1 ∈ S. Atuncis1w = s1s1s2 . . . sq = s2 . . . sq si q + 1 = `(s1w) ≤ q− 1, contradictie. Deci exista s ∈ S astfel ıncatw > sw.

Lema 4.6. Pentru orice y, w ∈ W avem ry,w = sgn(yw)ry,w.

Demonstratie. Demonstram prin inductie dupa `(w).Daca `(w) = 0, atunci w = 1. Atunci

1 = T1 = T 1 =∑y∈W

ry,1Ty

Cum Ty | y ∈ W este baza, deci sistem liniar independent, rezulta ca r1,1 = 1 si ry,1 = 0 pentruorice y ∈ W, y 6= 1. Atunci ry,1 = sgn(yw)ry,w.

Presupunem ca `(w) ≥ 1 si ca ryw′ = sgn(yw′)ry,w′ pentru orice w′ ∈ W, `(w′) < `(w).Daca sy < y, din Lema 4.4 avem ca ry,w = rsy,sw. Dar `(sw) < `(w); din ipoteza de inductie

rezulta ca rsy,sw = sgn(sysw)rsy,sw = sgn(yw)ry,w unde s-a tinut cont de faptul ca sgn estemorfism si ca ry,w = rsy,sw.

Presupunem ca sy > y. Atunci, din Lema 4.4 si din ipoteza de inductie, avem

ry,w = rsy,sw + (vs − v−1s )ry,sw = sgn(sysw)rsy,sw + (v−1

s − vs)sgn(ysw)ry,sw =

= sgn(yw)(rsy,sw − (v−1s − vs)ry,sw) = sgn(yw)ry,w.

43

Lema 4.7. Pentru orice x, z ∈ W avem∑y∈W

rx,yry,z = δx,z.

Demonstratie. Folosind faptul ca ¯ este involutie, avem

Tz = T z =∑y∈W

ry,zTy =∑y∈W

ry,zT y =∑y∈W

∑x∈W

ry,zrx,yTx.

Cum Tw | w ∈ W este baza, rezulta ca∑

y∈W

ry,wrx,y = 1, daca x = z si∑

y∈W

ry,wrx,y = 0 ın

caz contrar. Deci ∑y∈W

rx,yry,z = δx,z.

pentru orice x, z ∈ W .

Propozitia 4.8. Fie y, w ∈ W .(a) Daca ry,w 6= 0, atunci y ≤ w.(b) Presupunem ca L(s) > 0 pentru orice s ∈ S. Daca y ≤ w, atunci

ry,w = vL(w)−L(y) mod vL(w)−L(y)−1Z[v−1],

ry,w = sgn(yw)v−L(w)+L(y) mod v−L(w)+L(y)+1Z[v],

(c) Fara ipoteza asupra lui L,

ry,w ∈ vL(w)−L(y)Z[v2, v−2].

Demonstratie. (a) Demonstram prin inductie dupa `(w).Daca `(w) = 0, atunci w = 1. Cum ry,1 6= 0, rezulta ca y = 1 = w.Presupunem ca `(w) ≥ 1, ry,w 6= 0 si ca daca ry,w′ 6= 0, atunci y ≤ w′ pentru orice w′ ∈

W, `(w′) < `(w). Cum w 6= 1, exista s ∈ S astfel ıncat w > sw.Presupunem ca sy < y. Din Lema 4.4 rezulta ca rsy,sw = ry,w 6= 0. Dar `(sw) < `(w); atunci,

din ipoteza de inductie, avem ca sy ≤ sw. Deci sy ≤ sw < w, si, din Lema 2.3, rezulta ca y ≤ w.Daca y < sy, atunci, din Lema 4.4 avem ca ry,w = rsy,sw + (vs − v−1

s )ry,sw, deci rsy,sw 6= 0 saury,sw 6= 0.

Daca rsy,sw 6= 0, din ipoteza de inductie rezulta ca sy ≤ sw. Dar y < sy atunci y < sy ≤ sw < w.Deci y ≤ w.

Daca ry,sw 6= 0, din ipoteza de inductie rezulta ca y ≤ sw. Dar sw < w, deci y ≤ sw < w. DinLema 2.3 rezulta ca sy < w si, cum y < sy, rezulta ca y < w.

(b) Demonstram prin inductie dupa `(w).Daca `(w) = 0, atunci w = 1. Cum y ≤ 1, rezulta ca y = 1.

r1,1 = 1 = vL(1)−L(1) mod v−1Z[v−1].

Aplicand ¯ obtinem

r1,1 = sgn(1 · 1)r1,1 = 1 = sgn(1 · 1)v−L(1)+L(1) mod vZ[v].

44

Presupunem ca `(w) ≥ 1. Exista s ∈ S astfel ıncat w > sw. Fie sy < y. Cum y ≤ w, rezulta casy < w. Din Lema 2.5b. rezulta ca

rsy,sw = vL(sw)−L(sy) + puteri strict mai mici.

Cum sw < w, rezulta ca `(sw) < `(w), deci `(sw) = `(w) − 1 si `(w) = `(ssw) = `(sw) + `(s) =`(sw) + 1. Din definitia functiei L, rezulta ca L(w) = L(sw) + L(s). Analog, L(y) = L(sy) + L(s).Atunci

rsy,sw = vL(s)+L(w)−L(s)−L(y) + puteri strict mai mici = vL(w)−L(y) + puteri strict mai mici.

Dar, din Lema 4.4, ry,w = rsy,sw. Atunci

ry,w = vL(w)−L(y) + puteri strict mai mici.

Presupunem ca y < sy. Cum y ≤ w, din Lema 2.5b. rezulta ca y ≤ sw. Din ipoteza de inductieavem

ry,sw = vL(sw)−L(y) + puteri strict mai mici.

Atunci

(vs+v−1s )ry,sw =

(vL(s) − v−L(s)

)ry,sw+puteri strict mai mici = vL(s)vL(w)−L(y)+puteri strict mai mici =

= vL(sw)−L(y)+L(s) + puteri strict mai mici = vL(w)−L(y) + puteri strict mai mici

Pe de alta parte, daca sy ≤ sw, atunci, din ipoteza de inductie, avem

rsy,sw = vL(sw)−L(sy) + puteri strict mai mici.

Cum y < sy, rezulta ca `(sy) = `(y) + 1 si L(sy) = L(s) + L(y). Tinand cont si ca L(w) =L(sw) + L(s), avem

rsy,sw = vL(w)−L(y)−2L(s) + puteri strict mai mici.

Daca sy sw, atunci, din (a), rsy,sw 6= 0. Atunci

ry,w = rsy,sw + (vs − v−1S )ry,sw

si termenul rsy,sw contribuie cu puteri ale lui v care sunt strict mai mici decat L(w)− L(y). Deci

ry,w = vL(w)−L(y) + puteri strict mai mici.

Aceasta demonstreaza prima relatie din (b).Aplicand ¯ relatiei anterioare obtinem

ry,w = v−L(w)+L(y) mod v−L(w)+L(y)+1Z[v].

Dar, din Lema 4.6 avem cary,w = sgn(yw)ry,w.

Atuncisgn(yw)ry,w = v−L(w)+L(y) mod v−L(w)+L(y)+1Z[v].

45

Cum sgn2(yw) = 1, ınmultind cu sgn(yw) obtinem

ry,w = sgn(yw)v−L(w)+L(y) mod v−L(w)+L(y)+1Z[v].

(c) Demonstram prin inductie dupa `(w).Daca `(w) = 0, atunci w = 1. Cum y ≤ w, atunci y = 1 si atunci r1,1 ∈ vL(1)−L(1)Z[v2, v−2],

evident.Presupunem ca `(w) ≥ 1 si ca afirmatia este adevarata pentru orice w′ ∈ W astfel ıncat

`(w′) < `(w). Cum `(w) ≥ 1, exista s ∈ S astfel ıncat w > sw.Daca sy < y, atunci, din ipoteza de inductie, rezulta ca

ry,w = rsy,sw ∈ vL(sw)−L(sy)Z[v2, v−2].

Cum L(w) = L(sw) + L(s) si L(y) = L(sy) + L(s), rezulta ca

ry,w ∈ vL(w)−L(y)Z[v2, v−2].

Presupunem ca sy > y. Atunci

ry,w = rsy,sw + (vs − v−1s )ry,sw.

Din ipoteza de inductie, avem

rsy,sw ∈ vL(sw)−L(sy)Z[v2, v−2].(vs − v−1

s

)ry,sw ∈

(vL(s) − v−L(s)

)vL(sw)−L(y)Z[v2, v−2] = vL(s)

(1− v2L(s)

)vL(sw)−L(y)Z[v2, v−2] =

= vL(s)vL(sw)−L(y)Z[v2, v−2].

Atunciry,w ∈ vL(sw)−L(sy)Z[v2, v−2] + vL(s)vL(sw)−L(y)Z[v2, v−2] =

= vL(w)−L(y)v−2L(s)Z[v2, v−2] + vL(w)−L(y)Z[v2, v−2] = vL(w)−L(y)Z[v2, v−2]

46

Capitolul 5

Chevie

5.1 Gap si Chevie

Chevie este un pachet de biblioteci si algoritmi destinat operarii cu grupuri Coxeter finite sauinfinite, grupuri braid, algebre Iwahori-Hecke, algebre Hecke ciclotomice, sisteme de radacini, poli-noame Kazhdan-Lusztig etc. Acest pachet a fost implementat atat ın Gap cat si ın Maple.

Pachetul din cadrul soft-ului Gap poate fi apelat cu functia:gap> RequirePackage(”chevie”);iar raspunsul va fi:

WELCOME to the CHEVIE package, Version 4.devel (Oct 2005)

http://www.math.rwth-aachen.de/ CHEVIE for the stable version 3.1

http://www.math.jussieu.fr/ jmichel/chevie for this version

Meinolf Geck, Frank Luebeck, Gerhard Hiss,

Gunter Malle, Jean Michel, Goetz Pfeiffer

Lehrstuhl D fuer Mathematik, RWTH Aachen

Universit’e Paris VII

AG Computational Mathematics Universit”at Kassel

Galway University

This replaces the former weyl package. For first help type

?CHEVIE Version 4 – a short introduction

47

5.2 Grupuri Coxeter

5.2.1 Apelarea si construirea grupurilor Coxeter

In Chevie se poate opera cu grupuri Coxeter finite sau infinite si pot fi construite noi grupuri Cox-eter. Pentru operarea cu grupurile finite de tip An, Bn, Cn, Dn, En, n ∈ 6, 7, 8, F4, G2, acesteapot fi declarate direct utilizand functia CoxeterGroup(”type”,n), de exemplu:

gap> W:=CoxeterGroup(”F”,4);CoxeterGroup(”F”,4)O alta modalitate de a opera cu grupurile Coxeter este declararea lui ca grup de simetrii care

permuta vectorii bazei canonice a spatiului real n−dimensional. Astfel poate fi apelata functiaCoxeterGroupSymmetricGroup(n). Aceasta functie organizeaza grupul simetric Sn ca grupCoxeter. Grupul astfel construit este generat de multimea transpozitiilor de forma (1, i), 1 < i ≤ n.De exemplu:

gap> CoxeterGroupSymmetricGroup(5);Group( (1,5), (2,5), (3,5), (4,5) ).Pentru fiecare grup Coxeter construit se poate apela functia PrintRec(group) si se pot ob tine

informatii ın ceea ce priveste multimea generatorilor, multimea simetriilor, elementul de lungimemaxima, clasele de conjugare, etc.

gap> PrintRec(CoxeterGroupSymmetricGroup(4));rec(isDomain := true,isGroup := true,identity := (),generators := [ (1,4), (2,4), (3,4) ],operations := ...,isPermGroup := true,isFinite := true,1 := (1,4),2 := (2,4),3 := (3,4),degree := 4,reflections := [ (1,2), (2,3), (3,4) ],nbGeneratingReflections := 3,generatingReflections := [ 1 .. 3 ],EigenvaluesGeneratingReflections := [ 1/2, 1/2, 1/2 ],isCoxeterGroup := true,reflectionsLabels := [ 1 .. 3 ],rootInclusion := [ 1 .. 3 ],rootRestriction := [ 1 .. 3 ],coxeterMat := [ [ 1, 3, 2 ], [ 3, 1, 3 ], [ 2, 3, 1 ]],orbitRepresentative := [ 1, 1, 1 ],rank := 3,

48

semisimpleRank := 3,OrdersGeneratingReflections := [ 2, 2, 2 ],cartan :=[ [ 2, -1, 0 ], [ -1, 2, -1 ], [ 0, -1, 2 ] ],type := [ rec(operations := ReflTypeOps,rank := 3,series := ”A”,indices := [ 1, 2, 3 ] ) ],longestElm := (1,4)(2,3),longestCoxeterWord := [ 1, 2, 1, 3, 2, 1 ],N := 6 )Grupurile afine Weyl sunt declarate cu ajutorul functiei Affine(W), unde W este un grup Weyl.

De exemplu:

gap> W:=Affine(CoxeterGroup(”A”,4));Affine(CoxeterGroup(”A”,4))Affine(CoxeterGroup(”A”,4))

5.2.2 Funtii destinate operarii cu grupuri Coxeter

LeftDescentSet(W,w)La apelarea acestei functii se afiseaza multimea acelor generatori s ai grupului Coxeter (W,S)

astfel ıncat `(sw) < `(w). Multimea este afisata sub forma de lista ın care elementele sunt etichetelecorespunzatoare simetriilor generatoare.

gap> W:=CoxeterGroupSymmetricGroup(4);Group( (1,4), (2,4), (3,4) )gap> LeftDescentSet(W,(2,4));[ 2, 3 ]Analog, poate fi folosita functia RightDescentSet pentru a se afisa multimea acelor generatori

s pentru care `(ws) < `(w).

EltWord(W,w)Fiind dat un grup Coxeter, (W,S) si un cuvant w ın grupul W (adica o lista de etichete ale

simetriilor generatoare), prin apelarea acestei functii se obtine acel element din W care corespundecuvantului w. In cazul ın care W este grup de permutari, se va afisa o permutare, iar ın cazul unuigrup de matrice, rezultatul va fi o matrice. De exemplu:

gap> W:=CoxeterGroupSymmetricGroup(5);Group( (1,5), (2,5), (3,5), (4,5) )gap> EltWord(W,[1,2,4]);(1,3,2)(4,5)

CoxeterWord(W,w)

49

La apelarea acestei functii, rezultatul va fi un cuvant redus scris ca o lista ın simetriile genera-toare a elementului w. De exemplu:

gap> W:=CoxeterGroupSymmetricGroup(4);Group( (1,4), (2,4), (3,4) )gap> w:=(1,4);(1,4)gap> w in W;truegap> CoxeterWord(W,w);[ 1, 2, 3, 2, 1 ]Cuvantul afisat este o expresie redusa scrisa ın ordonarea lexicografica de pe multimea etichetelor

simetriilor generatoare.

CoxeterLength(W,w)Dupa cum spune si numele, functia afiseaza lungimea unui element w ∈ W . Considerand exem-

plul anterior, lungimea lui w ca fi 5:

gap> CoxeterLength(W,w);5

ReducedCoxeterWord(W,w)Dat un cuvant Coxeter, w ( scris ca lista de etichete de simetrii fundamentale), se poate deter-

mina o expresie redusa pentru acesta cu ajutorul functiei ReducedCoxeterWord(W,w). Expresiava fi afistaa ca o lista de etichete a simetriilor generatoare ale grupului Coxeter W :

gap> W:=CoxeterGroup(”B”,5);CoxeterGroup(”B”,5)gap> w:=[1,1,1,2,2,3];[ 1, 1, 1, 2, 2, 3 ]gap> ReducedCoxeterWord(W,w);[ 1, 3 ]

LongestCoxeterElement(W )Daca W este un grup Coxeter finit, atunci se poate determina elementul de lungime maxima

din grup utilizand functia LongestCoxeterElement(W ). De exemplu, este cunoscut faptul ca,ın grupul A4, elementul de lungime maxima este (1, 5)(2, 4):

gap> W:=CoxeterGroupSymmetricGroup(5);Group( (1,5), (2,5), (3,5), (4,5) )gap> LongestCoxeterElement(W);(1,5)(2,4)

LongestCoxeterWord(W )Pentru un grup Coxeter finit, W , se poate determina si cuvantul de lungime maxima, scris ca

lista de etichete ale simetriilor fundamentale, utilizand functia LongestCoxeterWord(W ). Pen-

50

tru grupul anterior, o expresie redusa pentru cuvantul de lungime maxima este:

gap> LongestCoxeterWord(W);[ 1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1 ]

CoxeterElements(W, `) si CoxeterWords(W, `)Pentru un grup Coxeter, W , se pot determina toate elementele grupului precum si toate cu-

vintele din grup care au o anumita lungime utilizandu-se functiile CoxeterElements(W, `) siCoxeterWords(W, `):

gap> W:=CoxeterGroupSymmetricGroup(4);Group( (1,4), (2,4), (3,4) )gap> CoxeterElements(W,3);[ (2,4), (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,4,2), (1,3), (1,4,3,2) ]gap> CoxeterWords(W,3);[ [ 2, 3, 2 ], [ 3, 2, 1 ], [ 2, 1, 3 ], [ 1, 3, 2 ], [ 1, 2, 1 ], [ 1, 2, 3 ] ]

PrintDiagram(W)Dat un grup Coxeter, W , se poate afisa graful corespunzator. Chevie utilizeaza diagrama

Dynkin ın locul grafului Coxeter.

gap> W:=Affine(CoxeterGroup(”A”,4));Affine(CoxeterGroup(”A”,4))gap> PrintDiagram(W);

− 5 −/ \

A4∼ 1− 2− 3− 4gap> WW:=CoxeterGroup(”A”,4);CoxeterGroup(”A”,4)gap> PrintDiagram(WW);A4 1 - 2 - 3 - 4

51

52

Anexa A

O definitie geometrica a grupurilorCoxeter

A.1 Sisteme de radacini

1 Fie V spatiul vectorial euclidian real finit dimensional. Consideram subgrupurile finite ale grupuluiO(V ), generate de simetrii.

Definitia A.1.1. O simetrie, S, ın O(V ) este o transformare liniara ortogonala care duce fiecarevector x din V ın vectorul simetric fata de un hiperplan fixat, P.

Fie r 6= 0, r ∈ P⊥. Definim o transformare, Sr, astfel:

Srx = x− 2< x, r >

< r, r >r, ∀x ∈ V

Daca x ∈ P, atunci < x, r >= 0, deci Srx = x pentru orice x din P.

Srr = r − 2< r, r >

< r, r >r ⇒ Srr = −r

Deoarece P ∪ r contine o baza pentru V , rezulta Sr este simetrie. Sr se numeste simetria fatade hiperplanul P, sau simetria de-a lungul lui r.

Definitia A.1.2. Fie G un subgrup al grupului O(V ) si S ∈ G, o simetrie fata de un hiperplan,P. Cei doi vectori unitari, ±r, ortogonali pe P, astfel ıncat S = Sr se numesc radacini ale lui G

Propozitia A.1.3. Daca r este radacina pentru subgrupul G al grupului O(V ) si T este o transfor-mare din G, atunci Tr este radacina pentru G. De fapt, daca Tr = x, atunci Sx = TSrT

−1 ∈ G.

Fie r un vector unitar. Daca G este un subgrup al grupului O(V ), atunci multimea

V0 = V0(G) =⋂VT | T ∈ G

1Rezultatele din acest paragraf sunt expuse fara demonstratii. Demonstratiile sunt prezentate detaliat ın lucrareade disertatie ”Grupuri de simetrie ın plan si ın spatiu. Grupuri Coxeter.”

53

unde VT = x ∈ V | Tx = x, este subspatiu al lui V . Pentru orice transformare T din G, T |V0

este transformarea identica pe V0 si V0 este cel mai mare subspatiu al lui V cu aceasta proprietate.In particular, TV0 = V0, pentru orice T ∈ G. Deci T (V0)⊥ = V ⊥

0 pentru orice T din G. DacaV = V0

⊕V ⊥

0 , atunci orice T din G poate fi reprezentat ca 1⊕

T ′, unde T ′ = T |V ⊥0

. Grupul

G′ = T ′ | T ′ = T |V ⊥0

, T ∈ G ≤ O(V ⊥0 )

este izomorf cu G si V0(G′) = 0. Deoarece transformarile din G′ pot fi extinse la cele din G, putem,fara a restrange generalitatea, sa studiem numai grupurile G pentru care V0(G) = 0.

Definitia A.1.4. Un subgrup G al grupului O(V ) pentru care V0(G) = 0 se numeste efectiv.

Propozitia A.1.5. Fie G un subgrup al grupului O(V ) generat de simetriile de-a lungul radacinilorr1, . . . , rk. Atunci G este efectiv daca si numai daca r1, . . . , rk contine o baza pentru V .

Fie G un subgrup al grupului O(V ) generat de o multime finita de simetrii.

Definitia A.1.6. Notam cu ∆ multimea tuturor radacinilor corespunzatoare simetriilor genera-toare ımpreuna cu imaginile sub toate transformarile din G. Deci ∆ e multimea radacinilor core-spunzatoare simetriilor TST−1, unde T ∈ G si S apartine sistemului de generatori. Multimea ∆se numeste sistem de radacini pentru G.

Propozitia A.1.7. Fie G un subgrup al grupului O(V ), generat de o multime finita de simetrii siG grup efectiv. Daca sistemul de radacini, ∆, este finit, atunci G este finit.

Definitia A.1.8. Un subgrup finit efectiv G al grupului O(V ) generat de o multime de simetrii senumeste grup Coxeter.

Observatia A.1.9. Daca Y este o multime finita arbitrara din V , cu 0 /∈ Y , atunci exista t ∈ Vastfel ıncat < y, t >6= 0 pentru orice y ∈ Y .

Fie t ∈ V un vector astfel ıncat < t, r > 6= 0, pentru orice radacina r a lui G. Atunci sistemulde radacini, ∆, este ımpartit ın doua submultimi:

∆+t = r ∈ ∆ | < t, r > > 0

∆−t = r ∈ ∆ | < t, r > < 0

Geometric, ∆+t si ∆−

t sunt doua submultimi ale lui ∆ situate de o parte si de alta a hiperplanuluit⊥. Daca r ∈ ∆, atunci si −r ∈ ∆, din definitia sistemului de radacini, si < t,−r >= − < t, r >.Deci r ∈ ∆+

t daca si numai daca −r ∈ ∆−t si |∆+

t | = |∆−t |.

Alegem o submultime, Π, din ∆+t , minima, cu proprietatea ca orice radacina r ∈ ∆+

t este ocombinatie liniara de elemente din Π cu toti coeficientii pozitivi. Aceasta ınseamna ca, daca Γ esteo submultime proprie a lui Π, atunci exista o radacina r ∈ ∆+

t care nu se poate scrie ca o combinatieliniara de elemente din Γ, cu coeficienti pozitivi. O astfel de submultime minima, Π se numestet-baza pentru ∆. Deoarece ∆ este multime finita, exista o astfel de t-baza. Cum ∆−

t = −∆+t ,

atunci orice radacina r ∈ ∆−t este o combinatie liniara de elemente ale lui Π cu coeficienti negativi.

Fie Π = r1, . . . , rm o t-baza fixata pentru ∆.

Definitia A.1.10. Un vector x ∈ V se numeste t-pozitiv daca se poate scrie ca o combinatieliniara de r1, . . . , rm cu coeficienti pozitivi.

54

De exemplu, orice radacina r ∈ ∆+t este t-pozitiva.

Definitia A.1.11. Un vector x ∈ V se numeste t-negativ daca se poate scrie ca o combinatieliniara de r1, . . . , rm cu coeficienti negativi.

De exemplu, orice radacina r ∈ ∆−t este t-negativa.

Observatia A.1.12. Daca x este t-pozitiv, atunci < x, t > ≥ 0 si, daca x este t-negativ, atunci< x, t > ≤ 0

Propozitia A.1.13. Daca ri, rj ∈ Π cu i 6= j si λi, λj sunt doua numere reale pozitive, atuncivectorul x = λiri − λjrj nu este nici t-pozitiv, nici t-negativ.

Propozitia A.1.14. Fie ri, rj ∈ Π cu i 6= j si notam cu Si simetria de-a lungul radacinii ri.Atunci Sirj ∈ ∆+

t si < ri, rj > ≤ 0.

Propozitia A.1.15. Fie x1, x2, . . . , xm ∈ V situati de aceeasi parte a unui hiperplan, adica existax ∈ V astfel ıncat < xi, x > > 0, pentru orice 1 ≤ i ≤ m. Daca < xi, xj >≤ 0 pentru orice i 6= j,atunci x1, . . . , xm este sistem liniar independent.

Teorema A.1.16. Daca Π este o t-baza pentru ∆, atunci Π este baza pentru V .

Teorema A.1.17. Exista o unica t-baza pentru ∆.

Propozitia A.1.18. Fie Si simetria de-a lungul radacinii ri ∈ Π = r1, . . . , rn. Daca r ∈ ∆+t ,

dar r 6= ri, atunci Sir ∈ ∆+t .

Radacinile r1, . . . , rn din baza Π se numesc radacini fundamentale sau radacini simple.Simetriile S1, . . . Sn de-a lungul radacinilor r1, . . . , rn se numesc simetrii fundamentale pentruG.

Notam Gt =< Si | 1 ≤ i ≤ n > si observam ca Gt este subgrup ın G.

Propozitia A.1.19. Daca x ∈ V , atunci exista o transformare T ∈ G astfel ıncat < Tx, ri > ≥ 0,pentru orice radacina ri ∈ Π.

Propozitia A.1.20. Daca r ∈ ∆+, atunci exista cel putin o transformare T ın Gt astfel ıncatTr ∈ Π.

Concluzie. Pentru orice grup Coxeter, G, exista o baza, Π, pentru V formata din radacini ale luiG, unghiul dintre acestea fiind obtuz, iar simetriile de-a lungul acestor radacini formeaza un sistemde generatori pentru grupul G.

A.2 Constructia grupurilor Coxeter ireductibile finite

Constructia grupurilor Coxeter finite ireductibile a fost detaliata ın Lucrarea de disertatie ”Grupuride simetrie ın plan si ın spatiu. Grupuri Coxeter”. In cele ce urmeaza voi schita construtia acestorgrupuri, precizand, pentru fiecare grup ın parte, sistemul de radacini si baza.Fie G ≤ O(V ) un grup Coxeter cu sistemul de radacini ∆, cu baza Πt = r1, . . . , rn, pentru unt ∈ V . Notam cu Si simetria fundamentala de-a lungul radacinii ri.

55

Propozitia A.2.1. Daca ri, rj ∈ Π, atunci exista numerele ıntregi pij ≥ 1 astfel ıncat

< ri, rj >

||ri|| · ||rj ||= − cos

(π

pij

)De fapt, pij este ordinul elementului SiSj.

Definitia A.2.2. Un graf ponderat este o multime finita de puncte (numite noduri) astfel ıncatorice doua puncte distincte pot sa fie unite sau nu printr-un segment numit muchie, cu urmatoareaproprietate: daca exista o muchie ıntre nodurile i si j, atunci muchia este notata cu numarul realpij > 2. Daca Γ este un graf ponderat pentru care fiecare pij este un numar ıntreg, atunci Γ senumeste graf Coxeter.

Conventie: Daca Γ este un graf ponderat, o muchie dintre nodurile i si j care nu este notatava avea pij = 3.

Fie Γ este un graf ponderat cu m noduri; atunci putem sa-i asociem grafului o forma patraticaQ = QΓ ın Rm astfel

Q(λ1, . . . , λm) =∑i,j

aijλiλj ,

unde A = (aij) este matricea simetrica cu aii = 1, aij = − cos(

πpij

), daca exista o muchie

ıntre nodurile i si j ale grafului Γ si altfel aij = 0 ın caz contrar. Observam ca putem consideraaij = − cos π

pijsi facem conventia ca pii = 1 pentru orice i si pij = 2 daca nu exista muchie ıntre

nodurile i si j. Fie x = (λ1, . . . , λm) ∈ Rm. Atunci Q(x) =< Ax, x >.

Definitia A.2.3. Un graf ponderat se numeste pozitiv definit daca si numai daca forma patraticaeste pozitiv definita.

Consideram graful Γ, cu nodurile notate 1, . . . , 4 din figura urmatoare.

bb

bb17 9

1 2

43

Figura 3.2

Matricea care defineste forma patratica asociata pe R4 este

56

A =

1 − 12 − cos

(π17

)0

− 12 1 − cos

(π9

)0

− cos(

π17

)− cos

(π9

)1 − 1

2

0 0 − 12 1

.

Daca x1, x2, . . . , xm este o multime finita de vectori din V , cu unghiul dintre ei obtuz,putem defini un graf ponderat Γ astfel: consideram ca Γ are m noduri, si pentru i 6= j, nodurilei si j sunt unite printr-o muchie daca si numai daca < xi, xj >6= 0. In acest caz, putem scrie<xi,xj>||xi||·||xj || =− cos

(πpij

), pentru un numar real pij si muchia este notata pij .

Daca G este un grup Coxeter, atunci un graf ponderat Γ corespunzator t-bazei Π = r1, . . . , rneste un graf Coxeter, din Propozitia A.2.1, si Γ se numeste graful Coxeter al grupului G.

Teorema A.2.4. Graful Coxeter al unui grup Coxeter este pozitiv definit.

Definitia A.2.5. Un grup Coxeter, G, se numeste ireductibil daca baza sa, Π, nu este reuniuneaa doua submultimi ortogonale, nevide.

Definitia A.2.6. Doua noduri distincte, a si b ale unui graf ponderat, Γ se numesc conexe ın Γdaca si numai daca exista nodurile a1, . . . , ak ın Γ astfel ıncat sa existe un drum a = a1 → a2 →. . . → ak = b ın graf. Daca oricare doua noduri distincte ale grafului Γ sunt conexe, atunci grafulΓ se numeste conex.

Propozitia A.2.7. Graful Coxeter al unui grup Coxeter, G, este conex daca si numai daca G esteireductibil.

Se demonstreaza ca urmatoarele grafuri sunt pozitiv definite, iar pentru fiecare dintre ele se vaconstrui un grup Coxeter. Indicii care ınsotesc numele grafului reprezinta numarul de noduri.

57

aaa

a

aa

a a aa

aa

a

aa

aa a

aaa

aa

a

aa

a a aa

aa

a

aa

aa a

aaa

aa a

aaa

aaa

aaa

aa aaa

a aE7 : E8 :

E6 :F4 : 4

G2 :6 5 5

I3 : I4 :

Hn2 , n ≥ 5, n 6= 6 :

5 7 8 9,

,

,

,

,

,

, ,

,

,

. . .

. . .

. . .

@@ @@ @@

a a aa a aa a aDn, n ≥ 4 : , , , . . .

aa

aa

aa

aa

4 4 4

a ,Bn, n ≥ 2 :

An, n ≥ 1 :

Propozitia A.2.8. Un subgraf nevid, H, al unui graf ponderat pozitiv definit, Γ, este de asemeneapozitiv definit.

Teorema A.2.9. Daca Γ este un graf Coxeter conex pozitiv definit, atunci Γ este unul din grafurileAn, Bn, Dn, Hn

2 , G2, I3, I4, F4, E6, E7 sau E8.

Constructia grupului Coxeter care are graful Coxeter An

Putem vedea grupul simetric Sn+1 ca un grup de transformari liniare pe Rn+1 daca vom conside-ra ca fiecare T ∈ Sn+1 este o permutare a vectorilor bazei e1, e2, . . . , en+1. Este cunoscut faptul caSn+1 este generat de transpozitiile

S1 = (e1e2), S2 = (e2e3), . . . , Sn = (enen+1).

Daca permutarile Si le consideram ca transformari liniare, atunci ele satisfac conditiile

Si(ei+1 − ei) = −(ei+1 − ei),

Si(ei + ei+1) = ei + ei+1,

Si(ej) = ej , daca j 6= i, j 6= i + 1.

Deoarece ej |j 6= i, j 6= i + 1 ∪ ei + ei+1 genereaza hiperplanul W = (ei+1 − ei)⊥, observamca Si este simetrie si ca ri = ei+1 − ei poate fi luata ca radacina a simetriei Si. Atunci Sn+1, casi grup de transformari, este generat de simetriile S1, . . . , Sn de-a lungul radacinilor r1, . . . , rn. Inparticular, Sn+1 ≤ O(Rn+1).

Sistemul de radacini al acestui grup este

∆ = ei − ej | i 6= j, 1 ≤ i, j,≤ n + 1.

58

Notam cu V subspatiul lui Rn+1 generat de radacinile r1, . . . , rn ale grupului Sn+1 si cu An

grupul restrictiilor la V ale transformarilor din Sn+1. Atunci An este grup efectiv si deci este ungrup Coxeter. Deoarece An este izomorf cu Sn+1, avem |An| = (n + 1)!.

Constructia grupului Coxeter care are graful Bn

Pentru Bn, consideram grupul ”permutarilor cu semn” din Rn ale carui elemente permutavectorii bazei, e1, . . . , en si apoi ınlocuim unii vectori cu vectorii opusi. Consideram doua sub-grupuri ale grupului O(Rn). Primul este grupul simetric, Sn al permutarilor multimii e1, . . . , en.Notam simetriile generatoare ale lui Sn cu S2, S3, . . . , Sn cu radacinile corespunzatoare r2 =e2 − e1, . . . , rn = en − en−1. Al doilea subgrup, Kn, este generat de n simetrii Se1 , . . . , Sen

de-a lungul vectorilor bazei e1, . . . , en. Asupra oricarui vector, x ∈ Rn, simetria Sei

actioneaza prinınlocuirea componentei i cu cea opusa. Deoarece simetriile Sei comuta ıntre ele, Kn este abelian sieste produsul direct al subgrupurilor cu doua elemente 1, Sei, 1 ≤ i ≤ n. Atunci |Kn| = 2n.

Pentru fiecare submultime J a multimii e1, . . . , en definim fJ : Rn −→ Rn astfel

fJ(ei) =−ei, daca ei ∈ J,ei, daca ei /∈ J.

fJ este produsul tuturor Sei pentru care ei ∈ J , cu fJ = 1 daca J = ∅, si Kn este format din toatetransformarile fJ .

Subgrupul Bn al grupului O(Rn) este generat de Kn ∪ Sn si este format din produsele fJT ,unde fJ ∈ Kn si T ∈ Sn. Deoarece fiecare transformare din Bn are o unica expresie ca produs fJT .Atunci, ordinul grupului Bn este produsul ordinelor grupurilor Kn si Sn, adica

|Bn| = |Kn| · |Sn| = 2n · n!.

Produsul a doua elemente din Bn este definit astfel

(fJT )(fLU) = fJTfLT−1TU = fJfT (L)TU = fJ+T (L) · TU.

unde J+T (L) este diferenta simetrica a multimilor J si T (L) si este definita astfel

J+T (L) = (J ∪ T (L)) \ (J ∩ T (L)).

Observam ca Bn este produsul semidirect al grupurilor Kn si Sn.Se demonstreaza ca fe1 , S2, . . . , Sn este un sistem de generatori de simetrii pentru Bn. Notam

S1 = f1 si alegem r1 = e1 o radacina pentru S1. Deoarece r1, . . . , rn este o baza pentru Rn,grupul Bn este grup Coxeter.

Deoarece efectul fiecarei transformari din Bn pe vectorii bazei e1, . . . , en este o permutare, ur-mata de o eventuala schimbare a semnelor, sistemul de radacini al grupului Bn este

∆ = ±ei | 1 ≤ i ≤ n ∪ ei ± ej |i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n.

Multimea r1, . . . , rn este o baza pentru Bn.

Constructia grupului Coxeter care are graful Dn

Pentru constructia grupului Dn ınlocuim grupul Kn cu subgrupul sau

Ln = fJ ∈ Kn | |J | este par,

59

ale carui transformari efectueaza un numar par de schimbari de semne ın coordonatele vectorilordin Rn.

Subgrupul Dn al grupului O(Rn) este generat de Ln ∪ Sn si este format din toate produselefJT, fJ ∈ Ln, T ∈ Sn. Fie r1 = e1 + e2 si ri = ei − ei+1, 2 ≤ i ≤ n si fie Sj ∈ Dn simetria de-alungul lui rj , 1 ≤ j ≤ n. Observam ca < S2, . . . , Sn >= Sn.

S1, S2, . . . , Sn este sistem de generatori, format din simetrii, pentru grupul Dn.Sistemul de radacini este:

∆ = ei ± ej | i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n.

iar r1, . . . , rn este baza pentru grupul Dn.Grupul Dn are ordinul

|Dn| = 2n−1 · n!.

Grupul Coxeter care are graful F4

O baza pentru grupul Coxeter F4 se obtine ”extinzand” baza grupului B3.Daca renotam vectorii bazei, r1, r2 si r3 grupului B3 astfel

r2 = e1, r3 = e2 − e1, r4 = e3 − e2

si ıi consideram ca vectori ın R4, atunci, adaugand vectorul

r1 = −12

4∑i=1

ei,

obtinem o baza pentru grupul Coceter F4 Sistemul de radacini este:

∆ = ±ei, 1 ≤ i ≤ 4; ±ei ± ej , 1 ≤ j < i ≤ 4;12

4∑i=1

εei, ε = ±1.

Constructia grupului Coxeter care are graful G2

Pentru G2 alegem o baza ın R3, extinzand unicul vector al bazei r1 = e2 − e1 al grupului A1 laun vector ın R3 si adaugand vectorul r2 == e1− 2e2 + e3. Atunci r1, r2 este baza pentru grupulcare are graful Coxeter G2.

Acest grup are sistemul de radacini

∆ = ±(ei − ej), 1 ≤ j < i ≤ 3, ±(1,−2, 1), ±(−2, 1, 1), ±(1, 1,−2).

Constructia grupului Coxeter care are graful I3

O baza de vectori unitari pentru grupul icosaedral, I∗, este r1, r2, r3, unde

r1 = β(2α + 1, 1, −2α),

60

r2 = β(−2α− 1, 1, 2α),

r3 = β(2α, −2α− 1, 1).

Sistemul de radacini pentru grupul icosaedral este:

∆ = ±ei, 1 ≤ i ≤ 3, β(±(2α + 1),±1,±2α)si toate permutarile pare ale coordonatelor

Constructia grupului Coxeter care are graful I4

Daca privim vectorii r1, r2, r3 din constructia precedenta ca vectori din R4, adica

r1 = β(2α + 1, 1, −2α, 0),

r2 = β(−2α− 1, 1, 2α, 0),

r3 = β(2α, −2α− 1, 1, 0),

si adaugam vectorul r4 = β(−2α, 0, −2α− 1, 1), obtinem o baza pentru grupul Coxeter I4.Sistemul de radacini este

∆ = ±ei, 1 ≤ i ≤ 4,12(±1, ±1, ±1, ±1), β(±2α, 0, ±(2α+1), ±1, )si toate permutarile pare ale coordonatelor

Constructia grupului Coxeter care are graful E8

Consideram vectorii bazei grupului A7 pe care ıi renotam astfel:

ri = ei − ei−1, 2 ≤ i ≤ 8,

si adaugam vectorul

r1 =12(

3∑i=1

ei −8∑

i=4

ei);

atunci r1, r2, . . . , r8 este baza a grupului Coxeter E8. Submultimile r1, . . . , r6 si r1, . . . , r7sunt baze ale grupurilor Coxeter E6, respectiv E7.

Sistemul de radacini al grupului E8 este:

∆ = ±ei ± ej , 1 ≤ j < i ≤ 8;12

8∑i=1

εiei, εi = ±1,8∏

i=1

εi = −1.

Sistemul de radacini al grupului Coxeter E7 e format din radacinile grupului E8 ortogonale pevectorul 1

2 (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,−1).Sistemul de radacini al grupului Coxeter E6 e format din radacinile grupului E7 ortogonale pe

vectorul r8 = e8 − e7.

61

62

Anexa B

Grupurile finite Weyl

B.1 Grupul de tip An−1

Fie Sn multimea tuturor bijectiilor σ : 1, 2, . . . , n → 1, 2, . . . , n. Daca σ ∈ Sn, notam σ astfel:σ = σ1σ2 . . . σn, unde σ(i) = σi, 1 ≤ i ≤ n.

Consideram urmatoarea multime de generatori pentru Sn: s1, . . . , sn−1, unde si = (i, i +1), 1 ≤ i ≤ n− 1.

Graful Coxeter pentru Sn este

f f f ffs1 s2 s3 sn−2 sn−1

Se stie ca numarul de inversiuni ale unei permutari σ ∈ Sn este

inv(σ) = |(i, j) ∈ 1, 2, . . . , n × 1, 2, . . . , n | i < j, σ(i) > σ(j)|.

Observam ca

(∗) inv(σsi) =

inv(σ) + 1, daca σ(i) < σi+1

inv(σ)− 1, daca σ(i) > σi+1.

Propozitia B.1.1. Fie σ ∈ Sn. Atunci

`(σ) = inv(σ).

Demonstratie. Deoarece inv(e) = `(e) = 0, atunci, din (∗), rezulta ca inv(σ) ≤ `(σ).Reciproc, demonstram inegalitatea prin inductie dupa inv(σ). Daca inv(σ) = 0, atunci σ = e

si propozitia e demonstrata. Fie σ ∈ Sn astfel ıncat inv(σ) = k > 0. Atunci exista si astfel ıncatinv(σsi) = k − 1.

Presupunem ca pentru orice si, inv(σsi) = k + 1. Rezulta ca pentru orice 1 ≤ i ≤ n σ(i) <σ(i + 1) si σ = e. Rezulta ca inv(σ) = 0 6= k.

Atunci, din ipoteza de inductie, obtinem

inv(σ) = inv(σsi) + 1 ≥ `(σsi) + 1 ≥ `(σ).

(Sn, S) este un grup Coxeter de tip An−1.

63

B.2 Grupul hiperoctaedral, Bn

Acest grup are o prezentare cu multimea de generatori S = t, s1, s2, . . . , sn−1 si relatiile t2 = 1 s2i = 1 pentru i ≥ 1,

ts1ts1 = s1ts1t tsi = sit pentru i ≥ 2,sisi+1si = si+1sisi+1 pentru i ≥ 1, sisj = sjsi daca |i− j| ≥ 2.

Graful Coxeter al acestui grup este

f f f ft s1 s2 sn−1

Fie n ≥ 1 si consideram multimea

In = I+n

⋃I−n ,

unde I+n = 1, 2, . . . , n si I−n = −I+

n = −1,−2, . . . ,−n. Notam σ(In) grupul permutarilor pemultimea In si consideram multimea

Bn := π ∈ σ(In) | ∀i ∈ In, π(−i) = −π(i).

Cu alte cuvinte, daca wn ∈ σ(In) este definit de functia : In → In, i 7→ −i, atunci Bn estecentralizatorul lui wn ın σ(In). In σ(In) definim transpozitiile ti = (i,−i) pentru orice 1 ≤ i ≤ n.Atunci wn = t1t2 . . . tn. Transpozitiile ti, 1 ≤ i ≤ n genereaza un subgrup Nn ⊆ σ(In) care esteizomorf cu (Z/2Z)n

Elementele s1 := (1, 2)(−1,−2),s2 := (2, 3)(−2,−3),. . . . . . . . .

sn−1 := ((n− 1), n)(−(n− 1),−n)

genereaza un subgrup σn ⊆ Bn care este izomorf cu grupul simetric de grad n. Notam Σn =s1, s2, . . . , sn−1. Deoarece Nn

⋂σn = 1, avem ca |σnNn| = |σn| · |Nn| = 2n · n! si deci

Bn = Nnσn. FieSn = t1, s1, s2, . . . , sn−1

Transpozitiile ti pot fi determinate recursiv astfel: ti+1 = sitisi pentru 1 ≤ i ≤ n. AtunciBn =< Sn >.

Pentru a scrie o permutare σ ∈ Bn, folosim notatia fereastra: scriem σ = [σ1, σ2, . . . , σn]pentru faptul ca σ(i) = σi, pentru orice i ∈ 1, 2, . . . , n. De asemenea, notam permutarea σ astfel:σ = |σ1||σ2| . . . |σn| cu elementele negative subliniate. De exemplu, permutarea 321 din B3 poate finotata si [−3,−2, 1] si este permutarea(

−3 −2 −1 1 2 3−1 2 3 −3 −2 1

)Pentru o permutare σ ∈ Bn, `(σ) este

`(σ) =inv(σ) + neg(σ)

2,

64

unde

inv(σ) = |(i, j) ∈ −n, . . . ,−1, 1, . . . , n × −n, . . . ,−1, 1, . . . , n | i < j, σ(i) > σ(j)|

sineg(σ) = |i ∈ 1, 2, . . . , n | σ(i) < 0|.

De exemplu, pentru σ = 3 2 1 ∈ B3 avem inv(σ) = 8 si neg(σ) = 2, deci `(σ) = 5.

B.3 Grupul de permutari cu numar par de semne ”− ”, Dn

Notam cu Dn grupul de permutari definit astfel:

Dn = σ ∈ Bn | neg(σ) este par.

Notatiile si terminologia sunt cele de la grupul hiperoctaedral. O multime de generatori pentru Dn

este S = s0, s1, . . . , sn−1 unde s0 = (1,−2)(−2, 1) si si = (i, (i + 1))(−i,−(i + 1)), 1 ≤ i ≤ i + 1.(Dn, S) este un grup Coxeter de tip Dn.Lungimea unei permutari σ ∈ Dn este:

`D(σ) = `B(σ)− neg(σ),

unde `B(σ) este lungimea permutarii σ ın grupul hiperoctaedral Bn. Deci

`D(σ) =inv(σ)− neg(σ)

2.

Observam ca permutarea σ = 3 2 1 ∈ D3. Atunci `D(σ) = 3.

65

66

Bibliografie

[1] R. Biagioli, Permutation Statistics and Polynomials on Coxeter Group, PH. D Thesiss, Uni-versity of Rome ”La Sapienza”, 2003.

[2] A. Bjorner, F. Brenti, Affine Permutations of Type A, The Electronic Journal of Combinatorics3(2), 1996.

[3] C. Bonnafe, L. Iancu, Left Cells in Type Bn with Unequal Parameters,arXiv:math.RT/0302037v1, 2003

[4] N. Bourbaki, Lie Groups and Lie Algebras, chapters 4-6, ed. Springer, 2002.

[5] P. Garrett, G. Garrett, Buildings and Classical Groups, CRC Press, 1997.

[6] L. C. Grove, C. T. Benson, Finite Reflection Groups, Ed. Springer-Verlag, New York.

[7] F. Incitt, Bruhat Order on the Involutions of Classical Weyl Groups, Formal Power Series andAlgebraic Combinatorics, Vancouver, 2004.

[8] T. Hosaka, On the Center of a Coxeter Group, arXiv:math GR/0510510, 2005.

[9] G. Lusztig, Hecke Algebras with Unequal Parameters, arXiv:math. RT/0208154v1, 2002.

67