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Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle - 1 - Chapitre 0 : Généralités CHAPITRE 0 0-1- Généralités Il existe différentes familles de matériaux : les métaux , les plastiques, les composites, etc.. Les composites seront traité dans ce cours. Le principal intérêt de l'utilisation des composites provient de ses excellentes caractéristiques spécifiques (module divisé par la masse volumique). Leur faible taux d'utilisation vient de son coût encore. Parmi les composites, on distingue deux types : les composites grande diffusion (GD) et les composites haute performance (HP). - Les GD représentent 95% des composites utilisés. Ce sont en général des plastiques armés ou des plastiques renforcés, le taux de renfort avoisinant 30%. Dans 90% des cas, l'anisotropie n'existe pas ou n'est pas maîtrisée car les renforts sont des fibres courtes. Les principaux constituants de bases sont les résines polyesters (95% des résines thermodurcissables) avec des fibres de verre (+ de 99% des renforts utilisés !). Renforts et matrices sont à des coûts voisins. - Les HP, principalement utilisés dans l'aéronautique sont d'un coût élevé. Les renforts sont plutôt des fibres longues. Le taux de renfort est supérieur à 50%, et ce sont les renforts qui influent sur le coût. Les propriétés mécaniques (résistance mécanique et rigidité) sont largement supérieur à celles des métaux, contrairement aux GD. Des méthodes de calculs de structures et d'homogénéisations ont été développés pour les HP. Ces calculs feront l'objet de divers chapitres de ce cours. Il faudra toujours tenir compte du fait que l'élaboration de la structure est liée à celle du matériau, que pour les pièces travaillantes, on utilisera plutôt des composites à fibres longues et à matrice organique et pour les garnitures, capotages on utilisera des plastiques renforcés. 0-1-1- Définitions de base - Homogène : même propriétés en tout point du matériau. - Hétérogène : en 2 points différents, propriétés différentes. - Isotrope : même propriétés dans toutes les directions. - Isotrope transverse : il existe un axe de symétrie. Symétrie par rapport à une droite. - Orthotrope : propriétés symétriques par rapport à deux plans orthogonaux. - Anisotrope : les propriétés sont différentes selon les différentes directions. 0-1-2- Notions de bases Matériau composite : association d'au moins deux matériaux non miscibles. On obtient un matériau hétérogène.

Materiaux Composites

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Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 1 - Chapitre 0 : Gnralits CHAPITRE 0 0-1- Gnralits Il existe diffrentes familles de matriaux : les mtaux , les plastiques, les composites, etc.. Les composites seront trait dans ce cours. Le principal intrt de l'utilisation des composites provient de ses excellentes caractristiques spcifiques (module divis par la masse volumique). Leur faible taux d'utilisation vient de son cot encore. Parmi les composites, on distingue deux types : les composites grande diffusion (GD) et les composites haute performance (HP). - Les GD reprsentent 95% des composites utiliss. Ce sont en gnral des plastiques arms ou des plastiques renforcs, le taux de renfort avoisinant 30%. Dans 90% des cas, l'anisotropie n'existe pas ou n'est pas matrise car les renforts sont des fibres courtes. Les principaux constituants de bases sont les rsines polyesters (95% des rsines thermodurcissables) avec des fibres de verre (+ de 99% des renforts utiliss !). Renforts et matrices sont des cots voisins. - Les HP, principalement utiliss dans l'aronautique sont d'un cot lev. Les renforts sont plutt des fibres longues. Le taux de renfort est suprieur 50%, et ce sont les renforts qui influent sur le cot. Les proprits mcaniques (rsistance mcanique et rigidit) sont largement suprieur celles des mtaux, contrairement aux GD. Des mthodes de calculs de structures et d'homognisations ont t dvelopps pour les HP. Ces calculs feront l'objet de divers chapitres de ce cours. Il faudra toujours tenir compte du fait que l'laboration de la structure est lie celle du matriau, que pour les pices travaillantes, on utilisera plutt des composites fibres longues et matrice organique et pour les garnitures, capotages on utilisera des plastiques renforcs. 0-1-1- Dfinitions de base - Homogne : mme proprits en tout point du matriau. - Htrogne : en 2 points diffrents, proprits diffrentes. - Isotrope : mme proprits dans toutes les directions. - Isotrope transverse : il existe un axe de symtrie. Symtrie par rapport une droite. - Orthotrope : proprits symtriques par rapport deux plans orthogonaux. - Anisotrope : les proprits sont diffrentes selon les diffrentes directions. 0-1-2- Notions de bases Matriau composite : association d'au moins deux matriaux non miscibles. On obtient un matriau htrogne. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 2 - Chapitre 0 : Gnralits 0-2- Les composants Matriau composite plastique : association de deux constituants : - Le renfort : armature, squelette, il assure la tenue mcanique (rsistance la traction et rigidit). Souvent de nature filamentaire (des fibres organiques ou inorganiques). - La matrice : lie les fibres renforts, rpartie les efforts (rsistance la compression ou la flexion), assure la protection chimique. Par dfinition, c'est un polymre ou une rsine organique. En plus de ces deux constituants de base, il faut rajouter : une interface qui assure la compatibilit renfort-matrice, qui transmet les contraintes de l'un l 'autre sans dplacement relatif. Bonne adhrence en couche fine (m). Des produits chimiques entrent aussi dans la composition du composite, l'interphase etc. ... qui peuvent jouer sur le comportement mcanique, mais n'interviennent pratiquement jamais dans le calcul de structure composite. Remarque : on conoit un composite en fonction du type d'application, de chargement ...ce qui est diffrent des matriaux classiques o on adapte la conception d'une structure en fonction du matriau constitutif. Pour les composites, on construit sa structure la demande : - la nature, la texture et la forme du renfort - le taux de renforcement - la nature de la rsine et des charges ou additifs - la qualit de l'interface renfort-matrice - la gomtrie de la pice raliser - le procd de mise en uvre utilis On cherchera toujours orienter au mieux les renforts en fonction des efforts auxquels la structure est soumise. Avantages des matriaux composites : - Gain de masse - Mise en forme de pices complexes (principe du moulage) et rduction du nombre dinterfaces (boulonnage, rivetage et soudure sur structures mtalliques) - Grande rsistance la fatigue - Faible vieillissement sous l'action de l'humidit, de la chaleur, de la corrosion (sauf en cas de contact entre de laluminium et des fibres de carbone) - Insensibles aux produits chimiques "mcaniques " comme les graisses, huiles, liquides hydrauliques, peintures, solvants, ptrole Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 3 - Chapitre 0 : Gnralits Inconvnients des matriaux composites : - Vieillissement sous laction de leau et de la temprature - Attention aux dcapants de peinture qui attaquent les rsines poxydes - Tenue limpact moyenne par rapport aux mtalliques - Meilleure tenue au feu (classement M) que les alliages lgers mais mission de fumes (classement F) parfois toxiques pour certaines matrices. - Cot parfois prohibitifs (temps et cot tudes et mise en uvre), le gain en cot est surtout valable pour des grandes sries. Les composites sont trs anciens : bois (composite naturel), torchis, bton (agrgats et pte de ciment), bton arm, bois contre-plaqu (sandwichs), lamifis dcoratifs par exemple. 1.Associations fibres-matrices : la liaison entre fibre-matrice est cre pendant la phase d'laboration : influence fondamentale sur les proprits mcaniques du composite. 2.Les diffrents types des constituants de base : 0-3- Les renforts Les fibres - Constitues par plusieurs centaines/milliers de filaments de diamtres variant de 5 15 mm. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 4 - Chapitre 0 : Gnralits - Traitement sur machines textiles (mches). Forme de renfort : filaments dcomposs en fil de base et en mche puis en demi-produits comme la verranne, les rovings ou stratifil (mches de fils sans torsion, direct, assembl, boucl, ensims), la silionne (fils de 102 408 filaments ensims), les fils coups (de base, textiles, texturs, coups, broys, de 3 5 mm de long, ensims), qui sont tous des fibres de tissage. Mise en uvre par compression et cuisson (polymrisation). Facilit d'utilisation, qualit du produit fini (homogne), robotisation possible. Les particules, billes pleines ou creuses, les fibrilles, les cailles, les whiskers. Les renforts sous forme de semi-produit : les mats (feutres de "silionnes " ou de fils continus coups, 25 50 mm agglomrs par un liant), les feutres, les rubans, les tissus armature taffetas, serg, satin, unidirectionnelle, bidirectionnelle, les gaines, les tresses, les prform (roving + liant projets et durcis par tuvage sur une forme, pour les grandes sries). Remarque : L'ensimage permet de - coller les filaments ->file - lubrifier les fils - diminuer attaque de l'eau - liminer les charges lectrostatiques - amliorer l'adhrence sur les rsines (mouillage+adhsion) Fibres thermostables bas modules : - utilisables jusqu' 250C en continu, ininflammables, ne fondent pas, carbonisent vers 400C. - bas module (de 6000 16000MPa). - isolants thermiques, lectriques, cnes de rentre des vhicules spatiaux, boucliers thermiques des missiles, vtements militaires antithermiques. Trichites (whiskers) - monocristaux de 1 50 mm de diamtre et de 1 5 cm de longueur. - AleO3, SiO2, ZrO2, MgO, TiO2, BeO, SiC, ... - Prix lev. - Comportement lastique fragile. - Rsistance bien plus grande que beaucoup de polycristallins. P E (MPa) R (MPa) Al2O3 3.97 1 200 000/2 200 000 22 000/15 000 SiC 3.2 480 000 20 000 Graphite 1.8 1 000 000 20 000 Fer 7.8 300 000 13 000 Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 5 - Chapitre 0 : Gnralits - Problmes aux niveaux : manipulation, compatibilit chimique, mouillage. Autres fibres - conomie - isolation thermique - conductibilit thermique et lectrique - origine vgtale : sisal, jute, lin, ... - amiante : chrysotile , crocidolite, ... - polyester : Tergal, dacron, Trylne, ... - mtalliques : cuivre, aluminium, inox, ... Exemples de fabrication La fibre de verre Les filaments sont obtenus par filage de verre (silice + carbonates de sodium et de calcium) en fusion (T > 1000 C), travers des filires en alliage de platine. 1.Composition (mlange des oxydes) 2.Fusion (1500C) 3.Fibrage (1200C) : four filire de diamtre de 1 2 mm 4.Etirage : diamtre de 3 20 mm 5.Ensimage (protection , amlioration de l'adhsion fibre-matrice) 6.Bobinage 7.Tissage Le Kevlar Fibre daramide, de couleur jaune paille, mise au point par la socit Du Pont de Nemours (USA), mise au point secrte : polyamides aromatiss obtenus par synthse 10C, puis fils et tirs pour obtenir un module dlasticit lev. Le Carbone Des filaments acryliques de Tergal ou de rayonne (obtenus partir de distillation de houille ou de ptrole) sont oxyds chaud (300 C) puis chauffs 1500 C dans une atmosphre dazote. Il ne subsiste alors que la chane hexagonale des atomes de carbone. On obtient des filaments noirs et brillants. Le module dlasticit lev est obtenu par filage chaud. Le Bore Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 6 - Chapitre 0 : Gnralits Un filament de tungstne ( = 12 m) sert de catalyseur la raction de chlorure de bore et dhydrogne ) 1200 C. Les fibres de bore obtenues ont un diamtre denviron 100 m (la vitesse de croissance est de 1 micron par seconde). La Carbure de Silicium Le principe dlaboration est analogue celui de la fibre de bore : dpt chimique en phase vapeur (1200 C) du mthyle thrichlorosilane mlang lhydrogne. Principaux matriaux de renfort : Principales caractristiques mcaniques des fibres de base: Fibre densit Charge de rupture en traction (en Mpa) Charge de rupture en compressio (en Mpa) Allongnt la rupture (en %) Module d'lasticit longi (Mpa) Diamtre du filament lmentaire (en mm) Prix (en F/K) Verre E 2.54 3400 1200 4.8 73000 3 - 30 12 Verre R 2.48 4400 1300 5.4 86000 3 - 30 50 Aramide bas module 1.45 3100 500 2 70000 12 150 Aramide haut module 1.45 3100 500 1 130000 12 200 Carbone haute tnacit 1.78 2800 1800 0.5 200000 8 300/1000 Carbone haut module 1.8 2200 1300 400000 8 300/1000 Bore 2.63 3500 3500 0.8 400000 100 - 200 3000 Acier XC10 7.85 1000 210000 Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 7 - Chapitre 0 : Gnralits Aluminium 2.63 358 69800 10 0-4- Les matrices Les diffrentes familles de matrice Critres essentiels des matrices TD et TP TP : thermoplastiques TD : thermodurcissables Etat de base Solide (prt l'emploi : polymris) Liquide visqueux polymriser Stockage matire de base Illimit Temps rduit (prcautions prendre) Mouillabilit des renforts Difficile aise Moulage Chauffage (fusion/ramollissement + refroidissement de fixation) chauffage continu Cycle court plus long (polymrisation) Caractristiques spcifiques Tenue au choc assez bonne limite Tenue thermique rduite sauf nouveaux TP thermostable meilleure Chutes et dchets recyclables perdus Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 8 - Chapitre 0 : Gnralits Conditions de mise en uvre bonnes + propret manations pour mthode humide (allergie possible) Dfinitions : - Rsine thermodurcissable : polymre transforme en un produit essentiellement infusible et insoluble aprs traitement thermique (chaleur, radiation) ou physico-chimique (catalyse, durcisseur). - Rsine thermoplastique : polymre pouvant tre alternativement ramollie par chauffage et durci par refroidissement dans un intervalle de temprature spcifique du polymre tudi. Les rsines thermoplastiques prsentent l'aptitude l'tat ramolli, de se mouler aisment par plasticit. - Rsine thermostable : polymre prsentant des caractristiques mcaniques stables sous des pressions et des tempratures leves (>200C) appliques de faon continue. Cette proprit est mesure en dterminant la temprature que peut supporter la rsine durant 2000h sans perdre la moiti de ses caractristiques mcaniques. - Elastomre thermoplastique : polymre fortement lastique. Principales caractristiques mcaniques des rsines (rf. CETIM Mallard, Rapport DPE 1991): Rsines nom (kg/m3) E (MPa) R (MPa) m/mC Prix (F/kg) TD Polyester 1300 3800 0.37 88 100 15 Vinylester 1200 3500 0.35 81 65 18 Epoxyde 1220 5200 0.38 121 40 40 Silicone 1550 1000 0.45 3 30 200 Polyimide 1217 3450 0.35 80 36 150 Phnolique 1350 3000 0.36 70 80 10 Polyamide 1130 1900 0.33 70 85 25 TP Polycarbonate 1100 2300 0.33 60 70 30 Polyester satur 1310 2800 0.33 55 90 Mtaux Aluminium 2630 69000 0.33 358 23 13 Acier XC10 7850 210000 0.29 1000 1000 10 Cuivre 8940 119000 0.30 350 17 11 Magnsium 1660 42000 0.30 280 25 27 Avec (kg/m3) : Masse volumique Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 9 - Chapitre 0 : Gnralits E (MPa) : Module d'Young : Coefficient de Poisson R (MPa) : Limite lastique en traction (m/mC) : Dilatation thermique 0-5- Les matriaux composites structuraux Monocouches Les monocouches reprsentent l'lment de base de la structure composite. Les diffrents types de monocouches sont caractriss par la forme du renfort : fibres longues (unidirectionnelles UD, rparties alatoirement), fibres tisses, fibres courtes. Stratifis Un stratifi est constitu d'un empilement de monocouches ayant chacun une orientation propre par rapport un rfrentiel commun aux couches et dsign comme le rfrentiel du stratifi. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 10 - Chapitre 0 : Gnralits Le choix de l'empilement et plus particulirement des orientations permettra d'avoir des proprits mcaniques spcifiques. Notation " composite " : Un stratifi possdant l'empilement (0, +45, +90, -45)2s est un stratifi avec 4 couches dans les directions 0, -45, 90 et +45, l'orientation 0 concidant avec la direction 1 du repre principal du composite. Ces plans seront rparties symtriquement par rapport au plan moyen du stratifi. On pourra avoir des stratifis de type : 1.Equilibr : stratifi comportant autant de couches oriente suivant la direction + que de couches oriente suivant la direction -. 2.Symtrique : stratifi comportant des couches disposes symtriquement par rapport un plan moyen. 3.Orthogonal : stratifi comportant autant de couches 0 que de couches 90. Sandwichs (voir chapitre 5) Matriaux composs de deux semelles (ou peaux) de grande rigidit et de faible paisseur enveloppant une me (ou cur) de forte paisseur et faible rsistance. L'ensemble forme une structure d'une grande lgret. Le matriau sandwich possde une grande lgret en flexion et c'est un excellent isolant thermique. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 11 - Chapitre 0 : Gnralits Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 12 - Chapitre 0 : Gnralits CHAPITRE 1 1-1- Mise en uvre, procds Trois oprations sont indispensables : 1.Imprgnation du renfort par le systme rsineux. 2.Mise en forme la gomtrie de la pice. 3.Durcissement du systme soit par polycondensation et rticulation pour les matrices thermodurcissables, soit par simple refroidissement pour les matires thermoplastiques. Il existe diffrentes techniques mais la plus utilise est par moulage : Limitation : taille des pice = taille des moules Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 13 - Chapitre 0 : Gnralits Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 14 - Chapitre 0 : Gnralits Classification des procds en deux grandes familles : - Procds humides (par imprgnation directe) : ils sont gnralement adapts des petites et moyennes sries. Exemples : Moulage au contact Moulage par projection simultane Moulage froid ou chaud sous presse Moulage au sac sous pression et moulage sous vide Moulage par injection de rsine (RTM = Resin Transfer Moulding avec moule et contre moule) Moulage par Injection et Raction (R.R.I.M. = Reinforced-Reaction Injection Molding) et Mousses (mise en uvre du polyurthanne et des systmes rsines / catalyseurs trs ractifs) Centrifugation Pultrusion Enroulement filamentaire Stratification en continu de plaques et profils (dpass) - Procds secs (par imprgnation indirecte) : ils ncessitent lutilisation de demi-produits de moulage primprgns en nappes ou en composs pteux . Exemples : Fabrication de primprgns et de compounds de moulage (renfort fibreux tissus, roving servant de support une rsine thermodurcissable se prsentant dans un tat de durcissement incomplet et rversible stable basse temprature. Certaines rsines thermoplastiques sont galement utilises. Mise en ouvre des prepeg : Ligne dimprgnation solvant, Hot melt direct ou Hot melt par transfert. Les Compounds de moulage sont des primprgns plutt destins la fabrication de composites grandes diffusions : tissus, rovings mais plus souvent des fils coups : - SMC (Sheet Moulding Coumpound), lamifi en rsine polyester charge, arme de fibres places entre 2 films plastiques protecteurs, on distingue : . SMC R : fibres sans orientation . SMC C fibres continues unidirectionnelles . SMC C/R . SMC D : fibres coupes unidirectionnelles - SMC hautes performances avec renforts hybrides verren carbone, kevlar -. - HMC (High Moulding Compound) et XMC (enroulement filamentaire avec orientation spcifique pour amliorer les proprits) Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 15 - Chapitre 0 : Gnralits - Ptes mouler renforces de fibres courtes plus visqueuses et plus adaptes des procds dinjection chaud mais caractristiques mcaniques faibles : - DMC = Dough, BMC = Bulk, TMC = Thick, - ZMC = pas dendommagement des fibres lors de lalimentation du compound) Par les Procds secs, les paramtres de moulage comme le taux de fibres sont mieux contrls et les cadences de fabrication plus rapide (applications technologiques). Ils permettent la fabrication de pices en grande sries. Exemples : Compression de primprgn (SMC) Injection de primprgn Drapage et autoclave pour pices hautes performances (aronautique), des nappes primprgnes sont dposes dans un moule et polymrises par un cycle de cuisson pression + temprature). Le procd est long et lourd mais le contrle de lorientation des fibres est trs prcis. Estampage de plaques en thermoplastiques arms (TRE = Thermoplastiques Renforc Estampable) Injection de thermoplastiques arms (TPR = Thermoplastiques Renforc) Les procds les plus importants sont : 1. Moulage au contact : technologie de ralisation de pices prototypes ou de simulation. Le principe consiste imprgner manuellement les renforts disposs dans un moule. C'est peu onreux et des pices de formes quelconques peuvent tre ralises mais cadence trs faible. 2. Moulage par projection simultane : technologie similaire mais les fibres coupes sont projetes au pistolet. 3. Injection thermodurcissable BMC (Bulk Molding Compound ou primprgn en vrac). Procd discontinu haute pression (100 bars). Alimentation et dosage du Compound, Injection-pression, maintien et polymrisation, puis jection. Les avantages sont : ralisation de grande srie, faible cot matire, peu de finition, temps de cycle. Les limites sont : le taux et la longueur des renforts et les proprits mcaniques du composite obtenu. 4. Compression thermodurcissable SMC (Sheet Molding Compound ou primprgns en feuilles. Le principe consiste dposer des feuilles de primprgns dans un contre moule chauff, de comprimer le matriau avec un moule chauff, polymrisation puis jection de la pice. Avantages : cot matire, proprits mcaniques et thermiques. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 16 - Chapitre 0 : Gnralits Les limites sont l'aspect, le dimensionnement des presses et la finition. 5. Pultrusion : Utilisation pour les composites hautes performances industrielles. Le principe est : tirage, mise en forme et polymrisation de fibres continues imprgnes. Les avantages sont la production en continue, possibilit de raliser des sections trs complexes, et d'avoir un taux de renfort lev. Les limites sont la lenteur du procd, uniquement des profils droits section constante. 6. Enroulement filamentaire (ou bobinage): technologie pour les HP. Le principe consiste en un enroulement sous tension sur un mandrin tournant autour de son axe de fibres continues pralablement imprgnes d'un liant. Les avantages sont la disposition optimale des renforts, les trs bonnes proprits mcaniques, possibilit de raliser des pices de grandes dimensions avec des surfaces internes lisses. Les limites sont que formes uniquement convexes et investissements importants. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 17 - Chapitre 0 : Gnralits 1-2- Contrle des structures composites (notions) Mthodes simples - Contrle visuel Ce premier moyen dobservation constitue le plus simple de tous les moyens danalyse. Pourtant il permet de donner parfois des informations prcises sur les zones endommages. - Tap test Ce test est frquemment utilis dans laronautique pour dterminer les zones endommages ou celles de dfauts (dlaminage). Ce test consiste taper lgrement la structure en plusieurs endroits pour dtecter les zones de variation de ton et qui sonnent creux. Ce test simple peut tre utilis directement par les techniciens chargs de la maintenance et donne des rsultats relativement fiables pour certains types de dommage (ex : dcollement dinterface). 1-2-1- Radiographie X (mthode directe) - Mthode frontale : non destructive, contrle de rpartition des fibres, parasites inclusions. On ne voit pas le dlaminage. - Mthode transversale : destructive, rhologie des coulements dans l'empreinte de l'outillage. - Visualisation de l'endommagement : observation fine : substance absorbante diffuse dans le matriau. Tetrabromothane Iodure de Zinc en solution eau/alcool isopropylique Trs fort coefficient d'talement microfissure mais pas dlaminage. Deux photos sous deux angles diffrents vision en relief : distinguer chaque pli. 1-2-2- Thermographie infrarouge (indirecte) Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 18 - Chapitre 0 : Gnralits - Permet d'obtenir une cartographie thermique du composite. Les chauffements locaux sont relis la densit d'endommagement. Mthode plus qualitative que quantitative. - Exemple d'utilisation : suivi d'endommagement en essai de fatigue, de rupture progressive autour d'un trou, influence de la squence d'empilement. 1-2-3- Emission acoustique (indirecte) Rupture (fibre, matrice, interfaces) ondes de contraintes, bruit Capteurs (50-500kHz). - Mthode pour le suivi d'endommagement en cours d'essai Cette technique non destructive vise donner un aspect qualitatif lendommagement du matriau. En combinant les capteurs pizo lectrique dmission acoustique, il est de plus possible de localiser celui-ci. Dans nos applications, nos mesures sont faites gnralement en cours de chargement ce qui permet de suivre lvolution des dommages introduit. - Problmes : interprtation ? La chane dmission acoustique utilise est quipe de diffrent module dacquisition permettant le traitement en amplitude et le comptage cumul des vnements. Le comptage cumul reprsente la somme des vnements au cours de lessai. Un vnement correspond en fait un processus de dgradation de nos matriaux. Pour viter les bruits parasites, on ne tient compte en gnral que des missions suprieures 33dB. La mesure de lamplitude des vnements permet de trac des courbes nombre dvnements/amplitude de la forme suivante : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 19 - Chapitre 0 : Gnralits De nombreux travaux qui ont t mens lUTC Compigne (Barr et al 1994, Meraghni 1994, X.L. Gong 1994) ont permis daboutir linterprtation de ces relevs comme cela est indiqu sur la figure prcdente. Les endommagements sont rsums de la manire suivante : Modle schmatique d'E.A. pour identifier l'endommagement. Les mcanismes dendommagement numrots de 1 5 sont dfinis comme suit: 1, 33-45 dB : micro-fissuration de la matrice, 2, 46-58 dB : coalescence des microfissures , 3, 59-68 dB : rupture de linterface, 4, 69-86 dB : frottement fibre / matrice, dchaussement des fibres, 5, 87-100 dB : rupture des fibres. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 20 - Chapitre 0 : Gnralits 30 50 70 90 1001 2 3 4 5Amplitude en (dB)20 10 0 40 60 80 Nous notons donc que cet outil est particulirement utile dans nos essais. Dautre part, le simple fait de suivre le comptage cumul du nombre dvnements permet de donner une valeur partir de laquelle lendommagement irrversible dune structure dmarre. Ce point est appel seuil dendommagement. - Comptage : nombre de signaux > seuil ? Couplage distance du signal-capteur Amplitude du signal/nature de la rupture Effet Kaiser - Rapport Felicity. - Applications : Mthode de contrle pour bton (barrage), Contrle dans les centrales nuclaires (localisation), contrle dans les silos (formes tubulaires). Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 21 - Chapitre 0 : Gnralits 1-2-4- Echographie ultrasonore (indirecte) Principe : interaction Matire - Onde sonore. Par contact : Par immersion : - Proprits : dtecte les dlaminages, porosits, les dfauts perpendiculaires au faisceau ultrasonore (exemple du C-Scan) : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 22 - Chapitre 0 : Gnralits oTche focale IBM-PCEmission/RceptionSystme MICROCONTROLE Dplacement x y z Cuve eaux yz Transducteur focalis Eprouvette cho 1 cho 2d cho de fondcho de surfacesignal mispaisseur Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 23 - Chapitre 0 : Gnralits - Paramtres : vitesse de l'onde, attnuation, phase, spectre. - Application courante : aronautique et spatial. Dveloppement en cours sur US (P. Marguers, UTC / DPC) - Une plaque monolithique est immerge dans leau et londe US est transmise travers le matriau, lanalyse du signal est faite sur toute la plaque en faisant varier langle dincidence (goniomtre) nous donne des informations sur les rigidits du matriau (tenseur de Christoffel) - Mesure des lenteurs par transduction : on remonte la rigidit 3D du matriau monolithique orthotrope (9 termes sur 21), jusqu lanisotropie complte (21 termes) : dveloppements numriques en cours (convergences numriques). - La dgradation du tenseur de rigidit (modification de la nature du matriau) est relative un dommage. - Cette approche est pour linstant limite aux monolithiques peu pais (problme de puissance du signal) IBM-PCEmission/RceptionSystme MICROCONTROLE Dplacement Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 24 - Chapitre 0 : Gnralits Mesure rfrence de la vitesse de leau cho 1cho 2cho 1 cho 2d25 mm 1-2-5- Holographie - Moir Principe : La prsence d'un dfaut ou d'un dlaminage entrane une large dformation de la surface du matriau. Ces deux mthodes sont des mthodes optiques avec lesquelles sont visualises le dplacement, espacement de franges, d'interfrences. 1-2-6- Fractographie - Analyse des surfaces de rupture posteriori (M.E.B.) Le microscope lectronique balayage permet lobtention dimages dun fort grossissement qui permettent danalyser les phnomnes microscopiques de lordre de quelques microns (facis de rupture par exemple). Les moyens ncessaires sont relativement lourds puisquil faut polir et parfois mtalliser les chantillons dans le cas o ils ne seraient pas conducteurs (en particulier pour les fibres de verre). Dautres part la dcoupe des lments que lon veut analyser doit tre fine puisque les dimensions de ceux-ci sont limites la taille du caisson. Dans ce caisson on ralise le vide puis on injecte un gaz dargon pour faciliter le bombardement dlectrons. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 25 - Chapitre 0 : Gnralits - Expertise (mthodes trs courantes pour les mtaux). Pour les composites : pas trs net, du la diversit des constituants, anisotropie, taux de fibre... - Beaucoup plus difficile. - Il existe beaucoup d'autres mthodes : courant de Foucault, potentiomtrie, tomographie X... Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 26 - Chapitre 0 : Gnralits CHAPITRE 2 2-1- Approche classique des composites : spcificit du calcul des composites Composites = matriaux composites = structure composite L'laboration de la structure est non spare de celle du matriau. Le comportement rsulte de celui des composants par l'intermdiaire de diffrents types d'interaction, d'o l'importance de l'interface entre les composants. Le comportement des composants est diffrent d'o l'intrt de les faire travailler ensemble. La question de base qui se pose est de savoir dcrire le comportement du composite connaissant celui des constituants. La spcificit du calcul des matriaux composites vient donc de l'htrognit par conception, et des discontinuits par des microvides. Il faut donc recourir des techniques d'homognisation pour obtenir la relation de comportement tant au niveau dune monocouche que du stratifi ou du sandwich. L'homognisation consiste en la reprsentation d'un milieu quivalent + la construction d'un modle de calcul permettant d'appliquer la MMC au domaine correspondant ce milieu quivalent. Le milieu quivalent est caractris en dcomposant le matriau en parties irrductibles dfinissant le VER (Volume Elmentaire Reprsentatif rduit la gomtrie des lments constitutifs de l'htrognit, gomtrie caractrise par des conditions de symtrie et de priodicit de ces lments) de l'tat mcanique de ce milieu et susceptible de reprsenter le comportement rel du matriau. Avant tout calcul de structures composes de matriaux htrognes, il y a un calcul d'homognisation permettant de dfinir un comportement local approch de ces matriaux. Diffrents niveaux d'chelles d'tude : Principalement pour les composites stratifis ou sandwichs : 2 niveaux d'observation - Niveau micromcanique au niveau mso - Les htrognits de base sont les fibres et la matrice. On effectue ici une tape d'homognisation locale. - Niveau mso au niveau macro - Les htrognits de base sont les diffrentes couches du stratifi. Ces couches sont considres comme "homognes" (tape prcdente). Cette fois, il s'agit d'une homognisation dans l'paisseur du stratifi. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 27 - Chapitre 0 : Gnralits - Rappel : htrogne : relation de comportement dpend du point tudi anisotrope : relation de comportement dpend de la direction 2-2- Etude des lois de comportement anisotrope 3D 2-2-1- Hypothses de travail - Milieu lastique entranant la rversibilit des phnomnes. - HPP : petites dformations : thorie du premier gradient. Petits dplacements par rapport aux dimensions de la pice. - Actions appliques progressivement : chargement quasi-statique. - Pas de couplage des phnomnes : hygrothermiques et mcaniques. - Relations de comportements linaires. - Existence d'un potentiel lastique W(), Forme quadratique dfinie positive des composantes du tenseur des dformations : 2-2-2- Loi de Hooke = K avec K : oprateur de Hooke. 2-2-3- Proprits de K Symtrie : 1, 2, Tr [1.(K 2)]=Tr [2.(K 1)] Positif : Tr[1.(K 2)] 0 Dfinie : Tr [1.(K 1)] = 0 e 1 = 0 Si U1 est un champ de dplacement de solide rigide alors : ( U1 ) = 0 => U1 = U0 +W OM Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 28 - Chapitre 0 : Gnralits 2-2-4- Notations " chapeau " Notation tensorielle => Notation matricielle Le 2 vient du calcul de la trace du produit de la contrainte et de la dformation. Tr[] = . : produit de matrice. On pose ij = 2 ij : dviation angulaire Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 29 - Chapitre 0 : Gnralits Relation de comportement : ij = Sijkl kl - La matrice 6*6 correspond la matrice Sijkl (dit de souplesse ) - Symtrie des contraintes => kl = lk => Sijkl = Sijlk - Symtrie des dformations => ij = ji => Sijkl = Sjikl - Seule la connaissance des connaissances des coefficients de la sous-matrice 6*6 est ncessaire. - Application du thorme des travaux virtuels pour un s particulier => Sijkl = Sklij - => Sijkl est symtrique => 21 coefficients dterminer. La relation de comportement s'crit : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 30 - Chapitre 0 : Gnralits - => Remarque : pour que la matrice Sijkl soit symtrique, on travaillera avec les distorsions angulaires. - Les coefficients du tenseur de souplesse s'expriment l'aide de constantes mcaniques. D'aprs CHENTSOV, on a : Ei : modules de tensions ij,k : coefficients d'influence de 1re espce. Gij : modules de cisaillement i,kl : coefficients d'influence de 2nde espce. ij : coefficients de contraction ij,kl : coefficients de CHENTSOV. Dans le paragraphe qui suit, nous allons introduire des symtries matrielles permettant de simplifier la matrice de souplesse Sijkl. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 31 - Chapitre 0 : Gnralits 2-2-5- Matriau orthotrope (orthogonal+anisotrope) Dfinition : matriau lastique homogne prsentant en tout point 2 symtries du comportement mcanique chacune par rapport 1 plan, les 2 plans tant orthogonaux. Remarque : Les composantes Smnpq d'un tenseur exprimes dans un repre (1,2,3) s'crivent Sijkl dans un repre (I,II,III) : - Avec cosmi : cosinus de l'angle form par les deux vecteurs unitaires m et i. - Aprs simplification de Sijkl (limination des termes nuls), il ne reste que 9 coefficients distincts qui sont : Avec : E1, E2, E3 : modules d'lasticit longitudinaux. G23, G13, G12 : modules de cisaillement. 23, 13, 12, 21, 23, 31 : coefficients de Poisson. Symtrie de la loi de comportement : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 32 - Chapitre 0 : Gnralits 2-2-6- Matriau isotrope transverse - Dfinition : matriau possdant une direction privilgie, c'est--dire qu'il existe un axe de symtrie. - Si on suppose que la direction 3 est axe de symtrie, la relation de comportement s'crit alors : Il ne reste donc que 5 coefficients distincts. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 33 - Chapitre 0 : Gnralits 2-3- Comportement anisotrope 2D - Hypothse : structures composites stratifis => tude du comportement de la couche UD (unidirectionnelle) => dfinition de la mso-chelle => dimensionner et modliser des structures composites. - Hypothse : matriau orthotrope => dtermination des constantes lastiques d'un pli UD exprimes dans son repre d'orthotropie. 2-3-1- Repre du pli 2-3-2- Coefficients de souplesse Les hypothses simplificatrices suivantes permettent d'liminer certains coefficients de la matrice de souplesse : Epaisseur du pli dim 3 33 stratifi mince constitu d'une superposition de pli UD => description du comportement du matriau orthotrope dans le plan (l,t) : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 34 - Chapitre 0 : Gnralits Dans le repre local du pli, la relation de comportement s'crit : Le repre global du stratifi composite est (x,y,z). Avant de faire un calcul sur une structure plaque compose de plusieurs plis d'orientations diverses, il faut ramener tous les plis dans le repre globale de la structure. Pour cela, il faut effectuer un changement de repre de toutes les matrices de la relation de comportement du pli, c'est dire passer du repre (l,t) au repre (x,y). La plaque tant de faible paisseur, la direction 3 est abandonne. Rappel : la contrainte s s'exerant sur une facette de normale n s'crit : Coordonnes d'un mme vecteur dans 2 repres distincts (x,y) et (l,t) / (x,y)= Avec : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 35 - Chapitre 0 : Gnralits Dans le repre (l,t), la contrainte s'exerant sur la facette de normale x s'crit : Dans le repre (x,y) : De la mme faon, on obtient : La matrice des contrainte s'crit donc dans (x,y) : On pose de la mme faon, pour les dformations : Relation de comportement : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 36 - Chapitre 0 : Gnralits Il y a apparition de couplage dans la matrice [K]-1. (x,y) : repre de la plaque = repre global. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 37 - Chapitre 0 : Gnralits (l,t) : repre du pli = repre local et (x,y) : repre global. On a donc crit les coefficients de la matrice de souplesse K-1 du pli lmentaire dans le repre global de la structure. 2-3-3- Coefficients de raideur On commence par inverser la relation de comportement = f() dans le repre (l,t). Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 38 - Chapitre 0 : Gnralits Apparition des coefficients lastiques dits de " raideur ". Nouvelle notation : Mme procdure qu'avant : Qui se rcrit sous la forme : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 39 - Chapitre 0 : Gnralits Avec : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 40 - Chapitre 0 : Gnralits CHAPITRE 3 CALCULS D'HOMOGENEISATIONS COMPOSITES 3-1- Homognisation pour le calcul des modules La premire tape d'un calcul composite consiste dterminer les caractristiques mcaniques du matriau en fonction de celles de ses composants. Dans la plupart des cas, ces calculs se rduisent uniquement au calcul du module d'Young. Il existe divers modles d'homognisations pour l'obtenir. Les plus classiques seront prsentes ici. 3-1-1- Homognisation simplifie - Les modles " Bornes " Soit un matriau composite UD de repre d'orthotropie (l,t), constitu de fibres noyes dans une matrice polymre. Soit une cellule lmentaire de fraction volumique V = 1 constitue de fibres et de matrice avec : Vm : fraction volumique de matrice Vf : fraction volumique de fibre V = Vm + Vf =1 A l'chelle locale, on a les hypothses suivantes : - Fibres: comportement lastique linaire fragile isotrope de coefficients Ef et f. - Matrice: comportement lastique non-linaire, isotrope de coefficients Em et m. But ? Dterminer les relations existant entre El , Et , Ef , Em , m et f . Hypothses : - On travaille en lasticit linaire. - On suppose que la liaison fibres/matrices est parfaite. - Localement, on a : f = Ef f et m = Em m Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 41 - Chapitre 0 : Gnralits Modules longitudinale et transverse d'un UD par la loi des mlanges On associe deux matriaux de caractristiques distinctes dans le but d'estimer les caractristiques lastiques du matriau quivalent, c'est dire de l'UD. Pour cela, on effectue deux essais de compression. 1er essai : Il s'effectue dans la direction parallle aux fibres (compression longitudinale) El : module homognis d'Young dans la direction longi dterminer. l = El l Simplification du problme : on considre le problme quivalent suivant : Hypothse : la dformation est constante dans une section droite, c'est dire que : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 42 - Chapitre 0 : Gnralits 1=f=m On a : 1=F1/S1=Ell=Elf=Elm 1=Elf/Ef=Elm/Em L'quilibre de l'prouvette s'crit : F1=Ff+Fmavec Ff : force applique la fibre, et Fm : force applique la matrice. On aura : Ff=EffSf=EflSf Fm=EmmSm=EmlSm Donc, Ff+Fm=l(EfSf+EmSm)=F1 Or, la loi de comportement de l'UD s'crit : 1=F1/(Sf+Sm)=Ell=> F1=Ell*(Sf+Sm) => El=EfSf/(Sf+Sm) + EmSm/(Sf+Sm) => El=EfVf+EmVm : loi des mlanges Relation trs bien vrifie dans la direction des fibres. 2me essai : Il s'effectue dans la direction perpendiculaire aux fibres (compression transversale) Et= module homognis dans la direction transverse, dterminer. 2=Et 2 Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 43 - Chapitre 0 : Gnralits Simplification du problme : On considre le problme suivant : Hypothse : la contrainte est constante dans une section droite. Donc : 2=f=m V2=Vff+Vmm 2/Et=(Vfsf/Ef)+(Vmsm/Em) 1/Et=(Vf/Ef)+(Vm/Em) : loi des mlanges en souplesse Relation pas trs bien vrifie transversalement mais qui donne une indication sur la borne infrieure. Module de cisaillement et coefficient de Poisson d'un UD par la loi des mlanges De faon analogue, on dtermine ces deux coefficients et on trouve que : lt=fVf+mVm 1/Glt=(Vf/Gf)+(Vm/Gm) Rappelons que les modles bornes donnent un encadrement du comportement mcanique du matriau composite par des comportements mcaniques limites (bornes). Les modles que nous allons voir maintenant sont applicables des mlanges de polymres (matriaux composs) et des composites chargs par des particules diverses. Nous remplacerons donc les termes fibres et matrices par des phases. Les bornes correspondent aux associations srie des deux phases (REUSS, quivalent au modle du module transverse quivalent de la loi des mlanges) et parallle (VOIGT, quivalent au modle du module longitudinal quivalent de la loi des mlanges). Aucune hypothse n'est faite sur la morphologie du matriau. Il est simplement admis que pour le modle de REUSS, la contrainte est homogne dans les deux phases (continuit de la contrainte) et, pour le modle de VOIGT, la dformation est constante (continuit de la dformation) dans tout le composite. L'intrt est limit ds que l'cart des caractristiques des deux phases est important. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 44 - Chapitre 0 : Gnralits 3-1-2 - HASHIN et SHTRIKMAN (1963) Expression des bornes plus resserre que Voigt et Reuss. Il rajoute une hypothse supplmentaire sur la gomtrie : il existe une phase continue et une discontinue. Ce modle utilise le principe variationnel : les diffrents constituants sont noys dans un matriau de comparaison. Si le matriau de comparaison est "plus souple" Lmin ou "plus raide" Lmax que toutes les phases du matriau composite, on obtiendra une borne infrieure LHS- et suprieure LHS+ pour les modules du matriau composite. avec Les limites suprieure et infrieure sont quivalentes aux relations obtenues par KERNER, bases aussi sur le principe variationel de la mthode auto-cohrente mais Kerner n'a pas mit d'hypothses sur la morphologie du mlange. Ses seules hypothses sont : - proprits du mlange : isotrope. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 45 - Chapitre 0 : Gnralits - comportement des constituants dans le composite est le mme que dans le produit en masse. - adhsion parfaite entre les constituants. Les approches phnomnologiques : Dans Voigt et Reuss, les phases sont en tat de contrainte ou dformation constante. Mais dans la ralit, la rpartition des contraintes et dformations entre les particules n'est pas aussi simple. La prise en compte de ceci va se faire par combinaison des modles de bases de Voigt et Reuss. Diffrents modles ont donc t dvelopps, mais la description la plus utilise est celle de TAKAYANAGI. Hypothse : il existe un paramtre de forme ajustable. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 46 - Chapitre 0 : Gnralits Ce modle donne une bonne description phnomnologique du systme mais pas sur sa morphologie (arrangement entre phase). Les approches bases sur les quations d'HALPIN-TSAI. Elles permettent de prdire le module longitudinal d'un composite renforc par des fibres courtes alignes. Les auteurs ont gnralis l'quation de KERNER (1956) issue d'un schma autocohrent et crite pour le cas de renforts sphriques au cas des renforts allongs. Les modules longitudinale El et transverse Et s'crivent alors : : mesure du facteur de forme de la fibre = 2L/d o L : longueur et d diamtre de la fibre. A partir des quations d'Halpin-Tsai, on peut estimer le module d'un composite renforc par des fibres courtes orientes alatoirement dans un plan ou dans un volume. L'approche de TSAI-PAGANO Elle est base sur la thorie de l'lasticit orthotrope. Elle donne un module E d'un composite fibres courtes, isotrope dans le plan. E=3/8 El+5/8 Et Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 47 - Chapitre 0 : Gnralits L'approche d'HALPIN-KARDOS Elle est similaire la prcdente mais le composite isotrope dans le plan est trait comme un composite stratifi compos de plis UD, chaque pli tant tourn d'un angle donn par rapport au prcdent. Le calcul analytique d'HALPIN-KARDOS a t ralis sur un assemblage de 4 plis orients (0, -45, +45, 90). On a donc un composite quasi-isotrope. Les modules de chaque pli sont estims partir des quations d'HALPIN-TSAI. L : longueur des fibres, l : largeur des fibres, e : paisseur des fibres. : facteurs de forme. Le module G du composite est : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 48 - Chapitre 0 : Gnralits Conclusion : Les approches bases sur les quations d'HALPIN-TSAI sont semi-empiriques mais simples utiliser. 3-2- Thorie simplifie des stratifis Rappel : On appelle stratifi ce qui rsulte de plusieurs couches (ou pli) de nappes unidirectionnelles ou de tissus avec des orientations propres chaque pli. Le calcul du comportement moyen d'une plaque composite stratifi va tre prsent dans ce chapitre. 3-2-1- Comportement en membrane Soit un stratifi symtrie miroir (les empilements des plis de part et d'autres du plan moyen sont identiques ()s. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 49 - Chapitre 0 : Gnralits u0, v0 : composante du dplacement dans le plan moyen, et k indice de chaque pli. On est en hypothse des petites dformations. On a alors une relation entre l'angle de rotation de la section et le dplacement suivant l'axe z note w : = w/ x, Pour un point ne se trouvant pas dans le plan moyen, on aura comme dformation : x = u/ x = / x (u0 - z w/ x ) = u0/ x - z 2w/ x2 y = v/ y = / y (v0 - z w/ x ) = v0/ y - z 2w/ x2 2w/ x2 = courbure de la plaque La dformation de cisaillement va s'crire : xy = u/ y + v/ x = u0/ x + v0/ y - 2z 2w/ x y que l'on peut mettre sous la forme : avec k x = 2w/ x2 k y = 2w/ y2 k xy = -2 2w/ x y Ce qui permet d'crire les contraintes dans un pli du composite stratifi sous la forme : [] = [Q] k [0] + z [Q] k[k] Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 50 - Chapitre 0 : Gnralits Hypothse : stratifi uniquement soumis des sollicitations dans son plan par unit de longueur : Nx , Ny , Txy = Tyx , Ce sont des efforts de membrane (ou lments de rduction pour des contraintes ou encore flux d'efforts dans le stratifi). Description des efforts : Nx : effort dans la direction x, par unit de longueur suivant la direction y : Ny : effort rsultant dans la direction y, par unit de largeur suivant la direction x : Txy = Tyx : cisaillement de membrane par unit de largeur suivant la direction y : Les relations prcdentes peuvent se mettre sous la forme : L'hypothse utilise pour intgrer sur l'paisseur du stratifi et calculer un matriau homogne quivalent est l'homognit de la contrainte dans chaque pli. Ceci permet de discrtiser les intgrales et d'crire des sommes finies, c'est--dire : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 51 - Chapitre 0 : Gnralits On introduit les relations de comportements et on obtient: Remarque 1 : si le stratifi est quilibr (autant de plis dans une direction que dans l'autre), on a dcouplage entre dplacements dus la traction et distorsion angulaire due au cisaillement, c'est dire : Remarque 2 : Les Aij sont indpendants de l'ordre d'empilement des plis. Consquences : Dtermination pratique d'un stratifi travaillant en membrane. Donnes : Nx, Ny, Txy Postuler un ensemble de proportions de plis dans des directions dtermines (par exemple : plis identiques = mme nature, mme paisseur) Problme pos : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 52 - Chapitre 0 : Gnralits - Dterminer les modules lastiques apparents du stratifi, les coefficients de couplage associs pour prvoir les dformations sous chargement. - Epaisseur minimum donner au stratifi pour viter la rupture de l'un quelconque des plis qui le constituent. Principe de calcul : 1 - modules apparents : On crit la relation de comportement : Le rapport k/h fait disparatre les proportions des plis identiques ayant mme orientation. Si on inverse la matrice [A'ij], on obtient les modules apparents recherchs et les coefficients de couplage. 2 - paisseur minimum Pour cela, on dtermine la non-rupture du stratifi. Soient l, t, et lt les contraintes dans les axes d'orthotropie d'un pli constituant le stratifi soumis au chargement Nx, Ny et Txy. h : paisseur du stratifi inconnue (pour le moment), telle que l'on se trouve la limite de la rupture du pli considr au sens du ritre de Hill (voir les critres plus loin). Pour ce pli, on aura : On multiplie cette expression par l'paisseur recherche au carr et on obtient : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 53 - Chapitre 0 : Gnralits (l*h), (t*h) et (lt*h) obtenues en multipliant les contraintes globales (s0x, s0y, t0xy) s'exerant sur le stratifi par l'paisseur h. Or : 0x = Nx, 0y = Ny, 0xy= Txy : flux d'efforts connus, donc pour un pli, on obtient h en fonction des efforts connus, donc chaque pli nk conduit un hk du stratifi. L'paisseur finale retenir sera la plus grande des valeurs trouves. 3-2-2- Comportement en flexion Hypothse sur les dplacements : Aux sollicitations Nx, Ny, Txy s'ajoutent par unit d'envergure : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 54 - Chapitre 0 : Gnralits Mx : moment flchissant d'axe y, d aux contraintes sx par unit de largeur suivant la direction y. My : moment flchissant d'axe x, d aux contraintes sy par unit de largeur suivant la direction x. Mxy : moment de torsion d'axe x, d aux contraintes txy Comme pour le comportement en membrane, on discrtise par couche et on obtient : On introduit la relation de comportement et on obtient : En calculant les intgrales suivant z, [M] devient : [M] = [B][0]+ [D][k] Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 55 - Chapitre 0 : Gnralits L'expression gnrale reliant les contraintes et dformations globales qui reprsente l'quation fondamentale pour les stratifis s'crit : Inversons cette relation : [0] = [A-1] [N] - [A-1] [B][k] d'o : [M] = [B] [A-1] [N] +(- [B] [A-1] [B][k] + [D][k] ? alors [k] = [D-1*][M] - [D-1*][C*] [N] On obtient finalement : [0] = [B*] [D-1*][M] + [A*] - [B*] [D-1*] [C*] [N] Ce qui permet d'obtenir une autre quation fondamentale des stratifis et qui s'crit : Avec [A'] = [A*]-[B*][D*-1][C] [B'] = [B*]*[D*-1] [C'] = [D*-1][C*] [D'] = [D*-1] et [A*] = [A-1] , [B*] = [A-1][B] , [C*] = [B][A-1] , [D*] = [D] - [B][A-1][B] De faon gnrale, un stratifi quelconque soumis de la traction subira des dformations non seulement normales mais aussi de la flexion ! Ce qui n'tait pas le cas avec des matriaux homognes isotropes ! Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 56 - Chapitre 0 : Gnralits Remarques : Dans le cas gnral, on a un couplage entre les comportements en membrane et en flexion dans un stratifi quelconque, mais la symtrie miroir implique le dcouplage, c'est dire que les Bij sont nulles et les termes (hk2-hk-12) s'annulent 2 par 2. Les termes [Q16] k et [Q26] k s'obtiennent en fonction de sinqk et sin3qk qui ne changent pas de signe pour 2 couches symtriques. Si on vite ce couplage, le comportement en membrane est indpendant de l'ordre de la squence d'empilement. Pour les stratifis quilibrs, les termes A16 et A26 sont nuls. Pour les stratifis symtriques et quilibrs, les Bij sont nuls. Dtermination pratique d'un stratifi travaillant la flexion : On suppose connus les lments de rduction (Mx, My, Mxy) => prvision de squences d'empilements Principe de calcul : - Non-rupture du stratifi (id membrane). - Dformation de flexion => utilisation indispensable d'un logiciel de calcul informatis de type EF disposant de sa bibliothque d'lments de stratifis travaillant en flexion. Calcul sommaire la flexion : Possibilit pour un pr-dimensionnement d'effectuer des calculs simplifis considrant que le moment Mx est uniquement li la courbure 2w0/ x2 My est uniquement li la courbure 2w0/ y2 On peut dterminer exprimentalement : Les contraintes apparentes par l'essai : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 57 - Chapitre 0 : Gnralits => analogie avec les poutres => rupt=[Mrupt*(h/2)] / (h3/12) = Mrupt*6/h2 Les modules apparents de flexion : comparaison des relations de comportement "composites " et " homognes "par identification avec le seul 1er terme du moment Mx -Efx. (h3/12)=C11 => Efx.= -12/ h3 C11 avec Efx. : module de flexion du stratifi " homognis " suivant x. De la mme faon : -Efy. (h3/12)=C22 => Efy.= -12/ h3 C22 avec Efx. : module de flexion du stratifi " homognis " suivant y. Du stratifi, on a : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 58 - Chapitre 0 : Gnralits De la poutre homogne, on a : 3-3- Prise en compte des effets hygrothermiques (notions) Dans les relations de comportements prcdentes, on considre un tat isotherme. Etat isotherme temprature des " contraintes libres ". MAIS : Temprature de fabrication et d'utilisation parfois diffrentes de cette temprature de rfrence. Hypothses : 1.matriau orthotrope : De faon proportionnelle la variation de temprature : quand T augmente, le matriau s'allonge quand T diminue, le matriau se rtracte. 2.couplages ngligs Utilisation du principe de superposition. 3-3-1- Effets thermiques ij : coefficients de dilatation thermique dans les directions (xi.=0 si i j). ij = ij (T-T0) T0 : temprature de rfrence. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 59 - Chapitre 0 : Gnralits Modification des seuils limites lastique et des relations de comportement des matriaux Dans le domaine lastique : ij = Sijkl kl + ij (T-T0) Avec Sijkl= f(T) 3-3-2- Effets hygromtriques Effets (T+hygro) => acclration des modifications des caractristiques mcaniques des matriaux composites matrice polymre. Diffusion de l'humidit dans la matrice polymre Hypothse : matriau orthotrope => proportionnalit entre taux hygro et allongement. ij : coefficients hygromtriques dans les directions xi.(=0 si i j). ij = ij (H-H0) Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 60 - Chapitre 0 : Gnralits 3-3-3- Superposition des effets thermo et hygro On crit alors une loi hygrothermolastique ij = Sijkl skl + aij (T-T0)+bij (H-H0) Remarque : quand i j , ij = 0, T et H n'affectent pas les dformations et contraintes de cisaillement. Hypothse : il existe un tat de prcontrainte ij tel que : ij= ij+ Cijkl[kl - kl (T-T0)+kl (H-H0)] Il existe un potentiel thermodynamique : W()=(1/2!)*Cijkl ij kl + ij ij exprim autour d'une position d'quilibre caractrise par : ij = 0, ij 0 (prcontrainte), T=T0, H=H0 Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 61 - Chapitre 0 : Gnralits 3-4- Rgles de conception d'une pice composite Le concepteur " cre " le matriau en fonction des besoins => choix de : 1 -le renfort la matrice le procd de durcissement 2 -agencement des plis prdimensionnement + critres reprsentation sur plans Orientations normalises : De prfrence : stratifi avec symtrie miroir => symtrie des contraintes Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 62 - Chapitre 0 : Gnralits => vite voilement et gauchissement pendant la phase de polymrisation. Minimums technologiques : minimums de plis de 5 10% suivant chaque direction 0, +45, 90, -45. Epaisseur minimum d'un stratifi : 1 mm Agencement des plis : proportions et nombre de plis placer dans chacune des directions. Il faut prendre en compte les sollicitations mcaniques qui s'exercent sur le stratifi dans la zone considre. 3 critres pour le concepteur : 1.supporter les flux d'efforts sans dtrioration du stratifi. 2.limiter les dformations de la pice charge. 3.minimiser la masse des matriaux. Respect de l'agencement suivant : 1.plis 90 placs en surface puis plis +45 ou -45 quand flux d'effort prpondrant parallle 0. 2.pas plus de 4 plis conscutifs dans une mme direction. 3.problmes de dlaminage : sur les bords des stratifis, il existe des 33. 33> 0, => dlaminage, 33< 0, => non dlaminant. Or, le signe de 33dpend de l'ordre d'empilement. ( 45)2s est trs dlaminant mais il existe d'autres phnomnes de rupture (endommagement du pli apparat en 1er). Quelques exemples de conception : Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 63 - Chapitre 0 : Gnralits 3-5- Rsum sur la Thorie du stratifi : comportement lastique (formulaire) Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 64 - Chapitre 0 : Gnralits CHAPITRE 4 CRITERES DE RUPTURE CLASSIQUES POUR COMPOSITES Etude de la rupture des stratifis, 2 types de rupture : - rupture du monocouche (ou plus gnralement des UD) - rupture des stratifis multicouches. Il existe diffrents modes de dfaillance. Composites multicouches essentiellement plaques et coques. Etat de contraintes planes ou flexion privilgis dans les critres de dimensionnement. tats prdominants dans les zones loignes des conditions limites (bords, assemblages, ouvertures ...) pour un UD : - directions l et t ont des caractristiques rupture trs diffrentes avec une grande indpendance par rapport aux constituants. - directions de cisaillement (l,t) a un trs grand rle. Par exemple, en collage, on compte sur lui pour assurer le transfert des contraintes entre fibres et matrice. Pour un bidirectionnelle, il existe 5 limites diffrentes soit en dformations soit en contraintes. 1.traction sens fibre (l) : lt, lt 2.traction sens transverse : tt, tt 3.compression sens fibre (-l) : lc, lc 4.compression sens transverse (-t) : tc, tc 5.cisaillement plan (l,t) : lt, lt Remarque : exemples pris avec les carbone/poxy car il existe beaucoup de rsultats exprimentaux et de combinaisons connues "matrice-fibres". Observations exprimentales : Par dfaut : utilisation de critres de rupture fragile car on recherche une reprsentation lastique, avec prise en compte de l'anisotropie, sachant qu'une telle approche a ses limites. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 65 - Chapitre 0 : Gnralits 4-1- Dfinition des critres de rsistance Connaissant un tat de contrainte (resp. ), on cherche raliser une condition du type f( ) (resp. g( )) 1 f() fonction scalaire du tenseur des contraintes Il existe de nombreuses expression de cette fonction, les plus connues tant celle de Hill, Tsa-Wu, Hoffman, contrainte max, dformation max, ..... Historique des Critres de rsistance ou rupture : - Lonard de Vinci (1500) : relation contrainte / rupture - Galile (1638) : travaux sur la rupture des matriaux - Tresca (1864) : Cisaillement max. - Von Miss (1913) : Energie de distorsion - Von Miss (1928) : Critres quadratiques - Hencky (1929) : Von Miss adapt aux matriaux anisotropes - Hill (1948) : Von Miss pratique - Goldenblatt et Kopnov (G&K,1965) : criture tensorielle gnrale des critres de rupture (tous les autres critres sont un cas simplifi et plus pratique de lcriture de G&K) - Tsa et Hill (1965) : redfinition du critre de Hill - Hoffman (1967) : formulation pratique de G&K - Tsa et Wu (1971) : formulation pratique de G&K pour les stratifis Remarque : le critre de Hill est une gnralisation de Von-Miss rserv aux matriaux homogne et isotrope. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 66 - Chapitre 0 : Gnralits 4-1-1- Le critre de Tsa-Hill Critre de type quadratique exprim en contrainte plane, crit dans le repre de l'UD : 12 1262221 ||

\| ||

\|+ ||

\|+ ||

\|XrYr S Yr Xr avec 11r = 11c = Xr si 11 0 11r = 11t = Xr si 11 0 22r = 22t = Yr si 22 0 22r = 22c = Yr si 22 0 12r = S Les contraintes sont dtermines exprimentalement sur des essais uniaxiaux. Remarque : ce critre ne distingue pas les diffrents modes de rupture de la monocouche. Il ne fonctionne quen contrainte plane et est restrictif sur le signe des contraintes. 4-1-2- Le critre de Tsa-Wu C'est la gnralisation des critres quadratiques. Il fait intervenir 2 tenseurs de rsistance : Fij du 2nd ordre et Fi du 1er ordre. Fij i j + Fi j 1 En 3D et dans le repre dorthotropie du pli (pour un matriau orthotrope), le critre scrit de la manire suivante : F1 1 + F11 12 + F2 2 + F22 22 + F3 3 + F33 32 + 2 F12 1 2 + 2 F13 1 3 + 2 F23 2 3 + F44 42 + F55 52 + F66 62 = 1 En effet, les termes de couplage sont nuls dans le repre dorthotropie, soit entre les : (1, 2, 3) et les (4, 5, 6). Cette criture nest pas vraie dans un repre global, dans ce cas les termes de couplage tels que (F14, F15, F16, F24, F25, F26, F34, F35, F36, F45, F46, F56) apparaissent, ainsi que des termes lies au cisaillements (F4, F5, F6) ! ! ! Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 67 - Chapitre 0 : Gnralits Rappel sur les critures des rsistances: X+ = 1 ultime en traction X- = 1 ultime en compression Idem pour Y (2) et pour Z (3) S = 12 ultime = 6 ultime (rupture en cisaillement dans le plan (1,2)) R = 13 ultime = 5 ultime (rupture en cisaillement dans le plan (1,3)) Q = 23 ultime = 4 ultime (rupture en cisaillement dans le plan (2,3)) Rappels sur les expressions des coefficients du critre : a) Coefficients hors-interaction : ils sexpriment en fonction des rsistances fondamentales X, Y et S, ils sont dtermins travers des tests de chargement unidirectionnels. - Coefficients normaux : F1, F11, F2, F22, F3, F33 correspondent aux contraintes normales. F1 = (1 / X+) - (1 / X-) F2 = (1 / Y+) - (1 / Y-) F3 = (1 / Z+) - (1 / Z-) F11 = (1 / X+ . X-) F22 = (1 / Y+ . Y-) F33 = (1 / Z+ . Z-) - Coefficients de cisaillement : F44, F55, F66 F66 = 1 / S2 F55 = 1 / R2 F44 = 1 / Q2 b) Coefficients dinteraction : ils ne sexpriment en fonction des rsistances fondamentales X, Y et S, ils sont dtermins travers des tests de chargement complexes combins F12 (interaction de 1 et 2) F13 (interaction de 1 et 3) F23 (interaction de 2 et 3) Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 68 - Chapitre 0 : Gnralits Problme : dtermination empirique de lexpression telle qu'elle vrifie une certaine forme de l'enveloppe de rupture de l'UD dans l'espace des contraintes. Exemple : enveloppe ellipsodale pour quivalence avec des essais uniaxiaux en contraintes planes et pour un UD. F11 = 1 / 11c 11t F22 = 1 / 22c 22t F66 = 1 / 12r2 = 1 / S2 F16 = F26 =0 Fij =Fji Ce critre intgre la diffrence entre comportement en traction et compression. Du point de vue physique, il y a une mauvaise description des couplages entre contraintes. Les diffrents modes de rupture du pli ne sont pas distingus. 4-1-3- Critre de la contrainte maximale Critre relativement rustique mais qui reste trs utilis pour la recherche des premires solutions technologiques dans la conception d'une pice composite. Il est rarement utilis en entier mais souvent coupl avec le critre de dformation maxi. En contrainte plane : La connaissance des limites dans les diffrentes directions implique la dtermination rapide de l'tat de s limites. Ne distingue pas les diffrents modes de rupture de l'UD. Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 69 - Chapitre 0 : Gnralits 4-1-4- Critre de la dformation maximale Critre peu utilis car en bureau d'tudes, les concepteurs raisonnent plutt en contraintes (ou comment sont transmis les efforts). Il est utilis coupl avec le critre de contrainte max. En dformation plane : Les dformations sont calcules avec la loi de comportement lastique. 4-1-5- Le critre mixte Remarque : -=X si X>b) sans prise en compte du cisaillement transverse L'tude bibliographique est fate sur des sandwiches et monolithiques (stratifis) symtriques pour lesquels il y a absence de couplage flexion-menbrane et prsence du couplage flexion-torsion . A- expression gnrale Dans le cadre de la flexion pure (L>>b), l'quation constitutive s'crit : MxMyMxy ( ( ( ( ( ( =D11 D12 D16D12 D22 D26D16 D26 D66 ( ( ( ( ( ( kxkykxy ( ( ( ( ( ( (20.1) Ecrite sous forme inverse : h b L z y x h/2 -Elment poutre- Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 89 - Chapitre 0 : Gnralits kxkykxy ( ( ( ( =D11 D12 D16D12D22D26D16D26D66 ( ( ( ( MxMyMxy ( ( ( ( (20.3) o les D*ij sont les lments de la matrice inverse de Dij[ ] . La thorie des poutres fait l'hypothse que dans le cas d'une flexion suivant l'axe x, les moments My et Mxy sont nuls . On a la courbure : kx = 2w0x2= D11Mx (20.6) La thorie des poutres fait l'hypothse supplmentaire que la flche ne dpend que de x : wo=wo(x) Les courbures Ky et Kxy sont fonctions du moment Mx : ky = 2w0y2= D12 Mx kx = 22w0xy= D16 Mx (20.8) Ces relations montrent priori que la flche dpend de la variable y. Cet effet est assez important dans le cas d'prouvettes de flexion de laboratoire, de forme plus proche d'une lame que d'une poutre . Ainsi le couplage flexion-torsion induit par les termes D*12 et D*16 dans les quations (20.8) tendent produire un dcollement partiel de la poutre sur ses supports . Toutefois le phnomne est ngligeable ds l'instant o le rapport L/b est assez grand; quant aux matriaux antisymtriques tudis ce couplage est inexistant. Il y a cependant un couplage flexion-menbrane (B16 et B26) qui reste tout de mme peu perceptible . L'quation (20.6) devient alors : d2w0dx2= MExI (20.10) Le module de flexion de la poutre s'crit alors : Ex =12h3D11 (20.11) Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 90 - Chapitre 0 : Gnralits Le moment quadratique I de la section droite de la poutre par rapport au plan (x,y) : I = Ixy =bh312 (20.12) Le moment M de flexion : M = b* Mx (20.13) (rappel : Mx crit par unit de largeur) L'quation de flexion des poutres se rduit : d2Mxdx2+ q = 0 (20.14) Par suite, on a par simplifications de la thorie des plaques, o q et Q correspondent au efforts de cisaillement . dMxdx= Qx (20.18) dMdx= Q (20.19) Q = bQx (20.20) On peut alors remonter aux contraintes dans chaque couche du stratifi : kxxkyykxy ( ( ( ( =Q'k11 Q'k12 Q'k16Q'k12Q'k22Q'k26Q'k16Q'k26Q'k66 ( ( ( ( kxkykxy ( ( ( ( (20.21) En notant, les coefficients de rigidit Q'ij de la couche k, rapports aux axes de la plaque . On remarque qu'il n'y a pas prise en compte de l'effet transverse xz : kxx = z akxx M/I kyy = z akyy M/I (20.23) kxy = z akxy M/I avec : (20.26) Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 91 - Chapitre 0 : Gnralits akxx = (Qk11 D*11 + Qk12 D*12 + Qk16 D*16) h3/12 akxx = (Qk12 D*11 + Qk22 D*12 + Qk26 D*16) h3/12 akxx = (Qk16 D*11 + Qk26 D*12 + Qk66 D*16) h3/12 Les expressions prcdentes des contraintes ne sont correctes qu' une distance assez loigne (>h) des bords de la poutre . En toute rigueur les rsultats ne sont valables que pour un rapport b/h assez lev . NB: Pour axx=1 et ayy=axy=0, on retrouve la thorie classique des poutres isotropes en matriau homogne . La contrainte de cisaillement transverse dans les poutres se dduit d'une quation d'quilibre : kxz = -(Q/2I) akxx (z2+ck) (20.27) Les constantes ck dans chaque couche sont dtermines en annulant xz sur les faces suprieure et infrieure, et en assurant la continuit de xz entre chaque couche . Dans le cas d'un matriau homogne (axx=1), xz pour z=+/-h/2, on a : xz = (3Q/2bh)*(1-4(z/h)2) (20.28) La contrainte de cisaillement est maximale pour z=0 : xz (z=0)=o = 3Q/(2bh) (20.29) Pour les stratifis le cisaillement s'crit : kxz = -akxx o (4(z/h)2+dk) (20.30) O dk sont des constantes dterminer en assurant la continuit de xz dans l'paisseur de la poutre . B- Application la flexion 3 points Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 92 - Chapitre 0 : Gnralits diagrammes des efforts en flexion 3 points sur poutre F/2FF/2diagramme du moment de flexionFa/4a: porteMFx/2F(a-x)/2xzxa/2diagramme de l'effort tranchantTF/2-F/2x Ainsi dans le cas de la flexion 3 points, toute la poutre est en couplage flexion-cisaillement . Plus L/h est lev, moins le cisaillement est influent . Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matriaux Composites / DESS Mcanique avance et Stratgie industrielle - 93 - Chapitre 0 : Gnralits Toujours dans le cadre d'un stratifi symtrique, on applique les quations de la thorie des poutres en flexion la flexion 3 points . La symtrie du problme conduit ne considrer qu'une moiti de la poutre : Le moment de flexion s'exprime par la relation : M=-Px/2 0< x < L/2 O P est la charge totale exerce au milieu de la poutre . En substituant dans (20.10) : d2w0dx2=Px2ExI 0