CHAPITRE II Mathmatiques financires de base: Taux dintrt, actualisation, crdits Ce chapitre prsente les notions et les mthodes lmentaires de mathmatiques financires. Celles-ci concernent les taux dintrt, ainsi que lactualisation qui permet destimer la valeur aujourdhui de flux disponibles dans lavenir et de dfinir et calculer la rentabilit des investissements et le cot des financements. Ces outils mathmatiques lmentaires et fondamentaux sont utiliss tout le long de cet ouvrage. Dans ce chapitre, ils sont appliqus ltude des investissements et des oprations de prts-emprunts. Une premire section, introductive, explique comment on reprsente les oprations de prts-emprunts et, plus gnralement, les investissements-financements par des chanciers de flux. La deuxime section porte sur les oprations deux flux qui permettent de prsenter simplement les taux dintrt et les diffrentes conventions auxquelles ils donnent lieu. Les oprations plusieurs flux, les mthodes dactualisation et leur application lanalyse des investissement sont traites en section 3. La section 4 est consacre ltude des crdits long terme. Section I Les chanciers de flux Dunpointdevuemathmatique,uneoprationdinvestissementoudefinancementest dfinieparlchancierdesfluxdetrsoreriequellegnre.Unfluxdetrsorerieestune sommedargenttransfred'unagentunautre.Unfluxreu(encaissement)estreprsent parunnombrepositifalorsquunfluxvers(dcaissement)estquantifiparunnombre ngatif.Toutfluxpositifpourlemprunteurestngatifpourleprteuretrciproquement. Deux points de vue symtriques peuvent tre adopts: celui du prteur-investisseur (qui prte, place ou investit une certaine somme dargent) et celui de lemprunteur (qui souscrit/contracte lemprunt et reoit cette somme). L'octroi d'un prt reprsente un investissement (ou un placement) pour le prteur : en effet, il implique une mise de fonds initiale (sortie d'argent gale au montant du prt) en contrepartie de revenus (rentres d'argent) esprs par la suite sous forme de remboursements progressifs de ce capital majors d'intrts. Pour lemprunteur, l'opration est un financement. Le taux du prtcorrespondlarentabilitdelinvestissementpourleprteuretaucotducrditpour lemprunteur. Avant toute tentative de reprsentation des chanciers de flux gnrs par les oprations financires, il convient de prciser lunit en laquelle le temps est compt. On appelle priode de rfrence la priode sur laquelle est dfini le taux de l'opration. Ainsi, si le taux donn est un taux annuel, la priode de rfrence est l'anne, si le taux est mensuel, la priode de rfrence est le mois, etc. La priode de rfrence choisie est en gnral, soit lanne, soit la priode sparant deux coupons dans les oprations de prts-emprunts. Une dure est donc exprime en nombre de priodes de rfrence et ce nombre nest pas ncessairement un entier. Ledroulementdansletempsouchancierdesfluxpeuttrereprsentsoitparun diagramme de flux, soit par un vecteur (ou squence ou chronique de flux).Undiagrammedefluxcomprendunaxehorizontalreprsentantletempssurlequelchaque fluxestplacladatedesatombe;lesfluxreussontreprsentspardesflchesversle haut, les flux verss par des flches vers le bas. Exemple : Le diagramme reprsent sur la figure 1-a ci-dessous reprsente un emprunt de 100 contract en t = 0, donnant lieu des remboursements (capital et intrts) de 0, 20, 30 et 115 au terme de la premire, deuxime, troisime et quatrime anne, respectivement. Lanne constitue ici la priode de rfrence. Le diagramme de la figure 1-b reprsente la mme opration vue par le prteur. Le diagramme des flux permet de visualiser de faon synthtique une opration financire et nous lutiliserons dans ce chapitre et, occasionnellement, dans la suite de louvrage. Figure 1-a Le diagramme des flux du prt (i.e. l'opration vue par la prteur) est symtrique de celui de lemprunt : Figure 1-b De faon plus synthtique, l'chancier des flux peut tre reprsent par une squence ou un vecteur. Ainsi, le prt de lexemple ci-dessus a pour reprsentation la squence {-100, 0, 20, 30, 115} et lemprunt correspondant : {+100, 0, -20, -30, -115}. Section II Oprations deux flux La plupart des concepts de base en matire de taux dintrt peuvent sexpliquer simplement partir doprations deux flux. En outre, dans la pratique, lessentiel des oprations court terme (moins dun an) ne gnrent que deux flux. Cest pourquoi nous allons consacrer lintgralitde cette section ltude de telles oprations. Les oprations dune priode de t 0 100 123 4-20-30 -115 t0 -100 123 4+20+30+115dure seront abordes avant celles qui portent sur plusieurs priodes et donnent lieu diffrents modes de calcul des intrts. 1. Oprations de prt-emprunt engendrant deux flux sur une priode Nous considrons dabord des oprations financires se droulant sur une seule priode qui va de la date t =0 la date t =1 (la priode de rfrence correspond lintervalle temporel sparant les deux flux). Ces oprations impliquent donc deux flux, C (capital prt en 0) et F (flux final, en t=1, comprenant remboursement du capital et intrts I, avec I = F-C) Dans le cas de l'emprunt d'un capital C au taux d'intrt r entre les dates t =0 et t =1, le diagramme des flux est conforme celui de la figure 2 : Figure 2 L'emprunteur reoit la date t =0 un capitalC. En t =1, il rembourse le capital et les intrts, dont le montant est gal au taux d'intrt r multipli par le capital emprunt C. En t = 1, le flux total F est donc gal - C (1+r). Plus simplement, lemprunt est reprsent par la squence :{ +C , -C(1+r)}. Le diagramme du prt est le symtrique par rapport l'axe du temps de celui de lemprunt ; le prt gnre la squence :{ -C , +C(1+r)}. 2. Oprations deux flux sur plusieurs priodes Nous considrons maintenant une opration deux flux, C et F, spars par n priodes ; ici la dure de lopration diffre de la priode sur la base de laquelle le taux est dfini. Par t0 1+C F= - (C+I)= - C(1+r) exemple, n = 6 si la priode de rfrence est le mois (associ un taux mensuel) alors que la dure du crdit est de six mois. Pour lemprunteur, C >0 et F 1 : donc, pour un taux r, un capital C etune dure T donns, les intrts simples sont infrieurs aux intrts composs si et seulement si T > 1 . Si T = 1, les intrts simples sont gaux aux intrts composs. Dmonstration graphique : Les graphiques ci-dessus reprsentent f(T) = 1+rT (droite en pointill) et g(T)=(1+r)T (courbe convexe en trait plein). Puisque les deux fonctions concident pour T =0 (f(0) = g(0) = 1) et pour T=1(f(1) = g(1) = 1+r ), la courbe reprsentant g est situe en dessous de la droite reprsentant f pour T < 1 et au dessus pour T > 1 : donc (1+r)T < 1+rT si et seulement si T >1. Exemple numrique : Considrons 100 euros placs un taux de 10% sur diffrentes dures. Sil sont placs sur deux ans (T > 1) : Selon la mthode des intrts simples, la valeur acquise est 100(1+20,1) = 120 Selon la mthode des intrts composs, la valeur acquise est 1001,12= 121 (> 120) Sils sont placs sur 9 mois (les 9 premiers mois dune anne qui nest pas bissextile): Selon la mthode des intrts simples, la valeur acquise est 100(1+3652730,1) = 107,48 Selon la mthode des intrts composs, la valeur acquise est 1001,1273/365 = 107,39 < 107,48 1+r0 1 1+rT (fonction linaire de T) (1+ r)T (fonction convexe de T) 1 TRappelons quon utilise le plus souvent lanne comme priode de rfrence (car les taux affichs sont en gnral annualiss), la mthode des intrts composs pour les dures suprieures un an (moyen et long terme) et la mthode des intrts simples pour les dures infrieures un an (court terme). Les pratiques de march favorisent donc les prteurs et dsavantagent les emprunteurs. b)Calcul de taux quivalents On utilisera dans la suite le concept dquivalence en matire de taux. Dfinition : deux taux sont quivalents sur une dure donne T, sils conduisent au mme flux terminal F, pour le mme capital plac C. Considrons le placement dun capital C sur une dure T. Si le taux du placement rp est proportionnel, le flux terminal est F = C(1+ rp T) alors que sil est actuarielle flux terminal est F = C (1 + ract)T. Pour que ces deux taux soient quivalents , tant pour le prteur que pour lemprunteur, il faut que les flux quils gnrent, F et F, soient gaux . Ds lors, rp et ract sont quivalents si: F= F= C (1+ T r rp) = C (1 + ract)T , cest dire: (3) (1+ T rp) = (1 + ract)T Larelation(3)peuttreutilisedanslesdeuxsens:pourtrouverletauxproportionnel quivalent au taux actuariel ou pour trouver le taux actuariel quivalent au taux proportionnel. Remarquons que deux taux ract et rp quivalents sur une dure T ne le sont pas sur une dure T diffrente de T. Exemple : Soit un placement de 100 euros sur 2 ans au taux proportionnel de 10%. La valeur acquise selon la mthode des intrts simples est Vacq = 100 (1 + 2 10%) = 120 Pourobtenirlammevaleuracquiseenutilisantlamthodedesintrtscomposs,ilaurait fallu appliquer un taux ract tel que : 120 =100 (1 + ract)2 , soit ract = (120/100)1/2-1 = 9,54% 4. Deux "complications" dordre pratique Lespratiquesdesmarchsetdesoprationsdebanque"compliquent"lecalculdesintrts. Cescomplicationstiennentaumodedecalculdeladure,dunepart,etauxmodalitsdu paiement des intrts, dautre part. a)Calcul de la dure T : les bases 360 et 365-366 Dans la plupart des pays et dans la plupart des cas, la priode de rfrence est l'anne (c'est--direque,saufmentionexpliciteducontraire,lestauxdonnssontannuels).Maisdansde nombreux cas la dure de l'opration n'est pas gale un nombre entier dannes. Quelles sont alors les conventions en vigueur pour le calcul de la dure T de l'opration? Deux cas doivent tre distingus selon que T est infrieur ou suprieur un an. Si la dure de l'opration est infrieure un an : - pour les oprations bancaires (entre une banque et son client non bancaire, hors march montaire), T = Nj/Na ; rappelons queNjreprsente le nombre de jours de dure de lopration et Na le nombre exact de jours de lanne ; la base de calcul est dite exacte (ou plus simplement 365). - pour les oprations sur le march montaire (cf chapitre 3), T = Nj/ 360 (base 360) 2. Si la dure de l'opration est suprieure un an, on utilise toujours T = Nj/Na (base exacte). Le calcul des intrts sur une base 360 majore videmment les intrts, donc le taux, dans le rapport 365/360 ou 366/360. Exemple : soit un emprunt de 1 000 euros sur 67 jours, du 1er fvrier au 8 avril de lanne n bissextile, au taux de 5%. Les intrts I sont calculs selon la mthode des intrts simples car T < 1 an. En base 360 : I = 1 000 5% 67/360= 9,31 euros En calcul exact (ici, base 366) : I = 1 000 5% 67/366= 9,15euros. Les intrts sont donc suprieurs en base 360, dans le rapport 365/360. b) Les modalits de paiement des intrts :Les intrts peuvent tre pays en fin de priode : on dit quils sont post-compts ou terme chu. Ils peuvent galement tre pays en dbut de priode : on dit quils sont pays davance, ouprcompts, ou encore, terme choir. -Intrts post-compts (terme chu) Le taux d'intrt r est dans ce cas appel "taux post-compt" ou "taux in fine". Parexemple,lafigure5ci-dessousprsentelediagrammedesfluxduprtintrtspost-compts d'un capital C au taux proportionnel r, sur une dure T : Figure 5 Exemple : Soit,surlemarchmontaire,lempruntintrtspost-compts,surunedurede60jours, d'un capital de 1 000 euros, au taux d'intrt annuel de 3,5% proportionnel base 360. Le flux final est gal -1 000 (1+ 3,5% 36060) = - 1 005,83 . NB : la base de calcul est 360 car il sagit du march montaire). -Intrts prcompts. Les intrts sont alors verss au dbut de l'opration. Le flux initial F0 est dun montant gal au capital diminu des intrts I ; le capital (ou valeur nominale de lopration) est vers par lemprunteurenfindeplacement.Lediagrammedesfluxpourleprteurseprsentedonc comme suit : Figure 6 2 Il existe des exceptions, notamment celle du march montaire britannique qui utilise une convention T0 t- CC (1+rT) T 0 t-F0=-(C-I) CDans ce cas d'intrts pays davance, on distingue deux formes de calcul du flux F0 = C - I, selonquelesintrtssontcalculspartird'un"tauxprcompt"(ditaussi"taux d'escompte"), ou partir d'un taux post-compt ou in fine. Premier mode de calcul : utilisation d'un taux prcompt ou taux d'escompte Cettemthodeconsistecalculerlesintrts,demanireclassique,enappliquantletaux prorata temporis au montant C du capital, et les retrancher du capital prt, pour obtenir le flux F0 initial. On a alors F0 = C - r C T = C (1-r T ) Exemple : lescompte commercial. Les oprations descompte deffets de commerce donnent lieu des intrts prcompts calculs avec un taux prcompt. Soit un effet de commerce dun montant de 1 000 euros mis par un client commercial de lentreprise X, chance de 60 jours. X ayant besoin de fonds, elle ngocie auprs de sa banque lescompte immdiat de cet effet , un taux descompte annuel de 3,5% sur la base de 365 jours. Les flux, pour la banque(le prteur), seront alors : En t =0, les intrts = 1 000 3,5% 60/365 = 5,75, donc : -F0 = -(1000 5,75) = - 994,25 euros. En t = 1, la banque rcupre C = + 1 000 euros.3 Amontantdintrtsdonns,lemprunteurprfrelesintrtspost-comptsauxintrts prcompts puisquil les paye plus tard. Deuxime mode de calcul : utilisation d'un taux post-compt (in fine) Commelepaiementimmdiatdesintrtsestpnalisantpourl'emprunteursil'onutilisele mmetauxquepourdesintrtspost-compts,danscertainesoprationsintrts prcompts (notamment sur le march montaire), le taux utilis est ajust la baisse, pour le rendre quivalent autaux infine affich.Lesintrtssontrduitspourcompenserle fait qu'ils sont pays davance. exact/exact (T = Nj/Na) . 3 La banque recouvre la crance escompte (1 000) directement auprs du client commercial de son emprunteur X qui avait mis leffet en t=0 : cest avec ce recouvrement que la banque rcupre sa crance et gagne des intrts. Du point de vue de X, la chronique sanalyse financirement comme lemprunt {+ 994,25 ; -1000}, le On a alors : F0 = C /(1+rT). Les intrts sont gaux C - C /(1+rT) = CrT/(1+rT). Remarques : - Cette rduction se concrtise par le fait que les intrts CrT (qui seraient pays terme chu) sont actualiss par le facteur (1+rT). - r est bien le taux in fine (rentabilit arithmtique) de la squence (-F0, C) puisque C = F0 (1+rT ). Le diagramme ci-dessous reprsente une telle opration. Figure 7 - Ceci dmontre que la pratique dintrts pr-compts est purement conventionnelle (arbitraire) et ne change rien au fond, le taux de lopration tant toujours le taux in fine r : il suffit dappeler capital prt la somme C/(1+rT) pour quil soit vident que le flux final rembours est C. Exemple : Soit le placement d'un capital C de 1 000 (il peut sagir, par exemple, de lachat dun titre court terme sur le march montaire). Les intrts sont prcompts mais le taux est in fine. Le flux terminal auquel le placement donne droit est gal +C = +1 000 puisque les intrts sont pays la date initiale. Le taux d'intrt annuel in fine est de 3,5%, la dure du titre est de 60 jours et la base de calcul de 360 jours. Le flux initial est - F0 = - 1 000 /(1 + 3,5% 60 / 360) = - 994,20 . dernier flux ne matrialisant pas un rel dcaissement, mais le non-encaissement de sa crance (de 1 000) sur son client commercial (puisque cest la banque qui encaisse sa place). T 0 t- C/(1+rT) Cc) Tableau rcapitulatif des pratiques de taux De faon gnrale les oprations moins dun an sont traits sur la base de taux proportionnels 365 ou 360, selon le cas, et celles dont la dure (initiale) est suprieure un an laide de taux actuariels exact/exact. La capitalisation dintrts sur des priodes infra-annuelles, qualifie danatocisme est par ailleurs proscrite par le code civil (mais pas par le droit commercial). Le tableau suivant synthtise les diffrentes pratiques. DureType d'oprations Base de calcul Intrts Base de calcul Dure Oprations bancaires Simples Taux prcompt ou in fine T = nb de jours / 365 Court terme (< 1 an) Oprations de march Simples Taux in fine T = nb de jours / 360 Moyen et long terme(> 1 an) Toutes oprations Composs Taux actuariel T = exact / exact 5. Les taux continus Nous avons tudi deux bases de calcul des intrts, donc de la valeur acquise : les intrts proportionnels et les intrts composs. Une troisime convention de calcul sappuie sur le principe dintrts capitaliss laide dun taux dintrt r dit continu. Les intrts sont calculs dans tout intervalle (t, t+dt). Ces intrts, proportionnels au taux r, la valeur V(t) acquise en t et la dure dt, sont ajouts la valeur acquise qui augmente donc de dV = r V(t) dt. Cette quation diffrentielle exprime le fait que V(t) crot exponentiellement, au taux constant rdtdVV=1 et dont la solution est : V(t) = V(0)ert= C ert. Ds lors, un capital dun montant C plac entre 0 et T avec capitalisation des intrts en continu, au taux r, se traduira par un flux terminal F = C ert, et nous crirons la squence de flux : { - C , C ert}. Le taux continu nest pas utilis dans la pratique des marchs. Il est toutefois trs commode car il conduit souvent des formules plus simples que les taux discrets etpermet de se rapprocher de la ralit quand les flux sont quotidiens ou mme plus frquents. Nous utiliserons maintes fois les taux continus dans la suite de cet ouvrage. 6.Formules gnrales dquivalence de taux diffrant par la base de calcul des intrts ou par la dure de la priode de rfrence. a) Lquivalence de taux dfinis sur des bases diffrentes La cohabitation des diffrentes bases de calcul des intrts rend souvent ncessaire la comparaison de deux taux dfinis sur des bases diffrentes. Cette comparaison exige le calcul dun taux-base x quivalent dun taux-base y. Rappelons que deux taux sont quivalents sur une dure T si, pour un mme montant plac, ils donnent le mme flux terminal F. Appelons rc un taux continu (exact), ract un taux actuariel exact, rp1 un taux proportionnel in fine-365 jours, rp2 un taux proportionnel in fine-360 jours et re un taux descompte (prcompt-365 jours). La relation (4) suivante exprime la condition qui doit prvaloir pour que ces diffrents taux soient quivalents sur une dure donne T. Elle est obtenue en galisant les flux terminaux F, obtenus par le placement de 1 sur T priodes, selon les diffrents modes de calcul des intrts. (4)ercT=(1+ ract)T=1+ rp1 T=1+ rp2 T 360365=T re 11 o T = Nj/Na (exact/exact). Cette relation permet de transformer un taux de base quelconque en un taux quivalent de base diffrente. Elle implique, en particulier, que le taux continu quivalent un taux actuariel ract donn est rc = Log(1+ ract), indpendamment de la dure T de lopration4; elle implique aussi, on la vu, que, pour tout T, un taux in fine-365 jours (rp2) quivaut un taux in fine-360 jours (rp1) multipli par 360365. Remarquons que si deux taux proportionnels rp1 et rp2 sont quivalents sur une dure T ils sont aussi quivalents sur toute autre dure T. Il en est de mme pour deux taux composs tels que rc et ract. En revanche, on rappelle que si un taux proportionnel tel que rp1 et un taux compos tel que ract sont quivalents pour une dure T particulire, il ne le seront pas pour une dure T diffrente de T.

4 Ici, comme partout dans cet ouvrage, Log dsigne un logarithme nprien. Exemples : -Un taux continu de 5% est quivalent un taux actuariel gal e0,05 1= 5,13% (quelle que soit la dure T de lopration); -Un taux proportionnel 360 jours de 5% quivaut un taux proportionnel 365 jours gal : 5% =3603655,07%, (quelle que soit la dure de lopration); -Un taux actuariel de 5% est quivalent un taux continu gal Log(1,05) = 4,88% (quelle que soit la dure de lopration); -Pour une opration de 90 jours de dure (T = 90/365=0,246 annes), un taux actuariel de 5% est quivalent un taux proportionnel in fine-365 gal (1,050,246-1)/0,246 = 4,91%. Le rsultat dpend de la dure de lopration considre (ici 90 jours). b)Lannualisation dun taux priode La priode de rfrence peut diffrer de lanne. Il est alors souvent utile dannualiser le taux priode, c'est--dire de le convertir en un taux annuel quivalent.Nous noterons m le nombre de priodes contenues dans une anne (par exemple, m = 12 pour le mois). Le problme est alors celui de la conversion dun taux priode en un taux annuel et vice versa. Nous noterons ici rm le taux priode et ra le taux annualis correspondant. Le taux priode peut tre actuariel ou proportionnel. Dans le cas de taux proportionnels, la formule de conversion est : (5-a) ra = m rm Dans le cas de taux actuariels, la formule de conversion est : (5-b)mm ar r ) 1 ( + = 1 Les rsultats ci-dessus sont quasi-vidents au vu de ce qui prcde et nous en laissons la dmonstration au lecteur titre dexercice . Notons que les formules 5 (a et b) permettent dannualiser un taux priode donn ou, inversement, de calculer un taux priode quivalent un taux annuel donn . Exemples :- Un taux actuariel mensuel de 1,0 % quivaut un taux actuariel annuel gal 12,68 % (car (1,01)12 1 = 0,1268) . - Le taux actuariel annuel de 10,25 % est quivalent un taux actuariel semestriel de 5% car 1,10251/2 1 = 0,05. -Letauxproportionneltrimestrielquivalentuntauxannuelproportionnelde5,2%est 1,3% car 0,052/4 = 0,013. Remarquons enfin que m nest pas ncessairement un entier. De faon gnrale, si D dsigne la dure de la priode de rfrence exprime en fraction danne : m =1/D. Les formules de conversion 5 restent valables, en remplaant m par 1/D. Section III Oprations impliquant un nombre quelconque de flux : lactualisation et lanalyse des investissements

Nousanalysonsmaintenantdesoprationsquignrentunnombrequelconquedefluxde montants quelconques et pays des instants quelconques.Considrons une opration qui induit les flux F0, Ft1, F t2, . . . , F tN tombant aux instants 0, t1, t2,...,tN,respectivement.Lasquencepourratrenote{F}=0, t1, ,tN, ode,faonplus simple mais ambigu, F. Quand les flux sont rgulirement espacs aux instants 0, 1, 2, , N, la squence sera note {F0, F1, F2, ,FN}. Rappelons que, par convention, les nombres ngatifs reprsentent des sorties de fonds et les nombres positifs des encaissements. Distinguons les investissements des financements : Les investissements sont caractriss par une chronique de flux qui comporte dabord un (ou des) flux ngatif(s), correspondant aux mises de fonds, suivi(s) de flux positif(s). On peut distinguer les investissements financiers tels que les prts, les placements ou achats de titres (actions, obligations, ) des investissements physiques tels que lacquisition de machines en vue dune production, lacquisition dune entreprise, dun bien immobilier, etc.Par exemple, la squence : -100 000 ;30 000 ; 30 000 ; 30 000 ; 30 000 pourra reprsenter un prt de 100 000 donnant lieu quatre annuits de remboursement constantes (capital + intrts) de 30 000 ou bien lacquisition dun titre pour un prix de 100 000 qui donne quatre flux de 30 000 , ou encore lachat dune machine un prix de 100 000 qui permettra une production pendant quatre ans dgageant une marge annuelle de 30 000 . -Lefinancementimplique,pourceluiquilecontracte,unencaissementinitialsuivide dcaissements. De faon gnrale, on aura : F0, Ft1, Ft2, . . . , FtN pour linvestissement ; < 0, >0,, > 0 -F0 , -Ft1 , -Ft2 , . . . , -FtN pour le financement correspondant > 0,< 0,,< 0Lhomologiedecessquencesconduitanalyserlesdcisionsdefinancementet dinvestissement laide des mmes mthodes mathmatiques. Danscettesection,nousnousplacerons,engnral,dansl'optiquedel'investisseur.La section IV suivante reprendra le point de vue de l'emprunteur et analysera les prts-emprunts plusieurs flux en utilisant les outils introduits dans cette section. Les fondements des calculs dactualisation et le concept de valeur prsente font lobjet du 1. Letauxactuariel(nommTRIdanscertainscontextes)estprsentau2.Le3applique cesconceptslanalysedesinvestissements.Lesinteractionsentreuninvestissementetses financements (emprunts et fonds propres) ainsi que leffet de levier financier sont exposs au 4.Quelquesrepresutilesauchoixdutauxdactualisationsontfournisau5.La distinction, importante, entre taux et flux rels et taux et flux nominaux est prsente au 6. 1. L'actualisation Lesdveloppementsquisuiventprsumentlexistencedunmarchdeprts-empruntsavec capitalisation des intrts, o prvaut un taux appel r qui, dans un premier temps, est unique et de type actuariel discret. a) Les fondements de lactualisation et lvaluation dun droit sur un flux laide de sa valeur prsente Les oprations de prt-emprunt deux flux tudies dans la section prcdente nous permettent daffirmer que : -Auprixdelabandoninitialdunesomme nnrF) 1 ( +,onpeutgnrerunfluxFndansn priodes. Lopration qui permet ce transfert de flux dans le temps est le prt, reprsent par le diagramme 8-a suivant, qui gnre la squence {nnrF) 1 ( +, +Fn} : 8-a Fn Fn/(1+r)n8-b 0 1 2 - - - - - - -n t 0 1 2 - - - - - - -n t

nnrF) 1 ( + Fn Cetteopration8-apeutsinterprtercomme lachat dufluxfuturFnau prix de nnrF) 1 ( +verss aujourdhui. - Inversement, on peut obtenir la disponibilit immdiate de nnrF) 1 ( +, au prix de labandon du flux Fn par un emprunt sur n priodes dun montant nnrF) 1 ( + caractris par le diagramme 8-b et la squence {+nnrF) 1 ( +, Fn}. Dans lopration 8-b, on vend le flux futur Fn au prix de nnrF) 1 ( +peruaujourdhui.Cettepossibilit dchanger desfluxsitusdesdates diffrentes,quiconstituedailleurslapremireraisondtredumarchfinancier,justifiela mthodedactualisationquiconsisteattribuerlavaleur nnrF) 1 ( +undroitsurunfluxFn disponible dans n priodes. nnrF) 1 ( +est appele valeur prsente ou valeur actuelle du flux Fn, ou encore valeur actualise en t = 0 (aujourdhui). La valeur aujourdhui dun euro disponible en n, nr) 1 (1+, est appele facteur dactualisation et le taux r qui sert de base au calcul (et qui est en principe gal au tauxdintrt)estnommtauxdactualisation. Uneurodisponibledanslefuturvautmoins cher quun euro disponible immdiatement car, pour disposer dun euro dans le futur, il suffit deplaceraujourdhui nr) 1 (1+0.

5 En fait, le taux dinflation affecte indirectement les facteurs dactualisation en raison de son influence sur le taux dintrt r. Dans le cas ou F0 < 0 et Fti 0 pour ti = t1,. . ., tn il s'agit d'un investissement standard. Dans le cas inverse, il s'agit d'un financement standard. La valeur prsente dune squence de flux F dpendant du taux d'actualisation r utilis, nous allons la considrer en tant que fonction, VPF(r), du taux d'actualisation r. Examinons d'abord le cas de l'investissement standard dont la valeur prsente scrit : VPF(r) = F0 + =+n1tt) 1 (rF avec F0< 0 et Fti 0 pour ti 0. Etudions le comportement de VPF(r) quand r varie entre -1 et + l'infini : - Remarquons qu'en tant que somme de fonctions hyperboliques dcroissantes de r, VPF(r) est elle-mme une fonction hyperbolique et dcroissante de r. - Remarquons galement que : 1 rlim VPF(r) + ; + rlimVPF(r) = F0 < 0 VPF(r) peut tre donc reprsente comme sur la figure 9-a ci-dessous. Fig 9-a Fig 9-b Remarques importantes :r* r r* r InvestissementFinancement VP VP -1 -1F0 F0 L'expressionVPF(r)=F0+ =+n1tt) 1 (rFestsouventappele"valeurnetteprsente" (VNP),ou"valeuractuellenette"(VAN),pourladistinguerde =+n1tt) 1 (rF,quiestla valeurprsentedesflux(strictement)futurs.Nousutiliseronsdanslasuitecette terminologie quand nous voudrons marquer le fait que le flux F0 est pris en compte dans le calcul. NousconstatonsquelacourbereprsentativedeVPF(r)coupel'axedesabscissesdans l'intervalle [-1, + [ en un point et un seul , not r* : la valeur nette prsente s'annule donc pourunevaleuruniquer*dercompriseentre-1et+.Cetteremarqueservlera importante lors de la dfinition du taux actuariel ou du TRI. c) Calculs de valeurs prsentes - Dans le cas gnral, le calcul de la valeur prsente d'une squence de flux ncessite le calcul pralabledetouslescoefficientsd'actualisation1/(1+r)ti.Ils'effectuedirectementavecune calculatrice ou un ordinateur, ou se lit sur les tables financires. Lutilisation des tables et des fonctions financires des tableurs sur ordinateurs sont brivement dcrites en Annexe 1. -Lorsquelesfluxfutursdelasquence(F)sonttousidentiquesetgalementespacs,la squence F scrit : {F0, F, F, . . . ,F} et les calculs se simplifient considrablement. VPF(r) = F0 + ( )=+n1 t1trF= F0 + F ( )||.|

\|+=n1 t11tr. Le calcul se rduit donc pour l'essentiel au calcul de la somme : ( )=+n1 t11tr. Il sagit de la somme des n premiers termes d'une suite gomtrique de raison 1/(1+r), et de premier terme gal 1/(1+r). Le calcul de cette somme est prsent en Annexe 1. Dans le cas prsent, on obtient : (7)( )( )rrrnt=+ =+1 111n1 t Le rsultat de (7) se lit sur des tables financires A2 (cf Annexe 2) ou s'obtient l'aide d'une calculatrice. Exemple :Soit un investissement initial de 1 200 suivi de 360 d'encaissement chaque anne pendant 10ans.Letauxquiprvautsurlemarchestgal10%.Lasquencedeflux(F)est : : { }4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 2 1fois 10360 ...; 360 ; 360 ; 1200 + + + + La valeur nette prsente de cette squence de flux, actualise au taux de 10 % est donc:VNP = - 1 200 + 360 ( )=101 t1 , 11t. Or ( )=101 t1 , 11t= 6.14457 (voir tables A2 ou calculatrice), do : VNP = - 1200 + 360 6,14457 = 1 012,05 . Cecisignifiequele"gainnet"dgagparl'oprationquiconsisteinvestir1200 aujourd'hui pour recevoir 360 par an pendant 10 ans est 1 012,05 . On peut aussi remarquer que la squence de 360 par an pendant 10 ans vaut aujourd'hui 360 6,14457 = 2 212,05 , soit 1 012,05 de plus que le dcaissement initial de 1 200 . -Lactualisation peut soprer avec un taux proportionnel rp ou un taux continu rc. Compte tenu de la relation de conversion (4) la valeur prsente de 1 disponible en t scrit : T rp+ 11 si on actualise avec le taux proportionnel in fine rp , et e- rc T si on utilise le taux actuariel continu rc .Dans ce dernier cas, on se situe souvent dans un contexte o les flux sont reprsents en temps continu par la densit F(t)]t ) , 0 ( T . Le flux de la priode (t , t+dt) tant F(t)dt, sa valeur prsente est e- rc tF(t) dt et celle de toute la squence qui se droule sur (0, T) est : (8)VPF(rc) =dt e t FTt rc0) (Exemple : Soit un investissement engendrant un flux de 10 par unit de temps sur 5 ans, actualis au taux annuel discret r = 10 %. Le taux continu est gal Log(1 + 0,1) = 9,53 % et la valeur prsente des flux gnrs parl'investissement est: VP =dt et500953 , 010 = 10 50t 0,0953e0953 , 01((

= 0953 010, [1 - e-50,0953] = 39,77 . d) Lapplication de taux dactualisation dpendant des chances des flux Jusqu'a prsent, nous avons suppos que r tait unique, indpendant de la maturit du flux. Or le taux annualis auquel on peut prter ou emprunter dpend en gnral de la dure de lopration . Nous appellerons rle taux actuariel auquel on peut prter et emprunter sur la dure , dans le cadre d'une opration deux flux (on prte 1 et on peroit (1+r) dans priodes). rest appel taux zro-coupon car entre 0 et aucun intrt nest vers (les intrts sont capitaliss sur toute la dure de lopration). Lensemble des r ,pour toutes les maturits qui font l'objet doprations, sappelle la gamme des taux et sa reprsentation graphique (r en fonction de ), la courbe des taux. Nous consacrerons tout le chapitre 5 ltude de la gamme des taux et reviendrons cette occasion sur les taux zro-coupons. Dans ces conditions : -La valeur actualise en 0 dun flux F disponible en scrit : ) 1 ( rF+ ; -La valeur prsente de la chronique F ={F}=0, t1, ,tN , actualise laide de la gamme des taux r ={r}=0, t1, ,tN , scrit :(9)VPF( r ) = =+n1tt) 1 (rF On remarquera que la seule diffrence entre cette expression et celle de la valeur prsente calcule avec un taux unique r (quation 6) est lutilisation dans (9) de taux dactualisation r spcifiques aux diffrentes maturits . 2. Taux actuariel, taux dintrt et TRI Nous avons dj dfini le taux de rentabilit actuariel, dans le cas dun prt-investissement de dure T gnrant deux flux { C , F } : cest le taux dintrt qui, pour un capital plac gal C, donne un flux terminal F en T. Cest donc r* tel que F = C (1+r*)T ou encore : C + TrF*) 1 ( += 0. Le taux de rentabilit actuariel r * est donc le taux dactualisation particulier qui annule la valeur prsente de lchancier deux flux. Nous allons maintenant gnraliser cette dfinition au cas dune opration caractrise par une squence F ={F}=0, t1, ,tN

quelconque. a) Dfinition et interprtation du taux actuariel Dfinition : On appelle taux actuariel d'une squence de flux F ={F}=0, t1, ,tN

une valeur particulire r* du taux d'actualisation qui annule la valeur nette prsente de la squence F.Ds lors, le taux actuariel r* est tel que : (10) VPF (r*) F0 + =+n1tt*) 1 (rF=0 Le taux actuariel est donc gal labscisse r* du point dintersection de la courbe reprsentative de VPF (r) et de laxe horizontal (cf. figure 8-a ou 8-b).Quand la squence Freprsente un investissement, le taux actuariel r* est appel taux de rentabilit interne de la squence F : "TRI" en franais ou "IRR" en anglais (Internal Rate of Return). Quand F caractrise un financement, le taux actuariel est gal au taux dintrt.6 La dfinition du taux actuariel, telle quelle est exprime par lquation (10), posecertains problmes relatifs lexistence et lunicit de ce taux. Considrons le cas particulier de t1, t2, . . .,tN entiers. Le calcul se rduit alors la rsolution de l'quation polynomiale du n-me degr : - F0 + =n1 iiix F = 0 o x = 1/(1+r). Or nous savons quun polynme de degr n a n racines relles ou complexes, que dans certains cas aucune racine relle nexiste et que dans dautres il en existe plusieurs. Or seuls les TRI rels ont un sens financier. Ds lors, le problme de lexistence et de lunicit du taux actuariel se pose. Proposition : Dans le cas d'une squence de flux standard (F0 de signe oppos F pour tout > 0), le taux actuariel existe et est unique dans lintervalle [-1, + [. Cette proposition rsulte directementde la deuxime remarque formule en fin du 1-b) : dans l'intervalle [-1, + [, la courbe reprsentative de VPF(r) coupe l'axe des abscisses en un

6 Aux frais et commissions prs qui interviennent dans le calcul du taux actuariel et non du taux dintrt(cf. section 5 infra). point et un seul r* (cf. les figures 9-a et 9-b), qui correspond donc au taux actuariel, unique, compris entre -100% et + . Lexistence et lunicit du taux actuariel, dmontr ici dans le cas particulier de squences standard, prvaut dans le cas plus gnral de flux de signes non alterns(tous les Fpour < sont de mme signe et de signe oppos aux Fpour > ). Dans le cas de squences de flux de signes alterns, il peut exister plusieurs valeurs du taux d'actualisation qui annulent la valeur nette prsente de la squence, ou aucune (selon la rgle de Descartes). Le cas de flux de signe alterns se pose concrtement pour certains produits hybrides dpargne et de crdit (tel que lpargne logement en France). Le taux actuariel sinterprte laide de la notion de taux dintrt. Considrons une squence standard reprsentative dun investissement : {F}=0, t1, ,tNavec F0 0. Le taux actuariel de cette squence est le taux dintrt dun prt dun capital C = - F0 qui donnerait lieu lchancier de remboursements (capital + intrts) compos de Ft1 , Ft2 . . . FtN. Danslecasduninvestissement,letauxactuarielexprimeunerentabilitalorsque,dansle cas dun financement, il sagit dun cot. b) Calcul du taux actuariel Dans le cas gnral, le calcul du taux actuariel ncessite la rsolution de l'quation (10) :F0 + =+n1tt*) 1 (rF=0; les Fsont donns et l'inconnue est r*. Cette quation na en gnral pas de solution analytique . Ds lors, dans la plupart des cas, la solutionfaitappelunemthodenumrique.Lecalculncessitedesitrationssuccessives, encadrant de plus en plus prs la ou les solutions lorsqu'elle(s) existe(nt), avec une prcision donne. Une calculatrice ou un ordinateur est alors souvent indispensable (leur utilisation est brivement dcrite en Annexe).Danscequisuit,nousnousborneronstudierquelques squencestype deflux galement espacs (ti = i pour i = 1,,n). Squence type 1 : squence de flux constants {- x, y, y ,, y} avec x et y de mme signe.L'quation (10) se simplifie alors en : -x + =+n1*) 1 (ry= 0 , soit encore : =+n1*) 1 (1r = rrn + *) 1 ( 1 = x / y La valeur de r* se dduit alors d'une simple inspection des tables A2 (cf Annexe). Squence type 2 : squence deux flux{-x, y} o x et y sont de mme signe. Son taux actuariel, est (y-x)/x. En effet un prt dun capital x, sur un an, au taux dintrt =xx y , gnre des intrts y-x qui sajoutent au capital x pour donner le flux terminal (y-x)+x = y : ce prt engendre bien la squence {-x, y}. On vrifie que la solution de (10) confirme le rsultat intuitif ; en effet (10) s'crit : x + y/(1 + r*) = 0, d'o r* = (y-x)/x. Squence type 3 : squence in fine : {-x, y ,,y , y + x}, o x et y sont de mme signe.Son taux actuariel est y/x. En effet un prt dun capital x sur la base dun taux dintrt =xy, qui est rembours en bloc au terme de n annes (gnrant ainsi, tous les ans pendant n annes, un montant y dintrts) engendre bien la squence 3.La dmonstration mathmatique confirme lintuition.En effet, (10) scrit : 0 = - x + y =+1 - n1*) 1 (1r+ nrx y*) 1 ( ++ = - x + y =+n1*) 1 (1r+ nrx*) 1 ( + = - x[1 - (1+ r*)-n]+ y[**) 1 ( 1rrn + ] Soit0 = - x + * ry, ce qui dmontre le rsultat. Squencetype4 :renteperptuelle engendrant(x,y,y,,y,linfini).Sontaux actuarielest encore xy. En effet, le prt dun capital x qui nest jamais rembours, sur la base dun taux dintrt = xy, (gnrantainsi,touslesansetindfiniment,unmontantydintrts)engendrebienla squence 4.Onvrifiequeletauxactuarieldelasquence4concideaveccetauxenrsolvant lquation :0 = x +( ) * * 11ryxryii+ =+= , do r* = xy (On utilise le fait que( ) *1* 111r rii=+= ; cf. la relation A4 de lannexe 1). La squence 4 est celle dune rente perptuelle ;y sinterprte comme le montant des intrts verss chaque priode, jusqu' l'infini, pour une mise de fonds initiale de x. 3. Application au choix des investissements : les critres de la VNP et du TRI Les mthodes et les concepts dvelopps dans les deux paragraphes prcdents servent de fondement ltude des investissements et aux critres de la Valeur Nette Prsente et du TRI. a) La Valeur Nette Prsente (VNP) ou Valeur Actuelle nette (VAN) Un investissement, on la vu, est caractris par la chronique de flux quil gnre : F0, Ft1, Ft2, . . . , FtN < 0,> 0,. . . . . . . , > 0 La valeur prsente de cette chronique, actualise aujourdhui en t = 0, est appele VNP (valeur nette prsente) ou valeur actuelle nette (VAN) de linvestissement (cest la formule (6)): VNP = VPF(r) = =++nttrFF1) 1 (0 Rappelonsquelonemploieletermedevaleurnetteprsenteouvaleuractuellenettepour indiquer que lon dfalque la mise de fonds initiale F0 r.Tantrquer*dnotentdestauxpriode,etleurannualisationsoprelaidedelaformule (5-b !!!!!!)delasectionII. Exemple : Danslexempleduprtde13010,rembourssur2ans,parsemestrialitsde3500, qui donne lieu des frais de dossier de 100 , le taux dintrt semestriel r est tel que :0) 1 (500 3) 1 (500 3) 1 (500 3) 1 (500 3010 134 3 2=++++++++ r r r r , soit r = 3% Le taux actuariel semestriel r* est tel que : 0*) 1 (500 3*) 1 (500 3*) 1 (500 3*) 1 (500 3910 124 3 2=++++++++ r r r r, soit r* = 3,32% Les taux annuels correspondants sont (1,03)2 1= 6,09% pour le taux dintrt, et (1,0332)2 1 =6,75% pour le taux actuariel. Remarquons enfin que les dfinitions que lon vient de prsenter sont relatives aux chanciers terme chu (situation habituelle) et non ceux qui donnent lieu des paiements davance des intrts ou mme de la totalit de lchance. Ces derniers seront analyss au paragraphe 2-d ci-dessous. c) Annualisation du taux priode et TEG Lecalculactuarieleffectupartirdelchancierdesfluxdonneuntauxpriode correspondant la priode de capitalisation des intrts (dans notre exemple, il sagissait dun taux semestriel).Leplussouvent,letauxaffichestannualisetleproblmeestdeleconvertirentaux priode. Mais le problme peut se poser dans lautre sens : on part de lchancier de flux laide duquel on calcule un taux actuariel priode (comme dans ce qui prcde) ; on annualise ensuite ce taux priode. Les conversions de taux annuels en taux priode et lannualisation du taux priode se font normalement laide de la relation (5-b) de la section II.La profession bancaire, toutefois, utilise une autre mthode de conversion que celle exprime par la relation (5-b). En effet, le taux effectif global (TEG) d'un emprunt rsulte dune formule dannualisationdutauxpriodelaidedelaformule(5-a) quinevautquepourdestaux proportionnels alors quelle est applique dans le contexte de taux actuariels. Par dfinition, le TEG rsulte en gnral13 de la formule :(14) TEG = m r* o,enconformitaveclesnotationsprcdemmentintroduites,mreprsentelenombrede priodes de rfrence contenues dans une anne et r* est le taux actuariel priode qui prend en compte,ensusdutauxd'intrt,lecotdel'assurancedcsinvalidit,del'assuranceperte d'emploi si elle existe, des ventuelles commissions et des frais de dossier. Il est facile de voir ( partir dun dveloppement en srie) que, pour m > 1 (cest pratiquement toujours le cas), le TEG minore le vritable cot (actuariel) pour lemprunteur. En effet, m r* < (1 + r*)m 1. Letauxeffectifglobaldoittoujourstreuntauxannuel.Parconsquent,lorsquel'ondsire calculer le TEG d'une opration dont lchancier est donn et dont les chances ne sont pas annuelles, il faut commencer par calculer le taux actuariel priode de ce crdit, puis convertir cetauxpriodiqueenuntauxannuel.Acontrario,quandlaquestionestdeconstruireun chancierpartirdunTEGdonn,oncalculedabordletauxpriodepartirduquelon labore lchancier. Par exemple, lorsque l'on dit que le taux d'un crdit immobilier est de 4,5%, cela sous-entend que le taux annuel de ce crdit est gal 4,5%. Mais si le client choisit de rembourser sa dette par des mensualits et non par annuits, il faudra convertir ce taux annuel en un taux mensuel pourlecalculdutableaud'amortissement.Onutiliseradoncletauxmensuelproportionnel 4,5% /12 = 0,375 %, ce qui dsavantage le client. 2.Lanalyse de lchancier et le tableau d'amortissement dun prt-emprunt Le tableau d'amortissement d'un prt comprend les lments suivants, pour chaque priode t de remboursement : -Le montant Ft du versement

13 Pour les crdits immobiliers et destination des professionnels, le TEG sera calcul proportionnellement au taux actuariel priode, conformment (5-a). La formule (5-b) sapplique en revanche dans dautres contextes de -Le montant It des intrts inclus dans le versement-Le montant At de l'amortissement du capital inclus dans le versement (c'est--dire la part de capital rembourse par le prteur l'aide de son versement) -Le capital restant d au prteur aprs remboursement de lchance t not Ct. C'est sur ce capital, d entre t et t+1, que sont calculs les intrts It+1 de lchance t+1.-Le montant de l'assurance dcs-invalidit, ventuellement. a- Elaboration de l'chancier d'un empruntNous supposons ici, provisoirement, quil n'y a ni frais ni assurances relatives l'emprunt et que les intrts sont pays terme choir. A la date t = 0, l'emprunteur encaisse le capital C donc F0 = C et le capital d initialement , C0, est donc gal C. Pour chaque chance t suivante, le versement Ft se dcompose en deux parties : Ft = It + At: -Les intrts pour la priode (t-1 , t): It = r Ct-1 Le remboursement At, (partiel ou total) du capital restant d : At = Ft - It = Ft - r Ct-1 Par ailleurs, Ct = Ct-1 - At(capital restant d la date t = capital restant d la date (t-1) - remboursement effectu la date t). Rappelons que r dsigne un taux priode et remarquons que le capital restant d entre les dates t-1 et t est gal Ct-1 et est infrieur C puisquune partie a dj t rembourse par les versements aux dates comprises entre 1 et t-1. Cest donc sur le montant Ct-1 et non pas sur C que sont calculs les intrts relatifs la priode (t-1, t), pays en t. Remarquons galement que cet algorithme permet de calculer tous les It, At et Ct de proche en proche, comme le montre le tableau damortissement ci-dessous (construit en partant de t = 0 puis en descendant le temps jusqu t = n et en remplissant chaque ligne de gauche droite). DateTotal payer Ft dont intrts It Dont amortissement du capital pour la priode At Capital restant d Ct t = 0000C0 =C t = 1 F1

I1 = r C0 A1 =F1 I1 C1= C0-A1 t = 2 F2

I2 = r C1 A2 =F2 I2 C2= C1-A2 calcul du TEG. ..... tFt

It = r Ct-1 At =Ft It Ct= Ct-1-At t = n Fn

In = r Cn-1 An =Fn In Cn= Cn-1-An =0 ! Exemple : Le tableau d'amortissement d'un emprunt de 13 010 euros au taux semestriel de 3%, rembours en 4 semestrialits de 3 500 euros, se prsente comme suit : DateMontantEchance Intrts : It Remboursement du capital : At Capital restant d : Ct t = 0013 010 t = 1350013 010 3% = 390,303 500 390,30 = 3 109,70 13 010 3 109,70 = 9 900,30 t = 235009 900,30 3%= 297,003 500 297,00 = 3 203,00 9 900,30 3 203 = 6 697,30 t = 335006 697,30 3% = 200,923 500 200,92 = 3 299,08 6 697,30 3299,08 = 3 398,22 t = 435003 398,22 3% = 101,953 500 101,95= 3 398,053 398,05 - 3398,22 014 On aura remarqu quau terme de la dernire chance, le capital restant d Cn, calcul de proche en proche selon lalgorithme prcdemment dcrit, est nul. Ce rsultat, clairement ncessaire la cohrence de la procdure, nest pas vident sur le plan strictement mathmatique. Il rsulte dune proprit plus gnrale du capital restant d, Ct, une chance quelconque t . Nous allons noncer et dmontrer cette proprit aprs avoir prsent quelques formules gnrales concernant lvolution du capital restant d. Considrons un prt qui donne lieu la squence de flux {-C, F1,F2,,Fn}. Rappelons que son taux dintrt r, par dfinition, est tel que : C= C0 = ( )=+nttrFt11 . Par ailleurs, C0 = C et le remboursement du principal de la tme chance est : At = Ft r Ct-1, de sorte que : Ct = Ct-1 At = Ct-1 (Ft r Ct-1), do: (15) Ct = (1+r) Ct-1 Ft Connaissant les chances Ft, cette dernire relation permet de calculer tous les Ct de proche en proche (en partant de C0 = C). On peut alors noncer la proposition suivante. Proposition : Le capital restant d juste aprs une chance quelconque t (0 t n) est gal la valeur prsente en t des chances encore dues, lactualisation tant effectue au taux r du crdit : (16) Ct = ( ) ( )t ntrFrFrF n t+++ +++++1 ...1 1 22 1 Dmonstration : Procdons par rcurrence. La relation (16) est vraie pour t = 0, par dfinition de r. Supposons quelle soit vraie lordre t-1 : Ct-1 = ( ) ( )01 ...1 1 1 21=++ +++++ +t ntrFrFrF n t Or, daprs (15) : Ct = (1+r) Ct-1 Ft , soit: Ct = (1+r) (( ) ( )1 211 ...1 1 + +++ ++++t ntrFrFrF n t) Ft; donc : Ct = ( ) ( )t ntrFrFrF n t+++ +++++1 ...1 1 22 1 ; et la relation (16) est vraie lordre t, ce qui dmontre la proposition. Remarquons quaprs le remboursement de la dernire chance aucun paiement ne reste du, donc Cn = 0. b- Profils usuels de remboursement Le remboursement in fineLe capital emprunt est rembours en une seule fois, la date finale. En revanche, des intrts sont pays chaque priode.Dans le cas d'intrts terme chu15, le diagramme des flux pour l'emprunteur est le suivant : Figure 12 14 L'on n'obtient pas tout fait 0 la fin, du fait des arrondis. 15 Le crdit (moins frquent) intrts terme choir gnre la squence: {C-rC, -rC, -rC, , -rC, -C}. +C - r C- r C- r C t 0 n- C (1+ r) Ce qui correspond la squence de flux :{+C, -rC, -rC, , -rC, -C(1+r)}Nous verrons, au chapitre 4, que les obligations sont en gnral des emprunts in fine intrts pays terme chu, ce qui correspond ce cas de figure. Emprunt amortissement constant (annuits dcroissantes) Le capital restant d est rembours en fractions constantes : chaque date t, une fraction (C/n) est donc rembourse. Ds lors, les valeurs du capital restant d sont : t = 0t = 1t = 2t t = n C0=CC1=C C/nC2=C 2C/nCt=C t C/nC nC/n = 0 Lesintrtssuccessifssendduisent :It=rC(1-(t-1)/n) ;etleschancesenrsultent :Ft =It+C/n. : Soit un crdit ayant le profil suivant : Montant emprunt 1 000 000 euros ; Taux annuel : 5% ; Amortissement annuel constant du capital ; Remboursement par 4 annuits terme chu (en fin de priode). Le tableau damortissement se prsente comme suit : DateTotal payerAmortissement du capital IntrtsCapital restant d01 000 000 1300 000250 00050 000750 000 2287 500250 00037 500500 000 3275 000250 00025 000250 000 4262 500250 00012 5000 Remboursement chances constantes La grille damortissement est calcule de sorte que les versements Ft soient tous gaux une constante F. Ds lors, le montant constant de lchance (remboursement du capital + intrts) est li au capital emprunt C, au taux priode r, et au nombre de priodes n, par la relation : nrC rF+ =) 1 ( 1 En effet, comme on la vu prcdemment, la valeur actualise au taux r de la squence de versements est gale au capital emprunt : C =F=+nttr1) 1 (1=F.rrn + ) 1 ( 1 Do:nrC rF+ =) 1 ( 1 Exemple : Soit un prt de 200 000 euros, semestrialits constantes payes terme chu, de taux dintrt 5,35%. Le remboursement se fait sur 10 semestres. Le diagramme des flux est le suivant : Soit r =5,35% le taux semestriel demprunt. Lavaleurprsenteactualiseautauxrdelasquencedesemestrialitsestgaleaucapital emprunt. On a donc : 200 000 = =+ntt1%) 35 , 5 1 (1 a = 7,59 a do a = 200 000/7,59 = 26 342,98 euros. Le tableau damortissement stablit donc ainsi : Datetotal payerIntrtsamortissement du capital capital restant d 0200 000,00 126 342,9810 700,0015 642,98184 357,02 226 342,989 863,1016 479,88167 877,14 326 342,988 981,4317 361,55150 515,59 426 342,988 052,5818 290,40132 225,19 526 342,987 074,0519 268,93112 956,26 626 342,986 043,1620 299,8292 656,44 +200 000 - -a- -a- -a t 0 10 - a321 726 342,984 957,1221 385,8671 270,58 826 342,983 812,9822 530,0048 740,57 926 342,982 607,6223 735,3625 005,22 1026 342,981 337,7825 005,200,0 c- Prise en compte de l'assurance dcs-invalidit et des autres frais relatifs un emprunt Lorsque l'emprunteur souscrit une assurance dcs-invalidit de taux i, chaque priode, une primedassuranceproportionnelle,galeifoislecapitalrestantd,vientsajouteraux intrts. En fait, tout se passe comme si le taux d'emprunt r tait major de +i. On obtient un taux d'emprunt "assurance comprise" gal (r+i) qui est alors le taux actuariel de la squence F. Le tableau d'amortissement se prsente comme suit : DateTotal payer pour la priode Ft* dont intrts It dont amortissement du capital At dont assurance Capital restant d Ct t = 0000C0 = C t = 1F1 r C0 F1 r C0 i C0C1 t Ftr Ct-1Ft r Ct-1i Ct-1Ct t + 1Ft+1r CtFt+1 r Cti CtCt+1 t = nFnr Cn-1Fn r Cn-1i Cn-10 d- Le cas des barmes terme choirLes chanciers que lon vient de prsenter sont relatifs des barmes terme chu (situation normale). Dans le cas particulier des prts-emprunts terme choir , les chances sont payes davance et, en faisant abstraction des commissions et frais, la vraie squence de flux pour lemprunteur est : F={C-F1, ,-F2,,-Fn} Date du flux :01 n-1 Le taux dintrt r est toujours calcul partir de la squence F ={C, -F1, ,-F2,,-Fn} : ( ) ( )01 ...1 1 ) (22 1=++ +++++ n FrFrFrFC r VPn alors que le taux actuariel r* est calcul laide de la vraie squence F : ( ) ( )0* 1 ...* 1 * 1 ) ( *) (1n231 '21=++ +++++ n FrFrFrFF C r VPLe tableau damortissement de lemprunt terme choir est tabli laide du taux dintrt r, comme sil tait terme chu, et se prsente de faon identique ce dernier. Annexe 1 Progressions gomtriques et actualisation Les calculs financiers faisant intervenir des flux sur plusieurs priodes font souvent appel aux proprits des suites (ou progressions) gomtriques. Dans une suite gomtrique chaque lment se dduit du prcdent par lapplication dun coefficient multiplicatif constant appel la raison de la progression. Ainsi, une progression gomtrique de premier termea et de raison q scrit : a, aq, aq2,, aqn-1, aqn,le (n+1)me terme (aqn) sobtenant partir du nme (aqn-1) par multiplication de ce dernier par la constante q. La somme Sn des n premiers termes dune progression gomtrique dont le premier terme est a et la raison q est : (A1) qqa aq aq aq a Sntermes nnn= + + + 11...1 24 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 En effet : Sn = a+aq++aqn-1 ; donc : qSn = aq+aq2+ +...+ aqn ; En soustrayant la deuxime galit de la premire, il vient : Sn(1-q) = a-aqn ; do :qqa Snn=11. Considrons, en particulier, la valeur prsente dune squence de flux de 1 par an sur n annes: ( ) ( ) ( )nr r r ++ ++++ 11...11112. Il sagit de la somme des n premiers termes dune progression gomtrique dont le premier terme et la raison sont tous deux gaux ( ) r + 11. (A1) conduit alors : (A2) ( ) rrrn nii=+ =+) 1 ( 1111 Exemple : 1000 + 1 0001,01+ 1 000(1.01)2

++1 000(1.01)11 =( )683 1201 1 101 1 1000 112=,,. Le capitalconstitu au terme dune anne (valeur acquise) dans le cadre dun plan dpargneo le taux dintrt mensuel est de 1% et o les versements sont de 1 000 la fin de chaque mois est donc gal 12 683. La relation (A1) donnant le somme des n premiers termes dune progression gomtrique permet, par un passage la limite, de calculer cette somme quand le nombre de termes est infini, condition que la raison soit infrieure un ; en effet, quand q < 1, qn tend vers zro quand n tend vers linfini, et la somme Sn =qqan11 tend vers qa 1 ; soit : (A3)Limn(Sn) S = qa 1 Un tel calcul se prsente quand on considre une rente perptuelle qui donne un coupon annuel constant a jusqu linfini. Pour un taux dactualisation gal r, sa valeur est : V(r) = ( ) ( ) rarrarararan=++= +++ ++++1111...1...1 12 En particulier : (A4)( ) r rii1111=+= Exemple : ( ) ( ) ( )...05 , 11000...05 , 1100005 , 1100005 , 110003 2+ + + + + = nS =05 , 01000 = 20 000. Si le taux dintrt est gal 5%, la valeur dune rente perptuelle donnant un coupon de 1000 par an est donc gale S= 20 000 . Annexe 2 Utilisation des tables financires et des tableurs pour les calculs dactualisation 1.Tables financires a)Calculs de valeurs prsentes Les tables A1 et A2, prsentes la fin de louvrage, donnent les coefficients d'actualisation pour diffrentes valeurs du taux dactualisation r et diffrentes chances n. Dans la table A1, chaque ligne correspond une priode n, et chaque colonne un taux d'intrt r. La valeur de nr) 1 (1+ est inscrite l'intersection d'une ligne et d'une colonne. Les termes de la somme de la formule (6) se calculent alors un par un. Pour dterminer par exemple la valeur prsente de {-50, 6, 6, 6, 56} actualise au taux de 6%, il faut lire l'intersection de la sixime colonne (taux = 6%) et des lignes 1 4 respectivement lescoefficients1/(1,06)1,1/(1,06)2,1/(1,06)3et1/(1,06)4.Onobtientainsiunevaleurnette prsente de : - 50 + 6 0,9434 + 6 0,89 + 6 0,8396 + 56 0,7921 = 10,396. Dans le cas de flux constants, on prfrera utiliser les tables A2 qui donnent, l'intersection delalignenetdelacolonner,lavaleurde ( ) rrrn nii=+ =+) 1 ( 1111,cf.quation(A2), annexe prcdente). Par exemple, les tables A2 indiquent que ( )=1011 , 11ii= 6,1446 . Ds lors, la valeur prsente de la squence de flux : { }4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1fois 10360 ..., 360, 200, 1 , actualise au taux de 10%, est gale : - 1200 + 360 6,1446 = 1 012,056. b)Calcul dun taux actuariel par interpolation, laide des tables.Quand on ne dispose ni dune calculatrice ni dun tableur, le calcul du TRI peut se faire laide des tables financires,par approximations successives : on encadre le TRI par deux valeurs proches, lune trop grande (VNP 0), puis lon effectue une interpolation linaire. Exemple : Considrons la squence de flux : {1 000, 40, , 40, 1 090} 9 fois VNP(r) = 1 000 + 40( )=+9111iir+ 1 09010) 1 (1r + ; la courbe reprsentative de cette fonction de r est reprsente sur le graphique ci-dessous. On cherche dterminer r* tel que VNP(r*)=0 (abscisse du point a sur la figure, intersection delacourbereprsentantVNP(r)etlaxehorizontal).Onprocdeparttonnements,en terminant par une interpolation linaire. Pourr=4%,ontrouveVNP=+33,78,cequisignifiequeletauxr*recherchest>4% . Pour r = 5%,on obtient VNP= 46,52, ce qui signifie que le taux r* recherch est < 5%. Par interpolation linaire, on trouve VNP = 0 pour r = 4,42% : ( % 42 , 4 % 152 , 46 78 , 3378 , 33% 4 = ++; abscisse du point b). Le TRI exact (4,409%, abscisse du point a) est en fait lgrement plus faible que le rsultat de linterpolation linaire, du fait de la convexit de la fonction VNP(r) (cf. la figure). RemarquonsquelestablesA2peuventpermettrededterminerrelativementsimplementle taux actuariel d'une squence de flux constants F conscutifs un dcaissement initial F0. En effet, dans ce cas, r* est simplement solution de l'quation: ( )=+91* 11iir= F0/F. a b4 % 5 % r -46,52 33,78 VNP(r))4,42% 4,409%Pour trouver la valeur de r*, il suffit de se placer sur la ligne correspondant n priodes, et de parcourir cette ligne jusqu' trouver la valeur la plus proche de F0/F; la colonne correspondante donne la valeur approximative du taux actuariel priode.16 c)Lutilisation de tableurs Les tableurs permettent de calculer trs facilement une valeur prsente ( VNP ou VAN) ou un TRI. Toutefois, une lecture pralable du manuel est indispensable pour vrifier l'expression mathmatique de la formule utilise et les hypothses sur lesquelles elle repose (notamment le choix de l'instant de rfrence) qui diffrent d'un logiciel l'autre. Avec Excel par exemple, la VAN dune squence est calcule grce la fonction VAN(taux dactualisation ; squence). Cependant, cette fonction actualise le premier flux. Considrons par exemple la squence {1 000, 40, , 40, 1 090} dont les termes sont inscrits dans la plage A1 :K1 (cf. tableau Excel ci dessous) :VAN(0,04;A1:K1) = 1 00004 , 11 + 40( )=+91104 , 11ii+ 1 09011) 04 , 1 (1 = 32,48. ABCDEFGHIJK 1 -10004040 40 40 40 40 40 40401090232,48 34,409% Or la VAN habituelle est: 1 000 + 40( )=9104 , 11ii+ 1 09010) 04 , 1 (1 = 33,78 ; pour obtenir cette dernire on crira : VAN(0,04;B1:K1)+A1 (ou 1,04*VAN(0,04;A1:K1)). Toujours sous Excel, la fonction financire qui permet de calculer le TRI est TRI(squence). Par exemple TRI(A1:K1) donnera le TRI de la squence des flux inscrits dans la plage A1 :K1, soit 4,409% dans notre exemple.

16 Une interpolation linaire est, ici aussi, en gnral ncessaire. VAN(0,04;A1:K1) TRI(A1:K1)