Mathematik macht Freu(n)de AB – Ableitungen höherer Ordnung

f ′ ist die Ableitungsfunktion von f . Wir sagen auch kurz: „f ′ ist die Ableitung von f .“

Die Ableitung von f ′ – also (f ′)′ – nennen wir die 2. Ableitung von f und schreiben kurz f ′′(x).

1. Ableitung und 2. Ableitung

Mit der ersten Ableitung f ′ untersuchen wir dieSteigung und das Monotonieverhalten von f :Die Tangente an f an der Stelle x0 ist waagrecht.⇐⇒ f ′(x0) 0

Die Steigung von f an der Stelle x0 ist positiv.⇐⇒ f ′(x0) 0

Die Steigung von f an der Stelle x0 ist negativ.⇐⇒ f ′(x0) 0

f ist monoton wachsend in ]a; b[.⇐⇒ f ′(x) 0 für alle x in ]a; b[.

f ist monoton fallend in ]a; b[.⇐⇒ f ′(x) 0 für alle x in ]a; b[.

Im Beispiel rechts ist f eine Polynomfunktion vonGrad 3. „Kubische Funktion“

f ′ ist also eine Polynomfunktion von Grad .

f ′′ ist also eine Polynomfunktion von Grad .

Skizziere rechts die Graphen von f ′ und f ′′.

Steigung und Monotonieverhalten

Mit der zweiten Ableitung f ′′ untersuchen wir das Krümmungsverhalten von f :

Gilt für alle Stellen x in einem Intervall f ′′(x) > 0, dann ist dort streng monoton wachsend.

Die Steigung von f wird in diesem Intervall also immer :

···

f ′′ > 0f

f ′ < 0

f ′ = 0

f ′ > 0

Der Graph von f ist positiv gekrümmt. + +

Der Graph von f ist linksgekrümmt.Ist der Graph eine Straße in Vogelperspektive, dann fahren wir eine Linkskurve.

Gilt für alle Stellen x in einem Intervall f ′′(x) < 0, dann ist dort streng monoton fallend.

Die Steigung von f wird in diesem Intervall also immer :

· ··

f ′′ < 0f

f ′ > 0

f ′ = 0

f ′ < 0

Der Graph von f ist negativ gekrümmt. − −

Der Graph von f ist rechtsgekrümmt.Ist der Graph eine Straße in Vogelperspektive, dann fahren wir eine Rechtskurve.

Krümmungsverhalten

Datum: 11. Januar 2019

Mathematik macht Freu(n)de AB – Ableitungen höherer Ordnung

Rechts siehst du den Graphen einer differenzierbaren Funktion f .

Die Funktion hat in 3 Punkten eine waagrechte Tangente.

Zeichne diese Punkte und ihre Tangenten rechts ein.

1) Einen Punkt wie (5 | 1) nennen wir auch lokales Maximum oder Hochpunkt.Es gibt ein Intervall um 5 herum mit folgender Eigenschaft:Alle Funktionswerte in diesem Intervall sind kleiner oder gleich f(5) = 1.Genau deshalb ist (5 | 1) ein lokales Maximum von f .Wenn f differenzierbar ist, dann gilt f ′(5) = 0.

2) Einen Punkt wie (8 | −3) nennen wir auch lokales Minimum oder Tiefpunkt.Es gibt ein Intervall um 8 herum mit folgender Eigenschaft:Alle Funktionswerte in diesem Intervall sind größer oder gleich f(8) = −3.Genau deshalb ist (8 | −3) ein lokales Minimum von f .Wenn f differenzierbar ist, dann gilt f ′(8) = 0.

Ist f(x0) echt kleiner als alle Funktionswerte in einer Umgebung, dann nennen wir (x0 | f(x0)) ein striktes lokales Minimum.

Lokale Minima und lokale Maxima nennen wir auch Extrempunkte.

3) Einen Punkt mit waagrechter Tangente, der aber kein Extrempunkt ist, nennen wir Sattelpunkt.

Jedes noch so kleine Intervall um 2 herum enthältmindestens eine Stelle, deren Funktionswert größer als f(2) = −1 ist undmindestens eine Stelle, deren Funktionswert kleiner als f(2) = −1 ist.

Extrempunkte und Sattelpunkte

Im Bild links gilt f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) > 0.

Also hat f an der Stelle x0 ein lokales .f ′ ändert das Vorzeichen von − auf +.

Im Bild rechts gilt g′(x0) = 0 und g′′(x0) < 0.

Also hat g an der Stelle x0 ein lokales .g′ ändert das Vorzeichen von + auf −.

Hinreichende Bedingung für Extrempunkte

Für eine Funktion f gilt, dass f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) = 0. Folgt daraus, dass f an der Stelle x0 . . .. . . einen Sattelpunkt hat? . . . ein lokales Minimum hat? . . . ein lokales Maximum hat?1) f(x) = x3 2) f(x) = x4 3) f(x) = −x4

Gilt f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) > 0, dann hat f an der Stelle x0 ein lokales Minimum.Die zweite Bedingung f ′′(x0) > 0 ist dabei aber nicht notwendig. Das sehen wir am Beispiel f(x) = x4.f kann an der Stelle x0 ein lokales Minimum haben, obwohl f ′′(x0) = 0 gilt.

Hinreichend, aber nicht notwendig

2

Mathematik macht Freu(n)de AB – Ableitungen höherer Ordnung

Ein Punkt, in dem eine Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert, heißt Wendepunkt.In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung von f entweder . . .

. . . von positiv auf negativ: oder . . . von negativ auf positiv:

In diesem Fall hat die Steigung von f

im Wendepunkt ein lokales .

Ist der Graph eine Straße in Vogelperspektive, dann wechselnwir von einer Linkskurve in eine Rechtskurve. Im Wendepunktselbst halten wir das Lenkrad „gerade“.

In diesem Fall hat die Steigung von f

im Wendepunkt ein lokales .

Ist der Graph eine Straße in Vogelperspektive, dann wechselnwir von einer Rechtskurve in eine Linkskurve. Im Wendepunktselbst halten wir das Lenkrad „gerade“.

Die zugehörige Stelle heißt Wendestelle.

An jeder Wendestelle x0 gilt also f ′′(x0) = .

Die Tangente in einem Wendepunkt heißt auchWendetangente.

Im Wendepunkt „überquert“ der Funktionsgraph die Wendetangente.

Wendepunkt

Wenn auch f ′′ differenzierbar ist, dann schreiben wir für deren Ableitung f ′′′ und sprechen von der3. Ableitung von f . Genauso können wir uns auch noch höhere Ableitungen einer Funktion ansehen.Zur besseren Lesbarkeit schreiben wir dann aber zum Beispiel f (42) für die 42. Ableitung von f .

Höhere Ableitungen

Eine Funktion f erfüllt f ′′(x0) = 0 und f ′′′(x0) < 0.

Dann ändert f ′′ das Vorzeichen von auf , und

f ′ hat an der Stelle x0 ein striktes lokales .Der Anstieg von f ist also maximal.

Zeichne diesen Wendepunkt W1 von f rechts ein.

Eine Funktion f erfüllt f ′′(x0) = 0 und f ′′′(x0) > 0.

Dann ändert f ′′ das Vorzeichen von auf , und

f ′ hat an der Stelle x0 ein striktes lokales .Das Gefälle von f ist also maximal.

Zeichne diesen Wendepunkt W2 von f rechts ein.

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte

3

Mathematik macht Freu(n)de AB – Ableitungen höherer Ordnung

Wir untersuchen den Funktionsgraphen der kubischen Funktion f mit folgender Gleichung:

f(x) = 112 · x

3 − 14 · x

2 − 2 · x + 173

1) Berechne die ersten drei Ableitungen von f .

f ′(x) = =⇒ f ′′(x) = =⇒ f ′′′(x) =

2) Berechne das lokale Minimum und das lokale Maximum von f .Gib das Monotonieverhalten von f an. In welchen Intervallen ist f streng monoton wachsend/fallend?

3) Berechne den Wendepunkt von f .Gib das Krümmungsverhalten von f an. In welchen Intervallen ist f positiv/negativ gekrümmt?

4) Im folgenden Koordinatensystem sind die 3 Nullstellen von f eingezeichnet.

Zeichne die Extrempunkte von f ein.

Zeichne den Wendepunkt von f ein.

Skizziere den Funktionsgraphen von f .

Kurvenuntersuchung mit hinreichenden Bedingungen

4

Mathematik macht Freu(n)de AB – Ableitungen höherer Ordnung

Wir untersuchen den Funktionsgraphen der Funktion g mit folgender Gleichung:

g(x) = x · e−x22

1) Wir haben die ersten beiden Ableitungen von g berechnet und faktorisiert: Rechne nach.

g′(x) = −(x + 1) · (x− 1) · e−x22 g′′(x) =

(x +√

3)· x ·

(x−√

3)· e−

x22

2) Berechne die Nullstellen von g und kreuze die zutreffenden Eigenschaften an.

g

x < 0 � = 0 � > 0 � < 0x = 0 � = 0 � > 0 � < 0x > 0 � = 0 � > 0 � < 0

3) Berechne die Nullstellen von g′ und kreuze die zutreffenden Eigenschaften an.

g′ g

x < −1 � = 0 � > 0 � < 0 �↗ �↘x = −1 � = 0 � > 0 � < 0 � Hochpunkt � Tiefpunkt � Sattelpunkt

−1 < x < 1 � = 0 � > 0 � < 0 �↗ �↘x = 1 � = 0 � > 0 � < 0 � Hochpunkt � Tiefpunkt � Sattelpunkt

x > 1 � = 0 � > 0 � < 0 �↗ �↘

4) Berechne die Nullstellen von g′′ und kreuze die zutreffenden Eigenschaften an.

g′′ g

x < −√

3 � = 0 � > 0 � < 0 � + � −

x = −√

3 � = 0 � > 0 � < 0 � Wendepunkt � kein Wendepunkt

−√

3 < x < 0 � = 0 � > 0 � < 0 � + � −

x = 0 � = 0 � > 0 � < 0 � Wendepunkt � kein Wendepunkt

0 < x <√

3 � = 0 � > 0 � < 0 � + � −

x =√

3 � = 0 � > 0 � < 0 � Wendepunkt � kein Wendepunkt

x >√

3 � = 0 � > 0 � < 0 � + � −

5) Skizziere den Funktionsgraphen von g: Die Punkte aus 2), 3) und 4) sind eingezeichnet.

Kurvenuntersuchung mit Tabellen

5

Mathematik macht Freu(n)de AB – Ableitungen höherer Ordnung

Die erste Ableitung einer Funktion f hat die Gleichung f ′(x) = ex · (x + 1) · (x− 3).

1) An welchen Stellen hat f eine waagrechte Tangente?

2) Kreuze die zutreffenden Eigenschaften von f ′ und f an.

f ′ f

x < −1 � = 0 � > 0 � < 0 �↗ �↘x = −1 � = 0 � > 0 � < 0 � Hochpunkt � Tiefpunkt � Sattelpunkt

−1 < x < 3 � = 0 � > 0 � < 0 �↗ �↘x = 3 � = 0 � > 0 � < 0 � Hochpunkt � Tiefpunkt � Sattelpunkt

x > 3 � = 0 � > 0 � < 0 �↗ �↘

Monotonieverhalten

Die erste Ableitung einer Funktion g hat die Gleichung g′(x) = 2−x · (x + 4)2 · (x− 2).

1) An welchen Stellen hat g eine waagrechte Tangente?

2) Kreuze die zutreffenden Eigenschaften von g′ und g an.

g′ g

x < −4 � = 0 � > 0 � < 0 �↗ �↘x = −4 � = 0 � > 0 � < 0 � Hochpunkt � Tiefpunkt � Sattelpunkt

−4 < x < 2 � = 0 � > 0 � < 0 �↗ �↘x = 2 � = 0 � > 0 � < 0 � Hochpunkt � Tiefpunkt � Sattelpunkt

x > 2 � = 0 � > 0 � < 0 �↗ �↘

Doppelte Nullstelle

Die zweite Ableitung einer Funktion h hat die Gleichung h′′(x) = x2 · (x− 5).

1) Berechne die Nullstellen von h′′.

2) Kreuze die zutreffenden Eigenschaften von h′′ und h.

h′′ h

x < 0 � = 0 � > 0 � < 0 � + � −

x = 0 � = 0 � > 0 � < 0 � Wendepunkt � kein Wendepunkt

0 < x < 5 � = 0 � > 0 � < 0 � + � −

x = 5 � = 0 � > 0 � < 0 � Wendepunkt � kein Wendepunkt

x > 5 � = 0 � > 0 � < 0 � + � −

Krümmungsverhalten

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Mathematik macht Freu(n)de AB – Ableitungen höherer Ordnung

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