MATHEMATIQUES - Eléments de TrigonométrieEléments de Trigonométrie1 - Introduction H. Schyns1.2 fig. 1.1 Relation entre angle et corde Alors que la trigonométrie est utilisée

ENSEIGNEMENT DE PROMOTION SOCIALE

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MATHEMATIQUES

- Eléments de Trigonométrie -

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H. Schyns

Novembre 2008

Eléments de Trigonométrie Sommaire

H. Schyns S.1

Sommaire

1. INTRODUCTION

1.1. Plan du document1.2. Petit historique

2. PRINCIPES

2.1. Mesure des angles2.2. Cercle trigonométrique2.3. Variation du sinus et du cosinus

2.3.1. Premier quadrant2.3.2. Deuxième quadrant2.3.3. Troisième quadrant2.3.4. Quatrième quadrant

2.4. Graphe de la fonction2.5. Relation fondamentale2.6. Autres fonctions trigonométriques2.7. Unités de mesure

2.7.1. Le degré2.7.2. Le radian2.7.3. Le grade2.7.4. Le mil angulaire2.7.5. Conversions

2.8. Valeurs particulières

3. RÉSOLUTION DE TRIANGLES RECTANGLES

3.1. Objectif3.2. Relations fondamentales3.3. Mesurer la hauteur d'un arbre3.4. Variante3.5. Mesure d'une altitude

4. RÉSOLUTION DE TRIANGLES QUELCONQUES

4.1. Principe4.2. Formule aux sinus4.3. Formules aux cosinus4.4. Triangulation

4.4.1. Illustration4.4.2. Résolution

Eléments de Trigonométrie Sommaire

H. Schyns S.2

5. FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES

5.1. Avertissement5.2. Angles complémentaires et supplémentaires5.3. Relation fondamentale5.4. Addition d'angles5.5. Angles doubles5.6. Formes tangente5.7. Angles demis5.8. Somme - Produit (Simpson)

6. TRIGONOMÉTRIE ET REPÈRES

6.1. Rotation de repères6.1.1. Position du problème6.1.2. Résolution6.1.3. Illustration

6.2. Coordonnées polaires6.2.1. Principe6.2.2. Conversions6.2.3. Rotations

7. RÉCRÉATION MATHÉMATIQUE

7.1. Déterminer le rayon de la Terre7.2. Calculer la longitude d'un lieu

8. EXERCICES

9. LETTRES GRECQUES

10. SOURCES

Eléments de Trigonométrie 1 - Introduction

H. Schyns 1.1

1. Introduction

1.1. Plan du document

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui traite des relations quiexistent entre la longueur des côtés et l'amplitude des angles dans les triangles.

Le but de ce document est de donner rapidement les notions fondamentales de cettediscipline mathématique aux personnes qui n'auraient pas eu l'occasion de voir cettematière au cours de leurs études... ou qui l'auraient oubliée.

Le premier chapitre donne les définitions et introduit les principales fonctionstrigonométriques dont les plus utilisées en pratique sont les fonctions sinus,cosinus et tangente.

Les deux chapitres suivants exposent d'abord la résolution de problèmes impliquantdes triangles rectangles et ensuite la résolution de problèmes impliquant destriangles quelconques.

Les principales formules trigonométriques sont listées au chapitre 5 sans leurdémonstration car celle-ci sort du cadre de ce cours élémentaire. Un lecteur un peuperspicace n'aura toutefois aucun mal à les démontrer.

Le chapitre suivant applique la trigonométrie au problème du changement decoordonnées lors de la rotation du système d'axes. Il définit également les systèmesde coordonnées polaires dans le plan et le passage d'un système rectangulaire à unsystème polaire et réciproquement.

Une récréation mathématique, quelques exercices et la liste des lettres grecquesclôturent ce document.

1.2. Petit historique

La trigonométrie est une discipline très ancienne. Son développement a été stimulépar les besoins de la géométrie, de la géographie et de l'astronomie. Ses originesremontent aux civilisations d'Egypte antique, de Mésopotamie et de la vallée del'Indus, il y a plus de 4000 ans. La notion de sinus d'un angle apparaît pour lapremière fois en Inde, entre 800 et 500 avant J.C. (1).

Les premières tables trigonométriques sont dues au mathématicien grec Hipparquede Nicée (190 - 120 av. J.C.) : elles donnaient la longueur de la corde [ pp' ]interceptée par un angle [ θ ] dont le sommet est au centre [ o ] d'un cercle de rayon[ R ] fixé (fig. 1.1).

1 A cette époque, nous (en Europe occidentale) dérivions encore en pleine préhistoire et nous n'étions même

pas encore des gaulois qui craignent que le ciel leur tombe sur la tête !

Eléments de Trigonométrie 1 - Introduction

H. Schyns 1.2

fig. 1.1 Relation entre angle et corde

Alors que la trigonométrie est utilisée couramment au premier millénaire par lessavants indiens puis arabes, elle ne se développera en Europe qu'au milieu du XIVe

siècle avec la traduction en latin des œuvres de l'astronome grec Ptolémée (90 -168 ap. J.C.). Le premier ouvrage de référence est publié en 1595 par lemathématicien Bartholomäus Pitiscus sous le titre "Trigonometria" qui donnera sonnom à cette branche des mathématiques.

Notons pour l'anecdote que c'est le mathématicien flamand Adrien Romain (1561 -1615) qui introduira la notation moderne sin(α).

Eléments de Trigonométrie 2 - Principes

H. Schyns 2.1

2. Principes

2.1. Mesure des angles

Traditionnellement, on mesure les angles au moyen d'un rapporteur (fig. 2.1)

fig. 2.1 Mesure d'un angle de 45° au rapporteur

Il s'agit généralement d'un demi-cercle dont la circonférence est graduée en degrés.L'angle qui supporte le demi-cercle est appelé angle plat et vaut 180°.

Pour mesurer un angle avec un rapporteur, on fait coïncider son sommet avec lecentre de l'instrument et l'un de ses côtés avec la base (graduation 0°). L'autre côtéintercepte la demi-circonférence au niveau d'une graduation qui donne la mesure del'angle.

2.2. Cercle trigonométrique

La trigonométrie "moderne" n'est pas une discipline isolée. Comme nous le verrons,elle entretient des liens étroits avec la géométrie analytique et l'algèbre.

L'outil de base de la trigonométrie est le cercle trigonométrique.

fig. 2.2 Le cercle trigonométrique

Il s'agit d'un cercle de rayon [ R ] unitaire, dont le centre coïncide avec l'origine d'unrepère orthonormé d'axes [ x ] et [ y ] (fig. 2.2).

Par convention, on parcourt ce cercle dans le sens inverse des aiguilles d'unemontre en partant de son intersection avec l'axe des abscisses [ x ] en (1, 0). Cesens est appelé sens trigonométrique.

Le tracé passe donc successivement par les points de coordonnées (1, 0), (0, 1),(-1, 0) et (0, -1) pour revenir à (1, 0).


H. Schyns 2.2

Pour mesurer un angle [ θ ], on fait coïncider son sommet avec le centre du cercle etl'un de ses côtés avec l'axe [ x ], à la manière de ce que l'on fait avec un rapporteur.

L'autre côté de l'angle coupe le cercle trigonométrique en un point [ p ].

Par définition :

On appelle cosinus de l'angle [ θ ] l'abscisse du point d'intersection [ p ] dudeuxième côté de l'angle avec le cercle trigonométrique. Cette grandeurest notée cos θ.

On appelle sinus de l'angle [ θ ] l'ordonnée du point d'intersection [ p ] dudeuxième côté de l'angle avec le cercle trigonométrique. Cette grandeurest notée sin θ.

Les coordonnées du point [ p ] sont donc (cos θ, sin θ).

Le moyen mnémotechnique consiste à noter que les termes correspondants

horizontal Ù verticalabscisse Ù ordonnéecosinus Ù sinus

x Ù y

sont toujours dans l'ordre alphabétique.

2.3. Variation du sinus et du cosinus

2.3.1. Premier quadrant

Le cercle trigonométrique est divisé en quatre quadrants, habituellement notés enchiffres romains I, II, III et IV.

fig. 2.3 Variation de sin θ et cos θ dans le premier quadrant

Lorsque l'angle [ θ ] est nul, le point [ p ] est sur l'axe des abscisses; il coïncide avecla première graduation de l'axe horizontal et ses coordonnées sont (1, 0).

Lorsque l'angle [ θ ] augmente, le point [ p ] se déplace sur le cercle trigonométriqueet passe par exemple de [ p ] à [ p' ]. Ce faisant, son abscisse diminue tandis queson ordonnée augmente. Nous en déduisons que, dans le premier quadrant, cos θdiminue et sin θ augmente lorsque l'angle [ θ ] augmente (fig. 2.3).


H. Schyns 2.3

Lorsque l'angle [ θ ] atteint 90°, le point [ p ] est sur l'axe des ordonnées; il coïncideavec la première graduation de l'axe vertical et ses coordonnées sont (0, 1).

Pendant toute la progression cos θ et sin θ sont toujours restés positifs.

Notons que sin θ augmente vite quand l'angle commence à s'ouvrir et augmente demoins en moins vite par la suite. C'est l'inverse pour cos θ.

Angle 0° ä 90°

sin θ 0 ä (+) 1

cos θ 1 æ (+) 0

2.3.2. Deuxième quadrant

Ainsi que nous venons de la voir, lorsque l'angle [ θ ] vaut 90°, le point [ p ] est surl'axe des ordonnées; il coïncide avec la première graduation de l'axe vertical et sescoordonnées sont (0, 1).

fig. 2.4 Variation de sin θ et cos θ dans le deuxième quadrant

Lorsque l'angle [ θ ] continue à augmenter, le point [ p ] poursuit sa progression surle cercle trigonométrique et passe par exemple de [ p ] à [ p' ]. Ce faisant, sonabscisse s'enfonce dans les négatifs tandis que son ordonnée augmente diminue.Nous en déduisons que, dans le deuxième quadrant, cos θ diminue et sin θ diminuelorsque l'angle [ θ ] augmente (fig. 2.4).

Lorsque l'angle [ θ ] atteint 180°, le point [ p ] est sur l'axe des abscisses; il coïncideavec la première graduation négative de l'axe horizontal et ses coordonnées sont(-1, 0).

Pendant toute la progression cos θ est négatif tandis que sin θ est resté positif.

Notons que sin θ diminue lentement quand l'angle s'éloigne de 90° et chute de plusen plus vite par la suite. C'est l'inverse pour cos θ.

Angle 90° ä 180°

sin θ 1 æ (+) 0

cos θ 0 æ (–) -1

2.3.3. Troisième quadrant

L'angle [ θ ] poursuit sa course en entraînant le point [ p ] sur la circonférence. Ladernière position du point [ p ] était sur l'axe des abscisses, en (-1, 0).


H. Schyns 2.4

fig. 2.5 Variation de sin θ et cos θ dans le troisième quadrant

Quand le point [ p ] passe par exemple de [ p ] à [ p' ], son abscisse remonte versl'origine tandis que son ordonnée plonge dans les négatifs. Dans ce quadrant, cos θaugmente tandis que sin θ diminue lorsque l'angle [ θ ] augmente (fig. 2.5).

Lorsque l'angle [ θ ] atteint 270°, le point [ p ] est sur l'axe des ordonnées; il coïncideavec la première graduation négative de l'axe vertical et ses coordonnées sont(0, -1).

Pendant toute la progression cos θ et sin θ sont restés négatifs.

Angle 180° ä 270°

sin θ 0 æ (–) -1

cos θ -1 ä (–) 0

2.3.4. Quatrième quadrant

L'angle [ θ ] termine son premier tour. Le point [ p ] quitte sa dernière position en(0, -1). Son abscisse continue à croître tandis que son ordonnée remonte destréfonds négatifs. Dans ce quadrant, cos θ et sin θ augmentent - mais pas à lamême vitesse - diminue lorsque l'angle [ θ ] augmente (fig. 2.6).

fig. 2.6 Variation de sin θ et cos θ dans le quatrième quadrant

Pendant cette la progression cos θ est positif mais sin θ est encore négatif.

Angle 270° ä 360°

sin θ -1 ä (–) 0

cos θ 0 ä (+) 1


H. Schyns 2.5

2.4. Graphe de la fonction

Il n'y a aucune raison de s'arrêter en si bon chemin. L'angle [ θ ] peut continuer às'ouvrir et entraîner le point [ p ] dans un deuxième tour, puis un troisième, etc. à lamanière d'un athlète bouclant des tours de piste (fig. 2.7).

fig. 2.7 Angle faisant plusieurs tours

Evidemment, un observateur qui verrait une photo de la situation prise à un momentdonné serait incapable de dire si le point [ p ] (ou l'athlète) en est à son premier, àson deuxième ou à son n-ième tour.

Il en résulte que les valeurs de sin θ et cos θ repassent périodiquement par lesmêmes valeurs. Ces fonctions, dites périodiques, sont appelées respectivementsinusoïde et cosinusoïde.

fig. 2.8 Graphe des fonctions sin θ et cos θ

Elles ont toutes deux la même allure et sont simplement décalées l'une par rapport àl'autre de 90°.

A toute valeur de l'angle [ θ ] correspond une et une seule position du point[ p ] et un et un seul couple (cos θ, sin θ).

La réciproque n'est pas vraie : à chaque couple (cos θ, sin θ) correspondbien une et une seule position du point [ p ] mais à cette position correspondune infinité d'angles [ θ ], décalés de 360° les uns par rapport aux autres.

En toute généralité, les angles ne sont jamais définis "qu'à un certain nombre detours près", ce qu'on note

Ζ∈°⋅+ k360kθ


H. Schyns 2.6

2.5. Relation fondamentale

Dans le cercle trigonométrique, les grandeurs sin θ, cos θ et le rayon forment untriangle rectangle (fig. 2.9). En appliquant Pythagore à ce triangle, nous découvronsque :

1sincos 22 =+ θθ [eq. 2.1]

Cette relation très importante est au cœur de nombreuses démonstrations despropriétés trigonométriques.

Nous en déduisons qu'il est toujours possible d'estimer le sinus d'un angle à partir deson cosinus et réciproquement.

θθ 2sin1cos −±= [eq. 2.2]

θθ 2cos1sin −±= [eq. 2.3]

Le signe dépend du quadrant dans lequel se trouve l'angle.

2.6. Autres fonctions trigonométriques

Reprenons la fig. 2.2 et ajoutons deux demi-droites :

- une verticale tangente au cercle en (1, 0),- une horizontale tangente au cercle en (0, 1).

Ces deux demi-droites interceptent le rayon |op| en [ q ] et [ m ] respectivement (fig.2.9)

fig. 2.9 Définition des fonctions tan θ et cotan θ

Les deux verticales définissent deux triangles qui sont tous deux rectangles et quiont aussi l'angle [ θ ] en commun. Par conséquent, ces deux triangles sontsemblables et les rapports entre les côtés homologues sont égaux :

1oq

sinuq

cos1

==θθ

[eq. 2.4]

A partir des deux premiers membres, nous définissons la fonction tangente del'angle θ, noté tan θ ou tg θ :


H. Schyns 2.7

θθθ tan

cossinuq == [eq. 2.5]

A partir du premier et du troisième membre, nous définissons la fonction sécante del'angle θ, noté sec θ :

θθ

seccos

1oq == [eq. 2.6]

Par ailleurs, les deux horizontales de la fig. 2.9 définissent aussi deux triangles quisont tous deux rectangles et qui ont aussi un angle [ 90°-θ ] en commun. Parconséquent, ces deux triangles sont semblables et les rapports entre les côtéshomologues sont égaux :

1om

cosvm

sin1

==θθ

[eq. 2.7]

A partir des deux premiers membres, nous définissons la fonction cotangente del'angle θ, noté cotan θ ou cotg θ :

θθ

θθ

tan1ancot

sincosvm === [eq. 2.8]

A partir du premier et du troisième membre, nous définissons la fonction cosécantede l'angle θ, noté cosec θ ou csc θ:

θθ

eccossin

1om == [eq. 2.9]

Les variations des principales fonctions trigonométriques sont reprises ci-dessous :

Angle 0° ä 90° ä 180° ä 270° ä 360°

sin θ 0 ä 1 æ 0 æ -1 ä 0

cos θ 1 æ 0 æ -1 ä 0 ä 1

tan θ 0 ä +∞ | -∞ ä 0 ä +∞ | -∞ ä 0

cotan θ -∞ | +∞ æ 0 æ -∞ | +∞ æ 0 æ -∞ | +∞

On note que la fonction tangente est toujours croissante et qu'elle a uncomportement asymptotique, qui tend vers l'infini (+|–) quand l'angle tend vers 90°,270°, etc (fig. 2.10).

Par contre, la fonction cotangente est toujours décroissante et a un comportementasymptotique, qui tend vers l'infini (–|+)quand l'angle tend vers 0°, 180°, etc.

fig. 2.10 Graphe des fonctions tan θ et cotan θ


H. Schyns 2.8

2.7. Unités de mesure

2.7.1. Le degré

Le degré (°) est l'unité de mesure historique des angles plans. Un tour completcompte 360 degrés; un angle droit compte 90°.

Cette unité nous vient des Babyloniens. On pense que les astronomes babyloniens,dont l'année comptait 360 jours, utilisaient le degré comme unité de mesure dudécalage quotidien des étoiles : au bout d'un an, c'est-à-dire quand la Terre aaccompli un tour complet sur son orbite, les mêmes étoiles reviennent aux mêmespositions dans le ciel aux mêmes heures.

Un degré est subdivisé en 60 minutes d’arc (′), elles-mêmes divisées en 60secondes d’arc (″), un autre héritage des Babyloniens qui comptaient en base 60(système sexagésimal) (1).

Notons que le degré ne fait pas partie des unités du système international (SI), maisque la tradition en a gardé l'usage.

2.7.2. Le radian

En toute généralité, en géométrie, la mesure d'un angle est donnée par le rapportentre la longueur de l'arc [ S ] intercepté sur le cercle trigonométrique et le rayon[ R ] de ce cercle :

RS

=θ [eq. 2.10]

L'angle est alors mesuré en radians. Il s'agit d'une mesure adimensionnelle (2). Leradian (rad) est l'unité d'angle plan du système international (SI).

Un angle de 1 rad est un angle, qui, ayant son sommet au centre d'un cerclede rayon unitaire intercepte, sur la circonférence de ce cercle, un arc delongueur unitaire.

Un angle plein est un angle qui intercepte la totalité de la circonférence. Dans cecas, l'équation [2.10] devient :

ππ

θ 2R

R2=

⋅= [eq. 2.11]

L'angle plein vaut donc 2π radians, soit 6.2832... radians.

Un radian vaut 57.30°, soit un peu moins de 60° ainsi que le montre la fig. 2.11

1 Et dire que certains trouvent que le binaire est compliqué !2 On appelle mesure ou valeur adimensionnelle une valeur dont toutes les unités se sont simplifiées. Dans

le cas présent, le calcul de l'angle fait le rapport entre la longueur de l'arc (en mètres) et la longueur durayon (en mètres également). Les unités du numérateur et du dénominateur étant identiques, elles sesimplifient et disparaissent. Le résultat est un nombre "pur".


H. Schyns 2.9

fig. 2.11 Définition du radian

L'utilisation des radians est impérative (et implicite) dans tous les problèmesd'analyse mathématique, de géométrie analytique, etc.

On convertit facilement les degrés en radians et réciproquement grâce à une règlede trois qui génère les formules suivantes :

( ) ( )π

θθ°

⋅=180raddeg [eq. 2.12]

( ) ( )°

⋅=180

degrad πθθ [eq. 2.13]

Le radian est une unité peu commode en pratique. Dès lors, elle est relativementpeu utilisée en dehors des branches scientifiques.

2.7.3. Le grade

Le grade est l'unité de mesure centésimale des angles. Il se note généralement gret parfois gon (1).

Un tour complet compte 400 gr et un angle droit vaut 100 gr.

On passe facilement des grades aux degrés et réciproquement par une simple règlede trois.

La définition du grade découle de celle du mètre. En effet, à l'origine, le mètre étaitdéfini comme la 10 millionième partie du quart du méridien terrestre, ce qui donnaitpar définition une circonférence de 40.000 km à la Terre. Il était dès lors aisé dedéfinir le grade comme l'angle qui, ayant son sommet au centre de la Terre,intercepte un arc de 100 km de long à la surface.

Le grade est l'unité légale de mesure d'angle pour l'ensemble des travauxtopographiques (arpentage, génie civil) et géodésiques (IGN) réalisés en France.En dehors de ces domaines, il est peu ou pas utilisé.

2.7.4. Le mil angulaire

Le mil ou millième angulaire est l'unité d'angle en usage dans le domaine militaire.Elle est utilisée surtout pour les instruments d'orientation et de pointage. Sonsymbole est un "m" barré à 30 degrés.

1 du grec "gônia" qui signifie "angle".


H. Schyns 2.10

Un tour complet compte 6400 mil et un angle droit vaut 1600 mil (1).

Cette unité dérive du radian. En effet, un tour complet compte 6.283 radians ou6283 milliradian. Par convention, il a été choisi un chiffre rond, 6400, qui al'avantage d'être divisible par des puissances de 2.

Un angle d'un mil correspond à environ un segment vertical de un mètre de haut vudepuis une distance de un kilomètre. Un angle de 4 mil correspondapproximativement à l'angle de rotation de la Terre en 1 minute.

Cette unité a l'avantage de donner rapidement une approximation des distances etdes angles sans avoir à faire de calcul trigonométrique.

2.7.5. Conversions

Degrés Radians Grades Mils0° 0 0 0

30° π/6 33.3 533

45° π/4 50 800

60° π/3 66.7 1 067

90° π/2 100 1 600

120° 2π/3 133.3 2 133

135° 3π/4 150 2 400

150° 5π/6 166.7 2 667

180° π 200 3 200

2.8. Valeurs particulières

Il est aisé de calculer les valeurs des fonctions trigonométriques pour quelquesangles particuliers tels que 30°, 45°, 60°. Il suffit de partir soit d'un triangle isocèlerectangle, soit d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle trigonométrique etd'appliquer le théorème de Pythagore (fig. 2.12).

fig. 2.12 Calcul des fonctions trigonométriques pour 30°, 45° 60°

Ces valeurs caractéristiques sont résumées dans le tableau ci-dessous :

1 Définition valable pour les pays de l'OTAN et le Canada, mais on connaît aussi le mil soviétique

(6000 mil/tour) et le mil suédois (6300 mil/tour).


H. Schyns 2.11

Angle 0° 30° 45° 60° 90°

sin θ 021

22

23 1

cos θ 123

22

21 0

tan θ 033 1 3 +∞

cotan θ +∞22 1

33 0

Le tableau se reconstruit facilement si on note que la première ligne peut aussis'écrire

sin θ20

21

22

23

24

La ligne suivante est identique à la première mais écrite en sens inverse; Latroisième se calcule en faisant le rapport des deux lignes supérieures et la quatrièmeest identique à la troisième mais écrite en sens inverse.

Les fonctions sinus et cosinus admettent un développement en série qui prend laforme d'un polynôme :

( )∑∞

=

+

+−=

0k

1k2k

!1k2x)1(xsin [eq. 2.14]

( )∑∞

=

−=0k

k2k

!k2x)1(xcos [eq. 2.15]

où [ x ] est l'angle exprimé en radians (1).

Pour les angles compris entre 0 et π/4, ces développements donnent déjà uneexcellente approximation avec trois chiffres significatifs lorsqu'on les limite aux troispremiers termes :

!5x

!3xxxsin

53+−= [eq. 2.16]

!4x

!2x1xcos

42+−= [eq. 2.17]

Bien utile quand la calculatrice disponible est dépourvue des fonctionstrigonométriques.

1 L'emploi de θ, α ou x pour désigner les angles est absolumet indifférent.

Eléments de Trigonométrie 3 - Résolution de triangles rectangles

H. Schyns 3.1

3. Résolution de triangles rectangles

3.1. Objectif

Un triangle est défini par six éléments :

- trois angles,- trois côtés.

En toute généralité, il suffit de connaître trois de ces éléments pour déterminer lestrois autres. Le seul cas indéterminé est celui de la connaissance des trois anglesqui ne permet pas de définir la longueur absolue des côtés mais seulement lerapport des longueurs.

Dans le cas particulier du triangle rectangle, un des angles est déjà connu pardéfinition. Pour déterminer tous les autres éléments, il suffit donc de connaître

- soit l'amplitude de l'un des angles non droits et la longueur d'un des côtés,- soit la longueur d'un côté de l'angle droit et celle de l'hypoténuse,- soit la longueur des deux côtés de l'angle droit.

Cette résolution est de première importance dans de très nombreux cas pratiquestels que la cartographie ou la navigation.

3.2. Relations fondamentales

Considérons le triangle ABC, rectangle en [ B ] (fig. 3.1).

Plaçons un cercle trigonométrique pour mesurer l'angle en [ A ]. Le cercletrigonométrique définit un petit triangle ADE, rectangle en [ D ]

fig. 3.1 Relations fondamentales dans un triangle rectangle

Ces deux triangles sont semblables car leurs angles sont identiques. Dès lors, leurscôtés homologues sont dans le même rapport :

BCDE

ACAE

ABAD

== [eq. 3.1]


H. Schyns 3.2

Or,

1AEsinDEcosAD

===

θθ

[eq. 3.2]

d'où

BCsin

AC1

ABcos θθ

== [eq. 3.3]

Les différentes égalités nous donnent successivement

θcosACAB ⋅= [1 et 2] [eq. 3.4]

θsinACBC ⋅= [2 et 3] [eq. 3.5]

θθθ tanAB

cossinABBC ⋅=⋅= [2 et 3] [eq. 3.6]

En désignant les côtés selon la position qu'ils occupent par rapport à l'angle [ θ ] :

- AC est l'hypoténuse,- AB est le côté adjacent à l'angle [ θ ],- BD est le côté opposé à l'angle [ θ ],

nous obtenons les expressions

Un côté = hypoténuse ∙ cosinus de l'angle adjacentUn côté = hypoténuse ∙ sinus de l'angle opposéUn côté = autre côté ∙ tangente de l'angle opposé

Notons comme moyen mnémotechnique que adjacent et opposés sont dans l'ordrealphabétique comme cosinus et sinus.

3.3. Mesurer la hauteur d'un arbre

Un observateur a déposé un appareil de visée sur le sol, à 12 mètres du pied d'unarbre et au même niveau (fig. 3.2). Il fait une visée vers le sommet de l'arbre ets'aperçoit que l'angle de visée fait 30° avec l'horizontale. Quelle est la hauteur del'arbre ?

fig. 3.2 Mesurer la hauteur d'un arbre


H. Schyns 3.3

La fig. 3.2 montre que la visée, l'arbre et le sol définissent un triangle rectangle ABCdont on connaît un côté et un angle et dont on désire connaître l'autre côté.

Nous devons donc appliquer la relation

Un côté = autre côté ∙ tangente de l'angle opposé

qui devient ici

°⋅= 30tanABBC [eq. 3.7]

m92.63312BC =⋅= [eq. 3.8]

3.4. Variante

Reprenons le problème précédent.

En réalité, pour des raisons de confort évidentes, l'appareil de visée n'est pas posésur le sol mais bien sur un trépied à 1,50 m du sol (fig. 3.3).

A quelle distance du même arbre, l'observateur devra-t-il se placer, pour que l'anglede visée fasse toujours un angle de 30° avec l'horizontale ?

fig. 3.3 Mesurer avec un appareil sur un trépied

Comme le montre la fig. 3.3, le triangle rectangle est maintenant décaléverticalement de 1,50m. Comme il s'agit toujours du même arbre, nous endéduisons que

m42.550.192.6BC =−= [eq. 3.9]

La relation [3.7] est toujours valable mais cette fois, c'est [ AB ] que nous cherchons :

°⋅= 30tanABBC [eq. 3.10]

AB30tan

BC=

°[eq. 3.11]

m39.93

342.5

3342.5AB =⋅== [eq. 3.12]


H. Schyns 3.4

3.5. Mesure d'une altitude

Lors d'une montgolfiade, Albert et Bernard tentent d'estimer l'altitude de vol desballons. Ils se sont placés exactement à 150 m l'un de l'autre et effectuent desvisées chaque fois qu'une montgolfière passe à la verticale de la ligne qui lessépare.

Dans le cas présent, Albert voit une montgolfière sous un angle de 65° avecl'horizontale tandis que Bernard la voit sous un angle de 75° (on suppose que lesappareils de visée sont au niveau du sol).

Quelle est l'altitude de la montgolfière ?

fig. 3.4 Mesurer l'altitude d'un aéronef

Le problème est schématisé à la fig. 3.4. Il s'agit de mesure la hauteur [ h ].Malheureusement, la verticale MP ne passe certainement pas au milieu du segmentAB. Pour cela, il faudrait que le triangle AMB soit isocèle ce qui impliquerait desangles en A et B égaux.

Faute de mieux, appelons

- x : la distance entre Albert [ A ] et le pied de la verticale [ P ]- y : la distance entre Bernard [ B ] et le pied de la verticale [ P ]

Puisque nous avons trois inconnues (x, y, h), nous devons extraite trois équations del'énoncé.

La distance totale entre Albert et Bernard est connue d'où

150yx =+ [eq. 3.13]

Dans le triangle APM nous pouvons écrire

0x145.2hx145.265tanxh

=−=°⋅=

[eq. 3.14]

Dans le triangle BPM nous pouvons écrire

0y732.3hy732.375tanyh

=−=°⋅=

[eq. 3.15]

Le système peut être résolu assez simplement de plusieurs manières. A titred'application, nous allons appliquer la méthode de Gauss-Jordan :


H. Schyns 3.5

x y h ti1 1 0 150

-2.145 0 1 00 -3.732 1 0

Comme le tableau contient déjà beaucoup de "0" et de "1", nous pouvons noussimplifier la tâche en permutant les colonnes [ h ] et [ x ]. Ceci amènemalheureusement des zéros sur toute la diagonale. Nous allons donc effectuer unerotation des lignes vers le haut pour contourner le problème

h y x ti h y x ti0 1 1 150 1 0 -2.145 01 0 -2.145 0 Ù 1 -3.732 0 01 -3.732 0 0 0 1 1 150

La première ligne étant déjà normalisée et la troisième contenant déjà un "0" enpremière colonne, l'étape de soustraction se limite à [L2-L1] :

h y x ti h y x ti1 0 -2.145 0 norm 2 1 0 -2.145 00 -3.732 2.145 0 Ù 0 1 -0.575 00 1 1 150 0 1 1 150

La première ligne contenant déjà un "0" en deuxième colonne, l'étape desoustraction se limite à [L3-L2] :

h y x ti h y x ti1 0 -2.145 0 1 0 -2.145 00 1 -0.575 0 norm 3 0 1 -0.575 00 0 1.575 150 Ù 0 0 1 95.24

Nous obtenons les solutions indiques par la diagonale en remontant :

h y x ti1 0 0 204.29 L1-(-2.145)L30 1 0 54.75 L2-(-0.575)L30 0 1 95.24

La montgolfière est donc à une altitude de 204,3 m que nous arrondissons à 204 mcompte tenu de l'imprécision des mesures.

Il faut bien avouer que, dans le cas présent Gauss-Jordan est un peu le canon utilisépour tuer une mouche.

Eléments de Trigonométrie 4 - Résolution de triangles quelconques

H. Schyns 4.1

4. Résolution de triangles quelconques

4.1. Principe

Un triangle quelconque peut toujours être divisé en deux triangles rectangles. Ilsuffit pour cela de tracer une de ses hauteurs.

fig. 4.1 Un triangle quelconque

En partant des relations de triangles rectangles, on définit deux séries de formulesqui s'appliquent aux triangles quelconques :

- le formules aux sinus,- les formules aux cosinus.

4.2. Formule aux sinus

Si on note

- A, B, C, les sommets du triangle quelconque- α, β, γ, les angles en ces sommets- a, b, c, les longueurs des côtés opposés à ces angles,

alors on a

γβα sinc

sinb

sina

== [eq. 4.1]

4.3. Formules aux cosinus

Ces formules représentent une extension au théorème de Pythagore. Ellesexpriment que, si l'angle est inférieur à un angle droit, alors le segment opposé estinférieur à la somme des carrés des côtés :

αcoscb2cba 222 ⋅⋅⋅−+= [eq. 4.2]

βcosac2acb 222 ⋅⋅⋅−+= [eq. 4.3]

γcosba2bac 222 ⋅⋅⋅−+= [eq. 4.4]

Notons que ces trois formules résultent simplement d'une rotation de a, b et c.


H. Schyns 4.2

4.4. Triangulation

Quand il s'agit de mesurer de distances qui ne sont pas directement accessibles, latrigonométrie apporte une aide essentielle. Le procédé employé se nomme latriangulation.

Le procédé a été utilisé par Delambre et Méchain de 1792 à 1799 pour mesurer lalongueur du méridien terrestre de Dunkerke à Barcelone et définir le mètre commeunité de mesure universelle.

4.4.1. Illustration

Pour faciliter le déplacement des habitants, les autorités ont décidé de construire unpont au-dessus d'un lac infesté de crocodiles (fig. 4.2). Ce pont doit joindre lespoints [ A ] et [ B ] situés à une distance raisonnable des bords du lac.

fig. 4.2 Mesurer une distance inaccessible

Pour des raisons bien compréhensibles, les ingénieurs en charge du projet préfèrentne pas prendre le risque d'une mesure directe qui nécessiterait une traversée enbarque.

En contournant le lac, ils commencent par planter des jalons bien visibles de loin en[ A ] et en [ B ]. Puis, en bordure du lac, en lieu sûr, ils mesurent très précisément lesegment de route rectiligne qui va de [ C ] à [ D ]. Ce segment mesure 300,0 m.

Ensuite, ils plantent un goniomètre en [ C ] et mesurent les angles BCD, ACD et,pour confirmation, l'angle ACB. Ils transportent ensuite le matériel en [ D ] etmesurent les angles ADC, BDC et, pour confirmation, l'angle ADB.

Déterminer la longueur du segment |AB| connaissant les angles :

BCD ACD ACB ADC BDC ADB42° 107° 65° 51° 118° 67°

4.4.2. Résolution

Le segment |AB| fait partie des triangles ABC et ABD que l'on peut résoudre àcondition de connaître trois de leurs éléments :

- soit un côté et deux angles,- soit deux côtés et l'angle adjacent.

Comme nous connaissons déjà les angles ACB et ADB, il nous suffit de connaître lalongueur des côtés |AC| et |BC| ou |AD| et |BD|.


H. Schyns 4.3

Pour déterminer |AC| et |AD|, nous pouvons utiliser le triangle ACD dont nousconnaissons déjà un côté |CD| et deux angles ACD et ADC.

Sachant que la somme des angles d'un triangle vaut 180°, l'angle au sommet CADvaut :

°=°−°−°=−−°= 2251107180ADCACD180CAD

En appliquant la relation aux sinus [4.1] :

ADCsinAC

ACDsinAD

CADsinCD

== [eq. 4.5]

°=

°=

° 51sinAC

107sinAD

22sin300

Les deux premiers membres donnent :

m9.7653746.09563.0300

22sin107sin300AD =⋅=

°°

⋅= [eq. 4.6]

Le premier et le dernier donnent :

m3.6223746.07771.0300

22sin51sin300AC =⋅=

°°

⋅= [eq. 4.7]

Pour déterminer |BC| et |BD|, nous pouvons utiliser le triangle BCD dont nousconnaissons déjà un côté |CD| et deux angles BCD et BDC.

Sachant que la somme des angles d'un triangle vaut 180°, l'angle au sommet CBDvaut :

°=°−°−°=−−°= 2011842180BDCBCD180CBD

En appliquant la relation aux sinus [4.1] :

BDCsinBC

BCDsinBD

CBDsinCD

== [eq. 4.8]

°=

°=

° 118sinBC

42sinBD

20sin300

Les deux premiers membres donnent :

m9.5863420.06691.0300

20sin42sin300BD =⋅=

°°

⋅= [eq. 4.9]

Le premier et le dernier donnent :

m5.7743420.08829.0300

22sin118sin300BC =⋅=

°°

⋅= [eq. 4.10]

Nous pouvons à présent appliquer la règle des cosinus [4.2] dans le triangle ABC

ACBcosBCAC2BCACAB 222 ⋅⋅⋅−+= [eq. 4.11]


H. Schyns 4.4

°⋅⋅⋅−+= 65cos5.7743.62225.7743.622AB 222

8.727579AB 2 =

4.761AB = m

A titre de vérification, nous pouvons aussi appliquer la règle des cosinus [4.2] dans letriangle ABD

ADBcosBDAD2BDADAB 222 ⋅⋅⋅−+= [eq. 4.12]

°⋅⋅⋅−+= 67cos9.5869.76529.5869.765AB 222

9.781579AB 2 =

m4.761AB =

Les deux résultats sont identiques, ce qui fait toujours plaisir.

Eléments de Trigonométrie 5 - Formules trigonométriques

H. Schyns 5.1

5. Formules trigonométriques

5.1. Avertissement

Les élèves sont toujours affolés quand on leur présente la liste des formulestrigonométriques, se demandant comment ils vont bien pouvoir stocker tout ça dansleurs neurones.

En réalité, seules les deux premières formules ([5.1] et [5.2]) doivent être connues.Pour les autres, il suffit de savoir qu'elles existent. En effet, toutes se reconstruisentaisément à partir des deux (cinq) premières et de l'application d'un peu d'algèbre etde sens logique.

5.2. Angles complémentaires et supplémentaires

Il suffit de connaître les sinus et cosinus des angles du premier octant pour connaîtrele sinus et le cosinus de n'importe quel angle (fig. 5.1). En d'autres mots, on peuttoujours ramener un angle dans le premier octant pour en calculer les grandeurstrigonométriques.

fig. 5.1 Angles complémentaires et supplémentaires

- Tableau des π

Angle θ π - θ π + θ -θsinus sin θ sin θ – sin θ – sin θ

cosinus cos θ – cos θ – cos θ cos θ

- Tableau des π /2

Angle θ π/2 - θ π/2 + θ 3π/2 - θ 3π/2 + θsinus sin θ cos θ cos θ – cos θ – cos θ

cosinus cos θ sin θ – sin θ – sin θ sin θ

Ces tableaux et la fig. 5.1 montrent par exemple que

θθπ

θθπ

cos)2

sin(

cos)cos(

=+

−=−


H. Schyns 5.2

5.3. Relation fondamentale

1cossin 22 =+ αα [eq. 5.1]

5.4. Addition d'angles

βαβαβα sincoscossin)sin( ⋅+⋅=+ [eq. 5.2]

βαβαβα sincoscossin)sin( ⋅−⋅=− [eq. 5.3]

βαβαβα sinsincoscos)cos( ⋅−⋅=+ [eq. 5.4]

βαβαβα sinsincoscos)cos( ⋅+⋅=− (1) [eq. 5.5]

βαβα

βαtantan1

tantan)tan(⋅−

+=+ [eq. 5.6]

βαβα

βαtantan1

tantan)tan(⋅+

−=− [eq. 5.7]

5.5. Angles doubles

ααα cossin22sin ⋅= [eq. 5.8]

ααα 22 sincos2cos −= [eq. 5.9]

1cos22cos 2 −= αα [eq. 5.10]

αα 2sin212cos −= [eq. 5.11]

α

αα

2tan1tan22tan

−= [eq. 5.12]

5.6. Formes tangente

α

αα

2tan1

tansin+

±= [eq. 5.13]

αα

2tan1

1cos+

±= [eq. 5.14]

Ces formes sont très utiles en analyse de fonction car elles permettent de retrouverle sinus et cosinus d'un angle à partir de la tangente donnée par la dérivée.

5.7. Angles demis

2tan1

2tan2

sin2 α

α

α+

= [eq. 5.15]

1 Le moyen mnémotechnique consiste à dire que le sinus partage et est conciliant tandis que le cosinus est

égoïste (lui d'abord) et contradictoire (- devient + et réciproquement).


H. Schyns 5.3

2tan1

2tan1

cos2

2

α

α

α+

−= [eq. 5.16]

2tan1

2tan2

tan2 α

α

α−

= [eq. 5.17]

5.8. Somme - Produit (Simpson)

)2

cos()2

sin(2sinsin βαβαβα

−⋅

+=+ [eq. 5.18]

)2

sin()2

cos(2sinsin βαβαβα

−⋅

+=− [eq. 5.19]

)2

cos()2

cos(2coscos βαβαβα

−⋅

+=+ [eq. 5.20]

)2

sin()2

sin(2coscos βαβαβα

−⋅

+−=− [eq. 5.21]

Evidemment, en manipulant un peu les formules, peut aussi transformer un produiten somme.

Eléments de Trigonométrie 6 - Trigonométrie et repères

H. Schyns 6.1

6. Trigonométrie et repères

6.1. Rotation de repères

6.1.1. Position du problème

Ce problème de la rotation des repères est de première importance dans tous lesprogrammes d'animation vidéo, la circulation maritime et aérienne, etc.

fig. 6.1 Rotation d'un repère orthonormé

Un point [ A ] est repéré par les coordonnées (xA, yA) dans un système d'axesorthonormés x,y dont les unités sont respectivement e1 et e2 (fig. 6.1).

Le point [ A ] étant fixe, on fait pivoter le repère d'un angle [ θ ] dans le senstrigonométrique. Les axes sont orientés selon x' et y' et les unités sont e'1 et e'2.

Dans ce nouveau repère, les coordonnées du point [ A ] sont devenues (x'A, y'A).

Comment exprimer x'A et y'A en fonction de xA, yA et θ ?

Pour rendre le schéma plus parlant, nous pouvons imaginer [ A ] est une tour decontrôle et que xA et yA représentent respectivement l'axe du fuselage et des ailesd'un avion qui change de cap.

6.1.2. Résolution

Observons tout d'abord que ABDx'A est un rectangle et, d'autre part, que tous lestriangles rectangles de la figure sont semblables car l'un des angles aigus vaut [ θ ].

Considérons le segment Ox'A. Il est formé du petit côté du triangle I (OyAD) et dugrand côté du triangle III (BAyA).

AA xDODxO ′+=′ [eq. 6.1]

Or

θsinOyOD A ⋅= [eq. 6.2]


H. Schyns 6.2

θθ cosOxcosAyBA'Dx AAA === [eq. 6.3]

θθ sinOycosOxxO AAA +=′ [eq. 6.4]

ou, en revenant aux abscisses et ordonnées, ce qui revient au même :

θθ sinycosxx AAA ⋅+⋅=′ [eq. 6.5]

Considérons à présent le segment Oy'A. Il est formé du grand côté du triangle I(OyAD) dont on soustrait le petit côté du triangle III (BAyA)

EyOEyO AA ′−=′ [eq. 6.6]

Or

θcosOyOE A ⋅= [eq. 6.7]

θθ sinOxsinAyByE'y AAAA === [eq. 6.8]

θθ sinOxcosOyyO AAA −=′ [eq. 6.9]

ou, en revenant aux abscisses et ordonnées, ce qui revient au même :

θθ cosysinxy AAA ⋅+⋅−=′ [eq. 6.10]

Nous obtenons ainsi un premier système qui donne les coordonnées dans le repèrequi a pivoté en fonction de celles du repère initial

⋅+⋅−=′⋅+⋅=′

θθθθ

cosysinxysinycosxx

AAA

AAA [eq. 6.11]

Les coordonnées de e'1 et e'2 dans le repère (e1, e2) sont

( ))cos,sin(e

sin,cose

2

1θθ

θθ−≡′

≡′[eq. 6.12]

ce qui constitue un moyen mnémotechnique des équations [6.11].

Pour trouver la transformation inverse, il suffit de multiplier la première équation parsin θ; la seconde par cos θ et de les additionner membre à membre sans oublierd'utiliser la relation fondamentale :

θθ cosysinxy AAA ⋅′+⋅′= [eq. 6.13]

Si nous faisons le contraire, multiplier la première équation par cos θ; la seconde parsin θ et ensuite les soustraire membre à membre nous obtenons :

θθ sinycosxx AAA ⋅′−⋅′= [eq. 6.14]

Nous obtenons ainsi un second système qui donne les coordonnées dans le repèreinitial en fonction de celles du repère qui a pivoté :

⋅′+⋅′=⋅′−⋅′=

θθθθ

cosysinxysinycosxx

AAA

AAA [eq. 6.15]


H. Schyns 6.3

Les coordonnées de e1 et e2 sont dans le repère (e'1, e'2)

( ))cos,(sine

sin,cose

2

1θθθθ

≡−≡

[eq. 6.16]

ce qui constitue un moyen mnémotechnique des équations [6.15].

6.1.3. Illustration

Lors du rallye Paris-Dakar, une jeep se dirige plein Est sur la piste H (fig. 6.2).

Les concurrents désirent se réapprovisionner en eau soit à l'oasis Ben Zihn, soit àl'oasis Al Ahmer. Selon les indications de leur carte, pour atteindre la première, ilsdoivent suivre la piste H pendant encore 30 km puis prendre plein Nord à traverstout pendant 45 km. Pour la seconde, ils doivent poursuivre vers l'Est pendant120 km puis prendre plein Nord a travers tout pendant 30 km.

Les concurrents peuvent aussi prendre la track A, plus avantageuse, mais très maltracée et qui nécessite pratiquement une navigation à la boussole. De plus la cartene donne aucune indication quant aux distances auxquelles ils devront essayer deretrouver les traces qui tournent à angle droit pour atteindre les oasis, ni quellesdistances ils devront parcourir sur ces traces.

Déterminez ces distances sachant que l'orientation générale de la track A fait unangle de 38° vers le Nord avec la piste H.

fig. 6.2 Détermination des coordonnées des oasis

Dans le système d'axes formé par la piste H (axe x) et la direction du Nord (axe y),les coordonnées des deux oasis sont

- Ben Zihn (30, 45),- Al Ahmer (120, 30);

Le problème se ramène à situer les oasis dans un système d'axes formé par latrack A (axe x) et sa perpendiculaire (axe y) sachant que ce système d'axes a subiune rotation de 38° par rapport au premier.

Les distances sont facilement déterminées par les équations [6.11] qui donnent, pourla première oasis :

°⋅+°⋅−=′°⋅+°⋅=′

38cos4538sin30y38sin4538cos30x

A

A [eq. 6.17]


H. Schyns 6.4

=⋅+⋅−=′=⋅+⋅=′

km0.17788.045616.030ykm4.51616.045788.030x

A

A [eq. 6.18]

et pour la seconde :

°⋅+°⋅−=′°⋅+°⋅=′

38cos3038sin120y38sin3038cos120x

A

A [eq. 6.19]

−=⋅+⋅−=′=⋅+⋅=′

km3.50788.030616.0120ykm0.113616.030788.0120x

A

A [eq. 6.20]

Le chiffre négatif signifie simplement qu'après 113 km sur la track A, il faudra tournerà droite et non à gauche et rouler pendant 50.3 km.

Le chemin pour atteindre l'oasis Ben Zihn est plus court par la track A (68.4 km aulieu de 75 km) tandis que celui pour atteindre l'oasis Al Ahmer est plus long(163.3 km au lieu de 150 km).

6.2. Coordonnées polaires

6.2.1. Principe

Jusqu'à présent, nous avons l'habitude de repérer un point [ A ] dans le plan grâce àun système d'axes orthonormés. Un tel système est appelé système rectangulaire.La position du point [ A ] est connue par ses coordonnées (xA, yA) appeléescoordonnées cartésiennes.

fig. 6.3 Définition des coordonnées polaires

Il est également possible de repérer un point dans le plan en utilisant un autresystème. On choisit une droite du plan et, sur cette droite, un point particulier appelépôle. D'habitude, pour faciliter le passage d'un système à l'autre, on fait coïncidercette droite avec l'axe [ x ] et le pôle avec l'origine [ O ]. Dans ce système, appelésystème polaire, un point est repéré par la distance qui le sépare de l'origine c'est-à-dire par longueur du rayon [ ρ ] et par l'angle [ ϕ ] que fait ce rayon avec la droitede référence. Les coordonnées polaires d'un point sont (ρ,ϕ).

On note qu'il faut deux coordonnées dans un système comme dans l'autre car leplan est un espace à deux dimensions.

Les coordonnées polaires sont particulièrement pratiques quand on doit traiter unproblème qui présente une géométrie circulaire ou cylindrique :


H. Schyns 6.5

- position d'un satellite sur une orbite,- navigation de haute mer à la boussole,- position d'un secteur sur un disque dur.

6.2.2. Conversions

Transformation des coordonnées rectangulaires vers les coordonnées polaires :

ϕρϕρ

sinycosx

A

A⋅=⋅=

[eq. 6.21]

Transformation des coordonnées polaires vers les coordonnées rectangulaires :

Par Pythagore :

2A

2A

2A

2A

2

yx

yx

+=

+=

ρ

ρ[eq. 6.22]

En divisant membre à membre les deux équations [6.21]

=

=

A

A

A

A

xyarctan

xytan

ϕ

ϕ

[eq. 6.23]

6.2.3. Rotations

Les rotations de système d'axes autour de l'origine sont particulièrement simples encoordonnées polaires car le rayon reste inchangé.

fig. 6.4 Rotation des coordonnées polaires

Les coordonnées polaires du point [ A ] qui étaient

( )ϕρ,A ≡ [eq. 6.24]

deviennent simplement

( )θϕρ −≡ ,A [eq. 6.25]


H. Schyns 6.6

En joignant ce résultat aux équations [6.11] vues au point 6.1.2 , nous démontronsl'une des formules trigonométriques :

Lorsque le repère rectangulaire et la droite de référence pivotent conjointement d'unangle [ θ ], nous pouvons écrire :

( )( )θϕρ

θϕρ

−⋅=

−⋅=

siny

cosx'A

'A [eq. 6.26]

Or, par [6.11], nous savons que

⋅+⋅−=′⋅+⋅=′

θθθθ

cosysinxysinycosxx

AAA

AAA [eq. 6.27]

et, d'autre part

)sin(y)cos(x

A

Aϕρϕρ

⋅=⋅=

[eq. 6.28]

d'où, nous pouvons écrire, pour la première équation

( ) θϕρθϕρθϕρ sinsincoscoscos ⋅⋅+⋅⋅=−⋅ [eq. 6.29]

Ce qui démontre la formule importante [5.5]

( ) θϕθϕθϕ sinsincoscoscos ⋅+⋅=− [eq. 6.30]

En nous servant de la deuxième équation, nous démontrons de manière similaireque

( ) θϕθϕθϕ sincoscossinsin ⋅+⋅=− [eq. 6.31]

Eléments de Trigonométrie 7 - Récréation mathématique

H. Schyns 7.1

7. Récréation mathématique

7.1. Déterminer le rayon de la Terre

Fin septembre, une personne allongée sur une plage tropicale admire le coucher desoleil.

Au moment où le soleil disparaît sous l'horizon, elle déclenche le chrono de sonGSM et se relève rapidement, ce qui lui permet d'observer un deuxième coucher desoleil quelques secondes plus tard.

Donnez une estimation du rayon du globe terrestre, sachant que, quand la personneest debout, ses yeux sont à 1.60 mètres du sol et qu'il s'écoule exactement11.0 secondes entre les deux disparitions du soleil.

fig. 7.1 Schéma de principe (vu à la verticale du pôle Nord)

La fig. 7.1 schématise les observations. Elle représente la Terre vue depuis un pointsitué à la verticale du pôle Nord. Le rayon terrestre est noté [ r ] et [ h ] est la taillede la personne (très exagérée).

Lorsque la personne est couchée en [ C ], son regard définit un plan tangent à laTerre et un horizon [ H1 ] sous lequel disparaît le soleil.

Lorsqu'elle se relève, son regard définit un nouveau plan tangent [ DT ] et un nouvelhorizon [ H2 ] sous laquelle disparaît à nouveau le soleil.

Les deux plans tangents [ H1 ] et [ H2 ] forment entre eux un angle [ α ]

Par définition, les deux plans tangents [ H1 ] et [ H2 ] sont perpendiculaires auxrayons terrestres, respectivement [ OC ] et [ OT ]. Ces deux rayons forment doncégalement entre eux l'angle [ α ] que nous allons estimer.

Nous savons que la Terre accomplit une rotation de 2π radians en 24 heures. Parconséquent, en 11.0 secondes, elle pivote d'un angle de

rad100.86060240.112 4−⋅=

⋅⋅⋅

=π

α [eq. 7.1]


H. Schyns 7.2

Cet angle très petit ne correspond qu'à une fraction du diamètre solaire (1).

Par définition de l'angle, la mesure de l'arc de cercle [ CT ] est donnée par

α⋅= rCT [eq. 7.2]

D'un autre côté, [ ODT ] forme un triangle rectangle en [ T ]. Par Pythagore, nouspouvons écrire :

222 )hr(DTr +=+ [eq. 7.3]

2222 hrh2rDTr +⋅+=+ [eq. 7.4]22 hrh2DT +⋅= [eq. 7.5]

Cependant, comme [ h ] est très petit par rapport à [ r ], nous pouvons négliger leterme [ h2 ] à côté du terme [ rh ], d'où :

rh2DT2 ⋅= [eq. 7.6]

Nous pouvons à présent relier les équations [7.2] et [7.6]. Comme l'angle [ α ] esttrès petit, l'arc [ CT ] se confond avec le segment [ DT ]. En effet, pour de petitsangles nous savons que

αα =tan [eq. 7.7]

αα ⋅=⋅ rtanr [eq. 7.8]

CTDT= [eq. 7.9]

En élevant les deux membres au carré et en substituant, nous pouvons écrire :

( )2rrh2 α⋅=⋅ [eq. 7.10]

puis extraire le rayon

2h2r

α

⋅= [eq. 7.11]

( )km0005m1005.0

100.8

60.12r 824

=⋅=⋅

⋅=

−[eq. 7.12]

Ce qui n'est pas une si mauvaise estimation compte tenu des moyens du bord !

7.2. Calculer la longitude d'un lieu

L'expérience précédente nous a donné une bonne approximation de la longueur durayon terrestre. Mais l'écart par rapport à la vraie valeur est-elle vraiment due à uneimprécision de calcul ?

En réalité, la personne n'est pas située à l'équateur; elle est sur une plage tropicalesituée à une latitude [ λ ] (fig. 7.2). Du moins, c'est ce qu'elle prétend.

1 Comme le disque solaire est vu sous un angle apparent de 9.3.10-3 radian (environ 0.5°), le fait de se

relever ne fait réapparaître qu'une petite fraction du diamètre solaire au dessus de l'horizon. La différenceest plus spectaculaire quand on monte au dernier étage d'un immeuble (minutes) ou en avion (heures).


H. Schyns 7.3

fig. 7.2 Inclinaison des rayons solaires (vu à la verticale de l'équateur)

A l'équinoxe, à l'équateur (1), les rayons solaires tombent dans un plan vertical [ve].A l'endroit de l'observateur, ils tombent dans un plan CC' qui fait un angle [ λ ] avecla verticale locale [vl].

En effet, la figure montre que les angles [ EOC ] et [ OCA ] sont égaux car alternesinternes par rapport aux parallèles. L'angle entre les rayons solaires et la verticalelocale [vl] vaut également [ λ ] car correspondant à [ EOC ].

Vu de la plage, un coucher de soleil se fait donc selon une verticale à l'équateur et, àl'endroit où notre observateur se prélasse, selon une trajectoire inclinée (fig. 7.3).

fig. 7.3 Trajectoire apparente d'un coucher de soleilà l'équateur (à gauche) et à la latitude λ (à droite)

Est-il possible de déterminer la latitude [ λ ] de la plage à partir des mesures sachantque la valeur exacte du rayon terrestre est de 6 366 km ?

Commençons par définir la durée du coucher de soleil comme étant le temps quis'écoule entre le moment où le disque solaire est visible et tangent à l'horizon et lemoment où son dernier rayon disparaît derrière l'horizon (le disque solaire est alorstangent en dessous de l'horizon).

La fig. 7.3 montre clairement que, à l'équateur, le disque solaire parcourt unedistance apparente [ ds ] qui correspond à un diamètre solaire. Cette distance estidentique à la distance [ de ] que parcourt le centre de [ Ae ] à [ Be ].

1 Sauf spécification contraire, par "à l'équateur", nous entendons "à l'équateur aux dates des équinoxes" càd

quand le soleil est dans le plan de l'équateur.


H. Schyns 7.4

Par contre, à la latitude [ λ ], le disque solaire parcourt une distance apparente [ dl ]plus longue telle que

λcosdd le ⋅= [eq. 7.13]

or la vitesse linéaire apparente du soleil est constante en tout point de sa trajectoire,quel que soit l'endroit depuis lequel on l'observe (1).

Le segment [ de ] étant plus court que le segment [ dl ], nous déduisons que la duréed'un coucher de soleil est minimale à l'équateur. Elle augmente au fur et à mesurequ'on se rapproche des pôles car [ λ ] augmente.

La Terre pouvant être assimilée à une sphère, c'est pourtant exactement la mêmefraction du soleil qui réapparaît au-dessus de l'horizon quand l'observateur se relève.En effet, l'angle des plans tangents [ H1 ] et [ H2 ] (fig. 7.1) ne dépend que de lataille de l'observateur et du rayon terrestre.

Toutefois, faire redisparaître cette fraction sous l'horizon prendra plus de temps [ tfl ]à la latitude [ λ ] qu'à l'équateur [ tfe ]. Des considérations sur les trianglessemblables nous démontrent que le rapport des durées de redisparition est égal aurapport des distances apparentes :

λcostt flfe ⋅= [eq. 7.14]

Connaissant le diamètre apparent du soleil (9.3.10-3 rad), nous pourrions aisémentcalculer la durée d'un coucher de soleil à l'équateur [ tse ] et la comparer la duréelocale [ tsl ] pour en déduire la latitude car la même formule s'applique :

λcostt slse ⋅= [eq. 7.15]

et

s9.1272103.9606024t

3se =

⋅⋅⋅=

−

π[eq. 7.16]

d'où

)t

9.127cos(asl

=λ [eq. 7.17]

Malheureusement, nous ne disposons pas de ces chiffres. Cependant, nouspouvons reprendre le raisonnement effectué au point 7.1

Nous pouvons commencer par utiliser [7.14] pour transformer le "temps local" en"temps à l'équateur" que nous introduisons dans l'équation [7.1]

[ ]radcos100.8606024

cos112 4 λλπ

α ⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅= − [eq. 7.18]

Ensuite, nous reprenons l'équation [7.11], sachant que cette fois, nous connaissonsle rayon à l'équateur :

2h2r

α

⋅= [eq. 7.19]

rh2 ⋅

=α [eq. 7.20]

1 Ce n'est pas tout à fait exact car la Terre décrit une orbite elliptique et non circulaire autour du soleil.


H. Schyns 7.5

rh2

100.81cos

4⋅

⋅⋅

=−

λ [eq. 7.21]

886.0000366660.12

100.81cos

4=

⋅⋅

⋅=

−λ [eq. 7.22]

Plus simplement, nous pouvons aussi dire que le cosinus est égal à la racine carréedu rapport entre le rayon terrestre estimé et le rayon vrai :

886.036660005

rr

cosvrai

estim ===λ [eq. 7.23]

d'où, en prenant la fonction inverse

°== 6.27rad482.0λ

La valeur obtenue situe l'observateur un peu au nord du tropique du Cancer (23,5°Nord) ou un peu au sud du tropique du Capricorne (23,5° Sud).

Il nous faudrait encore corriger en fonction de la date car la latitude s'exprime parrapport au parallèle qui voit le soleil au zénith. Au solstice d'hiver, le soleil est auzénith du tropique du Capricorne; au solstice d'été, il est au zénith du tropique duCancer; aux équinoxes, il est au zénith de l'équateur.

L'énoncé précise que l'observation se passe fin septembre, c'est à dire à proximitéde l'équinoxe d'automne. il n'y a donc pas lieu de corriger nos observations.

Cette personne est bel et bien sur une plage tropicale alors que d'autre font de latrigono ! Il y en a qui ont de la chance !

Eléments de Trigonométrie 8 - Exercices

H. Schyns 8.1

8. Exercices

(A suivre...)

Eléments de Trigonométrie 9 - Lettres grecques

H. Schyns 9.1

9. Lettres grecques

Maj Minimprim

Mincursive Nom

Α α Ñ alpha

Ν ν Ý nu

Β β Ò bêta

Γ γ Ó gamma

Δ δ Ô delta

Ε ε é epsilon

Ζ ζ Ö zêta

Η η × êta

Θ θ ê thêta

Ι ι Ù iota

Κ κ Ú kappa

Λ λ Û lambda

Μ μ Ü mu

Ξ ξ Þ xi ou ksi

Ο ο ß omicron

Π π à pi

Ρ ρ á rhô

Σ σ ς â í sigma

Τ τ ã tau

Υ υ ä upsilon

Φ φ î phi

Χ χ æ chi ou khi

Ψ ψ ç psi

Ω ω è oméga

Eléments de Trigonométrie 10 - Sources

H. Schyns 10.1

10. Sources

- Elementary and intermediate algebraAllen R. AngelPrentice Hall

- Degrees (angle)Rop Piercewww.mathisfun.comhttp://www.mathisfun.com/geometry/degrees.html

- Sine (et fonctions connexes)Eric WeissteinWolfram Mathworldhttp://mathworld.wolfram.com/sine.html

- TrigonométrieAnonymeWikipédiahttp://fr.wikipedia.org/wiki/trigonométrie.html

- Fonction TrigonométriqueAnonymeWikipédiahttp://fr.wikipedia.org/wiki/fonction_trigonométrique.html

- Grade (angle)AnonymeWikipédiahttp://fr.wikipedia.org/wiki/Grade_(angle).html

- Mil angulaireAnonymeWikipédiahttp://fr.wikipedia.org/wiki/Mil_angulaire.html

- The measure of all thingsKen AlderThe Free PressUn excellent récit de l'épopée de sept ans qui a conduit à la définition du mètre.

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MATHEMATIQUES - Eléments de TrigonométrieEléments de Trigonométrie1 - Introduction H. Schyns1.2 fig. 1.1 Relation entre angle et corde Alors que la trigonométrie est utilisée