Primjer II-1.1

Skiciraj grafik y=4x+3 u opsegu x∊[-3,4] i nađi vrijednost y za x=2.2 ivrijednost x za y=-3, te nađi gradijent (nagib) i presjecišta s x i y osom.

f x( ) 4x 3

f 3( ) 9

f 4( ) 19

3 2 1 0 1 2 3 4

10

5

5

10

15

20

f x( )

x

f 2.2( ) 11.8

f x( ) y= 3= 4x 3= x3

2=

Nagib: 4

Presjecište s x-osom (y=0): 4x 3 0= x3

4=

Presjecište s y-osom (x=0): y 3=

Primjer II-1.2

Skiciraj sljedeće grafike u rasponu x∊[-4,4] : y=x; y=x+2; y=x-3, te nađinjihove gradijente (nagib) i presjecišta s x i y osom.

f1 x( ) x

f2 x( ) x 2

f3 x( ) x 3

4 3 2 1 0 1 2 3 4

10

6

2

2

6

10

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

x

Nagibi su za sve krive (pravca) jednaki 1, što se vidi iz oblika jednačina (koeficijenti pravca) - stoga supravci međusobno paralelni

Presjecišta s x-osom (y=0): a x b 0= xb

a=

f1 0

f2 2

f3 3

Presjecište s y-osom (x=0):

f1 0

f2 2

f3 3

Primjer II-1.3

Nađi gradijete sljedećih pravaca: y=5x-1, 2x+3y=3, pravac koji prolazi kroztačke (-2,5) i (3,4), pravac koji prolazi kroz tačke (-2,-3) i (-1,3).

f1 x( ) 5x 1 Gradijent: 5

f2 x( )2

3 x 1 Gradijent:

2

3

(-2,5) i (3,4) Gradijent:4 5

3 2( )0.2

(-2,-3) i (-1,3) Gradijent:3 3( )

1 2( )6

Primjer II-1.4

Ovisnost temperature u stepenima Celzijusa (°C) i stepenima Farenhajta (°F)data je u Tabeli dole. a) Prikaži datu ovisnost grafičkib) Očitaj vrijednost temperature 55°C u °Fc) Očitaj vrijednost temperature 170°F u °Cd) Izvedi jednačinu koja daje vezu °C i °F

C 10 20 40 60 80 100( )T

F 50 68 104 140 176 212( )T

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 12040

60

80

100

120

140

160

180

200

220

F

C

a)

b) 55°C je oko 120°F

c) 170°F je oko 78°C

d) Koristeći prva dva podatka (10,50) i (20,68), može se dobiti jednačina pravca u obliku

y y1y2 y1

x2 x1x x1 =

y 5068 50

20 10x 10( )= pa je y

9

5x 32=

Dakle, jednačina F9

5C 32 daje ovisnost stepeni Farenhajta i Celzijusa

Primjer II-1.5

Prilikom testiranja sijalice, dobivene su vijednosti otpora R u omima () inapona U u voltima (V). Dobivene vrijednosti su aproksimirane linearnomfunkcijom s podacima datim u Tabeli.a) Prikaži datu ovisnost grafički (otpor kao y-osu)b) Odredi gradijentc) Odredi presjek s R-osomd) Kolika bi vrijednost otporna bila za 110 Ve) Izvedi jednačinu pravca

U 16 29 52 76 94( )T

R 30 46.25 75 105 127.5( )T

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120102030405060708090

100110120130140150

R

U

a)

b) Koristeći prva dva podatka (16,30) i (29,46.25), može se izračunati gradijent (ubrzanje)

gradijenty2 y1

x2 x1=

gradijent46.25 30

29 161.25

c) S grafika: Presjek s R osom je oko 10

d) S grafika: Vrijednost optora za 110 V bi bila oko 145

e) Koristeći prva dva podatka (16,30) i (29,46.25), može se dobiti jednačina pravca u obliku

y y1y2 y1

x2 x1x x1 =

y 3046.25 30

29 16x 16( )= pa je y

5

4x 10=

Primjer II-1.6

Brzina tijela v ovisi o vremenu t. Mjereni rezultati dati su u Tabeli.• Prikaži datu ovisnost grafički (vrijeme kao x-osu)

• Odredi gradijent (ubrzanje)• Odredi brzinu nakon 10 s• Odredi vrijeme pri 20 m/s• Izvedi jednačinu pravca

t 2 5 8 11 15 18( )T

v 16.9 19 21.1 23.2 26 28.1( )T

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2015161718192021222324252627282930

v

t

a)

b) Koristeći prva dva podatka (2,16.9) i (5,19), može se izračunati gradijent (ubrzanje)

gradijenty2 y1

x2 x1=

gradijent19 16.9

5 20.7

c) S grafika: brzina nakon 10s je oko 22.5 m/s

d) S grafika: vrijeme za v=20 m/s je oko 6.5 s

e) Koristeći prva dva podatka (2,16.9) i (5,19), može se dobiti jednačina pravca u obliku

y y1y2 y1

x2 x1x x1 =

y 16.919 16.9

5 2x 2( )= pa je y

7

10x 15.5=

Dakle, jednačina u 0.7t 15.5 daje ovisnost brzine i vremena.

Primjer II-1.7

Za funkcije f(x)=4x2+4x-15 i y= -5x2+9x+7.2a) Nacrtaj grafikeb) Nađi nulec) Nađi koordinate i prirodu ekstrema.

f1 x( ) 4x2

4x 15 f2 x( ) 5 x2

9x 7.2

a) Grafici

4 2 0 2 420

10

0

10

f1 x( )

x

4 2 0 2 420

10

0

10

20

f2 x( )

x

b) Nule

x14 4

24 4 15( )

2 41.5 x1

9 92

4 5( ) 7.2

2 5( )0.6

x24 4

24 4 15( )

2 42.5 x2

9 92

4 5( ) 7.2

2 5( )2.4

c) Ekstremi

x29

2 5( )0.9

x14

2 40.5

maksimum (-5<0)minimum (4>0)

Primjer II-1.8

Za funkciju f(x)=10x2-13x-30 primijenjujući interval x∊[-2,3]a) Nacrtaj grafikb) Nađi nulec) Nađi koordinate i prirodu ekstremad) Nađi vrijednost y za x=1.3e) Nađi vrijednost x za y=10

f x( ) 10x2

13x 30

a) Grafik

2 1 0 1 2 3

40

20

0

20

40

f x( )

x

b) Nule

x113( ) 13( )

24 10 30( )

2 102.5

x213( ) 13( )

24 10 30( )

2 101.2

c) Ekstremi

x113

2 100.65

minimum (10>0)

d) f 1.3( ) 30

e)

10 10x2

13x 30=10x

213x 40 solve

1769

20

13

20

13

20

1769

20

10x

213x 40 0=

Primjer II-1.9

Otpor R električnog kondenzatora na temperaturi [°C] dat je izrazom

R=R0e, gdje je konstanta, a R0=5000 . Odredi (na 4 značajne cifre),

kada je R=6000 i =1500°C. Također, nađi temperaturu kada je otporR=5400 .

R θ( ) 5000 eαθ

=

Prema uslovima zadatka: 6000 5000 eα 1500

=

Logaritmirajući lijevu i desnu stranu imamo: ln 6000( ) ln 5000 eα 1500

= ln 5000( ) α 1500=

Sada se lako dobija ln

6000Ω

5000Ω

1500Δ°C1.215 10

4

1

Δ°C

Prema uslovima zadatka: 5400 5000 e1.215 10

4 θ=

Logaritmirajući lijevu i desnu stranu imamo:

ln 5400( ) ln 5000 e1.215 10

4 θ

= ln 5000( ) 1.215 10

4 θ=

Sada se lako dobija θ

ln5400Ω

5000Ω

1.215 104

1

Δ°C

633.424 Δ°C

Primjer II-1.10

Temperatura 2[°C] kalema koji se zagrijava električnom strujom u vremenu

t data je izrazom 2=1(1-et/), gdje je 1 temperatura za t=0, a jekonstanta. Izračunati:a) temperaturu kada je 2=50°C, t=30s, a =60s

b) vrijeme t, kada temperatura 2 ima vrijednost polovine 1

θ2 t( ) θ1 1 e

t

τ

=

a)

Prema uslovima zadatka: θ150Δ°C

1 e

30s

60s

127.075 Δ°C

b)

Prema uslovima zadatka:θ1

2θ1 1 e

t

τ

= pa je 1 e

t

τ

0.5= tj. e

t

τ

0.5=

Logaritmiranjem lijeve i desne strane dobija se ln e

t

τ

ln 0.5( )= tj.

t

τln 0.5( )=

t ln 0.5( ) 60 s 41.589 s

Primjer II-1.11

Jačina naizmjenične struje data je izrazom t=30sin(100t+0.27) u amperima[A]. Nađi amplitudu, period, frekvenciju i fazni ugao (u stepenima).

Amplituda: 30A

Period: T2π

100 πs 0.02 s

Frekvencija: f1

T50 Hz

Fazni ugao: 0.27rad 15.47 °

Primjer II-1.12

Oscilirajući mehanizam ima maksimalno pomjeranje od 2.5 m i frekvenciju od60 Hz. U vremenu t=0, pomjeranja je 90 cm. Izrazi pomjeranje u opštemobliku Asin(t ± ).

Prema uslovima zadatka:

Amplituda: A 2.5m

Ugaona brzina: f 60Hz ω 2 π f 376.991 s1

Fazni ugao: 0.9 2.5 sin α( )= pa je α asin0.9

2.5

21.1 °

Primjer II-1.13

Trenutna vrijednost napona u naizmjeničnom strujnom krugu u bilo kojemvremenu t data je izrazom u= 340sin(50t – 0.541) u voltima[V]. Odredi:a) amplitudu, period, frekvenciju, fazni ugao (u stepenima)b) vrijednost napona za t=0c) vrijednost napona za t=10msd) vrijeme kada napon dostigne vrijednost 200Ve) vrijeme kada napon dostigne maksimalnu vrijednostSkiciraj grafik funkcije.

f t( ) 340 sin 50 π t 0.541( ) V

a) Amplituda: 340V

Period: T2π

50 πs 0.04 s

Frekvencija: f1

T25 Hz

Fazni ugao: 0.541 rad 30.997 °

b)

f 0( ) 175.098 V

c) f 0.01( ) 291.446 V

d)

200V 340 sin 50 π t 0.541( ) V=

t

asin200

340

0.541

50 πs 7.448 ms

e)

sin 50 π t 0.541( ) 1= tasin 1( ) 0.541( )

50 πs 13.444 ms

0 0.02 0.04 0.06 0.08400

200

0

200

400

f z( )

z

Primjer II-1.14

Odredi poluprečnik i koordinate kruga datog jednačinom x2+y2+8x-2y+8=0.

Zadata jednačina kruga se može prikazati kao:

x2

8x 16 y2

2y 1 8 17 0=

x 4( )2

y 1( )2

32

=

Dakle, centar kruga je u (-4,1), a poluprečnik je 3.

Primjer II-1.15

Skiciraj grafik sljedeće jednačine: x2+y2-4x+6y-3=0.

Zadata jednačina kruga se može prikazati kao:

x2

4x 4 y2

6y 9 3 13 0=

x 2( )2

y 3( )2

42

=

Dakle, centar kruga je u (2,-3), a poluprečnik je 4.

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 1010864202468

10

Primjer II-1.16

Skiciraj grafike y=(x-4)2 i f(x)=x3-8.

fa1 x( ) x2

fb1 x( ) x3

fa2 x( ) x 4( )2

fb2 x( ) x3

8

20 10 0 10 200

200

400

600

800

fa1 z( )

fa2 z( )

z

4 2 0 2 420

10

0

10

20

fb1 z( )

fb2 z( )

z

Primjer II-1.17

Skiciraj grafike y=5-(x+2)2 i f(x)=1+3sin2x.

fa1 x( ) x2

fb1 x( ) sin x( )

fa2 x( ) x 2( )2

fb2 x( ) sin 2x( )

fa3 x( ) 5 x 2( )2

fb3 x( ) 3 sin 2x( )

fb4 x( ) 1 3 sin 2x( )

10 5 0 5 1020

10

0

10

20

fa1 z( )

fa2 z( )

fa3 z( )

z0 2 4 6

4

2

0

2

4fb1 z( )

fb2 z( )

fb3 z( )

fb4 z( )

z

Primjer II-1.18

Skiciraj grafik y = x - x2.

Data jednačina se može napisati u obliku

y x x2

= x2

x1

4

1

4= x

1

2

2

1

4=

fa1 x( ) x2

fa2 x( ) x1

2

2

fa3 x( ) x1

2

2

1

4

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

fa1 z( )

fa2 z( )

fa3 z( )

z

Primjer II-1.19

Odredi inverzne funkcije zaa) f(x)=x+1b) f(x)=5x+1c) f(x)=1/x+2Skiciraj funkcije i njihove inverzne funkcije.

f z( ) z

a)

fa x( ) x 1 Zamjenom x i y x y 1= pa je fainv x( ) x 1

10 5 0 5 10

4

2

0

2

4

fa z( )

fainv z( )

f z( )

zb)

fb x( ) 5x 1 Zamjenom x i y x 5y 1= pa je fbinv x( )x 1

5

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

fb z( )

fbinv z( )

f z( )

zc)

fb x( )1

x2 Zamjenom x i y x

1

y2= pa je fbinv x( )

1

x 2

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

fb z( )

fbinv z( )

f z( )

z

Primjer II-1.20

Izračunaj vrijednosti sljedećih funkcija: arcsin(-1), arccos(0.5), arctg(0.5),arcctg(2), arcsin(1/3)+arccos(4/5)+arctg(8/9) u radijanima i stepenima.

asin 1( ) 1.571 asin 1( ) 90 °

acos 0.5( ) 1.047 acos 0.5( ) 60 °

atan 0.5( ) 0.464 atan 0.5( ) 26.565 °

atan1

2

0.464 atan1

2

26.565 °

asin1

3

acos4

5

atan8

9

1.71 asin1

3

acos4

5

atan8

9

97.975 °

Primjer II-1.21

Nacrtaj krivu f(x)=4x2-1 za vrijednosti x[-1, 4]. Na grafiku označi tačke J i Ks koordinatama (3, f(3)) i (1, f(1)), respektivno, i nađi gradijent tetive JK.Pomjerajući se prema K nađi gradijent trangente u K.

f x( ) 4x2

1

1 0 1 2 3 420

0

20

40

60

80

f z( )

f 3( )

f 1( )

z 3 1

J

K

J : f 3( ) 35

K : f 1( ) 3

Nagib JKf 3( ) f 1( )

3 116

f 2( ) f 1( )

2 112

f 1.5( ) f 1( )

1.5 110

f 1.2( ) f 1( )

1.2 18.8

f 1.1( ) f 1( )

1.1 18.4

f 1.01( ) f 1( )

1.01 18.04 Gradijent u K teži ka 8.

Primjer II-1.22

Nađi izvode sljedećih funkcija (po x): y=4x7, y=3/x2, y=5,

x4x

7 d

d28 x

6

x

3

x2

d

d

6

x3

x5( )d

d0

x4x

1

3x

2

d

d4

2

3 x3

x2

Primjer II-1.23

Nađi izvode sljedećih funkcija (po z): y=4sin 3z, f(z)=2sin 2z – 5cos 4z.

z4 sin 3z( )( )d

d12 cos 3 z( )

z2 sin 2z( ) 5 cos 4z( )( )d

d4 cos 2 z( ) 20 sin 4 z( )

Primjer II-1.24

Jačina naizmjenične struje data je izrazom i=5sin 100t, gdje je t vrijeme usekundama. Odredi brzinu promjene struje kada je t=0.01s. Da li u toj tačkijačina struje raste ili opada? Skiciraj na grafiku!!!

i t( ) 5 sin 100t( )

Prvi izvod je:t

5 sin 100t( )( )d

d500 cos 100 t( )

Brzina promjene struje: 500 cos 100 0.01( ) 270.151

Brzina promjene je pozitivna, pa struja raste

0 0.02 0.04 0.066

4

2

0

2

4

6

i z( )

i 0.01( )

z 0.01

Primjer II-1.25

Nađi gradijent krive za x=1. Da li funkcija utoj tački raste ili opada?

x

3

x2

2 sin 4x( )2

ex

ln x( )

d

df' x( )

1

x2 e

x 8 cos 4 x( )

6

x3

f' 1( ) 0.507 Dakle, funkcija opada u tački x=1.

Primjer II-1.26

Njutnov zakon hlađenja je dat izrazom =0ekt. Odredi brzinu promjene

temperature nakon 50 s, ako je 0=°C i k=-0.02. Da li se temperatura

povećava ili smanjuje?

θ0 15Δ°C k 0.021

s

θ t( ) θ0 ek t

Prvi izvod je:t

θ0 ek t

d

dθ' t( ) k θ0 e

k t

θ' 50s( ) 0.11 K s1

Brzina promjene temperature:

Brzina promjene je negativna, pa temperatura opada

0 20 40 60 80 1000

5

10

15

θ z( )

θ 50s( )

z 50

Primjer II-1.27

Atmosferski pritisak p se mijenja s visinom h prema izrazu p=p0eh/c, gdje je

p0 pritisak na zemlji, a c je konstanta. Odredi promjenu pritiska na visini

1550 m, ako je p0=100 kPa, a c=6.2x104 m.

p0 100kPa c 6.2 104

m

p h( ) p0 e

h

c

hp0 e

h

c

d

d p' h( )p0 e

h

c

c

p' 1550m( ) 1.573Pa

m

0 500 1 103 1.5 10

39.7 10

4

9.8 104

9.9 104

1 105

p z( )

p 1550m( )

z 1550

Primjer II-1.28

Nađi integrale sljedećih funkcija (po x): y=4x7, y=3/x2, y=5,

x4x7

dx

8

2 +c

x3

x2

d3

x +c

x5

d 5 x +c

x3

x2

2 sin 4x( )2

ex

ln x( )

d4 x e

x x cos 4 x( ) 2 x

2 ln x( ) 2 x

2 6

2 x +c

Primjer II-1.29

Nađi integrale sljedećih funkcija (po t): y=4sin 3t, f(t)=2sin 2t – 5cos 4t,

t4 sin 3t( )

d4 cos 3 t( )

3 +c

t2 sin 2t( ) 5 cos 4t( )( )

d cos 2 t( )5 sin 4 t( )

4 +c

t4t1

3t2

d2 t

2

3 t

t2

1

3

+c

Primjer II-1.30

Izračunaj:

a)

b)

c)

d)

a)

x1

x2

2

x

d 2 ln x( )1

x

1

2

x1

x2

2

x

d 1.886

b)

t4 cos 3t( )

d4 sin 3 t( )

3 1

2

t4 cos 3t( )

d 0.561

c)

u3

4u

d3 ln u( )

41

4

u3

4u

d 1.04

d)

x4e2x

d 2 e2 x

1

4

x4e2x

d 5.947 103

Primjer II-1.31

Nađi površinu koja je omeđena krivom y=2x+3, x-osom i ordinatama x=1 ix=4.

f x( ) 2x 3 y 0 20

0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

f z( )

y

y

z 1 4

1

4

x2x 3

d 24 (površina trapeza!!!)

Primjer II-1.32

Brzina v [m/s] nekog tijela u vremenu t [s] data je izrazom v=2t2+5. Nađipređeni put tijela u vremenu od 0 do 4 s.

t 0 4

v t( ) 2t2

5

0 1 2 3 40

10

20

30

40

v a( )

a

v t( )

57

13

23

37

zv z( )

d2 z

3

35 z

A0

4

xv x( )

d 62.667

Primjer II-1.33

Skiciraj grafik funkcije između x=-3 i x=2 i nađi

povrđinu koju kriva zaklapa s osom x.

x 3 2

f x( ) x3

2x2

5x 6

3 2 1 0 1 210

5

0

5

f a( )

a

f x( )

04

0

-6

-8

0

zf z( )

dz4

4

2 z3

3

5 z2

2 6 z

A3

1xf x( )

d1

2

xf x( )

d 21.083