MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007 1 « La résolution de problèmes » dans les Programmes 2007 et Le socle commun de connaissances et de compétences

MATHEMATIQUES ~ Les programmes 2007

1

« La résolution de problèmes »

dans les

Programmes 2007

et

Le socle commun de connaissances et de compétences


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Deux natures / Deux fonctions

Le « SOCLE commun »

Une « grille de référence » situant les compétences de base, celles qui permettent aux élèves de bénéficier des apprentissages nouveaux du cycle suivant.

Des capacités intermédiairesDes indications sur les activités support de l’évaluation

Les PROGRAMMES

…ambitieux…

Cette ambition justifie la complexité. On ne doit pas renoncer à cet enjeu majeur à la base du processus d’enseignement.

De fortes incidences sur les principes de « l’évaluation »


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Le socle commun de connaissances et de compétences

Maîtriser le socle commun, c'est être capable de mobiliser ses acquis dans des tâches et des situations complexes à l'Ecole puis dans la vie ; c'est posséder les moyens de continuer à se former tout au long de la vie…

…C'est pourquoi, en utilisant la terminologie européenne, chaque compétence se définit comme une combinaison de connaissances fondamentales pour notre temps et de capacités à les mettre en œuvre dans des situations concrètes, mais aussi d'attitudes.

JJCalmelet

JJCalmelet08/09/2007étude des textes de référence (socle commun et programme 2007 1er degré) pour tenter d'éclairer le questionnement sur l'évaluation des compétences : quelle cohérence dans les nouveaux textes... quelles interprétations quant aux évolutions à impulser...Tout au long des deux textes de référence, (Socle commun - programme 2007) les connaissances (le niveau et l'exigence sont précisés dans les programmes - rappel et distance nécessaire entre l'effet des échos médiatiques / le texte lui-même ) et leur utilisation sont toujours articulées.


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Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible des automatismes en calcul… indispensable d’apprendre à démontrer et à raisonner

Il faut aussi comprendre des concepts et des techniques et les mémoriser afin d’être en mesure de les utiliser.

Les différents champs :- Nombres et calcul- Gestion de données- Géométrie- Grandeurs et mesures

Connaissances

JJCalmelet

les textes nouveaux et les précisions apportées dans l'explicitation des connaissances et le niveau d'exigence attendu ne semblent pas sans lien avec :- les résultats des enquêtes PISA où la France est très régulièrement en haut du classement lorsqu'on fait le point sur les connaissances des élèves, bcp plus en retrait lorsqu'on évalue la capacité à les utiliser... expliquer, justifier...- le rapport des IG sur le cycle 3 et le constat sur le calcul, le malentendu sur la résolution de pb "notion brouillée" (pb à "chercher"), l'errance pédagogique dans la gestion pédagogique (procédures personnelles/procédures expertes).


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A la sortie de l’école obligatoire l’élève doit être en mesure d’appliquer les principes et processus mathématiques de base dans la vie quotidienne, dans sa vie privée dans le travail.

Parmi elles - de modéliser, de raisonner, de pratiquer la déduction- de communiquer à l’écrit comme à l’oral- d’effectuer (calcul mental, opérations…) d’utiliser des

outils - de saisir quand une situation de la vie courante se prête

à un traitement mathématique, l’analyser en posant les données puis en émettant des hypothèses

- …

Capacités


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L’étude des mathématiques permet aux élèves d’appréhender l’existence des lois logiques et développe:

- Les attitudes de rigueur, de précision- Les attitudes de respect de la vérité- Goût du raisonnement sur des arguments dont la validité

est à prouver

Attitudes


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Programmes 2007 préambule 3 - La réussite de tous

Ces évaluations sont des instruments qui aident les maîtres à assurer la réussite de tous leurs élèves.

Elles visent non à classer les élèves, ni a fortiori à enfermer les plus fragiles dans leur échec, mais à permettre à l'enseignant de repérer les acquis de chacun, particulièrement ceux qui correspondent aux attentes du socle commun, à analyser les difficultés éventuelles et à mettre en place les stratégies qui permettent à l'élève de surmonter les difficultés observées.

JJCalmelet

On y retrouve aussi la phrase du socle " maîtriser le socle commun c'est..." voir diapo 1la fonction de l'évaluation a rarement été définie aussi clairemennt dans un texte de cette nature: ne peut-on y lire la condamnation de la notation qui sévit encore ...


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Sixième: Introduction commune à l'ensemble des disciplines scientifiques :

« L'évaluation est un outil indispensable au professeur dans la conduite de son enseignement, à différents moments de son apprentissage.......Le repérage des acquis, des difficultés et des obstacles permet d'adapter les supports et les modalités de

l'enseignement... » Dans les programmes de mathématiques, des précisions sont apportées :

« L'évaluation (qui ne se réduit pas au contrôle noté) n'est pas un à-côté des apprentissages. Elle doit y être intégrée et en être l'instrument de régulation... »


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Evaluation…

Dans l’introduction du « socle commun » la référence au cadre européen et international est explicite :

La définition du socle commun des connaissances et compétences prend appui sur la proposition de recommandation du parlement européen et du Conseil de l’UE en matière de "compétences-clés pour l’éducation et l’apprentissage tout au long de la vie". Elle se réfère aux évaluations internationales, notamment PISA…


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Evaluation PISA (2000)

Estimez l’aire de l’Antarctique en utilisant l’échelle de la carte.


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cambriolages

année 98

année 99

505

510

515

520

nombre de cambriolages dans l'année

PISA ~ 2003

Lors d’une émission télévisée, un journaliste montre ce graphique et dit :

« Ce graphique montre qu’il y a eu une très forte augmentation du nombre de cambriolages entre 1998 et 1999. »

Considérez-vous que l’affirmation du journaliste est une interprétation correcte?Justifiez votre réponse par une explication.

JJCalmelet

PISA 2003Rappel la superficie de l'Antarctique 2000des connaissances mathématiques: lecture graphique, pourcentage des connaissances du monde une analyse, une distanciation, une relativisation


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Commentaire sur PISA

… les résultats montrent des faiblesses inquiétantes dans le domaine de l’autonomie, de la prise d’initiative, des capacités de réinvestissement des connaissances apprises dans le traitement de situations signifiantes…

A. Bodin, bulletin APMEP, février 2002


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1770

1780

1790

1800

1810

1820

1830

1840

1850

2001 2002 2003

Salaire

0200400600800

100012001400160018002000

2001 2002 2003

Salaire

Evolution des salaires


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Présidentielles 2001 :Sondages premier tour [document WIKIPEDIA]

Chirac Le Pen Jospin

10-11 avril - CSA 21 % 12 % 19 %

10-13 avril - BVA 18,5 % 14 % 18 %

11-12 avril - Ifop 19 % 9,5 % 17 %

13 avril - Ifop 20 % 13 % 18 %

13-15 avril - Nouvel Observateur/Sofres 20 % 13 % 18 %

17-18 avril - CSA 19,5 % 14 % 18 %

17-18 avril - Ipsos 20 % 14 % 18 %

17-18 avril - LCI/Sofres 19,5 % 12,5 % 18 %

21 avril - Sondage confidentiel 18 % 13,5 % 17 %

Résultats du premier tour 19,9 % 16,9 % 16,2 %


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PISA…

La Culture mathématique :

• C’est « l’aptitude d’un individu à identifier et comprendre le rôle des mathématiques dans le monde, à porter des jugements fondés à leur propos et à s’engager dans des activités mathématiques en fonction des exigences de sa vie en tant que citoyen constructif, impliqué et réfléchi »

JJCalmelet

PISA est cité comme référent dans le texte du socle communRéflexion sur "activité mathématique" : place du matériel (servivilité...). Activité intellectuelle, représentation (oral, puis à différents niveaux jusqu'au symbolisme dont le début arrive au cycle 2... sauf l'écriture des nombres... quand? pourquoi?)


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Quelle évaluation à l’école ?

La dialectique outil / objet :• Les pratiques « dominantes » des enseignants

évaluent les connaissances mathématiques (1er et 2nd degrés): on vérifie que l’élève connaît les objets étudiés…

• N’y aurait-il pas un travail à développer sur la conception d’évaluations où l’élève est invité à utiliser ces objets comme des outils maîtrisés pour fonder un avis, une interprétation…


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Laurence envoie des cartes postales à ses amies. Elle choisit 5 cartes. Chacune coûte 0,80€. Puis elle prend 3 cartes à 1,30€ l’une et 4 cartes à 1,25€ l’une. Chaque carte doit être affranchie à 0,54€.

Elle paie avec un billet de 50€.

On lui rend 30,52€.

Laurence a-t-elle effectué un autre achat ?

Une proposition …


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CULTURE MATHEMATIQUE

• Outils pour le citoyen

• Outils pour les autres disciplines

• Maths comme science - des quantités, - de l’espace et des formes, - des grandeurs

• Repères historiques

• Mathématiques - comme pratique- avec une relation particulière au vrai et au faux

La culture mathématique, c’est aussi…

• Celle de l’explication

• Celle de la justification

• Celle de la preuve

JJCalmelet

Peut-on avoir raison seul contre tous?Les parallèles "ne se touchent pas" parce que ça obtient la majorité ?Validation de type "Vous êtes d'accord?"...Place des applaudissements à l'école...


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PISA : La culture mathématique a été découpée en quatre champs

- ESPACE ET FORMES

- VARIATIONS ET RELATIONS

- QUANTITE

- INCERTITUDENotions peu, voire pas connues des élèves français avant 16 ans

Ne recouvrent pas entièrement les contenus enseignés en France(algèbre, calcul, raisonnement géométrique… théorèmes… 40% de notre enseignement ! )

ENJEU : « Aider à la prise de décision »


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Une interro… (petite mise en situation…)

2,50m

1,60m

2,40m

0,60m

2,473…m

JJCalmelet

1 - y a-t-il pb?est-ce que tout le monde le pressent2 - quelle évocation mathématique est susceptible (ou non) de susciter cette situation ?(cercle, triangle rectangle, Pythagore...)le chemin de la pensée donne un éclairage très clair sur la connaissance: elle est MOBILISABLE/DISPONIBLEpour un élève de 4ème (c'est l'année de Pythagore) si le pb est donné dans le cours, l'élève va chercher où se cache Pythagore... (dans l'armoire?)si c'est au brevet, il va chercher de quel champ des maths relève ce pb (géométrie/numérique)Pour chaque personnne à qui ce problème est posé, la réaction met en lumière l'appropriation d'un savoir:est-il disponibleest-il mobilisable (une connaissance à laquelle il faut faire référence plus ou moins explicitement pour qu'elle soit activée...)Nb. 2,4738...OUFFFF!


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Ce passage doit être enseigné et évalué.

Savoir mobilisable Savoir disponible

Des compétencesDes connaissances

JJCalmelet

le savoir est mobilisable lorsque la leçon est sue; elle peut être récitée (je connais le théorème de Pythagore; on me présente un triangle rectangle, on demande la longueur d'un côté... le contexte et la tâche renvoient assez explicitement à ce théorème: c'est une connaissance apprise dont on reconnaît le champ d'application). C'est une connaissance (des "objets" d'apprentissage)le savoir est disponible lorsqu'il est acquis, c'est-à-dire que son usage s'engage sans dépendre d'une contextualisation (être en math, avoir un triangle rectangle...). C'est une compétence (des outils à la disposition du citoyen pour comprendre, appréhender, ...)


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3 - Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique

Principaux éléments de mathématiques

Dans chacun des domaines que sont le calcul, la géométrie, la gestion des données, les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne.

La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s’acquiert et s’exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité.

JJCalmelet

les objets mathématiques sont des outils pour appréhender le monde "en donnant sens à la culture scolaire fondamentale en se plaçant du point de vue de l'élève".C'est à la formation du citoyen que l'enseignement des maths participe!C'était déjà inscrit dans les textes précédents, et c'est continu depuis 1980 (c'était écrit plus explicitement pour la maternelle que pour l'école primaire en particulier le cycle 3)


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Programmes : l’école maternelle…« découvrir le monde »

• En jouant, en poussant toujours plus loin ses expériences est ses tâtonnements, …

• Il observe, manipule, cherche comment utiliser un objet un instrument. Il s’interroge. Il identifie les réalités, les représente, les nomme. Il distingue les qualités des objets, des collections qu’il compare, classe, range, dénombre…

• L’investigation n’est pas conduite pour elle-même..

• Il devient peu à peu capable de formuler des interrogations plus rationnelles (2)…

• Il se confronte à la pensée logique… constate qu’on peut relier la cause et l’effet

• Comme dans les autres cycles de l’école, la démarche s’articule autour d’un questionnement guidé par le maître et conduit à des investigations menées par les élèves.


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– cycle 2

Elaborées comme réponses efficaces à des problèmes, les premières notions mathématiques sont identifiées puis étudiées dans le but d'être utilisables pour résoudre de nouveaux problèmes.

– cycle 3 L‘élaboration des connaissances se réalise au travers de

la résolution de problèmes… les situations sur lesquelles portent les problèmes peuvent être issues de la vie de la classe, de la vie courante, de jeux...

MATHEMATIQUES Programmes 2007

objectifs


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. Les exercices sur fiches ne doivent pas se substituer à ce travail primordial avec du matériel

… garder à l’esprit que ce n’est pas la manipulation elle-même qui constitue l’activité mathématique, mais les questions… l’activité intellectuelle à développer lorsque le matériel n’est plus disponible

. « les capacités à chercher, abstraire, raisonner expliquer aussi bien en travail individuel et petits groupes que dans les phases d’échanges et de confrontation… USAGE PRIVILEGIE DE LA LANGUE ORALE : les mots précèdent les symboles

. La mise en place d’un langage élaboré et du symbolisme conventionnel doivent être réalisés avec prudence, lorsqu’il prend sens pour les élèves…

Cycle 2 objectifs


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Evaluation 6e

Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.

Chaque page contient 6 photos.a) Combien y aura-t-il de pages complètes ?b) Combien y a-t-il de photos sur la page

incomplète ?

Il y a ……… pages complètes. 58 %Il y a ……… photos sur la page incomplète. 61 %


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Procédures possibles

Schématisation des pages et des photos• Dénombrement (GS / CP)

Addition de 8 en 8• Addition (CP / CE1)

Encadrement par deux multiples de 8• Table de multiplication (CE2)

Division par 8• Division (CM1)


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Extrait Cap maths CE1


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Cinq catégories de solutions

A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

B

25 + 5 = 30 + 30 = 60

5 + 30 = 35

C 2 5+ . . 6 0

E

60 – 25 = 35D


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Une hypothèse Pourquoi des élèves qui disposent de l’une

ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème…

- ne pensent-ils pas…- n’osent-ils pas…- ne se croient-ils pas autorisés…

… (à) les utiliser pour répondre à la question?


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– Hypothèse… au cycle 3 :

• Peut-être parce que la majorité des élèves cherche L’OPERATION, LA formule « magique » experte. N’étant pas expert en division, il ne s’autorise pas à…

• Au cycle 1 :• C’est l’EXPERIENCE qui est au centre de la

logique pédagogique• À partir du cycle 2 :• L’ENTRAÎNEMENT et l’AUTOMATISATION

prennent une part déterminante dans les apprentissages= l’apprentissage des solutions expertes…


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De la reconstruction à la mémorisation…

• « …nos résultats montrent clairement que des activités systématiques qui génèrent des automatismes en orthographe et en calcul mental, sont nécessaires. Le fait que les élèves puissent mobiliser ces mécanismes et les rendre automatiques constitue certainement une aide majeure pour la réalisation de tâches variées de natures diverses. » IREDU


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• Le problème : une notion brouillée !

- La résolution de problèmes : . activité centrale ou spécifique ?. mathématique ou transversale ?

• « La résolution de problème… évalue la capacité des élèves, à partir d’une situation concrète, à prendre en compte les contraintes spécifiques, à trier et organiser les données de façon logique en vue de résoudre un problème ne relevant pas d’une discipline particulière »

•Un lexique inadapté :« les problèmes pour chercher »

•Apprendre à trouver ou apprendre à chercher? - Chercher parmi les

solutions expertes déjà éprouvées

- Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur

(Procédures personnelles / procédures expertes)

•Pédagogie du problème / pédagogie de l’exercice


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Démarches pédagogiques : des malentendus!?

• Pilotage de la séance :

guidage fort / guidage faible (doc. d’acc des programmes: « lire et écrire au cycle 3 »)

• Séance de recherche :(doc. d’acc des programmes: « Mathématiques » § « des problèmes pour chercher »)

« Le maître n’apporte aucune aide à la résolution de problème, ce qui ne veut pas dire qu’il est totalement absent …(il circule, observe, relève les erreurs)… il regarde l’élève en train de chercher, au plus près de son travail, sans le gêner, dans une attitude de repérage d’erreur éventuelle qui appelle alors un dialogue silencieux… Cette interaction ménage un éventuel temps pendant lequel l’élève sèche (sécher fait totalement partie de la culture mathématique et même du plaisir ultérieur de la découverte). Il y a un équilibre subtil à trouver entre l’intervention auprès de l’élève et le respect du temps de recherche. »


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• On doit passer par une phase de recherche solitaire

• Il faut « faire penser tout haut » : développer l’expression orale

• Le travail en groupe reste souvent confus et peu efficace (le but, la tâche) : « c’est touffu, c’est flou.. »…

• Différencier « mise en commun » (Exploitation de l’erreur!) et « correction »

• Ne jamais oublier que la « procédure experte » est l’objectif de la séquence

• Ne pas négliger la « synthèse » le « résumé »


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Diversité / différenciation / automatisation

• Limiter les références possibles à des indices « extérieurs » au problème.

• Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours

• Eviter les aides « de surface »• Favoriser la diversité• Exploiter la diversité• Pour aider au progrès des élèves

… ne pas négliger l’entraînement (différencié)• Différencier la « traces » (recherche) de l’écriture

formelle (écrit à communiquer)• … « automatiser » des procédures


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Un énoncé ne fait pas le problème…

•Tout énoncé écrit suivi d’une question n’est pas un problème•Tout problème n’est pas nécessairement formulé sous cette forme•Ne pas confondre apprendre à chercher et apprendre à lire un énoncé•Place des problèmes de la vie courante

•Problèmes à une opération

•Problèmes avec étapes intermédiaires explicites

•Problèmes avec étapes intermédiaires trouvées par les élèves

•Problèmes plus complexes

Une ébauche de nouvelle classification:


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La culture mathématique, c’est aussi…

• Le réflexe de la vérification, la recherche de la preuve

• Le débat et échange pour la justification, l’oral

• Celle de l’explication orale et écrite

• Celle de la validation


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3 - Calcul

GSPréparer le calcul

• Résoudre des problèmes…

• … sans calcul explicite• … sans traduction

symbolique (écrit)

CP / CE1« Développer toutes les

compétences à travers le calcul réfléchi »

• Importance de l’oral et du calcul mental

• Mémorisation progressive de résultats

• Techniques opératoires (+ - x)

• calculatrice

JJCalmelet

le lien entre nombre et calcul / renforcement


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Pourquoi 7 + 6 est-il égal à 13 ?ou le pourquoi du comment ?

Parce que (du côté des référents)…

13 est le 6e nombre après 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Parce que (du côté des connaissances mathématiques)… c’est 1 de plus que 6 + 6 qui est égal à 12 7 + 3 c’est 10 et encore 3, c’est 13

A

B

C


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Calcul

• Calcul mental … du calcul "reconstruit" au calcul "reproduit" (calcul sur des mots) :

– Calcul réfléchi – Calcul automatisé

Des repères (doubles, complément à 10) Calcul « direct » : les tables Calcul « dérivé »

… puis des résultats mémorisés au calcul réfléchi • Calcul en ligne / calcul posé (logique de cycle et inter-cycles)

– Addition– Soustraction– multiplication par 2 et 5

• Calcul instrumenté– connaître l’outil, alléger la charge, explorer…

JJCalmelet

CALCUL MENTAL:L'ajout et le retrait : même champ conceptuelEnlever peu / enlever bcp : incidence sur les représentations mentales et opérations mentalesCALCUL POSE:La + et la - étudiées quasi simultanémentOn n'attend pas d'avoir maîtrisé l'une pour passer à l'autre!Les choix de techniques et de langue dans la technique de la soustraction (cycle 2 et 3)


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15 minutes de calcul mental au quotidien ???

Trois dimensionsTrois dimensions :• Enseigner le calcul

• Mental (des repères, les doubles, les compléments à dix, les tables…)

→ automatiser des résultats

• Réfléchi (ce sont des problèmes à résoudre) → automatiser des procédures

• Comment l’élève apprend… … quand, où… supports, activité de l’apprenant…

• Interroger


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4 - Espace et géométrie

voir « Mathématiques – école primaire » 66

• « Espace » est nouveau par rapport au précédents programmes

→ Nécessité de travailler dans l’espace « ordinaire » pour des développer les « compétences spatiales »

…leur apprentissage n’est pas terminé à l’entrée à l’école élémentaire

• Passage des objets aux figures, tracés… (la géométrie)


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La géométrie de l'école au collège

C1 et C2 Géométrie de la perception Boîte à outils géométrique : l’œil

Est vrai ce que je voisFin C2 et C3

Géométrie instrumentée Boîte à outils géométrique : instruments

Sont vraies les propriétés que je contrôle à l’aide des instruments

Collège Géométrie déductive Boîte à outils géométrique : théorèmes Est vrai ce que je démontre


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Cycle 2 : du domaine spatial au domaine géométrique

• Structuration de l’espace (objet caché, déplacement en utilisant un plan)

Observer, situer, guider, communiquer

• Approche des formes géométriques Comparer, reproduire, construire, identifier, décrire des objets géométriques

• Habiletés dans l’utilisation d’instruments divers de tracé (objet d’un entraînement)


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5 - Grandeurs et mesureLes grandeurs avant leur mesure…• Les différentes « grandeurs » d’un objet (une

contenance, une masse, une surface, des longueurs, durée)

• Construire le sens de la grandeur: comparaisons directes / indirectes (validation par l’expérience)

• Le vocabulaire : hauteur d’un arbre, taille d’un enfant, tour de taille ou de cou, pointure, distance, largeur, épaisseur – plus tard périmètre circonférence – sont des mots qui se réfèrent au même concept de « LONGUEUR »


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• Le choix des instruments (inventés puis usuels)

• Les unités usuelles – Les « tableaux de conversion » ? – Les relations entre cm et m / g et kg / h et min

Les grandeurs avant leur mesure…

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