122
Mathematics New Saraswati House (India) Pvt. Ltd. New Delhi-110002 (INDIA) Solutions to PULLOUT WORKSHEETS FOR CLASS IX First Term Kusum Wadhwa (PGT Mathematics) Delhi Public School, Mathura Road, New Delhi Anju Loomba (HOD Mathematics) Apeejay School, Noida By P.W - 284 pages / 01-06-2016

Mathematics - SARASWATI HOUSE Material/Solution_to_POW_Math_IX_Ist...Mathematics New Saraswati House (India) Pvt. Ltd. New Delhi-110002 (INDIA) Solutions to pullout worksheets for

  • Upload
    others

  • View
    73

  • Download
    2

Embed Size (px)

Citation preview

Mathematics

New Saraswati House (India) Pvt. Ltd.New Delhi-110002 (INDIA)

Solutions to

pullout worksheetsfor class Ix

first Term

Kusum Wadhwa(PGT Mathematics)Delhi Public School,

Mathura Road, New Delhi

Anju Loomba(HOD Mathematics)

Apeejay School, Noida

ByP

.W - 284 pages / 01-06-2016

Second Floor, MGM Tower, 19 Ansari Road, Daryaganj, New Delhi-110002 (India) Phone : +91-11-43556600Fax : +91-11-43556688E-mail : [email protected] : www.saraswatihouse.comCIN : U22110DL2013PTC262320Import-Export Licence No. 0513086293

Branches:

• Ahmedabad (079) 22160722 • Bengaluru (080) 26619880, 26676396 • Bhopal +91-7554003654 • Chennai (044) 28416531 • Dehradun 09837452852• Guwahati (0361) 2457198• Hyderabad (040) 42615566 • Jaipur (0141) 4006022 • Jalandhar (0181) 4642600, 4643600 • Kochi (0484) 4033369 • Kolkata (033) 40042314 • Lucknow (0522) 4062517 • Mumbai (022) 28737050, 28737090 • Patna (0612) 2570403 • Ranchi (0651) 2244654

Revised edition 2017

Published by: New Saraswati House (India) Pvt. Ltd.19 Ansari Road, Daryaganj, New Delhi-110002 (India)

The moral rights of the author has been asserted.

©Reserved with the Publishers

All rights reserved under the Copyright Act. No part of this publication may be reproduced, transcribed, transmitted, stored in a retrieval system or translated into any language or computer, in any form or by any means, electronic, mechanical, magnetic, optical, chemical, manual, photocopy or otherwise without the prior permission of the copyright owner. Any person who does any unauthorised act in relation to this publication may be liable to criminal prosecution and civil claims for damages.

This book is meant for educational and learning purposes. The author(s) of the book has/have taken all reasonable care to ensure that the contents of the book do not violate any copyright or other intellectual property rights of any person in any manner whatsoever. In the event the author(s) has/have been unable to track any source and if any copyright has been inadvertently infringed, please notify the publisher in writing for any corrective action.

ContentS

1. Real Numbers

Worksheets (1 to 6) ...................................................................................................... 6

• AssessmentSheets(1and2) .................................................................................... 15

• ChapterTest .............................................................................................................. 17

2. Polynomials

Worksheets (10 to 19) ................................................................................................ 20

• AssessmentSheets(3and4) .................................................................................... 33

• ChapterTest .............................................................................................................. 35

3. Introduction to Euclid's Geometry

Worksheets(22and23)............................................................................................. 37

• ChapterTest .............................................................................................................. 38

4. Lines and Angles

Worksheets (27 to 32) ................................................................................................ 40

• AssessmentSheets(5and6) .................................................................................... 50

• ChapterTest .............................................................................................................. 52

5. Triangles

Worksheets (36 to 41) ................................................................................................ 54

• AssessmentSheets(7and8) ................................................................................... 63

• ChapterTest .............................................................................................................. 64

6. Coordinate Geometry

Worksheets (45 to 48) ................................................................................................ 66

• AssessmentSheet9 ................................................................................................... 70

• ChapterTest .............................................................................................................. 71

– 3 –

7. Heron's Formula

Worksheets (54 to 57) ................................................................................................ 73

• AssessmentSheets(10and11) ................................................................................ 79

• ChapterTest .............................................................................................................. 82

• Practice PaPers (1to5) ..................................................................................... 84

– 4 –

Solutions toPullout WorkSheetS

andPractice PaPerS

[Summative assessments][FIRST TERm]

6 �� � � � � � � � � �

���������

�� ��������������

������� ������

���������������

����������

�����������

���������

���������

�����

���

�� ��������� ����

�����

� � ���� � ������������������������������������������ �

�������������� ���!����

"��!�����������������#�����

3. Yes, –2 is a rational number and it can

be written in the form $%�

where –2 and

1 �I and 1 � 0.

�� &� � ��'��'����� ( ��'�) �

�#*�����+������!����*�!���

����'��'��,�'��,�'�) �

&�����'��������������� ���!����

"��!������������������#�����

�&�������-�.�-��

�� ��� ����/����������������#������0�

!�� ������ ��� ��� �+�� 1����� �� �+���� �

��� �� ��� ���� ���� ��� � � ��� 2���3�*������!��������������

01����

02���� 0

3���� 0

4������������ �

�������������������'����� �������� ���������

���� ���� �� '�� ��� �� ������ ��!�� ��� ���+�����#������

�� ��� ����� �.��-� ���� ��� ������� ��+����#������ ������ 4 '� ��� �� ���� ��� �#�������+�����#�����

���� ����� ������ ������� �#����� 34� ��

���� ��+�����#�����

�� ��� ����������� 412� ���� ��������#����

�#������ �� ���� ���

���� ���� �� /���� ��� �+�����������+����#�����

����� ���� ����������� ������ ��#�� 1��

��������#������78�

− 1119

� ��!��&���+.�

���� ���� �� �+���� �#������� ������������� �#������ ��#�� 1��� �-� ������� ���� �� 5�5� ��� �� ���� ��� ������������� !����� ��� /����

�� ��� ����� �� ��#��� �#������ ��� '���� � �� �������6 ��� �� ��� ���� � ��#���#�����

���� ���� ���!�� *�����.�� ��� �� ��.����� ���� ���� ���*�!��.��-� ��� �+�� �� +���� ��1�� �1� /���� ��� �+���#����� �����

����� ���� ��*�����.�� ���� �������'���� �� ��� ������ �+�!+� ��� ����� �� �+���#����#������

��� ���� !�������� �+����3�� ���� ��� ���+�� �� +�� ����� �1� 4 '�� ������ 4 ' 7 ' � ��+�!+� ��� ����+����� ��.������ *�����.����� �������4 '� ��� �+�� ��������� ��.����� ���

�� ��� ���� 8� �������� �+�� !����!����� �1��������#������

���� ������� �+�� ��������#����� /���+����� ��!�*��!��

��������

REAL NUMBERS

7���� �� ���

����� �� � ���� ����� �� ������� ������� ��� �������� ���������� ������� ��� ��� ���� �� ��� �� �����������������

������227��

237

��247��

257��

267��

277�

����������������� ��������������������

������ � ! ���������"������������# �����# ����������������������������$� ��% ����� ���� ��"������ # �� ���� #���������������

2 44

− ×����� �–3 4

4� ������ 8

4− �����

�124

��� &��"� ��� ������� ��������

��� #��'� # � �

�124

� '�–84

���� �������� ����� ���������� ����# �� ��� # (� ���� �� ������� �����)������ ������"

�114

�� �104

���94�

������ �114

���52���94

*����� ����������

���"�������� �� �� ���+

��� ��� ��� ������� � �����������# ������# ��

� ,��"� ��� ����� ��"� ������� �������

����� 35� ���� 4

5��-��

35� '�

45�

$� ��% �����������"�����35�����

45����.

��� */ � �!�.+������

350

66!

1830

1�450

66!

2430

��2�"� ������� ������������� 1830

*���+ � ���

� 3��� ���

�����

��������

� � � � � � ! ����

������

������������

4 �� ������

������

� �� ��������

�������

*��+ ������� ��� ���� ��� ��� ���� ���� ��"�������� ��� � ����� ����

�������� �

� *5+ �6������ �������������� ��������

��� � � �

� �

� � � �

7 7 8 9:; ; 8 9<

� No; the square root of every positiveinteger is not always irrational.

Examples: (1) = = 3 which is rational.

(2) 9> = 4 which is rational.

� *��+�������1�*�+� *��+�����*���+������ �

��

������*��+�������1�*�+��*���+�����*��+������ ��

� ����� ��� ?�%���� ���� �� ��"�������� �����������&��"� ���������� ��������������������������������� ������� ����������� ��� �� ���� �������������������������������� ���������������-������"�������������������� �������������� ���� ��� ����� �)����� �� ���� ������*. � +� ��� �� ������������ ������� ��% ��������"��������������������

��'������ 3 77× �'�

4 77×

�������� � 217

�'�287�

8 �� � � � � � � � � �

� ��� �� �35

���2430

� ��� �� �45

� ��G

1930

��2030

��2130

��2230

� ���2330

�� &� ������� �#����� �������� �-� ���������� �#������ �� ��� �� ��� ,� ��� ��

�.����-� �+����.�� ��� ����� a b2+ ��+���

� ,a b

2+

, ��

9+#��� � ������� �#����� ��������15

��� 14� ���

12

1 15 4

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�� ������

12�

4 520+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠�

�����940

9+#��15

,940

,14

&���������#�������������15� ��� 9

40

��� 12

1 95 40

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠� �

12

8 940+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠� �

1780

9+#��15� ,�

1780

� ,�940

� ,�14�

&� ��������#�������������940

� ���14

���12

9 140 4

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�� �����

12

9 1040+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠�

������1980

9+#���15� ,�

1780

� ,�940

� ,�1980

� ,�14�

"��!��� �+���� ������� �#�����

��������15� ��� 1

4� ��� 17

80�� 9

40� ��

1980

�� ����9+���#������1�!+�!�������������#����-�H-���

� ( )� ��+ ( )� ��−

� �� 4� ( )��� � �� ��4� ''��� '�

����� ��!�"���� ���#"���

��������

�� �&� I� +������ ��

�� J-�+ ���

�� �����������7�'����

� � � ��

�����J-�+ ��������*�������� � ��'��'��

�������������'��7��� � '�7�����

� � ���

� � � �����'������+�����*�����+�!+��������

#��������3*����� � �����+���#����������

�� ��������� � ������ �+�� �� ���� �1� �+��#��������������������+��1�����*����1�� �����+����11����?���+���� ����#�������*�!��������</������ ����1�����+���� ��!��*�����-�/����

K (LE

K (LE

$BDLLLLLLL

($BLLLLLLL ��M������

I�*�!�� ��� ���</���� �� ���� 1���� � �-/����

���� ����������������������,���,���

�� N����� ��� �� ����������#�����

9�� *��.�� �+�� 4 �� ��� �� ���������#�����

N���#����#��� �+�� !�����-� �+��4 �� ��� ��������#��������!���� ��.�� �1� � ��������#����� ��� ��������#�����

9�� � �� �����

�� � 4� �4 ��� ��� � ��������#�����

�� �� ������������#���� � O 4 �4 �� � �P�

9+��� !������!����#����#�*����� �+������ �� ����������#�����

� 4 �� ��� �� ����������#�����

� �� ��.�� �1� �� ����������#������� �� ����������#�����

��

$��%&������*��� �+���� ���� �1� �+��#�������� ����������� �+�� 1����� *���1� �� ���� �+�� ��11���� ?�� �+�� �� ���#������ ���#!�� �+����3�����</������ ���-�'�

� �

K BLE

K BLE

C$BDLLLLLLL

QRD$%LLLLLLL�� �� ����#����� �� � � � ��� �� ���#!���-�'

�� �� )���� )� S�'��������

�� �� ��� �� ��������� �#����� ��� , �, ��

�'��(��9+��� �3�*��� ���#������� �+�1!�� �+�� �+�� !����!����� �1� ���������#������ ��� ������� ������ �.��� �-� ������������ �#������� +���.���� !�����+�-��-� ���� ��� !�� ��-�� 1���� �����������#������������� �+���

�� T�� �+���#����� ����� ��� �+�� 1� #������+.�� *������ T� ��� &�� ��*�������� �#������ �� ��� '� ���*�!��.��-�� 0����� &>� �� '� #���� *��*����!#��� ���+�� �#����� ����� ��&������� U����T>�0�� 1���

T> � � �V�WX Y VWZX

� O[��� �J-�+ ����9+�����P

� � �V%X Y V%X

�� ���

� �

����� �\�� �T� �� !������ ��� ���#�

T>�� 2 ��]������!��+�!+� �������!���+���#����� ����� �� �+��*�����J�

0�������.���+��T> � TJ�����#����� 2 �9+���1����� *�����J� ��� �+���#����� ����

��*�������� �+�� ����������#����� 2 �

��]�����#�������������+�������1� #���N����+��*�����T���*��������� �/�������*�����&���*���������]���&>���'�#����*��*����!#��� ��� �+��#����� ����� ��&������ U����T>��0�� 1���

T>��� 2 2OA + AB

O[��� �J-�+ ����9+�����P

�� 2 2(2) (1)+ � �� 4 1+

�� 5

9+��� �\�� �T��� !���������T>�� �

#����� �� ���#��� ���� �� �!� �+�!+!#��� �+�� �#����� ����� �� J�� 9+#��� J��*������� � ��� �+���#����� �����

�� 0�� 1������ �+�� ���*�� �.��� ������ ����*������ ��� ��� �+���#����� ��������� ��� T�� � ����� ��\� � *����� &�2���� �+�� *�����&���\� *�����T� �� �����!���1�S� �#������#!+��+��&T���S� #�����

10 �� � � � � � � � � �

����� ��� ����� �� ���� �� �� � �� �������� � � �������������

����� �� ���� ������ ��� ������������� ������������ �������� ��� �������������� ������ � � ���������� ��������� ������� ����� �� ���!������

����� �� "���� �� �������������

�� ����� � � ��������� � �� ���!������ #�� $ ����# �� ���� ����

����� ��� $�� ��������� ���� �� � ������� ���� ������� ������ � ������� ��� �������#�� � � ����� � �� ����� �%�$ ���� ���� ���������� &� '(���)� �� � ������� ���� � �� %� ���� ������������ �� ��

� '�) *����������

� ( )�� �+

� � � � � � � � �� ( ) ( )� �

� � �� �� �+ +

� +�,� -�,� � ��

��.�,� � �� � �/���

'��) �������������� ������������������� ��������������

���������

� '�)35��&�0������������������

1��������+���+��� � ������� ����������+�

� Let a = 2.1 and b = 2.2.

Then, clearly a < b.

A rational number lying between a and b

= 234 232 536

234732 2 2

� �+ += = =

Rational number is of the form �� ,

8� � , p and q � Z � 6.013 = 98464888

.

11�� � �� �����

�� 9+��������������14714

�� '�� ������� = )

�+�!+�!����������3*����������� =���

��� 4714

+�� ���<��������� � ��!���

��*�����������

����� � � � � � �0.230769

13 3.000000

4��� � ��� � 4 S

'���4S'

S�� 4)�

'��� 4'')

�3

13� �� ��� �)�S������� �� 0.230769

?�� �������<��������� ���!#���� ���!����3*�������'��(�� ?�� �+�� ��.�� �3�*������������.�� �+�� �+����!�����3*�������1���������#����� ����������<��������� �#�� ��!#���� �

�� �������N���#��������� �+���#������-���

������ ������ �� 0.6� �� ������������

���� ���:�.�� ���� ���!\� �1� ��*���� �� ���� 1���� �+�� �� +�� �1� �+�� ��!���*��������������1���-��#���*�-�� ��+���#����������*�'� �-�**��*������#�����

� � � '��� �� ���������� �

��������#���!�� �+���#����� ��� ���*�'1���� �+���#����� ��� ���*���

'��4��� �� ����������������� 4� ����������������

����������*��1-�����������+��.�#���1���S� ���

� � ��69��

23

� � � � �9+#�� 0.6 ��23

��27

!����� ��<��������� 2 17× ���� =

17

� � � � = 0.142857 � 0.285714

�������-�

37� =

17� = 0.142857 � 0.428571

?�� �+�� ���� ������� ��� !�� 1���

��!���� �3*������� �1� 47��

57� ���

67�

�� N��� �� �� 0.341 � �� �� �' �'���� ������

:#���*�-�� � ���+� ������ �1� ���� �-� '�������+.�

'���� �� �'� �' �'���� �������

�#���!��� � �;#����� ���� 1�����;#������������� ��

SSS� �� �'� ��� �� ��341999

9+#�� � � � 0.341 ��341999

��N�� � �� �)))���� ������:#���*�-�� ����+� �������1� ���� �-�'�����+.�

'�� �� )�)))���� �������& �����#���*�-�� ��;#����� ����� �-�'�����+.�

'��� �� ))�)))���� ���������#���!��� ��;#����� ����� 1���� ��������� ��

S�� �� �� ���� ���34090

��349

9+#�� �)))����� ��349�

�� ���%EC@

��

�� ���+���������������������+�

��� ����;#������

8#�������������*��1�����+��

�� ��������

������� ��������

��������������

12 �� � � � � � � � � �

� ���� ����� �� ����� �� ���� ����� ��� �� �

��� � ����������

������������ � ���� ����

���� ������ ��� �� ��� �������� ������������� ��

���������

�� � � � ���� ��

��3

13�!�������������������

pq "

��������#���������������������������

����������������

�� ������� � ������

�� �

������� ��������������

1135 � ��

235

�� � �� �

�� $�x21%

y21

�� �y xx y

2 2

2 2

�����%��� �� �����&�

���� % ����'�(��

���� % x1 ���'�( �� �����&�

�� � �� �� �� ��

21

9 4 59 4 5

'�(

�)�*���

���+ % , 5�%�+�'�, 5�� '�(���&-�� '�(����(,�'�(����((�

�� ���%� 7 ��(�%� 5 �

.�����������#/��*�� �!"�!�����

�� ���%� 7 ��(��%� ���%� 7 �� 5 �

$����"�/�����������#/��*�� �!"�!�����

�� 0�%� ( 7 � %� � 5 � %� 7 � 5 �

�� 0� %� ( 7 � %� � 5 � %� 35 �

��

���%� 11 ���� '� 11 �

�� ��� '� � 11 ��

1.����� ��� %������ '���� �� ���� '���2

�� (�� '� &&��� &,�

�� � 5 � %� 2 ��

�� � 5 ��� %� (� 2 �� � 5 �� %� � 2 ��

1.����� ��� %����� ����� %� (��� %���2

�� ��%� ( 10 � %� (��� 3�%� ( 10 �

�� 4/ �� 5���������/��������������������6

��������1

7 3−� #5� ���� ���7/������

7 � '� 3 "� ��� 7 �%� 3 "�!�����

17 3−

���7 3

( 7 3)( 7 3)

+− +

�� 2 2

7 3

( 7) ( 3)

+−

���7 37 3

+−

��7 3

4+

������� ����� ��� ���� ������������ �������,�!����������������� ��/�#���

��4/ �� 5���� ���� �/�������� ���� ����6

�������� ���

1

11 7� #5� ���� ���7/����

�� 11 % 7 "���� 11 �'� 7 "�!�����

��

1

11 7���

� �

11 7

( 11 7)( 11 7)

����

2 2

11 7

( 11) ( 7)

����11 74

13�� � �� �����

�� ���� 5 7 � ��������M�.���

9\�� ���!�*��!���1����+����������� ��

��x1���

1

5 2

�x1���

1( 5 2)

( 5 2)( 5 2)

−+ −

O:#���*�-�� ��������]����-�� 5 �4���P

� � �x1��� 2 2

5 2

( 5) 2

−−

���5 2

5 4−

� � � �� ��5 21−

��� 5 �4�� �������

&���� ����������������� ��

��7�x1��� 5 �7���7� 5 �4������ 5

�;#��� ����+����������� ��

� ��� �� �x

x

21���� 5 ��

� ���7�x2

1�7���� ��

x1

����=�

� ���7�x2

1�7�� ����

� ���7�x2

1�����4�� ��'�

9+#�� ���7�x2

1��'��

"%�$��*&�

��2 3

3 2 2 3

−+

�����7�� 6 ��� ���

I��������� ��+��������������1

2 3

3 2 2 3

−+

����� ��

2 3

3 2 2 3

−+

���( 2 3)(3 2 2 3)

(3 2 2 3)(3 2 2 3)

− −+ −

��2 2

( 2)(3 2) 3(3 2) 2(2 3) ( 3)(2 3)

(3 2) (2 3)

− − +−

��� � �

2 23( 2) 3( 3 2) 2( 2 3) 2( 3)9(2) 4(3)

��6 3 6 2 6 6

18 12− − +

−���

12 5 66

��126�4�

5 66

����4�56

6 ���� ����

2�������������������� ��

� ��4�56

6 �����7�� 6

���*��� ���\������������ ��

���������456

6 ���� 6

� ����456

6

6���4

56

"��!�� �������������456�

�������� �

�� ��� x x x �� �

��� � ��� �

�� �

�� �

��� � ��� �

�����

��

�� � �x �

�� %A × %@ = %@A = � � �$ ( @ @ = @ E

�����������G�

�� �

�����

��

� �� �� �

��� �� �

� ��

� �� �� �� �

14 �� � � � � � � � � �

� ������

� �� �� �� �� �� �� �

��

��

� �����

�� �� �� �

���

���

� �� �� �

���

����

�����������G�

� ��

� �� �� �

=�

� ��

� �� �� �

=�

� ��

��

� �� �� �

��� � � � � �

� � �� � � � � �

�� �� ��� � �� �

��� � � � � �

�� � � � �� � �� �

��� � � � � �

� �� � � ��� �

�������'�

�� N"� ��a bx

11 −+

� 7�b ax

11 −+

��a

b

xx

1

1 +� 7� b

a

xx

1

1 +

�� b a

b

x xx

1+

�7�a b

a

x xx

1+

��b

a b

xx x+

�7�a

a b

xx x+

��b a

a b

x xx x

++

���'���I"��

"%����*&��� N"�

�a c

a bx

11 −−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

� ��b a

b cx

11 −−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

� ��−

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

c bc ax

11

�� a b a cx1

( )( )− − � �� b c b ax1

( )( )− − � �� − −c a c bx1

( )( )

�� a b a c b c b a c a c bx1 1 1

( )( ) ( )( ) ( )( )+ +

− − − − − −

��− +

− − − − − −a b a c b c a b a c b cx1 1 1

( )( ) ( )( ) ( )( )

��� � � � �

� � �

b c a c a ba b b c a cx

( ) ( ) ( )( )( )( ) ���

b c a c a ba b b c a cx( )( )( )− − + + −− − −

�� � � �a b b c a cx0

( )( )( ) ��������'���I"��

"%����*&�

�� N�������������������� ���-�� � ��������������������������

�� ���� �M�.���

� ������� ���������������

� ���� ������������

�y2���

x1�7�

z1

�y2���

+z xzx

�y2���

zxz x+

� ����zx

z x2+

"%����*&���

N�������� ���������������-�� � ������� ��� ���

������ ��� ����

��� �������� �� ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

z16

����

�16������� ��� �����

:#���*�-�� � !�����*����� � ������ �1� ���������������������� ��

� ��=� �=�16

�������=������=�����

� � � �' ������������������

� �� ������������������

�x1�7�

y1�7�

z1

����

"%����*&�

��3/ 481

16

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�=�3/ 2 325 5

9 2

− −⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞÷⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

�3/ 44

4

32

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�=�3/ 2 32

2

5 523

− −⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞÷⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

15�� � �� �����

3/ 4432

−⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

�=�

3/ 22 35 23 5

−⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥÷⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦

34

432

−⎛ ⎞× ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�=�

32 3

25 23 5

−⎛ ⎞× ⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥÷⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

� �33

2

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�=�3 35 2

3 5

−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞÷⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

� �⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

323

�=�3 33 2

5 5

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞÷⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

� �3

3

23

�=�� �

�� �� �

3 3

3 3

3 55 2

���3

3

23

�=�3

3

32

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�3

3

23

�=�3

3

32

���'�

��×

× ×

5/ 2 1/ 2

2 / 3 2 / 3 4 / 3

(25) (729)(125) (27) (8)

�2 5/ 2 2 1/ 2

3 2/ 3 3 2/ 3 3 4 / 3

(5 ) (27 )(5 ) (3 ) (2 )

×× ×

�× ×

× × ×

×

× ×

5 12 2

2 2

2 2 43 3 3

3 3 3

(5) (27)

(5) (3) (2)

�5 1

2 2 4

(5) (27)(5) (3) (2)

×× ×

��5

2

(5)(5)

�=� 2

27(3)

�=� 4

12

� �������=�3

2

(3)(3)

�=� 4

12

���=� �����=� 4

12

� '��=� �=�116

���37516

���������������

�� �]� �������2���������������9�#��

��� � ��� � � �

= =×

�� ��#������

�� � �

0248 – 0 48

0.48100 –110 –10

��� 4899

�� N���^T^5������#�����������9����*������

�+����������#����� 43����4� 4

3�����1�3

�+�� *�������� �� �/����� �� T� ��� ��.������+���������;#��-���\��-������\��+�����+����� ����

2#��+����������.�������!������!������*���

������+����*�����!+����!#�� 43���4

43

������������'�������4 '��4 �����*�!��.��-�

��%EC@

��

��%EC@

���� ���� � ����

���<��������� ��#����!#���� ���!����

�� ������� ����-�� � ������ ������� ������:#���*�-�� ��-�'�����������+����������+.�

'������ �� ������� ������������ �#���*�-�� � �;#����� ����� �-� '����� ��

'������� �� �������� ��������

0.35545 16.00000

0160135

25022525022525

16 �� � � � � � � � � �

= � ��

� �� �� �� �

= �

��D

� �

= 9–1 = %D

.

�� ����������������+�+.�����<��������� ������*���� ��� M�.����#�����������'''������''��

"��������+.�� ��� 1���� �+���� ���������#��������������������������#����������!����N����� �� ��'''�����������������������������������''������������������������������������������ ��������������������� ������������������������������������

����������������������������������������������������������������������

��������������������������������������

�� ��� � ��

��� ���� = � = ���

����

� ��� � ���

�����

����������

�����

����� ��� �=� �=� �=� ��

����

� ��� � ���� �� � �

� ��� ����)�

�� N������ ������� ������ )�'�'���� ������:#���*�-�� ��;#����� ���� �-�**��*�����#������������'������� ��

'������ )��'�'����� ������������ �#���*�-�� � �;#����� ����� �-� '������ ���'�������� )�'��'�' ���������#���!��� � �;��� ����� 1���� �;��� ��������� ��'����� 4 '��� � � )�'��'�'����� 4 � )��'�'������ SS������ )��

�� � � � � � ������������

��� C%E%%AA

��������

"��!���� ������� �� ������

�#���!��� ������1�������������� ��

S������ �� ')

� � ��(%B

DAAAA

"��!�� ������� ��(%B

DAAAA�

�� ������������ ����������������

�� M�.��������

�����������

�� �

&���� ����+��;#���������� ��

��7�� ��� ��� �

�7�� ��� �

��� � � �

� �

� �

� �

� � � � � �

� ���

��� � � �� �� �

� � �

� �

O�� ����7�����7���4������������7����P����� 7 '����� = � � ������

:#���*�-�� ��+�������+.�

������ � �� �

�� �

�� ����' �������

�������� ���7����4� �

����7����4�����4� �

�������4�� = '�4� �

O2���������������P

�� ��4���4� �

�� ��4� ������

���������������

�� �]� �&������������+

��� � �

�� �× =

�� � ��

� �� � = � ��

� � � �

= � ��

�� D�

= � ��

� � �

17�� � �� �����

�� ��������� � � � � � �� �

�� ��� �� �

�� � �� �

�� � � � � � �� �

�� ��� � �

�� �� �� �

��

� �

� � �� �� � �� � �

� �� � � �� � � � � �� � � � � �� � � �

� �� � � �� �� �

��� � �� �� �� � �

� � �� � � �� � � �

� � � � � �� � � � � �� �

��� � �� � �

� � �� �� � � �

� � � � � �� � � � � �� �

��� � �

� � �

� � �� � �

� �

�� � � � =� � � =� �

�����=� ��=�����'�=�'�=�'���'�

�� 0�� 1������ �+�� ���*�� �.��� ������ ��

��*������� 3.5 ����+���#����������

���� ��� T�� �+�� �#����� ������ ��\� *�����&��:�\����+���*�����>�� ��#�����-�1����&�����+���� +�����&>��� �#������������& �����\��*���������� ����&>��#!+��+��>����'�#�����������[��� ��#�������!��*��� 1����+�� ���<*����� �1� &�� �-� �\�� *��*����!#�������!�����1�&�������\�����T��0��+�!������T�������#��T&���T������������!��!������� ��� &�� >�� ���� � *��*����!#���+�!+��������!����+������!��!������J�

9+���>J��� 3.5 #����

���� ��� 9�� ��*������� 3.5 ��� �+��#����� ������ �������!����+� !�����>�������#��>J��+�!+�!#����+�������>����8�

9+#��� �1� >� ��*�������� �� �/����� ��� �+��#����� ������ �+��� 8� ����� ��*������

3.5 �������

)/���"��#�"�� N��� &>� �� �� #����� �+��� ��#��������+��&�������7�'��#������+�������#���������� � � �T& ��T����TJ

�� � ��

� �#�������� �� �� �����

�����T> ��T��4�>���� � �� � ��

��� �� �� ����

��

� %$

� #���� � � �� �� �����

?��� T>J���>���S�_

>J � � ��� �� � � � � �� �

�� �� �

� �

���� �� � �� � ���

� �

�� ��� �� � �� (L@

���!���>J���>8 � >8��� �

"��������� ���9+���1�����>8��� �� �

���������

�� �&� ��#������

����

����� ����

��� � � � ��� � � � ����

� ��� �

� � � ���

���

� ����������

18 �� � � � � � � � � �

3. � � � = ���� � � = �

�� �

= ���� � = �

�� = ��� = � ��

�� mn = 64 (Given)

mn = (2)6

Comparing we have

m = 2 and n = 6

So, nmn = (6)2×6 = 612.

�� 0��+.����7 �� ����4� �� �

������4�� �� ��

��O������7�������4���������4��� P����4�''���'��

�� M�.����������G� (@ ���� C@�������������������������������� ������������� �������������������� ������������������ ���������� ���� � ! �"�#�$�

( (@ (

×× ����

C (@ (�

���� �

�� �������� �

"��!������+.�� ��� � ���� � ���� � ���� �

9+#�����;#������#��������� ���� ���� ���� �

�� � �� � 7��

9\�� ���!�*��!������+.�

�� � �

� ��

��%� �� �

� ���=�

� �

� �

OI��������� ��+������������P

�� � �� �

� ��

������������4��

����� %�

�� �� �� ��

%��

� �� �� �

����� @ 7���7� @ 4����� @ 7�� 4� @ 7���

����� � =������ � �

�� ����5 2

5 2

−+

�I��������� ��+�������������

����( 5 2)( 5 2)

( 5 2)( 5 2)

− −+ −

����

2

2 2

( 5 2)

( 5) (2)

��� �

2 2.( 5) 2 5 2 (2)5 4

��� � � � �

����S�4�� 5

��������S�4�� 5 ��

��;#��� ����+�������

���S���4���=�S�=�� 5 �7��� 5 ��

���'�4�)� 5 �7�'��=�

���'�4�)� 5 �7���

��'�'�4�)� 5 ������

���� ����5 2

5 2

+−

�I��������� ��+�������������

� � ��( 5 2)( 5 2)

( 5 2)( 5 2)

+ +− +

���+−

2

2 2

( 5 2)

( 5) (2)

� ��� �

2 2( 5) 2 5.2 (2)5 4

��5 4 5 4

1+ +

���S�7�� 5

� �� ���S�7�� 5 ��

���S���7���=�S�=�� 5 �7��� 5 ��

���'�7�)� 5 �7�'��=�

���'�7�)� 5 �7���

��'�'�7�)� 5 �������

�#���!��� ������1������������ ��

19�� � �� �����

�� 4 �� ��'�'�4�)� 5 �4��'�'�7�)� 5 �

��'�'�4�)� 5 �4�'�'�4�)� 5

��4�'�� 5 �

�� ��� 9+���#������1�**��������

��

���

� �� = � = ���

��

� ��� � ���

�����

����������

9+���#������1��� �������

��

�����

� � �=� �=� �=� ��

� ����

� ��� �

� � �� � �

� ��� ����)�

���� ��'#���,�����*�!���"*#��"0'"���1���#"-��!�'��������#���&%���#�����#�"2�#"%�����/�0-"��*���#"��,���'���,���"&�&%��'������

��

�� �� � � � � � � � � �

����������

�� ��� ������ �� � � � � �� �� � � �

� � ��qp

����� �qp � ��� ���� �� ��� ����

�������

�� ��� �� ����! ���� �� ��� �"#������ $���� %�� � &�� '������ (���� ������ ��#�(���

�� )� ����� � � � � � �

� � � � � ����*�� '���� ���� ���� (� ���� ��� ��� � �����

� �� � �� � +�� �� � �� � ���

� �� � �� � +�� ���� � ���

��� � � � ���� �� � �� � �� � +���,��'�� �� � �� � �� � +���

�� �� -�'� .�� ��� ��� ����� �� + (�'�� ��� �������� #�(�� ����� ��� �������� �� .�� � $�� � /&� -� ��� ������� ��� #��!����� � +��� �������� ���� '������ ��� ��������� ���� ������ �������� #��!����� ��& '�� �� (����� �� &��� �� ��� ������� ��� '������� #��!����� � ��

�� ���� � 0� '�����#���� #��!������1����� � 0 � ����� � ��� ����� -�'�� � ��� �� ��������� ����� ��� �� 0 � � ���2���� '�������(�'� '����� �� �1��� �� �����,��'�� ���� � 0 ��� �� �����

�� ,���� �� �� � y3

27 � / �� '�����#����

�1����� � y3

27 � / � ��

� y3

27� /

� �� � %0 �� � � 3 27 � +

� � � + � � ���� �� ��� #��!�����

�� �� � y3

27� /�

� 3�� ���� � 4�� � �� � /�� � + �����

� � 13 � � ���� �� ���� � �� �

� �� ���� �

5����� � � 13 � ��� (� ���

�� �� �� �13

� 4 6 � �� �� �

313 � � �

� �� �

213

�� /� 6 13 � +

� 4 6 127 �

19 �

103 � +

� � �2 1 10

– 39 9 3

� �3 10

– 39 3

� �3 – 30 27

9 � �

� � � �� �� �13 � �� ����� ����� ���� � �

13

� � ���� �� �����7�(� ��%� � 4 �%�� � %� � /� 6 % � +

� 4 6 . � 8 � %� � +� &% � /0 � +&�

� ��%� � �� % � ��� � ���� �� ���� #��!������

� �� 3�� ���� � �� � 4� � /�� ���� � �� � %�+�� � +� � /

� �� � +�� � /9�� ��� ������� ������ �� ��

��������� � +������

��������

POLYNOMIALS

��� �� ���� �

�-�'� � � �� ������� ��� � � + � �������� �� ���'� �1���� �� ��!������ � � ���2������� ��������� �� � +�� � / : �

�9�� ��� ������� ������ �� ��� � ��� � � ��� ��! ������� ������ �� ��� ��� ���� #��!����� ��� �� ���������������� 3�� ���� � %&�� � %�� � /%� ���� � �&��� � % 6 �&�� 6 % � %� � .� ���� � �&� � %�� � .9�� ��� ������� ������ �� ��

�&� � %�� � ��-�'� � � �� ������� �� &� � % � ������ ������ �� �1���� �� ��! ������ �� ���2������� �������� �&� � %�� � . : �� ���� � � ��� ��! ������� ����� �� ��� ��� ���� #��!����� ��� ��������� �������

�� �� ;��� �� #�'� �� ���� /4�� � +%� � /&� /4�� � %�� � /%� � /&� 8��8� � &� � +�8� � &�� �8� � &� �8� � +�

;� (� *��( ���� �� ��� ��'������� ������ 6 ���������������� � ������ � 8� � &� ������� 8� � + �� � ������ � 8� � +� ������� 8� � &��� � � ���������������� ����������������� ������������� ��� �� ����� ��� �����

����������

�� �<� ������ %�� � 0� � 8 � �� %�� � �. � /� � � 8 � �� %�� � .� � � � 8 � �� %��� � 8� � / �� � 8� � �� �%� � /� �� � 8� � �

� � � ��� � 8�

�� 3�� ���� � ��� � 4/5����� � � � /� (� ���

��� /� � �� /��� � 4/ � � / � 4/� 4�

,��'�� ������� � 4���� 5�� � � � % � ��� #��!������

���� � �� � &�� � &� � %� �� %�� � &�� %�� � &��%� � %� � . � & 6 8 � /� � %� � . � %� � /% � �

,��'�� ������� � ��

� � !5�� � � � / � ��� #��!�����

���� � &� � 8�� � +���/� � &��/� � 8 ��/�� � +

� � & � 8 � +� � $ � + � � 4�

�� 3�� ���� � %�� � %�� � � � ������� ��%� � &� % 6 �%�� � % 6 �%�� � % � � � &� % 6 . � % 6 8 � % � � � &� /4 � . � % � � � &� /� � � � & ��� � &�

�� 3�� ���� � �� � ��� � 4� � � �� ���� � � � ��

)��� ���� � � � � � � � � � � � �=������ � ���� � �� � ���� � 4� � �

� �� � �� � &� � &��

�� 3�� ���� � +�� � 0� �� ���� � 0 � +��

)��� ���� � �� � �7

3−

� 0 � +� � � � � � 7

3−

� =������ � �7

3−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠� +

373

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� 0−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠7

3

� + 6 34327

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� 493

� 3439

− �

493

�� �� � � � � � � � � �

�� �%� � 8�%� � %� � %�% � �� +% � 8 � 8 � � � +% � � �����

7�(� ��%� � �%� �>����� +& � 8� � +% � �?9��� �� �� ��@�� +�� � + �� � � � /

�� =������ � ��%� � +& � 8�� /�?9��� ��@

� +& � 8 � +/������� � � � / �� ������� � +/�

���������

�� ��� 5����� � � �� � � � ���� � � � &� (� ����

���� � � � &��� �� � � � � & ;��

���� � ��� �� � /��2. Consider 1 – x3 = 0

� 13 – x3 = 0 ��(1 – x) (1 + x + x2) = 0� (1 – x) = 0 � x = 1

�� �� � / � �� � /� ����� � � /���� 3�� ���� � �� � �� � 4������ � �� � $� � �;� ���� � � % � � ��'��� �� ���� ���� ���������%� � � �� (��� �� ��%� � �

� %� � ��% � 4 � �� %� � $�% � � � � � 8 � %� � 4 � �� 8 � /. � � � �

� %� � % � �� � /8 � � � �� � � / � � /8

���������� � � � � / � /8 � /&�

�� ��� � � / � � ��'��� �� ����� ��/� � �

� ��/�� � 2 �/� � / � �

� � � 2 � / � � �� � � 2 � /�

�� )� ���� ���� � ��� � �� �

�� ���� � � � �5����� � � � � � � ���� (� ���

� �� �� � �� �� � �

� � � � � � �-�'� � �� �� � �� �� � � � � � ��'��� �� ����,��'�� ���� � � � � � ��� ��'��� �� � ���

� � � ��

� − −343 147

9 �

− 4909

��� �7

3−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ �

− 4909

� �

� ���� � ��� � ��'��� �� �����

� 3�� ���� � �� � +��� � ��� � %��

�� ���� � � � %�)��� ���� � � � � � %� � � �� � � %��

��%�� � �%��� � +��%��� � ���%�� � %��

� .�� � +��8�� � %�� � %��

� .�� � /%�� � %����

� 3�� ���� � ��� � $� � 8� �� ���� � %� � /

���� � � � %� � / � � � � �12

���������� ������� � � � �� �� �12

=������ � 56

� � � �� �� �12 �

56

� � � �� �� �

212

� $ � �� �� �12 � 8� �

56

�a4 �

92 � 8� �

56

��a a164

� 92�

56

�a17

4 �

56 �

92 �

�5 276

� 326

�a17

4 �

163 � � �

163 6 4

17 � 64

51�

�� 3�� ���� � +�� � ��� � +� � & �� ��� � 8�� � �� � %� � ����� � � � %�

)��� ���� � ��� � % � � � � � %

���������� �������� (��� ���� �� ������ �� �! ����� ��� ���� �!���#�'����!

��%� � +�%� � ��%� � +�% � &� %8 � 8� � 4 � & � +& � 8�

�����

��� �� ���� �

!�� 3�� ���� � �� � �� � � � /� � / (�� �� � ��'��� �� ���� � �� � �� � � � /� ����/� � �� 5����� � � � / � �����(�����

��� /� � ��/�� � �� /�� � �� /� � /� � / � / � / � / � ��

� ��� /� � ��� � � / � � ��'��� �� �����

�� 3�� ���� � �� � �� � �% � 2 � � � 2

�� � /� (�� �� � ��'��� �� ���� � ���/� � �5����� � � � / � ����� (� ���

���/� � ��/�� � ��/���� �% � 2� ��/� � 2

� � / � / � % � 2 � 2

� % 2,���� ��� /� � � � � � / � ��� � ��'���

�� ���� � �� � �� � �% � 2 � � � 2 �

� 3�� ���� � ��� � %��� � �� �� ���� � � � ��-�'� ���� � �"�'��! ����� �! ��������������� ��� �� � �� ��� ��� � %���� �� � �� � �� �� � %�� � �� � �� � �� � �� � �� �� � �� � �� �� � ����� � �� � ��� � �� � � � � � �� �� � �� � �� � �� � � � �� �� � �� � �� � �

"�����#������ !

3�� � ��� ��� � �� � �� � � � ������ � � � � � �

A� ���� � ���� � � �� � ��7�(� � �� �� � ��� � ?� �� � ��@� � �� � ��

?� �� � ��@ � �� � �� � ��� � �� � ��� � �

� ��� (�� �� �"�'��! ����� �! ���� �� ��� � �

� � �� � ��� � �� � ��� � �� ���� � �� � ��� � �� � ���

� �� � ��� �� � � � /��

� 3�� ���� � � � %�>��� ���� ���� � � ��'��� �� � ������ � �� %� � �� +�� %�� � ��� %�� � 8�� %� � � � �� � %8 � 8� � . � � � �� � +% � 8� � � � � �����

;���� (��� � ��� � �� �! � � +� ������� ��� ������� � &�� � �+� � � &� +�+�� � ��+�� � 8�+� � �� � &

� + 6 %0 � $� � /% � � � � &� $+ � $� � � � � &� $. � $� � � � � �����-�����'��� �1����� �� ���� ��� (� ���

$. � $� � � � �� +% � 8� � � � �� � � /+� � &� � �

� &� � � /+� �� � � � %4

5����� � � � %4 � ��� (� ���

� +% � 8 6 �� %4� � � � �

� � +% � /�8 � � � �

� � � /+4

,��'�� � � � %4� � � /+4�

�� 3�� ���� � �� � � � ��� � ��� � �� � ������ � �� (�� �� � ��'���� � �� ����������� � ��� �� ���� ��'���� �����

��� �� � �� � � � � ��� � B�� ��� � �� � ��C

� �� � �� �� � �� � ��� � �� � �� � �

� ���� � � ��� � � � � � � � � � � ��'����� ��� ���� #��!������

-�����!� ���������� � � � �� (� ���

��� �� � �� � � � ��� � B�� � �� ��� � ��C

� �� � ��� � �� � ���

� �� � �� � �

� � � � � � ��'��� �� ��� ���� #��!������

7�(� ���������� � � � �� (� ���

��� �� � B� � � � �� ��C� � B�� � �� � �� ���C

� �� � � � ��� � � � �� �� � ��

�� �� � � � � � � � � �

� �� 4�� � /0� � &� 4�� � �% � /&� � � &� 4�� � %� � /&� � &� %��+� � /� � &�+�� /�� �%� � &� �+� � /��

�� /&�� � %� � /� /&�� � &� � +� � /� &��+� � /� � / �+� � /�� �&� � /� �+� � /��

!�� ;��� �� ��� ��'������

; � �� � /% 3 � � /�&

� �� � 0 3�� & 3� � /�&�-#����� ��� ��� �����

�� �� � 0 3� � & 3 �� � 0 3�

� � � � & 3� �� � 0 3����#���� ; � � 6 �� (� ���

� � � � & 3� � � � � 0 3�

�� ,���� ���� � +&���� /+� � /%� +&�� � %.� � /&� � /%� 0��&� � 8� � +�&� � 8�� �&� � 8� �0�� +�

A� ������ � 0� � +� ���� ������ � &� � 8������ ������ � ������� ������ � 0� � +�

� 3�� �� �� � %�� � �� � %� � /

� %y

y y2

3 12 2

⎧ ⎫⎪ ⎪+ − −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

� %� �� � � �� � �� � � � � � �

y y y2 1 11

2 2

� % �� � /� �� � /� � �� �� �

���

� �� � /� �� � /� �%� � /��

�� 3�� ���� � �� � /+�� � +%� � %�,���� ��� '������� ���� � %� �� ��'������ %� ��� � /� � %� � 8� � &� � /�� � %��3�� �� �� � �� /��

��� /� � �� /�� � /+�� /�� � +%�� /� � %�� � / � /+ � +% � %�

� �� � �� � �

� � � � � ���� � ��'��� �� ��� ����#��!������

����������

�� �;� ;� �� � �� � �� � ��� �� � �� � �� � ��� �� � �� � � ��� � ��� ����� ������

�� ������ �� � � � �� � �� �� � �� � � � �� � �� � �� � / �� � ��� ���/� ��� ���

�� �� � �� � %�� � %��� ��� � �� � %� �� � ��� ����� ��� %���

!

������ � � ���

� ���� � ���� �?����� � �����@� ���� � ��� ��� � ���� � ����

�� ������ &0 6 4+ � �4� � +� �4� � +�� 4�� � +�

� +4�� � $ � +&$/�

�� ;��� � /4�� � +%� � /&� /4�� � %�� � /%� � /&� 8��8� � &� � +�8� � &�� �8� � &��8� � +�

;� (� *��( ���� �� ��� ��'������ � ������ 6 ������

����������� ������ � 8� � &� ���� ������ � 8� � +����������� ��� � ������������� � 8� � &�

�� 0�� � &4� � /�&� 0 ��� � .� � /&�� 0��� � &� � +� � /&�� 0?� ��� &� � + �� � &�@� 0�� � &� �� � +�

;� � : &� ���������� #������ ���������� 0 ����� �� � +� ���� �� �� � &� �����

������ �����

�� ��� �� � ����� � ����� ��� � �� �� � �� � �� � �� � �� � �������� ���� � ����� � ���

��������������������� � ������������������

����������������������������������� � ������������ ��

�� �� � ����� � ������������������� � ������������������

�� y2 32

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠y2 3

2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

�� ������������������������������� ��

y2 32

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠y2 3

2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

����������23

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�������94�

������������������������

�� ����������������������������������

����������������������

��������������������������������

�� ������� � �� ������ � ������� � ���������� � �� � �� ����� � ��� ���

��� ��� � ����� � ������������ � �� � � ���

�������������������������

������������������������������ ����

�� ��� � ����� � ����������������� ��

������ � �� � ����� � �� � �� ��

�� !������������������� �����������������������������������

�"##�� �� ���������$%����#��%& ��������������������

��� ��������������������������%& ���������������������� �"��������%& �������������������%& ��������������%& ������������� ' �%&�� � �� � � �� � �� �� ()� %*� ��%+%������&��,��()$�&�����#������,��-��+%������&��,��()$�&���������

��������� �

���������������� ����������*�.�%&�%*�����/%�����������������������

���� �������������������������������������������������������������������� � �������������������������������������������������0+,����� �(+�����)�##,����&)�

���� � �� ���� � ��� � ��� � �������� � ���� � ����� � ���

�������� ��

� �1�� 1a b

b a� � ��!�����

� �2 2

1a b

ba

�� �� �������������

� ���������������������������������������������

� ���������������/%�����������������������������������

�����������������������������������������������

���������������������

���� 2�������� �������������

��� ����������� �� � �������������3�����3��

��2 22 2

9 16 3 4

a b a b� � � �� � �� � � �� � � �

��3 4 3 4

a b a b� � � �� �� � � �� � � ������������������������������

�� 1%��#�&��� � �� � ���

����� � �� � ���� �������� � ����

����� � ��� ��� ��� ����� � �� �� � �� ��

������ � ������������������ ����

��2 268 – 4226

�(68 42)(68 42)

264

����� � � � ��� 56 788956

�������

�� �� � � � � � � � � �

�� �� >��� � � x1 � &

-1����� ���� ���� (� ���

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠x

x

21� �&��

� �� � %���x1⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ �

x

21⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� &�

?� ������ � �� � %�� � ��@

�� �� � % � x2

1� %&

���������� �� � x2

1� %& � % � %+�

�� 7�(� �1����� ����

xx

22

2

1⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠� �%+��

� ����� � %���� x2

1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�x

2

2

1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� &%$

�� �� � % � x4

1� &%$

�� �� � x4

1� &%$ � %

,��'�� �� � x4

1� &%0�

����������

1. (A) x3 + 1= (x + 1) (x2 – x + 1).

�� ;� �� ��

��� % � %� �

��

� ���� ���

�� �� �� �

� %�� ��� � %

�� �

� ��� �� �

� ��

� �� ��� �� � � %

�� �

� ��� �� �

� �

� �� ��� �� �

��� �

� ��� �� � �

�� ������� �� ��

���

��� �

� ��� �� �� %�� �

��

� �+�� � %�

�� �⎡ ⎤⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

� $ � % � 0��� ������ �� � %�� � $

� �� � 4�� � 8�� � $� ����� � % � �� � + � +� � �%���

� ��� � +�� � �%���

� ��� � %� � +� ��� � %� � +��

! �$$0�� � �/��� � +��

� �/����� � +� � % 6 /��� 6 +?D��� �� � ��� � �� � �� � %��@� /������ � $ � 4���� /�����$ � 4��� � $$8��$

�� �%� � 0�� �%� � 0�� � �%� � 0���

D��� �� � ��� � �� � %�� � ��� (� ����%� � 0��� � �%��� � % �%�� �0�� � �0���

� 8�� � %.�� � 8$���

!�&�� � +���&�� � +�� � �&�� � +���

� �&���� � %�&����+�� � �+���

?D��� �� � ��� � �� � %�� � ��@� %&�� � +���� � $���

�� �+� � &�� �+� � &�� � �+� � &���

� �+��� � %�+�� �&�� � �&���

?� �� � ��� � �� � %�� � ��@� $�� � +��� � %&���

� � � � � � � !�%�� � +�� �%�� � +��

� �%�� � +���

� �%���� � %�%��� �+�� � �+���

?D��� �� � ��� � �� � %�� � ��@� 8�� � /%��� � $���

� �� /�/ 6 $$ � �/�� � /� �/�� � /�D��� �� � �� �� � �� � �� � ���

� �/���� � /� � /���� � / � $$$$�

�� /�/ 6 /�/ � �/ � ��/� �/ � ��/� � /� � ���/ � ��/�/ � ���/����/�

?� �� � �� �� � �� � �� � �� � �� � � ��@� / � ��% � ���/ � /�%/�

�� �� ���� �

� � � � � � � !3�� ������ �� ��� ��'������ �� � ������ ������ �� ��� ��'������ �� � �����5�������� %�� � �� � +��� � � � � /& �����;���� (� ��� ���� ���� � � � � &�� � � � � & �����-1����� �� �� ��� ���� ������'������������ �� �1����� �� ���� ���� ���1����� ��� (� ��� �� � ��� � �� � ��� � /&� � &�

� ?�� � �� � �� � ��@ ?�� � �� � �� � ��@� �/& � &� �/& � &�

� �%�� �%�� � �/�� �%��� 8�� � %�� �� �� � &����������� ��� ���� �� ��� ��'������ �&� �1� �����

� xx1

– � 8 �>����

-1����� ���� ���� (� ���

� �� �� �x

x

21– � 8�

� �� � % ��� � � �� �� �x1 � � �

� �� �x

21 � /4

� �� � % � � �� �� �x

21 � /4

� �� � x21� /4 � %

� �� �x21� /.

;��� �1����� ���� ���� (� ���

� ��� �� �x

x

22

21

� /.�

� ����� � %���� 6 � �� �� �x2

1� � �

� �� �x

2

21 � +%8

� �� � % �x41� +%8

� �� � x41� +%8 � %

� �� �x41� +%%�

�� )� ���� �xx

22

1� 4%

;�� % �� ���� ���� (� ���

� �xx

22

1� % � 4% � %

� �xx

22

1� % � ��� � � �

� �� �x1

� 48

�� ��� �� �x

x

21� 48

?D��� �� � ����� �� � %�� � ��@

�� ��� �� �x

x

21� .�

��*�� �1���� ����� (� ���

�xx1� � .

A������ �

�xx� � . �� ���� � �

#������ x1� ���� #����� �� ��� ��

�(� #����� ������� � ��(�!� � #������������

� �xx1 � .�

����������

1. (C) x + y + 2 = 0

� x + y = –2

Cubing the both sides, we get

� (x + y)3 = (–2)3

� x3 + y3 + 3xy (x + y) = – 8

� x3 + y3 + 3xy (–2) = – 8

[� x + y = – 2]

� x3 + y3 – 6xy = – 8

� x3 + y3 + 8 = 6xy

Hence, x3 + y3 + 8 equals 6xy.

�� ������ �� � �� � �� � %��� � �� � ���� �� � � � ��� �� � � � ���

� �� � � � �� �� � � � ��

� �� � � � ��� �� � � � ���

� �� � � � � � � � � �

���#���� ��� '����'���� �� '�����2#���� ����� � '�����#���� ��'�����(� ���

� � / �� � � / �� � � � � %�

�� ;� � ��� � /&

��� �

� ��� �� �� /&� �-1������

� �� ��

��� % � %%&

��� �� ��

��

� %%+�

�� �%� � +� � 8���

� �%��� � �+��� � �8��� � % � �%�� � �+��� % � �+�� � �8�� � % � �8�� � �%��

� 8�� � $�� � /4�� � /%�� � %8�� � /4���

�� $�� � 4�� � ��

� �+��� � % �+�� � � ����;� (� *��( ���� �� � %�� � �� � �� � ���

� �+� � ���

� �+� � ���+� � ���

!8�� � 8� � /

� �%��� � %�%�� �/� � �/��

� �%� � /��

?� �� � %�� � �� � �� � ���@� �%� � /��%� � /��

�� �� � �� � �� �y y

x x22

2 2– ( ) –100 10

D��� �� � �� � �� � �� �� � ��� (� ����

y

x2

2 –100

� y

x10

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠y

x10

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�

�� ������ 8�� � �&���� � �%����

D��� �� � �� � �� � ���� � ��� (� ���� %&�� � 8�� � �&�� � %����&�� � %���

������ � � �� � ��� � ��� � �� �&�� � %���

� �� � %� � 8���

� ���� � �%��� � �8��� � %��� �%��� %�%�� �8�� � %�8�� ���

?� �� � � � ��� � �� � �� � '�� %��� %�� � %��@

� �� � 8�� � /4�� � 8�� � /4��� .���

!

� ��� �� �a b

21 1– 1

4 2 �

� �� �� �� �� �� a b

21 1

– 14 2

� � � � � � � � �� � �� � � � � � � �� � � � � � � �a b a b

2 221 1 1 1

– (1) 2 –4 2 4 2

� � � �� �� � � �� � � �b a

1 12 – (1) 2(1)

2 4

� 1

16�� �

14

�� � / � ab4 � � � a

2�

� �� %�� � �� � .�� � % 2�� � 8 2�� � .��

� � �x2

2 � �� � � �z2

2 2 � % 2��

� %� �% 2 �� � % 6 2 � 6 % 2�

� �� 2 ��� � �� � �% 2��� � % �� 2 ���

� %� �% 2 �� � % �� 2 �� 6 % 2 �

?� �� � �� � �� � %�� � %�� � %��� �� � � � ���@

� �� 2 � � � � % 2 ���

� �� 2� � � � % 2�� �� 2� � � � % 2��

�� �� � $�� � +4�� � 4�� � +4�� � /%��� ���� � �+��� � �4��� � %��� �+��

� %�+�� �4�� � % �4�� ���3�� � � �� +� � � �� 4� � �� �����"#������ � �� � �� � �� � %�� � %�� � %��

� �� � � � ��� � ��� +� � 4���

�5����� �������� �� � +� � 4�� �� � +� � 4���

�� �� $�� � /4�� � %&�� � %8�� � 8��� � +���� �+��� � �8��� � �&��� � %�+�� �8��

� % �8�� �&�� � % �+�� �&��3�� � � +�� � � 8� �� � � &�� �����"#������ � �� � �� � �� � %�� � %��

� %��

��� �� ���� �

� �� � � � ���

� �+� � 8� � &���

�5����� �������� �+� � 8� � &�� �+� � 8� � &���

�� 8�� � $�� � /4�� � /%�� � %8�� � /4��� �%��� � �+��� � �� 8��� � % �%�� �+��

� % �+�� �� 8�� � % �%�� �� 8��� ?%� � +� � �� 8��@�

?D��� �� � � � ��� � �� � �� � �� � %�� � %�� � %��@

� �%� � +� � 8�� �%� � +� � 8���

�������� ��

�� ��� ������ � �

� �

� � ��� �� �

� � �

� �� �� �� �� �

� � � �� �� �

� �

� �

� �� � �

��� �

� 1

11�

�� )� ���� 4�� � %8��� � +��� � /%��

� 4������ 8��� � +� ����� 8���� �4� � +�� ��� � 8���� +�%� � �� �� � %�� �� � %���

3. Consider (25)3 – (75)3 + (50)3

= (25)3 + (– 75)3 + (50)3

Let a = 25, b = –75, and c = 50� a + b + c = 25 –75 + 50 = 0We know if a + b + c = 0,then a3 + b3 + c3 = 3abc� (25)3 + (–75)3 + (50)3

= 3 × 25 × (–75) × 50= – 281250

�� �� � .�� � 48�� � %8���� ���� � �%��� � �� 8��� � + 6 � 6 �%��

6 �� 8��� ?� � %� � �� 8��@ ?�� � �%��� � �� 8���

� � 6 %� � %� 6 �� 8'� � �� 8'� 6 �@� �� � %� � 8�� ���� 8��� /4'� � %��

� .�� � 8����

!

)� ���� � �

� �

LKMHNO LKMPPOLKMHNO LKMPPO KMHN KMPP

� �

� �

����� �������� ������ ��� �

����� ���� �� ���

� �

� �

� ��40 � ��++ � /��� � /�

�� A� %� � � �� / � �� ����

�� � ��� � �� � +��� � +��� � ��

� �%� � /��

� �%��� � + �%��� �/� � +�%�� �/�� � �/��

� .�� � /%�� � 4� � /

!�+�� � ��� � �+���� � +�+����� � +�+���

� ��� � � ���

?�� �� � ����� �� � +��� � +��� � ��@� %0�� � %0��� � $���� � ���

�� �$$�� � �/�� � /�� � �/���� � + �/���� � / � + � �/��� �/�� � /�

� /������ � +���� � +�� � /

� $0�%$$�

! �/�%��� �/�� � %��

� �/���� � +�/���� � % � +�/��� �%�� � %�

� /������ � + 6 /���� 6 % � + 6 /��6 8 � .

� /������ � 4���� � /%�� � .� /�4/%�.�

� ;� ���� � � � � &��*�� '��� �� ���� ���� (� ����

�� � ��� � �&��

� �� � �� � +���� � �� � /%&

� �� � �� � +�4��&� � /%&

?��� �� � �� � & �� �� � 4@

� �� � �� � $� � /%&

� �� � �� � /%& � $�

� �� � �� � +&�

�� �� � � � � � � � � �

� 3�� �� '����� �� � ��� � �� � ��� � 8��� �&�� � �� � ��� � 8 6 4

� %& � �� � ��� � %8� �� � ��� � %& � %8 � /�� �� � ��� � /� �� �� � �� � � /A������ ��� ����� �� � : � �>����

���� � � � : �� � � � � /��*�� '��� �� ���� ���� (� ���� �� � ��� � �/��

� �� � �� � +���� � �� � /� �� � �� � +�4��/� � /� �� � �� � /. � /� �� � �� � /$�

!

xx1⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

� 8

��*�� '��� �� ���� ���� (� ���

xx

31⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠� �8��

�� �� � x3

1 � +���

x1⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠x

x1⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ � 48

?D��� �� � ��� � �� � �� � +���� � ��@

�� �� � x3

1 � + 6 �8� � 48

�� �� � x3

1 � /% � 48

�� �� � x3

1� 48 � /%

�� �� � x3

1� &%�

�� �� .�� � �� � /%��� � 4���

� �%��� � ���� � + �%��� � ��� � + �%�� ����

� �%� � ���

?D��� �� � �� � +��� � +��� � �� � ���@

� �%� � ���%� � ���%� � ���

�� %0�� � 1

216 �

92

�� � 14

� �+��� � 31

6⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� +p2(9 )6

� +�+��136

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� �+��� � 31

6⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� +�+��� � � �� �� �16 � +�+��

216

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� p31

36

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

?D��� �� � �� � +�� � � +��� � �� � ���@

� p1

36

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠p

13

6⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

p1

36

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�

����������

�� �;� ������ �� � %0�� � /%&�� � 8&���

� ���� � �+��� � �� &��� � + � ��� �+�� �� &��

� �� � +� � &�� ��� � $��� %&�� � +��

� /&�� � &������ 3�� ��0. � � �� ��%% � � -�� � � � � ��0. � ��%% � /

7�(�

���� ���� ���� �������� ����

���� ���� ���� �������� ����

� � �

� �

� �

� �

� � � � � � �� � � � � �� � � � �

� � � �

� � �

� �

� �� �� �

� � �

� �

� �� �� � � �� �� �� �

� �

� � � � � /�

3. True, as if x2 + x – 6 is divisible by x +3, then (–3)2 + (–3) – 6 = 9 – 3 – 6 = 0Since remainder is zero, so x2 + x – 6 isdivisible by x + 3.

�� ������ .�� � %0��

� �%��� � �+���

� �%� � +��� � + 6 %� 6 +� 6 �%� � +��

��� �� ���� �

� ��� � ��

��� � �

� � � �� �� �

�� �� � ���

� � � ��� �� � �� �� �

� ���� ���� �

� QGHJ JGHK

R �

���

�� 3�� �� '����� ��� =,-�=,- � �� � �� ��� � �� � ���

�D��� �������� ��(�

� ���� � �� � ��� � ���� � �� � ���

� � � � � � �� � �� � � �� � � �� �

� �� � �� � 3,-�"���������$����

�� 48�� � +8+�� � 8��� � 0���

� �8��� � �0���

� �8� � 0��?�8��� � �8�� �0�� � �0���@

?D��� �� � �� � �� � ����� � �� � ���@

� �8� � 0�� �/4�� � %.�� � 8$����

!

%0��� /%&�� � +��� � &��� � �+��� � �&���

� �+� � &��?�+��� � +� � &� � �&����

?D��� �� � �� � �� � �� ��� � �� � ���@

� �+� � &���$�� � /&�� � %&����

� )� *��( ������ � �� � �� � +���� �� � � � �� ��� � �� � �� � �� � �� � ���

� �� � � � ��12�%�� � %�� � %�� � %��

� %�� � %���

� 12�� � � � ��?��� � �� � %��� � ��� � ��

� %��� � ��� � �� � %���@?��� %�� � �� � �� ��'�@

� 12�� � � � �� ?�� � ��� � �� � ��� � �� � ���@�

"���������$����

� �� )� *��( ������ � �� � �� � +��� � �� � � � ��

��� � �� � �� � �� � ��� ������ � � � � � � � �>����� �� � �� � �� � +��� � ��� �� � �� � �� � +���

"�����#������

�� .�� � �� � %0�� � /. ���� �%��� � �� � �+��� � + �%����� �+��� �%� � � � +��?�%��� � �� � �+��� � �%�� �

� � �+�� � �%�� �+��@?D��� �� � �� � �� � +���

� �� � � � �� ��� � �� � �� � ��� �� � ���@

� �%� � � � +�� �8�� � �� � $�� � %�� � +��� 4����

�� �� ,���� ���� � �

��� � / �� '�����#��2

�� �1����� � �

��� � / � �

� �

��� � / � �� � %0 �� � � � �� � +

� � � + � � ���� �� ��� #��!����� ����

� �

��� � /�

-�� ��� ������ ����� �! -��� � ���#���'� �� ��� ���� �� ��� #��!�����

���� � 3

27

y � / �� /���

� + 6 /��� � � +���� �� � ����������������#�$����%������� ���� �����

����������

�� �;� ������ �� � �� � �� � ��� �� � ��� � �� � ���� �� � �� �� � ��� �� � �� �� � ���

�� +�%�� � .��� � ��� � 8���� +B�� �%� � �� � 8�� �%� � ��C

�� �� � � � � � � � � �

� +�%� � �� ��� � 8���� +�%� � �� B�� � �%���C� +�%� � �� �� � %�� �� � %���

�� ������S ��

�� � +� � 8

� ��

�� � %� � � � 8

� ��

� �� � 8� � / �� � 8�

� �� � 8� �

���� �

� �� ��

�� )� ���� � � � � &

� �� � ��� � &�

� �� � �� � %�� � %&

� /// � %�� � %&

�� ��� ���� ///�

� %�� � � .4 � �� � � 8+

7�(� �� � �� � �� � ��� � +���� � ��

� �&�� � + 6 �� 8+� 6 &

� /%& � 48& � 00��

�� ,���� ���� � 0� � 8�� � +�� � 8

5����� �� �� (� ����

���� � 0�� � 8��� � +��� � 8

� � � � � � � 8 � � 8

������� � �

���������� � � � � ��� � ���� �� ���#��!����� �����

�� ������������ �����������������

!48�� � /88� � ./

� �.��� � %�.�� �$� � �$��

D��� �� � %�� � �� � �� � ���� (� ���

�.� � $��� �.� � $� �.� � $��

� .���� � %0 ��� � %����� � +� ���

� �%���� � �+ ���

� �%�� � + �� ?�%���� � �%��� �+ �� � �+ ���@

� �%�� � + �� �8���� � 4�� � � $ �����

!

/%&���� � %0�� � &��� �� � +���

� �&���� � �+���

� �&�� � +�� ?�&���� � �&����+�� � �+���@�

?D��� �� � �� � �� � �� ��� � �� � ���@

� �&�� � +�� �%&���� � /&��� � $����

� 3�� ���� � ��� � %��� � �� �� ���� � � � ��-�'� ���� � �"�'��! ����� �! ������ ��� �� � �� ��� ��� � %���� �� � �� � �� �� � %�� � �� � �� � �� � �� � �� �� � �� � �� �� � �� ��� � �� � ��� � �� � � � � � �� �� � �� � �� � �� � � � �� �� � �� � �� � ��

!

3�� ���� � �� � �� �� ���� � � � �

���A� ���� � � � � � � � � � � � � �

5����� � � � � � ����� (� ���

��� �� � �� ��� � �� � � �� � �� � �

���������������� ��������� ��� ������������� ��������!�"�������� ��A� � � ����� ���� ��� �� � �� ��� � ��

� �� � ��� %�� � ������ � � � � ��� � ��'��� �� ���� � � ������

�� >��� 8�� � �� � 8�

� �%��� � �� � %�%����� � 8� � %�%���

?;�� %�%�� � �� ���� ���@

�� �%� � ��� � 8� � 8��?D��� �� � ��� � �� � �� � %��@

�� �%� � ��� � 8� � 8 6 4 ?;� �� � 4@�� �%� � ��� � 8� � %8�� �%� � ��� � 48�� �%� � �� � � .

��� �� ���� �

A������ %� � � � � . �� ��� �� �(�#����� ���� ������� � � #����� ����������� (� ��� %� � � � .�

!�� T����� �� ��� '��� � +�� � /%�

� +� �� � 8�� U�� �� ��� #������ ������� ���

+ ����� � ����� �� � 8� ��������� � � +� � � �� � � � � 8�

�� T����� � /%��� � .�� � %��� 8��+�� � %� � &�� 8��+�� � &� � +� � &�

?-#����� ��� ����@� 8�?��+� � &� � /�+� � &�@� 8��+� � &��� � /�

,��'�� ��� �� ��� #������ ���������� 8�� +� � & �� � � /�

�������������� �

�� ��� ;� ���/� � %��/�� � ��/� � 0

� �% � / � 0 � 4�

�� 5����� � � � / � ����� (� ����

��� /� � �� /���� � �� /�� � �� /��

� / � �� /� � �� /�

� / � / � / � /�

�� ������S �� � / � %� � ��

� �� � �/ � %� � ���

� ���� � �/ � ���

� �� � � � /� �� � � � /��

�� )� ��� ���� �����

�� � �

�� ��

�� � �

��

�� � �

�� ��

��

-1����� ��� ���� ���� (� ���

� � � � %�

���

�� � '

� � � � � � � � %�

���

��

������#�����

;��� �1����� ���� ���� (� ���

�� � � � ��� ��

� �

� ��� �� �� �� �

� 8���

�� %&�� � 8�� � �&���� � �%����

� �&�� � %����&�� � %����

?D��� �� � �� � �� � ���� � ��@

� � �� �� �� �

��� � � �� � � �� �V FG� �

� � �� �� � � �� � �� �

�&�� � %����

�� )� ���� �� � %���

A� � � � �� � � %�� ���� �"#������(�� �������� � �� � +��� � +��� � ��

���� �� � %���

� ���� � +���� �%�� � +��� �%��� � �%���

��� � 4��� � /%��� � .���

� %0�� � �� � �� � $���� �+��� � �� � �� � + � �+�� � ��D��� �� � �� � �� � +���� �� � � � �� ��� � �� � �� � �� � �� � ����(� ����W"#������ � �+� � � � �� ?�+��� � ���� ��

� �+����� � ������ � �+���@ � �+� � � � ���$�� � �� ���

� +��� �� � +����

� 3�� � ��� � � � +�� � ��� � +��� � %�� � 8�� ���� � % � ���� � ��� � �"�'��! ����� �! ����� ���� � � ��'��� �� ����� � �%� � �� % � +�%� � ��%� � +��%� � %��% � 8 � �� +% � 8. � .� � /%� � 8� � 8 � �� .� � /% � �� .� � /%

� � � 128 �

32 ������� � �

32�

!������������ ������� ����������

�� �� � � � � � � � � �

�� 3�� ���� � +�� � ��� � +� � & �� ��� � 8�� � �� � %� � ����� � � � %� (��� ���� � �

� � � % � � � � � %���������� �������� (��� ���� �� ��� ��� �� �! ����� (� ���

��%� � +�%� � ��%� � +�% � &� %8 � 8� � 4 � &� +& � 8� �����

�� �%� � ���� � %� � %�% � �� +% � 8 � 8 � �� +% � � �����

<�� �������� ��� ����� ��%� � �%� �>����� +& � 8� � +% � �?9��� �� �� ��@�� +� � � + �� � � � /� =������ � ��%� � +& � 8�� /�

� +& � 8 � +/�,��'�� � � � / �� ������� � +/�

!3�� � � � �� � '����� ��'��� ������ � �� � �� � � �� ���� � �� � �� � ��-�'� � � � � � ��'��� �� ����� ���� � � � �� � �� � � � � ������� � � � � � ��'��� �� ���� ����� ���� � � � �� � �� � � � � �����9��� �� �� ��� (� ���

�� � �� � � � �� � �� � ��� �� � � � �� � � � ��� ��� � �� � /�� � �� � ��� �� � �� �� � /� � ��� �� � �� � � �� �� � /� � ��� � � � �� � � / ;� ���� � � �� � � � � ��� #����������������� ���! � � /� 5����� � � / � �1����� ��� (� ���

/� � ��/ � � � �� � � � � / � �;��� #����� � � / � �1����� ��� (� ���/� � ��/ � � � � � � � � � / � ������ � � � � / � ��

"�����#������

���������������

�� �<" # ��� � �� � ��

� �/ � �� � �� �/ � ��

� �/ � �� �/ � ����

�� ;��

� �� � /4

����

� �� ��� �� �

� /4�

��

��

�� � %��� J

�� %&4

��

��

�� � %&4 � %� %&8�

�� �� � + 2� � 8

� �� � % 2� � 2� � 8

� ��� � % 2� � 2�� � % 2�

� �� � % 2� �� � 2��

�� 3�� � � � � ;

� � � � <

� � � � � �;���

+� � �� � � � �� � ; � < � � +� � +� � ; � < � �

�� � � � � � � +��� ; � < � � � �� ;� � <� � �� � + ;<� � �

�� � ��� � �� � ��� � �� � ��� � +�� � �� �� � �� �� � �� � ��

�� �+�� � ���

� �+���� � +�+����� � +�+��� ���� � ����

?D��� �� � ��� � �� � +��� � +��� � ��@

� %0�� � %0��� � $���� � ���

�� 48�� � +8+��

� 8��� � 0��� � �8��� � �0���

D��� �� � �� � �� � �� ��� � �� � ���� (� ���

�8� � 0��?�8��� � 8��0� � �0���@

� �8� � 0�� �/4�� � %.�� � 8$����

��� �� ���� �

� 3�� ���� � �� � %�� � � � %���� '������� ���� �� ���� � %� ;���'���� �� % ��� � %� � /�

)� �� ���� ��/� � /� � % 6 /� � / � %

� / � % � / � % � �

�� � / � � ��'��� �� � ����� ��� /� � �� /�� � % ��/��

� ��/� � %� �/ � % � / � % � �

-�� � � / � ���� � ��'��� �� ����� �� � /� �� � /� � � ��'��� �� ��������� �� � / � � ��'��� �� �����-�'����� � � '��' #��!������ �� �������� ���� ������� ��'����7�(���%� � %� � % 6 %� � % � % � . � . � ������ ��� ����� ��'���� ��� �� � /�� �� � /��� �� � %��,��'�� ���� � �� � /� �� � /� �� � %��

!

������������ ������� ��� 3,- � %�� � %�� � %�� � 4���

� %��� � �� � �� � +����� %�� � � � �� ��� � �� � �� � �� � ��

� ���?D��� �� � �� � �� � +��� � �� � � � ��

��� � �� � �� � �� � �� � ���@� �� � � � �� �%�� � %�� � %�� � %��

� %�� � %���� �� � � � �� ��� � �� � %��� � ��� � ��

� %��� � ��� � �� � %���@� �� � � � �� ?�� � ��� � �� � ���

� �� ����

?D��� �� � �� � %�� � �� � ���@� =,- "�����#������

�� �� 3�� ��� ������ �� ��(�� ����� �� � ��� � �� � 8�-�'�� ������ �� ��� ��(�� � � % � ���'��� �� �� � ��� � �� � 8�����������

��%� � �� %� � ��%� � ��% � 8 � �

� . � 8� � %� � 8 ��� /% � 8� � %� ��� 4 � %� � � ��;���� ������ �� ��� ��(�� � � / � ���'��� �� ����� ����������� � ��/� ��� ��/�� � ���/�� � ���/� � 8 ��� �/ � � � � � 8 ��� � � � � + ��� � �����+�5����� ��� ����� �� ����� �� � �1�������� (� ����

4 � %� � ?� �� � +�@ � �� 4 � %� � � � + � �� $ � +� � �

� � �9

3

� �+

5����� ��� ����� �� � � �1����� ���(� ��� � � � �� + � +� � ������ � � � + �� � � ���� ���� �� ��������&� � ##�����&��������������#���������'�

���������

�� �<� 3�� �� �� � +�� � ��-�'� � � / � � ��'��� �� ���� ��

���/� � �� +��/�� � ���/� � �� + � � � � � � � +�

�� �&%&�� � �80&��

� �&%& � 80&� �&%& � 80&�

� /��� 6 &� � &�����

3. Here, p(x) = x3 – ax2 + 6x – a anddivisor is (x – a).� Remainder = p(a)

= a3 – a. a2 + 6a – a= a3 – a3 + 5a = 5a

�� �+4�� � /� � �/ � 4���

� B�4��� � /�C � �/ � 4���

� �4� � /� �4� � /� � �/ � 4���

� �4� � /� �4� � / � / � 4��� �4� � /� � /%��

�� �� � � � � � � � � �

5. We put J

V��

� = y

� Given expression= y2 + 4y + 4 = y2 + 2.2y + 22

= (y+2)2 [� a2 + 2ab + b2 = (a+b)2]

=

JV G�

�⎡ ⎤⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

[Replacing y by J

V��

� ]

=J

V G��

� �� �� �� � � �� �� �� �

JV G�

�� ������������ ������������������(��)� !

�8� � %� � +��� � B8� � �� %�� � �� +��C�

� �8��� � �� %��� � �� +��� � % 6 8� 6 �� %��� % 6 �� %���� +�� � % 6 8� 6 �� +��

?D��� �� � � � ��� � �� � �� � �� � %��� %�� � %��@

� /4�� � 8�� � $�� � /4�� � /%�� � %8���

� ������������ ����������(��) !

Putting 2x + 3y = a and 2x – 3y = b(2x + 3y)3 – (2x – 3y)3

= a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)= [(2x + 3y) – (2x – 3y)] [(2x+3y)2 + (2x

+ 3y) (2x – 3y)] + (2x – 3y)2

= 6y [4x2 + 12xy + 9y2 + 4x2 – 9y2 +4x2 + 9y2 – 12xy] = 6y (12x2 + 9y2)

= 18y (4x2 + 3y2)� (2x + 3y)3 – (2x – 3y)3

= 18y (4x2 + 3y2)� ������������ ���������9. (i) (a) The volume of the cuboidal tank

= 3x2 – 12x = 3x (x – 4)� The possible dimensions are

3 units, x units, (x – 4) units.i.e. l = 3, b = x, h = x – 4(b) The volume of cuboidal tank

= 12ky2 + 8ky – 20k= 4k (3y2 + 2y – 5)= 4k (3y2 + 5y – 3y – 5)

[Splitting middle term]= 4k[y(3y + 5) – (3y + 5)]= 4k(3y + 5) (y – 1)

Hence, one of the possible dimensionsare 4k, 3y + 5 and y – 1.

(ii) I will prefer CNG because it ischeaper than petrol.

(iii) Environmental protection.

��

37�� �� � � � ��� � � � � � �� �

��������

INTRODUCTION TO EUCLID'S GEOMETRY

����������

�� ��� ������ ��� ��� �� � �� � �� � ��� �� � ���

�� �������� ������� ����������� ������� ��� ����� ���� ���������� ��� �� ��� ������� ���� ����� � ���� �

!������ ���� �� ��������� �� ���� " # � "$$ �# �������� % # � %$$ �# �������� " # � % # � "$$ �# � %$$ �#

&'��# ��� �� ����(� ) # � )$$ �#

�*+ �,���� ��� �� �� �,����-��� ��#� ��� �,�����

��

�� � ". �#�� � �� � ". �#

� �� � .$ �# � ". �#� �� � ". �# / .$ �#� �� � .. �#� ��� � ..� � .". �#��

� ��� �� �� � �0�# �����!� � !�������- �+���� #�� ���� ��� �� #���� ��������� �� �� � �0�# +�� ��� !�������� �����- ����� �0��� ��� ����� ��� �����! �����!� ���#������ ����� ��� � ����� +��# ��� +!���!��� ������

�� ��� *+ �,���� ��� �� �� �,����- �����#� ��� �,����

���� *+ �,���� ��� ��������� +��# �,����-��� ��#����� ��� �,��������� *+ �,���� ��� #������ � �,����-��� ������� ��� �,�������� *+ �,���� ��� �� � �,����- ���,������� ��� �,����

�� ��� �� ��� 1��� �2������ � �� ��3 � 3� 1����

4��� � � ��� #5���� �+ ��� �� ����� �� ��� 1�����4��� 3 � ��� #5���� �+ ��� �3 �3��� 3� ��3 1����4��������! ��� ������ �+ �� �� 3�+��# �,������ ����� �� ���� � �,���������- �� !��

�� � �� ��3 � �3� "�� �"�3������! �� 6���7� �0�# ���!����� ��� ������ �+ ��� ��#� ���!���� �,��� �� ��� �������- �� ����

�� � �3���� ������������������ ������

�������� ��

�� � �� ��� *�+��� ��#��� �+ ������� �������� �������� ������

��� ��� �� +0� ���!������ ��� �� �� ��������� ��� �� �0���� � ���� �������

������� � !������ ��� +0� ���!��

���� ��� ��� �� ���������� ���7� �� �0�����

38 �� � � � � � � � � �

�� ���� �

������� ���������������������������������� ���� ������������ ������ ��� �� ���� ������������� ���������������������������� ���� ����� ������� ���� � �� ��������� ���������� ���������� ��� �� ������������������������� ��!�"# �$�%���

�����&����������%�����'(����)�����&��� �����&�������

�����&����

�16

�� �� !�16�"#�

� �� !�*�

����� ���� '������ �&��� �������� ��%��&������������� ���� ���� ���� �+���� &�������������������&���������������&�����(�������&���&��������������&�����������������

�� ,�� ������������������������'���������������������� -�������� ��� �� .��������������������������/#0�����.�������������� �� &������������ ����� '���� .����� ���..�������������&���

������� �� �'����������'������.������������������������������ � �� �'��������������������.�������������'���+������������������(�

�� ��� ��� �&���� ������%�����'(� �&��� � ���&�������� ���� �&���

�������� 1�%������ '(� )���� ��� ���.����'�������� ��(� &�����(� �&���� ������� ������������ �������(� ����.����������� ��&�����(���(�'�� �'�������� ������� �&����

�� 2�����������������'�������������3������� � �����.��������������

����� .� ��� ������ ��������������������

���������� ���������������������������.������

��� � 4������������������ � 4����������������� � ��������������'(����

��(�� ����� �� ��������������.�����

� � � ���������������������������.�����

�� !�� �������� � ������� �.�����

2��� ����� �������� ���� �&��� ��� �������������������%�����2�������� �������������� ������ ��� ��� �&��������� ������������&������(�5������������+����6����������������&�������������������������&�����������������6��

���� ������ ��� ���� �&��������� ����������� #0��������%�����2�������� �������������� ���� �&��� ��� ���� ��������� ��(5����7���������+�����

"� ���12

���� ��� ����� �����

���� ��� �.��.������������.��������

����������

#� �����������

$� "

%� �

&� �� ��8������8�

��

�9�������%���������8�!��8 ������

4���� .��.���( � ��� �� .����� ����� ��'�������������� �����

�8����8 !��� ��������

:���������������� ������%�

�8����8 !���

� ��8 !���

39�� �� � � � ��� � � � � � �� �

�12�"���� � 1

2� ����

�6,���� ��� �� � ���5:����,����- ��� ,������� ���

���� �,����

� �� � 12���

)�����*����(�6. �� ��� !��� ���� � � �� �� ��� � �

����������� �� ��� � �� ��

B�� �. �� �"- ���� �,���� �� ����!�� ��!���

B��- � #���� � �� ��

C�� + ������� � �� ��� ������������� � �� �� ����- ����� �% �� �D ����� ���� ��� �!�� ��!���C�� �� ��E� �% � ���� ���� ��� �!����!��

� �. � �% F " �!�� ��!����

����- � 6���G� ++�� ��������� ����� �� � ��������� ��� �� ��� !������� � �� ��

����- ��� ��������� � ����!�

����������� � ����������� �� � �� ��

� ��� �� �� �+��� ��#��� �+ ���� ������� �����!� � !��� �����

���� �� �� ���� "� � "�� � � ������ ��������� ��##�� ���� � �� ���� ���� �+ ���������� �+ ��� �����

�� ��� 4�#� ���� 6,���

����� *�+��� ���� *�+���� #�� �

�� ��� 8���- �� � .) E#

�� � �� � .) E#

� �� � = E# � .) E#

� �� � .) E# / = E#

� �� � 9 E#

4�- ������ � 9 E# ����� +��# ����!� ������ B������� +�����*!����������������� �

��

40 �� � � � � � � � � �

��������

LINES AND ANGLES

����������

�� ��� ������ � � �� � ������������������������������������������� �� ����������������� �! �� ����"����

������#

�� $��%�&'���(��)������%��*���*��+�����*���,�!

�-&' ������

�����

�! �-&( ��.���/��-&'��.���/������� �#

�� 0�� 1��%� �,�������*���������������� ��� �,������ ��� �*� ����� ��� �� *2������������# �! ������������/�������� ������� 3���� �� ������� 3���������/� �� ������� � ��3��#

�� ����� �� ��� ��� ���

���- �������/�� �������

�� �$�& �������/�.���������� ���- ������ / � ��������'�%! ���$ �������/����� � ����

���� �� � �������/��3��������#

�� �-&4����-4& ���������

'�%! �-& ����-&4 �������5����������*��������

�� �-46����-4& ������� �-& ����-&4 ���-46����-4&� �-& ���� ���-46����� �-& ���-46#

�� 4���(���������(������������������

� ��($����$(�������� ���/�3����� �������� ���/�3�� ������� ���� ��� ���33�#

(��7-����,��8��+�����*��(7�!

�� ��� ###���

(���!����7&����,��8��+�����*���7�!�� ���3 ###����

(��� ������ ����� � �3 ������� ����*��,�������������,�

���������*��������,������

41� ��� � � � �� � � �

� � ���� ����3����3 ���������������������

� � ��� �3 ������� �9� ����3: ������� �-7& ������� �-7& ��.��

�� ����������

�� �(7������7$�;���+��������������������

� �(7� ��3�������7$ ��3������<���

'�%! �(7������7= ��>��� ��7=���>���/��(7� ��>��/�3��������#

�(7=�����7= �������5����������*��������

� �(7������7=�����7=������

� >�������7= ������ �?<���� ��7= �������/�>��� ��7= ������4�*��2���7=��������/�������� ���#

�� �-7@���.�� �###�����?<�������-7A����-7@�������

��5����������*��������� �-7A � �����/��-7@

� �����/�.�� ����������������� �

� �-7A � .��� �� ��� � .��# �B���� *�����

(���!������<����,����� C����� �C��#5������� �����������

�0,���������,��+��������*���������������

6,�� ������ ��.��� �� ��.��

� � ������������

� ���� � �� " ����������� ������ ��� " �������3�#'�%!������A7'����D7@

�;���+��������������������� � ���D7-����-7@

������.�����������.����� ��

6,���*���! + ���� ��#�� ����6%�������������+�������������*��,�

�����*��,��������������.��#E���!�%����1���������*��F�+����+�����G��������������!��,�������7�!���7=#

9� ��$=���.����?<���:���� �B7?�����������$7B������#

����� (F�+���� ������� ,�<�� +�����<����2!�����+���������������+�����������������������������*��,��+��������# �!�%��,�<���(7�������7�#����� 6%�� ������� ���� �������������� *�,�������������#�0��+�����1����������*� �F�+���� ��������������������� �,�������(7�������������7?�������#

���������

�� �$��5���������8���#� �����+������������������%���8��� / 3��#����,���*����! � � � / 3�� ��.��� ����.�����3�� ������

42 �� � � � � � � � � �

� ���������

�����

(� ��/�3�������� / 3�� �� ��6,���*���!� +������������� ������� ���������� ��#

2. Yes.

Given: �2 = 65°.�2 = �4 [Vertically opposite angles]

� �4 = 65°Given: �8 = 65°� �4 = �8

= 65°[Corresponding angles]

� l �m�� (� �� �$ � �(�� �����$

���(������������������������ ���$ �����(��� ���$�����$= ���������H������������������,�����������*

�����<������������������������

������� ������� � ��.��#

�� �(7$�����7$ �������5���������

� �(7����.�������7$ �������� ��7$���.���

� ����� � ��.������(7� C ��7$���� C �

� �������

�����

� ��7$��� �"���� �����#

�� �-@I����A@I ������� �-@I����3� ������

� �-@I ������

'�%!�����@&�8��+����-@I

� �&@-����&@I ����"��-@I

�� ��" ���� � ���

'�%! �A@& ���A@I����&@I���3�������

� �A@& ��� �4�*��2��&@- �������/��&@-

�������/��������� �#

�� (�����(������ �������� �������� ���(?�����������,��������� ��(=����=(� ������ ###���

�5���������4���$B�����������,��������

�=$(����=$� ������ ###����

B���������������!�%��,�<���(=����=($ ���($=����=$�

� �$(=����=(� ���($=�����$=9### ?<��C��$(=����($=:

� ��(= ����$=�� ����������

�� �7$����������,�����#��7J � �J75 � �57D � �D7$

� �����(�����������������������

����*�������

43� ��� � � � �� � � �

� �����>����3�������� ����� ���� ����� ��� .�

������������*���� .���/��� .�� /�.�������#

�� ������������� ���� ###���� ����*��,���������*������������������ ������ ����� ###����� ����������������������

9B�����K������������������:� �������� ����

��������� 12�"����� � �����������

� �(7������7� �������� �(7$�����7$ ������� �(7� ������� (7�����������,�����#

�� �-74����&74 ��.�� ###����### 74���-&�

������ �&7 ���&74����47 � �&7 ��.������47 ###����

9��� �K������ ���:(���

�-7 ����47 ���-74

� �-7 ���-74�/��47 � �-7 ��.�� / �47 ###����� �8���+���� �K�#� ������ *���� �K�#� ����!%�� ����&7 � /��-7

�� �.�� � �47 � / �.�� / �47 �

�� .�� � �47 � �47 / .���� �47

��47 ��12��&7 �/��-7 �#

�� ����������

����������

�� ����5���������8���!��������������������������%���8������ /��

(++���������,��K������!

� ��������/ �� " 3

� � ��> ���/�3�

� � ������

���33�

6,���*���!�������������33�!����#

�� �(7���������?<�����7$��� >�

�(7������7������7$ � .��

��������7���� >� � .��

��7������� � .��

��7� � .���/����

��7� � ���

�� �(7B�����7$���.!���7�����=7B��3�����$7=����(7����� ����*������,���������������#

�!�����.���3�������.���3������

�������� � ���������� ��������#

�� �-&$ �������/���&-�5���������

44 �� � � � � � � � � �

�������/�������� ���� � �-&4 ���-&$����4&$

��� ����� ������3���'�%!�&4 ���-&4

�-����*���������������������3��#

�� (� �� �$�����$ �� =B �!�(� �� =B

�6%������!��������������,���������!�������������������+,���,��#�

� ��� �(����������������'�%!�����������������������������������������������

� ����� ���� �###������(���! � C��� ��C�> �?<���

� ��3

10�"���������3�

�� ��7

10�"��������� ��

0��,�<� ��� ���� ��6,���*���! ��� � ��#

�� 6,����,�4!�%����%�A4@ �� -&� �&4A������� � ����

���������� �������

�� �@4 � ���� � ����� �&4A � >��

�� �@4 � ���'�%!��&4A � �&4 � �@4 ������� >�� � �&4 � ��� �� ����� �&4 �����#

�� �?=$ ��� ��� �?=B����B=$ ��� ��� �?=B���.�� ��� ��� �?=B �����

�(?= ���?=B � �=B?�=2������������ ���K��������,�����

�*��,��������������������������������.��

� �(?= ��� ��'�%!��(?=����B?= ������

�5���������� � �� ���B?= ������� �B?= ���3�#

�� 5��� (� �� �$� ��� �� �� �� �����<�����������+����(����=�����$���B#� �(=B ���=B$

�12

�(=B �� 12

�=B$

� �?=B ���=BE#�### =?����BE�����������8��+�����

�� � � � � � � � � � � � � � �

�����,�������������������������������*����� %,��� �,�� �����<����� =B������+���=?����BE#� =? �� BE# ������! =E � ��?B#

45� ��� � � � �� � � �

6,���*���!�=?BE����� � ����#'�%!�����=B��������������(�#� �(=B�����=B�� ����

�5����������2���

�12��(=B���� 1

2���=B��� .��

� �?=B����E=B�� .��� �?=E�� .��6,��� �������������� =?BE� ,��� �����,�������#E��+�!�=?BE�������+������#

9. (i) �DOQ = �COP = 2yand �AOD = �BOC = 5yalso �AOP =��BOQ = 5y

[Vertically opposite angles]Since, �AOP + �COP + �COB + �BOQ+ �DOQ + �DOA = 360° (�s round apoint)� 5y + 2y + 5y + 5y + 2y + 5y = 360°

24y = 360°y = 15°

(ii) Beauty, happiness, co-operation,love for art.

����������

�� ��� ���!����������5���������(2��!

� � � � � ����� " ��� � �� ����� � � � ��� � 3�#

�� �����B=�����(B=����B(=�)�����2�������������,�����

������������

��������.������ �L �?<���(� �� �$ � �B�$����B=����� ��#

�### �����������������������K����

����� ���6�1������ �!�������������<��� � � � .��#� �����.��� �������

��������!������3�6,���� ��.������#

��.���������� ��#

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(� �� �$ �?<���� �����(-& �����

�(����������������

'�%! � �(-& ���-4$�(����������������

� ������ ��� >�� ��>>�#

�� 6,���+��������(�����1����,��������-&#$��%� �������� �=� *������ ��� -&� ���B�*���������-&#

� ��� � � �� �� � �3 �=����-&�8�� � �� ���###�(������*��+��+�����������*���*��+����� ���� �3 ###��� ������! ���� �� ###������� �3�� �� ###�����

�(����������������B�����K��������� !��������������!�%��,�<�

���� �� ###����'�%! �-���� ��� ###���

�(���������������� �8���+���� �K������ ����� *���� ���!�%�,�<�

�-���/����� ��� �/���

46 �� � � � � � � � � �

� ������ ��������� ����������������������������� �� ���

�� � � � � � � � � � � �� �� �� �������� �� !�� ��"#$ ��%�����%���������� � � � � � �� ��"#$ & �� ���"��

�� �� �� �������

� '� ����!��� � � ��'� &��� ����$ (��� � ��"�� ���)������$ �

�� �������� � ��� �� �" ���# ������������������) �"�!��� ��"#$ � ��%�����%���������� �� �� "#$ & �# � "�� ����� � ��� �

� �� � *� ������������������) ���!��* � "#$ ��%�����%���������� �* � "#$ &� *� � �� ""#

�� �� �� �������� �"�!��* �� �# ! �+

����������������� �# ! ""# �� �# !��+� �+ ��""# ,%-���+ !�. ��"#$

�/������0���� �1�%2�� ""# � ���. ��"#$ � �. ��"#$ & ""# �� *� (�����"��� �# ������� "�� ���.��� *� ��+��� ""# ������� *� � ��)��*��� ""# �

�� ��� ����� 34 ���56��������������������������� ���3�� ����������������

� ���� ��'$ � �3�� �����6��������������������

��3�� ! ���� ��"$$ � � � � �'$ !����� ��"$$ � ���� � .$

���4�!����6 ��"#$ ��%�����%���������

� ���4�!�"$$ ��"#$ ���� ���4 ��#$ (��� ���� �� '$ 7� ����� �� .$ ��)� ����4���#$ ������ (��� ������� ���� 8���� � ���� %)����%0�9%��%-������������������)������������ �������� �������� ��� ��� ������� �������� �� ���� �����

����������

�� ��� ����� ! �� ��"#$

������:� �� �����);����������������00��2���� �

� ���

��� ! ��� ��<$

� :��� �=��

��=� � "#$ &��

��� !����

��"#$ �&�<$ ���<$ ��� �%���)�� +��! �� ��"#$

� <� ��"#$ ���������$

(������>���)������������#$ ���)�"$$ �

�� <$ �%�������������

� ���-��?�%-������������%�������

�� � �� ������ �

47� ��� � � � �� � � �

%,�����������8����*����#

� ���� �� �� ����

�� �

� ���� " � ������ " ��/������ > � " � �������������������#

�� � -4����4-& �������5����������2���

� ��������4-& ������

� �4-& �������/��������3��###����

�� �-&6 ���&-4����-4&�=2�������������*��������

�������*������������������������#�

� ���� ��3�����-4&� �-4& �������/�3��������#

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(� �� $= �?<���� ��(=�� ��=$

�(����������������� ���

H����$=!��$= � ��=$ � �$�=�� ����

�(������������������� ��� � ��� � �$�=�� ����� �������$�=�� ����� �$�=�� �����/����

� . �#�� (��-&� � �� 4�����-4�������+����,��

� � 4- ����(����������������

'�%!����-4 !�������� �������(������������������

���

�������

������

�� �

�� �

� �� �� �� � ������

���

��

� ��� �� � ������

� � ������� �����

� ������"����

��"���� �����

�������"����

��"���� ���3�

�E��+�!��������!���������������3�#

�� H���A@I!

�A����A@I����AI@ ������

�(����� ������������� �*� �� ��������

� � ���� �3�����AI@ ������

� ��������AI@ ������

� �AI@ ������ /�����

�� �3�

�7@I��� ���A@I

�?<��C�7@�8��+����A@I�

� �7@I ����"��3���� >�#

������! �7I@ � ���AI@

48 �� � � � � � � � � �

���"��3���� � �

�?<��C�I7�8��+����AI@�H���7@I!�7@I����7I@����@7I�� �����(����� ������������� �*� �� ��������

� >� � � � � �@7I�� ����� �.�����@7I�� ����� �@7I�� ���� / �.�

� � ��#

�� H���-&4!�-����&����4�������

�(����� �������������

�12� ��-����&����4����.��

�12�-���

12�&���

12�4���.�� ###���

#�� ��� ���� ��� ���� ���� ���� ����� �!�&�����4������+�<���#

� �����12�&����� ���

12�4 ###����

B�����K������� ���� ��� ����!�%�����

� �12�-��������� ��� .��

� �� � � � � � ������ ���.���/�12�-� ###�����

���� ����7&4!������� ���&74�������

�(����� �������������� �&74 ������� /� ������� � ###����B���� ������ ��� ����!�%�����

�&74 ������� /�1

90 P2

⎛ ⎞° − ∠⎜ ⎟⎝ ⎠

������� /� .�����12�-

� �&74 ��.�����12�-#

�� ����������

�������� ��

�� ��� ���������+,�����������������������������2������������������� ����� ������

� ������

���� ���

#

�� ��>�!�>��#

�+����>����>���������

����� ��>��/�>������3�#�� ������!���� (��!

�( ���������!�� �(���������� � ����� �(����( ������

� �( ������

���.��

�!��,����������������,���������#

����� �� �� ������/��� ###���

���������������������� � � ������� ###����

�5���������

�B���������������! � � � �� /� �����

� ��� �� ������###������� �����

� ��� � ������)�������!�%�����

� �����"����/���������/���#

�� � � � � � � � � � � � � � � -& �� 4 �?<���

� �-&4 ���&46

49� ��� � � � �� � � �

� �� �� �� �� ����(����������������

� �� �� ��� / �� �� �>�

H���&- ! �- ��.�� �-& � - ������ ��� ���-������� �( -�� �>����� �� .�� �� ����� � ������ / � >� � ���� � �����#

�� H���-46!�- � �4 � �-64 ������ �( -�

� .�� � 3�� � �-64 ������

� �-64 ������ / ���� � 3��

���! �-64 ��� 6&

�;���+����� �������� �������

� � 6& ��3��

H��� &6!

� � � 6& � � &6 ������ �( -�

� >�� � 3�� � � &6 ������

� � &6 ������ / � ��

� � &6 �����#

�� A@ �� -& �?<���

� �� � �����

��������������������

� ��3��

� �$(@ � ��($ � �=(@ � ����

�(������ ��� �,�� ����� ��� �*�� ���� ��� �������

� ��� � ��($������ � ����

� ��($ � ���� / .��� ���

H����($!�$(� � �(�$ � �($� � ����� �( -�

� � ��� �� �� ��� � ����

� � � ���� / ����

� � � >��#

�� B�����-&4!�-4 ���- � �&�����2������ ������ �,������

����-4 ��

���- �

���&

� �3 �����-���� ### ���

B�����&64! �3 ��� ����6 ### �������� �2������ ������ �,������

B���� ���� ��� ����!�%�����

���- � � ��� ����6

� �6 �����-

�� �&64 ����&-4#

�� ����������

�� ���$�� �(������=2�������������,������

50 �� � � � � � � � � �

�12

���$�� 12��(������

� ���� 12��(������ ###���

�?<��C��7�8��+������$�

������! � �� 12��(������ ###����

(����K������������������!�%�����

������ ��� 129�(��������������(:

��� �(���������� ������ �( -�

� ������ � 12��(��������

� ������ � 12

�(���.��

###�����'�%!�*������7�!�%��,�<�

�������7����� ������ ###����B�����K��������������������!�%�����12

�( � .�� � ��7� ������

� ��7� ������ / .�� /12

�(

��.�� / 12

�(#

���������������

�� �$� 5��������*��,���������8���#�6,��

��,�������%���8����

'�%! ������ ������

� �� ����� �

���

�������

�����

���3��#

�� 3�����3������ ������ �5���������

� >� ���3��� � �� ��#

�� -���+��-&���� 4�����������D#

�&D4 � �7-&�������(����������������

�D4& � �����/��&4 �5���������

� �����/����������'�%! �-&4 � �&D4����D4&

�=2��������������,������� ��� � ���������#

�� �?=B �������/������������5���������

�=�$ ���?=B��������������������������

���$ �� ��������������'�%! �(�� �����$

�(����������������� �����#

�� ���������� �����������

�� ��?E ���?EB���

9(���������������:

51� ��� � � � � �� � ��

���� ����������

���� ������������ �

� � ���

�� ��������������������

������������

����� ������

������������������

� ������� ������

� ��� ������

� � �����

��������� �������!"��������� ��������#$�

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����������#$�%

�� &��'�(� �� )*�+,��)* �� -.���(� �� -.)* �� (������)(�� ��/������ 0�� ��%

� ���� �*)( ������1�� �2,��0��������������� 3

� �������!� ������� �� �������4���!����"!�������(� ��� -.�����(-�� ��/������ 0�� ��� �#����(-. ������

1�� �2,��0��������������� 3� �#����"#� ������� �# �������4��"#�������5,� � ���� ���#� � ��"!�������� � �����%

�� ������������ �����������

1�3����� �6���� �� 7����#� �� 7��� � ���� ����#� ���� 6�8���� ������������%��� ������"� �� 7��� � � �/�9� ���0����2���9� �� ���� ���������#� �� ��2��0��9%

1��3 � ���� � � ,8�6� �'��:�2���� ����� � � � ����'�9 � �;,��� �� ����%��� ��� 6��,���� �2,������� � �<5� ���� 5<����� 6�8���� �� ����� 6��:�2���� ����� %

-�9� OP→� +� �2� ���<5� ���� ��9� OQ

+� �2� ��5<�=� �����)<*� � � ��� �2,�������%

�� 1�3 ('� ����� � ���� 28���8�����9� �6�/�� ,8�6��/����8�� ,�� �� �7��%������ '�� ��>�� �� ����� 6� ��:�2���28���8�����9� ����� =� �/��� � ��5<�����<?%

� �5<?���7���1��0��3���,��6��5<��� �0���������2�,� 6���<?������������������%

1��3 �@<�������������&<@���$��%��,��6��@<��� �����������2�,� 6��&<@���������������9���'%

1���3 ��:�2���� ����� � /�0�� 288�0����A=� ��� 288�� ��8� ���,�288�� ��8 � ���� �� �� ��� ��� �6��/��288����8%

.��'��/�0����<5������5<�%��,��6���<5�� �����������2�,�6��5<��� �0����%

1��3 ('� ����� � ���� ,����8�����9� �6�/���� ,8�� �����%�B��2�����>��������� 6� ��:�2���� ,����8�����9����� � �/��� ���� ��<5� �� ���� ����5<�����!��%

1�3 (/��������6�+�,��2�,��� �����%1��3 � �������� �� ������ � ���

�������� ��� �����������

����������������

� 153 �� ���� ��

� �C DEFG H�

I

K

A x

y G

B

C D

E FHJ

z

52 �� � � � � � � � � �

��� � �=B����� � �

��

���� � �=B�����+�#

�� 5��� �(� �� ����� � (��#� 5���7�����7�8��,��8��+������*��� ��� �������+�<���#

H��� (��! �(���������� �������( -�

�������� � �� � ��� ��.��

� �7�� � �7�� ��>��H��� 7��!

�7�� � �7�� � ��7� ������� >�� � ��7� ������� ��7� ������ / >��� ��7� ������#

�� 5����,���������8����!�������>�#'�%! ����������>� ������

�5���������� ���������� � � ��� �� ���������!���������!�>�����3�(����+,��������*� �,���������� ���+���!�,����������������+���G�������������#

�� �� ��� ### ����7=���8��+�����*��(7��

������� ������ ### ������5���������� ����3 ������### �������5���������

�B�����K��������������������!�%������������ ��� ����3

�� � ������� ��������39)�����K���������:

� �� ���3�����! �B7� ���B7(#

5. See Worksheet-31, Sol. 6.6. See Worksheet-31, Sol. 5.7. See Worksheet-30, Sol. 8.8� See Worksheet-27, Sol. 6 OR part.

ORSee Worksheet-30, Sol. 7.

9. See Worksheet-31, Sol. 9.

���������

�� �$� -���+���(�����=�����������?#I��������/����������� ��5���������

� � � � � � � � � ����� ���������H�������������������������*

�����<������?�M�?( ��� �$���� ��� � ������ / �� � � 3��

'�%! � �� � �=2�������������,��������3�� � ������.��#

�� ����������������

�(�������������

��������*�������

���� ��� ��� ����������� / ������ ��#

�� 5����,���������8�� �!�3�������#�7����*%,+,��,������������������� �#6,�� � � 3� � �� ������

�(������������������.� ������� �������� ��

� � �� �"� �����3��#

���$��%�D' �� (����+,��,���D' �� �$#���� � ������

��������������������(� ��D'�

�� ������ / ###����� �� ###�����(�������������������D' �� �$�

53� ��� � � � �� � � �

(����K������������������!������������� �������/����

� � � � � � �AD@ ��������/���/��#

�� See Worksheet-27, Sol. 6.

�� See Worksheet-29, Sol. 6.

�� See Worksheet-30, Sol. 6.

�� (D����,��8��+�����*��(#

� �D(� ��12�( ###���

H�� ��,�G�������('�!������'(���.��

� �'(� ��.��� /���� �D(' ���D(��/��'(�

� 12�(�/� �.��� /����

� 12�(�/� .�������

� 12�(�/� 1

2������� ����

�12�(�/� 1

2��(����������������

9###��(�����������������:

� 12�(�/ 1

2�(/ 1

2���/

12�����

� 12���/� 1

2��

� 12����/����#

�� ��� (� ���$ �?<���

A B

C DQ R

P50°

127°

y

x

� � � � � � � �� � ���(-&�������(����������������

'�%! � �(-& ���-4$�(����������������

� � � � � � � �� ������ ��� >�����������>>�#������ ���"��%" �&&��"��������� ���"&�

��

54 �� � � � � � � � � �

��������

TRIANGLES

����������

�� ��� �������� ��������� ������������� ���������� ��� ������ ��� � ��� �� ���� ���������

�������� !��"�#��������$ !��"�#���%����&�

��'����'��& ���( !)�*�����������+��+�� *,

� �� !�'�$ !�'��& ���( !� �- !�'��& ���( !� �&����( !�.��- ! ��$ !

���%���/0������/1�/0 ��/1 �"�#���

�0/ ���1/ �/������ ���/�/ ��/ �&������

�� �/0����/1� ����� �������� %���/1������/0�

/ ��/ �&�������1/ ���/0�������2 !� �"�#���

/1 ��/0 �"�#���

�� �/1����/0� �03�+��+�� *��� %����&�������4�

& ��4 �"�#����&� ���4�

�"�#��5�������� ����

���� � ��� �&�������� ��& ����4 �6������

�����*�&/&7�������#��& ���4�

�� %����84������&94�������#��4 ��4&

�"�#��5�4� ��� ������������84 ���&94

�"�#��5��8���4��&9���4�+����������48 ���&49

�:�� �����*� �++��� �� �������

����*���������������� ������������#���48 ���&49

� �8 ��&9� ��*�&/&7�

� %���;�&������;4�

�& � 4 �"�#����;�& � �;4���2 ! �"�#�����;& � �;4

�:�� �����*� �++��� �� �������

55�� � � �� �

���������� � �� ���������� ������� ����

���� � ����������� �� � ��������������

�� �������!������" ��# $���������������%�& ��' $���������������%�� ��� $��((��%

� ���� ������� $� � ����������%�� �� �� �� $)���� � �� �%��!�� �� �� $� �� �%� ����� �� � ���(�$ � *���� �� �**����� ��!�����*�������

+��!��������� �� *�����������(%������������ ����� $����%��!����� $����%� ����� �� �*�����������(�

$ � *���� �� �**����� ��!����� �+���+��!��������� � *�����������(%

� (i) In �ABC,�� ��� ���$�% $)����%

� ���� ����� ���$��%$������ �**����� �� �+��� ��!�� �� �

�������� ��� �+���%���� �� ��� ���$���%� �� ��� ,-��( $�% ��! $���%. ������ �� ���� ���� ����� ���$��%�!!��� �+������� $��% ��! $��%������

����/���� �����/��������/���� �����

� ����/���� ����� ���$�% ���������� / ���� / �����#012 ���$��%

,� �.� ����/���� �#012

,-��( $�% ��! $��%.

� "���� �#012� ���� �312� ���� �� � ����� ������$��% �������!�����

�� ��� $)����%���� ����� $������

�������*�����������!�����%�� ��� $��((��%

� ���� ����� �������������!����!4�����(���!!��*�������������(��$���%�������������������������������������������������

����������

�� $�% ������*���������!�����!����������� �������� ��� �+��� �� ��� ��*���4������!�����!�������������������������������������������������

�� �������!������� �����������!������((�����������������������

$ � ���������%� ���� � ���� ��� $�%$����%

��������/�����#012 ��� $��%$5�����*���%

-��($�%��!$��%�������"�����#012 ���� �����312�

�� -��( ��� �!6������ ������� �� �� ��������������!������!�!����������!�7���7�

��8��������!����)9��!��)-��# ��" ���$�%$)����%

56 �� � � � � � � � � �

�$ ���< ���������A����2 !�4" ��4" ����������&������4A ��4� ���������"�#���

��� ����� �=�� ����� ����� ����� ���� �����B� ���������������������������#�

�4"A ���4"� ���C��������� ����� �=�� ����� ������ ����� ���� �����������#�

�4"A ���4"�� �03���� ������

�� %���/�������1����/ ����1

������ �������� �������1/���/ ����1 �A����2 !�

� ��� �&������

���� �/�����1���*������������������

�����������/����1 �&/&7��� ������=����� �� ������1�����/������ ����������� �����

���������!� �

�� 4/���&1 �"�#���������1/� ���� �������������� 4/�'�1/���&1�'�1/����41���&/ ������D���������� ����41������&/�3*+� ������1���3*+� �������/

�"�#���

����41�������&/ )������=�� �������,����41�����&/���2 !���41�����&/ �03�����������������3�������41����&�/� �&/&7�

#$%���4&�������4&�

& ���& �"�#���&4 ��&4 �&������4 ���4

�"�#��5�4���� ������>+��� ������

6���������������������������� �4& ����4&

� �&4 ���&4� �&/&7��� ���*�

�����&4�'��&4�����( !�8������+�����C����

� �'� ���( !� � ���( !� ��2 !� �&4����&4� ��2 !� &4 ��� ���������!� �

� ��4 ���A& �"�#�����4�'��4& ���A&�'��4&� ��& ���A4 ������

D���� �����&������4A�& ��A �"�#���

��& ���A4)/��#������#�� ��� ���,

� ��4 �"�#���6������ ����������� �����������#�

��& ���4A�& ��4A� ��*�&/&7�

57� � � �� ��

� �A/ ���4/� � � ������� �"�#����A/�'��A/4 ���4/��'��A/4

)�������A/4� ���� �� ������ ��� ���,� �/4 ����/A �������/� ��� ������>+��� � ����� �"�#���

� / ���/ ��������%���/4�������/A�

�/4 ���/�A �"�#���/ ���/ )����� �����,

�/4 ����/A )����� ����,6������ ����������� �����������

�4/ ���A�/4 ���A� �&/&7�

���������!� �

�� ���� %���9&�������94�9 ���9

�����9� ������>+��� �����

�9& ����94�:�� �����*� �++��� �� �������&9 ��49 �"�#���

� �9& ����94���*�� ����������� �����

���� �9& ����94� �&9 ����49 ��*�&/&7�

�� ���� �� �� ������ ������� ���� �=����� & ����4� ��&�'��4�&����( !� �� � � � � � � � � � ��4�&���2 !�

���� ��&���2 !������� %���4�&������&��

4� ��&���� ��94����9&�

�4�& ���&� �A����2 !��& ���& �&�����������

� �4�& ���&����*�� ����������� �����

����� %���4�&������&��&4 ��� ������� �����&/&7�

���� �9& ����94� &9 ��49 �&/&7�

� &9 ��49��12&4

� &4 ���&9 ������������ ���� ���� �����������

�&9 ���

� &9 ��12��

����������

�� �&� 7�����=������������������/������1�

�� %����&�� ' �� ' �& ���( !

����������+��+�� *����� � � � � � � � �

� � ' E ! ' E ! ���( !� � ���( !�.��� !���E !7��������� � ��������&���E !� � ���&���&� � �&��������=���� ����� ��������

�� F��G���� �� �����C ����������������� ��>����������=���� �� ����������������+���>���� ����++��� ���� �������������

58 �� � � � � � � � � �

� �01 ���0/1�'��10/� �$ ! ���'�E !� ���$ !�.�E !���H !�

���%����9���9���2 !�������$ !

� � ���( !�.�$ !�.�2 ! �/�� ��E !D���������&�

�&4 ���'��'�$ !�AC ������������ �������

��E !�'�E !�'�$ !����- !�

�� %����&�� ��& �"�#���

� �&����� ������*���������++��� �� ���=���������

����� �������������=����

D��� � ' �� ' �& ���( ! �/�� �� ! ' '� ���( !� � ���( ! . �� !� � ��E !� ��$ !� ������& ��$ !�

�� %����&�� ��& �"�#���

� �&����� ������*� ��������������++��� �� �

�=�������������� �������������=����

D���������&�� ' �� ' �& ���( !� 2 ! ' '� ���( !� � ���( ! . 2 !� � ��2 !� ��<-!� ������& ��<-!�

� �&� ' �&4 ���( !�8������+�����C����

� �&��'��< ! ���( !�"�#��5��&4����< !�

� �&� ���( !�.��< !��< ! ������

� ��& �"�#���� �&� ����&

��������++��� �� ���=�������������� �������������=����

� �&� ��< !��)��������,�� ' ��& ' �&� ���( !

����������+��+�� *������� ��������� ��'�< !�'�< ! ���( !� ��'�( ! ���( !� � ���( !�.�( !

���� !7���� � ��� !�

� ��������������������������&�������������� �������� �"�#���� � ��&� �&� ����& ������

��������++��� �� ���=�������������� �������������=����

������4�&������������� �"�#���� 4� ��4&

��� ����

� �4&� ���4�& �������0��������� ����������������������=�� �����������������������

��&�'��4�& ���&��'��4&�� ��4 ��&4�

���������!� �

59� � � �� ��

0��������� �� ������� ������ ��� ��� ����=�� ���������������=�� ��������������

��&�.��4�& ���&��.��4&�� ��4 ��&4�

���������!� �

�� (i) In �ABC and �ABD,

& ��4 �"�#����&� ���4�

�"�#��5�������� �������� � ��� �&�������� ��& ����4 �6���������������*�&/&7�������#��

�& ���4������� @���� ��� ���� ���� ��� ����� ������������&���������4�

�����&�����4������������ � ��������������=�����������������%����&��'������������(�� '��� �� �����

����������

�� �4� %���4"A������4"���� ���� ��������A����2 !�4A ��4� �������� �"�#���4" ��4" ����������&�����������

����*��=�� ���������������������������������#��4"A ���4"� �03��C����

3������ ��� ��� ��������������������� �*� ���*� ��� 03� �C���� ��� ���������������+ �����4����������� �

�� %���/01������/1�/0���/��������01���1��� �������/1��� ���������/01����/1���*������������

+��+�� *�

�� %���4"A������4"���A ���� �"�#���

�4"A ���4"� �A����2 !�4" ��4" �&������

3������ �*� � �C���� ��� ������������������#�

�4"A����4"��

�� %���/1������/0�/1���/0���1/����0/�/���/

� �*��+��+�� *

��������������

�/1����/0��� I����;��%��� ;������� ;&�

; ��; �&������� ��& �"�#���;� ��;& �"�#���

��;�����;& �������������������

�����;����&; �&/&7������; 5 �&;���� 5 ��

�� %����&������4&�� ��4 �"�#����& ��4& �"�#���& ��&

��&������� ��& ���4&

�6���������������������

� ��& ���4& �&/&7��� ��& ��$ ! �"�#���

�;4 ���4&�����&���$ !� �;4 ��$ !�

60 �� � � � � � � � � �

� %���/�������/&�

��� � � � �

�/� ���/& � 2 !��"�#��5 / � �&�� ��&��"�#�����3*+� ������/ ��/�&�����������

6�����03�����������������������#���/ ���&/

� �� ���&� �&/&7����������!� �

� %����4�������&4�4 ��4& �"�#���� ���& �"�#����4 ���4 �&������

6����������������������������#���4 ���&�4

� �4� ���&4� �&/&7������4 ���&�4�������*���������+��#�� ��

�&4 ���&�������4&�����&�3������ ������� ���� ����� ��� �*� ������������

�� %���4�������4&�� ��& �3*+� ������

�4� ���4&���2 ! �"�#���4 ��4 �&�����������

6�����03�����������������������

�4� ���4&���� � �4 ��&4 �&/&7�

��4������ ���&��������� ��4���&4 �&/&7���4������ ���� ���������!� �

����������

�� ��� %�� �� ��������� ��� ����� �++��� �� ����� �������������������7��������������/10�

�/�J��1�J��0� 10�J�/0�J�/13����� /1�K�/0�

�� %����&������&� �&�����

��������++��� �� ��=��������������

�������������=����� �&���- !�

�� �&������������ %����&���&����

� �����&��� ���

����� �������++��� �� ���=�������������� �������

�����=������� ����

��'����'��& ���( !� ��'�( !�'�� ���( ! )6��������,� �� ���( ! . ( ! � � !

� � �� ����

� ��- !�

�� ���&����( !�.��� !���E ! )8/,��&�����( !�.��$ !���- ! )8/,

����&�J��&�

������&�J��� ������++��� �� ����� �������������������

61� � � �� ��

�� �/�& K��1&�� ��'��& K���'���

��������AC ������������ �������� �& K����� �� J��&� & J���

������++��� �� ����� �������������������

� %���;�� ���K��� ;�K�;� ������

���������;&4���&�K��4��� ;4�K�;& �������

������++��� �� ������ ������������������

�������=�� ������������������������#�;�'�;4 K�;��'�;&� 4 K��&� ���������!� �

� ��&�������� ��������� ���

&�����*+� ������

�� �� ��2 !

D��� � ' �� ' �& ���( ! �/�

� � ' �& ���( !�.�2 !

� � ' �& ��2 !�

� ��� K 2 ! ��� �& K�2 !

������ �����������&�����=���� �� �

����� J � ��� ���J��&

���& J��&�����&�J���

������++��� �� ������ ��

����������������

��� &����������

7������*+� ��������� ��������� ������

�� %����&�

����& �"�#���

� �&��������E-!������� �++��� �� �� �=���� �����

��� �� �������� ���� �=�����������'����'��&����( ! �/������( !� .� �E-!�'� E-!�� �� - !�������E-!�J�����- !�� � � � � � � � �&�J��& ������

��� ���� ��� ���������� ����������� �++��� �� �� � �����

%���&4��&4�'��&4����&����E-!

�AC ������ ������ �������� �&4���E-!� .� $ !��� $-!���&4���$-!�J��&4���$ !� � � � � � � � � �&4�J�& �������

�"��� ��� ���������� ������� �����++��� �� �� � �����

������=�� ����� ���� ���� ��������� �� ���&4�J�&�J��&

� �&�K�&�K�&4�

����������

�� ��� ��������*� �������������� ��������������*������ ��� ���� ��� ���������

3����������76�

7�'�6�J�76�

�� F��G����10���<����%� �������������

��� �����/1��10���<����� � � � � � � � � � � � � � ������ �++��� �� �� �=��������������� �������������=����

�� %�� �� ���� >������� ��������� ��� ������ ��������� ������� �������� �� ����2 !�%����&������2 !���&���� ��������� ��������7���������++��� � �� ��������� ���������������� �

�� D���&���������� ���������&��� ��� �-������&�����-����

62 �� � � � � � � � � �

������� ���� �������������� ��� ��*� ������������� ���������������� ���� ��� ���������������&�

& J � . �&� & J - �� . ��- ��� &�J�$�-� &���� �������� ��� ����$�-����

�� %��� �&�� J�& �"�#���

� �& J��� �������++��� �� �������������������� ���

����& J�

����

� �;&� J��;�&

� ;� J�;&� ������++��� �� ����� �������������������

�� 8� ������#������ ��� +��+��>�������� ����� ��>���� � ���� /�����*�� �������������� �� D��� ��/� ��� ���� � ����������/�����*+� ������3��������J��/

���� �����2 !������/�K�2 !��� � � �/�J��� ������++��� �� �

���� �������������������

� F��������#��� �� �/0�J�/1� �1 J��0 ������

/������ ���/� �"�#���

� �1/ ���0/ �������

������ ���� ���� �����������

�1�'��1/�J��0�'��0/

� �/0�J��/1�

���� ��1�'��1/����/0���0�'��0/

���/1B� �C ������ ������ ��� � �������� ��� �=���� �� ��� ������� � �

�� ������ �++��� �� �������

� %�� =������� ����� �&4�� �� ��� ��������� � ����� ���� &4� ��� ��� ������ ������I����&������4�%����&���&�J���

���� �� ��� ��� ������� � �����

� ���J��$ ������

������ �++��� �� �� ����������� ��� ���� ���

%���&4��&4�J�4�

���� &4� ��� ��� ������ � �����

� ���J��< �������

�������++��� �� �� ����������� ������� ���

������ ���� ���� �����������#�

���'����J��$�'��<

� ��J��&�������*����� ����+��#�� ��

���J��4�

�� ��� �/�& K��1&�

����'��& K���'����AC �����������

�������� �&�K�����������J��&� &�J���

������++��� �� ������ ����������������������� 3������������������� �� ������+� ��

� � ��� +��� � �� ��� � � ��� ������� ��� �������� � ���+��� �&�

�������������������&����� )���� ��� ����� ������������� � �*��

"����!� �

63� � � �� ��

��������������

�� �4� ��� ������#��� @���� �������10���&���/0�����&��

/1� ���� ��#��� �����&� �����/10� ����������� ��*����� ������

�� F��G���� �� ��������������� ������������������������� ����������� ������ ���������� ������ ����������������������� ���������

�� +������ 7��� ����������� �� ����� �����>�+������� ������� �=���� ���� �� � ����*��������� �������C��+��� ����=���� ��������������#�� �����������+��������������=������ ��� �������

�� See Worksheet-41, Sol. 5.

#$

�� ����& �"�#���� �&��������� ���*�

������� �++��� �� �� �=���� �������� �� �������� ���� �=����

�������'����'��&����( ! �/�� E(!�'�� '�� �� �( !� �� �� �( !� .� E(!� �� �� ���!� � �� -E!� ������&���-E!� ��&�K�� �... ����E(!�� ���K��& ������ �++��� �� �

�������� ������ ��� ���� ���� ��J��&� ����� �+��������

�� %���/1��/1�'�1�J�/ ������%���/0��/0�'�0�J�/ �������

������� ��*� �������� ��� �� �������

��� ���� ��� ���� ��� ���������

������ ���� ���� ����������� /1�'� �1�'�0��'�/0�J��/

7����� /1�'�10�'�/0�J��/�

� See Worksheet-40, Sol. 7.� See Worksheet-41, Sol. 7.�� See Worksheet-41, Sol. 8.

���������������

�� ��� %���/10��0�J��1����/1�J�/0�

������++��� �� ������ ������������������

�� "�#�����&����10/� �& ��0/���-���F��G���� ��

� ' ���'��& � �( !< !�'�E !�'��& ���( !

�& ���( !�.�� !���( !�& ���/ �)&/&7,

����� � ���/���( !������������������� ���76����/10�

� �7���/1��76���10��6���/0�&/&7�

��76���E�������10���E��������"�#����� See Worksheet-38, Sol. 6.�� %���/�������/&�

� ��& �"�#�����3*+� ������

�/� ���/&���2 !�"�#��5�/ � �&�

/ ��/ �&�����������6�����03�����������������������

64 �� � � � � � � � � �

��/ ���&/� �� ���&� �&/&7�

� ������������ ������� �� %���/10��/1���/0

� �0����1���H-!��������++��� �� ���=��������������

�������������=����

�����%���/10�

�1/0 ' �1 ' �0 ���( ! �/�� �1/0 ' H-! ' H-! ���( !� �1/0 ���( ! . �- L � $ L���1�J��1/0�������H-! J $ !� /0�J�10 ������

������� �������������������������++��� �� ��� �

%���/0��0/ ' �0/���/01���H-!

�AC ������������ �������� �0/�� H-!�.��0/

� H-L . $-!���< !� � K��0/����$-! J < !� 0 J�/0 ������������������������������� 0��J�/0�J�10�

�� %���;�������;�&�; ��;& �"�#���

� ���&

������ ��� ��� ��������

;� ��;� �&������

� �;� ���;&�

�� ����������� �����

� �;� ���&;� � ������ �&/&7�

�������*�� ����;4������;&4�;4 ��;4 �&������4 ��&4

������ ��� ��� ��������; ��;& �"�#���

6������ ����������� �����������#��;4 ���&;4

� �;4 ���&;4 ������� �&/&7��� ��;��'��;4�'���;&�'��&;4

��$E !������� � � ��+��� �

�;��'��;4�'��;��'��;4���$E !� ��;��'���;4���$E !

)6����� ���� ���� ����,� �)�;��'��;4,��� $E !� �;��'��;4����( !3�������;4� ��� �� � ����� � �����

���������

�� �4� 7�������������������*� ������������� ���������������� ���� ��� ���������� � . E�-�K��� �� ��J�$�-� 7���#������������� �������� ��� ���

$�-� ��������� ����#����+ ������� � <�

�� "�#��5�����4&���&����&����������&���4�� �����&����4&�� �&��4&��

�� ������ ��������������&������������� ������� ��� �����&�������������� ��������

�� %���/1��/1���/� �/1����/1���H !

�/1 ���/0�'��!�AC ������������+��+�� *�

65� � � �� ��

H !.��-! ���!�! ��<-!�

�� ������������������������ ����������������������

� ����������������������

� %����&���� � ����& �"�#���� �&� ����&

��������++��� �� ���=�������������� �������������=����

D���� �������&/�����&�1�� �������& ���&

��/&�����1& ��2 !�&1����������/ � &��& ���� �/��#������#��

�� ��� �*�� ����������� ��� ������� � ������#�

��&/ ���&�1� �/ ��&1� �&/&7�

�� �����%��� �&�

� J�&�������������������"�#���� �& J���

�������++��� �� �������������������� ���

����& J�

����

� �;&� J��;�&� ;� J�;&�������++��� �� ������ ������������������

���� � ����&�������������� �� �����% ��������+��� �#��*� �G������� ����

����� ,��!��&��������-� '�'���� ��

��

66 �� � � � � � � � � �

��������

COORDINATE GEOMETRY

����������

�� ���������� ����

��

��� ����

�� ���� ����� ��� �� �������� ���� �� ����������� � ���� ��� ���� ����� ���� ������������!� �������������� ������� ������ ��"�#��������"�#���

�� $� � � �

�� ��� �%������������������"�#���

���� &��!� �� �� � '�� ����� ��� ���� ��� ��� ����

� ��� �(��(� ���� ����'�

����� �'��(� ���� �(��'�

��� �'��'� ���� ����)�

� ��� � !�� ����� *������

����� � �����+ ���� ,���

��� � ���� ���� -����������������������� .�� ��������

�� ��� � !�� �'� ��/ 0���1 � �'� (�/

-�+��� �'� '�/ 2�������� �'� )��

���� 2� ���� ��� (�/ 3�1��� �(� (�/

0���1 � �'� (�/ 2����� �'� )��

�� ������ ��� ��4�������5������� �������5�%�

6� ��� ��4�������5�'��� �������5���'�

�� �����4�������5�%��� �������5�7�

��� ,������� ������5�8

���� ��� ����4�������5�8 � 9�5�� '

�:��������� ��������� ���� '��8�

���� �4�������5�� 8������� 5�� (�� �������5��� (������ 8��5���( � 8�5�'

�,������ ��������� � �� 8��'�

����� �� '��� 8�

� ���

����� ,+������1� ���� � ������1 ��� ������ ��� 1����� �� ���������� ����� ����� ����� ��� �� ��#� ����� ����� ��� �"�#��� ��� ���������� ��� (� ����� �������� �� ���������� ��� ��� ���� �� ��� �� ��#� ��� ��� � ������1 �������%��(������ �������������� ������������ ������������������1������ ���(�8�����������������������������������������������������������������������������

���������

�� �����"�#��

�� -�1������!"�#��

�� 4�����������"�#��

���� � � ���

��������)����� ����

�� ��� �%��(�� ���� �%��� )�

� ��� �"�#��/��"�#�� ���� ����� �1��

� ��� �� ���� �� �

�� ��� �� � ���� �� )��%� ����� � 8

67� � ����� � �� � ���

����������

�� ������5��

�� ������� ��7��'�������7��;�������1������"��� �������� ��� ���� ��������� 4����������� ��� ���� ��� ���� ����� ����� ��� �"��� ��������������; � ' 5 )������

�� ���1������������5��������

�����������4����� �� ��� �� ��������������� ���������� �����

:��������5���

��

<������� ������=�����&����

�"��� ������������ ��

�� ���� 1����� ������ � �> ?�� (� (��

= ��9� (��� * ��(� � )�� ���� , �� 9� � )��?������1������� ���������1 � �� � � ��������

$ ���1 � ����������1 �� � ���������� ��

� ���?@���� � ������� �����"�#���������������������?�����@�4����� �����#����������������4����������@����� '������$ ��� ��@��������������"�#���������� �������������� ���:��������� ���������� �����@�� ���� '� %���,����� �!��-����;����������������!�� ����"�#�������%����� ����"�#�������4������������ ����������-� �� %� ���� ;� �� �������!�� :�������� �����������-�� ���%��;��

����� �%� %�

���� �%����)�

����� �7��%�

�� ��� �)����'�

���� ��� �����������A�� �� − −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

9 17,

3 3

��� �������������� �� ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

20,

3

��� �����������6�� �� �� �� �� �

5,0

3�

����� ���/�' �

���� (��

� ���

�����$� ���� �������������������*���"��� "

�������5�BCB B DB

E�5�� �

�"��� ����������;�����?=���� � ���������"�#���

������ �����������*�� ���� ���;��

������ ��������������������!����"�

68 �� � � � � � � � � �

��

���� ���1� ��� �4������� 1 � ��� ������1����� @-� ��� � ������ ��� �"�#��� ������� ������ �"�#��� ��� �)�� ��� � ������� ���������" �����? ���!����������)��4�������������" �����?����������" �������

�"��� ����������BDB B CBE

�5�� ��

�5���

F���� � ������� �����"�#������� ���� ���?������� ��� � ��� ��� �4������� ��� ��:��������� �����������?�� ������)��

��

� �������

��%��%���6�(���%�����(���(����G�%��(��

69� � ����� � �� � ���

���

������� �������������6�������������������G���������

���� #����������$���������"�

����������

�� ��� �"��� ����������6 5����1������6�

5����1������&�

5�(�

�����"��� ����������6 5����1�������6

5����1������&�

5�(�

,���� �� ��� �� ����6 5��(���(���

�� H������� �� ��� �� ���� � �(����������������4� ����)��������� ������������� ���������

)� 5���(

� �� 5�� '�

�� ���� 1����� ����� �%�� '�� ����� ��� ���� �"�#��� ��� �������� ����� ��� '� ����� ���!� ����"�#����,��� ���� ���1���4����"�#����������������"�#��������������������� ���"�#��� 4�� ��� ��1������ ������ ����� ������1������%��� '��

�� &�� ����1�����1 � ��� ������� ����� ���� � ������ ���=*� �� �1��?� ���� ������ ����� � ���������=?��� �1��*����������!����� ��� �� ����� ������ 1����� �� ������ �����������,��������(��� ���

� ��� �4������� ��� �� ����� �������� ������������������� ����"�#����,����4�������

���?��=��*�����,�� �� �� �������!����� '���9�����9�

���� & ������� ��� �� ����� ���������� ������������ ��� ���� ����� � ��� �"�#������ ��� �� � �������� ��� ������ 1���� ������� �� �� �������!�'��8� � 8������ ;�

����� ?��� '� � � = �� '� 8� � � * �� 9� � 8� �,�9��� ;��

� ���� ��� ��� +���� ����� ���� ��������� ��� � ����� � ��� �"�#��� ��� ���� ��� � ����������� )�� ��� ��� ��� ?� ��� )� ����� ����������!�� ����"�#���

����� ,���� ��� �4����� �4������� ��������������������������� ������ ����"�#��������'������

��� �

70 �� � � � � � � � � �

��

� ���

��%��%���6�(���%�����(���(����G�%��(��

����

��������������������6�������������������G���������

���������������

�� �G��-������������

�� &��������1���������������"�#���

�� ,�������� ���

�� ��� �� ���� �� ���� ���

� ����

���

� �� �� �

�� 6���

� ��

� �� �� �

� ��;��%�/��%���;�

��

��

71���� ���� � ���� ��

��� ������� � ���� � ����� ������ ������� � ���� ������� ������� ����������������������������������� ��� � �� � ���� �������� ���� ���� ������� � �� ��� �� �� ������� �� ����������������� ������� ������� � ������� � ��

��

� �

���� �!!� ��� �� ���"� !��� � � ���� ���!� ��

���� #� $��!!� ��� �� ���"� ��� ��� !��� ���������!� ��

����� �!!� ��� �� ���"� !��� � � ���� ���!� ��

���� �!!� ��� �� ���"� !��� � � ���� ���!� ��

%���� ���� !� �� � � ���� ������ ��� � ��������&���������!� ��� ��������������������������$'���

��

��� (��� ��������� ������������ ��������)����

���� (��� ��������� ������������ �����*����

������������ �+� ,

�� - )�� ������ ����� ���!�� ���� ��� ��� ��� �� ����� �$'��� ��� ��!� ��� ������� ���

�� .��������� �����������&�/� ���� �����- ��� *�������� !��� � � ���� �� ��� ����� ���� ��&�� !� &� �$'��� ��!!� !��� � ��������� ���0���������������� ����� ���� ��� ��& � ��� ���� ��� ���� &��� ��� ������ ���� ��� ��&�� ���- ���- *��

� ����1�������� ��

�����2 �����������/���������� �����$'���

��

72 �� � � � � � � � � �

��

$� ���� ������������������" �����@

�"��� �������5�BCB B DB

E�� �

�"��� ������� ���;�����?=���� � ������ ���"�#���

������ �����������@�� ���� ���;��

���

��6�G������� � �����

���

,+������1����� � ������1 ���������� ��1������� ���������� ����� ����� �� ����������� � ���� �������� �������� ���������� ����������� ��� ��� �� ���� ��#�������� � ������1 �������%��(����� ��������������� ������������ �����������������1����������(�8������

� ���

�����&���������4���� �"�� +��1��������� ������ ��������1����

��

73���� � �� � � � �

A

B C

P

Q

R

43

cm

43

cm

4 3 cm

��������

HERON'S FORMULA

����������

1. (A) Let ABC be a right-angled triangle.Then,

AB = 2 2AC – BC

= 2 210 – 8

= 36 = 6 cm

ar(�ABC) = 12

× BC × AB

= 12

× 8 × 6 = 24 cm2.

2. ar(�PQR) = 14

× ar(�ABC)

= 14

× � �23

4 34

= 14

×3

4× 4 3 × 4 3

= 3 3 cm2.

3. Let AB = BC be x cmar(�ABC) = 8 cm2

�12

× AB × BC = 8 cm

�12

× x2 = 8

� x = � 4 = 4(... x cannot be negative)

Now, AC = 2 2AB + BC(Using Pythagoras Theorem)

= 22x = 2 16�

= 4 2 cm.

4. As 162 + 632 = 4225, i.e., 652 = 4225So, the triangle is a right-angled trianglewith hypotenuse 65 cm.

� Area of the triangle = 12

× 16 × 63

= 504 cm2.

5. Area of triangle =12

× base × height

= 12

× 15 × 10

= 75 cm2.

6. Area, A =12

× b × h

But A = 48 cm2 and b = 12 cm.

� 48 =12

× 12 × h

� h =486

= 8 cm.

7. As the lengths of three sides are given,we use Heron’s formula to find the areaof the triangle.

Let a = 50 cm, b = 78 cm, c = 112 cm.

Now, s = 12

(a + b + c) = 12

(50 + 78 + 112)

= 120 cmArea of �

= ( )( )( )s s a s b s c� � �

(Heron’s formula)

=120 (120 – 50) (120 – 78)

(120 – 112)� �

= 120 70 42 8� � �

= 12 10 7 10 42 8� � � � �

= 10 4 3 7 3 2 7 2 4� � � � � � �

= 10 × 4 × 3 × 7 × 2 = 1680 cm2

Thus, area of � = 1680 cm2.

A

B C

10 cm

x���

x���

74 � � � � � �� ���

8. (i) Here, the sides of one petal are 28 cm,35 cm and 9 cm.� Perimeter of one triangular petal = 28 + 35 + 9 = 72 cm

� s = 722

= 36 cm

Area of one petal

= 36(36 – 28)(36 – 35)(36 – 9)

= 36 8 1 27� � � = 6 4 2 3 9� � �

= 6 × 2 × 3 6 = 36 6 = 36 × 2.44

= 88.2 cm2.Area of 16 petals = 16 × 88.2

= 1411.2 cm2

Cost of making = � 1

1411.22

� ��� �� �

= � 705.60.(ii) Love for beauty, happiness, lovefor environment.

����������

1. (C) Side = Perimeter

3 =

603

= 20 m

Area = 3

4(side)2 =

34

× 20 × 20

= 100 3 m2.

2. Side (a) = 2 3 cm

Area = 3

4(a)2 =

34

× 2 3 × 2 3

= 3 3 = 3 × 1.732 = 5.196 cm2.3. Let the required length be a cm.

� Area = 234

a

� 9 3 = 234

a

� a2 = 36

� a = � 6 cm = 6 cm.

(... Length cannot be negative)

4. Let a = 56 cm, b = 60 cm, c = 52 cm.

� Semi-perimeter, s = 2

a b c� �

= 56 60 52

2� �

= 84 cm

Now, area

= ( )( )( )s s a s b s c� � �

= � �� �� �84 84 56 84 60 84 52� � �

= 84 28 24 32� � �

= 3 4 7 4 7 4 3 2 4

2 2 2� � � � � � � �

� � �

= 3 × 4 × 7 × 4 × 2 × 2 = 1344 cm2.

5. Sides of the given triangle are in theratio 12 : 17 : 25.Let the sides be 12x, 17x and 25x.We are given that 12x + 17x + 25x = 540

(Given that perimeter of thetriangle = 540 cm)

� 54x = 540

or x = 54054

= 10

Therefore, the sides are 120 cm, 170 cmand 250 cm.

Now, s =540

2cm = 270 cm.

Area of the triangle

= 270 (270 – 120) (270 – 170)(270 – 250)

� �

= 270 150 100 20� � � cm2

= 9000 cm2.

6. Perimeter = 42 cm.Then, the third side = 42 cm –

(18 cm + 10 cm)= 42 – 28 = 14 cm.

Here, s = 42 cm2

= 21 cm.

The area of the triangle

= 21 (21 – 18) (21 – 14) (21 –10)� � � cm2

= 21 3 7 11� � � cm2

= 21 11 cm2.

75���� � �� � � � �

7. Let the two equal sides of the �ABC beAB and AC. Draw a perpendicular ADfrom A to BC.As �ABC is an isosceles triangle, D isthe mid-point of BC.Therefore, DC = 5 cm and �ADC = 90°.If AD = h cm, AC = (h + 1) cm.As triangle ADC is a right triangle,

h2 + 52 = (h + 1)2

(By Pythagoras Theorem)� h2 + 25 = h2 + 2h + 1� 2h = 24 or h = 12 cmArea of �ABC

= 12

(BC) (AD)

= 12

(10) (12)

= 60 cm2.

8. The sides of the triangular walls belowthe bridge are 122 m, 22 m and 120 m.

� s = 122m 22m 120m

2� �

= 132 m

Area of one triangular wall

= 132 (132 122) (132 22)(132 120)

� � � �

� � m2

= 132 10 110 12� � � m2

= 1320 m2.Company hired only one wall for 3 months.Thus, earning from advertisements for 3months at the rate of � 5000 per m2 peryear.

= � 5000 × 3

12× 1320

= � 1650000.

9. � Each side = a

� Semi-perimeter, s = 2

a a a� �

= 32a

Using Heron's formula, area of thesignal board

= ( – )( – )( – )s s a s a s a

= 3 3 3 3

– – –2 2 2 2a a a a

a a a� � � � � �� � � � � � �� � � � � �

= 32 2 2 2a a a a� � �

= 32 2a a� =

234a

sq. units.

If perimeter of the triangle is 180 cm,

side = a =180

3cm = 60 cm

Area of the equilateral triangle

= 34

(side)2 =3

4(60)2 cm2

= 3

4× 3600 cm2 = 900 3 cm2.

���������

1. (A) Let BC = AC = 4 cm Let a = 4 cm, b = 4 cm,

c = 2 cm

�������� s = 2

a b c� �

=4 4 2

2� �

= 5 cm

ar(�ABC)= � � �( )( )( )s s a s b s c

= 5 1 1 3� � �

= 15 cm2.2. If side of the triangle be a, then

234

a = 16 3

� a2 = 16 3 4

3�

� a2 = 64 � a = 8 cmNow, perimeter = a × 3 = 8 × 3

= 24 cm.

76 � � � � � �� ���

= 21 282 2

� ��� �� �

= 492

= 24.5 sq. cm.

6. Join the diagonal BD. We get twotriangles �BCD and �ABD.�BCD is a right triangle with �C = 90°.

Area of �BCD = 12

× (BC) × (CD)

=12

× 12 × 5 m2

= 30 m2 ...(i)BD2 = BC2 + CD2

(Pythagoras Theorem)

� BD = 2 212 5� = 144 25�

� BD = 169� BD = 13 m.Now, in �ABD,

AB = 9 m, BD = 13 m and AD = 8 m.

s = AB BD AD

2� �

= 9 13 8

2� �

= 302

= 15 m.

Area of �ABD

= ( – AB) ( – BD) ( – AD)s s s s

= 15(15 – 9) (15 – 13) (15 – 8)

= 15 6 2 7� � �

= 3 5 6 2 7� � � � = 6 6 35� �

3. As 62 + 82= 102,The triangle is right-angled withhypotenuse 10 cm.Area of the triangle

=12

× base × height

=12

× 6 × 8 = 24 cm2.

Cost of painting = 9 × 24 = 216 paise= � 2.16.

4. In a triangle, longest alti-tude is corresponding tothe shortest side.In this case, the longestaltitude is correspondingto the side of length 35cm.

ar(�ABC) = 12

× height × base

� ar(�ABC) = 12

× h × 35 ...(i)

Semi-perimeter of �ABC,

s = 54 61 352

� � = 150

2= 75 cm

ar (� ABC)

= 75(75 – 35)(75 – 54)(75 – 61)

= 75 40 21 14� � �

= 882000

= 420 5 cm2. ...(ii)

From equations (i) and (ii), we have12

× h × 35 = 420 5

� h = 24 5 cm.

5. Area of quad. PQRS = Area of �PSQ+ Area of �SQR

= 12

× SQ × PN + 12

× SQ × RM

= 1

7 32

� �� �� �� � + 1

7 42

� �� �� �� �

77���� � �� � � � �

= 6 35 m2 = 6 × 5.916 m2 (approx.)= 35.496 m2 (approx.). ...(ii)

Hence, area of the quadrilateral ABCD= ar(�BCD) + ar(�ABD)= 30 m2 + 35.496 m2 (approx.)

[From equations (i) and (ii)]= 65.5 m2 (approx.).

7. Let h be the required height of givenparallelogram. Sides of the � AEB are26 cm, 28 cm and 30 cm.� Semi-perimeter of �AEB

=26 28 30

2� �� �

� �� �cm

=842

cm

= 42 cm

Area of �ABC

= ( – ) ( – ) ( – )s s a s b s c

= 42(42 – 26) (42 – 30) (42 – 28)

= 42 16 12 14� � � cm2

= 7 6 4 4 4 3 2 7� � � � � � � cm2

= 7 × 6 × 4 × 2 cm2 = 336 cm2

The area of the parallelogram is same asthat of the �ABC. Thus, area of theparallelogram = 336 cm2.� h × AB = 336� h × 28 = 336

� h =33628

cm

� h = 12 cm.8. Since a diagonal of a rhombus divides

it into two congruent triangles andcongruent triangles are equal in area.� ar(�ABC) = ar(�ADC)and ar(quad. ABCD)

= ar(�ABC) + ar(�ADC).Area of the rhombus = 2 × ar(�ABC)

For �ABC, s =2

a b c� �=

(30 30 48)2

� � m

= 54 m.

� ar (�ABC) = ( – )( – )( – )s s a s b s c

= 54(54 – 30)(54 – 30)(54 – 48) m2

= 54 24 24 6� � � m2

= 3 3 6 6 4 4 6 6� � � � � � � m2

= 3 × 6 × 4 × 6 m2 = 432 m2

� Area of rhombus = 2 × 432 = 864 m2.So, total area of grass field for 18 cows

= 864 m2.

Then, area of grass field per cow = 86418

m2

= 48 m2.9. (i) Sides of the given triangle are in the

ratio of 12 : 17 : 25.Let the sides be 12x, 17x and 25x.We are given that 12x + 17x + 25x = 540

(Given that perimeter of thetriangle = 540 cm)

� 54x = 540

or x = 54054

= 10

Therefore, the sides are 120 cm, 170 cmand 250 cm.

Now, s = 5402

cm = 270 cm.

Area of the triangle

= 270 (270 – 120) (270 – 170)(270 – 250)

× ××

= 270 150 100 20� � � cm2

= 9000 cm2.(ii) Cost of 1 sq. unit (i.e., 1 cm2 here)of the banner = �10Cost of 9000 cm2 of the banners

= � 10 × 9000= � 90000

78 � � � � � �� ���

(iii) By taking part in such a comp-aign, the students show their lovefor health.

����������

1. (A) Given: a = 7 cm, b = 5 cm, c = 6 cm

� s = 2

a b c� � =

7 5 62

� �

= 9 cm

� s – a = 2 cm, s – b = 4 cm, s – c = 3 cm

Now, area = 9 2 4 3� � � = 216

= 6 6 cm2.

2. From the given figure,a = 10 cm, b = 3 cm, c = 9 cm

� s = 2

a b c� �

= 10 3 9

2� �

=222

= 11 cm

Now, area = ( – )( – )( – )s s a s b s c

= 11 1 8 2� � �

= 11 4 2 2� � �

= 4 11 cm2.3. Let a = 20 cm, b = 50 cm, c = 50 cm

� s =2

a b c� �=

20 50 502

� �

= 60 cm

Now, area = ( – )( – )( – )s s a s b s c

= 60 40 10 10� � �

= 3 2 10 4 10 10 10� � � � � �

= 10 × 10 × 2 × 6

= 200 6 cm2.

4. Let a = 28 cm, b = 35 cm, c = 9 cm

� s = 28 35 9

2� �

= 36 cm

� Area = 36(36 – 28)(36 – 35)(36 – 9)

= 36 8 1 27� � �

= 6 6 4 2 9 3� � � � �

= 6 × 2 × 3 × �2 3

= 36 6 cm2.

5. The sides of a triangular piece are 20 cm,50 cm and 50 cm.

� s =2

a b c� �=

20 50 502

� �= 60 cm

Area of one triangular piece

= ( – )( – )( – )s s a s b s c

= 60(60 – 20)(60 50)(60 50)� �

= 60 40 10 10� � �

= 10 × 6 10 4 10� � � = 100 × 24

= 100 � �2 2 6 cm2

= 200 6 cm2

Area of cloth of each colour= area of 5 triangular pieces

= 5 × 200 6

= 1000 6 cm2.

6. Let us take the sides of the triangle as 3x,5x and 7x as ratio of the sides is given tobe 3 : 5 : 7. Also, we are given that

3x + 5x + 7x = 300(Perimeter of the triangle)

� 15x = 300 � x = 20Hence, the lengths of the three sidesare 3 × 20 m, 5 × 20 m, 7 × 20 m.i.e., 60 m, 100 m, 140 m

Also, s = 3002

m = 150 m.

Area of the triangle

=150 (150 – 60) (150 100)

(150 140)� � �

� �m2

= 150 90 50 10� � � m2

= 15 9 5 10000� � � m2

= 15 × 100 × 3 m2 = 1500 3 m2.

7. For the triangle having the sides 122 m,120 m and 22 m:

s = 122 120 22

2� �

= 132

79���� � �� � � � �

Area of the triangle

= � �� �� �s s a s b s c� � �

= � �� �� �132 132 122 132 120 132 22� � �

= 132 10 12 110� � � = 1320 m2.

For the triangle having the sides 22m,24m and 26m:

s =22 24 26

2� �

= 36

Area of the triangle

= � �� �� �36 36 22 36 24 36 26� � �

= 36 14 12 10� � � = 24 105

= 24 × 10.25 m2 (approx.)= 246 m2

Therefore, the area of the shaded portion= (1320 – 246) m2

= 1074 m2.

8. (i) Let us divide the picture into 5 partsas shown in figure. Part I in figure is inthe shape of an isosceles triangle.

Here, s = 5 5 1

2+ +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠ cm =

112

cm

6 cm

5 cm

1.5 cm VI

IV

6.5 cm II

I cm

III 1 cm1 cm

1 cm

A B

D C E1 cm

Area of part I

= 11 11 11 11

5 5 12 2 2 2

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞× − − × −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 11 1 1 92 2 2 2

× × × cm2 = 34

11 cm2

= 34

× 3.32 cm2 = 2.49 cm2 (approx.)

Area of part II = 6.5 × 1 cm2 = 6.5 cm2.Let us draw a line segment BC � AD.Let h be the height of

the �BEC, i.e., height

of the trapezium.

Area of �BEC = 3

4(1)2 cm2 =

34

cm2

Also, ar(�BEC) = 12

× CE × h=3

4

�12

× 1 × h = 3

4

� h = 3

2cm

Area of part III =12

(1 + 2) × 3

2 cm2

= 34

3 cm2

= 34

× 1.732 cm2

= 1.3 cm2 (approx.)

Area of part IV = 12

× 6 × 1.5 = 4.5 cm2.

Area of part V = 12

× 6 × 1.5 = 4.5 cm2.

Total area of the paper used= 2.49 cm2 + 6.5 cm2 + 1.3 cm2

+ 4.5 cm2 + 4.5 cm2

= 19.29 cm2 = 19.3 cm2 (approx.).(ii) Love for environment, love forart and scientific temperament.

�������������� ��

1. (C) Let height = 2x, base = 3x

�12

× height × base = 27

80 �� � � � � � � � � �

�12

× 2x × 3x = 27

� x2 = 9 � x = ± 3 = 3

(... Length cannot be negative)

� Base = 3x = 3 × 3 = 9 units.

2. � �23

side4

= 24 3

� (Side)2 = 24 3 43�

� Side = 4 6 cm

Now, perimeter = 3 × side = 3 × 4 6

= 12 6 cm.

3. Let sides be 4x cm, 3x cm, 5x cm.4x + 3x + 5x = 60

(... Perimeter = 60 cm)

� x = 6012

= 5.

Hence, sides are 20 cm, 15 cm, 25 cm

� s = 20 15 25

2� �

= 30 cm.

Now, area = ( – )( – )( – )s s a s b s c

= 30 10 15 5� � �

= 3 10 10 3 5 5� � � � �

= 3 × 10 × 5 = 150 cm2.

4. Hypotenuse BC = 2 27 24�

= 49 576�

= 625 = 25 cm.

Draw AM � BC.Area of �ABC may be defined by twoways as follows:Let AM = h

1 1

BC AM = BC2 2

h�� � � � �� �� � =

12

× AB × AC

�12

× 25 × h =12

× 7 × 24

� h = 6.72 cm.

5. See Worksheet-54, Sol. 5.6. See Worksheet-56, Sol. 5.7. Let a, b, c be the initial sides of a

triangle, then its semi-perimeter s isgiven by

s = 2

a b c� �...(i)

New sides of the triangle will be 2a, 2band 2c. Then its new semi-perimeter isgiven by

s' = 12

(2a + 2b + 2c)

= a + b + c = 2s ...(ii)[From (i)]

Let A1 and A2 be the initial and newareas of the given triangles respectively.Then

A1 = ( )( )( )s s a s b s c� � �

...(iii)

and A2 = ( 2 )( 2 )( 2 )� � � � � � �� � �� � � �

= 2 (2 2 )(2 2 )(2 2 )s s a s b s c� � �

[From (ii)]

A2 = . . .2 2( ) 2( ) 2( )s s a s b s c� � �

= 16 ( )( )( )s s a s b s c� � �

= 4 ( )( )( )s s a s b s c� � �

� A2 = 4A1 [From (iii)]

�� Increase in the area of the triangle= A2 – A1 = 4A1 – A1

= 3A1.

Now, percentage increase in the area

= 1

1

3AA

× 100 = 300%.

8. Let the height of triangular field beh metres.It is given that: 2 × (base) = 5 × (height)

81���� � �� � � � �

� Base = 52

× h

And area = 12

× base × height

� Area = 12

×52

h × h

= 54

h2 ...(i)

� Cost of turfing the field is � 45 per 100 m2

� Area =Total cost

Rate per sq. m =

90045/100

=900 × 100

45= 20 × 100 = 2000 m2 ...(ii)

From equations (i) and (ii), we have54

h2 = 2000

� h2 =4 × 2000

5 = 1600

� h = 40 m Hence, height of the triangular field is 40 m.

OR

Let each side of theequilateral �ABC bex cm. Let from a pointO, in the interior ofthe triangle; perpen-diculars OD, OE andOF be drawn to BC,AC and AB respectively.

Let OD = 11 cm, OE = 8 cm andOF = 10 cm.

Join OA, OB and OC.

Now, ar(�ABC)

= ar(�OAB) + ar(�OBC) + ar(�AOC)

= � �� � � � � � � �� �� �1 1 1

10 11 82 2 2

x x x sq. cm.

= 292

x sq. cm ...(i)

But area of the equilateral triangle

= 3

4 x2 sq. cm ...(ii)

From equations (i) and (ii), we get

34

x2 = 292

x

� x = 29 • 2

3=

58

3

� Area of �ABC = 292

× 58

3 sq. cm

= 841 33

sq. cm

= 8413

(1.73) sq. cm

= 484.98 sq. cm

= 485 sq. cm.

Hence, area of the triangle = 485 sq. cm.

����������������

1. (B) Let initially base and height be band h respectively.

� Initial area, A1 = 12

× b × h

New base and height are 2b and 3hrespectively.

� New area, A2 = 12

× 2b × 3h

Hence, 2

1

AA

=

1 2 3212

b h

b h

� �

� �

=61

i.e., A2 : A1 = 6 : 1.

2. Let the initially side of equilateraltriangle be a units.

� Initial area = 234

a

Initial perimeter = 3 × side = 3 × a = 3a units.According to question side of thetriangle is tripled. So perimeter of newtriangle = 3.3a = 9a units

82 � � � � � �� ���

Area of new triangle = 3

4 × (3a)2

= 3

4× 9a2 = 9 ×

34

a2

i.e., 9 times of the initial area.

3. A diagonal of a parallelogram divides itinto two triangles of equal areas.For a triangle, let

a = 60 m, b = 50 m, c = 40 m

� s = 2

a b c� �

= 60 50 40

2� �

= 150

2 = 75 m

Now, area of the triangle

= ( – )( – )( – )s s a s b s c

= 75 15 25 35� � �

= 25 3 3 5 25 5 7� � � � � �

= 25 × 3 × 5 × 7 = 375 7 m2

Further, area of the parallelogram= 2 × area of the triangle

= 2 × 375 7 = 750 7 m2.

4. Diagonal of the rectangle

= 2 2length + breadth

= 2 2(5 2) + (4 3)

= 50 + 48 = 98 cm

This diagonal is the length of each sideof the equilateral triangle.

� Area of the triangle = 3

4� �

298

= 3 98

4�

= 492

3 cm2.

5. See Worksheet-55, Sol. 5.6. Each side of an equilateral triangle = 8 cm.

Here, a = 8 cm, b = 8 cm, c = 8 cm

� s = 2

a b c+ + =

8 8 82

+ +=

242

= 12 cm

Area of the triangle = ( )( )( )s s a s b s c− − −

= 12(12 8)(12 8)(12 8)− − −

= 3 4 4 4 4× × × × cm2

= 4 × 4 3 cm2

= 16 3 cm2

Altitude of an equilateral triangle (h)

h = 3

2× (side) =

32

× 8 = 4 3 cm.

7. See Worksheet-55, Sol. 8.

8. Area of parallelogram= 288 m2

Length of altitude on larger side = 8 m

Let the length of smaller side be x, thenthat of altitude on the smaller side = 2x.

� Area of parallelogram = 2x × x

= 288� 2x2 = 288 � x2 = 144� x = 12 m.� Length of smaller side = 12 m� Length of altitude on it = 24 m.Again taking larger side as a base.Area of parallelogram = Base × Altitude

288 = y × 8(Let base = y)

� y = 2888

� y = 36 m.

� Length of larger side= 36 m.

� Perimeter of the parallelogram= 2 (36 + 12) = 2 × 48 = 96 m.

Hence, perimeter of the parallelogramis 96 m.

���������

1. (C) Let perimeter of each shape be P.Then each side of equilateral triangle

=P3

83���� � �� � � � �

And each side of square =P4

Now, Area of triangleArea of square

=

2

2

3 P4 3

P4

� �� �� �

� �� �� �

= 4 33 3�

=4

3 3

= 4 : 3 3.

2. Let a = 6 cm, b = 5 cm, c = 5 cm

� s = + +

2a b c

= 6 + 5 + 5

2 = 8 cm

Now, area = ( )( )( )s s a s b s c� � �

(Heron's Formula)

= 8 2 3 3� � �

= 4 2 2 3 3� � � �

= 2 × 2 × 3 = 12 cm2.3. Third side of triangle = 42 – (18 + 10)

= 42 – 28= 14 cm.

a = 18, b = 10, c = 14

s = 2

a b c+ + =

18 10 142

+ +

s = 422

= 21

Area of triangle = ( – )( – )( – )s s a s b s c

= 21(21 – 18)(21 – 10)(21 – 14)

= 21 3 11 7� � �

= 3 7 3 11 7× × × ×

= 3 × 7 11 = 221 11 cm

4. There are two figures namely righttriangle ABC and rectangle ACDE.

AC = 2 2AB BC�

= 16 +16

= 32 units.

ar(�ABC) =12

× AB × BC

= 12

× 4 × 4 = 8 sq. units

ar(rectangle CDEA)

= AC × CD = 32 × 3

= 4 2 3� = 12 2 sq. unitsHence, the area of whole figure

= (8 + 12 2 ) square units.

5. In this case, s = 12

(a + a + a) = 32a

.

Thus, area of the equilateral triangle

= ( )( )( )s s a s b s c� � �

= 3 3 3 32 2 2 2a a a a

a a a� � � � � �� � �� � � � � �� � � � � �

=32 2 2 2a a a a� � � � � �� � � � � �� � � � � � = 3 2

a� �� �� � 2

a� �� �� �

=3

4a2.

Let the altitude of the triangle be h

12

h × a = 3

4a2 � h =

32

a.

OR

See Worksheet-57, Sol. 6.

6. See Worksheet-55, Sol. 7.

7. Hint: Let side of the square be x.

� BF = x2

and BE = x3

ar(�FBE) = 108 = 12

× x2

× x3

Find x and AC = diagonal of the square.

OR

See Worksheet-56, Sol. 6.

��

�� ����������

�BPD + �APD = 180°(Linear pair axiom)

� �BPD = 180° – 55° = 125°

� �BPQ + �QPD = 125°

� �QPD = 125° – 75° = 50°

[As �BPQ = 75° (Given)]

Now PQ �� DR (Given)

� �LDR = �QPD = 50°.

ORThrough R, we draw XRY �� PQ

� �QRX + 110° = 180°

(Cointerior angles)

and �YRS + 130° = 180°(Cointerior angles)

� �QRX = 70°and �YRS = 50°

Now, �QRX + �QRS + �YRS = 180°� 70° + �QRS + 50° = 180°� �QRS = 60°.

7. Let P(x) = – x51 – 51x – 2

Divided by (x + 1)

� P(– 1) = Remainder ( By Remainder theorem)

P(– 1) = – (– 1)51 – 51(– 1) – 2

= – (– 1) + 51 –2� = 1 + 51 – 2 = 52 – 2 = 50.

Practice Paper–1

SECTION-A1. (D) Infinite number of rational and

irrational numbers can be insertedbetween any two distinct rational numbers.

2. (A) Out of the four options only the poly-

nomial 23 – 4y y� has only one variable

as y with indices as whole numbers.

3. �AOD + �COD = 180°

(Linear pair axiom)

� 6x + 3x = 180°

� x = 20°.

4. Perimeter of the equilateral triangle= 60 m or 3a = 60 m

� a = 603

= 20 m

� Area of the equilateral triangle = 3

4a2

= 34

(20)2 = 34

× 400 = 100 3 m2.

SECTION-B

5.1

25 – 2 6=

� �� �� �

1 25 2 6

25 – 2 6 25 2 6

=�

25 2 625 – 4 6

=�25 2 6

25 – 24

=�5 2 6

1 = �5 2 6.

6. AB �� CD� �APD = �CDL

(Corresponding angles)� �APD = 55° (As given �CDL = 55°)

�������� �����

���������������

8.

9. p(x)= x4 – x2 + x Put x = 12

p12

� �� �� �

=41

2� �� �� �

–21

2� �� �� �

+12

=1

16–

14

+12

=5

16.

10. �BAC + �ABC + �ACB = 180°

(Angle sum property)

� �BAC = 180° – 50° – 55° = 75°

�DCF = �BAC = 75°

(Corresponding angles)

Now, x + �DCF = 180°(Interior angles on the same side

of the transversal CF)� x = 180° – 75° = 105°.

SECTION-C

11. l and m are intersecting lines (Given)and l ��p and q � m (Given)l ��p and m intersecting l� m intersects p also but m ��q (Given)� p intersects q

12.1

4 3 – 3 5

=( )( )

++

4 3 3 5

4 3 – 3 5 4 3 3 5

=� � � �

2 24 3 3 5

4 3 – 3 5 =

�4 3 3 548 – 45

= +4 3 3 53

= ( ) ( )+4 1.732 3 2.236

3

= +6.928 6.7083

= 13.636

3

= 4.545.

13. Consider �5 3

5 – 3

= � �� �� �� �

� �

5 3 5 3

5 – 3 5 3 =

� �

� � � �

2

2 2

5 3

5 – 3

=� � � �� �

2 25 3 2 5 3

5 – 3 =

�5 3+2 152

= 8+2 15

2 = 4 + 15

� 4 + 15 = a – 15 b

Comparing like terms, we have

a = 4, b = –1.

�� ����������

OR

If x = +2 5

then x1

= 1

2 + 5×

2 – 5

2 – 5(Rationalising the denominator)

=2 – 54 –5

= 2 – 5–1

= – 2 + 5

Now, 1

+x x= � ��2 5 + � ��–2 5 = 2 5

Squaring both sides, we get

xx

� ��� �� �

21

= xx

�2

21

+ 2x ×x1

� xx

�2

21

+ 2 = � �2

2 5

� xx

�2

21 = 4 × 5 – 2 = 20 – 2 = 18.

14. (i) Area of an equilateral triangle

= 3

4 (side)2 =

34

× (20)2 = 3

4 × 400

= 3 × 100 = 1.732 × 100

= 173.2 cm2.

15. �BAC = �BAP + �CAP= x + 10° + 2x + 15°

� 46° = 3x + 25° �� 3x = 21°���x = 7°

� �BAP = x + 10° = 7 + 10° = 17°.

16. In ��ABC,

AC = BC� �1 = �2 = z (say)

(Angles opposite to equal sides areequal)

�3 + 140° = 180° (LPA)� �3 = 180° – 140° = 40°Also,40° + z + z = 180° (ASP)

40° + 2z = 180°

� 2z = 180° – 40° � 2z = 140°

� z = 70° ���1 = �2 = 70°

Also, x + 70° = 180° (LPA)

� x = 110°

Also, y + 70° = 180° � y = 110°.

17. Let a be the ratio constant then,

as x : y = 5 : 2 ��x = 5a and y = 2a��� CD is a straight line

� 5a + 2a + 25° + 15° = 180°� 7a + 40° = 180°� 7a = 140°

� a = �140

7 = 20°

�AOP = x = 5a = 5 × 20° = 100°�AOQ = y= 2a = 2 × 20° = 40°

�BOC = �AOD

(Vertically opposite angles)

�BOC = x + 25° = 100 + 25° = 125°.

OR

x : y = 2 : 3Let x = 2a and y = 3a� x + 95° + y = 180°

(... AOB is a straight line)2a + 95° + 3a = 180°

� 5a + 95° = 180°

� 5a = 180° – 95°5a = 85° ����� a = 17°

� x = 2a = 2 × 17° = 34°and y = 3a = 3 × 17° = 51°i.e., �BOP = 34° and �AOQ = 51°.

���������������

18. Let p(x)= 5x3 + 4x2 – 6x + 2kSince, x – 1, is a factor of p(x) so p(1) = 0� 5(1)3 + 4(1)2 – 6(1) + 2k = 0� 5 + 4 – 6 + 2k = 0 ��� 3 + 2k = 0

� k = –32

.

19. Expanding(2x + 3y – 4z)2 or [2x + 3y + (– (4z))]2

Using the identity(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab

+ 2bc + 2acwe get, (2x + 3y – 4z)2

= (2x)2 + (3y)2 + (– 4z)2 + 2(2x) (3y) + 2(3y) (– 4z) + 2(– 4z) (2x)

= 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz.OR

We know thatx3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)Since x + y + z = 0� x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0i.e., x3 + y3 + z3 = 3xyz. Hence proved.

20.

Given: BM � AC and DN � AC BM = DN

To Prove: AC bisects BDi.e., OB = ODProof: In �BMO and �DNO

BM = DN (Given)�BOM = �DON (Vert.opp. angles)�BMO = �DNO (Each 90°)

� �BMO �DNO (By AAS)� BO = OD (CPCT)� AC bisects BD. Hence proved

SECTION-D21. We follow the steps given below to

represent 3.5 on the number line.Step 1: On the number line, mark apoint A. Mark another point B, 3.5 units

away from A on the right so AB = 3.5units.Step 2: Again mark a point C on lineAB such that BC = 1 unit.Step 3: Using ruler and compass findthe mid-point of AC by makingperpendicular bisector of AC and markit as O. With centre O and radius OAor OC, draw a semicircle.Step 4: At B, draw a perpendicularwhich intersects the semicircle in P.

Then BP = 3.5 units

Step 5: To represent 3.5 on thenumber line, draw an arc with centreB and radius BP which cuts the lineBC in Q.Thus, if B represents 0 (zero) on thenumber line, then Q will represent

3.5 on it.

Explanation: Let AB = x units (here3.5 units), thenAC = (x + 1) units (here 4.5 units).So, OA = OC = OP

= + 12

x units = � �� �� �

4.52

Now, OB = OC – BC = � �+ 1 – 12

x

= � �� �� �

4.5–1

2

= – 12

x units = � �� �� �

2.52

�� ����������

In � OBP, �B = 90°

BP = 2 2OP – OB = � � � �2 2

+ 1 – 1–2 2

x x

= 2 2–( + 1) ( – 1)

4x x

= 44x = x = 3.5

Since, BP = BQ � BQ = x

Here, x = 3.5. Therefore, BQ = 3.5 .

ORWe write 97 as the sum of the squares oftwo natural numbers:

97 = 81 + 16 = 92 + 42

On the number line, take OA = 9 units.Draw AB = 4 units, perpendicular toOA. Join OB as shown in the figure,By Pythagoras theorem,

OB = 97 units.

Using a compass with centre O andradius OB, draw an arc which intersectsthe number line at point C. Then, C

denotes the point of 97 on the numberline.

22. Let p(x) = 2x3 – 3x2 – 9x + 10. p(x) willcontain x – 1 as a factor if p(1) = 0� p(1) = 2.13 – 3.12 – 9.1 + 10� p(1) = 2 – 3 – 9 + 10� p(1) = – 1 + 1� p(1) = 0�� p(1) = 0� x – 1 is a factor of p(x).Similarly,p(– 2) = 2 (– 2)3 – 3(– 2)2 – 9 (– 2) + 10

= 2 (– 8) – 3(4) + 18 + 10

= – 16 – 12 + 28 = 0���p(– 2) = 0� p(x) contains x + 2 as a factor.

And p � �� �� �52

= 2 � �� �� �

352

– 3 � �� �� �

252

– 9 � �� �� �52

+ 10

= 2 × 1258

– 3 × 254

– 9 × 52

+ 10

= 1254

– 754

– 452

+ 10

= �125 – 75 – 90 404

= � �

165 –165 00

4 4

�� Since p � �� �� �52

= 0, therefore, p(x)

contains (2x – 5) also as a factor.

23. Let OABC be arectangle whoselength and breadthare 5 and 3 units(given) respectively.Also given that oneof the vertices lies at origin and longerside on x-axis if we place it on graph paperalso one vertex lies in the third quadrant

C B

O A

5

5

33

Let us place the rectangle on a graphpaper taking O at origin.

���������������

(i) x – a is a factor of p(x), if p(a) = 0,and

(ii) p(a) = 0, if x – a is a factor of p(x).

Let f (x) = x3 – 2x2 – x + 2

� f (1) = 13 – 2 × 12 – 1 + 2

= 1 – 2 – 1 + 2 = 0

� f (1) = 0

��(x – 1) is a factor of f (x).

x3 – 2x2 – x + 2 = (x – 1) (x2 – x – 2)

= (x – 1) (x2 – 2x + x – 2)

= (x – 1) [x(x – 2) + 1(x – 2)]

= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

Thus the remaining two factors are (x – 2)and (x + 1).

27. AE = CF (Given)

� AE + EC = CF + EC� AC = EF ...(i)

In �ABC and �DEF,

�1 = �2 (Given)

AC = EF [From (i)]

�3 = �4 (Given)

Using ASA congruence rule, we have

�ABC �EDF (CPCT)

� AB = DE ���and BC = DF

Hence proved.

28. x = 2 + 132 +

232 � x – 2 =

132 +

232

Cubing both sides

Since one vertex lies on third quadrant,so longer side OA falls on negativex-axis and hence OC on negative y-axis.

Thus, the vertices of the rectangle OABCare O(0, 0), A(– 5, 0), B(– 5, – 3) andC(0, – 3).

24. Given a = 5 + 2 6 and b =1a

= 1

5 2 6�Rationalising,

= 1

5 2 6� ×

5 – 2 65 – 2 6

= � � � �22

5 – 2 6

5 – 2 6

= 5 – 2 625 – 24

= 5 – 2 6

Now a2 + b2 = (5 + 2 6 )2 + (5 – 2 6 )2

= (5)2 + ( 2 6 )2 + 2.5. 2 6

+ (5)2 + ( 2 6 )2 – 2.5. 2 6

= 25 + 24 + 25 + 24

= 98.

25. �BAD = �EAC (Given)

�BAD + �DAC = �EAC + �DAC

� �BAC = �EAD ...(i)

Now, in �ABC and �ADE,AC = AE (Given)

�BAC = �EAD[Proved above in (i)]

AB = AD (Given)Using SAS congruence rule, we have

�ABC ��ADEBC = DE. (By CPCT)

26. Factor theoremIf p(x) is a polynomial of degree �1 anda is any real number, then

�� ����������

� x3 – 8 – 6x2 + 12x = 2 + 4 + 6(132 +

232 )

� x3 – 8 – 6x2 + 12x = 6 + 6(x – 2)

(� x – 2 =132 +

232 )

� x3 – 8 – 6x2 + 12x = 6 + 6x – 12

� x3 – 8 – 6x2 + 12x + 6 – 6x = 0

� x3 – 6x2 + 6x – 2 = 0

� x3 – 6x2 + 6x = 2

OR

x =1

2 – 3��x =

12 – 3

× 2 32 3��

= 2 3�

(Using a2 – b2 = (a – b) (a + b)

x – 2 = 3

Squaring, both sides, we get

x2 + 4 – 4x = 3 ��x2 – 4x + 1 = 0

Given expression is

x3 – 2x2 – 7x + 10

= x(x2 – 4x + 1) + 2x2 – 8x + 10

= 2 (x2 – 4x + 5)

[� x2 – 4x + 1 = 0 � x2 – 4x = – 1]

= 2 [–1 + 5] = 8.

29. (i) In �AOC and �BOD,

�AOC = x� + �1

and �BOD = y� + �1

� �AOC =��BOD ...(i)

[x� = y��(Given)]

x = y ...(ii) (Given)

O is the mid-point of AB

� OA =�OB ...(iii)

Using equations (i), (ii) and (iii), andusing ASA congruence rule we arrive at

�COA �DOB.

(ii) From part (i),

AC = BD. (CPCT)

30. AB = AC (Given)

� �ABC = �ACB ...(i)

(Angles opposite to equal sides in �ABC)

Also �ABO = �ACO ...(ii) (Given)

Subtracting (i) from (ii), we get

�ABO – �ABC = �ACO – �ACB

� �OBC = �OCB ...(iii)

In �OBC, OB = OC

(Sides opposite to equal angles of atriangle are equal)

In �ABO and �ACO,

AB = AC

�ABO = �ACO

BO = OC

Usings SAS as congruence rule,

we have

� �ABO �ACO.

31. (i) AB = AC …(i) (Given)

AP + PB = AQ + QC …(ii)

���������������

Since P is the mid-point of AB� AP = PBor PB = AP …(iii)Since Q is the mid-point of AC� AQ = QCor QC = AQ …(iv)

Substituting the values of PB and QCfrom equations (iii) and (iv) in equation(ii), we get

AP + AP= AQ + AQ � 2AP = 2AQ

According to Euclid’s axiom things whichare halves of the same things are equalto one another, we have

AP = AQ.

(ii) Love for country, safety.

Practice Paper–2

SECTION-A

1. (D) Z is the symbol to represent all thenegative, zero and all the positive integers.

2. (B) p(y) =5y4 + 0.y3 + 0.y5 + 6y + 7

= 5y4 + 6y + 7

As the greatest index of y is 4, the degreeof p(y) is 4.

3. “The whole is greater than the part” isEuclid’s fifth axiom.

4. Given area of an equilateral triangle

= 100 3 cm2 ����3

4a2 = 100 3

or a2 = 100 3 × 43

= 400

� a = 400 = 20 cm.

��Perimeter of the equilateral triangle

= 3a = 3 × 20 = 60 cm.

SECTION-B

5.

45243

32

� �� �� � =

451

24332

� �� �� �� �

=

4532

243� �� �� �

=� �� �� �

45 5

5

2

3 =

� �� �� �� � ��

45 52

3 =

45

523

� �� �� � =

423

� �� �� �

=4

423

= 1681

.

6. Let p(y) = 4y3 – 7y2 + 3y – 4

and q(y) = 2y + 1

when q( y) = 0

� 2y + 1 = 0 � � �� y = – 12

The remainder will be p –� �� �� �

12

.

Now, p12

� ��� �� � = 431

2� ��� �� � – 7

212

� ��� �� �

+ 312

� ��� �� � – 4

=1 7 3

42 4 2

� � � � =�31

4.

7. Points A, B, C and D lie in first, second,third and fourth quadrants respectively.

� Coordinates of the point A are (4, 2).

Coordinates of the point B are (– 2, 4).

Coordinates of the point C are 9

, 32

� �� �� �� � .

Coordinates of the point D are 5 5,

2 2� ��� �� �

.

�� ����������

8. 38° + y = 115°

(Exterior angle theorem)

� y = 115° – 38°

� y = 77°

Now, x + y + 38° = 180°

(Angle sum property of a triangle)

x + 77° + 38° = 180°

� x + 115° = 180°

x = 180° – 115°

= 65°

Thus,x = 65°, y = 77°.

9. Since CD �� EF

� x + 25° = 180°

(Consecutive interior angles)

� x = 180° – 25°

� �x = 155°

Now, AB �� CD

� y + 25° = 75°

(Alternate interior angles)

� y = 75° – 25°

� y = 50°

Hence, x = 155° and y = 50°.

OR

Draw ray RM �� PQ., �1 + 130° = 180°(Consecutive interior angles)

��1 = 180° – 130° = 50°�1 + �2 = 110°

(Alternate interior angles)

� 50° + �2 = 110°

� �2 = 110° – 50°

� �2 = 60°

i.e., �QRS = 60°.

10. 103 × 107 = (100 + 3) × (100 + 7)

= (100)2 + (3 + 7) × 100 + (3)(7)

= 10000 + (10) × (100) + 21

= 10000 + 1000 + 21 = 11021.

SECTION-C

11. 7 ) (1.0 0.142857 7 —— 30 28 —— 20 14 ——

60 56 —— 40 35 —— 50 49 —— 1 ——

Therefore, 17

= 0.142857 and

27

= 2 ×17

= 2 × � �0.142857 = 0.285714

An irrational number between 17

and

27

, can be written as a non-terminating

non-recurring decimal expressionbetween 0.142857 and 0.285714. Thereare infinitely many such decimalexpressions and one out of these can bewritten as 0.161161116111... .

����������������

OR

Given rationals: 35 and 4

5Here, we observe that their denominatorsare same but difference in numerator is1, so we multiply them by (2 + 1) = 3.

3 35 3�

� and

4 35 3�

� ��

915 and

1215 .

Hence, we have 915 < 10

15 < 1115 < 12

15 ,

Thus, required numbers are 1015 and 11

15 .

12.3/ 481

16

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

× 3/ 2 325 5

9 2

− −⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞÷⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

=3/ 44

4

32

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

× 3/ 2 32

2

5 523

− −⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞÷⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

=

3/ 4432

−⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

×

3/ 22 35 23 5

−⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥÷⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦

=

34

432

−⎛ ⎞× ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

×

32 3

25 23 5

−⎛ ⎞× ⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥÷⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

= 33

2

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

× 3 35 2

3 5

−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞÷⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

323

× 3 33 2

5 5

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞÷⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

= 3

3

23

× � �

�� �� �

3 3

3 3

3 55 2

= 3

3

23

× 3

3

32

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=3

3

23

× 3

3

32

= 1.

OR

We have 1

3 3�

Rationalising the denominator, we have

1

3 3�

= 1

3 3�

× �

3 3

3 3

= �

� �

(3 3)

(3 3) (3 3) =

� �

22

3 3

3 3

=3 39 3�

= 3 3

6�

= 3 36 6� =

1 32 6� .

13. (2a – 3b)3 = {2a + (– 3b)}3

= (2a)3 + (– 3b)3 + 3(2a) (– 3b) {2a + (– 3b)}= 8a3 – 27b3 – 18ab (2a – 3b)= 8a3 – 27b3 – 36a2b + 54ab2.

14. 64m3 + 343n3 = (4m)3 + (7n)3

= (4m + 7n) � �2 2(4 ) + (7 ) – 4 7m n m n�

= (4m + 7n) (16m2 + 49n2 – 28 mn).15. Let measure of the angle be x, so comple-

ment of this angle is 15

x.

� x + 15

x = 90° �� x x�55

= 90°

�x6

5 = 90° �� x =

�906

× 5 = 75°

� 180° – x = 180° – 75° = 105°Hence, the angle is of measure 75° andits supplement is of measure 105°.

ORLet AB �� CD and t is a transversalintersecting AB in E and CD in F.

� AEF = EFD

�12AEF = 1

2EFD

� GEF = EFH.

(... EG and FH are angle bisectors)

But these are alternate interior anglesformed when the transversal EFintersects EG and FH.� EG �� FH.Similarly, EH � ��GF.Therefore, EGFH is a � ��gm.

�� ����������

Now, ray EF stands on line AB.

� AEF + BEF = 180°

(Linear pair axiom)

�12

(AEF) + 12

(BEF) = 90°

� GEF + HEF = 90°

� GEH = 90°

Thus parallelogram EGFH has oneright angle.

Hence, EGFH is a rectangle.

16. Given: AD bisects �A and �D lies onBC. To prove: AB > BD and AC > CD.

Proof: In �ABC, since AD is the bisectorof �A.

Therefore, �BAD = �CAD ...(i)

In �ADC,� ��ADB > �DAC

(External angle theorem)

� �ADB > �BAD [From (i)]

� AB > BD

(Side opposite to greater angle is longer)

Now in �ABD, �ADC > �DAB

(Exterior angle theorem)

� �ADC > �DAC [From (i)]

� AC > CD.Hence proved.

17. Given: Two angles ABC and DEF suchthat AB �� DE and BC �� EF.

To prove: Either (i) �ABC = �DEF

or (ii) �ABC + �DEF = 180°

Proof:

In figure 1, AB �� DE and BC is atransversal.

� �1 = �2 ...(i)

(Corresponding angles)

Also BC �� EF and DE is a transversal

� �2 = �3 ...(ii)

(Corresponding angles)

Fig. 1 Fig. 2

Thus we conclude from (i) and (ii) that

�1 = �3

i.e., �ABC = �DEF.

In figure 2, AB �� DE and BC is a trans-versal.

� �1 + �2 = 180° ....(iii)

(Interior angles on the same side ofthe transversal are supplementary)

Also BC �� FE and DE is a transversal

� �2 = �3 ...(iv)

(Corresponding angles)

Thus we conclude from (iii) and (iv),we get, �1 + �3 = 180°

i.e., �ABC + �DEF = 180°.

Hence proved.

18. Let the two equal sides of the �ABC beAB and AC. Draw a perpendicular ADfrom A to BC.

As �ABC is an isosceles triangle, D isthe mid-point of BC.

Therefore, DC = 5 cm and �ADC = 90°.

If AD = h cm, AC = (h + 1) cm.

���������������

�OBC = �OAD = 90° (Given)�BOC = �AOD

(Vertically opposite angles)Therefore, by AAS congruence rule,we have

�OBC �OADBy CPCT, OB = OA � CD bisects AB.

SECTION-D

21. Let p(x) = 3x3 + ax2 + 3x + 5

and u(x) = 4x3 + x2 – 2x + a

q(x) = x – 2, when q(x) = 0

� x – 2 = 0 � x = 2

Therefore, remainders when p(x) andu(x) are divided by q(x), we get

p(2) = 3.23 + a.22 + 3.2 + 5

= 24 + 4a + 6 + 5

= 35 + 4a ...(i)

and u(2) = 4.23 + 22 – 2.2 + a

= 32 + 4 – 4 + a

= 32 + a ...(ii)

But remainders are same

� p(2) = u(2) (Given)

� 35 + 4a = 32 + a [From (i) and (ii)]

or 3a = – 3 or a = – 1

� Remainder = p(2) = 35 + 4(– 1)

= 35 – 4 = 31.

Hence, a = – 1 and remainder = 31.

22. Let x – c be a common factor of

p(x) = x2 + ax + b and q(x) = x2 + bx + a.

Since x – c is a factor of p(x)

� p(c) = 0 � c2 + ac + b = 0 ...(i)

and x – c is a factor of q(x) also

� q(c) = 0 � c2 + bc + a = 0 ...(ii)

From (i) and (ii), we get

c2 + ac + b = c2 + bc + a

�� ac + b – bc – a = 0

�� c(a – b) – 1(a – b) = 0

As triangle ADC is a right triangle,

h2 + 52 = (h + 1)2

(By Pythagoras Theorem)

� h2 + 25 = h2 + 2h + 1

� 2h = 24 or h = 12 cm

Area of �ABC = 12

(BC) (AD)

= 12

(10) (12) = 60 cm2.

19. In �ABC,

�BAC + �ABC

+��ACB = 180°

������ ��ACB = 180°

– (62° + 54°) = 64°.

As OB and OC are the bisectors of �ABCand �ACB respectively.

�OBC = 12

× �ABC = 27°

�OCB = 12

×��ACB = 32°

Now, in �OBC,

�OBC + �OCB + �BOC = 180°

� �BOC = 180° – (27° + 32°) = 121°.

Thus, �OCB = 32° and �BOC = 121°.

20. In �OBC and �OAD,

BC = AD (Given)

�� ����������

�� (a – b) (c – 1) = 0

�� (a – b) = 0 or (c – 1) = 0

�� a = b or c = 1

As given a � b, � a = b not possible.Therefore, only c = 1� Putting c = 1 in equation (i), we get

12 + a.1 + b = 0

� a + b + 1 = 0

Again putting c = 1 in equation (ii), we get

12 + b.1 + a = 0

� a + b + 1 = 0

Thus, a + b + 1 = 0.

Hence proved.

23. Given x =3 23 – 2�

, y = 3 – 23 2�

So, x + y = 3 23 – 2�

+ 3 – 23 2�

= � � � �

� � � �

2 2

2 2

3 2 3 – 2

3 – 2

� �

= 3 2 2 6 3 2 – 2 6

3– 2� � � �

= 101

= 10.

and xy = 3 2 3 – 23 – 2 3 2�

��

= 1

Therefore, x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy

= (10)2 – 2 × 1

= 100 – 2 = 98.

24.

Given: In figure AE bisects �BAC

To Find: Value of �x

�1 + �x = �2 …(i)

(� AE bisects �BAC, given)

�1 + �ADB + �B = 180° (ASP)� �1 = 180° – 90° – 50° [� �B = 50° and �ADB = 90°]

�1 = 40° …(ii)In �ABC,

�B + �A + �C = 180° (ASP)50° + �A + 30° = 180°

�A = 100°=���2 +��1 +��x

� �2 + �1 + x = 100° (From figure)�1 + �x + �1 + �x = 100° [Using (i)]

2(�1 + �x) = 100°�1 + �x = 50°

or 40° + �x = 50° [By (ii)]� �x = 10°

25. Step 1: Draw a line l. Mark a point Oand at 2 cm distance point A and furtherat 2 cm point D. Here 2 cm = 1 unitStep 2: At A draw a line P � to line l.With A as centre and radius 1 unit drawan arc to cut P at B. Join B.

Step 3: With O as centre and OB asradius, draw an arc to cut line l at thepoint C, OC = 2

26. Let f(x) = x5 – 3x4 – ax3 + 3ax2 + 2ax + 4and g(x) = 2 – x... f (x) is exactly divisible by g(x)� g(x) is a factor of f(x)� f (2) = 0� 25 – 3.24 – a.23 + 3a.22 + 2a.2 + 4 = 0� 32 – 48 – 8a + 12a + 4a + 4 = 0� 8a – 12 = 0� 8a = 12

���������������

� a = 128

= 32

������� a =32

.

ORLet f (x) = x3 + (p + q) x + a and

g(x) = x + p + q

If g(x) = 0,�x = – (p + q)

Now, f (– (p + q)) = [– (p + q)]3 + (p + q)

[– (p + q)] + a

= – (p + q)3 – (p + q)2 + a

f (x) will be exactly divisible by g(x) iff (x) = 0

� – (p + q)3 – (p + q)2 + a = 0

� a = (p + q)3 + (p + q)2

= (p + q)2 (p + q + 1).

27. Given: �B – �A = 30° ...(i)

And �C – �B = 45° ...(ii)

Subtracting equation (ii) from equation (i),we get

�B – �A – �C + �B = 30° – 45°

2�B – (�A + �C) = –15° ...(iii)

But �A + �B + �C = 180°

(Angle sum property of a triangle)

� �A + �C = 180° – �B ...(iv)

From equations (iii) and (iv), we have

2�B – (180° – �B) = –15°

�2�B – 180° + �B = –15°

� 3�B = 180° – 15° = 165°

� �B = 165

3�

= 55°

Substituting this value of �B in equations(i) and (ii), we have

55° – �A = 30° and �C – 55° = 45°

���– �A = 30° – 55° and �C = 45° + 55°

������A = 25° and �C = 100°

Hence, �A = 25°, �B = 55° and �C = 100°.

28. (i) We know that the points whoseabscissa is O, lie on y-axis.

From figure, these points are:A(0, 3), L(0,– 4) and O(0, 0).

(ii) Also we know that the points whoseordinate is 0, lie on x-axis.

These points are: G(5, 0), I(– 2, 0)and O(0, 0)

(iii) The points having abscissa as – 5,are: D(– 5, 1) and H(– 5, – 3)

(iv) The points having ordinate as 4,are: B(4, 4) and J(– 6, 4).

29. As AB = AC,�������B = �C ...(i)

(Angles opposite equal

sides of a triangle are

equal.)

In �ABM and �ACM,

�AMB = �AMC (Each 90°)

�B = �C [From (i)]

AM = AM (Common)

� �ABM ��ACM (AAS criterion)

� BM = CM (CPCT)

and �BAM = �CAM (CPCT)

� M is the mid-point of BC and AMbisects �BAC. Hence proved.

�� ����������

Put x2 = y

3600 = y(169 – y) = 169y – y2

y2 – 169y + 3600 = 0Factorising the quadratic polynomialy2 – 169y + 3600 by splitting of themiddle term, we have

y2 – 144y – 25y + 3600 = 0� (y – 144) (y – 25) = 0� x2 = 144 or 25 � � � � x = 12 or 5� 2x = 24 or 10Hence, base of the triangle is 24 m or 10 m. (ii) Common good, social responsi-bility, care and love for senior citi-zens.

OR(i) Let hospital ABCD be the giventrapezium in which AB � CD. ThroughC draw CE such that CE � DA. DrawCL � AB.

Now, CE = DA = 13 mAE = DC = 10 m.

Then, BE = 15 m.Semi-perimeter of �BCE = 21 m.

Area of �BCE

= 21(21 13)(21 14)(21 15)− − −

= 21 8 7 6× × × m2 = 84 m2

Also, 12

× 15 × h = 84 (Here, CL = h)

� h = 84 2

15×

= 565

= 11.2 m.

Area of the trapezium

= 12

× (25 + 10) × (11.2) m2

= 12

× 35 × 11.2 m2

= 35 × 5.6 m2 = 196 m2.(ii) Love for health, kind, helpful,collective responsibility.

30. Given: l �� m andAB is an incidentray, CD is reflectedray, BM and CNare normals on themirrors respectively.To prove: AB �� CDProof: Mark the angles as shown in thefigure.

�1 = �2 ...(i) (By reflection law)�3 = �4 ...(ii) (By reflection law)

BM and CN are normals to the mirrors� BM � l and CN � m

l �� m (Given)� BM �� CN

�2 = �3 ...(iii) (Alternate angles)� 2�2 = 2�3 ...(iv) [From (iii)]� �2 + �2 = �3 + �3 ...(v)� �1 + �2 = �3 + �4 [From (i) and (ii)]� �ABC = �BCDThese are alternate angles.Hence, AB �� CD. Hence proved.

31. (i) Let the given plot of land be �ABCsuch that AB = AC = 13 m and ar(�ABC)= 60 m2

We know that median corresponding tothe unequal side of an isosceles triangleand the corresponding altitude coincide.� BD = DC = x m (say)In right �ABD,

AD = 2 2AB – BD = 2 213 – x

Now, ar (�ABC)

= 12

× base × altitude

� 60 = 12

× 2x × 2 213 – x

Squaring both sides, we get

� 3600 = x2 × (169 – x2)

���������������

Practice Paper–3

SECTION-A

1. (B) We have a3 + b3 + c3 – 3abc

= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)As a + b + c = 0, RHS = 0

� a3 + b3 + c3 = 3abc.

2. (D)

RQ + RP = PQ3. Let p(x) = x3 – 6x2 + 2x – 4 and

divisor q(x) = 1 – 3x

Taking q(x) = 0 i.e., 1 – 3x = 0 � x = 13

By Remainder theorem,

Remainder = p � �� �� 13

= 31

3� �� �� �

– 6 · � �� �� �

213

+ 2 � �� �� 13

– 4

= 127

– 6 ·19

+ 2 ·13

– 4

= 1–18 18 –108 –107

27 27�

� .

4. Let common factor be x. So the legs ofright triangle are 3x and 4x.

Given: area = 24 cm2

�12

× 3x × 4x = 24 �� x2 = 24 2

43 4

� ��

� x = 2

Now, hypotenuse = � � � �2 23 4x x� = 225x

= 5x = 5 × 2 = 10 cm.

SECTION-B

5. Let 2x = 3y = 6– z = t (say)

� 2 = t1/x, ... (i)

3 = t1/y ... (ii)

and 6– z = t � ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

z16

= t

�16

= t1/z ... (iii)

Multiplying corresponding sides of (i),(ii) and (iii), we get

� 2 × 3 × 16

= t1/x × t1/y × t1/z

� 1 = t1/x + 1/y + 1/z ���t0 = t1/x + 1/y + 1/z

�x1

+ y1

+ z1

= 0.

Hence proved.6. 12x2 + 17x – 5 = 12x2 + 20x – 3x – 5

= 4x(3x + 5) –1(3x + 5)= (4x – 1) (3x + 5).

7. C) �ACB = 180° – 50° – 64°(ASP for �ABC)

= 66°

x + 642�

+662�

= 180° (ASP for �OBC)

x = 180° – 32° – 33° = 115°.

OR

AB �� DC (Given)� �ACD = �BAC (Alternate angles)� y = �BAC = 50°

�BCD = �ACB + �ACD= 70° + y = 70° + 50° = 120°

50°

BC

D

x

E

70°y

A

DE �� BC (Given)

� �CDE = �BCD (Alternate angles)

� x = 120°.

8. Let p(y) = 4y3 – 7y2 + 3y – 4

and q(y) = 2y + 1 when q(y) = 0

� y =–12

��� ����������

Now, p–12

� �� � = 4

3–12

� �� �� � – 7

2–12

� �� �� � + 3

–12

� �� �

– 4

= –12

–74

–32

– 4 =– 31

4.

9. �A = 30°; �B = 80°

� �C = 180° – (30° + 80°)

� �C = 180° – 110° = 70°

Since �B is the greatest angle, so side

opposite to �B is the longest, i.e., side

AC is the longest side and �A is the

smallest angle. So side opposite to �A,

i.e., BC is the shortest side.

10. A(0, 1), B(4, 1), C(6, 3), D(2, 3), P(4, 3)

Figure ABCD is a parallelogram and ABP

is a triangle.

SECTION-C

11. Assume that 2 + 3 is a rational

number.Let x = 2 + 3

� x2 = ( )+2

2 3 (Squaring)

= 2 + 3 + 2 2 3 = 5 + 2 6

� x2 – 5 = 2 6 �����x2 – 5

2 = 6

Now, x2 – 5

2 is a rational number as x is

a rational number (by assumption). But

6 is an irrational number. Thus, wearrive at a contradiction.

Hence, 2 + 3 is an irrational number.

12. Suppose p is a rational number.

� p = ab

where a and b are coprime integersand q � 0.

� p =ab

2

2 (Squaring both sides)

� a2 = pb2 ...(i)� p is a factor of a2

� p is a factor of a ...(ii)Let a = pc� a2 = p2c2 (Squaring both sides)Putting this value of a2 in (i), we get

p2c2 = pb2 �� b2 = pc2

� p is a factor of b2

� p is a factor of b ...(iii)From (ii) and (iii), we conclude p is afactor of both a and b.This contradicts our assumption that aand b are coprime.Hence p is not a rational number.

13. Let f (x) = x3 + qx2 – 4x – 12Since, x + 3 is a factor of f(x)� f (–3) = 0� (–3)3 + q(–3)2 – 4(–3) – 12 = 0� –27 + 9q + 12 – 12 = 0 ����� 9q = 27� q = 3� Given expression is x3 + 3x2 – 4x – 12

= x2(x + 3) – 4(x + 3) = (x + 3) (x2 – 4)= (x + 3) (x2 – 22) = (x + 3) (x – 2) (x + 2).

14. Let p(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6Here, constant term = 6.Possible factors of the constant term are 1, 2, 3, 6.Now, p(1) = 1 + 6 + 11 + 6 = 24 � 0� (x – 1) cannot be a factor of p(x).

p(–1) = –1 + 6 – 11 + 6 = 0� (x + 1) is a factor of p(x)

p(–2) = – 8 + 24 – 22 + 6 = 0� (x + 2) is a factor of p(x).

p(–3) = –27 + 54 – 33 + 6 = 0� (x + 3) is also a factor of p(x)

B

A

C

80°

30°

70°

����������������

B

A

C

F E

As degree of p(x) is 3, therefore, therecan be at the most three factors.� p(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6

= k(x + 1)(x + 2)(x + 3)Now, substitute x = 0 in this last equa-tion, we get� 0 + 0 + 0 + 6 = k(0 + 1)(0 + 2)(0 + 3)� 6 = 6k ���� k = 1� x3 + 6x2 + 11x + 6

= (x + 1)(x + 2)(x + 3).

OR(4x – 2y – 3z)2 = {4x + (– 2y) + (– 3z)}2

= (4x)2 + (–2y)2 + (–3z)2 + 2 · (4x) · (– 2y) + 2 · (– 2y) · (– 3z) + 2 · (– 3z) (4x)

[Using (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ca]= 16x2 + 4y2 + 9z2 – 16xy + 12yz – 24zx.

15. Let a = 56 cm, b = 60 cm, c = 52 cm.

� Semi-perimeter, s = 2

a b c� �

= 56 60 522

� � = 84 cm

Now, area = ( )( )( )s s a s b s c� � �

= � �� �� �84 84 56 84 60 84 52� � �

= 84 28 24 32� � �

= � � � � � � � � � � �3 4 7 4 7 4 3 2 4 2 2 2

= 3 × 4 × 7 × 4 × 2 × 2 = 1344 cm2.

16. �1 is an exterior angleof �ABC.

�A +�B = �1(Since exterior angle ofa triangle is equal to thesum of the two interioropposite angles)���1 = 45° + 35° = 80°Now, l and m are two lines and thecorresponding angles formed by thetransversal q are equal.� l �� m.

17. Given: A �ABC in which AB = ACBE and CF are its medians.To prove: BE = CF

Proof: AB = AC (Given)

�12

AB =12

AC

� AF = AE ...(i)

In �ABE and �ACF,AB = AC (Given)�A = �A (Common)AE = AF [From (i)]

Using SAS congruence axiom,�ABE �ACF

� BE = CF. Hence proved.

18. AB �� CD and PQ is transversal� �PQR = �APQ

(Alternate interior angles)x = 50°

Also, AB �� CD and PR is transversal� �APR = �PRD (Alternate

interior angles)� 50° + y = 127°� y = 127° – 50°� y = 77°Hence, x = 50° and y = 77°.

ORGiven: In �ABC, BO and CO are bisectorof �B and �C, respectively.

To prove: �BOC = 90° + 12�A

Proof: �OBC = 12�ABC ...(i)

(BO is bisector of �B)

And �OCB = 12�ACB ...(ii)

(CO is bisector of �C)

� �OBC + �OCB = 12

(�B + ��C)

2(�OBC + �OCB) = �ABC + �ACB ...(iii)

45°

35°

180°

B

A

q

p

C

lm

A B

C D

P

Q R

y50°

x 127°

��� ����������

In �ABC, �ABC + �ACB + �A = 180°

� �ABC + �ACB = 180° – �A ...(iv)

Similarly,

�OBC + �OCB =180° – �BOC ...(v)

From equations (iii), (iv) and (v), we have

2(180° – �BOC) = 180° – �A

� 180° –��BOC = 90° – 12�A

� �BOC = 90° + 12�A

Hence proved.19. Given: �BFC = �BEC = 90°

BE = CFTo prove: �ABC is isoscelesIn �BFC and �CEB�BFC = �CEB = 90° [Given] BE = CF [Given] BC = CB [Common]

[Using RHS congruence]

�BFC �CEB

� �FBC = �ECB [CPCT]

� �ABC = �ACB

� AB = AC [As sides opposite toequal angles of a triangle are equal.]

� �ABC is an isosceles triangle.

20. In �DAC and �EBC

�1 = �5 [Given]

�2 = �4 [Given]

Adding �3 both sides,

�2 + �3 = �4 + �3 � �ACB = �ECB

AC = BC [� C is the mid-point of AB]

� �DAC �EBC [Using ASA criterion]

� DA = EB [CPCT]OR

Let ABC be a right-angled triangle inwhich �B = 90°, �BAC = 2�BAC

To Prove: Hypotenuse AC = 2 × shortestside AB.

Construction: ProduceAB to a point D suchthat AB = BD and joinDC.

Proof: In ABC,�BAC ���BCA

� BC > AB (� Side opposite to greaterangle is greater)

��Hypotenuse AC > BC > AB

� AB is the shortest side.Now In ABC and DBC,�ABC = �DBC (= 90°)AB = DB (By construction)BC = BC (Common)

Using SAS congrucnce criterion, ABC �� DBC����� �BAC = �BDC = 2x

and �BCA = �BCD = x [CPCT]

���ACD = x + x = 2x

�� ACD is an equilateral triangle.� AD = AC i.e., 2AB = AC.Hence proved.

SECTION-D

21. Given x = 2 + 3

� 1x

=1

2 3� =

1

2 3� ×

2 – 3

2 – 3

=� �22

2 – 3

(2) – 3=

2 – 34 – 3

= 2 – 3

So, x + 1x

= 2 3� + 2 – 3 = 4

����������������

Therefore, x2 + 2

1x

=21

xx

� ��� �� � – 2.x.1x

= (4)2 – 2 = 16 – 2 = 14.

OR1

6 5 – 11�

= 1

6 5 – 11�× 6 5 11

6 5 11

� �� �

= � � � �2 2

6 5 11

6 5 – 11

� �

�=

6 5 11

6 5 2 30 – 11

� �� �

= 6 5 11

2 30

� � = 6 5 11

2 30

� � × 30

30

= 6 5 5 6 33060

� � .

22. We follow the steps given below torepresent 9.5 on the number line.

Step 1: On a line mark a point A.From the point A mark point O at adistance of 9.5 units such that AO = 9.5units.

Step 2: Mark a point B on the line AOsuch that OB = 1 unit.

Step 3: Using ruler and compass, drawperpendicular bisector of AB intersec-ting AB at M. With centre M andradius MA or MB, draw a semicircle.

Step 4: Draw a perpendicular��

ON atO which intersects the semicircle in P.Then, OP = 9.5 units.

Step 5 : To represent 9.5 on the num-ber line, draw an arc with centre O andradius OP which cuts the line OB in Q.Thus, if O represents 0 (zero) on thenumber line, then Q will represent 9.5on it.

ORWe write 39 as the difference of squaresof two natural numbers.

i.e., 39 = 64 – 25 = 82 – 52.

Step 1: Draw a number line OX and cutOA = 5 units.Step 2: Draw a ray OY � OX.

��� ����������

Step 3: Taking 8 units radius and A ascentre cut an arc on ray OY. Thus, thearc intersects OY at B.

By Pythagoras Theorem,

OB = 2 28 – 5 = 39 units.

Step 4: Using compass take OB as radiusand O as centre draw an arc which cutsthe number line at the point C. C

corresponds to 39 .23.

Thus, we obtained triangle ABC whose

vertices are: A(– 1, 3), B9

5,2

� �� �� � , C(2, 0).

24. We are given that PR > PQ� �Q > �R ...(i)

PS bisects �P. (Given)

� �QPS = �RPS ...(ii)

Adding (i) and (ii), we get

�Q + �QPS > �R + �RPS

� �PSR > �PSQ.

(... �Q + �QPS = �PSR, �R + �RPS

= �PSQ; exterior angle of atriangle is equal to the sum of its

interior opposite angles)

25. We have �xx

22

1= 62

Adding 2 to both sides, we get

� �xx

22

1+ 2 = 62 + 2

� �xx

22

1+ 2 . (x) . � �

� �� �x1

= 64

�� ��� �� �x

x

21= 64

[Using (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]

�� ��� �� �x

x

21= 82

Taking square root, we get

�xx1

= + 8

Ignoring 1

�xx

= – 8 as given x is

positive, x1

is also positive and sum of

two positive integers is always a positiveinteger.

� �xx1 = 8.

26. In quadrilateral ABCD, AB is thesmallest side and CD is the longest side.Join AC and BD.In �ABC, BC > AB.

(... AB is the smallest side)� �1 > �3 ...(i)

(Angle opposite to longerside is greater)

����������������

In �ACD, CD > AD.

(... CD is the longest side)

� �2 > �4 ...(ii)

(Angle opposite to longerside is greater)

Adding (i) and (ii), we have

�1 + �2 > �3 + �4

� �A > �CSimilarly, we can prove that

�B > �D.

27. (i) We have the identityx3 + y3 + z3 – 3xyz= (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – yz – zx – xy)

=12

(x + y + z) (2x2 + 2y2 + 2z2 – 2yz

– 2zx – 2xy)(Multiply the second expression by

2 and divide by 2)

= 12

(x + y + z) [(y2 + z2 – 2yz) +

(z2 + x2 –2xz) + (x2 + y2 – 2xy)]

= 12

(x + y + z) [(y – z)2 + (z – x)2 + (x – y)2]

(ii) Taking b + c = x, c + a = y anda + b = z in the result of part (i), we get

(a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 – 3(a + b) (b + c) (c + a)

= 12

(2a + 2b + 2c) [(c – b)2 + (a – c)2

+ (b – a)2]

= (a + b + c) [(b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2]

(� t2 = (– t)2)

= (a + b + c) (b2 + c2 + c2 + a2 + a2 +

b2 – 2bc – 2ca – 2ab)

= 2(a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

= 2(a3 + b3 + c3 – 3abc).28. LHS = 2x3 + 2y3 + 2z3 – 6xyz

= 2(x3 + y3 + z3 – 3xyz)= 2(x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz

– zx)[Using a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)

(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)]= (x + y + z) (2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy

– 2yz – 2zx)= (x + y + z) (x2 + y2 – 2xy) + (y2 + z2

– 2yz) + (z2 + x2 – 2zx)]= (x + y + z) [(x – y)2 + (y – z)2

+ (z –x)2

[Using a2 + b2 – 2ab = (a – b)2]= RHS Hence proved.

29. Through C, draw XY �� AB.Now, since XY �� AB and AB �� DE �� FG

� XY �� AB �� DE �� FGCD �� EF � �3 = �4 (Alternate angles)

� �3 = 60° (���4 = 60°)

� �DCY = �3 = 60° as XY �� DE

Now, �1 = �BCY(Alternate angles)

= �2 + �DCY = 55° + 60° = 115°

� DE �� FG

� �4 + �5 =180°

(Consecutive interior angles)

� 60° + �5 =180° ���5 = 120°.

Hence, �1 = 115°, �3 = 60°, �5 = 120°

30. In �DAC, DA =DC (Given)

� �1 =�4 (Angles opposite

to equal sides are equal)

��� ����������

In �DBC,DB =DC (Given)

� �2 =�3Then �1 + �2 =�3 + �4� �1 + �2 =�ACB ...(i)

Also, in �ABC, we have�1 + �2 + �ACB =180°

� �ACB + �ACB =180°

[From (i)]

� 2 �ACB =180°Therefore, �ACB =90°.

31. (i) Side of the square piece of land ABCDis AB = BC = BE + CE = (4 + 12) cm =16 cm.Area of the parts Iand III, i.e., shadedregion = Area ofthe square ABCD –Area of the �AED

= (BC)2 – 12

Area of the square ABCD

(� If a� triangle and parallelogram areon same base and between sameparallels, then area of the triangle

= 12

area of the parallelogram)

= (16)2 – 12

(16)2 = 12

× 256 = 128 cm2.

(ii) Love for health, importance to edu-cation, kind, helpful, responsibility.

Practice Paper– 4

SECTION-A1. (D) Decimal representation of an

irrational number is non-terminating non-repeating.

2. (C) At x = – 1, given polynomial= 5( – 1) – 4 (– 1)2 + 3 = – 5 – 4 + 3 = – 6.

3. Let each of two interior opposite anglesbe �A.�A + �A = 105° (Exterior angle theorem)

� �A = 105

2�

= 1

522�

.

4. Area of an isosceles right-angled triangle= 8 cm2

�12

x2 = 8

� x2 = 8 × 2 = 16

Now, d = 2 2x x� = 22x

= 2 16� = 32 cm.

SECTION-B

5. (i) 4th quadrant (ii) 3rd quadrant(iii) 2nd quadrant (iv) 1st quadrant.

6. Circumcentre of a triangle is a point inthe interior of �ABC and is equidistantfrom all the vertices.Circumcentre: Circumcentre is thepoint of concurrence of the perpendi-cular bisectors of the sides of thetriangle.

7. Ray AB and ray AC are opposite rays

� �BAD + �DAC = 180°� 3x – 40° + 2x = 180°� 5x – 40° = 180°� 5x = 220°� x = 44°.

ORLet the angle be ‘a'. Thenits complement be 90° – aSupplement of its thrice = 180° – 3a� 90°– a = 180° – 3a� 3a – a = 180°– 90°� 2a = 90°

� a = �90

2 = 45°.

8. 125 (x – y)3 + (5y – 7z)3 + (7z – 5x)3

= � �x y y z z x� � � � �3 3 35( ) (5 7 ) (7 5 )

Let 5(x – y) = a, 5y – 7z = b and 7z – 5x = c

Now a + b + c = 5(x – y) + 5y – 7z + 7z – 5x

= 5x – 5y + 5y – 7z +7z – 5x = 0

dx

x

����������������

� a + b + c = 0�� � a3 + b3 + c3 = 3abc

� [5(x – y)]3 + [5y – 7z]3 + [7z – 5x]3

= 3 [5(x – y)] [5y – 7z] [7z – 5x]

= 15 (x – y) (5y – 7z) (7z – 5x)

9. 13 when written as the sum of thesquares of two natural numbers is

13 = 9 + 4 = 32 + 22

On the number line, take OA = 3 units.Draw BA = 2 units, perpendicular toOA. Join OB (see figure).

By Pythagoras theorem, OB = 13

Using a compass with centre O andradius OB, draw an arc which intersectsthe number line at the point C. Then, C

corresponds to 13 .

10. 9x2 + 4y2 + z2 – 12xy + 4yz – 6zx= (3x)2 + (2y)2 + z2 – 2 × 3x × 2y + 2

× 2y × z – 2 × 3x × z

= (3x)2 + (– 2y)2 + (– z)2 + 2 × 3x(– 2y)

+ 2 × (– 2y) (– z) + 2 × 3x(– z)

= [3x + (– 2y) + (– z)]2

= (3x – 2y – z) (3x – 2y – z).

SECTION-C

11. x = 5 + 2Taking reciprocal, we have

1x = 1

5 2�

��1x = 1

5 2� ×

5 – 2

5 – 2[Rationalising the denominator]

= 5 – 25 – 2

5 – 4�

Consider x2 – 21x

= 1xx

� �� �� ��

1–xx

� �� �� �

= ( 5 + 2 + 5 – 2) ( 5 + 2 – 5 + 2)

= 2 5 × 4 = 8 5 .

OR

+ −++

3 1 3 1

3 – 1 3 1 = + 3a b

Rationalise to get

� �� �� �� �

3 1 3 1

3 1 3 1

� �

� � +

� �� �� �� �

3 1 3 1

3 1 3 1

� �

� �= a b� 3

�� �� �

2

2 2

3 1

3 1

�+

� �� �

2

2 2

3 1

3 1

� = a b� 3

�� �

23 1 2 3

3 1� �

+� �

23 1 2 3

3 1� �

= a b� 3

�3 1 2 3

2� �

+ 3 1 2 3

2� �

= a b� 3

� a b� � �

� �4 2 3 4 2 3

32

� = +83

2a b � ��� a b� �4 3

Comparing like terms, we have

a = 4, b = 0.

12. x3 – 8y3 + 27z3 + 18xyz

= x3 + (– 2y)3 + (3z)3 – 3x (–2y) 3z

= {x + (– 2y) + 3z} {(x)2 + (– 2y)2 + (3z)2

– x (– 2y) – (– 2y) (3z) + x(3z)}

[Using a3 + b3 + c3 – 3abc

= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)]

= (x – 2y + 3z) (x2 + 4y2 + 9z2 + 2xy + 6yz+ 3xz)

��� ����������

13.� �

+a b b c

b c c a a b c a� �

� � � �

2 2( )( )( ) ( )( )

+c a

a b b c�

� �

2( )( )( )

Taking L.C.M

=

� �a b a b b c b cc a c a

a b b c c a

� � � � �

� � �

� � �

2 2

2( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )( )

= a b b c c aa b b c c a

� � � � �

� � �

3 3 3( ) ( ) ( )( )( )( )

Let a – b = x, b – c = y and c – a = z

� x + y + z = a – b + b – c + c – a = 0� x3 + y3 + z3 = 3xyz

(a – b)3 = x3, (b – c)3 = y3 and(c – a)3 = z3

Given expression =x y z

xyz� �

3 3 3

=xyzxyz

33.

14. PQ ��RS (Given)

Draw TM through T parallel to PQ

TM ��PQ (By construction)

PQ ��RS (Given)

� TM ��RS

PQ ��TM and PT transversal

� �1 + 135° = 180°

�1 = 45°

Similarly, �2 = 38°

� �PTR =��1 +��2 = 45° + 38° = 83°.

15. � �� �� ��� �

13 41 1

3 35 8 27

= � � � �� �� �� ��� � � ��

13 411

3 3 335 2 3 = � ��� �41

35(2 3)

= � �� �41

35(5) = � �1

4 45 = 5.

OR

Let x = 0.3781

� x = 0.378181.... ...(i)Multiplying equation (i) by appropriatenumber, i.e., 100, we get

100x = 37.8181..... ...(ii)Now, multiplying equation (ii) by 100,we get 10000x = 3781.8181 ...(iii)Subtracting eqn. (ii) from eqn. (iii),we get10000x – 100x = (3781.8181....) – (37.8181....)� 9900x = 3744

� x = 37449900 = 416

1100 = 104275

Hence, 0.3781 = 104275 .

16. Let perimeter and three sides of anytriangle be p and a, b, c.

p = a + b + cIf each side of triangle is halves, then

new perimeter p1 = 12

a + 12

b + 12

c

= 12

(a + b + c) = 12

p

So, decreasing in perimeter

= p – p1 = p – 12

p =12

p

% Decrease =

12

p

p× 100 =

12

× 100

= 50%.

17. In �PQS and �PRT,

�Q = �R (Given)

PQ = PR (Given)

and �QPS =��RPT (Same angle)

����������������

Therefore, by ASA axiom of congruence,

�PQS �PRT (ASA)

� �PSQ = �PTR. (CPCT)

18. � BC �� AD (Given)

Therefore,

�CBO = �DAO

(Alternate interior angles)

and �BCO = �ADO

(Alternate interior angles)

Also, BC = DA (Given)

So, �BOC �AOD (ASA)

Therefore,OB =OA and OC = OD,

i.e., O is the mid-point of both AB and CD.

19. BF = EC (Given)

Adding FC to both sides, we get

BF + FC = EC + FC

� BC = FE ...(i)

In �ABC and �DEF,

�A = �D (Each 90°)

BC = FE [From (i)]

BA = DE (Given)

So, by RHS criterion of congruence,

�ABC ��DEF.

OR

l and m are two lines and line pintersects them.

Also, x = y (Given)

Therefore, l �� m ...(i)

(Corresponding angles)m and n are two lines and line qintersects them.Also, a = b (Given)Therefore, n �� m ...(ii)

(Corresponding angles)

From (i) and (ii),l �� n (Lines parallel to the same line)

20. (i) Given M and N are the mid-points of

AB and BC respectively.

� AM = MB = 12

AB

and BN = NC = 12

AC.

Also given, AB = BC

�12

× AB = 12

× BC

(Since equals are divided by equals,results are equal)

� AM = NC. (From above)

(ii) Given that M is the mid-pointof AB.i.e., AM = BM

l m n

��� ����������

Also, AB = AM + BM = BM + BM� AB = 2BM.Similarly, BC = 2BN.Now given BM = BN� 2 × BM = 2 × BN(Since equals are multiplied by equal,results are equal)� AB = BC. (From above)

SECTION-D

21. Given a = 3 – 5

3 5�= 3 – 5

3 5� ×

3 – 5

3 – 5

(Rationalising denominator)

= 9 5 – 6 59 – 5

� = 14 – 6 5

4

and b =3 5

3 – 5

�=

3 5

3 – 5

� ×

3 5

3 5

��

(Rationalising denominator)

= 9 5 6 59 – 5

� � = 14 6 5

4�

Now a2 – b2 = (a + b)(a – b)

= 14 – 6 5 14 6 5

4 4

� ���� �� �

� ��� �� �14 – 6 5 14 6 5

–4 4

=284

×– 12 5

4= 7 × (– 3 5) = – 21 5

OR

Given expression is

1

2 3� +

2

5 – 3+

1

2 – 5

Rationalising the denominator of eachterm,

= 1

2 3� ×

2 – 3

2 – 3 +

2

5 – 3

× 5 3

5 3

��

+ 1

2 – 5 ×

2 5

2 5

��

= 2 – 34 – 3

+ � �2 5 3

5 – 3�

+ 2 54 – 5�

= 2 – 31

+ � �2 5 3

2�

+ 2 5

– 1�

= 2 – 3 + 5 + 3 – 2 – 5= 0

22. We write 27 as the difference of squaresof two natural numbers.i.e., 27 = 36 – 9 = 62 – 32.

Step 1: Draw a number line OX andcut OA = 3 units.Step 2: Draw a ray OY � OX.

Step 3: Taking 6 units radius and A ascentre cut an arc on ray OY. Thus, thearc intersects OY at B.

By Pythagoras Theorem,

OB = 2 26 – 3 27� units.

Step 4: Using compass take OB as radiusand O as centre draw an arc which cutsthe number line at the point C. C

corresponds to 27 .

ORWe follow the steps given below torepresent 4.5 on the number line.

Step 1: On a line mark a point A.From the point A mark point O at adistance of 4.5 units such that AO = 4.5units.

Step 2: Mark a point B on the line AOsuch that OB = 1 unit.

����������������

Step 3: Using ruler and compass, drawperpendicular bisector of AB intersectingAB at M. With centre M and radius MAor MB, draw a semicircle.Step 4: Draw a perpendicular

��

ON atO which intersects the semicircle in P.Then, OP = 4.5 units.

Step 5: To represent 4.5 on thenumber line, draw an arc with centre Oand radius OP which cuts the line OBin Q.Thus, if O represents 0 (zero) on thenumber line, then Q will represent

4.5 on it.

23.

From obtained graph, AD �� BC

So, AD = �– 7 – 6 � = �–13� = 13

[� x-coordinate is same]

BC = �– 5 – 3��= � – 8� = 8

[��x-coordinate is same]

Distance between parallels

= �4 – (–2)� = �4 + 2� = 6

(Taking x-coordinate on x-axis)

� Area of trapezium ABCD

=12

× (Sum of parallels) × distancebetween them

= 12

× (13 + 8) × 6 = 12

× 21 × 6

= 63 sq. units24. Let AD, BE and CF be the altitudes of

�ABC.

AB > AD and AC > AD.

(Perpendicular segment is the shortestof all the segments that can be drawn

to a line from a given point)

� AB + AC > 2AD ...(i)Similarly,

BA + BC > 2BE ...(ii)

and CB + CA > 2CF ...(iii)Adding (i), (ii) and (iii), we get

2(AB + BC + CA) > 2(AD + BE + CF)

� AB + BC + CA > AD + BE + CF� Perimeter of triangle > sum of the

three altitudes.25. In �ABC, AB = AC (Given)

� �ACB = �ABC(Angles opposite to equal sides

of a triangle are equal)Now, in �s BCP and CBQ,

BC = BC (Common)

��� ����������

�BPC = �BQC = 90°(CQ � AB and BP � AC)�C = �B (Proved above)

� So, by AAS congruence criterion, we have

�BCP ��CBQ� BP = CQ. (CPCT)

26. Draw normals at A and B to meet at P(see figure).As mirrors are perpend-cular to each other, therefore, BP �� OAand AP �� OB.

So, BP � PA, i.e., �BPA = 90°Therefore,������� �3 +��2 = 90° ...(i)

(Angle sum property)

Also, �1 = �2 and �4 = �3(Angle of incidence = Angle of reflection)Therefore,��1 + �4 = 90° ... (ii)

[From (i)]Adding (i) and (ii), we have�1 + �2 + �3 + �4 = 180°i.e, �CAB + �DBA = 180°Hence, CA �� BD.

27. We are given a point D on side BC of a�ABC such that �BAD = �CAD andBD = CD (see figure).We are to prove that AB = AC.Produce AD to a point E such that

AD = DE and then join CE.Now, in �ABD and �ECD,

we haveBD = CD (Given)AD = ED (By construction)

and �ADB = �EDC(Vertically opposite angles)

Therefore, ��ABD ��ECD (SAS)So, AB = EC ... (i) (CPCT)and �BAD = �CED ... (ii) (CPCT)

Also,�BAD = �CAD (Given)

Therefore,

�CAD = �CED [From (ii)]

So, AC = EC ... (iii)

(Sides opposite the equal angles)

Therefore, from (i) and (iii),

AB = AC.

28. Let p(t) = t3 + 3kt2 – k2t + 2k3

and q(t) = t – 2kWhen q(t) = 0 � t – 2k = 0 or t = 2k,

p(2k) = (2k)3 + 3k(2k)2 – k2(2k) + 2k3

= 8k3 + 3k.4k2 – 2k3 + 2k3

= 8k3 + 12k3 = 20k3.

29. Let us consider (x + y)2 – (x – y)2 = 4xy

� (5)2 – (x – y)2 = 4 × 6� 25 – (x – y)2 = 24� (x – y)2 = 25 – 24 = 1

or (x – y)2 = 12 or (x – y) = 1Ignoring –ve value as x > y (Given)i.e., x – y > 0� x – y = 1

����������������

Taking cube of both sides, we get� (x – y)3 = (1)3

� x3 – y3 – 3xy(x – y) = 1� x3 – y3 – 3(6)(1) = 1� x3 – y3 – 18 = 1

� x3 – y3 = 19.

30. Let p(x) = x3 + mx2 – nx + 4.

Since, x – 2 is a factor of x3 + mx2 – nx + 4,therefore, p(2) = 0� 23 + m.22 – n.2 + 4 = 0� 8 + 4m – 2n + 4 = 0� 12 + 4m – 2n = 0� 6 + 2m – n = 0 ...(i)Also, x + 1 is a factor of p(x)�� p(– 1) = 0or (– 1)3 + m(– 1)2 – n(– 1) + 4= 0�� – 1 + m + n + 4 = 0�� m + n + 3 = 0�� n = – (m + 3) ...(ii)Putting the value of n from (ii) inequation (i), we get

6 + 2m – [– (m + 3)]= 0� 6 + 2m + m + 3 = 0� 9 + 3m = 0

� m = 9

3−

= – 3

Putting this value of m in equation (ii),we get

n = – (– 3 + 3) = 0Thus, m = – 3 and n = 0.

31. (i) Let x be the constant ratio.

Sides of the triangular piece of land are25x, 17x and 12x

25x + 17x + 12x = 540 m

� 54x = 540 m ��� x = 10 m

Sides are 25x = 25 × 10 = 250 m,

17x = 17 × 10 = 170 m

and 12 × 10 = 120 m

� s =540

2= 270 m

Area = ( – )( – )( – )s s a s b s c

= � �

270(270 250)(270 170)(270 120)

= 270 20 100 150� � �

= � � � � � �

� � � �

3 3 3 10 2 1010 10 5 3 10

=3 × 3 × 10 × 10 × 10

= 900 10 m2.(ii) Love for health, collective responsi-

bility.

Practice Paper –5

SECTION-A

1. (D)x + 1 = 0 gives x = – 1.

At x = –1, 2x2 + kx = 0

� 2(–1)2 + k(– 1) = 0 � k = 2.

2. (A) Since p(t) = t4 – t3 + 1� p(–1) = (– 1)4 – (–1)3 + 1

= 1 – (–1) + 1 = 1 + 1 + 1= 3.

3. Area of an equilateral triangle

= 3

4× (Side)2 =

34

a2 sq. units.

4. AB = AC �� ���C = �B

But �B = 50° � �C = 50°.

SECTION-B

5. p(x) will be a multiple of g(x) if g(x)divides p(x).

Now, g(x) = 2 – 3x = 0 gives x = 23

.

Remainder = p 23

� �� �� �

=32

3� �� �� �

–23

� �� �� �

+ 1

=8

27–

23

+ 1 = 1727

Since remainder � 0, so, p(x) is not amultiple of g(x).

��� ����������

6. We have to find the value of483 – 303 – 183 = 483 + (– 30)3 + (– 18)3.Here, 48 + (– 30) + (– 18) = 0So, 483 + (– 30)3 + (– 18)3

= 3 × 48 × (– 30) × (– 18) = 77760.7. ... 3 + 1 = 4, so we have to be rewrite – 2

and – 3 with a common denominator 4.Multiplying and dividing – 2 and –3both by 4, we get

2 44

− × and �–3 4

4, i.e., 8

4− and

�124

as equivalent rational numbers.

... – 3 < – 2 ��12

4 <

–84

Now writing three numerators from–12 to – 8 with a common denomi-nator 4, we have

�114

, �104

, �94

,

i.e., �114

, �52

, �94

(Though there are manywe have written only three.)

These are the three rational numbersbetween – 2 and – 3.

8. AB �� DE (Given)����BAE = �CED (Alternate angles) = 35°

In �CDE,�CDE + �CED + �DCE = 180°

(Angle sum property)� 53° + 35° + �DCE = 180°

� 88° + �DCE = 180°

� �DCE = 180° – 88°

= 92°.

9. �1 + �ACD = 180° (LPA)� �1 = 180° – 120° = 60°� �2 = 60° (AB = AC)

�A = 180° – (�1+ �2) = 180° – (60° + 60°) = 180° – 120° = 60°.

OR

PQ > PR (Given)

Therefore, �R > �Q

(Angle opposite the longer

side is greater)

�12�R =

12�Q

� �SRQ > �SQR

Therefore, SQ > SR (Side opposite thegreater angle will be longer).

10. (i) Coordinates of P are (3, 2)Coordinates of R are (3, 0)Coordinates of Q are (3, – 1)

(ii) Abscissa of L = 3Abscissa of M = 3Difference = 3 – 3 = 0.

SECTION-C

11. Taking LHS

63 2 – 2 3

=6 3 2 + 2 3

3 2 – 2 3 3 2 + 2 3�

= � �

� � � �

� �2 2

6 3 2 + 2 3 6 3 2 + 2 3=

18 – 123 2 – 2 3

�����������������

=� �6 3 2 + 2 3

6= 3 2 + 2 3

Therefore, 3 2 + 2 3 = 3 2 – a 3Compare like terms both the sides to get

a = – 2.OR

3 54 81 – 8 216 + 15 32 + 225

= 4 3 3 3 3� � � – 8 3 6 6 6� �

+ 15 5 2 2 2 2 2� � � � + 3 3 5 5� � �

= 3 – 8 × 6 + 15 × 2 + 3 × 5= 3 – 48 + 30 + 15 = 0.

12. Let each side of equilateral triangleshaped be a.Here a = 20 mThen area of equilateral

triangle is

234

a =3

4 × 20 × 20

= 100 3 m2

Area of �ABC = 12

× BC × AD

100 3 = 12

× 20 × AD

AD = 10 3 m.

13. Given: In �ABC, AD bisector of �A isperpendicular to BC

To Prove: �ABC is isosceles triangle

Proof: In �ADB and �ADC

�BAD = �CAD (Given)

�ADB = �ADC (Each 90°)

AD = AD (Common)

� �ADB � �ADC (By ASA)

� AB = AC (CPCT)

� �ABC is an isosceles triangle.

14. DE �� QR (Given)� �EAB + �RBA = 180° ...(i)

(Consecutive interior angles)AP bisects �EAB

� �PAB = 12

�EAB ...(ii)

And BP bisects �RBA

� �PBA = 12

�RBA ...(iii)

From (i), (ii) and (iii)

2 �PAB + 2 �PBA = 180°

� �PAB + �PBA = 90° ...(iv)

In �APB,

��PAB + �PBA + �APB = 180° ...(v)

� 90° + �APB = 180°

� �APB = 90°.

15. Given expression

= 4(216)2/3 + (256)3/4 + 2(243)1/5

= 4(63)2/3 + (44)3/4 + 2(35)1/5

= 4 × 6 3×2/3 + 44×3/4 + 2 × 35×1/5

= 4 × 62 + 43 + 2 × 3 = 4 × 36 + 64 + 6

= 144 + 70 = 214.

OR

Let 2x = 3y = 6– z = t (say)

� 2 = t1/x, ... (i)3 = t1/y ... (ii)

��� ����������

and 6– z = t � ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

z16

= t

�16

= t1/z ... (iii)

Multiplying corresponding sides of (i),(ii) and (iii), we get

� 2 × 3 × 16

= t1/x × t1/y × t1/z

� 1 = t1/x + 1/y + 1/z

� t0 = t1/x + 1/y + 1/z

�x1

+ y1

+ z1

= 0.

Hence proved.

16. 8x3 – (2x – 3y)3 = (2x)3 – (2x – 3y)3

= [2x – (2x – 3y)] [(2x)2 + 2x (2x – 3y)

+ (2x – 3y)2]

[Using a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)]

= (2x – 2x + 3y) (4x2 + 4x2 – 6xy + 4x2

+ 9y2 – 12xy)

= 3y(12x2 – 18xy + 9y2).

17. Let the angle be � and its complementbe �.

According to the given conditions,

� + � = 90° …(i)

and �� = 2� + 60°

� 2� = � + 120°

� 2� – � = 120° ...(ii)

Add equations (i) and (ii) to get

3� = 210° � �������� ���= 70°

Hence, the required angle is of measure70°.

18. AB �� CD and HI is transversal

� �HED =��EFB ��� 58°=�y + 20°

� y =�58° – 20° = 38°. …(i)

Further, �FEG + 22° + 58° = 180°

(Angles on a straight line)

� �FEG = 180° – 80°= 100° …(ii)

In �GEF,

x + �FEG + y = 180°

� x + 100° + 38° = 180° [from (i) and (ii)]

� x =180° – 138° ��x = 42°.OR

x + y + z + w = 360° ...(i)(Sum of the angles formed at a point)But x + y = w + z ...(ii)� (x + y) + (x + y) = 360°

[From equations (i) and (ii)]� 2(x + y) = 360°

� x + y = 12

× 360° = 180° = w + z

C

B

A D

yx

z wO

� AOC + BOC = 180°and AOD + BOD = 180°� AOB = 180°� AOB is a straight line

19. Diagonals AC and BD bisect each other(Diagonals of a ��gm)

����������������

� OA = OC ...(i)

and OD = OB ...(ii)

DP = BQ ...(iii) (Given)

Subtracting (iii) from (ii), we get

OD – DP = OB – BQ

� OP = OQ ...(iv)

� O bisects PQ ...(v)

Using results (i) and (v), we concludethat PQ and AC bisect each other.

20. Let p(x) = x3 + ax2 – 2x + a + 4

x + a = 0 gives x = – a... x + a is a factor of p(x)

� p(– a) = 0

� (– a)3 + a (– a)2 – 2 × (– a) + a + 4 = 0

� – a3 + a3 + 2a + a + 4= 0

� 3a + 4 = 0

� a = –43

.

SECTION-D

21. In �PQR,

�P + �Q + �R = 180°(Angle sum property)

�12

(�P + �Q + �R) = 90°

�12�P +

12�Q +

12�R = 90° ...(i)

... QO and RO are the bisectors of�Q and �R respectively.

� �1 = 12�Q and �2 =

12�R ...(ii)

From equations (i) and (ii), we get

12�P + �1 + �2 = 90°

� �� � � � � � �1 + �2 = 90° – 12�P ...(iii)

But in �OQR, �1 + �2 + �QOR = 180°

(Angle sum property)� �QOR = 180° – (�1 + �2) ...(iv)From (iii) and (iv), we get

�QOR = 180° – 1

90 P2

⎛ ⎞° − ∠⎜ ⎟⎝ ⎠

= 180° – 90° + 12�P

� �QOR = 90° + 12�P.

Hence proved.22. From obtained graph, the coordinate

of the intersecting point (C) of linesegment AB and x-axis is (3, 0).

Further, ar ( OAB) = ar ( OAC) + ar ( OBC)

= 12

× OC × AM + 12

× OC × BN

(Since AM and BN are perpendicularsto x-axis)

= 12

× 3 × 2 + 12

× 3 × 2

= 3 + 3 = 6 sq. units.

��� ����������

23. Given: 7 – 1

7 1� –

7 1

7 – 1

� = a + 7b

Rationalising denominators of LHS, weget,

� �27 – 1

7 – 1 –

� �27 17 – 1� = a + 7b

� �8 – 2 7 – 8 2 76

�= a + 7b

– 4 76

= a + 7bOn comparing we get rational andirrational part

a = 0, b =– 23

OR

x = 5 – 212

�� 1x

= 2

5 – 21

= 2

5 – 21 × 5 21

5 21

��

1x

= � �2 5 21

4�

= 5 212

21

xx

� ��� �� � = x2 + 2

1x

+ 2

� x2 + 2

1x

= 2

1x

x� ��� �� � – 2

= 2

5 – 21 5 212 2

� ���� �� �– 2

= (5)2 – 2 = 23.24. We follow the steps given below to

represent 9.3 on the number line.

Step 1: On a line mark a point A. Fromthe point A mark point O at a distance of9.3 units such that AO = 9.3 units.

Step 2: Mark a point B on the line OAsuch that OB = 1 unit.

Step 3: Using ruler and compass, drawperpendicular bisector of AB intersectingAB at M. With centre M and radius MAor MB, draw a semi-circle.

����������������

Step 4: Draw a perpendicular��

ON at

O which intersects the semi-circle in

P. Then, OP = 9.3 units.

Step 5: To represent 9.3 on the

number line, draw an arc with centreO and radius OP which cuts the lineOB in Q.

Thus, if O represents 0 (zero) on thenumber line, then Q will represent

9.3 on it.OR

Step 1: Draw a number line as shownin figure. Let the point O representsthe number 0 (zero) and point Arepresents 1.

Step 2: Draw a right angle at A suchthat �OAM = 90°.

Step 3: Taking O as centre andradius = 2 units, draw an arc to cutAM at B, such that OB = 2 units.

Step 4: OB2 = AB2 + OA2

(Pythagoras Theorem)

� 22 = AB2 + 12

� AB2 = 4 – 1

� AB = 3 .

Step 5: Again, taking O as centre andradius = AB, draw an arc to cut thenumber line at Q. Thus obtained Q

represents 3 on the number line.

25. �POR = �QOR = 90° ...(i)

(... OR � PQ)

Consider �QOS = �QOR + �ROS

� �QOS = 90° + �ROS ...(ii)

[By equation (i)]

Again

�POS + �ROS = �POR

� �POS = �POR – �ROS

� �POS = 90° – �ROS ...(iii)

Subtracting eqn. (iii) from eqn. (ii),we get

�QOS – �POS

= (90° + �ROS) – (90° – �ROS)

= 90° + �ROS + �ROS – 90°

= 2�ROS

��ROS = 12

(�QOS – �POS).

Hence proved.

26. In the given figure, PA is the bisector

of �QPR.

So �QPA = �RPA …(i)

In �PQM,

�QPM + �PQM = �PMR

(Exterior angle property)

i.e., �QPM + �PQM = 90° …(ii)

(��PM ��QR)

��� ����������

Again, in PMR,

�RPM + �PRM = �PMQ

(Exterior angle property)

i.e.,���RPM +��PRM = 90° …(iii)

(��PM ��QR)

From (ii) and (iii),

�QPM + �PQM = �RPM + �PRM

���QPA – �APM + �PQR

= �RPA +�APM����PRQ

��–��APM + �PQR = �APM + �PRQ(From (i)

��PQR – �PRQ = �APM + �APM

�2 �APM = �Q – �R

� �APM = 12

(�Q – �R).

Hence Proved.

27. q(x) = x2 – 3x + 2 = x2 – 2x – x + 2

= x(x – 2) – 1 (x – 2)

= (x – 2) (x – 1) ...(i)

q(x) = 0 gives (x – 2) (x – 1) = 0

i.e., x = 1, 2

Further,

p(x) = 2x4 – 6x3 + 3x2 + 3x – 2

� p(1) = 2(1)4 – 6(1)3 + 3(1)2 + 3(1) – 2

= 2 – 6 + 3 + 3 – 2 = 0... p(1) = 0

� x – 1 is a factor of p(x) ...(ii)

p(2) = 2 (2)4 – 6 (2)3 + 3 (2)2 + 3 (2) – 2

= 2 × 16 – 6 × 8 + 3 × 4 + 6 – 2

= 32 – 48 + 12 + 6 – 2

= 50 – 50 = 0... p(2) = 0

� (x – 2) is a factor of p(x) ...(iii)... (x – 1) (x – 2) both are factors of p(x)

� p(x) is exactly divisible by q(x).

28. Let f (x) = px2 + 5x + r

x – 2 = 0 gives x = 2.

Since, x – 2 is a factor of f (x)

� f (2) = 0

� p(2)2 + 5(2) + r = 0

� 4p + 10 + r = 0 ...(i)

x – 12

= 0 gives x = 12

Since, x – 12

is a factor of f (x).

� f 12

� �� �� �

= 0 � p21

2� �� �� �

+ 512

� �� �� �

+ r = 0

�4p

+52

+ r = 0

� p + 10 + 4r = 0 ...(ii)

From (i) and (ii), we get

� 4p + 10 + r = p + 10 + 4r

� 4p – p = 4r – r� � ��� 3p = 3r

� p = r�

29. xx1

– = 4 (Given)

Squaring both sides, we get

� �� �� �x

x

21– = 42

� x2 – 2 (x) . � �� �� �x1 + � �

� �� �x

21 = 16

� x2 – 2 + � �� �� �x

21 = 16

����������������

� x2 + x21

= 16 + 2

� x2 +x21

= 18

Again squaring both sides, we get

� ��� �� �x

x

22

21

= 182

� (x2)2 + 2(x2) × � �� �� �x2

1+ � �

� �� �x

2

21 = 324

� x4 + 2 +x41

= 324

� x4 + x41

= 324 – 2

� x4 +x41

= 322.

30. Given: A �PQR

To prove: �P + �Q + �R = 180°

Construction: Throught P draw XY �� QR

Proof: We are given a �PQR withangles �1, �2 and �3.

We need to prove that

���1 + �2 + �3 = 180°.

Let us draw a line XPY parallel to QRthrough the opposite vertex P, as shownin figure, so that we can use theproperties related to parallel lines andtheir transversals.

Now, XPY is a line.

Therefore,

�4 + �1 + �5 = 180° ...(i)

But XPY � � QR and PQ, PR aretransversals.

So, �4 = �2 and �5 = �3

(Pairs of alternate angles)

Substituting these values of �4 and�5 in (i), we get

�2 + �1 + �3 = 180°

i.e., �1 + �2 + �3 = 180°.

Hence proved.

31. (i) In �ABC,

AB = AC ...(i) (Given)

� �ACB = �ABC ...(ii)

(Angles opposite to equal sides of atriangle are equal)

Also AD = AB ...(iii)

� AD = AC [From (i) and (iii)]

In �ADC, AD = AC

� �ACD = �ADC ...(iv)

Adding equations (ii) and (iv), we get

�ABC + �ADC = �ACB + �ACD

�ABC + �ADC = �DCB

� �DBC + �BDC = �DCB ...(v)

In �DCB,

�DBC + �BDC + �DCB = 180° ...(vi)[ASP]

� �DCB + �DCB = 180°

[From (v) and (vi)]

Dispe-nsary

Old-Age Home

��� ����������

� 2�DCB = 180°

� �DCB = 90°

� �BCD is a right angle.

(ii) In �ABC and �ADC,

AB = AD (Given)

�ACB = �ACD (� PointA is on hypotenuse BD and AB = AD)

AC = AC (Common)

� �ABC �ADC

� ar(�ABC) = ar(�ADC)

(Congruent figures are equal in area)

So, area allotted to old-age home anddispensary is the same.

(iii) Love for health, love and respectfor senior citizens of the society,helpfulness, co-operation andcollective responsibility.

��